高中数学课时作业8 数列的性质和递推公式新人教版必修5

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2020-2021学年高中数学人教A版必修5： 2-1-2 数列的性质与递推公式

数 λ 的最小值是－3 .
解析：∵an≤an＋1，∴n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)，即 λ≥－(2n＋1)对任意 n∈N*成立，∴λ≥－3.
15．已知数列{an}满足 an＝n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋21n.
∴a14＝a11＋a12－a11＋a13－a12＋a14－a13 ＝a11＋3×2＝8. ∴a11＝2，∴a1＝12.
(2)由(1)知a1n＝a11＋a12－a11＋a13－a12＋…＋a1n－an1－1，∴a1n
＝2＋ ∴a1n＝2n，∴an＝21n，n∈N＋.
——能力提升类——
12．已知数列{an}中，an＝n2＋n156(n∈N*)，则数列{an}的最
自然数均有 xn＋1＝f(xn)，则 x2 014＝ 1 .
x 12345 f(x) 4 1 3 5 2
解析：x1＝f(x0)＝f(5)＝2， x2＝f(x1)＝f(2)＝1， x3＝f(x2)＝f(1)＝4， x4＝f(x3)＝f(4)＝5＝x0，从而数列{xn}是周期为 4 的数列，于是 x2 014＝x4×503＋2＝x2＝1.
13．已知数列{an}，a1＝1，lnan＋1－lnan＝1，则数列{an}的通项公式是( C )
A．an＝n C．an＝en－1
B．an＝1n D．an＝en1－1
解析：∵lnan＋1－lnan＝1，∴lnaan＋n1＝1.∴aan＋n 1＝e. 由累乘法可得 an＝en－1.
14．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实
9．已知数列{an}，an＝nbn＋a c，其中 a，b，c 均为正数，则
此数列是递增数列．(填“递增数列”“递减数列”“摆动数

高中数学必修5数列的递推公式

典型例题解析
例题1
已知等差数列{an}中， a1=2，d=3，求a10。
解析
根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入n=10，a1=2，d=3 ，可得a10=2+(101)×3=29。
例题2
已知等差数列{an}中， a3=7，a7=15，求a5 。
解析
根据等差数列的性质， a5=(a3+a7)/2=(7+15 )/2=11。
递推关系性质
递推关系具有确定性，即对于给定的初始条件和递推公式，数列的每一项都是唯一确定的。
递推关系建立
01
等差数列递推关系
等差数列的递推关系为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
02
等比数列递推关系
等比数列的递推关系为an=a1×qn-1，其中a1为首项， q为公比，n为项数。
，r是公比。
调和数列
调和数列是每一项都是其前一项的倒数与1的和的数列。递推公式为1/a_n = 1/a_(n-1) + 1/b，
其中a_1 = b。
05 递推公式在实际问题中应用
数学问题应用举例
等差数列求和
数列通项公式求解
利用递推公式可以快速求解等差数列的前n项和，如求1+2+3+...+n的和。
03
其他类型数列递推关系
对于非等差非等比数列，需要根据具体题目条件建立相应的递推关系。
初始条件确定
初始条件定义
初始条件是数列中已知的第一项或前几项，用于启动递推过程。
初始条件确定方法
根据题目给出的条件或已知信息，确定数列的初始条件。例如，题目中可能会直接给出首项a1和公差d或公比q 等参数。

(完整版)数列公式汇总.doc

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2． 1数列的概念与简单表示法2． 2等差数列2． 3等差数列的前n 项和2． 4等比数列2． 5等比数列前n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列 .注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第2 项，，第 n 项， .⒊数列的一般形式：a1 , a2 , a3 , , a n , ，或简记为a n，其中 a n是数列的第n项⒋数列的通项公式：如果数列 a n 的第 n 项a n与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1， 0， 1， 0， 1 ， 0 ，它的通项公式可以是1 ( 1) n 1|.a n ，也可以是 a n | cos n 12 2⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系：*数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1 ， 2， 3，， n} ）为定义域的函数a n f (n) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

人教新课标版数学高二必修5作业设计第二章数列的递推公式(选学)

