二阶变系数常微分方程Neumann边值问题的正解
二阶常微分方程的几种解法
二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:'''()y ay by f x ++=通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和。
微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。
那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。
而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。
设二阶常系数线性非齐次方程为'''()y ay by f x ++= (1) 这里b a 、都是常数。
为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程20k ak b ++= (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。
1 若特征方程有两个相异实根12k 、k 。
则方程(1) 可以写成'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---=记'2z y k y =- , 则(1) 可降为一阶方程'1()z k z f x -=由一阶线性方程的通解公()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰[5] (3) 知其通解为1130[()]x k x k t z e f t e dt c -=+⎰这里0()xh t dt ⎰表示积分之后的函数是以x 为自变量的。
再由11230[()]x k x k t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰ 解得12212()()340012[(())]k k x x u k x k k u e y e e f t dt du c c k k --=++-⎰⎰ 应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k x x x k x k t k t e e y e f t e dt f t e dt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰ 1122121200121[()()]x x k x k t k x k t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰ (4) 2 若特征方程有重根k , 这时方程为'''22()y ky k y f x -+=或'''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]xkx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'10()xkx kx kt e y ke y e f t dt c ----=+⎰ 即10()()xkx kt de y ef t dt c dx --=+⎰故120()()xkx kt kx kx y e x t e f t dt c xe c e -=-++⎰(5)例1 求解方程'''256x y y y xe -+=解 这里2560k k -+= 的两个实根是2 , 32()x f x xe =.由公式(4) 得到方程的解是332222321200x x x t t x t t xxy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200x xx t x x x e te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132x x xx x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里321c c =-.例2 求解方程'''2ln x y y y e x -+=解 特征方程2210k k -+= 有重根1 , ()ln x f x e x =.由公式(5) 得到方程的解是 120()ln x x t t x x y ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln x x x x e x t tdt c xe c e =-++⎰ 1200[ln ln ]x xxx x e x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰ 21213ln 24x x x x e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦ 二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是'''()y py qy f x ++=, (6) '''0y py qy ++= , (7) 其中p q 、 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方程(7) 的通解。
二阶常系数线性微分方程的解法word版
第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rxe y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx e q pr r因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数.特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根.2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根.221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以 02,01121=+=++p r q pr r 从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为 )sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααt a n c o s s i n 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 t e t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得t e t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得22=C所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4)而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为xm k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令xe xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去x e 得126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b于是 xe x x y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法 ,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得 x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
二阶脉冲微分方程m点边值问题的正解
二阶脉冲微分方程m点边值问题的正解我们将讨论二阶脉冲微分方程的正解，即满足特定边界条件的解。
假设我们有一个二阶脉冲微分方程：\[m\frac{{d^2y}}{{dt^2}} + b\frac{{dy}}{{dt}} + ky = f(t)\]其中，m是质量，b是阻尼系数，k是弹性系数，y是位移函数，f(t)是冲击函数。
为了求解这个方程的正解，我们需要确定冲击函数f(t)的形式，并且找到方程的特解和齐次解。
首先，我们需要考虑冲击函数f(t)的形式。
常见的冲击函数包括单位阶跃函数、脉冲函数和正弦函数等。
假设我们的冲击函数是一个单位阶跃函数，形式为：\[f(t)=Au(t)\]其中，A是冲击的幅度，u(t)是单位阶跃函数。
接下来，我们将寻找方程的特解。
考虑方程的冲激响应解y_p(t)，即：\[m\frac{{d^2y_p}}{{dt^2}} + b\frac{{dy_p}}{{dt}} + ky_p = f(t)\]在t=0时，冲激响应解应满足边界条件：\[y_p(0^-)=0,y_p'(0^-)=0\]为了求解冲激响应解，我们可以使用拉普拉斯变换。
将方程两边进行拉普拉斯变换，得到：\[m(s^2Y_p(s)-sy_p(0^-)-y_p'(0^-))+b(sY_p(s)-y_p(0^-))+kY_p(s) = F(s)\]根据边界条件，我们可以得到：\[m(s^2Y_p(s))+b(sY_p(s))+kY_p(s)=F(s)\]再对上述方程进行整理，得到特解的拉普拉斯域表达式：\[Y_p(s) = \frac{{F(s)}}{{ms^2+bs+k}}\]然后，我们通过反变换来求解特解y_p(t)。
对于冲激响应解，我们可以使用部分分式展开方法或者查表得到其反变换形式。
最后，通过将特解和齐次解相加，我们可以得到二阶脉冲微分方程的正解。
需要注意的是，上述的求解方法适用于冲击函数为单位阶跃函数的情况。
二阶变系数线性齐次微分方程的一些解法
二阶变系数线性齐次微分方程的一些解法二阶变系数线性齐次微分方程的求解方法有多种，其中常用的有拉普拉斯变换、迭代、改型四阶 Runge-Kutta 法等。
1、拉普拉斯变换：拉普拉斯变换可以用于求解二阶变系数线性齐次微分方程。
该方法被称为拉普拉斯变换是由波扎西在1820年提出的，其原理是使用一种变换把微分方程变换成容易求解的线性方程组。
例如：考虑以下方程：$y\prime\prime +222ty\prime +529y=0$可以使用以下四步法将其转换为可以直接求解的形式：(1) 用拉普拉斯变量$z=y\prime$，等号右边变为：$z\prime+222tz+529y=0$(2)$y\prime=z$，两边同时乘以$e^{\int{222t}dt}$，此时等号两边的导数消去，得：$e^{\int{222t}dt}z+222te^{\int{222t}dt}y=0$，再变形得：$z+222te^{\int{-222t}dt}y=0$(3)将等号两边都乘以$e^{\int{-222t}dt}$，则有：$e^{\int{-222t}dt}z+222y=0$(4)等号两边同时除以$222$，则有：$\frac{e^{\int{-222t}dt}}{222}z+y=0$这样就可以将方程变换为可以直接求解的标准形式：$\frac{dz}{dt}+p(t)z+q(t)y=0$，这就是二阶变系数线性齐次微分方程的拉普拉斯变换所得到的结果。
