1.7平方差公式导学案课时1

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1.7.1平方差公式第一课时导学案

2
2、计算：（1）
a b c a b c
4
2、 2n 5n 3
3、 m 4n m 4n
（2） x
2 x 2 1 2 x 2 1 x 2x 2 x 2 4

总结
－
自学指导合作交流
2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？ 3、猜一猜： a b a b

3、填空：（1） 2 x 3 y 2 x 3 y （2） 4a 1
学习目标
重点难点
会推导平方差公式，并掌握公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算和推理

16a

2
1
2 2
会推导平方差公式，并掌握公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算和推理
巩固练习： 1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算（1）a ba c （2）x y y x （3）ab 3x 3x ab （4）
检测
m nm n
2、判断：（1） 2a b 2b a 4a b
大庆市第三十四中学数学教学案
授课教师执笔者课题授课时间审核者授课年级课型备课时间课 y
2 2
2
（
2
）（）
（4） 2 x y 2 x y 4 x y （5） a 2a 3 a 6
2 2
（
）
（2）
1 1 1 x 1 x 1 x 2 1 2 2 2
（
）
收获反思
（3）
4、提高练习： 1、求

《平方差公式(1)》导学案

课题：1.7平方差公式（1）导学案科目：_数学_ 课题：1.7平方差公式（1）课型：新授___ 班级：_七六姓名：赵伟芳时间：执笔人：__赵伟芳__ 审核者__________审批者：_________ 学习目标：1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.4.培养学生观察、归纳、概括等能力.学习重点：平方差公式的推导和应用.学习难点：用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.学法指导：探究与讲练相结合.使学生在计算的过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规律，并探索出平方差公式的结构特点，在老师的讲解和学生的练习中学会应用.学习过程：一.类比引入Ⅰ.创设情景，引入新课［师］你能用简便方法计算下列各题吗？(1)2001×1999；(2)992－1［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即(2000+1)(2000－1)=20002－12.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？我们不妨看下面的做一做.Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律［师］出示投影片(§1.7.1 A)做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.［生］上面四个算式每个因式都是两项.［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想) ［生］从刚才这位同学的运算，我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.即［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？［生］可以.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.即二.思考讨论上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.［师］为什么会有这样的特点呢？［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？［生］可以.上述规律用符号表示为： (a+b)(a －b)=a 2－b 2①其中a,b 可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式. 利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即 (a+b)(a －b)=a 2－ab+ab －b 2=a 2－b 2［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快. 你能给我们发现的规律(a+b)(a －b)=a 2－b 2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.［生］我们可以把(a+b)(a －b)=a 2－b 2叫做平方差公式. ［师］大家同意吗？［生］同意.［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式.三.例题学习［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ) A.(x+1)(1+x)B.(21a+b)(b －21a)C.(－a+b)(a －b)D.(x 2－y)(x+y 2)E.(－a －b)(a －b)F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)(2)利用平方差公式计算：(5+6x)(5－6x);(x －2y)(x+2y); (－m+n)(－m －n).［生］(1)中只有B 、E 、F 能用平方差公式.因为B.(21a+b)(b －21a)利用加法交换律可得(21a+b)(b －21a)=(b+21a)(b －21a),表示b 与21a 这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a －b)(a －b),同样可利用加法交换律得(－a －b)(a －b)=(－b －a)(－b+a),表示－b 与a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)利用加法和乘法交换律得(c 2－d 2)(d 2+c 2)=(c 2+d 2)(c 2－d 2)，表示c 2与d 2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点.［师］为什么A 、C 、D 不能用平方差公式呢？［生］A 、C 、D 表示的不是两个数的和与差的积的形式.［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x 这两个数的和与差的形式；(x －2y)(x+2y)是x 与2y 这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m －n)是－m 与n 这两个数的和与差的形式.［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式. ［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x 2; (x －2y)(x+2y)=x 2－(2y)2=x 2－4y 2; (－m+n)(－m －n)=(－m)2－n 2=m 2－n 2.［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题. 出示投影片(记作§1.7.1 C) ［例2］利用平方差公式计算： (1)(－41x －y)(－41x+y);(2)(ab+8)(ab －8); (3)(m+n)(m －n)+3n 2.［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.［生］解：(1)(－41x －y)(－41x+y)——(－41x)与y 的和与差的积=(－41x)2－y 2——利用平方差公式得(－41x)与y 的平方差=161x 2－y 2——运算至最后结果(2)(ab+8)(ab －8)——ab 与8的和与差的积 =(ab)2－82——利用平方差公式得ab 与8的平方差 =a 2b 2－64——运算至最后结果(3)(m+n)(m －n)+3n 2——据运算顺序先计算m 与n 的和与差的积 =(m 2－n 2)+3n 2——利用平方差公式 =m 2－n 2+3n 2——去括号=m 2+2n 2——合并同类项至最简结果［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a 、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.1.计算［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题. ：(1)(a+2)(a －2); (2)(3a+2b)(3a －2b); (3)(－x+1)(－x －1); (4)(－4k+3)(－4k －3).2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2; (a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2四.应用拓展有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用x1,y1顺次表示第1号选手胜与负的场数，用x2,y2顺次表示第2号选手胜与负的场数，……用x10,y10顺次表示第10号选手胜与负的场数.则10名选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和相等，即x 12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102,为什么？经过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加9局比赛，即xi +yi=9(其中i=1、2、3、…10)，在比赛中一人胜了，另一人自然败了，则x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,这两个隐含条件是解题的关键，从作差比较入手.［结果］由题意知xi +yi=9(i=1、2、3、…10)且x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10(x12+x22+…+x102)－(y12+y22+…+y102)=(x12－y12)+(x22－y22)+…+(x102－y102)=(x1+y1)(x1－y1)+(x2+y2)(x2－y2)+…+(x10+y10)(x10－y10)=9［(x1－y1)+(x2－y2)+(x3－y3)+…+(x10－y10)］=9［(x1+x2+…+x10)－(y1+y2+…+y10)］=0所以，x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.五.小结作业.课时小结［师］同学们有何体会和收获呢？［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.［生］公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式.［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.［师］同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，现在想一想，能使它运算更简便吗？［生］可以.992－1可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了..课后作业课本习题1.11，第1题.。

