NS EQUATION
柱坐标系和球坐标系下NS方程的直接推导
Derivation of 3D Euler and Navier-Stokes Equationsin Cylindrical CoordinatesDingxi WangSchool of Engineering, Durham UniversityContents1. Derivation of 3D Euler Equation in Cylindrical coordinates2. Derivation of Euler Equation in Cylindrical coordinates moving at ω in tangential direction3. Derivation of 3D Navier-Stokes Equation in Cylindrical Coordinates1. Derivation of 3D Euler Equation in Cylindrical coordinatesEuler Equation in Cartesian coordinates0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂zGy F x E t U (1.1) WhereU → Conservative flow variables E → Inviscid/convective flux in x direction F → Inviscid/convective flux in y directionG → inviscid/convective flux in z directionAnd their specific definitions are as follows⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=E w v u U ρρρρρ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Hu wu vu p uu u E ρρρρρ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Hv wv p vv uv v F ρρρρρ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=Hw p ww vw uw w G ρρρρρ()ww vv uu CvT E +++=21()ρp E ww vv uu CpT H +=+++=21H → Total enthalpySome relationshipWe want to perform the following coordinates transformation()()r x z y x ,,,,θ→Because1=∂∂∂∂+∂∂∂∂rzz r r y y r0=∂∂∂∂+∂∂∂∂θθzz r y y rAccording to Cramer’s ruler, w e haveθθθθ∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂z J z y r z r yzr z y r 101 (1.2.1)θθθθ∂∂-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂y J z y r z r yy r y z r 101(1.2.2)Whereθθ∂∂∂∂∂∂∂∂=z y r z ry j Similar to the above0=∂∂∂∂+∂∂∂∂rzz r y y θθ1=∂∂∂∂+∂∂∂∂θθθθzz y yr z J z y r z r y zr z y∂∂-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂110θθθθ (1.2.3) ryJ z y r z r y y r y z∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂110θθθθ(1.2.4) In addition, the following relations hold between cylindrical coordinate and Cartesiancoordinateθcos r y =,θsin r z =⇒θcos =∂∂r y ,θsin =∂∂rz ,θθsin r y -=∂∂,θθcos r z =∂∂, (1.3) r r r z y r zryJ =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=θθθθθθcos sin sin cos()()θθθθθθθθθsin cos F Fr r r z F z F r rz F z r F y F y r r F J y FJ∂∂-∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂∂-∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂(1.4.1)()()θθθθθθθθθcos sin G Gr r r y G y G r r y G y r G z G z r r G J z G J∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂(1.4.2) DerivationMultiplying the both side of equation (1.1) by J and applying equalities (1.4.1) and (1.4.2) gives,()()()()()()0sin cos sin cos cos sin sin cos =-∂∂++∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂θθθθθθθθθθθF G Gr Fr r x E r t U r G Gr r F Fr r x E r t U r z GJ y F J x E J t U J z G y F x E t U J (1.5) Differentiating the following w.r.t. time givesθcos r y =,θsin r z =dt d r dt dr dt dy θθθsin cos -=,dtd r dt dr dt dz θθθcos sin +=w dtdz v dt d r v dt dr v dt dy r ====,,,θθ r v w v =+θθsin cos (1.6.1) θθθv w v =+-cos sin (1.6.2)Expanding the term ()θθsin cos Gr Fr + and applying the relationships (1.6) yields,()()()()()()rr r r r r rG Hv p wv p vv uv v r w v H p w v w p w v v w v u w v r r Hw p ww vw uw w r Hv wv p vv uv v Gr Fr =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ρθρθρρρθθρθθθρθθθρθθρθθρθρρρρρθρρρρρθθsin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (1.7.1)Expanding the term ()θθsin cos F G - and applying the relationships (1.6) yields,()()()()()()θθθθθθρθρθρρρθθρθθθρθθθρθθρθθρθρρρρρθρρρρρθθF Hv p wv p vv uv v w v H p w v w p w v v w v u w v Hv wv p vv uv v Hw p ww vw uw w F G =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--+-+-+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos (1.7.2)Substituting relationships (1.7) into equation (1.5) and rearranging gives,()()0sin cos sin cos =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=-∂∂++∂∂+∂∂+∂∂r rG F x E r t U r F G Gr Fr r x E r t U rr θθθθθθθ(1.8)As we can see from expressions (1.7), the momentum equations in radial and tangential directions contain velocities in Cartesian coordinate; we need to replace them with corresponding variables in cylindrical coordinate. Writing down the momentum equations in radial and tangential directions as follows,()()0sin cos =∂-∂+∂+∂+∂∂+∂∂θθρθρρρθp vv r p vv r x vu r t v r r (1.9.1)()()0cos sin =∂+∂+∂+∂+∂∂+∂∂θθρθρρρθp wv r p wv r x wu r t w rr (1.9.2) Multiplying (1.9.1) by θcos and (1.9.2) by θsin , then summing up and applying