1.1不等式关系导学案

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高中数学《不等式的基本性质》导学案

1.1不等式的基本性质导学案1.掌握两个实数比较大小的理论依据；2.理解并掌握不等式的性质；3.会利用不等式的基本性质证明不等式和比较大小；【重点、难点】教学重点：不等式的性质；教学难点：不等式性质的应用.二、学习过程【情景创设】1.在必修5中，我们学习了不等式的基本性质，这些性质是我们解不等式及证明不等式或者求一个变量的范围的理论依据；2.在必修5中学到的两个实数比较大小的原理及不等式的基本性质是怎样的？3.这些性质及原理是如何应用的？应用时应注意什么？【导入新课】1．不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

2. 实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知： 0ba b a -⇔> 0ba b a -⇔=0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

3. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ；20. 传递性：⇒>>c b b a , ； 30. 同加性：⇒>b a ；推论：加法法则：⇒>>d c b a , ； 40. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：乘法法则：⇒>>>>0,0d c b a ；推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法：与．三、典例分析【例1】判断下列各题的对错(1)c a ＜c b且c ＞0⇒a ＞b ( )． (2)a ＞b 且c ＞d ⇒ac ＞bd ( )．(3)a ＞b ＞0且c ＞d ＞0⇒a d ＞b c(4)a c 2＞b c2⇒a ＞b ( )．【例2】比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．分析：我们知道，a －b ＞0a ＞b ，a －b ＜0a ＜b ，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可．【例3】已知0,0,a b c >><求证: c c a b>。

一元一次不等式导学案2

课题：不等式的基本性质（2）
快乐高效实用
永州陶铸中学初中部八年级数学导学案
总课时：第 60 课时第四章：第 3 课时主备人：罗林林审核人：八年级数学备课组班级：姓名：类别：学习目标：理解并能灵活应用不等式的性质 2 与 3，正确区分等式的性质与不等式的性质的区别学习重点：不等式的性质 2 与 3 学习难点：不等式性质 2 与 3 的灵活应用一、情节导入复习不等式的性质 1 二、自主学习阅读书本 P135-136 完成下列问题： 1、完成书本 P135 中探究的问题; 2、不等式基本性质 2：不等式基本性质 3： �� 3、若a > ��，则 5a 5b ； 33 �� 若x < ��，则−2x − 2y； −7 −7 三、合作探究 ab b 1、若 a＜0，则－ ____－ 2 2 2、根据不等式的性质，把下列不等式表示为 x＞a 或 x＜a 的形式：
（1）10x－１＞9x （3）5－6x≥2 （2）2x＋2＜3 （4）8 − 3y ≤ 2y − 7
四、当堂检测书本 P137 中练习第 1、2 题五、拓展提升
1、某商店先在广州以每件 15 元的价格购进某种商品 10 件，后来又到深圳以每件 12.5 元的价格购进同一种商品 40 件。如果商店销售这些商品时，每件定价为 x 元，可获得大于 12％的利润，用不等式表示问题中的不等关系，并检验 x＝14（元）是否使不等式成立？
一个工程队原定在 10 天内至少要挖掘 600m 的土方，在前两天共完成了 120m 后，又要求提前 2 天完成掘土任务，问以后每天至少要挖多少土方？（只列关系式）
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六、课堂小结这节课你学到了什么？还有什么疑惑吗？七、课后作业八、课后反思Leabharlann 课题：不等式的基本性质（1）