2.1.2 数列的递推公式(选学)课时目标 1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同.2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项．1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，且从数列{a n }的第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的______公式． 2．一般地，一个数列{a n }，如果从______起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果从______起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n }的各项________，那么这个数列叫做常数列．一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥23．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( )A ．1 B.12C.34D.58 4．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31155．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n6．已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18二、填空题7．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)，则a 4＝________.8．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N ＋)，则使a n >100的n 的最小值是________．9．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2010年底全县的绿化率已达30%.从2011年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化．设全县面积为1,2010年底绿化面积为a 1＝310，经过n 年绿化总面积为a n ＋1.则a n ＋1用a n 表示为________．10．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，则数列{a n }的通项公式是________．三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1 (n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.12．某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A 菜的学生中有20%在下周一选B 菜，而选B 菜的学生中有30%在下周一选A 菜，用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 菜、B 菜的学生数，试写出A n 与A n －1的关系及B n 与B n －1的关系．能力提升13．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1，n ∈N ＋，则通项公式a n ＝________. 14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．1数列的递推公式是给出数列的另一种重要形式，一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项． 2．由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一．①叠加法：当a n －a n －1＝f (n －1)满足一定条件时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)．②叠乘法：当a n a n －1＝f (n －1)满足一定条件时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)．2．1.2 数列的递推公式(选学)答案知识梳理1．递推 2.第2项 a n ＋1>a n 第2项 a n ＋1<a n 都相等作业设计1．A 2.B 3.B 4．C5．A ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1) 6．B7．－148．129．a n ＋1＝45a n ＋425解析由已知可得a n 确定后，a n ＋1表示如下：a n ＋1＝a n ·(1－4%)＋(1－a n )·16%，即a n ＋1＝80%a n ＋16%＝45a n ＋425.10．a n ＝1n ＋1解析 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)＝2＋1＋1＋…＋1n －1个1＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 11．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a na n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)解由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2，∴a 2 010＝2. 12．解由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧A n ＋B n ＝1 000，A n ＝0.8A n －1＋0.3B n －1，B n ＝0.2A n －1＋0.7B n －1.由A n －1＋B n －1＝1 000，得B n －1＝1 000－A n －1.所以A n ＝0.8A n －1＋0.3×(1 000－A n －1)＝0.5A n －1＋300. 同理，B n ＝0.2×(1 000－B n －1)＋0.7B n －1＝0.5B n －1＋200.13．－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1n n ＋1， ∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；… … a n －a n －1＝1n －1n；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n.∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n .14．a n ＝1n解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，∴·(a n ＋1＋a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0.方法一 a n ＋1a n ＝nn ＋1.∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ， ∴a n a 1＝1n. 又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n.方法二 (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1，∴na n ＝1，a n ＝1n .。

2021人教版高中数学必修五课件：第2课时数列的通项公式与递推公式

掌握数列项的求解步骤和注意事项
掌握利用通项公式求解数列项的方法
利用递推公式求解数列的项
递推公式的定义和性质
示例：利用递推公式求解数列的第n项
利用递推公式求解数列的项的步骤
利用递推公式求解数列的通项公式
通项公式与递推公式的综合应用示例
理解数列的通项公式与递推公式的含义和关系
掌握数列的通项公式与递推公式的综合应用方法
答案：数列{an}的通项公式为an=2^n-1。练习题三：利用通项公式求解数列的项
练习题三：利用通项公式求解数列的项
题目：已知数列{an}的通项公式为an=n^2，求a5的值。
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字
解析：将n=5代入通项公式an=n^2中，得到a5=5^2=25。
理解数列的通项公式与递推公式的含义和关系
掌握数列的通项公式与递推公式的应用条件
注意数列的通项公式与递推公式的适用范围和局限性
结合具体问题，灵活运用数列的通项公式与递推公式进行求解
07
数列的通项公式与递推公式的练习题与答案解析
练习题一：利用通项公式求解数列的项
单击此处输入你的项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
练习题三：通项公式与递推公式的综合应用
汇报人：
感谢观看
递推公式的类型
等差数列的递推公式：an+1=an+d
等比数列的递推公式：an+1=;1-an=f(n)
递归方程的递推公式：an+1=g(an)
递推公式的应用
实例：斐波那契数列的递推公式为F(n+2) = F(n+1) + F(n)，通过递推公式可以求出斐波那契数列的第n项

人教新课标版数学高二B版必修5课时作业数列的递推公式

一、选择题1．数列12，14，18，116，…的递推公式可以是a 1＝12且( )A ．a n ＝12n ＋1(n ∈N *) B ．a n ＝12n (n ∈N *)C ．a n ＋1＝12a n (n ∈N *)D ．a n ＋1＝2a n (n ∈N *) 【解析】数列从第二项起，后项是前项的12.【答案】 C2．在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个数列的第5项为( )A ．6B ．－3C ．－12D ．－6【解析】 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6.【答案】 D3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x 的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13【解析】 a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2＝a 1＋a 2，a 4＝3＝a 2＋a 3，a 5＝5＝a 3＋a 4，a 6＝8＝a 4＋a 5，∴x ＝5＋8＝13.【答案】 D4．已知数列a n <0，且2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．无法判断【解析】 a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－12a n .∵a n <0，∴－12a n >0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．【答案】 A5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n【解析】 a 2＝a 1＋ln 2，a 3＝a 2＋ln 32，a 4＝a 3＋ln 43，…，a n －1＝a n －2＋lnn －1n －2，a n ＝a n －1＋ln n n －1，故a n ＝a 1＋ln 2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n －1n －2＋ln n n －1＝a 1＋ln(2×32×43×…×n －1n －2×n n －1)＝a 1＋ln n ＝2＋ln n . 【答案】 A二、填空题6．数列{a n }中，若a n ＋1－a n －n ＝0，则a 2 012－a 2 011＝________.【解析】由已知a 2 012－a 2 011－2 011＝0，∴a 2 012－a 2 011＝2 011.【答案】 2 0117．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 012＝________.【解析】 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－6＋3＝－3，a 7＝3，a 8＝6，a 9＝a 3，a 10＝a 4，∴a 2 012＝a 6×335＋2＝a 2＝6.【答案】 68．依次写出数列a 1＝1，a 2，a 3，…，a n (n ∈N *)的法则如下：如果a n 为自然数，则写a n ＋1＝a n －2，否则就写a n ＋1＝a n ＋3，则a 6＝________.(注意0是自然数)【解析】 ∵a 1＝1是自然数，∴a 2＝a 1－2＝－1，∵a 2＝－1不是自然数，∴a 3＝a 2＋3＝2，∴a 4＝a 3－2＝2－2＝0，∴a 5＝a 4－2＝－2.∵a 5不是自然数，∴a 6＝a 5＋3＝－2＋3＝1.【答案】 1三、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式b n ＝a n a n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项．【解】 (1)∵a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，且a 1＝1，a 2＝2， ∴a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5， a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8.故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8.(2)∵b n ＝a n a n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8， ∴b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58. 故b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.10．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n a n ＋3(n ∈N *)，求通项a n . 【解】 ∵a n ＋1＝3a n a n ＋3，∴a n ＋1(a n ＋3)＝3a n ， ∴a n ＋1a n ＝3a n －3a n ＋1.两边同除以3a n ＋1·a n 得13＝1a n ＋1－1a n， ∴1a 2－1a 1＝13，1a 3－1a 2＝13，…，1a n －1a n －1＝13，把以上这(n －1)个式子累加，得1a n －1a 1＝n －13. ∵a 1＝1，∴a n ＝3n ＋2. 11．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·(67)n ，试求数列{a n }的最大项．【解】假设第n 项a n 为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.即⎩⎪⎨⎪⎧ (n ＋2)·(67)n ≥(n ＋1)·(67)n －1，(n ＋2)·(67)n ≥(n ＋3)·(67)n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，所以n ＝4或5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.。