expressions (1.6) and rearranging yields()()()()()pv v p wv p vv p wv p vv v v r p v v r x u v t v r r r r r r +=++--=∂∂++∂∂-=∂∂+∂+∂+∂∂+∂∂θθθθθθθρθθρθθρθθθρθθθρθρρρρcos cos sin sin sin cos cos sin (1.10.1)Multiplying (a) by θsin - and (b) by θcos , then summing up and applying expressions (1.6) yields,()()()()()()θθθθθθθθθθρθθρθθρθθθρθθθρθρρρρv v p wv p vv p wv p vv p v v r p v v r x u v t v r r r -=+---=∂∂++∂∂--=∂+∂+∂+∂+∂∂+∂∂sin cos cos sin cos cos sin sin (1.10.2)Replacing (1.10) with (1.9) and rearranging equation (1.8) givesS rr rGr F x E t U =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂θ (1.11) Where⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=E v v u U r ρρρρρθ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=Hu u v u v p uu u E r ρρρρρθ,,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θθθθθθρρρρρHv v v p v v uv v F r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=rr r r r rHvp v v v v uv v G ρρρρρθ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0002r p v r v v S r θθρρNote: different from Euler equation in Cartesian coordinates, the Euler equation in cylindrical coordinates contains source terms from momentum equations in radial and tangential equations.2. Derivation of Euler Equation in Cylindrical coordinates moving atω in tangential direction()()t r x t r x ''''→,,,,,,θθWherer r '=,t '+'=ωθθ,x x '=,t t '=⇒r r =',t ωθθ-=',x x =',t t ='t tt t t x x t t r r t '∂∂++'∂∂-=∂'∂'∂∂+∂'∂'∂∂+∂'∂'∂∂+∂'∂'∂∂=∂∂00ωθθθ,000+++'∂∂=∂'∂'∂∂+∂'∂'∂∂+∂'∂'∂∂+∂'∂'∂∂=∂∂r rt t r x x r r r r r θθ00++'∂∂+=∂'∂'∂∂+∂'∂'∂∂+∂'∂'∂∂+∂'∂'∂∂=∂∂θθθθθθθθt t x x r r ,00+'∂∂++=∂'∂'∂∂+∂'∂'∂∂+∂'∂'∂∂+∂'∂'∂∂=∂∂x x t t x x x x x r r x θθθω'∂∂-'∂∂=∂∂U t U t U ,r r G r r r rG '∂''∂=∂∂,θθ'∂'∂=∂∂r F r F ,x Ex E '∂∂=∂∂ Then equation (1.11) can be written as followsS r r G r r F x E U t U ='∂''∂+'∂'∂+'∂∂+'∂∂-'∂∂θθω ⇒()S r r Gr r r U F x E t U ='∂''∂+'∂'-∂+'∂∂+'∂∂θω (2.1) Where ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+=0002r v v r p v S r θθρρEquation (2.1) adopts rotating coordinates but the variables are measured in absolute cylindrical coordinates.3. Derivation of 3D Navier-Stokes Equation in Cylindrical Coordinates3D Navier-Stokes Equations in Cartesian coordinates()()()0=∂-∂+∂-∂+∂-∂+∂∂zV G y V F x V E t U z y x (3.1) Where⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=E w v u U ρρρρρ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Hu wu vu p uu u E ρρρρρ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Hv wv p vv uv v F ρρρρρ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Hw p ww vw uw w G ρρρρρ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=x zx yx xx zx yx xx x q w v u V ττττττ0,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=y zy yy xy zy yyxy y q w v u V ττττττ0, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=z zz yz xzzz yz xz z q w v u V ττττττ0 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂=V x u z w y v x u xx322232μμτ, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==x v y u xy yx μττ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==x w z u xz zx μττ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂=V y v z w x u y v yy 322232μμτ, ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂=V z w x u y v z w zz322232μμτ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==z v y w zy yz μττx T kq x ∂∂-=,y T k q y ∂∂-=,zTk q z ∂∂-= In the following derivation, only viscous terms will be derived from Cartesian coordinates to cylindrical coordinates, those inviscid terms having been derived in section 1 will be not repeated.()()θθθsin cos F Fr r y F J∂∂-∂∂=∂∂ Replacing F with y V gives()()θθθsin cos y y y V r V r yV J∂∂-∂∂=∂∂ ()()θθθcos sin G Gr r z G J∂∂+∂∂=∂∂ (3.2.1) Replacing G with x V gives()()θθθcos sin z z z V r V r z V J ∂∂+∂∂=∂∂ (3.2.2) Multiplying equation (3.1) by J , the viscous terms are gives as follows (omitting the negative sign before it from simplicity),()()()()()()θθθθθθθθθθθsin cos sin cos cos sin sin cos y z z y x z z y y x z y x V V r V r V r x V r V r V r V r V r x V r z V J y V J x V J -∂∂++∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂ (3.3)()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂=θμθθθθθθμμτθr v r r rv x u w r wr r v r vr r x u z w y v x u r xx 232cos sin 1sin cos 1232232 (3.4.1) ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==x v u r ur r x v y uxy yx θθθμμττsin cos 1, (3.4.2)()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==x