《数学分析下册》期末考试卷
《数学分析下册》期末考试卷及参考答案

《数学分析下册》期末考试卷及参考答案一、填空题(第1题每空2分,第2,3,4,5题每题5分,共26分)1、已知uln某2y2,则uu,,y某du2、设L:某2y2a2,则某dyyd某L某=3cot,L:3、设(0t2),则曲线积分(某2+y2)d=y=3int.L4、改变累次积分dy(f某,y)d某的次序为2y33某y1,则(51)d某dy=5、设D:D得分阅卷人二、判断题(正确的打“O”;错误的打“某”;每题3分,共15分)p某0,y0)p某0,y0)1、若函数(在点(连续,则函数(点(必存在一f某,y)f某,y)阶偏导数。
()p某0,y0)p某0,y0)2、若函数(在点(可微,则函数(在点(连续。
f某,y)f某,y)()p某0,y0)3、若函数(在点(存在二阶偏导数f某y(某0,y0)和fy某(某0,y0),则f某,y)必有f某y(某0,y0)fy某(0某,0y) L(B,A)()()4、L(A,B)f(某,y)d某f(某,y)d某。
5、若函数(在有界闭区域D上连续,则函数(在D上可积。
()f某,y)f某,y)第1页共5页得分阅卷人三、计算题(每小题9分,共45分)1、用格林公式计算曲线积分I(e某iny3y)d某(e某coy3)dy,AOAO为由A(a,0)到O(0,0)经过圆某2y2a某上半部分的路线。
其中2、计算三重积分------线--------------------------------------(某V2y2)d某dydz,其中是由抛物面z某2y2与平面z4围成的立体。
第2页共5页3、计算第一型曲面积分IdS,S其中S是球面某2y2z2R2上被平面za(0aR)所截下的顶部(za)。
4、计算第二型曲面积分22Iy(某z)dydz某dzd某(y某z)d某dy,S其中S是立方体V0,b0,b0,b的外表面。
第3页共5页5、设D(某,y)某2y2R曲顶柱体的体积。
得分阅卷人四、证明题(每小题7分,共14分)1、验证曲线积分第4页共5页2.求以圆域D为底,以曲面ze(某2y2)为顶的(某22yz)d某(2y2某)zdy2(z2,某)ydzL与路线无关,并求被积表达式的一个原函数u(某,y,z)。
北京交通大学第二学期工科数学分析Ⅱ期末考试试卷及其答案

解此方程组,得
10.设函数 f ( x ) =
∫
0
x
sin t dt .⑴ 试将 f ( x ) 展成 x 的幂级数,并指出其收敛域.⑵ 若在上式中 t
令 x = 1 ,并利用其展开式的前三项近似计算积分 解: ⑴ 由于
∫
1
sin x dx ,试判断其误差是否超过 0.0001 ? x 0
( t 2 t 4 t 6 t 8 t 10 − 1) t 2 n −2 = 1− + − + − +"+ +" (2n − 1)! 3! 5! 7! 9! 11! 所以,在区间 [0, x ]上逐项积分,得
y x+ y ∫∫ e dxdy ,其中积分区域 D 是由直线 x = 0 , y = 0 及 x + y = 1 所围成的闭区 D
6.计算二重积分 域.
解: 作极坐标变换 x = r cos θ ,
y = r sin θ ,则有
rdr
∫∫ e
D
y x+ y
π
dxdy = ∫ dθ
0
2
1 cos θ + sin θ
Σ
(
)
(
)
= ∫∫∫ z + x + y dV
2 2 2
(
)
Ω
= ∫ dθ ∫ sin ϕdϕ ∫ ρ 4 dρ
0 0 0
−2
2π
π
2 a
2 = πa 5 5
8.求解微分方程 x y ′′ + xy ′ − 4 y = 2 x . 解:
2
这是 Euler 方程,令 x = e ,或 t = ln x ,原方程化为
《数学分析下册》期末考试卷

数学分析下册期末考试卷 一、填空题(第1题每空2分,第2,3,4,5题每题5分,共26分) 1、已知xy u e =,则u x ∂=∂ ,u y ∂=∂ ,du = 。
2、设:L 224x y +=,则L xdy ydx -=⎰Ñ 。
3、设 :L 229x y +=,则曲线积分ds ⎰22L (x +y )= 。
4、改变累次积分b a dy f dx ⎰⎰b y (x ,y )的次序为 。
5、设2D y ax +≤2:x ,则 D dxdy ⎰⎰= 。
二、判断题(正确的打“O ”;错误的打“×”;每题3分,共15分) 1、若函数f (x ,y)在区域D 上连续,则函数f (x ,y )在D 上的二重积分必存在。
( )2、若函数f (x ,y )在点p 00(x ,y ) 可微,则函数f (x ,y )在点p 00(x ,y )连续。
( )3、若函数f (x ,y )在点p 00(x ,y )存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ,则 必有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。
( )4、第二型曲线积分与所沿的曲线L (A ,B )的方向有关。
( )5、若函数f (x ,y )在点00(,)x y 连续,则函数f (x ,y ) 在点00(,)x y 必存在一阶偏导数 。
( )三、计算题 ( 每小题9分,共45分)1、用格林公式计算曲线积分22()LI x y dx xy dy =-+⎰Ñ , 其中 L 是圆周222x y a +=2、计算三重积分222()V xy z dxdydz ++⎰⎰⎰,其中2222:V x y z a ++≤。
3、计算第一型曲面积分SI zdS =⎰⎰ ,其中S 是上半球面2222x y z R ++=(0z ≥)。
4、计算第二型曲面积分SI xdydz ydzdx zdxdy =++⎰⎰Ò,其中S 是长方体[][][]0,10,20,3V =⨯⨯的外表面。
数学分析2期末考试题库

数学分析2期末考试题库(总49页)数学分析 2 期末试题库《数学分析II 》考试试题(1)一、叙述题:(每小题 6 分,共18 分)1、牛顿-莱不尼兹公式2、a收敛的cauchy 收敛原理nn 13、全微分二、计算题:(每小题8 分,共32 分)1、limx 0x2sin t dt4x2、求由曲线2y x和2x y 围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。
3、求nnx1 n(n1)的收敛半径和收敛域,并求和y4、已知zu x ,求2 u x y三、(每小题10 分,共30 分)1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数xp 1e x dx2、讨论反常积分的敛散性12 x3、讨论函数列S n ( , ) 的一致收敛性( x) x2n四、证明题(每小题10 分,共20 分)x 1n1 n1、设x 0, 1 ( 1,2 )n ,证明x nn n 1x 发散n2、证明函数xy2 2x y 0f (x, y) 2 2 在(0,0)点连续且可偏导,x y2 20 x y 0但它在该点不可微。
,《数学分析II》考试题(2)一、叙述题:(每小题5分,共10分)b1、叙述反常积分f(x)dx,a为奇点收敛的cauchy收敛原理a2、二元函数f(x,y)在区域D上的一致连续二、计算题:(每小题8分,共40分)1111、)lim(n1n22n nx a(t sin t)2、求摆线t[0,2]y a(1cost)与x轴围成的面积1x3、求(cpv)dx21x4、求幂级数n1(x n1)2n的收敛半径和收敛域x5、(,)u f xy,求y2 u x y三、讨论与验证题:(每小题10分,共30分)1、f2x y(x,y),求lim lim f(x,y),m i l m i l f(x,y)x yx0y0y0x0;lim(,)f x y(x,y)(0,0)是否存在?为什么?2、讨论反常积分0arctanpxxdx的敛散性。
初二期末考试卷数学分析