平方差公式导学案

樊城区八年级数学学科导学案执笔：审核：授课人：授课时间：学案编号：班级：姓名：小组：教师“复备”栏或学生笔记栏课题：平方差公式课型：新授课课时：1课时【学习目标】1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推论能力。

2、能运用平方差公式进行简单的计算，并了解它的几何背景。

3、培养自己的语言表达能力，逻辑思维能力，在探索讨论中学会归纳和总结。

4、注意调动自己学习的积极性、主动性，增强自己学习数学的信心。

【学习重点】：运用平方差公式进行简单的计算【学习难点】：能用自己的语言叙述平方差公式及其特点，灵活、熟练地运用平方差公式进行运算教师“复备”栏或学生笔记栏【学习过程】（精彩课堂，展现独特自我）一、预习导学（导学）学生预习课本第35——36页内容二、自学探究（独学）1.做一做(1)（x+2）(x-2)(2)(1+3a)(1-3a)(3)(x+5y)(x-5y)(4)（y+3z）（y-3z）2.观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．3、猜一猜：(a+b)(a-b)= －（1）、式子（a+b）(a-b)=a2-b2的左边有什么特点？_____________. 右边有什么特点？______________.（2）、这个公式叫做_______________.（3）、用文字叙述为_________________________________.也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差,这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．三、交流展示（互学）1、阅读例2并思考那些相当于公式中的a、b，然后自己在下面单独完成，看谁做的又快又好。

（1）(-4x-y)(-4x+y)（2）(ab+8)(ab-8)（3）(m+n)(m-n)+3n22、下列各式中是否可用平方差公式计算，如能，并计算（1）(a-b)(b+a)（2）(x+y)(-y+x)（3）(ab-3x)(-3x-ab)（4）(-m-n)(m+n)四、课堂检测（评学）1、判断下列各式正确吗？为什么？并改正。

平方差公式导学案

14.2.1 《平方差公式》导学案一、学习目标：1. 掌握平方差公式的推导及应用2. 了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.二、新授课堂引入：王大爷租地的故事知识点1 合作探究得出公式问题1（1）(x+5)(x −5)= （2）(x+1)(x −1)=（3）(m+2)(m −2)2.得出公式 (a+b)(a-b) = 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.3.验证公式：数形结合4.填空：初识公式知识点2 运用公式巩固知识1.牛刀小试()()()23231-+x x ()()()b a b a -+222练一练 (1)(x+2)(x-2) (2)(a+3b)(a-3b)2. 慧眼识珠: 如果有错，请改正过来。

（1）（x-2)(x+2)=x 2-2 （2）(21+4xy)( 21-4xy)= -16x 2y 2 （3）(-3a-2)(3a-2)=9a 2-43.再探公式：想一想下面的式子还能用这公式计算吗？如果能，请算出结果.()()()b a a b -+221 ()()()1414-2--a a4.快乐游戏：下列式子中，哪两个式子相乘能运用“平方差公式” 进行计算.请连线知识点3 扩展提升发展能力(1)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5) (2) 102×98三、课堂总结：通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识？(y +2)(-y +2)(3x -2) (-3x +2)(-3+2a )(-3-2a )四、课后作业1.填空：（2y+5x)( )=25x2-4y22.计算：(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)……(a2012+1)3.学考精练该课时内容。

