高二数学暑假作业8指对数函数函数图像与零点1理湘教版

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高中数学 2.2《对数函数》学案湘教版必修1

对数函数（一）【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。

2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。

3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。

二知识技能目标1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。

2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。

三情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣。

2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

教学重点难点：1对数函数的定义、图象和性质。

2对数函数性质的初步应用。

教学工具：多媒体【学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。

【课前案】回顾指数函数定义、图象和性质。

【课中案】我们已经学习了指数和对数这两种运算，请同学们回顾指数幂运算和对数运算的定义，并说出这两种运算的本质区别。

在等式)0,1,0(>≠>=N a a N a b且中已知底数a 和指数b ，求幂值N ，就是指数问题；已知底数a 和幂值N ，求指数b ，就是我们前面刚刚学习过的对数问题，而且无论是求幂值N 还是求指数b ，结果都只有一个。

在某细胞分裂过程中，细胞个数y 是分裂次数x 的函数xy 2=。

因此，当已知细胞的分裂次数x 的值（即输入值是分裂次数x ），就能求出细胞个数y 的值（即输出值是细胞个数y ）,这样，就建立起细胞个数y 和分裂次数x 之间的一个关系式，你还记得这个函数模型的类型吗？三师生探究：（一）对数函数的概念在前面学习中所提到的放射性物质，经过时间x （年）与物质剩留量y 的关系为xy 84.0=，我们也可把它写成对数式：y x 84.0log =，其中时间x （年）也可以看作物质剩留量y 的函数，可见这样的问题在实际生活中还是不少的。

对数函数的性质与图像ppt课件

log0.5 6 ＞ log0.5 8 log0.5 m＞ log0.5 n 则 m ＜ n
log2 0.6 ＞ log 2 0.8 log2 m ＞ log2 n 则 m ＜ n
3
3
3
3
log1.5 6 ＜ log1.5 8
log1.5 m ＜ log1.5 n 则 m ＜ n
比较下列各组中两个值的大小:
o
x
y=log1/2x
y
x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … y … 3 2 1 0 -1 -2 -3 …
o
x
画出函数 y log 2 x与 y log 1 x的图像．
y
2
y log 2 x
o
x
y log 1 x
2
对数函数y=logax 0,a≠1)
性质a ＞ 1
图y
(a＞的图象与
4.2.3 对数函数的性质与图像
引例：对数函数的引入：
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的
细胞个数设为y,则y与x的函数关系式为：Y=2x
问题2：某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个……如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数。由对数的定义，这个
对数函数 y log 3 x和y log 1 x的图象。
3
y 2
1 11 42
0 1 23 4 -1 -2
y log 2 x
y log 3 x
x
y log 1 x
3
y log 1 x
2
y
y log a1 x y log a2 x

对数函数的图象与性质(同步课件)-2024-2025学年高一数学课堂(湘教版2019必修第一册)

所以2 7.6 < 2 8.7.
解(2) 因为函数 = 1 在(0, +∞)上是减函数，且7.6 < 8.7，
2
所以1 7.6 > 1 8.7.
2
2
例析
例11
比较下列各组中两个数的大小：
(3) 7.6和 8.7( > 0且 ≠ 1)；(4)0.8 2和20.8 .
所以0.8 2 < 0.8 1 = 0.
又因为20.8 > 0，所以0.8 2 < 20.8 .
例析
例12
证明函数1 ( 2 − 2 − 3)在区间(3, +∞)上递减.
2
证明记() = 2 − 2 − 3.
设，是(3, +∞)上任意两个实数，且 < ，则
第4章
幂函数、指数函数和对数函数
4.3 对数函数
4.3.3 对数函数的图象与性质
复习引入
由于指数函数是严格单调的，等式 = 中不同的对应于不同的，即每个
对应的是确定的，从而对数运算 = ( > 0， > 0且 ≠ 1)确定了一个函数，
叫作(以为底的)对数函数，它描述的数量关系是 = .此等式中把和互换位置
例2.比较下列各组数的大小.
(3)2 3，5 4.
解：(3)(中间值法)∵2 3 > 2 2 = 1，5 4 < 5 5 = 1，
∴2 3 > 5 4.
练习
比较对数值大小的策略：
1.同底时，根据单调性比较两真数的大小；
2.同底但底数是字母时，需对字母进行分类讨论，再根据单调性比较两真数
7
7
>0
解：(1)据题意得： 4 − > 0

长沙市高二数学暑假作业8指、对数函数函数图像与零点(1)理

作业8 指、对数函数，函数图像与零点(1）一. 选择题1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( ）．A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg （x ＋错误!)C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg错误!2．已知函数f （x )＝|lg x ｜.若0〈a 〈b ，且f (a ）＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是（）．A ．(2错误!，＋∞）B ．[2错误!，＋∞)C ．(3，＋∞）D ．[3，＋∞)3．定义在R 上的函数f （x ）既是奇函数，又是周期函数,T 是它的一个正周期．若将方程f （x ）＝0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n 可能为（）A ．0B ．1C ．3D ．54．函数y ＝错误!的图象大致为( ）5.函数()y f x =图像上不同两点1122(,),(,)A x yB x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫做曲线()y f x=在点A 与点B 之间的“弯曲度”,给出以下命题：①函数321y x x =-+图像上两点A与B 的横坐标分别为1,2，则(,)3;A B ϕ>②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数;③设点A 、B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤； ④设曲线xy e =上不同两点1122(,),(,)A x yB x y ，且121x x -=,若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数的取值范围是(,1)-∞.以上正确命题的序号为 ( ） A. ①② B. ②③ C 。

③④ D. ②③④6、设x R∈,若函数()f x 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有()1xf fx e e ⎡⎤-=+⎣⎦（e 是自然对数的底数），则()l n 2f =（ )A 。

1B 。

1e +C 。

3D 。

3e + 二.填空题:7．用二分法研究函数f （x ）＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0）〈0,f （0。

