【精准解析】2021届高考数学一轮知能训练：专题五圆锥曲线的综合及应用问题+第1课时

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高考风向标文科数学一轮课时知能训练：专题_圆锥曲线的综合及应用问题

高考风向标文科数学一轮课时知能训练：专题_圆锥曲线的综合及应用问题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：专题四圆锥曲线的综合及应用问题1．若双曲线x 28－y 2b 2＝1的一条准线与抛物线y 2＝8x 的准线重合，则双曲线离心率为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．4 22．两个正数1,9的等差中项是a ，等比中项是b ，则曲线x 2a ＋y 2b＝1的离心率为( ) A.105 B.2105C.45D.105与21053．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 4．过抛物线y ＝14x 2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(－1,0)5．已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B ＝( ) A.54 B.58 C.45 D.856．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为( )A ．8B ．5C ．4D ．97．已知双曲线的方程是5x 2－4y 2＝20，填充下列各题：(1)中心坐标是________；(2)顶点坐标是________；(3)焦点坐标是________；(4)准线方程是________；(5)渐近线方程是________；(6)离心率是________．8．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜52. 其中所有正确命题的序号为________．9．(2011年北京)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是____________．10．(2011年四川)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，椭圆与x 轴交于两点A (a,0)，B (－a,0)，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q (如图K4－1)．(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；(2)当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值．图K4－111．(2011年广东揭阳一模)在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝3.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；(2)已知点A (1，t )(t >0)是轨迹M 上的定点，E ，F 是轨迹M 上的两个动点，如果直线AE 的斜率k AE 与直线AF 的斜率k AF 满足k AE ＋k AF ＝0，试探究直线EF 的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．12．(2011年广东广州调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的离心率e ＝12.直线x ＝t (t >0)与曲线E 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆C ，圆心为C .(1)求椭圆E 的方程；(2)若圆C 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，求△ABC 的面积的最大值．专题四圆锥曲线的综合及应用问题1．A 2.D 3.B 4.A 5.A 6.A7．(1)(0,0) (2)(±2,0) (3)(±3,0) (4)x ＝±43(5)y ＝±52 (6)328．③④ 9.②③10．解：(1)由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1. 椭圆的右焦点为(3，0)，此时直线l 的方程为y ＝－33x ＋1. 代入椭圆方程得7x 2－8 3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝8 37. 代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17，所以D ⎝⎛⎭⎫8 37，－17. 故|CD |＝⎝⎛⎭⎫8 37－02＋⎝⎛⎭⎫－17－12＝167. (2)当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1⎝⎛⎭⎫k ≠0且k ≠12. 代入椭圆方程得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－8k 4k 2＋1. 代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝1－4k 24k 2＋1，所以D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1. 又直线AC 的方程为x 2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k (x ＋2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1. 因此Q (－4k,2k ＋1)，又P ⎝⎛⎭⎫－1k ，0. 所以OP →·OQ →＝⎝⎛⎭⎫－1k ，0·(－4k,2k ＋1)＝4. 故OP →·OQ →为定值．11．解：(1)依题意知直线A 1N 1的方程为：y ＝m 2(x ＋2)， ① 直线A 2N 2的方程为：y ＝－n 2(x －2)． ② 设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①×②得y 2＝－mn 4(x 2－4)．由mn ＝3，整理得x 24＋y 23＝1. ∵N 1，N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)、A 2(2,0)不在轨迹M 上．∴轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)． (2)∵点A (1，t )(t >0)在轨迹M 上，∴14＋t 23＝1解得t ＝32.即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. 设k AE ＝k ，则直线AE 方程为：y ＝k (x －1)＋32. 代入x 24＋y 23＝1，并整理得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝⎛⎭⎫32－k 2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．∵点A ⎝⎛⎭⎫1，32在轨迹M 上， ∴x E ＝4⎝⎛⎭⎫32－k 2－123＋4k 2， ③ y E ＝kx E ＋32－k . ④ 又k AE ＋k AF ＝0得k AF ＝－k ，将③、④式中的k 代换成－k ，可得，x F ＝4⎝⎛⎭⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k .∴直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x F ＋x E )＋2k x F －x E. ∵x E ＋x F ＝8k 2－64k 2＋3，x F －x E ＝24k 4k 2＋3， ∴k EF ＝－k ·8k 2－64k 2＋3＋2k 24k 4k 2＋3＝－k (8k 2－6)＋2k (4k 2＋3)24k ＝12. 即直线EF 的斜率为定值，其值为12. 12．解：(1)∵椭圆E ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的离心率e ＝12， ∴a 2－3a ＝12.解得a ＝2. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)方法一：依题意，圆心为C (t,0)(0<t <2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，x 24＋y 23＝1，得y 2＝12－3t 24. ∴圆C 的半径为r ＝12－3t 22. ∵圆C 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，且圆心C 到y 轴的距离d ＝t ，∴0<t <12－3t 22，即0<t <2 217. ∴弦长|AB |＝2 r 2－d 2＝2 12－3t 24－t 2＝12－7t 2. ∴△ABC 的面积S ＝12·t 12－7t 2＝12 7×(7t )·12－7t 2≤12 7×(7t )2＋12－7t 22 ＝3 77. 当且仅当7t ＝12－7t 2，即t ＝427时，等号成立． ∴△ABC 的面积的最大值为3 77. 方法二：依题意，圆心为C (t,0)(0<t <2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，x 24＋y 23＝1，得y 2＝12－3t 24. ∴圆C 的半径为r ＝12－3t 22. ∴圆C 的方程为(x －t )2＋y 2＝12－3t 24. ∵圆C 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，且圆心C 到y 轴的距离d ＝t ，∴0<t <12－3t 22，即0<t <2 217. 在圆C 的方程(x －t )2＋y 2＝12－3t 24中，令x ＝0，得y ＝±12－7t 22. ∴弦长|AB |＝12－7t 2.∴△ABC 的面积S ＝12·t 12－7t 2 ＝12 7×(7t )·12－7t 2≤12 7×(7t )2＋12－7t 22 ＝3 77. 当且仅当7t ＝12－7t 2，即t ＝427时，等号成立． ∴△ABC 的面积的最大值为3 77.。

