导数及其应用本章复习提升
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用复习优质
3.利用导数研究函数的极值和最值
1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3) 检 验 f′(x) ＝ 0 的 根 的 两 侧 f′(x) 的 符 号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．
(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1， ∴直线 l 的方程为 3 y＝(3x2 ＋ 1)( x － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)， 3 ∴0＝(3x2 ＋ 1)( － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 3 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2.
解之得，x0＝－2， 3 ∴y0＝(－2) ＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x， 切点坐标为(－2， －26)． x (3)∵切线与直线 y＝－ ＋3 垂直， 4 ∴切线的斜率 k＝4. 设切点坐标为(x0， y0)，则 f′ (x0)＝ 3x2 0＋ 1＝ 4， ∴ x0＝ ± 1， x0＝1 x0＝－1， ∴ 或 y0＝－ 14 y0＝－ 18. 即切点为 (1，－ 14)或 (－ 1，－ 18)． 切线方程为 y＝4(x－ 1)－14 或 y＝ 4(x＋ 1)－18. 即 y＝4x－ 18 或 y＝4x－ 14.
例 3： 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx， 在区间(－2,1) 2 内，当 x＝－1 时取极小值，当 x＝ 时取极大值． 3 (1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时的对应点的切线方程； (2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
2021_2022学年新教材高中数学第二章导数及其应用3导数的计算课后巩固提升含解析北师大版选择性必
第二章导数及其应用§3导数的计算课后篇巩固提升必备知识基础练1.若f'(x0)=-2,则limk→0f(x0-12k)-f(x0)k等于()B.-1C.2D.1,lim k→0f(x0-12k)-f(x0)k=-12limk→0f(x0-12k)-f(x0)-12k=-12f'(x0)=1,故选D.2.下列各式中正确的个数是()①(x7)'=7x6;②(x-1)'=x-2;③1√x '=-12x-32;④(√x25)'=25x-35;⑤(cos x)'=-sin x;⑥(cos 2)'=-sin 2.B.4C.5D.6(x-1)'=-x-2,⑥(cos2)'=0,∴②⑥不正确.故选B.3.若函数f(x)=cos x,则f'π4+fπ4的值为()B.-1C.1D.2 解析f'(x)=-sin x,所以f'π4+fπ4=-sinπ4+cosπ4=0.4.已知f(x)=x a,若f'(1)=4,则a的值等于()B.-4C.5D.-5f'(x)=ax a-1,f'(1)=a(1)a-1=4,∴a=4.y=f(x)=2x2+4x在x=3处的导数为.(3)=limΔx→0Δy Δx=lim Δx→02(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)Δx=16.,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则物体的初速度是.初=s'(0)=limΔt→0s(0+Δt)-s(0)Δt=limΔt→0(3-Δt)=3.7.已知f (x )=1x,g (x )=mx ,且g'(2)=1f '(2),则m=.4,f'(x )=-1x 2,g'(x )=m.∵g'(2)=1f '(2),∴m=-4.8.设直线y=12x+b 是曲线y 1=ln x (x>0)的一条切线,则实数b 的值为.-1y 1'=(ln x )'=1x ,设切点为(x 0,y 0),由题意,得1x 0=12,所以x 0=2,y 0=ln2,代入直线方程y=12x+b ,得b=ln2-1.9.利用导数的定义求函数y=f (x )=x-2x的导数.解由导数定义,得Δy=f (x+Δx )-f (x )=(x+Δx )-2x+Δx-x-2x,∴ΔyΔx =1+2x (x+Δx ),当Δx 趋于0时,得到导数f'(x )=1+2x 2.10.用求导数的公式求下列函数的导数.(1)y=x 8;(2)y=4x ;(3)y=log 3x ;(4)y=sin x+π2;(5)y=e 2. 解(1)y'=(x 8)'=8x 8-1=8x 7.(2)y'=(4x )'=4x ln4.(3)y'=(log 3x )'=1xln3.(4)y'=sin x+π2'=(cos x )'=-sin x.(5)y'=(e 2)'=0.关键能力提升练11.已知函数f (x )在x 0处的导数为f'(x 0),则lim Δx →0f (x 0)-f (x 0-mΔx )Δx等于()A.mf'(x 0) B .-mf'(x 0) C .-1m f'(x 0) D .1m f'(x 0),limΔx →0f (x 0)-f (x 0-mΔx )Δx=m limΔx →0f (x 0)-f (x 0-mΔx )mΔx=mf'(x 0).12.已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b等于()B.-4C.28D.-28点(2,8)在切线上,∴2k+b=8,①又f'(x)=3x2,f'(2)=3×22=12=k,②由①②可得k=12,b=-16,∴k-b=28.13.设正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角α的取值X围是()A.0,π4∪3π4,π B.[0,π)C.π4,3π4D.0,π4∪π2,3π4答案A解析∵(sin x)'=cos x,∴k l=cos x,∴-1≤k l≤1,∴α∈0,π4∪3π4,π.14.(多选题)以下运算正确的是()A.1x '=1x2B.(cos x)'=-sin xC.(2x)'=2x ln 2D.(tan x)'=1cos2x解析1x '=-1x2,所以A不正确;因为(cos x)'=-sin x,故B正确;因为(2x)'=2x ln2,所以C正确;因为(tan x)'=1cos2x,所以D正确.15.(多选题)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的P点坐标为()A.(-1,1)B.(-1,-1)D.(1,-1),y'=3x2,因为k=3,所以3x2=3,所以x=±1,则P点坐标为(-1,-1)或(1,1).16.设函数f(x)在x=x0处可导,当h趋于0时,对于f(x0+ℎ)-f(x0)ℎ的值,以下说法正确的是.(填序号)①与x0,h都有关;②仅与x0有关而与h无关;③仅与h有关而与x0无关;④与x0,h均无关.(x)=sin x,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,f n+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 020(x)=.x,f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,…,依次类推可得,函数呈周期变化,且周期为4,则f2020(x)=f4(x)=sin x.18.函数y=x 2(x>0)的图象在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1,其中k ∈N +,若则a 1+a 3+a 5的值是.y'=2x ,∴y=x 2(x>0)的图象在点(a k ,a k 2)处的切线方程为y-a k 2=2a k (x-a k ).又该切线与x 轴的交点坐标为(a k+1,0),∴a k+1=12a k ,即数列{a k }是首项为a 1=16,公比为q=12的等比数列,∴a 3=4,a 5=1,∴a 1+a 3+a 5=21.19.已知P 为曲线y=ln x 上的一动点,Q 为直线y=x+1上的一动点,则当点P 的坐标为时,PQ 最小,此时最小值为.√2 ,当直线l 与曲线y=ln x 相切且与直线y=x+1平行时,切点到直线y=x+1的距离即为PQ 的最小值.易知(ln x )'=1x ,令1x =1,得x=1,故此时点P 的坐标为(1,0),所以PQ 的最小值为√2=√2.f (x )=x 2,g (x )=x 3,求适合f'(x 0)+2=g'(x 0)的x 0的值.(x 0)=2x 0,g'(x 0)=3x 02.因为f'(x 0)+2=g'(x 0),所以2x 0+2=3x 02,即3x 02-2x 0-2=0,解得x 0=1-√73或x 0=1+√73.学科素养创新练21.设曲线y=x n+1(n ∈N +)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =lg x n ,求a 1+a 2+…+a 99的值.解由题得y'=(n+1)x n ,故在点(1,1)处的切线斜率k=n+1,所以切线方程为y=(n+1)x-n (n ∈N +),可求得切线与x 轴的交点为nn+1,0,则a n =lg nn+1=lg n-lg(n+1),n ∈N +,所以a 1+a 2+…+a 99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+…+(lg99-lg100)=lg1-lg100=-2.。
人教A版高中数学选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (49)(含答案解析)
选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (49)1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ） A ．(,0)(0,)-∞+∞ B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞ C ．(0,)+∞D ．(3,)+∞2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)=20，且f (x )的导函数()'f x 满足2()62f x x '>+，则不等式f (x )>2x 3+2x 的解集为（ ） A ．{x |x >-2}B ．{x |x >2}C ．{x |x <2}D ．{x |x <-2或x >2}3．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x >'+，()03f =，则不等式()21xf x e >+的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞D ．()1,+∞4．已知函数()()f x x R ∈及其导函数()'f x 满足()()2 '0f x xf x +<且()0f x ≠.若()()230f x mf x ++≥⎡⎤⎣⎦恒成立，则（ ）A ．m ≥-B ．m ≥C ．m ≤≤D ．m ≤5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，()ln 3(1)f x x x xf '=+，则(e)f '=（ ） A ．32-B ．e 2-C ．12D ．12-6．设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．402127．已知当2(0,)3x π∈时，sin sin 2cos x x bx x +≥恒成立，则正实数b 的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．(]0,1C ．[]1,3D ．(]0,38．已知(0,)2x π∈，函数cos )22tan (x f x x x π=+--，则下列选项正确的是（ ）A ．存在0(0,)2x π∈使()00f x >B ．存在0(0,)2x π∈使()01f x ≥C ．对任意(0,)2x π∈，都有()0f x >D ．对任意(0,)2x π∈，都有()1f x <-9．若函数()21xax bx f x e +-=的最小值为1-，则（ ） A ．1a b +≥ B ．1a b +≤C ．1a b -≤D ．1a b -≥10．已知()4f x x x=+，()22g x x x a =-+，若对[]11,3x ∀∈，[]21,3x ∃∈，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是（ ） A ．[2，5] B ．4,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．162,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．416,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知函数()f x 满足2132()2mx x m f x f x x --⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，若()2,x ∀∈+∞，()x f x e ≤，则m 的取值范围为（ ）A ．21,2e ⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦B ．21,2e ⎛⎫+-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,e ++∞D ．[)1,e ++∞12．设f '（x ）是函数f （x ）的导函数，若f '（x ）＞0，且∀x 1，x 2∀R （x 1≠x 2），f （x 1）+f （x 2）＜2f （122x x +），则下列各项中不一定正确的是（ ）A ．f （2）＜f （e ）＜f （π）B ．f ′（π）＜f ′（e ）＜f ′（2）C ．f （2）＜f ′（2）﹣f ′（3）＜f （3）D ．f ′（3）＜f （3）﹣f （2）＜f ′（2）13．设函数'()f x 是偶函数()()f x x R ∈的导数,(1)1f = ,当0x <时,'()()0xf x f x +> ,则使|f (x )|＞1||x 成立的x 的取值范围是( )A ．(10)(1)⋃+∞﹣,, B ．(1,1)- C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)(0,1)-∞-14．下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（ ） A ．324y x x =+ B ．()sin y x x =+- C ．2log y x =D ．22x x y -=-15．已知函数()2sin 1xf x x =+，则下列选项正确的有（ ） A ．函数()f x 的零点是x k π=（k Z ∈） B ．函数()f x 是奇函数，且在()0,∞+上单调递增C ．若x 0是函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的极值点，则014x π<<D ．()2f x π<16．已知f '（x ）为函数f （x ）的导函数，f '（x ）＝3x 2+6x +b ，且f （0）＝0，若g （x ）＝f （x ）﹣2xlnx ，求使得g （x ）＞0恒成立b 的值可能为（ ）A ．﹣2ln2﹣74B ．﹣ln2﹣74C ．0D ．ln2﹣3417．已知函数()21ln 12g x x x =-+，则当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的极大值为__________，若()21ln 12f x x x m =-+-在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（0m >，e 为自然对数的底）的最大值为22e ，则实数m 的值为__________.18．不与x 轴重合的直线l 与曲线3y x =与2yx 均相切，则l 的斜率为___________.19．若函数()()321403f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则()()12f x f x +取值范围为____.20．若函数2()2ln f x m x x =-+在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则实数m 的取值范围为___________．21．已知正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ，ln b ≥a ，则ba的取值范围是___.22．已知函数()()()229f x x x mx n =-++的图象关于直线1x =对称，()f x '为()f x 的导函数，则()()00f f '-=________．23．已知a 为常数，且函数()cos f x x a x +，0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的最小值为a ，则a =___________.24．若关于x 不等式()1xx ke x >+的解集中的正整数有且只有一个，则k 的取值范围是______.25．已知函数21,1()ln ,1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩，关于x 的方程212[()]2()02f x tf x t ++-=有5个不同的实数根，则实数t 的取值范围是______.26．已知直线2y x =-+分别与函数1e 2x y =和ln(2)y x =的图象交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则下列说法正确的是______. ∀12e 2e x x e +>；∀12x x > ∀1221ln ln 0x x x x +>； ∀()12e ln 22xx +>.27．已知函数()()2ln 21af x x a R x =+-∈+，讨论函数()f x 的单调性. 28．已知函数()()32e Rf x x ax a =-∈，讨论函数()f x 的单调性.29．已知函数3()f x x ax b =--，讨论()f x 在[0,1]上的单调性； 30．已知函数()()22e 2x a f x x x ax =--+，R a ∈，讨论函数()f x 的单调性. 31．已知函数()()()()22e 20x f x x a x x a =-+->，讨论()f x 的单调区间：32．已知函数21()ln (1)2f x x ax a x =-+-，a ∈R ，讨论()f x 的单调性；33．已知函数()()()1e R xf x ax a =-∈，讨论()f x 的单调区间.34．已知函数1()e ax f x x -=⋅(R a ∈)，讨论函数()f x 的单调性. 35．已知函数()e x f x x a =-，0x ≥，a R ∈，讨论函数()f x 的单调性. 36．已知函数2()ln f x mx x =-，讨论()f x 的单调性； 37．函数()e ()x f x ax a =-∈R ，讨论()f x 的单调性； 38．求下列函数的导数：（1）22()2f x a ax x =+-； （2）sin ()ln x xf x x=. （3）()2(34)21y x x x =-+；（4）2sin 12cos 24x x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（5）y ＝2ln 1xx +.（6）221()(31)y x x =-+；（7）sin 2cos 2y x x x =-； （8）cos x y e x =； （9）y ＝ln(21)x x+. （10）n 1l y x x=+ （11）sin xy x=（12）22(1e )2x y x x -=+-. 39．求下列函数的导数：（1）23cos =+y x x ； （2）()1ln =+y x x ； （3）sin cos 22x y xx =-；（4）()221y x =+； （5）2cos2x y =. 40．已知函数()1xe f x ax alnx x =+-+，其中a R ∈．（1）当0a ≤时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(0,1)内有极值，试判断极值点的个数并求a 的取值范围． 41．已知函数()()x f x e ax a a R =++∈.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程； （2）若存在[1x ∈，2]，使得不等式2()ln (21)2xx f x a x e a x -+-++成立，求a 的取值范围.42．已知函数()4ln ()af x x x a R x=+-∈． （1）当3a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，求a 的取值范围． 43．已知函数()()ln 1,f x x m x m R =++∈. （1）若1m =-，求函数()f x 的极值；（2）若()()0()f p f q p q ==≠，证明：1pq >.44．已知函数()e 1xf x ax =--.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()2f x x ≤在[)0,x ∈+∞上有解，求实数a 的取值范围.45．设函数()()24143xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⋅．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求a ； （2）若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． 46．已知函数()2sin (4ln )f x x x a x =-+-．（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程．（2）若存在实数b ，使得()()g x f x b =+有两个不同的零点m ，n ，证明：2mn a <．47．已知函数()2xf x e ax =-.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若0a =，证明：当0x >时，曲线2yx 恒在曲线()f x 的下方；（3）讨论函数()()21xH x x te t e =-<<零点的个数.48．已知函数()ln 1f x x x x =-+． （∀）求()f x 的单调区间和最值；（∀）设1a >，证明：当()1,x a ∈时，()1log 1a a x x ->-．49．我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数()f x 与第x 天近似地满足8()8f x x=+（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费()g x 近似地满足()143|22|g x x =--（元）（1）求该村的第x 天的旅游收入()p x （单位千元，130x ，*x ∈N ）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？（一年以365天计） 50．设()ln f x x a x =-，a ∈R .(1)当2a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； (2)记函数()()1a g x f x x-=-，若当1x =时，函数()g x 有极大值，求a 的取值范围.【答案与解析】1．C 【解析】构造函数()()3x x g x e f x e =⋅--，求导结合题干条件可证明()g x 在R 上单调递增，又(0)0g =，故()0(0)0g x g x >=⇒>，即得解令()()3x x g x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+-> 所以()g x 在R 上单调递增， 又因为00(0)(0)30g e f e =⋅--=， 所以()0(0)0g x g x >=⇒>， 即不等式的解集是(0,)+∞ 故选：C 2．B 【解析】根据给定条件构造函数3()()22g x f x x x =--并判断其单调性，再利用()g x 的单调性即可求出不等式f (x )＞2x 3+2x 的解集.令3()()22g x f x x x =--，因2()62f x x '>+，则2()()620g x f x x ''=-->，即()g x 在R 上单调递增， 因3(2)(2)22220g f =-⋅-⋅=，则不等式f (x )>2x 3+2x 等价于()(2)g x g >，于是得x >2， 所以原不等式的解集为{x |x >2}. 故选：B 3．A 【解析】 设g （x ）＝()1xf x e -，根据已知条件可得函数()g x 在定义域上单调递减，从而将不等式()21xf x e >+转化为()()0g x g >的解集，从而可得出答案. 解：设()g x ＝()1xf x e -， 则()g x '＝()()1xf x f x e '---，∀()()1f x f x >'+，∀()()10f x f x '-->，∀()0g x '<，∀y ＝g （x ）在定义域上单调递减，∀()21xf x e >+∀()g x ＝()12x f x e ->， 又()0g ＝(0)12f e -=， ∀()()0g x g >， ∀0x <，∀()21xf x e >+的解集为(),0-∞．故选：A ． 4．D 【解析】构造函数()()2g x x f x =，通过题意，可得函数的单调区间，以及()0g x ≤,从而可得()0f x ≠，再通过分离参数，即可求解.解：设()()2g x x f x =，则()()()()()'2'2g x xf x xf x x f x xf x ⎡⎤⎣⎦'=+=+，∴当0x <时，()'0g x >，当0x >时，()'0,g x <()g x ∴在(),0-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， ()00,g =()0,g x ∴≤()0f x ≠，()0,f x ∴<不等式()()230f x mf x ++≥⎡⎤⎣⎦可转化为()()3m f x f x ≤--， 该不等式恒成立，则()()min 3m f x f x ⎡⎤≤--=⎢⎥⎣⎦故选：D. 5．C 【解析】先求出()()1ln 31f x x f ''=++，然后令1x =求出()1f '，然后即可求出(e)f '． 因为()ln 3(1)f x x x xf '=+所以()()1ln 31f x x f ''=++令1x =时有()()1131f f ''=+，所以()112f '=-所以3()ln 2f x x x x =-所以()311ln 22f e e '=+-= 故选：C 6．B 【解析】通过条件，先确定函数()f x 图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和.由()3272392f x x x x =-+-，可得()2669f x x x '=-+，()126f x x ''=-，令()1260f x x ''=-=，得12x =，又32111171239222222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以对称中心为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12021220201,12022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…，11010102022202122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1201011222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以12320211202110101202220222022202222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：B. 7．D 【解析】先讨论不等式在2[,)23ππ上恒成立，在(0,)2x π∈时，变形不等式并构造函数()tan 2sin h x x x bx =+-，利用导数探求()0h x ≥的正数b 即可.当2[,)23x ππ∈时，而0b >，sin sin 2sin (12cos )0cos x x x x bx x +=+>≥，原不等式恒成立，当(0,)2x π∈时，cos 0x >，不等式等价变形为：tan 2sin x x bx +≥，令()tan 2sin h x x x bx =+-，(0,)2x π∈，而(0)0h =，求导得21()2cos cos h x x b x '=+-， 令()()g x h x '=，则3332sin 2sin (1cos )()2sin 0cos cos x x x g x x x x-'=-=>，则()h x '在(0,)2π上单调递增， (0)3h b '=-，若3b >，则(0)0h '<，记cosθ=，(0,)2πθ∈，则()0h b b θ'==>， 则存在()00,x θ∈，使得()00h x '=，当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，即当()00,x x ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意，若3b ≤，()(0)0h x h ''>≥，即当(0,)2x π∈时，()h x 单调递增，则有()(0)0h x h >=，符合题意，综上得，3b ≤，所以正实数b 的取值范围是(]0,3. 故选：D 8．B 【解析】对于A 、C 记cos 0,),2(2g x x x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝=+⎭-，tan ,(0,)2()x x h x x π∈=-，则()()()f x g x h x =+，利用导数分别判断出()()g x h x 、的单调性，证明出02cos x x π+-<，tan 0x x -<即可判断；对于B ：取特殊值05=12x π，代入验证；对于D ：取特殊值0=4x π，代入验证； 对于A 、C ： 记cos 0,),2(2g x x x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝=+⎭-，tan ,(0,)2()x x h x x π∈=-，则()()()f x g x h x =+， n 0()1si g x x '=>-，所以2co )s (g x x x π=+-在(0,)2π上单增，当2x π<时，()02g x g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即0cos ()2g x x x π=+-<，即02cos x x π+-<， 同理可证：t (n )a x h x x =-在(0,)2π上单减，所以当02x π<<时，都有()(0)0h x h <=，即tan 0x x -<.又02cos x x π+-<，所以s ()2n 2co ta 0x f x x x π=+--<.