不等式的基本性质和证明的基本方法1.1.1不等式的基本性质导学案新人教B版

1.1.1 不等式的基本性质1.了解不等关系与不等式.2.掌握不等式的性质.3.会用不等式的性质解决一些简单问题.自学导引1.对于任何两个实数a ，b ，a >b ⇔a －b >0； a b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)加(减)：a >b ⇒a ＋c >b ＋c ； (4)乘(除)：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；(5)乘方：a >b >0⇒a n>b n，n ∈N *且n ≥2；(6)开方：a >b >0n ∈N *且n ≥2；(7)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (8)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .基础自测1.如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A.a 2>a >－a 2>－a B.－a >a 2>－a 2>a C.－a >a 2>a >－a 2D.a 2>－a >a >－a 2解析由a 2＋a <0知a ≠0，故有a <－a 2<0，0<a 2<－a .故选B. 答案 B2.若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b cB.a d b dD.a c －d >0，所以1－d >1－c>0.又a >b >0，所以a －d >b －c ，所以a d <bc ，故选B.答案 B3.设x ∈R ，则x 21＋x 4与12的大小关系是________. 解析当x ＝0时，x 21＋x 4＝0<12，当x ≠0时，x 21＋x 4＝11x 2＋x2，∴1x 2＋x 2≥2，∴x 21＋x 4≤12(当x ＝±1时取等号)，综上所述x 21＋x 4≤12.答案x 21＋x 4≤12知识点1 不等式的性质及应用【例1】判断下列各题的对错 (1)c a <c b且c >0⇒a >b ( ) (2)a >b 且c >d ⇒ac >bd ( ) (3)a >b >0且c >d >0⇒ a d > bc( ) (4)a c 2>b c2⇒a >b ( )解析 (1)⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ，当a <0，b >0时，此式成立，推不出a >b ，∴(1)错.(2)当a ＝3，b ＝1，c ＝－2，d ＝－3时，命题显然不成立.∴(2)错. (3)⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒a d >bc>0⇒ ad> bc成立.∴(3)对. (4)显然c 2>0，∴两边同乘以c 2得a >b .∴(4)对. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√●反思感悟：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.1.有以下四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 其中能使1a <1b成立的有________个条件.解析 ①b >0>a ，∴1a <0<1b，结论成立；②0>a >b ，∴1a <1b ，结论成立；③a >0>b ，∴1a >1b ，结论不成立； ④a >b >0，∴1a <1b，结论成立. 答案 3知识点2 实数大小的比较【例2】实数x ，y ，z 满足x 2－2x ＋y ＝z －1且x ＋y 2＋1＝0，试比较x ，y ，z 的大小. 解 x 2－2x ＋y ＝z －1⇒z －y ＝(x －1)2≥0⇒z ≥y ；x ＋y 2＋1＝0⇒y －x ＝y 2＋y ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋34>0⇒y >x ，故z ≥y >x . ●反思感悟：两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是： (1)作差.(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法. (3)定号，即确定差的符号. (4)下结论.2.已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a ，试比较A ，B ，C ，D 的大小.解 ∵－12<a <0，∴1＋a 2>1－a 2，即A >B ，11＋a >11－a，即C >D ，又∵A －C ＝1＋a 2－11＋a ＝a （1＋a ＋a 2）1＋a<0，∴A <C ，∵B －D ＝1－a 2－11－a ＝a （a 2－a －1）1－a>0，∴C >A >B >D .知识点3 不等式的证明【例3】如果a >b >0，c <d <0，f <0，证明：fa －c >fb －d.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0，又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.不等式的两边同乘1（a －c ）（b －d ）>0，得：1b －d >1a －c >0，又∵f <0，∴fb －d <fa －c，即fa －c >fb －d.●反思感悟：利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.3.已知a 0 ⇒ax ＋by ＋cz >ax ＋cy ＋bz 同理ax ＋by ＋cz >bx ＋ay ＋czax ＋by ＋cz >cx ＋by ＋az 故结论成立.课堂小结1.不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“a >b ”、“a b ，b ≥c 或a ≥b ，b >c 均可推得a >c ；而a ≥b ，b ≥c 不一定可以推得a >c ，可能是a >c ，也可能是a ＝c .随堂演练1.已知下列四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1b成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析运用倒数性质，由a >b ，ab >0可得1a <1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C2.已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由⎩⎪⎨⎪⎧a －c >b －d c >d ⇒a >b ；而当a ＝c ＝2，b ＝d ＝1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a >bc >d，但a －c >b －d 不成立，所以“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要而不充分条件，选B. 答案 B3.已知不等式：①x 2＋3>2x ；②a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)，其中正确的不等式有__________.(填上正确的序号) 答案 ①③4.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d c ，a ＋d |b |；③a bc . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 A2.若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB.a 2>b 2C.ac 2＋1>bc 2＋1D.a |c |>b |c |解析本题只提供了“a ，b ，c ∈R ，a >b ”这个条件，而不等式的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同，因而这需要根据本题的四个选择项来进行判断.选项A ，还需有ab >0这个前提条件；选项B ，当a ，b 都为负数或一正一负时都有可能不成立，如2>－3，但22>(－3)2不正确；选项C ，1c 2＋1>0，因而正确；选项D ，当c ＝0时不正确. 答案 C3.设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A.b －a >0 B.a 3＋b 3>0 C.a 2－b 2<0D.b ＋a >0解析 ∵a －|b |>0，∴a >|b |>0. ∴不论b 正或b 负均有a ＋b >0. 答案 D4.已知60<x <84，28<y <33，则x －y 的取值范围为________，x y的取值范围为________. 解析 x －y ＝x ＋(－y )，所以需先求出－y 的范围；x y ＝x ×1y ，所以需先求出1y的范围. ∵28<y <33，∴－33<－y <－28，133<1y <128.又60<x <84，∴27<x －y <56，6033<x y <8428，即2011<x y<3.答案 27<x －y <562011<x y<3 5.设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a 、b 满足的条件是________________. 答案 ab ≠1或a ≠－26.已知a 、b ∈{正实数}且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小.解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a＝（a 2－b 2）（a －b ）ab，∴当a >b >0时，a 2>b 2，∴（a 2－b 2）（a －b ）ab>0.当0<a 0.∴只要a ≠b ，总有a 2b ＋b 2a>a ＋b .综合提高7.已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B.ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C.sin x >sin yD.x 3>y 3解析先依据指数函数的性质确定出x ，y 的大小，再逐一对选项进行判断.因为0<a <1，a x<a y，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立.B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立.C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立.D 中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，故选D. 答案 D8.若a ，b ，x ，y ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，（x －a ）（y －b ）>0是⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，y >b 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，y >b 可得⎩⎪⎨⎪⎧x －a >0，y －b >0，x ＋y >a ＋b ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，（x －a ）（y －b ）>0；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，（x －a ）（y －b ）>0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，x －a >0，y －b >0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，x －a <0，y －b <0，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，（x －a ）（y －b ）>0，所以应选C.答案 C9.设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的范围是________.解析 ∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜－β＜－α＜π2.∴－π＜α－β＜β－α＜π，且α－β＜0，∴－π＜α－β＜0.答案－π＜α＜－β＜0 10.有以下四个条件：①b ＞0＞a ；②0＞a ＞b ；③a ＞0＞b ；④a ＞b ＞0. 其中能使1a ＜1b成立的有________个条件.解析 ①∵b ＞0，∴1b ＞0.∵a ＜0，∴1a ＜0.∴1a ＜1b.②∵b ＜a ＜0，∴1b ＞1a .③∵a ＞0＞b ，∴1a＞0，1b ＜0.∴1a ＞1b.④∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b.综上知，①②④均能使1a ＜1b成立.答案 311.若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明 ∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0. ∴（a －b ）2（a ＋b ）ab≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 12.已知α、β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1 ①1≤α＋2β≤3 ②试求α＋3β的取值范围.解设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β) ＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β.比较α、β的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋v ＝1，λ＋2v ＝3，从而解出λ＝－1，v ＝2.分别由①、②得－1≤－α－β≤1，2≤2α＋4β≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7. 另解由①，∴－1≤－(α＋β)≤1 ③由③②可得，0≤β≤4④由④②可得，1≤α＋2β＋β≤4＋3，即：1≤α＋3β≤7.。

一元一次不等式全章导学案

鸡西市第十九中学学案要求:任意的有理数，在“”上填“＞”、“＜”或“＝”号；（３）在实验中注意观察不等号方向．．．．．的变化，并总结自己的发现。

5＞３5＞３5＞３5＞３我们发现：不等式两边同一个数（无论正负），不等号方向5＞３5＞３5＞３5＞３我们发现：不等式两边乘以或除以同一个数，不等号方向但是：不等式两边乘以或除以同一个数，不等号方向鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案-2x+3 >-3x+1 2x > 1 –≤ 1 2x > -1 3152x x->+；2x-19＜7x+31．5343y y+>+；25453x x x-+<-；鸡西市第十九中学学案班级姓名：《解一元一次不等式》专题班级姓名在数轴上表示为：我未曾见过一个早起勤奋谨慎诚实的人抱怨命运不好。

解下列不等式,并在数轴上表示出它们的解集.1. 8223-<+x x2. x x 4923+≥-3. )1(5)32(2+<+x x4. 0)7(319≤+-x5.31222+≥+x x 6. 223125+<-+x x7. 5223-<+x x 8. 234->-x9. )1(281)2(3--≥-+y y 10. 1213<--m m11. 31222-≥+x x 12. )2(3)]2(2[3-->--x x x x 13. 41128)1(3--<++x x 14. )1(52)]1(21[21-≤+-x x x15.22416->--x x 16. x x x 212416-≤--17. 7)1(68)2(5+-<+-x x 18. 46)3(25->--x x（1） 41328)1(3--<++x x 20. 215329323+≤---x x x21. 1215312≤+--x x 22. 31222-≥+x x23. 22416->--x x 24. x x x 232416-≤--25.31221+≥+x x 26. 223123+<-+x x27. 5213-<+x x 28.234->-x29. )1(251)2(3--≥-+y y 30.1223<--m m鸡西市第十九中学学案一元一次不等式组解集的规律：练习.利用数轴表示下列不等式13x -<⎧13x ->⎧210x ->⎧313x -->⎧314,x ->⎧21,x x >-⎧⎧+>+321x x 512,x x ->+⎧⎪⎧≥--4)2(3x x 《解一元一次不等式组》专题班级姓名打击与挫败是成功的踏脚石，而不是绊脚石。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.4基本不等式2课堂导学案新人教A版选修4_52

