弧、弦、圆心角课件.ppt
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人教版数学九年级上册《24.1.3 弧、弦、圆心角》课件精品
A
O·
B ∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°.
例2 如图，在☉O 中，AB =AC ，∠ACB = 60°，
Baidu Nhomakorabea
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
A
证明：∵ AB = AC ，
∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形.
又∵∠ACB = 60°，
O
∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA.B
α
·
O
重合.圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
在同圆中探究
问题1 在⊙O 中，如果圆心角∠AOB =∠COD，那么 AB
与 CD，弦 AB 与弦 CD 有怎样的数量关系？
因为将圆绕圆心旋转任一角度都能
与自身重合，所以可将 ⊙O 绕圆心
旋转，使点 A 与点 C 重合.
D
C B
由于∠AOB =∠COD， 因此，点 B 与点 D 重合.
D A
∴ AB=CD.
变式1 如图，在⊙O 中，AD = BC．求证：DC = AB．
证明：∵ AD = BC，∴ AD BC.
AC
∴ AD AC BC AC.
∴劣弧CD 劣弧AB. ∴ DC = AB．
O
D
B
变式2 如上图，在⊙O 中，DC = AB．求证：AD = BC. 证明：∵ DC = AB，∴劣弧CD 劣弧AB.
人教版九年级数学上册《弧、弦、圆心角》课件
AB A' B '.
四、定理
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角_____，相所等对的弦________； 相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心 角______，相所等对的弧_________．相等
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
B
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
六、练习
1. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么____弧__A_B__=_弧_，CD__________A_O__B____．COD
（2）如果弧AB=弧CD，那么________A__B_=_C，D___________A_O__B． COD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____弧__A_B_=_弧__C_，D ____________A．B=CD （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
C ∴ ∠ BOC= ∠COD= ∠ DOE=35°.
A· O
B ∵弧BC=弧CD=弧DE， AOE 180 335
75
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月13日星期日2022/2/132022/2/132022/2/13 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/132022/2/132022/2/132/13/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/132022/2/13February 13, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/132022/2/132022/2/132022/2/13
弧弦圆心角课件
么它们所对的弧和所对的弦也必然相等。
03
应用
在解决与圆有关的几何问题时，可以利用圆心角相等定理来寻找相等的
弧和相等的弦，从而简化问题。同时，该定理也可以用于证明一些与圆
有关的性质或定理。
03
弧弦圆心角判定方法
判定方法一：利用性质定理判定
性质定理一
在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦也相等
通过弧弦圆心角关系，可以将一些复杂的正弦、余弦恒等式转化为简单的等式进行证明 。
利用弧弦圆心角关系证明正切恒等式
通过弧弦圆心角关系，可以将一些复杂的正切恒等式转化为简单的等式进行证明。
应用三：求解三角函数方程
要点一
利用弧弦圆心角关系求解三角函 数方程
在解三角函数方程时，可以利用弧弦圆心角关系将方程转 化为更简单的形式进行求解。例如，将方程中的三角函数 通过弧弦圆心角关系转化为代数式，从而简化方程的求解 过程。
弦长与圆心角关系
在同圆或等圆中，弦长等于其所 对弧长的正弦值与半径的乘积。
在同圆或等圆中，如果两个圆心 角及其所对的两条弦都分别相等 ，那么这两个圆心角所对的两条
弧也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相 等且它们所对的两个圆心角也相 等，那么这两个圆心角所夹的弧
也相等。
02
弧弦圆心角性质定理
性质定理一：等弧对等弦
人教版九年级上册数学《弧、弦、圆心角》圆PPT教学课件
OA =OB， A、B两点关于点O对称， 圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心．
思考2．把O绕圆心O旋转任意一个角度后，还能和原来的图形重合吗？
圆具有旋转不变性．
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．
∠AOB为 O的圆心角， 圆心角∠AOB所对的弦为AB， 所对的弧为AB ．
思考：如图，在 O中，当圆心角∠AOB=∠A1OB1 时，它们所对的 AB 和A1B1 、弦AB和A1B1相等吗？ 为什么？ 将∠AOB 连同AB 绕圆心O旋转，
是A否B相等 ？
A是否B相 等？
AO，B问： AOB
不相等
不相等
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆 心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆 心角相等，所对的优弧和劣弧也分别相等．
知一推二
圆心角等
弧等
弦等
概念巩固
如图，AB，CD是 O的两条弦．
的顺 的CD位序位的解置排置位：列关顺 关置，系序系A关B若，排，系∥列并并A，DC，说说=并D若明明B说.C理理A明，D由由=理根..B由据C 题 .，意根补据全题图意形补，全探图究形，AB探，究 AB ，
CD
的位置关系，并说明理由.
