四川省成都市第七中学2020学年高二数学12月月考试题理(无答案)

合集下载

2020-2021学年四川省成都市第七中学高二上学期12月阶段性测试数学理试题 word版

成都七中2020～2021学年度上期高2022届高二12月阶段性测试理科数学卷一、选择题1．已知命题:p x ∀∈R ，2x 2＋1＞0，则￢p 是（）．A ．x ∀∈R ，2x 2＋1≤0B ．0x ∃∈R ，20210x +> C ．0x ∃∈R ，20210x +< D ．0x ∃∈R ，20210x +≤2．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 2.7y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A ．y ＝2x -3.2B ．y ＝0.4x ＋1.5C ．y ＝-2x ＋8.6D ．y ＝-0.2x ＋3.3 3．已知集合201x A xx ⎧-⎫=<⎨⎬+⎩⎭，B ＝{x||x|＜a}，若“a ＝1”是“B A ⊆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（）A ．至少有1枚正面和最多有1枚正面B ．最多1枚正面和恰有2枚正面C ．至多1枚正面和至少有2枚正面D ．至少有2枚正面和恰有1枚正面5．已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断不正确的是（）A ．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数B ．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数C ．甲成绩的方差大于乙成绩的方差D ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差6．执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为0.99，则判断框内可填入的条件是（）A ．i ＜99B ．i ＞100C ．i ＜100D ．i ＜987．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图，现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率（）．A ．15 B ．25 C ．310 D ．4158．将93化为二进制数为（）A ．1110101（2）B ．1010101（2）C ．1011101（2）D ．1111001（2）9．利用秦九韶算法求多项式f （x ）＝x 6-5x 5＋6x 4＋x 2＋3x ＋2当x ＝-2时的值为（） A ．320 B ．-160 C ．-320 D ．30010．己知双曲线221:124y C x -=的两焦点分别是F 1，F 2，双曲线C 1在第一象限部分上有一点P ，满足|PF 1|＋|PF 2|＝14，若圆C 2与△PF 1F 2三边都相切，则圆C 2的标准方程为（） A ．（x -1）2＋（y -2）2＝4 B ．（x -1）2＋（y -3）2＝9 C ．（x -2）2＋（y -2）2＝4 D ．（x -2）2＋（y -3）2＝911．已知F 1，F 2是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为（）A ．12 B ．13C 1D ．4- 12．已知曲线C 1：|y|-x ＝2与曲线C 2：λx 2＋y 2＝4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A ．()10,3⎤⎡-⎦⎣ B ．(- C ．[-1，1） D ．[]()1,01,3-二、填空题13．若命题“x ∀∈R ，x 2＋x ＋a -1≠0”是假命题，则实数a 的取值范围为__________．14．某兄弟俩都推销某一小家电，现抽取他们其中8天的销售量（单位：台），得到的茎叶图如图所示，已知弟弟的销售量的平均数为34，哥哥的销售量的中位数比弟弟的销售量的众数大2，则x ＋y 的值为________．15．用更相减损术求三个数168，54，264的最大公约数为________16．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A 、B 的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，点B （4，2），M 为圆O 上的动点，则2|MA|＋|MB|的最小值为_______三、解答题17．已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x 2＋4（m －2）x ＋1＝0无实根．若“p ∨q”为真，“p ∧q”为假，求实数m 的取值范围．（I ）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆybx a =+ （II ）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），其回归直线ˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．（参考数据：61()() 2.8iii xx y y =--=∑，计算结果保留到小数点后两位）（2）估计该工厂工人加工产品A 的平均正品率；（3）该工厂想确定一个转岗年龄x岁，到达这个年龄的工人不再加工产品A，转到其他岗位，为了使剩余工人加工产品A的平均正品率不低于90%，若年龄在同一区间内的工人加工产品A的正品率都取相应区间的平均正品率，则估计x最高可定为多少岁？20．已知方程x2＋y2＋2x-4y＋m＝0表示的曲线是圆C，（1）若直线l：x＋2y-1＝0与圆C相交于M、N两点，且OM ON⊥（O为坐标原点），求实数m的值；（2）当m＝4时，设T为直线n：2x-y-1＝0上的动点，过T作圆C的两条切线TG、TH，切点分别为G、H，求四边形TGCH面积的最小值．21．设椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>长轴长为4，右焦点F到左顶点的距离为3．（1）求椭圆E的方程；（2）设过原点O的直线交椭圆于A，B两点（A，B不在坐标轴上），连接AF并延长交椭圆于点C，若OD OA OC=+，求四边形ABCD面积的最大值．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为曲线C：y2＝2px（p＞0）在第一象限的图象上的动点，点E，G在曲线C的准线x＝-1上，且点G在x轴的下方，圆O与准线相切，直线AG交曲线C于点B，交圆O于点D，H．（1）当点H为曲线C的焦点，DH=时，求|AB|；（2）当点O为△AEG的内心时，若EG=A的坐标．成都七中2020-2021学年高二上学期12月阶段性理科数学参考答案一、选择题1-6．DDACDC 7-12．BCAACC第II 卷（非选择题）二、填空题13．答案：5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦14．答案：13 15．答案：6 16．答案：解：设M （x ，y ），令2|MA|＝|MC|，则||1||2MA MC =，由题知圆x 2＋y 2＝1是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且12λ=，设点C （m ，n ），则||1||2MA MC ==，整理得： 22222421333m n m n x y x y ++-+++=，比较两方程可得：2403m +=，203n=，22113m n +-=，即m ＝-2，n ＝0，点C （-2，0），当点M 位于图中M 1、M 2的位置时，2|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|的值最小，最小为三、解答题17．解若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则240,0,m m ⎧∆=->⎨>⎩解得m ＞2，即命题p ：m ＞2．若方程4x 2＋4（m －2）x ＋1＝0无实根，则Δ＝16（m －2）2－16＝16（m 2－4m ＋3）＜0，解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3．因“p 或q”为真，所以p ，q 至少有一个为真，又“p 且q”为假，所以命题p ，q 至少有一个为假，因此，命题p ，q 应一真一假，即命题p 为真、命题q 为假或命题p 为假、命题q 为真． ∴2,13m m m >⎧⎨≤≥⎩或或21 3.m m ≤⎧⎨<<⎩解得：m≥3或1＜m≤2，即实数m 的取值范围是（1，2]∪[3，＋∞）． 18．解：（1）由题意可知：1234563.56x +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，622222221()( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5ii x x =-=-+-++++=∑，所以121()()2.8ˆ0.1617.5()niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑，又ˆˆ70.16 3.5 6.44ay bx =-=-⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.16 6.44yx =+．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码x ＝7，此时ˆ0.167 6.447.56y=⨯+=．所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．19．【解答】解：（1）该工厂加工产品A 的工人的年龄频率分布直方图如图：（2）估计该工厂工人加工产品A 的平均正品率为85%×0.3＋95%×0.4＋80%×0.2＋70%×0.1＝86.5%，（3）因为86.5%＜90%．85%0.395%0.480%0.288.3%90%0.30.40.2⨯+⨯+⨯≈<++，由4085%0.395%0.480%0.21090%400.30.40.210x x -⨯+⨯+⨯⨯=-++⨯，得x ＝42.5．为了使剩余工人加工产品A 的平均正品率不低于90%，则估计x 最高可定为42.5岁． 20．解析：（1）解：设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 2＝1-2y 1，x 2＝1-2y 2，得x 1x 2＝（1-2y 1）（1-2y 2），即x 1x 2＝1-2（y 1＋y 2）＋4y 1y 2．因为OM ON ⊥，则得x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以1-2（y 1＋y 2）＋5y 1y 2＝0 ①联立22210240x y x y x y m +-=⎧⎨++-+=⎩，得5y 2-12y ＋3＋m ＝0．由25(12)20(3)0m m <⎧⎨∆=--+>⎩得215m <．于是12125y y +=，1235m y y +=．代入①得123125055m +-⨯+⨯=．解得45m =，符合题意．所以所求实数m 的值等于45．（2）当m ＝4时，圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x -4y ＋4＝0，即（x ＋1）2＋（y -2）2＝1，所以圆C 的圆心坐标是（-1，2），半径是1．由于TG 、TH 为C 的两条切线，所以122||||||2TGCH TGC S S TG CG TG ∆==⋅⋅⋅=．又||TG ==|CT|的最小值为点C 到直线n 的距离d ．∵d ==min ||2TG ==因此四边形TGCH 面积的最小值是2．21．解析：（1）由题意可得2,2,31a a b a c c ==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨+==⎩⎩，所以椭圆方程为22143x y +=．（2）由（1）知F （1，0），设直线AC 的方程为x ＝my ＋1，联立221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（3m 2＋4）y 2＋6my -9＝0．设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+．因为OD OA OC =+，故可得四边形AOCD 为平行四边形，则S AOCD ＝2S AOC ，又S AOC ＝S BOC ，故122133||||234ABCD AOCS S OF y y m ==⨯⨯⨯-==+．设t =，t≥1，则218181313ABCD t S t t t==++，令13y t t =+，当t≥1时，13y t t=+在[1，＋∞）单调递增，故218181313ABCD t S t t t ==++在t ∈[1，＋∞）上单调递减，所以当t ＝1，即m ＝0时，四边形ABCD 的面积取得最大值92．22．解析：（1）∵曲线C 的准线为x ＝-1，∴12p-=-，即p ＝2，∴曲线C 的方程为y 2＝4x ．∴此时H （1，0），即OH ＝1．过点O 作OK ⊥AG 于点K ，则点K 为弦DH 的中点．∵DH =，∴2HK =．在Rt △KOH 中，cos KH KHO OH ∠==KHO ＝45°，即直线AG 的斜率为1，∴直线AG 的方程为y ＝x -1．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩消去y ，得x 2-6x ＋1＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝6，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8．（2）当点O 为△AEG 的内心时，点D 与点H 重合，即直线AG 与圆O 相切．设A （x 0，y 0），E （-1，a ），G （-1，b ），易知x 0＞1，a ＞b，EG a b =-=．直线AE 的方程为00(1)1y ay a x x --=++，化简得（y 0-a ）x -（x 0＋1）y ＋x 0a ＋y 0＝0．又圆心（0，0）到AE 的距离为11=，∴22222000000()(1)2y a x y ax y x a -++=++，化简得（x 0-1）a 2＋2y 0a -（x 0＋1）＝0，同理有（x 0-1）b 2＋2y 0b -（x 0＋1）＝0．∴0021y a b x -+=-，0011x ab x --=-，∵2004y x =，∴22222000022004444164()()420(1)(1)y x x x a b a b ab x x +-+--=+-===--． ∴2002730x x -+=，解得x 0＝3或012x =（舍），∴A （3，．。

2021-2022学年四川省成都市第七中学高二上学期12月阶段性测试数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年四川省成都市第七中学高二上学期12月阶段性测试数学（理）试题一、单选题1．已知两直线16:0l x y -=+与23320l x y --:+=，则1l 与2l 间的距离为（）A ．2B ．823C ．3D ．833【答案】B【分析】把直线2l 的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解. 【详解】直线2l 的方程化为：203x y -+=，显然，12l l //，所以1l 与2l 间的距离为222|6|82331(1)d -==+-. 故选：B2．命题“x R ∀∈，103x⎛⎫>⎪ ⎭⎝”的否定是（）A ．0x R ∃∈，B ．x R ∀∈，103x⎛⎫≤⎪ ⎭⎝C ．x R ∀∈，103x⎛⎫<⎪ ⎭⎝D ．0x R ∃∈，0103x ⎛⎫≤⎪ ⎭⎝【答案】D【分析】根据全称命题的否定的规则即可直接写出.【详解】全称命题“x R ∀∈，103x⎛⎫>⎪ ⎭⎝”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论否定，即为“0x R ∃∈，0103x ⎛⎫≤⎪ ⎭⎝”，故选：D .3．双曲线22221(0)4x y a a a-=≠ 的渐近线方程为A ．2y x =±B ．12y x =± C ．4y x =±D ．2y x =±【答案】A【详解】根据双曲线的渐近线方程知，22ay x x a=±=±，故选A.4．若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】D【分析】以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，求出点M 的轨迹方程即可计算得解.【详解】以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点(,)M x y ，22222(3)x y x y +=-+22(4)4x y -+=，于是得点M 的轨迹是以点(4,0)为圆心，2为半径的圆，其面积为4π，所以M 点的轨迹围成区域的面积为4π. 故选：D5．下列命题中，结论为真命题的组合是（） ①“12m =”是“直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件②若命题“p q ⌝∧⌝”为假命题，则命题p ⌝一定是假命题 a b >lg lg a b >的必要不充分条件④双曲线2212y x -=被点()1,1B 平分的弦所在的直线方程为210x y --=⑤已知过点(3,0)的直线(3)(R)y k x k =-∈与圆229x y +=的交点个数有2个. A ．①③④ B ．②③④C ．①③⑤D ．①②⑤【答案】C【分析】求出两直线垂直时m 值判断①；由复合命题真值表可判断②；化简不等式结合充分条件、必要条件定义判断③；联立直线与双曲线的方程组成的方程组验证判断④；判定点(3,0)与圆229x y +=的位置关系判断⑤作答.【详解】若直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直，则(2)(2)3(2)0+-++=m m m m ，解得2m =-或12m =，则“12m =”是“直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件，①正确；命题“p q ⌝∧⌝”为假命题，则p ⌝与q ⌝至少一个是假命题，不能推出p ⌝一定是假命题，②不正确；0a b >>≥，lg lg 0a b a b >⇔>>，>lg lg a b >的必要不充分条件，③正确；由2221022x y x y --=⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：22430x x -+=，2(4)42380∆=--⨯⨯=-<，即直线210x y --=与双曲线2212y x -=没有公共点，④不正确；点(3,0)在圆229x y +=上，则直线(3)(R)y k x k =-∈与圆229x y +=至少有一个公共点，而过点(3,0)与圆229x y +=相切的直线为3x =，直线(3)(R)y k x k =-∈不包含3x =，因此，直线(3)(R)y k x k =-∈与圆229x y +=相交，有两个交点，⑤正确，所以所有真命题的序号是①③⑤. 故选：C6．若直线2y x c =+先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆225x y +=相切，则c 的值为（） A ．8或-2 B ．6或-4C ．4或-6D ．2或-8【答案】A【分析】求出平移后的直线方程，再利用直线与圆相切并借助点到直线距离公式列式计算作答.【详解】将直线2y x c =+先向右平移一个单位，再向下平移一个单位所得直线方程为()211y x c =-+-，因直线230x y c -+-=与圆225x y +=|3|5c -=，解得8c =或2c =-，所以c 的值为8或-2.故选：A7．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6【答案】C【分析】根据题意，结合计数原理中的分步计算，以及排列组合公式，即可求解. 【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有2232326C A ⋅=⨯=种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为2612⨯=. 故选：C.8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是A B ．2C ．13D ．12【答案】D【详解】由于BF ⊥x 轴，故2,B B b x c y a=-=，设()0,P t ，由2AP PB =得()21,2,22b a t t t a c e a ⎛⎫-=--∴=∴= ⎪⎝⎭，选D.【解析】椭圆的简单性质9．若直线y x m =-+与曲线y =m 的取值范围是（）A ．22m -≤＜B ．m -≤≤C ．22m -≤＜或5m =D ．m -≤<5m =【答案】D【分析】根据曲线方程的特征，发现曲线表示在x 轴上方的图象，画出图形，根据图形上直线的三个特殊位置，当已知直线位于直线1l 位置时，把已知直线的解析式代入椭圆方程中，消去y 得到关于x 的一元二次方程，由题意可知根的判别式等于0即可求出此时对应的m 的值；当已知直线位于直线2l 及直线3l 的位置时，分别求出对应的m 的值，写出满足题意得m 的范围，综上，得到所有满足题意得m 的取值范围．【详解】根据曲线2154y x =-，得到21504x -，解得：2525x -；0y ，画出曲线的图象，为椭圆在x 轴上边的一部分，如图所示：当直线y x m =-+在直线1l 的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，把直线y x m =-+代入椭圆方程得：22584200x mx m -+-=，得到0=，即226420(420)0m m --=，化简得：225m =，解得5m =或5m =-(舍去)，则5m =时，直线与曲线只有一个公共点；当直线y x m =-+在直线2l 位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时5m = 当直线y x m =-+在直线3l 位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时25m =- 则当2525m -<时，直线与曲线只有一个公共点，综上，满足题意得m 的范围是2525m -<5m =．故选：D ．10．已知双曲线2222:1x y M a b-=（0a >，0b >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =.若双曲线M 的右支上存在点P ，使12213sin sin a cPF F PF F =∠∠，则双曲线M 的离心率的取值范围为（） A ．27⎛+ ⎝⎭B ．27⎫++∞⎪⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,+∞【答案】A【分析】利用三角形正弦定理结合12213sin sin a cPF F PF F =∠∠，用a ，c 表示出2||PF ，再由点P 的位置列出不等式求解即得.【详解】依题意，点P 不与双曲线顶点重合，在12PF F △中，由正弦定理得：211221||||sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，因12213sin sin a c PF F PF F =∠∠，于是得21||||3PF PF a c=，而点P 在双曲线M 的右支上，即12||||2PF PF a -=，从而有222||3a PF c a=-，点P 在双曲线M 的右支上运动，并且异于顶点，于是有2||PF c a >-，因此，223a c a c a >--，而0c a >>，整理得22340c ac a --<，即23410e e --<，解得e <<又1e >，故有1e <<，所以双曲线M的离心率的取值范围为. 故选：A11．已知两定点()30A -,和()3,0B ，动点(,)P x y 在直线5l y x =-:＋上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的短轴的最小值为（） A．B．CD．【答案】B【分析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.【详解】根据题意，设点()30A -,关于直线5l y x =-:＋的对称点()00,A x y '，则000001303522y x y x -⎧=⎪+⎪⎨+-⎪=-+⎪⎩，解得0058x y =⎧⎨=⎩，即()5,8A '.根据椭圆的定义可知，2a AP BP A P BP A B ''=+=+≥==当A '、P、B 三点共线时，长轴长取最小值min a = 由222a b c =+且3c =，得b = 因此椭圆C 的短轴的最小值为故选：B.12．过原点O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆2212x y +=交于A 、C 与B 、D ，则四边形ABCD 面积最小值为（） A ．83B ．C ．D ．43【答案】A【分析】直线AC 、BD 与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD 面积最小值，再比较大小即可作答.【详解】因四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD 的四个顶点为椭圆顶点时，而1a b ==，四边形ABCD的面积11||||222S AC BD =⋅=⨯= 当直线AC 斜率存在且不0时，设其方程为y kx =，由2222y kxx y =⎧⎨+=⎩消去y 得：22(21)20k x +-=，设1122(,),(,)A x y C x y ，则1212220,21x x x x k +==-+，12|||AC x x =-= 直线BD 方程为1=-y x k，同理得：BD =则有1||||2S AC BD =⋅==83≥，当且仅当221k k =，即1k =-或1k =时取“=”，而83< 所以四边形ABCD 面积最小值为83.故选：A 二、填空题13．双曲线2213y x -=上一点P 到(3,0)M 的距离最小值为___________.【答案】2【分析】设出点P 的坐标，利用两点间距离公式结合二次函数求出最小值即可作答.【详解】设00(,)P x y ，则220013y x -=，即220033=-y x ，于是得||PM ===0||1x ≥，则当01x =时，min ||2PM =，所以双曲线2213y x -=上一点P 到(3,0)M 的距离最小值为2.故答案为：214．若命题P ：对于任意[]1,1a ∈-，使不等式2122ax x a +->为真命题，则实数x 的取值范围是___________. 【答案】(),0∞-【分析】根据题意，结合指数函数不等式，将原问题转化为关于a 的不等式，对于任意[]1,1a ∈-恒成立，即可求解.【详解】根据题意，知对于任意[]1,1a ∈-，2122ax x a +->恒成立，即21ax x a >+-，化简得()1210x a x --+>，令()()121f a x a x =--+，[]1,1a ∈-，则()0f a >恒成立，即()12101210x x x x ⎧---+>⎨--+>⎩，解得0x <，故(),0x ∈-∞.故答案为：(),0∞-.15．已知点(4,0)A 和(2,2)B ，M 是椭圆221259x y +=上一动点，则||||MA MB +的最大值为________.【答案】10+【分析】由题设条件可知，10MA MB MB MF +=+-.当M 在直线BF 与椭圆交点上时，在第一象限交点时有MB MF BF -=-，在第三象限交点时有MB MF BF -=.显然当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时MA MB +有最大值，其最大值为1010MA MB MB MF BF +=+-=+. 由此能够求出MA MB +的最大值.【详解】解：A 为椭圆右焦点，设左焦点为()4,0F -，则由椭圆定义210MA MF a +==，于是10MA MB MB MF +=+-.当M 不在直线BF 与椭圆交点上时，M ､F ､B 三点构成三角形，于是MB MF BF -<，而当M 在直线BF 与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有MB MF BF -=-，在第三象限交点时有MB MF BF -=.显然当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时MA MB +有最大值，其最大值为10101010MA MB MB MF BF +=+-=+=+故答案为：10+【点睛】本题考查椭圆的基本性质，解题时要熟练掌握基本公式.16．已知椭圆2214x y +=的右顶点为A ，上顶点为B ，且直线l 与椭圆交于C ，D 两点，若直线l ∥直线AB ，设直线AC ，BD 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的值为___________.【答案】140.25【分析】求出点A ，B 坐标，设出直线l 的方程，联立直线l 与椭圆方程，借助韦达定理即可计算作答.【详解】依题意，点(2,0),(0,1)A B ，直线AB 斜率为12-，因直线l ∥直线AB ，则设直线l 方程为：12y x t =-+，1t ≠，由221244y x tx y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩消去y 并整理得：222220x tx t -+-=，22244(22)4(2)0t t t ∆=--=-->，解得t<<1t<或1t <设1122(,),(,)C x y D x y ，则212122t,22x x x x t +==-，有1212121,2y y k k x x -==-，因此，121212212122122111()(1)(1)(2)(22)122(2)242x t x t y y x t x t k x x x k x x x x x -+-+----+===⋅--- 22121211221221222()42(2)224211142424x x t x x t x t x x t t t x x x x x x x -+++--⋅+-=⋅=⋅=--，所以12k k 的值为14.故答案为：14三、解答题17．已知p ：方程22131x y t t +=-+所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆；q ：当1[,2]2x ∈时，函数215()32f x x t t x =+>-+恒成立.(1)若p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若p q ∧为假命题，且p q ∨为真命题，求实数t 的取值范围【答案】(1)11t -<< (2)[)11,1,22⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦【分析】(1)由给定条件结合椭圆标准方程的特征列不等式求解作答. (2)求命题q 真时的t 值范围，再借助“或”联结的命题为真命题求解作答. (1)因方程22131x y t t +=-+所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则有310t t ->+>，解得11t -<<，所以实数t 的取值范围是11t -<<. (2)1[,2]2x ∈，则有1()2f x x x =+≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取“=”，即min ()(1)2==f x f ，因当1[,2]2x ∈时，函数215()32f x x t t x =+>-+恒成立，则25322t t -+<，解得122t <<，命题q 为真命题有122t <<，因p q ∧为假命题，且p q ∨为真命题，则p 与q 一真一假，当p 真q 假时，112t -<≤，当p 假q 真时，12t ≤<，所以实数t 的取值范围是1(1,][1,2)2-⋃.18．在三角形ABC 中，三个顶点的坐标分别为(0,2)A ，(1,0)B -，(4,0)C ，且D 为AC 的中点.(1)求三角形ABC 的外接圆M 方程；(2)求直线BD 与外接圆M 相交产生的相交弦的长度.【答案】(1)2232524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；. 【分析】（1）根据题意，结合直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，即可求解；（2）根据题意，结合点到直线的距离，以及弦长公式，即可求解. (1)根据题意，易知ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，故外接圆圆心是B ，C 的中点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，半径为BC 长度的一半为52，故三角形ABC 的外接圆M 方程为2232524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. (2)因为D 为AC 的中点，所以易求(2,1)D . 故直线BD 的方程为310x y -+=，圆心3,02⎛⎫⎪⎝⎭到直线310x y -+=的距离d ==故相交弦的长度为2=. 19．已知双曲线C 的方程为222221y x a-=（0a >）(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过(0,1)E 的直线l 交曲线C 于M N 、两点，求EM EN ⋅的取值范围. 【答案】(1)2211122y x -=；(2)11(,][,)22-∞-+∞.【分析】（1）根据题意，结合离心率易，知双曲线为等轴双曲线，进而可求解；（2）根据题意，分直线斜率否存在两种情形讨论，结合设而不求法以及向量数量积的坐标公式，即可求解. (1)，知双曲线是等轴双曲线，所以222a = 21a =，故双曲线C 的标准方程为2211122y x -=. (2)当直线斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，则由221221y kx y x =+⎧⎨-=⎩消去y ，得到22(22)410k x kx -++=， ∵直线与双曲线交于M ､N 两点，∴222220Δ164(22)0k k k ⎧-≠⎨=-->⎩，解得1k ≠±. 设1122(,)(,)M x y N x y 、，则有12221kx x k +=-，122122x x k ⋅=-，因此2211221222111(,1)(,1)(1)2221k EM EN x y x y k x x k k +⋅=-⋅-=+⋅==+--，∵1k ≠±，∴211k -≥-且210k -≠，故2111k ≤--或2101k >-，故21111(,](,)2122EM EN k ⋅=+∈-∞-+∞-； ②当直线l 的斜率不存在时，此时:0l x =，易知2(0,)2M ，2(0,)2N -，故12EM EN ⋅=. 综上所述，所求EM EN ⋅的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞.20．在平面直角坐标系xOy 中，设点)(1,0F ，直线:1l x =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，也是PF 的中点．RQ FP ⊥，PQ l ⊥．(1)求动点Q 的轨迹的方程E ；(2)过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为M ，N ．求直线MN 过定点R 的坐标．【答案】(1)()240y x x =>(2))(3,0【分析】（1）由图中的几何关系可知PQ QF =,故可知动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，但不能和原点重合，即可直接写出抛物线的方程；（2）设出直线AB 的方程，把点A 、B 的坐标代入抛物线方程，两式作差后，再利用中点坐标公式求出点M 的坐标，同理求出点N 的坐标，即可求出直线MN 的方程，最后可求出直线MN 过哪一定点. (1)∵直线l 的方程为1x =-，点R 是线段FP 的中点且RQ FP ⊥， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线,∵PQ l ⊥, ∴PQ 是点Q 到直线l 的距离, ∵点Q 在线段FP 的垂直平分线，∴PQ QF =,则动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，但不能和原点重合，即动点Q 的轨迹的方程为()240y x x =>.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()1y k x =-，由已知得21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差可得1212124y y x x y y -=-+，即124y y k +=，则2M y k =，代入()1y k x =-可得221M x k =+，即点M 的坐标为2221,kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理设()33,C x y ，()44,D x y ，直线CD 的方程为()11y x k=--，由已知得23324444y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差可得3434344y y x x y y -=-+，即344y y k +=-，则2N y k =-，代入()11y x k=--可得221N x k =+，即点N 的坐标为()221,2k k +-，则直线MN 的斜率为21M N MN M N y y k k x x k -==--，即方程为()222211ky k x k k+=---，整理得()()213y k k x -=-，故直线MN 恒过定点()3,0R .21．已知一张纸上画有半径为4的圆O ，在圆O 内有一个定点A ，且2OA =，折叠纸片，使圆上某一点A '刚好与A 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A '取遍圆上所有点时，所有折痕与OA '的交点形成的曲线记为C . (1)求曲线C 的焦点在x 轴上的标准方程；(2)过曲线C 的右焦点2F （左焦点为1F ）的直线l 与曲线C 交于不同的两点M ，N ，记1F MN △的面积为S ，试求S 的取值范围.【答案】(1)22143x y +=； (2)(]0,3﹒【分析】(1)根据题意，作出图像，可得4MO MA +=，由此可知M 的轨迹C 为以O 、A 为焦点的椭圆；(2)分为l 斜率存在和不存在时讨论，斜率存在时，直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示1F MN △的面积，根据变量范围可求面积的最大值﹒ (1)以OA 中点G 坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图：∴可知()1,0O -，(1,0)A ，设折痕与OA '和AA '分别交于M ，N 两点，则MN 垂直平分AA '，∴MA MA '=，又∵A O MO A M ''=+，∴4MO MA +=， ∴M 的轨迹是以O ，A 为焦点，4为长轴的椭圆．∴M 的轨迹方程C 为22143x y +=；(2)设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1F MN △的周长为48a =．当l x ⊥轴时，l 的方程为1x =，3MN =，12|132|S MN F F =⨯=，当l 与x 轴不垂直时，设():1(0)l y k x k =-≠，由22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(39)460k y ky k -=＋＋，∵∆＞0，∴122643k y y k =-+＋，2122943k y y k =-+，112121211221212111||||||222F MNF F MF F NF F y F F y F F SSy Sy =⋅+⋅=⋅-＝＋ 222122112221169()424224343k k F F y y y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-=⨯--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2222(1(43))k k k +=+令243k t +=，则3t >，22222311114333213333t t S t t t t --⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∵3t >，∴1103t <<，∴03S <<.综上可知，S 的取值范围是(]0,3．22．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)与椭圆2226x y +=的焦点相同，且椭圆C 过点12⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥，(O 为坐标原点)，若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由； (3)P 是椭圆C 上异于上顶点1A ，下顶点2A 的任一点，直线1PA ，2PA ，分别交x 轴于点N ，M ，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T ．证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值．【答案】(1)2214x y +=；(2)存在，2245x y +=；(3)证明见解析，定值2．【分析】(1)根据已知条件，用待定系数解方程组即可得到C 的方程；(2)设出AB 的方程，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，代入由OA OB ⊥确定方程内即可得到结果；(3)设P 点坐标，求出M 和N 坐标，设出圆G 的圆心坐标，求得圆的半径，由垂径定理求得切线长|OT |，结合P 在椭圆上可证|OT |为定值﹒ (1)设椭圆C 的方程为222213x y a a +=-将点12⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程有点．解得24a =，(舍)∴椭圆的方程为2214x y +=；(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，当AB 斜率存在时，设:AB y kx m =+，代入2214x y +=，整理得()222148440k x kmx m +++-=，由OA OB ⊥得12120x x y y +=，即1212()0()x x kx m kx m +++=，由韦达定理化简得2254(1)m k =+=设存在圆222x y r +=与直线:AB y kx m =+r =，解得r =∴圆的方程为2245x y +=；又若AB 斜率不存在时，检验知满足条件，故存在圆心在原点的圆2245x y +=符合题意；(3) 如图：1(0,1)A ，2(0,1)A -，设()00,P x y ，直线0101:1y PA y x x --=，令0y =，得001N x x y =-；直线0201:1y PA y x x ++=，令0y =，得001M xx y =+；解法一：设圆G 的圆心为00001,211x x h y y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，则222220000000000112111411x x x x x r h h y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=++⎢⎥ ⎪⎪+-++-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 22200001||411xx OG h y y ⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭，22222220000000011||||411411x x x x OT OG r h h y y y y ⎛⎫⎛⎫=-=-+-+- ⎪ ⎪+-+-⎝⎭⎝⎭20201x y =-，而220014x y +=，∴()220041x y =-，∴24OT =， ∴||2OT =，即线段OT 的长度为定值2．解法二：20002000|1|1||1x x x OM ON y y y ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪-+-⎝⎭，而220014x y +=，∴()220041x y =-，∴||||4OM ON ⋅=．由切割线定理得2||||||4OT OM ON =⋅=．∴||2OT =，即线段OT 的长度为定值2．。

