山西省运城市夏县中学2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(文科)

山西省运城市夏县中学2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题3分共30分）1．如果集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，5，8}，B={1，3，5，7}，那么（∁U A）∩B等于（）A．{5} B．{1，3，4，5，6，7，8}C．{2，8} D．{1，3，7}2．函数的定义域是（）A．{x|x＞6} B．{x|﹣3＜x＜6} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3≤x＜6}3．y=的导数是（）A．B．C．D．4．下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．y=x3B．y=cosx C．y=ln|x| D．y=5．对命题“∂x0∈R，x02﹣2x0+4≤0”的否定正确的是（）A．∂x0∈R，x02﹣2x0+4＞0 B．∀x∈R，x2﹣2x+4≤0C．∀x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∀x∈R，x2﹣2x+4≥06．函数f（x）=3+xlnx的单调递减区间是（）A．（，e）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（，+∞）7．若函数为奇函数，则a的值为（）A．B．C．D．18．已知a＞0且a≠1，若函数f （x）=log a（ax2﹣x）在[3，4]是增函数，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（，）∪（1，+∞）C．[，）∪（1，+∞）D．[，）9．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．410．已知函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）二、填空题（每小题4分，共24分）11．已知命题p：x2﹣2x﹣3＞0，命题q：1，若￢q且p为真．则x的取值范围．12．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为．13．函数f（x）=x4﹣x3﹣6的极值点是．14．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于．15．函数f（x）=mx3﹣x+1在（﹣∞，+∞）上是减函数的一个充分不必要条件是．16．若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为．三、解答题（共46分）17．已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）=ax3+bx2，在x=1时有极大值3；（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最值．19．已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极大值与极小值的差．20．已知函数f（x）=px﹣﹣2lnx，其中p∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在（1，0）点的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（Ⅲ）若函数g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．山西省运城市夏县中学2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分共30分）1．如果集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，5，8}，B={1，3，5，7}，那么（∁U A）∩B等于（）A．{5} B．{1，3，4，5，6，7，8}C．{2，8} D．{1，3，7}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：由全集U和补集的定义求出C U A，再由交集的运算求出（∁U A）∩B．解答：解：因为：U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，5，8}，B={1，3，5，7}，∴∁U A={1，3，4，6，7}．∴（∁U A）∩B={1，3，7}．故选D．点评：本题的考点是集合的混合运算，直接利用运算的定义求出，由于是用列举法表示的集合故难度不大．2．函数的定义域是（）A．{x|x＞6} B．{x|﹣3＜x＜6} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3≤x＜6}考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：要使函数有意义，必须使函数的每一部分都有意义，函数定义域是各部分定义域的交集．解答：解：要使函数有意义，x+3≥0，且6﹣x＞0∴|﹣3≤x＜6∴函数的定义域为：{x|﹣3≤x＜6}故答案选D．点评：函数定义域是各部分定义域的交集．3．y=的导数是（）A．B．C．D．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据求导公式求出导函数即可．解答：解：求导得：y′==，故选：D．点评：此题考查了导数的运算，熟练掌握求导法则是解本题的关键．4．下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．y=x3B．y=cosx C．y=ln|x| D．y=考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：分别判断函数的奇偶性和单调性即可．解答：解：A．y=x3在（﹣∞，0）上单调递增，为奇函数．不满足条件．B．y=cosx在（﹣∞，0）上不单调，为偶函数．不满足条件．C．y=ln|x|=在（﹣∞，0）上单调递减，为偶函数．不满足条件．D．y=在（﹣∞，0）上单调递增，为偶函数，满足条件．故选：D．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性．5．对命题“∂x0∈R，x02﹣2x0+4≤0”的否定正确的是（）A．∂x0∈R，x02﹣2x0+4＞0 B．∀x∈R，x2﹣2x+4≤0C．∀x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0考点：特称命题；命题的否定．专题：常规题型．分析：通过特称命题的否定是全称命题，直接判断选项即可．解答：解：因为命题“∂x0∈R，x02﹣2x0+4≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+4＞0”．故选C．点评：本题考查命题的否定的判断，注意全称命题与特称命题互为否命题．6．函数f（x）=3+xlnx的单调递减区间是（）A．（，e）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．解答：解：f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故选：B．