1.1.4 基本不等式（2）课堂导学三点剖析一、利用基本不等式求最值【例1】若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有( )A.2∈M,0∈MB.2M,0MC.2∈M,0MD.2M,0∈M解析:M={x|x≤k4k241},∵k4k241k4151k2=k2-1+k5=(k2+1)+215k21-2≥25-2>2,∴2∈M,0∈M.答案:A温馨提示本题主要考查一元不等式及基本不等式求最值.在本例中表达式k44k12经过变形化为“x+ax(a>0)”型的式子,然后利用基本不等式求得最小值.在求最值时,形如“x+ax(a>0)”的最值问题是一种非常典型的用基本不等式来求的类型,有很多最值问题可转化为该类型,因此,在解题时应给予高度重视.各个击破类题演练1已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA OB的最小值.解析:(1)由|PM|-|PN|=22知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a= 2.又半焦距c=2,故b= c2a22.所以W的方程为x =1(x≥2).2y222(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x i2-y i2=(x i+y i)(x i-y i)=2(i=1,2).令s i=x i+y i,t i=x i-y i,1则 s i t i =2,且 s i >0,t i >0(i=1,2), 所以OAOB =x1x 2+y 1y 2= =1 4 12 1 (s 1+t 1)(s 2+t 2)+ (s 1-t 1)(s 2-t 2)41 s 1s 2+t 1t 2≥ s 1s 2t 1t 2 =2.2x 1, x2当且仅当 s 1s 2=t 1t 2,即yy12时“=”成立,所以OA OB 的最小值是 2.变式提升 1若对任意正数 x,y,都有 a≤xx2y 2xy,则实数 a 的最大值是( )A.1 2B.2C.2 2 2 1D.2 1 21解析:由 x x 2y 2xy ≥ x x y x 2y= 12,故选 A.答案:A二、利用基本不等式求条件等式的最值【例 2】已知 x>0,y>0,且1 x + 9 y=1,求 x+y 的最小值.解法一:∵x>0,y>0,1 x + 9 y=1,∴x+y=(x+y)(1 x + 9 y)=10+y 9 ≥10+6=16,当且仅当 xxyy 9x . x y又∵ 1 x + 9 y=1,∴x=4,y=12时，上式等号成立.故当 x=4,y=12时，x+y 取最小值 16. 解法二:∵1 x + 9 y=1,x>0,y>0,∴y=9xx1且x>1.故x+y=x+ 9xx1=x+x91+9=(x-1)+9+10≥6+10=16.x 12当且仅当x-1=x 91，∵x>1,∴x=4时上式等号成立.解法三:∵1x+9y=1,∴y+9x=xy,得(x-1)(y-9)=9.又由条件知x>1,y>9,∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2(x 1)(y 9)+10=16.当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时，x+y取最小值16.温馨提示解法一、解法三的技巧性较强,解法二是把目标函数化为一元函数,一元函数再变形,“求积造定和或求和造定积”,难度明显降低,思路也自然些,这是解此类问题的通法.类题演练2若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为( )A. 3-1B. 3+1C.23+2D.23-2解析:由a(a+b+c)+bc=4-23a(a+b)+(a+b)c=(a+b)(a+c)=4-23.而2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2(a b)(a c)2423=23-2.当且仅当a+b=a+c,即b=c时等号成立.答案:D变式提升2已知x,y∈R+,且x+y=1,求2x+1y的最小值.x 0,解法一:y 1x 00<x<1.记f(x)= 2x+1y=2x1+12xx x (1x).令t=2-x,∵x∈(0,1),∴-x∈(-1,0),t∈(1,2).则f(x)=t(2t)(1)t 2t t3t231(t2)t,3∵t∈(1,2),22 ∴t+2 t2 2tt. ∴-(t+ 2 t)≤2 2 ,0<3-(t+ 2 t)≤3 2 2 .∴f(x)=3 1 (t 2 ) t3 1 2 2=3+2 2 . ∴f(x)max =3+2 2 .此时 t=2 t= 2 2-x= 2 x=2- 2 .tx 解法二:由 y0, 1x得 0<x<1.∴21 =(x+y)( x y2 1 )=3+ 23 2 2 3 2 2x y x yx y y x y xx.当且仅当x 2y (又 x+y=1)时“=”成立,即 x=2- 2 ,y= 2 -1时,y x21 的最小值为x y3+2 2 .三、利用基本不等式解决实际应用问题【例 3】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2m 的无盖长方体沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长为 a m ，高为 b m ，已知流出的水中杂质的质量分数与乘积 ab 成反比，现有制箱材料 60 m 2，问当 a,b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A 、B 孔的面积忽略不计)思路分析:要抓住本题的主要条件及要求:①流出的杂质与 ab 成反比，若设 y 为流出的杂质的质量分数，那么 y= 为最大.k ab,其中 k 为反比例系数;②题目要求流出的杂质质量分数最小，就是积 ab解法一:设 y 为流出的杂质的质量分数，则 y=k ab,k>0,k 为比例系数，依题意，即所求的 a,b 的值，使 y 最小. 依题设，有 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), 得 b=30 a2 a(0<a<30).①4于是y= kabk30aa22aak3264a 234(ak264)a 2342k64(a 2)a 2k18当a+2=64a 2时取等号，y达到最小值.这时a=6,a=-10(舍去)，将a=6代入①得b=3.∴当a为6 m,b为3 m时，沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.解法二:设流出的水中杂质的质量分数为y,依题意y= k ab.其中k为比例系数,k>0,要求y的最小值,必须求解ab的最大值.依题设4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a>0,b>0).∵a+2b≥22ab(当且仅当a=2b时取“=”),∴ab+22ab≤30,可解得0<ab≤18.由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3,即a=6,b=3时,ab取最大值,从而y值最小.类题演练3甲,乙两个同学同时到同一个商店分别买了两次糖,甲同学每次买一元钱的,乙同学每次买一斤, 如果两次糖的价格不同,问甲,乙两同学谁买的更便宜?解析:甲同学乙同学设糖的价格第一次1元1斤a元/斤第二次1元1斤b元/斤共花钱2元(a+b)元共买糖( 1a+1b)斤2斤平均价格1a 2a12bb甲的平均价格-乙的平均价格=1a 21b-a2b= 2ab a b4ab (a b)2(ab)2a b22(a b)2(a<0.(∵a≠b)b)答:甲同学买的糖比乙同学便宜.5变式提升3某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元.使用规定，不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名学生，每次的包车费均为40元，若使每个同学游8次，每人最少得交多少钱?解析:设分n批去游泳，活动总开支为y元，则包车费为40n元，每批去那么需购卡488n张.488n人,∴y=40n+488n×240=40(n+482n).∵n+482n≥25n·482n·=2×48,n∴y≥80×48=3840.当且仅当n= 482n,即n=48时，y min=3 840.384 0÷48=80(元).答:每人至少交80元.6。

人教版第九章不等式与不等式组导学案[1]

（1）（2第九章不等式与不等式组9.1.1 不等式及其解集学习目标： 1、了解不等式及一元一次不等式的概念。

2.、理解不等式的解、不等式的解集的概念。

3、能在数轴上正确表示不等式的解集。

学习重点、难点：理解不等式的解集，会在数轴上表示解集.学习过程：一、学前准备：1.等式：用“=”连接的表示相等关系的式子叫做等式.2.一元一次方程：含有_____个未知数,并且未知数的次数是_____的方程叫做一元一次方程.3. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解二、新课探究:（一）、不等式、一元一次不等式的概念1. 你能列出下列式子吗？（1）5小于7;（2）x与1的和是正数（3）m的2倍大于或等于-1;（4）x-3不等于2（5）a不大于1 ;（6）y的2倍与1的和不等于3（7）c与4的和的30﹪不大于-2不等式：像上面的这些式子，用符号“”，“”，“”“”或“”表示不等关系的式子叫做不等式。