高中数学课时作业8数列的性质和递推公式新人教版必修5

高中数学课时作业8数列的性质和递推公式新人教版必修51．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 答案 B解析逐项验证可知B 选项合适．2．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝12a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列答案 B解析由a 1>0，且a n ＋1＝12a n ，则a n >0，又a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n . 因此数列{a n }为递减数列． 3．已知数列{a n }的项满足a n ＋1＝nn ＋2a n ，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，猜想a n 等于( ) A.2n ＋12B.2nn ＋1C.12n－1D.12n －1答案 B解析 a 1＝1＝21×2，∵a n ＋1＝n n ＋2a n ，∴a 2＝13＝22×3.同理a 3＝16＝23×4.猜想a n ＝2n n ＋1.4．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 答案 C解析由题可得，a 2＝a 1＋a 1，所以a 1＝－3，a 10＝a 1＋a 9＝…＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝－30. 5．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.259B.2516C.6116D.3115 答案 C6．在数列{a n }中，已知a n ＝n ＋cn ＋1(c ∈R )，则对于任意正整数n 有( ) A ．a n <a n ＋1B ．a n 与a n ＋1的大小关系和c 有关C ．a n >a n ＋1D ．a n 与a n ＋1的大小关系和n 有关答案 B 解析 ∵a n ＝n ＋c n ＋1＝n ＋1＋c －1n ＋1＝1＋c －1n ＋1， ∴a n －a n ＋1＝c －1n ＋1－c －1n ＋2＝c －1n ＋1n ＋2. 当c －1>0时，a n >a n ＋1；当c －1<0时，a n <a n ＋1；当c －1＝0时，a n ＝a n ＋1.7．下列叙述中正确的个数为( ) ①数列a n ＝2是常数列； ②数列{(－1)n·1n}是摆动数列；③数列{n2n ＋1}是递增数列；④若数列{a n }是递增数列，则数列{a n ·a n ＋1}也是递增数列． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③正确．对于④，如a n 为－2，－1,0,1,2,3，…，即不合要求．8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋21n ，则该数列中最大的项为第________项．答案 5解析 ∵f (n )＝－2n 2＋21n ＝－2(n －214)2＋4418(n ∈N *)，∴n ＝5或6时a n 最大．∵a 5＝55，a 6＝54，∴最大项为第5项．9．函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 012＝________.答案解析由题意可得x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，…的值分别为2,1,5,2,1，…，故数列{x n }为周期为3的周期数列．∴x 2 012＝x 3×670＋2＝x 2＝1.10．已知数列{an }的通项公式是an ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－n ， n 是奇数，11＋n －2， n 是偶数.则它的前4项为________．答案 12，45，18，161711．数列{a n }中a 1＝1，a 2＝3，a 2n －a n －1·a n ＋1＝(－1)n －1(n ≥2)，那么a 4＝________.答案 33解析令n ＝2，得a 22－a 1·a 3＝－1，∴a 3＝10. 令n ＝3代入，得a 23－a 2a 4＝(－1)2，∴a 4＝33.12．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项，并猜想数列的通项公式．解析 a 1＝2，a 2＝3，a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×2＝5， a 4＝3a 3－2a 2＝3×5－2×3＝9， a 5＝3a 4－2a 3＝3×9－2×5＝17， a 6＝3a 5－2a 4＝3×17－2×9＝33.可猜想a n ＝2n －1＋1.13．已知a n ＝a (12)n(a 为常数且a ≠0)，试判断{a n }的单调性．下面是一学生的解法，这种解法对吗？如果不对给出你的结论．∵a n －a n －1＝a (12)n －a (12)n －1＝－a (12)n<0，∴{a n }是递减数列．解析这种解法误认为a >0，所以不对，对于非零实数a 应讨论a >0和a <0两种情况． ∵a n －a n －1＝－a (12)n(n ≥2)，∴当a >0时，a n －a n －1<0.∴a n <a n －1.∴{a n }是递减数列；当a <0时，a n －a n －1>0， ∴a n >a n －1.∴{a n }是递增数列．14．已知数列{a n }：13，－12，35，－23， …(1)写出数列的通项公式； (2)计算a 10，a 15，a 2n ＋1；(3)证明：数列{|a n |} 是递增数列．解析 (1)原数列变形为：13，－24，35，－46，…，分别考查数列的分子，分母与项数n的关系以及符号相间出现，第一项为正，所以数列的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1nn ＋2.(2)当n ＝10，则a 10＝－1012＝－56；当n ＝15时，则a 15＝1517；将a n 中n 换成2n ＋1时，得a 2n ＋1＝2n ＋12n ＋3.(3)令b n ＝|a n |(n ∈N *)，则b n ＝|(－1)n ＋1n n ＋2|＝nn ＋2. ∵b n ＋1－b n ＝n ＋1n ＋1＋2－n n ＋2＝2n ＋3n ＋2>0.∴b n ＋1>b n .即对一切正整数n ，恒有|a n ＋1|>|a n |成立．因此数列{|a n |}为递增数列．讲评本题求解时，若与函数的定义，函数相关的性质联系容易理解，a n ＝f (n )即为函数的解析式；a 10＝f (10)，即是函数在n ＝10的函数值；a 2n ＋1＝f (2n ＋1)即为函数代换，将函数中的变量n 换成了2n ＋1；当|a n ＋1|>|a n |时，则数列在n ∈N *时为递增数列，这与函数单调递增定义一样，即对一切正整数n 当n ＋1>n ，都有|a n ＋1|>|a n |，说明数列中每一项大于前一项，即为递增数列．15．数列{an }满足a 1＝1，且an ＋1＋2anan ＋1－an ＝0. (1)写出数列{an }的前5项；(2)由(1)写出数列{an }的一个通项公式；(3)实数199是否为这个数列中的项？若是，应为第几项？解析 (1)∵a 1＝1，an ＋1＋2anan ＋1－an ＝0， ∴a 2＋2a 1a 2－a 1＝0，解得a 2＝13.同理，可以解得a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19.∴数列的前5项为1，13，15，17，19.(2)由以上可得an ＝12n －1. (3)令12n －1＝199，得n ＝50.即199是这个数列的第50项．►重点班·选作题 16．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30 答案 C17．根据下列5个图形及相应的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．解析图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.设{a n }是首项为1的正项数列且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，求a n . 解析方法一 (累乘法)由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0，得(a n ＋1＋a n )(na n ＋1－na n ＋a n ＋1)＝0.由于a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1×12×23×34×…×n －1n ＝1n.。