D
C
D
C
D
C
证明：连接 OA ， OB ， OC ， OD ，
思考2．把O绕圆心O旋转任意一个角度后，还能和原来的图形重合吗？
圆具有旋转不变性．
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．
∠AOB为 O的圆心角， 圆心角∠AOB所对的弦为AB， 所对的弧为AB ．
思考：如图，在 O中，当圆心角∠AOB=∠A1OB1 时，它们所对的 AB 和A1B1 、弦AB和A1B1相等吗？ 为什么？ 将∠AOB 连同AB 绕圆心O旋转，
是A否B相等 ？
A是否B相 等？
AO，B问： AOB
不相等
不相等
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆 心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆 心角相等，所对的优弧和劣弧也分别相等．
知一推二
圆心角等
弧等
弦等
概念巩固
如图，AB，CD是 O的两条弦．
的顺 的CD位序位的解置排置位：列关顺 关置，系序系A关B若，排，系∥列并并A，DC，说说=并D若明明B说.C理理A明，D由由=理根..B由据C 题 .，意根补据全题图意形补，全探图究形，AB探，究 AB ，
CD
的位置关系，并说明理由.
D
C
D
C
D
C
证明：连接 OA ， OB ， OC ， OD ，
《弧、弦、圆心角》名师课件
，分别延长CP、DQ，交⊙O C、D是⊙O上两点，且 AC=BD
于M、N，求证：CP=DQ.
【思路点拨】 由圆心角、弧、弦之间关系定理可以得到线段与角度的
相等关系，可以为证明全等三角形创造条件
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
活动3 大胆探索 证明线段相等与弧度相等
弦、圆心角、弧三量关系： 在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，那么其他
的量也对应相等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
活动1 旧题新解
例1.如图， O 的直径CD与弦AB交于点M，添加条件 写出一个即可），就可得到M是AB的中点.
CD AB
（
AC BC
AD BD
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
活动2 集思广益 求解角度
，∠ACB＝60°，求证 例2.如图，在⊙O中， AB=AC
A
∠AOB=∠AOC=∠BOC．
证明：∵ AB=AC
B
O C
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形． 又 ∠ACB＝60°， ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA． ∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC．
于M、N，求证：CP=DQ.
【思路点拨】 由圆心角、弧、弦之间关系定理可以得到线段与角度的
相等关系，可以为证明全等三角形创造条件
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
活动3 大胆探索 证明线段相等与弧度相等
弦、圆心角、弧三量关系： 在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，那么其他
的量也对应相等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
活动1 旧题新解
例1.如图， O 的直径CD与弦AB交于点M，添加条件 写出一个即可），就可得到M是AB的中点.