一元一次不等式：含有且未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式．巩固练习2：下列式子中哪些是不等式？哪些是一元一次不等式？（1）a＋b=b+a （2）－3＞－5 （3）x≠l(4)3＞2 (5) 2a+1≥0 (6)32x+2x(7)x＜2x+1 (8)x=2x-5 (9)2x +4x＜3x+1 (10)a+b≠c（11）x十3≥6 （12） 2m< n（二）、不等式的解、不等式的解集总结1：1、不等式的解：使不等式的的值叫做不等式的解．2、不等式的解有个。

由上题我们可以发现，当x＞3时，不等式x＋3 > 6总成立；而当x≤3时,不等式x＋3 > 6总不成立.这就是说,任何一个大于3的数都是不等式x＋3 > 6的解,因此x＞3表示了能使不等式x＋3 > 6成立的x的取值范围,叫做不等式x＋3 > 6的解的集合,简称解集总结2: 1.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的组成这个不等式的解集。

9_1_1 不等式及其解集(优质学案)

学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________人教版初中数学七年级下册 9.1.1 不等式及其解集导学案一、学习目标：1. 了解不等式及其解的概念；2. 学会并准确运用不等式表示数量关系，形成在表达中渗透数形结合的思想；3. 理解不等式的解集及解不等式的意义．重点：会用不等式表示简单问题的数量关系，把不等式的解集正确的表示到数轴上.难点：理解不等式解集的意义. 二、学习过程：自主学习一问题一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A 地50km ，要在12:00之前驶过A 地，车速应满足什么条件？分析：设车速是 x km/h.从时间上看，汽车要在12:00之前驶过A 地，则以这个速度行驶50km 所用的时间不到____h ，即 _______ ①从路程上看，汽车要在12:00之前驶过A 地，则以这个速度行驶32h 的路程要超过____km ，即 __________ ②【归纳】________________________________________________________，叫做不等式.(1)像a+2≠a-2这样用符号“______”表示不等关系的式子也是不等式. (2)不等式中可以含未知数，也可以不含未知数.例如：a+2＞5，4b ＜6；3＜4，-1＞-2.(3)“_____”读作“大于或等于”或“不小于”“______”读作“小于或等于”或“不大于” 用不等号填空：大于( ) 小于( ) 不大于( ) 不小于( )学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________不超过( ) 至多( ) 至少( ) 正数( ) 负数( ) 非负数( ) 非正数( ) …… 典例解析例1.下列式子：①3>0；②4x +5>0；③x <3；④x 2+x ；⑤x =−4；⑥x +2>x +1，其中不等式有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【针对练习】判断下列式子是不是不等式：（1）-3>0; （2）4x+3y<0；（3）x=3; （4） x 2+xy+y 2；（5）x ≠5; （6）x+2>y+5.例2.根据下列数量关系列不等式： (1)x 的7倍减去1是正数． (2)y 的13与13的和不大于0．(3)正数a 与1的和的算术平方根大于1． (4)y 的20%不小于1与y 的和．【针对练习】用不等式表示：(1) a 是正数；______ (2) a 是负数；______(3) a 与5的和小于7；_________ (4) a 与2的差大于-1；_________ (5) a 的4倍大于8；_________ (6) a 的一半小于3. _________ 自主学习二对于不等式5032>x ，当x ＝80时，5032>x ；当x ＝78时，5032>x ；当x＝75时，5032=x ；当x ＝72时，5032<x .当x 取某些值(如80，78)时，不等式5032>x 成立；当x 取某些值(如75，72)时不等式5032>x 不成立.学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【归纳】____________________________________________叫做不等式的解. 思考：除了80和78，不等式5032 x 还有其他解吗？如果有，这些解应满足什么条件？【归纳】____________________________________________________，组成这个不等式的解集.________________________________叫做解不等式. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系典例解析例3.下列各数中，哪些是不等式x ＋2＜4的解？哪些不是？－3，－1，0，1，32，2，52，3，4.【针对练习】下列数中哪些是不等式x +3＞6的解，哪些不是？-4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例4.把下列不等式的解集在数轴上表示出来．(1)x ≥－3； (2)x ＞－1； (3)x ≤3； (4)x<－32.【针对练习】将下列不等式的解集在数轴上表示出来：① x ＜－1； ②x ＜－2； ③x ＞0； ④x ＜－52.【总结提升】解集的表示方法：第一种:___________________________________________________________.第二种: ___________________________________________________________. 用数轴表示不等式的解集的步骤:第一步:____________；第二步:____________；第三步:____________. 达标检测1.在下列式子中:①5<7；②2x>3；③a ≠0；④x ≥-5；⑤3x-1；⑥x2≤3；⑦x=3，其中是不等式的有( )A.3个B.4个C.5个D. 6个 2. x 与3的和的一半是负数，用不等式表示为( )A.12x+3>0 B. 12x+3<0 C. 12(x+3)>0 D. 12(x+3)<0 3.在数值-2，-1，0，1，2中，能使不等式x+3>2成立的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个 4.下列说法错误的是( )A.1不是x ≥2的解B.不等式x+3>3的解集是x>0C.0是x<13的一个解 D. x=6是x-7<0的解集学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5.如图表示不等式的解集为________.6.方程2x=10的解有____个，不等式2x<10的解有______个，不等式2x<10的解集是_______.7.满足x ≤3.5的非负整数解是_____________.8.某种药品的说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是__________mg.9.用不等式表示下列关系:(1) x 的2倍与6的差小于3; __________ (2) x 的平方不小于5; _________(3) x 的13与x 的2倍的和是非负数; ___________ (4) a 与4的和的30%小于7; ______________ (5) x 除以2的商加上2，至多为5; __________ (6) a 与b 两数和的平方大于10. ______________ 10.把下列不等式的解集在数轴上表示出来.(1) x>-3； (2) x ≤4； (3) x<3.5.11.根据下列语句写出不等式:(1)火车提速后，时速(v)最高可达300km/h; ______________ (2)某班学生中身高(h)最高的为1.84m; ______________(3)小明今天锻炼身体花了tmin,他每天锻炼身体的时间不少于30min; (4)某校男子跳高纪录是1.75m ，在今年的校田径运动会上，小明的跳高成绩是hm,打破了该校男子跳高纪录. ______________学习笔记记录区___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________。

广东省佛山市顺德区文田中学八年级数学下册 1.1不等关系导学案(无答案) 北师大版

1.1不等关系（导学案）【学习目标】理解不等式的意义；能根据条件列出不等式。

【学习重点】通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。

【学习难点】实际问题中怎样建立量与量之间的不等关系。

【课前自学】（方法提示：带着以下问题——什么是不等式？列出不等式的关键是什么？自学P1-6，然后完成以下填空。

）1．已知正方形的边长为a ，则该正方形的面积为。

2．已知圆的半径为r ，则该圆的面积为。

3．已知正方形的周长为l ，则该正方形的边长为_______；面积为。

4．已知圆的周长为l ，则该圆的半径为_______；面积为。

【新课学习与探究】1．（先独立完成，再小组合作交流）如图，用两根长度均为l cm 的绳子，分别围成一个正方形和圆 ○1如果要使正方形的面积不大于252cm ，那么绳长l 应满足怎样的关系式？解：绳长l 是正方形的周长，∴正方形的边长为__________，∴面积为__________∴要使正方形的面积不大于252cm ，则有关系式__________________________。