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1. 下列数中,是整数的有()A. 0.5B. 2.3C. -3D. 1.252. 若a、b是实数,且a < b,则下列不等式中正确的是()A. a + 1 < b + 1B. a - 1 < b - 1C. a + 2 < b + 2D. a - 2 < b - 23. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1,则数列{an}的第10项是()A. 19B. 18C. 20D. 174. 下列函数中,是反比例函数的是()A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = x^2 + 1D. y = 3x - 25. 若x > 0,则下列不等式中正确的是()A. x^2 > 0B. x^3 > 0C. x^4 > 0D. x^5 > 06. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3,公差d = 2,则数列{an}的前5项和S5是()A. 20B. 25C. 30D. 357. 下列各式中,正确的是()A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3D. (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^38. 下列函数中,是奇函数的是()A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^49. 若函数y = kx + b(k ≠ 0)是增函数,则k的取值范围是()A. k > 0B. k < 0C. k ≠ 0D. k ≥ 010. 下列各式中,正确的是()A. sin 45° = √2/2B. cos 45° = √2/2C. tan 45° = 1D. cot 45° = 111. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2,则数列{an}的第7项是______。
浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案
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浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期《 数学分析(Ⅱ)》课程期末考试试卷(A )课程号: 061Z0010 ,开课学院:___理学部___考试形式:闭卷,允许带___笔____入场考试日期: 2011 年 6 月 24 日,考试时间: 120 分钟诚信考试,沉着应考,杜绝违纪。
请注意:所有题目必须做在答题本上!做在试卷纸上的一律无效!请勿将答题本拆开或撕页!如发生此情况责任自负! 考生姓名: 学号: 所属院系: _一、 计算下列各题: ( 前4题每题5分,最后一题6分,共26分 )1. 2()(03)sin lim .x y xy x→,,求: 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=,,,,2.(122)().f x y z gradf =,,设,,23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x f r x r r r xf f y zgradf ∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-,,,,,,,,令,则:则:同样,,因此,,,3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面:在点,,处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===令:,,,则:,,因此,在点,,的法向量,,,故法线为: 4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰设曲线:的长度为计算: 222(2)(44)44.=0.C C C Cx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰其中:5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧,计算: (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰;22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此,二、 计算题:(每题8分,共56分)1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数,且,求:的 211.n Fourier n +∞=∑级数,并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n nn nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R n x f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑由于是周期为的偶函数,则:,,,因此,式中,令,则:12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n n x n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令:,则:因此,【或】:在式中令,则:2. 211(2)1.44n n n n n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数,并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n n n n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑,则:当时,发散;当时,发散因此,级数的收敛域为:,令,,则:1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n nn n n n t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中:故,所以,其中:上式中令,可得,2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n nt t n n t x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】:令,对于级数而言,,因此,的收敛半径为而当时,级数收敛;当时,级数发散故级数的收敛域为,因此,当,即时收敛因此,原级数的收敛域为,..下面与上同3. 222()2.y z z z f x y f x x x y ∂∂=+∂∂∂设,,且具有阶连续偏导,计算:, 12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x xz y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算,其中,222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()112 1.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰,方法一、区域:令:,则:,,方法二、令:,则:,2222001233cos sin 34440443444442004113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v u u v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分:,其中,,()2222221(0)2110000cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22z z x y z z z u x x u z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xe dx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称,被积函数关于为奇函数,因此,方法一、令:方法二、()120211cos 2cos 2220000011cos 2000(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d e d d e d e d e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点,,是球面第一卦限中的一点,S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧,求:点()M