数列的递推公式和通项公式总结

数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。

2.项：数列中的每一个数。

3.项数：数列中数的个数。

4.首项：数列的第一项。

5.末项：数列的最后一项。

6.公差：等差数列中，相邻两项的差。

7.公比：等比数列中，相邻两项的比。

二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。

2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。

3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。

五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。

2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。

六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。

2.无限数列：项数无限的数列。

3.交错数列：正负交替出现的数列。

4.非交错数列：同号连续出现的数列。

5.常数数列：所有项都相等的数列。

6.非常数数列：各项不相等的数列。

综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。

同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。

习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。

人教A版高中数学必修五课件《2.1.2数列的性质与递推公式45分钟课时作业》.pptx

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方法二 :由a1a2 an1an n2,可得a1a 2 a n1 n 12 (n≥2),
相除得通项公式a n
n2 (n 1)2
(n≥2),
故a 3
32 (3 1)2
9 4
,
a5
52 (5 1)2
25 , 16
故a 3
a5
9 4
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三､解答题
10.已知数列an, a1
1,以后各项由an
a n1
1 n(n 1)
n≥2 给出.
1写出数列an的前5项; 2 求数列an 的通项公式.
解析 : 1 a1
1; a2
a1
1 21
3 2
;
a3
a2
1 3 2
5 3
; a4
a3
1 43
7 4
;
19 a5 a4 54 5.
[来源:Z|xx|]
2 由a n
an
ln (1
1 n
),
则a
n
A.2 lnn
B.2 n 1lnn
C.2 nlnn D.1 n lnn
答案:A
解析:将an,an+1代入验证,选A.
3.函数f x定义如表,数列xn满足x0 5, 且对任意的自然数均有xn1 f xn .则x2 009
x12345 f(x) 5 1 3 4 2
则 a6 ________________ . a8
答案 : 6 7
解析 : a6 a7 a6 6 . a8 a8 a7 7
9.数列an中, a1 1, 对所有n≥2,
都有a1a2a3 an n2,则a3 a5 ________________ .

