高数A第十章测验答案
高等数学第十章模拟考试题答案(宁夏理工学院)
一、填空题1. 1<x ， 1≥x ；2. 1>p ， 1≤p ；3. 条件收敛；4. 绝对收敛；5. 发散；6. R= 3，[-3,3) ；7. R= 1，[-1,1] ；8. R= 1，（-1,1)； .一、判定下列级数的收敛性： 1.()∑∞=--112121n n n 因为()112121n 21--≤-n n ，又∑∞=-1121n n 收敛，由比较审敛法知，()∑∞=--112121n n n 收敛 . 2.∑∞=1n 1sin 1n n因为11n 1s i n1l i m 23=∞→nnn ,又∑∞=1231n n收敛,由比较审敛法知，∑∞=1n 1sin 1n n收敛 .3.∑∞=++1211n n n因为111n1lim 2=++∞→nn n ，又∑∞=11n n发散,由比较审敛法知，∑∞=++1211n n n 发散. 4.∑∞=+1211n n 因为22111n n ≤+，又∑∞=121n n收敛，由比较审敛法知，∑∞=+1211n n 收敛 .5.()∑∞=+1n 1ln 1n 因为()n +≥+11n 1ln 1，又∑∞=+111n n 发散,由比较审敛法知，()∑∞=+1n 1ln 1n 发散. 6.;231∑∞=⋅n nnn 因为11133(1)2limlim 1322n n n n n n nnu n u n +++→∞→∞+⋅==>⋅，由比值审敛法知，∑∞=⋅123n n n n 发散. 7.;31n 2∑∞=n n 因为()，131331lim lim 2121<=+=+∞→+∞→nn n nn n n n u u 由比值审敛法知，∑∞=⋅123n nn n 收敛. 8.;3sin113∑∞=+n n n π因为()，1313sin 3sin1limlim 13231<=+=++∞→+∞→n n n nn n n n u uππ由比值审敛法知，∑∞=+1133sin n n n π收敛.9.；∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛154n nn因为()，15454541lim lim 11<=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→+∞→n n n nn n n n u u由比值审敛法知，∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛154n nn 收敛. 10.∑∞=+11n n n. 因为,011lim≠=+∞→n n n 由级数收敛的必要条件知，∑∞=+11n n n发散. 二、求下列幂级数的和函数1.∑∞=-11n n nx收敛半径，11lim lim1=+==∞→+∞→n na a R n n n n 当1-=x 时，幂级数成为发散级数()∑∞=--111n n n ，当1=x 时，幂级数成为∑∞=1n n ，是发散的. 因此收敛域为（-1,1) .设()∑∞=-=11n n nx x s ，于是()==⎪⎭⎫⎝⎛=∑⎰⎰⎰∑∞=-∞=-dx nx dx nx dx x s n xn xxn n 1010011xxx n n -=∑∞=11， 两边对x 求导得()()().1,1,1112-∈-='⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x x x s 2.∑∞=--11212n n n x ；由()()()()，2121211212lim lim x x n x n x u x u n n n nn n =+-=-+∞→+∞→令,12<x 知级数的收敛区间为().1,1- 又当1±=x 时，级数为()∑∑∞=∞=--±=-±1112121121n n n n n ，发散.因此收敛域为().1,1- 设(),12112∑∞=--=n n n x x s 于是 ()∑∑∑∞=∞=-∞=--=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='102212112111212n n nn n n x x n x n x x s ， 故级数的和函数 ()()().1,1,11ln 2111020-∈-+=-='=⎰⎰x x xdx x dx x s x s xx3. ∑∞=++11414n n n x ；由()()()()，4145415414lim lim x x n x n x u x u n n n nn n =++=++∞→+∞→令,14<x 知级数的收敛区间为().1,1-又当1±=x 时，级数为()∑∑∞=∞=++±=+±1114141141n n n n n ，发散.因此收敛域为().1,1- 设()∑∞=++=11414n n n x x s ，于是()∑∑∑∞=∞=+∞=+-=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='114441411411414n n nn n n x x x n x n x x s ，故级数的和函数()()().1,1,a r c t a n 2111ln 4110440-∈-+-+=-='=⎰⎰x x x x x dx x x dx x s x s xx4.∑∞=--122212n n nx n . 由()()()()，222212112212lim lim x x n x n x u x u n n n nn n =-+=-∞→+∞→令,1212<x 知级数的收敛区间为().2,2-又当2±=x 时，级数为()∑∑∞=∞=--=±-1122,2122212n n n n n n 发散. 因此收敛域为().2,2- 设(),212122∑∞=--=n n nx n x s ，于是 ()∑∑⎰∑⎰∑⎰∞=∞=-∞=-∞=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121120102212202121212212n nn n n xn xn n n n n xx x x dx x n dx x n dx x s 22x x-=两边对x 求导，得()()2222222xx x x x s -+='⎪⎭⎫⎝⎛-=,().2,2-∈x . 三、将下列函数展开成x 的幂级数，并指出展开式成立的区间: 1. x e 3;因为(),!0+∞<=∑∞=x n x e n nx将3x 代替x ,即得()().!3!303+∞<==∑∑∞=∞=x n x n x e n nn n nx2.x cos由 ()()()+∞<<∞---=∑∞=--x n x x n n n 1121!121sin ,得 ()'=x x sin cos()()()()()()()()∑∑∑∑∞=∞=--∞=--∞=---=--='⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=02122111211121!21!221!121!121n n n n n n n n n n n n n x n x n x n x().+∞<<∞-x 3. ()x e x -1+;由(),!0+∞<=∑∞=x n x e n n x知()()().!1!00-+∞<-=-=∑∑∞=∞=x n x n x e n nn n n x 于是 ()()()()()100111111!!(1)!nn n n nn xx xn n n x xnx x ee xex x n n n +∞∞∞---===+=+=-+-=+--∞<<+∞+∑∑∑211x+；由()()11110<-=+∑∞=x x x n n n，得 211x +()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛<<-<-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑∞=∞=22,12212100x x x x n n nnn nn即 4.6512+-x x ；由⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---=+-311312112131216512x x x x x x ，由()1110<=-∑∞=x x x n n 知， (),22222121121111∑∑∞=+∞=<<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n n nn n x x x x(),33333131131111∑∑∞=+∞=<<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n n nn n x x x x 所以6512+-x x =()223121111<<-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=++x x n n n n5. ()x +3ln ;因为ln(3)ln 3ln(1)3xx +=++()()()10011ln 1'113333333313n n n n n n n x x x x x x ∞∞+==⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-=--<≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪+⎝⎭∑∑１１＝ 积分得()dx x x x⎰++=+0313ln 3ln ()()()∑∑⎰⎰∑∞=-∞=+∞=+⋅-+=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11010001313ln 313ln 313ln n n n n n n n x n xn n n n n xdx x dx x()33x -<≤.6.()221x -. ()∑∑∑∞=-∞=∞=='⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11002221221221211212121n n n n n n n nxx x x x x .2111∑∞=+-=n n n nx 由12<x，得展开式成立的区间为22<<-x .。
同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分
第十章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长地曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程x =x t L ：y =y tx = x(t ) L:<y = y(t )"z(t )Lf x,y,z ds - 注意：上限一定要大于下限1.计算下列对弧长地曲线积分<1) \(x 2y 2)2ds ,其中 L 为圆周 x 2y 2=a 2； 解：法一：Q|jx2+y 2)2ds = |J L (a 2)2ds二玄仁 ds =a 4(2二a) =2二a 5法二：_L x =acosv L: 0 心：:2二,匸(x 2 y 2)2ds2二 2 2 2 2 2[a cos ： a si n ] -asi na cos d ：2二 5 . 5ad^ - 2「a<2) \e x yds ,其中L 为圆周x 2■ y 2=a 2,直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成地扇形ba 兰t 兰b ,则(f (x, y ps= f a f(x (t ), y(tddbafxt ,y t ,zt解：忆e 拧%s = ( & +廟+ J BO 卅“ ds ,其中故口 e^iyds=e a(2+ — a) -2匕 4<3) L xds ,其中L 为抛物线y =2x 2-1上介于x =0与x=1之间地一段弧;「X =x解：由 L:20<x<1，得、y=2x -1l xds 二 ° x 1亠〔4x 2dx2 3_2(1+16x)2o_17用-1 -32-48<4) L y 2ds ,其中 L 为摆线地一拱 x =a(t - si nt), y =a(1 - cost)(0 — t — 2二)； 解: .L y 2ds = ：0〔a(1-cost)『」a 1-cost ]2a si nt^dt2TI 5=V2a 3「(1 —cost)2dtx = x x = a cos—— x = x 、2 OA: ,0_x_a ,AB:,0, BO: 0_x a y =0 y =as in 4 y = x 2f e x 旳 ds =『少尺 J 12 +02 dxoA-0aoa二ABey ds 二ABe ds二 e ABds4<或]e x 七ds■AB=[4 e ' 严"巧塔“巧 J (一 a sin 盯 + (acos日 j d 日JI4 e a ad ) 4a 二 BO-a-2-2匸2a 一2 2 -------- ■ 2 e x 2 x 2,12 12dx 0-1 a二5二 迈a 3 ： (2sin 2*)2dt =8a 3J6a 3siJI353= 32a 2sin 如-32a」0x 2+y 2+z 2=22 2]x = cosT解：由」 丫，得2X 2+Z2=2,令 < 厂 0兰日兰2兀y = xz = \ 2 sin 71x= cos 日sin 5 -dt <令—-v4 2 256 3a5 3 15<5) “L xyds ，其中L 为圆周x 2 y 2 =a 2 ； 解：利用对称性J |xyds = 4jJxyds ,其中 Lix = a cos 日 0<6y = a sinJI< 一2[xy ds = 4『xy ds = 4 fxyds迟,=4 02 (acos R(asin v) (-asin v)2 (acosv)2dv"a 3jcosrsin=2a 3sin =-2a 3<6)-x 2y 22ds ,其中-为曲线 z 2X =e t cost ,y =e t si nt ,z =e t 上相应于 t 从 0 变到 2 地------ 2 -- 1 ---- 2 ---- cost )]2 +[(£ sin t )]2 +e 2t dte tcost ]亠[d sin t ]亠[d =—fe^dt =^(1 —e‘) 2 02<7)广yds ,其中-为空间圆周:x 2 + y 2 + z 2 =2』=x弧段; 解：故丫: * y = cos日0兰日乞2兀.故z = J2s in。
(完整word版)高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)
于是所求的曲面积分为
.
