高三数学040

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高三数学复习教案第四章《三角函数》(新人教版必修4)40

∴2︒正确解二：对于1︒取x 1=-6π，x 2=3π则有f (x 1)=f (x 2)=0但x 1-x 2不是π的整数倍∴1︒不正确对于2︒ ∵sin(2x+3π)=cos(2x+3π-2π)=cos(2x-6π) 故2︒正确对于3︒点x,y 关于点(-6π,0)的对称点是(-3π-x,-y)，设点A(x,y)是函数y=f (x )的图象上任一点，则由y=4sin(2x+3π)得-y=-4sin(2x+3π)=4 sin(-2x -3π)=4sin[2(-x -3π)+3π]即点A 关于点(-6π,0)的对称点(-3π-x,-y)也在函数y=f (x )的图象上，该函数关于点(-6π,0)对称故3︒正确对于4︒，点A(0,4sin 3π)是函数y=f (x )的图象上的点，它关于直线x=-6π的对称点为A’(-3π,4sin 3π) 由于f (-3π)=4sin(-32π+3π)=-4sin 3π≠4sin3π∴点A’不在函数y=f (x )的图象上 ∴4︒不正确8．如图半⊙O 的直径为2，A 为直径MN 延长线上一点，且OA=2，B 为半圆周上任一点，以AB 为边作等边△ABC (A 、B 、C 按顺时针方向排列)问∠AOB 为多少时，四边形OACB 的面积最大？这个最大面积是多少？解：设∠AOB=θ 则S △AOB =sin θ S △ABC =243AB作BD ⊥AM, 垂足为D, 则BD=sin θ OD=-AD=2-cos θ∴22222)cos 2(sin ϑϑ-+=+=AD BD AB=1+4-4cos θ=5-4cos θ∴S △ABC =43(5-4cos θ)=ϑcos 3435- 于是S 四边形OACB =sin θ-3cos θ+435=2sin(θ-3π∴当θ=∠AOB=65π时四边形OACB 9．如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-8π对称，那么a 等于……（D ）(A)2(B)1(C)- 2(D)-1解一：（特殊值法）点(0,0)与点(-4π,0)关于直线x=-8π对称 ∴f (0)=f (-4π)A即sin0+acos0=sin(-2π)+acos(-2π) ∴a=-1解二：（定义法）∵函数图象关于直线x=-8π对称∴sin2(-8π+x)+acos2(-8π+x)= sin2(-8π-x)+acos2(-8π-x)∴2cos4πsin2x=-2asin 4πsin2x ∴a=-1解三：（反推检验法）当a=2时y=sin2x+2cos2x ∴y max =3 y min =-3 而当x=-8π时 y=1-22≠±3 可排除A ，同理可排除B 、C 10．函数f (x )=Msin(ωx+φ) (ω>0)在区间[a,b]上是增函数，且f (a )=M ，f (b )=-M则函数g (x )= Mcos(ωx+φ))在区间[a,b]上……………………………（C ） (A)是增函数 (B)是减函数 (C)可取得最大值M (D)可取得最小值-M 解一：由已知M>0 -2π+2k π≤ωx+φ≤2π+ (k ∈Z)∴有g (x )在[a,b]上不是增函数也不是减函数，且当ωx+φ=2k π时 g (x )可取得最大值M 解二：令ω=1, φ=0 区间[a,b]为[-2π,2π] M=1则g (x )为cosx ，由余弦函数g (x )=cosx 的性质得最小值为-M 。

2024年辽宁省高考数学模拟试题04(解析版)

2024年高考数学模拟试题04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（）A ．12B ．16C ．17D ．18.5【答案】C【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意这10个数据从小到大排列为：6，8，9，10，11，13，15，17，20，21，又1075%7.5⨯=，所以75%分位数为从小到大排列的第八个数，即为17.故选：C 2．若复数()412i 34iz +=+，则z =（）AB C ．5D ．253．2022年北京冬奥会期间，主办方需从3名高三学生、2名高二学生、1名高一学生中随机抽取两名学生参加接待外宾活动．若抽取的两名学生中必须有一名高三学生，则另一名是高二或高一学生的概率为（）A ．34B ．14C ．25D ．354．已知双曲线()22:10,0x y E a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,,F FP 为E 上一点，且124PF PF b +≥，则E的离心率的取值范围为（）A ．B ．2⎤⎦C ．(D ．⎛ ⎝⎦5．已知数列{}n a 满足110a =，2110n n a a +=，若10110s t a a a ⋅=，则s t +的最大值为（）A ．10B ．12C ．16D ．186．已知函数()23log f x x =，正数,a b 满足()()310f a f b +-=，则ab+的最小值为（）A ．6B ．8C ．12D ．247．已知三棱锥,A BCD AB BC E-==为BC中点，A BC D--为直二面角，且AED∠为二面角A BC D--的平面角，三棱锥A BCD-的外接球O表面积为84π5，则平面BCD被球O截得的截面面积及直线AD与平面BCD所成角的正切值分别为（）A．4π5B．4π,55C．16π,55D．16π,55过F 作平面BCD 的垂线，过两垂线的交点即为三棱锥A 则四边形OHEF 是矩形，OF 连接,OB BF ，设BCD △外接圆半径设球O 半径为OB R =，因为球8．某地计划对如图所示的半径为a 的直角扇形区域ABC 按以下方案进行扩建改造，在扇形ABC 内取一点P使得BP =，以BP 为半径作扇形PBE ，且满足22PBE PBC θ∠=∠=，其中0π02θθ<≤<，0cos θ=则图中阴影部分的面积取最小值时θ的大小为（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