ξηζ,,使曲面积分:⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小,并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327S SS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点,,处的切平面方程为:由于,则:333..2.S xdydz ydzdx zdxdy a x y z M ≤++≥===⎰⎰因此,等号在故,点为62222(1).30..2(2)xy yz zx xy yz zx xy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy a a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++【或】:添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、,使其与所围闭曲面方向为外侧则:根据公式可得:切平面:,截距分别为:、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数:,,,令:由于、、,则:将其代入可得,由于驻点唯一,根据实际问题当因此,3.=7. 22(0)cos (0)42C xdy ydx x C A y B x y ππ-=-+⎰计算,其中曲线是从点,沿到点,,再从 (2).BD ππ-点沿直线到点,22222222222222222222022224.44(4)4(0).444410arc 42C C DA L DA LL y x P y x Q P Q x y x y y x y xDA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂∙====++∂+∂∙+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法一、,,则:连接,作:,足够小,方向为顺时针则:2220224221122332222222221tan 2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y y dxdyA A A A A A A D L y x P y x Q P Q C L x y x y y x y xP Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点,沿直线到点,、再从点沿直线到点,、从点沿直线到点,、再从点沿直线到点;记此路径为由于,,则:;且在由曲线、所围区域内、都11223322222222222222022202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A A Dxdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数,因此,7.4448ππππ+++=三、 证明题:(每题9分,共18分)1. 210cos ()()1n n n nx u x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义,并证明: (02).π在,内连续,且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nx x n n n n nx n N n nx f x n nx n nx n g x n n n ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对,,有,而收敛,故级数在,内一致收敛.另外,对,函数在,内连续,因此,在,内也连续.记,由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin 22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211n k n n x n x kx x n nx n nx Dirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零,且对,及,,根据判别法,在,上一致收敛,即在,上内闭一致收敛又在,内连续,故,在,)内具有连续的导数. 2. 0()()y f x δδδ>-=证明:存在,及定义在,内的具有连续导数的函数, ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dy f x f x f x x dx ==+++=满足,且并计算的值 22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ∙=+++-==++=>=+->-==+令:,,*则:,在上连续;,;在上连续;,;在上连续.根据隐函数存在性定理,存在,及定义在,内的具有连续导数的函数,满足,且()222222)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos()x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy++=∙+++===''+++-=-+'在两边同时对求导,且当时,则:。
2021-2022学年数学分析II期末试题参考答案
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课程编号:100171019 北京理工大学2021-2022学年第二学期2021级数学分析(II )期终考试试题A 卷解答1.(23分)求下列函数的偏导数或全微分 (1)设cos xyz e=,求dz .(2)设(,)z z x y =由方程zx y z e ++=所确定的隐函数,求z x ∂∂和22zx∂∂.(3)设1()()z f xy yg x y x=++,其中f 和g 在R 上有连续的二阶导数,求z x ∂∂,z y ∂∂和2zy x∂∂∂ 解:(1)cos (cos )xy dz e d xy =cos (sin )()xy e xy d xy =−cos sin ()xy xye ydx xdy =−+.(2)方程关于x 求导,y 是常数,z 是x 的函数,1z x x z e z +=,11x zz e =−. 23(1)(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. 方法二. zzxx x x xx z e z z e z =+,221(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. (3)//211()()()z f xy f xy y yg x y x x x∂=−+⋅++∂ //21()()()yf xy f xy yg x y x x =−+++,//1()()()z f xy x g x y yg x y y x∂=⋅++++∂ //()()()f xy g x y yg x y =++++,2/////()()()zf xy yg x y yg x y y x∂=⋅++++∂∂ /////()()()yf xy g x y yg x y =++++.2.(15分)(1)求二重积分22Dy I dxdy x=⎰⎰,其中D 为由1,2,y y y x x ===所围的区域. (2)求三重积分I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰,其中Ω由0,0,0,21x y z x y z ===++=所围成.(3)求第一型曲面积分()MI x y z dS =++⎰⎰,其中M为上半球面:z =222x y R +≤(0)R >. 解:(1)2221221y y Dy y I dxdy dy dx x x==⎰⎰⎰⎰22111()yyy dy x =−⎰2223111()()y y dy y y dy y=−=−⎰⎰ 94=. 方法二. 22212221122212x x Dy y y I dxdy dx dy dx dy x xx ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)设D 为xy −平面上由0,0,21x y x y ==+=所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰120x yDdxdy xdz −−=⎰⎰⎰(12)Dx x y dxdy =−−⎰⎰[]11(1)20(1)2x dx x x xy dy −=−−⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰. 