（2） ，其中 为旋转抛物面 介于 之间部分的下侧。
解由两类曲面积分之间的联系，可得
，
在曲面 上，有
。
故
。
再依对坐标的曲面积分的计算方法，得
。
注意到
，
故
。
（3） ，其中 为 ， 的上侧；
解 在 面上的投影为半圆域 ， ，
=
= =
由对称性 = ， =
∴原式= =
（4） ，其中 是由平面 ， ， ， 所围成的四面体的表面的外侧。
，
其中 为上半球面 ， ， ，故
，
其中 是 在 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得
= ，
是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得
，
故
。
解法2设球面方程为 ，定直径在 轴上，依题意得球面上点 的密度为 ，从而得球面的质量为 ，由轮换对称性可知： ，故有
．
2设某流体的流速为 ，求单位时间内从圆柱 ： （ ）的内部流向外侧的流量（通量）。
，其中 从 变到 ，
故
。
解法2作有向线段 ，其方程为
，其中 从 变到 ，
则有向曲线 与有向线段 构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为 ，由格林公式，有
，
即
，
而
，
故
。
3．计算 ,其中 为平面 在第一卦限中的部分；
解 将曲面 投影到 面上，得投影区域为 ，此时曲面方程可表示为
，
于是
，
。
4. 计算 ,其中 是球面 的上半部分并取外侧；
解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以 取下侧， 取后侧， 取左侧， 取上侧。于是
高等数学第十章答案
高等数学第十章答案【篇一：高等数学2第十章答案_62010】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值1m?11?x?y?0?，最小值m???x?1,y?2? 45故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）22(x?y)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；??d（2）??xcos(x?y)d?，其中d是顶点分别为(0,0)，(?,0)和(?,?)的三角形闭区域。
d2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）x?ye??d?，其中d?{(x,y)||x|?y?1}d2（2）??(xd2?y2?x)d?，其中d是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。
3.化二重积分i???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次d积分），其中积分区域d是：2（1）由直线y?x及抛物线y?4x所围成的闭区域；（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。
x34.求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积。
5.画出积分区域，把积分22其中积分区域d是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分， d（1）{(x,y)|x?y?2x}；4（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）?2dxxfdy；5【篇二：高等数学课后习题答案第十章】重积分性质，比较??dln(x?y)d?与??d[ln(x?y)]d?2的大小，其中：（1）d表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）d表示矩形区域{(x,y)|3?x?5,0?y?2}.解：（1）区域d如图10-1所示，由于区域d夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-11?x?y?2从而0?lnx(?y?)12故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d所以 ??ln(x?y)?d???[lxn?(y2?)]d时，有（2）区域d如图10-2所示.显然，当(x,y)?dx?y?3.图10-2 从而 ln(x+y)1 故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d2??所以（1）（2）（3）ln(x?y)?d???d[lxn?(y2?)]d2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： i?i?i???????d?,d?{(x,y)|0?x?2,0?y?2}22;;d(x,y)?d0?y?2时，有0?x?2,2222.解：（1）因为当因而0?xy?4.从而2??2d??故??即而d??d????d?2??d??d??d??d?d??dd???得8???d2??2(2) 因为0?sinx?1,0?siny?1，从而 220?sinxsiny?1故即??d0d????dsinxsinyd??222??d1d?0???dsinxsinyd????dd???2所以0???d22222（3）因为当2(x,y)?d20?x?y?4所以时，229?x?4y?9?4(x?y)?9?25故 ??即d9d??2??d(x?4y?9)d??222??d25d?9????d(x?4y?9)d??25?2所以??d223. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：??（1）（2）d(a??,d?{(x,y)|x?y?a};d?{(x,y)|x?y?a}.222222??d?,(a?解：（1）??d?,在几何上表示以d为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以d(a???133??（2）d?在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故??d??233lim4. 设f(x，y)为连续函数，求2r?0??df(x,y)d?,d?{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)?r}222.解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，?(?,?)?d,使得??d2(?,?)?(x0,y0),又由于d是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当r?0时，lim2r?0??df(x,y)d??lim2r?0r?02于是：5. 画出积分区域，把（1）(?,?)?(x0,y0)limf(?,?)?f(x0,y0)??df(x,y)d?化为累次积分：;d?{(x,y)|x?y?1,y?x?1,y?0}2(2)d?{(x,y)|y?x?2,x?y}2xd?{(x,y)|y?(3),y?2x,x?2}解：（1）区域d如图10-3所示，d亦可表示为y?1?x?1?y,0?y?1.??所以2df(x,y)d???10dy?1?yy?1f(x,y)dx(2) 区域d如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域d可表示为y?x?y?2,?1?y?2图10-3 图10-4??所以df(x,y)d???2?1dy?y?2y2f(x,y)dxy?（3）区域d如图10-5所示，直线y=2x与曲线 2x的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线 y?2x与2x=2的交点为（2，1），区域d可表示为x ?y?2x,1?x?2.图10-5??所以df(x,y)d???21dx?2f(x,y)dyx2x.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序： ?（1）?(3)1020dy?2yyf(x,y)dx; (2) ?edx?lnx0f(x,y)dy;dy3?2yf(x,y)dx; (4)33?y0?dx?sinx?sinx2f(x,y)dy;(5) ?1dy?2y0f(x,y)dy??1dy?f(x,y)dx.0?y?2,解：（1）相应二重保健的积分区域为d：y?x?2y.如图10-6所示.2图10-60?x?4,d亦可表示为：202yy2x24所以?dy?f(x,y)dx??dxxf(x,y)dy.2(2) 相应二重积分的积分区域d： 1?x?e,0?y?lnx.如图10-7所示.图10-70?y?1,d亦可表示为：e?x?e, 10y所以?e1dx?lnx0f(x,y)dy??dy?eeyf(x,y)dx(3) 相应二重积分的积分区域d 为：0?y?1,?x?3?2y,如图10-8所示.图10-8d亦可看成d1与d2的和，其中 0?x?1,d1：1?x?3,d2：103?2y0?y?x, 0?y?12(3?x).10x022?所以dyf(x,y)dx??dx?f(x,y)dy??311dx?x220(3?x)f(x,y)dy.(4) 相应二重积分的积分区域d为：?sin?y?sinx.如图10-9所示.图10-9d亦可看成由d1与d2两部分之和，其中 d1：d2：?1?y?0,0?y?1,【篇三：高等数学第十章测试练习】基础练习题一、选择题（共5题，每题4分，共20分）1.下列方程中，是一阶齐次微分方程的为（ b ） a．xy?ylny b. y? yydy(1?ln) c．y?2y d．?10x?y xxdx2.一阶线性微分方程y?p(x)y?q(x)的积分因子为（ a ） a．e?p(x)dxb.??p(x)dxp(x)dx c． d．??p(x)dx e?3.微分方程y?6y?9y?0的通解为（ b ） a．(c2?c1x)e b.(c2?c1x)e?3xc．(c2?x)e1 d．(c2?c1x)ecx3x4.下列方程中，线性微分方程有（ c ） a．y?yy(1?ln)b.yy?(y)2 xxc．y?8y?25y?0 d．(1?y2)dx?(arctany?x)dy5.设y1,y2是ay?by?cy?f(x)的两个特解，则下列说法正确的是（ c ） a．y1?y2仍为该方程的特解b.y1?y2仍为该方程的特解c．y?y1?y2?y1为该方程的特解d． y?c1y1?c2y2为该方程的通解二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1.设曲线上任意点p(x,y)处的切线的斜率为x，且曲线经过点(?2,1)，则该曲线的方程为 yy2?x2?3?0 。
高等代数(北大版)第10章习题参考答案
第十章双线性函数与辛空间1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知f(ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3求f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).解因为f是V上线性函数，所以有f(ε1)＋ f (ε3)=1f (ε2)-2 f (ε3)=-1f(ε1)+f (ε2)=-3解此方程组可得f(ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).＝X1f(ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3)＝4 X1－7 X2－3 X32、设V与ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使f(ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1解设f为所求V上的线性函数，则由题设有f(ε1)＋ f (ε3)=0f (ε2)-2 f (ε3)=0f(ε1)+f (ε2)=1解此方程组可得f(ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1于是∀a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为a= X1ε1+X2ε2+X3ε3时，就有f (a)=f (X1ε1+X2ε2+X3ε3)= X 1 f(ε1)＋X 2 f (ε2)＋X 3 f (ε3)=-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε2，ε3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。
证： 设〔α1，α2，α3〕＝〔ε1，ε2，ε3〕A由已知，得A ＝110011111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。
