均值柯西与排列(上)
不等式的证明、柯西不等式与排序不等式 经典课件(最新)
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4．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用均值不等式、柯西不等式求一些特 定函数的极值．
5．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．
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知识要点梳理
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1．柯西不等式 (1)柯西不等式的二维形式 ① 柯 西 不 等 式 的 代 数 形 式 ： 设 a1 ， a2 ， b1 ， b2 均 为 实 数 ， 则 (a12 ＋ a22)(b12 ＋ b22)≥________(当且仅当 a1b2＝a2b1 时，等号成立)．
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[强化训练 2.1] (2019 年海南省海南中学高三联考)(1)若 a＞0，b＞0，求证：(a＋ b)1a＋1b≥4；
(2)设 a，b，c，d 均为正数，且 a＋b＝c＋d，若 ab＞cd，求证： a＋ b＞ c＋ d.
证明：(1)∵a＞0，b＞0， ∴a＋b≥2 ab＞0， 1a＋1b≥2 a1b＞0， ∴(a＋b)1a＋1b≥2 ab·2
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【反思·升华】 (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧．常见的放缩
方法有：
①
变
换
分
式
的
分
子
和
分
母
，
如
1 k2
<
1 k（k－1）
，
1 k2
>
1 k（k＋1）
，
1 k<
2 k＋
k－1
，
1 k
> k＋2 k＋1.上面不等式中 k∈N*，k>1；②利用函数的单调性；③利用结论：“若 0<a<b，
m>0，则ab<ab＋ ＋mm”．
2020高中数学 第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2
2.4 最大值与最小值问题,优化的数学模型学习目标：1.理解最值概念,并能应用柯西不等式、平均值不等式求函数的最值.2。
能利用不等式解决有关的实际问题．教材整理 最值问题,优化的数学模型 1．最值设D 为f (x ）的定义域，如果存在x 0∈D ，使得f （x )≤f （x 0)(f （x ）≥f （x 0))，x ∈D ,则称f (x 0)为f (x )在D 上的最大(小）值,x 0称为f (x )在D 上的最大（小）值点．寻求函数的最大(小）值及最大（小）值问题统称为最值问题,它属于更一般的问题——极值问题的一个特别的情况． 2．分离常数法分离常数法就是在分子中凑出与分母相同的项，然后约分．这在求含有分式的最值问题时经常用到．这种类型的最值问题也可以用去分母的方法转化成关于x 的二次方程，然后利用判别式求最值．用平均值不等式来解此类问题时，特别要注意等号成立的条件．1．已知0＜x ＜1，则x (1－x ）取最大值时x 的值为( ) A.13B.12C 。
错误!D.错误!［解析］ ∵0＜x ＜1,∴x （1－x )≤错误!错误!＝错误!, 当且仅当x ＝12时取等号．[答案］ B2．已知t ＞0，则函数y ＝错误!的最小值为________． [解析] ∵t ＞0，∴y ＝错误! ＝t ＋错误!－4≥2－4＝－2。
[答案］ －2利用柯西不等式求最值【例1】 设x ≥0，y ≥0，z ≥0，a ，b ，c ，l ，m ,n 是给定的正数，并且ax ＋by ＋cz ＝δ为常数,求ω＝错误!＋错误!＋错误!的最小值．[精彩点拨］ 题设中的ω与δ的形式符合柯西不等式的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值．［自主解答］ 由柯西不等式得ω·δ＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!·[（错误!)2＋(错误!）2＋(错误!)2］≥(错误!＋错误!＋错误!）2，所以ω≥错误!。
由柯西不等式成立的条件得x ＝k 错误!,y ＝k 错误!，z ＝k 错误!.其中，k＝错误!.它们使得ax＋by＋cz＝δ，且ω＝错误!,所以ω的最小值为错误!.利用柯西不等式求最值时,必须验证等号成立的条件是否满足．1．设x，y，z∈R，且错误!＋错误!＋错误!＝1.求x＋y＋z的最大值和最小值．[解] 根据柯西不等式，知[42＋(错误!)2＋22]·错误!≥错误!错误!，当且仅当错误!＝错误!＝错误!，即x＝错误!，y＝－1,z＝错误!或x＝－错误!，y ＝－3，z＝错误!时等号成立．∴25×1≥（x＋y＋z－2)2。
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
9．设 a、b、c 为正数，且 a＋2b＋3c＝13，求 3a＋ 2b＋ c的最大值．
1 2 解：(a＋2b＋3c)[( 3) ＋1 ＋( ) ] 3
2 2
1 2 ≥( a· 3＋ 2b· 1＋ 3c· ) 3 ＝( 3a＋ 2b＋ c)2. 132 ∴( 3a＋ 2b＋ c)2≤ . 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c≤ . 3
和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．
(2)注意等号成立的条件．
π aA＋bB＋cC π [例 6] 在△ABC 中，试证： ≤ ＜ . 3 2 a＋b＋c [证明] 不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C.