○2如果要使圆的面积不小于100 2cm ,那么绳长l 应满足怎样的关系式？解：则有关系式__________________________。

○4通过完成上表，你能得到什么猜想？解：我猜想，用长度均为l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和圆，则有圆正方形S S ___。

2．做一做：通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5 m 的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm ，以后树围每年增加约为 3 cm.，这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m ？解：设这棵树至少生长x 年其树围才能超过2.4 m ，则有关系式____________________。

☆3．观察以上所列的关系式有什么特点？一般地，用符号________________________________________连接的关系式叫做不等式。

一元一次不等式导学案

生为主、重合作、有效参与提素质教师个性促提升教学设计本节课设计了四个教学环节：第一环节：课前热身复习回顾。

第二环节：课堂展示、合作学习。

第三环节：课堂反馈、巩固提升。

第四环节：布置作业北师大-数学-八年级下册-第二章-《一元一次不等式》主备人：田里丰教师合作来导学（配套课件电子白板实施授课）课堂展风采学习目标： 1.进一步掌握一元一次不等式的解法； 2.会运用一元一次不等式解决实际问题。

教学重点：一元一次不等式的解法。

教学难点会从实际问题中找出不等量关系课前热身、自主预习一、复习回顾 1．解方程： (1)2x-1=4x+13；还课堂给学生，让学习更快乐自主学习真快乐我是年级班学生学习本课（节），我有如下收获：(2)2(5x +3)=-3(1-X)．2.运用不等式基本性质把下列不等式化成 x>a 或 x<a 的形式。

①x-4<6 ②2x>x-5 预习等级：组长签字：课堂展示、合作学习 1.观察下列不等式： (1)40+15x>130 (2)2x-2.5≥1.5 (3)x≤8.75 (4)x<4(5)5+3x>240这些不等式有哪些共同点？ 2、总结：一元一次不等式：不等式的左右两边都是，只含有未知数．并且未知数的最高次数是，像这样的不等式，叫做一元一次不等式．学习一元一次不等式要注意三个要点： (1)只含有个未知数： (2)含有未知数的式子是； (3)未知数的最高次数是 3、根据不等式的基本性质解不等式 3-x<2x+6，并把它的解集表示在数轴上．解：两边都加上-2x，得: 合并同类项，得两边都加上，得合并同类项，得两边都除以-3．得即 x>一 1．北师大-数学-八年级下册-第二章-《一元一次不等式》还课堂给学生，让学习更快乐生为主、重合作、有效参与提素质北师大-数学-八年级下册-第二章-《一元一次不等式》主备人：田里丰还课堂给学生，让学习更快乐完成等级：组长签字：课堂反馈、巩固提升解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上；（1）5x＜200(2) x 1 ＜3 2(3) x-4≥2(x+2)(4)x  1 4x  5 ＜ 2 3完成等级：组长签字：一课一练求不等式 4（4x+1）≤24 的正整数解。

高中数学选修4《基本不等式》导学案

1 §1.1.2基本不等式一、学习目标1．理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题．2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题．【重点、难点】教学重点：均值不等式定理的证明及应用。

教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

二、学习过程【情景创设】1.我们已经学过重要不等式()R b a ab b a ∈≥+,222，该不等式是怎么推导的？ 2.根据1中重要不等式推导b a ab b a ++,,22),(+∈R b a 的不等关系.并思考它们如何应用.【导入新课】自学探究：（阅读课本第5-7页，完成下面知识点的梳理）1.定理1：如果R b a ∈,，那么，当且仅当时，等号成立.2.定理2（基本不等式）如果0,>b a ，那么ab b a ≥+2，当且仅当时，等号成立. 说明：1. 基本不等式ab ≤a ＋b 2(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2) 等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号；(3) 结论：两个非负数a ，b 的算术平均数不小于其几何平均数．2. 应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。

“积定和最小；和定积最大”。

三、典例分析例1.(1) 若x>0,求9()4f x x x =+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x =+的最大值.例2.(1)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值；2例3.已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．【变式拓展】变式1：若102x <<，求(12)y x x =-的最大值。

变式2：若26x y +=，求24x y +的最小值四、总结反思1．用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，这三个条件缺一不可。

1.1不等式的基本性质导学案

项城市第一初级中学王宏伟项城市第一初级中学王宏伟不等式的基本性质班级学号姓名__________________________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆不等式的基本性质导学案2目标1.探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别.重点探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. 过程一、课前预习：1、我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？等式的基本性质一：在等式的两边都或（）同一个，等式仍然成立。

可用符号表示为：若b a =，则c a ± c b ± 等式的基本性质二：在等式的两边都同一个或（）同一个，等式仍然成立。

可用符号表示为：若b a =，则c a ⨯ c b ⨯，cacb （0≠c ）2、不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？二、探究新知：（一）不等式基本性质的推导1、自主学习：填空：2 ＜3 2 ＜ 3 2 ＜ 32+3 3+3 2×5 3×5 2÷5 3÷5 2+5 3+5 2×21 3×21 2÷21 3÷212+8 3+8 2×（-1） 3×（-1） 2÷（-1） 3÷（-1） 2-3 3-3 2×（-5） 3×（-5） 2÷（-5） 3÷（-5） 2-5 3-52-8 3-82、合作交流：做完上面的填空，你发现了什么？请你再举几例试一试，还有类似的结论吗？与同学交流，归纳上题的结论，我们便得到了不等式的基本性质：不等式的基本性质一：不等式的两边都或（）同一个，不等号的方向不变。

可用符号表示为：若a ＞b ，则c a ± c b ± 不等式的基本性质二：不等式的两边都或（）同一个，不等号的方向。

七年级数学一元一次不等式全章导学案

课题：认识不等式课型：新授课时：[学习目标]1．知道不等式的定义。

2．理解不等式的解和方程的解的异同。

3．会根据问题列不等式4．会将实际问题抽象成数学问题，并用学到的知识解决问题，从而培养学生分析问题、解决问题的能力。

[重点难点]重点：不等式的定义、不等式的解及列不等式。

难点：总结归纳不等式及不等式的解。

[学习过程] [复习]用“＞”或“＜”填空：（1）0 ―1；（2）―2 ―4；（3）―4 3；（4）2______－3；（5）21 31；（6）32- 43-．[新课]不等式的定义：用不等号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”），“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式。

[同步练习一]判断下列各式哪些是等式、哪些是不等式？ ① x+y ； ②3x ＞7；③ 5=2+3 ； ④x ²＞0 ；⑤ 2x-3 ⑥2x-3y=1 ；⑦52 [尝试练习1]用适当符号表示下列关系。

(1)a 的7倍与15的和比b 的3倍大： (2)a 是非负数； (3)x 比y 大3. (4）a 是正数；（5）a 是负数；（6）a 与6的和不大于5；（7）x 与2的差不小于－1；（8）x 的4倍大于7；（9）y 的一半小于3.[同步练习二]根据下列的数量关系列不等式：（1） x 的3倍与2的差是非负数；（2） a 的21与3的和小于1；（3） a 与b 两数和的平方不小于3；（4） a-b 是正数。