浙江省台州市2020届高三下学期4月教学质量评估数学试题 Word版含解析

台州市2020年4月高三年级教学质量评估试题数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}1,2,3A =，{}3,4B =，则()UA B =（）A. ∅B. {}4C. {}3D. {}3,4,5【答案】B 【解析】【分析】先求出{}4,5U C A =,再求(){}4U C A B ⋂=，从而得到答案.【详解】由全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =,得{}4,5U C A =. 又{}3,4B =，则(){}4U C A B ⋂= 故选：B【点睛】本题考查求集合的补集和交集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()34i i z -=（其中i 为虚数单位），则z =（） A. 25 B. 125C. 5D.15【答案】D 【解析】【分析】由()34i i z -=先求出复数z ，再求z . 【详解】由()34i i z -=,得()()()344334343425i i i i z i i i +-+===--+ 则224351+=2525255z -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算和求模长，属于基础题. 3.已知a ，b ∈R ，则“33a b <”是“33a b <”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由函数33，x y y x ==在R 上是单调递增函数，则3333a b a a b b ⇔<<⇔<可得答案. 【详解】由函数33，x y y x ==在R 上是单调递增函数，所以3333a b a a b b ⇔<<⇔<即当33a b <时，33a b <成立，反之当33a b <时，33a b <成立所以“33a b <”是“33a b <”的充要条件. 故选：C【点睛】本题考查函数的单调性的应用和充要条件的判断，属于基础题.4.若实数x ，y 满足12,325,x y x y ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩则3x y +的最大值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】【分析】由条件12,325,x y x y ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩作出可行域，目标函数中z 表示直线3y x z =-+在y 轴上的截距，根据可行域可以得到直线3y x z =-+在y 轴上截距的最大值，从而得到答案.【详解】由条件12,325,x y x y ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩作出可行域，如图.由13=2x y x y =+⎧⎨+⎩得点()2,1A -, 由15=2x y x y=+⎧⎨+⎩得点()4,3B -由23=2x y x y =+⎧⎨+⎩得点()1,1C , 由25=2x y x y =+⎧⎨+⎩得点()3,1D -设目标函数z 3x y =+，则变形为3y x z =-+.所以目标函数中z 表示直线3y x z =-+在y 轴上的截距.根据可行域，可得当直线3y x z =-+过点()4,3B -时，在y 轴上的截距最大. 所以z 的最大值为343=9⨯- 故选：C【点睛】本题考查简单的线性规划问题，注意目标函数的几何意义，属于中档题. 5.函数()y f x =的部分图象如图所示，则（）A. ()()()1112121x f x x x =+++-B. ()()()1112121x f x x x =-++-C. ()()()1112121x f x x x =+-+-D. ()()()1112121x f x x x =--++-【答案】A 【解析】【分析】由函数图象的对称性可得，函数为奇函数，再根据当0x >且0x →时，()0f x >，可得答案.【详解】由函数图象的对称性可得，函数()y f x =为奇函数.在选项C 中，()()()21111121211f x x x x x x =+-=-+--,()()111122+2323f f -=--≠-=-不是奇函数，所以排除.在选项D 中，()()()21111121211x x x x f x x=--+=-+--,()()11112+23223f f -=≠-=-不是奇函数，所以排除.在选项B 中. ()()()()2211112121111x x x x x x x x f x =-+=-=+---()()()211x x f x f x -==---是奇函数,由()()211x f x x =-，当0x >且0x →时，()0f x <，不满足条件，所以排除.故选：A【点睛】本题考查根据函数图象选择解析式，考查函数的基本性质，注意在选择题中排除法的应用，属于中档题.6.已知数列{}n a 满足：()1211n n n a a n +++-=（n *∈N ），若65a =，则1a =（） A. 26- B. 0C. 5D. 26【答案】B 【解析】【分析】由递推关系()1211n n n a a n +++-=得21224k k a a k +-=，()222+212+14412k k k k a a k +==+++，将两式相减得22241k k a a k ++=+，由65a =可得44a =，从而得出21a =，进一步得到答案.【详解】由()1211n n n a a n +++-=，当2,n k k Z =∈时，有21224k k a a k +-=……………①当21,n k k Z =+∈时，有()222+212+14412k k k k a a k +==+++……………② 由②－①可得22241k k a a k ++=+所以当2k =时有：649a a +=，又65a =，则44a = 当1k =时有：425a a +=，则21a = 又当1n =时，211a a +=，所以10a =. 故选：B【点睛】本题考查递推数列，由递推数列的递推关系求数列中的项，属于中档题. 7.5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（） A. 10% B. 30%C. 50%D. 100%【答案】A 【解析】【分析】由C 大约增加的百分比为()()()22222log 12000log 110001+log 11lg 2log 11000lo 10001000g 3W W W +-+≈-=+，再根据113411lg10lg 2lg1043=<<=，可以估算出答案. 【详解】当1000SN=时，()2log 11000C W =+ 当2000SN=时，()2log 12000C W =+ 则()()()222222220log 12000log 11000log 1+log 111lg 2log 11000log log 011000100110003W W W +-+=-≈-=+又113411lg10lg 2lg1043=<<=，根据选项分析，1lg 20.13≈所以信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了10%. 故选：A【点睛】本题考查一个量的增加的百分比的计算方法，考查估算法，属于中档题.8.已知1F ，2F 分别为双曲线221916x y -=的左右焦点，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则12F PF ∆的面积为（）A. 166B. 6C. 86D. 46【答案】C 【解析】【分析】根据条件可得24PF =，由双曲线的定义可得110PF =，又1210F F =，所以12F F P 为等腰三角形，可求出其面积.【详解】双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±.则焦点()25,0F 到渐近线的距离为2245434d ⨯==+因为以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，所以4r = 所以24PF =,由双曲线的定义有110PF = 又1210F F =所以12F F P 为等腰三角形，则边2PF ==所以121=42F PF S ∆⨯⨯= 故选：C【点睛】本题考查双曲线的基本性质，求三角形的面积，属于中档题.9.平面向量a ，b ，c ，d 满足2a b -=，3b c -=，4c d -=，5d a -=，则()()a c b d -⋅-=（）A. 14-B. 14C. 7-D. 7【答案】D 【解析】【分析】由()()a cb d a bcd c b a d -⋅-=⋅+⋅-⋅-⋅，将2a b -=，3b c -=，4c d -=，5d a -=，分别平方，然后结合所求可得出答案.【详解】()()a cb d a bcd c b a d -⋅-=⋅+⋅-⋅-⋅由2a b -=可得2224a a b b -⋅+=……………①3b c -=可得2229b b c c -⋅+=……………② 4c d -=可得22216c c d d -⋅+=……………③ 5d a -=可得22225d d a a -⋅+=……………④由②+④-(①+③) 可得()214a b c d c b a d ⋅+⋅-⋅-⋅=所以()()a cb d -⋅-=7 故选: D【点睛】本题考查数量积的运算法则，向量模的处理技巧，属于中档题.10.已知函数()2f x x px q =++，满足022p p f ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，则（）A .函数()()y ff x =有2个极小值点和1个极大值点B. 函数()()y f f x =有2个极大值点和1个极小值点C. 函数()()y ff x a =-有可能只有一个零点D. 有且只有一个实数a ，使得函数()()y f f x a =-有两个零点【答案】A 【解析】【分析】()()()()222f f x x px q p x px q q =++++++,则()()2222p h x x p x px q ⎛⎫'=++++ ⎪⎝⎭，由022p p f ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，方程202p x px q +++=有两个不等实数根12,x x ，则设122p x x <-<，可得出函数()()ff x 的单调性，从而可判断出答案.【详解】设()()()()()222h x ff x xpx q p x px q q ==++++++所以()()()()()22222222p h x x px qx p p x p x p xpx q ⎛⎫'=+++++=++++⎪⎝⎭设()22pg x x px q =+++，由022p pf ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭. 所以0222p p pg f ⎛⎫⎛⎫-=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为二次函数()g x 的开口向上，对称轴方程为2p x =-. 所以方程202p x px q +++=有两个不等实数根12,x x ，则设122px x <-<. 则令()0h x '>可得12px x <<-或2x x >.令()0h x '<可得22px x -<<或1x x <.所以函数()()()h x ff x =在()1，x -∞上单调递减，在12，p x ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在22，px ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在()2+，x ∞上单调递增. 又当,x →+∞x →-∞时，()()+ff x →∞，又221122022p p x px q x px q +++=+++=，所以2211222p x px q x px q ++=++=- 由()()()()222ff x x px q p x px q q =++++++，所以()()()()12=f f x f f x所以()()()()()()12=ff x f f x f f x ≥根据单调性可知，函数()()f f x 有2个极小值点和1个极大值点，所以选项A 正确，B 不正确.根据函数的单调性，可画出函数()()f f x 的大致草图如下.当()()1a f f x <时，函数()()y f f x a =-没有零点当()()1a f f x =时，函数()()y f f x a =-有两个零点当()()12p ff x a f f⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，函数()()y f f x a =-有四个零点当2p a f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，函数()()y f f x a =-有三个零点当2p a f f ⎛⎫⎛⎫>- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，函数()()y f f x a =-有两个零点由上可知选项C,D 都不正确. 故选：A【点睛】本题考查函数的极值的个数的判断和零点个数的判断，属于难题. 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.在二项式()61x -的展开式中，含3x 项的系数为______；各项系数之和为______.