改进的三维ODT四面体网格质量优化算法

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三维限定Delaunay四面体网格划分的算法

三维限定Delaunay四面体网格划分的算法
杨忱瑛; 陈文亮
【期刊名称】《《机械设计与制造工程》》
【年(卷),期】2009(038)007
【摘要】概述了三维限定Delaunay四面体网格划分算法的基本步骤。

重点研究了初始四面体网格形成的算法,此算法采用了逐点插入法的一种——局部交换法。

详细讨论了此算法的基本步骤,并分析比较了此算法相对于传统初始网格生成算法的优点。

该算法易于实现,并通过不同的算例对网格生成进行了验证,获得了理想的结果。

【总页数】3页(P49-50,54)
【作者】杨忱瑛; 陈文亮
【作者单位】南京航空航天大学机电学院江苏南京 210016
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.一种网格和节点同步生成的二维Delaunay网格划分算法 [J], 骆冠勇;曹洪
2.基于映射法和Delaunay方法的曲面三角网格划分算法 [J], 熊英;胡于进;赵建军
3.三维欧氏 Steiner 最小树的 Delaunay 四面体网格混合智能算法 [J], 王家桢;马良;张惠珍
4.三维限定Delaunay四面体网格划分的算法 [J], 杨忱瑛; 陈文亮
5.约束Delaunay四面体剖分在三维地质建模中的应用 [J], 余淑娟;郭飞;李想;徐峰
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改进的三维ODT四面体网格质量优化算法

摘
要：针对密度非均匀四面体网格，出一种改进的三维Ｏ提ＤＴ（ｐｉｌｅｕａｒｎｕａｉ）格光顺算法，ｏｔｌｎｙｔｉｇｌｏ网ｍａＤａａｔｎ提
高了ＯＴ的适应性．四面体网格中，Ｄ在以每一内部节点为核心节点，建由与该节点相连接的四面体单元构成的星创形结构；据网格尺寸场把其星形结构转换到以核心点为中心的归一化空间内，后在归一化空间内应用经典ＯＤ根然Ｔ
Ｔｅｈｌｇｙ，Ｄａｌａ１６２ｃｎｏｏｉｎ０４）１
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｆｏｅｒｈｅａｓｓｗｉｈｎ — ｎｉｏｒｄｅｉｙ，ａｎｎｃｄ３ＯＤＴ（ｔｍａｌｕｙｒｔｔａｄｒｌｍｅｈｅｔｏｎｕｆｍｎｓｔｎｅｈａｅＤｏｐｉｌＤｅａｎａ
Ｌｉｎ，Ｃｈｎｉａ，ａｄＧｕｎＺｈｎｕｕＹａａｇＪｈｉｎａｅｑｎ
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光顺算法对核心点位置进行优化；过中值重心坐标将核心点转换回物理空间；样，过逐一优化内部节点的空通这通间位置达到优化四面体网格整体质量的目的．例表明，算法有效、壮；于密度非均匀的四面体网格，光顺算该健对其

四面体网格优化算法的研究及其应用的开题报告

四面体网格优化算法的研究及其应用的开题报告一、研究背景四面体网格是计算机辅助设计和工程模拟中常用的一种离散化空间的方法，可以被应用于流体动力学、有限元分析、计算机图形学、医学成像等领域。

但是，在实际应用中，由于数据规模复杂和计算资源限制的因素，生成高质量的四面体网格具有很大的挑战性。

优化算法是解决这一问题的一种有效方法，它可以通过自动化调整四面体网格中的顶点位置，使其在满足几何和拓扑限制的情况下尽可能接近理想的四面体质量。

因此，研究基于优化算法的四面体网格生成方法对于提高四面体网格质量和加速计算过程具有重要的实际意义。

二、研究目的本论文旨在研究四面体网格优化算法及其应用，具体包括：1. 分析现有的四面体网格优化算法，包括逐点优化、基于流形约束的优化和基于全局优化的算法，并比较不同算法的优劣和适用场合；2. 针对四面体网格优化过程中的问题进行分析和研究，包括避免剪切畸变、优化目标函数的设计和加速优化的方法等；3. 将所研究的四面体网格优化算法应用于实际工程问题中，通过数值实验验证所提出的算法的有效性和可行性。

三、研究内容和方法本论文的研究内容主要包括：1. 四面体网格生成方法的研究，包括 Delaunay 三角剖分算法、法向量估计和表面网格化方法等；2. 四面体网格优化算法的研究，包括逐点优化、基于流形约束的优化和基于全局优化的算法等，并比较不同算法的优劣和适用场合；3. 分析四面体网格优化过程中的问题，包括物理能量的优化目标函数、避免剪切畸变、网格组织的优化等，并提出相应的解决方案；4. 设计数值实验，通过对比实验验证所提出的四面体网格优化算法的有效性和可行性。

本论文的研究方法主要包括：1. 文献综述法，对四面体网格生成和优化领域的相关文献进行综合分析和评价，总结现有的算法和研究现状；2. 编程仿真法，基于 MATLAB 或 C++ 等计算机语言实现所研究的四面体网格生成和优化算法，并进行数值仿真和实验，验证算法的有效性和可行性；3. 理论分析法，利用数学分析方法，研究四面体网格生成和优化问题的数学本质和解决方案，并提出新的优化算法。

改进的三维ODT+单元质量优化方法

改进的三维ODT单元质量优化方法1)刘岩*，关振群*2)*(大连理工大学工程力学系工业装备结构分析国家重点实验室, 大连116024)摘要：本文针对密度不均匀的四面体网格，提出一种改进的四面体网格ODT光顺方法，解决了经典ODT方法不能优化非均匀密度四面体网格单元质量的问题。

本文算法在经典ODT光顺方法的理论基础上，提出归一化空间和实际空间之间映射方法，从而克服经典ODT不适合优化非均匀密度网格的缺点。

具体来说，根据当前网格尺寸值，把星形结构转换到以核心点为中心的归一化空间；在归一化空间内，应用经典ODT光顺方法对核心点位置进行优化；最后，通过Meanvalue重心坐标计算优化位置在实际空间内的坐标。