人教A版高中数学必修五第二课时数列的性质和递推公式.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二课时数列的性质和递推公式【选题明细表】知识点、方法题号递推公式的简单应用1、4、6利用递推公式求通项公式7、10数列的单调性2、8数列的周期性5数列的最大(小)项问题3、9基础达标1.已知数列{a n}满足a1=,a n=2a n-1+1(n>1),那么a4等于( B)(A)5 (B)11 (C)23 (D)8解析:由已知可得a2=2a1+1=2,a3=2a2+1=5,a4=2a3+1=11,故选B.2.已知a n+1-a n-3=0,则数列{a n}是( A)(A)递增数列(B)递减数列(C)常数列(D)不能确定解析:a n+1-a n=3>0,故数列{a n}为递增数列,故选A.3.数列{a n}的通项公式a n=3n2-28n,则数列各项中最小项是( B)(A)第4项(B)第5项(C)第6项(D)第7项解析:a n=3(n-)2-.∴当n=时,a n最小,又由于n为正整数,∴n=5时,a n最小,故选B.4.数列{a n}中,a n+1=a n+2-a n,a1=2,a2=5,则a5为( D)(A)-3 (B)-11 (C)-5 (D)19解析:由a n+1=a n+2-a n得a n+2=a n+a n+1,于是a3=a1+a2=7,a4=a2+a3=12,a5=a3+a4=19,故选D.(n>1),则a9等于( C)5.(2011年江西抚州高二检测)已知数列{a n}满足:a1=-,a n=1--(A)(B)(C)-(D)解析:由已知可得a1=-,a2=1-=3,a3=1-=,a4=1-=,a5=-=a1,a6=a2,….因此数列的项以4为周期重复出现,故a9=a1=-,选C.,则a4=.6.若a1=1,a n=a n-1+-解析:依题意a2=a1+=2,a3=a2+=,a4=a3+=.答案:7.已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=a n-3,那么{a n}的通项公式为.解析:由a n+1=a n-3得a n+1-a n=-3,所以有a2-a1=-3,a3-a2=-3,a4-a3=-3,…,a n-a n-1=-3,将以上(n-1)个式子相加得a n-a1=-3(n-1),∴a n=a1-3(n-1),又a1=3,∴a n=3-3(n-1)=6-3n.答案:a n=6-3n能力提升8.(原创题)若数列{a n}的通项公式是a n=(p∈R),若{a n}是一个递增数列,则实数p的取值范围是. 解析:∵a n=,∴a n+1=,由{a n}是递增数列知a n+1-a n>0,∴-==>0,由于(n+2)(n+1)>0,∴1-p>0,故p<1.答案:(-∞,1)9.数列{-2n2+29n+5}中的最大项等于.解析:由已知得a n=-2n2+29n+5=-2(n-)2+110,由于n∈N*,所以当n=7时,a n取最大值为110.答案:11010.在数列{a n}中,已知a1=1,且na n=(n+1)a n-1,试求数列{a n}的通项公式.解:由na n=(n+1)a n-1可得=,-因此有=,=,=,…,=,-以上(n-1)个式子相乘可得=×××…×.···…·-所以=,又a1=1,∴a n=.即数列{a n}的通项公式是a n=.。

人教版高二数学必修5课件：第二章数列第二课时数列的性质和递推公式

楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
(2)累加法当an－an－1＝f(n)满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1累加来求通项an.
an＋1 n 解：∵ a ＝， n＋1 n ∴当n≥2时， a2 1 a3 2 a4 3 an n－1 ＝，＝，＝， „ ，＝ n . a1 2 a2 3 a3 4 an－1 n－1 1 a2 a3 a4 an 1 2 3 ∴ ··„ ＝ × × ×· „· × ＝ . a1 a2 a3 an－1 2 3 4 n n
问题 2：第 n 排与第 n＋1 排座位数有何关系？
提示：第 n＋1 排比第 n 排多 2 个座位．
问题 3：第 n 排座位数 an 与第 n＋1 排座位数 an＋1 能用等式表示吗？
提示：能．an＋1＝an＋2.
反之若不知a1＝20，仅由数列{an}的关系式an+1＝an＋2(n≥2， n∈N*)你能否确定这个数列？
变式训练2 若把本例中“an＝an－1＋改为“an＝an－1＋
1 (n≥2)” nn－1
1 (n≥2)”其他不变，如何求数 n－1n＋1
列的前5项与通项公式an?
解：∵a1＝1， 1 an＝an－1＋ (n≥2)， n－1n＋1 1 4 1 35 ∴a2＝a1＋＝；a3＝a2＋＝； 1×3 3 2×4 24 1 61 1 47 a4＝a3＋＝；a5＝a4＋＝ . 3×5 40 4×6 30 1 又an－an－1＝ n－1n＋1 1 1 1 ＝ ( － )(n≥2)， 2 n－1 n＋1

