6百大经典例题——两平面垂直的判定和性质(新课标)

知识改变命运，学习成就未来典型例题一例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．（１）如图1，已知l A l ∈=⋂,βα．在α内作l PA ⊥于A ，在β内作l QA ⊥于A ．（２）如图２，已知l A A l ∉∈=⋂,,αβα．作β⊥AP 于P ，在α内作l AQ ⊥于Q ，连结PQ ．（３）已知βαβα∉∉=⋂A A l ,,．作α⊥AP 于P ，β⊥AQ 于Q ，⋂l 平面H PAQ =，连结PH 、QH ．作图与证明在此省略．说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．典型例题二例2. 如图，在立体图形ABC D -中，若E CD AD CB AB ,,==是AC 的中点，则下列命题中正确的是（ ）.知识改变命运，学习成就未来（A ）平面ABC ⊥平面ABD（B ）平面ABD ⊥平面BDC（C ）平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE（D ）平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.解：因为,CB AB =且E 是AC 的中点，所以,AC BE ⊥同理有AC DE ⊥，于是⊥AC 平面BDE .因为⊂AC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于⊂AC 平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面BDE .所以选C.说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.典型例题三例３．如图，P 是ABC ∆所在平面外的一点，且⊥PA 平面ABC ，平面⊥PAC 平面PBC ．求证AC BC ⊥．分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．证明：在平面PAC 内作PC AD ⊥，交PC 于D ．因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ，⊂AD 平面PAC ，且PC AD ⊥，所以PBC AD 平面⊥．又因为⊂BC 平面PBC ，于是有BC AD ⊥①．另外⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥．由①②及A PA AD = ，可知⊥BC 平面PAC ．因为⊂AC 平面PAC ，所以AC BC ⊥．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．典型例题四例４．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于C 点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有AC BC ⊥①．因为⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，则BC PA ⊥②．由①②及A PA AC = ，得⊥BC 平面PAC ．因为⊂BC 平面PBC ，有平面PAC ⊥平面PBC ．说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．典型例题五例５．如图，点A 在锐二面角βα--MN 的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN 所成的角PAM ∠为 45，与面β所成的角大小为30，求二面角βα--MN 的大小．分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．解：在射线AP 上取一点B ，作β⊥BH 于H ，连结AH ，则BAH ∠为射线AP 与平面β所成的角，30=∠∴BAH ．再作MN BQ ⊥，交MN 于Q ，连结HQ ，则HQ 为BQ 在平面β内的射影．由三垂线定理的逆定理，MN HQ ⊥，BQH ∠∴为二面角βα--MN 的平面角．设a BQ =，在B A Q Rt ∆中，a AB BAM BQA 2,45,90=∴=∠=∠ ,在Rt △BHQ 中，,22,,90a BH a BQ BHQ ===∠ 2222sin ===∠a a BQ BH BQH , BQH ∠ 是锐角， 45=∠∴BQH ,即二面角βα--MN 等于 45．说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．典型例题六例６．如图，将边长为a 的正三角形ABC 以它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'．