东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2015届高考数学一模试卷(文科)

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于（）A．1B．2C．3D．1或22．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°5．（5分）实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．7．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1]8．（5分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e3510．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8B．9C．10 D．1111．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]12．（5分）函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9B．10 C．11 D．12二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）若等差数列{a n}中，满足a4+a6+a2010+a2012=8，则S2015=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=．16．（5分）若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是（只写出所有正确命题的序号）①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]监测点个数15 40 y 10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．二、请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于（）A．1B．2C．3D．1或2考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠∅，可得b值．解答：解：∵集合B={x∈Z|x2﹣3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，若A∩B≠∅，则b=1或b=2，故选：D．点评：本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数==i，故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：在三角形中，cos2A＜cos2B等价为1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即sinA＞sinB．若a＞b，由正弦定理，得sinA＞sinB．充分性成立．若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，必要性成立．所以，“a＞b”是“sinA＞sinB”的充要条件．即a＞b是cos2A＜cos2B成立的充要条件，故选C．点评：本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，注意三角形中大边对大角的关系的应用．4．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设向量与的夹角为θ．利用（+）⊥（2﹣），可得（+）•（2﹣）=+=0，即可解出．解答：解：设向量与的夹角为θ．∵（+）⊥（2﹣），∴（+）•（2﹣）=+==0，化为cosθ=0，∵θ∈[0，π]，∴θ=90°．故选：C．点评：本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．5．（5分）实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何概型计算公式，首先求出方程有实根的m的范围，然后用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．解答：解：∵方程x2﹣mx+4=0有实根，∴判别式△=m2﹣16≥0，∴m≤﹣4或m≥4时方程有实根，∵实数m是[0，6]上的随机数，区间长度为6，[4，6]的区间长度为2，∴所求的概率为P==．故选：B．点评：本题着重考查了几何概型计算公式及其应用的知识，给出在区间上取数的事件，求相应的概率值．关键是明确事件对应的是区间长度或者是面积或者体积．6．（5分）已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，AB=BC=CA=2，点P在侧面ABC的射影为O，OP=2．利用三棱锥的体积计算公式即可得出．解答：解：如图所示，AB=BC=CA=2，点P在侧面ABC的射影为O，OP=2．∴该三棱锥的体积V===．故选：B．点评：本题考查了三棱锥的三视图及其体积计算公式，属于基础题．7．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1]考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆的焦点坐标，设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．利用向量的数量积运算和余弦函数的单调性即可得出．解答：解：椭圆的焦点坐标F1（，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．∴═（﹣﹣2cosθ，﹣sinθ）•（﹣2cosθ，﹣sinθ）=4cos2θ﹣3+sin2θ=3cos2θ﹣2，∵0≤cos2θ≤1，∴﹣2≤3cos2θ﹣2≤1．即的最大值与最小值分别是1，﹣2．故选：C．点评：本题考查了椭圆的标准方程与性质、向量的数量积运算、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．8．（5分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，连结OD，OC判断棱锥的特征，求解体积即可．解答：解：由题意可知图形如图：AB过点O，CA=CB，DA=DB，三角形ABD与ACB都是等腰直角三角形，半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，∴AD=BD=AC=BC=，DC=1，OD=0C=1，AB⊥OD，AB⊥OC，几何体的体积为：×S△OCD•（AO+OB）==故选：A．点评：本题考查球的内接体知识，几何体的体积的求法，空间想象能力以及计算能力．9．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e35考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用已知条件，得到通项公式，然后求解a10．解答：解：数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），可知•••…•=，两式作商可得：==，可得lna n=3n+2．a10=e32．故选：C．点评：本题考查数列递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．10．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8B．9C．10 D．11考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，观察规律可得sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，依次验证选项即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，∵sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，∴当t=8时，S=sin+sin+…+sin=sin+sin+sin=＞1，故A符合要求；当t=9时，S=sin+sin+…+sin+sin=sin+sin+sin+sin=＜1，故B不符合要求；当t=10时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin+sin=0＜1，故C不符合要求；当t=11时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin=0＜1，故D不符合要求；故选：A．