高考中的概率、统计问题

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高考概率统计文科知识点

高考概率统计文科知识点在文科高考中，概率统计是一个重要的考试内容。

理解和掌握概率统计的知识点对于应对考试至关重要。

下面将介绍一些高考概率统计的文科知识点。

一、概率的基本概念概率是指在某个事物中某个事件发生的可能性大小。

在高考文科中，概率的基本概念主要包括样本空间、随机事件、事件的概率等。

1.1 样本空间样本空间是指一个试验所有可能结果的集合。

例如，一次掷骰子的样本空间为S={1,2,3,4,5,6}。

1.2 随机事件随机事件是指在试验中可能发生的事件。

在样本空间中取一个子集，就表示一个随机事件。

例如，掷骰子出现奇数点数可以表示为A={1,3,5}。

1.3 事件的概率事件的概率是指事件发生的可能性大小。

事件A的概率可以用P(A)表示。

例如，在掷骰子实验中，掷出1的概率为P(A)=1/6。

二、基本概率公式高考文科中，基本概率公式主要包括加法公式和乘法公式。

2.1 加法公式加法公式是指对于两个不相容事件A和B，它们的概率之和等于事件A或B发生的概率。

公式如下：P(A∪B) = P(A) + P(B)，其中∪表示并集。

2.2 乘法公式乘法公式是指对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于事件A发生的概率乘事件B发生的概率。

公式如下：P(A∩B) = P(A) * P(B)，其中∩表示交集。

三、条件概率和独立性在概率统计中，条件概率和独立性是两个重要的概念。

3.1 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

设A和B是两个事件，且P(A)>0，那么B在A发生的条件下的概率记作P(B|A)，计算公式为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。

3.2 独立性两个事件A和B相互独立，是指事件A的发生与否不影响事件B的发生与否。

具体而言，如果满足以下条件，则称事件A和B是独立事件：P(A∩B) = P(A) * P(B)。

四、排列组合在高考概率统计中，排列组合是非常重要的知识点。

高考数学概率与统计题型解析与答题技巧

高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。

对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。

下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。

一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。

它的特点是试验结果有限且等可能。

例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。

答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。

然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。

2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。

常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。

比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。

答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。

例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。

然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。

3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。

题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。

答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。

4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。

答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。

二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。

高考文科概率统计大题

高考文科概率统计大题高考文科概率统计大题一、引言高考作为中国教育体系的重要组成部分，对于学生来说意义重大。

其中，文科概率统计是一道常见的考题，对学生的数学思维能力和概率统计知识的掌握程度提出了挑战。

本文将从基本概念、计算方法和实际应用三个方面来探讨高考文科概率统计大题。

二、基本概念在开始解答概率统计大题之前，首先需要了解一些基本概念。

概率是指某一事件发生的可能性或者程度大小，而统计学则是利用样本数据推断总体的特征。

在解答概率题时，常见的概念包括样本空间、事件、频率和概率等。

理解这些基本概念，能够为我们后续的计算和分析打下基础。

三、计算方法在文科概率统计大题中，计算方法是解决问题的关键。

常见的计算方法包括排列、组合、加法原理、乘法原理等。

通过正确运用这些方法，我们可以快速准确地计算出答案。

此外，还需要掌握条件概率、贝叶斯定理等进阶计算方法，以应对更复杂的问题。

不同的计算方法适用于不同的场景，学生们需要掌握并善于选择合适的方法。

四、实际应用概率统计在实际生活中有着广泛的应用。

在文科概率统计大题中，常涉及到投资、风险评估、信用评分、调查统计等实际问题。

学生们需要通过解答这些实际应用题，了解并应用概率统计在现实生活中的重要性和实用性。

此外，还需要培养对问题分析和解决的能力，将概率统计知识与实际应用相结合。

五、答题技巧解答概率统计大题不仅要掌握基本概念和计算方法，还需要具备一定的答题技巧。

首先，学生们要仔细审题，理解问题要求和限制条件；其次，要对题目进行归类，将抽象问题具象化；还要善于利用已知条件，简化计算过程。

另外，还要注意答题过程中的合理化推测和合理性判断，确保答案的准确性。

六、总结综上所述，高考文科概率统计大题是一道考察学生数学思维和概率统计知识的重要题目。

通过理解基本概念、熟练掌握计算方法、应用实际问题和灵活应用答题技巧，学生们便能够在高考中应对这一考题。

希望本文的内容能够对广大考生在备战高考中有所帮助，实现更好的成绩。

高考概率大题及答案

高考概率大题及答案1.某市高中毕业生中有80%选择进入大学，20%选择就业。

已知选择就业的学生中，70%在第一年获得满意的工作，而选择进入大学的学生中，80%在第一年获得满意的工作。

现从该市高中毕业生中任选一人，问他第一年获得满意工作的概率是多少？解答：由全概率公式可知，某毕业生获得满意工作的概率可以分为两种情况：1）选择就业的情况下获得满意工作的概率：0.2 × 0.7 = 0.14 2）选择进入大学的情况下获得满意工作的概率：0.8 × 0.8 = 0.64因此，获得满意工作的总概率为：0.14 + 0.64 = 0.78所以，任选一人的第一年获得满意工作的概率为0.78。

2.一批产品某种型号有20%的不合格品。

现从中任意抽取2个进行检查，问两个都是合格品的概率是多少？解答：抽取两个产品都是合格品的概率可以通过计算来得到。

首先，第一次抽取的产品是合格品的概率为80%（不合格品的概率为20%）。

而第二次抽取的产品也是合格品的概率会受到第一次抽取的影响。

因为第一次抽取合格品后，剩下的产品中合格品的比例会减少。

假设第一次抽取合格品后，剩下的产品中有a个合格品和b个不合格品，则第二次抽取的产品也是合格品的概率为a/(a+b)。

因此，两个都是合格品的概率为：0.8 × (a/(a+b))具体数值需要根据实际情况来计算。

3.某门考试的通过率为60%，现已知通过考试的学生中，有70%是靠自己的努力而没有借助辅导班；而未通过考试的学生中，有30%是通过辅导班的帮助提高的。

现从所有参加考试的学生中任意选取一人，问他通过考试并没有借助辅导班的概率是多少？解答：通过考试并没有借助辅导班的概率可以分为两种情况：1）通过考试的学生中靠自己的努力的概率：0.6 × 0.7 = 0.42 2）通过辅导班帮助提高通过考试的概率：0.4 × 0.3 = 0.12因此，通过考试并没有借助辅导班的总概率为：0.42 + 0.12 = 0.54所以，任选一人通过考试并没有借助辅导班的概率为0.54。