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．7．若函数为奇函数，则a的值为（）A．B．C．D．1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义和性质建立方差即可求出a的值．解答：解：∵函数为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）==，∴（2x﹣1）（x+a）=（2x+1）（x﹣a），即2x2+（2a﹣1）x﹣a=2x2﹣（2a﹣1）x﹣a，∴2a﹣1=0，解得a=．故选：A．点评：本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．8．已知a＞0且a≠1，若函数f （x）=log a（ax2﹣x）在[3，4]是增函数，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（，）∪（1，+∞）C．[，）∪（1，+∞）D．[，）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：当a＞1时，由于函数t=ax2﹣x在[3，4]是增函数，且函数t大于0，故函数f （x）=log a（ax2﹣x）在[3，4]是增函数．当1＞a＞0时，由题意可得函数t=ax2﹣x在[3，4]应是减函数，且函数t大于0，故≥4，且16a﹣4＞0，此时，a无解．解答：解：当a＞1时，由于函数t=ax2﹣x在[3，4]是增函数，且函数t大于0，故函数f （x）=log a（ax2﹣x）在[3，4]是增函数，满足条件．当1＞a＞0时，由题意可得函数t=ax2﹣x在[3，4]应是减函数，且函数t大于0，故≥4，且16a﹣4＞0．即a≤，且a＞，∴a∈∅．综上，只有当a＞1时，才能满足条件，故选A．点评：本题考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，复合函数的单调性，注意利用函数t=ax2﹣x在[3，4]上大于0这个条件，这是解题的易错点．9．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4考点：函数的图象．专题：压轴题．分析：画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．解答：解：解法一：画出y=2x，y=x+2，y=10﹣x的图象，观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）=2x，当2≤x≤4时，f（x）=x+2，当x＞4时，f（x）=10﹣x，f（x）的最大值在x=4时取得为6，故选B．解法二：由x+2﹣（10﹣x）=2x﹣8≥0，得x≥4．0＜x≤2时2^x﹣（x+2）≤0，2x≤2+x＜10﹣x，f（x）=2x；2＜x≤4时，x+2＜2x，x+2≤10﹣x，f（x）=x+2；由2x+x﹣10=0得x1≈2.84x＞x1时2x＞10﹣x，x＞4时x+2＞10﹣x，f（x）=10﹣x．综上，f（x）=∴f（x）max=f（4）=6．选B．点评：本题考查了函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值．10．已知函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，即可得到结论．解答：解：当x≤0时，f（x）=x≤0，且函数单调递增，当x＞0时，f（x）=ln（x+1）＞0，且函数单调递增，故函数在R上为增函数，则不等式f（2﹣x2）＞f（x），等价为2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解得﹣2＜x＜1，故实数x的取值范围是（﹣2，1），故选：C点评：本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式，判断函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分）11．已知命题p：x2﹣2x﹣3＞0，命题q：1，若￢q且p为真．则x的取值范围（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：首先，求解命题p得x＜﹣1或x＞3，命题q：2＜x＜3．然后，结合￢q且p为真．得到q假p为真，然后，求解即可．解答：解：命题p：x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，命题q：1，得∴，∴（x﹣2）（x﹣3）＜0，∴2＜x＜3．∵￢q且p为真．∴q假p为真，∴，∴x＜﹣1或x＞3．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．点评：本题重点考查了一元二次不等式的解法、命题的判断、复合命题的真假判断等知识，属于中档题．12．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为．考点：点到直线的距离公式．专题：转化思想．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，故点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故答案为．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．13．函数f（x）=x4﹣x3﹣6的极值点是x=2．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，从而求出函数的极值点．解答：解：f′（x）=x3﹣2x2，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，∴函数f（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴x=2是函数的极值点，故答案为：x=2．点评：本题考查了函数的极值点的问题，考查导数的应用，要注意x=0不是函数的极值点，本题是一道基础题．14．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于9．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：综合题．分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件，利用基本不等式求出ab的最值．解答：解：由题意，求导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b∵在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故答案为：9点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值，需注意：一正、二定、三相等．15．函数f（x）=mx3﹣x+1在（﹣∞，+∞）上是减函数的一个充分不必要条件是m＜0．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：问题转化为只需f′（x）≤0即可，结合二次函数的性质，从而求出m的范围．