由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a ＋b＋c)． aA＋bB＋cC π 得 ≥ ，① 3 a＋b＋c
v2 w2 2 u2 ∴82＝(u2＋v2＋w2)2＝( · 3＋ · 4＋ · 5) 3 4 5
4 4 u4 v w ≤( ＋ ＋ )(9＋16＋25)， 9 16 25 4 4 u4 v w 64 32 ∴ ＋ ＋ ≥ ＝ . 9 16 25 50 25
v2 w2 u 6 8 当且仅当 ÷ 3＝ ÷ 4＝ ÷ 5，即 u＝ ，v＝ ， 3 4 5 5 5
a1 a2 an (1)柯西不等式取等号的条件实质上是： ＝ ＝„＝b .这里 b1 b2 n 某一个 bi 为零时，规定相应的 ai 为零． (2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组． (3)可以利用向量中的|α||β|≥|α· β|的几何意义来帮助理解柯 西不等式的几何意义．
最新人教版高中数学选修4-5《柯西不等式与排序不等式及其应用》本章概览
第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用本章概览内容提要1.柯西不等式(1)代数形式:(a 12+a 22)(b 12+b 22)≥(a 1b 1+a 2b 2)2,等号成立⇔a 1b 2=a 2b 1.(2)向量形式:|α||β|≥|α·β|,等号成立⇔α与β共线.(3)平面三角不等式:222211)()(b a b a -+-+222211)()(c b c b -+-2≥222211)()(c a c a -+-,等号成立⇔存在非负实数λ,u 使u (a 1-b 1)=λ(b 1-c 1),u (a 2-b 2) =λ(b 2-c 2).(4)一般形式:(a 12+a 22+…+a n 2)21(b 12+b 22+…+b n 2)21≥|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |,等号成立⇔2211b a b a ==…=nn b a . 2.排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数,c 1,c 2,…,c n 为b 1,b 2,…,b n 的任一排列,有a 1b n +a 2b n-1 +…+a n b 1≤a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n ≤a 1b 1+…+a n b n ,等号成立⇔a 1=a 2…=a n 或b 1=b 2=…=b n .3.平均值不等式:a 1,a 2,…,a n ∈R +,n n n a a a na a a ⋅⋅⋅≥+++......2121,等号成立⇔ a 1=a 2=…=a n .4.最值问题:把握好函数基本形式,再借用不等式,函数的性质求最值.学法指导根据本章的特点,学习时应加强数学思想方法的学习,加强对各类不等式性质的理解.理解柯西不等式,排序不等式,平均值不等式在具体问题中的作用.。
人教课标版高中数学选修4-5知识要点梳理：柯西不等式与排序不等式
1 /2 柯西不等式与排序不等式知识要点梳理1.经典不等式，就是指那些表示某些基本不等关系，而且经常被当作推理依据，用来推导其他不等关系的不等式，它们都是属于不等式范畴的重要数学结论.2.柯西不等式：（1）（二维形式的柯西不等式）若a b c d ，，，都是实数，则22222()()()a b c d ac bd +≥++，当且仅当ad bc =时，等号成立.（2）（柯西不等式的向量形式）设，αβ是两个向量，则||||||≤αβαβ，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使κα=β时，等号成立.（3）（二维形式的三角不等式）设1122x y x y R ∈，，，，那么≥（4）（一般形式的柯西不等式）设123123n n a a a a b b b b ，，，，，，，，是实数，则22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥++2，当且仅当0i b =(1)i n =，2，，或存在一个数k ，使得i i a kb =(1)i n =，2，，时，等号成立.3.均值不等式：对于n 个正数12n a a a ，，…，，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即12n n a a a n +++≥当且仅当12n a a a ===时，等号成立.4.排序不等式：设12n a a a ≤≤≤，12n b b b ≤≤≤为两组实数，12n c c c ，，，是12n b b b ，，，的任一排列，那么121111221122.n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤++2 / 2即“反序和≤乱序和≤顺序和”. 当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时，反序和等于顺序和.。
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
答案：2
2 9 1 6．函数 y＝x＋ (x∈(0， ))的最小值为________． 2 1－2x 2 9 22 32 解析：y＝x＋ ＝ ＋ 1－2x 2x 1－2x
22 32 ＝( ＋ )[2x＋(1－2x)] 2x 1－2x 2 3 ≥( × 2x＋ × 1－2x)2＝25. 2x 1－2x
9．设 a、b、c 为正数，且 a＋2b＋3c＝13，求 3a＋ 2b＋ c的最大值．
1 2 解：(a＋2b＋3c)[( 3) ＋1 ＋( ) ] 3
2 2
1 2 ≥( a· 3＋ 2b· 1＋ 3c· ) 3 ＝( 3a＋ 2b＋ c)2. 132 ∴( 3a＋ 2b＋ c)2≤ . 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c≤ . 3
二、填空题 a2 b2 4． a， 是给定的正数， 设 b 则 2 ＋ 2 的最小值为________． sin α cos α a2 b2 a2 解析： 2 ＋ 2 ＝(sin2α＋cos2α)( 2 ＋ sin α cos α sin α
b2 a b 2 ＋cosα· ) ＝(a＋b)2. 2 )≥(sinα· cos x sinα cosα
又由柯西不等式，有 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＜ 2n n＋1 n＋2 1 1 1 1 ＋1 ＋„＋1 n＋12＋n＋22＋„＋2n2 ＜
2 2 2
1 1 nn－2n＝
2 . 2
[例 2]
设 a，b，c，d 为不全相等的正数．
1 1 1 1 求 证 ： ＋ ＋ ＋ a＋b＋c b＋c＋d c＋d＋a d＋a＋b 16 > . 3a＋b＋c＋d [证明] 记 s＝a＋b＋c＋d，则原不等式等价于 s s s s 16 ＋ ＋ ＋ > . s－d s－a s－b s－c 3
柯西不等式与排序不等式
柯西不等式与排序不等式一、基本概念：（一）定理1：二维形式的柯西不等式若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立. 证明：（一）代数证明：2222222222222a c b c b d a d a c b d abcd ⇐+++≥++222220b c abcd a d ⇐-+≥2()0bc ad ⇐-≥当且仅当ad bc =时，等号成立.（二）向量证明：构造向量(,),(,)a b c d αβ== ，则有cos αβαβθ⋅=⋅αβαβ⋅≤⋅其坐标形式即为ac bd +≤ 当且仅当,αβ 共线或0β=时等号成立，即当且仅当ad bc =时，等号成立.推论1ac bd ≥+（来源于向量证明中）推论2ac bd +（将原式中,,,a b c d 都变为,,,a b c d ） 定理2：柯西不等式的向量形式设α,β是两个向量，则⋅≤αβαβ当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=kβ时，等号成立.证明：上述向量证明已经说明完毕 定理3：二维形式的三角不等式设1122,,,x y x y R ∈≥证明：22222112222221112122222221112122222121222()()()x y x y x y x x y y x y x y x x y y x y x x y y =+++≥+++++≥+-+++=-+-≥（二）一般形式的柯西不等式设123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 是实数，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在一个数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立. 简记作：平方和的乘积大于等于乘积和的平方分析：我们可以利用空间向量很容易证明出三维形式的柯西不等式2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++，但维数再高时就没有几何模型可以构造证明了，那么如何证明这一重要的不等式呢？