（5） —x 不大于—2 [例1]下列各数中，哪些是不等式x ＋2>5的解？哪些不是？－3，－2，－1，0，1.5，2.5，3，3.5，5，7。

注意：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

”不等式的解有时有无数个，有时有限个，有时无解。

[同步练习三]不等式x ≤3的正整数解是。

不等式x ＜3的非负整数解是；不等式x ＜3的自然数解是；x ＞-2的负整数解有。

[课堂小结]这节课你学了哪些内容? [课后作业]用不等式表示：（1）x 的21与3的差大于2；（2）2x 与1的和小于零；（3）a 的2倍与4的差是正数；（4）b 的21与c 的和是负数；（5）a 与b 的差是非负数；（6）x 的绝对值与1的和不小于1。

一元一次不等式(组)导学案

课题：9.3一元一次不等式（组）的应用（一）【学习目标】1. 知道列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤，会列一元一次不等式组解较简单的应用题.2.培养从数学的角度理解问题、解决问题的能力，发展应用意识. 【学习重点与难点】1.重点：列一元一次不等式组解较简单的应用题.2.难点：从数学的角度理解实际问题.【预习感知】：1. 格桑家办了一个小宾馆，开业那天来了48名旅客.如果每间住5人，房间不够；如果每间住6人，又住不满.问格桑家的小宾馆有几间客房？解：设格桑家的小宾馆有x 间客房. 根据题意列不等式组,得______________ ,______________.⎧⎨⎩ 解不等式组，得_______________. x 是正整数，所以x ＝________. 答：格桑家的小宾馆有____间客房.2.王波今天70岁，比张明年龄的5倍还要大，不过到后年张明年龄的5倍就比王波的年龄大了.求张明今年的年龄.解：设张明今年的年龄为x 岁. 根据题意列不等式组,得______________ ,______________.⎧⎨⎩ 解不等式组，得_______________. x 是正整数，所以x ＝________. 答：张明今年的年龄为______岁.【共研释疑】（课内完成）例题讲解：例1. 一次智力测验，有20道选择题．评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答．至少答对几道题，总分才不会低于60分？师生互动例2. 七年级三班学生到阅览室读书，班长问老师要分成几个小组，老师风趣地说：请你帮助班长分组，你知道该分几个组吗？（注意写出解题过程，不能仅有分组的结果哟!）例3.某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于10％，那么商店最多降价多少元出售商品?【评测拓展】1.1、某校在一次参观活动中，把学生编为8个组，若每组比预定人数多1人，则参观人数超过200人，若每组比预定人数少2人，则参观人数不大于184人，试求预定每组学生的人数．2. 某车间生产机器零件，若每天比预定计划多做几件,8天所做零件的总数超过100件，如果每天比预定计划少做一件，那么8天可做零件的总数不到90件，问预定计划每天做多少件？3.某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多6辆，那么15天的产量就超过了原来20天的产量，求原来每天最多能生产多少辆汽车?4.某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成；但他加工2小时后，因事停工40分钟．那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件?5.一个工程队原定在10天内至少要挖掘600m3的土方．在前两天共完成了120m3后，接到要求要提前2天完成掘土任务．问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方?14题课后作业 9.3一元一次不等式（组）的应用（一）班级________ 姓名________1.如图，天平右边托盘里的每个砝码的质量都是1千克，则图中显示物体质量的范围是（） A ．大于2千克 B ．小于3千克C ．大于2千克且．小于3千克D ．大于2千克或．小于3千克 2.九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元．一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有( )． (A)2人 (B)3人 (C)4人 (D)5人3.某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是( )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)54.乐天借到一本72页的图书，要在10天之内读完，开始两天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天要读x 页，列出的不等式为______．5.一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题得-1分，在这次竞赛中，小明获得优秀（90分或90分以上），则小明至少答对了______道题．6.三个连续自然数的和不大于 15，这样的自然数组有组。

新人教版七年级数学（下册）导学案及参考答案

新人教版七‎年级数学（下册）第九章导学‎案第九章不等式与不‎等式组课题 9.1.1不等式及‎其解集【学习目标】了解不等式‎的解、解集的概念‎，会在数轴上‎表示出不等‎式的解集．【学习重点】不等式的解‎集的概念及‎在数轴上表‎示不等式的‎解集的方法‎。

【学习难点】不等式的解‎集的概念。

【导学指导】一、知识链接1、什么叫等式‎？2、什么叫方程‎？什么叫方程‎的解？3.问题1：一辆匀速行‎驶的汽车在‎11：20时距离‎A地50千‎米。

（1）要在12：00时刚好‎驶过A地，车速应为多‎少？（2）要在12：00以前驶‎过A地，车速应该具‎备什么条件‎？若设车速为‎每小时x千‎米，能用一个式‎子表示吗？二、自主探究阅读课本1‎14-115页，回答下面的‎问题1.不等式：_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎__2.不等式的解‎：_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎___3.思考：判断下列数‎中哪些是不‎等式5032x的解：76，73，79，80，74.9，75.1，90，60你能找出这‎个不等式其‎他的解吗？它到底有多‎少个解？你从中发现‎了什么规律‎？4.不等式的解‎集：_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎__5.解不等式：_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎__6、不等式的解‎集在数轴上‎的表示：（1）x>1 （2） x<3；【课堂练习】：1.课本115‎页练习1、2、32.下列式子中‎哪些是不等‎式？（1）a +b=b +a （2）－3＞－5 （3）x ≠1 （4）x+3＞6 （5）2m ＜n （6）2x －33．下列式子中‎：①-5<0 ②2x=3 ③3x-1>2 ④ 4x-2y ≤0 ⑤ x 2-3x+2>0 ⑥x-2y 其中属于不‎等式的是_‎_____‎_____‎_,属于一元一‎次不等式的‎是____‎_____‎_（填序号) 【要点归纳】：【拓展训练】：1、绝对值小于‎3的非负整‎数有（）A ．1、2B ．0、1C ．0、1、2D ．0、1、32、下列选项中‎，正确的是（） A ．不是负数，则 B ．是大于0的‎数，则C ．不小于－1，则D ．是负数，则3、用数轴表示‎不等式x<34的解集正确‎的是（）ABCD4.在数轴上表‎示下列不等‎式的解集：（1）x>2；（2） x<4；（3）-2＜x<3【课堂小结】：课题 9.1.2 不等式的性‎质 (1)【学习目标】掌握不等式‎的性质；会根据“不等式性质‎”解简单的一‎元一次不等‎式，并能在数轴‎上表示其解‎集；【学习重点】理解并掌握‎不等式的性‎质并运用它‎正确地解一‎元一次不等‎式。

人教版七年级不等式及其解集

求不等式的_______的过程叫做解不等式。
4、认真阅读P122小贴士，说出下列两个数轴所表示解集的不同之处，并与你的同伴交流：
（1）根据数轴写出解集：
（2）你能画出数轴并在数轴上表示出下列不等式的解集吗？
① ② ③
5、类似于一元一次方程，含有___________，未知数的次数是____的不等式，叫做一元一次不等式。
(4)绝对值不小于--3的非正整数；
3．小李和小张决定把省下的零用钱存起来．这个月小李存了168元，小张存了85元．下个月开始小李每月存16元，小张每月存25元．问几个月后小张的存款数能超过小李？（试根据题意列出不等式，并参照教材中问题的探索，找出所列不等式的解）
课后作业
必做题：
（一）、选择题：
1．给出下列不等式：，，，，其中成立的有（）
三、精讲点拔
1、对于下列各式中：① ；② ；③ ；④
⑤ ；⑥ ；⑦
不等式有_______(只填序号)，一元一次不等式有__________________________.
2、下列哪些数值是不等式的解？那些不是？
你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？
3、用不等式表示.
（1）与的和是正数；（2）与的和小于；
(1) 与的和是正数; (2) 的倍与的和大于 ;
(3) 的一半与的倍的和是非正数; (4) 与的和的不大于 ;
(5) 除以的商加上 ,至多为 ;(6) 与两数的和的平方不可能大于 .
解：（1）__________（2）___________（3）_____________
（4）__________（5）___________（6）
（3）的倍大于或等于；（4）与的和不大于 .