2、迭代法迭代法是指通过某种规则迭代取不断精确的数据，从而求解问题的方法。
它指定了一系列迭代公式，用来在定义域上以增量方式估计近似解。
迭代法可以用来求解二阶变系数线性齐次微分方程，其基本原理是首先对方程进行拉弦展开（也叫做多项式拟合），然后分别求出每次迭代时的Y和V值，并用它们来更新下一次的Y和V 值，从而不断地进行反复的迭代操作，直到找到足够精确的解。
二阶Nuemann特征值问题的正解
为 Ｂ 中的有 界开 集 ， ， Ｃ ， Ｆ： ｎ （ ＼ ） ０∈ 若 一 是全 连 续算 子 ， 要 么 ： 且 （） ｌ ｌ ｌ ｌ Ｆ （ ） ｌ ｌ 矗 ｌ ｌ Ｆ ｌ ｌ， ∈ Ｋ 加 。 ｌ ｌ 三 ｌ ｌ， ∈ Ｋ 扣 要 么 ｌ ｌ ｎ ； ｌ ｌ三 ｌ Ｆ ＝ｌ ｎ ， ｌ ｌ， ∈ Ｋ ； ｌ ｌ ｌ ｌ ｎａ ｌ ｌ Ｆ
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总４ 卷 ０
第 ３ 期
数
学
研
究
Ｖ ｏ ． Ｎｏ． １ ４０ ３
２ ０ 年 ９月 ０７
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＭ ａｈ ｍａ ｉａ ｔ ｄ ｏ ｒ ａ ｔ ｅ ｔ ｌ ｕ ｙ ｏ ｃ Ｓ
Ｓｐ ｅ ．２ ０ ０７
二 阶 Ｎｕ ｍａ ｎ特 征 值 问题 的正解 ｅ ｎ
１ （ｓ （ 厂 ｓ ｄ＝ ｌ Ｉ ｔ） ｓ （（ ）ｓ ｌ Ｉ Ｇ ，口 ） ） ． Ｐ
故 有 Ｐ ）ｃ （ Ｋ． 另 由 Ａｒｅ — ｃｌ定 理 Ｐ全 连续 ． ｚｌ Ａｓｏｉ ａ
引理 ４ ＪＧｕ— ａｎｓｌ ｉ 动点定理 ） 设 Ｂ是 Ｂ ｎｃ 空 间 ， ｃ Ｅ（ ｏＫｒｓｏｅ ｋｉ ｓ 不 ａａｈ Ｂ是 Ｂ中的 一个锥 ，
。 ）中至少有 一个 不 动点．
ｌ ｌ， ∈ Ｋ ． ｌ ｌ ｎａ
则 Ｆ在 ｎ （
２ 主 要 结果
＜ ．
］
（） ３
定理 １ 假 设 条件 （ ） （ ） 立 ， ， Ｈ 、Ｈ 成 Ａ Ｂ’如 （ ）中所记 ， 满足 ３ 当
吴 红 萍 一
（ 西北 师 范 大学 数 学 与信 息 科 学 学 院 ，兰 州 ７ ０７ ） ３０ ０
摘 要 利 用 锥 上 的 不 动点 定 理 证 明 了二 阶 Ｎｕｍａ ｎ特 征 值 问题 ｅ ｎ
奇异二阶Neumann边值问题两个正解的存在性
奇异二阶Neumann边值问题两个正解的存在性
陈祥平
【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(033)002
【摘要】利用不动点指数理论讨论奇异二阶Neumann边值问题两个正解的存在性,推广和改进了已有的一些结果.
【总页数】4页(P51-54)
【作者】陈祥平
【作者单位】济宁学院数学系,273155,山东曲阜市
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
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二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用
2011届本科毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学07-(4)实验班学生姓名：曼则热古丽．图尔荪指导教师：吐尔洪.艾尔米丁答辩日期：2011年5月11日新疆师范大学教务处目录引言................................................................................................................. 错误！未定义书签。
1 二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用..................................... 错误！未定义书签。
2 二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用............................................. 错误！未定义书签。
2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程....................... 错误！未定义书签。
2.2未知函数代换................................................................................... 错误！未定义书签。
3二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用.................................. 错误！未定义书签。
3.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法....................................... 错误！未定义书签。
3.2应用................................................................................................... 错误！未定义书签。
4 总结............................................................................................................. 错误！未定义书签。
（完整版）二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文
（完整版）二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础．对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析．关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解The Numerical Solutions ofSecond-Order Ordinary Differential Equations with the Boundary Value ProblemsABSTRACTThe numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numericalmethods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.For the second-order ordinary differential equations with the boundary value problems, we review two kinds of numerical methods commonly used for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. There are mainly two ways to create these finite difference methods: i.e. Taylor series expansion method and Numerical Integration. The later one is more flexible, because at the same time it can get the estimates of the truncation errors. We give the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. In the first chapter, we will introduce some backgrounds of the ordinary differential equations and the difference method. In the second chapter, we will obtain difference schemes of the numerical solutions of the Second-Order ordinary differential equations with the boundary value problems through the Taylor expansion. In the third chapter, we using Matlab tosolve the specific examples on the basis of the second chapter, and analyzing the errors.KEY WORDS: Ordinary Differential Equations, Boundary Value Problems, Finite Difference Method, Taylor Expansion, Numerical Solution毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
二阶变系数常微分方程Neumann边值问题的正解
在 a( t) = M 为常数时, 获
[ 2 3]
得了 BVP ( 1) 在超线性或次线性增长条件下至少有 1 个正解的存在性定理. Sun 等 在 a( t ) = M 为常 数时, 利 用 Krasnoselskii 不 动点定理 获得 了 BVP ( 1) 至少有 2 个正解的存在性定理 ; 在 a( t ) = M 为 常数时, 利 用 Leg gett Willians 不动点定 理获得了 BVP( 1) 至少有 3 个正解的存在性定理. 但这些结 论都是在 a( t ) = M 为常数时获得的 , 并且不允许非 线性项 f ( t, u) 有奇性 . 本文将在非常一般的情况下 , 利用锥上的不动 点指数理论证明 BVP( 1) 至少有 1 个正解的存在性 定理 , 即定理 1. 该定理表明只要非线性项 f ( t , u) 在 其定义域的某些有界集合上的增长速度是适当的, 则 BVP( 1) 必然具有至少 n 个正解 , 其中 n 为任意
a( t ) u 0 ( t ) + f ( t, u 0 ( t ) ) ) , u0 ' ( 0) = u 0 ( ' 1) = 0. 由 u0 !K b 1 可得 0< b1 =
∃ u0 ∃ ∀ u0 ( t ) ∀ ∃ I.