方法二. 对任意的[0,1]x ∈,x D 为yz −平面上由0,0,21y z y z x ==+=−所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰1xD dx xdydz =⎰⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰(3) x z =y z =,()MI x y z dS =++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221x y Rdxdy +≤=⎰⎰3R π=.3.(8分)设(,)z z x y =在2R 有连续偏导数,并且322cos(2)3cos(2)dz axy x y dx x y b x y dy ⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦其中,a b 是常数,求,a b 的值和(,)z z x y =的表达式. 解:由条件3cos(2)x z axy x y =++,223cos(2)y z x y b x y =++, 则232sin(2)xy z axy x y =−+,26sin(2)yx z xy b x y =−+. 因为xy z 和yx z 都连续,所以xy yx z z =, 232sin(2)axy x y −+26sin(2)xy b x y =−+, 取,02x y π==,解得2b =,进而得出2a =.再由32cos(2)x z xy x y =++,23(,)sin(2)()z x y x y x y y ϕ=+++, 22/32cos(2)()y z x y x y y ϕ=+++, 于是/()0y ϕ=,()y C ϕ=.故23(,)sin(2)z x y x y x y C =+++.4.(10分)求幂级数211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域及和函数的表达式.解:记21(1)()(21)!n n n n u x x n −−=+. 对任意的0x ≠,21()0,()2(23)n n u x xn u x n n +=→→+∞+, 则211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑收敛. 即得211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域为(,)−∞+∞. 记211(1)()(21)!n n n n S x x n +∞−=−=+∑,定义域为(,)−∞+∞.容易求得(0)0S =. 对任意的0x ≠,利用幂级数的性质,2/11(1)()()2(21)!nn n S x x n +∞=−=+∑/211(1)2(21)!n n n x n +∞=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/21111(1)2(21)!n n n x x n +∞+=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/11(sin )2x x x⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 2cos sin 2x x xx−=.5.(10分)设()f x 是以2π为周期的函数,它在区间(,]ππ−上的表达式为00()20x f x x ππ−<≤⎧=⎨<≤⎩. (1)求()f x 的Fourier 级数;(2)求()f x 的Fourier 级数的和函数在区间[0,2]π上的表达式;(3)求11(1)21n n n −+∞=−−∑.解:(1)先计算()f x 的Fourier 系数, 01()a f x dx πππ−=⎰122dx ππ==⎰,1()cos n a f x nxdx πππ−=⎰12cos 0nxdx ππ==⎰,1,2,n =,1()sin n b f x nxdx πππ−=⎰ ()0122sin 1(1)n nxdx n πππ==−−⎰2421(21)n k n k k π=⎧⎪=⎨=−⎪−⎩,1,2,k =.()f x 的Fourier 级数为()01cos sin 2n n n a a nx b nx +∞=++∑ 14sin(21)121k k xk π+∞=−=+−∑. (2) 12(0,)4sin(21)10(,2)2110,,2k x k x x k x ππππππ+∞=∈⎧−⎪+=∈⎨−⎪=⎩∑. (3)令2x π=,1411sin (21)2212k k k ππ+∞=⎛⎫+−= ⎪−⎝⎭∑,解得11(1)214n n n π−+∞=−=−∑.6.(12分)(1)判别下列广义积分的收敛性,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(a) 30411dx +∞−⎰ (b) 20sin x dx +∞⎰ (2)设()af x dx +∞⎰收敛,并且lim ()x f x L →+∞=.证明:0L =.解:(1)(a) 0,1x x ==为瑕点, 考虑30411dx +∞−⎰1122133330122444411111111dx dx dx dx +∞=+++−−−−⎰⎰⎰⎰.因为330004411lim lim111x x x →+→+==−−,3431141lim 111x x x →→−⋅==−,31342433441lim lim111x x xxx +→+∞→+∞⋅==−−,而其中1351244+=>,所以112213333012244441111,,,1111dx dx dx dx +∞−−−−⎰⎰⎰⎰都收敛,于是30411dx +∞−⎰收敛,又被积函数非负,故是绝对收敛.(b)0x =不是瑕点,20sin x dx +∞⎰与21sin x dx +∞⎰具有相同的收敛性,只讨论21sin x dx +∞⎰即可.令2t x =,则2111sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰, 1+∞⎰条件收敛. 那么20sin x dx +∞⎰条件收敛.(2)假设0L ≠,不妨设0L >.由lim ()x f x L →+∞=,根据极限性质,存在0X >,使得当x X >时,()2Lf x >.则A X ∀>,()()()A X AaaXf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2X aLf x dx A X >+−⎰, 由此推出lim()A aA f x dx →+∞=+∞⎰,与()af x dx +∞⎰收敛矛盾.假设不成立,即0L =.7.(12分)(1)证明:函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛,但在(0,)+∞不一致收敛.(2)证明:1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续且可导.证:(1)对任意的[,)x δ∈+∞和任意的正整数n ,0nx n ne ne δ−−<<, 而1,e n δδ−−=→<→+∞,说明1nn neδ+∞−=∑收敛,根据M 判别法,函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.记()nx n u x ne −=,对任意的正整数n ,取1(0,)n x n=∈+∞, 1()0,n n u x ne n −=→+∞,则()nxn u x ne−=在(0,)+∞不一致收敛于0.故函数项级数1nx n ne +∞−=∑在(0,)+∞不一致收敛. (2) (0,)x ∀∈+∞,存在0δ>,使得(,)x δ∈+∞.因为()nxn u x ne−=在(0,)+∞连续(1,2,)n =,利用(1),函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛,所以和函数1()nx n f x ne +∞−==∑在[,)δ+∞上连续,于是它在x 连续.由x 的任意性,1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续.