（１）指出这个二面角的面、棱、平面角；（２）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长；（３）求C A '与平面CD C '所成的角；（４）若二面角C AD C --'的平面角为 120，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．分析：根据问题及图形依次解决．解：（１）∴'⊥⊥∴⊥,,,C D AD DC AD BC AD 二面角C AD C --'的面为ADC 和面C AD '，棱为AD ，二面角的平面角为C CD '∠．（２）若 90='∠C CD ，a C C a C D DC a AC 22,21,='∴='=∴= ．（３）⊥∴⊥'⊥AD DC AD C D AD ,, 平面C C D '，D C A '∠∴为C A '与平面CD C '所成的角．在直角三角形C AD '中， 30,21='∠∴='=C DA AC C D DC ，于是 60='∠D C A ．（４）取C C '的中点E ，连结AE 、DE ，C C DE C C AE AC C A DC CD '⊥'⊥∴='=',,, ，AED ∠∴为二面角D C C A -'-的平面角．,41,21,120a DE a CD D C DC C =∴=='='∠ 在直角三角形AED 中，,23a AD =DE AD AED =∠∴tan 324123==a a ． 说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变量．典型例题七例7 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是AD 的中点．求二面角P BD A --1的大小．分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB 垂直于平面1AD ，1BD 在平面1AD 上的射影就是1AD ．再过P 作1AD 的垂线PF ，则PF ⊥面1ABD ，过F 作B D 1的垂线FE ，PEF ∠即为所求二面角的平面角了．解：过P 作1BD 及1AD 的垂线，垂足分别是E 、F ，连结EF ．∵AB ⊥面1AD ，PF ⊂面1AD ，∴PF AB ⊥，又1AD PF ⊥，∴PF ⊥面1ABD ．又∵1BD PE ⊥，∴1BD EF ⊥，∴PEF ∠为所求二面角的平面角．∵D AD Rt 1∆∽PFA ∆，∴11AD AP DD PF =． 而21=AP ，11=DD ，21=AD ，∴42=PF ． 在1PBD ∆中，251==PB PD ． ∵1BD PE ⊥，∴2321==BD BE ． 在PEB Rt ∆中，2222=-=BE PB PE ， 在PEF Rt ∆中，21sin ==∠PE PF PEF ， ∴︒=∠30PEF ． 典型例题八例8 在ABC ∆所在平面外有一点S ，已知AB SC ⊥，SC 与底面ABC 所成角为θ，二面角C AB S --的大小为ϕ，且︒=+90ϕθ．求二面角A SB C --的大小．分析：由题设易证SD SC ⊥，由已知得SC ⊥平面SAB ，显然所求的二面角是直二面角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可．在解这种类型题时，如果去作二面角A SB C --的平面角，那么可能会走弯路．解：如图所示，作SO ⊥平面ABC 于O ，连结CO 并延长交AB 于D ，连结SD ． ∵SO ⊥平面ABC ，∴SCO ∠是SC 与平面ABC 所成角，θ=∠SCO ．∵SO ⊥平面ABC ，AB SC ⊥，∴CD AB ⊥，SD AB ⊥．∴SDO ∠是二面角C AB S --的平面角，ϕ=∠SDO ．∵︒=+90ϕθ，∴SD SC ⊥．又∵AB SC ⊥，∴SC ⊥平面SAB ，∴平面SBC ⊥平面SAB ，∴二面角A SB C --的大小为︒90．说明：二面角的平面角满足三个条件：(1)顶点在棱上，(2)两边在面内，(3)两边与棱垂直．应注意CSB ∠不满足第(3)条，不是二面角A SB C --的平面角．在求二面角大小时，若其平面角不易作出时，则可考虑判定两平面是否垂直，如果两平面垂直，则其二面角为︒90，反之亦然．典型例题九例9 如果αβ⊥，αγ⊥，a =γβ ，那么α⊥a ．分析：(1)本题是一道高考题，考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力．要证α⊥a ，只要证明直线a 与平面α内的两条相交直线垂直就可以了，从而借助平面与平面垂直的性质达到证明α⊥a 的目的；(2)要证α⊥a ，只要证明a 平行于平面α的一条垂线就可以了，这也可以借助面面垂直的性质加以考虑；(3)可以用“同一法”来证明．证法一：如图所示，设b =βα ，c =γα ，过平面α内一点P 作b PA ⊥于A ，作c PB ⊥于B ．∵αβ⊥，∴β⊥PA ．又a =γβ ，∴a PA ⊥，同理可证a PB ⊥．∵P PB PA = 且α⊂PB PA 、，∴α⊥a ．证法二：如图所示，设b =βα ，在平面β内作直线b l ⊥1．∵βα⊥，∴α⊥1l ．设c =γα ，在平面γ内作直线c l ⊥2．