2021届新高考数学一轮课件：专题五+圆锥曲线的综合及应用问题+第1课时

图 5-1
B.(4,6) D.[4,6]
解析：设 B(xB，yB)，则 1≤xB≤3. ∵可以构成三角形 ABF，∴1<xB<3. ∵圆的半径|BF|＝2，抛物线的准线方程为 x＝－1，利用抛物线定义，
|AF|等于点 A 到直线 x＝－1 的距离 d， ∴三角形 ABF 的周长 l ＝|AF| ＋|AB| ＋|BF| ＝|AF| ＋|AB| ＋ 2＝d＋|AB|＋2＝xB－(－1)＋2＝xB＋3，故 4<l<6. 答案：B
(3)两点防范：①求范围问题要注意变量自身的范围. ②利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系，注意特殊关系，特殊位置的应用.
解析：设左焦点为 F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2， ∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF 的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF| ＋|AP|＋2＋|PF1|. △APF 周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当 A，P，F1 在一条直线上时最小，
Байду номын сангаас
题型 2 利用基本不等式(或导数)求最值、范围问题例 2：(2016 年新课标Ⅰ)设圆 x2＋y2＋2x－15＝0 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)求证|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.
专题五圆锥曲线的综合及应用问题
第1课时
题型 1 利用圆锥曲线的方程性质求最值、范围问题圆锥曲线中常见最值问题及解题方法： (1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题. (2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.

2021届高考数学新人教版一轮复习课件：第8章解答题专项突破(五) 圆锥曲线的综合问题

解题思路 (1)设 Q(x0，y0)，P(x，y)，利用所给条件建立两点坐标之间的关系，利用 Q 在圆上可得 x，y 的方程，即为所求．
(2)设定点为 H，及直线 l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关
系，及H→M·H→N＝0，得出恒等式，求得定点的坐标．
解题思路
规范解答 (1)设 Q(x0，y0)，P(x，y)，则 x20＋y20＝1，
由B→A＝A→P，得x0＝2x， y0＝－y，
代入 x20＋y20＝1，得x42＋y2＝1，故曲线 C 的方程为x42＋y2＝1.
规范解答
(2)假设存在满足条件的定点，由对称性可知，该定点在 y 轴上，设定点为 H(0，m)，
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx－35，
由yx4＝2＋kyx2－＝531，，
第八章平面解析几何
解答题专项突破(五) 圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在第(2)问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．
y＝kx－1，由x2＝－4y，
得 x2＋4kx－4＝0.
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2＝－4. 直线 OM 的方程为 y＝yx11x.
规范解答
令 y＝－1，得点 A 的横坐标 xA＝－xy11. 同理得点 B 的横坐标 xB＝－xy22. 设点 D(0，n)，则D→A＝－xy11，－1－n， D→B＝－xy22，－1－n，
规范解答
(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线 C 上点 M(x0，y0)，M 到 y 轴的距离为 d＝|x0|＝x0，圆的半径 r ＝|MA|＝ x0－12＋y20，则|TS|＝2 r2－d2＝2 y20－2x0＋1， ∵点 M 在曲线 C 上， ∴x0＝y220，∴|TS|＝2 y20－y20＋1＝2，是定值．

2021高三数学(理)一轮复习专练55大题专练(五)圆锥曲线的综合运用含解析

2021高三数学（理）人教版一轮复习专练55高考大题专练（五）圆锥曲线的综合运用含解析专练55高考大题专练(五）圆锥曲线的综合运用1.已知m>1，直线l：x－my－错误!＝0，椭圆C：错误!＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点．（1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程．（2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H.若坐标原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．2。

已知椭圆C:错误!＋错误!＝1（a>b〉0）的一个顶点为A(2，0），离心率为错误!。

直线y＝k（x－1）与椭圆C交于不同的两点M，N。

(1)求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为错误!时,求k的值．3。

[2020·全国卷Ⅰ］已知A，B分别为椭圆E：错误!＋y2＝1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点，错误!·错误!＝8。

P为直线x＝6上的动点,P A与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.（1)求E的方程;(2）证明:直线CD过定点．4。

[2019·全国卷Ⅰ］已知抛物线C:y2＝3x的焦点为F,斜率为错误!的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.（1）若｜AF|＋｜BF｜＝4，求l的方程;（2)若错误!＝3错误!,求|AB|.5.[2020·全国卷Ⅱ]已知椭圆C1：错误!＋错误!＝1（a>b〉0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x 轴垂直的直线交C1于A,B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝错误! |AB｜。

(1)求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点．若｜MF｜＝5，求C1与C2的标准方程．专练55高考大题专练(五)圆锥曲线的综合运用1.解析：（1）因为直线l：x－my－错误!＝0经过点F2（错误!,0）,所以错误!＝错误!，解得m2＝2。