平方差公式导学案

4.3 公式法第1课时平方差公式学习目标：1.了解运用公式法分解因式的意义；2.会用平方差公式进行因式分解；本节重难点：用平方差公式进行因式分解中考考点：正向、逆向运用平方差公式。

预习作业：请同学们预习作业教材P54~P55的内容：1. 平方差公式字母表示: .2. 结构特征：项数、次数、系数、符号活动内容：填空：（1）（x+3）（x –3） = ；（2）（4x+y ）（4x –y ）= ；（3）（1+2x ）（1–2x ）= ；（4）（3m +2n ）（3m –2n ）= ．根据上面式子填空：（1）9m 2–4n 2= ；（2）16x 2–y 2= ；（3）x 2–9= ；（4）1–4x 2= ．结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）平方差公式特点：系数能平方，指数要成双，减号在中央例1：把下列各式因式分解：（1）25–16x 2 （2）9a 2–241b变式训练：（1）24420.1649a b m n - （2）2219a b -+例2、将下列各式因式分解：（1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x变式训练：（1）22()()x m n y n m -+- （2）5a a -注意：1、平方差公式运用的条件：（1）二项式（2）两项的符号相反（3）每项都能化成平方的形式2、公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式3、各项都有公因式，一般先提公因式。

例3：已知n 是整数，证明：2(21)1n +-能被8整除。

拓展训练：1、计算：2、分解因式：22122x y -3、已知a,b,c 为△ABC 的三边，且满足222244a cbc a b -=-，试判断△ABC 的形状。

)1)......(1)(1)(1(22221001413121----。

1.7平方差公式导学案

平方差公式导学案一、学习目标：会推导平方差公式，了解公式的几何解释，并能运用公式计算。

二、学习重点：掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算。

三、学法指导：通过对平方差公式的推导、公式特征的分析及典型例题的练习，掌握公式及应用。

四、学习过程：【课前准备及预习感悟】1.学习本节内容需要熟悉“多项式乘多项式”、“幂的乘方”和“积的乘方”的运算法则，学习前可先检查自己是否熟悉这几个法则；2.同学们在利用多项式乘法方则进行多项式乘多项式的运算时，是否感到有些繁琐？是否渴望有一个公式能很快得出运算结果？学完本节内容后你的这一愿望就基本会如愿以赏了！依据预习提纲预习并完成相关的问题预习教材25-26页“练习”以上内容，完成下列问题：1、用多项式乘法计算()()a b a b +-=_______________________=_______________。

由此可得平方差公式____________________，即两个数的____与这两个数的_____的_____，等于这两个数的__________。

2、自主探究平方差公式的几何意义做一做：在一块边长为a 厘米的正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为b 厘米的小正方形，请问剩下的面积有多少？还能通过剪纸拼图的方法来计算出这个图形的面积吗？”思考：平方差公式有何结构特征？（1）左边：（2）右边：想一想：（1）你能否推导该公式？推导的依据是什么？（2）为什么取名叫“平方差公式”，而不叫“两数和乘两数差公式”？（3）平方差公式的结构和特点是什么？预习疑难摘要【课堂学习研讨交流】1、小组研讨预习中碰到的疑难问题，不会的要向其他同学或老师请教哦！2、说说平方差公式的特征，和你的伙伴交流认识。

【知识应用与能力形成】例1、（学生尝试独立解题，3个学生板演）(1).(32)(32)x y x y +- 22(2).(72)(72)m m -+-- (3)(-m-n)(m-n)例2 课本26页（学生尝试独立解题，2个学生板演）例题反思：【课内训练巩固】1、下列各式能用平方差公式计算的是（）A 、(2a-3b)(3b-2a)B 、(-2a+3b)(-2a-3b)C 、(2a-3b)(-3b+2a) D、(2a-3b)(3a+2b)2、教科书26页随堂和习题【学习体会】1、本节课你有何收获？把你认为重点的内容划在书上。

平方差公式(1)导学案

里辛一中初一数学导学案初一数学课题:平方差公式（1）备课时间:2020-08-20课堂寄语:学习有两种状态。

一种像快要饿死的人扑在面包上；一种是眼馋肚子饱，感觉饱了，又想再吃一口。

像快要饿死的人扑在面包上一样学习的人，往往是短时间内进步很快的学生。

只有进入这种状态，才能领略到攻坚大战前夕，那种波澜壮阔的盛况。

而眼馋肚子饱的往往学得不专心，玩得不痛快，其实是很可怜的。

二、【自主学习探究新知】探究一：平方差公式的特征及几何意义（1）左边是两个项式相乘，这两项中有一项，另一项互为；（2）右边是的平方差（相同项的平方-相反项的平方）（3）公式中的a 、b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。