高中数学《数列的性质及递推公式》导学案

第2课时数列的性质及递推公式1.数列的递推公式如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项□01a n－1(n≥2，n∈N*)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的□02递推公式．2．通项公式与递推公式的区别与联系1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)递推公式也是表示数列的一种方法．()(2)所有数列都有递推公式．()(3)仅由数列{a n}的关系式a n＝a n－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列．()答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(1)数列{a n}中，a1＝－2，a n＋1＝a n－5，则a4＝________.(2)数列{a n}中，a1＝1，且a n＋1＝na n，则a3＝________.(3)数列{a n}中，若a n＋1－a n－n＝0，则a2020－a2019＝________.(4)(教材改编P33T4)在数列{a n}中，a1＝0，a n＋1＝a n＋(2n－1)(n∈N*)，根据数列的前4项，归纳出通项公式为________．答案(1)－17(2)2(3)2019(4)a n＝(n－1)2探究1 由递推公式写出数列的项例1 已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项．解 ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23，a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13. 拓展提升根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．【跟踪训练1】设数列满足a 1＝1，a n ＝2＋1a n －1(n >1)，试写出这个数列的前4项．解 ∵a 1＝1，∴a n ＝2＋1a n －1(n >1)，∴a 2＝2＋1a 1＝3，a 3＝2＋1a 2＝2＋13＝73，∴a 4＝2＋1a 3＝2＋37＝177.探究2 由数列的递推公式求通项公式例2(1)已知a1＝1，a n＋1－a n＝2(n∈N*)，求{a n}的通项公式；(2)已知a1＝1，a n＋1＝2a n(n∈N*)，求{a n}的通项公式．解(1)a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋1＝2n－1.(2)a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝2n－1.[条件探究]本例(2)中，把“a n＋1＝2a n”改为“a n＋1＝nn＋1a a n”，其他条件不变，该数列的通项公式又如何呢？解∵a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝n－1n·n－2n－1·…·12·1＝1n.拓展提升由数列的递推公式求通项公式的常用方法(1)累加法：当a n＝a n－1＋f(n)时，常用a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项．(2)累乘法：当a na n－1＝g(n)时，常用a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1求通项．【跟踪训练2】已知数列{a n}中，a1＝1，且a n＋1＝a na n＋1.(1)写出数列{a n}的前5项；(2)求数列{a n}的通项公式．解(1)∵a1＝1，且a n＋1＝a na n＋1，∴a2＝11＋1＝12，a3＝1212＋1＝13，a4＝1313＋1＝14，a5＝1414＋1＝15.(2)由a n＋1＝a na n＋1且a1＝1知a n>0，所以1a n＋1＝a n＋1a n＝1a n＋1，即1a n＋1－1a n＝1，于是1a n＝1a1＋⎝⎛⎭⎪⎫1a2－1a1＋⎝⎛⎭⎪⎫1a3－1a2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n－1a n－1＝1＋1＋1＋…＋1＝n，∴a n＝1n(n∈N*)．探究3周期数列问题例3在数列{a n}中，a1＝12，a n＝1－1a n－1(n≥2，n∈N*)．(1)求证：a n＋3＝a n；(2)求a2018.解(1)证明：a n＋3＝1－1a n＋2＝1－11－1a n＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1 ＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2018＝a 3×672＋2＝a 2＝－1，∴a 2018＝－1.拓展提升求周期数列周期的方法周期数列问题是数列中的一个重要题型，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中．解决周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而得解．【跟踪训练3】已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2018＝( ) A ．3 B ．6 C ．－3 D ．－6答案 B解析 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3， a 4＝a 3－a 2＝－3， a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6， a 6＝a 5－a 4＝－6＋3＝－3， a 7＝3，a 8＝6，a 9＝a 3，a 10＝a 4， ∴数列{a n }的周期为6， ∴a 2018＝a 6×336＋2＝a 2＝6.故选B.探究4 数列的函数性质例4 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n (n ∈N *)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的位置序号；若没有，说明理由．解解法一：作差比较a n ＋1与a n ，判断{a n }的单调性．因为a n ＋1－a n ＝(n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1－(n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ×5－n8.当n <5时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝5时，a 6－a 5＝0，即a 6＝a 5；当n >5时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 故a 1<a 2<a 3<a 4<a 5＝a 6>a 7>a 8>…，所以当n ＝5或n ＝6时，数列{a n }有最大值，即最大项a 5＝a 6＝7685. 解法二：作商比较a n ＋1与a n ，判断{a n }的单调性，a n ＋1a n ＝(n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1(n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n＝7(n ＋3)8(n ＋2).令a n ＋1a n >1，解得n <5；令a n ＋1a n ＝1，解得n ＝5；令a n ＋1a n<1，解得n >5.故有a 1<a 2<a 3<a 4<a 5＝a 6>a 7>…，所以n ＝5 或6时，{a n }有最大项，且最大项为a 5＝a 6＝7685.解法三：解不等式．假设{a n }中有最大项，且最大项为第n 项，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧(n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥(n ＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，(n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥(n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5，即5≤n ≤6.故当n ＝5或6时，{a n }有最大项a 5和a 6，且a 5＝a 6＝7685. 拓展提升判定数列单调性的方法(1)判断数列的单调性，作差比较a n ＋1与a n 的大小，即比较a n ＋1－a n 与0的大小；或作商比较a n ＋1与a n 的大小，即比较a n ＋1a n与1的大小关系．但要注意项的符号一定时，使用作商比较法才方便．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1)确定n 的取值范围，进而确定{a n }的最大项(或最小项)，也是通常的处理途径．【跟踪训练4】一辆邮车每天从A 地往B 地运送邮件，沿途共有8站(包括A ，B )，从A 地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个．试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性．解将A ，B 之间所有站按序号1,2,3,4,5,6,7,8编号．通过计算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：站号(n ) 1 2 3 4 5 6 7 8 剩余邮件数(a n )712151615127该数列的图象如图所示．它在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的．[规律小结]1.数列的函数特性数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，数列的通项公式就是函数的解析式，因此常用函数的思想方法去解决数列问题，但需注意函数的定义域．2.给出了递推公式求通项公式，常用累加、累乘、周期性、单调性等知识，即(1)a n －a n －1＝f (n )满足一定规律时，可以有a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1累加．(2)a n a n －1＝g (n )满足一定条件时，可以有a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1累乘．(3){a n }为周期数列，则周期为T (T 为正整数)时，a n ＝a n ＋T ，可将a n 转化为a 1，a 2，…，a T 处理．(4)单调性是数列的一个重要性质．若a n ＋1>a n 恒成立，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n 恒成立，则{a n }为递减数列．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断a n ＋1与a n (n ∈N *)的大小．