故A 、C 错误.对于B ：取05=12x π，所以5cos =cos =cos cos sin sin 12646464πππππππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，tantan564tan=tan =212641tan tan 64πππππππ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭-， 则有()012=5f x f π⎛⎫ ⎪⎝⎭555cos tan 612122=ππππ+--，(5=262ππ+-，(=2213π<-<-.故B 正确； 对于D ：取0=4x π，则有()0cos tan 1142442==f x f πππππ⎫+-⎛ ⎪⎝⎭->-.故D 错误. 故选：B 9．D【解析】根据0x =为()f x 的极值点可求得b ；分别在0a <，0a =和0a >三种情况下，判断()0f 是否为()f x 最小值，确定a 的范围，进而得到结论. 由题意知：()()221xax a b x bf x e -+-++'=，()f x 的最小值为()01f =-，0x ∴=是()f x 的一个极值点，()010f b '∴=+=，解得：1b =-，()()()22121x xax a x x ax a f x e e-++-++'∴==； 若0a <，当x →-∞时，()f x →-∞，不符合题意． 若0a =，则()x xf x e'=，∴当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>； ()f x ∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()01f ∴=-是()f x 的最小值，满足题意； 若0a >，令()0f x '=，解得：0x =或210a x a+=>； ∴当0x <或21a x a +>时，()0f x '<；当210a x a +<<时，()0f x '>；()f x ∴在()0,∞+，21,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在210,a a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()01f =-，当x →+∞时，()0f x →；()01f ∴=-是()f x 的最小值，满足题意； 综上所述：0a ≥，1a b ∴-≥. 故选：D.关键点点睛：本题解题关键是能够明确()f x 最值点即为其极值点，即导函数的零点；通过对含参数的函数单调性的讨论确定符合题意的参数的范围，从而得到结论. 10．A 【解析】结合导数求得()f x 在区间[]1,3上的值域.结合二次函数的性质求得()g x 在[]1,3上的值域，结合“任意、存在”列不等式，由此求得a 的取值范围.()()()2'22222441x x x f x x x x +--=-==， 所以()4f x x x=+在[1，2]递减，在（2，3]递增，()()()41315,24,3333f f f ===+=,可得()f x 的值域为[]4,5A =，()22g x x x a =-+对称轴为1x =，在[1，3]递增，可得()g x 的值域为[]1,3B a a =-+， 若对[]11,3x ∀∈，[]21,3x ∃∈，使得()()12f x g x =， 可得()f x 的值域A 为()g x 的值域B 的子集. 则14a -≤，且35a +≥，解得25a ≤≤， 故选：A. 11．A 【解析】由题设可得()1f x mx =-，可将问题转化为1x m e x x ≤+在2,上恒成立，构造1()x e g x x x=+，利用导数研究最值，即可求m 的范围.∀2132()2mx x mf x f x x --⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∀∀21232()mx x m f f x x x --⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∀由∀、∀可得，()1f x mx =-.由()xf x e ≤，得1x m e x x ≤+恒成立，令1()x eg x x x=+，则2(1)1()x x x x e g '--=. ∀()2,x ∈+∞，∀()0g x '>，即()g x 在2,上单调递增，∀21()(2)2e g x g +>=，∀212m e +≤.故选：A 12．C 【解析】f ′（x ）＞0，∀f （x ）在R 上单调递增，由12121212,(),()()2()2x x x R x x f x f f x x ++∀∈≠<，可得12()()2f x f x +＜12()2x x f +，可得y ＝f （x ）的图象如图所示，图象是向上凸．进而判断出正误． 解：∀f ′（x ）＞0，∀f （x ）在R 上单调递增， ∀12121212,(),()()2()2x x x R x x f x f f x x ++∀∈≠<，∀12()()2f x f x +＜12()2x xf +，∀y ＝f （x ）的图象如图所示，图象是向上凸．∀f （2）＜f （e ）＜f （π），f ′（π）＜f ′（e ）＜f ′（2），可知：A ，B 正确． ∀f （3）﹣f （2）＝(3)(2)32f f --，表示点A （2，f （2）），B （3，f （3））的连线的斜率．由图可知：f ′（3）＜k AB ＜f ′（2），故D 正确． C 项无法推出， 故选：C ．13．C 【解析】设()()F x xf x =,根据函数的单调性和奇偶性问题转化为()()1|1|F x F =＞,求出不等式的解集即可． 解:设F (x )＝xf (x ),易知函数F (x )为奇函数,且当x ＜0时,F ′(x )＝xf ′(x )+f (x )＞0, 故函数F (x )在R 递增,将目标不等式转化为|F (x )|＞F (1)＝1,结合函数的单调性得:|x |＞1,解得:1x <-或x ＞1, 故不等式的解集是(﹣∞,﹣1)∀(1,+∞), 故选:C ． 14．ABD 【解析】先根据奇偶性定义分析函数的奇偶性，然后再利用导数判断函数的单调性，由此作出判断即可.对于选项A ，定义域为R 关于原点对称，且()()324f x x x f x -=--=-，故为奇函数，又2640y x '=+>，所以324y x x =+在()0,1上单调递增，故满足； 对于选项B ，定义域为R 关于原点对称，sin f x x xf x ，故为奇函数，又1cos 0y x '=-≥，且y '不恒为0，所以()sin y x x =+-在()0,1上单调递增，故满足；对于选项C ，定义域为{}0x x ≠关于原点对称，()()2log f x x f x -==，故为偶函数，不满足；对于选项D ，定义域为R 关于原点对称，()()22x xf x f x --=-=-，为奇函数，又2ln 22ln 20x x y -=+>'，所以22x x y -=-在()0,1上单调递增，故满足． 故选：ABD ． 15．ACD 【解析】直接利用求函数的零点的方法判定A 的结论，利用函数的导数和函数的单调性的关系判定B 的结论，利用函数的导数和函数的单调性的关系及零点的应用判定C 的结论，利用函数的关系式的变换和函数的单调区间的确定的应用和存在性的问题的应用判定D 的结论. 解：对于A ：令函数()2sin 01xf x x ==+，得x k π=（k Z ∈），故函数的零点为x k π=（k Z ∈），故A 正确；对于B ：函数()()()()2sin 1x f x f x x --==-+-，所以函数为奇函数，()()()2221cos 2sinx 1x x x f x x +-+'=，令()()21cos 2sin x x x g x x =+-，所以()()()221sin 2cos 2sin 2cos 3sin g x x x x x x x x x x =-++--=-+'，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则()0g x '<恒成立，所以()g x 单调递减.2104162g πππ⎫⎛⎫=+->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21cos 2sin 22222g ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()f x '在()0,∞+上不是恒大于0，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增错误，故B 错误； 对于C ：由B 的结论，函数()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以0x 为()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的唯一零点.由于2104162g πππ⎫⎛⎫=+->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2cos121sin10g =-<所以则014x π<<.故C 正确；对于D ：当()0,x π∈时，对任意的0k >，且k ∈Z ，有()2sin 1x f xx =+， ()()22sin()sin 1()1()x k xf x x k x k f x k ππππ+==<+++++，故仅讨论()f x 在()0,π上的取值即可，选项C 的分析中，()()23sin x x g x =-+'，当()0,x π∈时，()0g x '<，故函数()g x 单调递减，从而()f x 在()00,x x ∈上单调递增，在0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()212212f f x πππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭⎛⎫+ <⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD. 16．BCD 【解析】求出函数f （x ）的解析式，从而求出g （x ）的解析式，问题转化为b ＞2lnx ﹣x 2﹣3x ，设φ（x ）＝2lnx ﹣x 2﹣3x （x ∀（0，+∞）），根据函数的单调性求出b 的范围即可． 解：∀f '（x ）＝3x 2+6x +b ，∀设f （x ）＝x 3+3x 2+bx +c ，又f （0）＝0，故c ＝0， 从而f （x ）＝x 3+3x 2+bx ，∀g （x ）＝f （x ）﹣2xln x ＝x 3+3x 2+bx ﹣2xln x ，则g （x ）的定义域是（0，+∞）， 则g （x ）＞0可化为x 2+3x +b ﹣2ln x ＞0，即b ＞2ln x ﹣x 2﹣3x ， 设φ（x ）＝2ln x ﹣x 2﹣3x （x ∀（0，+∞）），则φ′（x ）＝2x﹣2x ﹣3＝(21)(2)x x x --+，令φ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜12，令φ′（x ）＜0，解得：x ＞12， 故φ（x ）在（0，12）递增，在（12，+∞）递减，故当x ＝12时，φ（x ）取得最大值φ（12）＝﹣2ln 2﹣74，要使g （x ）＞0恒成立，则b ＞﹣2ln2﹣74即可，故选：BCD ． 17．12 2 【解析】利用导数分析函数()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，可求得函数()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极大值；分12m ≥、102m <<两种情况讨论，分析函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，或作出函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，可得出()max f x ，再结合已知条件可求得实数m 的值. ()21ln 12g x x x =-+，则()211x g x x x x-'=-=，当11x e≤<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增， 当1x e <≤时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，所以，当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的极大值为()112g =，21102g e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()2202e g e =-<，作出函数()g x 的图象如下图所示：∀当12m ≥时，()()f x m g x =-， 此时，函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，2112f m e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()222e f e m =+-，当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()()22max 1max ,222e e f x ff e f e m e ⎧⎫⎛⎫===+-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，解得2m =，合乎题意；∀当102m <<时，作出函数()()f x m g x =-的图象如下图所示：2112f m e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()112f m =-，()222e f e m =+-，因为()22112022e f e f e e ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭，()()2257120222e e f e f m --=-->>，所以，()()()()22max1max ,1,222e e f x ff f e f e m e ⎧⎫⎛⎫===+-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，可得2m =（舍）.综上所述，2m =. 故答案为：12；2. 18．6427【解析】设直线l 与曲线3y x =相切的切点坐标为()300,x x ，根据导数的几何意义可得l 的斜率，从而求得l的方程，再根据不与x 轴重合的直线l 与曲线3y x =与2yx 均相切，联立2300232y x x x y x ⎧=-⎨=⎩，得22300320x x x x -+=，0∆=，求得0x ，即可得出答案.解：设直线l 与曲线3y x =相切的切点坐标为()300,x x ，()23f x x '=，则()2003f x x '=，则切线方程为230032y x x x =-，因为不与x 轴重合的直线l 与曲线3y x =与2y x 均相切，则2300232y x x x y x⎧=-⎨=⎩，得22300320x x x x -+=， 4300980x x ∆=-=，得00x =（舍去），或089x =， l ∴的斜率为2064327x =. 故答案为：6427. 19．16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】由'0f x写出根与系数关系、判别式，求得()()12f x f x +的表达式，并转化为用a 来表示，利用构造函数法，结合导数求得()()12f x f x +的取值范围.令()'2240f x x ax =-+=，则12122,4x x a x x +==，由24160a ∆=->且0a >，解得2a >.()()12f x f x +3232111222114433x ax x x ax x =-++-+ ()()()3322121212143x x a x x x x =+-+++ ()()()()2212121212121213243x x x x x x a x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++--+-++⎣⎦⎣⎦ ()()221243448423a a a a a =⨯⨯-⨯--+⨯ 3483a a =-+.令()()34823g a a a a =-+>，()('24840g a a a a =-+=-<，()g a 在区间()2,+∞上递减，()()3416228233g a g <=-⨯+⨯=. 所以()()12f x f x +取值范围是16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭20．411,4e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】参变分离法得22ln m x x =-，再令2()2ln g x x x =-，对函数()g x 求导并研究单调性，根据最小值和单调区间，作出函数()g x 的图象，利用数形结合，即可求出结果． 令2()2ln 0f x m x x =-+=，则22ln m x x =-， 令2()2ln g x x x =-，则22(1)(1)()2x x g x x x x-+'=-=，∀在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '<，()g x 递减，在[]1,e 上()0g x '>，()g x 递增，且()(1)1g x g ≥=，24114e e g ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2e e 2g =-．由24145e 2e +<<-，即()21e e g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，作出函数()g x 的图像，如下图所示：∀()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则实数m 的取值范围为411,4e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦．故答案为：411,4e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦．21．[e ，7] 【解析】 由题意可求得ba≤7；由ln b ≥a 可得b b a lnb ≥（b 12e ≥），设函数f （x ）x lnx =（x 12e ≥），利用其导数可求得f （x ）的极小值，也就是ba的最小值.∀正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ， ∀5﹣3a ≤4﹣a ， ∀a 12≥. ∀5﹣3a ≤b ≤4﹣a ， ∀5a-34b a a ≤≤-1.从而ba≤7，∀ln b ≥a ，∀b ba lnb≥（b 12e ≥）， 设f （x ）x lnx =（x 12e ≥），则f ′（x ）21lnx lnx -=（）， 当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0， ∀当x ＝e 时，f （x ）取到极小值，也是最小值. ∀f （x ）min ＝f （e ）＝e . ∀ba≥e ， ∀ba的取值范围是[e ，7]. 故答案为：[e ，7]. 22．9 【解析】根据3和3-是()f x 的两个零点和()f x 关于直线1x =对称，可确定1-和5是20x mx n ++=的两个实根，利用韦达定理可求得,m n ，得到()f x 和()f x '，由此可求得结果. 由题意知：3和3-是()f x 的两个零点，()f x 的图象关于直线1x =对称，1∴-和5也是()f x 的零点，1∴-和5是20x mx n ++=的两个实根，()154155m n ⎧=--+=-∴⎨=-⨯=-⎩， ()()()22945f x x x x ∴=---，()()()()22322459244122836f x x x x x x x x x '∴=--+--=--+，()045f ∴=，()036f '=，()()009f f '∴-=． 故答案为：9. 23．3 【解析】首先对函数()f x 进行求导，然后对参数a 分类讨论，利用导函数求()f x 的单调区间，进而分析()f x 的最值，即可求解.因为()cos f x x a x =+，所以'()sin f x x a x =-， 以下对参数a 进行讨论：∀当0a ≤时，则'()sin 0f x x a x =->对于(0,]3x π∀∈均成立，所以()f x 在(0,]3π单调递增，故()f x 无最小值，不合题意；∀当0a >时，易知0tan x <≤对(0,]3x π∀∈均成立，(i)tan x ≥时，即01a <≤时，易知'()sin 0f x x a x =-≥， 从而()f x 在(0,]3π为单调递增函数，故()f x 无最小值，不合题意；(ii)当0<<1a >时，从而易知，0(0,)3x π∃∈0tan x =， 因为tan y x =在(0,]3π上是单调递增的，所以当0(0,]x x ∈时， 0tan tan x x =>，即'()sin 0f x x a x =->，当0(,]3x x π∈0tan tan x x =<，即'()sin 0f x x a x =-<， 故()f x 在0(0,]x 上单调递增，在0(,]3x π上单调递减， 从而对于0(0,]x x ∀∈，()(0)f x f a >=，故()f x 在0(0,]x 无最小值a ，又因为()f x 在(0,]3π上的最小值为a ，且在0(,]3x π上单调递减，故()f x 的最小值必为()cos 333f a a πππ=+=， 解得，3a =，满足题意.故答案为：3.24．221,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】对k 进行分类讨论，结合构造函数法以及导数，求得k 的取值范围.当0k ≤时，任一正整数都满足不等式()1x x ke x >+，故0k >.当0k >，1≥x 时，不等式()1xx ke x >+等价于()110x e x x k+-<， 令()()11x e x f x x k +=-，1≥x ， ∀当1≥x 时，()()'210xe f x x x x =+->恒成立， ∀()f x 在[)1,+∞上单调递增，∀()()2112031202f e k e f k ⎧=-<⎪⎪⎨⎪=-≥⎪⎩，解得22132k e e ≤<. 故答案为：221,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 25．111,2e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】利用导数得到函数()f x 在1x >的单调性和极值，画出函数()f x 的大致图象，令()m f x =，则212202m tm t ++-=，因式分解求得1m ，2m ，由函数()f x 的图象则只需：1102e t <-<，求出实数t 的取值范围．当1x >时，ln ()x f x x=，则21ln ()x f x x -'=， 令()0f x '=得：e x =，∴当(1,e)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；且1(e)e f =，又2()1,1f x x x =-<，故函数()f x 的大致图象如图所示：，令()m f x =，当1m =-或0m =或1e m >时，方程()m f x =有一个解；当10m -<<或1e m =时，方程()m f x =有两个解；当10e m <<时，方程()m f x =有三个解；当1m <-时，方程()m f x =无解；又关于x 的方程212[()]2()02f x tf x t ++-=化为关于m 的方程212202m tm t ++-=，244210m tm t ++-=，又24421(221)(21)m tm t m t m ++-=+-+所以244210m tm t ++-=的两根为112m t =-，21(1,0)2m =-∈-，关于x 的方程212[()]2()02f x tf x t ++-=恰好有5个不相等的实根，则只需：1102et <-<， 所以12211e t -<< 故答案为：111,2e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 26．∀∀∀【解析】 由函数12x y e =和()ln 2y x =互为反函数，可得12122,2x x y y +=+=，1201,12x x <<<<，利用均值不等式可判断∀ ；利用112122x e x x =-+=，构造函数1111()()2x f x x e =⋅可判断∀；利用均值不等式可得12101x x <<<，构造函数ln ()((0,1))x g x x x=∈，求导研究单调性可判断∀；由122y y +=，可得()121ln 222x e x +=可判断∀ 因为函数12x y e =和()ln 2y x =互为反函数，所以函数12x y e =和()ln 2y x =的图象关于直线y x =的对称，又因为直线y x =的斜率1与直线2y x =-+的斜率1-的乘积为1-，因此直线y x =与直线2y x =-+互相垂直，显然直线2y x =-+也关于直线y x =对称，解方程组211y x x y x y =-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，所以直线y x =和2y x =-+的交点坐标为：(1,1)， 有12122,2x x y y +=+=，1112x y e =，()22ln 2y x =，1201,12x x <<<<. 对∀：因为1201,12x x <<<<，122x x +=，所以122x x e e e +>==，因此本选项正确；对∀：因为()11,A x y ，()22,B x y 关于(1,1)对称， 所以有1111212ln 2ln 42x y e x <<⇒<<⇒<<，因此有1ln 22x >>=， 点()11,A x y 在直线2y x =-+上，而122x x +=，所以112122x e x x =-+=， 因此11211()2x x x x e ⋅=⋅，显然函数1111()()2x f x x e =⋅在101x <<上是单调递增函数，所以当12x >时，有12111()()()222f x f e >=⋅⋅=，故本选项正确； 对∀：因为1201,12x x <<<<，122x x +=，所以212120()12x x x x +<<=， 因此有12101x x <<<，设函数ln ()((0,1))x g x x x =∈，'21ln ()x g x x-=，因为(0,1)x ∈，所以'()0g x > 因此函数ln ()((0,1))x g x x x=∈是单调递增的， 当12101x x <<<时，有121()()g x g x <， 即112222221221lnln 1ln ln()(ln )1x x x x x x x x x x -<===-，因此有1221ln ln 0x x x x +<，故本选项不正确； 对∀：因为()11,A x y ，()22,B x y 关于(1,1)对称，所以122y y +=，因此()121ln 222x e x +=， 所以()()()111122211ln 22ln 2[ln 2]022x x x x e x e x e x e +-=+-+=>， 即()12ln 22xe x +>，故本选项正确； 故答案为：∀∀∀27．答案见解析.【解析】对()2ln 21a f x x x =+-+求导，对0a <，02a ≤≤，2a >分类讨论研究函数()f x 的单调性. 由题意，函数()2ln 21a f x x x =+-+，可得其定义域为(0,)+∞， 且222122(1)1()(1)(1)a x a x f x x x x x --+'=-=++． 令()0f x '=，即22(1)10x a x --+=，由24(1)40a ∆=--=，解得2a =或0a =∀若0a <，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，∀若02a ≤≤，此时0∆≤，()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．∀若2a >，此时0∆>，方程22(1)10x a x --+=的两根为11x a =-21x a =-1>0x ，20x >，所以()f x在(0,1a -上单调递增，在(11a a --上单调递减，在(1)a -+∞上单调递增．综上所述；若2a ≤，()f x 在(0,)+∞上单调递增﹔若2a >，()f x在(0,1a -，(1)a -+∞上单调递增，在(11a a --上单调递减．28．答案见解析.【解析】对函数求导，进而将导函数因式分解，然后分0a =，0a >和0a <三种情况进行讨论，最后得到函数的单调区间.由题意，R x ∈，()223e 23e 3e a f x x ax x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭ 若0a =，()23e 0f x x '=≥，则函数()f x 在R 上单调递增；若0a >，(),0x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，20,3e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 2,3e a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； 若0a <，2,3e a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，2,03e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上：0a =时，()f x 在R 上单调递增；0a >时，()f x 的增区间为：(),0-∞，2,3e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为：20,3e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 0a <时，()f x 的增区间为：2,3e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,∞+，减区间为：2,03e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 29．答案见解析.【解析】求出函数的导函数，分0a ≤，3a ≥，0<<3a 三种情况讨论，根据导函数的符号即可得出结论. 解：由题意得2()3f x x a '=-．当[]0,1x ∈时，[]230,3x ∈．∀若0a ≤，则对任意[]0,1x ∈，()0f x '≥恒成立，()f x ∴在[]0,1上单调递增；∀若3a ≥，则对任意[]0,1x ∈，()0f x '≤恒成立，()f x ∴在[]0,1上单调递减；∀若0<<3a ，则()3(f x x x '=+，当x ⎡∈⎢⎣时()0f x '≤，当x ⎤∈⎥⎦时，()0f x '>，()f x ∴在⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎥⎦上单调递增． 综上，当0a ≤时，()f x 在[]0,1上单调递增；当3a ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减；当0<<3a 时，()f x 在⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎥⎦上单调递增． 30．答案见解析.