对数函数的图象与性质高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册

A． 3，，，
3 5 10
4
3 1
C．， 3，，
3
5 10
4 1 3
B． 3，，，
3 10 5
4
1 3
D．， 3，，
3
10 5
(3)函数y＝loga(2x－1)＋2的图象恒过定点P，点P在指数函数f(x)的图
1
象上，则f(－1)＝________．
2
题型2 对数型函数的定义域
例4 求下列函数的定义域：
过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条
曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，
显然b＞a＞1＞d＞c.
方法归纳
当0＜a＜1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图
象下降的速度变慢．当a＞1时，对数函数的图象是上升的，而且随着
a由小变大，图象上升的速度变慢．
角度3 图象的识别问题
例3 函数y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为(
)
答案：A
解析：函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排
除选项B，C，又x＝±1时y＝1.
方法归纳
(1)对有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升
还是下降、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点等求
解．
(2)根据函数解析式确定函数图象的问题，主要是通过不同的角度来
确定函数解析式与函数图象的对应关系，如函数的定义域(值域)、单
调性，图象是否过定点、图象的对称性等．
跟踪训练1
(C )
(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的
解析：(1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0

高中数学对数函数的图像和性质新.pptx

图象
性质
应用
一、对数函数图象
x
log 2 x
1
4
1
2
- 2 -1
1
2
4
8
0
1
2
3
y = log 2 x
x
1
4
1
2
log 2 x
-2
log 1 x
2
2
-1
1
0
2
1
4
2
8
3
1
0
-1
-2
-3
y = log 2 x
y = log 1 x
2
y = log 2 x
从解析式来看：
y = log 2 x
结论一:
(1,-5)
五、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
（知识层面，思想方法层面）
①对数函数的图象
本节内容 ②对数函数的性质
③应用
①类比
思想方法 ②数形结合
③分类讨论
①数学建模
核心素养 ②数学抽象
③数学运算
通过本节课的学习，今
后我们要学习的新函数
时，你知道如何入手研
究了吗？
谢谢大家！
利用对数函数单调性
分类讨论
(2) log 2 9
> log 5 9
(3)log 0.7 5 < log 3 8
log 2 5
> log 5 3
总结：
如何比较两个对数值的大小？
考虑对数函数的单调性；
可以利用换底公式,或者借助于数形结合；
要借助于中间值（如０或１）.
题型二实际应用
（溶液酸碱度的测量）

高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数 2.4.1 方程的根与函数的零点课件湘教版必修1

1.函数 y＝4x－2 的零点是( D )
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实重点难点，个个击破当堂训练，体验成功
[知识链接] 考察下列一元二次方程与对应的二次函数： (1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3； (2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1； (3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3. 你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？
(3)f(x)＝2x－1－3；
解解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，
所以函数的零点是log26.
x2＋4x－12
(4)f(x)＝
.
x－2
x2＋4x－12
解解方程 f(x)＝
＝0，得 x＝－6，
x－2
所以函数的零点为－6.
规律方法求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x) ＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性的曲线，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化而且 f(a)·f(b)＜0 ，则方程f(x)＝0在(a，b) 内至少有一个根，即存在x0∈(a，b)，使 f(x0)＝0.
要点一求函数的零点例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f(x)＝x2＋7x＋6；解解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6. (2)f(x)＝1－log2(x＋3)；解解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
跟踪演练3 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )

高中数学课时作业三十一对数函数的图象与性质1湘教版必修第一册

课时作业(三十一) 对数函数的图象与性质(1)[练基础]1．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)，若图象过点(6，3)，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．12 D ．－122．函数y ＝lg1x －1的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．3．函数y ＝log 2(1＋x )＋4－2x的定义域为( ) A ．(－1，2) B ．(0，2] C ．(0，2) D ．(－1，2]4．若点(a ，b )在y ＝lg x 的图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a ，1－b ) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫10a，b ＋1 D ．(a 2，2b ) 5.已知m ，n ∈R ，函数f (x )＝m ＋log n x 的图象如图，则m ，n 的取值范围分别是( ) A ．m >0，0<n <1 B ．m <0，0<n <1C ．m >0，n >1D ．m <0，n >16．(多选)设a ＞1，在下列函数中，图象经过定点(1，1)的函数有( ) A ．y ＝x aB ．y ＝ax －1C ．y ＝log a x ＋1D ．y ＝ax 3＋17．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________． 8．函数y ＝ln （x ＋1）1－x的定义域为________．9．已知a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，如果无论a ，b 在给定范围内取任何值，函数y ＝x ＋log a (x －3)的图象与函数y ＝bx －c ＋3的图象总经过同一个定点，求实数c 的值．10．设f (x )＝log a (3＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (0)＝2. (1)求实数a 的值及函数f (x )的定义域． (2)求函数f (x )在区间[0，6]上的最小值．[提能力]11．(多选)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象不可能是( )12．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)13．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3的图象恒过定点(m ，n )，且函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n 在[1，＋∞)上单调递减，则实数b 的取值范围是________．14．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是________． 15．设函数f (x )＝ln (x 2＋ax ＋1)的定义域为A . (1)若1∈A ，－3∉A ，求实数a 的取值范围；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．[培优生]16．已知函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，求实数a 的取值范围．课时作业(三十一) 对数函数的图象与性质(1)1．解析：将点(6，3)代入f (x )＝log a (x ＋2)中，得3＝log a (6＋2)＝log a 8，即a 3＝8，a ＝2，所以f (x )＝log 2(x ＋2)，所以f (2)＝log 2(2＋2)＝2. 答案：B2．解析：由题意，1x －1>0，解得x >1，即函数y ＝lg 1x －1的定义域为(1，＋∞)，所以可排除B 、C 选项；当1<x <2时，1x －1>1，此时lg 1x －1>lg 1＝0；当x >2时，0<1x －1<1，此时lg 1x －1<lg 1＝0，显然D 不符合题意，只有A 符合题意．答案：A3．解析：要使得函数有意义，则x ＋1>0，且4－2x≥0 解得x >－1且x ≤2. 即x ∈(－1，2]. 答案：D4．解析：x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2，2b )在函数y ＝lg x 的图象上．答案：D5．解析：由图象知函数f (x )为增函数，所以n >1，又f (x )的图象由y ＝log n x 的图象向上平移得到的，所以m >0. 答案：C6．解析：对于选项A ：当x ＝1时，y ＝1a＝1，所以选项A 正确，对于选项B ：当x ＝1时，y ＝a 0＝1，所以选项B 正确，对于选项C ：当x ＝1时，y ＝log a 1＋1＝1，所以选项C 正确，对于选项D ：当x ＝1时，y ＝a ＋1，图象不经过定点(1，1)，所以选项D 错误．答案：ABC7．解析：由f (3)＝1可得：1＝log 2(9＋a )， ∴a ＝－7. 答案：－78．解析：由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.答案：(－1，1)9．解析：因为函数y ＝x ＋log a (x －3)的图象过定点(4，4)，所以y ＝b x －c＋3的图象必过定点(4，4)，所以4＝b4－c＋3，即c ＝4.10．解析：(1)由题意得，f (0)＝log a 3＋log a 3＝2log a 3＝2，所以a ＝3，所以f (x )＝log 3(3＋x )＋log 3(3－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x >0，3－x >0，解得－3<x <3，所以f (x )的定义域是(－3，3).(2)因为f (x )＝log 3(3＋x )＋log 3(3－x )＝log 3(3＋x )(3－x )＝log 3(9－x 2)，且x ∈(－3，3)，所以log 3(9－x 2)在[0，6]上单调递减，所以当x ＝6时，f (x )在区间[0，6]上取得最小值，是log 33＝1.11．解析：当0<a <1时，函数y ＝a x过定点(0，1)且单调递减，则函数y ＝1ax 过定点(0，1)且单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且单调递减，D 选项符合；当a >1时，函数y ＝a x 过定点(0，1)且单调递增，则函数y ＝1a x 过定点(0，1)且单调递减，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且单调递增，各选项均不符合．综上，选ABC.答案：ABC12．解析：当0<x ≤12时，4x <log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的坐标代入函数y ＝log a x ，得a ＝22.若满足题意，则需22<a <1(如图所示).当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1.答案：B13．解析：由题得函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3的图象恒过定点(－1，3)，所以m ＝－1，n ＝3.所以g (x )＝－x 2－2bx ＋3, 函数的对称轴方程为x ＝－－2b－2＝－b ，函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n 在[1，＋∞)上单调递减，所以－b ≤1，∴b ≥－1. 答案：[－1，＋∞)14．解析：因为f (a )＝f (b )，且0<a <b ，所以0<a <1<b ，且－lg a ＝lg b ，即b ＝1a，所以a ＋4b ＝a ＋4a .令g (a )＝a ＋4a ，易知g (a )在(0，1)上为减函数，所以g (a )>g (1)＝1＋41＝5，即a ＋4b 的取值范围是(5，＋∞).答案：(5，＋∞)15．解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋1>0，9－3a ＋1≤0，所以a ≥103.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞.(2)由题意，得x 2＋ax ＋1>0在R 上恒成立，则Δ＝a 2－4<0，解得－2<a <2. 故实数a 的取值范围为(－2，2).16．解析：因为函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1)的值域为R . 则t ＝ax 2＋2x ＋1可以取到(0，＋∞)内的任意值， ①当a ＝0时，t ＝2x ＋1，与题意相符；②当a ≠0时，结合二次函数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上所述，实数a 的取值范围是[0，1].。

湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题含答案

2024年高二暑假作业检测试卷数学（答案在最后）得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．时量120分钟．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“任意x ∈R ，2240x x -+≤”的否定为（）A.任意x ∈R ，2240x x -+≥B.存在0x ∈R ，200240x x -+>C.任意x ∉R ，2240x x -+≥ D.存在0x ∉R ，200240x x -+>【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题否定的方法求解：改变量词，否定结论.【详解】命题“任意∈，2240x x -+≤”的否定为“存在0x ∈R ，200240x x -+>”，故选：B .2.已知{}|43A x x =-≤≤，(){}|lg 10B x x =->，则A B = （）A.{}|42x x -<≤ B.{}4|2x x -≤≤ C.{}|23<<x x D.{}|23x x <≤【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数单调性解得{}|2B x x =>，进而求交集.【详解】令()lg 10x ->，则11x ->，解得2x >，即{}|2B x x =>，所以A B = {}|23x x <≤.故选：D.3.已知3i1iz +=-，则1z +=（）A.2B. C.4D.【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数z ，然后利用复数模长公式求出复数1z +的模长即可.【详解】因为()()()()223i 1i 3i 33i+i+i 24i12i 1i 1i 1i 1i 2z +++++=====+--+-，所以112i+1=2+2i z +=+，所以1+==z ，故选：B.4.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数；且在(],0-∞上单调递增，若对于任意的x ∈R ，不等式()()21f ax f x >+恒成立，则a 的取值范围是（）A.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B.11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()2,2-D.()(),22,∞∞--⋃+【答案】C 【解析】【分析】根据偶函数在对称区间单调性相反，和偶函数的性质可解【详解】()y f x = 是定义在R 上的偶函数.且在(],0-∞上单调递增，()y f x ∴=在()0,∞+上单调递减.且()(||),f x f x =()()2222()1(||)1||||1||||||10f ax f x f ax f x ax x x a x >+⇔>+⇔<+⇔-⋅+>对称轴0.2a x =≥∴只需要2Δ40a =-<即可，解得22a -<<.故选：C.5.已知π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()2tan 5αβ+=，则πtan 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.322B.1318C.16D.1322【答案】A 【解析】【分析】由()ππ+=+44βαβα⎛⎫-- ⎪⎝⎭结合两角差的正切公式求得.【详解】由()ππ+=+44βαβα⎛⎫-- ⎪⎝⎭得()()()π21tan +tan ππ3454tan +tan +21π442211tan +tan 544αβαβαβααβα⎛⎫---⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=== ⎪ ⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+⨯+- ⎪⎝⎭，故选：A.6.若函数()e 1xf x m =-+有两个零点，则实数m 的取值范围是（）A.()1,2- B.()1,1- C.()0,1 D.()1,0-【答案】D 【解析】【分析】将题目转化为e 1xy =-与y m =-的图象有两个交点，再作出函数图象即可得到范围.【详解】函数()e 1x f x m =-+有两个零点，即e 1xy =-与y m =-的图象有两个交点，令m n -=，作出e 1xy =-与y n =的大致图象如图所示，由图可知01n <<，则01m <-<，故实数m 的取值范围是()1,0-.故选：D.7.如图，圆锥底面半径为3，母线12PA =，23AB AP =，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，最短路线长度为（）A.7B.16C.10D.12【答案】C 【解析】【分析】把圆锥侧面沿母线PA 剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果.【详解】把圆锥侧面沿母线PA 剪开，展在同一平面内得扇形APA '，连接AB ，如图，令扇形APA '圆心角大小为θ，则122π3θ=⨯，解得π2θ=，在Rt PAB △中，143PB PA '==，则222241210AB PB PA =+=+所以一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，最短路线长度为10.故选：C8.在ABC V 中，27AC =O 是ABC V 的外心，M 为BC 的中点，8AB AO ⋅=，N 是直线OM 上异于M 、O 的任意一点，则AN BC ⋅=uuu r uu u r（）A.3B.6C.7D.9【答案】B 【解析】【分析】根据外心的性质得到OM BC ⊥，设ON OM λ=uuu r uuu r，根据数量积的运算律得到AN BC AO AB AO AC ⋅=-⋅+⋅uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r，再由数量积的定义及几何意义求出AO AC ⋅ ，从而得解.【详解】因为O 是ABC V 的外心，M 为BC 的中点，设AC 的中点为D ，连接OD ，所以OM BC ⊥，OD AC ⊥，设ON OM λ=uuu r uuu r，则()AN BC AO ON BC AO BC OM BCλ⋅=+⋅=⋅+⋅ ()AO BC AO BA AC=⋅=⋅+ AO BA AO AC =⋅+⋅AO AB AO AC =-⋅+⋅uuu r uu u r uuu r uuu r ，又O 是ABC V 的外心，所以()cos cos AO AC AO AC CAO AO CAO AC⋅=⋅∠=∠⋅(221171422AC ==⨯= ，所以8146AN BC AO AB AO AC ⋅=-⋅+⋅=-+=uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r.故选：B【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将AN BC ⋅uuu r uu u r 转化为AO AB AO AC -⋅+⋅uuu r uu u r uuu r uuu r，再一个就是利用数量积的几何意义求出AO AC ⋅.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知事件A ，B 发生的概率分别为1()3P A =，1()6P B =，则（）A.若()19P AB =，则事件A 与B 相互独立B.若A 与B 相互独立，则4()9P A B +=C.若A 与B 互斥，则4()9P A B +=D.若B 发生时A 一定发生，则1()3P AB =【答案】AB 【解析】【分析】利用独立事件的定义判断A ；利用并事件的概率公式判断B ；利用互斥事件的概率公式判断C ；分析可知AB B =判断出D .【详解】对于A ，由1()3P A =，1()6P B =，得12()1()133P A P A =-=-=，显然211(()()369P A P B P AB =⨯==，因此事件A 与B 相互独立，A 正确；对于B ，若A 与B 相互独立，则111()()()3618P AB P A P B ==⨯=，因此1114()()()()36189P A B P A P B P AB +=+-=+-=，B 正确；对于C ，若A 与B 互斥，则111()()()362P A B P A P B +=+=+=，C 错误；对于D ，若B 发生时A 一定发生，则B A ⊆，1()()6P AB P B ==，D 错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：判断两个事件相互独立的关键是利用相互独立的定义，即事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，反之亦然.10.()(),1,1,1a b λ==- ，若a 在b 上的投影向量为b，则（）A.3λ= B.