设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 〔g1,g2,g3〕＝〔f1,f2,f3〕〔A ˊ〕1-＝〔f1,f2,f3〕011112111-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦因此g1=f2-f3g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f34.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V *中非零向量，试证：∃α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s)证：对s 采用数学归纳法。
高数答案第10章
第 10 章 （之1）（总第53次）* 1. 设 a b a b ==+=2232,,，则(,)a b ∧= ．答：65π． ** 2.设向量 a 与 b 不平行，c a b =+，则(,)(,) a c b c ∧∧=的充分必要条件为 ．答：||||b a =．** 3.设直线L 经过点0P 且平行于向量a , 点0P 的径向量为0r ，设P 是直线L 的任意一点，试用向量0r ，a 表示点P 的径向量r ． 解：∵a P P ||0， ∴a t P P=0， 而P P r r 00+=，∴a t r r+=0∴P 点的径向量为 a t r+0．** 4．设 3,2==b a ，a 与b 的夹角等于π32，求：（1）b a ⋅； （2）)2()23(b a b a +⋅-； （3）b a )(； （4）b a 23-．解：（1）〉〈=⋅b a b a a ,cos b 332cos 32-=⨯⨯=π．（2）()()b a b a223+⋅-b a b a 44322+-=()3634342322-=-⨯+⨯-⨯=．（3）()133-=-=⋅=bb a a b．（4）()()b a b a b a 2323232-⋅-=-b a b a124922-+=()108312342922=-⨯-⨯+⨯=，3610823==-b a．** 5．设5,4==b a ，a 与b 的夹角等于π31，求：（1）b a b a -+)(；（2）b a 25+与b a -的夹角．解：（1）()()b a ba b a--=-⋅2b a b a 222-+=213cos 5425422=⨯⨯-+=π，∴21=-b a，()()()b a b a b a ba ba--+=+⋅-2122b a -=215422-=7213-=． （2）()()b a ba-+⋅25b a b a 32522--=03cos543524522=⨯⨯-⨯-⨯=π，∴向量b a b a-+,25垂直．** 6. 若a ，b 为非零向量，且b a b a -=+，试证b a ⊥．解：b a b a -=+，∴ 22b a b a -=+，∴()()()()b a ba b a ba --=++⋅⋅，∴b a b a b a b a222222-+=++， ∴0=⋅b a， ∴b a⊥．***7．用向量的方法证明半圆的圆周角必是直角． 解：如图所示，AC 为直径，B 为圆周上任一点， =→--OA →---OC ， ||→--OB ==→--||OA ||→--OC ，则有 →--AB →--=OB →---OA ，→--CB →--=OB →---OC →--=OB →--+OA ，→--AB →--⋅CB →--=OB (⋅→---)OA →--OB ()→--+OA 0||||22=-=→--→--OA OB ，∴ 半圆的圆周角必为直角．第 10 章（之2）（总第54次）B教学内容：§10.2空间直角坐标系与向量代数1.填空题*(1) 点A （2，－3，－1）关于点M （3，1，－2）的对称点是______ ．答：（4,5,3-)**(2) 设平行四边形ABCD 的三个顶点为A B C (,,),(,,),(,,)231243313----，则 D 点为______ ． 答：（5,8,7--）**(3) 已知{}{}a b z =-=-45314,,,,,，且 a b a b +=-，则z =______ ．答：8-**2. A,B 两点的坐标分别为)1,3,(),,5,2(--q p ，线段AB 与y 轴相交且被y 轴平分，求qp ,之值及交点坐标．解：令AB 与y 轴相交于C 点，即C 为AB 的中点，则C 点的坐标为 )21,235,22(+-+-p q ， 又C 点在y 轴上，所以021,022=+=+-p q，即 1,2-==p q ， 故C 点的坐标为)0,1,0(，即交点的坐标为)0,1,0(．**3.设A,B 两点的坐标分别为()()1,0,1,1,2,0-．求 （1）向量AB 的模； （2）向量AB 的方向余弦； （3）使AB AC 2=的C 点坐标．解：（1）}2,2,1{-=， 则32)2(1222=+-+=，所以的模为3． （2）32cos ,32cos ,31cos =-==r βα．（3） 设C 的坐标为（x ,y ,z ），由2-= 则2)2(1)2(10=-+-⨯+=x ， 2)2(1)2(02-=-+-⨯+=y ， 3)2(1)2(1)1(=-+-⨯+-=z ，所以C 点的坐标为)3,2,2(-．**4. 求q p ,的值，使向量}4,,2{-p 与},0,1{q -平行，再求一组使此两向量垂直的q p ,值． 解：向量}4,,2{-=p u 与},0,1{q v -=平行，即：v uλ=，∴q p 4012-==-， ∴2,0==q p ， 向量u 与v 垂直时，0=⋅v u， ∴()()04012=⨯-+⨯+-⨯q p ． ∴21-=q ， p 为任意值．**5.求作用于某点三个力}5,4,3{},4,3,2{},3,2,1{321-=--==F F F 之合力的大小及方向．解：321F F F F ++=合{}{}{}{}4,1,25,4,34,3,23,2,1=-+--+=，合力的大小 21412222=++=合F，214cos ,211cos ,212cos ===γβα，其中γβα,,分别为合F与x 轴，y 轴，z 轴的夹角．** 6.试在xy 平面上求一与 }1,1,1{=a 成正交的向量．解：设所求向量为 {}z y x b ,,=， ∵ 在xy 平面上，∴0=z ， 且 0=⋅b a，即：{}{}01,1,10,,=⋅y x ， ∴0=+y x ，y x -=，取 1,1-==y x ， ∴ 向量 {}0,1,1-=b 与 {}1,1,1=a 正交． ** 7.设}2,2,1{-=a ，}4,0,3{-=b ，求：（1）j a⋅； （2）k b ⨯；（3）)()2(b a b a -⋅+； （4）)3()(b a b a -⨯+．解：（1）2)22(-=⋅+-=⋅j k j i j a ． （2）j k i k k i k b 33)43(-=⨯=⨯-=⨯．（3）)}4(2,2,31{}422),2(2,312{)()2(----⋅-⨯-⨯+⨯=-⋅+b a b a260)2()4()2(5}6,2,2{}0,4,5{-=⨯+-⨯-+-⨯=--⋅-=． （4）}24,40,32{}10,6,0{}2,2,4{)3()(---=-⨯--=-⨯+． ** 8.设}1,1,0{-=a ，}1,1,2{-=b ，求：（1）a b b a )(,)(； （2）a 与b 的夹角． 解：（1）11)1()2(}1,1,2{}1,1,0{)(22-=+-+-⋅-==b a ；(){}{}()2111,1,01,1,222-=-+-⋅-=⋅=aa b b a；（2）θcos =⋅， 即 θc o s 222⨯⨯=-， 则 22cos -=θ， 又 πθ≤≤0，所以 43πθ=，即a 与的夹角为43π．** 9.在yz 平面内求模为10的向量b ，使它和向量 k j i a 348+-= 垂直．解：∵ 向量b在yz 平面内， ∴ 可设坐标为 {}z y ,,0，∵ a b ⊥， ∴ 0=⋅a b，即：{}{}03,4,8,,0=-⋅z y ， ∴034=+-z y ，又 1022=+=z y b ， ∴6,8==y z ， 或 6,8-=-=y z ，∴向量b的坐标为：{}8,6,0 或 {}8,6,0--．*** 10. 试证明∑∑∑===≥⋅31312312i ii i ii iba ba．其中321,,a a a 及321,,b b b 为任意实数．解：设b a,的坐标分别为{}{}321321,,,,,b b b a a a ，b a b a b a b a⋅≤〉〈⋅=⋅,cos ，即：232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++⋅++≤++，∴∑∑∑===≥⋅31312312i ii i ii iba ba．第 10 章（之3）（总第55次）教学内容：§10.3平面与直线[10.3.1]**1.解下列各题(1) 平行于x 轴，且过点)2,1,3(-=P 及)0,1,0(=Q 的平面方程是______ ． 答：y z +=1(2) 与xOy 坐标平面垂直的平面的一般方程为______ ． 答：Ax By d A B ++=+≠0022()(3) 过点)1,2,1(=P 与向量k j S k j i S--=--=21,32平行的平面方程为_____ ．答：x y z -+=0(4) 点 )1,2,6(0-=M 到平面 0622=++-z y x 的距离为=d ___________． 解： ()()222161222622=+-++-⨯+⨯-=d ．（5）平面3360x y --=是 （ ） （A ）平行于xOy 平面 （B ）平行于 z 轴，但不通过 z 轴 （C ）垂直于y 轴（D ）通过z 轴答：B**2.填表讨论一般方程0=+++D Cz Bx Ax 中，系数A,B,C,D 中有一个或数个等于零的解：0=+++D Cz By Ax ， （1）0,0≠=ABD C 平行于z 轴（不包括过z 轴）的平面．（2）0,0≠⋅==C B D A 过x 轴的平面（不包括过y 轴、z 轴的平面）．（3）)0(,0,022≠⋅≠+==B A B A D C 过z 轴的平面． （4）0,0==≠C A B 平面垂直于y 轴．3．在下列各题中，求出满足给定条件的平面方程：**（1）过点()2,3,1--=P 及()1,2,0-=Q 且平行于向量{}1,1,2--=l；解：所求平面的法向量n垂直于向量{}1,1,2--=l 与由点()2,3,1--=P 与点()1,2,0-=Q 构成的向量{}1,1,1-=，故取{}1,3,2112111=---=⨯=kj i l n．故可得所求平面方程为 ()()()023312=++-++z y x ， 即 0532=-++z y x ．**（2）过z 轴且垂直于平面0723=+--z y x ； 解：平面0723=+--z y x 的法向量 {}1,2,3--=n ，故所求平面法向量n与0n 垂直，与z 轴正交，故可取{}0,3,21123--=--=⨯=kj i k n n ，所求平面过z 轴，故此平面必经过原点()0,0,0， 故可得所求平面方程为 0032=+--z y x ， 即 032=+y x ．**（3）垂直于yz 坐标面，且过点()2,0,4-=P 和()7,1,15=Q ；解：由题意可知()2,0,4-=P 、()7,1,15=Q ，所以{}9,1,1=PQ ．又由题意可知所求平面法向量 n即与x 轴垂直，又与向量PQ 垂直，故可取{}1,9,0001911-==⨯=kj i i PQ n， 故可得所求平面方程为：()()()02109=+-+-z y ， 即： 029=--z y ．***4.自点)5,3,2(0-=P 分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程． 解：垂足分别为：)0,3,2(=A 、)5,3,0(-=B 和)5,0,2(-=C ，所以}5,3,0{},5,0,2{--=--=AC AB平面法向量为}6,10,15{530502--=----=⨯=kj i n故平面方程为：15106600x y z +--= ．*** 5． 过两点)3,4,0(-=M 和)3,4,6(-=N 作平面，使之不过原点，且使其在坐标轴上截距之和等于零，求此平面方程． 解：设平面方程为：x a y b z a b+-+=1，由于它过M N ,两点，则⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++1346134ba b a b a b 解得：a b ==-326,,，故平面方程为： 2366x y z --= 或 63218x y z +-=． **6． 判断下列各组平面相对位置，是平行，垂直还是相交，重合．（1）ππ1221022430:,:x y z x y z -+-=-+-=（2）ππ122210220:,:x y z x y z ---=+-=解：（1）ππ12,法向量分别为n n n n 12211122242=-=-={,,},{,,}取π1上一点(,,)100，显然不在π2上，故ππ12,平行，不重合． （2）ππ12,法向量分别为n n n n 12212211220=--=-⋅={,,},{,,},故n n 21,垂直，从而ππ12,垂直．第 10 章（之4）（总第56次）教学内容：§10.3平面与直线[10.3.2，10.3.3]**1．解下列各题：（1） 过点M M 12321102(,,),(,,)--的直线方程为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ． 答：x y z +=-=--14221（2） 直线x y z x y z -+-=+-+=⎧⎨⎩2302260在xOz 坐标面上的交点为=P ____________，并利用该点的坐标，写出此直线的对称式方程和参数方程．