【解析】对函数求导，进而对导函数因式分解，然后分0a ≤，e a =，0e a <<和e a >四种情况进行讨论，最后求得单调区间.由题意，R x ∈，()()()()1e 1e x x f x x ax a x a '=--+=--， 若0a ≤，(),1x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 若e a =，则()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增；若0e a <<，(),ln x a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()ln ,1x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；若e a >，(),1x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()1,ln x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上：0a ≤时，()f x 的减区间为：(),1-∞，增区间为：()1,+∞；e a =时， ()f x 在R 上单调递增；0e a <<时，()f x 的减区间为：()ln ,1a ，增区间为：()(),ln ,1,a -∞+∞；e a >时，()f x 的减区间为：()1,ln a ，增区间为：()(),1,ln ,a -∞+∞.31．答案见解析.【解析】求()f x '，令()0f x '=求出对应的两根，再讨论两根的大小关系，解不等式()0f x '>和()0f x '<，即可得单增区间和单间区间.由()()()()22e 20x f x x a x x a =-+->可得 ()()()()()e 2e 21e 22x x x a f x a x x x '=---=--++-，由()0f x '=可得1x =或ln2x a =，当ln21a <即0e 2a <<时， 由()0f x '>可得ln 21a x <<；由()0f x '<可得：ln 2x a <或1x >，所以()f x 的单增区间为()ln 2,1a ；单间区间为(),ln 2a -∞和()1,+∞；当ln21a =即e 2a =时，()()()1e e 0x f x x '=---≤恒成立， 此时()f x 的单减区间为(),-∞+∞；当ln21a >即2e a >时， 由()0f x '>可得1ln 2x a <<；由()0f x '<可得：1x <或ln 2x a >，所以()f x 的单增区间为()1,ln 2a ；单间区间为(),1-∞和()ln 2,a +∞.综上所述： 当0e 2a <<时，()f x 的单增区间为()ln 2,1a ；单间区间为(),ln 2a -∞和()1,+∞； 当e2a =时，()f x 的单减区间为(),-∞+∞； 当2e a >时，()f x 的单增区间为()1,ln 2a ；单间区间为(),1-∞和()ln 2,a +∞. 32．分类讨论，答案见解析.【解析】 求导可得(1)(1)()ax x f x x---'=，只需讨论(1)(1)y ax x =---在(0,)+∞的正负即可，分0a ≥，10a -<<，1a =-，1a <-四种情况讨论，即得解由题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)1(1)(1)()1ax a x ax x f x ax a x x x-+-+---'=-+-==， （1）当0a ≥时，10ax --<，由()0f x '<得1x >，由()0f x '>得01x <<，．∀()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞（2）当10a -<<时，11a>-， 由()0f x '>得01x <<或1x a>-， 由()0f x '<得11x a <<-， ∀()f x 的单调减区间为1(1,)a -，单调增区间为(0,1)和1(,)a-+∞ （3）当1a =-时，11a=-，()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立， ∀()f x 单调增区间为(0,)+∞，无减区间；（4）当1a <-时，101a <<-， 由()0f x '>得10x a <<-或1x >， 由()0f x '<得11x a-<<， ∀()f x 的单调减区间为1(,1)a -，单调增区间为1(0,)a-和(1,)+∞． 综上所述，当1a <-时，()f x 的单调减区间为1(,1)a -，单调增区间为1(0,)a-和(1,)+∞； 当1a =-时，()f x 单调增区间为(0,)+∞，无减区间；当10a -<<时，()f x 的单调减区间为1(1,)a -，单调增区间为(0,1)和1(,)a-+∞； 当0a ≥时，()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞.33．答案见解析.【解析】对函数求导，进而对参数a 分等于0，大于0和小于0三种情况进行讨论，然后得到单调区间.由题意，R x ∈，()()1e x f x ax a '=+-若a =0，()0e x f x '=-<，则()f x 在R 上单调递减；若a >0，1,1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；若a <0，1,1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上：a =0时， ()f x 在R 上单调递减；。
第五章：一元函数的导数及其应用 重点题型复习(解析版)
第五章：一元函数的导数及其应用重点题型复习题型一导数定义的理解与运用【例1】已知()f x '是函数()f x 的导函数，若()24f '=，则()()222limx f x f x→+-=（）A．4B．2C．8D．8-【答案】C 【解析】()()()()()020222222lim2lim 2282x x f x f f x f f x x→→+-+-'===．故选：C ．【变式1-1】已知函数()f x 在0x x =处的导数为()0f x '，则000(2)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A．()02f x 'B．()02f x '-C．()012f x -'D．()12f x '【答案】A【解析】由导数的定义和极限的运算法则，可得：000000000(2)()(2)()()()limlim lim x x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆+∆-=+∆∆∆()()()0002f x f x f x '''=+=.故选：A.【变式1-2】已知函数()f x 可导，且满足()()3Δ3Δlim2Δx f x f x x→--+=，则函数()y f x =在3x =处的导数为（）A．1-B．2-C．1D．2【答案】A【解析】因为()()()()003333lim 2lim 2(3)22x x f x f x f x f x f x x→→-∆-+∆-∆-+∆'=-=-=∆-∆△△，所以(3)1f '=-，故选:A.【变式1-3】若函数()f x 在0x 处可导，且()()0002lim 12x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=（）A．1B．1-C．2D．12【答案】A【解析】由导数定义可得()()()00002lim 2x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，所以()01f x '=．故选：A．【变式1-4】设函数()y f x =在R 上可导，则()()00lim x f f x x∆→-∆=∆（）A．()0f 'B．()0f '-C．()f x 'D．以上都不对【答案】B【解析】由导数的定义可知()()()()()000lim lim0x x f f x f x f f xx∆→∆→-∆∆-'=-=-∆∆.故选：B.题型二导数的几何意义与应用【例2】函数()()e sin cos xf x x x =+在0x =处切线的斜率为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为函数()()e sin cos xf x x x =+，则()()e sin cos cos sin 2e cos x xf x x x x x x =++-='，所以()02f '=，也即函数()()e sin cos xf x x x =+在0x =处切线的斜率2k =，故选：B .【变式2-1】已知函数()32f x x =+.（1）曲线()y f x =在点1x =处的切线方程；（2）曲线()y f x =过点()0,4B 的切线方程.【答案】（1）30x y -=；（2）340x y -+=【解析】（1）因为2()3f x x '=，所以(1)3f '=，又(1)3f =，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()331y x -=-，即30x y -=；（2）设切点为()300,2x x +，则()()3200002,3f x x f x x =='+，所以切线方程为()()3200023y x x x x -+=-，因为切线过点()0,4B ，所以()()320004230x x x -+=-，即322x =-，解得01x =-，故所求切线方程为340x y -+=．【变式2-2】已知()3f x x x =-，如果过点()2,m 可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的取值范围是______.【答案】()2,6-【解析】()231f x x '=-，则过()(),t f t 的切线为()()()y f t f t x t '-=-，即()23312y t x t =--.由过点()2,m 可作曲线()y f x =的三条切线得32262m t t =-+-有3个不等实根.令()32262g t t t m =-++，()2612g t t t '=-，由()0g t '=得0=t 或2t =.当0t <或2t >，()0g t '>，()g t 单调递增；当02t <<，()0g t '<，()g t 单调递减；故当0=t 时，函数()g t 取得极大值为2m +；当2t =时，函数()g t 取得极小值为6m -.要使()0g t =有3个不等实根，则26m -<<，即所求m 的取值范围是()2,6-.【变式2-3】（多选）设b 为实数，直线3y x b =+能作为曲线()f x 的切线，则曲线()f x 的方程可以为（）A．()1f x x=-B．()214ln 2f x x x=+C．()3f x x=D．()exf x =【答案】ACD【解析】因为直线3y x b =+能作为曲线()f x 的切线，所以()3f x '=有解，对于A，由()1f x x=-，得()21f x x '=，由()3f x '=，得213x =，解得33x =，所以直线3y x b =+能作为曲线()1f x x =-的切线，所以A 正确，对于B，由()214ln 2f x x x =+，得()4(0)f x x x x '=+>，由()3f x '=，得43x x +=，化简得2340x x -+=，因为2(3)440∆=--⨯<，所以方程无解，所以直线3y x b =+不能作为曲线()214ln 2f x x x =+的切线，所以B 错误，对于C，由()3f x x =，得2()3f x x '=，由()3f x '=，得233x =，解得1x =±，所以直线3y x b =+能作为曲线()3f x x =的切线，所以C 正确，对于D，由()e xf x =，得()e xf x '=，由()3f x '=，得e 3x =，解得ln 3x =，所以直线3y x b =+能作为曲线()e xf x =的切线，所以D 正确，选：ACD【变式2-4】（多选）若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值可能是（）A．1.2B．4C．5.6D．2e【答案】ABD【解析】由21y x =-，则2y x '=，由ln 1y a x =-，则ay x'=设切线与曲线21y x =-相切于点()11,A x y ，则斜率为12x ，所以切线方程为()()211112y x x x x --=-，即21121y x x x =--①设切线与曲线ln 1y a x =-相切于点()22,B x y ，则斜率为：2ax ，则切线方程为()()222ln 1ay a x x x x --=-，即22ln 1a y x a x a x=+--，②根据题意方程①，②表示同一条直线，则122212ln a x x a x a x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩所以()2224ln 1a x x =--，令()2244ln g x x x x =-（0x >），则()()412ln g x x x '=-，所以()g x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，()max 2g x ge ==，由题意(]0,2e a ∈.题型三导数的基本运算【例3】求下列函数的导数．（1）ln(21)y x =+；（2）sin cos xy x=；（3）1()23()()y x x x =+++．【答案】（1）221y x '=+；（2）21cos y x'=；（3）231211y x x =++'【解析】（1）因为ln(21)y x =+，所以221y x '=+；（2）因为sin cos x y x =，所以()2222cos sin 1cos cos x x y x x +'==；（3）因为1()23()()y x x x =+++，326116x x x =+++，所以231211y x x =++'.【变式3-1】已知()tan f x x =，则=3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'（）A．43B．43-C．4D．4-【答案】C【解析】因为()tan f x x =，所以2222sin cos sin 1()(tan )()cos cos cos x x x f x x x x x+''===='，所以21(43cos 3f ππ'==．故选：C．【变式3-2】已知()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，则()2022f '=（）A．2021B．2021-C．2022D．2022-【答案】B【解析】因为()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，所以()()202222022f x x f x''=+-，所以()()202220222022220222022f f ''=+-，解得()20222021f '=-，故选：B【变式3-3】已知函数(),()f x g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()2f x g x '+=，()()42f x g x '--=，若()g x 为偶函数，则下列结论不一定成立的是（）A．(4)2f =B．()20g '=C．(1)(3)f f -=-D．(1)(3)4f f +=【答案】C【解析】对A：∵()g x 为偶函数，则()=()g x g x -，两边求导可得()()g x g x ''=--∴()g x '为奇函数，则()00g '=令=4x ，则可得()0(4)2f g '-=，则(4)2f =，A 成立；对B：令=2x ，则可得()()(2)+2=2(2)2=2f g f g ''⎧⎪⎨-⎪⎩，则()(2)=22=0f g '⎧⎨⎩，B 成立；∵()()2f x g x '+=，则可得()(2)22f xg x '+++=()()42f x g x '--=，则可得()(2)22f x x g '+--=两式相加可得：()(2)42x x f f ++=-，∴()f x 关于点()2,2成中心对称，则(1)(3)4f f +=，D 成立又∵()()2f x g x '+=，则可得()()(4)4(4)42f xg x f x g x ''-+-=---=()()42f x g x '--=，则可得()()4f x f x =-∴()f x 以4为周期的周期函数根据以上性质只能推出(1)(3)4f f -+-=，不能推出(1)(3)f f -=-，C 不一定成立.题型四用导数求函数的单调性【例4】函数()e xf x x =的单调递增区间是（）A．(),1-∞-B．(),0∞-C．()0,∞+D．()1,-+∞【答案】D【解析】()()e e e 1x x xf x x x '+=+=，由()0f x '>，得1x >-，所以函数()f x 的单调递增区间是()1,-+∞．故选：D.【变式4-1】函数()2ln f x x x =的单调递增区间为（）A．(B．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C．)+∞D．⎛⎝⎭【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()212ln 2ln 2ln 1f x x x x x x x x x x'=+⋅=+=+，令()0f x '>，得2ln 10x +>，解得x >故函数()2ln f x x x =的单调递增区间为e ⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭．故选：B．【变式4-2】下列函数中，既是奇函数，又在()0,+∞上是单调函数的是（）A．()sin x x x f -=B．()3exf x x =C．()2f x x=D．()cos f x x x=-【答案】A【解析】A：()sin()sin ()x x x f x x x f --=-+=--=-且定义域为R，为奇函数，又()1cos 0f x x '=-≥，故()f x 单调递增，满足要求；B：()33()e ()exx x x f x f x -=-≠--=-，不满足；C：()22())(f x x x f x ==-=-且定义域为R，为偶函数，不满足；D：()cos()cos ()f x x x x x f x -=---=--≠-，不满足.故选：A【变式4-3】已知函数()()()2212ln R f x ax a x x a =+--∈.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()e,e f 的切线方程；（2）讨论函数()y f x =的单调性.【答案】（1）22ey x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）答案见解析【解析】（1）由0a =，则()22ln f x x x =-，()e 2e 2f =-，()22f x x '=-，()2e 2ef '=-，切线方程：()()22e 22e e y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，则22e y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由()()2212ln f x ax a x x =+--，求导得()()()()1222221x ax f x ax a xx-+'=+--=，①当0a =时，()22x f x x-'=，()0f x '<，解得()0,1x ∈，()0f x '>，解得()1,x ∈+∞，则()f x ：单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞；②当0a >时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-（舍去）当()0,1x ∈时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞；③当1a <-时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-，当()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,1x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单增区间：1,1a⎛⎫- ⎪⎝⎭；④当1a =-时，()()221x f x x--'=，则()f x ：单减区间：()0,∞+；⑤当10a -<<时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-，当()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：()0,1和1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单增区间：11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上，当0a ≥时，单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞当1a <-时，单减区间：10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单增区间：1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当1a =-时，单减区间：()0,∞+当10a -<<时，单减区间：()0,1和1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单增区间：11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.题型五由函数的单调性求参数【例5】若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A．[)3,+∞B．(],3-∞C．23,e 1⎡⎤+⎣⎦D．(2,e 1⎤-∞+⎦【答案】B【解析】依题意()120f x x a x'=-+≥在区间()1,e 上恒成立，即12a x x≤+在区间()1,e 上恒成立.令()()121e g x x x x =+<<，则()22212120x g x x x -'=-=>，所以()g x 在()1,e 上单调递增，则()3g x >，所以3a ≤.故选:B.【变式5-1】设函数()23ln h x x x x =-+，若函数()h x 在区间1,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，求实数m 的取值范围.【答案】3,22⎛⎤⎥⎝⎦【解析】()()()211123x x h x x xx --'=+-=，()0x >，令()0h x '>，解得102x <<或1x >，令()0h x '<，解得112x <<.故()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上严格增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上严格减，在()1,+∞上严格增.又()h x 在区间1,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则只需1112m <-≤，解得(3,22m ⎤∈⎥⎦.故实数m 的取值范围为3,22⎛⎤⎥⎝⎦.【变式5-2】已知函数()3212132a g x x x x =-++．若()g x 在()2,1--内不单调，则实数a 的取值范围是______．【答案】(3,--【解析】由()3212132a g x x x x =-++，得()22g x x ax '=-+，当()g x 在()2,1--内为减函数时，则()220g x x ax '=-+≤在()2,1--内恒成立，所以2a x x≤+在()2,1--内恒成立，当()g x 在()2,1--内为增函数时，则()220g x x ax '=-+≥在()2,1--内恒成立，所以2a x x≥+在()2,1--内恒成立，令2y x x=+，因为2y x x=+在(2,-内单调递增，在()1-内单调递减，所以2y x x =+在()2,1--内的值域为(3,--，所以3a ≤-或a ≥-，所以函数()g x 在()2,1--内单调时，a 的取值范围是(]),3⎡-∞-⋃-+∞⎣，故()g x 在()2,1--上不单调时，实数a 的取值范围是(3,--．【变式5-3】已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1m m -+上不单调，则实数m 的取值范围是（）A．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由题意得29239(3)(23)()23,(0)x x x x f x x x x x x +-+-'=-+==>，令()0f x '=，解得32x =或3x =-（舍），当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 为减函数，当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 为增函数，所以()f x 在32x =处取得极小值，所以3112m m -<<+，解得1522m <<，又()1,1m m -+为定义域的一个子区间，所以10m -≥，解得m 1≥，所以实数m 的取值范围是51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：A题型六用导数求函数的极值【例6】函数2ln ()xf x x =的极大值为___________.【答案】12e【解析】()f x 的定义域是()0,∞+，()432ln 12ln x x x xf x x x -='-=，令()0f x '=解得x所以，()f x 在区间(()(),0,f x f x '>递增；在区间)()(),0,f x f x '+∞<递减；所以()f x 的极大值为12ef=.【变式6-1】已知函数2()(15)e x f x x =-（1）求()f x 在0x =处的切线的方程.（2）求()f x 的单调区间和极值.【答案】（1）15150x y ++=；（2）增区间为(,5),(3,)-∞-+∞，减区间()5,3-；（3）极大值为5(5)10e ,f --=极小值3(3)6e f =-.【解析】（1）因为2()(15)e x f x x =-，故可得()015f =-，()f x '()()()2e 215e 53x xx x x x =+-=+-，(0)f '15=-，故()f x 在0x =处的切线的方程为：1515y x +=-，即15150x y ++=.（2）因为()f x '()()e 53xx x =+-，令()f x '0>，解得()(),53,x ∈-∞-⋃+∞；令()f x '0<，解得()5,3x ∈-；则()f x 在(),5-∞-单调递增，在()5,3-单调递减，在()3,+∞单调递增，故()f x 的单调增区间为(,5),(3,)-∞-+∞，单调减区间()5,3-，且()f x 的极大值为5(5)10e ,f --=()f x 的极小值为3(3)6e f =-.【变式6-2】设函数()233f x x x =--（1）求曲线()y f x =在4x =处的切线方程；（2）设()()e xg x f x =，求函数()g x 的极值．【答案】（1）5190x y --=；（2）极大值为27e -；极小值为33e -．【解析】（1）∵()233f x x x =--，∴()23f x x '=-∴切线的斜率()42435f '=⨯-=又切点的坐标为()()4,4f ，即()4,1∴切线的方程()154y x -=-，即5190x y --=（2）∵()()()2e e33x xg x f x x x =⋅=--⋅∴()()()()2223e 33e 6ex x xg x x x x x x '=-⋅+--⋅=--⋅令()0g x '=，则260x x --=，解得2x =-或3x =列表：x(),2-∞-2-()2,3-3()3,+∞()g x '正0负0正()g x 单调递增27e -单调递减33e -单调递增∴当2x =-时，()g x 取得极大值为27e -；当3x =时，()g x 取得极小值为33e -．【变式6-3】已知函数()2ln f x x a x bx =++在()()1,1f 处的切线方程为30x y ++=．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 的极值点，并计算两个极值之和．【答案】（1）2a =，=5b -（2）极大值点为112x =，极小值点为22x =，极大值与极小值的和为334-【解析】（1）因为()2ln f x x a x bx =++的定义域为()0,∞+，()2a f x x b x'=++，因为，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为30x y ++=，()114f b =+=-，可得=5b -，()121f a b '=++=-，可得2a =.（2）由()()22ln 50f x x x x x =+->，得()()()2212225225x x x x f x x x x x---+'=+-==，列表如下：x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭121,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '+-+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的极大值点为112x =，极大值为192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，极小值点为22x =，极小值为()22ln 26f =-，所以，函数()f x 的极大值和极小值为()133224f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭.题型七由函数的极值求参数【例7】已知2x =是函数()323f x ax x a =-+的极小值点，则()f x 的极大值为（）A．3-B．0C．1D．2【答案】C【解析】因为()323f x ax x a =-+，则()236f x ax x '=-，由题意可得()212120f a '=-=，解得1a =，()3231f x x x ∴=-+，()()32f x x x '=-，列表如下：x (),0∞-0()0,22()2,+∞()f x '+-+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的极大值为()01f =.故选：C.【变式7-1】函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值为10，那么a ，b 的值为（）A．4，11-B．3-，3C．4，11-或3-，3D．3，3【答案】A【解析】()232f x x ax b '=++，由题意可知()()10110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，则232120b a a a =--⎧⎨--=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2310f x x '=-≥，∴在1x =处不存在极值，不符合题意；②当411a b =⎧⎨=-⎩时，()()()238113111f x x x x x '=+-=+-，11,13x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，符合题意．