高考数学中的概率与统计

高考数学中的概率与统计在高考数学中，概率与统计是两个非常重要的概念。

概率是指某件事情发生的可能性，而统计则是通过数据分析找出事情的规律。

本文将介绍高考中的概率和统计内容，以及对于考生应该如何应对这些考点。

一、概率概率是高考数学中的重点之一，它涉及到很多基本概念和计算方法。

我们先来看看常见的概率问题：1. 定义概率：概率是指某事件发生的可能性，通常用一个介于0 到 1 之间的数字表示。

比如说，掷一枚骰子，出现 1 的概率是1/6，出现偶数的概率是 3/6=1/2。

2. 事件的互斥：如果两个事件不能同时发生，就称它们互斥。

比如说，掷一枚骰子，出现 1 和出现 2 是互斥的事件。

此时它们的概率可以简单地相加。

3. 事件的独立：如果两个事件的发生不会互相影响，就称它们独立。

比如说，掷两枚骰子，第一枚出现 1 的概率是 1/6，第二枚出现 2 的概率也是 1/6。

此时出现 1 和 2 的概率就是它们的乘积。

4. 条件概率：条件概率是指在已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的可能性。

比如说，从一副扑克牌中取出一张牌，它是红桃的概率是 1/4，如果告诉你它是一张面值为 A 的牌，那么这张牌是红桃的概率就变成了 1/2。

考生在备考概率时，需要将这些基本概念掌握清楚，并能够结合具体问题来进行计算。

此外，还需要注意一些细节问题，比如说事件是否独立、概率的范围等等。

二、统计统计是高考数学中的另一个重要考点，它用来描述数据的分布规律和相关性。

常见的统计问题有：1. 统计指标：统计学有很多指标，比如说平均数、中位数、众数、标准差等等。

这些指标用来描述数据的各种特征，可以通过计算得出。

2. 直方图：直方图是一种常用的数据可视化工具。

它将一段数据区间划分为若干个子区间，并计算每个子区间的数据量，然后将它们用矩形图形表示出来。

通过直方图可以看出数据的分布规律，比如说是否呈正态分布等等。

3. 散点图：散点图可以用来表示两个变量之间的关系。

高考统计概率题型的解题方法

高考统计概率题型的解题方法高考统计与概率题型是数学考试中的一个重要部分，涉及到了统计概率的基本概念和计算方法。

在解决这类题目时，需要掌握一定的理论知识和解题技巧。

本文将从概率的基本概念、统计的基本概念和解题方法三个方面进行详细介绍，希望能够帮助广大考生更好地应对高考中的统计与概率题型。

一、概率的基本概念1.1概率的定义概率是统计学中的一个重要概念，指的是某一事件发生的可能性大小。

通常用P(A)表示事件A发生的概率，概率的取值范围在0到1之间，即0≤P(A)≤1。

1.2事件的互斥与独立在概率理论中，事件的互斥和独立是两个重要概念。

互斥事件指的是两个事件不能同时发生，如果事件A发生了，则事件B必定不会发生；独立事件指的是两个事件相互不影响，即事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率。

1.3条件概率条件概率是指在已知另一事件发生的条件下，某一事件发生的概率。

通常用P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

1.4排列与组合排列和组合是概率计算中常用的数学方法。

排列指的是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定顺序排成一列的不同方式的总数，通常用P(n,m)表示；组合指的是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不计顺序的所有可能的方式的总数，通常用C(n,m)表示。

以上是概率的基本概念，掌握这些知识对于解决高考中的统计与概率题型至关重要。

接下来将介绍统计的基本概念。

二、统计的基本概念2.1数据的分类在统计学中，数据可以分为定性数据和定量数据两类。

定性数据指的是用文字描述的数据，如性别、颜色等；定量数据指的是用数字表示的数据，如身高、体重等。

2.2统计图表统计图表是用图形来表示统计数据的工具，常见的统计图表包括柱状图、折线图、饼图等。

掌握这些图表的绘制方法和数据的解读对于解决统计题型十分重要。

2.3参数与总体在统计学中，参数是指总体的特征数值，通常用μ表示；总体是指研究对象的全体，也可以理解为所有可能的个体的集合。

高考大题规范解答—概率统计

分)
8
xi－－x yi－－y
i＝1
＝
8
xi－－x 2
8
yi－－y 2
i＝1
i＝1
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
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由于|r|>0.75 且 r 非常接近 1，所以 y 与 x 具有很强的线性相关关系．(5 分)
8
^ i＝1
经计算可得b＝
xi－－x
yi－－y
8
11×335＝670.(12 分)
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
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4．(2024·云南三校联考)(12分)某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸(单位：mm)得到如下统计表，其中尺寸位于[55,58)的零件为一等品，位于[54,55)和[58,59)的零件为二等品，否则零件为三等品.
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第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
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P(X＝500)＝P(A)P(C1)＝185×CC2624＝24285＝7156，(9 分) 所以 X 的分布列是：
X 0 100 400 500
P
7 75
71 225
17 45
16 75
E(X)＝0×775＋100×27215＋400×4157＋500×7156＝28913.(12 分)
x3
3
4
5
5
6
6
8
y 10 12 13 18 19 21 24 27
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