w u r ur r x w z u xz zx θθθμμττcos sin 1, (3.4.3)()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂=θθθθθθμθθθθθθμμτcos sin 1sin cos 1232cos sin 1sin cos 1232232w r wr r x u v r vr r w r wr r x u v r vr r z w x uy vyy ,(3.4.4) ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂=x u v r vr r w r wr r x u y vz wzz θθθθθθμμτsin cos 1cos sin 1232232 (3.4.5)()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∂-∂-∂+∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==θθθθθμθθθθθθμμττcos sin sin cos 1cos sin 1sin cos 1v w r vr wr r v r vr r w r wr r z v y w zy yz (3.4.6)Expanding expression (3.3) gives,()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-++-++-+-+-+-∂∂+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++++++++∂∂+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++∂∂=-∂∂++∂∂+∂∂θθθτθτθτθτθτθτθτθτθτθτθτθτθθθθτθτθτθτθτθτθτθτθτθτθτθτττττττθθθθθcos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin 0sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 00sin cos sin cos z y zz zy yzyy xz xy zz zy yz yy xz xy z y zz zy yz yy xz xy zz zy yz yy xz xy x zx yx xx zx yx xx y z z y x q q w v u q q w v u r r q w v u x r V V r V r V r x V r(3.5)()()()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂∂∂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂=+∂∂x v r u r r x v u r ur r r r x w u r ur r x v u r ur r r r rrr r xz xy μμθθθθμθθθθμθτθτ1sin cos sin 1cos sin cos 1sin cos =〉⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂==x v r u r rx xr μττ (3.6.1)()()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂=+-∂∂x v r u x w u r ur r x v u r ur r xz xy θθμθθθθθμθθθθμθθτθτθcos cos sin 1sin sin cos 1cos sin =〉⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂==x v r u x x θθθθμττ (3.6.2)()()()()()()()()()()()()()()()x rx r r r rr r rr r r r r r zxyx v v x v r u v x v r u v x v v x v v v r u v ru x v v x v v v u rv r u r x v v v v v u uv v r ur r x ww vv w u v u w r ur v r ur r x w w x v v w u r ur v u r ur r x w u r ur r w x v u r ur r v w v θθθθθθθθθθθθθττθμμμθμμμθμμθμμθθθθθθμμμθθθθθθμθθθμθθθμττ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=∂+∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+-∂∂=∂+∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+121121cos sin sin cos 1cos sin sin cos 1cos sin 1sin cos 1 (3.6.3)()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∂∂++∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂θθθθθθθθθθθθθv rv r r x u w v wr vr r r x u w wr r r v vr r r x u z w y v x u r 1cos sin sin cos 1cos sin 1sin cos 1 (3.7.1)Divergence in Cartesian Coordinateszwy v x u V ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ (3.7.2)Divergence in cylindrical coordinates()θθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇r v rv r r x u V r (3.7.3)()()()()()()()()()()()()()rrr r r r r r r r r r r r zz yy yz zz zy yz yy v v V r v v r v r v r r rv v Vv v v v v v v r rv v r rv v r Vv w r wr r w v r vr r v w v v w r vr wr r V z w w V y v v w v v w r vr wr r w v w v w v ττμθμμθμμθθθθμθθθθμθθθθθθθμθμθμθθθθθθθμθτθτθθτθτθτθτθτθθθθθθθθθθ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂=⋅∇-⎪⎭⎫⎝⎛--∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂++⎪⎭⎫⎝⎛∂-∂-∂+∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇-∂∂++⎪⎭⎫ ⎝⎛∂-∂-∂+∂=+++=+++ 32232222132cos sin 1sin 2sin cos 1cos 2cos sin cos sin sin cos 1322sin 322cos cos sin cos sin sin cos 1sin cos cos sin sin cos sin cos (3.8.1)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθττμθμθμμθμθμμθμθμμθθμμθθμμθθμθθθθμθθθθμμθθθθθθθμθμθμθθθθθθθμθτθτθθτθτθτθτθτv v V r v r v v r v r v r v v V r v v r v r v r v r v v V r v v r r rv r v v v V v v v v r rv v r v V v v v v v v r rv v r v V ww vv v v r rv v r w r wr r w v r vr r v v V w v v w r vr wr r V z w w V y v v w v v w r vr wr r w v w v w v r r r r r r r r r r r r r r r r zzyy yz zz zy yz yy +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⋅∇-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂+∂+∂∂+∂∂=⋅∇-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂+∂+∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⋅∇--⎪⎭⎫ ⎝⎛∂-∂-∂+∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇-∂∂--⎪⎭⎫ ⎝⎛∂-∂-∂+∂=+--=+-++- 32232223223221322113221211cos sin 1cos 2sin cos 1sin 232sin cos cos sin sin cos 1322cos 322sin sin cos cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin cos sin (3.8.2)()()()()()rz y q r T k T r Tr r k T r Tr