u0 ∃ b1 , 由条件( C1 ) , 有 f ( t , u0 ( t) ) < a( t) u0 ( t) , t ( 1) = 0, 可得 将方程( 5) 两边从 0 到 1 积分并注意到 u 0 ' ( 0) = u '0
!K r , 0< ∀∀ 1, 则 i( A , K r , K ) = 1.
%
1
G( t , s) d s = 0
微分方程分类及解法
微分方程分类及解法微分方程是数学中重要的一类方程，广泛应用于自然科学、工程、社会科学等领域中的各种问题。
在掌握微分方程的基本概念和解法后，我们可以更好地理解实际问题中的潜在规律和机理。
本文将介绍微分方程的分类及解法。
一、微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只有一个自变量的函数的微分方程，即只与时间、位置、速度等单一变量有关。
常微分方程按阶次可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程的一般形式为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$其中y是自变量x的函数，f(x,y)是给定的函数。
高阶常微分方程可表示为：$$F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0$$其中，y是自变量x的函数，n代表微分方程的阶数，y', y'' ,..., y^{(n)}分别表示y的一阶、二阶、n阶导数。
偏微分方程是包含多个自变量的函数的微分方程，通常是用来描述物理现象中的区域上的行为和变化。
偏微分方程按类型可分为椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程。
椭圆型偏微分方程形式为：$$A\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+C\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$该方程描述的是各方向的扩散速度都一样的过程，比如稳态情况下的热传导方程。
抛物型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是运动物体的一维热流方程、空气粘弹性和海浪向上传播等。
双曲型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是颤动或波动过程，比如振动问题或波动方程等。
二阶奇异Neumann边值问题的正解
（ Ａ Ｕ ＡＬＳ ＩＮ ＥＥ ＩＩ Ｎ） Ｎ Ｔ Ｒ ＣＥ Ｃ ＤＴ Ｏ
文章编号 ： ０ ０— ４ ３ ２０ ） １一 ｏ４—０ １０ ５ ６ （０ ８ ０ ｏ ２ ５
二 阶奇 异 Ｎ ｕ ａｎ边 值 问题 的正解 ｅｍ ｎ
廖芳芳
（ 南京信息 职业技术学院 。 江苏南京 ２ ０ ４ ） １０６
ＰｏＳ 【， Ｓ 玎 、Ｅ ｏＬＵＴ ｏＮＳ ｏＦ Ｓ Ｉ ＥＣｏＮＤ ｏＲＤＥＲ Ｓ ＧＵＬＡ Ｎ Ｅ ＡＮＮ Ｒ Ｉ ＢｏＵＮＤＡＲＹ ＶＡＬＵＥ Ｐ ＲｏＢＬＥＭ Ｓ
Ｌ ＡＯ Ｆ ｎ Ｉ ａ ｇ—ｆｎ ａｇ
（ ａｊ ｇＣ ｌ ｇ ｆｎｏｍ ｔ ｎＴ ｃｎｌｇ ， ａｊ ｇ １０ ６ Ｃ ｉａ Ｎ ｎｉ ｏｅｅｏ ｆｒａｉ ｅｈｏ ｙ Ｎ ｎｉ ２ ０ ４ ， ｈｎ ） ｎ ｌ Ｉ ｏ ｏ ｎ
（ ）＝ ， ０ ０ （ ）＝ ， １ ０
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我们也可以获得类似的结果 ， 中 ｂｃ ｃ ｏ Ｉ ．本文为了简单起见仅仅考虑问题（ ） 其 ，∈ ［ ，］ ２． 在此 ， 我们先陈述两个引理， 它们将在本文中起到重要作用． 引理 １９ 假设 ｈ ［ ，］ ０ ∞） ［ ：０ Ｉ ＿［ ， 连续 ， ｍ≤ ０＜ ， 则线性问题
摘要： 研究了二阶奇异 Ｎ ｕ ａ ｎ ｅｍ ｎ 边值 问题正解 的存在性 ， 得到 的新结果 可 以包 含临界情 形 ， 主要结 果 的证 明依 赖 Ｓｈｕ ｅ 不动点定理． ｃａｄ ｒ 关键词 ： 正解 ； 奇异 ；Ｎ ｕ ｎ ｅｍａｎ边值 问题 ；Ｓｈｕ ｅ 不动点定理 ｅａ ｄｒ
中图分类号 ： ７ Ｏ１５ 文献标识码 ： Ａ
』” ｍ ＾ｆ， ＋ ＝ （ ）
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08-06_二阶线性常微分方程的级数解法
a1 a1 a1
(3−l （ −l )( l + 2)( l + 4) )1 5！
(5−l )(3−l （ −l )( l + 2)( l + 4)( l + 6) )1 7！
a2k+1 =
（ k−1−l (l+2k) 2 ） (2k+1)⋅(2k) 2k−1
a
=
(2k−1−l ) （−l)(l+2) (l+2k) 1 1 (2k+1)！
前几阶勒让德多项式为： 1 1 2 P0 ( x) = 1； P ( x) = x； P2 ( x) = (3 x − 1)； P3 ( x) = (5 x3 − 3 x) 1 2 2
方程正则奇点邻域内的解
如果 z0 是二阶线性常微分方程
w ' '+ p( z ) w '+ q( z ) w = 0
w ( z0 ) = C 0 , w' ( z0 ) = C1
的常点，则在其邻域—z- z0 —< R内，存在唯一 解析解(定理) ：
w = ∑ k = 0 a k ( z − z0 ) k
∞
其中系数 ak 可以用C0 和C1表示。
例：勒让德方程的级数解
l 阶勒让德方程为： (1 − x 2 ) y "− 2 xy '+ l (l + 1) y = 0
a2 = a4 =
( 2 − l （− l )( l +1)( l + 3) ) 4！
