高中数学人教B版必修4学案：2.1.1 向量的概念

2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念1.理解向量、零向量、基线、向量模的意义.(重点)2.掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表示点的位置.3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间共线(平行)、相等的关系.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 向量及其几何表示阅读教材P 77～P 78“第17行”以上内容，完成下列问题.1.向量的定义 具有大小和方向的量称为向量.2.自由向量 只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做自由向量.3.向量的表示(1)有向线段：具有方向的线段.(2)向量可以用有向线段表示，向量AB →的大小，也就是向量AB →的长度，记作|AB →|，向量也可以用字母a ，b ，c ，……表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：AB →，CD →.(3)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量可以比较大小.( )(2)坐标平面上的x 轴和y 轴都是向量.( )(3)某个角是一个向量.( )(4)体积、面积和时间都不是向量.( )【解析】 因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x 轴、y 轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确.【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√教材整理2 向量的有关概念阅读教材P 78“第18行”～P 79以上内容，完成下列问题.1.零向量：长度等于零的向量，叫做零向量，记作0.规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：同向且等长的向量叫做相等向量.3.平行向量(共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.也就是说方向相同或相反向量叫做平行向量，也叫共线向量.向量a 平行于b ，记作a ∥b .4.位置向量：任给一定点O 和向量a ，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)单位向量都平行.( )(2)零向量与任意向量都平行.( )(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(4)|AB →|＝|BA →|.( )【解析】 (1)错误，长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若b＝0，则(3)不成立；(4)正确.故只有(2)(4)正确.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.【精彩点拨】 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素.【自主解答】 (1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小.(2)不正确.由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系.(3)正确.因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a ＝b .(4)不正确.依据规定：0与任意向量平行.(5)不正确.因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定.求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等.[再练一题]1.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②向量的模一定是正数；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上.其中正确命题的序号是________.【解析】 ①错误.由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系.②错误.0的模|0|＝0.③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上.【答案】 ③某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点.(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求AD →的模.【精彩点拨】 可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量.可把AD →放在直角三角形中求得|AD →|.【自主解答】 (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米.△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋(10)2＝55(米)，所以|AD →|＝55米.1.向量的两种表示方法：(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB →，CD →，EF →等.2.两种向量表示方法的作用：(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.[再练一题]2.一辆汽车从点A 出发，向西行驶了100公里到达点B ，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到点D .(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.【导学号：72010039】【解】 (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示.(2)由题意知AB →与CD →方向相反，∴AB →与CD →共线，∴在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，又∵|AB →|＝|CD →|，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴|AD →|＝|BC →|＝200(公里).[探究共研型]探究1【提示】 向量a 与c 不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b ＝0，则向量a 与c 不一定共线.探究2 两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？ 【提示】 不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关.(1)(2016·潍坊高一检测)如图2-1-1，在等腰梯形ABCD 中.图2-1-1①AB →与CD →是共线向量；②AB →＝CD →；③AB →>CD →.以上结论中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3(2)下列说法中，正确的序号是________.①任何两个单位向量都是相等向量；②零向量都相等；③任一向量与它的平行向量不相等；④若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝DC →；⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.【精彩点拨】 可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断.【自主解答】 ①单位长度是1，长度相等，但方向不一定相同，故不是相等向量，即①不正确；②由①可知②也不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确.(2)因为向量AB →与CD →是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以A ，B ，C ，D 也不一定在一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即③错误；画出图形，可得AB →＝DC →，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确.