七年级上一元一次方程培优讲义(精品)

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人教版七年级数学上册培优讲义《第4讲含参一元一次方程》

第4讲含参一元一次方程【知识目标】目标一理解方程中参数与未知数的区别，理解方程的解的含义；目标二掌握方程“解的关系”类题型解法，掌握绝对值方程的解法；目标三掌握含参方程讨论解的情况的方法，理解分类讨论的本质．模块一：一元一次方程的概念应用【知识导航】1．一元一次方程的定义只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程．这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．3．未知数与参数若等式x －2＝a 中，只有x 是未知数，a 当做已知数，我们把这样的方程叫做关于x 的方程，a 叫做参数．解这个方程时只需求出x 的值，x ＝a ＋2就是此方程的解．例如，关于x 的方程mx －2＝3中，只有x 是未知数，m 是参数，若已知此方程的解为x ＝1，则把x ＝1代入方程后能使等式两边值相等，由此得1×m －2＝3，可求得m ＝5．【例1】（1）(2015江岸区七上期中)若关于x 的方程(m －2)15m x-=是一元一次方程，则m 的值为＿＿＿＿（2） (2012洪山区七上期末)已知x ＝－3是关于x 的方程3x －5a ＝x －1的解，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－2（3）已知x ＝6时关于x 的方程m (x －3)－2＝m 的解，则关于y 的方程 13(1)42016m y --=的解为＿＿＿＿＿＿．（4）(2014江汉区七上期末)已知x ＝3是关于x 的一元一次方程(a －1)x 2＋(b ＋2)x ＝2的解．求a 、b 的值．【练1】（1）(2013硚口区七上期末)已知x ＝2是关于x 的方程3x －3＝k 的解，则k 的值是( )．A ．－1B ．1C ．－3D ．3（2）(2013年青山区期末)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5模块二：含参方程解的关系题型一：解相同【例2】（1）若关于x 的方程5x ＋4＝4x －3的解和方程2(x ＋1)－m ＝2(m －2)的解相同，求m 的值．（2）若关于x的方程12524ax ax x-=+和5342x x=-有相同的解，求a的值．【练2】（1）(2012洪山区七上期末)如果关于x的方程51763x-=与71622xm-=+的解相同，那么m的值是多少？（2）若关于x的方程()()3210354k x k xx+--=-与1252(1)3xx--+=的解相同．求k的值．【例3】（1）已知：关于x的方程4x－k＝2与3(2＋x)＝2k的解相同，求k的值及相同的解．（2）(2015江岸区七上期中)已知关于x的方程4x＋2m＝3x＋1与方程3x＋2m＝6x＋1的解相同，则方程的解为＿＿＿＿＿＿．【练3】已知关于x 的方程3x －2k ＝1和22x k k -+=有相同的解，求k 的值及方程的解．总结归纳两个一元一次方程的解有等量关系时：如果其中一个方程不含参，另一个方程含参，可以先解出不含参方程(即先解简单方程)，然后利用解的等量关系写出另一个含参方程的解，再代入含参方程即可求出参数的值；如果两个方程都含参，除了可以像上面一样先解简单方程，再代入复杂方程之外，也可以先分别求出这两个方程的解(即都用参数来表示x )，然后利用解的等量关系列出等式，从而求出参数的值．只要理解了“方程的解”以及“参数”的含义，理清解的关系，就能灵活运用上述两种方法．而且可以自己体会一下，哪些题用法一较快，哪些题用法二较快，原因是什么．两个解的数量关系可以有很多种，比如相等、互为相反数、几倍等，解题方法都一样．题型二：解互为相反数【例4】（1）若关于x 的方程ax －2a ＝9与方程2x －1＝5的解互为相反数，求a 的值．（2）如果关于x 的方程()112x m +=的解与方程13x x m -=-的解互为相反数，求m 的值．【练4】若关于x 的方程2x －3＝1和32x k k x -=-的解互为相反数，则k 的值为多少？【拓】已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．题型三：解的其他等量关系【例5】（1）．若关于x 的方程23136x x --=的解是372a x +=的2倍，求关于x 的方程1432ax -+=的解．（2）．如果关于x 的方程x －2＝3(m ＋3)的解和3(x ＋1)＝－4m ＋5的解的和等于5，求m 值．【练5】已知关于x 的方程23x m x π-=+与1322x x -=-的解互为倒数，求m 2－2m －3的值．模块三：含参方程解的情况【知识导航】当我们解一元一次方程时，最后一步就是“系数化为1”．例如：解得5x ＝6之后，需要等式两边同时除以5，得到x ＝65；解到－3x ＝2之后，需要等式两边同时除以－3，得到x ＝23-．但如果一个一元一次方程中，未知数的系数含有参数时，例如ax －4＝0，解到ax ＝4之后，需要等式两边同时除以a ．但是，我们知道，等式两边同时除以的数必须是“非零数”．这里a 作为一个参数，它是有可能为0的．一旦a ＝0，ax ＝4就变成了0x ＝4，显然不能再两边除以0来求解，此时关于x 的方程无解，即x 没有任何一个数值能使等式成立．不难看出，对于诸如ax ＝4未知数的系数含有参数的方程，当系数为0和系数非0时，方程的解的情况不同．既然结果不同，那意味着需要分类讨论．【例6】（1）．解下列关于x 的方程：①mx ＝2； ②kx ＝0； ③3x ＝n －2（2）．解下列关于x 的方程：①ax ＝b ； ②(a －1)x ＝b ＋2 ③ax －b ＝x ＋2．（3）．当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有唯一解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b无解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有无穷多个解；【总结归纳】解含参的一元一次方程时，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，一定能将方程化简为ax ＝b的一般形式，然后再以a、b的不同取值为分类依据，对对方程的解分类讨论．①当a≠0时，等式两边可以同时除以非零数a，解为x＝ba，即方程有唯一解；②当a＝0且b＝0时，方程变为0·x＝0，这里x可以是任意数，即方程有无数个解；③当a＝0且b≠0时，方程变为0·x＝非零数，x无论取何值等式均不成立，即此方程无解．【练6】（1）．关于x的方程mx＋4＝3x－n，分别求m，n满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②无解；③有无数多解．（2）．已知关于x的方程3a(x＋2)＝(2b－1)x＋5有无数个解，求a与b的值．（3）．已知：关于x 的方程ax ＋3＝2x －b 有无数多个解，试求：()20175ab a b x x a b a b+-=-++的解．模块四：绝对值方程【知识导航】形如ax b c +=的关于x 的绝对值方程(这里a ≠0)，其解如下三种情况： ①若c ＜0，则方程无解；②若c ＝0，则ax ＋b ＝0，x ＝b a-，方程有唯一解； ③若c ＞0，则ax ＋b ＝±c ，x ＝c b a ±-，方程有两个解．【例7】（1）．若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是( )．A ．m ＜n ＜kB ．m ≤n ≤kC ．m ＞n ＞kD ．m ≥n ≥k（2）．解下列绝对值方程：①15x -=； ②123x --=；③2131x x -=+；④234x x +=-；⑤4329x x +=+；⑥2971x x +=-．【总结归纳】1．形如ax b cx d +=+的绝对值方程的解法：ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，一般有两个解，解完不需要检验．2．形如：ax b cx d +=+的绝对值的解法：法一，从绝对值的代数意义出发分类讨论： ①当ax ＋b ≥0时，ax b ax b +=+，故得ax ＋b ＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ≥0，若不满足则应舍去；②当ax ＋b ＜0时，()ax b ax b +=-+，故得－(ax ＋b )＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ＜0，若不满足则应舍去；综上得方程的解．法二．从绝对值的非负性出发限定x 的范围：由ax b cx d +=+≥0，所以ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，然后将得出的解代入cx ＋d ≥0检验，若不满足该前提条件此解需要舍去．【练7】解下列绝对值方程①4812x +=；②3544x --=；③2316-+-=；④23x x=-；a a④4329-+=-.x xx x+=+；⑤525拓(1)解方程：125-++=；x x(2)回答下列方程解的情况：①方程124-++=的解是＿＿＿＿；x x②方程123-++=的解是＿＿＿＿；x x③方程122-++=＿＿＿＿．x x第4讲【课后作业】含参一元一次方程1．如果x ＝1是关于x 的方程－x ＋a ＝3x －2的解，则a 的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－22．七年级的两名爱好数学的学生，在学完第三章《一元一次方程》后，一位同学对另一位同学说：“方程112332x x x ---=+-与方程2224334kx x k +--=-的解相同．则k 的值是多少？”（） A ．0B ．2C ．1D ．－1 3．已知关于x 的元一次方程240n x m +-=的解是x ＝3，则m －n 的值是＿＿＿＿．4．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解相同，则m ＝＿＿＿＿．5．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解互为相反数，则m ＝＿＿＿＿．6．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解的和为2，则m ＝＿＿＿＿．7．关于y 的方程25617k ky +-=-与方程2y ＋6＝－8的解互为倒数，则k ＝＿＿＿＿．8．关于x 的方程mx ＋2＝3x －n 有无数多个解，则mn ＝＿＿＿＿．9．已知2x x =+，那么19327m x x ++的值为＿＿＿＿．10．关于x 的方程(a ＋1)x ＋4＝3x －2b ，分别求a 、b 满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②有无数多解；③无解．11．解下列关于x 的方程：①1232x +=； ②258x +-=．③2335x x -=-；④4551x x -=+；⑤3223x x +=+；⑥652x x +=-；⑦mx ＋3＝2x －3；⑧3x －5＝2a ＋8．12．已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解是3151128x a x +--=的解的3倍，求a 的值．。

人教版七上一元一次方程专题培优讲义

第1讲一元一次方程知识理解1、下列由等式的性质进行的变形，错误的是（）A 、如果b a =，那么33+=+b aB 、如果b a =，那么33-=-b aC 、如果b a =，那么a a 32=D 、如果a a 32=，那么3=a2、下列方程中：①312+=-x x ；②21=-x ；③123222=+；④3-x ；⑤6=+y x .其中是一元一次方程的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、已知方程x m x 743-=+的解为1=x ，则m 的值为（）A 、- 2B 、- 5C 、6D 、- 64、若y x =，下列各式中：①33-=-y x ；②55+=+y x ；③88-=-y x ；④y x x +=2；其中正确的个数有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5、下列等式变形：①如果y x =，那么ay ax = B ；②如果y x =，那么a y a x = ；③如果ay ax =，那么y x = ；④如果a y a x =，那么y x =.其中正确的是（）A 、③④B 、①②C 、①④D 、②③6、下列说法：①在等式42=x 两边都加上2，可得等式64=x ；②在等式42=x 两边都减去2，可得等式2=x ；③在等式42=x 两边都乘以21，等式变为2=x ；④等式两边都除以同一个数，等式仍然成立.其中正确的说法有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（）个正方体的重量.A 、2B 、3C 、4D 、58、已知a 是任意有理数，在下面各题：（1）方程0=ax 的解是1=x ；（2）方程a ax =的解是1=x ；（3）方程1=ax 的解是ax 1=；（4）方程a x a =的解是1±=x .其中结论正确的个数是（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个9、如果652=-x ，那么_________2=x ，其中依据是__________________________.10、若方程()0122=+++c bx x a 是关于x 的一元一次方程，则字母系数a 、b 、c 满足的条件是_____________________________.方法运用11、解方程：（1）23141x x x --=--；（2）214311--=++x x x ；（3）()x x x =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1151321 ；（4）121103121412+--=-+x x x ；12、已知1=x 是方程()x x a 2312=--的解，那么关于x 的方程()()3225-=--x a x a 的解是多少？13、某书有一道方程：x x =+*+132，*处的一个数十阿紫印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道方程的解为5.2-=x ，那么*处被墨盖住的数应该是多少？14、若a 、b 为定值，关于x 的方程6232bk x a kx -+=+，无论k 为何值，此方程的解总是1=x ，求a 、b 的值.15、小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，数学老师在黑板上写了一个关于x 的一元一次方程：69312k x x a kx +--=--，方程中的常数a 老师已给出，但常数k 老师却未写出.数学老师让小组中的60名学生每人自己想好一个值()3≠k ，然后代入方程中，在解出方程.小明想了一个k 值后，很快解出了方程的解，他惊奇地发现，全班同学的答案竟然是一模一样，你能告诉小明这是什么原因吗？你知道题中老师给出的a 是多少吗？方程的解是多少吗？16、已知方程423523-=-x x （1）求方程的解；（2）若上述方程与关于x 的方程()a a x a 2383-+=+是同解方程，求a 的值；（3）在（2）的条件下，a 、b 在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c 是倒数等于本身的数，求()2005c b a ++17、已知2=x 是关于x 的方程c b ax =+的解.（1）求()200312--+c b a （2）求ba c 2410+的值；（3）解关于x 的方程()()0242≠++=+cb ac x b a .18、已知，如图，A 、B 、C 分别为数轴上的三点，A 点对应的数位-200，B 点对应的数位为- 20 ，C 点对应的数为40.甲从C 出发，以6单位/秒的速度向左运动.（1）当甲在B 点、C 点之间运动，设运动时间为x 秒，请用x 的代数式表示；甲到A 点的距离：____________________；甲到B 点的距离：____________________；甲到C 点的距离：____________________；（2）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两人在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数；（3）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向左运动，设两人在数轴上的E 点相遇，求E 点对应的数.19、数轴上A 、B （A 左B 右）所对应的数为a 、b ，()01052=-++b a ，C 为数轴上一动点且对应的数位c ，O 为原点.（1）若2=BC ，求c 的值.（2）是否存在一点C 使得CB=2CA ，若存在求出对应的数位c ，不存在说明理由.（3）是否存在一点C 使得CA+CB=21，若存在求出对应的数位c ，不存在说明理由.第2讲一元一次方程（2）一、基础知识1、若3-=x 是方程()52=+k x 的解，求k 的值.2、讨论12=x 是不是方程14732+=x x 的解.3、已知3-=x 是1312-=--m x 的解，求代数式132--m m 的值.4、已知1-=y 是关于y 的方程08432=+++-m y y 的解，求式子mm m 122+-的值.5、已知方程()0243=+--a xa 是关于x 的一元一次方程，求a 的值.6、如果关于x 的方程06365=+-k x是一元一次方程，求k 的值.7、关于x 的方程()()0241122=-+-+-a x a x a 是一元一次方程求a 的值.8、方程432-=+x m x 与方程626-=-x 的解相同，求m 的值.9、已知：关于x 的方程1232-=---x a x a x 与方程()5423-=-x x 同解，求a 的值.10、若关于x 的方程①a x =+2和②a a x 32=-，若①的解比②的解大1，求a 的值.11、设关于x 的方程55=-m x ，m x 244=-，当m 为何值时，这两个方程的解互为相反数？12、方程()0132=+-x 的解与关于x 的方程x k x k 2232=--+的解互为倒数，求k 的值.13、当4=x 时，式子a x ax A 642--=的值是- 1，那么当5-=x 时，A 的值是多少？14、小明在解关于x 的方程1123=-x a 是，误将x 2-看成了x 2+，得到的解为2-=x ，请你帮小明算一算，方程正确的解为多少？二、列方程解应用题（行程问题和工程问题）15、小红和小明绕周长为1200米的湖晨练，小红的速度为85米/分，小明比她快10米/分，（1）如果两人同时同向同一地点开跑，多少分钟两人相遇？（2）如果两人同时相向开跑，多少分钟两人相遇？（3）如果小红在小明前面200米两人同时反向开跑，多少分钟两人相遇？16、甲乙骑自行车，从相距60千米的两地相向而行，甲每小时走12千米，乙每小时走10千米，如果走15分钟后乙出发，问甲出发后几小时与乙相遇？17、某项工程，甲单独完成要12天，乙单独完成要18天，如果甲先做了7天，乙来支援，由甲、乙合做完成余下的工程，求乙做多少天？18、整理一批或污物，由甲一人做需80小时完成，现由一部分人先做2小时后，在增加5人做8小时，恰好完成这项工作的43，怎样安排参与整理货物的具体人数？19、北京市为了能够成功举办2008年奥运会，市政府要求各项工程在确保质量的前提下完成任务，其中一项工程，请甲工程队独做要3个月完成，每月耗资12万元，若请乙工程队独做要6个月完成，每月耗资5万元，那么请甲、乙两工程队合做要几个月完成？耗资多少万元？三、方案选择20、一件工程，甲工程队独做10天完成，每天需费用160元；乙工程队独做15天完成，每天需费用100元.（1）若由甲、乙两个工程队合做3天后，剩余工程有乙工程队独做完成，求工程所需的总费用是多少元？（2）由于场地限制，两队不能同时施工.若先安排甲工程队单独施工做一部分工程再由乙工程队单独施工完成剩余工程，预计公付工程总费用1500元，你知道甲、乙两个工程队各做了工程的几分之几吗？（3）为了保证工程质量，工程指挥部决定安排一名质检员全程进行质量监督，每天需付给质检员工作、生活补助30元，请你安排甲、乙两个工程队进行施工，使工程所需的总费用最少？21、一件工作，甲独做20天可以完成，乙独做30天可以完成.若由甲、乙共同完成这项工作，且两人工作平均按整数日安排，且甲每天需要工作费用80元，乙每天需要工作费用50元.（1）问共有多少种安排方案？（2）问完成这项工作的最低费用是多少？应该如何安排两队工作？（3）要使工程的总费用不超过1540元，问甲最多工作多少天？22、某工厂生产某种产品，每件产品的出产价为1000元，其原材料成本价为550元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有10千克的废渣产生.为了达到国家环保要求，需要对废渣进行处理，现有两种方案可供选择：方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理10千克废渣所用的原料费为50元，并且每月设备维护及损耗费为2000元.方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理10千克废渣需付100元的处理费.（1）设工厂每月生产x件产品，用方案一处理废渣时，每月利润为__________________元；用方案二处理废渣时，每月利润为_________________元（利润=总收入-总支出）.（2）若每月生产30件和60件，用方案一和方案二处理废渣时，每月利润分别为多少元？（3）如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最很划算？23、某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果租用同样数量的60座客车则多出一辆，且其余客车恰好坐满，已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元.（1）学生人数是多少？原计划租用45座客车多少量？（2）要使每名同学都有座位，怎样租用车辆更合算？第3讲一元一次方程（3）一、基础知识1.已知甲数是乙数的3倍多12，甲乙两数的和是60，求乙数.2.已知甲数是乙数的31少5，甲数比乙数大65，求乙数.3.已知关于x 的方程267132x k x --=-+的解是x ＝－2，求k 的值.4.已知x ＝21是方程5m ＋12x ＝21＋x 的解，求关于y 的方程)21(2y m my -=+的解.5.已知关于x 的方程x x a 2)(312=--的解是关于x 的方程x －5－2a ＝2x －3a 的解的2倍，求a 的值.二、基础应用题6.（总量相等问题）某校春游，若包租相同的大巴13辆，那么就有14人没有座位；如果多包租1辆，那么就多了26个空位，问春游的总人数是多少？=7.（数字问题）一个两位数个位数字与十位数字的和为10，如果将个位数字与十位数字交换位置，得到的新的两位数字比原来的两位数大18，求原来的两位数？8.（总分问题）一艘货轮货舱容积是2000立方米，可载重500吨，现有甲、乙两种货物待装，已知甲种货物每吨体积为7立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，两种货物各装多少吨最合理？9.（工程问题）满池水的游泳池需要换水，单独打开甲管30小时可将全池水排完，单独打开乙管20小时可将全池水排完，若两管同时打开3小时后，关闭甲管让乙管排水3小时，再打开甲管同时关闭乙管，几小时后可将余下水放完？10.（行程问题）小明上山的速度是每小时3.5千米，下山的速度是每小时5千米，若小明上山比下山多用了3小时，求小明下山走了几小时，这段山路共有多少千米？11.某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时骑摩托车的速度应该是多少？12.（配套问题）某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配2个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该如何分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？13.（盈利问题）某商场新进一批同型号的电脑，按进价提高40%标价，此商场为了促销，又对该电脑打8折销售，每台电脑仍可盈利420元，那么该型号电脑每台进价为多少元.三、综合应用问题14.要运送一批货物，若用3台大货车各运7次，结果还有12件货物未运送完；若9台小货车各运4次，结果刚好运送完.已知每台大货车比每台小货车一次多运送3件货物.（1）求这批货物共有多少件？（2）已知每台大货车每次的运送费用为60元，每台小货车每次的运送费用为40元，若要想两次将所有货物运送完（每台货车都运送2次，每次都是满载货物），问如何租用这两种货车，才合算呢？15.某班学生进行篮球投蓝练习，每人投10个，每投进1个球得1分，得分的部分情况如下表所示：（1）若至少得8分的人的总得分比至多得2分的人的总得分的5倍还多5分，求表格中的x；（2）已知在（1）中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，你知道这个班有多少人吗？16.某服装店的老板在武汉看中一种夏季衬衫，就用8000元购进若干件，以每件58元的价格出售，很快售完，又用了17600元购进同样衬衫，数量是第一次的2倍，每件进价比第一次多了4元，服装店仍然按每件58元出售全部售完.问该服装店这笔生意的盈利情况如何？17.某农场有300名职工耕种51公顷土地，计划种值水稻、棉花和蔬菜三种农作物，已知种植各种农作物每公顷所需劳动力人数及投入资金如下表：应该怎样安排这三种农作物的种植才能使所有职工都有工作，而且收人的最大？18.某服装店出售货A，B两种规格服装，A种服装的销量比B种低20%，但A种服装质地好，价格比B种高.巳知B种服装的单价为每件80元.（1）当A种服装的单价是多少时，在各方面均等的情况下分别销售A，B两种规格的服装收益相同？（2）若九月该服装店经营A，B两种规格服装的过程中，把A种服装定价为每件120元，而B种服装定价不变，这样在各方面均等的情况下销售A种服装比B种服装要多收入1600元，问A，B两种规格服装九月共销售多少件？19.某项工程，甲工程队单独做需要6个月完成，每月的费用为10万元，乙工程队单独做需要12个月完成，每月的费用为4万元.（1）两队合做完成共需多少万元.（2）为了节约资金，且保证8个月完成任务，应怎样安排施工（按整月计算）.第4讲一元一次方程（4）（－）行程问题1.A、B两地间的路程为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时72km，甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48km，两车相遇后，各自仍按原速度原方向继续行驶，那么相遇后两车相距100km时，甲车从出发共行驶了多少小时？2.小明上山的速度是每小时3.5千米，下山的速度是每小时5千米，若小明上山比下山多用了3小时，求小明下山走了几小时，这段山路共有多少千米？3.甲乙两站相距245千米，一列慢车由甲站开出，每小时行驶50千米，同时，一列快车由乙站开出，每小时行驶70千米，两车同向而行，快车在慢车的后面，经过几小时快车可以追上慢车？（二）总分问题5.－份数学试卷有25道选择题，规定做对一题得4分，一题不做或做错扣1分，结果某学生得分为75分，则他做对多少道题？6.－艘货轮货舱容积是2000立方米，可载重500吨，现有甲、乙两种货物待装，已知甲种货物每吨体积为7 立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，两种货物各装多少吨最合理？（三）打折问题7.某商品的进价为310元，按标价的8折销售时，利润率为16%，商品的标价为多少元？8.商品按进价增加20%出售，因积压需降价处理，如果仍想获得8%的利润，则出售价需打几折？9.某商品的进价为120元，标价为200元，折价销售时的利润率为10%，此商品是按几折销售的？（四）数字问题10.若有一个七位自然数，它的第一位数字是5，若把5移到末位，其他数位上的数字顺序不变，则原数等于这个新数的3倍还多8，求原来的七位数.11.有一个两位数，十位上的数是个位上的数的2倍，如果把这两个数字的位置调换，那么所得的新的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数？（五）调配问题12.－车间与二车间总人数为150人，将一车间的15名工人调动到二车间，两车间人数相等，求二车间人数？13.为了迎接市“两型学校”达标检查，七年级（1）班分成两个组对学校的两个功能室进行卫生大扫除，若从第一组调4人到第二组，则两组人数相等；若从第二组调1人到第一组，则第一组是第二组的1.5倍；求七年级（1）班有多少人参加了卫生大扫除？二、综合题14.某同学在A 、B 两家超市发现他看中的mp3的单价相同，计算器单价也相同，mp3和计算器单价之和是452元，且mp3的单价比计算器单价的4倍少8元. （1）求该同学看中的mp3和计算器的单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？15.某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总数32，若提前购票，则给予不同程度的优惠：若在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的一半；如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份售出全部余票，设六月份零售票按每张x 元定价，总票数为a 张.（1）五月份的票价总收入为_______元；六月份的总收入为_________元；（2）当x 为多少时，才能使这两个月的票款收入持平？16.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见如下价目表，水费按月结算.（1）若该户居民2月份用水12.5m，则应收水费_________元；（2）若该户居民3、4月份共用水15m3（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该户居民3、4月份各用水多少立方米？17.芜湖供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为8:00~22:00，14小时，谷段为22:00~次日8:00，10小时.平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮0.03元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时，谷段电量60千瓦时，按分时电价付款42.73元.（1）问小明家该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元？（2）如不使用分时电价结算，5月份小明家将多支电费多少元？18.某工厂餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，现在从甲乙两商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为50元，甲商场称，每购买一张餐桌赠送一把餐椅，乙商场规定：所有桌椅均按报价的八五折销售，若该工厂计划购买餐椅x把，则：（1）用含x的式子表示到甲乙两商场购买所需要的费用；（2）当购买多少把餐椅时，到甲乙两商场购买所需的费用相同？。