一元一次不等式与一次函数的关系(最新整理)

y
2x -4
今天我们就来探究类似这样的问题？二、自主探究、合作交流 1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系：还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式．如 y=2x－5 为一次函数．
在一次函数 y=2x－5 中，
当 y=0 时，有方程 2x－5=0；
当 y＞0 时，有不等式 2x－5＞0；
2
（2）要找 2x－5＞0 的 x 的值，也就是函数值 y 大于 0 时所对应的 x 的值，从图象上可
5
知，y＞0 时，图象在 x 轴上方，图象上任一点所对应的 x 值都满足条件．当 x＞时，由 y=2x－5
2
5
可知 y＞0．因此当 x＞时，2x－5＞0．
2
5
（3）同理可知，当 x＜时，有 2x－5＜0；
A．x＞5
1
B．x＜
2
C．x＜－6 D．x＞－6
2．已知一次函数 y kx b 的图象如图所示，当 x＜1 时，y 的取值范围是（）
y
O
2
x
－4
A．－2＜y＜0
B．－4＜y＜0
C．y＜－2
D．y＜－ 4
3．若一次函数 y＝(m－1)x－m＋4 的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方，则 m 的取值范
2
（4）要使 2x－5＞1，也就是 y=2x－5 中的 y 大于 1，那么过纵坐标为 1 的点作一条直线平行于 x 轴，这条直线与 y=2x－5 相交于一点 B（3，1），则当 x＞3 时，有 2x－5＞1．
3．试一试从图象上可知，图象在 x 轴上方时，图象上每一点所对应的 y 的值都大于 0，而每一个 y 的值所对应的 x 的值都在 A 点的左侧，即为小于－2.5 的数，由－2x－5=0，得 x=－2.5，所以当 x 取小于－2.5 的值时，y＞0． 4．练一练从图象上看，（1）y1=y2 时，两个一次函数的图象交于一点，此点的横坐标就是方程 2x-5=x-2 的解；（2）一次函数 y1=2x-5 的图象在 y2=x-2 的图象上方的部分对应点的横坐标就是不等式 2x-5＞x-2 的解；（3）一次函数 y1=2x-5 的图象在 y2=x-2 的图象下方的部分对应点的横坐标就是不等式 2x-5＜x-2 的解．总结一次函数与一元一次不等式的关系：从数的角度看

一元一次不等式组导学案

2 x 1 x, x 2 4 x 1.
1 2 x 3 x 5 x 4 x 1
x 5 1 2 x, 3 x 2 4 x.
3x 2 5 x 6 3 2 x 2 x
x 3( x 2) 4 1 2 x 3 x 1
鸡西市第十九中学学案
班级姓名：
学科时间学习目标重点难点
课题一元一次不等式组课型新课七年级下 2013 年月日人教版 1.了解一元一次不等式组和它的解集的概念。 2.掌握一元一次不等式组的解法，会应用数轴不等式组的解集。理解一元一次不等式组解集的概念，掌握不等式组的解法。弄清不等式组的解集四种情况。
x 2 (1) x 3 x 2 (2) x 3 x 2 0 (3) x 3 0 x 2 0 (4) x 3 0
x 2 ⑴ 解集在数轴上表示为： x 3
所以不等式组的解集是_______。
x 2 ⑵ 解集在数轴上表示为： x 3
所以不等式组的解集是_________。
x 2 0 ⑶ 解集在数轴上表示为： x 3 0
所以不等式组的解集是__________。
1
····
····
x 2 0 ⑷ 解集在数轴上表示为： x 3 0
所以不等式组的解集是__________。一元一次不等式组解集的规律：
x 1 3 （4） x 1 3
2 x 1 0 （5） x 1 3
3 x 1 3 （6） 2 x 1 3
3
x35 3x 1 8
2x 0 3x 5 0