公式的几何意义：先观察左图，再用等式表示下图中图形面积的运算：＝－探究二：例题例1 利用平方差公式计算（1）（5+6x ）（5-6x ） (2)(x-2y)(x-2y)(3)(-m+n)(-m-n)例2 利用平方差公式计算（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛y x x 41y -41- （2）（ab+8）（ab-8）跟踪练习：随堂练习第2题规律总结：公式的几种常见变化：（1）位置变化：()()=+-+a b a b ；（2）符号变化：()()=---b a b a ；（3）系数变化：()=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a 35.0321 ；（4）指数变化：()()()()222222-=-+b a b a(5)项数变化：=a2-.(6)连用变化：==a4-b4.(7)逆用平方差公式：a2-b2=.三、【课堂达标】1.下列各式，能用平方差公式计算的是( )A.(x+2y)(2x-y)B.(x+y)(x-2y)C.(x+2y)(2y-x)D.(x-2y)(2y-x)2.下列计算中，错误的有( )①(3a+4)(3a-4)=9a2-4；②(2a2-b)(2a2+b)=4a4-b2；③(x+3)(3-x)=x2-9；④(-x+y)(x+y)=-(x-y)(x+y)=-x2-y2.A.1个B.2个C.3个D.4个3.若a，b，c为一个三角形的三边，则代数式(a-c)2-b2的值为( )A.一定为正数B.一定为负数C.可能为正数，也可能为负数D.可能为零4.(镇江中考)化简：(x+1)(x-1)+1= .5.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，那么(a+b)2的值为.6.当x=3，y=1时，代数式(x+y)(x-y)+y2的值是.7.计算：(1). (2).(3). (4)(2a-b)(2a+b)(4a2+b2).(4)(x+5)(x-5)-x(x-2).。

《平方差公式》教案(第1课时)

《平方差公式》教案（第1课时）一、内容和内容解析1．内容平方差公式.2．内容解析平方差公式是多项式乘法公式的一种，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平法差，对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位.二、目标和目标解析1．目标（1）理解22()()a b a b a b +-=-，能运用公式进行计算.（2）在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想.2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道由多项式乘法到平方差公式是一般到特殊的过程，能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差总是的基本结构和特征，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式内容，在字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确的运用公式进行计算.达成目标（2）的标志是：学生在探索平方差公式的过程中，能够体验到由具体到抽象的过程可以更好的发现公式、体会和理解公式；在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解验证平方差公式的具体方法，感知数形结合的思想.三、教学问题诊断分析学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解．因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．本节课的教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，及平方差公式的变式运用.四、教学过程设计（一）提出问题问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）（x +1）（x -1）= ；（2）（m +2）（m -2）= ；（3）11()()22a b a b +-= ；（4）（2x +1）（2x -1）= ．设计意图：承前启后，为本节内容的引入作铺垫，让学生在每个算式的计算中进一步巩固多项式乘法法则，体会多项式乘法与本节内容的关系——“一般——特殊“.追问1：上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？追问2：相乘的两个多项式的各项与他们的积中的各项有什么关系？追问3：你能将发现的规律用式子表示出来吗？追问4：你能对发现的规律进行推导吗？师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括，发现相乘的两个多项式均为相同的两个数的和、两个数的差的形式，而且这两个多项式的积恰好是这个数的平方差，教师及时进行总结，并给学生的回答给出评价.设计意图：让学生经历具体——抽象的过程，即经历观察、抽象、概括、推理的过程，从中体会研究数学问题的基本思想方法——“具体——抽象“.（二）合作探究，形成知识问题2：探究前面所得的式子22()()a b a b a b +-=-，被称为乘法的平方差公式，你能将平方差公式用文字语言表述吗？师生活动：学生回答问题，相互补充，教师对学生的回答给出评价.设计意图：让学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的语言表达能力.问题3：你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？a-bGH B C（1）长方形AMHG 的长和宽分别是什么？怎么样求面积？（2）如果长方形AMHG 中的一部分长方形FEHG 被分割下来，并补到长方形MBCD 的位置，就形成多边形ABCDEF ，此时多边形ABCDEF 的面积又可以怎样表示？（3）上述两种方法表示的面积有什么关系？师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程. 设计意图：通过探究活动，让学生认识平方差公式的几何意义，使学生更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想.（三）初步应用，巩固知识【例1】运用平方差公式计算：(1)(54)(54);(2)(3)(3)x x x y x y +--+-- 解：（1）222(54)(54)(5)42516x x x x +-=-=-；（2）()2222(3)(3)()39x y x y x y x y -+--=--=-. 师生活动：教师找两个同学到黑板上进行板演，然后与学生一起进行订正答案，并指出容易在第二个题犯错，不知道谁减谁.设计意图：让学生理解平方差公式的结构特征，并运用公式进行计算.练习1：下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？222222(1)(23)(23)(2)(3);(2)(23)(23)(2)(3);(3)(2)(2)2;(4)(32)(32)9 4.x a x b x a a b a b a b x x x a a a +-=---=-+-=----=-师生活动：学生独立思考，并说明答案，对错误的问题相互交流、订正答案，教师对学生的答案进行评价.设计意图：通过正误辨析即系纠错、改错，让学生进一步理解平方差公式的结构特征，准确运用公式进行计算.问题4：从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应注意什么？师生活动：进一步通过练习加深对平方差公式的理解，平方差公式其实是两数的和乘以这两数的差等于这两数的平方差，因此也可以这样理解.设计意图：引导学生深入分析平方差公式的结构特征，明确a 、b 的意义，在运用公式进行计算时一定要抓住关键-括号内的数有前后不变的数和前后互为相反的数.【例题2】计算：（1）（y+2）（y-2）-(y-1)(y+5)；（2）102×98.师生活动：师生共同分析得出：（1）中的前两个多项式的积可以直接利用平方差公式，后两个多项式的积不具备平方差公式的结构特征，不能用此公式；（2）是两个数乘积的简捷计算，这两个因数恰好可以分解成两个数（100与2）的和与这两个数的差，且这两个数的平方容易计算.设计意图：使学生将平方差公式的知识迁移到新的问题情境中，既巩固新知，又能培养学生分析和解决问题的能力.（四）综合应用，深化提高练习2：运用平方差公式计算：（1）（a+3b ）（a-3b ）；（2）（3+2a ）(-3+2a)；（3）51×49；（4）（3x+4）(3x-4)-(2x+3)(3x-2).师生活动：找四名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，指导，师生交流.【答案】：222(1)(3)(3)9(2)(32)(32)49a b a b a b a a a +-=-+-+=-22222(3)5149(501)(501)250012499(4)(34)(34)(23)(32)916(656)9166563510x x x x x x x x x x x x ⨯=+-=-=+--+-=--+-=---+=-- 设计意图：通过同类项题的练习，帮助学生更好地理解平方差公式，较熟练地运用平方差公式进行有关计算.（五）课堂小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学习了那些主要内容？（2）平法差公式的结构特征是什么？（3）应用平方差公式时要注意什么？设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学的内容，把握本节课的主要内容，平方差公式及平方差公式的运用.（六）布置作业教科书112页习题14.2第1题五、目标检测设计1、下列各式中，不能运用平方差公式的是（）A ．（m-n ）(-m-n) B.(2x+3y)(3x-2y)C.(-a+b)(-a-b)D.(2x-3)(2x+3)设计意图：考查学生对平方差结构特征的理解.2、计算：（1）（mn+5）（mn-5）；（2）2x （x-1）-（2x+1）（1-2x ）.设计意图：考查学生对平方差公式的理解及运用.3.计算：1998×2002设计意图：考查学生对平方差公式的应用.目标检测答案：1. B2. 解：（1）（mn+5）（mn-5）=2222()525mn m n -=-（2）222222(1)(21)(12)22(14)2214621x x x x x x x x x x x x --+-=---=--+=-+3.解：1998×2002=（2000-2）（2000+2）=4000000-4=3999996。

