等腰三角形(二)演示文稿
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八年级数学等腰三角形2精美课件
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A1
D
2
B
C
例2：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为b，求作这个等腰三角形.
作法：（1）作线段AB=a. （2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D. （3）在MN上取一点C，使得DC=b. （4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
a b
M C
D
A
B
N
跟踪训练
如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有
D
C
A
EB
如图，AC和BD相交于点O，且AB//DC，OA=OB.求证：OC=OD.
解：∵AB//DC， ∴∠A=∠C，∠B=∠D. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B，则∠C=∠D. ∴OC=OD.
D
C
O
A
B
如图，AD//BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD.
证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD.
你能证明这个结论吗？
新知探究
如图，在△ABC中， ∠B=∠C.求证：AB=AC.
证明：如图，作∠BAC的平分线AD交BC于点D， ∴∠BAD=∠CAD. ∵在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C， ∠BAD=∠CAD， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴ AB=AC.
A
B
C
D
知识点1
“等边对等角”和“等角对等边”的区别：
由三角形的两边相等得出它们所对的角相等是性质；由三角形的两角相等得出它
是等腰三角形是判定.
等腰三角形的性质： 两边相等
这两边所对的角相等
等腰三角形的判定： 两角相等
这两角所对的边相等
课件《等腰三角形》课件PPT_人教版2
10. 如图，在△ ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF. 求证：D 是 BC 的中点.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF， ∴AD是∠BAC的角平分线. ∵在△ABC中，AB＝AC， ∴D是BC的中点．
二级能力提升练
解：∵AB＝AC，AD 平分∠BAC， ∴AD⊥BC，∠ADC＝90°. ∵∠BAC＝80°，∴∠DAE＝12∠BAC＝40°. ∵AD＝AE，∴∠ADE＝70°. ∴∠EDC＝90°-70°＝20°．
6. 如图，在△ ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC，
AE 为 BC 边的中线，AE，BD 相交于点 D，其
（1）证明：∵AB＝AC， ∴△ABE≌△ACF.
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°. ∴∠ABC＝∠ACB＝50°.
∴△ABE≌△ACF. 解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠C＝1（180°-70°）＝55°．
2
5. （例 2）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC， ∠BAC=80°，AD 平分∠BAC，且 AD=AE， 求∠EDC 的度数.
证明：∵AB＝AC，BD＝CD,
∴∠BAC＝180°-∠ABC-∠C＝40°．
第十三章 ∴△ABE≌△ACF.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF， ∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°.
轴对称
∵∠ADB＝125°，
∴∠BDE＝∠DAB＝∠DAC.
∴∠BAE+∠BAD＝∠CAF+∠CAD，
三级检测练
一级基础巩固练
9. 如图，在△ ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上
的中线，CE⊥AB 于点 E. 求证：∠CAD=
【数学课件】等腰三角形(2)
又∵AD⊥BC（已知） ∴∠BAD=∠CAD（等腰 三角形顶角的平分线与底 边上的高互相重合）
∴∠BAD=∠CAD=50°
关于撑伞的数学问题
已知：如图，AB=AC，DB=DC
问：AD与BC有什么关系？
猜想：AD垂直平分BC
证明:
A
∵AB=AC,BD=CD,AD=CD
∴△ABD≌△ACD(SSS)
B
(等边对等角) 分析：1.如何证明两个角
A
相等？
2.如何构造两个全
B
DC
等的三角形?
猜想二
推论1 等腰三角形顶角的平分线平分 底边并且垂直于底边. (三线合一)
证明：作顶角的平分线AD.
A
在△BAD和△CAD中,
AB=AC,∠1=∠2,AD=AD,
∴△BAD≌△CAD
∴∠B=∠C.
B
D
C
∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°.
巩固练习二
例题
根据等腰三角形性质定理的推论，在 △ABC中， AB=AC时，
（1）∵AD⊥BC，
∴∠_B_A_D_ = ∠_C_A_D_，_B_D_= _C_D_ （2）∵AD是中线，
∴A__D_⊥B__C_ ，∠B__A_D_ =∠C_A__D_ （3）∵AD是角平分线，
∴A__D_ ⊥B__C_ ，_B_D_ =_C_D_
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯
18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
∴∠BAD=∠CAD=50°
关于撑伞的数学问题
已知：如图，AB=AC，DB=DC
问：AD与BC有什么关系？
猜想：AD垂直平分BC
证明:
A
∵AB=AC,BD=CD,AD=CD
∴△ABD≌△ACD(SSS)
B
(等边对等角) 分析：1.如何证明两个角
A
相等？
2.如何构造两个全
B
DC
等的三角形?
猜想二
推论1 等腰三角形顶角的平分线平分 底边并且垂直于底边. (三线合一)
证明：作顶角的平分线AD.