又因为m〉1，所以m＝错误!，故直线l的方程为x－错误!y－1＝0。

2021版高考数学一轮复习专题五圆锥曲线的综合及应用问题课时作业理

2021版高考数学一轮复习专题五圆锥曲线的综合及应用问题课时作业理第1课时1．已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为( )A ．8B ．5C ．4D ．92．已知点F 1，F 2是x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A ．4B ．5C ．2D ．13．(2021年广东揭阳一模)已知双曲线x 24－y 22＝1右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( )A ．4(1＋2)B ．4＋ 2C ．2(2＋6) D.6＋3 2 4．(2021年四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0) 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22 D ．1 5．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．6．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．7．(2020年新课标Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．8．(2021年广东广州二模)已知双曲线x 25－y 2＝1的焦点是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数．(1)求椭圆C 的方程；(2)设动点M ，N 在椭圆C 上，且|MN |＝4 33，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值．第2课时1．(2021年广东调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点到直线x －y ＋3 2＝0的距离为5，且椭圆C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)给出定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫6 55，0，关于椭圆C 的任意一条过Q 的弦AB ，1|QA |2＋1|QB |2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点P (2，1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若A 1，A 2分别是椭圆C 的左、右顶点，动点M 满足MA 2⊥A 1A 2，且MA 1交椭圆C 于不同于A 1的点R ，求证：OR →·OM →为定值．3．(2021年广东广州一模)过点P (a ，－2)作抛物线C ：x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)．(1)证明：x 1x 2＋y 1y 2为定值；(2)记△PAB 的外接圆的圆心为点M ，点F 是抛物线C 的焦点，对任意实数a ，试判定以PM 为直径的圆是否恒过点F? 并说明理由．4．(2021年广东广州华附执信深外联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，离心率为63，点A ，B 分别是椭圆与x 轴，y 轴的交点，且原点O 到AB 的距离为62. (1)求椭圆方程；(2)如图Z51若F 是椭圆的右焦点，过F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，当直线l 绕着点F 转动过程中，试问在直线x ＝3上是否存在点P ，使得△PMN 是以P 为顶点的等腰直角三角形，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

2021届高考数学一轮知能训练专题五圆锥曲线的综合及应用问题第2课时含解析

第2课时1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 22．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM 与两坐标轴均不平行，k AM ，k BM 分别表示直线AM ，BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( )A ．－ c 2a 2B ．－ b 2a 2C ．－ c 2b 2D ．－ a 2b23．设M ，N 分别是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点，若在椭圆C 上存在点H ，使k MH ·k NH∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，324．已知O 为坐标原点，平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点E ，F 分别为AB ，AD 的中点，且OE ，OF 的斜率之积为－34，则椭圆Ω的离心率为( )A.12B.22C.34D.455．已知椭圆C ：x2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，且过点(2，2)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)M ，N ，P ，Q 是椭圆C 上的四个不同的点，两条都不和x 轴垂直的直线MN 和PQ 分别过点F 1，F 2，且这两条直线互相垂直，求证： 1|MN |＋1|PQ |为定值．6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，左焦点为F (－1,0)，过点D (0,2)且斜率为k 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在y 轴上，是否存在定点E ，使AE →·BE →恒为定值？若存在，求出E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，长半轴与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．8．(2018年天津)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆，下顶点D (0，－1)，且离心率e ＝63. (1)求椭圆的标准方程；(2)经过点M (1,0)且斜率为k 的直线交椭圆于A ，B 两点．在x 轴上是否存在定点P ，使得∠MPA ＝∠MPB 恒成立？若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由．第2课时1．A 解析：①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2.∴x 1x 2＝p 24；②若焦点弦AB 不垂直于x轴，可设AB ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.故y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 2．B 解析：方法一(直接法)，设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)，则B (－x 1，－y 1)，k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1 · y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝－b 2a 2x 20＋b 2－－b 2a 2x 21＋b 2x 20－x 21＝－b 2a 2. 方法二(特殊值法)，∵四个选项为确定值，取A (a,0)，B (－a,0)，M (0，b )，可得k AM ·k BM ＝－b 2a2.3．A 解析：k MH ·k NH ＝－b 2a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－b 2a 2>－12，2b 2<a 2，即2(a 2－c 2)<a 2，a 2<2c 2，c 2a 2>12.∴e >22. 4．A 解析：根据平行四边形的几何特征，得AD ∥EO ，AB ∥FO ，∴k AD ＝k EO ，k AB ＝k FO .∴k EO ·k FO＝k AB k AD ＝－34.设D (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，A (x ，y )，∴k AB ·k AD ＝y ＋y 0x ＋x 0·y －y 0x －x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2a 2－b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2x 2－x 20＝－b 2a 2＝－34.∴c 2a 2＝14.∴e ＝12. 5．(1)解：由已知e ＝c a ＝22，∴b 2a 2＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12， ∴a 2＝2b 2，∴C ：x 22b 2＋y 2b2＝1，即x 2＋2y 2＝2b 2.∵椭圆C 过点(2，2)，得b 2＝4，a 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：由(1)知椭圆C 的焦点坐标为F 1(－2,0)，F 2(2,0)．根据题意，可设直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)，由于直线MN 与直线PQ 互相垂直，则直线PQ 的方程为y ＝－1k(x －2)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 28＋y24＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－8＝0，则 x 1＋x 2＝－8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8k 2－82k 2＋1，∴|MN |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝4 21＋k22k 2＋1.同理可得|PQ |＝4 21＋k 2k 2＋2，∴1|MN |＋1|PQ |＝2k 2＋14 21＋k 2＋k 2＋24 21＋k2＝3k 2＋34 21＋k2＝3 28.6．解： (1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝1，解得a 2＝2，b 2＝1，所求的椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)过点D (0,2)且斜率为k 的直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，消去y 整理得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1x 2＝61＋2k2.又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－2k 2－42k 2＋1，y 1＋y 2＝(kx 1＋2)＋(kx 2＋2)＝k (x 1＋x 2)＋4＝42k 2＋1.设存在点E (0，m )，则AE →＝(－x 1，m －y 1)，BE →＝(－x 2，m －y 2)， ∴AE →·BE →＝x 1x 2＋m 2－m (y 1＋y 2)＋y 1y 2＝62k 2＋1＋m 2－m ·42k 2＋1－2k 2－42k 2＋1＝2m 2－2k 2＋m 2－4m ＋102k 2＋1. 要使得AE →·BE →＝t (t 为常数)，只要2m 2－2k 2＋m 2－4m ＋102k 2＋1＝t ，从而(2m 2－2－2t )k 2＋m 2－4m ＋10－t ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－2－2t ＝0，①m 2－4m ＋10－t ＝0，②由①得 t ＝m 2－1，代入②解得m ＝114，从而t ＝10516，故存在定点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，114，使AE →·BE →恒为定值10516.7．解：(1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上， ∴BM →·BN →＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－35. 8．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知得b ＝1，e ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3，b 2＝1，则椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在，设P (m,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线方程为y ＝k (x －1)，代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，因此x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k2，由∠MPA ＝∠MPB ，得k PA ＋k PB ＝0，即y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝0，∴(x 1－m )y 2＋(x 2－m )y 1＝0，∴(x 1－m )k (x 2－1)＋(x 2－m )k (x 1－1)＝0. 由于此方程对任意k 恒成立，因此(x 1－m )(x 2－1)＋(x 2－m )(x 1－1)＝0， ∴2x 1x 2－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋2m ＝0恒成立，∴2·3k 2－31＋3k 2－(m ＋1)6k 21＋3k 2＋2m ＝0恒成立，即2m －61＋3k2＝0恒成立，因此m ＝3. 综上，存在点P (3,0)满足题意．。