初一一元一次方程讲义

一元一次方程教案教学目标：通过具体的例子让学生体会去分母解一元一次方程的简捷性和重要性，熟练掌握去分母解一元一次方程。

教学重难点：运用去分母解一元一次方程。

去分母时需要注意的问题。

教学过程1．一元一次方程的有关概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的标准形式是：2．等式的基本性质（1）等式的两边都加上或减去或，所得的结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以或都除以，所得的结果仍是等式. 3．解一元一次方程的基本步骤：解方程 1．32243332=+--x x 2．1423(1)(64)5(3)25x x x --++=+ 3．21101211364x x x -++-=- 4．22314615+=+---x x x x 5．003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6．83161.20.20.55x x x +-+-=-1. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--)13(2131)2(322x x x x 2．1111(3)3302222y ⎧⎫⎡⎤---=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭例6．x 取何值时，代数式 63x + 与 832x- 的值相等.例7．已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例8. 已知1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解，求221195k k --的值.例9．当.38322倍的的值是为何值时，代数式x x x x ++-例10. 若对于任意的两个有理数m, n 都有m ※n=43nm +，解方程3x ※4=2.1.甲`乙两件衣服成本共500元，甲按50%利润定价，乙按40%利润定价。

卖时客户要求两件均按9折出售，最终本店获得了157元，求两件衣服的各成本。

2.一个乘客乘机行李最多20kg 超过的按机票价的1.5%买行李票，李先生带了35kg 的行李上飞机，所有票共付了1323元，求李先生的机票价。

初一上数学-一元一次方程-培优讲义

一元一次方程培优方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b ；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax b =的解由,a b 的取值来确定：（1）若0a ≠，则方程有唯一解b x a=；（2）若0a =，且0b =，方程变为00x ∙=，则方程有无数个解；（3）若0a =，且0b ≠，方程变为00x b ∙=≠，则方程组无解；【例1】解方程111233[()]264344x x x x ----=+【例2】已知下面两个方程3(2)5x x +=① 43()67()x a x x a x --=-- ② 有相同的解，试求a 的值．【例3】已知方程2(1)3(1)x x +=-的解为2a +，求方程2[2(3)3()]3x x a a +--=的解．【例4】解关于x 的方程()()0mx n m n -+=【例5】解方程2222()()()()a x b a b x a x b x a b +---=-+-．【例6】已知22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程，求代数式 199()(2)m x x m m +-+的值．【例7】已知关于x 的方程(21)32a x x -=-无解，试求a 的值．【例8】k 为何正数时，方程2225k x k kx k -=-的解是正数？【例9】若1abc =，解方程2221111ax bx cx ab a bc b ca c ++=++++++【例10 】若,,a b c 是正数，解方程3x a b x b c x c a c a b------++=【例11】设n 为自然数，[]x 表示不超过x 的最大整数，解方程：22(1)2[]3[]4[][]2n n x x x x n x ++++++=…【例12】已知关于x 的方程5814225x a x -=+，当a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a 的最小值．【例13】当a 取什么值时，方程(2)4(2)a a x a -=-：①有唯一解；②无解；③有无数多解；④是正数解；【例14】（1）当k 取什么整数值时，方程(1)2(2)k x k x +=--的解是整数？（2）当k 取什么整数值时，方程(1)6x k -=的解是负整数？【例15】已知方程(2)(1)2a x b x a -=+-无解，问,a b 应满足什么关系？【例16】,a b 取什么值时，方程(32)(23)87x a x b x -+-=-有无数多个解？【课后练习】1、根据方程解的定义，写出下列方程的解：（1）(1)0x +=；（2）29x =；（3）||9x =；（4）||3x =-；（5）3131x x +=-；（6）22x x +=+.2、关于x 的方程2ax x =+无解，那么a ；3、在方程(3)a a x a -=中，当a 取值为时，有唯一解；当a 时无解；当a 时，有无数多解；当a 时，解是负数。