用作差(商)法判断数列增减性的步骤为：①作差(商)；②变形；③定号(与1比较)；④结论．[走出误区]易错点⊳混淆函数与数列的单调性致误[典例] 设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋λn ，且{a n }满足a 1<a 2<a 3<…<a n <a n ＋1<…，则实数λ的取值范围是________．[错解档案] 因为a n ＝n 2＋λn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋λ22－λ24，利用二次函数的图象易知图象的对称轴为n ＝－λ2，故当－λ2≤1，即λ≥－2时，数列{a n }是单调递增数列．[误区警示] 错解仅考虑了数列{a n }为单调递增数列时的一种情形，事实上，n 的值是离散的，当对称轴在(1,2)之间，且满足a 1<a 2时，也成立．[规范解答] (－3，＋∞)解法一：因为a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为n ＝－λ2，显然，当－λ2≤1，即λ≥－2时，数列{a n }是单调递增数列．如图所示，当⎩⎪⎨⎪⎧1<－λ2<2，a 1<a 2时，数列{a n }也是单调递增的，此时－3<λ<－2.故实数λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|－3<λ<－2}＝{λ|λ>－3}，即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．解法二：直接根据定义来处理．∵数列{a n }是单调递增数列，∴a n ＋1－a n >0，又a n ＝n 2＋λn ，∴(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn >0，∴2n ＋1＋λ>0，λ>－(2n ＋1)，又n ∈N *，∴λ>－3，即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．[名师点津] 数列是特殊的函数，但数列的单调性与函数的单调性又有区别．一般来说，函数的定义域是连续的实数区间，而数列的定义域则是离散的正整数集.1．已知数列{a n }的项满足a n ＋1＝nn ＋2a n ，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.12n －1D.12n －1答案 B解析 ∵a n ＋1＝n n ＋2a n ，∴当n ＝1时，a 2＝13a 1＝13，当n ＝2时，a 3＝24a 2＝16，将n ＝1，n ＝2，n ＝3代入四个选项检验可知B 正确．2．下列说法中不正确的是( )A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列B ．数列{f (n )}就是定义在正整数集N ＋上或它的有限子集{1,2,3，…，n }上的函数值C ．数列{n 2－4n }的最小项是－3D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列答案 C解析 C 项中a n ＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，所以当n ＝2时，a 2最小且a 2＝－4.A ，B ，D 都正确．故选C.3．已知数列{a n }满足a 1＝14，a n ＋a n －1＝1(n ∈N *，n ≥2)，那么a 2019的值等于( )A.14B.34 C ．0 D.12答案 A解析由a n ＋a n －1＝1得a n ＝1－a n －1.又a 1＝14，∴a 2＝34，a 3＝14，a 4＝34，…，由此可知数列{a n }的项以2为周期重复出现，a 2019＝a 1＝14.故选A.4．数列1,3,6,10,15，…的递推关系是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N * B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 答案 B解析 a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 3＋4，a 5＝a 4＋5，…，∴a n ＝a n －1＋n (n ≥2)． 5．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋n ，求a 5. 解由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋n 知，a 2＝2a 1＋1＝5， a 3＝2a 2＋2＝12，a 4＝2a 3＋3＝27，a 5＝2a 4＋4＝58.A 级：基础巩固练一、选择题1．符合递推关系式a n ＝2a n －1的数列是( ) A ．1,2,3,4，… B ．1，2，2,22，… C.2，2，2，2，… D ．0，2，2,22，…答案 B解析逐个验证，故选B.2．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项a n 可能是( ) A ．5－3n B ．3·2n －1－1 C ．5－3n 2 D ．5·2n －1－3答案 D解析由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3可得a 2＝7，当n ＝2时，经验证只有D 适合． 3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10(x ≤6)，a x －7(x ＞6)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递减数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，56 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫56，1 答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＜0，0＜a ＜1，f (7)＜f (6)，解得13<a <56.4．已知f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ≤0时，f (x )＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2021＝( )A ．2006 B.12 C.14 D ．－4答案 B解析由f (x )为偶函数得0≤x ≤2时，f (x )＝2－x . 又f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于x ＝2对称．又f (x )的图象关于x ＝0对称，∴f (x ＋4)＝f (x )． ∴a n ＋4＝a n .∴a 2021＝a 4×505＋1＝a 1＝f (1)＝f (－1)＝12. 二、填空题5．数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )可以是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫412，－112解析由分子中根号下的数比分母大2，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝412，b ＝－112.6．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为________(填写序号)． ①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n .答案 ①③解析可以通过画函数的图象一一判断．②中a 1＝a 2，④是摆动数列． 7．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2＋2a n1－a n ，则a 6＝________.答案－143解析 ∵a n ＋1＝2＋2a n 1－a n ＝21－a n ，a 1＝－2，∴a 2＝21－a 1＝23，a 3＝21－a 2＝6，a 4＝－25， a 5＝107，a 6＝－143. 三、解答题8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n .(1)写出数列{a n }的前5项； (2)猜想数列{a n }的通项公式； (3)画出数列{a n }的图象．解 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a3＝21＋2×12＝13，a4＝31＋3×13＝14，a5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：a n＝1n.(3)图象如图所示：9．设{a n}是首项为1的正项数列且na2n＋1＋(n＋1)a2n－(2n＋1)a n a n＋1＝0(n∈N*)，求a n.解由na2n＋1＋(n＋1)a2n－(2n＋1)a n a n＋1＝0，可得(a n＋1－a n)[na n＋1－(n＋1)a n]＝0.当a n＋1－a n＝0，即a n＋1＝a n时，a n＝a1＝1.当na n＋1－(n＋1)a n＝0时，a n＋1a n＝n＋1n，所以a n＝a1·a2a1·a3a2·…·a na n－1＝1·21·32·…·nn－1＝n.综上可知，a n＝1(n∈N*)或a n＝n(n∈N*)．10．已知a n＝9n(n＋1)10n(n∈N*)，试问：数列{a n}有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由．解假设存在a n为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n≥a n－1，a n≥a n＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧9n(n＋1)10n≥9n－1n10n－1，9n(n＋1)10n≥9n＋1(n＋2)10n＋1.解之即得8≤n≤9，故a8＝a9＝99108均为最大项．B级：能力提升练1．对任意的a1∈(0,1)，由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列满足a n＋1>a n(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案A解析据题意，由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列{a n}，满足a n＋1>a n，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A.2．已知函数f(x)＝x－1x，数列{a n}满足f(a n)＝－2n，且a n>0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)判断数列{a n}的增减性．解(1)∵f(x)＝x－1x，f(a n)＝－2n，∴a n－1a n＝－2n，即a2n＋2na n－1＝0，解得a n＝－n±n2＋1.∵a n>0，∴a n＝n2＋1－n.(2)a n＋1a n＝(n＋1)2＋1－(n＋1)n2＋1－n＝n2＋1＋n(n＋1)2＋1＋(n＋1)<1.∵a n>0，∴a n＋1<a n，∴数列{a n}是递减数列．。

