001第26章

001第26章 《二次函数》小结与复习（1）用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数y ＝ax2图象的性质。

一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点1．二次函数的概念，二次函数y ＝ax 2 (a ≠0)的图象性质。

例：已知函数4m m 2x)2m (y -++=是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小?教师精析点评，二次函数的一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)。

强调a ≠0．而常数b 、c 可以为0，当b ，c 同时为0时，抛物线为y ＝ax 2(a ≠0)。

此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y 轴，即直线x ＝0。

(1)使4m m 2x)2m (y -++=是关于x 的二次函数，则m 2＋m －4＝2，且m ＋2≠0，即：m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得；m ＝2或m ＝－3，m ≠－2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m ＋2＞0， (3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m ＋2＜0。

抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。

强化练习；已知函数mm 2x)1m (y ++=是二次函数，其图象开口方向向下，则m ＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y 随x 的增大而增大，当x_____0时，y 随x 的增大而减小。

2。

用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律，例：用配方法求出抛物线y ＝－3x 2－6x ＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y ＝－3x 2。

(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义，指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系： y ＝ax 2＋bx ＋c ————→y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a(2)强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。

(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动，分析完例题后归纳； 投影展示：强化练习：(1)抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位。

再向上平移3个单位，得抛物线y ＝x 2－2x ＋1，求：b 与c 的值。

(2)通过配方，求抛物线y ＝12x 2－4x ＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。

3．知识点串联，综合应用。

例：如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。

(1)求直线和抛物线的解析式；(2)如果D为抛物线上一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求D点坐标。

学生活动：开展小组讨论，体验用待定系数法求函数的解析式。

教师点评：(1)直线AB过点A(2，0)，B(1，1)，代入解析式y＝kx＋b，可确定k、b，抛物线y＝ax2过点B(1，1)，代人可确定a。

求得：直线解析式为y＝－x＋2，抛物线解析式为y＝x2。

(2)由y＝－x＋2与y＝x2，先求抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(－2，4)，S△OBC＝S△ABC－S△OAB＝3。

∵ S△AOD＝S△OBC，且OA＝2 ∴ D的纵坐标为3 又∵ D在抛物线y＝x2上，∴x2＝3，即x＝± 3 ∴ D(－3，3)或(3，3) 强化练习：函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于点A(1，b)，求：(1)a和b的值；(2)求抛物线y＝ax2的顶点和对称轴；(3)x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大，(4)求抛物线与直线y＝－2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。

二、课堂小结1．让学生反思本节教学过程，归纳本节课复习过的知识点及应用。

2。

投影：完成下表：三、作业：作业优化设计一、填空。

1．若二次函数y＝(m＋1)x2＋m2－2m－3的图象经过原点，则m＝______。

2．函数y＝3x2与直线y＝kx＋3的交点为(2，b)，则k＝______，b＝______。

3．抛物线y＝－13(x－1)2＋2可以由抛物线y＝－13x2向______方向平移______个单位，再向______方向平移______个单位得到。

4．用配方法把y＝－12x2＋x－52化为y＝a(x－h)2＋k的形式为y＝__________________，其开口方向______，对称轴为______，顶点坐标为______。

二、选择。

1．函数y＝(m－n)x2＋mx＋n是二次函数的条件是( )A．m、n是常数，且m≠0 B．m、n是常数，且m≠nC. m 、n 是常数，且n ≠0D. m 、n 可以为任意实数2．直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝2x 2－8x ＋k ＋8相交于点(3，4)，则m 、k 值为( )A ．⎩⎨⎧m ＝1k ＝3B ．⎩⎨⎧m ＝－1k ＝2C. ⎩⎨⎧m ＝1k ＝2D. ⎩⎨⎧m ＝2k ＝13．下列图象中，当ab ＞0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( )三、解答题 1．函数(1)当a 取什么值时，它为二次函数。

(2)当a 取什么值时，它为一次函数。

2．已知抛物线y ＝14x 2和直线y ＝ax ＋1(1)求证：不论a 取何值，抛物线与直线必有两个不同舶交点。

(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是抛物线与直线的两个交点，P 为线段AB 的中点，且点P 的横坐标为x 1＋x 22，试用a 表示点P 的纵坐标。

(3)函数A 、B 两点的距离d ＝1＋a 2|x 1－x 2|，试用a 表示d 。

(4)过点C(0，－1)作直线l 平行于x 轴，试判断直线l 与以AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由。