r k T r Tr r k zT k y T kq q -=∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=--1sin cos sin 1cos sin cos 1sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ(3.9.1)()()()()θθθθθθθθθθθθθθq T r k T r Tr r k T r Tr r k zT k y T kq q z y -=∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=∂∂+∂∂-=-1cos cos sin 1sin sin cos 1cos sin cos sin (3.9.2) As we can see from the above that viscous terms in expression (3.5) for the momentum equation in axial/x direction and energy equation can be expressed in variables in cylindrical coordinates, while the viscous terms in (3.5) for momentum equations in radial and tangential directions still contain variables in Cartesian coordinates. Similar manipulation to (1.10) will be adopted in the following. Writing out the viscous terms for momentum equations in radial and tangential coordinates as follows,()()θθτθτθτθττ∂+-∂+∂+∂+∂∂cos sin sin cos yz yy yz yy yx rr xr (3.10.1)()()θθτθτθτθττ∂+-∂+∂+∂+∂∂cos sin sin cos zz zy zz zy zx r r x r(3.10.2) Multiplying (3.10.1) by θcos and multiplying (3.10.2) by θsin , then summing up and rearranging gives,()()()[]()()[]()()[]θθτθτθθτθτθθθτθτθθτθτθθτθτθθτθτθτθτcos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin cos zz zy yz yy zz zy yz yy zz zy yz yy zx yx rr x r +-++---∂+-++-∂+∂+++∂+∂+∂(3.11.1)Multiplying (3.10.1) by θsin - and multiplying (3.10.2) by θcos , then summing up and rearranging gives,()()()[]()()[]()()[]θθτθτθθτθτθθθτθτθθτθτθθτθτθθτθτθτθτsin cos sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin zz zy yz yy zz zy yz yy zz zy yz yy zx yx rr x r +--+---∂+-++--∂+∂+++-∂+∂+-∂(3.11.2)()()()()()()()()()()()()()()()()rrr r r r r zz yy zy zz zy yz yyr v r v x u r v V r v Vv r rv r Vw v v w wr vr vr wr r r V w wr r v vr r r v w r vr wr r V z w y v v w r vr wr r V z w V y v v w r vr wr r τθμμμμμμθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθμμθθθθθθθθθθμθθθθθθθμμθθθθμθθθθθθθμθθμθθμθθθθθθθμθθτθθτθθτθθτθτθθτθτθ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-∂∂-∂∂=⋅∇-∂∂=⋅∇-⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂=⋅∇-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂-∂-∂-+++∂∂=⋅∇-⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂-∂-∂+∂=⋅∇-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂-∂-∂+∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂-∂-∂+∂=++=+++232322321232sin sin cos cos cos sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin cos 1232sin sin cos sin 2cos cos sin cos 21cos sin cos sin sin cos 1232sin sin 2cos cos 2cos sin cos sin sin cos 12sin sin 322cos cos 322cos sin cos sin sin cos 12sin sin cos cos cos sin 2sin sin cos cos sin cos (3.12.1)()()()()()()()()()()()()()()()()()θθθθθτθμθμθθθθθθθθμθθθθθθθθθμθθμθθθθθθθθθμθθμμθθθθθθθθθμθθττθθθθτθθτθτθθτθτr r r zz yy zy zz zy yz yy r v r v r vv v r rv r w wr r v vr r r v w r vr wr r z w y v v w r vr wr r V z w V y v v w r vr wr r =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂+∂∂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂-∂-∂+∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-+-⎪⎭⎫⎝⎛∂-∂-∂+∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂-∂-∂+∂=+-+-=+++-21cos sin cos sin sin cos 12sin sin cos cos cos sin sin cos 1cos sin 2sin sin cos cos cos sin sin cos 1cos sin 322322sin sin cos cos cos sin sin cos 1cos sin sin sin cos cos cos sin cos sin sin cos (3.12.2)()()()()[]()()[]()()[θθθθθτθτθτθτθθτθτθμθθθτθτθθτθτθθθτθτθθτθτθθθτθτθθθτθτ-∂∂=+-++---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂∂∂=+-++---∂+-++-∂=∂+-∂+∂+-∂r zz zy yz yy r zz zy yz yy zz zy yz yy zz zy yz yy r v r v r v cocos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin (3.12.3)()()()()()()()()θθθτμθμθθθθθθθμθθθθθθθθθθμθθτθθθθμθθτθθμθθμθθτθτθθτθτ=⋅∇-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂-∂-∂+∂-⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅∇-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂+∂∂=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂=+-++--Vv v r v w r vr wr r V w wr r r v vr r r V z w y v V z w V y v r yz yz zz zy yz yy 3212sin cos cos sin sin cos 1232cos cos cos sin 12sin sin sin cos 12sin cos 232cos cos 2sin sin 2sin cos 2cos cos 322sin sin 322cos cos sin sin cos sin (3.12.4)Substituting (3.6.1), (3.6.2) and (3.12) into expressions (3.11) and rearranging yields,()θθθτθτττ-∂∂+∂∂+∂∂r rr rx r r x r (3.13.1) ()θθθθθτθτττr r x r r x r+∂∂+∂∂+∂∂ (3.13.2) Making use of expressions (3.4.1), (3.6.1), (3.6.2), (3.8.1), (3.8.2), (3.9.1), (3.9.2), (3.13.1) and (3.13.2), we can get the final expression of 3D Navier-Stokes Equation in cylindrical coordinates as follows,3D Navier-Stokes Equation in cylindrical coordinates()()()S rr V G r r V F x V E t U r x =∂-∂+∂-∂+∂-∂+∂∂θθ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=E v v u U r ρρρρρθ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=Hu u v u v p uu u E r ρρρρρθ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θθθθθθρρρρρHv v v p v v uv v F r ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=rr r r r rHvp v v v v uv v G ρρρρρθ, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=x rx r x xx rx x xx x q v v u V ττττττθθθ0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=θθθθθθθθθθθττττττq v v u V r r x r x 0, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=r rr r r xrrr rxr r q v v u V ττττττθθθ0 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂=θμμτθr v r r rv x u V x u r xx 232322⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==θμττθθθr u x v x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==r u r r ru x vr u x v r r rx xr μμττ r v x u r r rv r v V v v r r r r 22323212μθμμθμτθθθθ+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂=⋅∇-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=r v r v r r rvr v r v r v r r r r θθθθθθμθμθμττ2-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂+∂∂==rv x u r v r r rv V r v r r r rrμθμμμτθ2232322-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂=⋅∇-∂∂=θθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇r v r r rv x u V r⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-=000r p v v rv v S r r θθθθθθτρτρIf the moment of momentum equation is adopted to replace the tangential momentum equation, its expression will be simpler. Now for the moment equation, there is no source term.()()()S rr V G r r V F x V E t U r x =∂-∂+∂-∂+∂-∂+∂∂θθ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=E v r v u U r ρρρρρθ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=Hu u v ur v p uu u E r ρρρρρθ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θθθθθθρρρρρHv v v pr r v v uv v F r ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=rr r r r r Hv p v v r v v uv v G ρρρρρθ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=x rx r x xx rx x xx x q v v u r V ττττττθθθ0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=θθθθθθθθθθθττττττq v v u r V r r x r x 0, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=r rr r r xr rr rxr r q v v u r V ττττττθθθ0⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂=θμμτθr v r r rv x u V x u r xx 232322 ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==θμττθθθr u x v x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==r u r r ru x v r u x v r r rx xr μμττ r v x u r r rv r v V v v r r r r 22323212μθμμθμτθθθθ+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂=⋅∇-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂= r v r v r r rv r v r v r v r r r r θθθθθθμθμθμττ2-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂+∂∂== rv x u r v r r rv V r v r r r rr μθμμμτθ2232322-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂=⋅∇-∂∂= θθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇r v r r rv x u V r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=0000r p v v S θθθθτρ For 2D axisymmetric flow field, the tangential momentum equation or moment equation can be omitted as follows, 2D axisymmetric equation in cylindrical coordinate()()S rr V G r x V E t U r x =∂-∂+∂-∂+∂∂ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=E v u U r ρρρρ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Hu u v p uu u E r ρρρρ,,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=r r r r r Hv p v v uv v G ρρρρ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x rx r xx rx xx x q v u V ττττ0，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=r rr r xr rr xr r q v u V ττττ0 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-∂∂=r r rv x u V x u r xx 232322μμτ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==r u r r ru x v r u x v r r rx xrμμττ ()rv x u r r rv V v r r r r 2323212μμμμτθθ+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=⋅∇-= rv x u r r rv V r v r r r rr μμμμτ2232322-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⋅∇-∂∂= rr rv x u V r ∂∂+∂∂=⋅∇ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000r p S θθτ [分享]CFD 中的湍流模型流体力学是力学的一个重要分支，它是研究流体（包括液体和气体）这样一个连续介质的宏观运动规律以及它与其他运动形态之间的相互作用的学科，在现代科学工程中具有重要的地位。