//a br rC.()a a b⊥- D.a b -=【答案】AD 【解析】【分析】由投影向量的定义计算可判断A ，根据共线向量的线性表示判断B ，根据垂直的坐标表示判断C ，根据向量模的坐标表示判断D.【详解】因为a 在b上的投影向量为12a b b b b bbλ⋅-⋅==，所以112λ-=，解得3λ=，故A 正确；由(3,1)a = ，()1,1b =- 可知a b λ≠，故B 错误；因为(2,2)a b -=，所以()(3,1)(2,2)321280a a b ⋅-=⋅=⨯+⨯=≠ ，故C 错误；因为(2,2)a b -= ，所以a b -== ，故D 正确.故选：AD11.已知1,1x y >>，且4xy =，则（）A.45x y ≤+< B.220log log 1x y <⋅≤C.2log y x 的最大值为2D.21log log 2x x y -≤+<【答案】ABC 【解析】【分析】将y 用表示，并求出x 的范围，根据双勾函数的性质即可判断A ；根据对数的运算性质及二次函数的性质即可判断B ，令2log yx k =，则224log log log x y k x ==，即4lg lg lg 2lg k x x=，从而可得()2lg 2lg 2lg lg lg 2x xk -+⋅=，再结合二次函数的性质即可判断C ；易得22log log log 2log 21x x x y x +=+-，再结合双勾函数的性质即可判断D.【详解】因为4xy =，所以4y x=，因为141x y x >⎧⎪⎨=>⎪⎩，所以14x <<，对于A ，4x y x x +=+，令()4,14f x x x x=+<<，由双勾函数的性质可得函数()f x 在()1,2上单调递减，在()2,4上单调递增，所以()()min 24f x f ==，又()()15,45f f ==，所以()[)4,5f x ∈，即45x y ≤+<，故A 正确；对于B ，()()222222224log log log log log 2log log 11x y x x x x x⋅=⋅=⋅-=--+，由14x <<，得20log 2x <<，所以()220log 111x <--+≤，即220log log 1x y <⋅≤，故B 正确；对于C ，令2log y x k =，则224log log log x y k x==，即4lglg lg 2lg k x x =，即2lg 2lg lg lg 2lg x kx -=，则()()()222lg 2lg 2lg lg lg 2lg 2lg lg 2lg 2x xx k -+⋅--+==，由14x <<，得0lg 2lg 2x <<，所以当lg lg 2x =时，lg k 取得最大值lg 2，所以k 的最大值为2，即2log y x 的最大值为2，故C 正确.对于D ，2224log log log log log 2log 21x xx x y x x x+=+=+-，令()2log ,0,2t x t =∈，则1log 2x t=，则222log log log 2log 211x x x y x t t+=+-=+-，令()()21,0,2g t t t t=+-∈，由双勾函数的性质可得函数()g t 在(上单调递减，在)上单调递增，所以()min 1g t g==-，当0x →时，()g t ∞→+，所以())1,g t ⎡∈+∞⎣，即2log log 1x x y +≥-，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：令2log y x k =，结合换底公式得出()2lg 2lg 2lg lg lg 2x xk -+⋅=，是解决C 选项的关键.第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数()()3,02,0xx f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】8116【解析】【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可.【详解】331log log 1616=-Q ，233163<<，313log 216∴-<<-，381log 1633331118181log log 2log 22log 31616161616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：811613.一组数据42，38，45，43，41，47，44，46的第75百分位数是________．【答案】45.5【解析】【分析】由百分位数的概念求解即可.【详解】这组数据从小到大排列为：38，41，42，43，44，45，46，47，由于80.756⨯=，所以第75百分位数是：454645.52+=.故答案为：45.514.直三棱柱ABC A B C -₁₁₁的各顶点都在同一球面上，若2π123AB AC AA BAC ===∠=，₁，，则此球的表面积等于__________.【答案】40π3##40π3【解析】【分析】由余弦定理求得BC =，根据正弦定理求出ABC V 的外接圆半径，结合勾股定理和球的表面积公式计算即可求解.【详解】在ABC V 中，由余弦定理得22211221272BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，由0BC >，得BC =ABC V 的外接圆半径为r ，由正弦定理得2sin BC r BAC ==∠r =设三棱柱的外接球半径为R ，则22211023AA R r ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以球O 的表面积210404π4ππ33S R ==⋅=.故答案为：40π3四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12331,sin 23S S S B -+==．（1）求ABC V 的面积；（2）若2sin sin 3A C =，求b ．【答案】（1）28（2）12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由1233S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b ac B A C=，即可求解.【小问1详解】由题意得222212313333,,2S a S S =⋅===，则22212333334442S S S a c -+=-+=，即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则212cos 133B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，132cos 4ac B ==，则12sin 28ABC S ac B == ；【小问2详解】由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C==，则223294sin sin sin sin sin 423b ac ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==.16.已知函数π()cos()1,()sin2224x x f x g x x =++=.（1）解不等式()1f x ≥；（2）若()()mf x g x ≤对任意的π[0,]4x ∈恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）π[2π,2π](Z)2k k k +∈；（2）0m ≤.【解析】【分析】（1）利用和角的正弦、二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质解不等式即得.（2）令sin cos t x x =+，结合()()mf x g x ≤分离参数，利用函数单调性求出实数m 的取值范围.【小问1详解】依题意，2()(cos sin 12sin cos 12sin 22222222x x x x x x f x =-+=+-πsin cos )4x x x =+=+，由()1f x ≥，得πsin()42x +≥，则ππ3π2π2π,Z 444k x k k +≤+≤+∈，解得π2π2π,Z 2k x k k ≤≤+∈，所以不等式()1f x ≥的解集为π[2π,2π](Z)2k k k +∈.【小问2详解】由()()mf x g x ≤，得(sin cos )sin 2m x x x +≤，由π[0,]4x ∈，得πππ442x ≤+≤，即有2πsin()124x ≤+≤，令πsin cos 4t x x x =+=+∈，2sin 22sin cos 1x x x t ==-，原不等式化为21mt t ≤-，即211t m t t t-≤=-，显然函数1y t t =-在上单调递增，则当1t =时，min 0y =，因此0m ≤，所以m 的取值范围0m ≤.17.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，平面PBC ⊥平面ABCD ，30,ACD E ∠= 为AD 的中点，点F 在PA 上，3AP AF =.