CD AB
（
AC BC
AD BD
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
活动2 集思广益 求解角度
，∠ACB＝60°，求证 例2.如图，在⊙O中， AB=AC
A
∠AOB=∠AOC=∠BOC．
证明：∵ AB=AC
B
O C
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形． 又 ∠ACB＝60°， ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA． ∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC．
圆心角弧弦之间的关系课件
圆心角度数等于对应弧的弧度数
圆心角的度数等于对应弧的弧度数。
圆心角和弧长的关系
圆心角的度数等于弧长除以圆的半径。
圆心角和弦的关系
圆心角和弦垂直
圆心角和弦的所对应的两条弧都 与弦垂直。
圆心角是所对应弦弧中点 角的两倍
圆心角的度数等于所对应弦弧中 点角度数的两倍。
所对应弦弧中点角是圆心 角的一半
所对应弦弧中点角的度数等于圆 心角度数的一半。
圆心角弧弦之间的关系 ppt课件
在几何中，圆心角、弧和弦是圆形中的三个基本概念。它们之间有着密切的 关系和数学公式，通过本课件将深入探讨它们间的关联和实际应用。
圆心角的定义
圆心角是指以圆心为顶点，两条与圆相交的射线所夹的角度。
弧的定义
弧长
弧长是指弧上的一段线段的长度。
对应弧
对应弧是指与圆心角相对应的弧。
弦弧中点角
弦弧中点角是指弦所对应的弧的一半的圆心角。
弦的定义
1 中心弦
中心弦是指连接圆的两个不同点，并通过圆心的弦。
2 切线弦
切线弦是指与圆相切并通过圆心的弦。
3 弦弧中点角和弦角
弦弧中点角和弦角是弦所对应的圆心角。
圆心角和弧的关系
1
圆心角和对应弧的关系
2
圆心角等于对应弧所包含的弧度数的两
倍。
3
圆心角和弧弦的计算公式
圆心角、弧、弦关系定理PPT课件
（1）如果AB=CD，那么___________， _____________ ， _________________。
（2）如果 AB CD，那么____________，_____________
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，__
_____________ _______．
A
证明： ∵ AB=AC．
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°，
·O
B
C
∴ △ABC是等边三角形.
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
CHENLI
12
例2：已知：如图（1），已知点O在∠BPD的角平分线PM
上，且⊙O与角的两边交于A、B、C、D，
Байду номын сангаас
求证：AB=CD
B
A P
C
O
M
D B
（1）
变式1：如图（2），∠P的两边与⊙O交与
A
A、B、C、D，AB=CD
P
O
求证：点O在∠BPD的平分线上
C
D
（2）
CHENLI
13
变式2：如图（3），P为⊙O上一点，PO平分∠APB， 求证：PA=PB
A
P
O
(3) B
变式3：如图（4），当P在⊙O内时，PO平分∠BPD，在⊙中 还存在相等的弦吗？
弧、弦、圆心角、弦心距ppt课件
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对 应的其余各组量也相等。
知一得三
判断：
1、等弦所对的弧相等。 （ × ）
2、等弧所对的弦相等。 （√ ）
× 3、圆心角相等，所对的弦相等。( ）
4、弦相等，所对的圆心角相等。（×）
例题选讲 ⌒⌒
在⊙O中，AB=AC，∠ACB＝60°， 求证：∠AOB=∠AOC=∠BOC．
A
O
B
C
随堂训练 1.如图，AB是⊙O的直径，B⌒C=C⌒D=D⌒E ∠COD=35°
求∠AOE的度数． 解：
E
D
⌒ ⌒⌒
∵ BC=CD=DE
C B O C = C O D = D O E = 3 5
A
·
O
B A O E 1 8 0 3 3 5
75
随堂训练
2、如 图，已知AB、CD为⊙O 的两条弦， A⌒D=B⌒C
求证AB＝CD.
C
B O
D A
练习、如图，已知AD=BC、求证AB=CD
A
C
.
O
D
B
变式：如图，如果弧AD=弧BC，求证：AB=CD
随堂训练
3.已知AB是⊙O的直径，M.N是AO.BO的中点。 CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C.D点。
知一得三
判断：
1、等弦所对的弧相等。 （ × ）
2、等弧所对的弦相等。 （√ ）
× 3、圆心角相等，所对的弦相等。( ）
4、弦相等，所对的圆心角相等。（×）
例题选讲 ⌒⌒
在⊙O中，AB=AC，∠ACB＝60°， 求证：∠AOB=∠AOC=∠BOC．
A
O
B
C
随堂训练 1.如图，AB是⊙O的直径，B⌒C=C⌒D=D⌒E ∠COD=35°
求∠AOE的度数． 解：
E
D
⌒ ⌒⌒
∵ BC=CD=DE
C B O C = C O D = D O E = 3 5
A
·
O
B A O E 1 8 0 3 3 5
75
随堂训练
2、如 图，已知AB、CD为⊙O 的两条弦， A⌒D=B⌒C
求证AB＝CD.
C
B O
D A
练习、如图，已知AD=BC、求证AB=CD
A
C
.