答： )3,0,0(=P ．对称式方程为x y z 3435==-，参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+===3543t z t y tx（3）直线kzy a x =-=+21在平面3=-+z y x 上的充要条件是=a ______，=k _____． 答：2-=a ，3=k ．因为点)0,1,(a P -=在平面上，直线的方向向量{}k l ,2,1=→与平面的法向量{}1,1,1-=→n 必须垂直．**2．求经过点)2,0,3(-=A 且与两个平面1=+z x 及1=++z y x 同时平行的直线方程．解：所求直线L 的方向向量 {}1,0,11=⊥n l，且 {}1,1,12=⊥n l ，∴ 可取 {}1,0,111110121-==⨯=k j i n n l，∴ 所求直线方程为：2013-==-+z yx ．**3．求经过点)0,1,2(-=A 且与两条直线z y x ==及11201-=-=+zy x 同时垂直的直线方程．解：所求直线L 的方向向量 {}1,1,11=⊥l l ，且 {}1,1,02-=⊥l l，∴可取{}1,1,211011121-=-=⨯=kj i l l l，∴所求直线方程为：z y x =+=--1122． **4. 求出过点)3,4,1(--=A 且与下列两条直线⎩⎨⎧-=+=+-53142:1y x z y x L ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=+=tz t y tx L 23142:2均垂直的直线方程．解：⎩⎨⎧-=+=+-53142:1y x z y x L，{}1,4,211-=⊥n l，{}0,3,121=⊥n l∴ 可取 {}10,1,3211-=⨯=n n l，23114223114223142:2+=-+=-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=+=z y x t z t y tx t z t y t x L ，∴ 可取 {}2,1,42-=l ，1l l ⊥，且2l l⊥．∴ 可取 {}1,46,1221-=⨯=l l l，∴所求直线方程为13464121--=+=+z y x ． **5.求通过点()5,1,20-=M 且与直线12131-=-=+zy x 相交并垂直的直线方程． 解法一：直线132131:1--=-=+z y x L 上取一点()0,1,11-=M ，过点0M 与直线1L 的平面π的法向量n ，则1l n ⊥ 且 10M M n ⊥，∴{}{}{}6,12,105,0,31,2,3101-=-⨯-=⨯M M l ，故n 可取为 {}3,6,5-=n ．因所求直线L 过点0M 点且与1L 相交，故L 亦在平面π上，故 {}28,14,0,1--=⨯⊥n l n l ， 故可取 {}2,1,0=l．故所求直线方程为251102+=-=-z y x ． 解法二：过点0M 作垂直于直线1L 的平面π：()()()051223=+--+-z y x ，即01323=--+z y x直线1L 与平面π的交点M 的坐标满足： ⎪⎩⎪⎨⎧-====⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+=--+13211213101323z y x t t zy x z y x∴M 点坐标为()1,3,2-，∴{}4,2,00=M ， ∴所求直线方程为：251102+=-=-z y x ．** 6． 试求k 值，使两条直线7144933:,33541:21+=--=+--=+=-z y x L z y k x L 相交． 解：将第二条直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-=1479433t z t y t x 代入第一条直线方程，有3441357173t k t t -=-+=--解得 k =2**7．求直线l x y z 112110:-=--=+与l x y z 211032:-=+=-之间的夹角． 解：l 1，l 2方向向量分别为S S 12110102=-=-{,,},{,,}，cos(,)||||S S S S 121212110∧==-，故l 1，l 2之间的夹角为 arccos 110． **8．已知直线1121-=-=+zp y x 和平面126=+-z y qx 垂直,求常数q p ,之值．解： {}{}2,6,//1,,2-=-=q n p l，∴3,42162=-=⇒-=-=p q p q ．**9．求过直线⎩⎨⎧=-+-=--+04207572z y x z y x 且在x 轴和y 轴上的截距相等的平面方程．解：过直线⎩⎨⎧=-+-=--+04207572z y x z y x 的平面束方程可设为()()(*)427572=-+-+--+z y x v z y x u令0==z y ，求得在x 轴截距v u vu x 2247++=，令0==z x ，求得在y 轴截距vu vu y -+=747．∵y x = ∴vu vu v u v u -+=++7472247，∴v u v u v u -=+=+722047或，即:5374=-=v u v u 或,代入（*）式，可得满足条件的平面有两个 （1）()()042757274=-+-+--+-z y x z y x ，即：027356=+-z y x ； （2）()()042757253=-+-+--+z y x z y x ，即：41101616=-+z y x ．***10. 求直线z y x ==在平面135=-+z y x 上的投影直线．解：直线L 的方向向量 {}1,1,1=→l ．在直线L 上取一点()0,0,0=A ，显然不满足方程135=-+z y x , ∴A 不在该平面上．设过A 做与平面135:0=-+z y x π的垂直的平面π．则平面π的法向量可取为 {}1,1,243511110---=-=⨯=kj i n l n，这就得到了π的方程为02=--z y x ．从而得到投影直线方程为⎩⎨⎧=--=-+02135z y x z y x ．第 10 章（之5）（总第57次）教学内容：§10.4空间曲面1. 选择题 *(1) 曲面z x y =+22是 （ ）（A ）zox 平面上曲线z x =绕z 轴旋转而成的旋转曲面 （B ）zoy 平面上曲线z y =绕z 轴旋转而成的旋转曲面 （C ）zox 平面上曲线z x =绕x 轴旋转而成的旋转曲面 （D ）zoy 平面上曲线z y =绕y 轴旋转而成的旋转曲面 答：B** (2) 方程122=+z x 在空间表示 （ ）（A ）z 轴 （B ）球面（C ）母线平行y 轴的柱面 （D ）锥面答：C*(3) 方程x y z 2229251+-=-是 （ ） (A) 单叶双曲面 (B) 双叶双曲面 (C) 椭球面 (D) 双曲抛物面答：B*(4) 双曲面x y z 222491--=与yoz 平面 （ ） (A) 交于一双曲线(B) 交于一对相交直线(C) 不交 (D) 交于一椭圆答：C*2. 求以)1,1,1(),5,4,1(21==M M 为直径的两个端点的球面的方程． 解：M M 12,中点为)3,25,1(0=M ，M M 125=． 即直径为5，半径为5/2．故球面方程为()()()()x y z -+-+-=1523522222．即x y z x y z 222256100++---+= ．**3. 动点M 到两定点)0,0,4(),0,0,(21a P a P ==的两个距离之比等于1：2，求动点M 的轨迹方程．解：设动点M =(,,)x y zP M P M 1212::= 即 44222222[()]()x a y z x a y z -++=-++， 即 x y z a 22222++=() ．**4．动点),,(z y x M =到点()2,0,0=A 的距离和它到xy 平面的距离相等,求动点M 的轨迹方程．解：动点),,(z y x M =到点()2,0,0=A 的距离为 ()22212-++=z y x d ，动点M 到xOy 平面的距离为 212d d zd ==，∴动点M 的轨迹方程为 ()22222z z y x =-++， 整理得：4422-=+z y x 是旋转抛物面．**5. 求yOz 平面上曲线y z 221-=分别绕y 轴，z 轴而成的旋转曲面的方程． 解：绕y 轴 -+-=x y z 2221； 绕z 轴 x y z 2221+-=．6. 把下列方程化为标准形式，从而指出方程所表示曲面的名称并画出图形． **（1）01422222=-++-+y x z y x ； 解：01422222=-++-+y x z y x ，()()1422222=-+++z y y x x，()()142141222=-+++z y x ，是一个单叶双曲面， 中心为()0,1,10--=M ．**（2）09284222=--+--z y z y x ．解：09284222=--+--z y z y x ， ()()9224222=+---z z y y x ，()()4114222=+---z y x ，()()14114222=+---z y x ，是一个双叶双曲面，中心为()1,1,00-=M ．第 10 章（之6）（总第58次）教学内容：§10.5向量函数 空间曲线基本知识**1. 求曲线x y z x z 22216451230+-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪在xoy 平面上的投影柱面方程．解：消去z ，得x y x 2220241160+--=， 即为所求投影柱面方程．**2．求以曲线⎩⎨⎧=+-=++112222222z y x z y x 为准线，母线平行于z 轴的柱面方程． 解：1311222222222=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++y x z y x z y x z消 故所求柱面方程为1322=-y x ．**3. 求曲线z x y x y z =+++=⎧⎨⎩221在各坐标平面上的投影曲线方程．解：消去z ，得x y x y 221+++=故在xoy 平面上，投影曲线为 ⎩⎨⎧==+++0122z y x y x消去x ，得z y z y =--+()122故在yoz 平面上，投影曲线为 ⎩⎨⎧=+--=0)1(22x y z y z消去y ，得z x x z =+--221()故在xoz 平面上，投影曲线为 ⎩⎨⎧=--+=0)1(22y z x x z** 4．把曲面1222=++z y x 和1=+y x 的交线改写为母线分别平行于x 轴与y 轴的两个柱面的交线． 解：)1(11222⎩⎨⎧=+=++y x z y x由（1）消去x ()022*******=+-⇒=++-⇒z y y z y y ， 由（1）消去y ()022*******=+-⇒=++-⇒z x x z x x ，交线可写为⎩⎨⎧=-+=-+0220222222x z x y z y ．**5. 求由曲面322x y z +=和z y =-12所围成的立体在 xOy 平面上的投影区域．解：投影区域由交线⎩⎨⎧-==+22213y z zy x 在xOy 平面上投影曲线所围成 投影曲线为⎩⎨⎧=-=+013222z y y x ， 故投影区域为 ⎩⎨⎧=≤+012322z y x ．**6. 试求曲线()k e j e i t t r t t-++= 对应于0=t 点出的切线方程．解：()k e j e i t r t t-++=θ，∴此空间曲线的参数方程为 ()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒⎪⎩⎪⎨⎧===--t t t t e t z e t y t x e t z e t y t t x ''1'．∴在对应于0=t 时， 000010ee z e e y x --=-=-， 即：111--=-=z y x ．**7. 试求曲线()()()k t j t i t t r23sin 23cos 2++= 从0=t 到4=t 这一段的弧长．解：空间曲线的参数方程为()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===t t z t t y t t x t t z t t y t t x 2'3cos 6'3sin 6'3sin 23cos 22．∴ 弧长()[]()[]()[]dt t z t y t x s ⎰++=40222''' dt t t t ⎰++=422243cos 363sin 363ln 9209242+=+=⎰dt t ．。
高数下第十章的答案
3.设 ，求证 .
证明：因为 ，所以 ；
于是 .
4.设 ，求证 .
证明：已知 ，则 ；所以 .
5.讨论 在任一点处偏导数的存在性.
解：在（0,0）点
；
不在（0,0）点
.
6.求下列函数的二阶偏导数.
（1） ；（2） ；
（3） .
解：（1）
.
（2）
（3）
7.设 ，求 与 .
解：
.
8.设 ，求 、 、 、 .
3.在半径为R的半球内，求出体积最大的长方体的体积.
解：设长方体的在第一卦限内的顶点坐标为 ，则满足 ；则在半径为R的半球内，最大的长方体的体积为 ；即求 在 条件下的条件极值：作辅助函数 ，则 ；联立解得 ，负的舍去；由问题的实际意义知：在半径为R的半球内，体积最大的长方体的体积为 .