（用数字作答）【答案】 (1). 20- (2). 0 【解析】【分析】二项式()61x -的展开式中的通项公式为()r+16rrT C x =-，可得含3x 项的系数，令1x =可得各项系数之和.【详解】二项式()61x -的展开式中的通项公式为()r+16rr T C x =- 所以含3x 项的系数为()336120C -=-设()62601261x a a x a x a x -=++++令1x =得()60126110a a a a -=++++=所以各项系数之和为0故答案为：(1). 20- (2). 0【点睛】本题考查二项式定理的指定项的系数和所有项的系数之和，属于基础题. 12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则它的体积是______.93【解析】【分析】由三视图可知，原几何体为四棱锥,根据锥体的体积公式可求出答案. 【详解】由三视图可知，原几何体为如图所示的四棱锥. 将该四棱锥补成三棱柱，则该三棱柱为正三棱柱过点B 作BO AC ⊥ 交AC 于点O ，则由正三棱柱的性质可得BO ⊥平面1ACC D 则33BO =所以11243393 =3332V Sh+=⨯⨯⨯=故答案为：93 2【点睛】本题考查根据三视图求原几何体的体积问题，属于中档题.13.某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口.如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有______种：如果他在每个路口遇见红灯的概率均为13，用ξ表示他遇到红灯的次数，则()Eξ=______.（用数字作答）【答案】 (1). 15 (2). 2【解析】【分析】从经过的6个红绿灯路口中取出2个，即2615C=,他遇到红灯的次数ξ满足二项分布，可得答案.【详解】他恰好遇见2次红灯的不同的分布情形共有2615C=他遇到红灯的次数ξ值为0,1,2,3,4,5,6.他在每个路口遇见红灯的概率均为13,他遇到红灯的次数ξ满足二项分布.即163，Bξ⎛⎫⎪⎝⎭所以()1623Eξ=⨯=故答案为：(1). 15 (2). 2【点睛】本题考查组合问题和将实际问题转化为二项分布并求期望，属于中档题.14.如图，过1,0A ，10,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点的直线与单位圆221x y +=在第二象限的交点为C ，则点C 的坐标为______；9sin 4AOC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭______.【答案】 (1). 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2). 210【解析】【分析】过1,0A ，10,2B ⎛⎫⎪⎝⎭两点的直线方程为21x y +=，将直线方程与圆的方程联立可求出点C 的坐标，利用三角函数的定义有4sin 5y AOC r ∠==，3cos 5x AOC r ∠==-，利用诱导公式和正弦的差角公式可得9sin sin cos cos sin 444AOC AOC AOC πππ⎛⎫∠-=∠-∠ ⎪⎝⎭，可得出答案. 【详解】过1,0A ，10,2B ⎛⎫⎪⎝⎭两点的直线方程为21x y +=. 则由22211x y x y +=⎧⎨+=⎩有2540y y -=，解得45y =或0y =(舍) 由21x y +=得431255x =-⨯=- 所以点C 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭根据三角函数的定义有4sin 5y AOC r ∠==，3cos 5x AOC r ∠==- 所以9sin sin sin cos cos sin 4444AOC AOC AOC AOC ππππ⎛⎫⎛⎫∠-=∠-=∠-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4355⎛⎫=-=⎪⎝⎭故答案为：10【点睛】本题考查直线与圆联立求交点，考查三角函数的定义和诱导公式、正弦函数的差角公式，属于中档题.15.若函数()2lg ,0,2,0,x x f x x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩则f f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______；不等式()()1f x f x +≥的解集为______.【答案】 (1). 34(2). [)30,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由1lg 10102f ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，则可求出10f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.分段将函数()1f x +，()f x 表达式代出来，然后分段打开绝对值求解.【详解】由12f ==-⎝⎭所以2111322224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当0x >时，()()()1lg 1lg f x x x f x +=+≥=，显然成立. 当0x =时，()()()1lg 010f x f x +=+≥=，显然成立.当10x -<<时，()()1lg 10f x x +=+<，()220f x x x =+>，此时无解.当1x ≤-时,()222f x x x x x =+=-+, ()()21213f x x x x x +=+=-++由()()1f x f x +≥，即()132x x x x ++≤+. 当3x ≤-时，即()()()132x x x x -++≤-+，解得32x ≥-，所以不成立. 当32x -<<-时，即()()()132x x x x ++≤-+x ≤≤所以此时满足条件的x2x ≤<-, 当21x -≤≤-时,即()()()132x x x x ++≤+，解得32x ≤-，所以此时满足条件的x 范围是322x -≤≤-综上所述，不等式()()1f x f x +≥的解集为[)30,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦.故答案为：[)333,0,422⎡⎤+--+∞⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查求函数值和解含绝对值的不等式，解含绝对值的不等式关键是打开绝对值符号，本题还可以结合函数的图象求解，属于中档题.16.在等差数列{}n a 中，若2211910a a +=，则数列{}n a 的前10项和10S 的最大值为______.【答案】25 【解析】【分析】由101109102S S a d ⨯==+，有14510S d a -=，所以1913510S d a +=，代入2211910a a +=，因为{}n a 为等差数列，则其公差d 一定存在，即关于公差d 的方程一定有解.根据0∆≥可得到答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .101109102S S a d ⨯==+，则11094510210S d S a ⨯-=+= 所以1911351810S da a d +=+=由2211910a a +=，得()()()2222222211921804513545135100100100S Sd d S d S d a a +++-++=+= 即2224510+180+210000d Sd S ⨯-= (*)因为{}n a 为等差数列，则其公差d 一定存在，即关于公差d 的方程(*)一定有解. 所以()()22218044510210000S S ∆=-⨯⨯⨯-≥整理即2625S ≤,即25S ≤所以数列{}n a 的前10项和10S 的最大值为25. 故答案为：25【点睛】本题考查等差数列的性质，考查方程思想，属于中档题.17.如下图①，在直角梯形ABCD 中，90ABC CDB DAB ∠=∠=∠=，30BCD ∠=，4BC =，点E 在线段CD 上运动.如下图②，沿BE 将BEC △折至BEC '△，使得平面BEC '⊥平面ABED ，则AC '的最小值为______.【答案】1943- 【解析】【分析】过点C 作CO BE ⊥交BE 于O ,由平面BEC '⊥平面ABED ，则CO ⊥平面ABED .设C BE α'∠=，060α︒≤≤︒,sin 4sin C O C B αα''==，cos 4cos BO C B αα'==,在三角形AOB中,2222cos AO BO AB BO AB ABO=+-⋅∠,则所以2222216sin 16cos 343sin 2AC C O AO ααα''=+=++-，可得出答案.【详解】由90ABC CDB DAB ∠=∠=∠=，30BCD ∠=，则2,1,3BD AD AB === 过点C 作CO BE ⊥交BE 于O ,由平面BEC '⊥平面ABED ，则CO ⊥平面ABED . 设C BE α'∠=，060α︒≤≤︒则在直角三角形C OB '中，sin 4sin C O C B αα''==，cos 4cos BO C B αα'==在三角形AOB 中, 2222cos AO BO AB BO AB ABO =+-⋅∠216cos 324cos cos 2πααα⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭216cos 32αα=+-所以2222216sin 16cos 32AC C O AO ααα''=+=++-192α=-由060α︒≤≤︒，所以当45α=︒时，2AC '有最小值19-所以AC '【点睛】本题考查线面垂直的应用，考查余弦定理解三角形，考查空间线段的长度的最值.属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数()22cos cos sin x x x f x x =--.（1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）问方程()23f x =在区间11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有几个不同的实数根？并求这些实数根之和. 【答案】（1）T π=，最大值2；（2）4个不同的实数根，之和为103π【解析】【分析】(1)将函数()f x 化简得()2sin 26x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再根据周期公式求最小周期，利用三角函数的有界性求最大值. (2)作出函数()f x 在区间11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图像，可得方程的实数根的个数，再根据对称性可求出这些实数根之和.【详解】（1）因为()cos 222sin 26x x x y f x π⎛⎫==--⎝=⎪⎭，所以22T ππ==，当2262x k ππ-=π-，k ∈Z ，即6x k ππ=-，k ∈Z 时，函数()y f x =取得最大值2. （2）由2262x k ππ-=π-，k ∈Z ，可得函数()f x 的对称轴为26k x ππ=-，k ∈Z ， 26x π-2ππ32π 2πx12π3π 712π 56π 1312πy-11作出函数()f x 在11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的大致图象如下，所以方程()23f x =在区间11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上共有4个不同的实数根，且这些实数根关于56x π=对称，所以实根之和103π. 【点睛】本题考查正弦函数的周期性、最值，正弦函数的图象的对称性，属于中档题. 19.如图，ABC 与等边ABD △所在的平面相互垂直，//DE BC ，M 为线段AD 中点，直线AE 与平面CBM 交于点N .22BC BA DE ===，90ABC ∠=.（1）求证：平面CBMN ⊥平面ADE ；（2）求二面角B CN A --的平面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（22【解析】【分析】(1)由条件可得BC ⊥平面ABD ，则BC AD ⊥，又ABD △为等边三角形可得BM AD ⊥，从而可得AD ⊥平面CBMN ，从而得证. (2)由条件可得DE 平面CBMN ，即得到DEBCMN ，所以N 为AE 的中点，以AB中点O 为坐标原点，,OB OD 为,x z 轴建立空间直角坐标系,用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为平面ABC ⊥平面ABD ，且两平面交于AB ，90ABC ∠=，所以BC ⊥平面ABD ，则BC AD ⊥.又因为ABD △为等边三角形，M 为线段AD 中点，所以BM AD ⊥. 因为BCBM B =，所以AD ⊥平面CBMN ，因为AD ⊂平面ADE ，所以平面CBMN ⊥平面ADE（2）解：因为DE BC ∥，DE ⊄平面CBMN ，且BC ⊂平面CBMN ，所以DE 平面CBMN ，因为平面ADE 平面CBMN MN =，所以DEBCMN ，所以N 为AE 的中点.以AB 中点O 为坐标原点，,OB OD 为,x z 轴，建立空间直角坐标系，如图.