光顺算法之后，应用拓扑变换单元质量优化算法，提高四面体网格局部单元质量。

算例表明，本文提出的网格单元质量优化方法有效、健壮，比经典的ODT算法光顺效果更好。

关键词： ODT；Meanvalue重心坐标；四面体单元；光顺；有限元引言有限元网格单元质量优化算法是有限元网格生成算法的重要组成部分。

依据输入的表面网格尺寸，现有的网格自动生成算法可以生成疏密不均、过渡平缓的自适应网格。

而这些初始生成的网格单元质量较差，影响有限元法的计算精度，这就需要结点光顺和拓扑变换等方法对初始生成的网格进行单元质量优化。

现有的网格光顺算法主要分两类：一类是以Laplacian算法为基础；另一类是以优化算法为基础。

在以Laplacian算法为基础光顺方法方面，Field[1]将结点向与之相连接的结点的算数重心移动，这种方法简单、快速，但容易在局部产生负体积单元。

Freitag[2]改进Laplacian算法，仅当结点移动使其连接的单元满足一定的单元质量要求时才可以移动该结点。

虽然Laplacian算法的健壮性好、速度快，但其缺乏理论基础，无法实现网格全局单元质量的优化。

而以优化算法为基础的网格光顺方法则能较好的解决这一问题。

基于Netgen的四面体网格剖分算法及其应用

基于Netgen的四面体网格剖分算法及其应用魏斌;徐华【摘要】A Netgen-based tetrahedralization algorithm was proposed,which fulfilled the tetrahedralization based on complex TIN models after close,non-manifold and surface normal vector checks of TIN model through analysis of various kinds of mo-dels.No points were added on the constraint surface of TIN models in Netgen-based tetrahedralization,leading to the high con-sistency between the original surface and the tetrahedron shape,and ensuring the accuracy of the model and boundary consistency under coplanarity.A sample application in a mineral's formation data shows that the Netgen-based tetrahedralization algorithm is stable,efficient and ensures the boundary consistency and high quality of mesh.%通过对各类模型的分析和归纳,提出一种基于Netgen的四面体剖分算法,对不规则三角网(TIN)模型进行封闭性检查、非流形检查、表面法向量检查和相交性检查,实现基于TIN复杂模型的四面体剖分.进行四面体剖分时,不在模型的约束面加点,使原始曲面与四面体形状间高度吻合,确保模型精度,保证共面情况下的边界一致性.某矿地层数据的实例应用结果表明,使用该算法能够使边界一致,得到高质量网格,兼具稳定性和高效性.【期刊名称】《计算机工程与设计》【年(卷),期】2017(038)002【总页数】6页(P368-373)【关键词】四面体剖分算法;封闭性检查;非流形检查;表面法向量检查;相交性检查;边界一致性;单元质量【作者】魏斌;徐华【作者单位】北京化工大学信息科学与技术学院,北京 100029;北京石油化工学院信息工程学院,北京 102617【正文语种】中文【中图分类】TP391.41如何解决复杂模型剖分时的边界一致性和生成高质量单元是四面体剖分的难点之一。