( 4 − l )( 2 − l （− l )( l +1)( l + 3)( l + 5 ) ) 6！
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(K12教育文档)
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要:本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧,分别是:特征根法;常数变易法;比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展,使之更加完善。
关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法;常数变易法；比较系数法;二阶常系数非齐次线性微分方程.1。
预备知识（1.1）其中以及f(t）都是连续函数并且区间是a t b。
如果,则方程（1）就变成了（1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程,把方程(1。
1)叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程（1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程。
2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数看作是的待定函数，然后求出非齐次线性方程的通解。
求解过程如下：设，是方程(1.2)的基本解组，则(2.1.1）是方程（1。
2）的通解。
将常数看作是t的待定函数，那么方程（2。
二阶微分方程无究多点边值 问题正解的存在性(修改)
a ξ + (1 − ∑ i =1 ai )t i =1 i i
m m i m
m
m
(1 − ∑ i =1 ai )(1 − ∑ i =1
i =1 i i m
∑ b)
m i =1 i m
b a ( s ) f ( x (s ))ds + i =1 i ∫
ξi
m
1
∑ a G (ξ , s)a(s) f ( x(s))ds + ∑ a ξ + (1 − ∑ a )t b ∫ 1− ∑ a (1 − ∑ a )(1 − ∑ b ) ⎡ ∑ a ξ + (1 − ∑ a ) ∑ a G (ξ , s)ds ⎤ ⎥C ≤ ⎢ ∫ sds + b ds + ∑ ∫ ∫ ⎢ ⎥ (1 − a )(1 − b ) 1 − a ∑ ∑ ∑ ⎣ ⎦
u ''(t ) + a(t ) f (u(t )) = 0 u (0) = ∑ i =1 ai u (ξi )
m
0 < t <1
（1.3） （1.4）
u '(1) = ∑ i =1 biu '(ξi ) + b
m
为了讨论方便，本文假设： （H1） ： 0 < ξ1 < ξ 2 < ... < ξ m < 1 ， ai , bi ∈ [0, ∞) ， （i=1,2,....m)且 0 < （H2） ： a ∈ C ([0,1],[0, ∞)) 且 a (t ) ≠ 0, t ∈ (0,1) ； （H3） ： f ∈ ([0, ∞),[0, ∞)) 连续，记 f 0 = lim +
0 ≤t ≤1
二阶微分方程neumann边值问题多重正解的存在性
二阶微分方程是指形如$a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)$ 的方程，其中$y(x)$ 是未知函数，$a_2(x)$、$a_1(x)$、$a_0(x)$ 和$f(x)$ 是给定的函数。
Neumann边值问题是指在二阶微分方程的解$y(x)$ 满足$y'(a)=p$ 和$y'(b)=q$ 的条件下，求$y(x)$ 的问题。
其中，$a$ 和$b$ 是方程的解的区间端点，$p$ 和$q$ 是常数。
二阶微分方程的Neumann 边值问题可能存在多重正解。
多重正解的存在条件是，在Neumann 边值问题的解的存在区间内，存在一个点$x_0$，使得$y''(x_0)=0$。
如果存在多重正解，则所有满足Neumann 边值条件的解都是多重正解。
如果存在多重正解，则解的存在区间可能会发生变化，或者存在解的极限，使得Neumann 边值问题的解不存在。
需要注意的是，存在多重正解并不意味着Neumann 边值问题不存在唯一解，也不意味着Neumann 边值问题无解。
实际上，在一定条件下，Neumann 边值问题仍然存在唯一解，也可能存在无穷多个解。
二阶奇异耦合微分方程组Neumann边值问题的解
二阶奇异耦合微分方程组Neumann边值问题的解汤宇;苑成军;蒋达清;李明哲【摘要】Using Schauder's fixed point theorem, the authors studied Neumann boundary value problems of second order non-autonomous semipositive coupled systems. We established the existence of positive solutions for Neumann boundary value problems of the singular coupled systems under the conditions that the signs of integral disturbance terms are positive, or negative, or different.%利用Schauder不动点定理研究二阶非自治半正的耦合微分方程组Neumann边值问题正解的存在性,在扰动项积分值符号同正、同负和异号的情况下,分别获得了该奇异耦合微分方程组Neumann边值问题存在正解的条件.