七年级上册一元一次方程优质讲义(含答案解析)第二部分

1x3x基础训练内容提要考法.利用特殊解求字母的值2. 解下列方程：（1）2（x﹣2）﹣3（4x﹣1）＝9（1﹣x）；（2）2．3.解下列方程：（1）1 （2）31.[单选题] 解方程3时，去分母正确的是（）A．2（2x﹣1）﹣10x﹣1＝3 B．2（2x﹣1）﹣10x+1＝3 C．2（2x﹣1）﹣10x﹣1＝12 D．2（2x﹣1）﹣10x+1＝122.[单选题]把方程0.5的分母化为整数，正确的是（）A ． 0.5 B ． 0.5 C ． 0.5 D ．0.53.解方程：（1）7x+2（3x﹣3）＝29 （2）（3）例题基础训练1.若方程3（x+1）＝2+x的解与关于x的方程2（x+3）的解互为倒数，求k的值．2.小明在解方程1，方程两边都乘以各分母的最小公倍数去分母时，漏乘了不含分母的项﹣1，得到方程的解是x＝3，请你帮助小明求出m的值和原方程正确的解．3. 已知：方程（m+2）x﹣m＝0①是关于x的一元一次方程．（1）求m的值；（2）若上述方程①的解与关于x的方程x3x②的解互为相反数，求a的值．|m|﹣11.（2020·越秀区）已知关于x的方程2（x﹣1）﹣6＝0与的解互为相反数，则a＝．2.小明解方程1时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1，试求a的值，并正确地求出原方程的解．内容提要考法.方程的解的讨论例题3.小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为1，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是4，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．1.[单选题]有下列结论：①若a+b+c ＝0，则abc≠0；②若a （x ﹣1）＝b （x ﹣1）有唯一的解，则a≠b ；③若b ＝2a ，则关于x 的方程ax+b ＝0（a≠0）的解为x；④若a+b+c ＝1，且a≠0，则x ＝1一定是方程ax+b+c ＝1的解；其中结论正确的个数有（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个2.[单选题]若关于x 的方程有无数解，则3m+n 的值为（）A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．以上答案都不对3. 解关于x 的方程：a （x ﹣1）＝2（x+2）基础训练内容提要考法.新定义运算例题基础训练1.[单选题]如果关于x 的方程（a﹣3）x＝2019有解那么实数a的取值范围是（）A．a＜3B．a＝3C．a＞3D．a≠32.[单选题] 已知关于x的方程•a（x﹣6）无解，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠13.[单选题]已知方程2x+k＝6的解为正整数，则k所能取的正整数值为（）A．1 B．2 或 3 C．3 D．2 或 41.[单选题]对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知18，则x＝（）A．﹣1 B．2 C．3 D．42. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab﹣2ab+b．如：2☆（﹣3）＝2×（﹣3）﹣2×2×（﹣3）+（﹣3）＝27（1）求（﹣4）☆7的值；（2）若（1﹣3x）☆（﹣4）＝32，求x的值．221. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab﹣2ab+a．如：1☆3＝1×3﹣2×1×3+1＝4．（1）求（﹣2）☆5的值；22模块二含绝对值的一元一次方程内容提要最简绝对值方程（2）若☆3＝8，求a 的值；（3）若m ＝4☆x ，n ＝（1﹣2x ）☆3（其中x 为有理数），试比较大小m n （用不等号填空）．2. 设x 、y 是任意两个有理数，规定x 与y 之间的一种运算“⊕”为：若对任意有理数x 、y ，运算“⊕”满足x ⊕y ＝y ⊕x ，则称此运算具有交换律．x ⊕y （1）试求1⊕（﹣1）的值；（2）试判断该运算“⊕”是否具有交换律，说明你的理由；（3）若2⊕x ＝0，求x 的值．3. 我们规定，若关于x 的一元一次方程ax ＝b 的解为x ＝b ﹣a ，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x ＝4的解为x ＝2＝4﹣2，则该方程2x ＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：（Ⅰ）判断方程5x ＝﹣8 （回答“是”或“不是”）“奇异方程”；（Ⅱ）若a ＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b 的值；若没有，请说明理由．（Ⅲ）若关于x 的一元一次方程2x ＝mn+m 和﹣2x ＝mn+n 都是“奇异方程”，求代数式﹣2（m+11）+4n+3[（mn+m ）﹣m] 的值．2例题基础训练1.（1）解方程：|3x+1|﹣5＝0．（2）若方程|x﹣1|＝m﹣1有解，则m应满足的条件是．2.解方程： |x﹣2|＝|﹣3|．3.解方程：|3x﹣2|＝x 4.解方程：3+|2x﹣1|＝x1.[单选题] 方程|2x+1|＝5的解是（）A．2 B．﹣3 C．±2 D．2或﹣3 内容提要考法.含多个绝对值的方程例题2.[单选题]若关于x的方程a﹣|x|＝0有两个解，b﹣|x|＝0只有一个解，c﹣|x|＝0无解，则a、b、c的关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 3.方程|5x+6|＝6x﹣5的解是． 4.解方程：（1）|3x﹣2|﹣4＝0．（2）当b为何值时，关于x的方程|x﹣2|＝b+1，（1）无解；（2）只有一个解；（3）有两个解． 1.解方程：|x﹣2|+|x﹣1|＝5．2.解方程|x﹣4|+|x+3|＝7．基础训练3.解方程：|2x+1|＝|x ﹣3| 4.解绝对值方程：|x ﹣1|﹣|x ﹣2|＝x ﹣3． 1.（1）解方程：|2x+3|＝8．（2）解方程：|2x+3|﹣|x ﹣1|＝1．2.解方程：|x ﹣2|+|x+3|＝6 3.解方程：|x ﹣3|﹣3|x+2|＝x ﹣9．内容提要考法.含多重绝对值的方程例题4.解方程：|2x ﹣3|＝|1﹣3x| 5.解方程：3|x ﹣1|﹣|x+1|＝2|x ﹣2|.1. 解方程：||x|﹣4|＝52.求方程|x ﹣|2x+1||＝3的不同的解的个数．3.设a ，b 为有理数，且|a|＞0，方程||x ﹣a|﹣b|＝5，恰好有两个不相等的根，求b 的取值范围．基础训练模块三含参数的一元一次方程内容提要考法1.解含字母系数的方程例题1. 解方程：|x ﹣|3x+1||＝4． 2.求关于x 的方程||x ﹣2|﹣1|﹣a ＝0（0＜a ＜1）的所有解的和． 3.设a 、b 为实数，且a≠0，方程||x+a|+2b|＝4，恰有三个不相等的解，求b 的值．4.已知关于x 的方程||x ﹣200|﹣250|＝a 有三个解，求a 的值．1.解关于x 的方程：2（x ﹣1）＝3m ﹣1. 2.已知关于x 的方程5m+3x ＝1+x 的解比关于x 的方程2x+m ＝3m 的解大2，求7m ﹣1的值．2基础训练内容提要考法2.方程的整数解3.已知关于x的方程m4的解是关于x 的方程的解的2倍，求m的值．1.解关于x的方程：5m+12x2.[单选题] 若关于x的方程2x+a＝3与x+2a＝7的解相同，则a的值为（）A ． B ． C ． D．3.若关于x的方程x+m﹣3＝0和2m＝2x﹣1的解的和为4，求m的值． 4.当k为何值时，关于x的方程3（2x﹣1）＝k+2x的解与关于x的方程8﹣k＝2（x+1）的解互为相反数．例题基础训练1.[单选题] 已知关于x 的方程x﹣a＝3x﹣14，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（）A．12 B．13 C．14 D．152.[单选题]已知关于x方程x1的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．33.[单选题]若关于x的方程（k﹣2020）x﹣2019＝7﹣2020（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（）A．6 B．8 C．9 D．101. 已知关于x的方程kx＝9﹣x的解为自然数，求整数k的值．2.已知k位非负整数，且关于x的方程3（x﹣3）＝kx的解为正整数，求k的所有可能取值.3.若关于x的方程mx＝2﹣x的解为整数，且m为负整数，求代数式5m﹣[m﹣（6m﹣5m）﹣2（m﹣3m）]的值． 2222内容提要考法3.含参数的一元一次方程的讨论例题基础训练4.已知a 为整数，关于x 的一元一次方程的解也为整数，求所有满足条件的数a 的和.1. 已知kx ﹣m ＝（2k ﹣1）x+4是关于x 的一元一次方程，当k ，m 为何值时：（1）方程只有一个解；（2）方程无解；（3）方程有无数个解．2.已知关于x 的方程m （x ﹣1）＝5x ﹣2有唯一解，求m 的值． 1.已知关于x 的方程2kx+m ＝x+4．当k 、m 为何值时：（1）方程有唯一解；模块四自定义新一元一次方程内容提要自定义新一元一次方程例题（2）方程有无数个解；（3）方程无解．2. 当a取何值时，关于x的方程6（ax﹣2）﹣（x+1）＝4（x）（1）有唯一解；（2）没有解． 3.已知方程（x+1）+1ax有无数个解，求a、b的值． 4.已知关于x的方程a（3x﹣2）+b（2x﹣3）＝8x﹣7．（1）若b＝1，a≠2时，求方程的解；（2）当a，b满足什么条件时，方程有无数个解？5.若关于x的一元一次方程（5a+3b）x+ax+b＝0有唯一解，则x＝．21. 定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数．若x≥0，则[x]＝x﹣2；若x＜0，则[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0．（1）求[]，[﹣1]的值；（2）已知有理数a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）﹣2a+2b的值；（3）解方程：[2x]+[x+1]＝1．32.我们称使方程成立的一对数x ，y 为“相伴数对”，记为（x ．y ）．（1）若（4，y ）是“相伴数对”，求y 的值；（2）若（a ，b ）是“相伴数对”，请用含b 的代数式表示a ；（3）若（m ，n ）是“相伴数对”，求代数式m n ﹣[4m ﹣2（3n ﹣1）]的值．3.已知f （x ）是关于字母x 的多项式f （x ）＝a x +a x +……+a x +a x+c （其中a ，a ，…，a 是各项的系数，c 是常数项）；我们规定f （x ）的伴随多项式是g （x ），且g （x ）＝na x +（n ﹣1）a x +……+2a x+a ．如f （x ）＝4x ﹣3x +5x ﹣8，则它的伴随多项式g （x ）＝3×4x ﹣2×3x+1×5＝12x ﹣6x+5请根据上面的材料，完成下列问题：（1）已知f （x ）＝x ，则它的伴随多项式g （x ）＝；（2）已知f （x ）＝3x ﹣2（7x ﹣1），则它的伴随多项式g （x ）＝；若g （x ）＝10，求x 的值．（3）已知二次多项式f （x ）＝（a ﹣3）x ﹣8x+7，并且它的伴随多项式是g （x ），若关于x 的方程g （x ）＝﹣2x 有正整数解，求a 的整数值．1n 2n ﹣1n ﹣12n 12n 1n ﹣12n ﹣2n ﹣1n 32222224.若x 是关于x 的方程ax+b ＝0（a≠0）的解，y 是关于y 的方程cy+d ＝0（c≠0）的解，且x ，y 是满足|x ﹣y |≤1，则称方程ax+b ＝0（a≠0）与方程cy+d ＝0（c≠0）的解接近．例如：方程4x+2x ﹣6＝0的解是x ＝1，方程3y ﹣y ＝3的解是y ＝1.5，因为x ﹣y ＝0.5＜1，方程4x+2x ﹣6＝0与方程3y ﹣y ＝3的解接近．（1）请直接判断方程3x ﹣3+4（x ﹣1）＝0与方程﹣2y ﹣y ＝3的解是否接近；（2）若关于x 的方程3x ﹣3+4（x ﹣1）＝0与关于y 的方程y ＝2k+1的解接近，请你求出k 的最大值和0000000000自主评价自主探究自主探究题目最小值；（3）请判断关于x的方程x﹣m＝2x﹣5与关于y的方程y+7×2018﹣1＝4036y+2018m的解是否接近，并说明理由． 1.[单选题]若方程2x+1＝﹣2与关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解相同，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣2D．2.[单选题]关于x的方程﹣4+ax＝3x+b有无数个解，则a、b的值分别是（）A．﹣3；4 B．0；0 C．3；﹣4 D．3；43.[单选题]当a取什么范围时，关于x的方程|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|＝a总有解（）A．a≥4.5 B．a≥5 C．a≥5.5 D ．a≥64.解方程：（1）4x﹣3＝12﹣x；（2）+1＝．5.已知方程5x﹣3＝2x与方程4x＝6的解互为相反数，求（1k）的值．56.已知关于x的方程ax+6＝5x﹣b有无数个解，试求a+b的值．27.（2019·花都区）已知两个方程3x+2＝﹣4与3y﹣3＝2m﹣1的解x、y互为相反数，求m的值．8. 解关于x的方程：a（x﹣5）＝x+19. 一般的，数a的绝对值|a|表示数a对应的点与原点的距离．同理，绝对值|a﹣b|表示数轴上数a对应的点与数b对应的点的距离．例如：|3﹣0|指在数轴上表示数3的点与原点的距离，所以3的绝对值是3，即|3﹣0|＝|3|＝3．|6﹣2|指数轴上表示6的点和表示2的点的距离，所以数轴上表示6的点和表示2的点的距离是4，即|6﹣2|＝4．结合数轴与绝对值的知识，求含绝对值的方程的整数解.10.已知关于x的方程的解是正整数，求正整数a的值．参考答案模块一解一元一次方程例题1.解：（1）移项得：x﹣4x＝27+9，合并同类项得：﹣3x＝36，系数化为1得：x＝﹣12，（2）方程两边同时乘以2得：2﹣3x＝6x+5，移项得：﹣3x﹣6x＝5﹣2，合并同类项得：﹣9x＝3，系数化为1得：x，解析:2.解：（1）去括号得：2x﹣4﹣12x+3＝9﹣9x，移项得：2x﹣12x+9x＝9+4﹣3，合并同类项得：﹣x＝10，系数化为1得：x＝﹣10，（2）去分母得：2（2x﹣1）﹣（5x+2）＝3（1﹣2x）﹣12，去括号得：4x﹣2﹣5x﹣2＝3﹣6x﹣12，移项得：4x﹣5x+6x＝3﹣12+2+2，合并同类项得：5x＝﹣5，系数化为1得：x＝﹣1．解析:3.解：（1）方程整理得： 1，去分母得：50x﹣10﹣37x﹣100＝20，移项合并得：13x＝130，解得：x＝10．（2）方程整理得： 3，即5y﹣10﹣2y﹣2＝3，移项合并得：3y＝15，解得：y＝5．解析:基础训练基础训练题目1.C解析:2.C解析:3.解：（1）去括号得：7x+6x﹣6＝29，移项合并得：13x＝35，解得：x ；（2）去分母得：3（x ﹣2）﹣2（2x ﹣1）＝12，去括号得：3x ﹣6﹣4x+2＝12，解得：x ＝﹣16；（3）方程整理得： 1，去分母得：30x ﹣7（17﹣20x ）＝21，去括号得：30x ﹣119+140x ＝21，移项合并得：170x ＝140，解得：x．解析:例题1.解：解3（x+1）＝2+x ，得x，∵两方程的解互为倒数，∴将x ＝﹣2代入2（x+3）得2，解得k ＝0．解析:2.解：根据题意，x ＝3是方程4（2x ﹣1）＝3（x+m ）﹣1的解，将x ＝3代入得4×（2×3﹣1）＝3（3+m ）﹣1，解得m ＝4，所以原方程为1，解方程得x．解析:3.解：（1）∵方程（m+2）x ﹣m ＝0①是关于x 的一元一次方程，∴|m|﹣1＝1，且m+2≠0，解得m ＝2．（2）当m ＝2时，原方程变形为4x ﹣2＝0，解得x，∵方程①的解与关于x 的方程x3x ②的解互为相反数，∴方程②的解为x．方程x 3x 去分母得：6x+2（6x ﹣a ）＝a ﹣18x 去括号得：6x+12x ﹣2a ＝a ﹣18x ，移项、合并同类项得：3a ＝36x ，∴a ＝12x ＝12×（）＝﹣6．解析:基础训练基础训练题目|m|﹣11.﹣．解析:解：解方程2（x﹣1）﹣6＝0得：x＝4，解方程得：x＝3a﹣3，∵两个方程的解互为相反数，∴4+（3a﹣3）＝0，解得：a＝﹣，故答案为：﹣．2.解：按方程左边的1没有乘以10，去分母得：2（2x﹣6）+1＝5（x+a），把x＝﹣1代入得：2×（﹣8）+1＝﹣5+5a，解得：a＝﹣2，把a＝﹣2代入原方程，得1，去分母得：2（2x﹣6）+10＝5（x﹣2），去括号得：4x﹣12+10＝5x﹣10，移项合并得：﹣x＝﹣8，解得：x＝8，答：a的值是﹣2，原方程的解为x＝8．解析:3.解：设被墨汁污染的数字为y，原方程可整理得：1，把x＝4代入得：1，解得：y＝﹣12，即被污染了的数字为﹣12．解析:例题1.C解析:解：①错误，当a＝0，b＝1，c＝﹣1时，a+b+c＝0+1﹣1＝0，但是abc＝0；②正确，方程整理得：（a﹣b）x＝a﹣b，由方程有唯一解，得到a﹣b≠0，即a≠b，此时解为x＝1；③错误，由a≠0，b＝2a，方程解得：x2；④正确，把x＝1，a+b+c＝1代入方程左边得：a+b+c＝1，右边＝1，故若a+b+c＝1，且a≠0，则x＝1一定是方程ax+b+c＝1的解，故选：C．2.A解析:解：mx x，移项得：mx+x，合并同类项得：（m+1）x，∵该方程有无数解，∴，解得：，把m＝﹣1，n＝2代入3m+n得：原式＝﹣3+2＝﹣1，故选：A．3.解：a（x﹣1）＝2（x+2），ax﹣a＝2x+4，ax﹣2x＝4+a，（a﹣2）x＝4+a，当a﹣2≠0时，x，当a﹣2＝0时，方程无解．解析:基础训练基础训练题目1.D解析:解：∵关于x的方程（a﹣3）x＝2019有解，∴a﹣3≠0，即a≠3，故选：D．2.A解析:解：去分母得：2ax＝3x﹣（x﹣6），去括号得：2ax＝2x+6移项，合并得，x，因为无解；所以a﹣1＝0，即a＝1．故选：A．3.D解析:解：2x+k＝6，移项得：2x＝6﹣k，系数化为1得：x，∵方程2x+k＝6的解为正整数，∴6﹣k为2的正整数倍，6﹣k＝2，6﹣k＝4，6﹣k＝6，6﹣k＝8…，解得：k＝4，k＝2，k＝0，k＝﹣2…，故选：D．例题1.C解析:解：∵，∴2x+4x＝18，即：x＝3，故选：C．2.解：（1）根据题意得：（﹣4）☆7＝（﹣4）×7﹣2×（﹣4）×7+7＝﹣133，（2）根据题意得：（1﹣3x）☆（﹣4）＝（1﹣3x）×（﹣4）﹣2×（1﹣3x）×（﹣4）+（﹣4）＝32，整理得：16（1﹣3x）+8（1﹣3x）﹣4＝32，解得：x．解析:基础训练基础训练题目1.解：（1）（﹣2）☆5＝（﹣2）×5﹣2×（﹣2）×5+（﹣2）＝﹣50+20﹣2＝﹣32；（2）☆3＝8，3﹣238，9（a+1）﹣6（a+1）+a+1＝16，9a+9﹣6a﹣6+a+1＝16，4a＝12，a＝3；（3）∵m＝4☆x＝4•x﹣2×4x+4＝4x﹣8x+4，n＝（1﹣2x）☆3＝（1﹣2x）•3﹣2（1﹣2x）•3+1﹣2x＝﹣8x+4，2222222m ﹣n ＝4x ≥0，∴m≥n ，故答案为：≥．解析:2.解：（1）1⊕（﹣1）＝2×1+3×（﹣1）﹣7＝2﹣3﹣7＝﹣8答：1⊕（﹣1）的值为﹣8．（2）该运算具有交换律理由：分三种情况当x ＞y 时，x ⊕y ＝2x+3y ﹣7，y ⊕x ＝3y+2x ﹣7，此时x ⊕y ＝y ⊕x当x ＝y 时，x ⊕y ＝2x+3y ﹣7，y ⊕x ＝2y+3x ﹣7，此时x ⊕y ＝y ⊕x当x ＜y 时，x ⊕y ＝3x+2y ﹣7，y ⊕x ＝2y+3x ﹣7，此时x ⊕y ＝y ⊕x所以该运算“⊕”具有交换律（3）当x≤2时，2⊕x ＝0，2×2+3x ﹣7＝0解得x ＝1当x ＞2时，2⊕x ＝03×2+2x ﹣7＝0解得x （舍去）答：x 的值为1．解析:3.解：（Ⅰ）：∵5x ＝﹣8，∴x ，∵﹣8﹣5＝﹣13，，∴5x ＝﹣8不是奇异方程；故答案为：不是；（Ⅱ）∵a ＝3，∴x ＝b ﹣3，∴，∴，即b 时有符合要求的“奇异方程”；（Ⅲ）且由题可知：mn+m ＝4，mn+n，两式相减得，m ﹣n ，∴﹣2（m+11）+4n+3[（mn+m ）﹣m] 22＝﹣5（m ﹣n ）﹣22+3（mn+m）（mn+n ），，．解析:模块二含绝对值的一元一次方程例题1.解：（1）原方程化为|3x+1|＝5，当3x+1≥0时，方程可化为3x+1＝5，解得：x ，当3x+1≤0时，方程可化为3x+1＝﹣5，解得：x ＝﹣2，所以原方程的解是x 或x ＝﹣2，（2）∵方程|x ﹣1|＝m ﹣1有解，∴m ﹣1≥0，解得：m≥1，解析:2.解：∵|x ﹣2|＝3，∴x ﹣2＝3或x ﹣2＝﹣3，∴x ＝10或x ＝﹣2．解析:3.解：（1）|3x ﹣2|＝x ，∴3x ﹣2＝x 或3x ﹣2＝﹣x ，∴x ＝1或x；解析:4.解：当x时，原方程等价于3+1﹣2x ＝x ，解得x （不符合题意要舍去），当x 时，原方程等价于3+2x ﹣1＝x ，解得x ＝﹣2（不符合题意要舍去）综上所述，原方程无解．解析:基础训练基础训练题目1.D解析:解：根据题意，原方程可化为：2x+1＝5或2x+1＝﹣5，解得x ＝2或x ＝﹣3，故选：D ．2.D22解析:解：∵关于x的方程a﹣|x|＝0有两个解，∴a＞0，∵b﹣|x|＝0只有一个解，∴b＝0，∵c﹣|x|＝0无解，∴c＜0，则a、b、c的关系是c＜b＜a．故选：D．3.x＝11解析:解：∵|5x+6|＝6x﹣5，∴5x+6＝±（6x﹣5），解得，x＝11或（舍去）．故答案为：x＝11．4.解：①当3x﹣2≥0时，原方程可化为：3x﹣2＝4，解得x＝2；当3x﹣2＜0时，原方程可化为：3x﹣2＝﹣4，解得x．所以原方程的解是x＝2或x；②∵|x﹣2|≥0，∴当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；当b+1＝0，即b＝﹣1时，方程只有一个解；当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解解析:例题1.|x﹣2|+|x﹣1|＝5，①当x﹣2≥0，即x≥2时，原方程可化为x﹣2+x﹣1＝5，它的解是x＝4；②当x﹣1≤0，即x≤1时，原方程可化为2﹣x+1﹣x＝5，它的解是x＝﹣1；③当1＜x＜2时，原方程可化为2﹣x+x﹣1＝5，此时方程无解；∴原方程的解为x＝4和﹣1．解析:2.解：（1）当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣（x﹣4）﹣（x+3）＝7解得：x＝﹣3，与题意不符，故舍去．（2）当﹣3≤x≤4时，原方程可化为：﹣（x﹣4）+x+3＝7即7＝7所以﹣3≤x≤4（3）当x＞4时，原方程可化为x﹣4+x+3＝7，x＝4与题意不符，故舍去．故原方程的解是﹣3≤x≤4．解析:3.解：当x时，原方程等价于﹣1﹣2x＝3﹣x，解得x＝﹣4；当x＜3时，原方程等价于1+2x＝3﹣x，解得x；当x≥3时，原方程等价于1+2x＝x﹣3，解得x＝﹣4（不符合题意要舍去），综上所述：x＝﹣4或x；解析:4.解：当x＜1时，原方程等价于1﹣x﹣（2﹣x）＝x﹣3．解得x＝2（不符合范围，舍）；当1≤x＜2时，原方程等价于x﹣1﹣（2﹣x）＝x﹣3．解得x＝0（不符合范围，舍）；当x≥2时，原方程等价于x﹣1﹣（x﹣2）＝x﹣3．解得x＝4，综上所述：x＝4．解析:基础训练基础训练题目1.解：（1）当x时，原方程等价于2x+3＝﹣8，解得x；当x时，原方程等价于2x+3＝8，解得x；综上所述，方程|2x+3|＝8的解为x或x．（2）当x时，原方程等价于﹣x﹣4＝1，解得x＝﹣5；当x＜1时，原方程等价于3x+2＝1，解得x；当x≥1时，原方程等价于x+4＝1，解得x＝﹣3，（不符合题意，舍）；综上所述，方程：|2x+3|﹣|x﹣1|＝1的解为x＝﹣5或x．解析:2.当x≥2时，|x﹣2|+|x+3|＝2x+1＝6，∴x＝2.5；当﹣3＜x＜2时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+x+3＝5，不成立；当x≤﹣3时，|x﹣2|+|x+3|＝﹣2x﹣1＝6，∴x＝﹣3.5；综上所述，|x﹣2|+|x+3|＝6的解有两个：x＝2.5或-3.5解析:3.解：①当x＜﹣2时，原方程等价于3﹣x+3（x+2）＝x﹣9，解得x＝﹣18，符合x＜﹣2，②当﹣2≤x＜3，时，原方程等价于价于3﹣x﹣3（x+2）＝x﹣9，解得x，符合﹣2≤x＜3，③当x≥3时，原方程等价于x﹣3﹣3（x+2）＝x﹣9，解得x＝0，不符合x≥3，∴原方程的解为：x＝﹣18，x．解析:4.解：根据题意得：2x﹣3＝1﹣3x或2x﹣3＝3x﹣1，解得：x或x＝﹣2，即原方程的解为：x，x＝﹣2，解析:5.解：当x＜﹣1时，得：﹣3（x﹣1）+（x+1）＝﹣2（x﹣2）解得：恒成立，∴x＜﹣1当﹣1≤x≤1时得：﹣3（x﹣1）﹣（x+1）＝﹣2（x﹣2）解得x＝﹣1当1＜x≤2时得：3（x﹣1）﹣（x+1）＝﹣2（x﹣2）解得x＝2当x＞2时得：3（x﹣1）﹣（x+1）＝2（x﹣2）解得：恒成立，则x＞2．综上所述：x≤﹣1或x≥2．解析:例题1.解：||x|﹣4|＝5，∴|x|﹣4＝5或|x|﹣4＝﹣5，∴|x|＝9或|x|＝﹣1（舍去），∴x＝9或x＝﹣9；解析:2.解：|x﹣|2x+1||＝3，当x时，原方程化为|x|＝3，无解；当x时，原方程化为：|1+x|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4（舍去）．当x时，原方程可化为：|x+（2x+1）|＝3，12即|3x+1|＝3，∴3x+1＝±3，解得：x（舍去）或x．综上可得方程的解只有x＝2或x两个解．解析:3.解：∵方程||x﹣a|﹣b|＝5有两个不相等的解，∴方程|x﹣a|﹣b＝±5，即|x﹣a|＝b±5，（1）当b＝﹣5时，即|x﹣a|＝0或|x﹣a|＝﹣10①|x﹣a|＝0时，方程有一个解；②|x﹣a|＝﹣10，此时方程无解．所以当b＝﹣5时，方程只有一个解；（2）当﹣5＜b＜5时，即b+5＞0，b﹣5＜0①b+5＞0时，方程有两个不相等解，②b﹣5＜0时，方程无解．所以当﹣5＜b＜5时，方程有两个不相等解；（3）当b＝5时，即|x﹣a|＝0或|x﹣a|＝10①|x﹣a|＝0时，方程有一个解；②|x﹣a|＝10，此时方程有两个不相等解．所以当b＝5时，方程有三个解；（4）当b＞5时，即b±5＞0①b+5＞0时，方程有两个不相等解，②b﹣5＞0时，方程有两个不相等解．所以当b＞5时，方程有四个不相等解．故答案为：﹣5＜b＜5．解析:基础训练基础训练题目1.解：原方程式化为x﹣|3x+1|＝4或x﹣|3x+1|＝﹣4（1）当3x+1＞0时，即x，由x﹣|3x+1|＝4得x﹣3x﹣1＝4∴x与x不相符，故舍去由x﹣|3x+1|＝﹣4得x﹣3x﹣1＝﹣4∴x（2）当3x+1＜0时，即x，由x ﹣|3x+1|＝4得x+3x+1＝4∴x 与x 不相符，故舍去由x ﹣|3x+1|＝﹣4得x+3x+1＝﹣4∴x 故原方程的解是x 或x 解析:2.解：由原方程得||x ﹣2|﹣1|＝a ，∴|x ﹣2|﹣1＝±a ，∵0＜a ＜1，∴|x ﹣2|＝1±a ，即x ﹣2＝±（1±a ），∴x ＝2±（1±a ），从而x ＝3+a ，x ＝3﹣a ，x ＝1+a ，x ＝1﹣a ，∴x +x +x +x ＝8，即原方程所有解的和为8．解析:3.解：∵方程||x+a|+2b|＝4，∴|x+a|＝4﹣2b 或﹣4﹣2b ，∵有三个不相等的解，∴4﹣2b 与﹣4﹣2b ，其中一个为0，则得3个解，如果都不是零，则得4个解，故b ＝2或﹣2．经检验，b ＝2不合题意舍弃，∴b ＝﹣2故答案为﹣2．解析:4.解：根据题意得：a≥0，|x ﹣200|﹣250＝±a ，|x ﹣200|＝250±a ，x ﹣200＝±（250±a ），x ＝200±（250±a ），所以x ＝450+a ，x ＝﹣50﹣a ，x ＝450﹣a ，x ＝﹣50+a ，则有两个相等，12341234显然450+a＝﹣50+a，﹣50﹣a＝450﹣a不成立，若450+a＝﹣50﹣a，解得：a＝﹣250，（舍去），若450+a＝450﹣a，解得：a＝0，x＝450，x＝﹣50，（舍去），若﹣50+a＝﹣50﹣a，解得：a＝0，x＝450，x＝﹣50，（舍去），若450﹣a＝﹣50+a，解得：a＝250，x＝700，x＝﹣300，x＝200，（符合题意），故答案为：a=250．解析:模块三含参数的一元一次方程例题1.解：2x﹣2＝3m﹣1 2x＝3m+1解析:2.解：解方程5m+3x＝1+x得x，解方程2x+m＝3m得x＝m，由题意知m＝2，解得：m，则7m﹣1＝7×（）﹣1＝711．解析:3.解：解方程m4得：x＝12﹣3m ，解方程1得：x＝6﹣m，根据题意得：222（6﹣m）＝12﹣3m，解得：m＝0．解析:基础训练基础训练题目1.解：去分母：10m+24x=2x+1 22x=1-10m解析:2.B解析:3.解：方程x+m﹣3＝0的解为x＝3﹣m，方程2m＝2x﹣1解为：x（2m+1），根据题意得：3﹣m（2m+1）＝4，去分母得：9﹣3m+4m+2＝12，移项合并得：m＝1解析:4.解：方程3（2x﹣1）＝k+2x，解得：x，方程8﹣k＝2（x+1），解得：x，根据题意得： 0，解得：k＝15．解析:例题1.B解析:解：方程移项合并得： x＝a﹣14，去分母得：﹣x＝2a﹣28，解得：x＝28﹣2a，∵方程的解x是正整数，∴28﹣2a＞0，∴a＜14则a的最大值为13，故选：B．2.A解析:解：x1，6x﹣（4﹣ax）＝2（x+a）﹣66x﹣4+ax＝2x+2a﹣66x+ax﹣2x＝2a﹣6+4（a+4）x＝2a﹣2x，∵方程的解是非正整数，∴0，解得：﹣4＜a≤1，当a＝﹣3时，x＝﹣8；当a＝﹣2时，x＝﹣3；当a＝﹣1时，x（舍去）；当a＝0时，x（舍去）；当a＝1时，x＝0；则符合条件的所有整数a的和是﹣3﹣2+1＝﹣4．故选：A．3.B解析:解：方程整理得：kx﹣2020x﹣2019＝7﹣2020x﹣2020，移项合并得：kx＝6，解得：x，由x为整数，得到k＝±1，±2，±3，±6，共8个，故选：B．基础训练基础训练题目1.解：移项，得kx+x＝9，合并，得（k+1）x＝9，当k+1≠0时，x∵关于x的方程的解为自然数，∴9能被k+1整除．∴k+1＝1、3、9，即k＝0、2、8时，关于x的方程的解为自然数．解析:2.解：方程去括号得：3x﹣9＝kx，移项合并得：（3﹣k）x＝9，解得：x ，由x 为正整数，得到k ＝2，0解析:3.解：解方程mx ＝2﹣x 得：x ，∵关于x 的方程mx ＝2﹣x 的解为整数，且m 为负整数，∴1+m ＝±2或±1，解得：m ＝1或﹣3或0或﹣2，其中m ＝1和m ＝0舍去（不是负整数），即m ＝﹣3或﹣2；5m ﹣[m ﹣（6m ﹣5m ）﹣2（m ﹣3m ）]＝5m ﹣[m ﹣6m+5m ﹣2m +6m]＝5m ﹣m +6m ﹣5m +2m ﹣6m＝m ，当m ＝﹣2时，原式＝（﹣2）＝4；当m ＝﹣3时，原式＝（﹣3）＝9，所以代数式5m ﹣[m ﹣（6m ﹣5m ）﹣2（m ﹣3m ）]的值是4或9．解析:4.解：∵，∴（6﹣a ）x ＝6，∵关于x的一元一次方程的解为整数，∴x 为整数，∴6﹣a ＝±1或±2或±3或±6，又∵a 为整数，∴a ＝5或7或4或8或3或9或0或12，∴所有满足条件的数a 的和为：5+7+4+8+3+9+0+12＝48.解析:例题1.解：化简kx ﹣m ＝（2k ﹣1）x+4得（k ﹣1）x ＝﹣m ﹣4，（1）当k≠1时方程只有一个解，即x．（2）当k ＝1，m≠﹣4时方程无解．（3）当k ＝1，m ＝﹣4时方程有无数个解．解析:2.解：方程去括号得：mx ﹣m ＝5x ﹣2，移项合并得：（m ﹣5）x ＝m ﹣2，由方程有唯一解，得到m ﹣5≠0，解得：m≠5．2222222222222222222解析:基础训练基础训练题目1.解：方程移项合并得：（2k﹣1）x＝4﹣m，（1）由方程有唯一解，得到2k﹣1≠0，即k；（2）由方程有无数个解，得到2k﹣1＝0，4﹣m＝0，解得：k，m＝4；（3）由方程无解，得到2k﹣1＝0，4﹣m≠0，解得：k，m≠4．解析:2.解：6（ax﹣2）﹣（x+1）＝4（x），去括号得6ax﹣12﹣x﹣1＝2+4x，移项、合并同类项得（6a﹣5）x＝15．（1）当6a﹣5≠0，即a时，方程有唯一解．（2）当6a﹣5＝0，即a时，方程没有解．解析:3.解：原方程即x1ax，移项，得： x ax1，合并同类项，得：（）x，当0，且0时，方程有无数个解．则b＝﹣2，a．解析:4.解：（1）b＝1，代入原式得：a（3x﹣2）+2x﹣3＝8x﹣7，去括号得：3ax﹣2a+2x﹣3＝8x﹣7，移项合并同类项得：（3a﹣6）x＝2a﹣4，（a≠2）化系数为1得：x．（2）a（3x﹣2）+b（2x﹣3）＝8x﹣7，去括号得：3ax﹣2a+2bx﹣3b＝8x﹣7，移项合并同类项得：（3a+2b﹣8）x＝2a+3b﹣7，∴当3a+2b﹣8＝0，2a+3b﹣7＝0时，x有无数个解，解得：b＝1，a＝2．故a＝2，b＝1时，方程有无数个解．解析:5.解析:解：∵（5a+3b ）x +ax+b ＝0是一元一次方程，∴5a+3b ＝0，∵方程（5a+3b ）x +ax+b ＝0有唯一解，∴a≠0，x，∴ba ，∴x ．故答案是：．模块四自定义新一元一次方程例题1.解：（1）[] 2，[﹣1]＝﹣1+2＝1；（2）a ＞0，b ＜0，[a]＝[b]，即a ﹣2＝b+2，解得：a ﹣b ＝4，故（b ﹣a ）﹣2a+2b ＝（b ﹣a ）﹣2（a ﹣b ）＝（﹣4）﹣8＝﹣72；（3）当x≥0时，方程为：2x ﹣2+x+1﹣2＝1，解得：x ；当﹣1＜x＜0时，方程为：2x+2+x+1﹣2＝1，解得：x ＝0（舍弃）；当x≤﹣1时，方程为：2x+2+x+1+2＝1，解得：x；故方程的解为：x．解析:2.解：（1）∵（4，y ）是“相伴数对”，∴解得y ＝﹣9；（2）∵（a ，b ）是“相伴数对”，∴解得a b ；（3）∵（m ，n ）是“相伴数对”，∴由（2）得，mn ，∴原式＝﹣3mn ﹣2＝﹣3×（n ）n ﹣2＝﹣2．解析:3.解：（1）由题意得：g （x ）＝2x ；故答案为：2x ；（2）由题意得：g （x ）＝6x ﹣14，22333由g（x）＝10，得6x﹣14＝10，解得：x＝4；故答案为：6x﹣14；（3）由题意得：g（x）＝2（a﹣3）x﹣8＝（2a﹣6）x﹣8，由g（x）＝﹣2x，得（2a﹣6）x﹣8＝﹣2x，化简整理得：（a﹣2）x＝4，∵方程有正整数解，∴a﹣2≠0，可得x，∵a为整数，∴a﹣2＝1或2或4，∴a＝3或4或6，又∵f（x）是二次多项式，∴a﹣3≠0，可得a≠3，综上可知，a＝4或6．解析:4.解：（1）解方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0得，x＝1，解方程﹣2y﹣y＝3得，y＝﹣1，∵1﹣（﹣1）＝2＞1，∴方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与方程﹣2y﹣y＝3的解不接近；（2）关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0的解为x＝1，关于y的方程y＝2k+1的解为y＝3k+2，∵关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程y＝2k+1的解接近，∴|1﹣（3k+2）|≤1，解得k≤0或k，即k≤0，∴k的最大值是0，最小值；（3）解方程x﹣m＝2x﹣5得，x解方程y+7×2018﹣1＝4036y+2018m得，y∵1∴方程x﹣m＝2x﹣5与方程y+7×2018﹣1＝4036y+2018m的解接近．解析:自主探究自主探究题目1.B解析:解：解2x+1＝﹣2，得x．把x代入1﹣2（x﹣a）＝2，得1﹣2（a）＝2．解得a＝﹣1，故选：B．2.C解析:解：方程移项合并得：（a﹣3）x＝b+4，由方程有无数个解，得到a﹣3＝0，b+4＝0，解得：a＝3，b＝﹣4，故选：C．3.B解析:解：令y＝|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|，当x≥4时，y＝5x﹣9≥11，当2＜x＜4时，y＝3x﹣1，∴5＜y＜11；当1≤x≤2时，y＝﹣x+7，∴5≤y≤6；当0＜x＜1时，y＝﹣3x+9，∴6＜y＜9；当x≤0时，y＝﹣5x+9，∴y≥9；综上所述，y≥5，∴a≥5时等式恒有解．故选：B．4.(1) x＝3；(2) x＝1．解析:解：（1）移项得：4x+x＝12+3，合并得：5x＝15，解得：x＝3；（2）去分母得：3（1﹣x）+12＝4（2x+1），去括号得：3﹣3x+12＝8x+4，移项得：﹣3x﹣8x＝4﹣3﹣12，合并得：﹣11x＝﹣11，解得：x＝1．5.解：解方程5x﹣3＝2x，可得：x＝1，∵5x﹣3＝2x与方程4x＝6的解互为相反数，∴方程4x＝6的解是x＝﹣1，∴，解得k，∴（1k）＝（1）＝﹣1．解析:556.解：由方程ax+6＝5x﹣b有无数个解，得到a＝5，b＝﹣6，则原式＝25﹣6＝19．解析:7.解：方程3x+2＝﹣4，解得：x＝﹣2，因为x、y互为相反数，所以y＝2，把y＝2代入第二个方程得：6﹣3＝2m﹣1，解得：m＝2．解析:8.解：去括号得：ax﹣5a＝x+1，移项得：ax﹣x＝1+5a，合并得：（a﹣1）x＝1+5a，当a﹣1≠0时，x，当a﹣1＝0时，方程无实数解，∴当a≠1时，方程的根是x；当a＝1时，方程没有实数根．解析:9.解：方程的解是数轴上到与到的所有点的集合，∴x，则该方程的整数解为x＝﹣1或x＝0；解析:10.解：去分母，得：ax+10＝7x﹣3，移项、合并同类项，得：（a﹣7）x＝﹣13，系数化成1得：x，∵x是正整数，∴a﹣7＝﹣1或﹣13，∴a＝6或﹣6．又∵a是正整数．∴a＝6．解析:。