4.从斜边长为l的所有直角三角形中，求出周长最大的直角三角形.
；
.
（10）设 ，验证 .
（11）求下列函数的极值.
； .
解：（1）已知 ，则令
有 代入得
即 .
（2）在点 处，
；故不连续；
在点 处，
；故连续.
（3）要使函数 有意义，须使 ； ，所以函数 的定义域为 ；且 .
（4） .
.
.
（5）
.
（6）
.
（7）
；
.
（8）
；
所以 .
（9） 两边去对数得 ；再求导数得 解得 .
1.求下面复合函数的导数或偏导数.
（1）已知 ，求 .
（2）已知 ，求 .
（3）已知 ，求 .
（4）已知 ，求 .
（5）已知 ，求 .
（6）已知 ，求 .
高数第10章答案
高等数学（化地生类专业）（下册）姜作廉主编《习题解答》习题102222221.0x 0(3)arcsin ||||0(4)cot ()(n )14(6))x y y yz xy x x z x y x y n x y u r R y z r x y π+>->=≤≠=++≠≤+≤<<++=+2求定义域（1）z=lnxyxy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0且且为正整数（5）定义域为介于x 和2222(,)(,)(,),0.()110,(,)(,),,(1,)(,)(,)(1,),(1,)(),f (,)k k k k k z R z f x y f tx ty t f x y t yF xy t f tx ty t f x y t f f x y x x xy y y f x y x f f F x y x x x x +===≠∀≠======k 之间的空间部分以及球面若函数满足关系式则称该函数为k 次齐次函数。
试证k 次齐次函数z=f(x,y)可以表示为z=x 的形式证：对均有不妨令则即令则222222222()3(,),(,)(,)()(72)4(,,),(,,)(,,)()()5(,)tan ,(,)(,)()()tan(tan vx y w u v xy x yF x f u v u f xy x y f xy x y xy P f u v w u w f x y x y xy f x y x y xy x y xy xf x y x y xy f tx ty yxf tx ty tx ty t xy yxt x y xy y ++=++==++-+-=++=+-=+-=+-得证已知求解：已知求解：已知求解：0000002)61)2cos (2)lim123cos 123lim cos cos lim 1123lim(123)sin (3)limx y x x y y x x y x x xy x o y x y x y e y x y y x y e ye y x y x y xy →→→→→→→→→→→→→→→→==++++==++++x 求下列极限（1）解：解：由e 与在（0,0）连续则原式=00222200sin lim1lim 2ln(1)(4)lim x x y y x y x xyy y xy x y x y →→→→→→===+++解：2222222200000000y 00ln(1)lim lim 17lim )0(0,0)1ii (0,0).2x x y y x y x x y x y x y x y x y x y i y →→→→→→→→→→+++===++=+==解：试问解：沿趋于原极限=0x ）沿y=趋于原极限，由于沿不同的路径趋于x-1（0,0）极限值不等，故原极限不存在。
高等数学第十章习题
(2) 圆周 x2 + y2 = a2 的正向 (a > 0);
(3) 正方形 x + y = 1的正向;
(4) 曲线 y = π cos x 上从点 A(−π, −π) 到 B(π, −π) 的一段弧.
解 令 P(x, y) = x + y , Q(x, y) = − x − y , 易知
x2 + y2
(C) 表示面密度为 x2 + y2 的曲面 ∑ 对 z 轴的转动惯量; (D) 表示面密度为 1 的流体通过曲面 ∑ 指定侧的流量.
(2) 设曲面 S : x2 + y2 + z2 = a2 (z ≥ 0), S1 为 S 在第一卦限的部分, 则有( C ).
(A) ∫∫ xdS = 4∫∫ xdS;
0
0 a2 − ρ2
∫a
=a
ρ2
dρ
0 a2 − ρ2
(令 ρ = a sin t )
故应选 C.
∫ = a
π 2
a 2sin 2t
⋅
a
cos t
dt
=
a3
1
×
π
=
1
πa3 ,
0 a cos t
22 4
(3) S 及 S1 如图 10.61 所示. 由高斯公式, 可得
2
∫∫ x2dydz + y2dzdx + z2dxdy
(4) 设 D 为 L 所围成的平面有界闭区域, 根据格林公式, 可得
4
∫L F idr = ∫L (x + y)dx + (x − y)dy = ∫∫ (1 −1)dxdy = 0. D
∫ 4.
计算
《高数》第十章习题课-线面积分的计算
12
练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). 计算
其中L为上半圆周 提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
L
L
2 ydx
L AB AB
L
L
:
xy
a a
(1 cos sin t
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
P185 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
场力所作的功与所取的路径无关.
证明在此力场中
P185 10. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
3
16
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
17
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 重心公式
20
例4. 设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 单位外法向向量, 试证
证明: 设 n (cos , cos , cos )
(常向量)
则 cos( n ,a ) d S n a 0 dS
人教A版高中数学必修第二册课后习题第十章 概率 10.3.1 频率的稳定性 10.3.2 随机模拟
10.3 频率与概率10.3.1 频率的稳定性10.3.2 随机模拟A级必备知识基础练1.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于( )A.产生的随机数的大小B.产生的随机数的个数C.随机数对应的结果D.产生随机数的方法2.某人将一枚硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,则( )A.正面朝上的概率为0.6B.正面朝上的频率为0.6C.正面朝上的频率为6D.正面朝上的概率接近于0.63.下列结论正确的是( )A.事件A的概率P(A)的值满足0<P(A)<1B.若P(A)=0.999,则A为必然事件C.灯泡的合格率是99%,从一批灯泡中任取一个,是合格品的可能性为99%D.若P(A)=0.001,则A为不可能事件4.掷两枚质地均匀的骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率时产生的整数随机数中,每几个数为一组( )A.1B.2C.3D.105.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为mn,当n很大时,那么P(A)与mn的大小关系是( )A.P(A)≈mn B.P(A)<mnC.P(A)>mn D.P(A)=mn6.关于天气预报中的“某地降水概率为10%”,下列解释正确的是( )A.有10%的区域降水B.10%太小,不可能降水C.降水的可能性为10%D.是否降水不确定,10%没有意义7.袋子中有四个小球,分别写有“文、明、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好第三次就停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数: 232 321 230 023 123 021 132220 001 231 130 133 231 013320 122 103 233由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为( )A.19B.16C.29D.5188.有一个样本量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:[11.5,15.5),2;[15.5,19.5),4;[19.5,23.5),9;[23.5,27.5),18;[27 .5,31.5),11;[31.5,35.5),12;[35.5,39.5),7;[39.5,43.5],3.根据样本的频率分布估计,数据在范围[31.5,43.5]内的概率是( )A.16B.13C.12D.23B级关键能力提升练9.(多选题)下列说法中不正确的有( )A.做9次抛掷一枚均匀硬币的试验,结果有5次出现正面,所以出现正面的频率是59B.盒子中装有大小均匀的3个红球,3个黑球,2个白球,每种颜色的球被摸到的可能性相同C.从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取得的数小于0和不小于0的可能性相同D.分别从2名男生,3名女生中各选1名作为代表,那么每名学生被选中的可能性相同10.容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为,估计数据落在[2,10)内的概率约为.11.深夜,某市某路段发生一起出租车交通事故.该市有两家出租车公司,红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中红色出租车公司和蓝色出租车公司的出租车分别占整个城市出租车的15%和85%.据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色的,并对现场目击证人的辨别能力做了测试,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大嫌疑.警察这一认定是的.(填“公平”或“不公平”)12.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)若顾客购买了甲,则该顾客同时购买了乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?参考答案10.3 频率与概率10.3.1 频率的稳定性10.3.2 随机模拟1.B 随机数容量越大,频率越接近概率.2.B 0.6是正面朝上的频率不是概率.3.C 由概率的基本性质,事件A的概率P(A)的值满足0≤P(A)≤1,故A 错误;必然事件概率为1,故B错误;不可能事件的概率为0,故D错误.4.B 因为要考查两枚骰子得出的点数之和,所以在产生的整数随机数中,应每两个数字一组.5.A 在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为mn ,当n很大时,mn越来越接近P(A),因此我们可以用mn近似地代替P(A).6.C 根据概率的含义判定.7.B 由题意得18组随机数中,恰好第三次就停止的数为023,123,132,故恰好第三次就停止的概率为318=16.8.B 数据在范围[31.5,43.5]内的有12+7+3=22(个),总的数据有66个,根据频率估计概率得到P=2266=13.故选B.9.BCD B中,摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率;C中,取得的数小于0的概率大于不小于0的概率;D中,男生被选中的概率为12,而女生被选中的概率为13,故BCD均不正确.10.64 0.4 数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4=64,落在[2,10)内的频率为(0.02+0.08)×4=0.4,由频率估计概率知,数据落在[2,10)内的概率约为0.4.11.不公平设该市的出租车有1000辆,那么依题意可得如下信息:从表中可以看出,当证人说出租车是红色时,确定它是红色的概率为120 290≈0.41,而它是蓝色的概率为170290≈0.59.在实际数据面前,警察仅以目击证人的证词作为推断的依据对红色出租车公司显然是不公平的.12.解(1)由表可知,在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计=0.3.为100+2001000=0.2,顾(3)与(1)同理,可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+300=0.6,顾客同时购买甲和1000=0.1,所以,若顾客购买了甲,则该顾客同时购买丁的概率可以估计为1001000丙的可能性最大.。
高数第十章答案
高数第十章答案【篇一：高等数学2第十章答案】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解 ?f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值m?14?x?y?0?，最小值m?1?5?x?1,y?2? 故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）??(x2?y2)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；d（2）??sinyd?，其中d是由y?x,y2?x所围成的闭区域. dy解：??sinyd??dy?10dy?ysinyy2ydx?1?sin1 2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）??ex?yd?，其中d?{(x,y)||x|?y?1}d（2）22(x?y?x)d?，其中d是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。
??d3.化二重积分i???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次d积分），其中积分区域d是：（1）由直线y?x及抛物线y2?4x所围成的闭区域；（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。
x4.求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积。
5.画出积分区域，把积分22其中积分区域d是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分， d（1）{(x,y)|x?y?2x}；（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1?2dxxfdy；【篇二：高等数学2第十章答案_62010】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值1m??x?y?0?，最小值m???x?1,y?2? 45故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）22(x?y)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；??d（2）??xcos(x?y)d?，其中d是顶点分别为(0,0)，(?,0)和(?,?)的三角形闭区域。
高等数学课后习题及参考答案(第十章)