O
D
B
变式：如图，如果弧AD=弧BC，求证：AB=CD
随堂训练
3.已知AB是⊙O的直径，M.N是AO.BO的中点。 CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C.D点。
弧、弦、圆心角ppt课件
再见！
你能得到什么结论？
课堂总结
通过这节课的学习，谈谈你掌握了 什么？
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）学习了圆心角定理，你通过本节课的学习，你 能编一道用圆心角定理来解决的数学问题吗？…… （3）数学思想……
布置作业
必做题：课本89页 习题24.1 第 3、4题．
选做题：为建设我们美丽的校园，学校准备把圆形花 坛的外沿分成相等的三部分，每部分用不同颜色的花砖 砌成，请你用所学知识帮助设计一种施工方案
·O
A
·
O1
∵ ∠AOB=∠A1O⌒B1⌒ ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
归纳定理
圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦相等.
B
∵
α
∠AOB=∠A1O⌒B1⌒ ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
Oα
A1
A B1
探究活动
若题目中，缺少“在同圆或等圆中”这一 条件，结论还能够成立吗？
归纳定理
同圆或等圆的“知一得二”：
(1)圆心角；
Fra Baidu bibliotek
(2)圆心角所对的弧； 知一得二
(3)圆心角所对的弦;
B
其中有一组量相等， 其他两组量也相等
α
A
Oα
A1
B1
几何语言
《24.1.3 弧、弦、圆心角》课件
O
M
N
A
B
C
练习
5、如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径， 弦BE∥OA,求证：A⌒C=A⌒E
C
O A
E
B
4、如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上
取
CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于
点A、 B.
⌒⌒
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
（2）求证：AC=BD
O
E C
F D
A
B
5、如图，等边△ABC的三个顶点A、B、C都在 ⊙O上，连接OA、OB、OC，延长AO分别 交BC于点P⌒，交BC于点D，连接BD、CD.
(3) 弦
二
B
α
A
Oα
A1
B1
1、如图3，AB、CD是⊙O的两条弦。
（1）如果AB=CD，那么 ，
。
（2）如果弧AB=弧CD，那么 ， 。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E， E
B
A
OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？
O
D
F
C
图3
例1 如图1，在⊙O中，⌒ ⌒
（1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为r，求△ABC的边长 A
O
B
24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系PPT课件
B
┌M O
A
AB 顶点在圆心的角称为 圆心角，把以点Ａ和点B的端点的弧
称为圆心角∠ＡＯ
(
Ｂ所对的弧，把象ＯＭ这样的以圆心Ｏ到弦ＡＢ的距离称为弦ＡＢ的弦的弦心距．
第3页/共30页
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
O
O
①
②
O
O
③
④
第4页/共30页
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在等圆中
第13页/共30页
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦、 两条弦的弦心距中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
➢在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,
推 论
➢②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,
➢有一组量相等,那么它们所对应的
➢其
A
余各
百度文库
组如量由都条分件别: 相③等AB.=A′B′
C
BOC=COD=DOE=35
A
·
O
B AOE 180 335
75
第28页/共30页
• 小结: • 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角, • ②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中, • 有一组量相等,那么它们所对应的 • 其余各组量都分别相等.
第29页/共30页
谢谢您的观看！
第30页/共30页
弧、弦、圆心角课件(共22张PPT)人教版数学九年级上册
1
∠
3
1
3
= × 90° = 30°
∵OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA=45°,
∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°,即∠AEC的度
数为75°.
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，连接
AB分别交OC, OD 于点 E, F.
(2)求证: AE=BF=CD.
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
（分别相等）
你能用文字语言归纳你得到的结论吗？
（在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心
角相等，所对的弦相等）
4.在同圆或等圆中，画任意两条等弦，它们所对的圆心角、所对的弧
有什么关系?
（分别相等）
自主探究
你能用文字语言归纳你得到的结论吗？
（在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆
圆心角∠AOB所对的弧为，所对的弦为弦AB（如图）.