改进的基于欧氏距离测度网格模型体素化算法_吴晓军

第16卷第4期2004年4月计算机辅助设计与图形学学报JO U RNAL OF COM PU T ER -AI DED DESIGN &COM PU T ER GRA PHI CS V ol 116,No 14Apr 1,2004原稿收到日期:2003-05-08;修改稿收到日期:2003-07-041本课题得到国家/八六三0高技术研究发展计划(2001AA421160)资助1吴晓军,男,1975年生,博士研究生,主要研究方向为计算机图形学、科学计算可视化、CAD 等1刘伟军,男,1969年生,博士,研究员,博士生导师,主要研究方向为计算机视觉、CAD 等1王天然,男,1943年生,研究员,博士生导师,主要研究方向为计算机视觉、智能机器人1温佩芝,女,1963年生,博士研究生,讲师,主要研究方向为图形图像处理、模式识别等1产品开发集锦改进的基于欧氏距离测度网格模型体素化算法吴晓军刘伟军王天然温佩芝(中国科学院研究生院北京 100039)(中国科学院沈阳自动化研究所先进制造实验室沈阳 110016)摘要在基于到网格多边形表面的法矢量函数作为距离标准的体素化算法的基础上,提出以多边形面的最小包围盒作为计算单元,以欧式距离作为测度实现网格模型的体素化,极大地提高了计算速度,使得只能在图形工作站上实现的算法在微机平台上得以实现1针对通常采用Floo ding 操作判断内外体素、但应用于存在封闭空腔的模型时将会产生错误的情况,设计了一种根据体素标志位序列判断内外体素的算法1关键词网格模型;体素化;体素模型;欧氏距离测度中图法分类号 T P39114Modified Polygonal Mesh Voxelization Based on Euclidean Distance MeasurementWu Xiaojun Liu Weijun Wang T ianran Wen Peizhi(G raduate S c hool of the Chinese Academy of Scie nc es ,Beij ing 100039)(Ad v anced Ma nuf acturing L aboratory,S henyang Institute of A utomation ,Chinese Academy o f Scie nc es ,Shenyang 110016)Abstract By taking an adaptive minimal bounding box as com putational unit and Euclidean distance as measurement criterion,polygonal meshes can be voxelized fast and implemented on PC instead of workstation 1Thoug h the inside and outside voxels are distinguished by Flooding operation,it makes er -ror w hen applied to model containing closed cavity 1Correction is made to the flooding algorithm 1Key words meshes model;voxelization;voxe-l based model;Euclidean distance measurement1 引言传统的基于面图形学的三维实体表示方法(如构造实体几何法(CSG)、边界表示法(B -Rep)、扫描表示法等),只能描述模型表面信息,难以描述零件的内部结构、组织信息(如非均质、功能梯度等),仅限于单一的均质材料零件的描述1当要描述模型内部属性(如密度、材料等)时,用传统CAD 三维模型将显得无能为力1计算机硬件技术的迅速发展引发了从矢量图形到光栅图形的变革1近年来,速度更快、处理能力更强、容量更大的计算机硬件系统正在推动计算机图形学中的另一次变革)))从基于面图形学向基于体图形学的转变1体素化是将物体的表面几何形式表示转换成最接近该物体的体素表示形式,产生体数据集,其不仅包含模型的表面信息,而且能描述模型内部属性1体素可以理解为二维像素在三维空间的推广[1],它们是一组分布在正交网格中心的立方体单元1基于体素的三维模型有诸多应用,如医学影像、流体力学、碰撞检测、地形造型、机械零件造型和制造等领域[2-5]1体图形学研究的是体素化物体的合成、操作和显示等问题[1],它弥补了面图形学的缺陷,丰富和发展了计算机图形学的理论和方法1文献[6]应用到实体表面的法矢量的函数将多边形模型离散为体素模型1文献[7]应用尺度空间理论来获得点、线、三角面的反走样体素模型1文献[8]应用距离场和距离变换的方法生成体素模型1本文在文献[6]的基础上,提出了一种加速算法,使得算法在微机平台上得以实现12 离散拓扑和几何基础三维离散空间Z 3是三维欧几里德空间E 3的一个子集,一个三维网格点可以用它的Euclidean 坐标(x ,y ,z )表示,它的Voronoi 邻域是一个单位立方体,称为体素,每个体素的值可以映射到集合{0,1}上,赋/10的体素被称为/黑0体素或/非空0体素;赋/00的体素被称为/白0体素或/空0体素[6]1本文算法中,体素赋/00表示边界体素;赋/10表示内部体素;赋/-10表示外部体素1体素根据相邻关系有:6-邻接关系)))两个体素间存在一个公共面;18-邻接关系)))两个体素间存在一条公共边或一个公共面;26-邻接关系)))两个体素间存在一个公共顶点或一条公共边或一个公共面[9]1定义11如果这个序列中任何一对相邻体素是N-邻接的,而且这个序列中的体素属于同一种类(白或黑),那么在三维图像中,称一个有序的体素序列组成一个M-路径,M =6,18和26;在二维情况时M =4和81定义21如果在两个体素之间存在一条M-路径,称两个体素是M-连通的1定义31设一个M-连通域S 定义了一个三维离散空间中的一个面,如果删除S 中的某一个体素v 时没有由此产生隧道,那么v 称为M-简单体素1定义41设一个N-连通域S 定义了一个三维离散空间中的一个面,如果S 中不存在M-简单体素,那么S 所定义的面称为M-最小面1设S 是R 3空间的一C 0连续表面, S 是S 的离散表示1A ,B 和C 分别是三个分离的体素集合,如果体素集B 中的一个体素和C 中的一个体素之间的任意一条M-路径0满足0H A X §,则称A 可M-分离B ,C 1定义51如果一个M-分离表面不包含任何M-简单体素,则称此表面为M-最小表面13 网格模型体素化311 体素化二维直线给定一平面S ,在S 两侧构造两个平行平面,如图1所示,平面S 的方程为A p X +B p Y +C p Z +D p =0(1)平行平面G 和H 的方程为A p X +B p Y +C p Z +D p ?t =0(2)假设多边形法向量归一化,即A 2p +B 2p +C 2p =1(3)如果一个体素中心的网格点到平面G 和H 的距离满足:-t [A p X +B p Y +C p Z +D p [t(4)则该体素属于离散平面 S ,如图1所示1图1 平面S 和两平行平面G,H在二维情况下,平面S ,G 和H 变为三条直线,对于二维点(x ,y ),式(4)变为-t [A p x +B p y +D p [t(5)在下面的推导中,L 是网格大小,C 为像素中心,N 为通过C 点的直线法向量,K 为像素对角线长(三维时,K 为单个体素对角线),A 为N 和K 的夹角,B 为水平线与N 间夹角,如图2,3所示1为产生一个4-分离直线,计算出t =K cos A =(L /2)2cos A ,记为t 4;为产生8-分离直线,定义t 8=(L /2)cos B [6]1定理11由A p ,B p 和C p 定义的直线,可以由满足集合 S ={(x ,y )|-t 8[A p x +B p y +D p [t 8}的像素集构成此直线的8-分离和8-最小表示1定理21由A p ,B p 和C p 定义的直线,可以由满5934期吴晓军等:改进的基于欧氏距离测度网格模型体素化算法足集合 S ={(x ,y )|-t 4[A p x +B p y +D p [t 4}的像素集构成此直线的4-分离和4-最小表示1图2单个像素二维时的情况图3 单个体素三维时的情况312 体素化三维平面三维类似于二维的情况,如果体素中心位于平面G 和H 之间,该体素属于表面 S 1在三维空间,目的是建立平面的6-分离或26-分离表示1为产生26-分离表面,计算t =K cos A =(L /2)3cos A ,记为t 26;产生6-分离表面,计算t 6=(L /2)cos B [6]1定理31由A p ,B p ,C p 和D p 定义的平面,满足集合 S ={(x ,y ,z )|-t 26[A p x +B p y +C p z +D p [t 26}的所有体素构成26-分离和26-最小面表示1定理41由A p ,B p ,C p 和D p 定义的平面,由满足集合 S ={(x ,y ,z )|-t 6[A p x +B p y +C p z +D p [t 6}的所有体素构成6-分离和6-最小面表示1定理1~4的证明见文献[6]1313 多边形网格体素化前面给出的是处理无限大平面的情况,但实际中需要处理有限平面,如多边形、多边形网格等1这样需进一步处理边和顶点的情况1设多边形模型S 有n 个顶点,m 条边1对多边形S 的离散获得集合 S ,可以分为对三个相互交叠的子集 S v , S e , S b 处理,分别表示顶点子集、边子集和多边形面子集,并有 S = S v G S e G S b ,空体素集记为S no n 1用t 表示体素之间的欧式距离,在6-分离情况下,记为t 6,定义R c =L /2;在26-分离情况下,记为t 26,定义R c =(3/2)L 1对于S 的每一顶点,定义一个以S 顶点为球心、R c 