高考数学概率统计题型归纳

高考数学概率统计题型归纳高考数学中的概率统计是一个重要的考点，其题型多样，涵盖了众多知识点。

为了帮助同学们更好地应对高考中的概率统计题目，下面对常见的题型进行归纳和分析。

一、古典概型古典概型是概率统计中最基本的题型之一。

其特点是试验中所有可能的结果有限，且每个结果出现的可能性相等。

例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。

解决这类问题的关键是要准确计算基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数。

在上述例子中，基本事件的总数可以通过组合数计算，即从 8 个球中取出 2 个球的组合数；所求事件包含的基本事件数为从 5 个红球中取出 2 个球的组合数。

然后用所求事件包含的基本事件数除以基本事件的总数，即可得到所求概率。

二、几何概型几何概型与古典概型的区别在于试验的结果是无限的。

通常会涉及到长度、面积、体积等几何度量。

比如，在区间0, 5上随机取一个数，求这个数小于 2 的概率。

解决几何概型问题时，需要确定几何区域的度量，并计算出所求事件对应的几何区域的度量，最后用所求事件对应的几何区域的度量除以总的几何区域的度量，得到概率。

三、相互独立事件与条件概率相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。

例如，甲、乙两人分别独立射击，甲击中目标的概率为 08，乙击中目标的概率为 07，求两人都击中目标的概率。

条件概率则是在已知某个事件发生的条件下，求另一个事件发生的概率。

比如，已知某班级男生占 60%，女生占 40%，男生中优秀的比例为30%，女生中优秀的比例为 20%，现从班级中随机抽取一名学生为优秀，求这名学生是男生的概率。

对于相互独立事件，其概率的计算使用乘法公式；对于条件概率，使用条件概率公式进行计算。

四、离散型随机变量离散型随机变量是指取值可以一一列出的随机变量。

常见的离散型随机变量有二项分布、超几何分布等。

二项分布是指在 n 次独立重复试验中，某事件发生的次数 X 服从二项分布。

高考概率统计题

高考概率统计题在高中数学课程中，概率统计是一个重要的内容。

学生通过学习概率统计，可以了解到数据的搜集、整理和分析方法，以及如何利用概率来解决实际问题。

高考中经常会出现与概率统计相关的题目，本文将对高考概率统计题进行详细介绍。

一、排列组合与概率统计排列组合是概率统计的基础知识之一，常常与概率统计题结合考查。

在高考中，排列组合与概率统计题的形式多种多样，包括求排列组合的个数、概率问题等。

例如，一道高考题目如下：某小组由7名男生和5名女生组成。

从这个小组中随机抽取4名学生组成一个理科班，问这个班里有1名女生和3名男生的概率是多少？解答这道题可以用排列组合的方法来求解。

根据条件，从7名男生中选取3名男生的人数选择有C(7, 3)种方式；从5名女生中选取1名女生的人数选择有C(5, 1)种方式。

因此，总共的抽取方式有C(7, 3) ×C(5, 1)种，而从总体12名学生中抽取任意4名学生的方式有C(12, 4)种。

所以，所求的概率为C(7, 3) × C(5, 1) / C(12, 4)。

二、事件与概率在概率统计中，我们会遇到概率的基本概念，如事件、样本空间和概率等。

高考中经常考察事件的概念，以及事件之间的运算和概率计算。

例如，一道高考题目如下：有10个白球和4个黑球放在一个红盒子里，现在从盒子中随机取出3个球，问其中至少有一个黑球的概率是多少？解答这道题可以通过计算“不可能事件”的概率，并用1减去该概率来求解。

不可能事件即三个白球，计算方式为C(10, 3) / C(14, 3)。

所以，所求的概率为1 - C(10, 3) / C(14, 3)。

三、条件概率与贝叶斯定理在高考概率统计题中，经常会出现条件概率和贝叶斯定理的考查。

条件概率即在某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

贝叶斯定理是由条件概率推导得到的重要公式。

例如，一道高考题目如下：某班有60%的学生擅长篮球，20%的学生擅长足球，擅长两项运动的学生占全班的10%，从班级中随机选择一个学生，问这个学生擅长篮球的概率是多少？解答这道题需利用贝叶斯定理来求解。