同理可证a l ⊥2，因此21//l l ．由于β⊂1l ，β⊄2l ，∴β//2l ．而γ⊂2l ，γβ =a ，∴a l //2．故由a l //2知，α⊥a ．证法三：如图所示过直线a 上一点P 作直线α⊥'a ．∵γβ =a ，a P ∈，∴β∈P ，根据课本第37页例2（如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内），∴β⊂'a ．同理可证γ⊂'a ，故γβ ='a ． 椐公理2可知，直线'a 与直线a 重合．∴α⊥a说明：(1)本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理，主要用于判断直线和平面的垂直，在很多习题中都可以用到本例的结论．(2)本例的三种证明方法其思维角度不同，但都是围绕“面面垂直”、“线面面垂直”的判定与性质定理来进行思考的，希望同学们今后在解题中多进行这方面的训练，这对提高数学思维能力是大有裨益的．典型例题十例10 设由一点S 发出三条射线SA 、SB 、SC ，α=∠ASB ，β=∠BSC ，θ=∠ASC ，α、β、θ均为锐角，且θβαcos cos cos =⋅．求证：平面ASB ⊥平面BSC ． 分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可，此题设法通过线段关系过渡．证明：如图，任取点A ，作SB AB ⊥于B ，过B 作SC BC ⊥于C ，连结AC ． ∵αcos ⋅=AS SB ，βcos ⋅=SB SC ，故βαcos cos ⋅⋅=AS SC ．又由θβαcos cos cos =⋅，则θcos ⋅=AS SC ，从而可得︒=∠90ACS ，即SC AC ⊥，已作SC BC ⊥，故SC ⊥平面ACB ，即有SC AB ⊥，已作SB AB ⊥，从而AB ⊥平面BSC ，故平面ASB ⊥平面BSC ．说明：本题易犯错误是：作SB AB ⊥于B ，作SC BC ⊥于C ，连结AC ，由三垂线定理得AC SC ⊥，∴SC ⊥平面ACB ，∴SC AB ⊥，∴AB ⊥平面SBC ．其错误原因是作SB AB ⊥后，将AB 误认为是平面SBC 的垂线．此题的证明也可以作SB AB ⊥于B ，SC AC ⊥于C ，连结BC ．在SBC ∆中，由余弦定理及条件θβαcos cos cos =⋅，证明222SC BC SB +=，从而BC SC ⊥，∴SC ⊥面ABC ，∴SC AB ⊥．由此进一步证明，平面ASB ⊥平面BSC ．典型例题十一例11 如果二面角βα--l 的平面角是锐角，点P 到α、β和棱l 的距离分别为22、4、24，求二面角的大小．分析：如果二面角βα--l 内部，也可能在外部，应区别处理．解：如图甲是点P 在二面角βα--l 的内部时，乙是点P 在二面角βα--l 的外部时．∵α⊥PA ，∴l PA ⊥．∵l AC ⊥，∴面l PAC ⊥．同理，面l PBC ⊥，而面PAC 面PBC PC =∴面PAC 与面PBC 应重合，即A 、C 、B 、P 在同一平面内，ACB ∠是二面角的平面角．在APC Rt ∆中，212422sin ===∠PB PA ACP ， ∴︒=∠30ACP ．在BPC Rt ∆中，22244sin ===∠PC PB BCP ， ∴︒=∠45BCP ，故︒=︒+︒=∠754530ACB （图甲）或︒=︒-︒=∠153045ACB （图乙）．说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角．这是本题得到二面平面角的方法，即所谓垂面法．典型例题十二例12 P 为︒120的二面角βα--a 内一点，P 到α和β的距离均为10，求点P 到棱a 的距离．分析：本题已知二面角的大小而求点到直线的距离，须做出二面角的平面角，然后将条件揉和在一起，便可解决问题．解：如图，过点P 作α⊥PA 于A ，β⊥PB 于B ，设相交直线PA 、PB 确定的平面为γ，O a =γ ，则OA =αγ ，OB =βγ 连结PO ，则10==BP AP∵α⊥PA ，β⊥PB ，∴γ⊥a ，而⊂PO 平面γ，∴PO a ⊥，∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离． 又∵γ⊥a ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴AOB ∠是二面角βα--a 的平面角，即︒=∠120AOB ．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径．∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用APB ∆．在APB ∆中，10==BP AP ，︒=∠60APB ，∴10=AB ．由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ．说明：(1)该题寻找︒120的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法． (2)充分借助于四边形PAOB 为一圆内接四边形，∵OA PA ⊥，OB PB ⊥，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．典型例题十三例13 如图，正方体的棱长为1，O BC C B =11 ，求： (1)AO 与11C A 所成的角；(2)AO 与平面AC 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成的角．解：(1)∵AC C A //11，∴AO 与11C A 所成的角就是OAC ∠． ∵OB OC ⊥，⊥AB 平面1BC ， ∴OA OC ⊥（三垂线定理）． 在AOC Rt ∆中，22=OC ，2=AC ，∴︒=∠30OAC ．(2)作BC OE ⊥，平面1BC ⊥平面AC ．∴OE ⊥平面AC ，OAE ∠为OA 与平面AC 所成的角． 在OAE Rt ∆中，21=OE ，25)21(122=+=AE ． ∴55tan ==∠AE OE OAE ． (3)∵OA OC ⊥，OB OC ⊥，∴⊥OC 平面AOB ． 又∵⊂OC 平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC ．说明：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题．求角度问题主要是求两条异面直线所成角⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π，直线和平面所成角⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，二面角(]π,0三种． 典型例题十四例14 如图，矩形ABCD ，PD ⊥平面ABCD ，若2=PB ，PB 与平面PCD 所成的角为︒45，PB 与平面ABD 成︒30角，求：(1)CD 的长；(2)求PB 与CD 所在的角；(3)求二面角D PB C --的余弦值．分析：从图中可以看出，四面体BCD P -是一个基础四面体，前面已推导出平面PBC 与平面BCD 所成的二面角的余弦值为333221=⨯⨯=⋅⋅BD PC BC PD ，可见，基础四面体作为一部分，经常出现在某些几何体中．解：(1)∵⊥PD 平面ABCD ，∴BC PD ⊥． 又⊥BC 平面PDC ，∴BPC ∠为PB 与平面PCD 所在的角， 即︒=∠45BPC ．同理：PBD ∠即为PB 与平面ABD 所成的角， ∴︒=∠30PBD ，在PBC Rt ∆中，∵2=PB ，∴2==PC BC ．在PBD Rt ∆中，︒=∠30PBD ，∴1=PD ，3=BD ． 在BCD Rt ∆中，2=BC ，3=BD ，∴1=CD ．(2)∵CD AB //，∴PB 与CD 所成的角，即为PB 与AB 所成的角，PBA ∠即为PB 与AB 所成的角∵⊥PD 平面ABCD ，AB AD ⊥，∴AB PA ⊥（三垂线定理）． 在PAB Rt ∆中，1==CD AB ，2=PB ，∴︒=∠60PBA ．(3)由点C 向BD 作垂线，垂足为E ，由点E 向PB 作垂线，垂足为F ，连结CF ． ∵⊥PD 平面ABCD ，∴CE PD ⊥． 又BD CE ⊥，∴⊥CE 平面PBD ，CF 为平面PBD 的斜线，由于PB EF ⊥， ∴由三垂线定理：CF PB ⊥．∴CEF ∠为二面角D PB C --的平面角在BCD Rt ∆中，2=BC ，1=DC ，3=BD ，∴36=⋅=BD CD BC CE ． 在PCB Rt ∆中，2=BC ，2=PC ，2=PB ， ∴1=⋅=PBCPBC CF ， ∴36sin ==∠CF CB CFE ． ∴33cos =∠CFE ， ∴二面角D PB C --的余弦值为33． 说明：解空间几何计算问题，一般要做两件事：一件是根据问题的需要作必要证明，如本题中的线线所成的角、面面所成的角从理认上都必须说清楚究竟是谁；另一件事才是计算，这两件事是根据问题解答逻辑上的需要有机的结合在一起的．典型例题十五例15 过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，︒=∠90BSC ，︒=∠=∠60ASB ASC ，若截取a SC SB SA ===(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．分析：要证明平面ABC ⊥平面BSC ，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线．(1)证明：∵a SC SB SA ===， 又︒=∠=∠60ASB ASC ，∴ASB ∆和ASC ∆都是等边三角形， ∴a AC AB ==，取BC 的中点H ，连结AH ，∴BC AH ⊥． 在BSC Rt ∆中，a CS BS ==，∴BC SH ⊥，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在SHA ∆中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =，∴222HA SH SA +=，∴SH AH ⊥，∴⊥AH 平面SBC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． 