根据已知可得：()1,0,0A -，()1,2,0C -，113,,222N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,3D ，所以()2,2,0AC =-，113,,222AN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ACN 的法向量()1,,n x y z =，由110,0,AC n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得220,1130,222x y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 取1x =，则1y =，0z =，所以平面ACN 的一个法向量()11,1,0n =，由（Ⅰ）得AD ⊥平面CBMN ，所以平面CBMN 的一个法向量(23n AD ==，设二面角B CN A --的大小为θ，所以11222cos 22n n n n θ⋅===⋅ 所以二面角B CN A --的平面角的余弦为24. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求二面角平面角的余弦值，求二面角的平面角多用向量法，属于中档题.20.已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且()134n n S a =+，2211n n nS b S -=+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：1117714n n T n <<+. 【答案】（1）113n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2121113173n n n b --+=-；（2）见解析【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的递推关系()134n n S a =+可求出113n n a a -=-，得到数列{}n a 是等比数列，从二得到答案.（2）由2121113173n n n b --+=-,知17n b >，故17n T n >,又()21212121212118811141333117777121377733n n n n n n n b ------+-=-=<=⋅-⎛⎫-- ⎪⎝⎭,从而可证11714n T n <+.【详解】（1）解：因为()134n n S a =+，令1n =得11a =，当2n ≥时，由()134n n S a =+，()11134n n S a --=+两式相减得()()1113344n n n a a a -=+-+，即113n n a a -=-，由此可知数列{}n a 是首项1为公比为13-的等比数列，故113n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()1131134443n n n S a -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，21222111131173n n n n n S b S --+-==+-.（2）证明：由2121113173n n n b --+=-,结合不等式的性质有212121111133177723n n n n b ---++=>>- 知17n b >，故17n T n >,又()21212121212118811141333117777121377733n n n n n n n b ------+-=-=<=⋅-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以12321111411177721333n n b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-<⋅++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为3211111133113339819n n -⎛⎫++⋯+=⋅-< ⎪⎝⎭-，所以1431721814n T n -<⋅=，综上，1117714n n T n <<+.【点睛】本题考查求数列的通项公式，利用放缩法证明数列不等式的问题，属于中档题.21.如图，已知椭圆1C ：22221y x a b +=（0a b >>）的离心率为22，并以抛物线2C ：28x y=的焦点F 为上焦点.直线l ：y kx m =+（0m >）交抛物线2C 于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点作抛物线2C 的切线，两切线相交于点P ，又点P 恰好在椭圆1C 上.（1）求椭圆1C 的方程；（2）求mk 的最大值；（3）求证：点F 恒在AOB 的外接圆内.【答案】（1）22184y x +=；（2）22；（3）见解析【解析】【分析】（1）由条件有()0,2F ，即2c =，由离心率可得22a =b ，得到椭圆方程.(2) 设()11,A x y ，()22,B x y ,将直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，PA ：求出直线PA 的方程21148x x y x =-，同理可得PB ：22248x x y x =-，可得到1212,28x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据点P 在椭圆，得到22328m k +=，利用均值不等式可到答案.(3) 因为过原点O ，所以可设AOB 的外接圆方程为220x y Dx Ey +++=,将()11,A x y ，()22,B x y 坐标代入圆的方程，求出288E k m =---，将点()0,2F 代入外接圆方程可得()22428816212k m k m -++=---，从而可证.【详解】【详解】（1）解：由已知得()0,2F ，所以2c =，又因为c e a ==，所以a = 所以椭圆1C 的方程为22184y x +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由直线l ：y kx m =+（0m >）与抛物线2C ：28x y =方程联立可得2880x kx m --=，所以121228,8,64320,x x k x x k m +=⎧⎪=-⎨⎪∆=+>⎩因为4x y '=，所以PA ：()211184x x y x x -=-，即PA ：21148x x y x =-，同理可得PB ：22248x x y x =-，由直线PA 的方程与直线PB 的方程联立有2222114848x x y x x xy x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得122x x x += 将122x x x +=代入直线21148x x y x =-可得128x x y =所以1212,28x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，即()4,P k m -，因为点P 在椭圆22184y x +=上，所以2216184m k +=，即22328m k +=.因为2232m k +≥，所以当2m =，k =mk（3）证法：因为过原点O ，所以可设AOB 的外接圆方程为220x y Dx Ey +++=，由已知可得2211112222220,x y Dx Ey x y Dx Ey ⎧+++=⎨+++=⎩ 故()()4422122122221221121221212212211221648x x x x x x x x x x y x x x y x E x x x x x y x y --++-+==-- ()331222121212218888x x x x x x x x x x --+++==---，所以288E k m =---，将点()0,2F 代入外接圆方程可得()22428816212k m k m -++=---，因为0m >，所以2162120k m ---<，所以点F 恒在AOB 的外接圆内. 证法二：设AOB 的外心为(),Q Q Q x y ，由已知可得OA 的中垂线为21118162x x y x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即31118416x x y x x +=+，同理OB 的中垂线为32228416x x y x x +=+，联立可得()()33121212416Q x x x x y x x --=+-所以()22222121212113444161624Q x y x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=+++=+++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又因为()2222Q Q x y FQ =+-，2222Q QR OQ x y ==+，所以FQ OQ R <=，所以点F 恒在AOB 的外接圆内.【点睛】本题考查求椭圆的方程，抛物线的切线问题和椭圆、抛物线中的最值问题，圆与点的位置关系的证明，属于难题.22.已知函数()2e xf x x =-，()g x ax =.（1）求证：存在唯一的实数a ，使得直线()y g x =与曲线()y f x =相切；（2）若[]1,2a ∈，[]0,2x ∈，求证：()()2e 6f xg x -≤-.（注：e 2.71828=为自然对数的底数.）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）曲线()y f x =在()(),t f t 处的切线为()()()22tty e te t x t --=--，所以()()2e 2,e e 2,t t ta t t t t ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩只需证明()21e 0t t t --=有唯一解即可. (2) 要证()()2e 6f x g x -≤-，即证2226e e e 6x x ax -≤--≤-,设()2e xax F x a =--，即()()22226e 1e 66e 2e 6F F ⎧-≤≤-⎪⎨-≤≤-⎪⎩，只要证明()()221e 626e F F ⎧≤-⎪⎨≥-⎪⎩，然后构造函数，讨论单调性，分析函数的最值，即可证明.【详解】证明：（1）由()e 2xf x x '=-知，在()(),t f t 处的切线为()()()22t t y e t e t x t --=--，当该直线为y ax =时，可得()()2e 2,e e 2,t t ta t t t t ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩所以()21e 0tt t --=，所以1t >，令()()21e th t t t =--，则当1t >时，()()e 20th t t '=->，所以()h t 在()1,t ∈+∞单调递增，而()110h =-<，()22e 40h =->，所以存在唯一的实数t （()1,2t ∈），使得()0h t =，相应的e 2t a t =-也是唯一的，即存在唯一-的实数a ，使得直线()y g x =与曲线()y f x =相切. （2）要证()()2e 6f xg x -≤-，即证2226e e e 6x x ax -≤--≤-，令()2e xax F x a =--，对于确定的x ，()F a 是一次函数，只要证明，()()22226e 1e 6,6e 2e 6,F F ⎧-≤≤-⎪⎨-≤≤-⎪⎩注意到对于同一[]0,2x ∈，()()12F F ≥，所以只要证明()()221e 6,26e ,F F ⎧≤-⎪⎨≥-⎪⎩①② 先证明①：记()()21e xG x F x x ==--，则()e 21xx G x '=--，令e 21xy x =--，因为e 2xy '=-，所以ln 20x y '⇒>>，由此可知()G x '在区间[]0,ln 2递减，在区间[]ln 2,2递增. 又因为()00G '=，()ln2e2l 2l n 10n 2G =--<'，()22e 50G '=->，所以，在区间[]ln 2,2上存在唯一实数0x ，使得()00G x '=. 故在区间[]00,x ，()G x 递减，在区间[]0,2x ，()G x 递增. 于是()()(){}2max max 0,2e 6G x G G ==-.①得证.再证明②：记()()22e 2xH x F x x ==--，当[]0,1x ∈时，利用不等式e 1x x ≥+得，()()22221111116e x x x x H x x --=--+≥--=->-≥+；当[]1,2x ∈时，利用不等式2e 12xx x ≥++（0x ≥）得()()2121e e e e e 11222x x x x -⎛⎫-⋅≥⋅+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，于是()()222e e e e 2122222x x x x x H x ⎛⎫⎛⎫≥++--=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中二次函数()2e e 1222x x x ϕ⎛⎫=--+⎪⎝⎭开口向上，对称轴为222x e =>-，当[]1,2x ∈时，()x ϕ最小值()e e 5e41822224ϕ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，所以()()()226e H x x ϕϕ≥≥>-. 综上，不等式①②均成立.所以，当[]0,2x ∈，对任意的[]1,2a ∈，总有()()2e 6f xg x -≤-.【点睛】本题考查曲线的切线问题，根据单调性分析方程的解，考查不等式的证明问题，考查构造函数解决问题，属于难题.。