高考中的概率和统计问题

1．春节前夕，质检部门检查一箱装有2 500件包装食品的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是( )A ．总体是指这箱2 500件包装食品B ．个体是一件包装食品C ．样本是按2%抽取的50件包装食品D ．样本容量是50 答案 D解析总体、个体、样本的考查对象是同一事，不同的是考查的范围不同，在本题中，总体、个体是指食品的质量，而样本容量是样本中个体的包含个数．故答案为D.2．在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是( )A.π8B.π4C.π6D.π2 答案 B解析依题意可行域为正方形AOCD ，输出数对(x ，y )形成的图形为图中阴影部分，故所求概率为：P ＝14π⎝⎛⎭⎫22222·22＝π4.3．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 答案 C解析 ∵P (ξ<4)＝0.8， ∴P (ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x ＝2， P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.4．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78 答案 C 解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，如图所示．所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.5.为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得到茎叶图如图所示．从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派________(填甲或乙)运动员合适．答案甲解析根据茎叶图，可得x 甲＝16×(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，x 乙＝16×(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85.s 2甲＝16×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝1333， s 2乙＝16×[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝1393. 因为x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲运动员的成绩比较稳定，选派甲运动员参赛比较合适．题型一古典概型与几何概型例1 (1)(2015·陕西)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π答案 B解析由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π.(2)有9张卡片分别写着数字1,2,3,4,5,6,7,8,9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片(不放回)，试求： ①甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率； ②甲、乙二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的概率．解 ①甲、乙二人依次从9张卡片中抽取一张的可能结果有C 19·C 18，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的结果有C 15·C 14种，设“甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片”的概率为P 1，则P 1＝C 15·C 14C 19·C 18＝2072＝518.②方法一甲、乙二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的事件包含下面的三个事件：“甲抽到写有奇数数字的卡片，乙抽到写有偶数数字的卡片”有C 15·C 14种； “甲抽到写有偶数数字卡片，且乙抽到写有奇数数字卡片”有C 14·C 15种； “甲、乙二人均抽到写有奇数数字卡片”有C 15·C 14种．设甲、乙二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的概率为P 2，则P 2＝C 15·C 14＋C 14·C 15＋C 15·C 14C 19C 18＝6072＝56. 方法二甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的对立事件为两人均抽到写有偶数数字卡片，设为P 2，则P 2＝1－P 2＝1－C 14C 13C 19C 18＝56.思维升华几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．(1)为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求： ①甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；②决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X ，求X 的分布列和均值．解 ①设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A ，则P (A )＝A 22×A 44A 66＝115.所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115.②随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝A 22×A 55A 66＝13，P (X ＝1)＝4×A 22×A 44A 66＝415，P (X ＝2)＝A 24×A 22×A 33A 66＝15， P (X ＝3)＝A 34×A 22×A 22A 66＝215，P (X ＝4)＝A 44×A 22A 66＝115. 随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1341515215115因此，E (X )＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.(2)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分．所求概率区间应满足2b ≤a .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.题型二求离散型随机变量的均值与方差例2 (2015·四川)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和均值．解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为 1－1100＝99100. (2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3，P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为X 1 2 3 P153515因此，X 的均值为E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3) ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.思维升华离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如二点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x (年)0<x ≤1 1<x ≤2 x >2 0<x ≤2 x >2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 1 1 2 3 P125350910X 2的分布列为X 2 1.8 2.9 P110910(3)由(2)得E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)， E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．题型三概率与统计的综合应用例3 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的均值．解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X <130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为T 45 000 53 000 61 000 65 000 P0.10.20.30.4所以E (T )＝45 000×0.1＋思维升华概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．甲组乙组 9 9 0 X 8 9 111(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和均值． (注：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10，所以平均数x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差s 2＝14[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116. (2)当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14，P (Y ＝19)＝14，P (Y ＝20)＝14，P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的分布列为Y 17 18 19 20 21 P1814141418E (Y )＝17×18＋18×14＋19×14＋20×14＋21×18＝19.题型四概率与统计案例的综合应用例4 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、均值E (X )和方差D (X )．附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，解 (1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25， “非体育迷”人数为75，从而2×2列联表如下：将2×2列联表的数据代入公式计算： χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(30×10－45×15)245×55×75×25＝10033≈3.030. 因为2.706<3.030<3.841，所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意，X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝3×14＝34，D (X )＝np (1－p )＝3×14×34＝916.思维升华统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．为了解大学生观看湖南卫视综艺节目“快乐大本营”是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：喜欢看“快乐大本营”不喜欢看“快乐大本营”合计女生 5 男生 10 合计50若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析，知道其中喜欢看“快乐大本营”的有6人．(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为喜欢看“快乐大本营”节目与性别有关？说明你的理由；(3)已知喜欢看“快乐大本营”的10位男生中，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5还喜欢看新闻，B 1，B 2，B 3还喜欢看动画片，C 1，C 2还喜欢看韩剧，现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求B 1和C 1不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：P (χ2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解 (1)由分层抽样知识知，喜欢看“快乐大本营”的同学有50×610＝30人，故不喜欢看“快乐大本营”的同学有50－30＝20人，于是可将列联表补充如下：喜欢看“快乐大本营”不喜欢看“快乐大本营”合计女生 20 5 25 男生 10 15 25 合计302050(2)∵χ2＝50×(20×15－10×5)230×20×25×25≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握认为喜欢看“快乐大本营”节目与性别有关．(3)从喜欢看“快乐大本营”的10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有N ＝5×3×2＝30个，用M 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件M 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于M 由(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 4，B 1，C 1)，(A 5，B 1，C 1)5个基本事件组成，所以P (M )＝530＝16.由对立事件的概率公式得 P (M )＝1－P (M )＝1－16＝56.(时间：80分钟)1．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.1 7 92 0 1 5 3(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．解 (1)样本平均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633.2．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求： (1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和均值； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k7(k ＝0,1,2,3)，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是X 的均值E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3，由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340.P (A 2)＝P (X ＝2)＝740.P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120.3．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解 (1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)，所以P (z ＝4)＝216＝18.(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.4．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设X 为重量超过505克的产品数量，求X 的分布列．解 (1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12(件)． (2)依题意，Y 的可能取值为0,1,2. P (Y ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 128C 112C 240＝2865，P (Y ＝2)＝C 212C 240＝11130，∴Y 的分布列为Y 0 1 2 P63130286511130(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3，令X 为任取的2件产品中重量超过505克的产品数量，则X ～B (2,0.3)， ∴X 的分布列为X 0 1 2 P0.490.420.095．如图所示，一圆形靶分成A ，B ，C 三部分，其面积之比为1∶1∶2.某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．(1)求该同学在一次投掷中投中A 区域的概率；(2)设X 表示该同学在3次投掷中投中A 区域的次数，求X 的分布列；(3)若该同学投中A ，B ，C 三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率．解 (1)设该同学在一次投掷中投中A 区域的概率为P (A )，依题意得P (A )＝14.(2)依题意知，X ～B (3，14)，从而X 的分布列为(3)设B i 表示事件“第i 次击中目标时，击中B 区域”，C i 表示事件“第i 次击中目标时，击中C 区域”，i ＝1,2,3.依题意知P ＝P (B 1C 2C 3)＋P (C 1B 2C 3)＋P (C 1C 2B 3)＝3×14×12×12＝316.6．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生： (1)得60分的概率；(2)所得分数X 的分布列和均值．解 (1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A ，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B ，“有一道题不理解题意”选对为事件C ， ∴P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，∴得60分的概率为P ＝12×12×13×14＝148.(2)X 可能的取值为40,45,50,55,60. P (X ＝40)＝12×12×23×34＝18；P (X ＝45)＝C 12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748； P (X ＝50)＝12×12×23×34＋C 12×12×12×13×34＋C 12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748； P (X ＝55)＝C 12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748； P (X ＝60)＝12×12×13×14＝148.X 的分布列为E (X )＝40×18＋45×1748＋50×1748＋55×748＋60×148＝57512.。