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)003【总页数】6页(P433-438)【关键词】Neumann边值问题;奇异耦合方程组;正解;Schauder不动点定理【作者】汤宇;苑成军;蒋达清;李明哲【作者单位】吉林工商学院基础部,长春130062;东北师范大学数学与统计学院,长春130024;哈尔滨学院理学院数学系,哈尔滨150086;东北师范大学数学与统计学院,长春130024;哈尔滨学院理学院数学系,哈尔滨150086【正文语种】中文【中图分类】O175.080 引言考虑如下耦合方程组的Neumann边值问题:(1)其中: ei∈C[0,1]; 0<mi<π/2; fi∈C([0,1]×(0,+∞),(0,+∞)), 并且在零点处可奇异(i=1,2).目前, 关于微分方程边值问题的研究已有许多结果[1-13], 其中大部分都是对其正解的存在性和唯一性进行讨论.文献[1-2]用Krasnosel’skii不动点定理研究了形为的Neumann边值问题. 在非线性项f(t,x)为超线性或次线性的条件下, 蒋达清等[1]得到了该微分模型系统存在一个正解的结果. 在比文献[1]条件更弱的情况下, Sun 等[2]获得了该微分模型系统存在至少两个正解的条件.文献[3]利用Leray-Schauder型非线性抉择定理研究了Neumann边值问题:获得了正解存在的充分条件.本文利用Schauder不动点定理, 建立耦合方程组的Neumann边值问题(1)正解的存在性.1 预备知识引理1[1] 设h: [0,1]→[0,+∞)为一连续函数, 则边值问题有唯一的解x∈C2[0,1], 其表达式为x(t)=G(t,s)h(s)ds, 其中Green函数为定义函数γi: [0,1]→R如下:γi(t)=Gi(t,s)ei(s)ds, i=1,2,根据引理1, γi(t)是边值问题唯一的解, 且显然有Gi(t,s)>0.为叙述方便, 令P*表示上确界, P*表示下确界. 记定理1(Schauder不动点定理)[14] 令E为一Banach空间, B⊂E为一有界闭凸子集, 若连续紧算子T: E→E使得T(B)→B成立, 则T在B上有一个不动点.2 主要结果1) γ1*≥0, γ2*≥0.定理2 假设存在函数bi≻≻0和0<αi<1, 使得(2)对任意的x>0和几乎处处的t∈(0,1)都成立, 若γ1*≥0, γ2*≥0, 则耦合方程组边值问题(1)存在一个正解.证明: 根据引理1, 耦合方程组边值问题(1)的解即为如下定义的全连续紧算子A(x,y)=(A1x,A2y): C[0,1]×C[0,1]→C[0,1]×C[0,1]的不动点,(A1x)(t)∶=G1(t,s)[f1(s,y(s))+e1(s)]ds=G1(t,s)f1(s,y(s))ds+γ1(t);(A2y)(t)∶=G2(t,s)[f2(s,x(s))+e2(s)]ds=G2(t,s)f2(s,x(s))ds+γ2(t).定义闭凸集K={(x,y)∈C[0,1]×C[0,1]: r1≤x(t)≤R1, r2≤y(t)≤R2, t∈[0,1]},其中R1>r1>0和R2>r2>0是固定的适宜正常数. 根据Schauder不动点定理, 如果能证明算子A是K→K 的映射, 则结论得证. 为方便, 引进记号:βi(t)=Gi(t,s)bi(s)ds, (t)=Gi(t,s)(s)ds, i=1,2.给定(x,y)∈K, 根据函数Gi和fi(i=1,2)符号的非负性, 有(A1x)(t)=G1(t,s)f1(s,y(s))ds+γ1(t)≥ G1(t,s)ds≥G1(t,s)ds≥·,同理有(A2y)(t)=G2(t,s)f2(s,x(s))ds+γ2(t)≥G2(t,s)ds≥G2(t,s)ds≥·,如果r1,r2,R1和R2的选择使得成立, 则(A1x,A2y)∈K.注意到不妨取因为αi<1, 所以能找到足够大的R>1, 使得不等式成立. 因此可以通过对r1,r2,R1和R2选择使得(A1x,A2y)∈K是合理的.如果则表明弱奇异方程(1)也存在正解.定理3 假设存在≻0和0<αi<1, 使得条件(2)成立. 如果且满足:(3)则耦合方程组边值问题(1)存在一个正解.证明: 当时, 为了证明A: K→K, 只需找到使得不等式(4)(5)成立的0<r1<R1, 0<r2<R2即可.固定如果r2满足不等式或者不等式则式(5)中的第一个不等式成立.函数g(r2)在点处有最小值. 取r2*=r20, 如果则式(5)成立.类似地有函数h(r1)在点处取得最小值. 如果则式(4)成立.设r1=r10, r2=r20, 如果γ1*≥g(r1)和γ2*≥g(r2)成立, 则式(4)和(5)中的第一个不等式均成立, 而不等式γ1*≥g(r1)和γ2*≥g(r2)即为条件(3). 由R1和R2的选择直接可得式(4)和(5)中的第二个不等式, 因此下面仅需证明和成立即可.因为所以计算可得成立. 类似地, 也能得到R2>r20.定理4 假设条件(2)成立. 如果且(6)其中0<r21<+∞是方程唯一的正解, 则耦合方程组边值问题(1)存在一个正解.证明: 当时, 为了证明A: K→K, 只需找到使不等式(7)(8)成立的r1<R1, r2<R2即可.固定如果r1满足不等式或不等式则式(7)中的第一个不等式成立. 如果选择r1>0足够小, 则不等式(9)成立, 同时R2也足够大. 固定如果r2满足不等式或者不等式则式(8)中的第一个不等式成立. 根据有f′(0)=-∞, f′(+∞)=1, 因此存在r21, 使得f′(r21)=0, 且因为所以, 函数f(r2)在点r21处取得最小值, 即再注意到f′(r21)=0, 则有或成立.取r2=r21, 如果γ2*≥f(r21), 则不等式(8)中的第一个不等式成立, 而这正是条件(6). 直接利用R2的选择即可得到式(8)中的第二个不等式. 因此下面只需证明r21<R2和r10<R1即可. 事实上, 只要选择r1足够小的同时R2足够大即可.