四川省成都市第七中学2020学年高二数学12月月考试题文(无答案)

成都七中实验学校高二（上）第二次月考文科数学试题第Ⅰ卷一、选择题：（本大共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．）1.某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生 A ．80人 B ． 60人 C ． 100人 D ． 20人2．已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为 A ．中位数 >平均数 >众数 B ．众数 >中位数 >平均数 C ．众数 >平均数 >中位数 D ．平均数 >众数 >中位数 3．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积A ．πB ．π2C ．π3D ．π44．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l nB ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l mD ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥5．对任意的实数k ，直线y =kx +1与圆222x y +=的位置关系一定是A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心6．已知圆22:(2)(1)3C x y -++=，从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为A .43-B .23- C .43 D .23 7．已知三棱锥A PBC -中，PA ⊥面,ABC AB AC ⊥22BA CA PA ===,则三棱锥A PBC -底面PBC 上的高是A ．66B ．263C ．63D ．4638．执行右面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3], 则输出的s 属于A ．[-3,4]B . [-5,2]C . [-4,3]D . [-2,5]9．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为A PE4322 正视图侧视图俯视图A ．4B ．3C ．2D ．210．如图所示，在棱长为2的正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，若P 是棱AC 上一动点，则BP PE +的最小值为A ．3B ．7C ．13+D ．511．若直线b x y +=与曲线224690(3)x x y y y -+-+=≤有公共点,则b 的取值范围是A ．]221,1[+-B ．]221,221[+-C ．[122,3]-D ．]3,21[-12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF = 12．则下列结论中正确的个数．．．．．为 ①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷

2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷一、选择题1. 在直角坐标系中，直线2x−1=0的倾斜角是( )A.2π3B.π3C. 不存在D.π22. 在空间直角坐标系中，点(−2,1,9)关于x轴的对称点的坐标是( )A.(2,−1,9)B.(−2,1,9)C.(2,1,−9)D.(−2,−1,−9)3. 双曲线x2−y2=a2(a>0)的焦点与椭圆x26+y22=1的焦点重合，则实数a的值为( )A.4B.√2C.8D.24. 命题“∃x0∈R，x03−x02+1>0”的否定是( )A.∃x0∈R，x03−x02+1<0B.∀x∈R，x3−x2+1≤0C.不存在x∈R，x3−x2+1>0D.∃x0∈R，x03−x02+1≤05. 直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )A.√22B.12C.√2D.16. 条件p:x>1，y>1，条件q:x+y>2，xy>1，则条件p是条件q的( )A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.即不充分也不必要条件D.充要条件7. 已知两个不同的平面α，β和两个不重合的直线m，n，有下列四个命题：①若m // n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α // β；③若m⊥α，m // n，n⊂β，则α⊥β；④若m // α，α∩β=n，则m // n，其中真命题的个数是( )A.1B.3C.0D.28. 已知圆的方程为x2+y2−6x−8y=0，设该圆过点(3, 5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A.20√6B.10√6C.40√6D.30√69. 设θ∈(3π4, π)，则关于x，y的方程x2sinθ−y2cosθ=1所表示的曲线是( )A.焦点在y轴上的椭圆B.焦点在y轴上的双曲线C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在x轴上的双曲线10. 设e是椭圆x28+y2k=1的离心率，且e∈(12,1)，则实数k的取值范围为( )A.(0,3)∪(163,+∞) B.(0,6) C.(0,2) D.(0,6)∪(323,+∞)11. 已知动直线l：ax+by+c−2=0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线的最大距离为3，则12a+2c的最小值为( )A.94B.1C.9D.9212. 若直线y=x+b与曲线y=3−√4x−x2有公共点，则b的取值范围是（）A.[1−2√2,3]B.[−1,1+2√2]C.[1−√2,3]D.[1−2√2,1+2√2]二、填空题与椭圆x29+y24=1有相同的焦点，且离心率为2的双曲线标准方程是________.空间直角坐标系中，点A(−3，4，0)与点B(x，−1，6)的距离为√86，则x等于________.直线kx−y=k−1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内，则k的取值范围是________．已知点P是椭圆x24+y23=1上任一点，则点P到直线l:x+2y−12=0的距离的最小值为________．三、解答题(1)求经过点P(3,0)，且离心率为√55的椭圆的标准方程；(2)经过两点A(7,6√2)，B(2√7,−3)的双曲线标准方程.已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0.(1)求AC边所在直线方程；(2)求过顶点C且与BH平行的直线．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点，AB=BC= AA1=1.(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求BE与平面BCC1B1所成角的正弦值．已知圆M:x2+(y−2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程．已知命题p：方程x2t+1+y23−t=1所表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆；命题q：实数t满足不等式t2−(a−1)t−a<0.(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；(2)若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，且离心率为12，点M为椭圆上的动点，△F1MF2面积最大值为√3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)M，N是椭圆C上的动点，且直线MN经过定点(0,12)，问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO=∠NQO？若存在，请求出定点Q；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】空间明角钙标系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】双曲线根标准方仅【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】命正算否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】空间使如得与平度之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】直线与三相交的要质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】椭于凸定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用两点间来距离循式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】曲常与树程直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】双曲线根标准方仅【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】空间两点体的存离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两条直验立交点坐标【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线常椭圆至合业侧值问题两条平行射线间面距离【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】双曲线根标准方仅椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两条直验立交点坐标直线的都特式方程两条直因垂直滤倾斜汉措斜率的关系两条直根平行与亮斜角感斜哪的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角平面与平明垂钾的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系轨表方擦直线的三般式方疫【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据较盛必食例件求参数取值问题椭圆较标准划程命题的真三判断州应用一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆锥来线中雨配点缺定值问题椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2022-2023学年四川省成都市第七中学高二年级上册学期12月月考数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年四川省成都市第七中学高二上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．在我校举办的艺术节舞蹈比赛中，有15位评委为选手打分，若选手甲所得分数用茎叶图表示如图所示，则该选手所得分数的中位数为（）A ．80B ．81C ．84D ．85【答案】C【分析】根据茎叶图，结合中位数的定义进行求解即可.【详解】根据茎叶图，从小到大排列，第8个数据为84，所以该选手所得分数的中位数为84，故选：C2．分别对“x A B ∉”和“x A B ∉”进行描述，正确的是（）A ．x A ∉或xB ∉，x A ∉且x B ∉B ．x A ∉或x B ∉，x A ∉或x B ∉C ．x A ∉且x B ∉，x A ∉或x B ∉D ．x A ∉且x B ∉，x A ∉且x B ∉ 【答案】A【分析】由交集和并集的定义结合集合与元素的关系即可得出答案.【详解】由交集和并集的定义知， x A B ∉即x A ∉或x B ∉，x A B ∉即x A ∉且x B ∉.故选：A.3．已知O 为坐标原点，(2,2)A ，则以OA 为直径的圆方程为（）A ．22(1)(1)2x y +++=B ．22(1)(1)2x y -+-=C ．22(1)(1)8x yD ．22(1)(1)8x y +++= 【答案】B【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为()1,1，半径1122r OA ＝=∴圆的方程为22(1)(1)2x y --＋＝﹒故选：B ﹒4．记直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，命题p ：“若12k k =，则12l l ∥”，命题q ：“若121k k ，则12l l ⊥”，则下列选项中，为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】C【分析】先利用两直线平行或垂直的判定来判断命题的真假，然后判断且命题的真假【详解】若12k k =，则12l l ∥或1l 与2l 重合”，故命题p 为假命题， p ⌝为真命题，“若121k k ，则12l l ⊥正确，故命题q 为真命题，所以p q ⌝∧为真命题故选：C.5．双曲线2213x y -=的渐近线方程为（）A ．3y x =±B ．13y x =±C ．y =D ．y x = 【答案】D 【分析】利用双曲线的标准方程，令方程右边的常数1为0，两边开平方，即可得到答案．【详解】双曲线2213x y -=，由方程2203x y -=，可得双曲线的渐近线方程为y x =．故选：D.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线的方程求法，属于基础题．6．如图的程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”．执行该程序框图，若输入1813,333m n ==，则输出m 的值为（）A．4 B．37 C．148 D．333【答案】B【分析】利用辗转相除法求1813和333的最大公约数.【详解】题中程序框图为辗转相除法求1813和333的最大公约数.因为181********=⨯+，333148237=⨯+，1483740=⨯+，所以1813和333的最大公约数为37.故选：B.7．为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元) 8.28.610.011.212支出y(万元) 7.407.508.008.50m但是统计员不小心丢失了一个数据(用m代替)，在数据丢失之前得到回归直线方程为0.760.4y x=+，则m的值等于（）A．8.60B．8.80C．9.25 D．9.52【答案】A【分析】根据表格数据求,x y，由样本中心点(,)x y在回归直线上，将点代入即可求m的值.【详解】由题设知：8.28.61011.212105x++++==，7.47.588.531.455m my+++++==，∵(,)x y在回归直线上，∴31.40.76100.45m +⨯+=，解得8.6m =. 故选：A. 8．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围是( )A ．56a ≤≤B ．56a <<C ．56a <≤D ．56a ≤<【答案】D【分析】模拟执行该循环体5次，求出此时i 的取值即可判断a 的范围.【详解】模拟执行程序：0,1S i ==， ①01,2,2S i a =+=≤；②3,3,3S i a ==≤；③6,44S i a ==≤，； ④10,5,5S i a ==≤；⑤15,6,6S i a ==>，共执行了5次循环体，结束循环，∴56a ≤<.故选：D.9．过点(4,1)P 的直线l 与圆22(3)4x y -+=相交于,A B 两点．记:p 直线l 的斜率等于0，:||23=q AB p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线l 的斜率等于0时，直线l 的方程为1y =，代入方程22(3)4x y -+=中，得33x =±||3AB =，当直线l 的不存在斜率时，直线l 的方程为4x =，代入方程22(3)4x y -+=中，得x =||AB =，因此p 是q 的充分不必要条件，故选：A10．已知圆22:1O x y +=，点00(,0),(0)A x x ≥，动圆M 经过点A 且与圆O 相切，记动圆圆心M 的轨迹为E ，有下列几个命题：①00x =，则轨迹E 表示圆，②001x <<，则轨迹E 表示椭圆，③01x =，则轨迹E 表示抛物线，④01x >，则轨迹E 表示双曲线，其中，真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】设动圆M 圆心(),M x y ，半径为r ，根据圆与圆内切和外切两种情况，结合圆，抛物线，椭圆和双曲线的定义，依次判断每个选项得到答案.【详解】设动圆M 圆心(),M x y ，半径为r ，当00x =时，动圆M 与圆O 内切，故1MO r =-，即1MO MO =-，12MO =，轨迹为圆，①正确；当001x <<时，动圆M 与圆O 内切，故1MO r =-，即1MO MA AO +=>，故轨迹为椭圆，②正确；当01x =时，动圆M 与圆O 内切时，1MO r =-，1MO MA AO +==，轨迹为线段OA ；动圆M 与圆O 外切时，1MO r =+，1MO MA AO -==，轨迹为射线，③错误；当01x >时，动圆M 与圆O 外切，1MO r =+，即1MO MA AO -=<，故轨迹为双曲线，④正确. 故选：C11．抛物线22y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别为,C D ，且2CF DF =，则直线l 的斜率等于（）A ．2B ．12C ．43D ．34 【答案】C【分析】设AB 为12x ky =+，1122(,),(,)A x y B x y 且120y y >>，联立抛物线整理可得12y y +，12y y ，而11(,)2C y -，21(,)2D y -，2CF DF =则有2212144y y +=+，即可求12,y y ，进而求k 值，可知直线l 的斜率.【详解】由题意，1(,0)2F ，设AB 为12x ky =+，1122(,),(,)A x y B x y 且120y y >>， ∴联立抛物线方程，整理得：2210y ky --=且2440k ∆=+>， ∴122y y k +=，121y y =-①，又11(,)2C y -，21(,)2D y -，2CF DF =， ∴2212144y y +=+，得221234y y =+②，联立①②，可得：1212,2y y ==-，则322k ，故34k =， ∴直线l 的斜率为43. 故选：C【点睛】关键点点睛：设直线并联立抛物线方程，应用韦达定理写出12y y +，12y y ，结合已知线段的数量关系列方程组求12,y y ，进而求直线的斜率.12．某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S 等于（）A ．24B ．26C ．30D ．32【答案】D【分析】确定函数表示椭圆的上半部分，d 表示椭圆上的点到一个焦点的距离，S 表示距离之和，画出图像计算得到答案. 【详解】25116x y =-，即2251162x y +=，()0y ≥，表示椭圆的上半部分，焦点为()10,3F ，()20,3F -，d 表示椭圆上的点到一个焦点的距离，S 表示距离之和，如图所示：()1121314152627232732S A F A F A F A F A F A F A F a a c a c =++++++=⨯+-=-=.故选：D二、填空题13．命题“对R b ∀∈，方程22211x y a b +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”为真命题，则满足条件的a 的一个值可以是______．【答案】0.5（填满足01a <<的任意实数均可）【分析】由题意知，210b a +>>，又因为211b +≥，可求出01a <<，即可得出答案.【详解】因为命题“对R b ∀∈，方程22211x y ab +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”为真命题，则210b a +>>，因为211b +≥，所以01a <<.故答案为：0.5（填满足01a <<的任意实数均可）.14．在平面直角坐标系中，已知点(1,4),(3,2)A B --，现将坐标平面沿x 轴折成直二面角，则折叠后A ，B 间的距离为______．【答案】6【分析】如图所示，过A 作AC x ⊥轴于C ，作BD x ⊥轴于D ，确定AC BC ⊥，利用勾股定理计算即可.【详解】如图所示：过A 作AC x ⊥轴于C ，作BD x ⊥轴于D ，折叠后的两个平面为,αβ，αβ⊥，x αβ=轴，AC x ⊥轴，故AC α⊥，BC α⊂，故AC BC ⊥，则22222425BC BD CD =+=+=，2216206AB AC BC =+=+=. 故答案为：615．已知动圆P 的圆心P 在y 轴的右侧，圆P 与y 轴相切，且与圆C ：222x y x +=外切．则动圆圆心P 的轨迹方程为____________．【答案】24(0)y x x =>【分析】由题意，设点(,)(0)P x y x >，圆P 与y 轴相切则圆P 的半径为1r x =，在根据两圆的位置关系求出解析式即可.【详解】由题知，设点(,)(0)P x y x >，因为圆P 与y 轴相切，所以圆P 的半径为1r x =，由圆C ：()2222211x y x x y +=⇒-+=，所以圆心为(1,0)C ，半径21r =，由圆P 与圆C 外切，所以12r r PC +=，即1x +=化简得：24(0)y x x =>故答案为：24(0)y x x =>.16．已知点(3,1)M ，直线:2(1)40,(R)l ax a y a -++=∈，M 关于直线l 的对称点为点N ，则OM ON ⋅的取值范围是_________．【答案】(0,20]【分析】直线过点()2,4，考虑斜率不存在，斜率为0和斜率存在且不为0三种情况，根据对称计算N 的坐标，再计算向量的数量积，根据二次函数的性质得到答案.【详解】():420l y a x y -+-=，4020y x y -=⎧⎨-=⎩，得到2,4x y ==，故直线过定点()2,4，当斜率不存在时，即1a =-时，直线方程为2x =，故()1,1N ，()()3,11,14OM ON =⋅=⋅；当斜率为0时，即0a =时，直线方程为4y =，故()3,7N ，()()3,13,716OM ON =⋅=⋅；当直线斜率存在且不为0时，设()00,N x y ，设直线方程为()24y k x =-+，221a k a =≠+，则00113y x k -=--，00132422y x k ++⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得202202631271k k x k k k y k ⎧-+=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩， ()222222224263274161631111k k k k k O k k N k O k k M k --+++-+=++++⋅==+，设2k t -=，2k t =+，0t ≠，222244454451211555O t t N t M t t t O ===++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭⋅，212115555t ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，故(]0,20OM ON ⋅∈. 综上所述：(]0,20OM ON ⋅∈故答案为：(0,20]三、解答题17．某幼儿园为调查学生的年龄与体重之间的关系，现从全校学生中随机抽取100名学生对他们的体重进行分析，这100个样本已经按体重[15,20),[20,25),[25,30),[30,35]（单位：公斤）分成四组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)若要从体重在[15， 20），[20，25) ， [25， 30)三组内的学生中，用分层抽样的方法选取16人参加一项活动，求从体重在[25，30)内的学生中应选取的人数；(2)求这100名学生的平均体重．【答案】(1)7；(2)25.5.【分析】（1）根据在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，结合分层抽样的性质进行求解即可；（2）根据平均数的定义进行求解即可.【详解】（1）(0.030.040.06)51a +++⨯=，所以解得0.07a =，体重在[15， 20），[20，25) ， [25， 30)三组内的学生人数分别为15、30、35人设体重在[25，30)内的学生中应选取的人数为x ，则16735153035x x =⇒=++；（2）这100名学生中，体重在[15， 20）内的频率为15100，体重在[20， 25）内的频率为30100，体重在[25， 30）内的频率为35100，体重在[30， 35）内的频率为20100，所以平均体重为153530453555206525.51002100210021002⨯+⨯+⨯+⨯=. 18．已知:p 方程22122xy m m +=-+表示双曲E ，:q 方程2222x y y m +-+=表示圆C ． (1)若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围； (2)若p q ∧为真，求双曲线E 的离心率的取值范围．【答案】(1)(][)2,12,m ∈-+∞(2)e ∈【分析】（1）当p 为真命题时，22m -<<，当q 为真命题时，1m >，考虑p 真q 假和p 假q 真两种情况，计算得到答案. （2）确定(1,2)m ∈，242e m =+，根据m 范围得到离心率的取值范围.【详解】（1）p q ∨为真命题，p q ∧为假，故p ，q 恰有一个是真命题．当p 为真命题时，(2)(2)0m m -+<，解得22m -<<；当q 为真命题时，2222x y y m +-+=，即()2211x y m +-=-，故1m >.当p 真q 假时，221? m m -<<⎧⎨≤⎩，解得21m -<≤；当p 假q 真时，21m m ≥⎧⎨>⎩或21? m m ≤-⎧⎨>⎩，解得2m ≥.综上所述：m 的取值范围是(][)2,12,m ∈-+∞，（2）p q ∧为真，则(1,2)m ∈，根据双曲线E 的方程得222,2a m b m =+=-. 所以242e m =+，12m <<，324m <+<，44123m <<-．所以双曲线的离心率e ∈． 19．已知某同学的物理成绩y （单位：分，满分100分）与数学成绩x （单位：分，满分150分）之间具有线性相关关系，在连续的五次月考中，该生的物理成绩与数学成绩统计如下表：(1)根据该同学的数学与物理成绩，若都以100分值计算，判断哪一科更稳定；(2)利用上表中的五组数据求回归直线方程y b x a ∧∧∧=+.若在第六次月考中该生数学成绩为135x =，利用该回归直线方程预测第六次月考的物理成绩．参考公式：222211221()()1=[()()()],,()nii i n nii xx y y s x x x x x x b a y b x n xx ∧∧∧==---+-++-==--∑∑【答案】(1)物理成绩更加稳定； (2)98.1分.【分析】（1）根据方差的运算公式和性质进行求解判断即可；（2）根据题中所给的公式，利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）根据表中数据可得：1201101251301159283909689120,90,55x y ++++++++====按100分值计算，数学学科的方差为：222222211100200(0105105)51509s ⎛⎫=++++⨯=⎪⎝⎭，物理学科的方差为22222221(27061)185s =++++=，200189>，所以均以100分值计算，该同学物理成绩更加稳定；（2）51()()135i i i x x y y =--=∑521()250ii x x =-=∑51521()()0.54()iii ii x x yy b x x ∧==--∴==-∑∑.900.54120a y b x ∧=-⋅=-⨯25.2a ∴= ，故所求回归直线的方程为0.5425.2y x =+ 当135x =，∴98.1y =(分)∴故第六次月考物理成绩预测值为98.1分.20．已知0a >，三条直线123:0,:(1)0,:(1)10l ax y a l x ay a a l a x y a -+=+-+=+-++=两两相交，交点分别为,,A B C ．(1)证明：ABC 是直角三角形，且有一个顶点为定点； (2)求ABC 面积的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)34.【分析】（1）根据直线垂直的性质，结合直线点斜式方程的特征进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】（1）记12,l l 的交点为A ，记13,l l 的交点为B ，记23,l l 的交点为C ，1:0l ax y a -+=的斜率为1k a =，2:(1)0l x ay a a +-+=的斜率为21k a=-， 121k k =-，12l l ∴⊥，即ABC 是直角三角形，其中90A =，又1:0(1)l ax y a y a x -+=⇒=+，所以过定点(1,0)-，3:(1)10(1)(1)l a x y a y a x +-++=⇒=++，所以过定点(1,0)-，ABC 有一个顶点B 为定点(1,0)-；（2）ABC 的面积为1||||2S AB AC =，其中AB 为B (1,0)-到直线2l的距离，即2||AB ，又23,l l 得交点为(0,1)C a +到直线1l的距离，即||AC =221111113111221224a a S a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++ ==⋅=+≤= ⎪+ ⎪+ ⎝⎭⎝，当且仅当1a a=时取等号， 1a ∴=时，ABC 面积取得最大值34． 21．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，抛物线24y x =与椭圆有相同的焦点，点P 为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且17||3PF =． (1)求椭圆的方程；(2)过F 作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，线段AB 的中点为M ，线段CD 的中点为N ，证明：直线MN 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析，定点4(,0)7.【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标，结合余弦定理、抛物线和椭圆的定义进行求解即可；（2）直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式进行求解即可. 【详解】（1）抛物线焦点坐标为(1,0)，故221a b -=. 设2||PF t =，由抛物线定义得：点P 到直线=1x -的距离为t.123cos 7t PF F ∴∠=，由余弦定理，得21249434cos 77223tt PF F +-∠==⨯⨯. 整理，得2936650t t +-=，解得53t =或133t =-（舍去）.由椭圆定义，得12||||24PF PF a +==，2,a b ∴==∴椭圆的方程为22143x y +=；（2）设:1,(0)AB l x my m =+≠，联立22221(34)690143x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，即2634A B my y m -+=+， 23234A B M y y m y m +-∴==+，代入直线方程得2434M x m =+，2243(,)3434mM m m -∴++，同理可得22243(,)4343m mN m m ∴++， 2744MN mk m ∴=-， 222374:()344434MN m m l y x m m m ∴+=-+-+，令0y =，得2222241212121647347(34)7(34)m m x m m m -+=+==+++，所以直线MN 过定点4(,0)7.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键. 22．已知抛物线24y x =及圆C ：222x y x +=．(1)过圆心C 作直线l 与抛物线和圆交于四个点，自上而下依次为A ，M ，N ，B ，若||,||,||AM MN NB 成等差数列，求直线l 的方程；(2)过抛物线上一动点P （P ）作圆C 的两条切线分别交y 轴于E ，F 两点，求线段EF 的取值范围．【答案】(1)1)y x =- (2)(2,)+∞【分析】（1）由圆C 的半径为1可得||2MN =，因为||,||,||AM MN NB 成等差数列，找出等量关系，求出||AB 的值，设直线方程:1l x my =+，代入抛物线方程化简，利用韦达定理，弦长公式即可求出直线方程；（2）设22000(,2),2P y y y >，求出过P 且与圆C 相切的直线方程，记,PE PF 得斜率分别为12,k k ，再利用已知条件表示出||EF ，结合题设条件转化为函数求解即可. 【详解】（1）由圆C 的半径为1可得||2MN =，因为||,||,||AM MN NB 成等差数列，所以||||2||4AM NB MN +==，又||||||||AM NB AB MN +=-，所以||6AB =，设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12124,4x x m x x +==-，由||6AB =得：AB6，解得212m=，所以直线l 的方程为1)y x =-.（2）设22000(,2),2P y y y >，过P 且与圆C 相切得直线方程为：2002()y y k x y -=-，记,PE PF 得斜率分别为12,k k ，则2010(0,2)E y k y -，2020(0,2)F y k y -，所以2120||||EF k k y =-，由圆心到直线的距离等于半径得：21=，化简得：4222200000(2)4(1)410y y k y y k y -+-+-=2001222004(1)(2)y y k k y y -∴+=-，2012220041(2)y k k y y -=-，21200||||EF k k y y ∴=-=0y =0|y =0|y =令202t y =-，则202y t =+，因为202y >，所以2020t y =->()0,t ∈+∞，||EF ∴= ()10,t∈+∞，（对称轴更接近0） ||2EF ∴>，即线段EF 的取值范围为：(2,)+∞.。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高二下学期入学考试数学(理)试题及答案

成都七中2021级高二下期入学考试题(理)命题人: 邓灏然、张锦淏、李勃希、张思宜审题人：廖学军一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的.)1. 抛物线4x 2=y 的准线方程是（）A.y =1 B .y =−1 C.y=116 D.y =−1162. 在一次数学测验中，统计7名学生的成绩分布茎叶图如图所示，若这7名学生的平均成绩为77分，则x 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 3. 容量为100的样本，其数据分布在[2，18]，将样本数据分为4组：[2，6），[6，10），[10，14），[14，18）得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（） A.样本数据分布在[6，10）的频率为0.32 B.样本数据分布在[10，14）的频数为40 C. 样本数据分布在[2，10）的频数为40 D.估计总体数据大约有10%分布在[10，14）4. 下列叙述：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件；③抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于12；④在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率；则所有正确结论的序号是（） A ．①②④ B ．①③ C ．②④ D ．①②5. 惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名建筑事务所steynstudio 完成的.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成y 2-2x m=1（m>0）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为2x −my =0，则此双曲线的离心率为（） A ．4 B ．√3 C ．2 D ．√56. 在区间[0,π]上随机取一个数θ，使得2≤2sin θ+2cos θ≤2成立的概率是 ( ) A.1 B.1 C.1D.18. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（） A ．0.25 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.75 9. 新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段．某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论不．正确的是（） A ．甲同学的体温的极差为0.5℃ B ．甲同学的体温的众数为36.3℃C ．乙同学的体温的中位数与平均数不相等D ．乙同学的体温比甲同学的体温稳定 10. 中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”，如图，一位古人在从右到左（即从低位到高位）依次排列的红绳子上打结，满六进一，用6来记录每年进的钱数，由图可得，这位古人一年收入的钱数用十进制表示为（） A ．180 B ．179 C ．178D ．17711. 20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法．如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率π，（其中rand （）是产生[0，1]内的均匀随机数的函数，k ∈N ∗），则π的值约为（） A.m k B.2m k C.4-m k D. 4m k12. 已知A ，B 是曲线|x |−1=√−y 2+2y +3上两个不同的点，C （0，1），则|CA|+|CB|的最大值与最小值的比值是（） A ．√53 B ．3√55C ．√2D ．√3二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.)13. 圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a= ． 14. 用秦九韶算法下列计算多项式：65432()3456781f x x x x x x x =++++++，当x=2时，v 2=____.15. 直线y =kx −2与双曲线x 2−y 2=1有且仅有一个公共点，则k=_______.16. 参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球吋,发现当篮球放在地面上吋,篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆,但他自己还是不太确定这个想法,于是回到家里翻阅了很多参考资料,终于明白自己的猜想是没有问题的,而且通过学习,他还确定地面和篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验:如图所示,桌面上有一个篮球,若篮球的半径为1个单位长度,在球的右上方有一个灯泡P (当成质点),灯泡与桌面的距离为4个单位长度,灯泡垂直照射在平面的点为A ,影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度,则这个影子椭圆的离心率e=_____.三、解答题：(本大题共6个小题，17题10分其余每道小题各12分，共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知p ：m ＜a +1＜m 2+2：q ：函数f （x ）=log 2x −a 在区间(14，4)上有零点．（1）若m=1，求使p 假q 真时实数a 的取值范围；（2）若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18. 机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险．机动车辆保险一般包括交强险和商业险，商业险包括基本险和附加险两部分．经验表明新车商业险保险费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的相关数据：（1）根据表中数据，求y 关于x 的线性回归方程（精确到0.01）；（2）某保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保险费倍率，上一年没有出险，则下一年保险费倍率为85%，上一年出险一次，则下一年保险费倍率为100%，上一年出险两次，则下一年保险费倍率为125%．成都的好心先生2022年1月购买了一辆价值32万元的新车．若该车2022年2月已出过一次险，4月又发生事故，好心先生到汽车维修店询价，预计修车费用为800元，理赔人员建议好心先生自费维修（即不出险），你认为好心先生是否应该接受该建议？请说明理由．（假设车辆2022年与2023年都购买相同的商业险产品）参考数据：71i ii x y =∑=445605 721ii x=∑=3500 y̅=2809.86 参考公式： b ̂=121()()()niii nii x x y y x x ==---∑∑=1221ni ii nii x y nxyxnx ==--∑∑19. 已知抛物线C:y 2=2px(p>0)，过抛物线C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于P,Q 两点，|PQ |=4.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点F 的坐标和准线l 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线与抛物线C 交于不同的两点A 、B ，直线OA 与准线l 交于点M.连接MF ，过点F 作MF 的垂线与准线l 交于点N.求证：O,B,N 三点共线.20. 已知双曲线C ：2222x y -=与点()1,2P ．（1）求过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ；（2）在(1)的前提下,如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．21. 已知椭圆C: x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点恰好围成面积为√3的等边三角形. （1）求C 的方程；（2）如图，设C 的左，右顶点分别为A,B ，右焦点为F ，P 是C 上异于A,B 的动点，直线AP 与直线x=a 交于点D ，当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明.22. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，离心率为√33，(√3,√6)为C 上一点，过点F 1且与y 轴不垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点． (1)求C 的方程；(2)在平面内是否存在定点Q ，使得QA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅QB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．成都七中2021级高二下期入学考试题(理)参考答案及评分标准命题人: 邓灏然、张锦淏、李勃希、张思宜审题人：廖学军一、选择题：(12个小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的.)1. 抛物线4x 2=y 的准线方程是（ D ）A.y =1 B .y =−1 C.y=116 D.y =−1162. 在一次数学测验中，统计7名学生的成绩分布茎叶图如图所示，若这7名学生的平均成绩为77分，则x 的值为（ C ）A ．5B ．6C ．7D ．8 3. 容量为100的样本，其数据分布在[2，18]，将样本数据分为4组：[2，6），[6，10），[10，14），[14，18）得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（ D ） A.样本数据分布在[6，10）的频率为0.32 B.样本数据分布在[10，14）的频数为40 C. 样本数据分布在[2，10）的频数为40 D.估计总体数据大约有10%分布在[10，14）4. 下列叙述：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件；③抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于12；④在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率；则所有正确结论的序号是（ A ） A ．①②④ B ．①③ C ．②④ D ．①②5. 惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名建筑事务所steynstudio 完成的.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成y 2-2x m=1（m>0）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为2x −my =0，则此双曲线的离心率为（ D ） A ．4 B ．√3 C ．2 D ．√56. 在区间[0,π]上随机取一个数θ，使得2≤2sin θ+2cos θ≤2成立的概率是 (B ) A.1 B.1 C.1D.18. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ D ） A ．0.25 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.75 9. 新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段．某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论不．正确的是（ C ） A ．甲同学的体温的极差为0.5℃ B ．甲同学的体温的众数为36.3℃C ．乙同学的体温的中位数与平均数不相等D ．乙同学的体温比甲同学的体温稳定 10. 中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”，如图，一位古人在从右到左（即从低位到高位）依次排列的红绳子上打结，满六进一，用6来记录每年进的钱数，由图可得，这位古人一年收入的钱数用十进制表示为（ D ） A ．180 B ．179 C ．178D ．17711. 20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法．如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率π，（其中rand （）是产生[0，1]内的均匀随机数的函数，k ∈N ∗），则π的值约为（ B ） A.m k B.2m k C.4-m k D. 4m k12. 已知A ，B 是曲线|x |−1=√−y 2+2y +3上两个不同的点，C （0，1），则|CA|+|CB|的最大值与最小值的比值是（ B ） A ．√53 B ．3√55C ．√2D ．√3二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.)13. 圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a= 3 ． 14. 用秦九韶算法下列计算多项式：65432()3456781f x x x x x x x =++++++，当x =2时，v 2=____.2515. 直线y =kx −2与双曲线x 2−y 2=1有且仅有一个公共点，则k=_____.±1，±√516. 参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球吋,发现当篮球放在地面上吋,篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆,但他自己还是不太确定这个想法,于是回到家里翻阅了很多参考资料,终于明白自己的猜想是没有问题的,而且通过学习,他还确定地面和篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验:如图所示,桌面上有一个篮球,若篮球的半径为1个单位长度,在球的右上方有一个灯泡P (当成质点),灯泡与桌面的距离为4个单位长度,灯泡垂直照射在平面的点为A ,影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度,则这个影子椭圆的离心率e=_____.79三、解答题：(本大题共6个小题，17题10分其余每道小题各12分，共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知p ：m ＜a +1＜m 2+2：q ：函数f （x ）=log 2x −a 在区间(14，4)上有零点．（1）若m=1，求使p 假q 真时实数a 的取值范围；（2）若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解:(1)当m=1时，p:0<a<2，则p 为假时，￢p:a ⩽0或a ⩾2. (2分) ∵函数f(x)=log2x −a 在区间（14，4)上单调递增，且函数f(x)=log2x −a 在区间（14，4)上有零点，∴由零点存在定理：f(14)=log214−a<0且f(4)=log24−a>0，解得−2<a<2，则q:−2<a<2. (4分)∴p 假q 真，解得−2<a ⩽0.则a 的取值范围是(−2,0]. (5分) (Ⅱ)∵p:m<a+1<m 2+2，q:−2<a<2，且p 是q 成立的充分条件。