高考统计概率题型的解题方法

高考统计概率题型的解题方法高考统计概率题型通常涉及到概率、期望和抽样等内容。

解题的方法和思路决定了我们能否高效地解决这些题目。

下面我将介绍一些常用的解题方法，希望对您有所帮助。

一、概率问题的解题方法1.事件的概率计算在解决概率问题时，首先要确定所求事件的概率。

概率可以表示为“事件发生的次数/总的可能次数”。

有以下几种常见情况：-均匀概率问题：即各事件发生的概率相等。

此时，所求事件的概率等于所求事件发生的次数/总的可能次数。

-条件概率问题：即事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率。

此时，所求事件的概率等于事件A与事件B同时发生的次数/事件B发生的次数。

-独立事件概率问题：即事件A和事件B相互独立，互不影响。

此时，所求事件的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。

2.用排列组合解决问题有些概率问题中，可能涉及到多个选择，这时可以使用排列组合的方法来解决。

-排列：表示从n个元素中取出m个元素按照一定顺序排列的数目。

计算排列数的公式为：P(n,m)=n!/(n-m)!-组合：表示从n个元素中取出m个元素，不考虑其排列顺序的情况。

计算组合数的公式为：C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)二、期望问题的解题方法1.期望的定义期望是一个随机变量在长期重复试验中出现的平均现象，通常用E 表示。

对于离散型随机变量，其期望可以表示为：E(X)=∑(x*p(x))，其中x为取值，p(x)为该值出现的概率。

对于连续型随机变量，期望可以用积分的形式表示。

2.期望的性质-线性性质：设X，Y为两个随机变量，a，b为常数，则E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。