北京市达标名校2020年高考四月仿真备考数学试题含解析

北京市达标名校2020年高考四月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 2．设()f x x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（） A ．3B ．4C ．5D ．63．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（） A ．±6B ．6C ．-6D ．1324．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（） A ．4B ．3C ．2D ．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（）． A ．103B ．62C ．33D 36．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N7．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为A ．24(4h 2π+π+B ．216(2h π+π+C ．2(821)h π+π+D ．2(2216)h π+π+8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 ） A ．2B 2C 3D ．39．已知随机变量X 的分布列如下表： X1-0 1P ab c其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥10．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π11．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为45，则C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A ．2B ．4C ．19D ．21912．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学：应用题

高三数学强化训练应用题（一）函数模型【例1】甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【例2】在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD 的三边AB ，BC ，CD 由长为8厘米的材料弯折而成，BC 边的长为2t 厘米(04t <<)；曲线AOD 是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为23x y =-，记窗户的高(点O 到BC 边的距离)为()f t .（1）求函数()f t 的解析式，并求要使得窗户的高最小，BC 边应设计成多少厘米？（2）要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成多少厘米？【例3】为减少人员聚集，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示，当S 中有()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为：()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，(单位：分钟)而公交群体中的人均上班路上时间不受x 的影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：（1）当x 取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？（2）已知上班族S 的人均上班时间计算公式为：()()()%50100%g x f x x x =⋅+-，讨论()g x 的单调性，并说明实际意义.(注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.)1、为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等），对国家级湿地公园—东昌湖进行进一步净化和绿化．为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为245m ，四月底浮萍覆盖面积为280m ，八月底浮萍覆盖面积为2115m ．若浮萍覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （2020年1月底记1x =，2021年1月底记13x =）的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与2log (0)y m x n m =+>可供选择．（1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；（2）利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到2148m ？（可能用到的数据：2log 15 3.9≈1.37≈66.72≈）2、2011年六月康菲公司由于机器故障，引起严重的石油泄漏，造成了海洋的巨大污染，某沿海渔场也受到污染.为降低污染，渔场迅速切断与海水联系，并决定在渔场中投放一种可与石油发生化学反应的药剂.已知每投放a (14a ≤≤，且a R ∈)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (毫克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中()()()161,04815,4102x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据实验，当水中药剂的浓度不低于4(毫克/升)时，它才能起到有效治污的作用.称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化.（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试问a 的最小值(精确到0.1取近似值1.4).3、在研究某市交通情况时发现，道路密度是指该路段上一定时间内用过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量xq v =，x 为道路密度，q 车辆密度，(0,80]x ∈，且801100135(040,3(040)854080x x v k x x k ⎧-<<⎪=⎨⎪--+≤≤>⎩.（1）当交通流量95v>时，求道路密度x 的取值范围；（2）若道路密度80x =时，测得交通流量50v =，求出车辆密度q 的最大值.（二）三角模型【例4】某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长；（2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．r r rr l 【例5】如图，已知某市穿城公路MON 自西向东到达市中心O 后转向东北方向，34MON π∠=，现准备修建一条直线型高架公路AB ，在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ，且要求市中心O 到AB 所在的直线距离为10km.（1）求A ，B 两出入口间距离的最小值；（2）在公路MO 段上距离市中心O 点30km 处有一古建筑C （视为一点），现设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区，问如何在古建筑C 和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？【例6】某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位：米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，32-=r l （l 为圆柱的高，r 为球的半径，2l ≥）.假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为c 千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建造费用为y 千元.（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该储油罐的建造费用最小时的r 的值.1、重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O （如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为6π（即AOB ∠）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长3AB =且点A ，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为M ，且6MAB MBA π∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即OA ，OB 长度），才使得喷泉M 与山庄O 距离即值OM 最大？2、某城市为发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线1l 与2l 修建景观路（桥），如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通，已知60m AB =，80m BC =，河道两侧的景观道路修建费用为每米1万元，架设在河道上方的景观桥EF 部分的修建费用为每米2万元.（1）若景观桥长90m 时，求桥与河道所成角的大小；（2）如何设计景观桥EF 的位置，使矩形区域ABCD 内的总修建费用最低？最低总造价是多少？3、如图是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面是所示的半圆弧ACB ，其中C 为半圆弧中点，渠宽AB 为2米.（1）当渠中水深CD 为0.4米时（D 为水面中点），求水面的宽;（2）若把这条水渠改挖（不准填上）成横断面为等腰梯形的水渠，使渠的底面与水平地面平行，则改挖后的水渠底宽为多少米时（精确到0.01米），所挖的土最少?（三）数列模型【例7】某公司自2020年起，每年投入的设备升级资金为500万元，预计自2020年起(2020年为第1年)，因为设备升级，第n年可新增的盈利()()5801,5100010.6,6n nn nan-⎧-≤⎪=⎨-≥⎪⎩(单位：万元)，求：（1）第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；（2）第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.【例8】某卫材公司年初投资300万元，购置口罩生产设备，立即投入生产，预计第一年该生产设备的使用费用为36万元，以后每年增加6万元，该生产设备每年可给公司带来121万元的收入.假设第n年该设备产生的利润（利润=该年该设备给公司带来的收入-该年的使用费用）为n a.（1）写出n a的表达式；（2）在该设备运行若干整年后，该卫材公司需要升级产品生产线，决定处置该生产设备，现有以下两种处置方案：①当总利润（总利润=各年的收入之和-各年的使用费用-购置口罩生产设备的成本）最大时，以7万元变卖该生产设备；②当年平均总利润最大时，以72万元变卖该生产设备.请你为该公司选择一个合理的处置方案，并说明理由.1、诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为 6.24%r =．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；（2）设n a 表示()1998n +年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．2、2019年9月1日，小刘从各个渠道融资30万元，在某大学投资一个咖啡店，2020年1月1日正式开业，已知开业第一年运营成本为6万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本增加2万元，若每年的销售额为30万元，用数列{}n a 表示前n 年的纯收入．（注：纯收入=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额）（1）试求年平均利润最大时的年份（年份取正整数）并求出最大值．（2）若前n 年的收入达到最大值时，小刘计划用前n 年总收入的13对咖啡店进行重新装修，请问：小刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修（年份取整数）？并求小刘计划装修的费用．。

2020年福建省福州市市第四十中学高三数学文测试题含解析

2020年福建省福州市市第四十中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：B【分析】化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.【详解】对应的点的坐标为在第二象限故选：B.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2. 在区间上任选两个数和，则的概率为A. B. C. D.参考答案：D3. 如图所示，已知椭圆方程为，A为椭圆的左顶点，B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：C知的方程为，与联立，解得，可得，那么，则，则，那么．4. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，=16，，则（）A．8 B．4 C．2D．1参考答案：C略5.设数列的前项和为，，则称为数列的“理想数”，若数列的“理想数”为2008，那么数列的“理想数”为A、B、 C、D、参考答案：答案：D解析：∵数列的“理想数”为2008 ∴∴∴数列的“理想数”为故选D6. 复数等于（）A．l B． -1 C．i D．-i参考答案：C7. 命题，函数，则（）A．是假命题；，B．是假命题；，C．是真命题；，D．是真命题；，参考答案：D8. 已知全集U=R,集合P=｛x︱x2≤1｝,那么A．(-∞, -1) B．(1, +∞）C．(-1，1) D．（-∞，-1）∪(1，+∞）参考答案：D本题考查了集合的补集运算，容易题。

因为集合，所以，故选D。

9. 已知函数(a>0,a≠1)的图象如图所示，则a,b满足的关系是 ( ）A．0<a<b<1 B．0<b<a<1 C．0<a<1<b D．0<b<1<a参考答案：A10. 首项为1，公比为2的等比数列的前10项和A．1022 B．1023 C．1024 D．1025参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数（为虚数单位），则______________。

吉林省长春市第四十中学2020年高三数学理期末试卷含解析

吉林省长春市第四十中学2020年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则满足条件集合C的个数为（）A． 4 B． 3 C． 2 D．1参考答案：A由指数函数的性质可得集合，集合，满足条件集合为：，，共个，故选A.2. 在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形参考答案：D3. 若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．解答：解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选C．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．4. 已知集合,集合,则=（）A. B. C. D.参考答案：A5. 函数的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5参考答案：B在同一坐标系内画出函数和的图象，可得交点个数为3. 故选B.6. 两个正数的等差中项是,等比中项是,且,则抛物线的焦点坐标( )(A) (B)(C) (D)参考答案：C略7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则PQ中点M到抛物线准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C8. 设集合，B={x|1<x<5,x∈Ｒ}，若A B=，则实数a的取值范围是A. {a|0≤a≤6}B. {a|a≤2，或a≥4}C. {a|a≤0，或a≥6}D. {a|2≤a≤4}参考答案：C,因为，所以有或，即或，选C.9. 已知为常数，函数有两个极值点，则（）A. B.C. D.参考答案：D略10. 矩形ABCD中，AB=2，AD=2，点E、F分别为线段BC、CD边上的动点，且满足EF=1，则的最小值是（）A．12 B．16 C．20 D．24参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】如图所示，设E（2，a），F（b，2），由EF=1，利用两点之间的距离公式可得（a﹣2）2+（b﹣2）2=1，利用数量积运算可得=2b+2a，令a+b=t与圆的方程联立可得4b2﹣2tb+t2﹣4t+15=0．当直线a+b=t与圆有公共点时，△≥0，解出即可得出．【解答】解：如图所示，设E（2，a），F（b，2）．∵EF=1，∴（a﹣2）2+（b﹣2）2=1．∵=（2，a），=（b，2）∴=2b+2a，令2a+2b=t，联立，化为4b2﹣2tb+t2﹣4t+15=0．当直线a+b=t与圆有公共点时，△=12t2﹣16（t2﹣4t+15）≥0，解得t2﹣10t+60≤0，解得6≤t≤10．∴12≤≤20，∴的最小值为12．故选：A．【点评】本题考查了两点之间的距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的位置关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在复平面内，复数z=1﹣2i对应的点到原点的距离是．参考答案：【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数z=1﹣2i对应的点（1，﹣2）到原点的距离d==．故答案：．12. 设二次函数（为常数）的导函数为．对任意，不等式恒成立，则的最大值为________．参考答案：【知识点】二次函数的性质B5解析：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2＞0，∴c＞a＞0，∴，故≤===≤=2﹣2，故答案为：2﹣2【思路点拨】由已知可得ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，即△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得的最大值．13. 已知且，则___________．参考答案：14. 设满足约束条件，则的最大值是参考答案：115. 若函数f（x）=x2+ax﹣1是偶函数，则a= ．参考答案：考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由偶函数的定义f（﹣x）=f（x）即可求得a的值．解答：解：∵f（x）=x2+ax﹣1是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）．即（﹣x）2﹣ax﹣1=x2+ax﹣1，∴2ax=0，又x不恒为0，∴a=0．故答案为：0．点评：本题考查函数奇偶性的性质，利用偶函数的定义求得2ax=0是关键，属于基础题．16. 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现．已知四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度_________．参考答案：试题分析：∵二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现．∴四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度，则；∴．考点：1．新定义问题；2．归纳推理；3．导数计算．17. 已知，则．参考答案：由已知-sinα=-2cosα，即tanα=2，则sin 2α+sin2α=.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