四川省成都市第七中学高一数学12月月考试题

数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．） 1.设集合{}21<<-=x x M ，集合{}31<<=x x N ，则=N M Y （）A.{}31<<-x xB.{}21<<-x xC.{}31<<x xD.{}21<<x x2.函数{}5,4,3,2,1,5)(∈=x x x f 的图象是（） A. 一条直线 B. 两条直线 C. 抛物线 D.几个点 3.函数xx x f 1)(-=是（） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 4.计算4325)12525(÷-的结果为（）A. 555-B. 656-C. 556-D.以上答案均不正确 5.函数)62sin(4)(π+=x x f 的最小正周期为（）A.4π B.2πC. πD.π2 6.为得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图象，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图象上所有的点（）（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）先把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度。

（D ）先把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向左平移2π个单位长度。

7.函数11)]1(sin[2)(--+=x x x f π在)3,23(∈x 时的零点在下列哪个区间上（）A.)47,23(B.)2,47(C.)25,2(D.)325(，8．若βα，是某三角形的两个内角，并且满足βαcos sin =,则该三角形的形状必为（） A. 直角三角形 B.锐角三角形C. 等腰三角形D.直角三角形或钝角三角形9.定义域为R 的函数)(x f ，对x ∀都有)2()(x f x f -=，则下列选项一定正确的是（） A. )(x f -为偶函数 B. )1(-x f 为偶函数 C. )1(x f -为偶函数 D.)2(-x f 为偶函数10.已知三角函数b x A x f ++=)sin()(ϕω同时满足以下三个条件①定义域为R ；②对任意实数x 都有)3()(f x f ≤；③)()(21)2(2x f x f x f -+=+，则)(x f 的单增区间为（）A.Z k k k ∈+-],14,14[B. Z k k k ∈++],34,14[C. Z k k k ∈+-],38,18[D.Z k k k ∈++],68,28[二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的横线上 11．函数02x )x 3(log y +-=的定义域为 . 12. 化简=+5lg 2lg 13．函数)213cos(x y -=π的单调递增区间为 . 14. 使不等式4log 4log 3log 3log 22->-m m 成立的实数m 的范围为15.已知函数x x f sin )(=，x x g 2cos )(=，以下判断正确的序号是①函数x x f x h tan )()(-=在]0,2(π-∈x 上的零点只有1个。

20232024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷

20232024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷1.若集合，，则集合B的真子集个数为（）A．5B．6C．7D．82.已知向量，，若，则（）A．B．C．D．3.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（）A．B．C．D．44.已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．5.从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（）A．8B．12C．18D．726.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（）A．平均数B．中位数C．极差D．众数7.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行反射镜于轴的入射光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（）A．B．C．D．8.函数的零点个数是（）A．8B．6C．4D．29.如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（）A．直线和所成的角为B．四面体的体积是C．点到平面的距离为D．平面与平面所成二面角的正弦值为10.在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（）A．B．C．D．11.把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（）A．服从超几何分布B．服从二项分布C．D．若，则12.已知函数，则__________.13.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有__________种不同的走法．14.若不等式恒成立，则的最小值为______________________．15.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据：036912151821242 1.51 1.52 1.51 1.52经长期观察，的曲线可近似的满足函数.(1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式；(2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？16.在三棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且（）.(1)求证：平面；(2)已知，且直线与平面的所成角的正弦值为时，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.3名同学去听同时举行的，，课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）.(1)记选择课外知识讲座的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；(2)对于两个不相互独立的事件，，若，，称为事件，的相关系数.①已知，证明；②记事件“课外知识讲座有同学选择”，事件“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件，是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求.18.已知点为坐标原点，将向量绕逆时针旋转角后得到向量.(1)若，求的坐标；(2)若，求的坐标（用表示）；(3)若点在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数.19.设实系数一元二次方程①，有两根，则方程可变形为，展开得②，比较①②可以得到这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.设方程有三个根，则有③(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；(2)已知函数恰有两个零点.（i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0；（ii）求的取值范围.。

(成都七中)四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期第二次月考模拟试卷二

2023外研版-高二上册-成都第七中学-（第二次月考模拟试卷）(本试卷不含听力)题号A卷B卷总分得分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分阅读［共两节，满分50分］第一节（共15小题；每小题2.5分，满分37.5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。

A篇This document sets out the display standards for Glasgow Museums. This guide will help exhibition planners provide access to exhibitions in our museums. Glasgow Museums’ aim is to improve access to collections by having as many items as possible on display and without physicalbarriers. We also try our best to protect these objects without limiting access to them.Object Placement*Don’t place objects in such a way that they could present a danger to visitors.*All object displays, cased or otherwise, must be viewable by all, including people who are small in figure or in wheelchairs.Open Display*All objects on open display must be Secure from theft and damage.*All objects identified for potential open display must be viewed and agreed on an object-to-object basis byRecommendations DistanceRecommended distance to place objects out of “casual arm's 700mm length”700mm(taken from the edge of the object to the edge of any proposed form ofbarrier)Cased Objects*All cased displays should fall within the general optimum(最优的)viewing band of 750-2,000mm. Ensure everything is visually accessible from a wheelchair.*Position small objects or those with fine detail in the front part of a case, with larger items behind.*Position small items or those with fine detail no higher than 1,015mm from floor level. Objects placed abovethis height are only seen from below by people in wheelchairs or people who are small in figure.( )1. From this text, we can learn that Glasgow Museums______.A. limit access to exhibitions on a daily basisB. are most well-known for its large collectionC. make generous donations to the disabledD. give weight to the experiences of visitors( )2. According to the guide, objects to be placed on open display must______.A. be equipped with anti-theft systemB. be viewed from a distance of 700mmC. receive approval from the museum firstD. fall within arms' reach of a standing man( )3. A mother and her 10-year-old son are likely to both feel comfortable in front of a diamond placed in a glass case at the height of______.A.1,250mmB.950mmC.650mmD.450mmB篇In mammals, loud calls usually serve as alarm signals that warn fellow species of an enemy or other danger. On the other hand, screams from humans can have very different meanings, as Swiss researchers now report in the journal“PLoS Biology”. Human’s screams are not always only associated with negative emotions such as fear, pain, anger and grief, but also positive emotions such as joy and pleasure.Sascha Frihholz and his colleagues from the University of Zurichstudied how many types of human screams there are, how accurately test subjects can distinguish them, and which brain regions are involved(参与)in processing such sound signals. To do this, they first made sound recordings of different screams. Twelve men and women were to put themselves in situations where they reacted with a brief scream. The predetermined situations included, for example: an attack by an armed stranger, celebration about a sporting victory of their favorite team, the threat of an opponent.From the recordings, the researchers finally selected 420 screams. From this, they identified six distinct categories of screams, including three of alarming characters (cries of pain, anger, and fear) and three non-alarming screams ( as expressions of great pleasure, extreme joy, and desperate sadness). Contrary to all expectations, the subjects reacted to non-alarming screams more quickly and recognized the emotion expressed with it more reliably than with alarming screams. This was also confirmed by images of the brain using functional magnetic resonance imaging(FMR).“Until now, researchers assumed that humans also detect and process perceived alarm signals particularly quickly in the form of screams, as this is an important survival mechanism(机制),”says Frihholz. But unlike monkeys and other mammals, non-alarming screams would have become more important for communication.“This changed priority(优先)is probably due to needs that have evolved in the evolution of complex human social relationships."( )4. What does the text mainly talk about?A. Human’s screams expressions.B. An experiment launched in screams.C. Loud calls as a survival mechanism.D. Mammals' loud calls served as alarm signals.( )5. Which expression can be reacted to more quickly?A. Cries of pain.B. Anger.C. Fear.D. Desperate sadness( )6. What does the last paragraph convey?A. Monkeys are not sensitive to non-alarming screams.B. Humans survive because of quick reaction to screams.C. Non-alarming screams gain priority because of human’s revolution.D. Non-alarming screams make human social relationships more complex.( )7. What is the purpose of the text?A. To spread and advocate.B. To argue and discuss.C. To compare and inform.D. To recommend and introduce.C篇Good manners are always good manners. That's what I thought until I married Alexander, who is Russian.When I first met Alexander and he said to me in Russian, “Nalei mnye chai-pour me some tea.” I got angry and answered, “Pour it yourself." Translated into English, without a“please”, it sounded really rude to me. But in Russian it was fine-you don't have to add any polite words.However, when I took Alexander home to meet my parents in the UK, I had to give him a good lesson about pleases and thank-yous, and to teach him to smile, smile, smile.Another thing that Alexander just couldn't understand was why people say things like “Wouldyou mind passing me the salt, please?" He said, “It's only the salt, for God’s sake! What do you say in English if you want a real favour?”He also watched in amazement when, at a dinner party in England, we swallowed some really disgusting food and I said, “Mmmm... delicious." In Russia, people are much more direct. The first time Alexander's mother came to our house for dinner, she told me that my soup needed more flavouring. Afterwards, when we argued about it, my husband said, “Do you prefer your dinner guests to lie?"Alexander complained that in England he felt like an idiot because in Russia if you smile all the time people think you are mad. In fact, this is exactly what my husband's friends thought of me the first time I went to Russia because I smiled at everyone.At home we now have an agreement. If we're speaking Russian, he can say “Pour me some tea”. But when we're speaking English, he has to add a “please”, a “thank you”, and a smile.( )8.What can we know from what Alexander said?A. He didn't think politeness was necessary.B. He didn't like the writer's politeness.C. He wasn't used to the English politeness.D. He wasn’t willing to have good manners.( )9. What did Alexander's friends think of the author when they first met her?A.She was noble.B. She was strange.C. She was lovely.D. She was impolite.( )10. What can we learn from their agreement?A. They respect each other.B. They change a lot for each other.C. They learn from each other.D. They fail to fit in with each other.( )ll. What topic is the text mainly about?A. Good manners.B. Human relations.C. Culture shock.D. Mixed marriages.D篇What fisherman Moul Thun from a remote island in the Mekong River, in northern Cambodia, didn't know was that stingray(黄貂鱼) he hooked would eventually be named the largest recorded freshwater fish. For Zeb Hogan, who’s been documenting large freshwater fishes for almost two decades, the discovery of the stingray, which was released alive back into the river, filled him with hope. "It proves these underwater big fish, which are in critical danger, still exist," says Hogan.Hogan's pursuit for big fish, called the Megafishes Project and supported by National Geographic Society, began in 2005 when fishermen in northern Thailand pulled a 646 pound catfish out of the Mekong River. The species is known that it was the largest, that is, the heaviest-ever caught in the area.Arriving at the island, the team found Thun's fish, a female that appeared to be in good health. It was more than 13 feet from nose to tail. The researchers were shocked to see her weight at 661 pounds. She set a new world record. The original aim of the Megafishes Project was to find, study, and protect the world's largest freshwater fishes. The project focused on species that could grow to at least the size of a human and that lived only in freshwater.Hogan initially drew up a list of roughly 30 species to focus on.The challenge, as Hogan soon learned, was that many of these fish are hard to find. They live in remote, inaccessible places, and often in deep waters. Early on in the search, there were relatively few scientists studying them.What was clear was that the river giants were shrinking in number, threatened by a host of factors including overfishing, water pollution, and the presence of dams, which block migrating fish from completing their life cycles. As Hogan's work progressed, its focus increasingly turned to conservation. “It was never about just finding the biggest fish,” Hogan says, “but looking for ways to protect these extraordinary animals that, in some cases, have been on Earth for hundreds of millions of years but are now drifting out of entities."( )12. Why was Zeb Hogan full of hope?A. Freshwater fishes weren’t in danger.B. Some large fishes didn’t die out.C. The stingray was put into the river.D. Many large fishes existed in rivers.( )13. What can we know about the 646-pound catfish?A. It was also caught by Moul Thun.B. It's the largest recorded freshwater fish.C. It was injured very seriously.D. It was caught in the Mekong River.( )14. Which of the following is the original goal of the Megafishes Project?A. Finding about 30 species of big fishes.B. Studying fishes smaller than humans.C. Protecting big freshwater fishes.D. Setting new record in finding fishes.( )15. What does the underlined part “drifting out of entities" in the last paragraph mean?A. Dying outB. Getting illC. Being protected.D. Living well.第二节（共5小题；每小题2.5分，满分12.5分）阅读下面短文，从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。

四川省成都市第七中学2018-2019学年高二上学期半期考试数学(理科)试题含答案

成都七中2018～2019 学年度上期高2020 届数学半期考试试题（理科）（满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.不在曲线上的点的坐标是（）2.抛物线的焦点到准线的距离等于（）3.双曲线的渐近线方程为（）4.直线在x轴上的截距为（）5.直线与坐标轴围成的三角形的周长为（）6.若x,y满足约束条件，则的最小值为（）7.设P为双曲线上任一点，，则以FP为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆（）相切相交相离内含8.已知P为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（）9.点满足关系式，则点M的轨迹是（）椭圆双曲线双曲线的一支线段10.圆关于直线对称的圆的方程为（）.x2+y2+3y+1=011.设点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当时，点M的轨迹方程为；x2 9y2②当时，点M的轨迹方程为-=1(x≠±5);25 100③当时，点M的轨迹方程为.其中正确结论的个数为（）0 1 2 312．设A,B,M为椭圆上的三个点，且以AB为直径的圆过原点O，点N在线段AB上，且，则的取值范围是（）⎨⎩二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷横线上)13.双曲线的实轴长为.⎧2x+y-2≥0,14．已知x,y满足约束条件⎪x-2y+4≥0,则的最大值为.⎪3x -y-3≤0.15.直线l过抛物线的焦点F交抛物线于A,B两个点，则1+1= .FA FB16.点为椭圆x 2 y2+ =1上一点，F1,F2为椭圆的两个焦点，则∆F1MF2的内心的轨迹方程为9 5.三、解答题（17题10分，18～22每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为.（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且垂直直线，直线l交圆C于M,N，求的面积.x2 y218.已知双曲线E:-a2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±，焦距为作直线l交双曲线E于A,B 两点，且M为AB的中点.（1）求双曲线E的方程；（2）求直线l的方程.19.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t，生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t，现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种肥料，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元，生产1车皮乙种肥料，产生的肥料为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？20.已知圆P 过.（1）求圆P 的方程；（2）若过点的直线l 被圆P 所截得的弦长为8，求直线l 的方程.21.从抛物线上各点向x 轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E .（1）求曲线E 的方程;（2）若直线与曲线E 相交于A ,B 两点，求证：OA ⊥OB ；（3）若点F 为曲线E 的焦点，过点Q (2,0)的直线与曲线E 交于M ,N 两点，直线MF ,NF 分别与曲线E 交于C ,D 两点，设直线MN ,CD 的斜率分别为k 1,k 2 ，求k 2 的值.k 122.已知椭圆的离心率为，短轴长为4，直线AB 过原点O 交椭圆于A ,B ，，直线AP ,BP 分别交椭圆于C ,D ，且直线AD ,BC交于点M ，图中所有直线的斜率都存在.（1）求椭圆方程；（2）求证：;（3）求的值.成都七中2018～2019 学年度上期高2020届数学半期考试（理科）参考答案一、选择题（共12题，每题5分，共60分）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.814.1315. 116.x 2 5y 2+ =1(y ≠0)4 4三、解答题17.解：（1）线段AB 的中垂线方程为：,由，得,∴圆心C 为 ,又半径,∴圆C 的方程为.……5分（2）直线l 的方程为：,所以点C 到直线l 的距离为：，∴，∴. ……10分b18.解：（1）由已知得= a2，2c =2 3，解得a =1,b =2.∴双曲线E 的方程为.……4分（2）设直线l 方程为:，，.由，得……6分∴…①……8分∴，由为AB的中点，得，解得，适合①……10分∴直线l的方程为，即……12分说明：学生也可以用点差法求解，如果没有检验∆>0的学生，扣1分.19.解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元，目标函数为,其中x，y满足以下条件：……4分可行域如右图：……6分把变形为，……8分得到斜率为，在y轴上的截距为2z，随z变化的一族平行直线，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大，联立方程得.……10分∴……11分答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元.……12分20.解：（1）设圆P的方程为：.∵A,B,C都在圆上,∴, 解得.∴所求圆P的方程为.……6分（2）由，知圆心，半径，如右图，由直线l被圆p截得的弦长为8，得圆心距……8分当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为：,即,∴圆心P到直线l距离，化简得，则.∴直线l方程为：，即.……10分当直线轴时，直线l方程为，代入圆方程得，解得，，∴弦长仍为8,满足题意.……11分综上，直线l的方程为,或.……12分21.解：（1）令抛物线上一点,设.由已知得,∵满足，∴,则，即.∴曲线E的方程为：.……4分（2）由，可得，设，由于∆=122 -4⨯16>0,由韦达定理可知：，，∴，∴OA⊥OB.……8分22.解：（1）由2b=4，得b=2.由e=，得，解得.∴椭圆的方程为.……3分（2）设，则.∴由得：,即，，即. ……7分（3）设,由（2）知,又,,∴,∴…③同理,又, ,∴,∴…④由化简得：,∴，即.……12分。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题(含答案解析)

对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，，，当且仅当时，等号成立，故D错误；
故选：ABC
10.关于的方程有两个大于的实数根的充分条件可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由一元二次方程根的分布列式求解，再由充分条件的概念判断，
I.当时，函数显然单调递增，
所以，，
由题意可得，
这与矛盾，故舍去；
II，当时，在单调递减，单调递增，
①.当时，即，所以，
由题意可得，
这与矛盾（舍去）.
②．当时，即，
所以，
，
由题意得，
a.当时，此时，
所以
，故，
而，故，
b.当时，此时，所以
，
故，
而，
由当时，不等式恒成立，即，，则函数在上单调递减，
故，，，，，或，解得，
故选：B.
8.设，其中．若对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则的取值范围为
A.RB. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】设，，
因为设，对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，
3.函数的定义域是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由分式及对数成立的条件可得，解不等式可求答案．
【详解】由题意可得，
解不等式可得，﹣1＜x≤1
∴函数的定义域为（﹣1，1]
故选C.
【点睛】本题考查了含有对数与分式的函数的定义域的求解，是基础题．