平方差公式(1)教案最新版教研室教案123

“学程导航”课时教学计划施教日期年月日教学内容平方差公式（一）共几课时 2 课型新授第几课时 1教学目标知识目标1.会推导平方差公式并掌握平方差公式的结构特征；2.能运用公式进行简单的计算。

能力目标1.经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理归纳能力；2.了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法。

情感目标１．积极参与活动，培养学习兴趣．２．形成合作交流的意识及独立思考的习惯教学重难点重点：平方差公式的推导及应用。

难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式。

教学资源1.加法的交换律2.多项式与多项式的乘法法则3.所用的数学思想是数形结合的思想预习设计1.回忆：多项式与多项式的乘法法则2.计算：①)3)(6(--xx②)31)(21(-+xx③)2)(23(++xx④)5)(14(--yy⑤)1)(1(-+xx⑥)2)(2(-+mm⑦)12)(12(-+xx⑧)5)(5(yxyx-+3.思考：⑴仔细观察⑤—⑧题中计算的结果，你发现了什么规律？⑵你能用图中阴影部分面积说明你的发现吗？学程预设导学策略调整与反思一．预习作业交流： 1.回忆：多项式与多项式的乘法法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，在把所有的积相加。

符号表示：bn bm an am n m b a +++=++))((2.校对计算题的答案二．新知探究：探究：思考1：仔细观察⑤—⑧题中计算的结果，你发现了什么规律？（小组讨论交流得出结论）：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

思考2：你能通过两个图形的阴影部分的面积验证你的发现吗？图1 图2 归纳：平方差公式：（1）文字语言：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