证明：（一）构造二次函数：222()20i i i i i f x a x a b x b =++≥，222()()()2()0iii iiF x f x a x ab x b ==++≥∑∑∑∑（二）归纳法和平均值不等式：（1）当2n =时，有22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++即命题成立（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由于2222112211112211221111()()2()k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++=++++++++由平均值不等式，得222222221122111121122()()()k k k k k k k k a b a b a b a b a b b b b a a a +++++++≤+++++++由归纳假设得2222112211112211221111222222222221122112112112222222121211()()2()()()()()()(k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kkk a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a b a a a b b b a b +++++++++++++++=++++++++≤++++++++++++≤+++++++ 22222222221121122222222121121)()()()kk kk k k k k k b b b a a a a ba a a ab b b b +++++++++++++=++++++++由（1）（2）得原命题成立（三）构造单调数列：构造数列{}n S ，其中222222*********()()()n n n n n S ab a b a b a a a b b b =+++-++++++则22211111()()0S ab a b =-=22222221112211121121222222211221212[()()()][()()()]n n n n n n n n nnS S a b a b a b a a a b b b a b a b a b a a a b b b +++++-=+++-++++++-+++-++++++22222222222211221111121112112()()()n n n n n n n n n n n n ab a b a b a b a b a a a b a b b b a b ++++++++=++++-+++-+++-2221111212111[()()()]0n n n n n n n n a b ba a b b a a b b a ++++++=--+-++-≤即1n n S S +≤，所以{}n S 单调减少，从而对一切1n ≥，有10n S S ≤=，故命题成立.（四）归纳法证明更强的结论：1ni ii a b=≤∑ （1）当2n =时，22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由归纳假设11111kk i i k k i ii i a b a b a b +++===≥≥+=∑∑由（1）（2）得原命题成立（三）柯西不等式的变形形式变形1：已知123,,,,n a a a a 都是实数，求证：222212121()()n n a a a a a a n+++≤+++说明：此变形为1(1,2,,)i b i n == 的特殊形式，经过整理，在都为正数的条件下可变为均值不等式12n a a a n +++≤变形2：已知123,,,,n a a a a 都是实数，0(1,2,,)i b i n >= 则：222212121212()n n n na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++变形3：已知123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 同号且不为0，则：21212121122()n n n n na a a a a ab b b a b a b a b ++++++≥+++上述各种形式如果灵活运用会给解决问题带来便利.（四）排序不等式设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 为两组实数，12,,,n c c c 是123,,,,n b b b b 的任一排列，则121111221122n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++ ，当且仅当123n a a a a ==== 或123n b b b b ==== 时，反序和等于顺序和简记作：反序和≤乱序和≤顺序和证明：设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 为两组实数，12,,,n c c c 是12,,,n b b b 的任一排列，因为12,,,n b b b 得全排列有!n 个，所以1122n n S a c a c a c =+++ （1）的不同值也只有有限个（个数!n ≤），其中必有最大值和最小值，考虑（1）式，若11c b ≠，则有某11(1),k k c b k c c =>> ，将（1）中1,k c c 对换，得11k k n n S a c a c a c '=+++ （2）111111()()0k k k k k k S S a c a c a c a c a a c c '-=+--=--≥这说明将（1）中的第一项调换为11a b 后，和式不减小.若11,c b =则转而考察2c ，并进行类似讨论.类似的，可以证明，将（1）中的第一项换为11a b ，第二项换为22a b 后，和式不减小，如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是{}i c 由小到大排序的情况，最大和数是顺序和，即顺序和≥乱序和 同样可证，最小和数是反序和，即乱序和≥逆序和二、习题精练：【柯西不等式应用】 （一）求最值例1：设,0a b >，求证：11()()4a b a b++≥．例2：设,,0a b c >，求证：9)111)((≥++++c b a c b a 例3：设,,0a b c >，求证：29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a 例4：21x y +=，求22x y +的最小值________15例5：22236x y +≤，求2x y +的最大值 1. 1,a b +=22a b +的最小值为_________122.,a b R +∈，111,a b a b+=+最小值为_________4 3. 1111,,,,a b c a b c R a b c+++=∈++最小值为__________94.已知0,0x y >>且21x y +=，则11u x y=+的最小值为___________3+5.已知,,,1,a b c R a b c +∈++=则149x y z++的最小值为_______366.,,,a b c R a b c +∈++=_________7. ,a b R +∈，a b +=8. 求函数y =的最大值__________________5解：22222(34)25≤++=9. 若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是10. 若,,a b c R +∈，且2313a b c ++=的最大值是11. 若实数,,,m n x y 满足2222,(),m n a x y b a b +=+=≠则mx ny +的最大值是12.若2222(0,),0,()2cos sin a b a b f πθθθθ∈>>=+的最小值为_________2()a b + 13.设*11,,na b c n N a b b c a c>>∈+≥---且恒成立，则n 的最大值是_________4 14. （06陕西）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （C ）（Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）215.（08浙江5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则 ( C ) （A ）12ab ≤（B ）12ab ≥ （C ）222a b +≥ （D ）223a b +≤ 16．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是（ B ）A ．111<+ba B ．111≥+ba C ．211<+ba D ．211≥+ba 17.设实数,,,,abcde 满足8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，求e 的最大值解：8a b c d e +++=-，2222216a b c d e +++=-，根据柯西不等式有22(8)4(16)e e -≤-，解得1605e ≤≤，当65a b c d ====时，e 有最大值165e = （二）证明例：,,a b c R +∈求证：222a b c a b c b c a++≥++ 1. 已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥2.已知12,,,n x x x R +∈ ，且121n x x x +++= ，求证：222121211111n n x x x x x x n +++≥---- 3.,,a b c 为三角形三边，求证：1119a cb bc a a c b a b c++≥+-+-+-++4. 已知，,,a b c R +∈，236,a b c ++=求证：222236a b c ++≥5.设,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 6. 