注1 在定理4中, 由于条件(6)的右端总是取负值, 因此等价于证明f(r21)<0. 由定理4的证明可知显然.类似地, 有:定理5 假设条件(2)满足. 如果且满足其中0<r11<+∞是方程的唯一解, 则耦合方程组边值问题(1)存在一个正解.参考文献【相关文献】[1] JIANG Da-qing, LIU He. Existence of Positive Solutions to Second Order Neumann Boundary Value Problem [J]. J Math Res Expos, 2000, 20(3): 360-364.[2] SUN Jian-ping, LI Wan-tong. Multiple Positive Solutions to Second Order Neumann Boundary Value Problems [J]. Appl Math Comput, 2003, 146(1): 187-194.[3] CHU Ji-feng, SUN Yi-gang, CHEN Hao. Positive Solutions of Neumann Problems with Singularities [J]. J Math Anal Appl, 2008, 337(2): 1267-1272.[4] Cabada A, Habets P, Lois S. Monotone Method for the Neumann Problem with Lower and Upper Solutions in the Reverse Order [J]. Appl Math Comput, 2001, 117(1): 1-14. [5] Bensedik A, Bouchekif M. Symmetry and Uniqueness of Positive Solutions for a Neumann Boundary Value Problem [J]. Appl Math Letters, 2007, 20(4): 419-426.[6] LI Fu-yi, ZHANG Yan-bin, LI Yu-hua. Sign-Changing Solutions on a Kind of Fourth-Order Neumann Boundary Value Problem [J]. J Math Anal Appl, 2008, 344(1): 417-428. [7] YUAN Cheng-jun. 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(文香丹, 苑成军, 徐艳华. 一类有脉冲一阶泛函微分方程的正周期解 [J]. 吉林大学学报: 理学版, 2008, 46(6): 1073-1080.)[11] YUAN Cheng-jun. Multiple Positive Solutions for Semipositone (n,P)-Type Boundary Value Problems of Nonlinear Fractional Differential Equations [J]. Anal Appl, 2011, 9(1): 97-112.[12] YUAN Cheng-jun. Two Positive Solutions for (n-1,1)-Type Semipositone Integral Boundary Value Problems for Coupled Systems of Nonlinear Fractional Differential Equations [J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2012, 17(2): 930-942.[13] YUAN Cheng-jun, WEN Xiang-dan, JIANG Da-qing. Existence and Uniqueness of Positive Solution for Nonlinear Singular 2mth-Order Continuous and Discrete Lidstone Boundary Value Problems [J]. Acta Mathematica Scientia, 2011, 31B(1): 281-291. [14] Deimling K. Nonlinear Functional Analysis [M]. Berlin: Springer, 1985.。
奇异二阶Neumann边值问题的正解
维普资讯
曲阜师范 大学学报（ 自然科 学版）
（ ） ｆ ＝ｇ ＝０且 ｆ Ｈ２ ｏ ０ ＝ｇ ＝ｏ （ 线 性 ） ｆ ＝ｇ ＝∞ 且 ｆ ｏ超 或 ｏ ０ ＝ｇ ＝０ 次 线 性 ） （ ；
其中 ｆ ｌ ｏ ｉ ｍ
ｉ ｍ ＝ｌ
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Ｇ ｔ ｓ ＝ ｃ ，
一
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Ｇ（ ， ） Ｍ ｏ ｓ Ｓ ， ｔｓ ≥ Ｃ（ ， ） ０≤ ｔ≤ １一 ．
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８ Ｇ ） （厂“ｓ ＋ （ｇ“ｓ Ｊ （ ［ ｓ （（ ） ６ ）（（ ） ０ 口） ） ｓ ）
和 ｔ 具 有奇性 ， ＝１ 得到了问题（ ） １ 的正解 ， 发展 了文献［ ］ ３．
２ 预 备 知 识 和 引 理
Ｇ）每ｓ ，。、 （ １ ７ｍ 。 、。 ￡ Ｌ ｊ ， ｈ ‘ ｓ 、 ．
ｘ 其 中 ＝ｖ ， ｅ＿ ｅ Ｘ ｓ ＝ — ＿ ｅ ｉ 厂 ｃ ｚ＝— ＋ － ｈ ｚ ｅ ＿ ｈ ｘ 一