（2）符号语言：22))((b a b a b a -=-+ （3）注意点：①公式中的b a ,可以表示数，也可以表示式子 ②平方差的本质仍属于多项式乘多项式③平方差公式的结构特征： 1）等号左边： ⑴两项式乘两项式⑵前后两个括号中：有两项相同，有两项是互为相反数。

平方差公式教学设计(1)(1)

平方差公式教学设计一.目标1. 经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理水平、归纳水平；2. 掌握平方差公式的结构特征，能使用公式实行简单的运算；3. 会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法二、教学问题诊断分析学生已熟练掌握了幕的运算和整式乘法，但在实行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题.学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解. 所以，教学中引导学生分析公式的结构特征，并使用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解.三•本节课的教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活使用平方差公式实行计算.(一)创设情境，引出课题:计算下列多项式的积，你能发现什么规律?问题1(1) (x+1) (x-1)= ；(2)(m+2) (m-2)= ；(3)(2x+1) (2x-1)= .(二) 探索新知, 尝试发现问题2:依照以上三道题的计算回答下列问题：① 式子的左边具有什么共同特征？②②它们的结果有什么特征？③能不能用字母表示你的发现？师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：勺二「一；丿—J■.(三)数形结合，几何说理问题3:活动探究：将长为(a+b),宽为(a—b)的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼如0)成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系（四）总结归纳，发现新知问题4:你能用文字语言表示所发现的规律吗？两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.@七b血亠力A孑-b‘（五）剖析公式，发现本质在平方差公式｝' 中，其结构特征为：①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“ b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即「J- 1 ；②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b,明确公式中a和b 的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式.（六）巩固使用，内化新知问题5：判断下列算式能否使用平方差公式计算：(1)(2x+3a)( 2x- 3b); (2) *(3) (—m+n)( m—n); (4);(5) ij i 1 f ' -问题6：判断下列计算是否准确：(1) (2a - 3b)( 2a - 3b) =4a2- -9b2( )(2) (x+2)( x -2) =x2—2( )3) (—3a —2)( 3a—2) =9a2—4( )(4) fyt* 2冷-3)=则'•竹( )1£1t---- a——»问题7:计算:(1)( 2x +3)( 3x-3);( 2)( b+2a)( 2a—b)2 2 2解：(1)( 2x + 3)( 2x - 3) = (2x) —3 = 4x —9(2)( b+2a)( 2a —b)2 , 2=(2a) —b=4a(七)拓展深化，发展思维问题&计算：(1) 98X(—102) ; (2) 1 二I 劈-X '(八)小试牛刀，挑战自我1•在下列括号中填上合适的多项式：⑴2y\ )= 25?- Ay2(2) [X > S1-护2 .看谁算得快：〔二-"二九）总结概括，自我评价问题10：这节课你有哪些收获？还有什么困惑？【（十）课后作业必做题：P156 习题15.2 1。

《平方差公式(1)》导学案新部编版

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校1.5 平方差公式（1）一、学习目标与要求：1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理二、重点与难点：重点：运用平方差公式进行简单的计算和推理难点：理解理解平方差公式及其探索过程三、学习过程：复习巩固：计算：（多项式乘多项式） (1) 3(23)(5)2a b ++(2) (2)(53)x y x b --(3) (-2x-y)2(4) (x+y)(x 2-xy+y 2)探索发现：一、探索平方差公式计算下列各题，并用自己的语言叙述你的发现(1) (x+2)(x-2)(2) (1+3a)(1-3a)(3) x+5y)(x-5y)(4) (y+3z)(y-3z)你的发现：__________________________________________________________________ 再举例验证你的发现：例：归纳：平方差公式：(a+b)(a-b)=__________________语言叙述：___________________________________________________________________ 老师的提示：人们把某些特殊形式的多项式相乘写成公式，加以记忆、套用，以使计算快速、简洁. 在运用公式的过程中，要准确的把握公式的特点，平方差公式的特点：左边是．．．两个数的和乘这两个数的差．．．．．．．．．．．．，右边是这两个数的．．．．平方差．．．，那么在运用公式时，认准“这两个数．．．．”就成了问题的关键. 分析下面式子，你能认出那一部分是两数．．和？那一部分是这两数．．．的差？两个数分别是什么？结果应该是哪个数的平方减去哪个数的平方吗？(1) (5+6x)(5-6x) (2) (x-2y)(x+2y) (3) (-m+n)(-m-n)现在你能计算了吗？例1 利用平方差公式计算(1) (5+6x)(5-6x) (2) (x-2y)(x+2y)(3) (8)(8)ab ab+-(4) (-m+n)(-m-n)巩固练习1：利用平方差公式计算(1) (a+2)(a-2) (2) (3a+2b)(3a-2b)(3) (mn-3n)(mn+3n) (4) (–x-1)(-x+1)例2 利用平方差公式计算(1)11()()44x y x y---+(2) 2()()3m n m n n+-+巩固练习2：利用平方差公式计算(1) (-4k+3)(-4k-3) (2)11(2)(2)44x y x y ---+(3) (-2b- 5) (2b -5) (4) x2+(y-x)(y+x) (5) (a n+b)(a n-b) (6) (a+1)(a-1)(a2+1) 学习小结：给大家说一说你用平方差公式进行计算的体会。