点评：本题主要考察了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先求f′（x）=6x2﹣6mx+6，根据题意可知f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，可设g （x）=6x2﹣6mx+6，所以讨论△的取值，从而判断g（x）≥0是否在（2，+∞）上恒成立：△≤0时，容易求出﹣2≤m≤2，显然满足g（x）≥0；△＜0时，m需要满足，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可．解答：解：f′（x）=6x2﹣6mx+6；由已知条件知x∈（2，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；设g（x）=6x2﹣6mx+6，则g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；∴（1）若△=36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，满足g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；（2）若△=36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，则需：；解得；∴；∴综上得；∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．故选D．点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式△的取值情况和二次函数取值的关系．12．（5分）函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9B．10 C．11 D．12考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作图并利用三角函数的图象特征求解．解答：解：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作函数y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象如下，结合图象及三角函数的最值知，图象在y轴左侧有6个交点，在y轴右侧有5个交点，在y轴上有一个交点；故选D．点评：本题考查了函数的图象的应用及函数的零点的个数的判断，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）若等差数列{a n}中，满足a4+a6+a2010+a2012=8，则S2015=4030．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式性质及其前n项和公式即可得出解答：解：∵a2012+a4=a6+a2010=a1+a2015，a4+a6+a2010+a2012=8，∴2（a1+a2015）=8，∴a1+a2015=4，∴S2015==4030．故答案为：4030．点评：本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，属于基础题．14．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为﹣6．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．解答：解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．点评：本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=﹣16．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．运用对称和三角形的中位线定理，结合双曲线的定义，即可得到结论．解答：解：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．由点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，则F为PA的中点，F'为PB的中点，由点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则Q为PP1的中点，由中位线定理可得，|P1A|=2|QF|，|P1B|=2|QF'|，由双曲线的定义可得|QF'|﹣|QF|=2a=8，则|P1A|﹣|P1B|=2（|QF|﹣|QF'|）=﹣2×8=﹣16．故答案为：﹣16．点评：本题考查双曲线的定义，考查三角形的中位线定理的运用，考查运算能力，属于基础题．16．（5分）若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是②③④（只写出所有正确命题的序号）①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据抽象函数的定义和关系式结合函数奇偶性的定义即可判断①②，利用赋值法可以判断③④．解答：解：令x1=1，x2=0，f（1+0）+f（1﹣0）=2f（1）f（0），即2f（1）=2f（1）f（0），∵f（1）=，∴f（0）=1．令x1=0，x2=x，则f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x）=2f（x），则f（﹣x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故②正确，①错误．∵f（1）=，∴f（1+1）+f（1﹣1）=2f（1）f（1），即f（2）=2f2（1）﹣f（0）=2×（）2﹣1=，f（2+1）+f（1）=2f（1）f（2），即f（3）=2f（1）f（2）﹣f（1）=2××﹣=，同理f（4）=，由归纳推理得对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）正确；故③正确，令x1=x2=x，则由f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）得f（2x）+f（0）=2f（x）f（x）=2f2（x），即f（2x）+1=2f2（x）≥0，∴f（2x）+1≥0，即f（2x）≥﹣1．∴对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．故④正确．点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数奇偶性的定义是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：（1）由数量积和三角形的面积公式可得tanθ的范围，进而可得θ的取值范围；（2）化简可得f（θ）=1+2sin（2θ﹣），由θ的范围和三角函数公式可得．解答：解：（1）由题意可得•=cbcosθ，∵△ABC的面积为2，∴bcsinθ=2，变形可得cb=，∴•=cbcosθ==，由0＜•≤4，可得0＜≤4解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，∴向量夹角θ的范围为[，）；（2）化简可得f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ=2×﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=1+2sin（2θ﹣）∵由（1）知θ∈[，），∴2θ﹣∈[﹣，），∴sin（2θ﹣）∈[﹣，1]，∴1+sin（2θ﹣）∈[，2]，∴f（θ）的取值范围为：[，2]点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域，属中档题．