（1）证明：PC //平面BEF ；（2）若PDC PDB ∠∠=，且PD 与平面ABCD 所成的角为45 ，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）24【解析】【分析】（1）设,AC BE 的交点为O ，连接FO ，可证得//FO PC ，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）取BC 的中点为H ，连接PH ，由面面垂直的性质定理可证得则PH ⊥平面ABCD ，以H 为坐标原点，,,HD HB HP 为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面AEF 与平面BEF 的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.【小问1详解】设,AC BE 的交点为O ，连接FO ，已知O 为ABD △的重心，所以12AO OC =，12AF FP =，所以在APC △中，12AO AF OC FP ==，所以//FO PC ，所以FO ⊂平面BEF ，PC ⊄平面BEF ，则PC //平面BEF .【小问2详解】因为30,ACD ∠= 所以30,ACB ∠= 所以DCB △为等边三角形，所以DC DB =，又因为PDC PDB ∠∠=，所以PDB PDC ≅ ，所以PB PC =，取BC 的中点为H ，连接PH ，则PH BC ⊥，平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，则PH ⊥平面ABCD ，以H 为坐标原点，,,HD HB HP 为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为PD 与平面ABCD 所成的角为45PDH ∠=︒，所以=PH DH ，设菱形的边长为2，所以PH DH ==(()))),0,1,0,2,0,,P B A D E ，因为3AP AF = ，所以2343,,333F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，())1,,,0,1,0,333EF AE BE ⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭，设(),,n x y z =⊥平面AEF，00100333y n AE x y z n EF -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎪⎪⎩⎩，令1,0,1x y z ===，所以()1,0,1n = ，设()222,,m x y z =⊥平面BEF，222200100333m BE m EF x y z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩，令2220,1y x z ===-，所以()1m =- ，则2cos ,4m n m n m n ⋅==- ，所以平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值为24.18.已知函数()f x 满足：x ∀∈R ，1(3)()2f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()f x x x m =--+，函数3()1)xg x =-．（1）求实数m 的值；（2）若(0,3]x ∈，且()()0g x f x ->，求x 的取值范围；（3）已知22()3h x x x λλ=-+-+，其中[0,1]x ∈，是否存在实数λ，使得(())(())g h x f h x >恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8m =；（2）(2,3]；（3）存在；01λ<<.【解析】【分析】（1）根据给定条件，由1(3)(0)2f f =-计算即得.（2）构造函数()()()u xg x f x =-，并探讨单调性，利用单调性解不等式.（3）由(())g h x 的意义，探讨λ及()h x 的范围，再由恒成立列出不等式求解即得.【小问1详解】依题意，1(3)(0)2f f =-，即21332m m --+=-，解得8m =．【小问2详解】当(0,3]x ∈时，()()0g x f x ->，即231)80x x x -++->，令23()1)8x u x x x =-++-，定义域为(0,3]x ∈，显然3(2)34280u =++-=，又3()1)x g x =-在(0,3]x ∈上单调递增，28y x x =+-在(0,3]x ∈上单调递增，因此函数23()1)8x u x x x =-++-在(0,3]x ∈上单调递增，由()0(2)u x u >=，得23x <≤，所以不等式()()0g x f x ->的解集为(2,3].【小问3详解】函数()1)x g x =-的定义域为(0,)+∞，要使(())(())g h x f h x >恒成立，首先满足()0h x >在[0,1]x ∈上恒成立，由于22()3h x x x λλ=-+-+开口向下，只需ℎ(0)=−2+3>0ℎ(1)=−1+−2+3>0，解得1λ-<<，此时22233()33324()4h x x λλλ=---+≤-+≤，则当1λ-<<时，0()3h x <≤对任意[0,1]x ∈时恒成立，令(03)()s x h s =<≤，则()()g f s s >恒成立，即0()()g f s s ->恒成立，由（2）可知，0()()g f s s ->的解集为(2,3]，则只需ℎ(0)=−2+3>2ℎ(1)=−1+−2+3>2，解得01λ<<，所以存在01λ<<满足条件.19.设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001···205a a a ≤<<<≤，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉;（3）若100205a =,求满足条件的集合A 的个数.【答案】（1）{1,2,3,,100}A = （2）证明见解析（3）16个【解析】【分析】（1）根据题目条件，令n a n =，即可写出一个集合{1,2,3,,100}A = ；（2）由反证法即可证明；（3）因为任意的{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉，所以集合{201,202,,205}A 中至多5个元素.设100100m a b -=≤，先通过判断集合A 中前100m -个元素的最大值可以推出(1100)i a i i m =-≤≤，故集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，即可求出．【详解】（1）答案不唯一．如{1,2,3,,100}A = ；（2）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈ 使得0x A ∈，令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈，由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{101,102,,200}x ∈ ，x A ∉．（3）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<< ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<< ，由（2）知，100100m a b -=≤．假设100b m >-，则1000b m -+>．因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤，所以由（2）可得100100100m b m a a --++≤，这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤，又因为121001m a a a -<<< ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤．任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =- ，以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤．若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈．故集合0A符合题意，所以满足条件的集合A的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，个．故满足条件的集合A有4216【点睛】本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系，找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题．。