对任意的0δ>,/22()nx n n u x n e n e δ−−=−≤,[,),1,2,x n δ∀∈+∞=,而1,e n δδ−−=→<→+∞,说明21nn n eδ+∞−=∑收敛,根据M 判别法,函数项级数/1()n n u x +∞=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.根据一致收敛的函数项级数的逐项可导性,1()nx n f x ne +∞−==∑在区间[,)(0)δδ+∞>可导. 同理可得,1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上可导.8.(10分)设1α>,10n n a a +<≤,0,1,2,n =.证明:111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛. 证:由条件,{}n a 单调递增,则要么{}n a 有上界要么{}n a 趋于+∞. (1)设{}n a 有上界. 则{}n a 收敛,记lim n n A a →+∞=,显然0A >.利用极限性质,存在0N ,当0n N >时, 2n Aa >. 则当01n N >+时,由条件1α>,那么1111120()()()22n n n n n n n n a a a a a a A A a a A ααα+−−−−−−≤<=−. 由于1001(),nk k n k a a a a A a n −=−=−→−→+∞∑,说明11()n n n a a +∞−=−∑收敛. 利用比较判别法,111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.(2) 设{}n a 无上界,即lim n n a →+∞=+∞.利用极限性质,存在0N ,当0n N >时,1n a >. 则当01n N >+时,由条件1α>,那么11111110n n n n n n n n n na a a a a a a a a a α−−−−−−−≤≤=−. 由于 110011111(),nk k k n n a a a a a =−−=−→→+∞∑, 说明1111()n n n a a +∞=−−∑收敛. 利用比较判别法,111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.。
哈尔滨工业大学工科数学分析期末考试试卷
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工业大学工科数学分析期末考试试卷假设想免费下载该文档:登录.hnh12. ->论坛->文档下载区->〔搜索想要的文档〕工科数学分析期末考试试卷〔答案〕试题卷〔A〕考试形式〔开、闭卷〕:闭答题时间:150〔分钟〕本卷面成绩占课程成绩70%题号一二三四五六七八卷面总分平时成绩课程总成绩分数一.选择题〔每题2分,共10分〕1.以下表达中不正确者为〔D〕〔A〕如果数列收敛,那么数列一定有界。
〔B〕如果,那么一定有。
〔C〕在点处可导的充要条件是在点处可微。
〔D〕如果函数在点处导数为,那么必在该点处取得极值。
得分2.设在[0,1]上那么以下不等式正确者为〔B 〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3.假设在上可积,那么以下表达中错误者为〔D〕〔A〕连续〔B〕在上可积第1页〔共7页〕〔C〕在上由界〔D〕在上连续4.假设,那么〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D 〕5.〔D〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕得分二.填空题〔每题2分,共10分〕1.的连续点为:,其类型为:第一类连续点。
2.的全部渐近线方程为:。
3.摆线处的切线方程为:。
4.=: 1 。
5.设在上可导,,第2页〔共7页〕那么=:三.计算以下各题:〔每题4分,此题总分值20分〕得分1.假设,求解:2,那么2.,解:,3.解:==4.解:第3页〔共7页〕5. ,求解:=,所以。
故四.解答以下各题:〔每题5分,此题总分值10分〕得分1.数列,,求证:收敛,并且证明:1)证有界因为,所以。
假设,那么。
故有界。
2〕证单调因为,故为单调上升数列。
由1〕和2〕知道收敛。
设,由,所以有解得。
而且为单调递增数列,所以。
故。
第4页〔共7页〕2.设,曲线与三条直线所围平面局部绕x 轴旋转成的旋转体的体积为取何值时,最大?解:,由得,。
当时,故当时,到达极大值,且为最大值。
五:证明以下各题:〔1,2题各4分,3,4题各6分,此题总分值20分〕得分1.证明方程至少有一个不超过的正根。
证明:设,显然它在上连续。
【最新试题库含答案】数学分析(下册)答案
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数学分析(下册)答案:篇一:《数学分析下册》期末考试卷及参考答案数学分析下册期末模拟试卷及参考答案一、填空题(第1题每空2分,第2,3,4,5题每题5分,共26分)1、已知u?则?u?u?,??y?xdu?。
2、设L:x2?y2?a2,则??xdy?ydx?。
L?x=3cost,L:3、设?(0?t?2?),则曲线积分?(x2+y2)ds=。
?y=3sint.L4、改变累次积分?dy?(fx,y)dx的次序为。
2y33x?y?1,则??1)dxdy 。
5、设DD二、判断题(正确的打“O”;错误的打“×”;每题3分,共15分)px0,y0)px0,y0)1、若函数(在点(连续,则函数(点(必存在一fx,y)fx,y)阶偏导数。
( )px0,y0)px0,y0)2、若函数(在点(可微,则函数(在点(连续。
fx,y)fx,y)( )px0,y0)3、若函数(在点(存在二阶偏导数fxy(x0,y0)和fyx(x0,y0),则 fx,y)?必有 fxy(x0,y0)fyx(0x,0y) 。
L(B,A)( ) ( ) 4、L(A,B)?f(x,y)dx??f(x,y)dx。
5、若函数(在有界闭区域D上连续,则函数(在D上可积。
( ) fx,y)fx,y)第 1 页共 5 页三、计算题(每小题9分,共45分)1、用格林公式计算曲线积分I??(exsiny?3y)dx?(excosy?3)dy ,?AOAO为由A(a,0)到O(0,0)经过圆x2?y2?ax上半部分的路线。
其中?、计算三重积分???(xV2?y2)dxdydz,是由抛物面z?x2?y2与平面z?4围成的立体。
第 2 页共 5 页3、计算第一型曲面积分I???dS,S其中S是球面x2?y2?z2?R2上被平面z?a(0?a?R)所截下的顶部(z?a)。
4、计算第二型曲面积分22 I????y(x?z)dydz?xdzdx?(y?xz)dxdy,S其中S是立方体V??0,b???0,b???0,b?的外表面。
北京交通大学工科数学分析期末考试(A)卷答案
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∂ z ∂ z + 2 = ze 2 x 2 ∂y ∂x
2 2
∂z ∂z = f ′(u )e x sin y , = f ′(u )e x cos y ∂y ∂x ∂2 z = f ′′(u )e 2 x sin 2 y + f ′(u )e x sin y , ∂x 2
(
)
2 2 2 st′ = ( x′)t + ( y′)t + (z ′)t = 9 sin 2 t cos 4 t + 9 cos 2 t sin 2 t + 4 sin 2 2t = 5 sin t cos t , G 1 所以, T = (− 3 cos t, 3 sin t, − 4 ) , 5
Ω Σ1 Σ1
(
)
……5
(
)
= ∫∫∫ dxdydz + 16
Ω
x 2 + z 2 ≤2
∫∫ dzdx
=π∫
1
3
(
y − 1 dy + 32π
……8
)
2
= 34π
九. (本题满分 8 分) 设直线
P (1, − 2, 5) ,试求常数 a , b .
解:
⎧x + y + b = 0 2 2 在平面 π 上,而平面 π 与曲面 z = x + y 相切于点 ⎨ ⎩ x + ay − z − 3 = 0
工科数学分析(A)卷答案-1
3 ⎧ ⎪ f x ( x, y ) = 4 x − 2 x − 2 y = 0 ⎨ 3 ⎪ ⎩ f y (x, y ) = 4 y − 2 x − 2 y = 0 解得其驻点为 M 0 ( 0, 0 ) 、 M 1 ( 1, 1 ) 、 M 2 ( − 1, 1 ) ,则______________ .