《平方差公式》导学案 2022年北师大版七下

平方差公式教材分析《平方差公式》是义务教育课程标准实验教科书《数学》〔北师大版〕七年级下册的教学内容。

教材在上册中安排了《有理数及运算》、《字母表示数》等内容。

在本节内容前面又安排了平方差公式产生的背景，使学生经历过实际问题“符号化〞的过程，有了一定的符号感，为探索“平方差公式〞奠定了根底。

学生分析学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感。

经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力。

本节课的教学能培养学生的推理能力，使学生通过大胆而又合情合理的推理，有条理地表达自己的思考过程。

教学目标1、经历探索平方差公式的过程，进一步开展符号感和推理能力。

2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。

3、认识平方差公式及其几何背景。

4、在合作、交流和讨论中开掘知识，并体验学习的乐趣。

教学重点：体会公式的发现的推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。

教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义。

课前准备1、为每位学生准备一张正方形纸片(边长为15cm)。

2、教师准备两张正方形(一大一小)纸板和三块矩形纸板。

3、多媒体课件。

教学流程一、创设问题情境，引导学生观察、设想。

教师发给每个学生一张正方形纸片(边长15cm)并用多媒体课件(或用正方形纸板)显示正方形。

师：在一块45的红色正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为15的正方形(如图)，请问剩下红色局部的面积有多少平方厘米？453015(刚开始小的正方形可以随意摆放在红色正方形的任何位置。

)小组讨论：1．可以用大正方形面积减去小正方形面积得到。

2．可以把剩下红色局部切割成几个矩形来计算。

师：从今天的问题来看，用哪一种方法比拟好？你们小组能列出算式吗？或许有学生能迅速列出算式，得出答案是1800平方厘米。

师：为了容易理解，我现在把小正方形放在大正方形的角落(如图)。

(同时也要求学生在他们手上的正方形纸的角落上画一个小正方形，可规定连长为3cm。

2021年北师大版七年级数学下册第一章《平方差公式》导学案1

新北师大版七年级数学下册第一章《平方差公式》导学案第课时课题名称
时间第周星期课型新授课主备课人
目标1.了解平方差公式的几何背景，发展几何直观。

2.能熟练运用平方差公式进行计算及简便运算。

重点能熟练运用平方差公式进行计算及简便运算。

二次备课难点理解平方差公式的几何背景及平方差公式的灵活应用。

自主学习1．观察课本P21引例，思考并回答课本上的问题：
（1）图1-5大正方形的面积表示为，小正方形的面积表示为，阴影部分面积表示为。

（2）图1-6长方形的长为，宽为，阴影部分的面积表示为。

（3）两副图中阴影部分的面积相等吗?用一个式子表示为，这个式子验证了。

2．看课本P21的“想一想”，回答书上问题。

问题生成记录：
精讲互动1.交流自主学习结果。

2.课本P22例3第（1）小题（引导学生分析并板演）
练习：运用平方差公式计算
（1）10.2×9.8 （2）2004×2002-20032
3.课本P22例4
计算：（1）2
2
2)
)(
(b
a
b
a
b
a
a+
-
+；（2）)3
2(
2
)5
2
)(
5
2(-
-
+
-x
x
x
x。

《§1.7 平方差公式(一)》教学案(公开课)

“§1.7 平方差公式（第一课时）”教学案(公开课)作者：吉利中学数学组王水运一、学习目标：1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；2、会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算；3、了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法。

【学习重点】1、弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；2、会用平方差公式进行运算。

【学习难点】会用平方差公式进行运算二、自主学习步骤：1、内容一：温故而知新（1）“a 与b 的平方差”用代数式可以表示成；“a 与b 的和”乘以“a 与b 的差” 用代数式可以表示成；（2）“ 1 与a 的平方差” 用代数式可以表示成；“1与a 的和”乘以“1与a 的差” 用代数式可以表示成；(3) 代数式22y x -可以读成“ ”；（4）一个数的平方等于81，这个数是；（5）计算：①=2)3(a ; ②=2)y 5( ; ③ 2)32(x -= ; (6) 填空: ① 2)(64= ② 2)(971= ③ 22)(4=m2、内容二：关于“平方差公式”的推导（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形如右图，它的宽是，长是，面积是（写成整式乘法的形式）；(3) 比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式（用式子表达）,这个公式叫做；对应练习：当3,2-==y x 时，求下列代数式的值，并比较它们的值得大小。