若,a b R +∈，求证：2211()()422a b b a+++≥ 7. ,,a b c R +∈且1a b c ++=，求证：222111100()()()3a b c a b c +++++≥证明：222222222222211111111111()()()(111)(()()())()33111111111100(1())(1()())(19)3333a b c a b c a b c a b c a b c a b ca b c a b c a b c +++++=+++++++≥+++++=+++=+++++≥+=8.i a R +∈且11ni i a ==∑，求证：22211(1)()ni i i n a a n =++≥∑证明：同上9.在ABC ∆中，设其各边长为,,a b c ，外接圆半径为 R ， 求证:2222222111()()36sin sin sin a b c R A B B++++≥ 10.设12,,,n x x x为任意实数，求证：1222222211212111n nx x x x x x x x x +++<+++++++ 证明：由柯西不等式得222212122222222222221121211212()[()()()]111111n n n nx x x x x x n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅++++++++++++++ 对2k ≥，有2222222222222222121212121()1(1)(1)(1)k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x -=≤++++++++++++++++ 222222121121111k kx x x x x x -=-++++++++ 对1k =，有22211122222111111()11(1)(1)1(1)1x x x x x x x x =≤=-+++++，故有 2221222222222222222221121211121211211111[()()()]111111111n n k kx x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++≤-+-++-+++++++++++++++++++ 222121111kx x x =-<++++则有222212122222222222221121211212()[()()()]111111n n n nx x x x x x n n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅<++++++++++++++ 原命题得证【排序不等式应用】例1：已知,,a b c 为正数，求证：222a b c ab bc ac ++≥++例2：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++（利用同向可加性） 1.（08江西）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（A ） A ．1122a b a b + B ．1212a a bb + C ．1221a b a b + D ．122.b a ab ba Rb a +≥+∈+，求证：已知,3．,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++ 证明：由对称性不妨设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，111b c c a a b≤≤+++，则 222a b c b c c a a b +++++为顺序和，则有222222a b c b c a b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同理222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同向相加，有2222222222()a b c b c a c b a b c c a a b b c c a a b+++++≥++++++++ 因为2222()()b c b c +≥+，所以222b c b c b c ++≥+，同理222a c a c c a ++≥+，222b a a ba b ++≥+ 原式得证4.设123,,,,,k a a a a 为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，均有2111nnk k k a k k==≥∑∑（IMO20-5）证明：设123,,,,n b b b b 是123,,,,n a a a a 的从小到大的有序排列，即123n b b b b ≤≤≤≤ 因为i b 是互不相同的正整数，则1231,2,3,,nb b b b n ≥≥≥≥ ，又因为222111123n>>>> ，所以由排序不等式可得 32122223n a a a a n ++++ （乱序）32122223n b b b b n ≥++++ （倒序）111123n≥++++ 原命题成立，此题即为课后练习题5.设123,,,,n a a a a 为正数，求证：2222231121232341n n n n a a a a a a a a a a a a a a -+++++≥++++（可用排序和柯西两种不等式证明）6.在ABC ∆中，求证：32aA bB cC a b c ππ++≤<++证明：不妨设a b c ≤≤，于是A B C ≤≤由排序不等式得aA bB cC aA bB cC ++=++，aA bB cC bA cB aC ++≥++，aA bB cC cA aB bC ++≥++同向相加可得3()()()()aA bB cC a b c A B C a b c π++≥++++=++，从而3aA bB cCa b cπ++≤++又由0,0,0b c a a b c a c b <+-<+-<+-，有0()()()A b c a Ca b c Ba c b <+-++-++-()()()()2()a B C A b A C B c A B C a b c aA bB cC π=+-++-++-=++-++从而2aA bB cC a b c π++<++由此原命题得证。
柯西不等式与排序不等式
柯西不等式与排序不等式知识要点：1、柯西不等式(1)柯西不等式：设a 1，a 2，…a n 和b 1，b 2…b n 是两组实数，则(a 1b 1+…+a n b n )2≤ (a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)等号成立当且仅当存在实数k ，使得对所有的1,2,i n = 有i i a kb =或对所有的1,2,i n = 有i i b ka =.(2)柯西不等式的向量形式：||||||m n m n ≤⋅,其中等号成立当且仅当//m n .(3)柯西不等式的几个推论：①1122||n n a b a b a b +++≤特殊地有：≤1212x x y y +≤②若b k >0(k=1,2,…,n),则2221111()n n n na a a ab b b b ++++≥++ . 特殊地有：若y 1,y 2都是正数，则22212121212()x x x x y y y y ++≥+，等号成立当且仅当1212x x y y =.③|≤ (a 1+a 2+…+a n )(b 1+b 2+…+b n )④12n x x x n +++≤特殊地：2a b +≤证明：1122a b a b +⋅+⋅=≤≤⑤a 2+b 2+c 2 ≥ ab+bc+ca , (a +b+c)2 ≥3(ab+bc+ca ),证明：ab+bc+ca222a b c =++(a +b+c)2 = a 2+b 2+c + ab+bc+ca ≥ 3(ab+bc+ca ), 2、排序不等式(1)对于两个有序数组1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 及则112211221211n n i i n in n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++≥+++≥+++ （同序）（乱序）（反序） 其中12,,,n i i i 是1，2， n 的任意一个排列，当且仅当12n a a a === 或12nb b b === 时式中等号成立.(2) 设120n a a a <≤≤≤ ,12,n b b b <≤≤≤ 0而12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列,则112121121212i i i nn n n bb b b b b b b b nn n a a a a a a a a a -≥≥当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时式中等号成立.(3)设有n 组非负数,每组n 个数,它们满足: 120k k kn a a a ≤≤≤≤ (1,2,,)k m = ,那么,从每一组中各取出一个数作积,再从剩下的每一组中各取一个作积,直到n 次取完为止,然后将这些“积”相加，则所得的诸和中，以112111222212m m n n mn I a a a a a a a a a =+++ 为最大.