Ｋ ｏ＝ ｛ “∈ ｃ［ ， ］Ｉ （ ） ０ 口 ｌ ＿ “ ｓ ≥ ＭｅＩ Ｉ ， ｏ １ “ ｓ ≥ ，ｍｉ （ ） ｎ “Ｉ｝ Ｉ ≤ ≤１ —０
其 中 Ｉ“Ｉ＝ｆＵ Ｉ Ｉ Ｉ ∈ ］ Ｓ ［ ）， ｌ ＝
卣３ 有Ａ（ ≤ｊＧｓ ） （厂“ｓ ＋ （ｇ“ｓ ］ ，而 （式 ｕｔ （ ｓ口ｓ （（） ６ ）（（ ）ｓ从 ） ） ，［ ） ） ｓ ）ｄ
１ 引
言
关 于 Ｎｅ ｍａｎ边 值 问题 ， ｕ ｎ 一些 文 献 分 别 运 用 不 同 的 方 法 进 行 了研 究 ［， ， 应 用 锥 拉 伸 与 锥 压 缩 不 动 但
二阶脉冲微分方程m-点边值问题正解的存在性
摘 要： 讨论 了一类 非线性项 与 （） ｔ有关 的二 阶脉 冲微分 方程 的 ｍ一点边值 问题 ，在对 非线性 项不
作连 续性要 求 ， 且，是一 个 Ｑｌ — ａ ｔ６ｄｒ Ｉ 鹊ｉ Ｃ ｒ ｈｏｏｙ函数 的条件 下，利用锥拉 伸与锥压缩 不动点定理 获得该 问题 正 ａ 解的存在性定理．作 为应 用 ， 出了实例． 给 关 键 词： ｍ一点脉冲微分方程 ； 解； 正 锥拉 伸与锥压缩不动点定理 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：６ ３—１７ （０ ２ ０ ０ １ ０ １７ ６０ ２ １ ｝２－ ０ ６— ８ 中圈分类号 ： １ ５８ Ｏ ７ ．
ＩＩ ＝ Ｐ （） ， Ｉｌ ａｌｘ ， ｝ ＩＩ ￡ ｌ ＩＩ ｘ Ｉｌ Ｉ Ｊ ． ｘ Ｉ ｘ ＝ｍ Ｉｌ Ｉ Ｉ ｘ
显然 ，Ｃ Ｊ Ｒ 在 ｌ 下构成一个 Ｂｎｃ Ｐ ［， ］ Ｉ ． ａａｈ空间，ｃ［ ， ］ ｌ１ Ｐ ’＿ 在 １Ｉ ， ．下构成一个 Ｂｎｃ 空间． ａａｈ
笔者在对非线性项不作连续性假设的条件下 ， 运用锥拉伸与锥压缩不动点定理讨论了二 阶脉冲微分
分 别 表示 （） ｔ 的右 极 限和左 极 限 ， （ ， （ 分 别表示 （） ｔ＝ｔ处 的右极 限和左极 限． ｔ 在 ＝ｔ处 ￡） ￡） ｔ在
方程 ｍ一点边值问题存在正解的充分条件 ， 获得了正解的存在性结果． 从所研究的方程形式来讲 ， 笔者所 讨论的方程要比文献 ［４—１ ］ １ ５ 更具有普遍性 ， 在某种程度上改进和推广了文献［ ５一ｌ ］的结果． １ ６
，
一
（ ＝ １ ￡） ： ｉ ｍ
－
！ － — ：
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cos sin
2
%u ( s) - a( s) u( s) +
1 0
max | u( t ) | 构成的 Banach 空间, C + ( I) 为 C( I ) 中的 t I 非负函数锥 . 先考虑二 阶非线性 常微分方 程 Neu m ann 边值问题: - u'( t) + u ( t) = f ( t, u( t) ) , u '( 0) = u'( 1) = 0 设 G( t , s) 为 f ( t, u) = 0 的 Green 函数 , 则 co s G( t, s) = co s ( 1- t) cos sin ( 1- s) cos sin s t , , 0 ∀ s ∀ t ∀ 1, 0 ∀ t ∀ s ∀ 1,
[ 0, + ! ) 连
u1 是 BVP( 1) 的正解. 证明 : 仅证明 ( i) , 由 文献 [ 2] 可知 1 sin ∀
!K b1 及 0< ∀ 0 ∀ 1 , 使得 ∀ 0 A u0 = u0 ,
则由算子 A 的定义知 , u 0 满足边值问题
154
甘
0 ( ∀0 ( t) - u 0 '( t ) + u 0 ( t) = ∀
2 G( t, s) ∀ cos sin
153
自然数. 更有意义的是, 本文结论中非线性项的增长 是受函数 a( t) 控制的 , 这样的结论在现有文献中并 不多见. 另外, 本文允许非线性项 f ( t , u) 在 u= 0 处 ( 甚至 u= c> 0 处 ) 奇异.
. 任取 u
K , 由 ( 4) 式有 ( A u) ( t)
!K r , 0< ∀∀ 1, 则 i( A , K r , K ) = 1.
%
1
G( t , s) d s = 0
1
引理 3[ 5] . 下列条件: ( i)
u
容易验证 BVP( 2) 等价于积分方程 u( t) =
inf ∃ A u ∃> 0; !K ∀ A u ∋ u, u !K r , ∀&1,
1 si n
%u( s) - a( s) u( s) +
0
1
所以 A u & ∃ A u ∃ , 于是 A : K Asco li 定理易证 A : K 对 r > 0, 设 K r = { u {u
K . 利用 Arzela
K 为全连续算子 . K | | | u ∃ < r} , 则 !K r =
Posit ive solut ion f or Neumann boundar y value problem of second or der various coef ficient or dinary diff erential equat ion
L IANG Sheng quan , YAN G H e
t I ( 4) [ 0, + ! ) 连续时 , 利用 f 在
2
主要结果
定理 1 设 ( H 1 ) 与( H 2 ) 成立, 若存在两个正数
易见 BVP( 1) 的解等价于算子 A 的不动点 . 当 f ( t , u) : I # [ 0, + ! ) 1 的. 设 = 2 cos K = {u 引理 1 续, 则 ( i) ( ii) A (K ) 如果 u1 K , 且 A: K K 为全连续算子 . K 是算子 A 的非零不动点 , 则 有界集合上的一致连续性 , 容易证明算子 A 是连续 , 取 C + ( I ) 的子锥 C+ ( I ) | u( t ) & ∃ u ∃ , 设 f ( t, u) : I # [ 0, + ! ) t I} .