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.3基本不等式1课堂导学案新人教A版选修4_52

1.1.3 基本不等式（1）课堂导学三点剖析一、利用基本不等式证明不等式【例 1】 a,b,c∈R ,求证:a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥abc(a+b+c),当且仅当 a=b=c 时取等号. 思路分析:由于 a 4+b 4≥2a 2b 2,说明了运用基本不等式,可以找到左式与中间式的关系.同样地,a 2b 2+b 2c 2≥2ab 2c,而 ab 2c 就是右式中的一项. 证明：∵a 4+b 4≥2a 2b 2,b 4+c 4≥2b 2c 2,c 4+a 4≥2a 2c 2, ∴2(a 4+b 4+c 4)≥2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2), 即 a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2. 又∵a 2b 2+b 2c 2≥2ab 2c, b 2c 2+c 2a 2≥2bc 2a, c 2a 2+a 2b 2≥2a 2bc,∴2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)≥2(ab 2c+bc 2a+a 2bc), 即 a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥abc(a+b+c). 以上各式当且仅当 a=b=c 时取等号. 温馨提示在证明不等式的一些题目时,若有和大于或等于积的形式,可考虑用均值不等式来证明,有时需要多次使用基本不等式才能解决问题.本题中,字母 a,b,c 是可轮换的(即 a→b,b→c,c→a 式子不变),这称为轮换对称式,轮换对称式的证明都可用此技巧. 各个击破类题演练 1已知 a,b,c∈(0,+∞),求证:a 2b 2c 2≥a+b+c.bc a证明:∵a,b,c∈(0,+∞),aa22∴b 2 b =2a.① b bb22b同理,c 2 c =2b,② ccc22c c 2 a =2c,③ aa∴(a 222 )+(a+b+c)≥2(a+b+c).b cb c a ∴a 2b 2c 2 ≥a+b+c.b ca变式提升11设 a,b,c 为不全相等的正数,求证:bc a c a b a b c >3.ab c b ab c c)+(a)-3,证明:左式=( + )+(a bb c c a b aa c ≥2,∵ + ≥2,c b )≥2 a bb c c a又 a,b,c 为不全相等的正数,故等号不可能同时取得,∴( b a + a b)+(c b )+( b c a c )>6. c a因此原不等式成立.二、利用基本不等式证明条件不等式【例 2】已知 x,y>0,且 x+y=1,求证:(1+ 1 x )(1+ 1 y)≥9.思路分析:最突出的一点,要证的不等式中有四个“1”,而已知条件 x+y=1,又一个“1”,如何用好这些“1”呢?证法一:(1+ 1 x )(1+ 1 y)=1+ 1 x + 1 y +1 xy=1+x y y y x x x y xy =3+y 1 1 xx y x y=3+y xx y xx y x y y =5+2(y x )≥5+2× 2 1 =9. x y∴原不等式成立.证法二：(1+ 1 x )(1+ 1 y)= (x 1)(1)(2)(2)52(22)y x y y x xy x yxy xy xy52(x222y)xy25xy xy2∴原不等式成立.证法三:设 x=cos 2θ,y=sin 2θ,θ∈(0, 2),∴(1+1 x )(1+ 1 y)=(2+tan 2θ)(2+cot 2θ)=5+2(tan 2θ+cot 2θ)≥5+2×1 tan 2cot 2 =9.温馨提示在运用基本不等式时,活用“1”,巧用“1”,解法就会非常简洁. 类题演练 2已知 x>0,y>0,且 x+4y=1,求证:(1)4 =8+16 1 yx y x x y; (2)4 ≥16. 1 x y 证明:(1)∵x+4y=1,44 1 161 y∴() =8+x y x y x x y, 即 4 =8+16 1 y x y xx y ;.(2)法一:∵x>0,y>0,且由(1)可知 4 x 18 16y x 8 216y1 8 16y x 82 16y y x y xx y =16, 即有4 ≥16. 1 x y法二:∵x>0,y>0,x+4y=1, ∴ 41 ≥4 11 24,x yx y xyx+4y≥ x4y4 xy .∴(41)(x+4y)≥16·1xyx y xy=16.∴4≥16.1x y变式提升23已知a>0,b>0,a+b=1,求证:11a b≤2.22证明:∵12111aa 1(a ),2221111b2b1(b ),222∴11a b≤2212(1+a+12+1+b+12)=2,当且仅当a=b=12时取等号.∴原不等式成立.三、利用基本不等式解决某些综合问题1t 1【例3】设a>0,a≠1,t>0,试比较log a t与log a 的大小.22t 1思路分析:两式先化为同底对数log a t与log a，由于t>0,应用均值不等式知2t 12≥t，下一步只要运用对数函数y=log a x的单调性，就可以比较它们的大小了.t 1解:∵t>0,由均值不等式得≥t,当且仅当t=1时取等号.2t 1当t=1时，log a =log a t,2t 11即log a = log a t;22t 1当0<t≠1时，> t.2当0<a<1时，函数y=log a x是减函数，t1t11∴log a <log a t,即log a < log a t;当a>1时，函数y=log a x是增函数,222t1t11∴log a > log a t.>log a t,即log a2221t1综上所述，当0<a<1时，log a t≥log a ;2 21t1当a>1时，log a t≤log a .2 2温馨提示函数式的大小比较,除了利用求差比较法或均值不等式定理比较之外,还要注意应用函数的重要性质——单调性.指数函数,对数函数因底数范围不同,而单调性不同,要注意分类讨论. 类题演练34已知 x,y,z 是互不相等的正数，且 x+y+z=1.试比较( 1 x -1)( 1 y -1)( 1 z-1)与 8的大小关系.解析:1 x-1=x1 y z y x x z x ,1 y-1=x 1 y z x y yz y , 1 z-1=x 1 y z x z z z y , ∴( 1 x -1)( 1 y -1)( 1 z-1)=yx 2 2 2 z x z y yz xz x y z x yxy z=8. ∵x,y,z 是互不相等的正数， ∴上式中取不到等号，即( 1 x -1)( 1 y -1)( 1 z-1)>8.变式提升 3已知关于 x 的方程 log a (x-3)=-1+log a (x+2)+log a (x-1)有实根，求实数 a 的取值范围.x解析:由x x3 210, 0, 0.得 x>3.方程可化为 a(x-3)=(x+2)(x-1),(x 2)(x1)10∴a==x-3++7≥7+ 2 10x 3x 310当且仅当x-3=,即x=3+ 10时取等号.x3故当方程有解时，a的取值范围是［7+210,+∞).5。

高中数学必修五第三章不等式导学案

以上结论反过来也成立，即 a>b⇔ ； a＝b⇔ ；a<b⇔ . 探究比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形 →判断差的符号→下结论．＋例如，已知 a，b∈R .试利用作差法比较 a3＋b3 与 a2b＋ab2 的大小．探究点二不等式的基本性质问题 1 在实数大小比较的基础上，可以给出不等式 8 条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质．请借助前面的性质证明性质 6：如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac＞bd. 问题 2 初学者对不等式的 8 条基本性质往往重视不够，其实不等式的基本性质是不等式变形(证明不等式和求解不等式)的重要依据．请解下面这个简单的一元一次不等式，体会并证明不等式基本性质的应用． 1 3 2 1 解不等式：－ x＋ < x－ . 6 4 3 12
如果 a－b 等于零，那么
.
【知识要点】
1．不等式：用数学符号<，≤，>，≥或≠表示式子叫做不等式． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换大于 > 小于 < 大于等于 ≥ 小于等于 ≤ 的
至多 ≤
至少 ≥
不少于 ≥
不多于 ≤ ，那么 a<b，
3．比较实数 a，b 大小的依据（1）文字叙述：如果 a－b 是，那么 a>b；如果 a－b 等于，那么 a＝b；如果 a－b 是反过来也对．（2）符号表示:a－b>0⇔ ;a－b＝0⇔ ;a－b<0⇔ . 4．常用的不等式的基本性质（1）a>b⇔b a(对称性)；（2）a>b，b>c⇒ a c(传递性)；（3）a>b⇒ a＋c b＋c(可加性)；（4）a>b，c>0⇒ ac bc；a>b，c<0⇒ ac bc；（5）a>b，c>d⇒ a＋c b＋d；（6）a>b>0，c>d>0⇒ ac bd；（7）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ an bn；（8）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ n a n b.

一元一次不等式导学案

第43次课代入法解二元一次方程组教学目标重点难点会判断什么是一元一次不等式；会解一元一次不等式，并会在数轴上表示不等式的解集。

学习重点：解一元一次不等式的步骤（会解一元一次不等式）。

学习难点：解不等式每个步骤中要注意的问题。

作业课前检查作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_____________________________把今天做过的试题再仔细的写一遍达到非常熟练的地步。

1、学习过程：不等式的基本性质（1）不等式的两边同加上（或减去）同一个整式，不等号的方向；（2）不等式的两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向；（3）不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向；1、复习加新课不等式的解集x不等式的解集x（3）x>3 用数轴表示：（4） x ≤ 5 用数轴表示：2、一元一次不等式的概念前面的学习遇到的不等式有一个共同的特点：它们都只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1。

像这样的不等式叫做3、判断下列式子是否一元一次不等式：（是的打√，否的打╳）（1）7>4 （2） 3x ≥ 2x+1 （3）02 x （4） x+y>1 （5）x 2+3>2x二、分层练习（A 层）1、解下列的一元一次不等式（并在数轴上表示出来，自己画数轴）（1）x －5<0 （2）x+3 ≥ 4(3) 3x > 2x+1 (4) -2x+3 >-3x+12、解下列的一元一次不等式 (前面两题在数轴上表示出来)(1) 2x > 1 (2) –2x ≤ 1 (3) 2x > -13、解下列的一元一次不等式（1）2（x+3）<7 (2) 3x －2（x+1）>0(3) 3x －2（x －1）>0 (4) －(x －1)>04、下列的一元一次不等式(1)32x x > （2）1213>++x x（3）123>-x x （4）132212>--+x x1.行程问题：(1)；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

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