七年级(上)培优讲义：第14讲一元一次方程的应用

第14讲：一元一次方程的应用一、知识建构1．列一元一次方程解应用题列方程解应用题，就是把生活实践中的实际问题，抽象成数学问题，通过列方程来解答，使实际问题得以解决．列一元一次方程解应用题的步骤是：(1)审题设元：弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y)表示问题中的未知数；(2)找等量关系：分析题意，找出相等关系(可借助于示意图.表格等)；(3)列方程：根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；(4)解方程：解这个方程，求出未知数的值；(5)检验作答：检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案．2.利用一元一次方程巧解应用题读懂题目，搜集整理相关信息，弄清题目中的已知数和未知数，是用一元一次方程正确解决相关应用问题的前提．根据不同的实际问题，确定恰当的等量关系是解决较复杂问题的关键．对比较贴近生活实际的应用问题，其数量关系不仅多，而且比较隐蔽，因此，对这类应用问题要善于挖掘多种数量关系之间的内在联系．3.设未知数一般是问什么就直接设什么．如果直接设未知数有困难，就间接设未知数；设未知数时，必须写清楚未知数的单位，并且要保证前后单位统一．二、典型例题例1.学校派七年级一、二班去植树，一班40人，二班52人，现从三班调来43人支援一班和二班，使二班的人数是一班的2倍，问应调入一班和二班各多少人？例2.把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），求其中棱长为1的正方体的个数．例3.在开展城乡综合治理的活动中，需要将A.B.C三地的垃圾50立方米.40立方米.50立方米全部运往垃圾处理场D.E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．（1）求运往两地的数量各是多少立方米？（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A.C两地运往D.E两地哪几种方案？（3）已知从A.B.C三地把垃圾运往D.E两地处理所需费用如下表：在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？例4.学校计划从某公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？（2）根据学校的实际情况，需从公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的13．请你通过计算，求出学校从公司购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？例5.某书城开展学生优惠售书活动，凡一次购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．李明购书后付了212元，若没有任何优惠，则李明应该付多少元？三、基础演练1. 某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯（）A ．54盏B ．55盏C ．56盏D ．57盏2. “五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（）A ．()130%80%2080x +⨯=B ． 30%80%2080x ⋅⋅=C ． 208030%80%x ⨯⨯=D ． 30%208080%x ⋅=⨯3.七（3）班的50名同学进行数学.科学两种实验测试，经最后统计知：数学实验做对的有40人，科学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有（）A .17人B .21人C .25人D .37人4. “五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（） A .x （1+30%）×80%=2080 B .x •30%•80%=2080C .2080×30%×80%=xD .x •30%=2080×80%5.小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km ？设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（） A . B .60512601015+=-x xC .60512601015-=-x x D .5121015-=+x x 6.一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（）错误！未找到引用源。