四川省成都七中2020学年高三数学上学期12月月考试题理新人教A版

2020学年四川省成都七中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1．（5分）（2020•陕西）设集合M={y|y=|cos2x﹣sin2x|，x∈R}，N={x||x﹣|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为（）A．（0，1）B．（0，1] C．[0，1）D．[0，1]考点：交集及其运算；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：通过三角函数的二倍角公式化简集合M，利用三角函数的有界性求出集合M；利用复数的模的公式化简集合N；利用集合的交集的定义求出交集．解答：解：∵M={y|y=|cos2x﹣sin2x|}={y|y=|cos2x}={y|0≤y≤1}={x|﹣1＜x＜1}∴M∩N={x|0≤x＜1}故选C点评：本题考查三角函数的二倍角公式、三角函数的有界性、复数的模的公式、集合的交集的定义．2．（5分）（2020•资阳二模）下列命题为真命题的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣3x+2≤0”D．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，使得x2+x﹣1≥0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．分析：本题需要逐一判断，到满足题意的选项为止，（选择题四选一）；可以采用先熟悉后生疏的策略判定解答．解答：解：由复合命题真值表知：若p∨q为真命题，则p、q至少有一个为真命题，有可能一真一假，也可能两个都真，推不出p∧q为真命题∴选项A错误；由x=5可以得到x2﹣4x﹣5=0，但由x2﹣4x﹣5=0不一定能得到x=5，∴选项B成立；选项C错在把命题的否定写成了否命题；选项D错在没有搞清楚特称命题的否定是全称命题．故选B．点评：本题涉及到四个命题，真值表，充要条件，命题的否定，分析中逐一判断，到满足题意的选项为止，（选择题四选一），先熟悉后生疏，提供解题策略；解答中分析的比较清晰．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．30°或105°C．60°D．60°或120°考点：解三角形．专题：计算题．分析：由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，由a大于b，根据大边对大角，得到A大于B，由B的度数及三角形内角可得出角A的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．解答：解：由a=，b=，B=45°，根据正弦定理=得：sinA===，由a=＞b=，得到A∈（45°，180°），则角A=60°或120°．故选D点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有正弦定理，以及特殊角的三角函数值，学生做题时注意角度的范围及三角形内角和定理这个隐含条件．4．（5分）在等比数列{a n}中，S n为前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q 为（）A．2B．3C．4D．5考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件得出2S5﹣2S4=a6﹣3﹣（a5﹣3）=a6﹣a5=2a5，得出3a5=a6，然后根据两项的关系得出3a5=a5q，答案可得．解答：解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，即2S4=a5﹣3，2S5=a6﹣3∴2S5﹣2S4=a6﹣3﹣（a5﹣3）=a6﹣a5=2a5即3a5=a6∴3a5=a5q解得q=3，故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是利用S5﹣S4=a5得出a5、a6的关系，属中档题．5．（5分）（2020•山东）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7B．9C．10 D．15考点：系统抽样方法．专题：计算题．分析：由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数，即为所求解答：解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故选C．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．6．（5分）（2020•四川）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：分析法．分析：先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换．解答：解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（x﹣）．故选C．点评：本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减．7．（5分）已知函数f（x）=g（x+1）﹣2x为定义在R上的奇函数，则g（0）+g（1）+g（2）=（）A．1B．C．D．3考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：据函数f（x）是定义在R上的奇函数，运用函数奇偶性的定义得到f（﹣x）=﹣f（x），特别地，当x=0时，得到f（0）=0．然后结合f（x）=g（x+1）﹣2x得g（1）=1．再分别令x=﹣1和x=1，从而得到g（0）+g（2）=，最后求出g（0）+g（1）+g（2）的值．解答：解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x），特别地，当x=0时，得到f（0）=0．由f（x）=g（x+1）﹣2x取x=0，所以f（0）=g（1）﹣1，所以g（0）=1．再分别令x=﹣1和x=1，得：f（﹣1）=g（0）﹣2﹣1，f（1）=g（2）﹣2，两式相加得f（﹣1）+f（1）=g（0）﹣2﹣1+g（2）﹣2，且f（﹣1）+f（1）=0，∴f（0）+g（2）=，所以g（0）+g（1）+g（2）=1+=．故选C．点评：本题考查了函数的奇偶性，体现了数学转化思想，考查了学生的抽象思维能力，此题是中档题．8．（5分）已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值2考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：先设 =， =， =t，然后用和表示出，再由 =+将 =、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．解答：解：设 ===t则 =﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t +=+•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t] +t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故选B．点评：本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习．9．（5分）（2020•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3B．4C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．解答：解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．10．（5分）命题P“方程有解”是命题Q“方程x2﹣2x+a=0无实根”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要考点：充要条件．专题：计算题．分析：由指数和对数的关系可化简方程，分离a，由基本不等式可得a≥1，再由△＜0可得a＞1，由集合的包含关系可得答案．解答：解：方程可化为=a﹣2x，整理可得a=≥2=1，当且仅当，即x=﹣1时取等号，故可得a≥1；而方程x2﹣2x+a=0无实根可得△=（﹣2）2﹣4a＜0，解得a＞1，又因为集合{a|a≥1}真包含{a|a＞1}，所以P是Q的必要不充分条件故选B点评：本题考查充要条件的判断，涉及基本不等式和一元二次方程根的情况，属基础题．11．（5分）已知实系数一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x1、x2，并且0＜x1＜2，x2＞2，则的取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣）D．（﹣3，）考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，结合对应二次函数性质得到然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形结合即可得到结论．解答：解：由程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，故函数f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，则即，其对应的平面区域如下图阴影示：则表示阴影区域上一点与M（1，0）连线的斜率由题意可得A（﹣3，2）由图可知∈（﹣3，﹣）故选C点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，线性规划，其中由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，结合二次函数性质得到解答本题的关键．12．（5分）（2020•成都一模）把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n}，若a n=2020，则n=（）A．1026 B．1027 C．1028 D．1029考点：进行简单的合情推理；归纳推理．专题：压轴题；探究型．分析：根据题意，分析图乙，可得其第k行有k个数，则前k行共有个数，第k行最后的一个数为k2，从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列；进而由442＜2020＜452，可得2020出现在第45行，又由第45行第一个数为442+1=1937，由等差数列的性质，可得该行第37个数为2020，由前44行的数字数目，相加可得答案．解答：解：分析图乙，可得①第k行有k个数，则前k行共有个数，②第k行最后的一个数为k2，③从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由442=1936，452=2025，则442＜2020＜452，则2020出现在第45行，第45行第一个数为442+1=1937，这行中第=37个数为2020，前44行共有=990个数，则2020为第990+37=1027个数；故选B．点评：本题考查归纳推理的运用，关键在于分析乙图，发现每一行的数递增规律与各行之间数字数目的变化规律．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确的答案填在横线上.）13．（4分）一个凸多面体的三视图如图所示，则这个凸多面体的体积是．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由凸多面体的三视图知：凸多面体是四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AD=2，AD∥BC，由此能求出这个凸多面体的体积．解答：解：由凸多面体的三视图知：凸多面体是四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AD=2，AD∥BC，∴，这个凸多面体的体积V===．故答案为：．点评：本题考查利用三视图求四棱锥的体积，是基础题．解题时要认真审题，解题的关键是利用三视图得到几何体．14．（4分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是n≤9或n＜10 ．考点：程序框图．专题：计算题．分析：通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．解答：解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构判断框内为满足循环的条件第1次循环，s=1+1=2 n=1+1=2第2次循环，s=2+2=4 n=2+1=3••当执行第10项时，n=11n的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值故答案为：n≤9或n＜10点评：本题考查程序框图，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题．15．（4分）已知cos（）=，α∈（0，），则= ．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由α∈（0，）及cos（）可求sin（），进而利用诱导公式及二倍角正弦公式可求cos2=2sin （）cos（），而==cos（），代入所求式子即可求解解答：解：∵α∈（0，）∴α∈（0，）∴sin（），＞0∵cos（）=∴sin（）=∴cos2=2sin（）cos（）====cos（）=∴==故答案为：点评：本题主要考查了三角函数的诱导公式及二倍角公式的综合应用，解题的关键是公式的灵活应用16．（4分）设函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，下列五个命题：①对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则m＜e；②存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，则m＜e2﹣ln2；③对于任意x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，则m＜e﹣ln2；④对于任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则m＜e．⑤存在x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则m＜e2．其中正确命题的序号为①②③④⑤．（将你认为正确的命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：对于①函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，设F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数研究其单调性，从而得出对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则F（x）＞0恒成立，即F（1）＞0，即可求出m的取值范围；对于②③④⑤，可结合图象法，将原问题转化为函数的最大或最小值问题进行解决即可．解答：解：函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，∴f（x）﹣g（x）=e x﹣（lnx+m），设F（x）=e x﹣（lnx+m），则F′（x）=e x﹣，当x∈[1，2]时，F′（x）＞0，故F（x）在x∈[1，2]上是增函数，①对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则F（x）＞0恒成立，即F（1）＞0，e﹣（ln+m）＞0，∴m＜e，故正确；②存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，则f（x）在[1，2]上的最大值比g（x）在[1，2]上的最大值大即可，∴e2＞ln2+m，则m＜e2﹣ln2．故正确；③对于任意x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，则f（x）在[1，2]上的最小值比g（x）在[1，2]上的最大值大即可，∴e＞ln2+m，则m＜e﹣ln2；故正确；④对于任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则f（x）在[1，2]上的最小值比g（x）在[1，2]上的最小值大即可，∴e＞ln1+m，则m＜e；故正确；⑤存在x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则f（x）在[1，2]上的最大值比g（x）在[1，2]上的最小值大即可，∴e2＞ln1+m，则m＜e2；故正确；故答案为：①②③④⑤．点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17．（12分）（2020•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x ﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．解答：解：（1）∵f（x）=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x =sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得f（x）=sin（2x+）是关键，属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PA上，且PE=2EA．（1）求证：PC∥平面EBD；（2）求二面角A﹣BE﹣D的正弦值的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题．分析：（1）连接AC，BD，交点为G．由△CBG∽△ADG，且CB=2AD．知CG=2AG，在三角形PCA 中，PE=2AE，CG=2AG．故EG‖PC．由此能够证明PC‖平面EBD．（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．则，，，由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，由，知，故=（1，1，﹣2），由向量法能够求出二面角A﹣BE﹣D的正弦值．解答：解：（1）连接AC，BD，交点为G．∵AD∥BC，∴△CBG∽△ADG，且CB=2AD．∴CG=2AG，在三角形PCA中，PE=2AE，CG=2AG．∴EG‖PC．∵EG在平面EBD内，∴PC‖平面EBD．（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，∴A（3，0，0，0），D（3，﹣3，0），B（0，0，0），E（2，1，0），∴，，，由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，∵，∴，令x=1，得=（1，1，﹣2），设二面角A﹣BE﹣D的平面角是θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．∴二面角A﹣BE﹣D的正弦值sinθ==．点评：本题考查直线与平面平行的证明和求二面角的正弦值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的灵活运用．19．（12分）设m是常数，集合（1）证明：当m∈M时，f（x）对所有的实数x都有意义；（2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值；（3）求证：对每个m∈M，函数f（x）的最小值都不于1．考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）化简函数的解析式为，m＞1时，恒成立，故f（x）的定义域为R．（2）设，由于y=log3U是增函数，故当U最小f（x）最小，再由U的最小值为，求得f（x）的最小值．（3）根据m∈M时，，从而证得函数f（x）的最小值都不小于1．解答：解：（1），当m∈M，即 m＞1时，恒成立，故f（x）的定义域为R．（2）设，∵y=log3U是增函数，∴当U最小时f（x）最小．而，显然当x=2m时，U的最小值为，此时．（3）m∈M时，，当且仅当m﹣1=1时，即m=2时，等号成立，所以，即函数f（x）的最小值都不小于1．点评：本题主要考查基本不等式在最值问题中的应用，对数函数的图象性质的应用，属于中档题．20．（12分）（2020•福建）数列{a n}的前N项和为S n，a1=1，a n+1=2S n（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项a n；（II）求数列{na n}的前n项和T．考点：数列的求和；数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用递推公式a n+1=2S n把已知转化为a n+1与a n之间的关系，从而确定数列a n的通项；（II）由（I）可知数列a n从第二项开始的等比数列，设b n=n则数列b n为等差数列，所以对数列n•a n的求和应用乘“公比”错位相减．解答：解：（I）∵a n+1=2S n，，∴S n+1﹣S n=2S n，∴=3．又∵S1=a1=1，∴数列{S n}是首项为1、公比为3的等比数列，S n=3n﹣1（n∈N*）．∴当n≥2时，a n﹣2S n﹣1=2•3n﹣2（n≥2），∴a n=（II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，当n=1时，T1=1；当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n﹣2，①3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n﹣1，②①﹣②得：﹣2Tn=﹣2+4+2（31+32+…+3n﹣2）﹣2n•3n﹣1=2+2•=﹣1+（1﹣2n）•3n﹣1∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n≥2）．又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n∈N*）点评：本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．21．（12分）（2020•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0（不考虑另一根）．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（14分）已知函数在[0，+∞）上单调递增，数列{a n}满足，，（n∈N*）．（Ⅰ）求实数a的取值范围以及a取得最小值时f（x）的最小值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．考点：数列与不等式的综合；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立，分离参数，可得a≥在[0，+∞）上恒成立，求出最值，即可得到结论；（Ⅱ）先证明{}是常数数列，再证明{a n﹣1}是首项为﹣，公比为的等比数列，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅰ）知对x∈[0，+∞）恒成立，令x=，则，可得＜ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n ﹣2），叠加即可证得结论．解答：（Ⅰ）解：由题意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立∴a≥在[0，+∞）上恒成立∵x∈[0，+∞），∴∈（0，1]∴a≥1当a=1时，f（x）min=f（0）=0；（Ⅱ）解：∵，∴=∴{}是常数数列∵，，∴∴=∴∴∴{a n﹣1}是首项为﹣，公比为的等比数列∴a n﹣1=（﹣）•∴a n=1﹣；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知对x∈[0，+∞）恒成立令x=，则∴＜ln（+1）=ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n﹣2）∴++…+＜[ln（32﹣2）﹣ln（31﹣2）]+[ln（33﹣2）﹣ln（32﹣2）]+…+ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n﹣2）=ln（3n+1﹣2）∴点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项与不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高二上学期第一次质量检测数学理科试题

四川省成都七中2024届高第一学期第一次质量检测数学理科满分: 150分年级: 高二一选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）1.若直线2 x+y−1=0是圆( x−a)2+ y2=1的一条对称轴, 则a=（）A.12B.−12 C.1 D.−12.已知命题p: ∃x ∈R,sinx<1; 命题q: ∀x ∈R,e|x|≥1, 则下列命题中为真命题的是（）A.p ∧qB.¬p ∧qC.p ∧¬qD.¬(p ∨q)3.已知半径为 1 的圆经过点(3,4), 则其圆心到原点的距离的最小值为（）A.4B.5C.6D.74.设圆 x2+ y2−2 x−2 y−2=0的圆心为C, 直线l过点(0,3), 且与圆C交于A,B两点, 若|A B|=2 √3, 则直线l的方程为（）A.3 x+4 y−12=0B.3 x+4 y−12=0或4 x+2 y+1=0C.x=0D.x=0或3 x+4 y−12=05.若x,y满足约束条件{x+y ⩾2,x+2 y ⩽4,y ⩾0,则z=2 x−y的最大值是（）A.−2B.4C.8D.126.设椭圆C: x 24 +y2=1的左焦点为F, 直线l: y=k x(k ≠0)与椭圆C交于A,B两点, 则|A F|+|B F|的值是（）A.2B.2 √3C.4D.4 √37.已知 F1, F2分别是椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点, 点A(0,b), 点B在椭圆C上, A F1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 F1 B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D,E分别是 A F2, B F2的中点, 且△D E F2的周长为 4 , 则椭圆C的方程为（）A. x24+y23=1 B.x24+3 y28=1C. x24+3 y24=1 D. x2+ 3 y22=18.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时, 相应水面的面积为140.0 km2; 水位为海拔157.5 m时, 相应水面的面积为180.0 km2, 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台, 则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时, 增加的水量约为(√7 ≈2.65)（）A.1.0 ×1 09m3B.1.2 ×1 09m3C.1.4 ×1 09m3D.1.6 ×1 09m39.下列结论正确的是（）①过点 A(−2,−3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为x +y =−5; ②圆 x 2+ y 2=4上有且仅有 3 个点到直线l: x −y +√2=0的距离都等于 1③已知 a b ≠0,O 为坐标原点, 点P(a,b)是圆 E: x 2+ y 2= r 2外一点, 且直线m 的方程是 a x +b y =r 2, 则直线m 与圆E 相交;④已知直线 k x −y −k −1=0和以M(−3,1),N(3,2)为端点的线段相交, 则实数k 的取值范围为−12 ≤k ≤32; A.①③B.②③C.②④D.③④10.已知矩形 A B C D,A B =1,B C =√3, 将△A D C 沿对角线A C 进行翻折, 得到三棱锥D −A B C , 则在翻折的过程中，有下列结论:①三棱锥 D −A B C 的体积最大值为13;②三棱锥 D −A B C 的外接球体积不变;③三棱锥 D −A B C 的体积最大值时, 二面角D −A C −B 的大小是 60∘; ④异面直线 A B 与C D 所成角的最大值为 90∘. 其中正确的是（） A.①②④B.②③C.②④D.③④11.若直线 l: a x +b y +1=0始终平分圆 M: x 2+ y 2+4 x +2 y +1=0的周长, 则( a −2)2+( b −7)2的最小值为（） A.√5B.5C.2 √5D.2012.在平面直角坐标系 x O y 中, 已知圆C:( x −2)2+ y 2=9,E,F 是直线l: y =x +2上的两点, 若对线段E F 上任意一点P , 圆C 上均存在两点A,B , 使得cos∠A P B ≤0, 则线段E F 长度的最大值为（） A.2B.√14C.2 √10D.4二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）13. 填空题（5分）已知命题 p: ∀x ∈R,cosx ≤1, 则¬p :____________________. 14. 填空题（5分）命题 p:“∃x ∈R, a x 2+2 a x −4 ≥0"为假命题, 则a 的取值范围是_______________. 15. 填空题（5分）如图, F 1, F 2分别是椭圆的左、右焦点, 点P 是以 F 1 F 2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点, 延长 P F 2与椭圆交于点Q , 若|P F 1|=4|Q F 2|, 则直线 P F 2的斜率为________________.16. 填空题（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一, 指的是: 已知动点M与两定点Q,P的距离之比|M Q||M P|=λ(λ>0,λ≠1), 那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆, 其方程为 x2+ y2=1, 定点Q为x轴上一点,P(−12,0)且λ=2,若点B(1,1), 则2|M P|+|M B|的最小值为__________________.三（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）17. （本题满分10分）已知命题 p: x2−6 x+8 ≤0, 命题q: 3−m ≤x ≤3+m. 若¬p是¬q的充分不必要条件, 求m的取值范围.18. （本题满分12分）已知△A B C的顶点A(5,1), 边A B上的中线C M所在直线方程为2 x−y−5=0, 边A C上的高B H所在直线方程为x−2 y−5=0,(1) 求顶点C的坐标;(2) 求△A B C的面积.19. （本题满分12分）已知线段A B的端点B的坐标为(1,3), 端点A在圆C:( x+1)2+ y2=4上运动.(1)求线段A B的中点M的轨迹;(2)过B点的直线L与圆C有两个交点A,D. 当C A ⊥C D时, 求L的斜率.20. （本题满分12分）最近国际局势波云诡谲, 我国在某地区进行军事演练, 如图, O,A,B是三个军事基地,C为一个军事要塞, 在线段A B上. 已知tan∠A O B=−2,O A=100 km,C到O A,O B的距离分别为50 km,30 √5km, 以点O为坐标原点, 直线O A为x轴, 建立平面直角坐标系如图所示.(1)求两个军事基地A B的长;(2)若要塞C正北方向距离要塞100 km处有一E处正在进行爆破试验, 爆炸波生成t h时的半径为r= 5 √a t(参数a为大于零的常数), 爆炸波开始生成时, 一飞行器以300 √2km / h的速度自基地A开往基地B,问参数a控制在什么范围内时, 爆炸波不会波及到飞行器的飞行.21. （本题满分12分）如图所示正四棱锥S−A B C D,S A=S B=S C=S D=2,A B=√2,P为侧棱S D上的点.(1) 求证: A C ⊥S D;(2) 若 S S A P= 3 S A P D,( i ) 求三棱锥S−A P C的体积.(ii ) 侧棱S C上是否存在一点E, 使得B E / /平面P A C. 若存在, 求S EE C的值；若不存在，试说明理由．22. （本题满分12分）已知椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0), 长轴是短轴的 3 倍, 点(1,2 √23)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2) 若过点Q(1,0)且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M,N两点, 在x轴的正半轴上是否存在点T(t,0), 使得直线T M,T N斜率之积为定值? 若存在, 求出t的值; 若不存在, 请说明理由.参考答案一选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）1. 【答案】A2. 【答案】A3. 【答案】A4. 【答案】D5. 【答案】C6. 【答案】C7. 【答案】B8. 【答案】C9. 【答案】B10. 【答案】C11. 【答案】D【解析】∵直线l: a x+b y+1=0始终平分圆 M: x2+ y2+4 x+2 y+1=0的周长∴直线必过圆 M: x2+ y2+4 x+2 y+1=0的圆心即圆心(−2,−1)点在直线l: a x+b y+1=0上则2 a+b−1=0则( a−2)2+( b−7)2表示点(2,7)至直线2 a+b−1=0点的距离的平方则其最小值 d2=(|2 ×2+7 ×1−1|√ 22+ 122=20故选D.12. 【答案】C【解析】由题意, 圆心到直线l: y=x+2的距离为d=|2−0+2|√2=2 √2<3 (半径) 故直线l和圆相交;当点P在圆外时, 从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时,∠A P B才是最大的角,设切线为P M,P N, 则由cos∠A P B ≤0,得∠A P B ≥9 0∘,∴∠M P N ≥9 0∘;当∠M P N=90∘时,sin∠M P C=3P C=sin4 5∘=√22,∴P C=3 √2设P( x0, x0+2),|P C|=√( x0−2)2+( x0+2)2=3 √2, 解得： x0=±√5,设 E(−√5,−√5+2),F(√5,√5+2),如图, E F 之间的任何一个点P , 圆C 上均存在两点A,B , 使得∠A P B ≥9 0∘,线段 E F 长度的最大值为|E F|=√( −√5−√5)2+[(−√5+2)−(√5+2)]2=2 √10故选C.二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）13. 【答案】∃ x 0 ∈R, cos x 0>1 14. 【答案】−4<a ≤0 15. 【答案】−2【解析】如图,连接 Q F 1, 设|Q F 2|=x(x >0), 则|P F 1|=4 x , 因为|P F 1|+|P F 2|=2 a,|Q F 1|+|Q F 2|=2 a , 所以|P F 2|=2 a −4 x,|Q F 1|=2 a −x , 在△P F 1 Q 中,∠ F 1 P Q =90∘, 所以|P F 1|2+ |P Q|2=|Q F 1|2, 即( 4 x)2+( 2 a −4 x +x)2=( 2 a −x)2, 整理得a =3 x , 所以tan∠P F 2 F 1=|P F 1||P F 2|= 4 x 2 a−4 x = 4 x 6 x−4 x =2, 所以直线 P F 2的斜率为k =tan (1 80∘−∠P F 2 F 1)=−216. 【答案】√10【解析】令2|M P|=|M Q|，则|M Q||M P|=2, 由题意可得圆 x 2+ y 2=1是关于P,Q 的阿波罗尼斯圆, 且λ=2,设点 Q 的坐标为(m,n), 则√( x−m)2+( y−n)2√(x+2)2+ y 2=2 整理得， x 2+ y 2+4+2 m 3 x +2 n 3 y + 1−m 2− n 23=0由已知该圆的方程为 x 2+ y 2=1, 则{4+2 m =02 n =0 1−m 2− n 23=−1, 解得{m =−2n =0, ∴点Q 的坐标为(−2,0),∴2|M P|+|M B|=|M Q|+|M B|,由图象可知，当点 M 位于 M 1或 M 2时取得最小值, 且最小值为|Q B|=√( −2−1)2+1=√10三（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）17. 【答案】a 的取值范围是(−∞,1).【解析】解: 设 A ={x ∣ x 2−6 x +8 ≤0}={x ∣2 ≤x ≤4},B ={x ∣3−m ≤x ≤3+m}. 因为 ¬p 是¬q 的充分不必要条件, 则q 是p 的充分不必要条件, 所以,B ⫋A . (i) 若 B =∅, 则B ⫋A 成立, 此时有3+m <3−m , 解得m <0; (ii) 若 B ≠∅, 则{3−m ≤3+m3−m ≥2 3+m ≤4, 解得0 ≤m ≤1,当 m =0时,B ={3} ⫋A , 合乎题意,当 m =1时,B ={x ∣2 ≤x ≤4}=A , 不合乎题意. 综上所述, 实数 a 的取值范围是(−∞,1).18. 【答案】(1)C(4,3).(2) S △A B C =8.【解析】(1) 设 C(m,n), 因为直线A C 与直线B H 垂直, 且C 点在直线2 x −y −5=0上, 所以 {n−1m−5=−2 2 m −n −5=0,解得{m =4n =3, 故C(4,3).(2) 设 B(a,b)由题知:M (a+52,b+12),所以 {a +5−b+12−5=0 a −2 b −5=0, 解得{a =−1b =−3, 即B(−1,−3).k B C =3+34+1=65, 直线B C: y −3=65(x −4), 即:6 x −5 y −9=0. |B C|=√( 4+1)2+( 3+3)2=√61点 A 到直线 B C 的距离d =√ 62+( −5)2=√61, 所以 S △A B C =12 ×√61 ×16√61=8.19. 【答案】(1)点 M 的轨迹是以(0,32)为圆心, 1 为半径的圆;(2)k =3 ±√222.【解析】(1) 设 A ( x 1, y 1),M(x,y), 由中点公式得 { x 1+12=x y 1+32=y⇔{ x 1=2 x −1 y 1=2 y −3, 因为 A 在圆C 上, 所以( 2 x)2+( 2 y −3)2=4, 即 x 2+(y −32)2=1,点 M 的轨迹是以(0,32)为圆心, 1 为半径的圆;(2) 设 L 的斜率为k , 则L 的方程为y −3=k(x −1), 即k x −y −k +3=0, 因为 C A ⊥C D,△C A D 为等腰直角三角形, 有题意知, 圆心 C(−1,0)到L 的距离为√2 C D =√2=√2.由点到直线的距离公式得√2=√2,∴4 k 2− 12 k +9=2 k 2+2.∴2 k 2−12 k +7=0, 解得k =3 ±√222.20. 【答案】(1)基地 A B 的长为200 √2km .(2)当 0<a <2400 √5−4800时, 爆炸波不会波及飞行器的飞行.【解析】(1) 则由题设得: A(100,0), 直线O B 的方程为y =−2 x,C ( x 0,50)( x 0>0), 由 0√22=30 √5, 及 x 0>0解得 x 0=50, 所以C(50,50).所以直线 A C 的方程为y =−(x −100), 即x +y −100=0, 由 {y =−2 x x +y −100=0得x =−100,y =200, 即B(−100,200),所以 A B =√( −100−100)2+ 2002=200 √2, 即基地 A B 的长为200 √2km . (2) 设爆炸产生的爆炸波圆 E ,由题意可得 E(50,150), 生成t 小时时, 飞行在线段A B 上的点F 处, 则 A F =300 √2 t,0 ≤t ≤23, 所以F(100−300 t,300 t).爆炸波不会波及卡车的通行, 即 E F 2> r 2对t ∈[0,33]恒成立.所以 E F 2=( 300 t −50)2+( 300 t −150)2> r 2=25 a t , 即 ( 300 t −50)2+( 300 t −150)2>25 a t . 当 t =0时, 上式恒成立,当 t ≠0即t ∈(0,23]时,a <7200 t +1000t−4800, 因为7200 t +1000t −4800 ≥2 √7200 t ×1000t −4800=2400 √5−4800当且仅当 7200 t =1000t , 即t =√56时等号成立, 所以, 在 0<a <2400 √5−4800时,r <E F 恒最立, 亦即爆炸波不会波及飞行的通行. 答: 当 0<a <2400 √5−4800时, 爆炸波不会波及飞行器的飞行.21. 【答案】(1)证明见解析；(2)(i)√34,(ii) 侧棱S C 上存在一点E , 当满足S E E C =2时,B E / /平面P A C .【解析】证明：(1) 连 B D , 设A C 交B D 于O , 由题意S O ⊥A C . 在正方形 A B C D 中, 有A C ⊥B D , 又S O ∩B D =O , ∴A C ⊥平面S B D , 得A C ⊥S D ;(2) ∵ S △S A P = 3 S △A P D ,∴P D S P =13, 则S P =34S D , (i) V S−A P C =34 V S−A D C =34 ∙13 S O ∙ S △A D C =34 ∙13 ∙√3 ∙12 ∙√2 ∙√2=√34.(ii) 侧棱 S C 上存在一点E , 当满足S EE C=2时,B E / /平面P A C .由 S △S A P = 3 S △A P D , 可得S P =3 P D 取点 F 为S D 的中点, 则点P 为F D 的中点, 又 O 为B D 的中点所以在△B F D 中,B F / / O P . B F /⊂平面A C P,O P ⊂平面A C P ,则 B F / /平面A C P 过点F 作F E / / P C , 交S C 于点E , 连结B E 由 E F /⊂平面A C P,P C ⊂平面A C P , 则E F / /平面A C P 又 E F ∩B E =E , 所以平面B E F / /平面A C P 又 B E ⊂平面B E F , 则B E / /平面P A C . 由 F E / / P C , 则S E E C =S FF P, 由 S P =3 P D,F 为S D 的中点, 则S FF P=2, 所以S E E C =2 所以侧棱 S C 上存在一点E , 当满足S EE C=2时,B E / /平面P A C .22. 【答案】(1)椭圆 C 的方程即为 x 29+y 2=1; (2)存在点 T(3,0), 使得直线T M 与T N 斜率之积为定值−29, 此时t =3.【解析】解: 由题意得 a =3 b , 故椭圆C 为 x 2 9 b 2+ y 2b2=1, 又点 (1,2 √23)在C上, 所以1 9 b 2+8 9 b 2=1, 得 b 2= 1,a 2=9, 故椭圆 C 的方程即为 x 29+y 2=1;（2）解: 由已知知直线 l 过Q(1,0), 设l 的方程为x =m y +1,联立两个方程得 { x 29 +y 2=1 x =m y +1, 消去x 得:( m 2+9) y 2+2 m y −8=0,Δ=4 m 2+32( m 2+9)>0得m ∈R , 设 M ( x 1, y 1),N ( x 2, y 2), 则 y 1+ y 2=− 2 m m 2+9 ,y 1 y 2=−8m 2+9(∗), k T M ∙ k T N= y 1 x 1−t ∙ y 2 x 2−t = y 1 m y 1+1−t ∙ y 2 m y 2+1−t = y 1 y 2 m 2 y 1 y 2+m(1−t)( y 1+ y 2)+( 1−t)2, 将 (*) 代入上式, 可得:−8m 2+9m 2 ∙−8 m 2+9+m(1−t)(− 2 m m 2+9)+( 1−t)2=8( 9−t 2) m 2−9( 1−t)2, 要使 k T M ∙ k T N 为定值, 则有 9−t 2=0, 又∵t >0,∴t =3, 此时 k T M ∙ k T N =8−9 ×4=−29,∴存在点T(3,0), 使得直线T M 与T N 斜率之积为定值−29, 此时t =3.。