三维NS方程
学校代码10699分类号V211密级学号036050167硕士学位论文（学位研究生）题目三维N-S方程数值求解及S-A湍流模型应用研究作者李 广 宁学科、专业流体力学指 导 教 师 李 杰申请学位日期二零零六年三月摘要通过数值求解Euler方程模拟真实流场的流动特性，已经越来越不能满足现代飞机的设计要求和需要，为了更加准确地模拟流场信息，提供详细、高效、实用的气动数据，Navier-Stokes(N-S)方程组的数值求解技术已经成为计算流体力学学科的一个重要研究方向。
另外，在自然界和科学与工程实践中存在的流动现象大多数是湍流现象，我们在讨论复杂流动现象的数值模拟时，自然也就离不开对湍流现象的研究与模拟。
本文基于中心有限体积方法，采用显式四步Runge-Kutta时间推进格式进行N-S方程组的数值求解，选用一方程Spalart-Allmaras湍流模型对粘性流场进行数值模拟，并与代数Baldwin-Lomax湍流模型的粘性流场数值模拟能力进行对比研究。
本文主要进行了以下几个方面的工作：1.粘性网格生成技术。
采用沿物面边界法向外推法和求解椭圆型偏微分方程法相结合的方法生成粘性计算网格。
法向外推方法生成的内层代数网格能够保证在物面附近的网格具有很好的正交性，并可控制第一层网格至物面距离；采用Hilgenstock源项控制方法实现外层椭圆网格对边界正交性和距离的双重控制，保证了网格合理光滑的分布并具有较高的质量。
2.N-S方程组的数值求解方法研究。
对流项的空间离散采用改进的“中心有限体积+人工粘性”格式。
对人工粘性中的压力感测因子进行改进，使其具有类TVD性质，并有效地抑制不真实的数值振荡，以适应较高马赫数的流场计算，使格式更具鲁棒性。
时间推进格式采用改进的显式四步Runge-Kutta格式，并采用当地时间步长、隐式残值光顺加速收敛措施。
3.湍流模型的选取及数值求解技术研究。
本文主要选取和求解了一方程Spalart-Allmaras(S-A)模型，并将原始的一方程S-A湍流模型方程推导为守恒形式。
NS方程推导
p
1 3
(
xx
yy
zz );
xx
p
2
u x
;
yy
p 2
v y
;
zz
p 2
w z
以上广义牛顿内摩擦定律以及压力与正应力的关系可以找陈卓如老师的工程流体力学，有相 关的解释。 代入化简上面由牛顿第二定律得到的方程：
fx dxdydz
xxdydz
(
xx
xx x
dx)dydz
yx dxdz
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和 N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。 欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时 间的变化状况。如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。欧拉 方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，
以上就已经得到了连续性方程。 对不可压缩流体，连续性方程可以简化，可以得到以下简化的连续性方程：
u x
v y
w z
0
这个不可压缩流体的连续性方程很重要，下面推导 N-S 方程的时候要用到。
接下来要推导出流体力学的 N-S 方程。在推导 N-S 方程之前，有很多人都在这里有困惑。这 里有两个概念要搞清楚，那就是什么是理想流体和粘性流体。我们很多课本在讲流体力学的 时候是先讲了理想流体的动量方程，之后又没有接着讲粘性流体的动量方程，所以有些人到 后面再讲 N-S 方程就混淆了。另外就是很多人一听到 N-S 方程就心里有点害怕，畏惧了，还 没来得及去仔细研究就放弃了，如果仔细研究一下，其实也不难，很多流体力学的书是用场 论的知识去推导出 N-S 方程的，我们工科学校对场论没有接触，最好还是用正六面体的方法 来推导 N-S 方程。哈工大陈卓如和王洪杰老师的工程流体力学对 N-S 方程的推导用的是正六 面体法，很容易看懂。清华大学的书就比较难，可以参考。在这里得先推到一下理想流体的
三维低速NS方程的并行计算
第２０卷增刊２．００２年３月空气动力学学报ＡＣＴＡ＾ＥＲＯＤＹＮ＾ｎ皿Ｃ＾ＳＩＮＩＣＡｖｏｌ２０Ｍａｒ．２００２文章编号：０２５８—１８２５（２００２）ｔ＊刊一００８８．０６三维低速ＮＳ方程的并行计算王开春，李树民，朱国林（中国空气动力研究与发展中心，四川纬用６２１０００）摘要：本文在求解低速Ｎｓ方程的串行程序基础上，针对分布式存贮网络异构的并行编程环境建立了隐式并行计算软件，并行计算的方法采用区域分解法。
并行软件对高速列车进行了气动特性计算，并对并行效率和并行可靠性进行了研究．结果表明：并行计算结果与串行计算吻合良好，并行改造后的软件可以应用于工程实际问题。
关键词：低速ＮＳ方程；并行计算中图分类号：Ｖ２１１．３文献标识码：Ａ０引言我们研制的低速ＮＳ方程计算软件广泛应用于军事和民用工程，例如航空飞行器大迎角起飞、着陆时的气动特性，增升装置的铰链力矩特性及剪刀口效应的影响，飞船返回舱和航天飞机正常或非正常返回着陆前的绕流分析，航空母舰尾流及舰载机超、降平台流场分析，鱼雷水动特性，民用交通工具（汽车、高速列车）气动特性，河流的水流特性，建筑物、桥梁风载等问题的研究…１。
但随着工程问题的复杂程度Ｅｌ益提高，使计算规模的不断增大，对计算周期也要求越来越短。
目前的单节点计算能力已不能满足要求，充分利用现有设备，发展并行算法已成为解决问题的一条有效途径。
目前对并行计算的实现主要有两种方法【２—１：一种是区域划分法，将区域划分处作为一种特殊边界（内边界），提出合适的耦台条件（内边界条件），在每一推进步里按初边值问题对子区求解，通过不断更新修正内边界值得到解；另一种是对求解线性方程组并行算法的研究。
第一种并行方法在可压缩领域已取得了一定进展。
但对低速流动问题，由于在不可压假设下，缺乏确定压力的显式方程，因此建立了压力场与速度场的弱耦合关系一即压力修正算法，以区域分解为基础的并行算法却进一步加重了这种的弱耦合性，这就使得可压流并行方法不能直接地移植到低速流计算中，数值试验表明：完全采用该并行方法并不成功的。
矢量形式的ns方程
矢量形式的ns方程
矢量形式的Navier-Stokes（NS）方程是描述流体运动的基本方程。
它由连续性方程和动量方程组成。
1. 连续性方程：
连续性方程描述了质量守恒，即流体在任何给定点的流入和流出的质量必须保持平衡。
矢量形式的连续性方程可以表示为：
∇·u = 0。
其中，∇是向量算子的散度运算符，u是流体的速度矢量。
2. 动量方程：
动量方程描述了流体的运动和力的作用。
矢量形式的动量方程可以表示为：
∂u/∂u + (u·∇)u = -1/u∇u + u∇²u + u。
其中，∂u/∂u是速度矢量的时间导数，u·∇是速度矢量的对流项，u是压力，u是流体的密度，u是动力黏度，u是外力矢量。
这个方程可以进一步展开为三个独立的方程，即x、y和z方向的方程。
以x方向为例，动量方程可以表示为：
∂u/∂u + (u·∇)u = -1/u∂u/∂u +
u(∂²u/∂u² + ∂²u/∂u² + ∂²u/∂u²) + uu。
其中，uu是外力在x方向上的分量。
总结起来，矢量形式的NS方程包括连续性方程和动量方程，用于描述流体的质量守恒和运动。
这些方程可以进一步展开为三个方向上的方程，用于求解流体的速度和压力分布。
boussinesq方程和与ns方程的区别
boussinesq方程和与ns方程的区别
NS方程是指Navier-Stokes方程，这是一个描述流体动力学中的基本方程。
具体来说，它可以用来描述粘性流体在运动中的应力、应变和速度场之间的关系。
NS方程基于牛顿第二定律，即力的作用会导致物体加速，同时力的大小与质量、加速度和时间相关。
在流体动力学中，质量可以通过流体的密度来描述，加速度则通过速度的梯度来描述。
Boussinesq方程是描述流体动力学的另一种方程，与NS方程不同。
Boussinesq 方程主要关注于描述湍流流动的特性，而NS方程则可以用于描述更广泛的流体动力学现象。
湍流是一种复杂的流动状态，其中流体的速度、压力和方向随时间变化。
在湍流中，流体的运动表现出高度的随机性和不规则性。
相比之下，NS方程也用于描述湍流流动，但通常需要添加额外的湍流模型来模拟湍流现象。
这些湍流模型基于不同的假设和近似方法，以更准确地模拟湍流行为。
总之，NS方程和Boussinesq方程都是描述流体动力学的方程，但它们的重点和应用场景不同。
NS方程是流体动力学的通用方程，可以用于描述广泛的流体动力学现象；而Boussinesq方程则更侧重于描述湍流流动的特性。
拉格朗日法ns方程
拉格朗日法ns方程
拉格朗日法（Lagrangian formulation）是一种在动力学中描述系统的方法，其中系统的状态由拉格朗日量（Lagrangian）来定义。
Navier-Stokes（NS）方程组是描述流体动力学中流体运动的方程。
拉格朗日法并不常用于描述整个Navier-Stokes方程组，而通常更适用于描述系统的特定动力学。
NS方程组描述了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒。
对于一个不可压缩、粘性的流体，NS方程组可以写成如下的形式：
使用拉格朗日法对整个Navier-Stokes方程组进行求解并不常见，因为NS方程组通常以欧拉法（Eulerian formulation）的形式进行表述。
欧拉法通过描述流体在空间中的固定点上的性质来分析流体动力学。
如果你有特定的问题或系统，可以提供更多详细信息，以便我能够更好地帮助你。
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fluentns方程