圆锥曲线的综合应用含详细答案解析

专题1 圆锥曲线的综合应用题型1 直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与双曲线的交点个数是( )A. 1B. 2C. 1或2D. 0答案详解A解:双曲线的渐近线方程为:,因为直线与双曲线的一条渐近线平行,在y轴上的焦距为3,所以直线与双曲线的交点个数是:1.所以A选项是正确的.解析:求出双曲线的渐近线方程,然后判断直线与双曲线的交点个数即可.2. 斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案详解A解:两个交点横坐标是-c,c，所以两个交点分别为代入椭圆，两边乘，则，，，,或所以3. 过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，则λ=．【答案】分析：利用实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直，求出直线与实轴垂直时，线段的长度为4，再作验证，即可得到结论．解答：解：∵实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y=±2，故|AB|=4∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知，|AB|=4时，有三条直线满足题意∴λ=4故答案为：4解析:先根据题意表示出两个焦点的交点坐标,代入椭圆方程,两边乘,求得关于的方程求得e.4.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的倾斜角为，那么5. 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的倍,其上一点到右焦点的最短距离为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线与圆相切,且交椭圆C于A、B两点,求当的面积最大时直线l的方程.答案详解解:(1)设椭圆右焦点则由(1)得代得代(2)得(2)与圆相切由消y得又,当时,,当时,(当时“=”成立)此时且(3)式6. 已知，是双曲线的两个焦点，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，动点满足，曲线的方程为。

2021届高考数学一轮知能训练专题五圆锥曲线的综合及应用问题第3课时含解析

第3课时1．已知椭圆C:错误!＋错误!＝1 (a>b>0)的两焦点在x轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为2的等腰直角三角形．(1）求椭圆的方程;(2)动直线l：3mx＋3ny＋n＝0(m∈R,n∈R，m，n不全为零)交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由．2．如图Z5。

2,已知椭圆C1：错误!＋y2＝1的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2.(1)求圆C2的标准方程；（2）已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P,M 两点．①求证：OP⊥OM；②试探究错误!＋错误!是否为定值．图Z523．如图Z53，抛物线C1：y2＝8x与双曲线C2:错误!－错误!＝1(a〉0，b>0)有公共焦点F2,点A是曲线C1,C2在第一象限的交点，且|AF2｜＝5。

（1）求双曲线C2的方程;(2)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：（x－2)2＋y2＝1。

已知点P（1，3),过点P作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设被圆M截得的弦长为s,l2被圆N截得的弦长为t.试探索错误!是否为定值?请说明理由．图Z5.34．如图Z5.4,椭圆E：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0 )的左、右焦点分别为F1，F2，MF2⊥x轴，直线MF1交y轴于H点，OH＝错误!,Q为椭圆E上的动点,△F1F2Q的面积的最大值为1.(1)求椭圆E的方程；(2）过点S(4，0)作两条直线与椭圆E分别交于A，B，C，D,且使AD⊥x轴，如图，问四边形ABCD的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标;若不是，请说明理由．图Z5。