高二数学暑假作业指数函数与对数函数理苏教版

第4天指数函数与对数函数1. 计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________．2. 计算：210＋(－1)3＋log 1327的值是________．3. 若a ＝21.4，b ＝80.2，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－log 24，则a ，b ，c 的大小关系是____________．(用“>”连接)4. 若函数y ＝a x在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则函数y ＝3a x －1在[0，1]上的最大值是________．5. 函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x2的单调增区间为________．6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x， x≥4，f （x ＋1）， x<4，则f(log 23)＝________．7. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x(a ＞1)的图象上，则实数a 的值为________．8. 若函数y ＝log 12|x ＋a|的图象不经过第二象限，则实数a 的取值范围是________． 9. 若函数f(x)＝a·3x＋4－a4（3x－1）为奇函数，则实数a 的值为________． 10. 已知函数f(x)＝log 3x ＋1x －1，平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数f(x)的图象上，且A(2，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2，则平行四边形ABCD 的面积为________． 11. 设函数f(x)＝log a (3＋x)＋log a (3－x)(a>0，a≠1)，且f(0)＝2. (1) 求实数a 的值及函数f(x)的定义域； (2) 求函数f(x)在区间[0，6]上的最小值．12. 已知函数f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝2x4x＋1.(1) 求函数f(x)在(－1，1)上的解析式；(2) 求函数f(x)的值域．13. 在平面直角坐标系xOy中，已知函数f(x)＝log n x(n＞1)的图象上的两点A，B，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M(a，0)，N(b，0)(b＞a＞1)，线段BN，AM分别与函数g(x)＝log m x(m＞n＞1)的图象交于点C，D，且AC与x轴平行．(1) 当a＝2，b＝4，n＝3时，求四边形ABCD的面积；(2) 当b＝a2时，直线BD经过点(1，0)，求实数a的值；(3) 已知h(x)＝a x，φ(x)＝b x，若x1，x2为区间(a，b)内任意两个变量，且x1＜x2，求证：h(f(x2))＜φ(f(x1))．14. 已知函数f(x)＝ln(a x－b x)(a>1>b>0)．(1) 求函数f(x)的定义域I；(2) 判断函数f(x)在定义域I上的单调性，并说明理由；(3) 当a，b满足什么关系时，f(x)在[1，＋∞)上恒取正值．第4天指数函数与对数函数1. 2 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝21＝2.2. 1 020 解析：原式＝1 024－1－3＝1 020.3. c ＞a ＞b 解析：a ＝21.4，b ＝80.2＝20.6， c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－log24＝2log 24＝22，则c ＞a ＞b.4. 3 解析：由已知得a 0＋a 1＝3，所以a ＝2，则函数y ＝3a x －1在[0，1]的最大值是3×2＝3.5. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：因为y ＝x －x 2的定义域为[0，1]，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，又y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上单调递减，由复合函数的单调性可得函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 6. 124 解析：因为1<log 23<2，所以f(log 23)＝f(log 23＋3)＝f (log 224)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224＝124. 7. 2 解析：由AB ＝2得3log a x －2log a x ＝log a x ＝2，则x ＝a 2.由BC ＝2得x C －x ＝a2log a x －x ＝x 2－x ＝2，x ＞0，解得x ＝2，则a ＝ 2.8. (－∞，－1] 解析：函数y ＝log 12|x ＋a|的图象是由y ＝log 12|x|的图象向右平移至少1个单位长度才能不经过第二象限，所以a≤－1.9. 2 解析：因为f(x)＝a·3x＋4－a 4（3x －1）＝a 4＋13x－1为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即a 4＋13－1－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a4＋13－1，解得a ＝2. 10.112 解析：函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(－x)＝log 3－x ＋1－x －1＝log 3x －1x ＋1＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以平行四边形ABCD 的对角线的交点是坐标原点．又AB ＝54，直线AB 的方程为4x ＋3y －1 1＝0，则点O 到直线AB 的距离为d ＝115，所以平行四边形ABCD 的面积为4S △AOB ＝4×12×54×115＝112.11. 解析：(1) 因为f(0)＝2，所以log a 9＝2(a>0，a≠1)，所以a ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧3＋x>0，3－x>0，得x∈(－3，3)，所以函数f(x)的定义域为(－3，3)．(2) 因为f(x)＝log 3(3＋x)＋log 3(3－x)＝log 3[(3＋x)(3－x)]＝log 3(9－x 2)，所以当x∈(－3，0]时，f(x)是增函数；当x∈(0，3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在区间[0，6]上的最小值是f(6)＝log 33＝1.12. 解析：(1) 当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)．因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x4－x ＋1＝－2x1＋4x .又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，故当x∈(－1，1)时，f(x)的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x1＋4x ，x∈（－1，0），0， x ＝0，2x 4x＋1， x∈（0，1）.(2) 由函数单调性可得f(x)＝2x4x ＋1在(0，1)上单调递减，又由奇函数的对称性可得f(x)在(－1，0)上单调递减．当0＜x ＜1时，f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12；当－1＜x ＜0时，f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25.因为f(0)＝0，所以f(x)在(－1，1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12∪{0}∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25.13. 解析：(1) 由题意得A(2，log 32)，B(4，log 34)，C(4，log m 4)．因为AC 与x 轴平行，所以log m 4＝log 32，所以m ＝9，所以AD ＝log 32－log 92＝log 92，BC ＝log 34－log 94＝log 94，则S 四边形ABCD ＝AD ＋BC 2×MN＝log 92＋log 942×2＝log 98.(2) 由题意得A(a ，log n a)，B(b ，log n b)，C(b ，log m b)．因为AC 与x 轴平行，所以log m b ＝log n a.因为b ＝a 2，所以m ＝n 2.因为直线BD 经过点(1，0)，所以DM a －1＝BN a 2－1，即log m a a －1＝log n ba 2－1，所以a ＝3. (3) 因为a ＜x 1＜x 2＜b ，且n ＞1，所以log n a ＜log n x 1＜log n x 2＜log n b.因为a ＞1，b ＞1，所以a log n x 2＜a log n b ，b log n a ＜b log n x 1.因为log n b·log n a ＝log n a·log n b ，所以log n a log n b ＝log n b log n a ，所以a log n b ＝b log n a ，所以a log n x 2＜b log n x 1，即h(f(x 2))＜φ(f(x 1))．14. 解析：(1) 因为f(x)＝ln (a x－b x)(a>1>b>0)有意义，所以a x－b x>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1.又a>1>b>0，所以ab>1，故所求定义域I 为(0，＋∞)．(2) 函数f(x)在定义域I 上是单调增函数．证明：取任意x 1，x 2，且0<x 1<x 2. 因为a>1>b>0，所以ax 1<ax 2，bx 1>bx 2，所以ax 1－bx 1<ax 2－bx 2，所以ln (ax 1－bx 1)<ln (ax 2－bx 2)，所以f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在定义域上是单调增函数．(3) 因为f(x)在[1，＋∞)上恒取正值，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值大于0，由(2)得f(x)min＝f(1)＝ln(a－b)．因为ln(a－b)>0，所以a－b>1，所以当a－b>1时，f(x)在[1，＋∞)上恒取正值．。