【答案】 (1)A (2)②④相等向量与共线向量需注意的四个问题：(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合.(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0).(4)三点A ，B ，C 共线⇔AB →，AC →共线.[再练一题]3.如图2-1-2所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心.图2-1-2①分别写出图中与OA →，OB →，OC →相等的向量；②与OA →的长度相等、方向相反的向量有哪些？【解】 ①与OA →相等的向量有EF →，DO →，CB →；与OB →相等的向量有DC →，EO →，F A →；与OC →相等的向量有FO →，ED →，AB →.②与OA →的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.1.下列说法中正确的个数是( )①身高是一个向量；②∠AOB 的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量.A.0B.1C.2D.3【解析】 只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误，④正确.【答案】 B2.在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线.A.①②③B.②③④C.①②⑤D.①③⑤【解析】 由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然③、⑤正确，④不正确，故选D.【答案】 D3.(2016·三明市期末)设e 1，e 2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )A.e 1＝e 2B.e 1∥e 2C.|e 1|＝|e 2|D.以上都不对【解析】 单位向量的模都等于1个单位，故C 正确.【答案】 C4.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是________.(填序号)【解析】 由向量的相关概念可知④⑥正确.【答案】 ④⑥5.如图2-1-3所示，四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABDE 是矩形，找出与向量AB →相等的向量.图2-1-3【导学号：72010040】【解】 由四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABDE 是矩形，知DC →，ED →与AB →的长度相等且方向相同，所以与向量AB →相等的向量为DC →和ED →.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列说法正确的个数是( )(1)温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；(2)零向量没有方向；(3)非零向量的单位向量是唯一的.A.0B.1C.2D.3【解析】 (1)中温度和功不是向量；(2)零向量的方向不确定，而不是没有方向，所以(1)(2)错误.【答案】 B2.下列结论正确的是( )A.向量必须用有向线段来表示B.表示一个向量的有向线段是唯一的C.有向线段AB →和BA →是同一向量D.有向线段AB →和BA →的大小相等【解析】 向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A 错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B 错误；有向线段AB →和BA →的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C 错误，D 正确.【答案】 D3.给出下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】 对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定.对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等.只有④正确.故选A.【答案】 A4.数轴上点A ，B 分别对应－1、2，则向量AB →的长度是( )A.－1B.2C.1D.3【解析】 易知|AB →|＝2－(－1)＝3，故选D.【答案】 D5.(2016·长春十一中期末)若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形【解析】 由BA →＝CD →知四边形为平行四边形；由|AB →|＝|AD →|知四边形ABCD 为菱形.故选C.【答案】 C二、填空题6.已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.【解析】 因为A ，B ，C 三点不共线，所以AB →与BC →不共线，又因为m ∥AB→且m ∥BC →，所以m ＝0.【答案】 07.给出以下五个条件：①a ＝b ；②|a|＝|b|；③a 与b 的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a 与b 都是单位向量.其中能使a ∥b 成立的是________.(填序号)【解析】 共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小.很明显仅有①③④.【答案】 ①③④三、解答题8.O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCF B 都是正方形，在如图2-1-4所示的向量中：图2-1-4(1)分别找出与AO →，BO →相等的向量；(2)找出与AO →共线的向量；(3)找出与AO →模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？【解】 (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →.(2)与AO →共线的向量有：BF →，CO →，DE →.(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →.(4)向量AO →与CO →不相等，因为它们的方向不相同.9.如图2-1-5所示，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →且CN →＝MA →，求证：DN →＝MB →.【导学号：72010041】图2-1-5【证明】 因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .又因为DA →与CB →的方向相同，所以CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，所以CM →＝NA →.因为|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，所以|MB →|＝|DN →|.又DN →与MB →的方向相同，所以DN →＝MB →.[能力提升]1.已知向量a ，b 是两个非零向量，AO →，BO →分别是与a ，b 同方向的单位向量，则以下各式正确的是( )A.AO →＝BO →B.AO →＝BO →或AO →＝OB →C.AO →＝OB →D.AO →与BO →的长度相等【解析】 因为a 与b 方向关系不确定且a ≠0，b ≠0，又AO →与a 同方向，BO →与b 同方向，所以AO →与BO →方向关系不确定，所以A ，B ，C 均不对.又AO →与BO →均为单位向量，所以|AO →|＝|BO →|＝1.【答案】 D2.已知飞机从A 地按北偏东30°方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B 地按南偏东30°方向飞行2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地.画图表示向量AB →，BC →，CD →，并指出向量AD →的模和方向.【解】 以A 为原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向建立直角坐标系.据题设，B 点在第一象限，C 点在x 轴正半轴上，D 点在第四象限，向量AB →，BC →，CD →如图所示，由已知可得，△ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km. 又∠ACD ＝45°，CD ＝1 000 2 km.所以△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°.故向量AD →的模为1 000 2 km ，方向为东南方向.。