吉林省长春市第四十中学高三数学理上学期期末试题含解析

吉林省长春市第四十中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（﹣1，3]时，f（x）=，其中t＞0，若方程f（x）=恰有3个不同的实数根，则t的取值范围为（）A．（0，）B．（，2）C．（，3）D．（，+∞）参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．【分析】确定f（x）的周期为4，x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），再利用t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，可得t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2，即可求出t的取值范围．【解答】解：由f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故f（x）的周期为4，∵x∈（1，2）时，f（x）=t（x﹣1），x∈（2，3）时，f（x）=t（3﹣x），∴x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），∵t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，∴t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2∴2＞t＞，故选：B．2. 等差数列的前n项和为，若为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（）A. B. C.D.参考答案：C3. 已知幂函数的图象经过点（4，2），则=（）A． B．4 C． D．参考答案：D4. 阅读如图的程序框图．若输入n=6，则输出k的值为( )A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B考点：循环结构．专题：阅读型．分析：框图是直到型循环结构，输入n的值为6，给k的赋值为0，运行过程中n进行了4次替换，k 进行了3次替换．解答：解：当n输入值为6时，用2×6+1=13替换n，13不大于100，用0+1=1替换k，再用2×13+1=27替换n，27不大于100，此时用1+1=2替换k，再用27×2+1=55替换n，此时55不大于100，用2+1=3替换k，再用2×55+1=111替换n，此时111大于100，算法结束，输出k的值为3．故选B．点评：本题考查了程序框图中的直到型型循环结构，直到型循环结构是先执行在判断直到条件结束，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．5. 若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A.43B. 44C. 45D. 46参考答案：C6. 若复数满足（其中是虚数单位），则的实部为（）（A）6 （B）1 （C）（D）参考答案：A 略7. 若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（）A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4D．x≤5参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】方法一：由题意可知：输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，则判断框中的条件是x＞4，方法二：采用排除法，分别进行模拟运算，即可求得答案．【解答】解：方法一：当x=4，输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，故选B．方法二：若空白判断框中的条件x＞3，输入x=4，满足4＞3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，若空白判断框中的条件x＞4，输入x=4，满足4=4，不满足x＞3，输出y=y=log24=2，故B正确；若空白判断框中的条件x≤4，输入x=4，满足4=4，满足x≤4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，若空白判断框中的条件x≤5，输入x=4，满足4≤5，满足x≤5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误，故选B．8. 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，是上的点，且是的一条渐近线，则的方程为（A）（B）（C）或（D）或参考答案：A9. 已知函数f（x）=|log2|1﹣x||，若函数g（x）=f2（x）+af（x）+2b有6个不同的零点，则这6个零点之和为（）A．7 B．6 C．D．参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】先作出函数f（x）=|log2|x﹣1||的图象，令t=f（x），方程[f（x）]2+af（x）+2b=0转化为：t2+at+2b=0，再方程[f（x）]2+af（x）+2b=0有6个不同的实数解，运用图象关于直线x=1对称，这6个解两两关于直线x=1对称，计算即可得到所求和．【解答】解：作出函数f（x）=|log2|x﹣1||的图象，可得图象关于直线x=1对称，∵函数g（x）=f2（x）+af（x）+2b有6个不同的零点，即方程[f（x）]2+af（x）+2b=0有6个不同的实数解，可得这6个解两两关于直线x=1对称，可得它们的和为2×3=6．故选：B．【点评】本题考查函数的零点个数问题的解法，注意运用函数的对称性，考查数形结合思想方法，属于中档题．10. 一个长方体截去两个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的三视图为参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数满足的最大值为；参考答案：略12. 在等差数列中，，，则等于．参考答案：13.若x、y满足,则的最大值为______________.参考答案：答案:814. 已知函数，若方程有且仅有两个解，则实数的取值范围是.参考答案：略15. 已知函数在内连续，则．参考答案：略16. 已知函数f （x ）=，若f （3﹣2a 2）＞f （a ），则实数a 的取值范围是．参考答案：a ＞1或a ＜﹣．略17. 如图，过抛物线y 2=4x的焦点F 作直线与抛物线及其准线分别交于A ，B ，C 三点，若=4，则= ．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】分别过A ，F ，B 作准线的垂线，垂足分别为A 1，D ，B 1，利用相似三角形计算BB 1，AA 1即可得出AB=AA 1+BB 1．【解答】解：分别过A ，F ，B 作准线的垂线，垂足分别为A 1，D ，B 1，则DF=p=2，由抛物线的定义可知BF=BB 1，AF=AA 1，∵=4，∴，∴BF=BB 1=．∴CF=4FB=6， ∴cos ∠DFC=，∴cos ∠A 1AC===，解得AF=3，∴AB=AF+BF=3+=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业4月份联考检测试题及答案解析

最新高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．0076．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣311．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．高三（下）4月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故选：B．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，即可判断出结论；B．利用非命题的定义即可判断出真假；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，即可判断出真假；D．利用否命题的定义即可判断出真假．【解答】解：A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，因此．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，因此不正确；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，因此不正确；D．“若，则”的否命题是“若，则”，正确．故选：D．4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．007【考点】系统抽样方法．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论．【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π；底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π；所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，可得四边形OBAC是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，可得∠ACB=∠AC0=30°，由投影的定义可得．【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A11．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为2．【考点】圆的标准方程．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinB﹣4sinC=0，∴a+b=4c，∵△ABC的周长L=5，∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．∵面积S=﹣（a2+b2），∴absinC=﹣（a2+b2）=﹣[（a+b）2﹣2ab]=ab，∴sinC=，∵c＜a+b，C是锐角，∴cosC==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，∵a2=3，a4=7，∴a1+d=3，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，∴b1=1，b2=2，b3=4，∴b1=1，q=2，∴b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=n2+2n﹣1．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质．【分析】（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，从而曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则A（1+λ，），B（1+μ，），由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线C的方程为．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则直线QA、QB的一个方向向量为（1，k），（1，﹣k），则=λ（1，k），=μ（1，﹣k），∴A（1+λ，），B（1+μ，），代入=1，并整理，得，两式相减，得：λ﹣μ=﹣，两式相加，得：λ+μ=﹣，∴直线AB的斜率k AB==．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以．…令f′（x）=0得x=1；…由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．…所以函数，无极小值…（Ⅱ）法一：令．所以．…当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．…当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．…故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．…法二：由F（x）≤mx﹣1恒成立知恒成立…令，则…令φ（x）=2lnx+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2lnx0+x0=0…当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数…所以，而，所以所以整数m的最小值为2．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE •AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．2016年10月19日。

2021年陕西省西安市第四十中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021年陕西省西安市第四十中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数。

给出下列函数：①；②；③ ；④；其中“互为生成”函数的是（）A．①② B．②③C．①④ D．③④参考答案：D略2. 已知是所在平面内一点，为边中点，且，则( ) A．B．C．D．参考答案：B略3. 对于函数, “的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B略4. 已知数列的前n项和为，且，则下列数列中一定是等比数列的是（）A B. C. D.参考答案：C略5. 已知全集且则等于( )（A）（B）（C）（D）参考答案：B略6. 已知函数f（x）=cos（2x+），若存在x1，x2，…x n满足0≤x1＜x2＜…＜x n≤4π，且|f（x1）﹣f （x2）|+|f（2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=16（n≥2，n∈N*），则n的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：C【考点】数列与函数的综合．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f （x）max﹣f（x）min=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，n）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小n值．【解答】解：∵f（x）=cos（2x+）对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，n）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x n≤4π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=16，按下图取值即可满足条件，即有|1+|+2×7+|1﹣|=16．则n的最小值为10．故选：C．7. 过点（0,1）且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为A． B．C． D．参考答案：A略8. 双曲线﹣=1（a，b＞0）离心率为，左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，∠F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|=2，则双曲线方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得直线l为F1Q的垂直平分线，且Q在PF2的延长线上，可得|PF1|=|PQ|=|PF2|+|F2Q|，由双曲线定义可得a=1，再由离心率公式可得c，由a，b，c的关系，可得b的值，进而得到所求双曲线的方程．【解答】解：由∠F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，可得直线l为F1Q的垂直平分线，且Q在PF2的延长线上，可得|PF1|=|PQ|=|PF2|+|F2Q|，即|PF1|﹣|PF2|=|F2Q|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由|F2Q|=2，可得a=1，由e==，可得c=，b==，则双曲线的方程为x2﹣=1．故选：B．9. 已知某几何体的三视图如图所示，网格线上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．9 B． C. 18 D．参考答案：C如图所示，在棱长为3的正方体中，题中所给的三视图为该正方体截去三棱锥所得的几何体，该几何体的体积：.本题选择C选项.10. 在同一坐标系中画出函数的图象，可能正确的是（）A.B.C.D.参考答案：D试题分析：当a>1时，直线纵截距大于1，对数函数与指数函数得到递增，结合函数图象选D. 考点：函数图象二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是．参考答案：略12. 设M={1，2，3，…，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x ∈A 时，15x A ，则A 中元素的个数最多是．参考答案：1870解：1995=15×133．故取出所有不是15的倍数的数，共1862个，这此数均符合要求．在所有15的倍数的数中，152的倍数有8个，这此数又可以取出，这样共取出了1870个．即|A |≥1870．又{k ，15k }(k=9，10，11，…，133)中的两个元素不能同时取出，故|A |≤1995-133+8=1870．13. 已知函数f(x)＝(x －2)3，数列{a n }是公差不为0的等差数列，，则数列{a n }的前11项和S 11为．参考答案：22f(x)＝(x －2)3为增函数，且关于点(2，0)中心对称，则f(2＋x)＋f(2－x)＝0．设数列{a n }公差为d ，若a 6＞2，则f(a 6)＞0，f(a 5)＋f(a 7)＝f(a 6－d)＋f(a 6＋d)＞f(2－d)＋f(2＋d)＝0，即f(a 5)＋f(a 7)＞0，同理，f(a 4)＋f(a 8)＞0，…，f(a 1)＋f(a 11)＞0，则f(a i )＞0；同理，若a 6＜2，则f(a i )＜0，所以a 6＝2．所以S 11＝11a 6＝22．【说明】考查函数的性质及等差数列的运算．14. 从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是男生或都是女生的概率等于．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】计算从2男3女5名学生中任选2名学生和选出的2名都是男同学或都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．【解答】解：从2男3女5名学生中任选2名学生有=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有=3种选法，其中选出的2名都是男同学的有=1种选法，∴这2名都是男生或都是女生的概率是=，故答案为：．15. 计算: =__________.参考答案：316. 已知函数，当时，记的最大值为，最小值为，则______.参考答案：917. 下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为;的共轭复数为的虚部为。