(4) 切比雪不等式：对于两个有序数组1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 及,则112212121211n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n-++++++++++++≥⋅≥证明：由排序不等式有：a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n = a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥ a 1b 2+a 2b 3+…+a n b 1 a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥ a 1b 3+a 2b 4+…+a n b 2 ………………………………………… a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥ a 1b n +a 2b 1+…+a n b n -1 将以上式子相加得：n (a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ) ≥ a 1(b 1+b 2+…+b n )+ a 2(b 1+b 2+…+b n )+…+ a n (b 1+b 2+…+b n )∴11221212n n n na b a b a b a a a b b b n n n+++++++++≥⋅同理可证：12121211n n n n n a a a b b b a b a b a b n n n-+++++++++⋅≥问题举例：柯西不等式1、利用柯西不等式 证明(1) 若a 、b 、c 、d ∈R + , 则(ab+cd ) (ac+bd )≥4abcd ;(2) 若a 、b 、c ∈R +，则(b c a a b c ++)()9a b cb c a++≥(3) 若a 、b 、c ∈R+，且ab+bc+ca =1,则a b c ++≥(4) 12,)n n N >≥∈ 证明(1)∵(ab+cd )(ac+bd )222()4bc a d bc abcd ≥=+≥==a=d 即b=c ,a=d 时成立. (2)=(1+1+1)2=9当且仅当a=b=c 时，等式成立. (3)注意到(a 2+b 2+c 2)2=(a 2+b 2+c 2)·(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca )2=1 , ∵(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca )≥1+2=3 ,又由a+b+c ＞0,故a+b+c ≥当且仅当a b c ===时，等式成立. (4)注意到2、 求函数2221()sin cos f x x x =+, 02(,)x π∈最小值. 方法一：（应用均值不等式求解）222222222123x x f x x x x x xcos sin ()()(sin cos )sin cos sin cos =++=++≥ 3+ （以下略）方法一：（应用柯西不等式求解）2221()sin cos f x x x =+221x cos ≥222(13sin cos x x+=++3、已知点P(x, y)在椭圆22123x y +=上运动，求2x +3y 的取值范围. 方法一：（应用三角代换求解）由已知可设,x y αα∴2x+3y =)αααφ++∈[方法二：（应用柯西不等式求解）|2x+3y| =|+|≤=∴2x+3y ∈[4、 已知a +b+c = 1, 求131313+++++c b a 的最大值.方法一（应用均值不等式求解）131313+++++c b a≤= 等号成立当且仅当3a +1=3b +1=3c +1=2,即a=b=c =13方法二（应用柯西不等式求解）131313+++++c b a ≤=5、若a ,b,c,x,y,z 都是实数，且a 2+b 2+c 2=25, x 2+y 2+z 2=36,a x+by+cz=30,求a b cx y z++++的值.解 (a x+by+cz)2≤( a 2+b 2+c 2)( x 2+y 2+z 2) 由已知此不等式等号成立，不妨设a ≠0,则存在实数k ，使得x=k a ,y=kb,z=kc,代入ax +by +cz =30得 k(a 2+b 2+c 2)=30⇔k =65∴a b c x y z ++++=156k =【注】本题主要学习柯西不等式等号成立条件。
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
1 [( s－d ) ＋ ( s－a ) ＋ ( s－b ) ＋ ( s－c ) ]· [ 2＋ s－d 1 1 1 2＋ 2＋ 2] s－a s－b s－c
答案：4
三、解答题
8．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2 ＋c2＋d2＋e2＝16，求e的取值范围．
解 ： ∵ 4(a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋d2)＝ (1＋ 1＋ 1＋ 1)(a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋ d2)≥(a＋b＋c＋d)2， 即 4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2， 即 5e2－16e≤0， 16 ∴e(5e－16)≤0，故 0≤e≤ . 5
利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是
一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等
式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意
取等号的条件能否满足．
[例 3]
u4 Байду номын сангаас知正实数 u，v，w 满足 u2＋v2＋w2＝8，求 9
v4 w4 ＋ ＋ 的最小值． 16 25 [解] ∵u2＋v2＋w2＝8.
a1 a2 an (1)柯西不等式取等号的条件实质上是： ＝ ＝„＝b .这里 b1 b2 n 某一个 bi 为零时，规定相应的 ai 为零． (2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组． (3)可以利用向量中的|α||β|≥|α· β|的几何意义来帮助理解柯 西不等式的几何意义．
[例 1]
a 2b 3c 当且仅当 ＝ ＝ 时取等号． 1 1 3 3 3 1 又 a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝ ，c＝ . 2 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c有最大值 . 3
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
答案：25
7．已知a，b，x，y＞0，且 ab＝4，x＋y＝1，则(ax＋
by)· (bx＋ay)的最小值为________．
解 析 ： [( ax )2 ＋ ( by )2]· bx )2 ＋ ( ay )2]≥( ax · bx ＋ [( by· ay)2＝( ab· x＋ ab· 2＝ab(x＋y)2＝ab＋ (x∈(0， ))的最小值为________． 2 1－2x 2 9 22 32 解析：y＝x＋ ＝ ＋ 1－2x 2x 1－2x
22 32 ＝( ＋ )[2x＋(1－2x)] 2x 1－2x 2 3 ≥( × 2x＋ × 1－2x)2＝25. 2x 1－2x
a 2b 3c 当且仅当 ＝ ＝ 时取等号． 1 1 3 3 3 1 又 a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝ ，c＝ . 2 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c有最大值 . 3
10．(创新预测)求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋
(2x＋y－6)2达到最小值．
解：由柯西不等式，得 (12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1× (y－1) ＋2× (3－x－y)＋1× (2x＋y－6)]2＝1， 1 即(y－1) ＋(x＋y－3) ＋(2x＋y－6) ≥ ， 6 y－1 3－x－y 2x＋y－6 当且仅当 ＝ ＝ ，即 1 2 1 5 5 x＝ ，y＝ 时，上式取等号． 2 6 5 5 故所求 x＝ ，y＝ . 2 6
v2 w2 2 u2 ∴82＝(u2＋v2＋w2)2＝( · 3＋ · 4＋ · 5) 3 4 5
4 4 u4 v w ≤( ＋ ＋ )(9＋16＋25)， 9 16 25 4 4 u4 v w 64 32 ∴ ＋ ＋ ≥ ＝ . 9 16 25 50 25
第三讲柯西不等式与排序不等式介绍
第一课时二维形式的柯西不等式（一）教课要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式 .教课重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教课难点：理解几何意义.教课过程：一、复习准备：1.发问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：a bab(a0,b0) 及几种变式. 22. 练习：已知 a、 b、 c、 d 为实数，求证(a2b2 )(c2 d 2 ) ( ac bd ) 2证法：（比较法） ( a2b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2= .= (ad bc)20二、讲解新课：1.教课柯西不等式：①提出定理 1：若 a、 b、c、 d 为实数，则(a2b2 )(c2d2 )(ac bd )2.→ 即二维形式的柯西不等式→ 什么时候取等号？② 议论：二维形式的柯西不等式的其余证明方法？证法二：（综合法） (a2b2 )(c2 d 2 ) a2 c2a2 d 2b2c 2b2 d2( ac bd) 2( ad bc) 2( ac bd) 2.（重点：睁开→配方）证法三：（向量法）设向量（ a,b）,(c, d) ，与之间的夹角为， 0。