3.5.2 对数函数y=logax 的图像和性质课件(北师大版必修一)

惯上用 x 表示自变量，y 表示函数，所以，指数函数 y＝ ax(a＞0， a≠1)是对数函数 y＝logax(a＞0， a≠1)的反函数；同时，对数函数 y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数 y＝ ax(a＞0，a≠1)的反函数．
填一填· 知识要点、记下疑难点
5.1~5.2
3．对数函数 y＝log2x 的图像和性质
本课时栏目开关
5.1~5.2
5.1 5.2
【学习要求】
对数函数的概念
对数函数 y＝ log2 x 的图像和性质
本课时栏目开关
1．理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系； 2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数．【学法指导】通过细胞分裂问题引入对数函数的概念，明确对数函数的概念也来自实践，进而培养实践第一的观点；通过对数函数与指数函数互为反函数，渗透数学中相互联系、相互转化的观点.
小结
画对数函数 y ＝logax 的图像时，应抓住三个关键点 1 (a,1)，(1,0)，a，－1.
研一研· 问题探究、课堂更高效
5.1~5.2
跟踪训练 3 在同一坐标系中，函数 y＝2－x 与函数 y＝log2x 的图像可能是 ( C )
本课时栏目开关
1x 解析由于函数 y＝2 ＝( ) 在 R 上是减函数，所以图像是下 2
填一填· 知识要点、记下疑难点
5.1~5.2
本课时栏目开关
1．对数函数的概念：函数 y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函 (0，＋∞) ．数，其中 x 是自变量，定义域为___________ 2．互为反函数的概念
互为反函数．像 y＝ax 和 x＝logay 这样的两个函数叫作___________ 习

高中数学(基础预习+课堂探究+达标训练)2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时导学案湘教版必修1