为半径的包围球,所有体素中心到球心的距离小于R c 的体素均属于集合 S v ,如图4a 所示1图4 多边形面的体素化多边形S 的边体素集 S e 可以这样求得:对于多边形的每条边,定义一个半径为R c 、长为L 的圆柱,L 为多边形边长1所有体素中心到圆柱轴心的距离小于R c 的体素构成多边形边体素集 S e ,如图4b 所示1对多边形S 的面子集 S b ,定义一系列包围面1首先,定义两个包围平面G 和H ;过多边形S 的每条边定义垂直G 和H 的平面E i (i =1,,,n ),这样在三维空间就构成一个封闭区域将多边形面S 包围起来,所有体素中心到有限多边形面S 的距离不大于t 6或t 26的体素构成子集 S b ,如图4c 所示1求得子集 S v , S e , S b ,将其合并后即可得到多边形网格模型的离散体素集合 S 14 改进算法411 模型表面体素化改进第313节中算法在执行过程中,由于要遍历大量的体素数据,因此制约了算法的效率,为此,我们设计了如下的算法1设体素模型的分辨率为R x @R y @R z ,$i,$j 和$k 分别表示体素在X ,Y 和Z 方向上的采样间距1以三角面片为例,设三角面片上三个顶点的坐594计算机辅助设计与图形学学报2004年标分别为P 0(x 0,y 0,z 0),P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),将P 0,P 1,P 2的各坐标分量排序,按升序排列,构成序列P xi ,P y i ,P zi (i =0,1,2);取每个序列的第一个元素和最后一个元素构成三维空间内的点对P l (P x 0,P y 0,P z 0)和P h (P x 2,P y 2,P z 2)1再由式(6)求出P l 和P h 所在体素的网格坐标1vox [0]=f loor (P x i /$i),vox [1]=f loor (P yi /$j ),vox [2]=f loor (P z i /$k ),i =0,2(6)以P l 和P h 为对角顶点构造一个六面体包围盒,如图5所示1三角面P 0P 1P 2的包围盒中P l 和P h 为包围盒对角顶点1所包围的体素构成集合 S re t = S i G S non ,其中 S i (i =1,2,,,n )为单个三角面离散体素集1这样,计算集合 S i 所遍历的体素减小到对集合 Sre t 的遍历1假设多边形网格模型的平均网格大小为M ave ,并且M ave =m V vol ,其中V vo l 为单个体素的大小1若原算法计算一个多边形面所用的时间为T ,则本文算法所用的时间为mT /(R x R y R z ),所以本文的改进算法可极大地提高执行速度1图5 三角面P 0P 1P 2的包围盒在计算P h ,即i =2时,由于是向下取整,所以式(6)应变为vox [0]=f loor (P x 2/$i)+1vox [1]=f loor (P y 2/$j )+1vox [2]=f loor (P z 2/$k)+1(7)以二维为例,如图6所示,设三角面P 0P 1P 2,其坐标分别为P 0(x 0,y 0),P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2),对P 0,P 1,P 2升序排序得到两个序列P x 0(x 0,x 2,x 1)和P y 1(y 2,y 1,y 0),得出包围框两个对角顶点坐标为P l (x 0,y 2)和P h (x 1,y 0)1如果利用式(6),P h 点计算所得为v 4点(图中深色区域),所构造的是以v 7和v 4为对角顶点的包围框,而不是如图6所示由v 7和v 2(图中浅色区域)构成的包围框,将会造成空洞,采用式(7)可予以纠正1图6 二维情况,正确计算三角面P 0P 1P 2包围框412 模型内部体素化应用第313节和第411节的算法可以构造出模型表面的体素表示,对表面体素内外体素的判断通常采用Flooding 操作,类似于种子填充算法,一般需分为向前和向后两步完成1初始化时所有体素的标志位置为1,经过面的体素化,使面体素的标志位置01一般地,体素(0,0,0)和(R x -1,R y -1,R z -1)为外部体素,向前行进时,vox (0,0,0)1f lag =-11从体素vox (1,0,0)开始,搜索每一体素的26邻域,26邻域中只要有f lag =-1,则设置该体素标志位为-1;向后行进时,vox (R x -1,R y -1,R z -1)1f lag =-1,从vox (R x -2,R y -1,R z -1)开始,搜索每一体素的26邻域,同样26邻域中只要有f lag =-1,设置该体素的标志位为-11Flooding 操作完成后,外部所有体素的f lag =-1,表面体素的f lag =0,内部体素的f lag =11这种方法的优点是速度快,速度只与体数据集的大小有关,与模型的复杂程度无关1但其仍存在不足,如果模型内部存在封闭空洞,Flooding 操作将会使空洞误判为内部体素,如图7所示1为此,我们设计了下面的方法1以j =0层体素作为起点,沿i 轴方向比较体素的标志位1为了方便以二维为例,图8所示为平行于iok 面的一层体素单元,以行为单位搜索1k =0,i 递增,找到第一个标志位为1的体素,继续向下搜寻,出现标志位为0的体素,继续搜索,找到标志位为1的体素,直到该行扫描结束,这时可以判断0标志位序列两侧的体素序列均为外部体素,置标志位-1(体素序列指相邻的具有相同标志位的体素集合)1由于模型的封闭特性,因此扫描各行时必会出现标志位1,0(或0,1)序列间隔出现的情况,并且内5954期吴晓军等:改进的基于欧氏距离测度网格模型体素化算法部体素必须出现在两个标志位为0的体素序列中间1当标志位为0的序列个数为偶数时,从两边取0标志序列对,中间的1标志序列为内部体素,如果有剩余的1标志序列,则该序列为空腔内不属于实体的体素,标志位置为-1;当标志位为0的序列个数为奇数时,中间的0标志位序列要重复使用一次,间隔于两个0标志序列间的1标志序列的体素为内部体素1逐层扫描,可以判断出所有的内部体素,正确判断含空腔模型的体素模型如图9所示,浅色表示边界体素,深色表示内部体素,箭头指示正确判断空腔体素,但该方法的时间复杂度比Flooding操作高1 a为三角形网格模型b分辨率为64@64@64时的体素模型,箭头所指为错误区域图7F looding操作结果(浅色表示边界体素,深色表示内部体素)图8一层中实体内外体素表示判断图9正确判断出内外体素5实验结果本文算法采用VC++610,调用OpenGL的Glut函数库在Intel Pentium III866MH z处理器、384MH z RAM等硬件环境下编程实现1文献[6]中所用的实验设备为SGI图形工作站,195MHz R10000处理器,640MB内存1表1所示为本文算法所用的模型参数和测试数据;表2所示为文献[6]中的部分实验数据1图10所示为分辨率分别为128@128@128,256@256@256时生成体素模型的图像1所绘制的图像并未做可视化成像处理,显示出的只是原始体数据集(Raw Dataset)16结论本文在基于欧式距离测度体素化三维网格模型的基础上,提出了一种加速算法和一种基于体素序列判断带空腔模型内外体素的方法,实验证实了本文算法的有效性和高效性,该算法可以处理复杂形状的多边形网格模型1我们将本文算法用于功能梯度材料FGM(Functionally Graded M aterial)零件建模系统中,取得了很好的效果1该算法可以应用于CAD真实体造型、带有异质材料等属性的多边形网格模型的可视化及碰撞检测等方面1 596计算机辅助设计与图形学学报2004年表1 模型参数及体素模型计算时间模型模型物理尺寸(x ,y ,z )三角面数128分辨率所需时间(s)256分辨率所需时间(s)Cow 10144,614,314580431896131449Faib 188117,81186,10094651829251287Cross -tee45,100,100149661569941987表2 文献[6]中部分实验模型参数及体素模型计算时间模型模型物理尺寸(x ,y ,z )三角面数512分辨率所需时间(s)Connector619,210,219242417Brevi 2811,3419,961018121217Bow l16415,8010,156173283313图10 表面模型及128和256分辨率时体素模型(浅色表示边界体素,深色表示内部体素)参考文献[1]Kaufman A,Cohen D,Yagel R 1Volume graphics [J]1IEEE Computer,1993,26(7):51~64[2]Barillot C 1Surface and volume rendering techniques to display 3-D data [J]1IEEE Engi n eering in M edicine and Biology,1993,12(1):111~119[3]Chuang Jung -Hong,Hw ang W eun -J i er 1A new space subdiv-i sion for ray tracing CSG solids [J]1IEEE Computer &Graph -ics,1995,15(6):56~62[4]Chandru Vijay,et al 1Voxe-l based modeling for layered manu -facturi ng [J]1IEEE Computer Graphics &Applicati ons,1995,15(6):42~47[5]Kaufman A,Bakalash Reuven 1M emory and proces sing 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基于四面体控制网格的模型变形算法 (1)