《数学分析II》期末试卷+参考答案
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《数学分析(II )》试题2004.6一.计算下列各题:1.求定积分∫+e x x dx 12)ln 2(;2.求定积分; ∫−222),1max(dx x3.求反常积分dx x x ∫∞++021ln ;4.求幂级数()∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域;5.设,求du 。
yz x u =二.设变量代换可把方程⎩⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ,求常数。
a三.平面点集(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n是否为紧集?请说明理由。
四.函数项级数n nn n x x n +⋅−∑∞=−1)1(11在上是否一致收敛?请说明理由。
]1,0[五.设函数在上连续,且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和)arctan(21)2(20x dt t x tf x =−∫。
求。
∫21)(dx x f六.设函数在上具有连续导数,且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和22)]([1)(x f x x f +=′,+∞<≤x 1。
证明:存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。
七.设如下定义函数:dt t t x f x x t1sin 21)(2∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=,。
1>x 判别级数∑∞=2)(1n n f 的敛散性。
八.设∫=40cos sin πxdx x I n n (L ,2,1,0=n )。
求级数的和。
∑∞=0n n I《数学分析(II )》试题(答案)2004.6一.1.421π⋅; 2.320; 3.; 4. 0)2/1,2/1(−; 5.⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xdz y xdy z dx x yz x dz yz ln ln 。
二.。
3=a 三. 是紧集。
四.一致收敛。
五.43。
六.因为,所以单调增加,因此0)(>′x f )(x f 1)1()(=>f x f 。
数学分析期末试题(值得下载 )
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数学分析考试题一、判断题(每小题2分,共20分)1.开域是非空连通开集,闭域是非空连通闭集.()2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时,三者必相等.()3.连续函数的全增量等于偏增量之和. ()4.在原点不可微.()5.若都存在,则.()6.在内不一致收敛.()7.平面图形都是可求面积的.()8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. ()9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”.()10.二重积分定义中分割的细度不能用来代替.()二、填空题(每小题3分,共15分)1.设,则其全微分.2.设,则在点处的梯度.3.设为沿抛物线,从到的一段,则.4.边长为密度为的立方体关于其任一棱的转动惯量等于.5.曲面在点(3,1,1)处的法线方程为.三、计算题(每小题5分,共20分)1.求极限.2.设是由方程所确定的隐函数,求.3.设,求.4.计算抛物线与轴所围的面积.四、(10分)密度的物体由曲面与所围成,求该物体关于轴的转动惯量.五、(10分)求第二类曲面积分其中是球面并取外侧为正向.六、(第1小题8分,第2小题7分,共15分).1. 求曲线,在点(1,1,2)处的切线方程和法平面方程.2.证明:.七、(10分)应用积分号下的积分法,求积分.第三学期数学分析参考答案及评分标准一、判断题(每小题2分,共20分)1.开域是非空连通开集,闭域是非空连通闭集.()2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时,三者必相等.(√)3.连续函数的全增量等于偏增量之和. ()4.在原点不可微.(√)5.若都存在,则.()6.在内不一致收敛.(√)7.平面图形都是可求面积的.()8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. (√)9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”.()10.二重积分定义中分割的细度不能用来代替.(√)二、填空题(每小题3分,共15分)1.设,则其全微分.2.设,则在点处的梯度 (1,-3,-3).3.设为沿抛物线,从到的一段,则 2 .4.边长为密度为的立方体关于其任一棱的转动惯量等于.5.曲面在点(3,1,1)处的法线方程为.三、计算题(每小题5分,共20分)1.解:先求其对数的极限.由于,所以 =0,故=1.2.解:方程两边对,求偏导数,得解得。
复旦大学2004~2005学年 数学分析Ⅱ 期末考试试卷
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3
7.判断 ∑ x 2 (1 − x) n 与
n =1
∞
∑ nx
n =1
∞
2
(1 − x) n 在 [0,1] 上的一致收敛性,并证明0 。 8. 设函数 f ( x) 在 [a, +∞) 上一致连续, ∫ a f ( x)dx 收敛, x →+∞
+∞
4
n =1
∞
话举出反例。
4.求曲线 y =
xe− x ( x ≥ 0) 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。
2
2
5. 求 f ( x) = arctan
∞ (−1) n 1 − 2x 在 x = 0 的幂级数展开,并求 ∑ 的值。 n 1 + 2x n = 0 ( 2n + 1) 4
6.设底面直径为 2 米,高为 5 米的圆柱体形状的浮桶横躺在 100 米 深的海底,打捞作业时需要将桶内的水“抽”到海面上,问将桶内的 。 水全部抽干要做多少功?(答案可保留水的比重 ρ 与重力加速度 g )
ln(1 + x ) ⋅ sin x dx 收敛,则 α 的取值范围为 xα
。
。
(6) 函数项序列 S n ( x) = n 2 xα e − nx 在区间 [0,1] 上一致收敛, 则 α 的取
值范围为 。
1
解答题(每题 10 分) 2.计算积分 ∫ 0
+∞
xn dx 。 1 + x n+2
3. x n > 0 , ∑ x n 收敛,问是否有 lim nx n = 0 ?是的话证明之,不一定的 n→∞
复旦大学 2004~2005 学年第二学期期末考试试卷
课程名称: 开课院系: 学生姓名:
数学分析试题及答案

z = 0 与 z = h ( h > 0 )之间的部分,定向为下侧。
七.设 A(x, y) = 2xy(x 4 + y 2 )λ i − x 2 (x 4 + y 2 )λ j 是右半平面 D = { (x, y) | x > 0 } 上 的向量场,试确定常数 λ ,使得 A(x, y) 为 D 上函数 u(x, y) 的梯度场,并求出 u(x, y) 。