-期望的非负性：对于任意的随机变量X，有E(X)>=0。

-期望的加法性质：对于任意的随机变量X，Y，有E(X+Y)=E(X)+E(Y)。

三、抽样问题的解题方法1.抽样方法在抽样问题中，常见的有放回抽样和不放回抽样两种方法。

-放回抽样：即每次抽到一个元素后，将抽到的元素放回到总体中。

“概率与统计”在高考中的定位与考查研究

“概率与统计”在高考中的定位与考查研究概率与统计作为数学的一个分支，在高考中占据着重要的地位。

它帮助我们从数据中提取信息、做出合理的判断和推断，从而在实际问题中做出正确的决策。

本文将探讨概率与统计在高考中的定位和考查方式，并分析其在培养学生的数学素养和实际应用能力方面的作用。

首先，我们来看看概率与统计在高考中的定位。

根据高考数学课程标准，概率与统计占高考数学试卷的20-25%。

这一比例表明，概率与统计在高考中所占的权重是相当大的。

这也说明了教育部门对概率与统计的重视程度，意图通过培养学生在概率与统计方面的能力，提高他们解决实际问题的能力。

然而，概率与统计的考查方式一直是考生和教师们比较关注的问题。

在过去，高考试题往往强调计算，而现在，高考试题普遍偏向于应用。

这体现了教育部门对概率与统计能力的重视，希望学生能够运用所学知识解决实际问题。

因此，概率与统计在高考中的考查方式更注重学生的综合运用能力，而不仅仅是对概率与统计知识点的简单梳理。

这对于学生来说，既是一种挑战，也是一种机遇。

他们需要具备一定的数学思维和解决问题的能力，才能在高考中取得好成绩。

概率与统计在高考中的考查方式不再依赖于记忆和机械计算，更强调学生的创新和探究能力。

考生需要通过对问题的分析和理解，运用所学的概率与统计知识，进而解决问题。

这就要求学生能够将概率与统计的概念和方法融会贯通，形成自己的思维方式和解决问题的方法。

而这种能力的培养，需要从教学中注重培养学生的分析和解决问题的能力，通过启发式的教学方法，引导学生主动思考，培养他们的创新能力。

除了对考试的考查意义，概率与统计在高考中的定位还与培养学生的数学素养和实际应用能力密切相关。

概率与统计所涉及的问题通常是现实生活中需要解决的，例如调查、统计人口、预测天气等等。

通过学习概率与统计，学生可以培养自己的数据分析和解决实际问题的能力，以更好地适应社会发展的需求。

概率与统计还可以帮助学生培养自己的逻辑思维和判断能力，通过数据和概率的分析，学会做出合理的决策。

理解高考数学中的概率与统计

理解高考数学中的概率与统计高考数学是每位学生都必须面对的一门重要科目。

其中，概率与统计是数学中一个重要的分支，也是高考中的一个重点内容。

理解概率与统计的原理和方法，对于学生们正确解答相关题目、提高成绩至关重要。

本文将深入探讨高考数学中的概率与统计，帮助学生们更好地理解这一过程。

概率与统计是数学中的两个重要概念。

概率主要研究随机事件的发生规律性，而统计则涉及到对大量数据进行收集、整理、分析和解释的过程。

在高考数学中，概率与统计是相辅相成、联系紧密的内容。

理解概率与统计的基本原理和运用方法，对于正确解答高考相关的数学题目至关重要。

在概率方面，学生们需要掌握概率的定义、性质和基本运算法则。

概率的定义是指某个事件发生可能性的大小，通过计算某个事件发生的可能性，可以帮助学生们做出合理的判断。

在高考中，概率问题常常涉及到计算事件的概率、独立事件的概率以及逆概率等。

学生们在解答这类问题时，需要仔细审题，将问题转化为数学模型，利用相关的概率公式进行计算。

在统计方面，学生们需要了解数据的收集、整理和展示方法。

数据的收集是指通过调查、抽样等方法获取一定数量的样本数据，以反映总体的特征。

在高考中，统计问题常常涉及到数据的收集和整理。

学生们需要学会选择适当的调查方法，并正确地收集数据。

接下来，学生们需要对收集到的数据进行整理和分析，以得出相关的结论。

统计问题还可能涉及到用图表展示数据、计算均值和方差等内容。

在解答这类问题时，学生们需要熟悉统计学中的常用图表、计算方法和数学公式。

概率与统计在高考数学中往往与其他知识点交叉出现，需要学生们综合运用所学的知识。

在解答相关题目时，学生们需要综合考虑各个因素，并灵活运用概率与统计的原理和方法。

为了更好地掌握概率与统计，学生们可以通过做相关的练习题、参加模拟考试、请教老师或者参加培训班等方式进行复习与提高。

总结起来，理解高考数学中的概率与统计对于学生们正确解答相关题目、提高成绩至关重要。

高考全国卷中概率与统计问题的考向分析

ʏ湖南省郴州市第一中学李强概率是高考必考内容,着重考查同学们的阅读能力与获取信息能力,考查热点问题主要有古典概型,互斥事件,对立事件,相互独立事件的概率求法,条件概率,离散型随机变量的分布列,二项分布,超几何分布,正态分布等㊂近几年的概率与统计试题,大多以现实生活为背景,注重知识的综合应用,作为考查实践能力的重要载体,命题者要求考生会收集㊁整理㊁分析数据,能从大量数据中提取有用的信息,建立数学模型,从而利用数学原理与数学工具解决实际问题㊂考查同学们的逻辑推理㊁数据分析㊁数学运算㊁数学建模等核心素养㊂考向一㊁古典概型的概率计算与相关概念例1 (多选题)如图1所示,是一个3ˑ3九宫格,现从这9个数字中随机挑出3个图1不同的数字,记事件A 1:恰好挑出的是1,2,3;记事件A 2:恰好挑出的是1,4,7;记事件A 3:挑出的数字里含有数字1㊂下列说法正确的是( )㊂A.事件A 1,A 2是互斥事件B .事件A 1,A 2是独立事件C .P (A 1|A 3)=P (A 2|A 3)D .P (A 3)=P (A 1)+P (A 2)解析:对于选项A :挑出的是1㊁2㊁3和挑出的是1㊁4㊁7两个事件不可能同时发生,故A 正确;对于选项B :事件A 1,A 2不是独立事件,故B 错误;对于选项C :P (A 1|A 3)=P (A 1A 3)P (A 3)=1C 39P (A 3),P (A 2|A 3)=P (A 2A 3)P (A 3)=1C 39P (A 3),所以P (A 1|A 3)=P (A 2|A 3),故C 正确;对于选项D :因为P (A 3)=C 11C 28C 39,P (A 1)=1C 39,P (A 2)=1C 39,所以P (A 3)ʂP (A 1)+P (A 2),故D 错误㊂故选A C ㊂评注:本题以古典概型概率的计算,以及概率中互斥事件㊁独立事件的概念为载体,结合排列组合有关知识,解答的关键是对概念的清晰理解和条件概率公式的掌握,主要考查同学们的运算求解与推理论证能力㊂考向二㊁条件概率公式㊁全概率公式例2 (多选题)已知编号为1,2,3的三个盒子,其中1号盒内装有两个1号球,一个2号球和一个3号球;2号盒内装有两个1号球,一个3号球;3号盒内装有三个1号球,两个2号球㊂若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球,将取出的球放入与球同编号的盒子中,第二次从该盒子中任取一个球,则下列说法正确的是( )㊂A.如果将10个相同的小球放入这三个盒子内,允许有空盒子,则不同的放法有36种B .第二次抽到3号球的概率为1148C .如果第二次抽到的是3号球,则它来自1号盒子的概率最大D .在第一次抽到3号球的条件下,第二次抽到2号球的概率为13解析:对于选项A :把10个小球和三个盒子排成一列有12个空(不含两端),再用2根棍插入其中两个空,所以不同的放法有C 212=66(种),故A 错误;对于选项B :设A 1表示第一次抽取到1号球,A 2表示第一次抽取到2号球,A 3表示第一次抽取到3号球,所以P (A 1)=12,P (A 2)=P (A 3)=14,设B 3表示第二次抽到3号球,则P (B 3)=P (A 1B 3)+P (A 2B 3)+P (A 3B 3)=P (B 3|A 1)P (A 1)+P (B 3|A 2)P (A 2)+P (B 3|A 3)P (A 3),而P (B 3|A 1)=P (B 3|A 2)=14,P (B 3|A 3)=16,所以P (B 3)=14ˑ12+14ˑ14+16ˑ14=1148,故B 正确;对于选项C :第二次抽到的是3号球来自1号盒子的概率为P (A 1|B 3)=P (B 3|A 1)P (A 1)P (B 3)=611,第二次抽到的是3号球来自2号盒子的概率为P (A 2|B 3)=P (B 3|A 2)P (A 2)P (B 3)=311,第二次抽到的是3号球来自3号盒子的概率为P (A 3|B 3)=P (B 3|A 3)P (A 3)P (B 3)=211,所以第二次抽到的是3号球来自1号盒子的概率最大,故C 正确;对于选项D :设B 2表示第二次抽到2号球,则在第一次抽到3号球的条件下,第二次抽到2号球的概率为P (B 2|A 3)=13,故D 正确㊂故选B C D ㊂评注:本题以最常见的取球游戏为出发点,重点考查条件概率的计算,结合排列组合知识进行求解,具有很强的综合性㊂解答的关键是重点理解取球的游戏规则,分情况讨论,求出对应的条件概率,主要考查同学们的逻辑推理与数学运算等核心素养㊂考向三、离散型随机变量的分布列例3 (江西省南昌市2024届高三摸底测试)迎七一党建知识竞赛,竞赛有两关,某学校代表队有四名队员,这四名队员若有机会参加这两关比赛,通过的概率如表1所示:表1队员第一关第二关甲3423乙3423丙2312丁2312比赛规则是:从四名队员中随机选出两名队员分别参加比赛,每个队员通过第一关可以得60分,且有资格参加第二关比赛,若没有通过,得0分且没有资格参加第二关比赛;若通过第二关可以再得40分;若没有通过,不再加分㊂两名参赛队员所得总分为该代表队的得分,代表队得分不低于160分,可以获得党建优秀代表队称号㊂假设两名参赛队员不相互影响㊂(1)求这次比赛中,该校获得党建优秀代表队称号的概率;(2)若这次比赛中,选中了甲乙两名队员参赛,记该代表队的得分为X ,求随机变量X 的分布列和期望㊂解析:(1)记选出甲乙两名队员参赛为事件A 1,选出甲乙㊁丙丁各一人参赛为事件A 2,选出丙丁两名队员参赛为事件A 3,获得党建优秀代表队称号为事件B ㊂所以P (A 1)=C 22C 24=16;P (A 2)=C 12C 12C 24=23;P (A 3)=C 22C 24=16㊂所以P (B )=P (A 1B +A 2B +A 3B )=16ˑ342ˑ232+2ˑ23ˑ13+23ˑ34ˑ23ˑ23ˑ12+13ˑ12+23ˑ12+16ˑ23 2ˑ12 2+2ˑ12ˑ12 =112+518+118=512㊂(2)由题意知X 的所有可能取值为0,60,100,120,160,200㊂则P (X =0)=142=116;P (X =60)=2ˑ34ˑ13ˑ14=18;P (X =100)=2ˑ34ˑ23ˑ14=14;P (X =120)=342ˑ132=116;P (X =160)=34 2ˑ2ˑ23ˑ13=14;P (X =200)=342ˑ232=14㊂所以随机变量X 的分布列为表2:表2X 060100120160200P11618141161414所以E (X )=0ˑ116+60ˑ18+100ˑ14+120ˑ116+160ˑ14+200ˑ14=130㊂评注:本题以离散型随机变量的分布列为载体,以现实生活中知识竞赛为素材,提出概率的实际应用问题,具有较强的综合性,需要同学们具有较强的逻辑推理和数学运算能力㊂本题解答的关键是合理的分类讨论,并能准确运算㊂考向四、二项分布与正态分布例4 (山东省临沂市2024届高三开学摸底联考)在飞彩镌流年文艺汇演中,诸位参赛者一展风采,奉上了一场舞与乐的盛宴㊂现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾,统计他们的年龄数据,得样本平均数μ=45.75㊂(1)若所有参赛者的年龄X 服从正态分布N (μ,15.752),请估计参赛者的年龄在30岁以上的人数㊂(2)若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级,每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者的作品有a %(0<a <100)的概率被评为A 类,(1-a %)的概率被评为B 类,每位参赛者作品的评级结果相互独立㊂记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A 类作品的概率为p (a ),求p (a )的极大值点a 0㊂(3)以(2)中确定的a 0作为a 的值,记上述幸运嘉宾的作品中的A 类作品数为Y ,若对这些幸运嘉宾进行颁奖,现有两种颁奖方式:甲:A 类作品参赛者获得1000元现金,B 类作品参赛者获得100元现金;乙:A 类作品参赛者获得3000元现金,B类作品参赛者不获得现金奖励㊂根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖方式,成本可能更低㊂附:若X ~N (μ,σ2),则P {|X -μ|<σ}=0.6827㊂解析:(1)因为X ~N (45.75,15.752),所以P (X >30)=0.5+12P (|X -μ|<σ)=0.84135㊂所以参赛者的年龄在30岁以上的人数约为2000ˑ0.84135ʈ1683(人)㊂(2)记x =a %,0<x <1,p (a )=f (x ),设a 0=100x 0,其中x 0为f (x )的极大值点㊂依题意可得f (x )=C 240x 2(1-x )38,则f '(x )=C 240[2x (1-x )38-38x 2(1-x )37]=2C 240x (1-x )37(1-20x )㊂令f '(x )=0,又0<x <1,得x 0=120㊂所以当0<x <120时,f'(x )>0;当120<x <1时,f'(x )<0㊂所以f (x )在0,120上单调递增,在120,1上单调递减㊂所以p (a )在(0,5)上单调递增,在(5,100)上单调递减㊂故p (a )的极大值点a 0=5㊂(3)由题意知Y ~B 40,120,E (Y )=40ˑ120=2㊂记Z 1㊁Z 2分别为甲㊁乙两种颁奖方式各自所发奖金总额㊂因为Z 1=1000ˑY +100ˑ(40-Y )=4000+900Y ,Z 2=3000Y ,所以E (Z 1)=4000+900E (Y )=4000+900ˑ2=5800,E (Z 2)=3000E (Y )=6000,所以E (Z 1)<E (Z 2)㊂故选择甲种颁奖方式成本更低㊂评注:本题以正态分布与二项分布为载体,综合函数与导数知识,结合生活中的具体事例,具有较强的综合性㊂第一问是已知具体的正态分布,求指定区间的概率,结合正态曲线图像,数形结合,考查同学们的直观想象能力;第二问求二项分布中概率的极大值点,关键是弄清楚概率分布类型,借助导数这一重要工具,考查同学们的逻辑推理与数学运算能力;第三问结合实例,作出决策,借助二项分布,求出两种颁奖方式的成本期望值,为后面的决策提供数据支撑与依据,考查同学们的数学运算能力㊂考向五、超几何分布例5 (湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024届高三月考)统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,通过对数据的收集㊁整理㊁分析㊁描述及对事件发生的可能性进行刻画,来帮助人们作出合理的决策㊂(1)现有池塘甲,已知池塘甲里有50条鱼,其中A 种鱼7条,若从池塘甲中捉了2条鱼㊂用ξ表示其中A 种鱼的条数,请写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望E (ξ)㊂(2)另有池塘乙,为估计池塘乙中的鱼数,某同学先从中捉了50条鱼,做好记号后放回池塘,再从中捉了20条鱼,发现有记号的有5条㊂①请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数㊂②统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法最大似然估计,其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树,即在什么情况下最有可能发生已知的事件㊂请从条件概率的角度,采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数N (X 表示捞出的20条鱼中有记号的鱼的数目,即使得P (X =5)最大的N 的值)㊂解析:(1)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2㊂则P (ξ=0)=C 243C 250=129175;P (ξ=1)=C 143㊃C 17C 250=43175;P (ξ=2)=C 27C 250=3175㊂故ξ的分布列为表3:表3ξ012P129175431753175所以E (ξ)=0ˑ129175+1ˑ43175+2ˑ3175=725㊂(2)①设池塘乙中的鱼数为m ,则50m=520,解得m =200,所以可以估计池塘乙中的鱼数为200条㊂②设池塘乙中的鱼数为n ,令事件B = 再捉20条鱼,5条有记号 ,事件C = 池塘乙中的鱼数为n ,则P n =P (B |C )=C 550㊃C 15n -50C 20n㊂由最大似然估计法,即求p n 最大时n 的值,其中n ȡ65,所以p n +1p n=(n -49)(n -19)(n -64)(n +1)㊂当n =65, ,198时,p n +1p n >1;当n =199时,p n +1p n=1;当n =200,201, 时,p n +1p n<1㊂所以池塘乙中的鱼数为199或200条㊂评注:本题以超几何分布与试验观察法为载体,结合函数的性质,以科学研究统计实例为背景,体现数学的基础性㊂第一问考查具体的超几何分布,理清概率分布借助组合知识即可解决;第二问的第一小问考查分层等比例抽样,第二小问考查条件概率,巧用相邻两项概率的大小,得出函数的单调性,综合性较强㊂本题着重考查同学们的逻辑推理与数学运算等能力㊂最后,建议同学们在复习时,理清概念,结合具体案例,注意对比记忆,性质和公式需要理解性记忆,在平时的练习中重视错题,善于积累,勤于思考,不断提升数学解题能力,从而提高高考竞争力,最终实现自己的目标㊂(责任编辑王福华)。