①224y x -； ② )2)(2(y x y x -+3、内容三：例题1 利用平方差公式计算：（1）_____________)()()65)(65(22=-=-+x x ；（2）_____________)()()2)(2(22=-=+-y x y x （3）_____________)()())((22=-=--+-n m n m（4）________________________________________))(22(===-+n m n m 对应练习：（1）填空：① 22))((d a d a -=+ ②2221))(1(-=-y x xy （2）练一练：课本P 36 随堂练习1：①)2)(2(-+a a ②)23)(23(b a b a -+ 解: 原式＝22)()(- ＝③)1)(1(--+-x x ④)34)(34(--+-k k4、内容4：例题2利用平方差公式计算：（1）)41)(41(y x y x +--- （2）)8)(8(-+ab ab （3）()()23n m n m n +-+ 解: 原式＝22)()(-＝对应练习：（1）))((2x y x y x +-+ （2）)1)(1)(1(2+-+a a a5、归纳与小结：（1）本节课学习的内容是利用“ ”进行多项式的乘法运算；（2）平方差公式22))((b a b a b a -=-+的特点：①左边是两个的积，并且这两个多项式的两个项里有一项，另一项；②右边是两个数的；③ 公式可以逆向使用。

平方差公式(1)

）
2 2 ③ x 2 y − 3 y 2 z 3 − 3 y 2 z 3 − x 2 y 3 3
B． ( m − n)( − m − n)
( C． − m − n)( n − m)
① x − 1 y x + 1 y
2 2
( D． m + n )( − m + n )
② (3a − bc )(− bc − 3a ) ④ (100 + 1)(100 − 1) C．3 个 D．4 个 2 2 ④ − a 2 m + 5b n − a 2 m − 5b n 3 3
2. 下列式中能用平方差公式计算的有
主备人：徐鸿飞
初一数学
5.填空
① ( 2 x − y）
(
)=
4x2 − y2 ；
② (− 3 a − 2 b )
(
(
)= 9 a
2
− 4b 2
2
3.(2009 年四川省内江市) 在边长为 a 的正方 2009 年四川省内江市) 形中挖去一个边长为 b 的小正方形（ a ＞ b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（） A． (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 B． (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
⑦( x − y )(− y + x )
⑥ ( x + y )(− x − y )
⑧(- x + y )(− x − y )
③ (2 x + 1)(2 x − 1)
④ ( x + 5 y )( x − 5 y )

新人教版八年级上册数学导学案：平方差公式(第1课时)

新人教版八年级上册数学导学案：平方差公式（第1课时）学习目标1. 能说出平方差公式的特点，并会用式子表示.2．能正确地利用平方差公式进行多项式的乘法运算.3．通过平方差公式得出的过程，体会数形结合的思想重点：掌握两数和乘以它们的差的结构特征.难点：正确理解两数和乘以它们的差的公式的意义.时间分配导课2分、探究交流10分、展示13分小结3分、巩固12分学习过程学案（学习过程）导案（学法指导）一.回顾旧知，引入新课：问题一：多项式乘以多项式法则：二、探究学习，获取新知问题二:1.问题提出:计算下列各式，你有什么发现，与同伴交流.(1) (x＋1)(x－1)； (2) (m＋2)(m－2)；(3) (2x＋1)( 2x－1) （4）（a+b）（a-b）2.归纳法则：两个数的和与这两个数的差的积，等于__________3.平方差公式：4.这个等式正确吗?你怎样验证其正确性呢?⑴利用多项式乘以多项式计算:⑵ 你能再用以下的图形验证平方差公式吗？试一试.先观察图，再用等式表示下图中图形面积的运算：＝－具有简洁美的乘法公式:（a＋b）（a－b）＝a2－b2三、运用展示（a＋b）（a－b）＝a2－b2通过复习旧知，为本节课计算做好铺垫。

运用多项式乘以多项式的知识即可完成，要求学生独立完成。

法则由学生集体讨论得出，公式板书。

用图片验证平方差公式，由学生讨论完成，教师可在小组内稍作引导提示。

学生根据图片内容完成填空。

问题三: 1. 填一填: ①2x+21）（2x-21）=（）2-（）2 = ②(3x+6y)(3x -6y)=( )2-（）2= 2.说一说：下列各式都能用平方差公式计算吗? ①（2a －3b)(2a+3b) ②(－2a+3b) (2a+3b) ③(－2a －3b)(2a －3b) ④(2a+3b)(－2a －3b) 3．做一做：（1）(3x ＋2)( 3x －2) （2）(－x ＋2y)( －x －2y) （3）③(y+2)( y-2)-(y-1)(y+5) 4变式拓展:①（－2x －y ）（2x －y ） ②(-m+n)(-m-n) 四、总结反思 1.平方差公式是什么？2. 满足什么样的特征才能用平方差公式？注意：有些问题可以稍作变形，就可以用平方差公式。