4。

2021届高考数学一轮知能训练：专题五圆锥曲线的综合及应用问题第1课时

专题五圆锥曲线的综合及应用问题第1课时1．已知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A (0,2 3)，当点P 在椭圆上运动时，△APF 的周长的最大值为________ .2．已知点F 1，F 2是x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A ．4B ．5C ．2D ．13．已知抛物线C ：y 2＝x ，M 为x 轴负半轴上的动点，MA ，MB 为抛物线的切线，A ，B分别为切点，则MA →·MB →的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．－124．(2018年福建泉州惠安三中高三上学期月考试题)已知抛物线y ＝18x 2与双曲线y 2a 2－x 2＝1(a >0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线上，则OP →·FP →的最小值为( )A ．3－2 3B ．2 3－3C ．－74 D.345．已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |＋4|QM |的最小值为( )A ．23B ．42C ．12D ．526．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2 (其中O 为坐标原点)，若△AOB 的面积记为S 1, △AFB 的面积记为S 2，则2S 1－S 2的最小值是( )A ．3B ．4 2 C.9 24 D.17 287．已知点F (1,0)，圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝8，点P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A ，B .当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求△AOB 面积S 的取值范围．8．(2018年浙江)如图Z5-1，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 的中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．图Z5-19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，点P 在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积的最大值为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，若在x 轴上存在点G ，使得|GM |＝|GN |，求点G 的横坐标的取值范围．10．已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，点P⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆M上．(1)求椭圆M的方程；(2)经过椭圆M的右焦点F的直线l与椭圆M交于C，D两点，A，B分别为椭圆M的左、右顶点，记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的取值范围．专题五圆锥曲线的综合及应用问题第1课时1．14 解析：如图D191所示设椭圆的左焦点为F ′，图D191|AF |＝4＝|AF ′|，则|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6， ∵|P A |－|PF ′|≤|AF ′|，∴△APF 的周长＝|AF |＋|P A |＋|PF |＝|AF |＋|P A |＋6－|PF ′|≤4＋6＋4＝14，当且仅当三点A ，F ′，P 共线时取等号．∴△APF 的周长最大值等于14.2．D 解析：方法一，设点P (x 0，y 0)，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，PF 2→＝(3－x 0，－y 0)，PF 1→·PF 2→＝x 20－3＋y 20＝x 20－3＋1－x 204＝34x 20－2.又∵x 20≤4，∴34x 20－2≤1. 方法二，可设点P (2cos α，sin α)，转化为三角问题，则由PF 1→＝(－3－2cos α，－sin α)，PF 2→＝(3－2cos α，－sin α)，得到PF 1→·PF 2→＝3cos 2α－2≤1.故选D.3．A 解析：设M (m,0)，MA ，MB 为抛物线的切线，显然关于x 轴对称，设其中一条方程为x ＝ky ＋m ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ky ＋m ，y 2－ky －m ＝0，Δ＝k 2＋4m ＝0，∴m ＝－k 24，切点A ⎝⎛⎭⎫k 24，k 2，B ⎝⎛⎭⎫k 24，－k 2，MA →·MB →＝⎝⎛⎭⎫k 22，k 2·⎝⎛⎭⎫k22，－k 2＝k 44－k 24＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫k 2－122－14≥－116. 4．A 解析：抛物线y ＝18x 2，可得x 2＝8y ，焦点F 为(0,2)，则双曲线y 2a2－x 2＝1(a >0)的c＝2，则a 2＝3，即双曲线方程为y 23－x 2＝1，设P (m ，n )(n ≥3)，则n 2－3m 2＝3，∴m 2＝13n 2－1，则OP →·FP →＝(m ，n )(m ，n －2)＝m 2＋n 2－2n ＝13n 2－1＋n 2－2n ＝43⎝⎛⎭⎫n －342－74，∵n ≥3，故当n ＝3时取得最小值，最小值为3－2 3，故选A.5．A 解析：圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0的圆心坐标是C 2(2,0)，半径是1，由题意知，可设抛物线C 1的方程是y 2＝2px (p >0)，∵抛物线C 1过点(2,4)，∴4p ＝16，p ＝4.∴抛物线C 1的方程是y 2＝8x ，焦点坐标是C 2(2,0)，准线方程是x ＝－2，设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则|PN |＝|PC 2|＋1＝x 1＋2＋1＝x 1＋3，|QM |＝|QC 2|＋1＝x 2＋2＋1＝x 2＋3，设直线l 的方程是x ＝ky ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝ky ＋2，得y 2－8ky －16＝0，则Δ＝64k 2＋64>0，∴y 1y 2＝－16，∵y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∴x 1x 2＝164×(－16)2＝4，∵x 1>0，x 2>0，∴|PN |＋4|QM |＝x 1＋4x 2＋15≥2 4x 1x 2＋15＝23，当且仅当x 1＝4，x 2＝1时取等号，∴|PN |＋4|QM |的最小值为23.故选A.6．C 解析：设直线AB 方程为x ＝my ＋n 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x x ＝my ＋n ，y 2－my －n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝m y 1y 2＝－n ， OA →·OB →＝2，x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 22＋y 1y 2＝2，∴y 1y 2＝－2，即n ＝2，直线AB 方程为x ＝my ＋2过点(2,0)，△AOB 的面积记为S 1＝12×2(|y 1|＋|y 2|)＝y 1＋2y 1，△AFB 的面积记为S 2＝12×⎝⎛⎭⎫2－14(|y 1|＋|y 2|)＝78⎝⎛⎭⎫y 1＋2y 1，则2S 1－S 2＝98⎝⎛⎭⎫y 1＋2y 1≥9 24，的最小值是9 24. 7．解： (1)连接QF .∵|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝2 2(|EF |＝2)，∴点Q 的轨迹是以E (－1,0)，F (1,0)为焦点，长轴长2a ＝2 2的椭圆，即动点Q 的轨迹Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意结合图形知直线l 的斜率不可能为零，∴设直线l 的方程为x ＝my ＋n (m ∈R )． ∵直线l 即x －my －n ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，∴|n |m 2＋1＝1，解得n 2＝m 2＋1. 又∵点A ，B 的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 2＋2y 2－2＝0，消去x 整理得(m 2＋2)y 2＋2mny ＋n 2－2＝0，又Δ＝4m 2n 2－4(m 2＋2)(n 2－2)＝8(m 2－n 2＋2)＝8,由韦达定理得y 1＋y 2＝－2mnm 2＋2，y 1y 2＝n 2－2m 2＋2.又λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋n )(my 2＋n )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋mn (y 1＋y 2)＋n 2＝3n 2－2m 2－2m 2＋2＝m 2＋1m 2＋2∈⎣⎡⎦⎤23，34. S ΔAOB ＝12|AB |·1＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2·m 2＋1m 2＋2·1m 2＋2.∵m 2＋1m 2＋2＋1m 2＋2＝1，且λ＝m 2＋1m 2＋2∈⎣⎡⎦⎤23，34. ∴S ΔAOB ＝2·λ·(1－λ)∈⎣⎡⎦⎤64，23.8．(1)证明：设P (x 0，y 0)，A ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，B ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2. ∵P A ，PB 的中点在抛物线上，∴y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实数根． ∴y 1＋y 2＝2y 0.因此，PM ⊥y 轴．(2)解：由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，∴|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22(y 20－4x 0). 因此，△P AB 的面积为S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝3 24(y 20－4x 0)32.∵x 20＋y 204＝1(x 0<0)，∴y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]．因此，△P AB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤6 2，15104.9．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝13，12·2c ·b ＝2 2，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝9，b 2＝8，c 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为E (x 0，y 0)，点G (m,0)，使得|GM |＝|GN |，则GE ⊥MN .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 29＋y 28＝1，得(8＋9k 2)x 2＋36kx －36＝0，由Δ>0，得k ∈R ，且k ≠0.∴x 1＋x 2＝－36k9k 2＋8，∴x 0＝－18k 9k 2＋8，y 0＝kx 0＋2＝169k 2＋8.∵GE ⊥MN ，∴k GE ＝－1k ，即169k 2＋8－0－18k9k 2＋8－m ＝－1k ，∴m ＝－2k 9k 2＋8＝－29k ＋8k.当k >0时，9k ＋8k ≥29×8＝12 2⎝⎛ 当且仅当9k ＝8k ，⎭⎫即k ＝2 23时，取等号， ∴－212≤m <0;当k <0时，9k ＋8k≤－12 2⎝⎛当且仅当9k ＝8k ，即⎭⎫k ＝－2 23时，取等号，∴0<m ≤212，∴点G 的横坐标的取值范围为⎣⎡⎭⎫－212，0∪⎝⎛⎦⎤0，212.10．解：(1)∵e ＝c a ＝12，椭圆过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，∴c ＝1，a ＝2. ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 无斜率时，直线方程为x ＝1，此时C ⎝⎛⎭⎫1，－32，D ⎝⎛⎭⎫1，32，△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 斜率存在(显然k ≠0)时，设直线l 方程为y ＝k (x －1)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，与椭圆方程联立得到⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.显然Δ>0，方程有根，∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝12|k |3＋4k 2.∵k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤122 3|k |·4|k |＝122 12＝3⎝⎛⎭⎫k ＝±32时等号成立，∴|S 1－S 2|的最大值为3，则|S 1－S 2|的取值范围为0≤|S 1－S 2|≤ 3.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