高考数学复习：概率与统计的综合问题

思维升华
高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求经验回归方程时要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算.求解概率问题时要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键.
跟踪训练2 (2023·武汉模拟)某企业计划新购买100台设备，并将购买的设备分配给100名年龄不同(视为技术水平不同)的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同.若用变量x表示不同技工的年龄，变量y为相应的效益值(元)，根据以往统计经验，
6
6
参考数据：y2i ＝3 463， (yi－ y )2＝289.
i＝1
i＝1
参考公式： r＝
n
xi－ x yi－ y
n
xi－ x yi－ y
i＝1
i＝1
，b^ ＝
，
n
xi－ x 2
n
yi－ y 2
n
xi－ x 2
i＝1
i＝1
i＝1
a^ ＝ y －b^ x .
6
6
因为xi＝54，所以 x ＝9，所以 (xi－ x )2＝64，
X的分布列为
X
0
1
2
P
1 30
1 3
19 30
E(X)＝0×310＋1×13＋2×3109＝85.
思维升华
高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据. 概率问题以计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来.
X0 1 2 3 4
P
1 256
3 64
27 128

高考概率经典解答题及答案

高考概率经典解答题及答案下面是一些经典的高考概率题目及其答案：1. 问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？答案：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。

因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。

：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。

因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。

2. 问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？答案：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。

抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。

：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。

抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。

因此，抽到一黑一白的概率为(5/12) * (7/11) + (7/12) * (5/11) = 35/66。

3. 问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？答案：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。

共有36种不同的点数组合。

：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。

共有36种不同的点数组合。

其中，和为7的组合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)和(6,1)这6种组合。

因此，两次投掷的点数之和为7的概率为6/36，即1/6。

以上是一些经典的高考概率题目及其答案，希望对您有帮助。

数学高考数学中的概率与统计题解题方法与思路总结

数学高考数学中的概率与统计题解题方法与思路总结概率与统计是数学中的一个重要分支，也是高考数学中的一项重要内容。

考查概率与统计的题目在高考中占据一定比例，掌握好解题方法与思路对于考生来说是至关重要的。

本文将对高考数学中的概率与统计题解题方法与思路进行总结，并提供一些实用的技巧和示例，帮助考生更好地应对这类题目。

一、概率题解题方法与思路在高考数学中，概率题目主要包括事件与概率、排列组合与概率、概率的计算与运用等内容。

以下是一些解题方法与思路的总结：1. 理清题意：在解概率题前，首先要仔细阅读题目，理解题目所描述的背景和条件。

确定给定事件和所求事件，并结合题目中的条件将问题转化为一个概率问题。

2. 构建样本空间：根据题目所给条件，建立一个恰当的样本空间。

样本空间是所有可能的结果组成的集合，对于复杂的问题，可以利用树状图、表格等方式来构建样本空间，帮助理清逻辑关系。

3. 确定事件：根据题目要求，确定所关注的事件，并通过分析题目中的条件，对事件进行限定条件，以便进行计算。

4. 计算概率：利用概率的定义，计算所求事件发生的概率。

常用的计算方法有等可能原理、排列组合等概率的性质。

5. 运用概率：在解概率题时，还需要掌握条件概率、独立事件等相关概念和计算方法。

根据题目给出的条件，利用已知的概率计算所求的概率，注意要根据条件的不同进行不同的计算。

二、统计题解题方法与思路统计是高考数学中的另一个重要内容，主要包括频率分布、参数估计、假设检验等。

以下是一些解题方法与思路的总结：1. 构建频数表：对于给定的数据，首先要进行整理和分类，然后利用频数表将数据进行统计。

频数表是将数据按照一定的规则分组，统计各组的频数。

2. 绘制统计图表：根据频数表，可以绘制统计图表，如直方图、频率多边形等。

统计图表可以直观地展示数据的分布情况，对于理解问题和进行进一步分析具有重要意义。

3. 计算统计指标：在统计题中，常常需要计算一些统计指标，如平均数、标准差等。