一元一次方程培优讲义

练习题：一、选择题：1、下列各式中不是代数式的是（）A 、π B 、0 C 、 D 、a +b =b +a2、用代数式表示比y 的2倍少1的数，正确的是（） A 、2( y – 1 ) B 、2y + 1 C 、2y – 1 D 、1 – 2y3、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为（） A 、 B 、 C 、 D 、4、当时，代数式的值是（）A 、 B 、 C 、 D 、5、已知公式，若m=5，n=3，则p 的值是（）A 、8 B 、 C 、 D 、6、下列各式中，是同类项的是（）A 、B 、C 、D 、二、填空题：7、某商品利润是a 元，利润率是20%，此商品进价是______________。

8、代数式的意义是______________________________。

9、当m=2，n= –5时，的值是__________________。

10、化简__________________________________。

三、解答题： 11、已知当时，代数式的值是3，求代数式的值。

yx +1元)54(m n +元)45(m n +元)5(n m +元)5(m n +61,31==b a2)(b a -1216141361nm p 111+=811588152233xy y x -与yx xy 23-与x x 222与yz xy 55与()cb a 2+n m -22()()=--+2211m m 1,21==y x z x xyz 282+z z +2212、一个塑料三角板，形状和尺寸如图所示，（1）求出阴影部分的面积；（2）当a=5cm ，b=4cm ，r=1cm 时，计算出阴影部分的面积是多少。

13、已知A=x – 2y + 2xy ，B= 3x – 6y + 4xy 求3A – B 。

七年级(上)培优讲义：第13讲一元一次方程

第13 讲一元一次方程一、新知建构1. 有关概念一元一次方程方程的解．2. 解一元一次方程基本步骤检验方法．3. 列方程解应用题思路：设元→列方程→解方程→检验→回答问题．二、经典例题例1.已知m my m y-=+2（1）m =2是方程m my m y-=+2的解，求y 的解；（2）当y =4时，求m 的解．例2．解方程： 1．x x x ++=-+3711235 2. 2102.005.004.01.01=--+x x例3．甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．(1) 两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？(2) 快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？(3) 若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？(4) 若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？例4．一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得的新数比原来大63，求原来两位数．例5．为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？三、基础演练1.下列四个式子中，是方程的是（）.A .7－4=3B .3x =-C .21m -D .|1|1x x ->- 2．已知当1a =，2b =-时，代数式10ab bc ca ++=，则c 的值为（）Ａ．12 Ｂ．6Ｃ．6-Ｄ．12-3.方程2－2x 4x 7312－－＝－去分母得( )．A .2－2(2x －4)＝－(x －7)B .2－4(2x －4)＝－x －7C .24－4(2x －4)＝－(x －7)D .24－4x ＋4＝－x ＋7 4．若a =1,则方程3x a+=x －a 的解是（） A .x =1 B .x =2 C .x =3 D .x =4. 5．规定c a bc ad d b -=，如x 26182-=- 237+x ，则x 的值是（）A ．－60B ．4.8C ．24D ．－126．飞机逆风时速度为x 千米/小时，风速为y 千米/小时，则飞机顺风时速度为（）千米/小时A ．(x +y )B ．(x －y )C ．(x +2y )D ．(2x +y )7．某件商品连续两次9折降价销售，降价后每件商品售价为a 元，则该商品每件原价为（）Ａ．0.92a 元Ｂ．1.12a 元Ｃ．1.12a元Ｄ．0.81a 元 8.内径为120mm 的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm ,内高为32mm 的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（）A . 150mmB . 200mmC . 250mmD . 300mm9.某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％（相对于进价），另一台空调调价后售出则亏本10％（相对于进价），而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（）． A .既不获利也不亏本 B .可获利1％ C .要亏本2％ D .要亏本1％10. 如图，为做一个试管架，在acm 长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2cm ，则x 等于（）（A ）cm a 58+ （B ）cm a 516-（C ）cm a 54-（D ）cm a 58-11.三个连续的偶数和是18，它们的积是 12.若423x =与()35x a a x +=-有相同的解，那么1a -=_______． 13.甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，应从乙队抽调人到甲队.14.某储户将25000元人民币存入银行一年，取出时扣除20%的利息税后，本息共得25600元，则该储户所存储蓄种类的年利率为___________.15.在高速公路上，一辆车长4m ，速度为110km /h 的轿车准备超越一辆长12m ，速度为100km /h 的卡车，则轿车从开始追及到超越卡车，需要花费的时间约是 . 16.某市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每第10题图立方米2元收费. 如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为立方米.17.解方程.（1）3x－7+4x=6x－2 （2）(x+1)－2(x－1)=1－3x(3)12223x xx-+-=-(4)1615312=--+xx(5)0.213223.60.9x xx-+-=(6)341.60.50.2x x-+-=列方程解应用题.18.甲、乙两人练跑步，从同一地点出发，甲每分钟跑250m，乙每分钟跑200m，甲比乙晚出发3分钟，结果两人同时到达终点，求两人所跑的路程．19.雅丽服装厂童装车间有40名工人，缝制一种儿童套装（一件上衣和两条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制童装上衣3件或裤子4件，问怎样分配工人才能使缝制出来的上衣和裤子恰好配套？20.在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分.⑴如果㈡班代表队最后得分142分，那么㈡班代表队回答对了多少道题？⑵㈠班代表队的最后得分能为145分吗？请简要说明理由.21．某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示.问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？22.某儿童公园的门票价格规定如下表：某校七年级甲、乙两班共104人去儿童公园游玩，其中甲班人数比乙班人数要多，经估算，如果两班都以班为单位分别购票，那么一共应付1136元，问：（1）两班各有学生多少人？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？四、直击中考1. （2013山东）某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为（）A．240元B．250元C．280元D．300元2. (2013山东)把方程12x=1变形为x=2，其依据是（）A．等式的性质1 B．等式的性质2 C.分式的基本性质D．不等式的性质13. （2013山东）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连结各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（）A.502B.503C.504D.5054. （2013湖南）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完.设敬老院有x位老人，依题意可列方程为．5. （2013广东）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价元．6.我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是鸡有23只，兔有12只．现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是鸡有_______只，兔有______只．7. （2013湖南）今年五月份，由于H7N9禽流感的影响，我市鸡肉的价格下降了10%，设鸡肉原来的价格为a元/千克，则五月份的价格为元/千克．8. （2013四川）购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是元．9.（2013江苏）某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.10.（2013福建）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本则还缺25本．这个班有多少学生？五、挑战竞赛1. 解关于x 的方程 a c b x --+b a c x --+cba x --=3 (ab +bc +cd ≠0) ．2.已知关于x 的方程3x －3=2a (x +1)无解．试求a 的值．3. 已知方程ax +3=2x －b 有两个不同的解．试求（a +b ）2007的值．六、每周一练1. 若x x x =-+-21的根的个数( )．A .0B .1C .3D .4 2.方程133=+-x x 的解是．3. 甲、乙两人在一环形场地上从A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2．5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．。

七年级上册数学培优讲义(一元一次方程的应用题一)第八讲

一元一次方程的应用题(一)应用题是中学数学中的一类重要问题.一般通过对问题中量的关系进行分析.适当的设未知数.找出等量关系列出方程加以解决.很多同学见到应用题就发怵.觉得题目长.文字多.关系复杂.难以把握.其实应用题关键在于读题.弄懂题意.一些常见的问题.比如行程问题.工程问题.利率问题.浓度问题等等.其中的基本关系一定要深刻理解.设未知数的方法一般来讲.有以下几种：直接设未知数解应用题：直接设未知数指题目问什么就设什么.它多适用于要求的未知数只有一个的情况；间接设未知数解应用题：设间接未知数.是指所设的不是所求的.而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用；引入辅助未知数解应用题：设辅助未知数.就是为了使题目中的数量关系更加明确.可以引进辅助未知数帮助建立方程.辅助未知数往往不需要求出.可以在解题时消去.解应用题的方法多种多样.除此之外.还有运用逆推法解应用题.运用整体思想解应用题.运用图形图表法解应用题等等.单纯的背这些方法是没有意义的.关键还在于提高理解能力.大量练习.从而学会快速读懂题意.综合运用各种方法去求解问题.列方程解应用题的步骤：①审：审题.分析题中已知什么.求什么.明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么.就设什么为x）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式.进而列出方程⑤解：解所列出的方程.求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意.写出答案（包括单位名称）模块一和差倍分问题【例1】玻璃缸里养了三个品种的金鱼.分别是“水泡”“朝天龙”“珍珠”．“水泡”的条数是“珍珠”的3倍；“朝天龙”的条数是“珍珠”的2倍.且“朝天龙”比“水泡”少1条.这三种金鱼各有几条呢? 【解题思路】设“珍珠”的条数为x 条.则“水泡”“朝天龙”的条数分别为3x 条.2x 条．依题意得：321x x -=.1x =.从而33x =.22x =.【题目答案】3,2,1【巩固练习】甲队有32人.乙队有28人.现从乙队抽x 人到甲队.使甲队是乙队人数的2倍.依题意.列出方程为 . 【解题思路】略【题目答案】322(28)x x +=-【巩固练习】汽车若干辆装运货物一批.若每辆汽车装3.5吨货物.这批货物就有2吨运不走；若每辆汽车装4吨货物.那么装完这批货物后.还可以装其他货物1吨.问汽车有多少辆?这批货物有多少吨？【解题思路】设有汽车x 辆．依题意得：3.5241x x +=-.解之得：6x =.4123x -=.故汽车有6辆.货物有23吨．【题目答案】6；23【例2】 ⑴ 甲仓库有粮120吨．乙仓库有粮90吨．从甲仓库调运吨到乙仓库.调剂后甲仓库存粮是乙仓库的一半．⑵ 甲乙两个圆柱体容器.底面积比为53∶.甲容器水深20cm .乙容器水深10cm .再往两个容器注入同样多的水.使两个容器的水深相等.这时水深多少厘米?【解题思路】⑴ 从甲仓库调运x 吨到乙仓库.依题意得1120(90)2x x -=+.解得50x =．⑵ 设这时水深cm x .依题意得5(20)3(10)x x -=-.解得35x =．若学生不好理解.不妨多设一个底面积比为53a a ∶．方程为5(20)3(10)a x a x -=-即可．【题目答案】50；35【巩固练习】某公司有甲乙两个工程队.甲队人数比乙队人数的23多28人．现因任务需要.从乙队调走20人到甲队.这时甲队人数是乙队人数的2倍.则甲乙两队原来的人数分别是多少人？【解题思路】设乙队原来有x 人.则甲队有2283x +人．依题意可列：()22202820x x -=++.解得：66x =【题目答案】72,66【巩固练习】甲.乙.丙三条铁路共长1191千米.甲铁路长比乙铁路的2倍少189千米.乙铁路长比丙铁路少8千米.求甲铁路的长．【解题思路】设丙铁路长为x 千米.则乙铁路长8x -千米.甲铁路长()28189x --千米．依题意可列：()()8281891191x x x +-+--=【题目答案】499,344,352【巩固练习】如图.两根铁棒直立于桶底水平的木桶中.在桶中加入水后.一根露出水面的长度是它的13.另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55cm .此时木桶中水的深度是 cm ．【解题思路】设此时木桶中水的深度为cm x .依题意得.两根铁棒的长度为1[(1)]cm 3x ÷-和1[(1)]cm 5x ÷-.故11[(1)][(1)]5535x x ÷-+÷-=.解得20x =．【题目答案】20【例3】牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方.一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来.他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍.再加上原来这群羊的一半.又加上原来这群羊一半的一半.连你这只羊也算进去.才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只?【解题思路】设这群羊共有x 只.依题意.有112110024x x x +++=.解之得36x =.【题目答案】36模块二行程问题☞追击问题解决追击问题的一个最基本的公式：追击时间⨯速度差=追击的路程．于此相关的问题都可以应用这一公式进行解答．【例4】敌我两军相距32千米.敌军以每小时6千米的速度逃窜.我军同时以每小时16千米的速度追击在相距2千米的地方发生战斗.问战斗是从开始追击后几小时发生的？【解题思路】根据追击问题的基本公式：追击时间⨯速度差=追击的路程．设战斗是从开始追击后x小时发生的．则依题意可列：()166322x-=-.解得：3x=．【题目答案】3【巩固练习】环城自行车赛.最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人.已知最快的人的速度是最慢的人速度的32倍.环城一周是20千米.求两个人的速度.【解题思路】设最慢的人的速度为x.则最快的人的速度为32x.依题意可列：432052x x⎛⎫-=⎪⎝⎭．解得：50x=【题目答案】慢人的速度为50.快人的速度为65．【巩固练习】一个通迅员骑摩托车追赶前面部队乘坐的汽车.汽车的速度是每小时28千米.摩托车的速度是每小时42千米.通讯员出发4小时后追上汽车.求部队比通讯员早出发几小时？【解题思路】设部队比通讯员早出发x小时．则依题可列：()4228428x-=.解得：2x=．【题目答案】2【例5】某人从家里骑摩托车到火车站.如果每小时行30千米.那么比火车开车时间早到15分钟.若每小时此时骑摩托车的速度应为多少？【解题思路】设此人从家里出发到火车开车的时间为x 小时.则151530()18()6060x x -=+.解得1x =. 此人打算在火车开车前10分钟到达.骑摩托车的速度应为1530(1)602710160⨯-=-（千米/时）【题目答案】27【巩固练习】甲乙两列火车.甲车长160m .乙车长120m .甲车速度为20/m s .乙车速度为40/m s ；若乙车从后面追赶甲车.问从乙车追上甲车到乙车超过甲车的时间是多少？【解题思路】本题解题的关键是要注意“乙车追上甲车到乙车超过甲车”所以.追击路程为两车的车长之和．设从乙车追上甲车到乙车超过甲车的时间为x .则依题意可列：()1601204020x +=- 解得：14x =【题目答案】14☞相遇问题解决相遇问题的基本公式为：速度和⨯相遇时间=路程．【例6】乙两站的路程为360千米.一列快车从乙站开出.每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出.每小时行驶48千米．两列火车同时开出.相向而行.经过多少小时相遇？【解题思路】设经过x 小时相遇.则依题意可列：()7248360x +=.解得：3x =．【题目答案】3【巩固练习】甲.乙两人从相距75km 的A .B 两地相向而行.甲每小时行7.5km .乙每小时行5km .问：（1）两人同时出发.多少小时相遇？（2）甲先走2小时后乙出发.问乙出发几小时后两人相遇【解题思路】（1）设x 小时相遇．依题意可列：()7.5575x +=.解得：6x =（2）设乙出发x 小时后两人相遇．则依题意可列：()757.527.55x -⨯=+.解得：4x =．【题目答案】6；4【巩固练习】甲.乙两人从相距73km 的A .B 两地相向而行.甲每小时行7km .乙每小时行2km .问：两人同时出发.多少小时相距1km ？【解题思路】设x 小时后相距1km ．依题意可列：()73172x -=+.解得：8x =．【题目答案】8☞变速问题【例7】一辆汽车从甲地开往乙地.每分钟行525米.预计40分钟到达.但行到一半路程时.机器发生故障.用5分钟修理完毕.如果仍在预计的时间内到达.行驶余下的路程.每分钟比原来速度快多少米？【解题思路】设比原来的速度快x 米．则依题意可列：52520205525x⨯=-+.解得：175x =．【题目答案】175【巩固练习】某人以每小时8千米的速度上山.以每小时12千米的速度下山.共用5小时.问上山需要用多少时间？【解题思路】设上山需要用x 小时.下山需要5x -小时．则依题可列：()8125x x =-.解得：3x =．【题目答案】3【巩固练习】Cenrrie 带着宠物狗“旺财”去玩接“飞盘”的游戏.Cenrrie 站一个小山坡的脚下.当Cenrrie 扔出“飞盘”.“旺财”从Cenrrie 身边同时跑出去速度为6/m s .接到“飞盘”后以9/m s 的速度跑回Cenrrie 身边.问整个过程中“旺财”的平均速度是多少？【解题思路】设“旺财”从身边跑出去接到飞盘所用的时间为x .=整个路程平均速度全程所用的时间.则整个过程中的平均速度为：267.269xx x =+ 【题目答案】7.2【点评】这题切记利用两个速度和的一半来求平均速度.这样做是错误的．【例8】某人有急事.预定搭乘一辆小货车从A 地赶往B 地．实际上.他乘小货车行了三分之一路程后改乘一辆小轿车.车速提高了一倍.结果提前一个半小时到达．已知小货车的车速是36千米／小时.求两地间路程. 【解题思路】列方程解应用题的基本思想是通过对实际问题中数量关系的分析.列出相关的代数式.进而建立方程.转化为纯数学问题来解决．这一过程的关键是要透过纷繁多变问题的表象.住数量关系的实质；不能机械的记忆.套用某些题型而忽略了问题的本质．常有貌似相像.实质不同的问题；也有面目迥异而实质相同的问题．本题与上题具有相同的数量关系：后23程中时间节约了112小时．所以设行驶了全程的13还余x 千米．根据题意.同样可列出方程.1136722x x -=.解得108x =．这时两地间路程是21081623÷=(千米)．【题目答案】162【巩固练习】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时.水流速度增加一倍后.再从甲港到乙港航行需3小时.水流速度增加后.从乙港返回甲港需航行多少小时？【解题思路】设小船在静水中的速度为a .原来的水速为b .则2()3(2)a b a b -=-.解得4a b =.故所求时间为2()1(2)a b a b -=+（小时）.【题目答案】1☞流水问题流水问题的常用公式：=逆水时的速度船速-静水速度=+顺水时的速度船速静水速度()1=+2船速逆水时的速度顺水时的速度()1=2静水速度顺水时的速度-逆水时的速度【例8】一小船由A 港到B 港顺流需行6小时.由B 港到A 港逆流需行8小时.一天.小船从早晨6点由A港出发顺流行至B 港时.发现一救生圈在途中掉落在水中.立即返回.1小时后找到救生圈.问： ⑴若小船按水流速度由A 港漂流到B 港需多少小时？ ⑵救生圈是何时掉入水中的？【解题思路】⑴设小船在静水中的速度为a .水流速度为b .则6()8()a b a b +=-.解得7a b =.故小船按水流速度由A 港漂流到B 港所需时间为6()48a b b+=（小时）； ⑵设小船行驶x 小时后.救生圈掉入水中.则(61)()1(6)()x b a b x a b -++-⨯=-+.将7a b =代入上式.得到5x =.故救生圈是上午11点掉入水中的.【题目答案】48；5【巩固练习】甲.乙两港相距360千米.一轮船往返两港需35小时.逆流航行比顺流航行多花了5小时.现有一机帆船.静水中速度是每小时12千米.问这机帆船往返两港要多少小时？【解题思路】解答本题需要两大步骤：首先求出水流的速度.其次.利用已求的水流速度求出帆船往返所需要的时间．设轮船顺流航行需要x 小时.依题意可列：535x x ++=.解得：15x =．可求得水速为：1360360321520⎛⎫-= ⎪⎝⎭（千米∕时）则帆船往返两港所需要的时间为：36036064123123+=+-（小时）【题目答案】64模块三工程问题【例9】某车间原计划每周装配42台机床.预计若干周完成任务．在装配了三分之一以后.改进操作技术.工效提高了一倍.结果提前一周半完成任务．求这次任务需装配机床总台数．【解题思路】设装配了机床总量的13还余x 台．根据题意可列方程11424222x x -=⨯.解得126x =．这时总任务是21261893÷=(台)．【题目答案】189【巩固练习】某工程.甲工程队单独做40天完成.乙工程队单独做需要60天完成.若乙工程队单独做30天后.甲.乙两工程队再合作x 天完成．列方程为．【解题思路】11130()1603060x ⨯++=．【题目答案】1【例10】一水池.装有甲.乙两个进水管和一个出水管丙.如果单独开发甲管4小时注满水池；单独开放乙管3小时可注满水池；单独开放丙管8小时可以把满池水放完.问三管一齐开放.几小时注满水池？【解题思路】设三管一齐开放.x 小时可以注满水池．则由题意可列：1111438x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.解得：7117x =（小时）【题目答案】7117【巩固练习】有一个水池.用甲抽水机抽水8小时可以把全池水的31抽完.用乙抽水机6小时可以把全池水的51抽完.若两台抽水机同时工作.几小时可将全池的水抽完？ 11则依题意可列：1112430x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.解得：403x =（小时）【题目答案】403模块四.配套问题1．在配套问题中.配套的物品之间具有一定的数量关系.这个数量关系可以作为列方程的依据． 2．配套问题中的基本数量关系：若m 个A 和n 个B 配成一套.则A mB n=的数量的数量.可得等量关系：m ×B 的数量=n ×A 的数量．3．审题时.要注意对题目中“恰好”“最多”等关键词的理解．【例1】佳福服装公司为学校加工一批校服.3米长的布料可制作上衣2件或裤子3条.一件上衣和一条裤子为一套.计划用600米长的布料加工校服.请你帮该公司计算一下.分别用多少布料生产上衣和裤子.才能配套？共能加工多少套校服？【题目答案】用360米布料生产上衣.则用240米布料生产裤子才能配套.共加工240套校服．【解题思路】设用x 米布料生产上衣.则用（600–x ）米布料生产裤子才能配套. 由题意得.2x =3（600–x ）. 解得：x =360. 则600–x =240.共加工校服：360÷3×2=240（套）．答：用360米布料生产上衣.则用240米布料生产裤子才能配套.共加工240套校服．模块五.比赛中的积分问题在比赛积分问题中.基本相等关系有：某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数；某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分．【例4】篮球比赛规定：胜一场得3分.负一场得1分.某篮球队共进行了6场比赛.得了12分.该队获胜的场数是A．2 B．3C．4 D．5【题目答案】B【解题思路】设该队获胜x场.则负了（6–x）场.根据题意得：3x+（6–x）=12.解得：x=3．故选B．【名师点睛】（1）并不是每种比赛都按胜.平.负情况积分.有的只按胜.平两种情况积分.所以解题时一定要认真理解比赛的积分规则．（2）比赛中的积分与胜负场数有关.同时也与比赛积分规则有关.需先弄清“胜一场积几分.平一场积几分.负一场积几分”．课堂检测1. 甲乙两人从相距1000米的两地同时相对而行.甲每分钟行60米.乙每分钟行40米．几分钟后.甲乙二人相遇？如果甲带了一只狗和甲同时出发.狗以每分钟150米的速度向乙跑去.遇到乙后立刻回头向甲跑去.这样.狗在甲乙二人之间来回奔跑.直到两人相遇时为止.求这只狗跑了多少路？【解题思路】设两人的相遇时间为x.则根据相遇问题的基本公式可列：()+=.解得：1060401000xx=.第二问读起来学生可能觉得很难.但仔细想想这个题很简单.只要能够想到.这只狗一共跑了多长时间就可以.这只狗不管跑了多少趟.所跑的时间都是两个人的相遇时间也就是十分钟.所以这只狗所跑的路程为：150101500⨯=（米）．【题目答案】10；15002.在一次有12个队参加的足球循环赛中(每两队之间比赛一场).规定胜一场记3分.平一场记1分.负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场.结果共积19分．问：该队在这次循环赛中战平了几场？【解题思路】设该队负了x场.则胜(x＋2)场.平局的场数为[11－x－(x＋2)]场．根据题意.得3(x＋2)＋1×[11－x－(x＋2)]=19.解得x=4.所以11－x－(x＋2)=1.答：该队在这次循环赛中战平了1场．3．程大位是我国明朝商人.珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著.详述了传统的珠算规则.确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧.大僧三个更无争.小僧三人分一个.大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头.如果大和尚1人分3个.小和尚3人分1个.正好分完.大.小和尚各有多少人.下列求解结果正确的是A．大和尚25人.小和尚75人B．大和尚75人.小和尚25人C．大和尚50人.小和尚50人D．大.小和尚各100人．【题目答案】A1. 一个两位数.十位数字是个位数字的3倍.如果把十位数字与各位数字交换.所成的新数比原数少54.求原数.【解题思路】设原来两位数的个位数字是x .则十位数字为3x .这个两位数是：30x x +.根据题意得：(30)(103)54x x x x +-+= .解这个方程得3x =．故原数为：93．【题目答案】932. 一个两位数.十位数字比个位数字的4倍多1．将两个数字调换位置后.所得的数比原数小63.求原来的两位数．【解题思路】设原来两位数的个位数字是x .则十位数字为41x +.这个两位数是：10(41)x x ++.根据题意得：[10(41)][10(41)]63x x x x ++-++= .解这个方程得2x =．故原数为：10(41)92x x ++=．【题目答案】923. 船在静水中的速度为每小时15千米.水流速是每小时3千米.船从上游乙港到下游甲港航行了12小时.从甲港返回乙港需要多少小时？【解题思路】设从甲港返回乙港需要x 小时.则依题意可列：()()12153153x +=-.解得：18x =（小时）．【题目答案】184．某市中学生运动会篮球比赛.每场比赛都要决出胜负.每队胜一场得3分.负一场得1分.已知某篮球队在七场比赛中共得到15分.则该篮球队在这七场比赛中获胜了A ．六场B ．五场C ．四场D ．三场【题目答案】C【解题思路】设该队胜的场次是x 场.则负的场次是（7–x ）场.由题意得：3x +（7–x ）=15.解得x =4.故选C ．课后练习。