411a b =⎧∴⎨=-⎩，故选：A ．【变式7-2】已知函数322()f x x ax bx a =--+，则“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】因为322()f x x ax bx a =--+，所以2()32f x x ax b '=--，所以()()21=32=01=1+=10f a b f a b a ----⎧'⎪⎨⎪⎩，解得=3=3a b -⎧⎨⎩或=4=11a b -⎧⎨⎩；当=3=3a b -⎧⎨⎩时32()339f x x x x =-++，()22()363310f x x x x '=-+=-≥，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；当=4=11a b -⎧⎨⎩时32()41116f x x x x =+-+，()()2()31131118f x x x x x '=++=--，当1x >或113x <-时()0f x '>，当1113x -<<时()0f x '<，满足函数在=1x 处取得极值，所以7a b +=，所以由7a b +=推不出函数()f x 在=1x 处有极值10，即充分性不成立；由函数()f x 在=1x 处有极值10推得出7a b +=，即必要性成立；故“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的必要不充分条件；故选：B【变式7-3】已知()()3261f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（）A．()1,2-B．()3,6-C．()(),12,-∞-+∞D．()(),36,-∞-+∞U 【答案】D【解析】由()()3261f x x ax a x =++++可得()2326f x x ax a '=+++，因为()f x 有极大值和极小值，所以()23260f x x ax a '=+++=有两个不相等的实数根，所以()()224360a a ∆=-⨯⨯+>，即23180a a -->，解得：3a <-或6a >，所以a 的取值范围为()(),36,-∞-+∞U ，故选：D.【变式7-4】已知函数()ln ex axf x x x =+-有唯一的极值点t ，则()f t 的取值范围是（）A．[)2,-+∞B．[)3,∞-+C．[)2,+∞D．[)3,+∞【答案】A【解析】求导有()()1e e x x xf x ax x -'=+⋅，因为函数()ln e x axf x x x =+-有唯一的极值点t ，所以，()()1e 0ex x xf x ax x -'=+=⋅有唯一正实数根，因为()10f '=，所以e 0x ax +=在()0,x ∈+∞上无解，所以，e xa x -=在()0,x ∈+∞上无解，记()e xg x x =，则有()()2e 1x x g x x -'=，所以，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在()0,1上递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增．此时1x =时，()e xg x x=有最小值()1e g =，所以，e a -≤，即e a -≥，所以()()112ea f t f ==-≥-，即()f t 的取值范围是[)2,-+∞，故选：A题型八用导数求函数的最值【例8】函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（）A．1πB．2πC．-1D．0【答案】C【解析】由题意，函数()12cos f x x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且满足()()()1122cos cos f x x x x x x x f x -=-+---=+-=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，()12cos f x x x x =+-，可得()1sin 110f x x =+≥+'>，()f x 在单调递增，又由()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，[)0,∞+单调递增，所以()()min 01f x f ==-.故选：C.【变式8-1】已知函数()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，若()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为122y x =+．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的最大值．【答案】（1）12a =，1b =；（2）2π+【解析】（1）因为()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，所以()sin f x a x '=-，由题意得()()0cos 01210sin 02f b b f a a ⎧=+=+=⎪⎨=-='=⎪⎩，所以12a =，1b =；（2）由（1）得()11cos 2f x x x =++，()1sin 2f x x '=-，因为[]02πx ∈，，当π06x ≤≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，当π5π66x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当5π2π6x ≤≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，故当6x π=时，函数取得极大值π1πππ1cos 16266122f ⎛⎫=⨯++=++ ⎪⎝⎭，又()02f =，()12π2π1cos 2π1π12π2f =⨯++=++=+，因为π212π12<+<+故函数()f x 在[]02π，上的最大值为2π+．【变式8-2】已知函数()321313f x x x x =-+++．（1）求()f x 的单调区间及极值；（2）求()f x 在区间[]0,6上的最值．【答案】（1）单调增区间为[]1,3-，单调减区间为(),1-∞-和()3,+∞；极小值23-；极大值10（2）最大值为10；最小值为17-【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()22331f x x x x x '=-++=--+．令()0f x '=，得=1x -或3x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x(),1-∞-1-()1,3-3()3,+∞()f x '-+-()f x 单调递减23-单调递增10单调递减故()f x 的单调增区间为[]1,3-，单调减区间为(),1-∞-和()3,+∞．当=1x -时，()f x 有极小值()213f -=-；当3x =时，()f x 有极大值()310f =．（2）由（1）可知，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,6上单调递减，所以()f x 在[]0,6上的最大值为()310f =．又()01f =，()617f =-，()()60f f <，所以()f x 在区间[]0,6上的最小值为()617f =-．【变式8-3】已知函数31()312f x x ax a ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭．（1）若函数f （x ）在x =－1处取得极值，求实数a 的值；（2）当[2,1]x ∈-时．求函数f （x ）的最大值．【答案】（1）a =1；（2）答案见解析【解析】（1）由题意可知2()33f x x a '=-，所以(1)0f '-=，即3-3a =0解得a =1，经检验a =1，符合题意．所以a =1．（2）由（1）知2()33f x x a '=-，令()0f x '=，x =212<<即112a <<时，f （x ）和()f x '随x 的变化情况如下表：由上可知，所以()f x 的最大值为21．当12≤<即14≤<a 时，f （x ）和()f x '随x 的变化情况如下表：(21f =+，由上可知，所以f （x ）的最大值为21．2≥即4a ≥时，2()330f x x a '=-≤恒成立，即f （x ）在［－2，1]上单调递减，所以f （x ）的最大值为f （－2）=－7+6a ，综上所述，当142a <<时，f （x ）的最大值为21；当4a ≥时，f （x ）的最大值为－7+6a ．题型九由函数的最值求参数【例9】若函数32()52f x x x x =+--在区间(,5)m m +内有最小值，则实数m 的取值范围是（）A．(4,1)-B．(4,0)-C．[3,1)-D．(3,1)-【答案】C【解析】由题得，2()325(35)(1)f x x x x x '=+-=+-.令()0f x '>，解得53x <-或1x >；令()0f x '<，解得531x <-<，所以()f x 在区间5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内单调递增，在区间5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间(1,)+∞内单调递增，所以函数的极小值(1)5f ==-.若()f x 在区间(,5)m m +内有最小值，则极小值即最小值，所以15m m <<+，解得41m -<<，令()5f x =-，可得32530x x x +-+=，可得2(1)(3)0x x -+=，解得3x =-或1，由题得3m - ，综上31m -< .故选：C.【变式9-1】（多选）若函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的可能取值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】ABC【解析】因为函数f (x )＝3x －x 3，所以()233f x x '=-，令()0f x '=，得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>，所以当=1x -时，()f x 取得极小值()12f =-，则21211a a ⎧-<-⎨>-⎩，解得1a -<<又因为()f x 在()1,+∞上递减，且()22f =-，所以2a ≤，综上：12a -<≤，所以实数a 的可能取值是0，1，2故选：ABC【变式9-2】已知函数()()()2e 21251x x x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，当(],x m ∈-∞时，()1,1e f x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则实数m 的取值范围是__________．【答案】11,32e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】当1x ≤时，()()()1e 2xf x x =+-'，令()0f x '>，则ln21x <<或1x <-；()0f x '<，则1ln2x -<<，∴函数()f x 在()1,ln2-上单调递减，在()(),1,ln2,1-∞-单调递增，∴函数()f x 在=1x -处取得极大值为()111ef -=-，在ln2x =出的极小值为()()()2ln2ln21,e 3f f =-=-.当1x >时，令()1251e f x x =-≤-，解得1132ex <≤-综上所述，m 的取值范围为11,32e ⎡⎤--⎢⎣⎦【变式9-3】已知函数()ln a f x x x=-（1）若a ∈R ，求()f x 在定义域内的极值；（2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为32，求实数a 的值．【答案】（1）答案见解析；（2）a e 【解析】（1）由题意得()f x 的定义域是()0+∞，，且()2x af x x +'=，因为0a ≥，所以()0f x '>，故()f x 在()0+∞，上单调递增，无极值；当a<0，x a >-时()0f x '>，()f x 单调递增，0x a <<-时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x a =-有极小值()ln 1a -+，无极大值；（2）由（1）可得()2x af x x +'=，因为[]1,e x ∈，①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()()min 312f x f a ==-=，所以32a =-（舍去）；②若e a -≤，则0x a +≤，即()0f x '≤在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 上单调递减，所以()()min 3e 1e 2a f x f ==-=，所以e2a =-（舍去）．③若e<1a -<-，令()0f x '=，得x a =-，当1x a <<-时，()0f x '<，所以()f x 在()1,a -上单调递减；当e a x -<<时，()0f x '>，所以()f x 在(),e a -上单调递增，所以()()()min 3ln 12f x f a a =-=-+=，所以a =a =题型十造法解函数不等式【例10】设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()()R 1e f x f x x f <∈'=，，则不等式(ln )f x x >的解集为__________．【答案】(0,e)【解析】令()()e x f x g x =，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xf x f x f x f xg x '-=''-=，()()f x f x '<，()0g x '∴<，()()e xf xg x ∴=在R 上单调递减，由(ln )f x x >可得ln (ln )(ln )(1)1e ex f x f x f x =>=，即(ln )(1)g x g >，ln 1x ∴<，解得0e x <<.故不等式的解集为(0,e).【变式10-1】已知定义在R 上的连续偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x >时，()()0f x f x x'+<，且(2)3f =-，则不等式6(21)21f x x --<-的解集为（）A．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．13,22⎛⎫⎪⎝⎭C．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D．1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】当0x >时，()()()()()()0xf x f x xf x f x f x xxx''+'+==<，∴()()0xf x '<，令()()g x xf x =，∴()g x 在()0,∞+上单调递减，又()y f x =是定义在R 上的连续偶函数，∴()g x 是R 上的奇函数，即()g x 在R 上单调递减，∵(2)3f =-，∴()26g =-，当210x ->，即12x >时，()6(21)21(21)(21)2616f x x f x g x x --<⇒--<-⇒-<--，∴22123x x ⇒>->；当210x -<，即12x <时，()6(21)21(21)(21)2616f x x f x g x x --<⇒-->-⇒->--，∴22123x x ⇒<-<，则12x <.故不等式6(21)21f x x --<-的解集为13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.【变式10-2】已知函数()f x 是定义在()()-00+∞∞，，的奇函数，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，则不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为（）A．()()33-∞-⋃+∞，，B．()()3003-⋃，，C．()()3007-⋃，，D．()()327-∞-⋃，，【答案】D 【解析】令()()=f xg x x，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，∴当()0x ∈+∞，时，()()()2=<0xf x f x g x x -''，()g x ∴在()0+∞，上单调递减；又()f x 为()()-00+∞∞，，的奇函数，()()()()()====f x f x f x g x g x x x x--∴---，即()g x 为偶函数，()g x ∴在()0-∞，上单调递增；又由不等式()()()52+25<0f x x f --得()()()52<25f x x f --，当20x ->，即2x <时，不等式可化为()()25<25f x f x --，即()()2<5g x g -，由()g x 在()0+∞，上单调递减得2>5x -，解得3x <-，故3x <-；当20x -<，即2x >时，不等式可化为()()25>25f x f x --，即()()()2>5=5g x g g --，由()g x 在()0-∞，上单调递增得2>5x --，解得7x <，故27x <<；综上所述，不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为：()()327-∞-⋃，，．故选：D．【变式10-3】定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()10xf x x '-->，且()()1010ln 10ef =，则不等式()e e x xf x >+的解集为（）A．()10,+∞B．()ln10,+∞C．()ln 5,+∞D．(),5-∞【答案】B【解析】令()()ln g x f x x x =--，因为定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()10xf x x '-->，所以()()()1110xf x x g x f x xx'--''=--=>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()()1010ln 10e10ln10f ==+，所以(10)0g =，所以不等式()e e xxf x >+可转化为()()0e e exxxg f x =-->，即())e (10xg g >，所以e x ＞10，所以x ＞ln10，所以不等式()e e x xf x >+的解集为()ln10,+∞.故选：B.题型十一导数与函数零点的综合问题【例11】已知函数()e 2axf x x =-()a ∈R ，()cosg x x =.（1）求函数()f x 的极值；（2）当1a =时，判断函数()()()F x f x g x =-在3π,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上零点个数.【答案】（1）答案见解析；（2）两个【解析】（1）由()e 2ax f x x =-知定义域为R ，()e 2axf x a '=-①当0a ≤时，在R 上()0f x '<，故()f x 单调递减，所以无极值.②当0a >时，由e 20ax a -=得:12ln x a a=，当12,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<当12ln ,x a a∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以函数()f x 有极小值为2ln 121222ln 2ln 1ln a f e a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极大值.（2）当1a =时，()e 2cos x F x x x =--，()e 2sin xF x x =-+'，当3π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0F x '<，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()F x '单调递增，且()01210F =-=-<'，π2πe 2102F ⎛⎫='-+> ⎪⎝⎭，故在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在0x 使得0()0F x '=，而当π,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0F x '>.所以()F x 在03π,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，且3π23πe 3π>02F -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()00F =，所以()00F x <，又()ππe 2π+1>0F =-，故由零点的存在性定理()F x 在03,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在一个零点，在0(,)x +∞上也存在一个零点.所以()F x 在3,2π∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上有两个零点.【变式11-1】若函数()36f x x x m =-+恰有2个不同的零点，则实数m 的值是_________.【答案】-【解析】因为()36f x x x m =-+恰有2个不同零点，故函数()316f x x x =-与()2f x m =-，恰有2个交点，对于()316f x x x =-，()2136f x x '=-，由()10f x '>，得2x 或2x <-，由()10f x '<，得22x -<所以当x 变化时()1f x '，()1f x 变化如下：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()1f x '+0-+()1f x 极大值极小值因为1f x 与()2f x 恰有两个交点，又()122222f =-，(22f -=故12m f -=，或(12m f -=-，所以2m =42m =-【变式11-2】已知函数()()32ln 1,033,0x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩，若函数()y f x ax =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】3,34a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】当0x ≤时，()3233f x x x x =++，()()22363310f x x x x '=++=+≥，在0x ≤上恒成立，且在=1x -时，等号成立，所以()3233f x x x x =++在0x ≤上单调递增，且()00f =，当0x >时，()()ln 1f x x =-+单调递减，且()ln 010-+=，函数()y f x ax =-恰有三个零点，可转化为函数()y f x =与y ax =有三个交点，画出()()32ln 1,033,0x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩的图象，所图所示：设直线y ax =与()3233f x x x x =++，0x ≤相切时切点为()32,33A m m m m ++，则()()231f m m a '=+=，又根据斜率公式可得：3223333m m ma m m m++==++，所以()223133m m m +=++，解得：0m =或32-，当0m =时，3a =，当32m =-时，2333124a ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以要想函数()y f x =与y ax =有三个交点，直线斜率要介于两切线斜率之间，故3,34a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【变式11-3】已知函数2()ln (1)f x x a x x a =-+++．（1）若0a =，求()f x 的极大值；（2）若()f x 在区间[1,)+∞上有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0；（2）(1,0)-．【解析】（1）当0a =时，2()ln f x x x x =-+，且0x >则1(21)(1)()21x x f x x xx'+-=-+=-．当(0,1)x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以()f x 的极大值为2(1)ln1110f =-+=．（2）由题意得212(1)1()2(1)1a x x f x a x x x-+++=++='-当1a ≤-时，()0f x '>对1x ≥恒成立，所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以()f x 在区间[1,)+∞上仅有一个零点，不符合题意．当1a >-时，令22(1)10a x x -+++=，得12110,04(1)4(1)x a x a =<=>++，若21x ≤，即0a ≥时，()0f x '≤对1x ≥恒成立，()f x 在区间[1,)+∞上单调递减，又(1)0f =，所以()f x 在区间[1,)+∞上仅有一个零点，不符合题意．若21x >，即10a -<<时，()f x 在区间[)21,x 上单调递增，在区间[)2,x +∞上单调递减．令()ln 1,1g x x x x =-->，则1()0xg x x-'=<，所以()g x 在区间[1,)+∞上单调递减，所以()(1)20g x g ≤=-<，即ln 1x x <+，所以2()(1)21f x a x x a <-++++，其中1(1)0a -<-+<，因为函数2(1)21y a x x a =-++++的图像开口向下，所以01x ∃>，使()00f x <，即()f x 在区间[1,)+∞上有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(1,0)-．题型十二导数与不等式综合问题【例12】已知函数1()e (1)x f x x -=-+．（1）求()f x 的极值；（2）设()()11f x g x x =++，求证：当1x ≥时，1()4x g x +≥．【答案】（1）极小值1-，无极大值；（2）证明见解析【解析】（1）1()e 1x f x -'=-，由()0f x '=得1x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所示：x(,1)-∞1(1,)+∞()f x '-0+()f x ↙极小值↗由上表可知()f x 在1x =处取得极小值(1)1f =-，无极大值．（2）1e ()1x g x x -=+，令21(1)()(1)4ex x h x x -+=≥，22112(1)(1)1()04e 4ex x x x x h x --+-+-'==≤，所以()h x 在[1,)+∞单调递减，所以当1x ≥时，()(1)1h x h ≤=．所以当1x ≥时，21(1)14e x x -+≤，即1e 114x x x -+≥+，故当1x ≥时，1()4x g x +≥．【变式12-1】已知函数()ln f x x x =，()23g x x ax =-+-（1）求()f x 在()()e,e f 处的切线方程（2）若存在[]1,e x ∈时，使()()2f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）2e y x =-；（2）32e ea £++【解析】（1）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+，所以切线的斜率()e 2k f '==，()e e f =．所以()f x 在()()e,e f 处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-；（2）令()()()20l 223n h x x f x g x x ax x =+-=-+³，则max32ln a x x x ⎡⎤≤++⎢⎥⎣⎦，令()32ln x x x xj =++，[]1,e x ∈，在[]1,e x ∈上，()()()2130x x x x -+¢j =，()x ϕ∴在[]1,e 上单调递增，()()max 3e 2e +ex \j =j =+，32e ea \£++．【变式12-2】已知函数()ln 1(R)f x a x x a =-+∈．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意的12,(0,1]x x ∈，当12x x <时都有121211()()4f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围．【答案】（1）在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减；（2）[3,)-+∞【解析】（1）定义域为(0,)+∞，()1a a xf x xx'-=-=．当0a >时，由()0f x '<，解得：x a >，由()0f x '>，解得：0x a <<．即()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．（2）121211()()4()f x f x x x -<-，即()()121244f x f x x x -<-．令4()()g x f x x=-，则可知函数()g x 在(0,1]上单调递增．所以2244()()10a g x f x x x x ''=+=-+≥在(0,1]上恒成立．即4a x x ≥-在(0,1]上恒成立，只需max 4()a x x ≥-，设4y x x=-，2410y x '=+>，∴4y x x=-在(0,1]单调递增．所以max 4(143a x x≥-=-=-．综上所述，实数a 的取值范围为[3,)-+∞．【变式12-3】已知函数()()21ln 12f x x ax a x =+++，a ∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0,x ∀∈+∞，不等式()21e 12x f x x ax ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(],0-∞【解析】（1）函数()()21ln 12f x x ax a x =+++的定义域为()0,∞+，所以()()()()2111111ax a x ax x f x ax a x x x++++'+=+++==.当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；。
导数及其应用复习小结
o
2
x
的速度行驶， 8.汽车以 v 0 = 36 km / h 的速度行驶， 到达某处 时需要减速刹车， 时需要减速刹车 ，设汽车以等减速度 a = 5 m / s 2 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少 m ? 刹车， 问从开始刹车到停车，
答案：f ( x)在（0,1） 在（ ,2） f ( x)极小值 = 1 ↓ 1 ↑
( 2 ) 求 g ( x )的值域 .