第20卷第9期2008年9月计算机辅助设计与图形学学报JO U RN A L O F COM PU T ER AID ED D ESIG N &COM P U T ER G RA PH ICS Vo l.20,N o.9Sep.,2008收稿日期:2008-07-15.基金项目:国家九七三重点基础研究发展规划项目(2002CB312101,2006CB303102);国家自然科学基金(60603078);新世纪优秀人才项目(NCET 06 0516).赵勇,男,1982年生,博士研究生,主要研究方向为数字几何处理.刘新国,男,1972年生,博士,教授,博士生导师,主要研究方向为数字几何处理、真实感绘制、虚拟现实等.彭群生,男,1947年生,博士,教授,博士生导师,CC F 高级会员,主要研究方向为真实感图形、虚拟现实、科学计算可视化等.基于四面体控制网格的模型变形算法赵勇刘新国彭群生(浙江大学CAD &CG 国家重点实验室杭州 310058)(z haoyong@cad.z )摘要提出一种鲁棒的保体积保表面细节的模型变形算法.首先将输入模型嵌入到一个稀疏的四面体控制网格中,并且通过一种改进的重心坐标来建立两者的对应关系;然后通过用户的交互,对控制网格建立一个二次非线性能量函数对其进行变形,而输入模型的变形结果则可以通过插值来直接获得.由于能量函数的优化是在控制网格上进行的,从而大大提高了算法的效率.与此同时,提出一种新的能量!!!Laplacian 能量,可以使四面体控制网格进行尽量刚性的变形,从而有效地防止了大尺度编辑过程中模型形状的退化现象.文中算法还具有通用性,可支持多种模型的表示方式,如三角网格模型、点模型等.实验结果表明,该算法可以有效地保持输入模型的几何细节、防止明显的体积变化,得到了令人满意的结果.关键词模型编辑;四面体控制网格;刚性变形;L aplacian 能量;通用性中图法分类号 T P391Shape Deformation Based on Tetrahedral Control MeshZhao Yong Liu Xing uo Peng Qunsheng(S tate K ey L abor atory of CA D &CG ,Zh ej iang Univ ersity ,H ang z hou 310058)Abstract A robust shape deformation algo rithm w ith the feature o f both vo lum e and surface detail preserv ing is presented.Fir st,the input m odel is embedded into a coarse tetr ahedral co ntro l mesh,and the m odified bar ycentr ic coordinates are employ ed to establish their relationship.Then acco rding to user s editing,the contro l mesh is defor med by solving a quadric no nlinear ener gy m inimization pro blem,and the deform ation is passed to the embedded m odel by interpolatio n.As the optimization pro cess is applied to the control mesh composed of sparse vertices,the efficiency is g reatly improved.Meantime,w e incor porate a new energ y,called Laplacian energ y,into the energy equatio n to m ake the tetrahedral contro l m esh deform as rigidly as possible,thus avoiding shape degenerations even under ex treme editing.Our algor ithm acco mmodates various shape repr esentations,such as triangular meshes,point clouds etc.Experiments demonstrate that the Laplacian energy is very effective in preserv ing geom etric details and pr eventing unreasonable volume changes.Key words shape editing;tetrahedral contr ol m esh;r ig id defor matio n;Laplacian energ y;generality 近年来,随着三维数据采集技术的不断发展,三维数字几何模型已经在数字娱乐、工业设计、医学辅助诊断、文物保护等很多领域得到了广泛的应用.数字几何处理作为计算机图形学的一个重要分支也得到了快速的发展,其中如何对复杂物体进行方便、有效的编辑一直是研究人员广泛关注的一个热点研究内容.三维模型编辑的主要目标是在满足用户指定约束的同时,尽量保持模型的几何细节,防止不合理的体积变化.三维模型的形状编辑都会涉及到变形.已有的模型变形算法主要考虑的是如何保持面的细节,而对于体的特征,如刚性、体积等,则很难被保持,从而在大尺度变形时可能导致不自然的变形结果;此外,大部分算法是针对三角网格模型的,很难被直接推广到其他方式表示的模型上,如点模型.最近,H uang等[1]提出了一种通过改进的重心坐标插值函数来实现对三维模型的自由变形的方法,但是其依赖于用户给定的四面体控制网格,在交互式变形中,输入模型会出现严重的细节扭曲和明显的体积变化.针对这一问题本文提出了一种新的能量!!!Laplacian能量,可以使得四面体控制网格进行尽量刚性的变形,以防止其在大尺度编辑过程中的退化现象.由于输入模型的变形结果是通过控制网格来插值获得的,因此该方法可以在最大程度上保持输入模型的几何细节,防止明显的体积变化.本文的能量函数由以下4部分构成:连续性能量、振动能量、位置约束和Laplacian能量,其中前3种能量都是线性的,Laplacian能量则是二次非线性的.为了对该二次非线性能量函数进行有效的优化,我们采用了一个两阶段的编辑框架.通过将输入模型嵌入到控制网格中并对控制网格建立能量函数,可以使得算法的复杂度与输入模型无关;而且控制网格的顶点个数远远少于输入模型的顶点个数,大大降低了求解优化问题的复杂性,提高了算法的效率.对于输入模型,本文算法仅仅用到其空间信息(几何位置),不需要其拓扑信息或邻域信息,因此该算法具有通用性,可支持目前广泛使用的几种模型的离散表示方式,如三角网格模型、点模型等.1 相关工作近年来,对三维模型变形的研究取得了很大的进展,下面就基于几何的变形算法展开讨论,而基于物理的变形算法不在本文的考虑之列.多分辨率技术[2 6]将原始网格分解为基网格和一系列高频细节来得到多分辨率表示.该技术在编辑过程中,首先对基网格进行变形,然后再与高频细节叠加就可以得到最终的变形结果.因为基网格是光滑的,对其进行变形不会损失高频细节,所以可以保持模型原有的几何特征.Sauvage等[6]通过将体积表示为多分辨率系数的三线性组合,给出了保体积的变形结果;但由于高频细节都是分开处理的,没有考虑相互之间的联系,多分辨率技术在变形较大的区域仍然会出现细节的扭曲.自由变形技术[1,7 10]将原始模型嵌入到一个比较容易处理的空间中,得到原始模型在该空间中的表示,在变形时,只需要对该空间进行操作,并利用两者之间的关系就可以得到变形后的模型.H uang 等[1]针对四面体网格提出了一种具有高阶连续性的重心坐标插值函数.