七年级一元一次方程培优

七年级一元一次方程培优--------------------------------------------------------------------------作者: _____________--------------------------------------------------------------------------日期: _____________七年级上册《一元一次方程》培优专题一：一元一次方程概念的理解:例：若()2219203m x x m --+=+是关于x 的一元一次方程，则方程的解是。

练习：1.()()221180m x m x --+-=是关于x 的一元一次方程，则代数式()()199231101m m m +-++的值为2.若方程()()321x k x -=+与62k x k -=的解互为相反数，则k= 。

3.若k 为整数，则使得方程()199920012000k x x -=-的解也是整数的k 值有（）A.4个B.8个C.12个D.16个专题二：一元一次方程的解法（一）利用一元一次方程的巧解：例：（1）0.2•表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.2•化成分数吗？（2）0.23••表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.23••化成分数吗？（二）方程的解的分类讨论：当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以华为ax=b 的形式，继续求解时，一般要对字母系数a 、b 进行讨论。

（1）当0a ≠时，方程有唯一解b x a=；（2）当0,0a b =≠时，方程无解；（3）当0,0a b ==时，方程有无数个解。

例：已知关于x 的方程()2132a x x -=-无解，试求a 的值。

练习：1.如果a ，b 为定值，关于x 的方程2236kx a x bk +-=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a ，b 的值。

(优质讲义)七年级上册数学一元一次方程应用题专项讲义

一元一次方程解的综合与应用学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容方程解的综合与一元一次方程的实际应用（基础）课型教学目标1.掌握有关方程的解的综合应用；2.掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；3.熟悉数字，年龄，积分，行程等问题的解题思路．重、难点1.根据实际环境，分析题目中各个条件间关系，找等量关系，列方程.2.熟悉数字，年龄，积分，行程等问题的解题思路.知识导图导学一：一元一次方程解的综合知识点讲解 1：含参数的解应用例 1. 方程2﹣3（x+1）=0的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．我爱展示1. 已知：方程x+k=2的解比方程的解大1，求k的值．知识点讲解 2：整数解问题例 1. 已知关于x的方程k（x+1）=k﹣2（x﹣2）中，求当k取什么整数值时，方程的解是整数．我爱展示1. m取什么整数时，关于x的方程4x + m（x﹣6）=2（2﹣3m）的解是正整数．并求出方程的解．知识点讲解 3：错解方程例 1. 数学迷小虎在解方程去分母时，方程右边的﹣1漏乘了3，因而求得方程的解为x=﹣2，请你帮小虎同学求出A的值，并且正确求出原方程的解．【学有所获】1、方程的解，即为使等式两边成立的未知数值；2、解一元一次方程的步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.我爱展示1. 刘彬的练册上有一道方程题，其中一数字被墨水污染了，成了（“■”表示被墨水污染的数字），他翻了书后的答案，才知道这个方程的解为x=﹣1，于是他把被墨水污染的数字求了出来．你能把刘彬的计算过程写出来吗？（提示：设“■”数字为A，求A的值）知识点讲解 4：新定义计算例 1. 定义一种新运算“⊕”：A⊕B=A﹣2B，比如：2⊕（﹣3）=2﹣2×（﹣3）=2+6=8．（1）求（﹣3）⊕2的值；（2）若（x﹣3）⊕（x+1）=1，求x的值．我爱展示1. 若A、B、C、D均为有理数，现规定一种新的运算，若已知：．（1）的值为；（2）时，求x的值．导学二：和差倍积问题例 1. 已知y1=6﹣x，y2=2+7x，当x取何值时，y1与y2互为相反数？我爱展示1. x为何值时，代数式（2x﹣1）的值比（x+3）的值的3倍少5．导学三：年龄、数字问题例 1. 今年母女两人的年龄和为60岁，10年前母亲的年龄是女儿的7倍，则今年女儿的年龄为岁．例 2. [单选题] 一个三位数，个位数是A，十位数是B，百位数是C，这个三位数是（）A．A+B+C B．ABC C．100A+10B+C D．100C+10B+A例 3. 把2016个正整数1，2，3，4，…，2016按如图方式排列成如图所示的数的方阵．（1）如图，用一个正方形框，在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，另三个数x的代数式表示，则从小到大依次是，，．（2）当（1）中被框住的4个数之和等于2016时，x的值为多少？（3）在（1）中能否框住这样的4个数，使它们的和等于2015，等于2032．若能，求出x的值；若不能，说明理由．我爱展示1.[单选题] 若x表示一个两位数，y也表示一个两位数，小明想用x，y来组成一个四位数，且把x放在y的右边，你认为下列表达式中正确的是（）A．yx B．x+y C．100x+y D．100y+x2.[单选题] 小明同学在某月的日历上圈出了三个相邻的数A、B、C，并求出了它们的和为42，则这三个数在日历中的排列位置不可能的是（）A．B．D．C．3.先观察，再解答．如图（1）是生活中常见的月历，你对它了解吗？（1）图（2）是另一个月的月历，A表示该月中某一天，B、C、D是该月中其它3天，B、C、D与A有什么关系？B= ；C= ；D= ．（用含A的式子填空）．（2）用一个长方形框圈出月历中的三个数字（如图3﹣2﹣2 （2）中的阴影），如果这三个数字之和等于51，这三个数字各是多少？（3）这样圈出的三个数字的和可能是64吗？为什么？导学四：比赛积分问题例 1. 七年级进行法律知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．（1）小红同学参加了竞赛，成绩是90分，请问小红在竞赛中答对了多少道题？（2）小明也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请问小明有没有可能拿到100分？试用方程的知识来说明理由．我爱展示1.为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2 分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？2.某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况．（1）参赛者小婷得76分，她答对了几道题？（2）参赛者小明说他得了80分．你认为可能吗？为什么？导学五：行程问题知识点讲解 1：一般问题三个基本量间的关系：路程=速度×时间利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础。

七年级上册第三章一元一次方程培优辅导：深刻理解等式与方程课件

A．左盘上加2克砝码 B．右盘上加2克砝码 C．左盘上加5克砝码
D．右盘上加5克砝码
【答案】A.
【解析】第一次：2饼干=3糖果，即1饼干=1.5糖果；第二次：1饼干+1糖果=10克砝码，把1饼干
=1.5糖果代入，得1.5糖果+1糖果=10克砝码，即1糖果=4克砝码，1饼干=1.5糖果=6克砝码；
所以第三次：1饼干-1糖果=6克砝码-4克砝码=2克砝；
（2）根据题意得：3x+1−(−2)×(x−1)＝9，
整理得：5x＝10，解得：x＝2，
故答案为：2；
（3）∵等式（−3，2x−1）（k，x＋k）＝3＋2k的x是整数，
∴（2x−1）k−（−3）（x＋k）＝3＋2k，∴（2k＋3）x＝3，
3
∴ = 2+3，
∵k是整数，∴2k＋3＝±1或±3，
∴k＝0，−1，−2，−3．
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典例解析
例 15.关于x的方程 − 2 = −3 + 4与2 − = 的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
【解析】解：（1）由x﹣2m=﹣3x+4得：x= m+1，
依题意有： m+1+2﹣m=0，解得：m=6；
（2）由m=6，
方程x﹣2m=﹣3x+4的解为x=4，
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典例解析
例 9. （202X•内蒙古海勃湾•初一期末）已知关于x的方程 − 5 |−4| + 18 = 0是一元一次方程
，则 m=______
【答案】3.
由题意得： − 4 = 1, − 5 ≠ 0,