高中数学必修5课件：第2章2-1-2数列的性质和递推关系

4分 6分 8分
10分
12分
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第二章数列
方法二：根据题意，令aann≥－1≤an＋a1n
即n×1110n－1≤n＋11110n
，
n＋11110n≥n＋21110n＋1
解得 9≤n≤10.6 分
又 n∈N*，∴n＝9 或 n＝10.
∴该数列有最大项，为第 9,10 项，
且 a9＝a10＝10×11109.
2分 4分 10 分 12 分
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第二章数列
(1)由于数列是特殊函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等；此时要注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条件．
(2)可以利用不等式组
an－1≤an， an≥an＋1，
找到数列的最大项；利
用不等式组aann≤－1≥an＋a1n，，找到数列的最小项．
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第二章数列
第二章
数列
2．1 数列的概念与简单表示法
第1课时数列的性质和递推关系
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第二章数列
1．了解递推公式是给出数列的一种方法． 2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项． 3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法．
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第二章数列
解析： ∵a1＝1，∴an＝2＋an1－1(n>1)， ∴a2＝2＋a11＝3， a3＝2＋a12＝2＋13＝73， ∴a4＝2＋a13＝2＋37＝177.
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第二章数列
由递推公式写数列的项并求通项公式
已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前 4项，猜想an，并加以证明．

2020学年高中数学课时达标训练(六)数列的性质和递推公式(含解析)新人教A版必修5(最新整理)

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课时达标训练(六）数列的性质和递推公式［即时达标对点练]题组1 数列的函数性质1．已知数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!，那么这个数列是（）A．递增数列B．递减数列C．摆动数列 D．常数列解析：选A 法一：∵a n＋1＝错误!，∴a n＋1－a n＝错误!－错误!＝错误!＝错误!〉0，∴｛a n}是递增数列．法二:∵数列{a n｝各项均为正，又a n＋1＝错误!，∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!>1，∴{a n｝是递增数列．2．已知数列{a n｝满足a1〉0，错误!＝错误!(n∈N＊),则数列｛a n｝是________数列（填“递增"或“递减”)．解析：由已知a1>0，a n＋1＝错误!a n(n∈N＊),得a n>0（n∈N＊)．又a n＋1－a n＝错误!a n－a n＝－错误!a n〈0，所以｛a n｝是递减数列．答案：递减3。

如果数列{a n｝为递增数列，且a n＝n2＋λn(n∈N*)，则实数λ的取值范围为________．解析：因为{a n}为递增数列，所以a n＋1〉a n。

即（n＋1）2＋λ(n＋1）〉n2＋λn。