∑ 计算 ∞ (−1)n+1 的值。 n2 n=1
4
复旦大学 2005~2006 学年第一学期期末考试试卷
答案
1. (本题满分 40 分,每小题 8 分) (1) 2 2x + y − 2 = 0 。
(2) 1 。 2
1
(3) y = e e 为极大值。 x=e
(4)曲线在 (0, 1] 上为上凸,在[1,+∞) 上为下凸, (1, − 7) 为拐点。
∫∫∫ 四.计算三重积分 e|z|dxdydz ,其中 Ω = { (x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}。 Ω
五. 计算曲线积分
∫ 2 y 2 + z 2 ds ,
L
其中 L 是球面 x2 + y 2 + z 2 = a 2 ( a > 0 )与平面 x = y 相交而成的圆周。
A t(1 + t 2 ) 2
x→+∞ 1 t(1 + t 2 )
∫ 所以存在 X > 0 ,当 x > X 时成立 A cos xt dt < ε ,于是当 x > X 时成立
《数学分析III》期末考试卷及参考答案05

第 1 页 共 6 页数学分析下册期末试题及参考答案05一、 填空题(第1题每空2分,第2、3、4、5、6题每题4分,共26分)1、已知、已知 22xy u e-=,,则u x¶¶= ,uy¶=¶ , du = ;2、cos sin x ar y br q q =ìí=î,则(,)J r q = ;3、设L :cos sin x a t y b t=ìí=î 0t p ££,则22()Lx y ds +ò= ;4、120(,)ydyf x y dx òò交换积分顺序后为:交换积分顺序后为: ; 5、2221x y I x ydxdy +£=òò= ;6、令设222L x y a +=:,则Lydx xdy -=ò . 第 2 页 共 6 页二、判断题(对的打√,错的打×,每空3分,共15分)1、若函数(,)z f x y =的重极限和两个累次极限都存在,的重极限和两个累次极限都存在,则他们必相等;则他们必相等; ( )2、若函数(,)z f x y =在00(,)x y 可微,则(,)z f x y =在点00(,)x y 一定连续;一定连续; ( )3、若函数(,)z f x y =在闭区域D 上连续,则函数(,)z f x y =在D 上可积;上可积; ( )4、(,,)P x y z 是定义在双侧曲面S 上的函数,则上的函数,则(,,)(,,)SSP x y z dxdy P x y z dxdy =-òòòò; ( )5、若函数(,)z f x y =的偏导数在00(,)x y 的邻域内存在,则(,)f x y 在点00(,)x y 可微;( )三、计算题(第3、6题各7分,其余每题8分,共46分)1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积. 得 分分 阅卷人阅卷人得 分分 阅卷人阅卷人第 3 页 共 6 页2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò,其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域. 3、利用二重积分计算椭圆面:22221x y a b+£的面积的面积任教姓学考生答题不得过此线密封线课教师:学班号:名:号:装订线第 4 页 共 6 页4、计算第二型曲面积分:1SI dxdy z =òò,其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧. 5、计算22()SI x y ds =+òò,其中S 为立体221x y z +££的边界曲面.第 5 页 共 6 页6、利用高斯公式计算235SI xdydz ydzdx zdxdy =++òò,其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧. 四、证明题(四、证明题(66分)1、证明(3sin )(cos )x y dx x y dy ++是全微分,并求原函数(,)u x y得 分分 阅卷人阅卷人 考生答题不得过此线密封线任课教师:教学班号:姓名:学号:装订线得 分分 阅卷人阅卷人第 7 页 共 6 页1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积 解:设所求体积为V,V,则则2222[()]xyD V x y x y dxdy =+-+òò,其中,22:1xy D x y +£(3分),令cos ,sin x r y r q q ==,则xy D 可表示为:02,01r q p ££££(4分),所以,,所以, 21200()V d r r rdr pq =-òò(5分)=6p (8分)分)2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò,其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域解:令sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r j q j q j ===(2分), 则V 可表示为:02,,0cos 2r pq p j p j ££££££-(4分),所以, 222VI x y z dxdydz =++òòò=2cos 3002sin d d r dr ppjp q j j -òòò(5分) =10p(8分)3、利用二重积分计算椭圆面:22221x y a b+£的面积解:设所求面积为S,则Ds dxdy =òò,其中D 为:22221x y a b +£(2分),令cos ,sin x ar y br q q ==(3分),则D 可表示为:02,01r q p ££££(4分),所以, 2100S d abrdr pq =òò(5分),所以S ab p =(7分). 4、计算第二型曲面积分:1S I dxdy z =òò,其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧解:记1S 为椭球面0z ³的一侧,2S 为椭球面0z £的一侧,则的一侧,则12111S S SI dxdy dxdy dxdy z z z ==+òòòòòò(2分),则12,S S 在xoy 面上的投影都是2222:1xy x y D a b +£(3分),所以222222221111xyxyDD I dxdy dxdy x y x y c c aba b =------òòòò22221x y c a b --21dr c r-=4ab cp(,则221x y z z ++=22x y =+,则2212x y z z ++=(22222)+2)+=(12)2p +23Sxdydz ydzdx +òò235Sxdydz ydzdx =++òò分),所以10I =D 44033p p ´=分)分)则y x ==¶¶,所以第 9 页 共 6 页则00(,)(3sin )(cos )3cos x yM Mu x y x y dx x y dy xdx x ydy =++=+òòòò(5分)分)=23sin 2x x y +(6分)(说明:原函数可以直接观察得出!)五、应用题(五、应用题(77分) 一页长方形白纸,要求印刷面积占2Acm ,并使所留页边空白为:上部与下部宽度之和为:a b h +=cm,左部与右部宽度之和为:c d r +=cm (A,r,h 为已知数),求页面的长(y)和宽(x),使它的面积最小.解:由题意,目标函数与约束条件分别为xy S =与.))(( , ,A h y r x h y r x =-->>(1分)作Lagrange 函数],))([(A h y r x xy L ---+=l (2分)则有分)则有ïîïíì=---==-+==-+=.0))(( ,0)( ,0)(A h y r x L r x x L h y y L yx l l l (3分)分) 由此解得由此解得, , 111r h Ah x y r l l l l l æö===-+ç÷ç÷++èø(5分)分) 于是有于是有. ,h rAhy r h Arx +=+=(6分)分)根据问题的实际意义知,此时页面的面积是最小的根据问题的实际意义知,此时页面的面积是最小的..(7分)分)。