1 值域为： , )并作函数大致的图象 (−∞ e
函数的单调性
练习. 练习
求下列函数的单调区间：
x+2 (1) y = ; x (3) y =
x ; (2) y = 2 x −9
答案：m ≥ − 1 2
技巧：恒成立问题 技巧：恒成立问题——分离变量求值域法 分离变量求值域法
题型二：利用导数求单调区间极值、 题型二：利用导数求单调区间极值、值域
例题 2：已知函数
强调： 强调：定义域
ln x f ( x ) = x − ln x ， g ( x ) = x (1) 求 f ( x ) 在（ 0，2）上单调 区间和极值 .
f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x)
f ( x) f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x) (3)[ ]′ = 2 g ( x) g ( x)
3、复合函数的求导法则： 、复合函数的求导法则：
y = y •u
' x ' u
4、积分运算： 、积分运算：
1、常见的导数公式： 、常见的导数公式：
记牢是前提！ 记牢是前提！
1.C ′ = o n n −1 2.( x )′ = nx
新课标高中数学导数和应用教材复习题答案
第一章 导数及其应用 1．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8） 函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10） 1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以，企业甲比企业乙治理的效率高. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的涵.2、(1)(1)4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降.3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t=时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502kE =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=.因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -.说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用. 6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题1.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18） 1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2xy e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin33x y '=-； （6）y '=.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r rπ∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n xy nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x x y x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-. 7、1x y π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P .x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h. 1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26） 1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减.（2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减.（3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减.（4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+.（1）当0a >时，()0f x '>，即2b x a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2b x a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. （2）当0a <时，()0f x '>，即2b x a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2b x a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. 4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-.当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)是减函数.练习（P29） 1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2xx =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点.2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-.令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x=时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-.令2()3270f x x '=-=，得3x =±.注：图象形状不唯一.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-.令2()1230f x x '=-=，得2x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x=时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.令2()330f x x '=-=，得1x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x=时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =. 又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值.因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-.习题1.3 A 组（P31） 1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<.因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数.（3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<.因此，函数()24f x x =-是单调递减函数.（4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>.因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数.2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减.（2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减. （3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>.因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数.（4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-.当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减. 3、（1）图略. （2）加速度等于0. 4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值；（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+.令()1210f x x '=+=，得112x =-.当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-. （2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-.令2()3120f x x '=-=，得2x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x=时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+.令2()1230f x x '=-+=，得2x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x=时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-.令2()4830f x x '=-=，得4x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x=时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x=-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16；当2x=时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-.由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值. 由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-.习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈.因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增， 2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减， 2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略 （3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1xe x ->，0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <.由（3）可知，1xe x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间. （2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++.下面分类讨论： 当0a≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a>，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a>，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增.②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x，l x-，则这两个正方形的边长分别为4x，4l x -，两个正方形的面积和为22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2l x =. 当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>. 因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点. 所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小. 2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x . （1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02a x <<. （2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6ax =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<. 因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当6ax=时，无盖方盒的容积最大. 3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222SRh R ππ=+由2VR h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R Rππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；（第2题）（第3题）当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R=是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省. 4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2x m ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x x π'=+-=，得x =（负值舍去）.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省.6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588Rq p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+ 令0L '=，即12104q -+=，84q =. 当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<； 因此，84q=是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大, 习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元， 那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<. 令1()7005L x x '=-+=，解得350x =. 当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时， 利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<. 令845()0c ac bc L x xb b +'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润. 1．5定积分的概念 练习（P42）83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45） 1、22112()[()2]()ii i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =L .于是 111()nnni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+L2231[12]2n n=-++++L 31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+ 111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑ 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km. 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i in ξ=L作和式11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑， 从而11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰， 说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4π=⎰.5、（1）3114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得22333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰ 由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为2331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出31x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B 组（P50） 1、该物体在0t=到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）； 不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）49.81tdt ⎰； 49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =L ），其长度为 (1)il i l lx n n n-∆=-=. 把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆L ，则细棒的质量1nii m m==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n -上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]ii l il n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l iln n-上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =L ）. （3）求和得细棒的质量 2111()n n ni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑.（4）取极限 细棒的质量 21lim ni n i l m nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理 练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24； （5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-； （4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝4611[sin 2]224x ππ=-； （3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m mππππππ--=-=---=⎰； （2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰； （3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰.3、（1）0.202220()(1)[]49245245tkt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰. （2）由题意得 0.2492452455000tt e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值围. 根据指数函数的性质，当0t>时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，500052454949t <<.因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000tt e-+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58）（1）323； （2）1. 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59） 1、52533(23)[3]22st dt t t =+=+=⎰（m ）.2、424003(34)[4]402Wx dx x x =+=+=⎰（J ）.习题1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2）92. 2、2[]bb a aq q q q Wkdr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 42400(4010)[405]80ht dt t t =-=-=⎰（m ）.4、设t s 后两物体相遇，则 20(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t=. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时，物体A 离出发地的距离为 523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由Fkl =，得100.01k =. 解之得1000k =.所做的功为 0.120.10010005005Wldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112st dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）.习题1.7 B 组（P60）1、（1）22aaa x dx --⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此2222aaa a x dx π--=⎰（2）120[1(1)]x x dx ---⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，212111[1(1)]114242x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b=.从而抛物线的方程为224h y x b =. 于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33b b h h Sh x dx hx x bh b b =-=-=⎰.3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =.于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhWGdr G G r r R R h ++==-=+⎰.第一章 复习参考题A 组（P65） 1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x+'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2xxy x x'=+； （4）2422(21)x x y x -'=+.3、32GMmF r'=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略.yxh b O（第2题）5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+.当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--.当()0f x '=，即3c x =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >.由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x ax a--=--，即1()1y x a a=--. 当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a=，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2.9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m.所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60xx -++=.所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时， 旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤.令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =.所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大. 因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x =--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点. 所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q=是函数()y p 在(0,400]唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰.15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ） 第一章 复习参考题B 组（P66） 1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t<<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S . 因为212Sr α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r-=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点. 所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大. 3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222rh R +=.因此，222231111()3333Vr h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得h =.容易知道，3hR =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当3h R =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得α=.所以，圆心角为α=时，容积最大.4、由于28010k =⨯，所以45k=. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x > 令0y '=，即29600160x -=，24x ≈. 容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点.当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时） 所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x=++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元）容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元. 6、原式＝4404422022[]2xx x x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰. 7、解方程组 2y kxy x x =⎧⎨=-⎩得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰. 由题设得1120()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰ 31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是1k =说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kkkx x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.。
知识讲解_《变化率与导数、导数的应用》全章复习与巩固_基础
《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 导数概念通过具体情境，感受在现实实际和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义2. 导数运算（1）会用导数定义计算一些简单函数的导数；（2）会利用导数公式表求出给定函数的导数；（3）掌握求导的四则运算法则，掌握求复合函数的导数，并会利用导数的运算法则求出函数的导函数3. 体会研究函数的意义（1 ）认识导数对于研究函数的变化规律的作用；（2）会用导数的符号来判断函数的单调性；（3）会利用导数研究函数的极值点和最值点.4•导数在实际问题中的应用（1）进一步体会函数是描述世界变化规律的基本数学模型；（2）联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义；（3）从实际生活抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决【知识网络】【要点梳理】要点一：导数的概念及几何意义导数的概念：函数y=f（x）在x0点的导数，通常用符号f ‘X。
）表示，定乂为:一山y 「 f (Xo +^X)—f (Xo )f(x0尸lim ——=lim ------- ----------- ----- ---瘵T0也X 2°氐X要点诠释：(1)丄[_^= _j—X L，它表示当自变量x从x°变X i，函数值从 f x°变到 f X1时，.X X—X°. X函数值关于X的平均变化率•当X趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在X°点的导数.(2)导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率•如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率.(3)对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义.如位移运动中，位移S从时间1到t2的平均变化率即为t i到t2这段时间的平均速度.要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是s=s t ,那么该物体在时刻t0的瞬时速度v就是s=s t在t=t0时的导数，即v=s' t。
导数及其应用(复习课)
导数及其应用复习课【本章知识回顾】一、导数的概念1．函数)(x f 在区间[]21,x x 上的平均变化率为_______（平均变化率反映了曲线的陡峭程度）2．设点Q 为曲线C 上不同于点P 的一点，则直线PQ 称为曲线的割线．当点Q 沿曲线C 向点P 无限逼近时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 就称为曲线在点P 处的切线．3．设物体的位移S 与时间t 满足)(t S S =，则物体在0t t =时刻的瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率，即______________________；物体在0t t =时刻的瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率，即____________________________．４．（１）导数—函数在某一点处的瞬时变化率，函数)(x f 在0x x =处的导数，记为_____， （２）导数)(0x f '的几何意义是_________________________________________________． （３）辨析下列符号：)(x f '，)(0x f '，[]')(0x f ，)3(0+'x f二、导数的运算１．常见函数的导数： )(x f)(x f ' 幂函数αx y =指数函数x a y =（0a >且1a ≠）对数函数x y a log =（0a >且1a ≠）x e y =x y ln =正弦函数x y sin =余弦函数x y cos =２．函数的和、差、积、商的导数（1）[]_________________________)()(='±x g x f ；（2）[]___________________________)()(='⋅x g x f ； （3）_______________________)()(='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f ． ３．复合函数的导数：如何求复合函数()y f ax b =+的导数？①________________②___________________③__________________________．三、导数在研究函数中的应用１．单调性：①函数单调性与导数的关系：① 如何求函数)(x f y =的单调区间？______________________________________________________________________________；②若函数)(x f y =在区间D 上为增函数，则_______________________________________；若函数)(x f y =在区间D 上为减函数，则_________________________________________．２．极值：（１）利用导数求函数极值的步骤：______________________________________（２）“0)(0='x f ”是“函数)(x f y =在0x x =处有极值”的___________________条件．３．函数的最值：如何利用导数求函数)(x f y =的最值？______________________________________________________________________________；【知识形成训练】1．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为 ．2．设P 为曲线2:1C y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-，则点P 纵坐标的取值范围是______________． ３．函数1ln 1ln x y x-=+的导数为____________________． 4．设))(()(,),()(),()(,sin )('1'12'010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+ ，则=)(2012x f .5．函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则=a _______．6．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是_________________．7．函数x x x f ln )(-=的单调减区间为_________________．8．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f ，若)(x f 的单调减区间是[]0,4，则实数k 的值为 .9．已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_______．10.已知函数)(x f x y '=的图象如图所示,下面四个图象中)(x f y =的图象大致是_____11．设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3．（1）求)(x f 的极值；（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围；（3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围．12．已知32()2f x ax bx x c =+-+在2x =-时有极大值6，在1x =时有极小值．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值．13．已知函数2()ln f x a x x =+，a R ∈．（1）若2a =-，求证：函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在[]1,e 上的最小值及相应的x 值；（3）若存在[]1,x e ∈，使得()(2)f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围．14．设函数d cx bx x a x f +++=43)(23的图象关于原点对称，)(x f 的图象在点p （1，m ）处的切线的斜率为—6，且当2=x 时)(x f 有极值。
导数及其应用复习题
导数及其应用专项训练一． 选择题1.若函数f (x )可导，则lim Δx →0(1)(1)2f x f x∆∆--等于( )A ．－2f ′(1) B.12 f ′(1) C ．－12f ′(1) D ．f ′12⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-3.曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为（ ）A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+= 4.已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( ) A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2) B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3) C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 5．下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C. ()()222sin sin x x x x x '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 6.若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 7.设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 8. 函数2cos(2)3y x x π=-的导数为( )A ．22cos(2)sin(2)33y x x x x ππ'=---B ． 22cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=---C ．2cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=---D ． 22cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=-+-9.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．310.函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）11.已知函数y ＝f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示.x －1 0 4 5 f (x )1221①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中正确说法的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 12.函数f (x )＝3＋x ·ln x 的单调递增区间是( ) A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(e ，＋∞) C. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭13.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (cos A )<f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (sin A )>f (cos B )14.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(1,2]D ．[1,2)15.设函数()2ln f x x x=+，则( ) A ．12x =为f (x )的极大值点 B ．12x =为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点16.设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝xf ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)17.函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－1918.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元 二． 填空题19.若f ′(x 0)＝2，则lim Δx →000()()2f x f x x x∆∆-+ ＝________.20.一物体的运动方程为s (t )＝7t 2－13t ＋8，则t 0＝________时该物体的瞬时速度为1. 21.已知f (x )＝ln x 且()0201f x x '=，则x 0＝ . 22.函数()2(1)21xf x f x x '=+-，则f ′(0)＝________. 23.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .24.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．25.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________． 26.函数f (x )＝(x 2＋2x )e x (x ∈R )的单调递减区间为____________．27.若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 28.若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________． 29.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________． 30.若函数343y x ax =-+有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 31.若函数f (x )＝(x －2)(x 2＋c )在x ＝2处有极值，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为________． 32.将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.33.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为313812800080y x x =-+，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少． 34.已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是 .21()ln (0)2f x a x x a =+>12x x 、1212()()2f x f x x x ->-a三． 解答题35.已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1x，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x 轴所围成的三角形面积．36.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．37.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．38.已知函数f (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)． (1)当a ＝－14时，求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围．61.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)55.讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．。
导数及其应用复习完整版
《导数及其应用》复习导学案一、知识梳理二、典例剖析题型一、导数的概念及运算1．在求平均变化率时，自变量的增量为（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆=D ． 0x ∆≠ 【答案】D2．函数f (x )＝2x 2－1在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 变式．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是__________.3． 下列求导正确的是 ( ) 【答案】BA.（x+x 1）′=1+21x B. (log2x)′=ln21x C. (3x)′=3xlog3xD. (x2cosx)′=－2xsinx4．下列说法正确的是（ ）A ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处就没有切线；B ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 有切线，则)(0x f '必存在；C ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在；D ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线。
【答案】C5．设,M m 分别是()f x 在区间[],a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，由上述估值定理，估计定积分2212x dx --⎰的取值范围是 ．【解析】：因为当12x -≤≤ 时，204x ≤≤ ，所以，212116x -≤≤所以由估值定理得：()()221121212116x dx --⨯--≤≤⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰， 即22132316x dx --≤≤⎰，所以答案应填：3,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 6．211dx x +=⎰⎰．【答案】ln 24π+ 题型二、导数的几何意义7．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则曲线在点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2 8．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．变式1．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.变式2．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6] 变式 3.已知曲线2()xf x x e m =+-在0x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为16，则实数m 的值为 ．9．已知抛物线y ＝x 2，直线l ：x －y －2＝0，则抛物线上的点到直线l 的最短距离是 ． 变式.点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 ．题型三、导数的综合应用 类型1：导数的运算性质10.设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(3)0f -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(3,0)(3,)-+∞ B ．(3,0)(0,3)- C ．(,3)(3,)-∞-+∞ D ．(,3)(0,3)-∞-变式1．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0.设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是______ ．变式2．设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)变式3．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________． 变式4．定义在R 上的偶函数f x 的导函数为()f x '，若对任意的实数x ，都有()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的集合为（ ）A ．{}1x x ≠±B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,00,1-【解析】：当0x >时，由()()220f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得： ()()2220xf x x f x x -'-< 设：()()22g x x f x x =-，则()()()2220g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：∴()g x 在(0)+∞，单调递减，由()()2211x f x f x -<-∴()()2211x f x x f -<-，即()()1g x g <，即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-；综上可知：实数x 的取值范围为()()11-∞-⋃+∞，，，故选：B变式5．函数()f x 的定义域是R ，(0)3f =，对任意,()()1x R f x f x ∈+>/，则不等式()2x xe f x e ⋅>+的解集为（ ）A ．{|0}x x <B ．{|0}x x >C ．{|1,}x x x <->或1D ．{|1,1}x x x <-<<或0 【解析】∵()()1f x f x +>/，∴()()0xxxe f x e f x e +>>/，∴[()1]()0xxe f x e f x -+>/，即{[()1]}0x e f x '->，∴函数()[()1]x F x e f x =-在R 上单调递增，且0(0)[(0)1]2F e f =-=∴ ()2[()1]2x x x e f x e e f x ⋅>+⇔->，∴x>0，故选B类型2：单调性问题11．函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是（ ）DA ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 变式1．已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上不单调，实数a 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()()4,00,4- C ．()0,2 D ．()0,4【答案】D变式2．已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()()sin cos f A fB > B ．()()sin cos f A f B <C ．()()sin sin f A f B >D ．()()cos cos f A f B < 12．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)变式1．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．变式2．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．变式3．函数32y x ax bx =++在(,1)-∞-上单调递增，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上递增，则,a b 的值为( ) AA 、3,62a b =-=-B 、36,2a b =-=- C 、3,2a b == D 、3,6a b =-=-变式4．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33， 33，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)13．已知f(x)=e x -ax-1.（1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】解 ： f ′(x)= e x -a.(1)若a ≤0，f ′(x)= e x -a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增. 若a ＞0, e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna. ∴f(x)的递增区间为（lna ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x)≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x ＞0,∴a ≤0.[来源:Z §xx §] （3）由题意知e x -a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立. ∵e x 在（-∞，0］上为增函数. ∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x 在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤1，∴a=1.14．设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 【答案】解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.[所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得211a x a --<,或211a x a +->；由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<. 所以函数()f x 单调递增区间是211(,)a a ---∞和211(,)a a +-+∞, 单调递减区间221111(,)a a a a--+-. ……………9分 ②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>得221111a a x a a +---<<； 由()0f x '<得211a x a +-<,或211a x a-->.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)a a --+∞, 单调递增区间221111(,)a a a a+---. ……………12分 ④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.类型3：图像问题15．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ． D.【解析】：由三视图可知该几何体是圆锥，顶点朝下，底面圆的上面，随之时间的推移，注水量的增加高度在增加，所以函数是增函数，刚开始时截面面积较小，高度变化较快，随着注水量的增加，高度变化量减慢，综上可知B 正确16．函数()f x 的导函数()'f x 在区间(,)a b 内的图象如图所示， 则 ()f x 在(,)a b 内的极大值点有（ ）BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个变式1.如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能（ ）O thh t O h t O O t h变式2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )类型4：极值（最值）问题17．已知函数()313f x x ax b =-+在y 轴上的截距为1，且曲线上一点02, 2p y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为13. （1）曲线在P 点处的切线方程； （2）求函数()f x 的极大值和极小值【答案】解：（1）因为函数()313f x x ax b=-+在y 轴上的截距为1，所以1b = 又'2y x a =-，所以2211 236a a ⎛⎫-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭()311 136f x x x ∴=-+ 所以0212y f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故点2,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以切线方程为12132y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 即26620x y -+-=（2）由题意可得，令()'2106f x x =-=得66x =±列表如下：x6,6⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭66- 66,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭666,6⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+- 0 + ()f x增区间极大 减区间极小增区间所以函数的极大值为661f ⎛=+ ⎝⎭， 极小值为661f =⎝⎭18．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； 经检验合题意；………4分（2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x ∴由0)(/=x f 得1=x ，当0)(/<x f 时，10<<x ，)(x f 单调递减；当0)(/>x f 时，1>x ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ ……8分 （3）由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(，列表略 依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c ………………12分 19.已知函数()()xf x x k e =-. （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在区间]2,1[上的最小值；（3）设)(')()(x f x f x g +=，当2523≤≤k 时，对任意]1,0[∈x ，都有λ≥)(x g 成立，求实数λ的范围。
高中数学第二章导数及其应用本章总结提升北师大版选择性必修第二册
当a<-4时,p(0)=2,则p(x)>0,即f'(x)>0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),
无单调递减区间.