虽然自由变形技术方便实用,并且可以达到相对较高的效率,但却很难保持输入模型的几何细节,它一般只适用于光滑模型的变形.微分坐标技术[11 24]将变形归结为一个能量优化问题,通过求解一系列常系数线性方程组或非线性优化来拟合改变的微分坐标,从而重建出最终的变形结果.微分坐标能够反映曲面的局部几何细节,其中应用最为广泛的是Laplacian坐标.但是大部分算法只考虑了面的约束,从而在大尺度变形时会导致不自然的变形结果.Zhou等[15]将Laplacian算子从面推广到体,以防止变形过程中明显的体积变化和局部自交现象.该体Laplacian算子与本文的Laplacian 能量具有相似之处,但是本文的Laplacian能量是针对四面体控制网格提出的,目的是使得其在变形过程中进行尽量刚性的变形.H uang等[21]提出了一个基于约束的统一的变形框架,其中包括保体积的体积约束和维持刚性的骨架约束.Lipman等[23]引入了一种活动标架的方法来保持曲面的细节和模型的体积.微分坐标技术由于需要求解大型稀疏线性方程组或非线性优化,其时间复杂度都比较高,需要长时间的预处理.此外,Botsch等[25]在原始网格表面生成一层棱柱,通过维持棱柱的刚性来防止原始网格出现不自然的体积变化;并对此想法进一步推广[26],将输入模型嵌入到自适应空间六面体中,使得算法更加鲁棒、通用.Sumner等[27]通过将形变表达为一系列的刚性变换,使得模型进行尽量刚性的变形.但文献[25 27]中的算法最终都归结为直接求解非线性优化问题,因此效率比较低.11339期赵勇等:基于四面体控制网格的模型变形算法∀http: w w w.hpfem.jku.at netgen2 改进的重心坐标插值设输入模型为M,我们利用已有的软件NETGEN ∀自动生成其四面体控制网格T M =(U,T );其中,U =(u 1,u 2,#,u n )是所有四面体顶点的集合,T =(T 1,T 2,#,T m )是所有四面体的集合,并且要求TM 完全包含M.下面来建立M 与T M 之间的对应关系.重心坐标插值在计算机图形学中有着重要的应用.特别地,它具有局部支撑性,使得变形时能够进行局部控制和快速计算.对于空间中给定的一点u ,传统的重心坐标插值可以定义为x (u )=∃ii (u )x i ;其中,x i 是u i 变形后的位置, i (u )是重心坐标基函数.虽然这种传统的插值函数在四面体内部是连续定义的,但是在相邻四面体之间却存在一阶不连续性,直接进行插值会带来瑕疵,如图1b 所示.为了得到在整个区域上都连续的插值方式,H uang 等[1]提出一种改进的重心坐标插值函数,他们为每个四面体控制网格顶点都引入一个线性变换,对插值梯度进行调整,使得其在相邻四面体之间尽量保持一致.根据文献[1],改进的重心坐标插值定义为x (u )=∃ii (u )(x i +M i (u -u i ))(1)其中,M i 是一个线性变换矩阵,最终要通过优化一个由连续性能量和振动能量组成的二次能量函数得到.图1中对传统的重心坐标插值和改进的重心坐标插值进行了比较,其中变形后的四面体控制网格由用户给定.可以看出,图1b 中出现了明显的不连续的现象,而图1c 中有效地消除了瑕疵.图1 传统的重心坐标插值与改进的重心坐标插值的比较3 变形能量3.1 连续性能量由于重心坐标基函数 i (u )是关于u 的分段线性函数,所以在相邻四面体之间插值梯度 x (u )会出现不连续的现象.为了衡量这种不连续性,H uang 等[1]对插值梯度的平方差沿相邻四面体T i ,T j 的交界面ij进行积分E i j (x )=%i j&x (u )|i ∋j - x (u )|j ∋i&2Fd .其中,i ∋j ,j ∋i 分别表示在T i ,T j 一侧的交界面;&(&F 表示F 范数.将所有相邻四面体之间的E i j (x )进行累加,就得到了对 x (u )在整个区域上不连续性的衡量,即E disc (x )=∃{T i ,T j }E i j (x ).(2)3.2 振动能量在曲线、曲面设计中,光顺性是一个非常重要的衡量标准,H uang 等[1]通过将插值函数x (u )的H essian 矩阵 2x (u ) u u 在整个区域上进行积分,来衡量插值结果的光顺性,即E vibr (x )=%!& 2x (u ) u u &2Fd ∀=∃T i )TT i(& 2x (u ) u u &2F |Ti(3)由于x (u )是一个二阶函数,所以 2x (u ) u u在每个四面体T i 内都是常数矩阵,则E vibr (x )可以被进一步表示为一个有限和的形式,其中T i 表示四面体T i 的体积.3.3 位置约束基于第3.1,3.2节对连续性能量和振动能量的定义,H uang 等[1]通过优化以下的能量函数来得到每个控制网格顶点的线性变换矩阵M i :m in {M 1,#,M n}{E disc (x )+#E vibr (x )},其中参数#是用来协调2个能量项的权值.图1c 所示为改进的插值结果.然而,上述过程要求变形后的四面体控制网格顶点的位置(x 1,x 2,#,x n )已知,这样就使得用户必须经过复杂的前期处理来得到变形后的控制网格.为了提高算法的实用性,文献[1]引入了位置约束来达到交互式变形的目的,即用户只需要操纵若干个控制顶点就可以实现对整个模型的变形,而剩余顶点的位置则可以通过算法优化得到.1134计算机辅助设计与图形学学报 2008年设x pc 1,x pc 2,#,x pc k 是四面体控制网格上的k 个顶点,则位置约束定义为E pos (x )=∃ki=1&x pc i -x^pc i &2F (4)其中x^pc 1,x ^pc 2,#,x ^pc k 是用户为控制顶点指定的变形后的位置.那么要优化的能量函数就相应地变为m in {x 1,#,x n ,M 1,#,M n }{E disc (x )+#E vibr (x )+∃E pos ((x )}(5)其中参数#和∃是用来协调3个能量项的权值.3.4 Laplacian 能量虽然H uang 等[1]通过式(5)已经可以实现交互式的变形,但由于连续性能量和振动能量的作用仅仅是保证插值结果的连续性和光顺性,因此无法防止控制网格在编辑过程中出现退化现象.如图2b,3b 所示,Arm adillo,Dinosaur 及其四面体控制网格在大尺度变形时都出现了严重的细节扭曲和明显的体积变化.由于输入模型的变形结果是通过四面体控制网格来插值获得的,为了防止控制网格的退化现象,我们引入了Laplacian 能量.如图4a,4b 所示,四面体T i =(u i 1,u i 2,u i 3,u i 4)的Laplacian 能量表达为E T i (x )=∃4j =1&d ∗i j -R T i d i j &2F;其中,d i j =u i j -c T i ,d ∗i j =x i j -c ∗T i ,R T i 是一个旋转矩阵,而c T i 和c ∗T i 分别为变形前后四面体的重心.图2 A rmadillo 交互式变形结果的比较图3 Dinosaur 交互式变形结果的比较事实上,向量d i j (1+j +4)和重心c T i 可以唯一地确定四面体T i ,反之亦然;并且d i j (1+j +4)描述了T i 的体细节,只要它们在变形过程中保持各自的长度以及相互之间的夹角不变,即做刚性变形,就可以使得T i 也进行相同的刚性变形,从而保持其形状不变.在刚性变形(由旋转和平移组成)下,变形前后的向量d i j 与d ∗i j (1+j +4)之间的关系应该通过一个旋转矩阵R T i 来描述.而输入模型的变形结果是通过控制网格来插值获得的,因此可以在最大程度上保持输入模型的几何细节、防止明显的体积变化.下面估算旋转矩阵R T i .由于d i j (1+j +4)可以被四面体T i 唯一确定,那么它们在编辑过程中要进行相同的运动,因此T i 所做变形的旋转部分就可以用来描述d i j 与d ∗i j 之间的关系.如图4c 所示,首先11359期赵勇等:基于四面体控制网格的模型变形算法图4 L aplacian能量的定义求出一个线性变换A Ti ,使得A TiU Ti=X Ti,其中U Ti =(u i2-u i1,u i3-u i1,u i4-u i1),X Ti=(x i2-x i1,x i3-x i1,x i4-x i1).