A
在△BAD和△CAD中,
AB=AC,∠1=∠2,AD=AD,
∴△BAD≌△CAD
∴∠B=∠C.
B
D
C
∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°.
巩固练习二
例题
根据等腰三角形性质定理的推论，在 △ABC中， AB=AC时，
（1）∵AD⊥BC，
∴∠_B_A_D_ = ∠_C_A_D_，_B_D_= _C_D_ （2）∵AD是中线，
∴A__D_⊥B__C_ ，∠B__A_D_ =∠C_A__D_ （3）∵AD是角平分线，
∴A__D_ ⊥B__C_ ，_B_D_ =_C_D_
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯
18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
人教版《等腰三角形》PPT示范中学数学2
∠∴B△=B∠ADA≌DB△=C∠ACD+（∠SDAAS）C=2x
=∠ADB 。＝ ∠ADC
AD＝AD ∠ADB ＝ ∠ADC 3∴、B通D=过C动D,手∠实AD践B、=∠观A察D归C=纳90、°并. 证明等腰三角形的性
有= 两条边相; 等的三角形叫
质，培养学生的推理能力。
B
由2、刚运才用证等明腰的三△角A形BD的≌性△质A进C行D，证除明了和能计得算到. ∠B＝∠C 你还能发现什么?
底边上的中线和底边上的 B
高
A
E
D
F
C
例题：如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D 在AC 上，且BD=BC=AD. 求△ABC各内角 的度数？
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD
（等边对等角)
x
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
B
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 为__3_5_°__, 35_°_。
想一想:
由刚才证明的△ABD≌ △ACD，除了能 得到∠B＝∠C 你还能发现什么?
A
B DC
结论
性质2 等腰三角形的顶角平分线,底边
上的中线,底边上的高相互重合.
(简写成“三线合一”)
A
证明：作顶角的平分线AD.
在△BAD和△CAD中,
12.3.1 等腰三角形
1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质； 2、运用等腰三角形的性质进行证明和计算. 3、通过动手实践、观察归纳、并证明等腰三角形的性
质，培养学生的推理能力。
回顾 有两条边相等的三角形叫 等腰三角形.
《等腰三角形》PPT课件2
A
变式一:指出图中相等的角.
D
变式二:求ABC的各角度数.
B
C
如图, △ABC中,AB=AC,D点在BA延长线
上,且AD=AE,点E在AC上,延长DE交BC于
F, 求证:DF⊥BC.
D A
E
Байду номын сангаас
B
HF C
〔2〕△ABC中,AB=AC,D点在BA延长线上, DF⊥BC.垂足为F,DF交AC于E, 求证:AD=AE
因绿色为最佳感受色， 可使睫状体放松，图案从里 到外大小不等，不断变化图 案可不断改变眼睛晶状体的 焦距，使调节他们的睫状体 放松而保护视力。
远眺图使用说明
1、远眺距离为1米-2.5米(远眺图电脑版比纸质 版小，距离相应缩短)，每日眺望5次以上，每次 3—15分钟。
2、要思想集中，认真排除干扰，精神专注，高 度标准为使远眺图的中心成为使用者水平视线的 中心点。
• 〔1〕在例四中，如果过点O做底边BC的平行线ED分别交AB AC于点ED。 A
除△ABC和△OBC外还有那些三角形是等腰 三角形？
〔2〕在〔1〕中，如果AB≠AC,其他条 件不变，图中有等腰三角形吗？说明理 由。
E OD
B
C
●本节课你还有哪些疑问?
可爱的同学，找资料眼 睛累了吧！长时间屏幕，眼 睛会干涩、酸痛、疲劳的。
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深进 的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的绿白线 条。
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要立 即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清楚后， 再向内看一层，如此耐心努力争取尽量向内看， 才能使眼的睫状肌放松。
5、双眼视力相近的，两眼可同时远眺；双眼视 力相差大的、将左右眼轮流遮盖，单眼远眺，视 力差的一只眼睛，其远眺时间要延长。
变式一:指出图中相等的角.
D
变式二:求ABC的各角度数.
B
C
如图, △ABC中,AB=AC,D点在BA延长线
上,且AD=AE,点E在AC上,延长DE交BC于
F, 求证:DF⊥BC.
D A
E
Байду номын сангаас
B
HF C
〔2〕△ABC中,AB=AC,D点在BA延长线上, DF⊥BC.垂足为F,DF交AC于E, 求证:AD=AE
因绿色为最佳感受色， 可使睫状体放松，图案从里 到外大小不等，不断变化图 案可不断改变眼睛晶状体的 焦距，使调节他们的睫状体 放松而保护视力。
远眺图使用说明
1、远眺距离为1米-2.5米(远眺图电脑版比纸质 版小，距离相应缩短)，每日眺望5次以上，每次 3—15分钟。
2、要思想集中，认真排除干扰，精神专注，高 度标准为使远眺图的中心成为使用者水平视线的 中心点。
• 〔1〕在例四中，如果过点O做底边BC的平行线ED分别交AB AC于点ED。 A
除△ABC和△OBC外还有那些三角形是等腰 三角形？
〔2〕在〔1〕中，如果AB≠AC,其他条 件不变，图中有等腰三角形吗？说明理 由。
E OD
B
C
●本节课你还有哪些疑问?