依据向量内积的定义，我们有：cos ，因此cos ，cos1，因此，由于因此 a2b2c2 d 2| ac | | bd |证法四：（函数法）设 f ( x)(a2b2 ) x22(ac bd )x c2 d 2，则f ( x)( ax c)2(bx d )2≥0恒建立.∴[ 2(ac bd)] 24(a2b2 )(c 2d2 ) ≤0，即 (a2b2 )(c2 d 2 )( ac bd ) 2③ 议论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式：a2b2c2 d 2| ac bd | 或a2b2c2 d 2| ac | | bd |或 a2b2c2 d 2ac bd .④ 提出定理2：设,是两个向量，则 || |||| .即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→ 议论：什么时候等号建立？（是零向量，或许,共线）⑤练习：已知 a、 b、 c、 d 为实数，求证a2b2c2d2(a c) 2(b d ) 2.证法：（剖析法）平方→ 应用柯西不等式→ 议论：其几何意义？（结构三角形）2. 教课三角不等式：①出示定理 3：设x1, y1,x2, y2R，则x12y12x22y22( x1x2 )2( y1 y2 ) 2.剖析其几何意义→ 如何利用柯西不等式证明→变式：若 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3R ，则联合以上几何意义，可获得如何的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、稳固练习：1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式第二课时二维形式的柯西不等式（二）教课要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，领会运用经典不等式的一般方法——发现详细问题与经典不等式之间的关系，经过适合变形，依照经典不等式获得不等关系.教课重点：利用二维柯西不等式解决问题.教课难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教课过程：一、复习准备：1. 发问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案： (a2b2 )(c2 d 2 ) ( ac bd) 2； x12y12x22y22( x1 x2 ) 2( y1 y2 )22.议论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3.如何利用二维柯西不等式求函数yx 12 x 的最大值?重点：利用变式| ac bd |a2b2c2 d 2.二、讲解新课：1.教课最大（小）值：①出示例 1：求函数y3x 1102x 的最大值？剖析：如何变形？→ 结构柯西不等式的形式→ 板演→变式： y3x1102 x→推行： y a bx c d e fx,( a,b,c,d ,e, f R )②练习：已知 3x 2 y1，求 x2y2的最小值.解答重点：（凑配法） x2y21( x2y2 )(3222 )1(3x2y)21.131313议论：其余方法（数形联合法）2.教课不等式的证明：① 出示例2：若x, y R ， x y 2 ，求证：11 2 .x y剖析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对照→ 结构）重点：111( x y)(11 )1[(x ) 2(y )2 ][(1)2(1)2]x y2x y2x y 议论：其余证法（利用基本不等式）②练习：已知 a 、 b R ，求证： (a b)( 11)4.a b3. 练习：①已知 x, y, a,ba b1 ，则xy的最小值 . R ，且yx重点： x y( a b)(x y).→ 其余证法x y②若 x, y, z R ，且 x y z 1 ，求 x2y2z2的最小值.（重点：利用三维柯西不等式）变式：若 x, y, z R ，且 x y z 1 ，求 x yz 的最大值.4. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、结构等技巧.第三课时一般形式的柯西不等式教课要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教课重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.教课难点：理解证明中的函数思想.教课过程：一、复习准备：1.练习：2.发问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案： (a2b2 )(c2 d 2 ) ( ac bd) 2； (a2b2c2 )(d 2e2 f 2 ) (ad be cf ) 2二、讲解新课：1.教课一般形式的柯西不等式：①发问：由平面向量的柯西不等式|| | ||| ，假如获得空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想： n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设 a1 , a2 ,, a n ,b1 ,b2 ,,b n R ，则( a12a22a n2 )(b12b22b n 2 )( a1b1a2 b2a n b n )2议论：什么时候取等号？（当且仅当a1a2a n时取等号，假定b i0 ）b1b2b n联想：设 B a1b1a2 b2a n b n，A a12a22a n2，C b12 b22b n2，则有 B2AC 0，可联想到一些什么？③ 议论：如何结构二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类）重点：令（f x）（ a12a22a n2 ) x22(a1b1a2 b2a n b n )x( b12b22b n2 )，则f ( x) (a1 x b1 )2(a2 x b2 ) 2+（ a n x b n ) 20 .又 a12a22a n20 ，进而联合二次函数的图像可知，2(a1 b1a2 b2a n b n )24(a12a22a n 2 )(b12b22b n2) ≤0即有要证明的结论建立. （注意：剖析什么时候等号建立.）2221( a1 a22.（议论如何证明）④ 变式：a1a2a n a n )n2.教课柯西不等式的应用：①出示例 1：已知3x 2 y z 1 ，求 x2y2z2的最小值.剖析：如何变形后结构柯西不等式？→ 板演→ 变式：②练习：若 x, y, z R，且1111，求 x y z的最小值 .x y z232 a >b> c，求证：11.③ 出示例：若b a 4a b c c重点： (a c)(11)[( a b)( b c)](11) (1 1)24a b b c a b b c3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号建立的条件；依据结构特色结构证明.第四课时 3.3 排序不等式教课要求：认识排序不等式的基本形式，会运用排序不等式剖析解决一些简单问题，领会运用经典不等式的一般方法 .教课重点：应用排序不等式证明不等式.教课难点：排序不等式的证明思路.教课过程：一、复习准备：1.发问：前方所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2.举例：谈谈两类经典不等式的应用实例.二、讲解新课：1.教课排序不等式：（ 1）引入：若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min ，25 min 和 30 min ，每台电脑耽搁 1 min ，网吧就会损失0.05 元。
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
9．设 a、b、c 为正数，且 a＋2b＋3c＝13，求 3a＋ 2b＋ c的最大值．
1 2 解：(a＋2b＋3c)[( 3) ＋1 ＋( ) ] 3
2 2
1 2 ≥( a· 3＋ 2b· 1＋ 3c· ) 3 ＝( 3a＋ 2b＋ c)2. 132 ∴( 3a＋ 2b＋ c)2≤ . 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c≤ . 3
2 2 2 2
≥(1＋1＋1＋1)2. 1 1 1 1 即[4s－(a＋b＋c＋d)]· ( ＋ ＋ ＋ )≥16， s－d s－a s－b s－c s s s s 16 于是 ＋ ＋ ＋ ≥ ， s－d s－a s－b s－c 3 等号成立⇔s－d＝s－a＝s－b＝s－c⇔a＝b＝c＝d. 因题设 a，b，c，d 不全相等，故取不到等号， 1 1 1 1 16 即 ＋ ＋ ＋ > . a＋b＋c b＋c＋d c＋d＋a d＋a＋b 3a＋b＋c＋d
不妨设 1＞a1≥a2≥„≥an＞0， 则 0＜2－a1≤2－a2≤„≤2－an， 1 1 1 且 ≥ ≥„≥ ＞0， 2－a1 2－a2 2－an
1 1 1 1 ∴S≥n(a1＋a2＋„＋an)2－a ＋2－a ＋„＋2－a 1 2 n
1 1 1 ＝n2－a ＋„＋2－a . 1 n 又由算术平均值不等式，得
利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是
一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等
式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意
取等号的条件能否满足．
[例 3]
u4 已知正实数 u，v，w 满足 u2＋v2＋w2＝8，求 9
v4 w4 ＋ ＋ 的最小值． 16 25 [解] ∵u2＋v2＋w2＝8.
排序、均值、柯西不等式
设
且
，求
最小值.
