第03章 平面任意力系(第4-6讲)

第 4 讲教案第4讲平面任意力系简化第三章 平面任意力系力的作用线分布在同一平面内的力系称为平面力系。

（简易吊车梁）当物体所受的力对称于某一平面时，也可简化为在对称平面内的平面力系。

本章将讨论平面任意力系（简称平面力系）的简化和平衡问题。

§3-1 力线平移定理实际工程与实际生活中与力线平移有关的例子是很多的。

例如、驾船划桨，若双桨同时以相等的力气划，船在水面只前进不转动；若单桨划，船不仅有向前的运动，而且有绕船质心的转动。

此外，乒乓球运动中的各种旋转球也都与力线平移有关。

F A xF AyG 1 G 2F BABα设计： 1、用图片（课件中的简易吊车梁受力）引入平面任意力系。

2、启发学员思考分析任意力系合成和平衡问题的方法：化复杂问题为简单问题。

3、由分析方法引出力线平移设计： 1、用动画讲解力线平移定理。

ABCα定理：作用在刚体上某点的力F可平行移到任一点，平移时需附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力F对新作用点的矩。

如图。

证明：在点B上加一平衡力系(F',F")，令F'=-F"=F。

则力F与力系（F',F",F）（图b）等效或与力系[F',(F,F"）]（图c）等效。

后者即为力F向B点平移的结果。

附加力偶（F,F’）的力偶矩M=Fd=M B(F)证毕。

·该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。

其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。

·该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。

例1、如单手攻丝时（图），由于力系（F'，M O）的作强调：1、该定理表明一个力可分解为同平面内的一个力和一个力偶。

2、其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可合用，不仅加工精度低，而且丝锥易折断。

例2、尾翼弹丸尾翼的作用分析弹丸处于如左图姿态时，尾翼受空气阻力如左图，利用力线平移定理移到质心处，附加顺时针力偶，使弹丸顺时针转动，回到如中图姿态，保持稳定。

弹丸处于如右图姿态时，可作同样分析。

CCC§3-2 平面任意力系向一点简化1．力系的主矢和主矩（1）主矢力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢，即F F ∑='R（2）主矩力系中各力对同一点之矩的代数和称为力系对该点的主矩，即)(F O O M M ∑=（3）取坐标系Oxy ，则主矢和主矩的解析表达式分别为j i F RY X ∑+∑=' )()(i i i i O O X y Y x M M -∑=∑=F式中x i 、y i 为力F i 作用点的坐标。

2．平面力系向一点简化设力系F 1，F 2，F n 作用在物体上，如图（a ）所示。

在力系作用面内任取一点O （称为简化中心），应用力的平移定理，将各力平移至点O ，得到如图（b ）所示的平面汇交力系和平面力偶系。

再分别合成这两个简单力系得到通过简强调： 1、主矢不是力系的合力，它只有大小、方向，没有作用点，它只反映力系的移动效应。

2、主矩不是力系的合力偶矩，它与矩心有关，它只解释：1、此结果表明一个力系可以合成为一个力和一个力偶。

化中心的一个力和一个力偶矩为M O 的力偶，如图(c)所示。

平面力系向作用面内任一点简化，得到一个力和一个力偶。

力的大小和方向等于力系的主矢，力偶的矩等于力系对简化中心的主矩。

主矢与简化中心位置无关，而主矩与简化中心位置有关。

平面力系向任选点简化的结果归结为计算力系的两个基本物理量——主矢和主矩。

力系对不同简化中心的主矩间关系：图（a ）所示的简化结果与原力系等效，将其直接向另一点O'简化，得到)('R O O OM M M F '+=' 即力系对O'点的主矩等于力系对O 点的主矩与通过O 点的力对O'点之矩的代数和。

3．固定端约束物体一端被约束固定，完全限制了物体在图示平面内的运动，构成固定端约束（或插入端约束）。

提示：1、用动画引出固定端约束和固定铰链支座得不同。

2、强调固定端约束力的分析如图(a)和(b)所示的对车刀和工件的约束。

图(c)为其约束简图。

固定端约束的约束力是作用在接触面上的分布力系（图（a））。

将其向固定端处A简化得一力和一力偶，如图(b)，力的大小、方向未知，以两个未知的正交分量表示。

固定端约束的约束力包括两个分力F Ax，F Ay和一个力偶矩为M A的约束力偶。

如图(c)所示。

4．几种常见的分布载荷的简化结果均匀分布合力:大小F R=ql作用线位置d=l/2三角形分布合力:大小F R=q m l/2作用线位置d=l/3梯形分布合力:大小F R=(q1+q2)l/2作用线位置d=(q1+2q2)l/(q1+q2)/各种形式分布载荷合力的大小等于载荷集度图的面积，合力作用线位置由合力矩定理确定，它通过由分布载荷所围提示：作为例题介绍，引导学员理解今后如何成的面积的几何中心。