- 2 -16
当 a>4 时,令 p(x)=2x2-ax+2=0,得 x1=
4
+ 2 -16
,x2=
4
,
由f'(x)>0,即p(x)>0,得0<x<x1或x>x2;
()
f'(x)+ <0,若
1 1
a= f( ),b=2 2
是( B )
A.a<c<b
B.b<c<a
C.a<b<c
D.c<a<b
2f(-
1
1
2),c=(ln )f(ln ) ,则a,b,c的大小关系正确的
2
2
解析 令g(x)=xf(x),
则g(-x)=-xf(-x)=xf(x),∴g(x)是偶函数.
h'(x)= 3 ,
令 h'(x)>0,得 0<x< e;令 h'(x)<0,得 x> e,
∴h(x)在(0, e)内单调递增,在( e,+∞)内单调递减,∴h(x)max=h(
当 x 趋向于 0 时,h(x)趋向于-∞,当 x 趋向于+∞时,h(x)趋向于 0,
∵g(x)在定义域内有且仅有两个零点,
2
1
∵0<a<1,∴a=2.
1
a=2.
专题三
导数的综合应用
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.4 指数函数课时提升作业 理
课时提升作业七指数函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·宜春模拟)已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于( )A.5B.7C.9D.11【解析】选B.因为f(x)=2x+2-x,f(a)=3,所以2a+2-a=3.所以f(2a)=22a+2-2a=(2a+2-a)2-2=9-2=7.2.(2016·长沙模拟)下列函数中值域为正实数的是( )A.y=-5xB.y=错误!未找到引用源。
C.y=错误!未找到引用源。
D.y=错误!未找到引用源。
【解析】选B.A中,y=-5x≤0,B中,因为1-x∈R,y=错误!未找到引用源。
的值域是正实数,所以y=错误!未找到引用源。
的值域是正实数,C中,y=错误!未找到引用源。
≥0,D中,y=错误!未找到引用源。
,由于2x>0,故1-2x<1,又1-2x≥0,故0≤y<1,故符合条件的只有B.3.函数y=2x-2-x是( )A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减【解析】选A.令f(x)=2x-2-x,则f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,排除C,D.又函数y=-2-x,y=2x均是R上的增函数,故y=2x-2-x在R上为增函数.4.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a【解析】选A.由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6,即b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=错误!未找到引用源。
人教A版高中数学选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (35)(含答案解析)
选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (35)1．已知函数()ln f x x x x =+，()g x kx k =-，若k Z ∈，且()()f x g x >对任意2x e >恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，()'g x 是()g x 的导函数，则()()333g f ''-=（ ）A ．1B ．0C ．2D ．43．下列函数只有极大值点的是（ ） A ．3223y x x =- B ．ln y x x =-C ．+sin y x x =D ．sin cos y x x =+([0,])x π∈4．已知2ln ,0()1,0x x ax x f x x ax x ⎧+>⎪=⎨--≤⎪⎩，若()y f x =有两个零点，则实数a 取值的集合是（ ）A ．{}2-B ．(],2-∞-C ．[)2,+∞D ．{}25．对R 上可导的函数()f x ，若满足()'()0f x f x +>且()10f -=，则()0f x >解集是（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,-+∞C ．()(),10,-∞-+∞ D ．()1,0-6．下列导数运算正确的是（ ）A ．sin 6'π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()22343x x '+=+C ．11ln 2x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()33lg 3x x '=7．记()*()nn x f x n N n=∈，4321()()(2)()(2)()(2)()g x f x c f x c a f x a b f x d =-+-+-+-+，若2是函数()g x 的一个极小值点，则（ ）A ．2a c >B ．2a c <C ．240a c ++>D ．240a c ++<8．已知函数()22,0,0x x f x x ex ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若关于x 的方程()()0f x a a -=∈R 恰有两个不等实根12,x x ，且12x x <，则21x x e -的最小值为（ ）A ．1ln22+B．2C．D9．已知函数()ln(1)f x x x =+-，()ln g x x x =，若()112ln f x t =+，()22g x t =，则()122ln x x x t -的取值可能是（ ）A ．2e-B ．212e -C ．12e -D ．1e-10．已知0.022e , 1.01,ln(2.02)a b c ===，则（ ） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．b ＞cD ．c ＞a11．设函数()e x f x e x =-，21()ln (12)2g x x kx k x =-+-+，则（ ）A ．()f x 的最小值是0B ．当12k =时，方程()()0f x g x -=有唯一实根 C ．存在实数0k <，使得()g x 的图象与x 轴相切 D ．若()g x 有两个零点，则k 的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭12．下列说法正确的是（ ） A ．函数sin ()22x x x f x -=+的图象关于y 轴对称 B ．函数x y e =与ln y x =的图象关于直线y x =对称 C ．函数1()2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭存在唯一零点D ．()22()a a m m e -+-的最小值为12-13．已知函数()32f x ax bx cx =++，其导函数()y f x '=的图象经过点()()1,0,2,0，如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．当32x =时，函数()f x 取得最小值； B ．()f x 在(),1-∞上单调递增； C ．当2x =时，函数()f x 取得极小值； D ．当1x =时，函数()f x 取得极大值.14．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()2()f x x x R =∈，1()(0)g x x x=<，()2ln h x e x =，下列命题为真命题的是（ ） A ．()()()F x f x g x =-在⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-5C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,0-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =- 15．已知函数()xxf x e =，下列说法正确的有（ ）A 1<B ．()f x 恰有一个零点C ．()f x 恰有两个零点D ．()f x 有一个极大值点16．设函数ln ()xf x ax x=-，若曲线()y f x =在1x =处的切线经过点()2,1-．则实数a 的值为____；()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数，271828e =⋅⋅⋅．）上的最小值为_________．17．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若()'f x 是()f x 的导函数，()f x ''是()'f x的导函数，则曲线()y f x =在点(,())x f x 处的曲率()322()1()f x K f x '''=⎡⎤+⎣⎦．若曲线()ln f x x x =+与()g x =(1,1)处的曲率分别为12,K K ，12K K =______；设正弦曲线()sin ()h x x x R =∈曲率为K ，则2K 的最大值为_______．18．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则实数a 的取值范围为_________.19．已知曲线ln y x =在()11,A x y ，()22,B x y ，两点处的切线分别与曲线x y e =相切于()33,C x y ，()44,D x y ，则1234x x y y +的值为________.20．已知函数3()x f x e x =⋅，则以下结论正确的是___________. ①()f x 在R 上单调递增 ①()512log 2()(ln )f f e f π-<<①方程()1f x =-有实数解①存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解21．若命题[):0,P x ∀∈+∞，sin 0ax x -≥为真命题，则实数a 的取值范围是_________. 22．函数()2|ln |2f x x x =--+的最大值为___________.23．若函数()ln f x kx x =-在区间[1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是_______.24．定义域为R 的函数()y f x =，如果存在0x R ∈，使得()f x 在(]0,x -∞上单调递增，在[)0,x +∞上单调递减，则称()f x 为单峰函数．那么下列函数是单峰函数的有______．①2xy x e =-；①21cos 4y x x =--；①341x y x=+；①()323133y x x x x =-+-． 25．已知函数()()ln 022x x ef x f e x e x e⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，，，函数()()F x f x ax =-有2个零点，则实数a 的取26．已知2()46ln f x x x x =--．（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭恒成立，求k 的最大整数解．27．已知函数()()ln 2f x a x x =+-. （1）当1a =时，求()f x 的最大值；（2）设点()()11,A x f x 和()()22,B x f x 是曲线()y f x =上不同的两点，且()()12f x f x =，若12ak x x <+恒成立，求实数k 的取值范围.28．已知函数()()()22ln af x x a x a R x=--+∈.（1）当4a =时，求函数()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调性.29．已知函数()2()1e xf x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()1g x f x =-在(1,)+∞上有零点，求实数a 的取值范围． 30．设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >.讨论()f x 的单调性； 31．已知函数()21f x ax x=+. （1）当4a =-时，求()f x 的极值点.（2）当2a =时，若()()12f x f x =，且120x x <，证明21:3x x -.32．已知函数()()21ln R 2f x ax x x a =-+∈． （①）若2a =-，求函数()f x 的单调区间；（①）若函数()f x 在区间()0,4上有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围． 33．已知函数()232xf x x a-=+. （1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，且存在[]2,0x ∈-，使得22f x t t >-成立，求实数t 的取值范围.34．已知函数()321f x x x x =+-+．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间和极值；（3）若函数()y f x =的图像与直线y a =仅有一个公共点，直接写出实数a 的取值范围．35．已知函数()2x f x xe ax =-，其中 2.718e =…为自然对数的底数.（1）若函数()f x 在()()1,1f 处的切线与直线220x y 垂直，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程.（2）若对任意的(0,)x ∈+∞，()1ln 10f x x a x x x +⎛⎫-+- ⎪⎝⎭恒成立. （i ）求实数a 的取值范围；（ii ）若函数()sin 1xg x e x =++，证明：()()ln 11x x a g x '+-<-36．已知函数()()()2ln ,R ,e 2x x af x ag x x+=∈=-. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）若()()f x g x 在0,上恒成立，求a 的取值范围.37．设函数()321f x x ax =-+.（1）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值； （2）若()f x 在[0，2]最大值为3，求a 的值.38．设函数()3291f x x ax x =-+-（1）若6a =，求()f x 在区间3,2的最大值；（2）若()f x 在R 上无极值，求实数a 的取值范围.39．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数()(0)x f x x x =>，我们可以作变形：()ln ln ()(ln )xx x x x t f x x e e e t x x ⋅=====，所以()f x 可看作是由函数()t f t e =和()ln g x x x =复合而成的，即()(0)x f x x x =>为初等函数.根据以上材料： （1）直接写出初等函数()(0)x f x x x =>极值点 （2）求初等函数1()(0)x h x x x =>极值. 40．已知函数221()e 2xf x a x ax =--，a ∈R . （1）当1a =时，求函数2()()g x f x x =+的单调区间； （2）当440e 1a <<-，时，函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），证明：212x x ->. 41．设函数2()(1)ln (0)2a f x x a x x x a =+-->． （1）若()f x 为单调递增函数，求a 的值；（2）当02a <≤时，直线y kx =与曲线()y f x '=相切，求k 的取值范围； （3）若()f x 的值域为[)0,+∞，证明：2ln 2ln a a -=-．42．已知函数()()2ln f x ax x a R =-∈．（1）若12a =，证明：()12f x ≥； （2）若当()e,+x ∈∞时，()f x 存在极值点，且()32≥-f x ，求a 的取值范围．43．已知函数()()ln f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. （1）求a 的值（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，有2()f x kx ≤恒成立，求实数k 的最小值； （3）记12ln(21)21nn i S n i ==-+-∑，[]x 为不超过x 的最大整数，求[]n S 的值. 44．已知函数32()23(2)12f x x m x mx m =+++-. （1）当1m =-时，求()f x 的单调区间； （2）()f x 在区间[]0,2最大值为5，求m .45．设函数()2(1)()x f x x e ax a R =--∈．（1）当32a =时，求函数()f x 的单调区间，并判断函数()f x 的零点个数； （2）当112a <≤时，求函数()f x 在区间(]0,a 内的最小值． 46．已知函数()3f x x ax =-，()f x '是()f x 的导函数，且1是()f x 的极值点．（1）求a 的值，并求经过点()2,6A -的曲线()f x 的切线方程； （2）求函数()f x 在区间[]2,3-上的最值．47．已知函数()sin xf x ae x =-，其中a R ∈，e 为自然对数的底数.（1）当1a =时，对[)0,x ∀∈+∞， ①证明：()1f x ≥；①若()2cos 2f x x bx '+-≤恒成立，求实数b 的范围； （2）若函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围.48．已知函数()1x f x e ax =--，a R ∈. （1）令函数()'()g x f x =，①若函数()g x 的图象与直线l ：21y x =-相切，求实数a 的值； ①若不等式()ln 0g x x ->恒成立，求整数a 的最大值；（2）若函数()()()()1ln 32F x f x a x a x =-+++恰有两个极值点，求实数a 的取值范围. 49．已知函数21()2x f x e ax ax =--（a 为常数）．且()f x 有两个不同的极值点12,x x（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：120x x +>50．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，2()(0)e g x x x x=+>．（1）若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；（2）确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．【答案与解析】1．B 【解析】由不等式，参变分离为ln 1x x x k x +⎛⎫< ⎪-⎝⎭，转化为求函数()ln 1x x x u x x +=-，()2,x e ∈+∞的最小值，利用导数求函数的最小值.()()f x g x >，即ln x x x kx k +>-.由于()()f x g x >对任意()2,x e ∈+∞恒成立，所以ln 1x x x k x +⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即min ln 1x x x k x +⎛⎫< ⎪-⎝⎭.令()ln 1x x x u x x +=-，()2,x e ∈+∞，()()2ln 21x x u x x --'=-. 令()ln 2h x x x =--，()1110x h x x x='-=->， 所以()h x 在()2,x e ∈+∞上单调递增，所以()()22e e 40h x h >=->，可得()0u x '>，所以()u x 在()2,e +∞上单调递增.所以()()()22223e 3e 33,4e 1e 1u x u >==+∈--.又k Z ∈，所以max 3k =. 故选：B. 2．A 【解析】从图中得切线上的点()3,1代入直线方程得到斜率k ，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率可得()3f '，最后结合导数的概念求出()3g ' 的值．将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以()1'33f k ==-，由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =，对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x +''=，①()()()33331g f f ''-==， 故选A ． 3．D 【解析】利用导数，分别求出各个函数的单调区间，再根据极值的定义即可得出答案. 解：对于A ，266y x x '=-，当01x <<时，0y '<，当1x >，0x <时，0y '>，所以函数3223y x x =-在0,1上递减，在1,，,0上递增，所以函数3223y x x =-既有极大值也有极小值，故A 不正确； 对于B ，()1110x y x x x-'=-=>， 当01x <<时，0y '<，当1x >时，0y '>， 则函数ln y x x =-在0,1上递减，在1,上递增，所以函数ln y x x =-有极小值，无极大值，故B 错误；对于C ，1+cos y x '=，因为[]cos 1,1x ∈-，所以1+cos 0y x '=≥， 所以函数+sin y x x =是增函数，所以函数+sin y x x =无极值，故C 错误；对于D ，cos sin 4y x x x π⎛⎫'=-=+ ⎪⎝⎭([0,])x π∈，令04y x π⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭，则4x π=，当04x π<<时，0y '>，当4ππ<<x 时，0y '<，所以函数sin cos y x x =+在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以函数sin cos y x x =+有极大值，无极小值，故D 正确. 故选：D. 4．A 【解析】由分段函数的性质知0x ≤上()f x 恒有一个零点，要使()y f x =有两个零点，则0x >上()f x 有且仅有一个零点，令()0f x =可知在0x >上ln a x=-构造()ln g x x =-究单调性，进而确定区间值域，即可求a 取值集合. 当0x ≤时，(0)10f =-<，此时()f x 恒有一个零点，①要使()y f x =有两个零点，即当0x >时，()f x 有且仅有一个零点，此时，令()0f x =则ln a x=- ①在0x >上ln a x=-若()ln g x x=-1()g x x '=①01x <<时，()0g x '>，则()g x 单调递增；1x >时，()0g x '<，则()g x 单调递减；而()(1)2g x g ≤=-，①lim x →=∞，可知01x <<上()(,2)g x ∈-∞-，又1x >上有()(,2)g x ∈-∞-， ①0x >上()(,2]g x ∈-∞-，故2a =-时()f x 在0x >上有且仅有一个零点， 故选：A关键点点睛：利用分段函数的性质确定0x >上()f x 有且仅有一个零点，再设()0f x =，结合参变分离，并构造函数研究单调性并确定值域，进而求符合题设的参数集合. 5．B 【解析】首先构造函数()()xg x e f x =⋅，利用导数判断函数的单调性，结合零点求解()0g x >的解集，再利用转化关系求()0f x >的解集.设()()xg x e f x =⋅，()()()x g x e f x f x ''=+⎡⎤⎣⎦，()()0f x f x '+>，()0g x '∴>，函数()g x 单调递增， ()()1110g e f --=⋅-=，()()0x g x e f x =⋅>的解集是()1,-+∞， ()()00g x f x >⇔>，()0f x ∴>的解集是()1,-+∞.故选：B 6．C 【解析】sin 06π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 错误；()2234x x '+=，故B 错误；21112x u x y y u x u x '''=⋅=-⋅=-，故C 正确；()33ln 3xx'=，故D 错误．1sin 062''π⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；()()2223234xx x ''=+'+=，故B 错误；令12u x =，ln y u =，因为212x u x '=-，1u y u'=，所以21112x u x y y u x u x '''=⋅=-⋅=-，故C 正确； ()33ln 3xx'=，故D 错误．