2021届新高考数学一轮：专题五圆锥曲线的综合及应用问题第3课时

解：(1)∵椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为 a＋c，a－c，
∴依题意有，a＋c＝3(a－c)，即 a＝2c. ∵a2＝b2＋c2，∴b＝ 3c. 故可设椭圆 E 的方程为4xc22＋3yc22＝1. ∵点 P1，32在椭圆 E 上，
xP＝3
±km k2＋9.
将点m3 ，m的坐标代入 l 的方程得 b＝m33－k，
因此 xM＝k3kk－2＋39m .
四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP
互相平分，即 xP＝2xM.
于是 3
±kk2m＋Leabharlann ＝2×k3kk－2＋39m ，解得 k1＝4－ 7，k2＝4＋ 7. ∵ki>0，ki≠3，i＝1,2， ∴当 l 的斜率为 4－ 7或 4＋ 7时，四边形 OAPB 为平行四边形.
9 ∴将其代入椭圆 E 的方程得41c2＋34c2＝1，即 c2＝1. ∴椭圆 E 的方程为x42＋y32＝1.
(2)依题意，直线 l 不可能与 x 轴垂直，故可设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－1)，
即 y＝kx－k＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)为 l 与椭圆 E 的两个交点，
第3课时
题型圆锥曲线中的探索性问题探索性问题是近几年高考的热点问题，是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备.要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括.探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.解决探索性问题的注意事项： (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.