2020年吉林省长春市第四十中学高三数学文联考试题含解析

2020年吉林省长春市第四十中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设等差数列的前项和为，、是方程的两个根，（）A．B．C．D．参考答案：2. 设集合，，则（）A．B．(－1,2) C．(1,2) D．(0,2)参考答案：D3. 已知函数，其中，为参数，且．若函数的极小值小于，则参数的取值范围是（）[A. B. C. D.参考答案：D略4. 若函数f（x）=2sinx（x∈[0，π]）在点P处的切线平行于函数g（x）=2?（+1）在点Q处的切线，则直线PQ的斜率（）A．1 B．C．D．2参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．【分析】函数y=2sinx （x∈[0，π]）在点P处的切线与函数g（x）=2?（+1）在点Q处切线平行，对两个函数分别求导，根据导数与斜率的关系，进行求解；【解答】解：函数y=2sinx （x∈[0，π]），∴y′=2cosx，﹣2≤y′≤2，g′（x）=≥2，此时x=1，∵函数y=2sinx （x∈[0，π]）在点P处的切线与函数g（x）=2?（+1）在点Q处切线平行，∴y′=g′（x）=2，可得P（0，0），Q（1，），∴直线PQ的斜率k PQ==，故选：C．5. 已知数列满足,则的前10项和等于（）(A) (B) (C) (D)参考答案：C略6. 已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为( )A．2 B．3 C.4 D．5参考答案：B7. 如图，水平放置的三棱柱中，侧棱,其正（主）视图是边长为a的正方形，俯视图是边长为a的正三角形，则该三棱柱的侧（左）视图的面积为A. B. C. D.参考答案：C由俯视图可知，俯视图的对应三角形的高为侧视图的宽，即宽为。

由主视图可知主视图的高为，所以侧视图的高为，所以侧视图的面积为，选C.8. 设，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的（）A.充分不必要条件 B．必要不充分条件C. 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B略9. 已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（）A. [0,4)B.[－1,4)C. [－3,5]D. [0,7)参考答案：A【分析】设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案.【详解】都不是空集，设，则；，则.当时：方程的解为此时，满足；当时：的解为或，则或，则无解，综上所述：，故选：【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.10. 设函数，其中常数满足．若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于A．B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线：，直线：，圆：.若上任意一点到两直线，的距离之和为定值，则实数.参考答案：－18；12. 已知直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3ln x的一条切线，则m的值为．参考答案：2【分析】求出函数的导数，利用导数为﹣1，求出切点坐标，由切点在直线上，然后求出m的值．【解答】解：曲线y=x2﹣3lnx（x＞0）的导数为：y′=2x﹣，由题意直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，可知2x﹣=﹣1，所以x=1，所以切点坐标为（1，1），切点在直线上，所以m=1+1=2．故答案为：2．13. 已知函数,则不等式的解集为_____________．参考答案：略14. 若为等比数列，，且，则的最小值为参考答案：415. （5分）设a ，b 为正实数，则的最小值为．参考答案：2﹣2【考点】：基本不等式．【专题】：不等式．【分析】：把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值解：==1﹣=1﹣，∵a，b 为正实数，∴≥2=2，当且仅当a=b 时取等号，∴≥1﹣=1﹣（3﹣2）=2﹣2，故的最小值为：，故答案为：2﹣2【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，本题解题的关键是整理出原式含有基本不等式的形式，可以应用基本不等式求最值．16. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 .参考答案：略17. 执行右侧的程序框图，若输入，则输出 .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

辽宁省大连市第四十高级中学2020年高三数学理下学期期末试卷含解析

辽宁省大连市第四十高级中学2020年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数有两个极值点,若,则关于的方程的不同实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A略2. 已知函数f（x）=x3+ax+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数f（x）=x3+ax+1的导数为：f′（x）=3x2+a，f′（1）=3+a，而f（1）=a+2，切线方程为：y﹣a﹣2=（3+a）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2=（3+a）（2﹣1），解得a=1．故选B．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．3. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，分别求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由三视图可知，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，∵底面长和宽分别为3和6，∴其底面面积S=3×6=18，又∵棱锥的高h=3，故该几何体的体积V=Sh=×3×18=18．故选：C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键．4. 单位向量与的夹角为，则=( )A．B．1 C．D．2参考答案：B考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由||=||=1，与的夹角为60°，故，，，又由=，代入即可得到答案．解答：解：∵向量与为单位向量，且向量与的夹角为，∴，，∴===1﹣1+1=1∴=1故选B点评：向量的数量积运算中，要熟练掌握如下性质：==，5. 若复数z满足，则复数z为（）A．B．C．D．参考答案：D，，故选D.6. 已知直线与直线互相垂直，则（A）（B）（C）（D）参考答案：C【知识点】两条直线的位置关系【试题解析】因为直线与直线互相垂直，所以，故答案为：C7. 已知函数f（x）=，那么f（）的值为( )A．﹣B．﹣C．D．参考答案：B考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知条件利用分段函数的性质得f（）=f（﹣1）=f（﹣）=sin（﹣）=﹣sin=﹣．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（）=f（﹣1）=f（﹣）=sin（﹣）=﹣sin=﹣．故选：B．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．8. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．B．C． D．参考答案：D9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．参考答案：A三视图所对应的空间几何体为一个半圆锥拼接一个三棱锥所得，故其体积，故选A.10. 已知函数f（x）=|xe x|﹣t有三个零点，则实数t的取值范围为（）A．（0，）B．（0，1）C．（，1）D．（0，]参考答案：A【考点】函数零点的判定定理．【分析】令f（x）=0，即为方程|xe x|=t有三个不相等的实数解，即y=t与函数y=|xe x|的图象有三个交点，利用导数法分析g（x）=xe x的单调性和极值，进而结合函数图象的对折变换画出函数y=|xe x|的图象，数形结合可得答案．【解答】解：令f（x）=0，即为|xe x|=t，令g（x）=xe x，则g′（x）=（1+x）e x，当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）=xe x在（﹣∞，﹣1）上为减函数，在（﹣1，+∞）上是减函数，g（﹣1）=﹣，又由x＜0时，g（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0，故函数y=|xe x|的图象如下图所示：故当t∈（0，）时，y=t与函数y=|xe x|的图象有三个交点，即方程|xe x|=t有三个不相等的实数解，故t的取值范围是（0，），故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）＞2f（x）（x∈R），f（）=e，则f（lnx）＜x2的解集为．参考答案：（0，]【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】常规题型；转化思想；构造法；导数的概念及应用．【分析】由题意可构造新函数g（x）=，判断g（x）的单调性为R上增函数，所求不等式可转化＜1．【解答】解：令g（x）=，g'（x）=＞0；∴g（x）在R上是增函数，又e2lnx=x2；∴g（）=1；所求不等式?＜1?g（lnx）＜g（），lnx＜；故可解得：x∈（0，]．故答案为：（0，]【点评】本题主要考查了构造新函数，判断函数的单调性以及转化思想应用，属中等题．12. 已知正实数，满足，则的最小值是．参考答案：．因为，，所以，即，求得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是．又，即，所以．故填．【解题探究】本题考查二元均值不等式的应用．首先由条件得到，再对展开求出其最小值．13. 在中，角所对的边分别为，已知，，则的面积的最大值为．参考答案：，，整理得，则又，.又，则,，，，当且仅当时取等号.14. （2016秋?天津期中）D为△ABC的BC边上一点，，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若，其中λ＞0，μ＞0，则= ．参考答案：3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，列出方程组求出λ与μ的表达式，即可求出+的值．【解答】解：如图所示，∵=+，=+=λ，∴=（1﹣λ）；又E，D，F三点共线，∴存在实数k，使=k=k（﹣）=kμ﹣kλ；又=﹣2，∴==﹣；∴（1﹣λ）=（kμ﹣kλ）﹣（﹣），即（1﹣λ）=（kμ﹣）+（﹣kλ），∴，解得μ=，λ=；∴+=3（1﹣k）+3k=3．故答案为：3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的加法、减法运算，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，是综合性题目．15. 函数y=2sin(x+)cos(x-)的周期为_____________.参考答案：16. 已知函数,则________参考答案：-217. 在展开式中的系数为,则实数的值为 .参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年河南省洛阳市第四十中学高三数学文模拟试卷含解析