由于初始的四面体控制网格是非退化的,则(u i2-u i1,u i3-u i1,u i4-u i1)构成一个非退化的仿射坐标系,即U Ti 是可逆的,则A Ti=X TiU-1Ti .根据文献[28],A Ti的旋转部分可以通过对其进行极分解得到,即R Ti =A TiA T TiA Ti-1(6)那么将所有四面体的Laplacian能量进行累加,就得到了整个控制网格的Laplacian能量E Laplacian(x)=∃T i)T E T i(x)(7)则最终要优化的能量函数就相应地变为E Deformation=min{x1,#,x n,M1,#,M n}{E disc(x)+#E vibr(x)+∃E pos(x)+%E Lap lacian(x)}(8)其中#,∃和%是用来协调4个能量项的权值.4 两阶段的编辑框架由于Laplacian能量是非线性的,因此对式(8)的求解是一个非线性优化问题,我们采用一个两阶段的求解框架[29]来解决这个问题.设四面体控制网格顶点的位置以及线性变换矩阵的向量式分别表示为x和m.第一阶段.不考虑Laplacian能量,只对连续性能量、振动能量和位置约束这3个线性能量进行求解,即优化式(5),得到初始的控制网格的变形结果x~和线性变换矩阵m~.由于式(5)中所包含的能量都是线性的,对其进行优化相当于在最小二乘意义下求解一个稀疏线性方程组A xm=b,其中A和b通过对式(2)~(4)进行离散得到,并且它只与初始四面体控制网格和用户的交互有关.因此初始的控制网格的变形结果和线性变换矩阵可以通过求解标准方程组A T Axm=A T b(9)获得.第二阶段.加入Laplacian能量,对式(8)进行迭代优化,得到最终的控制网格的变形结果和线性变换矩阵.由于Laplacian能量是非线性的,对式(8)的优化必须迭代地进行,这等价于在最小二乘意义下求解一系列常系数的稀疏线性方程组ABxm= bb-;其中,A和b通过对式(2)~(4)进行离散得到,而B和b-则通过对式(7)进行离散得到.因此最终的控制网格的变形结果和线性变换矩阵可以通过求解标准方程组A TB TABxm=A T B Tbb-(10)获得,即(A T A+B T B)xm=A T b+B T b-.其中,A,B 和b只与初始四面体控制网格和用户的交互有关, b-则与初始四面体控制网格、用户的交互和旋转矩阵R都有关,而对R的估算又与初始四面体控制网格和变形后的四面体控制网格都有关.因此,我们采用一个两步迭代法:设x t,m t和R t分别为t时刻控制网格的位置、线性变换矩阵和旋转矩阵,且x0=u,m0=0,R0=I, x1=x~,m1=m~.Step1.旋转矩阵的更新.通过比较控制网格的初始状态x0和当前状态x t,估算出当前的旋转矩阵R t(式(6)).Step2.控制网格的变形结果和线性变换矩阵的更新.当旋转矩阵被更新后,可以相应地更新b-;然后通过求解更1136计算机辅助设计与图形学学报 2008年新的标准方程组A T A+B T B x t+1m t+1=A T b+B T b-t得到下一时刻控制网格的位置x t+1和线性变换矩阵m t+1.以上两步可以一直迭代下去,直到式(8)的能量值小于用户给定的阈值,而输入模型的变形结果可以由最终的控制网格的变形结果x t+1和线性变换矩阵m t+1通过式(1)插值获得.5 实验结果与分析我们在P,1.9GHz CPU,512MB内存和Geforce FX5700显卡的PC机上,基于C++语言实现了本文算法,其程序运行环境是Windows XP.图2b所示为第一阶段优化能量函数式(5)得到的初始变形结果(即H uang等[1]的结果),出现了严重的细节扭曲和明显的体积变化.而图2c所示为经过第二阶段的迭代优化得到的最终变形结果,说明本文提出的Laplacian能量有效地防止了变形过程中的退化现象,得到了令人满意的结果.而图5,6分别给出了Armadillo和Dinosaur更复杂的变形结果.图5 A rmadillo的变形结果图6 D ino saur的变形结果图7中,我们固定Bar的四面体控制网格的一端,而对另一端进行扭曲、弯曲等操作.图8中,将本文算法与均值坐标[9]进行了比较.在弯曲较大的区域,出现了如图8b所示的不光顺的现象,而图8c所示的本文算法的结果则可以平滑地过渡.同时,本文算法的效率也高于文献[9],为了得到图中所示结果,本文算法需要5.39s,而均值坐标[9]则需要37.23s.图9,10所示为复杂物体Asian dragon和Dr ag on的大尺度变形结果,它们都具有丰富的细节,实验结果显示本文算法可以有效地保持输入模型的几何细节.图7 Bar的变形结果1137 9期赵勇等:基于四面体控制网格的模型变形算法图8 本文算法与均值坐标[9]的比较图9 Asian Dr ago n 的变形结果图10 Dr ago n 的变形结果为了体现本文算法的通用性,我们在图11中给出了点模型Bunny 的变形结果.其中右上角为变形后的四面体控制网格.表1所示为本文所用模型及其四面体控制网格的相关信息.根据模型复杂度的不同,实现文中所示的结果一般需要0.11~14.59s,其中最耗时的是对图11 点模型Bunny 的变形结果式(9),(10)的求解.但由于它们的系数矩阵都是常数矩阵,可预分解为一些特殊矩阵的乘积,在迭代过程中只需要进行逐次向后回代就可以得到方程组的解;而且x ,y 和z 3个方向是无关的,可以分开进行求解.表1 本文所用模型及其四面体控制网格的相关信息输入模型顶点个数控制网格中四面体的个数控制网格中顶点的个数Bar 234027835Bun ny 34835297103Dinosaur 56194567204Ph on og raph 71495550187Dragon 101108648200Armadillo 172962849273Asian dragon2499344731736 结论与未来工作本文提出了一种新的模型变形算法,通过将输入模型嵌入到一个稀疏的四面体控制网格中,用户可以方便地操纵控制网格来实现对输入模型的变形.文中提出的Laplacian 能量能够使得四面体控制网格做尽量刚性的变形,从而有效地防止了大尺度编辑过程中模型形状的细节扭曲、体积变化等退1138计算机辅助设计与图形学学报 2008年化现象的出现.实验结果表明,本文算法直观、鲁棒,得到了令人满意的结果,具有现实应用价值.下一步我们将研究如何使四面体控制网格在变形过程中可以进行自适应的细分,从而对某些变形较大的区域进行更好地逼近来减少变形的误差;还将给出一些有意义的应用,如变形迁移、形状插值等.参考文献[1]H uang J,Chen L,Liu X G,e t al.E fficient meshdeform ation us ing tetrah edron control mesh[C]Proceedin gs of ACM Solid and Ph ysical M odelingS ymposium,New York,2008:241-247[2]Zorin D,S chr der P,Sw eldens W.Interactivem ultiresolution mes h editing[C] Computer Graph icsProceedin gs,An nual Conference Series,ACM SIGGRAPH,L os Angeles,1997:259-268[3]Kobb elt L,Campagna S,Vorsatz J,et a l.Interactive mu ltir esolu tion modelin g on arbitrary mes hes[C] C om puterGraphics Proceedin gs,Annual 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改进的三维ODT四面体网格质量优化算法