∀
cos 2 sin
%u ( s) - a( s) u( s) + f ( s, u( s) ) ds . 故
0
1
1
背景知识
设 C( I ) 为定义于 I 的连续函数按范数 ∃ u ∃ =
∃Au ∃ ∀ f ( s, u( s) ) d s . 另一方面 ( Au ) ( t) & f ( s, u( s) ) d s . t I, ( 2)
%G( t, s) f ( s, u( s) ) d s,
1 0
t
I
( 3)
( ii)
定义算子 A : C( I )
1 0
C( I ) 如下 :
则 i ( A , K r , K ) = 0.
( A u) ( t) = f ( s, u( s) ) ] ds,
%G( t, s) [ u( s) - a( s) u( s) +
K | | | u ∃= r } . 为A 的非零不动点 , 需要下列关于不动点 指数的引理 : 引理 2 ∋ u, u
[ 5]
设A:K 设 A: K
K 为全连续算子 , 若 ∀ Au K 为全连续算子 , 若满足
ex + e- x ex - e - x 其中 cosx = , sin x = . 易见 G ( t , s) > 2 2 0, 0 t, s 1. 直接验证知
b 1 , b 2 , 使得 ( C1 ) ∀ b1 ; ( C2 ) b2 . 则 BVP( 1) 至少存 在一个 正解 u 1 m in { b 1 , b 2 } < ∃u 1 ∃ < max { b 1 , b 2 } . 证明: 容易看出 b1 ∋ b 2 , 不失一般性 , 设 b1 < b 2 . 第一步 , 假设 f ( t, u) : I # [ 0, + ! ) 连续, 先证明 ∀ A u ∋ u, u 上 , 若存在 u0 [ 0, + ! ) !K b1 , 0< ∀ ∀ 1. 事实 K , , 满足 f ( t, y ( t) ) < a( t ) u( t ) , t I , b2 ∀ u ∀ f ( t, y ( t ) ) < a( t ) u( t) , t I , b1 ∀ u
Abstract: Using t he fix ed point index t heory in cones, so me existence theorem of at least one posit ive solut ion and ex ist ence t heor em of at least n( any nat ural num ber) positive solutions w it h Neumann bounda r y condit ion of the seco nd or der various coeff icient or dinary dif ferent ial equat ion - u '( t ) + a( t) u( t) = f ( t , u ( t) ) , t [ 0, 1] w ere obtained in t his paper. Key words: N eumann bo undary value problem ; posit ive solut io n; singular; fix ed point index 考虑二阶变系数常微分方程 Neumann 边值问 题( boumdar y v alue problems, BVP ) - u '( t ) + a( t) u( t ) = f ( t , u( t) ) , t u'( 0) = u'( 1) = 0 正解的存在性 , 其中 I = [ 0, 1] , a( t) 、 f ( t , u) 满足条 件: ( H 1 ) a( t) : I ( 0, + ! ) 连续, 并且 0 < ∀ < + ! , 其中 = m ina ( t) , = max a( t ) ; t I t I ( H 2) 续. 条件 ( H 2 ) 表明, 本文允许非线性项 f ( t, u) 在 u = 0 处奇异. 近年来 , 由于二阶 常微分方程 Neumann 边 值 问题在物理及数学领域内的广泛应用而越来越受到 f ( t, u) : I # ( 0, + ! ) [ 0, + ! ] 连 I , ( 1) 人们的关注 . 蒋达清等
作者简介 : 梁盛泉 ( 1954 ) , 男 , 副教授 , 主要从事数学和计算机的教学与研究工作 . E m ail: x mgcls q@ 21 cm. com 收稿日期 : 2009 11 16; 修回日期 : 2010 01 13
第2期
梁盛泉等 : 二阶变系数常微分方程 Neumann 边值问题的正解
[ 1]
在 a( t) = M 为常数时, 获
[ 2 3]
得了 BVP ( 1) 在超线性或次线性增长条件下至少有 1 个正解的存在性定理. Sun 等 在 a( t ) = M 为常 数时, 利 用 Krasnoselskii 不 动点定理 获得 了 BVP ( 1) 至少有 2 个正解的存在性定理 ; 在 a( t ) = M 为 常数时, 利 用 Leg gett Willians 不动点定 理获得了 BVP( 1) 至少有 3 个正解的存在性定理. 但这些结 论都是在 a( t ) = M 为常数时获得的 , 并且不允许非 线性项 f ( t, u) 有奇性 . 本文将在非常一般的情况下 , 利用锥上的不动 点指数理论证明 BVP( 1) 至少有 1 个正解的存在性 定理 , 即定理 1. 该定理表明只要非线性项 f ( t , u) 在 其定义域的某些有界集合上的增长速度是适当的, 则 BVP( 1) 必然具有至少 n 个正解 , 其中 n 为任意
1 2
( 1. G ansu Po lyt echnic Co llege o f Animal H usbandry & Engineer ing, Wuwei 733006, China; 2. Co llege of M athematics and Informat ion Science, No rthw est N o rmal U niversit y, Lanzho u 730070, China)