fluentns方程摘要：1.FluentNS 方程的概述2.FluentNS 方程的基本原理3.FluentNS 方程的应用领域4.FluentNS 方程的优缺点正文：1.FluentNS 方程的概述FluentNS 方程是一种用于模拟流体流动的数学模型，其中“Fluent”代表流体流动，“NS”则代表Navier-Stokes，这是由法国物理学家克劳德·路易·马里·纳维耶和英国物理学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯在19 世纪提出的描述流体运动的基本方程。
FluentNS 方程广泛应用于计算机流体力学（CFD）领域，以模拟各种流体流动现象，如湍流、热传导和对流传热等。
2.FluentNS 方程的基本原理FluentNS 方程基于质量守恒和动量守恒原理，描述了流体在空间和时间上的变化。
具体来说，它包括以下三个方程：(1) 质量守恒方程：描述流体在各个区域内的质量分布随时间如何变化，即流体流入和流出一个给定区域的速率之和等于该区域内流体质量的变化率。
(2) 动量守恒方程：描述流体在各个区域内的动量分布随时间如何变化，即流体受到的各种外力之和等于流体动量的变化率。
(3) 能量守恒方程：描述流体在各个区域内的能量分布随时间如何变化，即流体的内能、热传导和对流传热之和等于流体能量的变化率。
3.FluentNS 方程的应用领域FluentNS 方程在许多工程领域都有广泛的应用，包括：(1) 航空航天：用于研究飞机翼型、机身形状等对流体运动的影响，以及气流对飞行性能的影响。
(2) 汽车工程：用于研究汽车外形、发动机冷却系统等对流体运动的影响，以及气流对汽车性能的影响。
(3) 船舶工程：用于研究船体形状、船舱设计等对流体运动的影响，以及水流对船舶性能的影响。
(4) 能源工程：用于研究热传导、对流传热等现象，以提高热能利用效率。
(5) 环境工程：用于研究大气污染扩散、水污染扩散等现象，以改善环境质量。
ns方程光滑解
ns方程光滑解
Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，其中包含了动量守恒和质
量守恒两个方程。
而NS方程的光滑解是指满足Navier-Stokes方程的解是连续且可微的解。
在数学和流体力学领域，研究NS方程的光滑解是一个重要的课题。
光滑解指
的是解在定义域上是连续且可微的解，这在流体力学中具有很高的物理意义。
在实际的流体运动中，我们通常希望得到连续且可微的解，以便更好地理解和预测流体的运动行为。
对于NS方程的光滑解的研究，通常需要考虑方程的解的存在性、唯一性和光
滑性等问题。
通过数学分析和数值模拟等方法，可以对NS方程的光滑解进行研究。
对于NS方程的解的光滑性，一般需要满足方程的初边值条件和适当的边界条件，
以确保解的光滑性。
NS方程的光滑解的研究涉及到流体的各种性质和运动规律，对于理解和预测
复杂的流体运动具有重要的意义。
通过深入研究NS方程的光滑解，可以更好地理
解流体的流动特性，为流体力学的发展和应用提供重要的理论基础。
NS方程的光
滑解的研究也是流体力学领域的重要课题之一，对于解决工程和科学中的流体力学问题具有重要的意义。
综上所述，NS方程的光滑解的研究是流体力学领域的一个重要课题，通过深
入研究NS方程的光滑解，可以更好地理解流体的运动规律，为解决实际的流体力
学问题提供重要的理论基础和指导。
在实际的工程和科学研究中，NS方程的光滑
解的研究具有重要的应用价值，对于推动流体力学的发展和应用具有重要的意义。
ns方程分量形式
ns方程分量形式
NS方程（Navier-Stokes equations）是描述流体运动的基本方程，它是基于质量守恒定律和动量守恒定律得到的。
NS方程可以分为连续性方程和动量方程两个部分。
连续性方程：
连续性方程是质量守恒定律的数学表述，它描述了流体的质量在空间和时间上的分布变化。
连续性方程的分量形式为：
∂ρ/∂t + ∂(ρu)/∂x + ∂(ρv)/∂y + ∂(ρw)/∂z = 0
其中，ρ是流体的密度，t是时间，u、v、w分别是流体在x、y、z方向的速度分量。
动量方程：
动量方程是动量守恒定律的数学表述，它描述了流体运动时动量的变化。
动量方程的分量形式为：
∂(ρu)/∂t + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = -∂p/∂x + ρgx + Fx
∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = -∂p/∂y + ρgy + Fy
∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z = -∂p/∂z + ρgz + Fz
其中，p是流体的压力，g是重力加速度，Fx、Fy、Fz分别是其他外力在x、y、z方向上对流体的作用力。
纳米狭缝中水流动非平衡分子动力学模拟
纳米狭缝中水流动非平衡分子动力学模拟南怡伶;孔宪;李继鹏;卢滇楠【摘要】Flow behavior of water in nano confinement is essential to various application fields, including water purification, desalination, energy conversion, DNA sequencing,etc. It has been recognized that traditional hydrodynamics theory like Navier-Stokes (N-S) is no longer applicable in systems with lower dimension. To assess the limits of N-S equation, the molecular dynamics simulation is used to study water flow behavior in nano-slit. The nano-slit is formed by two parallel graphene sheets separated by a certain distance. Flow rate profiles of water in nano-slit with different distance between two graphene sheets show that when the distance between two graphene sheets is less than 3 nm, N-S equation cannot describe the flow behavior correctly. This means, N-S equation is applicable for channels with size larger than 3 nm, which is about ten times the diameter of water molecule. For pores in which N-S equation is applicable, effective viscosity and slip length were obtained by fitting the flow rate profiles with N-S equation. The influences of pore size, driving force, and wall hydrophobicity on the flow behavior were also investigated with emphasis on the effective viscosity and slip length. With the increases of slit pore size or driving force, water average velocity increases, accompanied by an increase in effective viscosity and a decrease in slip length. The increase of the wall hydrophilicity of the nano-slit results in a decrease of slip length while imposes no obvious effect on the effectiveviscosity.%采用非平衡分子动力学模拟(non-equilibrium molecular dynamics simulation)方法研究了不同间距纳米狭缝之间水的流动行为.研究了纳米狭缝间距、壁面性质和外部压力对水流动速度径向分布、有效黏度、壁面速度和滑移长度的影响,讨论了Navier-Stoke(N-S)方程的适用性.研究结果表明,N-S方程仅适用于3 nm以上的孔道;狭缝尺寸的增加和施加压力的增加均会使得管内流速增加,而造成表观黏度降低以及滑移长度增加.壁面亲水性的增加仅使得滑移长度降低,表观黏度并没有发生较大变化.【期刊名称】《化工学报》【年(卷),期】2017(068)005【总页数】8页(P1786-1793)【关键词】纳米狭缝;分子动力学模拟;流动;有效黏度;滑移长度;非平衡分子动力学;表面【作者】南怡伶;孔宪;李继鹏;卢滇楠【作者单位】清华大学化学工程系,化学工程联合国家重点实验室,北京 100084;清华大学化学工程系,化学工程联合国家重点实验室,北京 100084;清华大学化学工程系,化学工程联合国家重点实验室,北京 100084;清华大学化学工程系,化学工程联合国家重点实验室,北京 100084【正文语种】中文【中图分类】TQ028.8纳米狭缝中水的流动特性是生物化学分析[1]、水盐分离[2]和能量转化[3]等技术的共性科学基础，也是纳米流体流动领域研究的前沿和基础。
纳维斯托克斯方程(NS方程)详细推导
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动 右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
流体微团的运动形式
1 p duy fy y dt
fz
1 p duz z dt