七年级上册数学培优讲义(一元一次方程的概念及解法)第六讲

一元一次方程的概念及解法板块一等式与方程的概念☞等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子.叫做等式．在等式中.等号左、右两边的式子.分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式.可以是公式、方程.也可以是用式子表示的运算律、运算法则．☞等式有如下几种类型(仅做了解)．恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母.等式总能成立．如：数字算式123+=．条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母.等式才能成立．方程56x=才成立．x+=需要1矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母.等式都不能成立．如125+=-．+=.11x x等式由代数式构成.但不是代数式．代数式没有等号．【例1】下列各式中.哪些是等式⑴31x-⑵523x+=⑸()x+<⑷53-=⑶212x y+=-=-⑹1x y z xz yz【解题思路】等式的概念【题目答案】⑵⑷⑸⑹☞方程和它的解方程：含有未知数的等式叫方程.如21x+=.它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解.也叫方程的根.☞关于方程中的未知数和已知数：未知数：是指要求的数.未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．如：关于x 、y 的方程2ax by c -=中.a 、2b -、c 是已知数.x 、y 是未知数．【例2】下列各式中哪些是方程⑴7887⨯=⨯ ⑵2345x x ++ ⑶312y y -= ⑷60x =⑸31x > ⑹111x =+ ⑺26x y -= ⑻2430y y -+=【解题思路】方程的概念【题目答案】⑶⑷⑹⑺⑻【巩固练习】判断下列各式是不是方程.如果是.指出已知数和未知数；如果不是.说明理由⑴373x x -=-+ ⑵223y -= ⑶2351x x -+⑷112--=- ⑸42x x -=- ⑹152x y -= 【解题思路】判断一个式子是不是方程.一要看是否为等式.二要看是否含未知数．【题目答案】⑴是方程；⑵是方程；⑶不是方程；⑷不是方程；⑸是方程；⑹是方程【例3】检验下列各数是不是方程315x x -=+的解⑴3x =； ⑵1x =-【解题思路】方程的解（注意严格要求学生的书写格式.不能直接将数值代入方程.如3(1)15(1)⨯--=+-.这样写不对的原因在于未检验之前.并不知道1x =-是否是方程的解）【题目答案】⑴把3x =分别代入原方程的左边和右边.得左边3318=⨯-=.右边538=+= ∴左边=右边∴3x =是方程315x x -=+的解 ⑵把1x =-分别代入原方程的左边和右边.得左边3(1)14=⨯--=-.右边514=-= ∵左边≠右边∴1x =-不是方程315x x -=+的解【巩固练习】检验下列各数是不是方程213x y x y ++=--的解⑴23x y =⎧⎨=-⎩ ⑵10x y =⎧⎨=⎩⑶02x y =⎧⎨=-⎩【解题思路】方程的解【题目答案】⑴把23x y =⎧⎨=-⎩分别代入原方程的左边和右边.得左边22(3)12=⨯+-+=.右边2(3)32=---= ∴左边=右边∴23x y =⎧⎨=-⎩是方程213x y x y ++=--的解⑵把1x =⎧⎨分别代入原方程的左边和右边.得左边21013=⨯++=.右边1032=--=- ∵左边≠右边∴10x y =⎧⎨=⎩不是方程213x y x y ++=--的解⑶把02x y =⎧⎨=-⎩分别代入原方程的左边和右边.得左边20(2)11=⨯+-+=-.右边0(2)31=---=- ∴左边=右边∴02x y =⎧⎨=-⎩是方程213x y x y ++=--的解【例4】若2-为关于x 的一元一次方程.713mx +=的解.则m 的值是【解题思路】将2x =-代入原方程中.即可求解【题目答案】3m =-【巩固练习】关于x 的方程320x a +=的根是2.则a 等于【解题思路】略【题目答案】3-板块二等式的性质☞等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式.所得结果仍是等式．若a b =.则a m b m ±=±；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式.所得结果仍是等式．若a b =.则am bm =.a bm m=(0)m ≠☞注意：⑴在对等式变形过程中.等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减.同时乘以或同时除以.不能漏掉某一边⑵等式变形过程中.两边同加或同减.同乘或同除以的数或整式必须相同． ⑶在等式变形中.以下两个性质也经常用到：对称性.即：如果a b =.那么b a =．传递性.即：如果a b =.b c =.那么a c =．又称为等量代换考点难点：等号左右互换的时候忘记变符号【例5】根据等式的性质填空：(1)4a b =-.则______a b =+； (2)359x -=.则39x =+ ；(3)683x y =+.则x =_________； (4)122x y =+.则x =__________．【解题思路】(1)4a b =+.在等式两端同时加上b ；(2)395x =+.在等式两端同时加上5；(3)836y +.在等式的两端同时乘以16；(4)24y +.在等式的两端同时乘以2．【题目答案】(1)4a b =+ (2)395x =+ (3)836y + ；(4)24y +【巩固练习】下列变形中.不正确的是( )A ．若25x x =.则5x =B ．若77,x -=则1x =-C ．若10.2x x -=.则1012x x -=D ．若x ya a=.则ax ay =【解题思路】根据等式的性质二.除数不能为0【题目答案】A【巩固练习】用适当数或等式填空.使所得结果仍是等式.并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．⑴如果23x =+.那么x =____________；根据 ⑵如果6x y -=.那么6x =+_________；根据⑶如果324x y -=.那么34x y -=______；根据⑷如果34x =.那么x =_____________；根据【解题思路】略【题目答案】⑴1-.等式的性质1；⑵y .等式的性质1；⑶8.等式的性质2；⑷43.等式的性质2板块三一元一次方程的概念☞一元一次方程的概念：只含有一个未知数.并且未知数的最高次数是1.系数不等于0的方程叫做一元一次方程.这里的“元”是指未知数.“次”是指含未知数的项的最高次数．☞一元一次方程的形式：最简形式：方程ax b =(0a ≠.a .b 为已知数)叫一元一次方程的最简形式．标准形式：方程0ax b +=(其中0a ≠.a .b 是已知数)叫一元一次方程的标准形式．☞注意：⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式.所以判断一个方程是不是一元一次方程.可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．如果不变形.直接判断就出会现错误．⑵方程ax b =与方程()0ax b a =≠是不同的.方程ax b =的解需要分类讨论完成【例6】下列各式中：⑴3x +；⑵2534+=+；⑶44x x +=+；⑷12x=；⑸213x x ++=；⑹44x x -=-；⑺23x =；⑻2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程？【解题思路】方程、等式的概念【题目答案】(6)、(8)是一元一次方程．其他均不是A ．2237x x x +=+ B ．3435322x x -+=+C ． 22(2)3y y y y +=--D ．3813x y -= 【解题思路】略【题目答案】B【巩固练习】在初中数学中.我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程.请你把属于一元方程的序号填入圆圈⑴中.属于一次方程的序号填入圆圈⑵中.既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．①359x +=：②2440x x ++=；③235x y +=：④20x y +=；⑤8x y z -+=：⑥1xy =-．（2）（1）⑤③①②（2）（1）【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】如图【例7】若131m x -=是一元一次方程.那么m = 【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】2m =【巩固练习】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程.则k = 【解题思路】1120k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩【题目答案】2k =-【巩固练习】若关于x 的方程2223x x ax a x a -=-+是一元一次方程.则a = .方程的解是【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】原方程化为一般形式得222(1)(3)0a x a x a a ---++=.则10a -=.∴1a =.1x =-【巩固练习】已知关于x 的方程(21)50nm x --=是一元一次方程.则m 、n 需要满足的条件为【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】210m -≠且1n =.即12m ≠且1n =±板块四一元一次方程的解法☞解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．温馨提示：不要漏乘不含分母的项.分子是个整体.含有多项式时应加上括号．2．去括号：一般地.先去小括号.再去中括号.最后去大括号．温馨提示：不要漏乘括号里的项.不要弄错符号．3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边. 不含未知数的项移到方程的另一边．温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项． 4．合并同类项：把方程化成ax b =的形式．温馨提示：字母和其指数不变．5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a (0a ≠ ).得到方程的解 b x a=．温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒．【例10】下列等式中变形正确的是（）A.若31422x x -+=.则3144x x -=-B. 若31422x x -+=.则3182x x -+=C. 若31422x x -+=.则3180x -+=D. 若31422x x -+=.则3184x x -+=【解题思路】考查去分母解方程第一步骤.学生很容易出现漏乘等问题造成失分【题目答案】D【例11】 122233x x x -+-=-【解题思路】按照去分母.去括号.移项.合并同类项.系数化1的步骤解答【题目答案】35x =-．【巩固练习】解方程：⑴6(1)5(2)2(23)x x x ---=+ ⑵12225y y y -+-=-【解题思路】略【题目答案】⑴23x =；⑵117y =【巩固练习】解方程：(1)3(3)52(25)x x -=--；(2)()()()243563221x x x --=--+；(3)135(3)3(2)36524x x ---= 【解题思路】略【题目答案】(1)107x =-；(2)38x =；(3)12x =．☞先变形、再解方程本类型题：需要先利用等式的基本性质.将小数化为整数.然后再进行解方程计算【例12】解方程：7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-．解：原方程可化为7110.251432x x x --+=-去分母.得．根据等式的性质( )移项.得．根据等式的性质( ) 合并同类项.得．系数化为1.得．根据等式的性质( )【解题思路】注意解方程的基本步骤与等式的性质【题目答案】去分母.得3(71)4(10.2)6(51)x x x -=--+．根据等式的性质1去括号.得21340.8306x x x -=---．移项.得210.830346x x x ++=+-．根据等式的性质1合并同类项.得51.81x =．系数化为1.得5259x =．根据等式的性质2【例13】 0.130.41200.20.5x x +--=【解题思路】略【题目答案】原方程可变形为304102025x x +--=去分母得5(30)2(410)200x x +--=去括号得5150820200x x +-+= 移项、合并得330x -= ∴10x =-【巩固练习】解下列方程：⑴2 1.210.70.3x x --=； ⑵0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x +-+-=； ⑶1(0.170.2)10.70.03x x --= ⑷0.10.020.10.10.30.0020.05x x -+-=⑸42230%50%x x -+-= ⑹1(4)335190.50.125x x x +++=+⑺0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x x x ++-=-⑻0.10.90.210.030.7x x --= 【解题思路】解这类方程通常先应用分数的基本性质.将系数化为整数⑴原方程可化为201210173x x --=.而后解得2126x =； ⑵原方程可化为49532523x x x+-+-=去分母6(49)15(5)10(32)x x x +--=+解得9x =； ⑶原方程可化为1017201x x --=.解得14x =．⑷原方程可化为1002010100.325x x -+-=.则4812.3x =.解得41160x =． ⑸原方程可化为10401020235x x -+-=.解得13110x =． ⑹解得7x =-． ⑺解得9x =．⑻解得48127619x ==．【题目答案】略☞逐层去括号含有多重括号时.去括号的顺序可以从内向外.也可以从外向内. 【例14】解方程：111[16]20343x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭【解题思路】原方程可变形为11(1)66043x --+= 整理得1103x -=解得3x =【题目答案】3x =【巩固练习】解方程：()11111[1]3261224x ------=-．【解题思路】11111[(1)]3261224x ------=-. 11111[(1)]3261224x -+-=-. 111(1)268x +=-.1112x =-．【题目答案】1112x =-【例15】解方程：11110721()3(2)33623x x x x x +-⎡⎤⎡⎤--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解题思路】注意一定去括号的顺序.解得12x =．【题目答案】12x =【巩固练习】解方程：1112(1)(1)223x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦【解题思路】略【题目答案】117x =-【巩固练习】解下列方程：(1)[]{}234(51)82071x ----=(2)11111071233223x x x x x +-⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题思路】(1)略；(2)原方程可化为：11110713926x x x x x +--+=-+. 186229183021x x x x x -++=-+-.513x =．【题目答案】（1）1x = （2）513x =☞整体思想注意观察方程中.完全一样的整式【例16】解方程：1123(23)(32)11191313x x x -+-+=【解题思路】原方程可变为：111(23)(23)(23)0111913x x x ---+-=.即111()(23)0111319x +--=.又1110111319+-≠.所以230x -=.即32x =．【题目答案】32x =【巩固练习】方程113(1)(1)2(1)(1)32x x x x +--=--+【解题思路】按常规去括号整理后再解.显然较繁.应用整体思想求解()()()()1131121123x x x x +++=-+-.()()771123x x +=-.括号.移项.可解得5x =-．【题目答案】5x =-【巩固练习】解方程：11311377325235x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题思路】这一方程在变换过程中.宜将375x ⎛⎫- ⎪⎝⎭作为一个整体．方程两边同乘以6.得3323(7)32(7)55x x --=--.333(7)2(7)3255x x --+-=-.333(7)2(7)155x x ----=.3345(7)1,53x x --==．【题目答案】343x =343x =课堂检测1.下列各式不是方程的是：( )A ． 24y y -=B ． 2m n =C ． 222p pq q -+D ． 0x = 【解题思路】略【题目答案】C ．2.解方程⑴ 11(4)(3)34y y -=+ ⑵ 3126x x x +-=-⑶253164x x ---=⑷42132[()]3324x x x --= 【解题思路】略【题目答案】⑴ 1y =．⑵ 4x =．⑶13x =．⑷127x =-．3.解方程：10.50.210.30.30.30.02x x x---=【解题思路】原方程可化为10521030332x x x ---=.解得513x =．【题目答案】513x =1. 解方程：⑴12225y y y -+-=-⑵122233x x x -+-=-【解题思路】⑴105(1)202(2)y y y --=-+.10552024y y y -+=--.117y =． ⑵按照去分母.去括号.移项.合并同类项.系数化1的步骤解答可得：35x =-．【题目答案】⑴117y =．⑵35x =-2. 解方程：111233{[]}234324x x x x ⎛⎫----=+ ⎪⎝⎭【解题思路】略【题目答案】解得229x =-3. 解方程：0.10.40.2111.20.3x x -+-=课后练习【解题思路】原方程可化为42101123x x -+-=.解得8x =-．【题目答案】8x =-．4. 求方程31333(()()447167x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦的解．【解题思路】原方程可化为：33333()()4167167x x x x -+-=-.注意在运算过程中把37x ⎛⎫- ⎪⎝⎭视为一个整体.解得0x =．【题目答案】0x =.。

初一上册数学直升班培优讲义学生版一元一次方程的解法培优讲义(学生版)

一元一次方程的解法培优知识点睛等式的概念及性质等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式•在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边•等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则.等式的类型：恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立.条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立•方程x 5 6需要x 1才成立.矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立.如12 5 ,x 1 x 1 •等式由代数式构成，但不是代数式•代数式没有等号.等式性质1:等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式.若a b，贝U a c b c •等式性质2:等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）,结果仍是等式.若a b，则ac be,若a b 且c 0 ,则-b.c c注意点：⑴ 在等式变形的过程中，等式两边必须同时进行•即：同时加或减，同时乘以或除以，不能漏掉某一边.⑵ 在运用等式的性质2时，应注意：不能在等式的两边同时除以0,因为0不能作除数.⑶ 在等式变形中，以下两个性质也经常用到：等式具有对称性，即：如果 a b，那么b a•等式具有传递性，即：如果a b , b c，那么a c •方程的有关概念方程：含有未知数的等式•即：①方程中必须含有未知数；②方程是一个等式，但等式不一定是方程. 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.解方程：求方程的解的过程.注意点1：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程. 注意点2：方程的解的检验：要验证某个数是不是方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是.方程中的未知数和已知数：已知数：一般是具体的数值，如x 5 0中（x的系数是1,是已知数.但可以不说）• 5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a、b、c、m、n等表示.未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示.如：关于x、y的方程ax 2by c 中,a、2b、c是已知数，x、y是未知数.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的元”是指未知数，次”是指含未知数的项的最高次数.一元一次方程的最简形式：ax b （a 0 , a , b为已知数）的形式叫一元一次方程的最简形式.一元一次方程的标准形式：ax b 0 （a 0 , a, b是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式.注意：⑴ 任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证•如方程x2 2x 1 x2 6是一元一次方程•如果不变形，直接判断就出会现错误.⑵对于方程ax b 与方程ax b a 0，方程ax b 的解要分类讨论. ①当a 0时，方程的解是x -；②当a 0且b 0时，方程的解是任意数；③当a 0且b 0时，方程无解.a一元一次方程的基本解法解一元一次方程的一般步骤：⑴ 去分母；⑵ 去括号；⑶ 移项；⑷ 合并同类项；⑸ 未知数的系数化为1 •这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从上到下的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用.易错点1――去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号易错点2――去分母：漏乘不含分母的项易错点3――移项忘记变符号. 知识点仅供教学参考！- 例题精讲板块一：一元一次方程相关概念及基本解法⑶某书中有一道解方程的题：^Wx 1 x ,处在印刷时被墨盖住了，3查后面的答案，得知这个方程的解是x 2，那么| |处应该是数字（）A.7B . 5C . 2D .2⑷已知方程（a 2）x 冋1 4 0是一元一次方程，则 a __________________ ,解：原方程可化为7x 1 1 0.2x 5x 1根据等式的性质（)43 2去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得.根据等式的性质（ )1 1【拓展】⑵中若关于x 的方程mx 2 2（m x ）的解满足方程x — —，则m ______________________2 2【教师备选1】某同学在解方程5x 1 x 3，把处的数字看错了，解得x -，该同学把看 223x 43A.—3x 7- B .5 -x 3xx22 C . y 2 2y y(y2) 3D . 3x 8y 13⑵已知关于x 的方程 mx 22（m x ）的解满足方程 x 1 0，则m2).【例1】⑴下列方程是一元一次方程的是（x.⑸方程（m 1)x imm 2n 是关于x 的兀一次方程，若n 是它的解，贝U n m （15 35A .-B .C .—D .-4444⑹解方程7x 11 0.2x 5x 10.024 0.018 0.012).3 成了_____________ ./重点、易错点总结1. 等式性质等式性质1 :等式两边都加上(或减去)同一个若 a b ，贝V a c b c •等式性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为若 a b ，贝U ac bc ，若 a b 且 ______________ ，贝U --.c c2. 方程：含有 ________________ 的 _____________ 叫方程3. 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的 ____________________ ，叫做方程的解.4. 一元一次方程⑴ 只含有_个未知数，并且未知数的最高次数是系数不等于—的_方程叫做一元一次方程，这里的元”是指未知数，次”是指含未知数的项的最高次数.(说明：此定义是按照4个考点给出的定义)⑵ 一元一次方程的最简形式： ___________________________________ .一元一次方程的标准形式： __________________________________ .5. 解一元一次方程的一般步骤：⑴ _______ ；(2) ______ ；(3) _______ ；(4) _____ ；(5) ____________ .这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从上到下的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用.易错点1――去括号：括号前是负号时，括号里各项均要 ____________________ . 易错点2――去分母：去分母时漏乘不含分母的项 . 易错点3——移项：移项不要忘记 _________________ .板块二：两个一元一次方程解的关系问题若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式. 两个解的数量关系很多，比如相等、互为相反数、多1、2倍等等.【例3】⑴当m ___________ 时，方程5x 4 4x 3的解和方程2(x 1) m 2(m 2)的解相同. ⑵已知关于x 的方程3[x 2(x 旦)]4x 与a —12 12 8有相同的解，求a 的值及方程的解.【教师备选2】已知：3x n 3 m n 3p 与 x 2 m 3m 2np1都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于p 1的解.【例2】2x 5 63 x ~4~⑶(东城教学测评改编)解方程0.1x 3 0.4x 1 “ ⑵200.20.5x 2 x 3 2x53 5 103(或)，所得结果仍是等式.),结果仍是等式.板块三复杂的一元一次方程对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握, 如：解一元一次方程中ax bx (a b)x 的应用•【例4】⑴解方程: x x x x 1 1 1 1 23452345⑵解方程:⑶解方程:⑷解方程: 【拓展】解方程: 【教师备选3】12 2 31石(2x 3)20092009 2010丄(3 2x) —x —19 13 13x 20 x 18已知abc 1，求关于板块四含字母系数的一元一次方程方程ax b的解要分类讨论.①有无数个解，解是任意数.③【铺垫】⑴关于x的方程ax⑵关于x的方程axx 167x 149x 121118 .11x的方程x一1 a abx x1 b bc 1 c ca 当a 0时，方程有唯一解当a 0且b 0时，方程无解.b 3有无数多个解，那么a1 5x 3b有无数多个解，那么2004的解. x -.②当a 0且b 0时，方程a【教师备选4】 ⑴如果关于x 的方程2(kx 3)3⑵已知关于x 的方程2a(x 1) (5 a)x板块五绝对值方程① 形如ax b c 的方程，可分如下三种情况讨论：⑴c 0，则方程无解； ⑵c 0,则根据绝对值的定义可知， ax b 0 ; ⑶c0,则根据绝对值的定义可知，ax b c .② 形如ax b cx d 型的绝对值方程的解法：首先根据绝对值的定义得出，ax b (cx d)，且cx d > 0 ;分别解方程ax b cx d 和ax b (cx d)，然后将得出的解代入 cx d > 0检验即可.③ 含多重绝对值符号的绝对值方程的解法，主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值. 【例6】解绝对值方程：⑴2x 4 ⑵ 4x 8 12 ⑶ 4x 3 2x 9⑷x2 13⑸方程x1 x 25的解是 _____⑴已知:关于x 的方程ax 32x b 有无数多个解，试求(a b)2011x abx a abb 5的解⑵若a 、b 为定值，关于x 的「元一次方程2kx a x bk2，无论 k 为何值时，它的解总3 6是x 1，求2a 3b 的值.【例5】 1 5空可有无数个解，求k 值 2 63b 有无数多个解，那么 a __________ , b 【铺垫】解方程：⑴ x 21 ⑵ 2x 4 0【拓展】解绝对值方程：x 3x 2 4.【拓展】解绝对值方程：|2x 3 x 1 4x 33x 5【教师备选5】解绝对值方程：x 注工1 62经典重现【例7】解关于x方程：x a b c x b c d x a c d x a b d 4【教师备选6】（北京四中期中考试）关于x的方程|| x 2a有三个整数解，求a的值.d a b c实战演练.⑴卜列万程是一兀「次方程的是（). （多选）2 A . xy 1 B.-x2 5 C . x 0 D . ax 13 E . 2x 35F . 2n R=6.28⑵关于x 的方程（n 1）x 2 nx x 8 0是元 •次方程，则n 的值是（)A . 1B . 1 C1 D . 0⑶若关于x 的方程2x3 m 0无解，3: x4 n 0只有-个解，4x5 k 0有两个解，下列选项正确的是（)A . m n kB . m < n < kC . m n kD . m > n > k⑵ 若关于x 的方程3x 5 x 4和-x 2ax2 24.解关于x 的方程mx n 1x m5. 解方程：|| 3x 5 4 82.0.23x 1 0.4123.⑴已知方程2（ x 1）3(x 1)的解为x a 2,求方程 2 2(x 3) 3(x a) 3a 的解.ax 5有相同的解，求a 的值. 4。

人教版七年级数学上册第四章一元一次方程讲义

一元一次方程第一讲教学目标①能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．②经历估计方程解的过程． ③掌握等式的基本性质．④会解一元一次方程⑤能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．知识总结 1．等式的性质：等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍然相等。

即：如果a ＝b ，那么a c b c ±=±。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍然相等。