高等数学课后习题及参考答案（第十章）习题10-11.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y),用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量I x,I y;(2)这曲线弧的重心坐标,.解在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds),设(x,y)为小弧段ds上任一点.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为dI x=y2μ(x,y)ds,dI y=x2μ(x,y)ds.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为,.曲线L对于x轴和y轴的静矩元素分别为dM x=yμ(x,y)ds,dM y=xμ(x,y)ds.曲线L的重心坐标为,.2.利用对弧长的曲线积分的定义证明:如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1和L2,则.证明划分L,使得L1和L2的连接点永远作为一个分点,则.令λ=max{∆s i}→0,上式两边同时取极限,即得.3.计算下列对弧长的曲线积分:(1),其中L为圆周x=a cos t,y=a sin t (0≤t≤2π);解=.(2),其中L为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;解L的方程为y=1-x (0≤x≤1);.(3), 其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成的区域的整个边界; 解 L 1: y =x 2(0≤x ≤1), L 2: y =x (0≤x ≤1) ..(4), 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2, 直线y =x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;解 L =L 1+L 2+L 3, 其中L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ),L 2: x =a cos t , y =a sin t ,L 3: x =x , y =x ,因而 ,.(5)⎰Γ++ds zy x 2221, 其中Γ为曲线x =e t cos t , y =e t sin t , z =e t 上相应于t 从0变到2的这段弧;解,.(6), 其中Γ为折线ABCD , 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0, 0, 0)、(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2);解 Γ=AB +BC +CD , 其中AB : x =0, y =0, z =t (0≤t ≤1),BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤3),CD : x =1, y =t , z =2(0≤t ≤3),故.(7), 其中L 为摆线的一拱x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )(0≤t ≤2π);解.(8), 其中L 为曲线x =a (cos t +t sin t ), y =a (sin t -t cos t )(0≤t ≤2π).解.4. 求半径为a , 中心角为2ϕ的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心.解 建立坐标系如图10-4所示, 由对称性可知, 又ϕϕsin a =, 所以圆弧的重心为)0 ,sin (ϕϕa 5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x =a cos t , y =a sin t , z =kt , 其中0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求:(1)它关于z 轴的转动惯量I z ; (2)它的重心.解 .(1).(2),,,,故重心坐标为.习题 10-21. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明: .证明 设L 是直线x =a 上由(a , b 1)到(a , b 2)的一段,则L : x =a , y =t , t 从b 1变到b 2. 于是.2. 设L 为xOy 面内x 轴上从点(a , 0)到(b , 0)的一段直线,证明.证明L : x =x , y =0, t 从a 变到b , 所以.3. 计算下列对坐标的曲线积分:(1), 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧;解 L : y =x 2, x 从0变到2, 所以.(2), 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π,L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a ,因此.(3), 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到的一段弧;解.(4)⎰+--+L yx dy y x dx y x 22)()(, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行); 解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以⎰+--+L y x dy y x dx y x 22)()(.(5), 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧;解 ⎰⎰--+=-+Γπθθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x .(6), 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的一段直线;解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1..(7), 其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里的A , B , C依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1);解 Γ=AB +BC +CA , 其中AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0,BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1,CA : x =x , y =0, z =1-x , x 从0变到1,故.(8), 其中L 是抛物线y =x 2上从(-1, 1)到(1, 1)的一段弧.解 L : x =x , y =x 2, x 从-1变到1, 故4. 计算, 其中L 是:(1)抛物线y =x 2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧;解 L : x =y 2, y =y , y 从1变到2, 故.(2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段;解 L : x =3y -2, y =y , y 从1变到2, 故(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线;解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =1, y =y , y 从1变到2,L 2: x =x , y =2, x 从1变到4,故dy x y dx y x dy x y dx y x L L )()()()(21-+++-++=⎰⎰ .(4)沿曲线x =2t 2+t +1, y =t 2+1上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧.解 L : x =2t 2+t +1, y =t 2+1, t 从0变到1, 故.5. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成, 试求当一质量为m的质点沿圆周x 2+y 2=R 2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时场力所作的功.解 已知场力为F =(|F |, 0), 曲线L 的参数方程为x =R cos θ, y =R sin θ,θ从0变到, 于是场力所作的功为.6. 设z 轴与力方向一致, 求质量为m 的质点从位置(x 1, y 1, z 1)沿直线移到(x 2, y 2, z 2)时重力作的功.解 已知F =(0, 0, mg ). 设Γ为从(x 1, y 1, z 1)到(x 2, y 2, z 2)的直线,则重力所作的功为7.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分,其中L为:(1)在xOy面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1);解L的方向余弦,故.(2)沿抛物线y=x2从点(0, 0)到(1, 1);解曲线L上点(x,y)处的切向量为τ=(1, 2x),单位切向量为,故.(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0, 0)到(1, 1).解L的方程为,其上任一点的切向量为,单位切向量为,故.8.设Γ为曲线x=t,y=t2,z=t3上相应于t从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分.解曲线Γ上任一点的切向量为τ=(1, 2t, 3t2)=(1, 2x, 3y),单位切向量为,.习题10-31.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性:(1),其中L是由抛物线y=x2及y2=x所围成的区域的正向边界曲线;解L=L1+L2,故,而 dxdy x dxdy y P x Q DD )21()(-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰ ,所以 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(. (2), 其中L 是四个顶点分别为(0, 0)、(2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界.解 L =L 1+L 2+L 3+L 4, 故dy xy y dx xy x L L L L )2())((2324321-+-+++=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰+-+-+=202002022222)8()4(dy y dx x x dy y y dx x ,而,所以 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(. 2. 利用曲线积分, 求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线x =a cos 3t , y =a sin 3t ;解.(2)椭圆9x 2+16y 2=144;解 椭圆9x 2+16y 2 =144的参数方程为x =4cos θ, y =3sin θ, 0≤θ≤2π, 故.(3)圆x 2+y 2=2ax .解 圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为x =a +a cos θ, y =a sin θ, 0≤θ≤2π,故.3. 计算曲线积分,其中L为圆周(x-1)2+y2=2,L的方向为逆时针方向.解,.当x2+y2≠0时.在L内作逆时针方向的ε小圆周l:x=εcosθ,y=εsinθ(0≤θ≤2π),在以L和l为边界的闭区域Dε上利用格林公式得,即.因此.4.证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关,并计算积分值:(1);解P=x+y,Q=x-y,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,而且,故在整个xOy面内,积分与路径无关.取L为点(1, 1)到(2, 3)的直线y=2x-1,x从1变到2,则.(2);解P=6xy2-y3,Q=6x2y-3xy2,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,并且,故积分与路径无关,取路径(1, 2)→(1, 4)→(3, 4)的折线,则.(3).解P=2xy-y4+3,Q=x2-4xy3,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,并且,所以在整个xOy面内积分与路径无关,选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线,则.5. 利用格林公式, 计算下列曲线积分:(1), 其中L 为三顶点分别为(0, 0)、(3, 0)和(3, 2)的三角形正向边界;解 L 所围区域D 如图所示, P =2x -y +4, Q =5y +3x -6,4)1(3=--=∂∂-∂∂yP x Q , 故由格林公式,得.(2)⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正 向星形线(a >0);解 , ,,由格林公式⎰-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222.(3), 其中L 为在抛物线2x =πy 2上由点(0, 0)到的一段弧;解 , ,,所以由格林公式,其中L 、OA 、OB 、及D 如图所示.故.(4), 其中L 是在圆周上由点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧.解 P =x 2-y , Q =-x -sin 2y ,0)1(1=---=∂∂-∂∂yP x Q , 由格林公式有,其中L 、AB 、BO 及D 如图所示.故.6.验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y):(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy;证明因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y )的全微分..(2)2xydx+x2dy;解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分..(3)4sin x sin3y cos xdx–3cos3y cos2xdy解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy平面内的函数u(x,y)的全微分..(4)解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy平面内的函数u(x,y)的全微分..(5)解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个函数u(x,y)的全微分.7.设有一变力在坐标轴上的投影为X=x+y2,Y=2xy-8,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所做的功与路径无关.解场力所作的功为.由于,故以上曲线积分与路径无关,即场力所作的功与路径无关.习题10-41.设有一分布着质量的曲面∑,在点(x,y,z)处它的面密度为μ(x,y,z),用对面积的曲面积分表达这曲面对于x轴的转动惯量.解. 假设μ(x , y , z )在曲面∑上连续, 应用元素法, 在曲面∑上任意一点(x , y , z )处取包含该点的一直径很小的曲面块dS (它的面积也记做dS ), 则对于x 轴的转动惯量元素为dI x =(y 2+z 2)μ(x , y , z )dS ,对于x 轴的转动惯量为.2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式,其中∑是由∑1和∑2组成的.证明 划分∑1为m 部分, ∆S 1, ∆S 2, ⋅⋅⋅, ∆S m ;划分∑2为n 部分, ∆S m +1, ∆S m +2, ⋅⋅⋅, ∆S m +n ,则∆S 1, ⋅⋅⋅, ∆S m , ∆S m +1, ⋅⋅⋅, ∆S m +n 为∑的一个划分, 并且.令, , , 则当λ→0时, 有.3. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系？解 ∑的方程为z =0, (x , y )∈D ,,故 .4. 