或：∵AB AC SA ==，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ∆的外心， 又BSC ∆为∆Rt ，∴H 在斜边BC 上，又BSC ∆为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点， ∴⊥AH 平面BSC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)解：由前所证：AH SH ⊥，BC SH ⊥，∴⊥SH 平面ABC ， ∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==， ∴点S 到平面ABC 的距离为a 22． 典型例题十六例16 判断下列命题的真假(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面．(2)两个平面垂直，分别在两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直； (3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直．分析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体C A 1中，平面AC ⊥平面1AD ，平面 AC 平面1AD AD =，在AD 上取点A ，连结1AB ，则AD AB ⊥1，即过棱上一点A 的直线1AB 与棱垂直，但1AB 与平面ABCD 不垂直，其错误的原因是1AB 没有保证在平面11A ADD 内．可以看出：线在面内这一条件的重要性；(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体C A 1中，平面1AD ⊥平面AC ，1AD ⊂平面11A ADD ，AB ⊂平面ABCD ，且1AD AB ⊥，即AB 与1AD 相互垂直，但1AD 与平面ABCD 不垂直；(3)如上图，正方体C A 1中，平面11A ADD ⊥平面ABCD ，1AD ⊂平面11A ADD ，⊂AC 平面ABCD ，1AD 与AC 所成的角为︒60，即1AD 与AC 不垂直．说明：必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件：(1)线在面内，(2)线垂直于交线，从而可得出线面垂直．典型例题十七例17 如图，在︒60二面角βα--a 内有一点P ，P 到α、β的距离分别为3和5，求P 到交线a 的距离．解：作α⊥PA 于A ，β⊥PB 于B ， 设PA ，PB 所确定的平面为γ，Q a = γ， 连AQ ，BQ ，∵α⊥PA ， ∴a PA ⊥．同理a PB ⊥，∴⊥a 平面γ， ∴PQ a ⊥，则PQ 是P 到a 的距离． 在四边形PAQB 中，︒=∠=∠90B A ， ∴PAQB 是圆的内接四边形，且R PQ 2=． 又∵︒=∠60BQA ，︒=∠120BPA ， ∴7120cos 53253=︒⋅⋅-+=AB ，331432760sin 2=⨯=︒==AB R PQ ．说明：本例作二面角的平面角用作垂面法，避免了再证明P 、B 、A 、Q 四点共面，同时用到正弦定理和余弦定理．典型例题十八例18 如图，四面体SABC 中，A B C ∆是等腰三角形，a BC AB 2==，︒=∠120ABC ，且⊥SA 平面ABC ，a SA 3=．求点A 到平面SBC 的距离．分析：考虑利用两个平面垂直的性质定理作出点A 到SBC 的垂线，先确定一个过点A 和平面SBC 垂直的平面，∵⊥SA 平面ABC ，故作BC AD ⊥于D ，连结SD ，则平面SAD ⊥平面SBC ，平面SAD 实际上就是二面角A BC S --的平面角SDA 所在的平面，因此，它的作图过程和用三垂线法作二面角A BC S --的平面角的作图过程完全相同．解：作BC AD ⊥交BC 于D ，连结SD ，∵⊥SA 平面ABC ，根据三垂线定理有BC SD ⊥，又D AD SD = ，∴BC ⊥平面SAD ，又BC ⊂平面SBC ，∴平面SBC ⊥平面ADS ，且平面SBC 平面ADS SD =，∴过点A 作SD AH ⊥于H ，由平面与平面垂直的性质定理可知：⊥AH 平面SBC ． 在SAD Rt ∆中，a SA 3=，a AB AD 360sin =︒⋅=， ∴23)3()3(332222a a a a a AD SA AD SA AH =+⋅=+⋅=， 即点A 到平面SBC 的距离为23a． 说明：二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱，同时垂直于二面角的两个两．从本例可以看出：要求点到平面的距离，只要过该点找到与已知平面垂直的平面，则点面距即可根据面面垂直的性质作出．。