即：如果a b =，那么ac bc =。

2．一元一次方程（1）概念：含有的等式叫做方程。

只含有个未知数，并且未知数的最高次数都是的整式方程叫一元一次方程。

注意：一元一次方程必须满足三个条件：①是整式方程； ②只有一个未知数；③未知数的最高次数是1。

（2）方程的解：使方程左右两边的未知数的值就是方程的解，也叫方程的根。

3．解一元一次方程的步骤：解方程：31123x x --= 步骤：解：___________________（①去分母：方程两边同乘以所有分母的的。

）____________________（②去括号：去掉带的括号时，括号内都要变号。

） ___________________（③移项：移项要注意。

）____________________（④合并同类项：字母和字母的指数______，把系数_______。

） ___________________（⑤未知数系数化为 1：方程两边同的系数。

）（注意：一元一次方程的解题步骤不是一成不变的，要根据题目的特点选择快捷的方法）典型例题讲解例1：下列各式是方程的是，其中是一元一次方程的是 ①3x-2=7； ②4+8=12； ③3-x; ④2m-3n=0； ⑤01232=--x x ； ⑥32x ≠+； ⑦512=+x 变式练习1：（1）下列各式：①3x+4；②4+2=6；③01x 2≠-；④615x >+；⑤415=+x ；⑥x+2y=3 其中是一元一次方程的有（）A.0个B.1个C. 2个D.3个（2）若关于x 的方程352)x -m |-1m |=+（是一元一次方程，则m=例2：按要求解方程()()321521x x x -+=--解：去括号得：___________________________ 移项，得：______________________________ 合并同类项，得：_________________________ 方程两边同时除以___，得：________________变式练习2：下面是解方程中的过程请判断它们的正误，并把错的改正过来。

七年级上册数学培优讲义(一元一次方程的应用题二)第九讲

模块一增长率问题【例1】某商场甲.乙两个柜组12月份营业额共64万元.1月份甲增长了20％.乙增长了15％.营业额共达到75万元．试求两柜组1月份各增长多少万元? 【解题思路】设甲柜组1月份营业额增加了x 万元.则乙柜组1月份营业额增加了(7564)x --万元．根据题意得：75646420%15%x x--+=.解之得 5.6x =.于是.11 5.4x -=.【题目答案】5.6,5.4【巩固练习】初三(2)班的一个综合实践活动小组去A.B 两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况.如右图是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话.请你分别求出A.B 两个超市今年“五一节”期间的销售额．【解题思路】设去年A 超市销售额为x 万元.B 超市销售额为(150)x -万元．由题意得：(115%)(110%)(150)170x x +++-=.解得100,15050x x =-=A 超市今年销售额：100(115%)115+=(万元).B 超市今年销售额：50(110%)55+=(万元)．【题目答案】115,55【巩固练习】某农场去年种植了10亩地的南瓜.亩产量为2000kg .根据市场需要.今年该农场扩大了种植面内容基本要求略高要求较高要求一元一次方程了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程能运用整式的加减运算对多项式进行变形.进一步解决有关问题一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题一元一次方程的应用题(二)积.并且全部种植了高产的新品种南瓜.已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍.今年南瓜的总产量为60000kg .求南瓜亩产量的增长率．【解题思路】根据增长后的产量=增长前的产量⨯（1+增长率）.设南瓜亩产量的增长率为x .则种植面积的增长率为2x .由题意可列：()()10122000160000x x ++=.解得：120.5,2x x ==-（不合题意.舍去）．【题目答案】50%模块二利润问题【例2】对某种商品优惠.按原价的8折出售.此时商品的利润率是10%.此商品的进价为1400元.商品的原价是多少元？【解题思路】设商品的原价是x 元.依题可列：80%140010%x x -=.解得：2000x =．【题目答案】2000【巩固练习】十堰市东方食品厂2003年的利润(总产值-总支出)为200万元.2004年总产值比2003年增加了20％.总支出减少了10％．2004年的利润为780万元．问2003年总产值.总支出各是多少万元？【解题思路】设2003年的总产值为x 万元.则2004年的总产值为(120%)x +万元.2003年的总支出为(200)x -万元.则2004年的总支出为(110%)(200)x --万元根据题意可列方程：(120%)(110%)(200)780x x +---=解得：2000,2001800x x =-=.2003年的总产值为2000万元.总支出为1800万元．【题目答案】2000,1800【巩固练习】学校准备添置一批课桌椅．原订购60套.每套100元．店方表示：如果多购.可以优惠．结果校方购了72套.每套减价3元.但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．【解题思路】（法1）设每套课桌椅的成本为x 元.由原定数量与售价下的总利润和实际成交总利润相等.得方程60(100)72(97)x x -=-．解这个方程得82x =．（法2）设商店原定每套利润x 元．根据题意.得方程72(3)60x x -=.解之得18x =．每套成本1001882-=(元)．【题目答案】82【巩固练习】小明的爸爸前年存了年利率为2.43％的两年期定期储蓄.今年到期后.扣除利息税(利息的20％).所得利息正好为小明买了一只价值48.6元的计算器．问小明爸爸前年存了多少元? 【解题思路】（法1）设小明爸爸前年存了x 元．则共得利息2 2.43%x ⨯元.利息税为2 2.43%20%x ⨯⨯元．根据题意得：2 2.43%2 2.43%20%48.6x x ⨯-⨯⨯=.解得1250x =（元）．（法2）设小明爸爸前年存了x 元．扣除利息的20％.实际得到利息的80％.可列出方程2 2.43%80%48.6x ⨯⨯=．【题目答案】1250【例4】某商场经销一种商品.由于进货时价格比原进价降低了6.4%.使得利润增加了8个百分点.求经销这种商品原来的利润率. 【解题思路】设经销这种商品原来的利润率为x .原进价为a .则(1)(1 6.4%)(18%)a x a x +=-++.解得17%x =.【题目答案】17%【巩固练习】若进货价降低8％.而售出价不变.那么利润可由目前的p增加到（10%p+）.求p.【解题思路】设进货价为m.则(1)(18%)(110%)+=-++.解得15%m p m pp=.【题目答案】15%模块三方案决策问题【例5】为了鼓励居民节约用水.某市对居民生活用水收费作如下规定：在每月用水限额内.每吨水费1.3元；对超过限额的部分按2.9元／吨收费．一户三口之家上个月用水12吨.交费22元．求该市对三口之家每月用水所作的限额是多少?【解题思路】因为1.31215.622⨯=<.所以用水12吨已超过限额．设该户每月用水限额为x吨.则交费22元应分为限额内x吨水费和超限的(12)x-吨水费两部分．根据题意.列方程得：+-=.解之得81.32.9(12)22x xx=．【题目答案】8【巩固练习】团体购买公园门票.票价如下：Array今有甲乙两个旅游团.若分别购票.两团总计应付门票1314元.若合在一起作为一个团体购票.总计支付门票费1008元.问这两个旅游团各有多少人？【解题思路】因为10081009>⨯.所以两团总人数在100人以上.根据100人以上每人9元的票价.我们可以计算出两团的总人数为：10089112÷=（人）；⨯=<⨯=>.所以只能是一个团的人数在1～50人之间.另一因为：1121112321314,1121314561314个团的人数在51～100人之间.两个团加起来的人数在100人以上.设人数在51～100人之间的一个团的的人数为x人.根据题意可列方程：+⨯-=.解得：411311(112)1314x xx=.两个团的人数分别为41人和71人.【题目答案】41,71【例6】“中国竹乡”安吉县有丰富的毛竹资源.某企业已收购毛竹52.5吨.根据市场信息.将毛竹直接销售.每吨可获利100元；如果对毛竹进行粗加工.每天可加工8吨.每吨可获利1000元；如果进行精加工.每天可加0.5吨.每吨可获利5000元．由于受条件限制.在同一天中只能采用一种方式加工.并且必须在一个月(30天)内将这批毛竹全部销售.为此研究了二种方案：方案一：将毛竹全部粗加工后销售.则可获利元．方案二：30天时间都进行精加工.未来得及加工的毛竹.在市场上直接销售.则可获利元．问：是否存在第三种方案.将部分毛竹精加工.其余毛竹粗加工.并且恰好在30天内完成?若存在.求销售后所获利润；若不存在.请说明理由．【解题思路】按方案一可获利52500元；按方案二可获利78750元.设30天内精加工毛竹x天.粗加工毛竹(30)x-天.根据题意得：0.58(30)52.5x x+-=.解之得25,305x x =-=.利润0.550008(30)1000102500Z x x =⨯+-⨯=(元)．存在第三种方案：精加工毛竹25天.粗加工毛竹5天；销售后所获利润102500元．【题目答案】略【巩固练习】某校科技小组的学生在3名老师带领下.准备前往国家森林公园考察.采集标本．当地有两家旅行社.分别去两个景区．两家旅行社收取的途中费用和相应的景区门票定价都相同.且对师生都有优惠：甲旅行社表示带队老师免费.学生按8折收费；乙旅行社表示师生一律按7折收费．甲景区对师生均收半价.乙景区则规定当人数超过30人时.按4折收费.否则按6折收费．经合算两家旅行社的实际途中收费正好相同．你认为该去何处较合算?若该校在暑假夏令营中.学生数增加了8名.老师不变.则又该去哪个旅行社? 【解题思路】对第一种情景.设学生有x 人.两个旅行社原定单价a 元．根据题意得：0.80.7(3)ax a x =+．解这个方程得：21x =.总人数为24．设景区收费标准每人b 元.那么甲景区：2450%b ⨯.乙景区：2460%b ⨯. 2450%2460%b b ⨯<⨯.所以去甲景区.对第二种情景.已知学生29名.老师3名. 甲旅行社中途费用：2980%23.2a a ⨯=；乙旅行社中途费用：(293)70%22.4a a +⨯=； 23.222.4a a >.所以去乙旅行比较合算.【题目答案】去乙旅行比较合算．【例7】列方程或方程组解应用题：夏季.为了节约用电.常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施．某宾馆先把甲.乙两种空调的设定温度都调高l ℃.结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备.使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍.而甲种空调节电量不变.这样两种空调每天共节电405度．求只将温度调高1℃后.两种空调每天各节电多少度? 【解题思路】设只将温度调高1℃后.乙种空调每天节电x 度.则甲种空调每天节电(27)x +度．依题意得：1.127405x x ++=.解得：180x =.27207x +=.只将温度调高1℃后.甲种空调每天节电207度.乙种空调每天节电180度．【题目答案】207,180【巩固练习】某地生产一种绿色蔬菜.若在市场上直接销售.每吨利润为1000元；经粗加工后销售.每吨利润可达4500元；经精加工后销售.每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨.该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工.每天可加工16吨；如果进行精加工.每天可加工6吨．但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制.公司必须在15天内将这批蔬菜销售或加工完毕．为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能对蔬菜进行精加工.没来得及进行加工的蔬菜.在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工.其余蔬菜进行粗加工.并恰好15天完成．你认为选择哪种方案获利最多?为什么? 【解题思路】要选择哪种方案好.就必须先分别求出每种方案的获利情况.然后比较得知．①若按方案一销售所获得的利润为：1404500630000⨯=(元)；②若按方案二销售所获利润为：6157500(140615)1000725000⨯⨯+-⨯⨯= (元)；③若按方案三：设进行精加工的天数为x天.则有616(15)140+-=．x x解之得10x=．即进行10天精加工.5天粗加工.此时.所获利润为6107500(140610)4500810000⨯⨯+-⨯⨯=(元)．显然.选择方案三获利最多．【题目答案】选择方案三获利最多．【例8】强强在A.B两电子商城发现他看中的4MP和U盘单价之MP的单价相同.U盘的单价也相同．4和是581元.且4MP的单价比U盘单价的5倍少7元．⑴求该同学看中的4MP和U盘的单价各是多少元?⑵某一天该同学上街.恰好赶上商家促销.电子商城A所有商品打8折销售.电子商城B全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券.购物券全场通用).但他只带了490元钱.如果他只在一家电子商城购买看中的这两样物品.你能说明他可以选择哪一家购买吗?若两家都可以选择.在哪一家购买更省钱?【解题思路】⑴设U盘的单价为x元.则4MP的单价为(57)x-元．据题意得：57581x-=（元）.x=（元）.57483-+=.解此方程得：98x x⑵在电子商城A购买4MP和U盘各一样需花费现金：58180%464.8⨯=(元).因为464.8490<.所以可以选择在电子商城A购买．在电子商城B可先花费现金元购买4MP.再利用得到的120元返券购买U盘.总计共花费现金483元.483490<.所以也可以选择在电子商城B购买.又因为464.8483<.所以在电子商城A购买更省钱.【题目答案】在电子商城A购买更省钱．【巩固练习】据《衢州日报》2009年5月2日报道：“家电下乡”农民得实惠．村民小郑购买一台双门冰箱.在扣除13%的政府财政补贴后.再减去商场赠送的“家电下乡”消费券100元.实际只花了1726.13元钱.那么他购买这台冰箱节省了元钱．【解题思路】设小郑所购买的冰箱的价格为x元.依题意得--=.解得2099(113%)1001726.13xx=.-=．所以他节省了372.87元．20991726.13372.87也可以直接设小郑节省x元.依题意得(1726.13)87%1001726.13x+⨯-=.解得372.87x=．【题目答案】372.87【例9】“五一”期间.某商场搞优惠促销.决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲.乙两种商品.分别抽到七折(按售价的70%销售)和九折(按售价的90%销售).共付款386元.这两种商品原销售价之和为500元．问：这两种商品原销售价分别为多少元?【解题思路】设甲种商品的原销售价为x元.则乙种商品的原销售价为(500x-)元．据题意.得0.70.9(500)386+-=.解方程.得320x x-=.x=.500180x【题目答案】180【巩固练习】某超市推出如下优惠方案：①一次性购物不超过100元不享受优惠；②一次性购物超过100元不超过300元一律九折；③一次性购物超过300元一律八折.⑴小新妈妈购物付款99元.那她购买的物品实际价格为多少元？⑵若购物付款259.2元.那她购买的物品实际价格为多少元？【解题思路】⑴若小新妈妈购物付款99元.因为99100<.可能不享受优惠.又因为9910090%>⨯.也可能商品享受九折优惠.实际价格是9990%110÷=（元）.因此购物付款99元.那她购买的物品实际价格为99元或110元；⑵若小新妈妈购物付款259.2元.因为30090%270⨯=（元）.因此我们可以知道花的钱高于90元而不超过270元.可能享受的是九折优惠；30080%240⨯=（元）.因此我们可以判断出当交费超过240元时.可能享受八折优惠；因为240259.2270<<.因此第二次购物可能享受九折优惠.也可能享受八折优惠.当享受九折优惠时.第二次所购商品的原价259.290%288÷=（元）. 当享受八折优惠时.第二次所购商品的原价是259.280%324÷=（元）. 若购物付款259.2元.那她购买的物品实际价格为288元或324元.【题目答案】288元或324元【巩固练习】老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车.速度为25千米∕小时．这辆摩托车后座可带乘一名学生.带人后速度为20千米∕小时．学生步行的速度为5千米∕小时．请你设计一种方案.使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时．【解题思路】设学生为甲.乙二人．乙先步行.老师带甲乘摩托车行驶一定路程后.让甲步行.老师返回接乙.然后老师搭乘乙.与步行的甲同时到达博物馆．设老师带甲乘摩托车行驶了x 千米.则用时20x 小时.比乙多行了()()3205204x x -=千米．这时老师让甲步行前进.而自己返回接乙.遇到乙时.用了()()3255440xx ÷+=小时．乙遇到老师时.已经步行了()3520408xx x ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭千米.离博物馆还有()3338x -千米．要使师生三人能同时到达博物馆.甲.乙二人搭乘摩托车的路程应相同.则有3338x x =-.解得24x =．即甲先乘摩托车24千米.用时1.2小时.再步行9千米.用时1.8小时.共计3小时．因此.上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时．【题目答案】略1. 某商店四月份电扇的销售量为500台.随着天气的变化.六月份电扇的销售量为720台.问五月份.六月份平均每月电扇销售量的增长率是多少？【解题思路】设五月份.六月份平均每月电扇销售量的增长率是x ．则依题可列：()()50011720x x ++=.解得：0.2x =【题目答案】20%2. 一牛奶制品厂现有鲜奶9t ．若将这批鲜奶制成酸奶销售.则加工1t 鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售.则加工1 t 鲜奶可获利2000元．该厂的生产能力是：若专门生产酸奶.则每天可用去鲜奶3 t ；若专门生产奶粉.则每天可用去鲜奶1 t ．由于受人员和设备的限制.酸奶和奶粉两产品不可能同时生产（同一天内一段时间生产酸奶.另一段时间生产奶粉）.为保证产品的质量.这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕．假如你是厂长.你将如何设计生产方案.才能使工厂获利最大.最大利润是多少? 【解题思路】要确定哪种方案获利最多.首先应求出每种方案各获得的利润.再比较即可．生产方案设计如下：⑴将9 t 鲜奶全部制成酸奶.则可获利：1200910800⨯= (元)．⑵4天内全部生产奶粉.则有5 t 鲜奶得不到加工而浪费.且利润仅为200048000⨯= (元)． ⑶4天中.用x 天生产酸奶.用(4)x -天生产奶粉.并保证9 t 鲜奶如期加工完毕．由题意得：3(4)19x x +-⨯=.解得 2.5x =(天).4 1.5x -=(天)．故在4天中.用2.5天生产酸奶.用1.5天生产奶粉.则利润为：2.531200 1.51200012000⨯⨯+⨯⨯= (元)．课堂检测按第三种方案组织生产能使工厂获利最大.最大利润是12000元．【题目答案】按第三种方案组织生产能使工厂获利最大.最大利润是12000元．1. 某农户种植花生.原来种植的花生亩产量为200千克.出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后.每亩收获的花生可加工成花生油132千克.其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的12倍.求新品种花生亩产量的增长率．【解题思路】设新品种花生亩产量的增长率为x .根据题意可列：200(1)50%(112)132x x +⨯⨯+=解得120.2, 3.2x x ==-（不合题意.舍去）. 答：新品种花生亩产量的增长率为20%．【题目答案】20%2. 某农户种植花生.原来种植的花生亩产量为200千克.出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后.每亩收获的花生可加工成花生油132千克.其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的 12．则新品种花生亩产量的增长率为（）【解题思路】设花生亩产量的增长率是x.那新植的花生亩产量是200（1+x ）.现在的出油率的增长率是亩产量的 12即 12x.又知道新植的每亩花生可加工成花生油132千克.可列方程： ()1200150%11322x x ⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭.解得：12116,55x x ==（舍去）【题目答案】20%课后练习。