计算曲面积分, 其中∑为抛物面z =2-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分, f (x , y , z )分别如下:(1) f (x , y , z )=1;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,.因此⎰⎰+=πθ2020241rdr r d .(2) f (x , y , z )=x 2+y 2;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x 22224411++=++=.因此 dxdy y x y x dS z y x f xyD 2222441)(),,(+++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d.(3) f (x , y , z )=3z .解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,.因此dxdy y x y x xyD 2222441)](2[3+++-=⎰⎰.5. 计算, 其中∑是:(1)锥面及平面z =1所围成的区域的整个边界曲面; 解 将∑分解为∑=∑1+∑2, 其中∑1: z =1 , D 1: x 2+y 2≤1, dS =dxdy ;∑1:, D 2: x 2+y 2≤1, .+.提示: .(2)锥面z 2=3(x 2+y 2)被平面z =0及z =3所截得的部分. 解 ∑:, D xy : x 2+y 2≤3,,因而 .提示: .6. 计算下面对面积的曲面积分:(1), 其中∑为平面在第一象限中的部分;解 , ,,.(2), 其中∑为平面2x +2y +z =6在第一象限中的部分; 解 ∑: z =6-2x -2y , D xy : 0≤y ≤3-x , 0≤x ≤3,,⎰⎰--+--=x dy y xy x x dx 30230)22236(3.(3)dS z y x )(++∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分;解 ∑:, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2,,(根据区域的对称性及函数的奇偶性).提示:,(4), 其中∑为锥面被x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分. 解 ∑: , D xy : x 2+y 2≤2ax ,,dxdy y x y x xy dS zx yz xy xyD ])([2)(22+++=++⎰⎰⎰⎰∑421564a =. 提示: .7. 求抛物面壳的质量, 此壳的面密度为μ=z .解 ∑: , D xy : x 2+y 2≤2,.故.8. 求面密度为μ0的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量.解 ∑: , D xy : x 2+y 2≤a 2,,.提示:.习题10-51. 按对坐标的曲面积分的定义证明公式:.解 证明把∑分成n 块小曲面∆S i (∆S i 同时又表示第i 块小曲面的面 积), ∆S i 在yOz 面上的投影为(∆S i )yz , (ξi , ηi ,ζi )是∆S i 上任意取定的一点, λ是各小块曲面的直径的最大值, 则.2. 当∑为xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系？解 因为∑: z =0, (x , y )∈D xy , 故dxdy z y x R dxdy z y x R xyD ),,(),,(⎰⎰⎰⎰±=∑,当∑取的是上侧时为正号, ∑取的是下侧时为负号.3. 计算下列对坐标的曲面积分:(1)zdxdy y x 22∑⎰⎰其中∑是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧;解 ∑的方程为, D xy : x 2+y 2≤R , 于是zdxdyy x 22∑⎰⎰dxdy y x R y x xyD )(22222----=⎰⎰.(2), 其中z 是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的第一卦限内的部分的前侧;解 ∑在xOy 面的投影为零, 故.∑可表示为, (y , z )∈D yz ={(y , z )|0≤y ≤1, 0≤z ≤3}, 故⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=∑3010102221311dy y dy y dz dydz y xdyz yz D ∑可表示为, (z , x )∈D zx ={(z , x )|0≤z ≤3, 0≤x ≤1}, 故dzdx x ydzdx zx D 21-=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-=30101022131dx x dx x dz . 因此 .解法二 ∑前侧的法向量为n =(2x , 2y , 0), 单位法向量为,由两种曲面积分之间的关系,dS z y x ydzdx xdydz zdxdy )cos cos cos (γβα++=++∑∑⎰⎰⎰⎰.提示: 表示曲面的面积.(3), 其中f (x , y , z )为连续函数, ∑是平面x -y +z =1在第四卦限部分的上侧;解 曲面∑可表示为z =1-x +y , (x , y )∈D xy ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x -1}, ∑上侧的法向量为n =(1, -1, 1), 单位法向量为,由两类曲面积分之间的了解可得dS z f y f x f ]cos )(cos )2(cos )[(γβα+++++=∑⎰⎰.(4), 其中∑是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1: x =0, D yz : 0≤y ≤1, 0≤z ≤1-y ,∑2: y =0, D zx : 0≤z 1, 0≤x ≤1-z ,∑3: z =0, D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,于是 xzdxdy 4000∑⎰⎰+++=由积分变元的轮换对称性可知.因此 .解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1、∑2、∑3是位于坐标面上的三块;∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x .显然在∑1、∑2、∑3上的曲面积分均为零, 于是yzdzdx xydydz xzdxdy ++=∑⎰⎰4dS xz yz xy )cos cos cos (4γβα++=∑⎰⎰dS xz yz xy )(34++=∑⎰⎰.4. 把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分:(1)∑为平面在第一卦限的部分的上侧;解 令, ∑上侧的法向量为:,单位法向量为,于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰.(2)∑是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧.解 令F (x , y , z )=z +x 2+y 2-8, ∑上侧的法向量n =(F x , F y , F z )=(2x , 2y , 1),单位法向量为,于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰10-61.利用高斯公式计算曲面积分:(1),其中∑为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a所围成的立体的表面的外侧;解由高斯公式原式(这里用了对称性).(2),其中∑为球面x2+y2+z2=a2的外侧;解由高斯公式原式.(3),其中∑为上半球体x2+y2≤a2,的表面外侧;解由高斯公式原式.(4)其中∑界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2≤9的整个表面的外侧;解由高斯公式原式.(5),其中∑为平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1所围成的立体的全表面的外侧.解由高斯公式原式.2.求下列向量A穿过曲面∑流向指定侧的通量:(1)A=yz i+xz j+xy k,∑为圆柱x+y2≤a2(0≤z≤h )的全表面,流向外侧;解P=yz,Q=xz,R=xy,⎰⎰⎰dv.=0=Ω(2)A=(2x-z)i+x2y j-xz2k,∑为立方体0≤x≤a, 0≤y≤a, 0≤z≤a,的全表面,流向外侧;解P=2x-z,Q=x2y,R=-xz2,.(3)A=(2x+3z)i-(xz+y)j+(y2+2z)k,∑是以点(3,-1, 2)为球心,半径R=3的球面,流向外侧.解P=2x+3z,Q=-(xz+y),R=y2+2z,⎰⎰⎰dv.π=3=108Ω3.求下列向量A的散度:(1)A=(x2+yz)i+(y2+xz)j+(z2+xy)k;解P=x2+yz,Q=y2+xz,R=-z2+xy,.(2)A=e xy i+cos(xy)j+cos(xz2)k;解P=e xy,Q=cos(xy),R=cos(xz2),.(3)A=y2z i+xy j+xz k;解P=y2,Q=xy,R=xz,.4.设u (x,y,z)、v (x,y,z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数,,依次表示u (x,y,z)、v (x,y,z)沿∑的外法线方向的方向导数.证明,其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面,这个公式叫作林第二公式.证明由第一格林公式(见书中例3)知,.将上面两个式子相减,即得.5.利用高斯公式推证阿基米德原理:浸没在液体中所受液体的压力的合力(即浮力)的方向铅直向上,大小等于这物体所排开的液体的重力.证明取液面为xOy面,z轴沿铅直向下,设液体的密度为ρ,在物体表面∑上取元素dS上一点,并设∑在点(x,y,z)处的外法线的方向余弦为cos α, cos β, cos γ, 则dS 所受液体的压力在坐标轴x , y , z 上的分量 分别为-ρz cos αdS , -ρz cos β dS , -ρz cos γ dS ,∑所受的压力利用高斯公式进行计算得,,||cos Ω-=-=-=-=ΩΩ∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρρργρdv dv dS z F z ,其中|Ω|为物体的体积. 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力, 其方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体所受的重力, 即阿基 米德原理得证.习题10-71. 利用斯托克斯公式, 计算下列曲线积分:(1), 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2, , 若从z 轴的正向看去, 这圆周取逆时针方向;解 设∑为平面x +y +z =0上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为.于是.提示: 表示∑的面积, ∑是半径为a 的圆.(2), 其中Γ为椭圆x 2+y 2=a 2,(a >0, b >0), 若从x 轴正向看去, 这椭圆取逆时针方向;解 设∑为平面上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为.于是.提示: ∑(即)的面积元素为.(3), 其中Γ为圆周x 2+y 2=2z , z =2, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向;解 设∑为平面z =2上Γ所围成的部分的上侧, 则.(4), 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=9, z =0, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向.解 设∑为xOy 面上的圆x 2+y 2≤9的上侧, 则.2. 求下列向量场A 的旋度:(1)A =(2z -3y )i +(3x -z )j +(-2x )k ;解 .(2)A =(sin y )i -(z -x cos y )k ;解 .(3)A =x 2sin y i +y 2sin(xz )j +xy sin(cos z )k .解=[x sin(cos z )-xy 2cos(xz )]i -y sin(cos z )j +[y 2z cos(xz )-x 2cos y ]k . 3. 利用斯托克斯公式把曲面积分化为曲线积分, 并计算积分值, 其中A 、∑及n 分别如下:(1)A =y 2i +xy j +xz k , ∑为上半球面, 的上侧, n 是∑的单位法向量;解 设∑的边界Γ : x 2+y 2=1, z =0, 取逆时针方向, 其参数方程为x =cos θ, y =sin θ, z =0(0≤θ≤2π,由托斯公式.(2)A =(y -z )i +yz j -xz k , ∑为立方体0≤x ≤2, 0≤y ≤2, 0≤z ≤2的表面外侧 去掉xOy 面上的那个底面, n 是∑的单位法向量.解.4. 求下列向量场A 沿闭曲线Γ(从z 轴正向看依逆时针方向)的环流量:(1)A =-y i +x j +c k (c 为常量), Γ为圆周x 2+y 2=1, z =0;解.(2)A =(x -z )i +(x 3+yz )j -3xy 2k , 其中Γ为圆周, z =0.解 有向闭曲线Γ的参数方程为x =2cos θ, y =2sin θ, z =0(0≤π≤2π). 向量场A 沿闭曲线Γ的环流量为⎰⎰-++-=++L L dz xy dy yz x dx z x Rdz Qdy Pdx 223)()(.5.证明rot(a+b)=rot a+rot b.解令a=P1(x,y,z)i+Q1(x,y,z)j+R1(x,y,z)k,b=P2(x,y,z)i+Q2(x,y,z)j+R2(x,y,z)k,由行列式的性质,有.6.设u=u(x,y,z)具有二阶连续偏导数,求rot(grad u)解因为grad u=u x i+u y j+u z k,故=(u zy-u yz)i+(u zx-u xz)j+(u yx-u xy)k=0.*7.证明:(1)∇(uv)=u∇v+v∇u解=u∇v+v∇u.(2)解==u∆v+v∆u+2∇u⋅∇u.(3) ∇⋅(A⨯B )=B⋅(∇⨯A )-A⋅(∇⨯B )解B=P2i+Q2j+R2k,而所以∇⨯(A⨯B)=B⨯(∇⨯A)-A⨯( ∇⨯B )(4) ∇⨯(∇⨯A )=∇(∇⋅A )-∇2a解令A=Pi+Q j++R k,则从而命题地证总习题十1. 填空:(1)第二类曲线积分化成第一类曲线积分是____________, 其中α、β、γ为有向曲线弧Γ上点(x , y , z )处的_____________的方向角.解 , 切向量.(2)第二类曲面积分Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰化成第一类曲面积分是_______, 其中α、β、γ为有向曲面∑上点(x , y , z )处的________的方向角.解 , 法向量.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设曲面∑是上半球面: x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0), 曲面∑1是曲面∑在第一卦限中的部分, 则有________.(A )xdS xdS 14∑∑⎰⎰⎰⎰=; (B );(C )xdS zdS 14∑∑⎰⎰⎰⎰=; (D )xyzdS xyzdS 14∑∑⎰⎰⎰⎰=.解 (C ).3. 计算下列曲线积分:(1), 其中L 为圆周x 2+y 2=ax ;解 L 的参数方程为, (0≤θ≤2π), 故θθθθπd y x ax ds ax ds y x L L )()()(222022'+'⋅==+⎰⎰⎰().(2), 其中Γ为曲线x =t cos t , y =t sin t , z =t (0≤t ≤t 0);解.