四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A．23B．22
6．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是
通的概率为（）
二、多选题
A ．1EF AD ⊥C ．EF 与1BD 异面
11．已知抛物线2
:2C y px =2x =-上一点，过点P 作抛物线
三、填空题
四、解答题
(1)求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）(2)为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，市太空知识竞赛，求90分（包括9020．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，1
12
BC CD AD ==
=、PA PD =，E 、(1)证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；
(2)若PC 与AB 所成角为45 ，求二面角21．已知抛物线C ：28y x =，点(M B 两点．
(1)若P 为抛物线C 上的一个动点，当线段的顶点处，求a 的取值范围；
(2)当a 为定值时，在x 轴上是否存在异于点
(1)求r的取值范围；
(2)过点P作圆C的两条切线，切点为PB与椭圆E的另一个交点为
ST的最大值，并计算出此时圆。

四川省成都七中实验学校高二数学12月月考试题理

四川省成都七中实验学校2014-2015学年高二数学12月月考试题理一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1、在空间中，下列命题正确的是( )(A) 平行直线的平行投影重合； (B) 平行于同一直线的两个平面平行； (C) 垂直于同一平面的两个平面平行； (D) 垂直于同一平面的两条直线平行．2、某同学“期末”考试各科成绩都在“期中”考试的基础上提高了2分，则该同学成绩的( )(A) 中位数不变； (B) 极差变大； (C) 方差不变； (D) 标准差变大． 3、右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一 (A)109； (B) 54； (C) 107； (D) 52．、在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是( )(A) 30°； (B) 45°； (C) 60°； (D) 90°．5、直线l 经过()12，　A ，()()R m m B ∈21，两点，则直线l 的倾斜角取值范围是( )(A) [)π，0； (B) ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ，，　224Y ；(C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，　； (D) ⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ，，　240Y ．6、若直线()1000ax by a b ++=>>，过圆02222=+++y x y x 的圆心，则ba 11+的最小值为( )(A) 2； (B) 4； (C) 8； (D) 16．7、已知如图所示的程序框图，当输入99n =时，输出S 的值( ) (A)10099； (B) 5049； (C) 10097； (D) 2524． 8、过点()42，　-P 作圆()()251222=-+-y x 的切线l ，若l 与0231=++a y ax l ：平行，则1l 与l 之间的距离为( )(A) 528； (B) 512； (C) 58； (D) 52．9、两条异面直线CD AB 、分别在两平行平面βα、上，βα、间的距离为d ，若三棱锥BCD A -为正四面体，则其体积为( )(A) 331d ； (B)332d ； (C) 3d ； (D) 334d ． 10、设向量a b r r 、　满足：340a b a b ==⋅=r r r r ，　，　，以a b a b r r r r，　，　-　为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( )二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11、某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是8710∶∶，用分层抽样的方法从三个年级抽取学生到剧院观看演出，已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，则高三观看演出的人数为．12、点()y x P ，在以()13，　-A 、()01，　-B 、()02，　-C 为顶点的ABC △的内部运动(不包是0S =?i n ≥开始 1i =否输出S 结束1i i =+()11S S i i =++ 输入n括边界)，则12--x y 的取值范围是． 13、在ABC △中，已知()()()1010A x y B C -，，，　，，　，如果2π=∠A ，那么点A 的轨迹方程为．14、在半径为13的球面上有A B C 、、三点，6810AB BC AC ===，，，则过A B 、两点的大圆面与平面ABC 所成锐二面角的正切值为 .15、已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()x h x ，，()()x g x ，关于点()()x f x ，对称．若()h x 是函数()24g x x =-关于函数()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是．三、解答题：(本大题共6小题，共75分)16、(12分)已知直线1210l x y +-=：　，直线2l 经过点()2A m -，和点()4B m ，　， (I) 若12l l ∥，求实数m 的值； (II) 若点A B 、分别在直线1l 的两侧，求实数m 的取值范围．18、(12分) 已知：如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 是B A 1上的点，1113A M A B =，N 是11D B 上的点，11113B N B D =， (I) 求证：直线MN 是异面直线B A 1与11D B 的公垂线； (II) 求直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值．19、(12分) “世界睡眠日”定在每年的3月21日．为此某网站2014年3月13日到3月20日持续一周进行了睡眠时间的在线调查，共有200人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示，MN D 1C 1B 1A 1D CB A(I) 在答题卡给定的坐标系中画出频率分布直方图；(II)为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算.分析中一部分计算见算法流程图，求输出的S 的值，并说明S 的统计意义.20、(13分) 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N ， (I) 求证：平面ABM ⊥平面PCD ； (II) 求二面角C AM D --的余弦值；(III) 求点N 到平面ACM 的距离．21、(14分) 已知直线()2cos cos 210l x y R θθθ⋅+⋅-=∈：　，圆221C x y +=：，(I) 求证：无论θ为何值，直线l 恒过定点P ；序号 (i ) 分组睡眠时间组中值 (i m ) 频数 (人数) 频率 (i f ) 1 [)4，5 4.5 8 0.04 2 [)65， 5.5 52 0.263 [)76， 6.5 60 0.304 [)87，7.5 56 0.28 5 [)98，　8.5 20 0.10 6[]109，　9.540.02 ON M P D CBA 频率组距睡眠时间(小时)109876540.240.320.160.08(II) 若直线l与圆C的一个公共点为A，过坐标原点O作PA的垂线，垂足为M，求点M的横坐标的取值范围．一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1、在空间中，下列命题正确的是( D )(A) 平行直线的平行投影重合； (B) 平行于同一直线的两个平面平行； (C) 垂直于同一平面的两个平面平行； (D) 垂直于同一平面的两条直线平行．2、某同学“期末”考试各科成绩都在“期中”考试的基础上提高了2分，则该同学成绩的( C )(A) 中位数不变； (B) 极差变大； (C) 方差不变； (D) 标准差变大． 3、右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一 (A)109； (B) 54； (C) 107； (D) 52．、在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是( C )(A) 30°； (B) 45°； (C) 60°； (D) 90°．5、直线l 经过()12，　A ，()()R m m B ∈21，两点，则直线l 的倾斜角取值范围是( D )(A) [)π，0； (B) ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ，，　224Y ；(C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，　； (D) ⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ，，　240Y ．6、若直线()1000ax by a b ++=>>，过圆02222=+++y x y x 的圆心，则ba 11+的最小值为 ( B )(A) 2； (B) 4； (C) 8； (D) 16．7、已知如图所示的程序框图，当输入99n =时，输出S 的值( A ) (A)10099； (B) 5049； (C) 10097； (D) 2524． 8、过点()42，　-P 作圆()()251222=-+-y x 的切线l ，若l 与0231=++a y ax l ：平行，则1l 与l 之间的距离为( B )(A) 528； (B) 512； (C) 58； (D) 52．9、两条异面直线CD AB 、分别在两平行平面βα、上，βα、间的距离为d ，若三棱锥BCD A -为正四面体，则其体积为( A )(A) 331d ； (B)332d ； (C) 3d ； (D) 334d ． 10、设向量a b r r 、　满足：340a b a b ==⋅=r r r r ，　，　，以a b a b r r r r，　，　-　为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( B )(A) 3个； (B) 4个； (C) 5个； (D) 6个．二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分)是0S =?i n ≥开始 1i =否输出S 结束1i i =+()11S S i i =++ 输入n11、某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是8710∶∶，用分层抽样的方法从三个年级抽取学生到剧院观看演出，已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，则高三观看演出的人数为 20 ．12、点()yxP，在以()13，　-A、()01，　-B、()02，　-C为顶点的ABC△的内部运动(不包括边界)，则12--xy的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛141，　．13、在ABC△中，已知()()()1010A x yB C-，，，　，，　，若2π=∠A，则点A的轨迹方程为()2210x y y+=≠．14、在半径为13的球面上有A B C、、三点，6810AB BC AC===，，，则过A B、两点的大圆面与平面ABC所成锐二面角的正切值为 3 .三、解答题：(本大题共6小题，共75分)16、(12分)已知直线1210l x y+-=：　，直线2l经过点()2A m-，和点()4B m，　，(I) 若12l l∥，求实数m的值； (II) 若点A B、分别在直线1l的两侧，求实数m的取值范围．答案：(I) 8m=-；(II)352m⎛⎫∈-⎪⎝⎭，　．17、(12分) 为普及高中生安全逃生知识，某学校高一年级举办了高中生安全知识竞赛，从参加竞赛同学的成绩中抽取了一个样本，将他们的竞赛得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计，制成如下频率分布表，(I) 求出表中的pszyx、、、、的值；(II) 样本数据的中位数是多少？答案：(I) 0.182050.150x y z s p=====，，，，；(II) 78．18、(12分) 已知：如图，在棱长为1的正方体1111DCBAABCD-中，M是BA1上的点，1113A M A B=，N是11DB上的点，11113B N B D=，(I) 求证：直线MN是异面直线BA1与11DB的公垂线；(II) 求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值．答案：(I) 略；(II)33．MND1C1B1A1D CBA19、(12分) “世界睡眠日”定在每年的3月21日．为此某网站2014年3月13日到3月20日持续一周进行了睡眠时间的在线调查，共有200人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示，(I) 在答题卡给定的坐标系中画出频率分布直方图；(II)为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算.分析中一部分计算见算法流程图，求输出的S 的值，并说明S 的统计意义.答案：(I) 略；(II) 6.7S =，为参与调查的200人的平均睡眠时间．20、(13分) 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N ， (I) 求证：平面ABM ⊥平面PCD ； (II) 求二面角C AM D --的余弦值；(III) 求点N 到平面ACM 的距离．答案：(I) 略；(II) 63；(III) 10627．序号 (i ) 分组睡眠时间组中值 (i m ) 频数 (人数) 频率 (i f ) 1 [)4，5 4.5 8 0.04 2 [)65， 5.5 52 0.263 [)76， 6.5 60 0.304 [)87，7.5 56 0.28 5 [)98，　8.5 20 0.10 6[]109，　9.540.02 ONMP DCBA频率组距睡眠时间(小时)109876540.240.320.160.0821、(14分) 已知直线()2cos cos 210l x y R θθθ⋅+⋅-=∈：　，圆221C x y +=：，(I) 求证：无论θ为何值，直线l 恒过定点P ； (II) 若直线l 与圆C 的一个公共点为A ，过坐标原点O 作PA 的垂线，垂足为M ，求点M 的横坐标的取值范围．答案：(I) ()21P -，　； (II) 点M 的横坐标的取值范围为。