教师讲评
弧、弦、圆心角PPT课件
课堂导练
9．(2019·泸州)为安全用电，家庭电路中的空气开关应装 在________线上；空气开关“跳闸”后，受它控制的电 路处于________(填“短路”“断路”或“通路”)状态；试电 笔________(填“能”或“不能”)区分零线与地线。
课堂导练
6．(2019·贵阳)我国的家庭电路有两根进户线，都是从 低压输电线上引下来的。其中一根叫零线，一根叫 ___火__线___，两根进户线之间有___2_2_0___V的电压。
课堂导练
5．(2020·自贡)一种试电笔的构造如图所示，下列说法 正确的是( D ) A．使用试电笔时 手可以接触笔尖 B．使用试电笔时手不要接触笔卡 C．试电笔中的电阻可以用铁丝代替 D．当氖管发光时有微弱电流通过人体
习题链接
1 见习题
提示：点击 进入习题
7
见习题
答案呈现
2B
8 火；切断
3 见习题 4 试电笔；发光
(2)求证：OC∥BD. 证明：∵A︵C＝C︵D， ∴∠AOC＝∠COD＝60°. ∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°. 又∵OD＝OB， ∴△ODB 为等边三角形． ∴∠ODB＝60°.
∴∠ODB＝∠COD＝60°. ∴OC∥BD.
14．如图，以▱ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作圆，分别 交 AD，BC 于点 E，F，延长 BA 交⊙A 于点 G.
弧、弦、圆心角课件
B
∵
α
∠∴AAOB=BA=1∠BA11，O⌒AB1B⌒=A1B1 . Oα
精选课件
A1
A B1 13
等对等定理
同圆或等圆中，两 个圆心角、两条圆心角 所对的弧、两条圆心角 所对的弦中如果有一组 量相等，它们所对应的 其余各组量也相等。
精选课件
B
α
A
Oα
A1
B1
14
等对等定理整体理解：
(1) 圆心角 知
培养通过动手实践发现问题的能力． 渗透“观察→分析→归纳→概括”的数 学思想方法
精选课件
6
•教学重点
理解掌握弧、弦、圆心角之 间关系的定理及推论
•教学难点 弧、弦、圆心角关系的运用
精选课件
7
圆心角：我们把顶点在圆心的角 叫做圆心角.
A ∠AOB为圆心角
O·
圆心角∠AOB所对
B 的弦为AB，所对的弧
答么：？不相等,因为AD,BC不是
“相等圆心角对等弦”的弦 A
精选课件
O.
12
C
B
16
D
巩固：
1、如图3，AB、CD是⊙O的两条弦。 （1）如果AB=CD，那么A⌒B=C⌒D ，∠AOB=∠。COD
（2）如果弧AB=弧CD，那A么B=CD ，∠AOB=∠。COD （3）如果∠AOB=∠COD，那A⌒么B=C⌒D ， AB=C。D
∵
α
∠∴AAOB=BA=1∠BA11，O⌒AB1B⌒=A1B1 . Oα
精选课件
A1
A B1 13
等对等定理
同圆或等圆中，两 个圆心角、两条圆心角 所对的弧、两条圆心角 所对的弦中如果有一组 量相等，它们所对应的 其余各组量也相等。
精选课件
B
α
A
Oα
A1
B1
14
等对等定理整体理解：
(1) 圆心角 知
培养通过动手实践发现问题的能力． 渗透“观察→分析→归纳→概括”的数 学思想方法
精选课件
6
•教学重点
理解掌握弧、弦、圆心角之 间关系的定理及推论
•教学难点 弧、弦、圆心角关系的运用
精选课件
7
圆心角：我们把顶点在圆心的角 叫做圆心角.
A ∠AOB为圆心角
O·
圆心角∠AOB所对
B 的弦为AB，所对的弧
答么：？不相等,因为AD,BC不是
“相等圆心角对等弦”的弦 A
精选课件
O.
12
C
B
16
D
巩固：
1、如图3，AB、CD是⊙O的两条弦。 （1）如果AB=CD，那么A⌒B=C⌒D ，∠AOB=∠。COD
（2）如果弧AB=弧CD，那A么B=CD ，∠AOB=∠。COD （3）如果∠AOB=∠COD，那A⌒么B=C⌒D ， AB=C。D
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C
D
O
A
B
圆心角的定义 圆心角定理 等对等定理 圆心角定理的应用
作业超市：
课本89页第3、4题 选做 课本90页13题
=180°-35°×3 = 75°
例2：如图所示，AB是⊙0的直径，M、N分别是AO、 B求O证的：中A︵点C=，B︵DCM⊥AB交圆于点C，DN⊥AB交圆与点D，
C
D
证明：连接OC、OD ∵ M、N分别是AO、BO的中点,
而OA=OB
∴ OM=ON
A
MON
B
在Rt△COM和Rt△DON中 OC=OD
结合图形用符号表示出来。能否去掉条件 “同圆或等圆”呢？ 3、定理的推论是什么？完成练习1. 4、看例1：先做后对照；能说出每步的根据。
（若有困难，同伴交流） 时间：8分钟
1、圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
圆是中心对称图形，
·
它的对称中心是圆心.