故选：C7．D【解析】先求'()g x ，根据2是函数()g x 的一个极小值点,求出()()2'()2g x x x cx a =-++,再根据极值点两侧符号,即可求解.解：1()'n n f x x -=，所以32'()(2)(2)(2)g x x c x c a x a b =-+-+-+-，又因为2是函数()g x 的一个极小值点，所以'(2)0g =且'()g x 在2x =左侧为负，右侧为正，由'(2)0g =得0b =，得()()2'()2g x x x cx a =-++，所以20x cx a ++=有两个根且在2的两侧,所以420c a ++<， 故选：D. 8．C 【解析】先求出21x x -的表达式，再构造函数，求最小值即可. 解：作出()f x 的图像，结合图像易知1a ≥，使得12a x -=，22x e a =，得 12x a =-，21ln 2x a =，令()()12ln 12a a g a a =+≥，()2212422'a a a a g a --==，当14a ≤<时，()'0g a <，当4a >时，()'0g a >，故()g a 在[)1,4单调递减，在()4,+∞单调递增，所以()()121ln 4ln 22424g a g =≥+=+，所以211ln 22x x e e +-≥=故选:C.9．BC 【解析】由已知条件可推得121ln 212(1)ln x x t x e e x -=-=⋅，即有21ln 1x x =-，结合目标式化简可得()2122ln ln x x x t t t -=⋅，令2()ln h t t t =⋅，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为()122ln x x x t -的最小值，根据最小值进行选择即可.由题意，111()ln(1)12ln f x x x t =+-=+，得2111ln(1)ln x x t -+-=，①1121ln[(1)]ln x x e t --=，即1121(1)0x t x e -=->，又2222()ln g x x x t ==，得2ln 22ln 0x t e x =⋅>①x y x e =⋅在[0,)+∞上单调递增， ①综上知：21ln 1x x =-，①()212222ln ln ln ln x x x t x x t t t -=⋅⋅=⋅，令2()ln h t t t =⋅，(0)t >，则()2ln h t t t t '=+ ①()0h t '>，得12t e ->；()0h t '<，得120t e -<<； 故()h t 在12(0,)e -上单调递减，在12(,)e -+∞上单调递增.①12min 1()()2h t h e e-==-， A ：因为213()022e e e ---=-<，所以本选项不符合题意；B ：因为2111()0222e e e e-+---=>，所以本选项符合题意； C ：显然符合题意；D ：因为111()022e e e---=-<，所以本选项不符合题意，故选：BC关键点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值. 10．AC 【解析】令()()1xf x e x =-+，利用导数说明其单调性，即可判断A 、B ，再根据对数函数，指数函数的性质判断C 、D ；解：因为0.02201e 0n 1,1.01,l 1ln(2.0)l 1.2n 1e e <=<>>，即1a >，1b >，01c <<，故b c >，a c >，故C 正确，D 错误； 又211000.02a e e ⎛⎫= =⎪⎝⎭，22101.00111b ⎛⎫=+ =⎪⎝⎭，设()()1x f x e x =-+，()0,1x ∈，则()10xf e x ='->，所以()()1x f x e x =-+在()0,1上单调递增，所以()()00f x f >=，即1x e x >+，当1100x =时110011100e >+，所以22110011100e ⎛⎫⎛⎫>+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即a b >，故A 正确，B 错误； 故选：AC 11．ABD 【解析】A ．利用导数直接分析()f x 的单调性，从而可确定出最小值；B ．利用导数分别考虑()(),f x g x 的单调性，从而确定出()(),f x g x 的最值并据此分析出方程()()0f x g x -=根的情况；C ．当0k <时，分析()g x '的取值正负，由此确定出()g x 的单调性，并进行判断即可；D ．将问题转化为ln 1()2x u x x x=+，()21v x kx k =+-的图象有两个交点，根据相切的临界情况结合图象求解出k 的取值范围.()x f x e e '=-，(21)(1)()kx x g x x'-+=-(0)x >，A ．由()f x '可知()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，从而有最小值11(1)0f e e =-=，故A 正确.B ．当12k =时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，易求得max ()(1)0g x g ==， 结合min ()(1)0f x f ==，可知方程()()0f x g x -=有唯一实根1，故B 正确.C ．当0k <时，()0g x '>，()g x 在定义域上单调递增，无极值，图象与x 轴不可能相切，故C 错误.D ．()g x 有两个零点，即方程21ln (12)02x kx k x -+-+=，亦即方程1ln 221x kx k x+=+-有两不同根.设ln 1()2x u x x x=+，()21v x kx k =+-， 则212ln ()2xu x x -'=，易得x =()u x 的极大值点，()u x的极大值是u =. ()21v x kx k =+-是过定点()2,1--的直线， 设直线21y kx k =+-与函数()u x 的图象相切于点0000ln 1,2x x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则0000020ln 121212ln 2x kx k x x x k x ⎧+=+-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得0112x k =⎧⎪⎨=⎪⎩，从而数形结合得k 的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确.(对于D 的另解：(12)(1)()kx x g x x'-+=，若()g x 有两个零点，则()g x 必有极值，则0k >.当0x →时，()g x →-∞；当∞→+时，()g x →-∞.易知()g x 的极大值为111ln(2)0242g k k k ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，解得102k <<，故D 正确.) 故选：ABD.关键点点睛：解答本题时，判断B 选项的关键在于分别考虑()(),f x g x 的最值，而不是将()()f x g x -作为一个新函数去分析；判断D 选项的关键在于将函数的零点个数问题转化为函数图象的交点问题(易作出图象的函数)，从而结合导数并通过数形结合的方法分析问题，体现了转化思想和数形结合思想. 12．BCD 【解析】由()()f x f x -=-可判断A ；x y e =与ln y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称可判断B ；由于()f x 为R 上的单调递减函数，利用(0)0f >，(1)0f <可判断C ； 转化为点(),aPa e 与(,)Q m m 距离的平方，再利用导数转化为点()0,1到直线y x =距离的平方可判断D.对于A ，易知()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点中心对称，故A 错误；对于B ，x y e =与ln y x =互为反函数，所以图象关于直线y x =对称，故B 正确；对于C ，由于1()2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为R 上的单调递减函数，且(0)10=>f ，1(1)02f =-<，所以()f x 存在唯一零点，故C 正确；对于D ，()22()a a m m e -+-的几何意义为点(),aP a e 与(,)Q m m 距离的平方，而P ，Q 分别在曲线x y e =和直线y x =上，由x y e =，可得e x y '=，令1x y e '==，则0x =，所以1y =，而点()0,1到直线y x =距离的平方为212=⎝⎭，故D 正确. 故选：BCD. 13．BCD 【解析】根据导函数的图象与题中条件，得到,,a b c 之间关系，得到()()()123f x x a x '=--，解对应不等式吗，确定函数单调性，从而可得出极值点.由()32f x ax bx cx =++得()232f x ax bx c '=++，因为()y f x '=的图象经过点()()1,0,2,0，且开口向上， 所以02123123a b a c a ⎧⎪>⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，因此0926a a b c a >⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，所以()()()()22232963223313ax a f x ax b a x c x a a x x x x '=++=--+=-+-=，由()0f x '>得2x >或1x <； 由()0f x '<得12x <<；所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增； 因此当1x =时，()f x 取得极大值；当2x =时，()f x 取得极小值， 所以A 错，BCD 正确； 故选：BCD. 14．ACD【解析】利用导数判断A 选项的正确性.利用公切线，结合图象判断BC 选项的正确性.利用公切线结合导数判断D 选项的正确性. A 选项，()()210F x x x x=-<， ()12123333'222212211212x x x x F x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭=+==，对于函数21233221y x x =-+，其判别式212332420⎛⎫∆=-⋅< ⎪⎝⎭，所以212332210x x -+>，令()'0F x =解得x = 所以()F x在区间⎛⎫ ⎪⎝⎭内()'0F x >，()F x 单调递增，A 正确.BC 选项，画出()f x ，()g x 的图象如下图所示， 由图可知，0y =是“隔离直线”，且0k ≤.设()21,,,A a a B t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0,0a t <<）分别是()f x 与()g x 图象上的一点，且直线AB 是()f x 与()g x 图象的公切线. ()()''212,f x x g x x ==-， 过A 点的切线方程为()2222y a a x a y ax a -=-⇒=-，令212a x x -=⇒=t =1t = 所以2ABk a =2a=，解得2a =-. 所以公切线AB 方程为44y x =--. 结合图象可知，k 的取值范围是[]4,0-. 所以B 错误，C 正确.对于D 选项，构造函数()()()22ln H x f x h x x e x =-=-，()()(2'2222x x x e e H x x x x x -=-==，所以()H x 在区间(上()()'0,H x H x <递减；在区间)+∞上()()'0,H x H x >递增.所以()H x 在定义域()0,∞+上的极小值也即是最小值为20H e e =-=，所以()H x 有唯一零点，也即()f x 与()h x 有唯一公共点)e .由上述分析可知，公切线方程为22y ax a y e =-⇒=-，D 选项正确.故选：ACD求公切线方程关键点是切线的斜率相等，以此作为突破口来求解公切线有关的问题. 15．ABD 【解析】先求导数，再确定函数单调性，判断A ；再根据函数的单调性，进而确定极值与零点个数. ()()1x xx xf x f x e e -'=∴= 所以当1x <时，()0,()f x f x '>单调递增；当1x >时，()0,()f x f x '<单调递减；因此当1x =时，()f x 取最大值，1，根据单调性可知，()1ff <11e<⇔< A 正确；当1x =时，()f x 取极大值，无极小值，D 正确；当0x >时，()0f x >；当0x <时，由()f x 单调递增得()(0)0f x f <=； 因此()f x 只有一个零点，故B 正确，C 错误. 故选：ABD16．1 1e e--【解析】（1）求导，利用斜率相等，即可求出1a =, (2)由（1）得函数单调性，即可求最值.函数ln ()x f x ax x =-，则()f x 定义域为()0,∞+，22ln 1()x ax f x x '--=． 由题设(1)(1)(1)12f f '--=-，解得1a =．从而22(1)()ln x f xx x '--=；当01x <<时，()0,1f x x '>>时，()0f x <′． 可知()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增．在[]1,e 上单调递减．又111()()f e e f e e e e =->=--， 所以()fx 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为11()f e e e =--． 故答案为：（1）1；（2）1e e--17．12 1 【解析】根据曲率的定义求得12,K K ，从而求得12K K .求得2K 的表达式，结合导数求得2K 的最大值. ()()''21(),(1)111,12,f f x f x f x x ''''=+==-=-，()3213221512K -==+， ()()1''23211(),(1)4411,1,22g g x g g x x x --''''==-=-=，33322223112215542521414K -----====⨯⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以1212K K =. ()'(cos sin ,)h x x h x x ''==-，()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-.令[]2sin 0,1t x =∈，()()()()()()()32'36423222,0222t t ttt K t K t t t t -+-⋅+===>---，所以()K t 在[]0,1上递增，当1t =即2sin 1x =时，2K 有最大值()31121=-.故答案为：12；1 18．10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】令()=0f x '有2个正实根，列出不等式组，然后求出a 的范围.由()22ln f x ax x x =-+可得函数定义域为()0,∞+且()2122122ax x f x ax x x-+'=-+=若满足()f x 有两个不同的极值点， 则需要满足()=0f x '有两个不同的正实数根，即22210ax x -+=在区间()0,∞+上有两个不同的正实数根，1x ，2x ∴480202102a aa⎧⎪->⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，解得：102a <<.故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.本题考查由函数极值点的个数，求参数范围的问题，可转化为二次函数在区间()0,∞+上有两个实数根，从而根据二次函数根的分布进行求解. 19．2 【解析】根据相切得到切点的横坐标满足的代数式，据此构建方程，从而得到两根的关系，故可得正确的选项.由题设有33111311ln 1x x e x x e x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，化简可得111311ln 1x x x x x -=-即31111ln ln x x x x x =+-=-， 整理得到1111ln 1x x x +=-，同理2221ln 1x x x +=-，不妨设12x x <， 令12ln ln 111x y x x x x +=-=----， 因为当()0,1x ∈时，2ln ,1y x y x ==--均为增函数，故1ln 1x y x x +=--为增函数， 同理当()1,x ∈+∞时，故1ln 1x y x x +=--为增函数， 故12,x x 分别为1ln 1x y x x +=--在()0,1、()1,+∞上的唯一解，又1111111111ln ln ,111x x x x x x ++=-=---，故111111ln 11x x x +=-，故11x 为1ln 1x y x x +=--在()1,+∞的解，故211x x =即121=x x .所以34123412121212x x x x y y x x ex x x x ++=+=+=， 故答案为：2 20．①①① 【解析】对()f x 求导，由导函数的符号可判断()f x 的单调性，即可判断①；由125110log 2,l 122,n 1e π-<<<><，以及()f x 的单调性即可判断①；令()()311x g x f x e x =+=+⋅，由零点存在定理可判断①；()f x kx =等价于3x e k x x ⋅=，有一个根为0x =，所以原方程有4个根等价于方程2x e k x ⋅=有3个实数解，令()2x h x e x =⋅，对()h x 求导判断单调性，作出函数图象，数形结合即可判断①.由()3x f x e x =⋅可得()()32233x x x f x e x e x e x x =⋅+⋅=⋅+'，由()0f x '>可得：3x >-，由()0f x '<可得：3x <-，所以()f x 在(),3-∞-单调递减，在()3,-+∞单调递增，故①不正确；对于选项①：125110log 2,l 122,n 1e π-<<<><，根据()f x 在()3,-+∞单调递增，所以()()125log 2ln f f e f π-⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故①正确；对于选项①：令()()311x g x f x e x =+=+⋅，因为()()3332713103e g e -+=-=⋅-<-， ()3001100g e +⋅=>=，()()300g g -⋅<，根据零点存在定理可知存在()03,0x ∈-使得()()0010g x f x =+=，所以方程()1f x =-有实数解，故①正确；对于选项①：方程()f x kx =即3x e k x x ⋅=，有一根为0x =，所以原方程有4个根等价于方程2x e k x ⋅=有3个实数解，令()2x h x e x =⋅，则()()222x x xh x e x e x e x x '=⋅+⋅=⋅+，令()()20xh x e x x '=⋅+>可得0x >或2x <-，令()()20xh x e x x '=⋅+<可得20x -<<，所以()2x h x e x =⋅在(),2-∞-和()0,∞+单调递增，在()2,0-单调递减，()()222422h e e--=⋅-=，()02000h e =⋅= 作出()2x h x e x =⋅，y k =的图形如图所示：所以存在240k e<<时，方程2x e k x ⋅=有3个实数解，此时方程()f x kx =有4个实数解，故①正确. 故答案为：①①①方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性. 21．1a ≥ 【解析】分别画出函数y ax =和sin y x =在区间[)0,+∞的图象，根据不等式恒成立求实数a 的取值范围. 不等式等价于sin ax x ≥ 画出两个函数y ax =和sin y x =在区间[)0,+∞的图象， 如图设()sin g x x =，()cos g x x '=，()01g '=，所以函数()g x 在原点处的切线方程是y x =， 由图可知，当斜率a 大于切线斜率时，即1a ≥时，sin 0ax x -≥恒成立. 故答案为：1a ≥ 22．1ln2- 【解析】由题去绝对值分情况讨论，分别求导求最值，即可求得最大值. 由题知当1≥x 时，()2ln 2f x x x =--+， ①1()20f x x'=--< ①()f x 在[1,)+∞为减函数， ①max ()(1)0f x f ==；当01x <<时，()2ln 2f x x x =-++， ①121()2=x f x x x-+'=-+，①当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，当1(,1)2x ∈时，()0f x '<，①max 1()()1ln 22f x f ==-，综上可知，max ()1ln 2f x =-. 故答案为：1ln2-. 23．[1,)+∞ 【解析】求出导函数1()f x k x'=-，转化为()0f x '≥在区间[1,)+∞上恒成立，利用分离参数法求出k 的取值范围. 1()f x k x'=-.因为函数()ln f x kx x =-在区间[1,)+∞单调递增， 只需()0f x '≥在区间[1,)+∞上恒成立， 所以1k x≥， 而1y x=在区间[1,)+∞上单调递减， 所以1k.k 的取值范围是：[1,)+∞ 故答案为：[1,)+∞ 24．①①． 【解析】依题意，可知单峰函数只有一个极值点，且是极大值点，依次对①①①①四个选项逐一分析即可得答案．解：根据题意，单峰函数的概念可知，若()f x 为单峰函数，则它的单调性是只有一个极值点，且是极大值点，对于①2x y x e =-，其导数为2x y e '=-，在区间(,ln2)-∞，0y '>，函数为增函数，在区间(ln2,)+∞上，0y '<，函数为减函数，则2x y x e =-为单峰函数；①21cos 4y x x =--，其导数为1sin 2y x x '=-，令1()sin 2g x x x =-，则()1024g ππ=->，g （2）sin210=-<，0(2x π∴∃∈，2)，使得0001()sin 02g x x x =-=，又()()g x g x -=-，()g x ∴为R 上的奇函数，又(0)0g =，∴21cos 4y x x =--在()2,2-上的极值点至少有3个， 故21cos 4y x x =--不是单峰函数；①341x y x=+，其导数为2433423(1)4(1)x x x x y x +-⋅'=+，令0y '=，可得x =当x <x >0y '，当x 0y '， 所以函数341x y x=+在(),,-∞+∞上单调递增，在(上单调递减，故341x y x =+不是单峰函数；①323(133)y x x x x =-+-，其导数为2345223121563(1)(21)y x x x x x x x '=-+-=---，当12x <时，0y '，当12x >时，0y '，所以函数323(133)y x x x x =-+-在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故323(133)y x x x x =-+-为单峰函数； 故答案为：①①． 25．1a e>或0a =【解析】本题考查了导数的几何意义，函数的零点与函数图象的关系，作出()f x 的函数图象，结合函数图象求出当直线y ax =与()f x 的图象有两个交点时的斜率范围即可．解：函数ln ,01,2x x e a e x e e ⎧<≤⎪⎨=<<⎪⎩，函数的图象关于x e =对称， 绘制函数图像如图所示，函数()()F x f x ax =-有2个零点则函数()f x 与函数y ax =有2个交点， 当斜率为零，即0a =时，由图像可得有两个交点，则0a =成立； 当斜率不为零，即0a ≠时，如图所示，考查临界情况，当直线与函数相切时，设切点坐标为()00x ax ，，由题意可得：0001ln a x x ax ⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得01x e a e =⎧⎪⎨=⎪⎩，则直线与函数相切时斜率为1e，数形结合可知实数a 的取值范围是1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 综上，答案为：1a e>或0a =．本题考查了函数零点与函数图像的关系，考查函数对称性，切线斜率等知识点，属于压轴题。
人教A版高中数学选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (53)(含答案解析)
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间.