(3), 其中L 为摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )上对应t 从0到2π的一段弧;解 ⎰⎰⋅-+-⋅+-=+-π20]sin )sin ()cos 1()cos 2[()2(dt t a t t a t a t a a a xdy dx y a L.(4), 其中Γ是曲线x =t , y =t 2, z =t 3上由听t 1=0到t 2=1的一段弧;解.(5), 其中L 为上半圆周(x -a )2+y 2=a 2, y ≥0, 沿逆时针方向;解 这里P =e x sin y -2y , Q =e x cos y -2, .令L 1为x 轴上由原点到(2a , 0)点的有向直线段, D 为L 和L 1所围成的区域, 则由格林公式,.(6), 其中Γ是用平面y =z 截球面x 2+y 2+z 2=1所得的截痕, 从z 轴的正向看去, 沿逆时针方向.解 曲线Γ的一般方程为, 其参数方程为, t 从0变到2π.于是.4. 计算下列曲面积分:(1), 其中∑是界于平面z =0及z =H 之间的圆柱面x 2+y 2=R 2;解 ∑=∑1+∑2, 其中, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , ;, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , ,于是.(2), 其中∑为锥面(0≤z ≤h ) 的外侧;解 这里P =y 2-z , Q =z 2-x , R =x 2-y , 0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P . 设∑1为z =h (x 2+y 2≤h 2)的上侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式,而40222024)sin cos ()(1h d r r d dxdy y x h πθθθθπ=-=-⎰⎰⎰⎰∑, 所以 .(3)zdxdy ydzdx xdydz ++∑⎰⎰, 其中∑为半球面的上侧;解 设∑1为xOy 面上圆域x 2+y 2≤R 2的下侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式得,而 ,所以 33202R R zdxdy ydzdx xdydz ππ=-=++∑⎰⎰.(4), 其中∑为曲面(z ≥0)的上侧;解 这里, , , 其中., , ,.设∑1为z =0的下侧, Ω是由∑和∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式,32223222)()(1z y x zdxdy ydzdx xdydz z y x zdxdy ydzdx xdydz ++++-=++++∑∑⎰⎰⎰⎰. (5)xyzdxdy∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=1(x ≥0, y ≥0)的外侧. 解 ∑=∑1+∑2, 其中∑1是(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的上侧;∑2是(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的下侧,xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy 21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=dxdy y x xy dxdy y x xy xyxy D D )1(12222------=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰-⋅⋅=--=103220221sin cos 212ρρρθθθπd d dxdy y x xy xy D .5. 证明22y x ydy xdx ++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分, 并求出一个这样的二元函数.解 这里, . 显然, 区域G 是单连通的, P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数, 并且 , 所以22y x ydy xdx ++在开区域G 内是某个二元函数u (x , y )的全微分. .6. 设在半平面x >0内有力构成力场, 其中k 为常数, . 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.解 场力沿路径L 所作的功为.令, . 因为P 和Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续的偏导数, 并且,所以上述曲线积分所路径无关, 即力场所作的功与路径无关.7. 求均匀曲面的质心的坐标.解 这里∑:, (x , y )∈D xy ={(x , y )|x 2+y 2≤a 2}.设曲面∑的面密度为ρ=1, 由曲面的对称性可知, . 因为,222421a a dS ππ=⋅=∑⎰⎰, 所以 .因此该曲面的质心为.8. 设u (x , y )、v (x , y )在闭区域D 上都具有二阶连续偏导数, 分段光滑的曲线L 为D 的正向边界曲线. 证明:(1);(2),其中、分别是u 、v 沿L 的外法线向量n 的方向导数, 符号称为二维拉普拉斯算子. 证明 设L 上的单位切向量为T =(cos α, sin α), 则n =(sin α, -cos α).(1),所以 .(2)dxdy u v v u dxdy y u x u v y v x v u DD )()]()([22222222∆-∆=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=⎰⎰⎰⎰. 9. 求向量A =x i +y j +z k 通过闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}的边界曲面流向外侧的通量.解 设∑为区域Ω的边界曲面的外侧, 则通量为33==Ω⎰⎰⎰dv .10. 求力F =y i +z j +x k 沿有向闭曲线Γ所作的功, 其中Γ为平面x +y +z =1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界, 从z 轴正向看去, 沿顺时针方向.解 设∑为平面x +y +z =1在第一卦部分的下侧, 则力场沿其边界L (顺时针方向)所作的功为.曲面∑的的单位法向量为, 由斯托克斯公式有.温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。
高数第十章测试题及答案
高等数学第十章《重积分》测验题一、选择题（每题３分，共１５分） 1记21()DI x y d σ=+⎰⎰，32()DI x y d σ=+⎰⎰，其中22:(2)(1)1D x y -+-≤，则（ ）（Ａ）12I I =； （Ｂ）12I I >；（Ｃ）12I I <； （Ｄ）无法比较12,I I 的大小。
2设(,)f x y 连续，且2(,)(,),Df x y xy f x y dxdy D =+⎰⎰由21,0,x y y x === 所围，则(,)f x y =（ ）（Ａ）218xy +； （Ｂ）2138xy +；（Ｃ）21316xy +； （Ｄ）2116xy +. 3 设0a b <<，222221:(0)V a x y z b z ≤++≤≥，222222:V a x y z b ≤++≤(0,0,0)x y z ≥≥≥为两个空间区域，则（ ）（Ａ）124V V xdv xdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （Ｂ）124V V ydv ydv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（Ｃ）124V V zdv zdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （Ｄ）124V V xyzdv xyzdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4 ⎰⎰=θπρρθρθρθcos 02)sin ,cos (d f d I 化为直角坐标系下的二次积分为（ ）（A ）⎰10dy ⎰-20),(y y dx y x f ； （B ）⎰10dy ⎰-210),(y dx y x f ； （C ）⎰1dx ⎰1),(dx y x f ； （D ）⎰10dx ⎰-2),(x x dy y x f ．5 设函数(,)f x y 在221x y +≤上连续，使2211(,)4(,)x y f x y dxdy dx f x y dy +≤=⎰⎰⎰成立的充分条件是（ ）（Ａ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=-=-； （Ｂ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=-=； （Ｃ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=--=-； （Ｄ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=--=。
高数各章综合测试题与答案
第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)nnn a x ∞=+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然（ ） (A) 绝对收敛； (B ） 条件收敛; (C) 发散； （D ） 收敛性不定。
2、下列级数条件收敛的是（ ）.（A ） 1(1);210n n nn ∞=-+∑（B) 11n n -∞= （C ）111(1)();2nn n ∞-=-∑ （D) 11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1nn a∞=∑收敛于S ,则级数()121nn n n aa a ∞++=++=∑（ )(A) 1;S a + （B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑( ）.(A ） 绝对收敛； （B) 条件收敛； (C ） 发散; （D ） 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑,其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰,则1()2S -等于（ ） （A) 1;2- （B ） 1;4- （C) 1;4 （D) 12。
二、填空题1、 设14n n u ∞==∑,则111()22n nn u ∞=-=∑（ ) 2、 设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数()11nnn na x ∞=+∑的收敛区间为( ）3、 设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于（ ) 4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =( )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为（ ）三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f+4、求2012!nnn n x n ∞=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n xn n f x f x x -'=+，n 为正整数,且e(1)n f n=，求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数.6、 设有方程10n x nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ,并证明当1α>时，级数1n n x α∞=∑收敛.四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1） 求()211n n n a a n∞+=+∑ （2） 试证:对任意常数0λ>，级数1nn a n λ∞=∑收敛 提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑。
高等数学第10章 无穷级数习题详解
1 ，故该级数收敛，且 3
1
(3n 2) (3n 1) 3 .
n 1
1
5．若级数
un 与 vn 都发散时，级数 (un vn ) 的收敛性如何？若其中一个收敛，一
n 1 n 1 n 1
个发散，那么，级数
(u
n 1
n
vn ) 收敛性又如何？
当 n 时， S n 1 ，故级数收敛 .
2 3 n sin sin sin 6 6 6 6 1 2 3 n (2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin ) 12 6 12 6 12 6 12 6 2 sin 12 1 3 3 5 2n 1 2n 1 [(cos cos ) (cos cos ) (cos cos )] 12 12 12 12 12 12 2 sin 12 1 (2n 1) [cos cos ] 12 12 2 sin 12 2n 1 不存在，所以 lim S n 不存在，因而级数发散 . 由于 lim cos n n 12
sin
（ 5）由于 lim
n
sin n n 2 lim 2 ， n 1 2n 2n
而
1 收敛，故 sin n 也收敛. n 2 n 1 2 n 1
而级数
n
n 1
1
2
收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛 .
(sin 2n) 2 1 1 1 （4 ） u n ，而 为公比 q 1 的等比级数，该级数收敛，由比 n n n 6 6 6 n 1 6
高数第十章线面积分习题和答案
⾼数第⼗章线⾯积分习题和答案第⼗章曲线积分曲⾯积分练习题A 组⼀.填空题1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则?Lydy e 2=2.设?MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x ⾄点 )1,3(N 的半圆，则积分+MNxdy ydx =3. L 是从)6,1(A 沿6=xy ⾄点)2,3(B 的曲线段，则++Ly x xdy ydx e )( =4. 设L 是从)0,1(A 沿1222=+y x ⾄点2,0(B )的曲线段，则+Ly x y x dy ye dx xe 222 =5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则+Ldx y x xy )(33 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则?7. 设L 是xoy 平⾯上沿逆时针⽅向绕⾏的简单闭曲线，且9)34()2(=++-?dy y x dx y x L，则L 所围成的平⾯区域D 的⾯积等于8. 常数 k = 时，曲线积分?+Ldy x kxydx 2与路径⽆关。
9.设是球⾯ 1222=++z y x ，则对⾯积的曲⾯积分∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三⾓形围成的线，则对弧长的曲线积分? Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的⼀条线，则-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则+LdS y x 322)(=13. 设为曲⾯2222a z y x =++，则??∑dS z y x 222=⼆、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P ,Q 在域D 内具有⼀阶连续偏导数，⼜L ：? AB 是D 内任⼀曲线，则以下四个命题中，错误的是（）+LQdy Pdx 与路径⽆关，则在D 内必有yPx Q ??≡?? B ．若?Lds A 与路径⽆关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ??≡??，则必有?L ds A ·与路径⽆关。