第1课时反函数及对数函数的概念1．对数函数的概念一般说来，把由对数运算确定的函数y ＝log a x (x ＞0，a ＞0，a ≠1)叫作(以a 为底的)对数函数．预习交流1怎样判断一个函数是否是对数函数？提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数．例如y ＝log 5x (x ＞0)是对数函数，而y ＝log 3(2x )(x ＞0)以及y ＝log 2(x －1)、y ＝2log 2x 等都不是对数函数．2．指数函数与对数函数的关系函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)互为反函数，这时，指数函数y ＝a x的定义域R 是对数函数y ＝log a x 的值域，而指数函数y ＝a x的值域(0，＋∞)，是对数函数y ＝log a x 的定义域．3．反函数(1)反函数的求法要求函数y ＝f (x )的反函数，可以先把x 和y 换位，写成x ＝f (y )，再把y 解出来，表示成y ＝g (x )的形式．如果这种形式是唯一的确定的，就得到f (x )的反函数g (x )．(2)互为反函数的两个函数的图象在同一坐标系内关于直线y ＝x 对称．预习交流2函数y ＝x 2是否具有反函数？提示：在函数y ＝x 2中，将x 与y 换位得到x ＝y 2，解得y ＝±x ，这种形式不是唯一的，故原函数没有反函数．预习交流3互为反函数的两个函数的单调性有何关系？提示：两者中一个递增另一个也递增，一个递减另一个也递减．一、对数函数的概念已知函数f (x )是对数函数，则对f (x )定义域内的任意自变量a ，b ，给出下列结论：①f (ab )＝f (a )f (b )；②f (a ＋b )＝f (a )f (b )；③f (ab )＝f (a )＋f (b )；④f (a 2)＝2f (a )；⑤f (0)＝1；⑥f (1)＝0.其中正确结论的序号是__________．思路分析：根据f (x )是对数函数，设出其解析式，然后结合对数的运算法则逐一进行判断．答案：③④⑥解析：∵f (x )是对数函数，∴可设f (x )＝log d x (d ＞0且d ≠1)．因此f (ab )＝log d ab ＝log d a ＋log d b ＝f (a )＋f (b )， f (a 2)＝log d a 2＝2log d a ＝2f (a )． f (1)＝log d 1＝0.故结论③④⑥正确，其余均错．1．下列函数中是对数函数的是__________．①y ＝log x 2，②y ＝log 8x ，③y ＝ln x ，④y ＝lg(x ＋2)，⑤y ＝log 2x ＋1. 答案：②③2．若f (x )是对数函数，且f (3)＝－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝__________. 答案：2解析：设f (x )＝log a x ，由f (3)＝－1得log a 3＝－1，∴a ＝13.于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝131log 9＝2.1．对数函数的定义同指数函数的定义一样，是形式化的定义，必须严格符合对数函数定义形式的函数才是对数函数．2．研究对数函数的解析式时，要注意结合对数的运算法则进行推理与判断．二、求函数的反函数求下列函数的反函数：(1)y ＝log 4x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x；(3)y ＝2－5x ；(4)y ＝log 2(x －2)．思路分析：按照求反函数的一般步骤：对换x 与y ，解出y ，得到反函数．解：(1)将x 与y 换位得x ＝log 4y ，解得y ＝4x ，故反函数为g (x )＝4x；(2)将x 与y 换位得x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23y，解得23log y x =，故反函数为()23log g x x =；(3)将x 与y 换位得x ＝2－5y ，解得y ＝25－15x ，故反函数为g (x )＝25－15x ；(4)将x 与y 换位得x ＝log 2(y －2)，解得y ＝2x ＋2，故反函数为g (x )＝2x＋2.求下列函数的反函数：(1)y ＝x －1x ＋2；(2)y ＝32x ＋6；(3)y ＝log 3x ＋2.解：(1)将x 与y 换位得x ＝y －1y ＋2，解得y ＝2x ＋11－x ，故反函数是g (x )＝2x ＋11－x；(2)将x 与y 换位得x ＝32y ＋6，解得y ＝12log 3x －3，故反函数是g (x )＝12log 3x －3；(3)将x 与y 换位得x ＝log 3y ＋2，解得y ＝3x －2，故反函数是g (x )＝3x －2.1．求一个函数的反函数时，一般可按照如下步骤进行：(1)将解析式中的x 与y 对换； (2)将对换后的式子中的y 解出来； (3)得到反函数y ＝g (x )．2．并不是每一个函数都有反函数，若在解y 的时候，y 的结果不唯一，那么它就不具有反函数．3．原函数是一个与指数函数或对数函数有关的函数时，需要充分利用指数式与对数式之间的关系求y .三、利用原函数与反函数图象的对称性解题若点A (1,2)既在函数f (x )＝ax ＋b 的图象上，又在f (x )的反函数的图象上，求a ，b 的值．思路分析：由题目可获取以下主要信息：(1)点A (1,2)在函数f (x )＝ax ＋b 的图象上；(2)点A (1,2)在函数f (x )的反函数图象上．解答本题先由A (1,2)在函数f (x )的反函数图象上得出A ′(2,1)在f (x )的图象上，然后建立关于a ，b 的方程组求解．解：依题意可得f (1)＝2，f (2)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，2a ＋b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝7.1．若函数f (x )的图象上有一点(0,1)，则其反函数上一定存在点( )． A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(0,0) D ．不能确定答案：B2．已知函数y ＝a x＋b (a ≠0)的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a ＝________.答案：3解析：由函数y ＝a x＋b 的图象过点(1,4)，得a ＋b ＝4.①反函数的图象过点(2,0)，则原函数的图象必过点(0,2)，得a 0＋b ＝2.② 联立①②，可得a ＝3，b ＝1.利用原函数与其反函数图象间的对称性解题，可以避免求出原函数的反函数，化繁为简，达到事半功倍的效果．1．若f (x )是对数函数，且f (16)＝4，则f (x )的解析式是( )． A ．f (x )＝log 2x B ．f (x )＝log 4x C ．f (x )＝log 16x D ．f (x )＝14log x答案：A解析：设f (x )＝log a x ，则log a 16＝4，故a ＝2，选A ． 2．函数y ＝x ＋2，x ∈R 的反函数为( )． A ．x ＝2－y B ．x ＝y －2C ．y ＝2－x (x ∈R )D ．y ＝x －2(x ∈R ) 答案：D解析：将x 与y 换位，得x ＝y ＋2，解得y ＝x －2，所以反函数为y ＝x －2(x ∈R )．3．若f (x )是对数函数，则f (x )对其定义域中的自变量m ，n ，一定满足( )．A ．f (m －n )＝f (m )－f (n )B ．f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝0C ．f (n 2)＝[f (n )]2D ．f (n )＋f (－n )＝0答案：B解析：不妨设f (x )＝log a x ，则f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝log a m ＋log a 1m＝log a m －log a m ＝0，选B ．4．函数y ＝a x＋m 过定点(0,2)(a ＞0，且a ≠1)，那么其反函数必过定点( )．A ．(1,0)B ．(2,0)C ．(0，m )D ．(m,0)答案：B5．若函数y＝f(x)的图象和函数y＝log3x(x＞0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝________.答案：3x(x∈R)解析：由两函数的图象关于直线y＝x对称，知y＝log3x(x＞0)与y＝f(x)互为反函数，所以f(x)＝3x，x∈R.。

【精品原创】对数函数图像和性质

因为 x ,1 3,时 x 2 4x 3 0
故 log2 x 2 4x 3 R 所以值域为R
例2已知函数 y log2 x 2 4x 3
（2）确定函数单调区间
解析（2） u(x ) x 2 4x 3 在区间（ - ，1）上单调递减；在区
间 3，上单调递增；
X
R (1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0.
在(0,+∞)上是减函数
在(0,+∞)上是
增函数
识别对数函数的图像
与对数函数有关的复合函数问题例2已知函数 y log2 x 2 4x 3
(1)求函数的定义域、值域（2）确定函数单调区间
解析:根据题意可知 x 2 4x 3 0
解得 x ,1 3, 所以定义域: ,1 3,
y log2 x 2 4x 3 在区间（ - ，1）上单调递减；在区
间 3，上单调递增。
小结
1.对数函数的图像和性质是解决与对数函数有关问题的基础；
2.解决与对数函数有关的复合函数问题的关键是：将复合函数“拆成”几个基本初等函数，再“逐个分析、击破”。
学习目标
1.理解对数函数的图象与性质. 2.解决一些与对数函数有关的简单的复合函数的定义域、值域、单调性等问题
知识梳理
对数函数
的图象与性质
图像
定义域值域
性过定点质单调性
0＜a＜1
y x =1
(1,0)
O
y
X
log a
x
( 0,+∞)
a＞1
y x =1
y log a x
O (1,0)