32．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），点 ，顶点为D，与y轴交于点C，连接AC，已知 .
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）如图②，点E在y轴的负半轴上，且 ，连接BE，并延长交抛物线于点F，点P为直线BF上方抛物线上一动点，连接PB，PE，当 的面积最大时，请求出 面积的最大值及点P的坐标；
48．已知a为实数，函数 .
（1）求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
（2）当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
49．已知函数 ， .
（1）若曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线，求 ， 的值；
（2）若 ，求当 时函数 的最大值.
50．已知函数 ， ，其中 .
（1）求 的极值；
（1）当时 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围.
25．已知函数 ， ， …为自然对数的底数.
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求实数 的取值范围.
26．已知函数 ，其中 ．
（1）讨论函数 的零点的个数；
（2）若存在实数m、n，使函数 的定义域为 ，值域为 ，其中 ，求实数k的取值范围；
（1）试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；
（2）当a＝e，b＝4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点.
19．已知函数 ( 为自然对数的底数)，函数 .
(1)求函数 的极小值；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
20．已知函数 .设函数 ， ，过点 作函数 的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列 ，求数列 的所有项之和的值.
苏教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第五章 导数及其应用 本章总结提升
当ln a≤0,即0<a≤1时,f(x)在[0,1]上单调递增,不符合题意;
当0<ln a<1,即1<a<e时,f(x)在[0,ln a]上单调递减,在[ln a,1]上单调递增,且
f(0)=0,f(1)=e-a-1,要使f(x)在[0,1]上有两个零点,
1 < < e,
0 < ln < 1,
(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消
耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
解 (1)由题设可知,隔热层厚度为 x cm,
每年能源消耗费用为
C(x)=
,再由
3+5
C(0)=8,得 k=40,因此
故函数h(x)单调递增,h(x)≥h(0)=0.
由h(x)≥0可得ex-
1 2
2 x -x-1≥0恒成立,
故当x∈(0,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
7-e2
因此,g(x)max=g(2)= 4 .
综上可得,a
7-e2
的取值范围是[ ,+∞).
只需
即
即 1<a≤e-1;
≤ e-1,
(1) = e--1 ≥ 0,
当ln a≥1,即a≥e时,f(x)在[0,1]上单调递减,不符合题意.
综上,a的取值范围为(1,e-1].
(方法二)f(x)=ex-ax-1,x∈[0,1],当x=0时,f(0)=0;
高中数学复习讲义-第十二章-导数及其应用
高中数学复习讲义 第十二章 导数及其应用【知识图解】【方法点拨】导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。
同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。
1．重视导数的实际背景。
导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。
这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。
2．深刻理解导数概念。
概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。
在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。
3．强化导数在函数问题中的应用意识。
导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。
4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。
在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。
5．加强“导数”的实践应用。
导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。
6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。
定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。
平均速度 瞬时速度平均变化率 瞬时变化率 割线斜率 切线斜率导 数基本初等函数导数公式、导数运算法则微积分基本定理导数和函数单调性的关系导数与极（最）值的关系定积分（理科）第1课 导数的概念及运算【考点导读】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科） 【基础练习】1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim →h hx f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。
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第一章 导数及其应用本章复习提升易混易错练易错点1 对导数的定义理解不够深刻致错1.(2019安徽屯溪一中高二期中,★★☆)设f'(1)=4,则lim ℎ→0f (1+2ℎ)-f (1)ℎ=( )A.8B.4C.-8D.-42.(2019河南南阳高二月考,★★☆)已知函数f(x)在x=x 0处的导数为f'(x 0),则limΔx →0f (x 0-mΔx )-f (x 0)Δx 等于()A.mf'(x 0)B.-mf'(x 0)C.-1mf'(x 0) D.1mf'(x 0)易错点2 混淆“过某点”与“在某点处”的切线致错3.(2019福建莆田八中高二期中,★★☆)曲线y=ex-ln x 在点(1,e)处的切线方程为( )A.(1-e)x-y+1=0B.(1-e)x-y-1=0C.(e-1)x-y+1=0D.(e-1)x-y-1=04.(2019湖南邵东一中高二期末,★★☆)曲线y=3x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .5.(2019宁夏石嘴山第三中学高二期末,★★☆)曲线f(x)=2x 3-4x+1在点P 处的切线平行于直线y=2x-1,则点P 的坐标为 .易错点3 对复合函数的求导法则理解不透致错 6.(★★☆)函数y=ln(1-x)的导数为 . 7.(★★☆)函数y=x ·e 1-cos x 的导数为 .易错点4 忽视取极值的条件致错8.(2019重庆一中高三下月考,★★☆)设函数f(x)=(x+1)e x +1,则( ) A.x=2为f(x)的极大值点B.x=2为f(x)的极小值点C.x=-2为f(x)的极大值点D.x=-2为f(x)的极小值点9.(★★☆)已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的极大值共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个易错点5 利用导数研究函数的单调性10.(★★☆)函数f(x)=x-ln x的单调递减区间是( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(0,+∞)D.(1,+∞)x3-x2+bx,且f'(2)=-3.11.(2019北京西城高二下期末,★★☆)已知函数f(x)=13(1)求b;(2)求f(x)的单调区间.12.(2019广东佛山二中高二下月考,★★☆)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调区间.+ln x在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围.13.(★★☆)若函数f(x)=1-xax14.(★★☆)已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求实数t的取值范围.易错点6 混淆极值与最值致错15.(2019广东佛山三中高二下段考,★★☆)已知a∈R,函数f(x)=ax+ln x-1.求当0<a<e时, f(x)在区间(0,e]上的最小值.16.(★★☆)求函数f(x)=sin 2x-x在[-π2,π2]上的最大值和最小值.易错点7 利用导数研究实际问题时忽视定义域致错17.(★★☆)某制造商制造并出售某种球形瓶装的饮料.每个瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r是瓶子的半径,单位是cm.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6 cm,问瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?18.(2019河北遵化高二下期中,★★☆)某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元每平方米,底面的建造成本为160元每平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元.(π为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.易错点8 求横穿x轴的曲边梯形的面积)与坐标轴所围成的图形的面积是( ) 19.(★★☆)求曲线y=cos x(0≤x≤3π2D.4A.2B.3C.5220.(2019新疆兵团建工师第四中学高二期中,★★☆)由直线x+y=2,曲线y2=x所围成的图形的面积是.思想方法练一、分类讨论思想1.(2019安徽黄山高三质量检测,★★☆)已知函数f(x)=ln x+a+x(a∈R).讨论函数xf(x)的单调性.2.(2019四川雅安高二下期末,★★☆)已知函数f(x)=ln x+ax2.若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.二、转化与化归思想3.(2019辽宁朝阳高三模考,★★☆)已知函数f(x)=(2-1x )e x+ax-ax,若对任意x∈(0,+∞),都有f(x)≥-xf'(x)成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-32e] B.(-∞,2√e)C.[-32e,+∞) D.[-2√e,+∞)4.(2019河南平顶山郏县第一高级中学高二下月考,★★☆)设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f'(x),且有2f(x)+xf'(x)>x2,则不等式(x+2 019)2f(x+2 019)-4f(-2)>0的解集为( )A.(-2 021,0)B.(-∞,-2 021)C.(-2 017,0)D.(-∞,-2 017)5.(2019安徽合肥高三质量检测,★★★)已知函数f(x)=e x-ln(x+1)(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若g(x)=f(x)-ax,a∈R,试求函数g(x)极小值的最大值.三、数形结合思想6.(★★☆)已知函数f(x)=13x 3+a 2x 2+2bx+c,且f(x)在(0,1)上有极大值,在(1,2)上有极小值,求点(a,b)对应的区域的面积以及b -2a -1的取值范围.7.(★★☆)已知曲线f(x)=-x 3+3x 2+9x+a 与x 轴只有一个交点,求实数a 的取值范围.答案全解全析易混易错练1.A ∵f'(1)=4,∴limℎ→0f(1+2ℎ)-f(1)ℎ=2limℎ→0f(1+2ℎ)-f(1)2ℎ=2f'(1)=8.2.B 因为函数f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),所以limΔx→0f(x0-mΔx)-f(x0)Δx=-mlimΔx→0f(x0-mΔx)-f(x0)-mΔx=-mf'(x0).3.C 记y=f(x)=ex-ln x,则f'(x)=e-1x,所以曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线的斜率为f'(1)=e-11=e-1, 所以曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为y-e=(e-1)(x-1), 整理得(e-1)x-y+1=0.4.答案2x-y=0解析设y=f(x)=3x-ln(x+1),则f'(x)=3-1x+1,∴曲线y=3x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线的斜率为3-1=2,则曲线在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.5.答案(1,-1)或(-1,3)解析∵f(x)=2x3-4x+1,∴f'(x)=6x2-4.令f'(x)=2,即6x2-4=2,解得x=±1,∵f(1)=-1, f(-1)=3,∴点P的坐标为(1,-1)或(-1,3).经检验,满足题意.6.答案y'=1x-1解析y'=11-x ·(1-x)'=11-x·(-1)=1x-1.7.答案y'=(1+xsin x)e1-cos x解析y'=e1-cos x+x(e1-cos x)'=e1-cos x+xe1-cos x·(1-cos x)'=e1-cos x+xe1-cos x sin x=(1+xsin x)e1-cos x.8.D 因为f(x)=(x+1)e x+1,所以f'(x)=e x+(x+1)e x=(x+2)e x.令f'(x)=0,得x=-2,当x>-2时, f'(x)>0, f(x)=(x+1)e x+1单调递增;当x<-2时, f'(x)<0, f(x)=(x+1)e x+1单调递减.所以函数f(x)=(x+1)e x+1在x=-2处取得极小值,无极大值.9.B 由导函数f'(x)的图象,结合极大值的定义可知,函数f(x)在区间(-4,-3)上单调递增,在区间(-3,-1)上单调递减,在(-1,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,故f(x)共有2个极大值,故选B.10.B 函数f(x)的定义域为(0,+∞),又f'(x)=1-1x,由f'(x)=1-1x<0,得0<x<1,所以函数f(x)=x-ln x的单调递减区间是(0,1),故选B.11.解析(1)由题得f'(x)=x2-2x+b,又f'(2)=-3,所以f'(2)=4-4+b=-3,所以b=-3.(2)由(1)知f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)>0,得x<-1或x>3;令f'(x)<0,得-1<x<3,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,+∞),单调递减区间为(-1,3).12.解析(1)f(x)的图象经过点P(0,2),代入,得d=2,∴f(x)=x3+bx2+cx+2, f'(x)=3x2+2bx+c.∵点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,∴f'(-1)=3-2b+c=6①, f(-1)=y=1,将点M(-1,1)代入f(x),得-1+b-c+2=1②,①②联立得b=c=-3,故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)由(1)知f'(x)=3x2-6x-3.令3x2-6x-3=0,解得x1=1-√2,x2=1+√2.当x<1-√2或x>1+√2时, f'(x)>0;当1-√2<x<1+√2时, f'(x)<0.故f(x)的单调递增区间为(-∞,1-√)和(1+√∞),单调递减区间为(1-√2,1+√2).13.解析由已知,得f'(x)=ax-1(a>0),ax2依题意得,当x ∈[1,+∞)时,ax -1ax 2≥0恒成立,∴ax-1≥0, ∴a-1≥0,即a ≥1.14.解析 由题意知f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t, f'(x)=-3x 2+2x+t. 若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f'(x)≥0恒成立,且f'(x)不恒为0. ∵f'(x)的图象是开口向下的抛物线,∴当且仅当f'(1)=t-1≥0,且f'(-1)=t-5≥0,即t ≥5时, f'(x)在(-1,1)上满足f'(x)≥0,即f(x)在(-1,1)上是增函数. 故实数t 的取值范围是[5,+∞). 15.解析 因为f(x)=ax +ln x-1,所以f'(x)=-a x2+1x=x -ax 2,x ∈(0,e].令f'(x)=0,得x=a.又0<a<e,则当x ∈(0,a)时, f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减; 当x ∈(a,e]时, f'(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增. 所以当x=a 时,函数f(x)取得最小值,最小值为ln a. 16.解析 f'(x)=2cos 2x-1. 令f'(x)=0,得2cos 2x-1=0, 解得x=-π6或x=π6.因为f (π6)=√32-π6, f (-π6)=-√32+π6,f (π2)=-π2, f (-π2)=π2,所以函数f(x)在[-π2,π2]上的最大值和最小值分别为π2,-π2.17.解析 设每瓶饮料的利润是f(r)分,因为瓶子的半径为r,0<r ≤6,所以f(r)=0.2×43πr 3-0.8πr 2=0.8π·(r 33-r 2),0<r ≤6.f'(r)=0.8π(r 2-2r),令f'(r)=0,解得r=2(r=0舍去). 当0<r<2时, f'(r)<0;当2<r<6时,f'(r)>0.所以当0<r<2时, f(r)单调递减,即半径越大,利润越低; 当2<r<6时, f(r)单调递增,即半径越大,利润越高.当0<r<2时, f(r)<0,当r=6时, f(6)>0,所以半径为6 cm 时,每瓶饮料的利润最大.18.解析 (1)由题意得200πrh+160πr 2=12 000π, 所以h=15r (300-4r 2),所以V(r)=πr 2h=π5(300r-4r 3)(0<r<5√3).(2)由(1)知V'(r)=π5(300-12r 2),令V'(r)=0,得r=5(负值舍去).当0<r<5时,V'(r)>0,V(r)单调递增;当5<r<5√3时,V'(r)<0,V(r)单调递减. 所以当r=5时,该蓄水池的体积最大,此时h=8.19.B 根据定积分的几何意义,知所求的面积为3∫cos π20xdx =3sin x 0π2=3,故选B. 20.答案 92解析 作出直线x+y=2,曲线y 2=x 的草图(如图),所求面积为图中阴影部分的面积. 解方程组{x +y =2,y 2=x 得直线x+y=2与曲线y 2=x 的交点为A(1,1),B(4,-2),则图形OAC 的面积为S 1=210 d x x =2×23x 3201=43,图形ACB 的面积为S 2=∫ 41[(2-x)+√x ]dx=(2x -12x 2+23x 32) 14=196, 所以所求图形的面积为S=S 1+S 2=43+196=92.思想方法练1.解析由题可知f'(x)=1x -ax2+1=x2+x-ax2(x>0).①当a≤0时, f'(x)>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>0时,令f'(x)>0,得x>-1+√4a+12,令f'(x)<0,得0<x<-1+√4a+12,∴f(x)在(0,-1+√4a+12)上单调递减,在(-1+√4a+12,+∞)上单调递增.2.解析f'(x)=1x +2ax=2ax2+1x(x>0).①当a≥0时, f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增, f(x)最多有一个零点,不符合题意;②当a<0时,令 f'(x)>0得0<x<√-12a ,令 f'(x)<0得x>√-12a,∴f(x)在(0,√-12a )上单调递增,在(√-12a,+∞)上单调递减,且x→0+时, f(x)→-∞; x→+∞时, f(x)→-∞,故要使f(x)有两个零点,只需f(√-12a )>0,即ln √-12a+a(-12a)>0,解得-12e<a<0.综上,实数a的取值范围是(-12e,0).3.D 令g(x)=xf(x)=(2x-1)e x+ax2-a,则g'(x)=f(x)+xf'(x),因为对任意x∈(0,+∞),都有f(x)≥-xf'(x)成立, 所以g'(x)=f(x)+xf'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, 即g'(x)=(2x+1)e x+2ax≥0在(0,+∞)上恒成立,即-2a≤(2x+1)e xx =(2+1x)e x在(0,+∞)上恒成立.令h(x)=(2+1x)e x,x∈(0,+∞),则h'(x)=-1x e x+(2+1x)e x=(2x2+x-1)e xx,由h'(x)=0得2x2+x-1=0,解得x=-1(舍去)或x=12,所以,当0<x<12时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x>12时,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以h(x)min=h(12)=4√e,因为-2a≤(2x+1)e xx =(2+1x)e x在(0,+∞)上恒成立,所以只需-2a≤4√e,解得a≥-2√e.4.B 令g(x)=x2f(x),则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x),因为2f(x)+xf'(x)>x2,x<0,所以g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)<x3<0,所以函数g(x)=x2f(x)在(-∞,0)上单调递减.因为g(x+2 019)=(x+2 019)2f(x+2 019),g(-2)=4f(-2),所以(x+2 019)2f(x+2 019)-4f(-2)>0等价于g(x+2 019)-g(-2)>0, 即g(x+2 019)>g(-2),所以x+2 019<-2,解得x<-2 021.5.解析(1)易知x>-1,且f'(x)=e x-1x+1.令h(x)=e x -1x+1,则h'(x)=e x +1(x+1)2>0,∴函数h(x)=e x -1x+1在(-1,+∞)上单调递增,且h(0)=f'(0)=0.∴当x ∈(-1,0)时,h(x)=f'(x)<0, f(x)=e x -ln(x+1)单调递减; 当x ∈(0,+∞)时,h(x)=f'(x)>0, f(x)=e x -ln(x+1)单调递增. ∴函数f(x)的单调递减区间是(-1,0),单调递增区间是(0,+∞). (2)∵g(x)=f(x)-ax=e x -ln(x+1)-ax, ∴g'(x)=f'(x)-a.由(1)知,g'(x)在(-1,+∞)上单调递增, 且当x →-1时,g'(x)→-∞;当x →+∞时, g'(x)→+∞,则g'(x)=0有唯一解x 0.∴当x ∈(-1,x 0)时,g'(x)<0,g(x)=e x -ln(x+1)-ax 单调递减; 当x ∈(x 0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)=e x -ln(x+1)-ax 单调递增.∴函数g(x)在x=x 0处取得极小值g(x 0)=e x 0-ln(x 0+1)-ax 0,且x 0满足e x 0-1x 0+1=a.∴g(x 0)=(1-x 0)e x 0-ln(x 0+1)+1-1x 0+1.令φ(x)=(1-x)e x -ln(x+1)+1-1x+1,则φ'(x)=-x [e x +1(x+1)2].∴当x ∈(-1,0)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增; 当x ∈(0,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减. ∴φ(x)max =φ(0)=1.∴函数g(x)极小值的最大值为1.6.解析 函数f(x)的导数为f'(x)=x 2+ax+2b,因为f(x)在(0,1)上有极大值,在(1,2)上有极小值,所以方程x 2+ax+2b=0有两个不等实根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内.由二次函数f'(x)=x 2+ax+2b 的图象与方程x 2+ax+2b=0的根的分布之间的关系可以得到{f '(0)>0,f '(1)<0,f '(2)>0,即{b >0,a +2b +1<0,a +b +2>0.在平面aOb 内满足约束条件的点(a,b)所对应的区域为△ABD(不包括边界,如图所示),其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),则S △ABD =12×1×1=12.易知点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为b -2a -1,显然b -2a -1∈(k CA ,k CB ),即b -2a -1∈(14,1).综上,点(a,b)对应的区域的面积为12,b -2a -1的取值范围为(14,1). 7.解析 f'(x)=-3x 2+6x+9. 令f'(x)=0,得x 1=-1,x 2=3.x 变化时, f'(x), f(x)的变化情况如表:x (-∞, -1) -1 (-1, 3) 3 (3, +∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x)↘极小值↗极大值↘所以当x=-1时, f(x)有极小值f(-1)=a-5;当x=3时, f(x)有极大值f(3)=a+27. 画出大致图象,要使f(x)的图象与x 轴只有一个交点,只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2),所以a+27<0或a-5>0,解得a<-27或a>5. 故实数a的取值范围为{a|a<-27或a>5}.。