002二次函数的图像和性质一. 本周教学内容：二次函数的图像和性质二、本周学习目标掌握二次函数的图像和性质，能够确定二次函数的表达式，并能够对图像进行分析1. 与之间关系，（）2.顶点坐标对称轴（0，0）y轴（0，k）y轴（h，0）直线x＝h（h，k）直线x＝h。

3. 二次函数顶点坐标（，），对称轴是直线。

4. 二次函数图象的画法。

（1）通过配方法，将一般式化为形式；（2）确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；（3）在对称轴两侧，以顶点为中心，左右两侧对称描点。

5. 求二次函数解析式。

（1）一般式：（2）顶点式：（3）交点式：，其中（，0），（，0）分别为抛物线与x轴的两个交点。

（4）对称点式：，其中（），（）为抛物线上关于对称轴对称的两个点。

6. 抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点; ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.三、考点分析二次函数的图像和性质、确定二次函数的表达式、确定二次函数图像特征，这三点在中考考点中均是要求学生能够熟练掌握的内容。

【典型例题】例1. 已知抛物线。

（1）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）求抛物线与轴、轴的交点坐标；（3）画出函数图象（草图）；（4）根据图象说出：x为何值时，y随x增大而增大？x为何值时y随x增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值是多少？分析：通过配方或利用顶点坐标公式求出顶点坐标和对称轴，再利用五点作图，并根据图象回答增减性及最值。

解：（1）配方：得∵∴抛物线开口向下对称轴：顶点坐标是（，2）（2）令即，得，。

∴它与x轴的交点坐标为（，0），（，0）再令即∴它与y轴交点坐标为（0，）（3）∵顶点A（，2），对称轴，与x轴交点为B（，0），C（，0）与y轴交点D（0，）。

D关于对称轴的对称点E（，），将E、B、A、C、D这5点连接成光滑曲线，即得抛物线图象。

（4）从图象可知，当时，随x增大而增大。

当时，随x增大而减小。

∵抛物线开口向下，∴顶点A为最高点，函数有最大值即当时，＝2。

点拨：（1）五点作图法是画二次函数图象的简易作图法，这五点是抛物线的五个特征点：即顶点，与x轴的两个交点，与y轴的交点及该交点关于抛物线对称轴的对称点。

（2）有时候函数与x轴没有交点，则选取作图点的时候要考虑抛物线的对称性，以对称轴为中心对称取点。

例2. 已知抛物线y＝ax+bx+c的顶点是A(－1，4)且经过点(1，2)求其解析式。

分析：此类题型可设顶点坐标为(m，k)，故解析式为y＝a(x－m)+k.在本题中可设y＝a(x+1)+4，再将点(1，2)代入求得a＝－∴y＝－即y＝－由于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。

例3. 如图所示，二次函数的图像经过A、B、C三点。

（1）观察图像，写出A、B、C三点的坐标，并求出函数的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴。

分析：求函数解析式时，我们要注意考虑函数表达式的三种一般形式，并能够根据题目条件来选取合适的表达式来求解。

顶点坐标和对称轴则可以用相应的公式来求解。

解：（1）A（，0），B（3，0），C（0，），将三点坐标代入，得解得∴二次函数的解析式为。

（2）∵，，∴顶点坐标为，对称轴为直线。

点拨：当给出抛物线y＝ax+bx+c上的三点时，可采取列方程组，求出a、b、c的值，即可求出函数的解析式。

对于本题来说，我们还可以发现A、B两点是图像与x轴的交点，本题也可以采用交点式来求解，而且解法要比一般式要简单。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A. y＝x2+3B. y＝x2－3C. y＝（x+3）2D. y＝（x－3）22. 二次函数y＝－（x－1）2+3图像的顶点坐标是（）A. （－1，3）B. （1，3）C. （－1，－3）D. （1，－3）3. 二次函数y＝x2+x－6的图象与x轴交点的横坐标是（）A. 2和－3B. －2和3C. 2和3D. －2和－34. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a>0；②c>0；•③b2－4ac>0，其中正确的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. （2006年常德市）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y•的对应值，判断方程ax2）A. 6<x<6.17B. 6.17<x<6.18C. 6.18<x<6.19D. 6.19<x<6.206. （2006年南充市）二次函数y＝ax2+bx+c，b2＝ac，且x＝0时y＝－4则（）A. y最大＝－4B. y最小＝－4C. y最大＝－3D. y最小＝37. （2006年苏州市）抛物线y＝2x2+4x+5的对称轴是x＝______。