2020年河南省洛阳市第四十中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量∥，则实数为（）A. B.或-2 C. 1 D.参考答案：D略2. 已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是参考答案：A略3. 已知x0是函数f（x）=e x+的一个零点，若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则( )A．f（x1）＜0，f（x2）＞0 B．f（x1）＜0，f（x2）＜0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0参考答案：A【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为x0是函数f（x）=e x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=e x+的一个零点，∴f（x0）=0∵f（x）=e x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选：A．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．4. 函数的图象关于原点中心对称，则（）A．在上为增函数B．在上为减函数C．在上为增函数，在上为减函数D．在上为增函数，在上为减函数参考答案：B5. 设（a，，i是虚数单位），且，则有（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】将,再和的实部和虚部对比，得出结果.【详解】因为，所以，，解得或，所以，故选D.【点睛】此题考查了复数的乘法运算，属于基础题。

6. 已知抛物线的焦点为，定点，点为抛物线上的动点，则的最小值为( )A．B．C．D．参考答案：C7. 已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（）A．B．C．D．参考答案：C8. 已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M?N，则实数a的取值范围是( )A．[2，+∞） B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]参考答案：A考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：解出集合M，根据子集的概念即可求得实数a的取值范围．解答：解：M={x|x＜2}；∵M?N；∴a≥2；∴a的取值范围是[2，+∞）．故选A．点评：考查子集的概念，描述法表示集合，可借助数轴求解．9. 已知集合A={﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x2＜16，x∈N}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1，2，3} B．{0，1，2，3，4} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】解不等式得出B，根据交集的运算写出A∩B．【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x2＜16，x∈N}={x|﹣4＜x＜4，x∈N}，则A∩B={0，1，2，3}．故选：D．10. 设函数f（x）=，则满足不等式f（a）＜的实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）∪（，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（，）参考答案：D【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】直接分成两类讨论，①当a≤0时，解得a∈（﹣∞，﹣1）；②当a＞0时，解得a∈（，），再综合即可．【解答】解：分段函数解不等式，直接分段讨论求解，①当a≤0时，f（a）=2a＜=2﹣1，根据指数函数y=2x的单调性，解得a＜﹣1，即a∈（﹣∞，﹣1）；②当a＞0时，f（a）=|log2a|＜，即﹣＜log2a＜，解得a∈（，），综合以上讨论得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（，），故答案为：D．【点评】本题主要考查了分段函数的应用，涉及对数不等式和指数不等式的解法，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象关于直线x=对称，则φ的最小值为__________．参考答案：考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin2（x﹣φ），再由题意结合正弦函数的对称性可得2×﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小值．解答：解：将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y=sin2（x﹣φ）的图象，再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2×﹣2φ=kπ+，k∈z，即﹣φ=+，k∈z，即φ=﹣﹣，k∈z，再根据φ＞0，可得φ的最小值为，故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题12. 如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体积是参考答案：213. 在一个水平放置的底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升，则。

高考数学4-4知识点总结

高考数学4-4知识点总结高考数学试题中的4-4题型主要包括三个知识点：概率、排列组合和数列。

本文将对这三个知识点进行详细总结。

一、概率概率是数学中一个重要的分支，用于描述事件发生的可能性。

在高考数学中，常见的概率问题包括：随机事件的概率计算、条件概率以及事件的互斥和独立性判断。

1. 随机事件的概率计算计算随机事件的概率时，通常使用概率公式：P(A) = 事件A出现的次数 / 总的可能性数。

其中，事件A出现的次数可以通过统计或列举的方法得到，总的可能性数可以通过排列组合的方法计算得到。

2. 条件概率条件概率是指在一定条件下，事件A发生的概率。

计算条件概率时，可以使用条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

其中，P(A∩B)表示A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

3. 互斥事件和独立事件互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，计算互斥事件的概率时，可以使用加法原理：P(A∪B) = P(A) + P(B)。

独立事件指的是两个事件的发生不会相互影响，计算独立事件的概率时，可以使用乘法原理：P(A∩B) = P(A) × P(B)。

二、排列组合排列组合是数学中另一个重要的概念，用于描述集合中元素的选择和排列方式。

常见的排列组合问题包括：n个元素的排列数、n个元素的组合数以及二项式定理的应用等。

1. 排列数排列是指从n个不同元素中选取r个元素按照一定的顺序排列的方式。

排列数的计算公式为：A(n, r) = n! / (n - r)!，其中"!"表示阶乘运算。

2. 组合数组合是指从n个不同元素中选取r个元素，不考虑顺序的方式。

组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!。

3. 二项式定理二项式定理是数学中一个重要的公式，可以用于展开一个任意次幂的二项式。

二项式定理的表达式为：(a + b)^n = C(n, 0) × a^n+ C(n, 1) × a^(n-1) × b + ... + C(n, r) × a^(n-r) × b^r + ... + C(n, n) ×b^n。

2020年内蒙古自治区呼和浩特市第四十中学高三数学理期末试题含解析

2020年内蒙古自治区呼和浩特市第四十中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量，，若，则=__________.A. B. C. D.参考答案：B略2. 若函数y=x2﹣3x+4的定义域为[0，m]，值域为[，4]，则m的取值范围是（）A．（0，4] B．[，4] C．[，3] D．[，+∞）参考答案：C【分析】先配方利用定义域值域，分析确定m的范围．【解答】解：y=x2﹣3x+4=x2﹣3x++=（x﹣）2+，定义域为〔0，m〕那么在x=0时函数值最大，即y最大=4，又值域为〔，4〕，根据二次函数的对称性，≤m≤3，故选：C．【点评】本题考查函数的定义域值域的求法，是一道基础题．3. 集合,则集合P∩Q的交点个数是（）A．0 个B．1个C．2个D．3个参考答案：B4. 复数在复平面内对应的点的坐标为（）A．B．C．D．参考答案：B考点：复数的乘法运算、复数与复平面的点的对应关系.5. 设a为实数，直线l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，则“a=﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线平行的性质及判定分别进行判断即可．【解答】解：l1∥l2”得到：a2﹣1=0，解得：a=﹣1或a=1，所以应是充分不必要条件．故选：A6. 执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A．98 B．99 C．100 D．101参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的K，S的值，观察规律，可得当K=99，S=2，满足条件S≥2，退出循环，输出K的值为99，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得K=1，S=0S=lg2不满足条件S≥2，执行循环体，K=2，S=lg2+lg=lg3不满足条件S≥2，执行循环体，K=3，S=lg3+lg=lg4…观察规律，可得：不满足条件S≥2，执行循环体，K=99，S=lg99+lg=lg100=2满足条件S≥2，退出循环，输出K的值为99．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．7. 已知点，则向量在方向上的投影为（）A． B． C. D．参考答案：A8. 已知复数z满足，则z的虚部是（）A. －1B. －iC. 2D. 2i参考答案：A【分析】根据复数除法运算，化简z，即可得z的虚部。

浙江省台州市2020届高三4月教学质量评估数学试题

浙江省台州市2020届高三4月教学质量评估数学试题1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2,3}，B={3,4}，则U∩(A∪B)的结果为（）A.∅B.{4}C.{3}D.{3,4,5}2.已知复数z满足(3-4i)z=i（其中i为虚数单位），则z的值为（）A.25B.1/25C.5D.1/53.若a，b∈R，则“3a<3b”是“a^3<b^3”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若实数x，y满足{1≤x+y≤2,3≤2x+y≤5}，则3x+y的最大值为（）A.7B.8C.9D.105.函数y=f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的表达式为（）A.f(x)=(x-1)/(2(x+1)(x-1))+1/(x-1)B.f(x)=(x-1)/(2(x+1)(x-1))-1/(x-1) C.f(x)=(x-1)/(2(x+1)(x-1))+1/(x+1) D.f(x)=(x-1)/(2(x+1)(x-1))-1/(x+1)6.已知数列{an}满足：an+1+(-1)^n*an=5，若a6=5，则a1的值为（）A.-26B.0C.5D.267.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+S/N)。

它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中S/N叫做信噪比。

按照香农公式，若N不改变带宽W，而将信噪比S/N增大为原来的2倍，则C（）A.增大1倍B.增大2倍C.增大3倍D.增大4倍二、填空题11.含x^3项的系数为-3，各项系数之和为0.12.体积为96.13.不同的分布情形共有15种；E(ξ)=2.14.点C的坐标为(-1/5,6/5)；sin(∠AOC-9π/4)=1/2.15.f(10)=8；解集为(-∞,-2]∪[1,∞)。

16.a1+a19=10；S10=55.三、解答题18.（本小题满分14分）Ⅰ）首先求f(x)的最小正周期。