2021年高考数学总复习专题05 圆锥曲线的综合问题强化突破理(含解析)新人教版

2021年高考数学总复习专题05 圆锥曲线的综合问题强化突破理（含解析）新人教版1．(xx·新课标全国高考)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．22 C ．4D ．8解析：选C 抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.故选C.2．(xx·沈阳质检)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B ∵直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2＞2，∴m 2＋n 2＜4，∴m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2＜1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.3．(xx·浙江名校联考)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的一点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时，点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( )A.95B.125 C ．4D ．5解析：选B 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|PM →|的最小值可以转化为求|OP →|的最小值，当|OP →|取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，所以所求的距离d ＝125，故选B.4．(xx·合肥模拟)已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值等于( )A.924B ．2 2 C.322D. 2解析：选A 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0y 2＝2x消去x 整理得y 2＋2y ＋2m ＝0，由Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值即为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，所以所求最小值为d ＝|5－12|2＝924.故选A.5．(xx·铜川模拟)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞解析：选B 由题意知a 2＝(－2)2－12＝3，故双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设点P 的坐标为(x 1，y 1)(x 1≥3)，则x 213－y 21＝1，∴OP →·FP →＝(x 1，y 1)·(x 1＋2，y 1)＝x 21＋2x 1＋y 21＝x 21＋2x 1＋x 213－1＝4x 213＋2x 1－1.又函数f (x 1)＝4x 213＋2x 1－1在x 1∈[3，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)≥4×323＋2×3－1＝3＋23，即OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)，选B.6．已知椭圆x 24＋y 23＝1，若此椭圆上存在不同的两点A ，B 关于直线y ＝4x ＋m 对称，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－21313，2213B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－21313，21313C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－213，21313D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2313，2313解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－14，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，又3x 21＋4y 21＝12①， 3x 22＋4y 22＝12②，①②两式相减得3(x 22－x 21)＋4(y 22－y 21)＝0，即y 1＋y 2＝3(x 1＋x 2)，即y ＝3x ，与y ＝4x ＋m 得x ＝－m ，y ＝－3m ，又点M (x ，y )在椭圆的内部，所以m 24＋9m 23＜1，解得－21313＜m ＜21313.故选B. 7.x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则b 2＋13a的最小值为________．解析：233 因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，则b 2＝3a 2，所以b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥213＝233，当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时等号成立． 8．(xx·广东六校联考)已知双曲线C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程是________．解析：4x ±3y ＝0 椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点为(±5,0)、焦点为(±3,0)，所以双曲线的焦点为(±5,0)，实轴端点为(±3,0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，即c ＝5，a ＝3，b＝4，所以渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.9．(xx·湖南十二校联考)设F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，过点F 的直线l 与双曲线右支交于点P ，与圆O ：x 2＋y 2＝a 2恰好切于线段PF 的中点M ，则双曲线的离心率为__________．解析： 5 设右焦点为F 2，连接PF 2，OM ，则PF 2∥OM ，|PF 2|＝2|OM |＝2a ，∠FPF 2＝π2，又|PF |－|PF 2|＝2a ，∴|PF |＝4a ，在Rt △FPF 2中，|PF 2|2＋|PF |2＝|FF 2|2，得20a 2＝4c 2，∴e ＝ca＝ 5. 10．已知抛物线y ＝x 2－1上有一定点B (－1,0)和两个动点P 、Q ，若BP ⊥PQ ，则点Q 的横坐标的取值范围是________．解析：(－∞，－3]∪[1，＋∞) 设P (x P ，x 2P －1)(x P ≠1)，Q (x Q ，x 2Q －1)，由k BP ·k PQ＝－1，得x 2p －1x p ＋1·x 2Q －x 2px Q －x P ＝－1，所以x Q ＝－x P －1x P －1＝－(x P －1)－1x P －1－1.因为|x P －1|＋1|x P －1|≥2，所以x Q ≥1或x Q ≤－3.故所求范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞).11．(xx·杭州质检)已知直线y ＝2x －2与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于M 1，M 2两点，且|M 1M 2|＝815.(1)求p 的值；(2)设A 是直线y ＝p 2上一点，直线AM 2交抛物线于另一点M 3，直线M 1M 3交直线y ＝p2于点B ，求OA →·OB →的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝2py消去y 整理得x 2－4px ＋4p ＝0，设M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16p 2－16p ＞0，x 1＋x 2＝4p ，x 1·x 2＝4p ，∵|M 1M 2|＝815， ∴[x 1＋x 22－4x 1x 2]1＋22＝815，∴16p 2－16p ×5＝815.整理得p 2－p －12＝0，解得p ＝4或p ＝－3(舍去)，且p ＝4满足Δ＞0，∴p ＝4. (2)由(1)知抛物线方程为x 2＝8y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝16，x 1x 2＝16，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，设M 3⎝⎛⎭⎪⎫x 3，x 238，A (t,2)，B (a,2)，由A ，M 2，M 3三点共线得kM 2M 3＝kAM 2，∴x 2＋x 38＝x 228－2x 2－t，∴x 22＋x 2x 3－t (x 2＋x 3)＝x 22－16，整理得x 2x 3－t (x 2＋x 3)＝－16，①由B ，M 3，M 1三点共线，同理可得x 1x 3－a (x 1＋x 3)＝－16.② ②式两边同乘x 2得x 1x 2x 3－a (x 1x 2＋x 2x 3)＝－16x 2，即16x 3－a (16＋x 2x 3)＝－16x 2，③ 由①得x 2x 3＝t (x 2＋x 3)－16，代入③得16x 3－16a －at (x 2＋x 3)＋16a ＝－16x 2，即16(x 2＋x 3)＝at (x 2＋x 3)，∴at ＝16. ∴OA →·OB →＝at ＋4＝20.12．(xx·太原四校联考)已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．过点P (－4,0)作斜率为－14的直线l ，使得l 与G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足|PA ||PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的渐近线方程； (2)求双曲线G 的方程；(3)椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴，如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分．求椭圆S 的方程．解：(1)设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ，则由渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切可得|5k |k 2＋1＝5，解得k ＝±12，所以双曲线G 的渐近线方程为y ＝±12x .(2)由(1)可设双曲线G 的方程为x 2－4y 2＝m ，把直线l 的方程y ＝－14(x ＋4)代入双曲线方程，整理得3x 2－8x －16－4m ＝0，∴x A ＋x B ＝83，x A x B ＝－16＋4m3.(*)∵|PA ||PB |＝|PC |2，P ，A ，B ，C 共线且P 在线段AB 上， ∴(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2，即(x B ＋4)(－4－x A )＝16，整理得4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0. 将(*)代入上式得m ＝28， ∴双曲线的方程为x 228－y 27＝1.(3)设椭圆S 的方程为x 228＋y 2a 2＝1(a ＞27)，设垂直于l 的平行弦的两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 2128＋y 21a 2＝1，x 2228＋y 22a2＝1，两式作差得x 1－x 2x 1＋x 228＋y 1－y 2y 1＋y 2a2＝0.由于y 1－y 2x 1－x 2＝－4，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0， ∴x 028－4y 0a2＝0. ∴垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线x 28－4ya2＝0在椭圆S 内的部分．又由已知，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以a 2112＝12，得a 2＝56，故椭圆S 的方程为x 228＋y 256＝1.13．(xx·武汉调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22. (1)求a ，b 的值；(2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设F (c,0)，当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0， ∴O 到l 的距离为|0－0－c |2＝c2，由已知得c2＝22，∴c ＝1. 由e ＝c a ＝33，得a ＝3，b ＝a 2－c 2＝ 2. (2)假设C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由(1)知C 的方程为x 23＋y 22＝1.由题意知l 的斜率一定不为0，设其方程为x ＝ty ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1x 23＋y22＝1消去x 整理得(2t 2＋3)y 2＋4ty －4＝0.则y 1＋y 2＝－4t 2t 2＋3，∴x 1＋x 2＝ty 1＋1＋ty 2＋1＝t (y 1＋y 2)＋2＝－4t 22t 2＋3＋2＝62t 2＋3，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫62t 2＋3，－4t 2t 2＋3. ∵点P 在C 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫62t 2＋323＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4t 2t 2＋322＝1，化简整理，得4t 4＋4t 2－3＝0，即(2t 2＋3)(2t 2－1)＝0，解得t 2＝12.当t ＝22时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－22，l 的方程为2x －y －2＝0；当t ＝－22时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，22，l 的方程为2x ＋y －2＝0. 故C 上存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±22，使OP →＝OA →＋OB →成立，此时l 的方程为2x ±y －2＝0.14．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (0，2)，且长轴长与短轴长的比是 2∶1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 上在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求△PAB 面积的最大值．(1)解：设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，ab ＝2，c ＝2，解得a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)证明：由题意知直线PA ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k .又由(1)知P (1，2)，故直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x －1y 24＋x 22＝1消去y 整理得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x B ＝1·x B ＝k 2－22k －22＋k 2，同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k2，则x A －x B ＝42k 2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k2＋k 2.所以k AB ＝y A －y Bx A －x B＝2(定值)． (3)解：由(2)设直线AB 的方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋my 24＋x 22＝1消去y 整理，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)＞0，得m 2＜8. 设A 、B 两点的坐标为A (x A ，y B )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝－2m 2，x A ·x B ＝m 2－44.又点P 到直线AB 的距离d ＝|m |3， |AB |＝x A －x B2＋y A －y B 2＝－32m 2＋12.∴S △PAB ＝12d ·|AB |＝12·|m |3·24－3m22＝12 m 28－m 22≤24·⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2＋8－m 22＝ 2.当且仅当m 2＝8－m 2，即m 2＝4时等号成立．所以△PAB 面积的最大值为 2.YX29409 72E1 狡?39232 9940 饀w34767 87CF 蟏27177 6A29 権~As39148 98EC 飬34598 8726 蜦34152 8568 蕨。