u x u x u x u x 1 ux uy uz X t x y z u y u y u y u y 1 ux uy uz Y t x y z u z u z u z u z 1 ux uy uz Z t x y z
粘性流体动力学基础
粘性流体运动微分方程
Navier－Stokes方程
以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。
对一维流动问题： 补充方程：牛顿剪切定律
对粘性流体流动问题： 补充方程：广义的牛顿剪切定律
即：牛顿流体本构方程
目的
关键：寻求
流体应力与 变形速率之 间的关系
将应力从运动方程中消去，得到 由速度分量和压力表示的粘性流 体运动微分方程，即N-S方程。
( ) 0 t
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
矢量形式：
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
若流体不可压缩： vx v y vz 0 x y z
y
vy vx
vz vx
x 动量在微元体表面的输入与输出
PEC化学工程英语证书考试电化学词汇
PEC化学工程英语证书考试-电化学词汇Electrochemistry:The study of chemical changes produced by electricity and generation of electricity by chemical changes.Electrochemical Reaction (Electrolysis): A reaction that takes place to generate electricity or a decomposition reaction carried out by electricity.Electrolytic Cell: A device to carry out electrolysis.Electrochemical Cell: A device to generate electricity.Electrode: A metal or carbon rod by which an electric current passes into or out of a cell. Anode: An electrode at which oxidation takes place.Cathode: An electrode at which reduction takes place.Storage Cell or Accumulators:An electrochemical cell that can be recharged. Example: Lead storage battery.Reactivity Series of Metals:Metals are arranged in the decreasing order of reactivity or increasing order of electrode potential.Electrode Potential:The difference in potential between the metal or a gas in contact with its ions.Standard Electrode Potential: The potential of a half cell when concentration of the electrolyte is 1M.Cell Potential: E�cell = E�cathode - E�anodeNerns't Equation: It is the equation which describes the variation of electrode potential with concentration.Reference Electrode:It is the electrode whose potential is determined accurately and is reproductible. Example: Calomel ElectrodeIndicator Electrode:It is the electrode whose potential depends upon the concentration of a particular ion in solution. Example: Electrodes for pH and acid base titrations.Electromotive Force (e.m.f):The flow of current due to the potential difference from the electrode of higher potential to the electrode of lower potential is called electro motive force. It is expressed in volts or milli volts.Standard Hydrogen Electrode: Passing of pure and dry hydrogen gas through an electrode at one atmosphere at 298 K through a platinum foil and one molar HCl solution.De Electronation: Passing of metal atoms on a metal rod into the solution as metal cations. Electronation: Abstraction of electrons by metal cations in a solution from a metal rod and form neutral metal atoms.Reversible Cell: By the application of external opposing e.m.f. greater than the cell e.m.f., the cell reaction can be reversed. This is reversible cell.。
ns方程光滑解
ns方程光滑解
"ns方程"通常指的是Navier-Stokes方程，这是描述流体动力学行为的基本方程。
Navier-Stokes方程是一个非线性偏微分方程，用于描述粘性流体的运动。
Navier-Stokes方程的光滑解是指在某个定义域内连续可微（即无穷阶可导）的解。
然而，对于许多实际的流体动力学问题，找到Navier-Stokes方程的光滑解是非常困难的，因为方程本身是非线性的，而且可能存在湍流等复杂现象，这些现象在数学上表现为解的奇异性或非光滑性。
尽管如此，对于某些特定的流动条件（如层流），或者在某些简化的模型下（如二维不可压缩流动），人们可能能够找到
Navier-Stokes方程的光滑解。
这些解通常是通过数学分析、数值计算或实验观测得到的。
在数值计算方面，为了寻找Navier-Stokes方程的光滑解，通常会使用各种数值方法，如有限差分法、有限元法、谱方法等。
这些方法可以在计算机上模拟流体的运动，并尝试找到满足方程的光滑解。
然而，由于Navier-Stokes方程的复杂性，即使使用这些方法，也可能只能得到近似解或局部解，而不是全局的光滑解。
总的来说，寻找Navier-Stokes方程的光滑解是一个具有挑战性的数学问题，需要深入的数学分析、数值计算和实验观测。
虽然对于
某些特定情况可以找到光滑解，但在更一般的情况下，可能需要借助近似方法或数值计算来理解和预测流体的行为。
ns方程的耦合方程
NS方程的耦合方程
NS方程，即纳维-斯托克斯方程，描述流体运动的方程，可以看作是流体运动的牛顿第二定律。
根据您的问题，我将介绍一种适用于具有耗散效应的流体的耦合方程：Navier-Stokes-Fourier方程。
Navier-Stokes-Fourier方程是流体力学中的基本方程之一，用于描述粘性流体在热力学非平衡状态下的运动。
该方程由纳维-斯托克斯方程、热传导方程和能量守恒方程耦合而成。
具体形式如下：
1.纳维-斯托克斯方程：ρ(u·▽)u + ▽p = μ▽²u + ρg
2.热传导方程：k▽²T = -ρsT + λ▽²(u·T)
3.能量守恒方程：ρT(u·▽)s = ▽·q + Σ(ki·Ti) + Σ(ci·Li)
其中，ρ表示密度，u表示速度矢量，p表示压力，T表示温度，k表示热传导系数，λ表示热膨胀系数，s表示熵，q表示热流矢量，ki和ci分别表示组分i的扩散系数和化学反应速率。
这些方程耦合在一起，描述了流体的运动、传热和能量转换过程。
需要注意的是，耦合方程的具体形式取决于所研究的流体系统和物理过程。
因此，对于不同的流体和问题，可能需要采用不同的耦合方程。
流体力学NS方程推导过程
流体力学N S方程推导过程It was last revised on January 2, 2021流体力学N S方程简易推导过程小菜鸟0 引言流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显着，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。
1 基本假设空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。
不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。
自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。
连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。
连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS方程也适用于描述湍流。
有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。