可爱的同学，找资料眼 睛累了吧！长时间屏幕，眼 睛会干涩、酸痛、疲劳的。
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深进 的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的绿白线 条。
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要立 即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清楚后， 再向内看一层，如此耐心努力争取尽量向内看， 才能使眼的睫状肌放松。
5、双眼视力相近的，两眼可同时远眺；双眼视 力相差大的、将左右眼轮流遮盖，单眼远眺，视 力差的一只眼睛，其远眺时间要延长。
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B
E
A
D
C
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两 个三角形的全等．
想一想, 做一做
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比 较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有 其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么 启示?
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线 段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?
1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等. 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的高． 求证：BD=CE．
B ELeabharlann ADC分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两 个三角形的全等．
2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等. 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的中线． 求证：BD=CE．
小结
1 （1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC， n 1 ∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE. n 1 （2）在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC， n 1 AE= AB，那么BD=CE. n
简述为： （1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么 BD=CE. （2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
E A
F
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B
C
A
F
B
A
F
B
课时小结
1.等腰三角形中还有那些相等的线段？ 2.等边三角形有哪些性质？ 3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？
议一议
1．在等腰三角形ABC中，
1 1 (1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么 3 3 1 1 BD=CE吗?如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢? 4 4 由此，你能得到一个什么结论? 1 1 (2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?如果 3 3 1 1 AD= AC，AE= AB呢?由此你得到什么结论? 4 4
想一想, 做一做
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、 高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的 结论吗? 作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分 线相等；两腰上的高、中线也分别相等． 我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这 就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们 坚定不移地去承认它，相信它．
1. 求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°. 已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。
A
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理：∠C=∠A， ∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
B C
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
用心想一想，马到功成
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
B E 3 A
D 4 C
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB． 1 1 ∵∠3= ∠ABC，∠4= ∠ACB， ∴∠3=∠4． 2 2 在△ABD和△ACE中， ∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
随堂练习
及时巩固
• 如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形, A • 求证:AE=CD
B D
E
C
证明: ∵ △ABC和△BDE都是等边三角形 ∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD
∴AE=CD
.将不全等的两个等边三角形△ABC和等边三角形△DEF任意摆放,请 你画出不少于5种的摆放示意图,使得AE=CF,同时满足在重合的一 条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个),并说明理由. C C
下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰 三角形两底角的平分线相等．
用心想一想，马到功成
A
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
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1
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2
B
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证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． 1 1 ∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，∴∠1=∠2． 2 2 在△BDC和△CEB中， ∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
E
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分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两 个三角形的全等．
想一想, 做一做
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比 较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有 其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么 启示?
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线 段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?
1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等. 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的高． 求证：BD=CE．
B ELeabharlann ADC分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两 个三角形的全等．
2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等. 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的中线． 求证：BD=CE．
小结
1 （1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC， n 1 ∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE. n 1 （2）在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC， n 1 AE= AB，那么BD=CE. n
简述为： （1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么 BD=CE. （2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
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课时小结
1.等腰三角形中还有那些相等的线段？ 2.等边三角形有哪些性质？ 3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？
议一议
1．在等腰三角形ABC中，
1 1 (1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么 3 3 1 1 BD=CE吗?如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢? 4 4 由此，你能得到一个什么结论? 1 1 (2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?如果 3 3 1 1 AD= AC，AE= AB呢?由此你得到什么结论? 4 4
想一想, 做一做
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、 高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的 结论吗? 作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分 线相等；两腰上的高、中线也分别相等． 我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这 就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们 坚定不移地去承认它，相信它．
1. 求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°. 已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。
A
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理：∠C=∠A， ∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
B C
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
用心想一想，马到功成
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
B E 3 A
D 4 C
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB． 1 1 ∵∠3= ∠ABC，∠4= ∠ACB， ∴∠3=∠4． 2 2 在△ABD和△ACE中， ∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
随堂练习
及时巩固
• 如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形, A • 求证:AE=CD
B D
E
C
证明: ∵ △ABC和△BDE都是等边三角形 ∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD
∴AE=CD
.将不全等的两个等边三角形△ABC和等边三角形△DEF任意摆放,请 你画出不少于5种的摆放示意图,使得AE=CF,同时满足在重合的一 条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个),并说明理由. C C
下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰 三角形两底角的平分线相等．
用心想一想，马到功成
A
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
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证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． 1 1 ∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，∴∠1=∠2． 2 2 在△BDC和△CEB中， ∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．