2023届四川省成都市第七中学高三年级上册学期12月阶段性测试数学(理)试题【含答案】

2023届四川省成都市第七中学高三上学期12月阶段性测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）{}13A x N x =∈≤≤{}2650B x x x =-+<A B = A ．B ．C ．D ．∅{}1,2,3(]1,3{}2,3【答案】D【分析】本题考查集合的交集，易错点在于集合A 元素是自然数，集合B 的元素是实数．【详解】∵，，∴．{}{}131,2,3A x N x =∈≤≤={}{}265015B x x x x x =-+<=<<{}2,3A B ⋂=故选：．D 2．在复平面内，复数（为虚数单位），则复数的共轭复数对应的点位于（）212i(1i)z +=+i z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】化简复数，求出的共轭复数，即可得到答案.z 【详解】()()212i i 12i 12i 2i 11i (1i)2i 2i i22z +++-+=====-+-则的共轭复数为z 11i2+故选：A.3．设函数，则（）()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩()()24log 5f f -+=A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.【详解】因，则，而，23252<<22log 53<<()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩所以.()()2log 5224log 5log (44)2358f f -+=++=+=4．若实数x ､y 满足，则z =x +3y 的最小值为（）210104210x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩ A ．-9B ．1C ．D ．232【答案】B【分析】做出可行域，由目标函数的几何意义求得最小值.【详解】有不等式组做出可行域，如图所示：由目标函数z =x +3y 的几何意义知，其在处取得最小值，10（，）此z =1+0=1.故选：B.5．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）6log 2a =sin1b =12c =A ．B ．C ．D ．a c b <<b a c <<c b a <<a b c<<【答案】A【分析】借助中间值比较大小即可.12【详解】，，所以.661log 2log 2a =<=1sin1sin 62b π=>=b c a >>故选：A.6．某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．132223152233【答案】C【分析】根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解．【详解】解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，由图示可知，该空间几何体体积为，3221111152111232322V ⎛⎫=-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭故选：C.7．的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为（）4222a x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A ．−32B ．32C ．−64D ．64【答案】C【分析】先根据展开式中各项系数的和为3，求出，进而根据的展开式的通项公式，1a =-42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭求出答案.【详解】令得：，解得：，其中的通项公式为1x =()()42123a --=1a =-42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令得：，所以，则()()414214422rrr r r rr T C x x C x---+=-=-422r -=-3r =()332244232T C x x --=-=-，令，此时，不合题意，综上：该展开式中的常数项为-64.()2223264x x -⋅-=-421r -=32r =8．函数（，，）的部分图象如图所示，则（）()()cos f x A x ωϕ=+0A >0ω>02πϕ<<A ．，B ．是奇函数3πϕ=73πω=()2y f x =+C ．直线是的对称轴D ．函数在上单调递减4x =-()f x ()f x []3,4【答案】C【分析】根据已知函数图象求得的解析式，再根据三角函数的奇偶性、对称性、以及单调性，()f x 对每个选项进行逐一判断，即可选择.【详解】根据的函数图象可知，的最大值为2，又，故；()f x ()()cos f x A x ωϕ=+0A >2A =又，即，则，又，故；()01f =2cos 1ϕ=1cos 2ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3πϕ=又，即，解得，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1cos 023πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭1,232k k Zππωπ+=+∈故可得；又，则，又，故当时，；2,3k k Z πωπ=+∈142T >ωπ<0ω>0k =3πω=故()2cos 33f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对A ：由上述求解可知，，，故A 错误；3πϕ=3πω=对B ：，又，()22cos 2cos 33f x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 33x x ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故是偶函数，故B 错误；()2f x +对C ：当时，，即当时，取得最小值，4x =-()()2cos 2f x π=-=-4x =-()f x 故是的对称轴，故C 正确；4x =-()f x 对D ：当时，，而在不单调，故D 错误.[]3,4x ∈45,3333x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦2cos y x =-45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．在中，，为直角三角形，则“ABC ()()221tan 7π2:sin πcos cos 21tan2Bp B C A B B -⎛⎫-⋅=-+⋅+ ⎪⎝⎭+:q ABC ”是“”的（）p q A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用三角恒等变换公式，把中等式化为，从而，p sin2sin 2B C =()()cos sin 0B C B C +-=得或，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断．π2B C +=0B C -=【详解】由，()()221tan 7π2sin πcos cos 21tan2BB C A B B -⎛⎫-⋅=-+⋅+ ⎪⎝⎭+得，()222221π2s o in cos co c s π22sin os si c s 12nBB BC C B B -⎛⎫⋅=--+⋅- ⎪⎝⎭+即，()2222π22s i in cos cos π22cos sin cos s 2n BBB C C BB -⎛⎫⋅=--⋅- ⎪⎝⎭+即，sin2sin 2B C =即，()()()()sin sin B C B C B C B C ++-=+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()sin cos cos sin B C B C B C B C +-++-()()()()sin cos cos sin B C B C B C B C =+--+-整理得，则或，()()cos sin 0B C B C +-=()cos 0B C +=()sin 0B C -=因为，，，，0πB <<0πC <<0πB C <+<ππB C -<-<则或，即或，所以由不能推出；π2B C +=0B C -=π2A =B C =p q 当为直角三角形时，不一定为，也不一定相等，所以由不能推出，ABC A π2,B C q p 故“”是“”的既不充分也不必要条件．p q故选：D ．10．对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红，黑，白，灰四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是（）A ．B ．C ．D ．13122314【答案】A【分析】根据分步计数原理可计算出1号格子涂灰色的方案总数，再计算1号格子和4号格子同时涂灰色的方案数，即可算出其概率.【详解】由题意可知，整个事件需要分四步，按照格子标号依次涂色即可；若在1号格子涂灰色，则2号格子还有3种选色方案，同时3号格子也有3种选色方案，4号格子还剩2种选色方案，即1号格子涂灰色的方案总数为种；33218⨯⨯=若1号格子和4号格子同时涂灰色，则2号格子还有3种选色方案，3号格子还有2种选色方案，即1号和4号格子同时涂灰色的方案总数为种；326⨯=所以，在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是.61183P ==故选：A.11．双曲线与抛物线有共同的焦点，双曲线左焦点为，点是2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>28y x =2F 1F P 双曲线右支一点，过向的角平分线做垂线，垂足为，则双曲线的离心率是1F 12F PF ∠,1N ON = （）A ．2BC ．D 431【答案】A【分析】由抛物线的方程得焦点，延长交的延长线于点，由角平分线的性质得2(2,0)F 1F N 2PF M 且，由中位线的性质得，根据双曲线的定义求得，由双曲线的离1PF PM =1F N NM =22F M =1a =心率公式即可得到答案.【详解】由抛物线的焦点，故，延长交的延长线于点28y x =2(2,0)F 2c =1F N 2PF M是的角平分线，于点，PN 12F PF ∠1F N PN ⊥N 且1PF PM ∴=1F N NM =点是的中点，O 12F F //ON PM∴212ON F M = 1ON =22F M ∴=由双曲线的定义得,122PF PF a-=故12222PF PF a F M -===1a ∴=故双曲线的离心率为221c e a ===故选：A.12．关于的不等式的解集为，则的最大值是（）x e 20axx b -- R e ba A ．B ．C ．D ．142e 63e-e 12e -e 25e+【答案】A【分析】由题意可知，原不等式等价为恒成立，即函数的图象恒在函数e 2axx b + e axy =的上方，然后利用两曲线相切的临界位置，得出的表达式构造函数求最大值即可.2y x b =+e ba 【详解】根据题意可知，关于的不等式的解集为，即对任意恒成x e 20axx b -- R e 2ax x b + x ∈R 立；设直线与曲线相切，切点为；2y x m =+()e axf x =00(,e )ax A x 由得，()e axf x =()e ax f x a '=所以，即；0)2(eax f x a =='012ln x a a =此时切线方程为，即00e 2()ax y x x -=-002e 2ax y x x =+-所以；0022=e 21ln ax m x a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭根据题意直线须在的上方或重合，所以;2y x m =+2y x b =+m b 所以，令，则221l e e n e b a m a a a a ⎛=⎝≤⎫- ⎪⎭()20,t a =∈+∞2(1ln )e 2e 221ln a a t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=记，则()2(1ln )(),0,2et t h t t -=∈+∞()(12ln )(),0,2e t t h t t -'=∈+∞所以，，即函数在上单调递增；((12ln),()02e t t t h t -'∈=>()h t (，即函数在上单调递减；)(12ln),()02e t t t h t -'∈+∞=<()h t )+∞所以，即max 1()()4h t h t h ≤==1()e 4b h t a ≤≤所以的最大值是.e b a 14故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键是将不等式恒成立转化成两函数图象的位置关系的问题，利用导数的几何意义得到切线方程，比较得出在上轴截距的大小，写出的表达式，最后通过构造函数y e ba 求得其最大值.二、填空题13．已知，则__________.()()()1,2,,3,2a b a b aλ==-⊥b =【答案】5【分析】根据求出的值，然后再求()()()1,2,,3,2a b a b aλ==-⊥λb【详解】()()()221,2,32,1a b λλ-=-=-又，()2a b a -⊥220,4λλ∴-+=∴=(5b ∴== 故答案为：514．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在上，若为等边三22y x =F l A B l ABF △角形，则的面积为__________.ABF △【分析】先根据为等边三角形得到，再设，表示出点坐标，再根据ABF △AF AB=(A aB ,列出关于的方程，解出，解出三角形边长，利用面积公式即可得到答案.BF AB=a a 【详解】为等边三角形ABF △AF AB∴=由题意得1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭设，则(A a 12B ⎛- ⎝12+解得32a =2AB ∴=是边长为2的等边三角形，∴ABF △122sin 602ABF S ︒∴=⨯⨯⨯=15．在中，斜边为，点在边上，若，则Rt ABC AB D BC tan BAD ∠=1sin sin 3ADC B ∠⋅=__________.22AB AD AB AD +=⋅【分析】由，，结合三角形面积公式证明tan BAD ∠=sin BAD ∠cos BAD ∠，，再根据余弦定理列关系式求即可.BD AC =23AB AD BD ⋅=22AB AD AB AD +⋅【详解】因为，tan BAD ∠=sin cos BAD BAD ∠=∠()()22sin cos 1BAD BAD ∠+∠=，所以，，π0,2BAD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭1sin 3BAD ∠=cos BAD ∠=的面积，ABD 11sin 26S AB AD BAD AB AD=⋅∠=⋅的面积，所以，ABD 12S BD AC =⋅3BD AC AB AD ⋅=⋅因为，所以，故，1sin sin 3ADC B ∠⋅=13AC AC AD AB ⋅=3AC AC AB AD ⋅=⋅所以，故，所以BD AC AC AC ⋅=⋅BD AC =233AB AD AC AC BD⋅=⋅=由余弦定理可得，又，222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=⋅cos BAD ∠=，2222212226AB AD BD AB AD AB AD AB AD AB AD ++=-=-⋅⋅⋅所以22AB AD AB AD +=⋅16．已知正方体的棱长为是空间中任意一点.1111ABCD A B C D -2,P ①若点是正方体表面上的点，则满足的动点轨迹长是；P 12AP =π②若点是线段上的点，则异面直线和所成角的取值范围是；P 1AD BP 1B C ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦③若点是侧面上的点，到直线的距离与到点的距离之和为2，则的轨迹是椭圆；P 11BCC B P BC 1C P④过点的平面与正方体每条棱所成的角都相等，则平面截正方体所得截面的最大面积是P αα⑤设交平面于点，则.1BD 11A C D H 123BH HD =以上说法正确的是__________.（填序号）【答案】④【分析】满足的动点的轨迹是以为圆心，以为半径的3个圆弧,求出动点轨迹长即12AP =P A 1214可判断①，证明面，可得，判断②，若到直线的距离与到点的距1B C ⊥11ABC D 1B C BP ⊥P BC 1C利用，求出，再利用在求出.111111D A DC D D A C V V --=1D H 11BH BD D H =-BH 【详解】对于①，满足的动点的轨迹是以为圆心，以为半径的3个圆弧，因此动12AP =P A 1214点轨迹为.故①正确；11332424ππ⨯⨯⨯=对于②，连接，则,1BC 11B C BC ⊥面,面AB ⊥ 11BCC B 1B C ⊂11BCC B 1AB B C∴⊥，面1AB BC B = 1,AB BC ⊂11ABC D 面1B C ∴⊥11ABC D 点是线段上的点，P 1AD 面BP ∴⊂11ABC D 可得1B C BP⊥故直线和所成角恒为.故②不正确BP 1B C 2π对于③，过点作于点，则到直线的距离与到点的距离之和为，当点在线P PM BC ⊥M P BC 1C P 段上时，1CC 112PM PC PC PC +>+=此时不满足到直线的距离与到点的距离之和为2，所以的轨迹为线段，故③不正确.P BC 1C P 1CC 对于④，过点的平面与正方体每条棱所成的角都相等，只需过同一顶点的三条棱所成的角相等P α即可.,则平面与正方体过点的三条棱所成的角相等，若点分别为111A P A R A Q ==PQR 1A ,,,,,E F G H M N相应棱的中点，则平面面，且六边形//EFGHMN PQR EFGHMN形的面积为故④正确.26=对于⑤1111111111111222323D A DC D D A C A DC V V S D H D H--==⨯⨯⨯⨯==1D H ∴=1BD =11BH BD D H ∴=-=12BH HD ∴=故⑤错误故答案为：④.三、解答题17．已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①，，{}n a ()0d d ≠n n S 1S 2S成等比数列；②；③．请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．4S 416S =()8841S a =+(1)求的通项公式；n a (2)若，且，设数列的前项和，求证．()142n n n b b a n --= 13b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 1132n T ≤≤【答案】(1)21n a n =-(2)证明见详解【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质，等差数列的通项公式和前项和公n 式将已知条件转化为关于和的关系式，求出和的值即可得到的通项公式；（2）由（1）1a d 1a d n a 知，利用累加法求出的通项，再由裂项求和即可证明，再根据即可184n n b b n --=-n b 12n T <1n T T ≥证明．1132n T ≤≤【详解】（1）解：由条件①得，因为，，成等比数列，则，即1S 2S 4S 2214S S S =，又，则，()()2111246a d a a d +=+0d ≠12d a =由条件②得，即，414616S a d =+=1238a d +=由条件③得，可得，即．()8841S a =+()11828471a d a d +=++11a =若选①②，则有，可得，则；112238d a a d =⎧⎨+=⎩112a d =⎧⎨=⎩()1121n a a n d n =+-=-若选①③，则，则；122d a ==()1121n a a n d n =+-=-若选②③，则，可得，所以．123238a d d +=+=2d =()1121n a a n d n =+-=-（2）证明：由，且，()14842n n n b b a n n --==- 13b =所以当时，则有2n ()()()()()()21213218412131220843412n n n n n b b b b b b b b n n --+-=+-+-++-=++++-=+=- ，又也满足，故对任意的，有，13b =241n b n =-*n ∈N 241n b n =-则，()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以，21111112111121233521121n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦ 由于单调递增，所以，21n n T n =+113n T T ≥=综上：．1132n T ≤<18．随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对滑雪运动没有兴34趣．(1)完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？有兴趣没有兴趣合计男女合计(2)该俱乐部拟派甲、乙、丙三人参加滑雪选拔赛，选拔赛共有两轮，两轮都获胜选拔才能通过．已知甲在每轮比赛获胜的概率为，乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，丙在第一轮和第233447二轮获胜的概率分别为p 和，其中（），判断甲，乙，丙三人谁通过选拔的可43p -203p <<p ∈R 能性最大，并说明理由．附：，其中．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【答案】(1)填表见解析；有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关99.9%(2)甲；理由见解析【分析】（1）先求出对滑雪运动有兴趣的人数，结合已知可完成列联表，然后计算可得；2K （2）分别计算三人通过选拔的概率，然后作差比较可知.【详解】（1）由题意，从某中学随机抽取了100人进行调查，可得男生有50人，女生有50人，又由滑雪运动有兴趣的人数占总数的，所以有人，没有兴趣的有25人，343100754⨯=因为女生中有5人对滑雪运动没有兴趣，所以男生中对滑雪无兴趣的有20人，有兴趣的有30人，女生有兴趣的有45人，可得如下2×2列联表：有兴趣没有兴趣合计男302050女45550合计7525100所以，22100(3052045)1210.82875255050K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关．99.9%（2）甲获胜的概率最大，理由如下：甲在两轮中均获胜的概率为；1224339P =⨯=乙在两轮中均获胜的概率为；2343477P =⨯=丙在两轮中均获胜的概率为；2344()33P p p p p =⨯-=-∵；∴．420,01,033p p p ><-<<<1233p <<∵；2213442()393P P p p p -=-+=-∴显然∴，即甲获胜的概率最大．130P P ->120P P ->2113,PP P P >>19．在矩形ABCD 中，AB =2，AD ，E 是DC 中点，连接AE ，将△ADE 沿AE 折起，使得点D 移动至点P ，满足平面PAE ⊥平面ABCE .(1)求证：AE ⊥BP ；(2)求二面角E -CP -B 的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)‒2211.【分析】（1）根据已知条件，可以证明线线垂直来证明线面垂直，,,AE OP AE OB ⊥⊥AE ⊥平面BOP 然后证明；AE BP ⊥（2）结合题目条件，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，即可完成二BCP PCE 面角的求解.【详解】（1）证明：在矩形中，连接，记ABCD BD ,AE BD F ⋂=∴BD =6,AE = 3.//, 2.AF BF ABAB CD FE FD DE∴=== ∴AF =233,FE =33,BF =263,FD =63.222222,,2.AF FD AD FA FB AB AF FE ∴+=+==∴AE ⊥FD ,AE ⊥FB ,AF =2FE 在四棱锥中，线段取点满足P ABCE -AE O 2,AO OE =∵AE ⊥OP ,AE ⊥OB ,OP ∩OB =O ,∴AE ⊥平面BOP .∵BP ⊂平面BOD ,∴AE ⊥BP .（2）,,PO AE APE ABCEAPE ABCE AE ⊥⊥⋂= 平面平面，平面平面.PO ABCE ∴⊥平面如图所示∴以OA 、OB 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,∴A (233,0,0),B (0,263,0),P (0,0,63),E (‒33,0,0).2..AB EC C ⎛⎫⎛⎫∴==∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴BC =(‒23,‒6,0),CP =(23,‒6,6),PE =(‒3,0,‒6),设平面的法向量为BCP ()1,,,n x yz =110,0,0,0.y BC n CP n x y z ⎧=⎪⎧⋅=⎪⎪∴∴⎨⋅=⎪⎩=(1.n ∴=-设平面的法向量PCE ()2,,,n x y z = ∴{PE ⋅n 2=0,CP ⋅n 2=0.∴{‒33x ‒63z =0,233x ‒63y +63z =0.(22,n ∴=-设二面角的大小为E CP B --,θ∴|cosθ|n ⋅n 12=2‒2+41+2+8×4+2+2=2211.的余弦值为E CP B ∴--二面角‒2211.20．已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆上一点，()2222:10x y C a b a b +=>>212,F F A C 且轴，，为垂足，为坐标原点，且．2AF x ⊥1OM AF ⊥M O 225OM AF =(1)求椭圆的标准方程；C (2)过椭圆的右焦点的直线（斜率不为）与椭圆交于两点，为轴正半轴上一点，且C 2F l 0,P Q G x ，求点的坐标．22PGF QGF ∠=∠G 【答案】(1)22143x y +=(2)()4,0G 【分析】（1）利用△∽△构造齐次方程，求出离心率，再利用焦距即可求出椭圆方程；1F MO 12F F A（2）将直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理求出和，利用几何关系可知，12y y +12y y 0GP GQ k k +=即可得，将韦达定理代入化简即可求得点的坐标.1201221my y x y y =++G 【详解】（1）∵椭圆的焦距为，∴，即，222c =1c =轴，∴，则,2AF x ⊥ 22b AF a =22212222b a b AF a AF a a a -=-=-=由，，则△∽△，212AF F F ⊥1OM AF ⊥1F MO 12F F A ∴，即，121OM OF AF AF =22225ac a b=-整理得，即，解得或（舍去）22522ac a c =+22520e e -+=12e =2e =∴，∴，2a =2223b a c =-=则椭圆的标准方程为，C 22143x y +=（2）设直线的方程为，且，l 1x my =+()()()11220,,,0P x y Q x y G x ，，将直线方程与椭圆方程联立得，221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2234690m y my ++-=，()()()22236493414410m m m ∆=-⨯-⨯+=+>则，，122634m y y m -+=+122934y y m -=+∵，∴，22PGF QGF ∠=∠0GP GQ k k +=∴ ,()()()()1202101210201020GP GQ y x x y x x y y k k x x x x x x x x -+-+=+=----0=∴，121021200y x y x y x y x -+-=∴()()122112210121211y my y my y x y x x y y y y ++++==++，121221my y y y =++229218341146634m m m m m m -⨯-+=+=+=--+即.()4,0G21．已知函数.()()()e 21,R ,sin x f x ax a b g x x x=--∈=-(1)当对，求函数的最小值；[)0,x ∈+∞()g x (2)若对恒成立，求实数取值集合；()0f x ≥x ∈R a (3)求证：对，都有*N n ∀∈11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪⎪⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】(1)0(2)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)证明见解析【分析】（1）求导，得到函数单调性，从而求出最小值；（2）先根据，得到，再证明出充分性成立，而与均不合要求，()00f =()00f '=12a =12a >12a <从而得到答案；（3）由第一问结论得到，只需证明11sin 11n n k k n n ++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，由（2）可知，，得到111112311111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()e 10xf x x =--≥，结合等比数列求和公式证明出()11e 1,2,3,,1e n kn k k n n ++⎛⎫<=⋯ ⎪+⎝⎭.1111111231e 1111e 1e 1n n n n n n n n n n ++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<<⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【详解】（1）在上单调递增，()()1cos 0,g x x g x =≥'-[)0,x ∈+∞所以.()min ()00g x g ==（2），()e 2x f x a'=-由于，故，()00f =()010e 21202f a a a '=-=-=⇒=下证当时，恒成立，12a =()e 10xf x x =--≥此时令，解得：，()e 10x f x '=->0x >令，解得：，()e 10x f x '=-<0x <故在上单调递增，在上单调递减，()e 1x f x x =--0x >0x <故在处取得极小值，也是最小值，()e 1x f x x =--0x =且，()()0min 0=e 010f f x =--=故对恒成立；()0f x ≥x ∈R 当时，，则，显然不合要求，舍去12a >()1e 21e x x f x ax x =-<---()0010e 0f -<-=当时，令，解得：，12a <()e 20xf x a '=->ln 2x a >令，解得：，其中，()e 20x f x a '=-<ln 2x a <ln 20a <则在上单调递减，在上单调递增，()e 21x f x ax =--ln 2x a <ln 2x a >又，故当时，，不合题意，舍去；()00f =()ln 2,0x a ∈()0f x <综上：实数取值集合为.a 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭（3）由（1）可知，，，11sin 11n n k k n n ++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭*N ,N k n *∈∈所以1111123sin sin sin sin 1111n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111231111n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故只需证明：即可111112311111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由（2）可知，，()e 10x f x x =--≥则，1e xx +≤，()11(1)e n x n x ++∴+≤令，则，()11,2,3,,1kx k n n +==+ ()11e 1,2,3,,1e n kn k k n n ++⎛⎫<=⋯ ⎪+⎝⎭()11112311231e ee e 1111en n n n n n n n n n n +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()11111e 1e 1e e 1e e 1e e e 1e 1e 1n n n n n +++---=⋅==<----.11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.22．已知在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．4cos 1cos 2θρθ=-(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知过点，倾斜角为的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若M 为线段AB 的三等分点，3,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭α求的值．tan α【答案】(1)22y x=(2)或tan 2α=2tan 3α=【分析】（1）利用二倍角公式化简已知式，两边同乘以，结合极坐标与直角坐标的互化公式即可；ρ（2）写出直线的参数方程，代入曲线的方程，得到关于参数的一元二次方程，由已知结合韦达C t 定理以及参数的几何意义，可得关于的方程，求解得答案.t tan α【详解】（1）由，得，4cos 1cos 2θρθ=-2sin 2cos ρθθ=所以22sin 2cos ρθρθ=所以曲线C 的直角坐标方程为．22y x =（2）设直线l 的参数方程为（t 为参数，），3,21x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=+⎩t ∈R 代入，得，22y x =()()22sin 2cos sin 20t t ααα---=恒成立，0∆>所以，．()22cos sin sin A B t t ααα-+=22sin A B t t α-=由M 为线段AB 的三等分点，且，故．0A B t t <2A B t t =-将代入前式，得2A B t t =-，，()24cos sin sin A t ααα-=()22cos sin sin B t ααα--=所以，()2428cos sin 2sin sin αααα---=，则224(cos sin )sin ααα-=23tan 8tan 40αα-+=解得：或．tan 2α=2tan 3α=23．已知函数．()21f x x x =-++(1)求不等式的解集；()2f x x >+(2)若关于x 的不等式恒成立，求a 的取值范围．()1f x a x x >-+【答案】(1){}13x x x 或(2)(),3-∞【分析】(1)首先分类讨论去绝对值，再求解不等式；（2）首先讨论时，的范围，当时，不等式化简为，利用含绝对值三0x =a 0x ≠2212a x x -++>角不等式求最值，即可求得的取值范围.a 【详解】（1）()21,1,3,12,21,2,x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩不等式等价于或或解得或．()2f x x >+1,212x x x <-⎧⎨-+>+⎩12,32x x -≤<⎧⎨>+⎩2,212,x x x ≥⎧⎨->+⎩1x <3x >故原不等式的解集为．{}13x x x 或（2）当时，不等式恒成立，即．0x =()1f x a x x >-+a R ∈当时，可化为，0x ≠()1f x a x x >-+2212a x x -++>因为，当且仅当时等号成立222212123x x x x -++≥-++=22120x x ⎛⎫⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以，即a 的取值范围为．3a <(),3-∞。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学(文)试题(含答案解析)