相关题 1.(2003年西部奥林匹克题)设
且
,求证:
.
8
9 /9
.
相关题 2.(《中学生数学》2006年增刊--帮你参加全国数学联赛第 7套模拟题)已知
且
，证明
.
为正实数，
注意到
，为此只需证明 ，令
，则问题转化为：
已知
为正实数，且
，证明
.
，令
，则
， .
9
为正实数，且
，证明
.
证法 1原不等式等价于 由柯西不等式，可得
.
证法 2 .
由பைடு நூலகம்西不等式，可得
为此只需证明 证法 3令
, ,
, 等价于
,
.显然. ,
.
3
例 5.设
,
为
证明 记 则
三式相加得
,同理 , ,
故
.
而由柯西不等式得,
4 /4
的三个内角,求证: .
,
, ,
.
即
.
例 6．（《中等数学》2003.4）已知
1 /1
排序、均值、柯西不等式及其应用
排序不等式、均值不等式、柯西不等式是不等式证明的基本工具，三者各有所长，这里我们先简单回
顾一下三个不等式，然后结合具体题目谈谈它们在不等式证明中的应用。
①排序不等式：
(i)对于两个有序数组
则
其中
与
是 1， 2， n的 任 意 两 个 排 列 ， 当 且 仅 当
或
.
证明 ∵
,故原不等式等价于
,此式左边为顺序和,右边为乱序和,由排序
不等式知其成立. 例 2(美国第 3届中学生数学竞赛题)设
竞赛专题第二讲 均值柯西排序不等式
第二讲 均值、柯西、排序不等式一、知识精讲1.两个重要的不等式（二元均值不等式）：①),(222R b a ab b a ∈≥+，当且仅当b a =时等号成立。
②),(2*R b a ab ba ∈≥+，当且仅当b a =时等号成立。
2.最值定理：若P xy S y x R y x ==+∈+,,,，则：①如果P 是定值, 那么当y x =时，S 的值最小； ②如果S 是定值, 那么当y x =时，P 的值最大。
注意： ①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；②“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； ③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
1.均值不等式：设123,,,n a a a a 是n 个正实数，记n Q =，12nn a a a A n+++=，n G =12111n nn H a a a =+++，则n n n n Q A G H ≥≥≥，其中等号成立的条件是12n a a a ===。
,,,n n n n Q A G H 分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。
2.柯西不等式：柯西不等式的二维形式：若d c b a ,,,都是实数，则2222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时，等号成立。
柯西不等式的一般形式：设n a a a a ,...,,,321，n b b b b ,...,,,321是实数，则222112222122221)...()...).(...(n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++，当且仅当0=i b),...,2,1(n i =或存在一个数k ，使得i i kb a =),...,2,1(n i =时，等号成立。
3.柯西不等式的几个推论： （1）当121n b b b ===时，柯西不等式即为2221212()()n n n a a a a a a ++≥++，若i a R +∈（1,2,i n =），则12na a a n+++，此即上面提到的平方平均≥算术平均。
均值不等式及柯西不等式
武汉龙文教育学科指导讲义授课对象孙嘉钰授课教师杨鹏授课时间5-5 授课题目不等式（二）课型复习使用教具讲义、白纸授课目的灵便的运用均值不等式和柯西不等式求最值授课重点和难点重点和难点在于如何用有效的方法去解决最值问题参照教材网资授课流程及授课详案一、柯西不等式和均值不等式时间分配及备注1、柯西不等式：二维形式的柯西不等式：( a2b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a,b, c, d R). 当且仅当ad bc 时，等号成立. 三维形式的柯西不等式：(a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 ) 2 .一般形式的柯西不等式：(a1 2 a2 2 ... a n 2 )(b1 2b2 2 ... b n 2 ) (a1b1 a2 b2 ... a n b n )2 .2、均值不等式及使用条件：均值不等式，若 a1 ,a2 , a n R ，则a1 a2 a nn a1 a2 a n( n N ) n（1）a1 ,a2 , a n是正数；（ 2）和（a1 a2 a n）或（ a1 ? a2 ? ?a n）为定值；（ 3）当且仅当a1 a2 a n时，取等号。
在运用均值不等式解题时，必定满足“一正、二定、三相等”的条件。
但有的题目不能够直接利用均值不等式，因此要作一些技巧性转变、变形，才能求得正确的最值。
二例题：1、柯西不等式向量求最值1 、设x, y, z R , x2 y 2 z2 25 ，试求 x 2 y 2z 的最大值与最小值。
答：依照柯西不等式(1 x 2 y 2 z)2 [12 ( 2)2 22 ]( x 2 y 2 z2 )即 ( x 2 y 2z) 2 9 25而有15 x 2 y 2 z 15故 x 2 y 2z 的最大值为15，最小值为– 15。
2、设 x, y, z R , 2x y 2z 6 ，试求 x2 y 2 z2之最小值。
高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式高效整合课件
∴a12＋b12＋c12＋d12≥a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
①
1111 等号成立⇔a1＝b1＝1c＝d1⇔ba＝bc＝dc＝ad⇔a＝b＝c＝d.
bcda
又已知 a，b，c，d 不全相等，则①中等号不成立．
即a12＋b12＋c12＋d12＞a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
利用柯西不等式求最值
柯西不等式、排序不等式的实际应用
数学知识服务于生活实践始终是数学教学的中心问题，利 用柯西不等式、排序不等式解决有关的实际问题，关键是从实 际情境中构造两类不等式的模型．
等腰直角三角形AOB的直角边长为1.如图，在此 三角形中任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积 和的最小值，以及达到最小值时P的位置．
≥x＋2y＋z. 证明： ∵x，y，z 是正实数，令
a＝
yx＋z，
xy＋z，
xz＋y，b＝
y＋z，a|2·|b|2
∴
x y＋z·
y＋z＋
y x＋z·
x＋z＋
z x＋y·
x＋y
2≤y＋x2 z＋x＋y2 z＋x＋z2 y·[(y＋z)＋(x＋z)＋(x＋y)] 即：(x＋y＋z)2≤2y＋x2 z＋x＋y2 z＋x＋z2 y(x＋y＋z) ∵x，y，z 是正实数， ∴x＋y＋z>0 ∴y＋x2 z＋x＋y2 z＋x＋z2 y≥x＋2y＋z.