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数学分析下册期末考试卷 一、填空题(第1题每空2分,第2,3,4,5题每题5分,共26分) 1、已知xy u e =,则u x ∂=∂ ,u y ∂=∂ ,du = 。
2、设:L 224x y +=,则L xdy ydx -=⎰ 。
3、设 :L 229x y +=,则曲线积分ds ⎰22L (x +y )= 。
4、改变累次积分b a dy f dx ⎰⎰b y (x ,y )的次序为 。
5、设2D y ax +≤2:x ,则 D dxdy ⎰⎰= 。
二、判断题(正确的打“O ”;错误的打“×”;每题3分,共15分) 1、若函数f (x ,
y )在区域
D 上连续,则函数f (x ,y )在D 上的二重积分必存在。
( ) 2、若函数f (x ,y )在点p 00(x ,y ) 可微,则函数f (x ,y )在点p 00(x ,y )连续。
( ) 3、若函数f (x ,y )在点p 00(x ,y )存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ,则 必有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。
( ) 4、第二型曲线积分与所沿的曲线L (A ,B )的方向有关。
( ) 5、若函数f (x ,y )在点00(,)x y 连续,则函数f (x ,y ) 在点00(,)x y 必存在一阶偏导数 。
( )
三、计算题 ( 每小题9分,共45分)
1、用格林公式计算曲线积分
22()L
I x y dx xy dy =-+⎰ ,
其中 L 是圆周222x y a +=
2、计算三重积分
222()V x
y z dxdydz ++⎰⎰⎰,
其中2222:V x y z a ++≤。
3、计算第一型曲面积分
S
I zdS =⎰⎰ ,
其中S 是上半球面2222x y z R ++=(0z ≥)。
4、计算第二型曲面积分
S
I xdydz ydzdx zdxdy =++⎰⎰,
其中S 是长方体[][][]0,10,20,3V =⨯⨯的外表面。
5、计算四个平面1,0,0,0x y z x y z ++====所围成的四面体的体积。
四、证明题(每小题7分,共14分)
1、验证曲线积分
2()xy xy xy L
e xye dx x ye dy ++⎰,
与路线无关,并求被积表达式的一个原函数(,)u x y 。
2、证明:若函数f (x ,y )
在有界闭区域D 上连续,则存在(,),D ξη∈ 使得
(,)(,)D D f x y d f S σξη=⋅⎰⎰ ,这里D S 是区域D 的面积。
参考答案及评分标准
一、填空题(第1题每空2分,第2,3,4,5题每题5分,共26分)
1、xy ye ;xy xe ;xy xy ye dx xe dy +。
2、8π;
3、54π ;
4、(,)b X a a dx f x y dy ⎰⎰ ;
5、24a π。
二、判断题(正确的打“O ”;错误的打“×”;每题3分,共15分)
1、○;
2、○;
3、×;
4、○ ;
5、× .
三、计算题 ( 每小题9分,共45分)
1、解:由格林公式,有
=22222:()D x y a I y x dxdy +≤=
+⎰⎰-----------------------------5分
=34:0,022D r a r drd a θππθ≤≤≤≤=
=⎰⎰------------------------------------------------------------9分
2、解:作球面坐标变换:cos sin ,sin sin ,cos x r y r z r θϕθϕϕ===, 则2(,,)sin J r r θϕϕ= 且
:0,0,02V V r a ϕπθπ'⇒≤≤≤≤≤≤---------------------------------------------4分 2
2222224005()6sin 8495
V
V a
r x y z dxdydz
r r drd d d d r dr a ππϕθθϕϕπ'
∴++=⋅--------------------=------------------=--------------------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分
分
分
3
、解:2S Z R =∈≤22:x ,y )D :x +y
.
dS =
= ----------------------------------5分
S D I zdS ∴==⎰⎰------------8分
=3D
dxdy R π=⎰⎰ -----------------------------9分
4、解:用高斯公式,得
3I dxdydz
=⎰⎰⎰V
------------------------------------6分 =3dx dy dz ⎰⎰⎰123000
----------------------------------8分 =18-------------------------------------------------9分 解5、设:01,01D y x x ≤≤-≤≤,则所围成的四面体的体积
(1)D
V x y dxdy =--⎰⎰-----------------------------------4分
=1100(1)x dx x y dy ---⎰⎰---------------------------------6分 = 16
-----------------------------------------------9分 四、证明题(每小题7分,共14分)
1、证明:2,xy xy P e xye Q x =+=xy ,e
2xy P Q xe y x
∂∂==∂∂2xy +x ye ,,∈2(x ,y )R . ∴曲线积分与路线无关。
-----------------------------------4分 取000x y ==,则
y
u P dx Q dy =+⎰⎰x 0(x ,y ,z )(x ,0)(x ,y )
=200
y
x xy dx x e dy +⎰⎰-------------------------------7分
=xy xe -------------------------------------------9分
2、证明:由 最值定理,函数f (x ,y )在有界闭区域D 上存在最大值M 和最小
值m ,且∀∈(x ,y )
D ,有
m f M ≤≤(x ,y ), 上式各端在D 上积分,得 D D D
mS f d MS σ≤≤⎰⎰(x ,y ),
或 f d m M σ≤≤⎰⎰D D (x ,y )S , 其中D S 为D 的面积。
根据介质性定理,存在D ξη∈(,),使得 f d f f σξησξη=
=⋅⎰⎰⎰⎰D D D D (x ,y )(,),即f (x ,y )d (,)S S .。