解答：解：∵f′（x）=3mx2﹣1，若函数f（x）=mx3﹣x+1在（﹣∞，+∞）上是减函数，则只需f′（x）≤0即可，若m=0，则f′（x）=﹣1＜0，成立，若m＜0，则函数f′（x）是二次函数，根据二次函数的性质得m＜0，∴当m≤0时，f′（x）＜0，而m＜0是m≤0的充分不必要条件，故答案为：m＜0（本题答案不唯一）．点评：本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题16．若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为[﹣2，1）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意求导f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；从而得到函数的单调性，从而可得﹣2≤a ＜1＜10﹣a2；从而解得．解答：解：∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；故f（x）=x3﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；f（x）=x3﹣x=f（1）=﹣；故x=1或x=﹣2；故﹣2≤a＜1＜10﹣a2；解得，﹣2≤a＜1故答案为：[﹣2，1）．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．三、解答题（共46分）17．已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：P：﹣2≤x≤10，Q：1﹣m≤x≤1+m．（1）由P是Q的充分不必要条件，知，由此能求出实数m的取值范围．（2）由“非P”是“非Q”的充分不必要条件，知由此能求出实数m的取值范围．解答：解：P：﹣2≤x≤10，Q：1﹣m≤x≤1+m（1）∵P是Q的充分不必要条件，∴[﹣2，10]是[1﹣m，1+m]的真子集．∴∴m≥9．∴实数m的取值范围为m≥9．（2）∵“非P”是“非Q”的充分不必要条件，∴Q是P的充分不必要条件．∴∴0＜m≤3．∴实数m的取值范围为0＜m≤3．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用．18．已知函数f（x）=ax3+bx2，在x=1时有极大值3；（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）先求出函数的导数，得到方程组，解出a，b的值即可；（2）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出极值，结合函数的端点值，进而求出函数的最值．解答：解：f′（x）=3ax2+2bx，（1）由题意得：，解得：a=﹣6，b=9 …（6分）（2）由（1）得：f（x）=﹣6x3+9x2，∴f′（x）=﹣18x2+18x，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜0，∴函数f（x）在[﹣1，0），（1，2]递减，在（0，1）递增，∴f（x）极小值=f（0）=0，f（x）极大值=f（1）=3，而f（﹣1）=15，f（2）=﹣12，∴函数f（x）的最大值f（﹣1）=15，最小值f（2）=﹣12．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．19．已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极大值与极小值的差．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）根据极值点是导函数对应方程的根，可知x=2为y′=0的根，结合导数的几何意义有k=y′|x=1，列出关于a，b的方程组，求解可得到y的解析式，令y′＞0和y′＜0，即可求得函数的单调区间；（2）根据（1）可得y′=0的根，再结合单调性，即可得到函数的极大值与极小值，从而求得答案．解答：解：（1）∵函数y=x3+3ax2+3bx+c，∴y'=3x2+6ax+3b，∵函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，∴k=y′|x=1=3+6a+3b=﹣3，②联立①②，解得a=﹣1，b=0，∴y=x3﹣3x2+c，则y'=3x2﹣6x，令y'=3x2﹣6x＞0，解得x＜0或x＞2，令y'=3x2﹣6x＜0，解得0＜x＜2，∴函数的单调递增区间是（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；（2）由（1）可知，y'=3x2﹣6x，令y′=0，即3x2﹣6x=0，解得x=0，x=2，∵函数在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c﹣4，∴函数的极大值与极小值的差为c﹣（c﹣4）=4．点评：本题考查了导数的几何意义，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．考查了利用导数研究函数的极值，求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．20．已知函数f（x）=px﹣﹣2lnx，其中p∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在（1，0）点的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（Ⅲ）若函数g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式方程求出切线方程并化为一般式方程；（Ⅱ）由导数与函数单调性的关系将条件转化为：f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，再分离常数p，利用基本不等式求出p的范围；（Ⅲ）将条件转化为：不等式f（x）﹣g（x）＞0 在[1，e]上有解，再构造函数F（x）=f （x）﹣g（x），求出F′（x）化简后利用已知条件判断出符号，得到F（x）的单调性，求出F（x）在[1，e]的最大值，即可求出实数p的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=p+=，∴在（1，0）点的切线d斜率k=2p﹣2，∴在（1，0）点的切线方程是：y=（2p﹣2）（x﹣1）…（4分）（Ⅱ）由（I）得f′（x）=，且定义域是（0，+∞），∵f（x）在其定义域内的单调递增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）上恒成立，∴在（0，+∞）上恒成立即可，∵=≤=1，当且仅当，即x=1时取等号，∴p≥1，∴实数p的取值范围是[1，+∞）…（9分）（Ⅲ）在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，等价于不等式f（x）﹣g（x）＞0 在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，∵p＞0，x∈[1，e]，∴F′（x）=p++=＞0，∴F（x）在[1，e]上的增函数，F（x）的最大值是F（e）=，依题意需＞0，解得p＞，∴实数p的取值范围是（，+∞）…（14分）点评：本题考查了导数的几何意义及切线方程，利用导数研究函数的单调性、最值，考查构造函数法，分离常数法，转化思想，以及化简、计算能力，属于中档题．。