2、圆除了旋转180°后能重合外，旋转的角度是多少 的时候也能与原图形重合？
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，
E
B
A
OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？
为什么？
O
D
OE=OF（三角形全等或全等三
F
角形同一边上的高相等）
C
图3
例1: 如图，在⊙O中， A︵B=A︵C,∠ACB=60°,
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。
A
证明： ∵A︵B=A︵C
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形
O
又∠ACB=60°
B
C
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
如图，AB是⊙O的直径， B︵C=C︵D=D︵E，
∠COD=35°，求∠AOE的度数。E D
︵︵ ︵
C
Biblioteka Baidu证明： ∵ BC=CD=DE
A O
B
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°
∴∠AOE=180°-∠COB-∠COD-∠DOE
B
α
A
Oα
A1
B1
等对等定理整体理解：
等圆心角
等弦
等弧
(1)圆心角
知
(2) 弧
一
推
二
(3) 弦
如图，AB、CD是⊙O的两条弦。 ︵︵
（1）如果AB=CD，那么 AB=CD， ∠AOB=∠COD 。 ︵︵
（2）如果AB=CD，那么 AB=CD ， ∠AOB=∠COD 。 ︵︵
（3）如果∠AOB=∠COD，那么AB=CD， AB=CD 。
24.1.3 弧、弦、圆心角
学习目标
1、理解圆的旋转不变性。 2、了解圆心角、弦心距的概念。 3、掌握圆心角、弧和弦的关系定理及推论。
学法指导
认真阅读课本P83-84内容，会解决下列问题： 1、完成探究：什么是圆心角？发现什么结论？ 说理由。 2、圆心角、弧和弦的关系定理是什么？题设和 结论是什么？
OM=ON
∴ Rt△COM≌ Rt△DON（HL）
∴ ︵∠A︵OC= ∠BOD
∴AC=BD
挑战自我：
如图，已知OA、OB是⊙O的半 径点C为AB的中点，M、N分别 为OA、OB的中点。 求证：MC=NC
O
M
N
A
B
C
小林根据在一个圆中圆心角、弦、弧三个量
之间的关系认为:在如图中已知∠AOB=2 ∠COD, 则有A⌒B=2C⌒D,AB=2CD,你同意他的说法吗?
A O·
B
问题：这三个量之间会有什么关系呢？
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，
你能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B
A′ B
B′
B′
·
O
A
O·
A
根据旋转的性质：
（1）∠AOB＝∠A′OB′，则射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．
︵ （2）OA=OA′，OB=OB′，则点A与A′重合，B与B′重合．
N'
N
圆特有的性质：
圆的旋转不变性
O
平行四边形绕对角线的交点0任意旋转一个 角度后并不总能与原图形重合；而⊙ 0绕圆心 旋转任意一个角度后总能与原图形重合。
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
B
O
A
∠AOB是圆心角
O
．
A B
∠AOB不是圆心角
任意给出一个圆心角，对应出现两个量：
弧 圆心角
弦
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
那么如弦图AB，与在圆A1B01和相圆等0吗1中？，A⌒B如与果A⌒1圆B1心相角等∠吗A？OB为=∠什A么1O？1B1，
A
B
A1
B1
O
O1
不相等，因为他们不是在等圆中
等对等定理
同圆或等圆中，两 个圆心角、两条圆心角 所对的弧、两条圆心角 所对的弦中如果有一组 量相等，它们所对应的 其余各组量也相等。
︵
因此，
︵
AB︵与
A′B′
重合，AB与A′B′重合．
即： AB= A′B′
AB= A′B′
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角_相__等__， 所对的弦__相__等____； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心 角__相__等__，所对的弧__相__等____．