18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]监测点个数15 40 y 10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，利用频率=，求出x、y的值，计算直方图中各小进行对应的高，补全频率分布直方图；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得；0.003×50=，∴x=100；又∵15+40+y+10=100，∴y=35；…（2分）∴直方图中（50，100]对应矩形的高为=0.008，（100，150]对应矩形的高为=0.007，（150，200]对应矩形的高为=0.002；补全频率分布直方图，如图所示；…（5分）（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，从中任取2个的基本事件分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，…（8分）其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共7种，…（10分）所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是P（A）=．…（12分）点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2V A﹣BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．解答：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A﹣BDEF=2×=2×=．点评：本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，利用点（2，0）在圆上及被y轴所截得的弦长为4，计算即可；（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，通过将点P（1，2）代入抛物线y2=4x并与直线l1联立，计算可得直线AB的斜率，不妨设l AB：y=﹣x+b，利用直线AB与圆C相切可得b=3或1，分b=3、b=1两种情况讨论即可．解答：解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，由题可知，∴动圆圆心的轨迹方程为：y2=4x；（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，则l1：y﹣2=k（x﹣1），l2：y﹣2=﹣k（x﹣1），点P（1，2）在抛物线y2=4x上，联立，消去x得：ky2﹣4y+8﹣4k=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），△＞0恒成立，即（k﹣1）2＞0，有k≠1，∴y1y P=，∵y P=2，∴y1=，代入直线方程可得：，同理可得：x2=，，k AB===﹣1，不妨设l AB：y=﹣x+b，∵直线AB与圆C相切，∴=，解得b=3或1，当b=3时，直线AB过点P，舍去，当b=1时，由，可得x2﹣6x+1=0，此时△=32，∴|AB|==8，∴P到直线AB的距离d=，△PAB的面积为=4．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；（2）①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：f（x），f′（x）变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x1∈（0，1），设h （x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），求得h（x）的单调性，即可得证．解答：（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：x （0，﹣）﹣（﹣，+∞）g′（x）+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0得证；②由①知：f（x），f′（x）变化如下：x （0，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘↗↘由表可知：f（x）在[x1，x2]上为增函数，所以：f（x2）＞f（x1）又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x1∈（0，1），由（1）知：ax1=，f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1﹣x1）（0＜x1＜1）设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），则h′（x）=lnx＜0成立，所以h（x）单调递减，故：h（x）＞h（1）=﹣，也就是f（x1）＞﹣综上所证：f（x2）＞f（x1）＞﹣成立．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．二、请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：推理和证明．分析：（1）连接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，从而△AEB∽△ABC，进而∠ABE=∠C，进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能证明DE是圆O的切线．（2）DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），从而DM•AC+DM•AB=（AC﹣AB）•（AC+AB）=BC2，由此能证明DE•BC=DM•AC+DM•AB．解答：证明：（1）连接BE，OE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，∴∠ABE=∠C，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OEE=90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）=（AC﹣AB）•（AC+AB）=（AC2﹣AB2）=BC2=DE•BC．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．点评：本题考查DE是圆O的切线的证明，考查DE•BC=DM•AC+DM•AB的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t 即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．解答：解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=t1t2，∴m2﹣2m=1，解得．又满足△＞0．∴实数m=1．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，平方后解一元二次不等式求得它的解集．（Ⅱ）根据f（x）的解析式，求出f（x）的最小值为f（），再根据f（）+2m2＜4m，求得m的范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，即4x2﹣4x+1＞x2+4x+4，即3x2﹣8x+3＞0，求得它的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，故f（x）的最小值为f（）=﹣，根据∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，可得4m﹣2m2＞﹣，即4m2﹣8m﹣5＜0，求得﹣＜m＜．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对会的函数，函数的能成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．。