2021届新高考数学一轮课件：专题五+圆锥曲线的综合及应用问题+第2课时

(1)求直线 l 的斜率的取值范围；
(1)解：∵抛物线 y2＝2px 经过点 P(1,2)， ∴4＝2p，解得 p＝2，∴抛物线的方程为 y2＝4x. 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y＝kx＋1(k≠0).
依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得 k<0 或 0<k<1. 又 PA ，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点(1，－2). 从而 k≠－3. ∴直线 l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1).
第2课时
题型 1 圆锥曲线中的定点问题
(1)求 C 的方程； (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.
【名师点评】(1)圆锥曲线中定点问题的两种解法： ①引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，
(2)存在定点 P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值. 理由如下：设 M(x, y)，由已知得⊙ M 的半径为 r＝|x＋2|，|AO|＝2.
化简得 M 的轨迹方程为 y2＝4x. ∵曲线 C：y2＝4x 是以点 P(1,0)为焦点，以直线 x＝－1 为准线的抛物线，∴|MP|＝x＋1. ∵|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1， ∴存在满足条件的定点 P.
再证明该定点与变量无关. (2)定点的探索与证明问题的两种策略： ①探索直线过定点时，可设出直线方程为 y＝kx＋b，然后
利用条件建立 b，k 的等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；