四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}13A x N x =∈≤≤，{}2650B x x x =-+<，则A B = （）A ．∅B ．{}1,2,3C ．(]1,3D ．{}2,32．在复平面内，复数212i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设函数()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，则()()24log 5f f -+=（）A ．5B ．6C ．7D ．84．若实数x ､y 满足210104210x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，则z =x +3y 的最小值为（）A ．-9B ．1C ．32D ．25．已知6log 2a =，sin1b =，12c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b<<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．a b c<<6．某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）A ．132B ．223C ．152D ．2337．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.88．函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图象如图所示，则（）A ．3πϕ=，73πω=B ．()2y f x =+是奇函数C ．直线4x =-是()f x 的对称轴D ．函数()f x 在[]3,4上单调递减9．在ABC 中，()()221tan 7π2:sin πcos cos 21tan 2Bp B C A B B -⎛⎫-⋅=-+⋅+ ⎪⎝⎭+，:q ABC 为直角三角形，则“p ”是“q ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．2311．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与抛物线28y x =有共同的焦点2F ，双曲线左焦点为1F ，点P 是双曲线右支一点，过1F 向12F PF ∠的角平分线做垂线，垂足为,1N ON =，则双曲线的离心率是（）A ．2BC ．43D112．已知函数()(),f x g x 的定义域均为()R,f x 为偶函数，且()()21f x g x +-=，()()43g x f x --=，下列说法正确的有（）A ．函数()g x 的图象关于1x =对称B ．函数()f x 的图象关于()1,2--对称C ．函数()f x 是以4为周期的周期函数D ．函数()g x 是以6为周期的周期函数二、填空题13．已知()()()1,2,,3,2a b a b a λ==-⊥，则b = __________.14．已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，点A 在抛物线上，点B 在l 上，若ABF △为等边三角形，则ABF △的面积为__________.15．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是空间中任意一点.①若点P 是正方体表面上的点，则满足12AP =的动点轨迹长是π；②若点P 是线段1AD 上的点，则异面直线BP 和1B C 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③若点P 是侧面11BCC B 上的点，P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为2，则P 的轨迹是椭圆；④过点P 的平面α与正方体每条棱所成的角都相等，则平面α截正方体所得截面的最大面积是⑤设1BD 交平面11AC D 于点H ，则123BH HD =.以上说法正确的是__________.（填序号）三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，现给出下列三个条件：①1S ，2S ，4S 成等比数列；②416S =；③()8841S a =+．请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．(1)求n a 的通项公式；(2)若()142n n n b b a n --=，且13b =，设数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证1132n T ≤≤．18．某省举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄､更加优异的成绩，向中国共产党百年华诞献礼.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.（1）以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数；（2）一支200人的队伍，男士占其中的38，40岁以下的男士和女士分别为30和70人，请补充完整22⨯列联表，并通过计算判断是否有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.40岁以下40岁以上合计男士30女士70合计200附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥L 0.050.0250.0100.0050.0010k L3.8415.0246.6357.87910.82819．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，120BCD ∠=︒，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，1BF =.（1）求证：BD ⊥平面AED ，AD ⊥平面BDEF ；（2）点P 在线段EF 上运动，求三棱锥C PBD -的体积.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，左、右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆C 上一点，且2AF x ⊥轴，1OM AF ⊥，M 为垂足，O 为坐标原点，且225OM AF =．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆交于,P Q 两点，G 为x 轴正半轴上一点，且22PGF QGF ∠=∠，求点G 的坐标．21．已知函数()()()e 21,R ,sin xf x ax a bg x x x =--∈=-.(1)当[)0,x ∈+∞对，求函数()g x 的最小值；(2)若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，求实数a 取值集合；(3)求证：对*N n ∀∈，都有11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪⎪⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22．已知在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos 1cos 2θρθ=-．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知过点3,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，倾斜角为α的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若M 为线段AB的三等分点，求tan α的值．23．已知函数()21f x x x =-++．(1)求不等式()2f x x >+的解集；(2)若关于x 的不等式()1f x a x x >-+恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1．D【分析】本题考查集合的交集，易错点在于集合A 元素是自然数，集合B 的元素是实数．【详解】∵{}{}131,2,3A x N x =∈≤≤=，{}{}265015B x x x x x =-+<=<<，∴{}2,3A B ⋂=．故选：D ．2．A【分析】化简复数，求出z 的共轭复数，即可得到答案.【详解】()()212i i 12i 12i 2i 11i (1i)2i 2i i22z +++-+====-+-则z 的共轭复数为11i2+故选：A.3．D【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.【详解】因23252<<，则22log 53<<，而()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，所以()()2log 5224log 5log (44)2358f f -+=++=+=.故选：D 4．B【分析】做出可行域，由目标函数的几何意义求得最小值.【详解】有不等式组做出可行域，如图所示：由目标函数z =x +3y 的几何意义知，其在10（，）处取得最小值，此z =1+0=1.故选：B.5．A【分析】借助中间值12比较大小即可.【详解】661log 2log 2a =<，1sin1sin 62b π=>=，所以bc a >>.故选：A.6．C【分析】根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解．【详解】解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，由图示可知，该空间几何体体积为3221111152111232322V ⎛⎫=-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：C.7．C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610，故选：C.8．C【分析】根据已知函数图象求得()f x 的解析式，再根据三角函数的奇偶性、对称性、以及单调性，对每个选项进行逐一判断，即可选择.【详解】根据()f x 的函数图象可知，()()cos f x A x ωϕ=+的最大值为2，又0A >，故2A =；又()01f =，即2cos 1ϕ=，则1cos 2ϕ=，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3πϕ=；又102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1cos 023πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得1,232k k Z ππωπ+=+∈，故可得2,3k k Z πωπ=+∈；又142T >，则ωπ<，又0ω>，故当0k =时，3πω=；故()2cos 33f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对A ：由上述求解可知，3πϕ=，3πω=，故A 错误；对B ：()22cos 2cos 33f x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2cos 2cos 33x x ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()2f x +是偶函数，故B 错误；对C ：当4x =-时，()()2cos 2f x π=-=-，即当4x =-时，()f x 取得最小值，故4x =-是()f x 的对称轴，故C 正确；对D ：当[]3,4x ∈时，45,3333x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，而2cos y x =-在45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调，故D 错误.故选：C.9．D【分析】利用三角恒等变换公式，把p 中等式化为sin2sin 2B C =，从而()()cos sin 0B C B C +-=，得π2B C +=或0B C -=，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由()()221tan 7π2sin πcos cos 21tan2BB C A B B -⎛⎫-⋅=-+⋅+ ⎪⎝⎭+，得()222221π2s o in cos co c s π22sin os si c s 12n B B B C C B B -⎛⎫⋅=--⋅- ⎪⎝⎭+，即()2222π22s i in cos cos π22cos sin cos s 2n BBB C C BB -⎛⎫⋅=--⋅- ⎪⎝⎭+，即sin2sin 2B C =，即()()()()sin sin B C B C B C B C ++-=+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()sin cos cos sin B C B C B C B C +-++-()()()()sin cos cos sin B C B C B C B C =+--+-整理得()()cos sin 0B C B C +-=，则()cos 0B C +=或()sin 0B C -=，因为0πB <<，0πC <<，0πB C <+<，ππB C -<-<，则π2B C +=或0B C -=，即π2A =或B C =，所以由p 不能推出q ；当ABC 为直角三角形时，A 不一定为π2，,B C 也不一定相等，所以由q 不能推出p ，故“p ”是“q ”的既不充分也不必要条件．故选：D ．10．C【分析】首先得到220()4f x x x m '=-≥+恒成立，则解出m 的范围，再根据其在[0,4]内取数，利用几何概型公式得到答案.【详解】22()4f x x x m '=-+ ，3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数22()40f x x x m '∴=-+≥恒成立21640m ∴∆=-≤解得2m ≥或2m ≤-又m 是区间[0,4]内任取的一个数24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率42142P -==故选：C ．11．A【分析】由抛物线的方程得焦点2(2,0)F ，延长1F N 交2PF 的延长线于点M ，由角平分线的性质得1PF PM =且1F N NM =，由中位线的性质得22F M =，根据双曲线的定义求得1a =，由双曲线的离心率公式即可得到答案.【详解】由抛物线28y x =的焦点2(2,0)F ，故2c =，延长1F N 交2PF 的延长线于点MPN 是12F PF ∠的角平分线，1F N PN ⊥于点N ，1PF PM ∴=且1F N NM=点O 是12F F 的中点，//ON PM∴212ON F M = 1ON =22F M ∴=由双曲线的定义得122PF PF a -=,故12222PF PF a F M -===1a ∴=故双曲线的离心率为221c e a ===故选：A.12．C【分析】根据题中所给条件可判断()g x 关于2x =和4x =对称，进而得()g x 的周期性，结合()g x 的周期性和()f x 的奇偶性即可判断()f x 的周期性，结合选项即可逐一求解.【详解】由()()21f x g x +-=得()()21f x g x -++=，又()f x 为偶函数，所以()()=f x f x -，进而可得()()22g x g x -=+；因此可得()g x 的图象关于2x =对称,又()()43g x f x --=可得()()843g x f x ---=，结合()f x 为偶函数，所以()()8g x g x =-，故()g x 的图象关于4x =对称，因此()()()44g x g x g x =-=+，所以()g x 是以4为周期的周期，故D 错误，由于()()()()()()223231322f x g x g x f x f x f x -=+-=--=--⇒=---，所以()()22f x f x -+-=-且()()()()224224f x f x f x f x =---=-----=-⎡⎤⎣⎦，因此()f x 的图象关于()1,1--对称，函数()f x 是以4为周期的周期函数，故C 正确，B 错误，根据()f x 是以4为周期的周期函数，由()()21f x g x +-=，()()43g x f x --=得()()24g x g x +-=，所以数()g x 的图象关于()1,2对称，故A 错误，故选：C 13．5【分析】根据()()()1,2,,3,2a b a b a λ==-⊥求出λ的值，然后再求b 【详解】()()()221,2,32,1a b λλ-=-=- 又()2a b a -⊥，220,4λλ∴-+=∴=()4,3,5b b ∴===故答案为：514【分析】先根据ABF △为等边三角形得到AF AB =，再设(A a ，表示出B 点坐标，再根据BF AB =,列出关于a 的方程，解出a ，解出三角形边长，利用面积公式即可得到答案.【详解】 ABF △为等边三角形AF AB∴=由题意得1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭设(A a ，则12B ⎛- ⎝12BF AB a ∴==+解得32a =2AB ∴=∴ABF △是边长为2的等边三角形，122sin 602ABF S ︒∴=⨯⨯⨯=15．【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin22ABC S ac B ∆==⨯=【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16．④【分析】满足12AP =的动点P 的轨迹是以A 为圆心，以12为半径的3个14圆弧,求出动点轨迹长即可判断①，证明1B C ⊥面11ABC D ，可得1B C BP ⊥，判断②，若P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为2，则点P 在线段1CC 上可判断③作出平面α截正方体的正六边形求出其面积可判断④，利用111111D A DC D D A C V V --=，求出1D H ，再利用11BH BD D H =-在求出BH .【详解】对于①，满足12AP =的动点P 的轨迹是以A 为圆心，以12为半径的3个14圆弧，因此动点轨迹为11332424ππ⨯⨯⨯=.故①正确；对于②，连接1BC ，则11B C BC ⊥,AB ⊥Q 面11BCC B ,1B C ⊂面11BCC B 1AB B C∴⊥1AB BC B =Q I ，1,AB BC ⊂面11ABC D 1B C ∴⊥面11ABC D 点P 是线段1AD 上的点，BP ∴⊂面11ABC D 可得1B C BP⊥故直线BP 和1B C 所成角恒为2π.故②不正确对于③，过点P 作PM BC ⊥于点M ，则P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为，当点P 在线段1CC 上时，112PM PC PC PC +>+=此时不满足P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为2，所以P 的轨迹为线段1CC ，故③不正确.对于④，过点P 的平面α与正方体每条棱所成的角都相等，只需过同一顶点的三条棱所成的角相等即可.111A P A R AQ ==,则平面PQR 与正方体过点1A 的三条棱所成的角相等，若点,,,,,E F G H M N 分别为相应棱的中点，则平面//EFGHMN 面PQR ，且六边形EFGHMN 为正六边形，边长，故六边形的面积为264⨯=,故④正确.对于⑤1111111111111222323D A DC D D A C A DC V V SD H H --==⨯⨯⨯==13D H ∴=1BD =1133BH BD D H ∴=-=12BH HD ∴=故⑤错误故答案为：④.17．(1)21n a n =-(2)证明见详解【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式将已知条件转化为关于1a 和d 的关系式，求出1a 和d 的值即可得到n a 的通项公式；（2）由（1）知184n n b b n --=-，利用累加法求出n b 的通项，再由裂项求和即可证明12n T <，再根据1n T T ≥即可证明1132n T ≤≤．【详解】（1）解：由条件①得，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，则2214S S S =，即()()2111246a d a a d +=+，又0d ≠，则12d a =，由条件②得414616S a d =+=，即1238a d +=，由条件③得()8841S a =+，可得()11828471a d a d +=++，即11a =．若选①②，则有112238d a a d =⎧⎨+=⎩，可得112a d =⎧⎨=⎩，则()1121n a a n d n =+-=-；若选①③，则122d a ==，则()1121n a a n d n =+-=-；若选②③，则123238a d d +=+=，可得2d =，所以()1121n a a n d n =+-=-．（2）证明：由()14842n n n b b a n n --==-，且13b =，所以当2n时，则有()()()()()()21213218412131220843412n n n n n b b b b b b b b n n --+-=+-+-++-=++++-=+=- ，又13b =也满足241n b n =-，故对任意的*n ∈N ，有241n b n =-，则()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以21111112111121233521121n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦L ，由于21n n T n =+单调递增，所以113n T T ≥=，综上：1132n T ≤<．18．（1）37；（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.【分析】（1）根据频率分布直方图及平均数的定义直接计算即可；（2）列出22⨯列联表，计算2K 与临界值比较即可得出结论.【详解】（1）这60人年龄的平均数为150.15250.2350.3450.15550.1650.05750.0537⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题意队伍中男士共75人，女士125人，则22⨯列联表如下：40岁以下40岁以上合计男士304575女士7055125合计10010010020022200(30557045) 4.810010075125K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯=4.8 3.8> 所以，有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.19．（1）证明见解析；（2）12.【分析】（1）根据已知条件转化垂直关系，利用线面垂直的判断定理，即可证明；（2）根据C PBD P BCD V V --=计算棱锥的体积即可.【详解】（1）证明，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，120BCD ∠=︒，30CDB CBD ∴∠=∠=︒，120ADC DCB ∠=∠=︒，90ADB ∴∠=︒，AD BD ∴⊥.又四边形BDEF 是矩形，DE DB∴⊥又AD DE D ⋂=Q ，BD ∴⊥平面ADE平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ⋂平面ABCD BD =，DE ⊂平面BFED ，，又ED BD ⊥ ，ED ∴⊥平面ABCD ，ED AD ∴⊥ED BD D = ，AD ∴⊥平面BDEF .（2）//,EF DB EF ⊄ 平面ABCD ,DB ⊂平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，∴P 到平面ABCD 的距离等于1BF =,41sin 111222BCD BC S B C D C D ∠=⨯⨯⋅⨯=⋅=△113412C PBD P BCD V V --∴==⨯⨯=.20．(1)22143x y +=(2)()4,0G 【分析】（1）利用△1F MO ∽△12F F A 构造齐次方程，求出离心率，再利用焦距即可求出椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理求出12y y +和12y y ，利用几何关系可知0GP GQ k k +=，即可得1201221my y x y y =++，将韦达定理代入化简即可求得点G 的坐标.【详解】（1）∵椭圆的焦距为2，∴22c =，即1c =，2AF x ⊥ 轴，∴22b AF a =，则22212222b a b AF a AF a a a-=-=-=,由212AF F F ⊥，1OM AF ⊥，则△1F MO ∽△12F F A ，∴121OM OF AF AF =，即22225ac a b =-，整理得22522ac a c =+，即22520e e -+=，解得12e =或2e =（舍去）∴2a =，∴2223b a c =-=，则椭圆C 的标准方程为22143x y +=，（2）设直线l 的方程为1x my =+，且()()()11220,,,0P x y Q x y G x ，，，将直线方程与椭圆方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩联立得()2234690m y my ++-=，()()()22236493414410m m m ∆=-⨯-⨯+=+>，则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，∵22PGF QGF ∠=∠，∴0GP GQ k k +=，∴()()()()1202101210201020GP GQ y x x y x x y y k k x x x x x x x x -+-+=+=----0=,∴121021200y x y x y x y x -+-=，∴()()122112210121211y my y my y x y x x y y y y ++++==++121221my y y y =++229218341146634m m m m m m -⨯-+=+=+=--+，即()4,0G .21．(1)0(2)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)证明见解析【分析】（1）求导，得到函数单调性，从而求出最小值；（2）先根据()00f =，()00f '=得到12a =，再证明出充分性成立，而12a >与12a <均不合要求，从而得到答案；（3）由第一问结论得到11sin 11n n k k n n ++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，只需证明111112311111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（2）可知，()e 10xf x x =--≥，得到()11e 1,2,3,,1en kn k k n n ++⎛⎫<=⋯ ⎪+⎝⎭，结合等比数列求和公式证明出1111111231e 1111e 1e 1n n n n n n n n n n ++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【详解】（1）()()1cos 0,g x x g x =≥'-在[)0,x ∈+∞上单调递增，所以()min ()00g x g ==.（2）()e 2xf x a '=-，由于()00f =，故()010e 21202f a a a '=-=-=⇒=，下证当12a =时，()e 10xf x x =--≥恒成立，此时令()e 10xf x '=->，解得：0x >，令()e 10xf x '=-<，解得：0x <，故()e 1xf x x =--在0x >上单调递增，在0x <上单调递减，故()e 1xf x x =--在0x =处取得极小值，也是最小值，且()()0min 0=e 010f f x =--=，故()0f x ≥对x ∈R 恒成立；当12a >时，()1e 21e x x f x ax x =-<---，则()0010e 0f -<-=，显然不合要求，舍去当12a <时，令()e 20xf x a '=->，解得：ln 2x a >，令()e 20xf x a '=-<，解得：ln 2x a <，其中ln 20a <，则()e 21xf x ax =--在ln 2x a <上单调递减，在ln 2x a >上单调递增，又()00f =，故当()ln 2,0x a ∈时，()0f x <，不合题意，舍去；综上：实数a 取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.（3）由（1）可知，11sin 11n n k k n n ++⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，*N ,N k n *∈∈，所以1111123sin sin sin sin 1111n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111231111n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故只需证明：111112311111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即可由（2）可知，()e 10x f x x =--≥，则1e x x +≤，()11(1)e n x n x ++∴+≤，令()11,2,3,,1k x k n n +==+ ，则()11e 1,2,3,,1e n k n k k n n ++⎛⎫<=⋯ ⎪+⎝⎭，()11112311231e e e e 1111e n n n n n n n n n n n +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()11111e 1e 1e e 1e e 1ee e 1e 1e 1n n n n n +++---=⋅==<----，11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.22．(1)22y x=(2)tan 2α=或2tan 3α=【分析】（1）利用二倍角公式化简已知式，两边同乘以ρ，结合极坐标与直角坐标的互化公式即可；（2）写出直线的参数方程，代入曲线C 的方程，得到关于参数t 的一元二次方程，由已知结合韦达定理以及参数t 的几何意义，可得关于tan α的方程，求解得答案.【详解】（1）由4cos 1cos 2θρθ=-，得2sin 2cos ρθθ=，所以22sin 2cos ρθρθ=所以曲线C 的直角坐标方程为22y x =．（2）设直线l 的参数方程为3,21x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数，t ∈R ），代入22y x =，得()()22sin 2cos sin 20t t ααα---=，0∆>恒成立，所以()22cos sin sin A B t t ααα-+=，22sin A B t t α-=．由M 为线段AB 的三等分点，且0A B t t <，故2A B t t =-．将2A B t t =-代入前式，得()24cos sin sin A t ααα-=，()22cos sin sin B t ααα--=，所以()2428cos sin 2sin sin αααα---=，224(cos sin )sin ααα-=，则23tan 8tan 40αα-+=解得：tan 2α=或2tan 3α=．23．(1){}13x x x 或(2)(),3-∞【分析】(1)首先分类讨论去绝对值，再求解不等式；（2）首先讨论0x =时，a 的范围，当0x ≠时，不等式化简为2212a x x-++>，利用含绝对值三角不等式求最值，即可求得a 的取值范围.【详解】（1）()21,1,3,12,21,2,x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩不等式()2f x x >+等价于1,212x x x <-⎧⎨-+>+⎩或12,32x x -≤<⎧⎨>+⎩或2,212,x x x ≥⎧⎨->+⎩解得1x <或3x >．故原不等式的解集为{}13x x x 或．（2）当0x =时，不等式()1f x a x x >-+恒成立，即a R ∈．当0x ≠时，()1f x a x x >-+可化为2212a x x -++>，因为222212123x x x x -++≥-++=，当且仅当22120x x ⎛⎫⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时等号成立所以3a <，即a 的取值范围为(),3-∞．。