利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种 常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯 西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的 条件能否满足．
求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y －6)2达到最小值．
18学年高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.3平均值不等式(选学)2.4最大值与最小值问
解析：
1 1 2 2 x ＋ 2 2＋4y y x
1 ＝ 1 ＋ 4 ＋ 4x y ＋ 2 2 ≥1 ＋ 4 ＋ xy
2 2
1 1 2 2 2· 4x y ·2 2＝9，当且仅当 4x y ＝ 2 2时等号成立，即|xy| xy xy
2 2
2 ＝ 时等号成立． 2
利用基本不等式求最值
[例 1]
1 9 已知 x＞0，y＞0，且x＋ y＝1，
求 x＋y 的最小值．
[思路点拨 ]
本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵
活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形， 然后再利用基本不 等式求得和的最小值．
[精解详析] 1 9 法一：∵x＞0，y＞0，x＋y ＝1，
1 9 y 9x ∴x＋y＝(x＋ y)(x＋y)＝x＋ y ＋10 ≥6＋10＝16. y 9x 1 9 当且仅当x＝ y ，又x＋ y＝1， 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号． 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
[小问题· 大思维]
a＋b 1．利用基本不等式 ≥ ab求最值的条件是什么？ 2
提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正； (2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．
2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意 什么？
提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有 最小值．当且仅当三个正数相等时取得.
[ 思路点拨 ]
本题考查三个正数的算术 —几何平均不等式
在求最值中的应用． 解答本题要根据需要拼凑出利用其算术—几 何平均不等式的条件，然后再求解．
[精解详析] ∵y＝x(1－x2)， 1 ∴y ＝x (1－x ) ＝2x (1－x )(1－x )·. 2
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ak )(bn btn ) 0(tn n, k n, k N ) ，
互换位置，和将变大，如此不
ak btn ak bn anbtn ，从而我们可以将对应的数 bn , btn
【例11】 试利用排序不等式证明切比雪夫不等式： 设 a1
a2 an ,b1 b2 bn 为两组实数，则
n n 1 n ai bi ai bi ai bn i n i 1 i 1 i 1 i 1 n
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x 27 13 x x 的最大值和最小值．
【例3】 已知 n N ,且 n 2 ,求证:
4 1 1 1 1 7 2 3 4 1 1 2. 2n-1 2n 2
【例4】 （*2007 国家集训队）设正实数 ai , i
1, 2,
, n ，满足 a1 a2 an 1 ，求证：
n
an 及 b1 b2
bn , 则
n n 1 n aibn1i （反序和） ( ai )( bi ) aibi （同序和） n i 1 i 1 i 1 i 1
例题精讲
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3
【例5】 设 a1 , a2 ,, an 为正数，证明
2 a2 a2 a12 a 2 n1 n a1 a 2 a n a 2 a3 an a1
【例6】 设 a, b, c 是正数，求证：
a 3 b3 c 3 abc bc ca ab
【例7】 已知 a , b,c R
2 2
2
，求证：
（1）
a b c 1 ( a b c) bc ca ab 2
在 ABC 中，求证
a 2 (b c a) b 2 (c a b) c 2 (a b c) 3abc
6．
设集合 {a1 , a2 ,
, an } {1, 2,..., n} ，求证：
k 1 n ak 1 k 2 k k 2 ak
n
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联赛中的不等式问题所涉及到的重要不等式除了均值与柯西之外，就要数排序不等式了 .我们在本讲 介绍这个不等式.虽然竞赛中涉及到的不等式还有很多， 例如琴生不等式、 幂平均不等式、 赫尔德不等式、 伯努利不等式…但是联赛阶段我们重点研究前三个重要不等式，其它的同学们可以自行通过相关教程学 习. 本讲中还将介绍与排序不等式密切相关的切比雪夫不等式，它在联赛中出现的相对较少. 首先介绍排序不等式： 设 a1
5
【例12】 求最大的常数 k ，使对 x, y, z R
，有
x y z k x y z yz x z yx
【例13】 设 xi
0, i 1,2,..., n ,求证：
xn x1 x2 n ... x2 x3 ... xn x3 x4 ... xn x1 x1 x2 ... xn1 n 1
a2 an ,b1 b2 bn 为两组实数， c1 , c2 ,, cn 是 b1 , b2 bn 的任一排列，构造如
B：
下三个矩阵： A：
a1 a 2 a n b b b 2 n 1
a1 a 2 a n c c c n 1 2
第十讲 均值、柯西、排序不等式（2）
板块二：柯西不等式
【例1】 设 1
n
a , a2 , an (n 1) 是实数，且 A ai 2
i 1
1 n ( ai )2 n 1 k 1
试证： A 2ai a j (1 i
j n)
【例2】 （2009 全国高中数学联赛 讲·学生版
(a1a2 a2 a3 an a1 )(
a a1 a n 2 2 2 n ) n 1 a a 2 a3 a3 a1 a1
2 2
大显身手
1． 已知正实数 a, b, c 满足 ab bc ca 1 ,证明:
大显身手
3． 已知 a, b, c R , a b c 1 ，求证： a 2 b 2 c 2
1 3
4．
已知 a, b, c R ，求证： ab(a b) bc(b c) ca(c a) 6abc
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6
5．
1 a2 1
2 b2 1
3 c2 1
3 14 . 2
2．
设 a, b, c, d R ,证明:
a b c d 2 . b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c 3
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2
板块三：排序不等式
C：
a1 a 2 a n b n bn 1 b1
我们称 A 为顺序矩阵，B 为乱序矩阵，C 为反序矩阵 它们的列积和（同列相乘再相加） ：
a1b1 a2b2 an bn a1c1 a2 c2 a n cn a1bn a2b n1 an b1
c2 a2 a2 b2 b2 c2 0 （W。Janous 猜想） （2） ab bc ca
【例8】 （79 年 IMO）设 ai
N , i 1, 2,
n ak 1 , n ,且互不相同，则 2 k 1 k k 1 k
n
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4
【例9】 试用排序不等式证明均值不等式： a a2 an 设 a1 , a2 , , an 是非负实数，则 1 n
n
a1a2
an ，即 An
Gn .
【例10】 （36 届 IMO） a, b, c 是正实数，且 abc 1 ，证明：
1 1 1 3 a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2
7
断地进行下去，最后乱序将变为顺序，和同时达到最大，这就证明了左边；同理还可以证明右边. 应用排序不等式解题的关键在于构造出它所需要的两组数，构造的过程因题而异. 本讲的问题有不少也可用其它方法来证明，但本讲中为达到练习目的，要求尽量用排序来证明. （*）契比雪夫不等式 设有两个有序实数组 a1 a2