强度理论-弹塑性断裂力学[精]

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1. 裂纹尖端的小范围屈服
a. 裂尖屈服区
无限大板中裂纹尖端附近任一点(r,)处的正应力
x、y和剪应力xy的线弹性解为：
x= 2arcos2[1- sin2sin32] y= 2arcos2 [1+sin2sin32] (1)
y
y xy
dy
x
r
dx

2a
x
xy= 2arsin2 cos2 cos32
r'
K
则裂纹尖端的线弹性解恰好就 o o'
x
是曲线CD。
a rp rp
a+rp称为有效裂纹长度，用a+ rp代替a，由原来的 线弹性断裂力学结果可直接给出考虑Irwin塑性修
正的解答。即有： K1= p (a + rp)
(5)
15
考虑Irwin塑性修正后，裂尖应力强度因子K为：
K1= p (a + rp)
K1= pa
考虑塑性修正时，由(5)式有： K1 = p(a + rp)
将(4)式给出的rp代入上式，得到：
K1={p[a +2a1p(pysa)2]}1/2 =
p
a
{[1+
1
2a
( ys
)2]}1/2
或写为：
K1 =l K 1 ；
l
=[1+
1
2a
(ys)2]1/2
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强度理论与方法（8）
——弹塑性断裂力学
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1. 裂纹尖端的小范围屈服 2. 裂纹尖端张开位移 3. COD测试与弹塑性断裂控制设计
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线弹性断裂力学 (LEFM )
用线弹性材料物理模型，按照弹性力学方法，研究 含裂纹弹性体内的应力分布，给出描述裂纹尖端应 力场强弱的应力强度因子K，并由此建立裂纹扩展 的临界条件, 处理工程问题。
(5)
裂纹线上(=0)的应力y为：
y
H
y = ys
r2rp；
ys A B C
r
D
y=
K1
2p r’
= K1
r2rp；
r'
o o'
a rp rp
K x
2p (r -rp)
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例1 无限宽中心裂纹板，受远场拉应力作用， 试讨论塑性修正对应力强度因子的影响。
解：由线弹性断裂力学给出无限宽中心裂纹板的 应力强度因子为：
B A
D
受。为了承受这些力，塑性区
K
尺寸必需增大。
o rp
x
a
上述简单分析是以裂纹尖端弹性解为基础的，故 并非严格正确的。屈服发生后，应力必需重分布， 以满足平衡条件。
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为满足静力平衡条件，由于AB部分材料屈服而少 承担的应力需转移到附近的弹性材料部分，其结果将 使更多材料进入屈服。因此，塑性区尺寸需要修正。
塑性区尺寸为rp。
ys
B A
假定材料为弹性-理想塑性，
D K
屈服区内应力恒为ys，应力分
o rp
x
布应由实线AB与虚线BK表示。 a
与原线弹性解(虚线HK) 相比较，少了HB部分大 于ys的应力。
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ABH区域表示弹性材料中存在
y H
的力，但因为应力不能超过屈
服，在弹塑性材料中却不能承
ys

当r0时， ，必然要发生屈服。 因此，有必要了解裂尖的屈服及其对K的影响。
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将各主应力代入Mises屈服条件，得到：
K1 / 2p rp = ys (1- 2n)K1/ 2prp = ys
(平面应力) (平面应变)
故塑性屈服区尺寸rp为：
rp=
1 2p
(
Ky1s)2
rp = 21p(Ky1s)2(1-2n)2
R=2
rp
=
1 ap
(Ky1s
)2
a = 1 2 2
(平面应力) (平面应变)
(4)
上式指出：
裂纹尖端的塑性区尺寸R 与(K1/ys)成正比；
平面应变时的裂尖塑性区尺寸约为平面应力 情况的1/3。
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一般地说，裂纹前的条件既不是平面 应力，也不是平面应变，而是三维的。然 而，在极限情况下，二维假设是正确的， 或者至少提供了一个很好的近似。
考虑塑性修正后有：K1 Fra bibliotekl K 1 ；
l
=[1+
1
2a
(ys)2]1/2
l>1，故考虑塑性修正后应力强度因子增大。
二者的相对误差为：
=
K1 - K1 K1
=
l
-1
对于平面应力情况，a=1；若(/ys)=0.2，=1%； 若(/ys)=0.5，=6%；当(/ys)=0.8时，达15%。
断裂力学中的大部分经典解都将问题减化为 二维的。即主应力或主应变中至少有一个被假设 为零，分别为平面应力或平面应变 。
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b. 考虑裂尖屈服后的应力强度因子
对于理想塑性材料，考虑裂纹 y
尖端的屈服后，裂尖附近的应
H
力分布应为图中ACD曲线。
ys A B C
曲线CD与线弹性解BK相同。
r
D
假想裂纹尺寸由a增大到a+ rp,
(平面应力) (2)
(平面应变)
式中，ys为材料的屈服应力，n为泊松比。 对于金属材料，n0.3，这表明平面应变情况下裂
尖塑性区比平面应力时小得多。
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当=0时(在x轴上)，裂纹附近区域的应力分布及裂 纹线上的塑性区尺寸如图。
虚线为弹性解，r0，y。
y H
由于y>ys，裂尖处材料屈服，
设修正后的屈服区尺寸为R；
y H
假定线弹性解答在屈服区外仍然
适用，BK平移至CD，为满足静
ys
B A
C
力平衡条件，修正后ABCD曲线
D
下的面积应与线弹性解HBK曲线 o rp
K x
下的面积相等。
aR
由于曲线CD与BK下的面积是相等的，故只须AC下
的面积等于曲线HB下的面积即可。
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于是得到：
y
线弹性断裂力学给出的裂纹尖端附近的应力趋于 无穷大。然而，事实上任何实际工程材料，都不 可能承受无穷大的应力作用。因此，裂尖附近的 材料必然要进入塑性，发生屈服。
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y H
ys
B A
D
K
o rp
x
a
线弹性断裂力学预测裂纹尖端应力无穷大。然而 在实际材料中，由于裂尖半径必定为有限值，故 裂尖应力也是有限的。非弹性的材料变形，如金 属的塑性，将使裂尖应力进一步松弛。
对于平面应变情况，a3，二者相差要小一些。
可见， (/ys)越大，裂尖塑性区尺寸越大， 线弹性分析给出的应力强度因子误差越大。
H
rp
R ys
= 0

y (x)dx
ys
BC A
D
注意到式中：y=K1 / 2p r ,
K
平面应力时：r p =
1
2p
(
K1 ys
)2
o rp aR
x
积分后得到，平面应力情况下裂尖的塑性区尺寸
R为：
R=
1 p
(
K1 ys
)
2
=2rp
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依据上述分析，并考虑到平面应变时三轴应力作 用的影响，Irwin给出的塑性区尺寸R为：