矩形分布载荷通常分割成一矩形和一三角形，分别合成得F R1和F R2。

§3-3平面力系简化结果分析1.平面力系的简化结果将平面力系向作用面内一点简化，有三种可能结果：合力、合力偶和平衡。

见表3-1。

表3-1 力系的简化结果 力系向任一点O 简化主矢 主矩 简化结果 说明 F'R =0M O =0平衡 平衡力系M O ≠0 合力偶主矩与简化中心位置无关 F'R ≠0M O =0合力合力作用线通过简化中心 M O ≠0合力作用线离简化中心距离d =M O /F R2.合力矩定理当力系有合力时，由图可知O R R O M d F M ==)(F而引入： 由力线平移定理可知，在同平面内的一个力和一个力偶可合成为一个力，而力系向一点简化的结果是一个力与例2重力坝受力如图 (a)所示。

设P 1=450kN ，P 2=200kN ，F 1=300kN ，F 2=70kN 。

求力系的合力。

解：（1）先将力系向点O 简化，求主矢F 'R 和主矩M O ，如图(b)。

由图(a)计算主矢F'R 在x 、y 轴上的投影。

kN 9.232cos 21=-=∑='θF F X F RxkN 1.670sin 221-=---=∑='θF P P Y F Ry式中︒==∠=7.16arctgCBABACB θ 主矢F'R 的大小kN 4.709)()(22=∑+∑='Y X F ROABC xyFRd提示： 教材中例题留给学员看。

'0,R F M ==∑=∑=∑)(00F O M Y X =∑)(M A F理论力学教案第5讲平面任意力系的平衡§3-4 平面力系的平衡条件和平衡方程1．平面力系的平衡条件平面力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和主矩均为零。

F'R =0，M O =02．平面力系的平衡方程将主矢、主矩的矢量表达式向坐标轴上投影得⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑0)(00F O M Y X 即力系中各力在坐标轴上投影的代数和分别等于零，各力对任意点之矩的代数和等于零。

三个独立的平衡方程，可解三个未知量。

3．平衡方程的其它形式主矢和主矩分别等于零的条件还可用其它形式的平衡方程表示。

（1）二矩式⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑00)(0)(X M M B A F F式中A ，B 连线不能与x 轴垂直。

说明： 两坐标轴相交即可，不一定垂直。

X=0则主矢与X 垂直或为0，Y=0则主矢与Y 垂直或为0，而主矢不可能同时垂直于相交的两轴 ∴X=0、设计： 由简易吊车粱的例子总结二矩式和三矩式的使用条件。

③三矩式⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑0)(0)(0)(F F F C B A M M M 式中A 、B 、C 三点不能共线。

4．平面平行力系的平衡方程由一矩式、二矩式和三矩式可推出各种特殊的平面力系的平衡方程。

平面平行力系的平衡方程为⎭⎬⎫=∑=∑0)(0F A M Y式中y 轴与各力平行，A 为平面上任一点。

另一组形式是⎭⎬⎫=∑=∑0)(0)(F F B A M M式中A 、B 连线不能与各力平行。

平面平行力系有两个独立的平衡方程，可解两个未知量。

同理可推出平面汇交力系及平面力偶系的平衡方程。

例1 起重机重P 1=10kN ，可绕铅直轴AB 转动，起吊P 1=40kN 的重物。

尺寸如图所示。

求止推轴承A 和轴承B 处的约束力。

解：取起重机为研究对象，它所受的主动力有P 1和P 2。

由于对称性，约束力和主动力都在同一平面内。

止推轴承A 处有两个约束力F Ax 、F Ay ，轴承B 处有一个约束力F B ，如提示： 体会一矩式图所示。

建立图示坐标系，由平面力系的平衡方程5.35.15:00:00:02121=---=∑=--=∑=+=∑P P F M P P F Y F F X B A Ay B Ax解得kN31kN 317.03.0kN 502121=-=-=--==+=B Ax B Ay F F P P F P P F F B 为负值，说明它的方向与假设的相反。

例2外伸梁的尺寸及载荷如图，试求铰支座A 及辊轴支座B 的约束力。

解：取AB 梁为研究对象，受力如图所示。

建立图示坐标系，由平面力系的平衡方程060cos 5.1:0=︒⨯-=∑Ax F X得75.0=Ax F kN060sin )5.15.2(5.15.122.15.2:0)F (=︒+-⨯--=∑B A F M得75.3)460sin 5.132.1(5.21=⨯︒⨯++=B F kN 060sin 5.12:0=︒⨯--+=∑B Ay F F Y 45.075.360sin 5.12-=-︒⨯+=Ay F kNAy F 的方向与假设的相反。

为校核所得结果是否正确，可应用多余的平衡方程，如5.160sin 5.12.15.212)(⨯︒⨯--⨯-⨯=∑Ay B F M F︒⨯--⨯+=60sin 5.12.15.245.0220=练习1高炉上料小车如图a 所示。

料车连同所装的料共重P =240kN ，重心在点C 。

已知：a =100cm ，b =140cm ，d =140cm ，e =100cm ，α=55︒。

求料车匀速上升时钢索的拉力F 及轨道对车轮A 和B 的约束力（摩擦不计）。

解：取小车为研究对象。

受力如图(b)所示。

建立图示坐标系，由平衡方程0sin :0=-=∑αP F X 0cos :0=-+=∑αP F F Y NB NA提问： 结果中正负号的含义。

提示：时间不足时可以不讲。

练习2 塔式起重机如图。

机架重P 1=700kN ，作用线通过塔架的中心。