ｗ一南罨ｊＥＩｃ，
汜’
其中ｘｊ是ｘ。的优化位置，Ｑ：是Ｘ。所对应的星形结构，Ｔ，是Ｑ；内的三角形，ＩＴｉ｜是瓦的面积，ｃ，是Ｔ，的外接圆心．１．２本文算法
改进的三维ＯＤＴ单元质量优化算法如下：
Ｓｔｅｐｌ．计算网格内每个节点的单元尺寸．标记所有内部节点为未光顺节点．
Ｓｔｅｐ所示．其中，服∈（ｏ，，ｒ），（ｒ，Ｓ∈｛ｉ，Ｊ，ｋ），ｒ≠ｓ）为ｙ帚，
与西，的夹角，ｎ。＝篙专善寻，（ｒ，ｓ∈｛ｉ，Ｊ，是），ｒ≠Ｄ
是面ｌ，，，，１，，的法线单位向量．
纵ｒ一趔监《甓丛韭；
Ａ。满足∑Ａ．一１和∑ｊＬ般一Ｖ．
ｉ；ｌ
ｉ＝ｌ
２．３节点归一化空间的反映射算法
已知四面体网格内的一点Ｘ，将与其对应的星
匀的归一化空间，在归一化空间内应用经典ＯＤＴ
算法光顺星形结构核心点，最后能过中值重心坐标
将核心点映射到实际空间．
２．１密度不均匀网格的归一化算法
由于式（２）仅对均匀密度的有限元网格有效，
对于密度不均匀的网格，本文提出一种基于节点的
尺寸函数的归一化算法，在归一化空间内应用式（２）
对网格节点进行ＯＤＴ光顺．具体算法如下：
图４所示．比较图４ｂ与图４Ｃ，本文算法光顺的密度不均匀网格在保持原有网格密度的基础上使得单元尺寸过渡更光滑；而在优化网格总体单元质量方面，如图４ｄ所示，本文算法比Ａｌｌｉｅｚ等‘８１算法更有效．
ＭｅｓｈＱｕａｌｉｔｙ
ＬｉｕＹａｎ，ＣｈａｎｇＪｉｈａｉ，ａｎｄＧｕａｎＺｈｅｎｑｕｎ（ＳｔａｔｅＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＳｔｒｕｃｔｕｒａｌＡｎａｌｙｓｉｓｆｏｒＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＥｑｕｉｐｍｅｎｔ，ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＭｅｃｈａｎｉｃｓ，ＤａｌｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆ

四面体网格修匀算法研究的开题报告

四面体网格修匀算法研究的开题报告一、研究背景和意义网格修匀是计算机模拟、数值计算和可视化等领域中的一个重要技术，其目的是将不规则的三维网格转化为质量良好的四面体网格。

四面体网格在计算机有限元分析、流体动力学、图形学可视化等领域被广泛应用，因此网格修匀算法研究具有十分重要的意义。

而四面体网格的质量则与求解精度、收敛速度、数值稳定性和可视化效果等因素密切相关，因此，开发高质量的网格修匀算法具有重要的应用前景。

本项目旨在研究四面体网格修匀算法，具体方案为：构建以边和角为基元的手工造型网格，对数据加噪或者进行若干个变形操作，对修复后的网格进行统计学分析，验证算法的优劣性，最终形成一个实用的四面体网格修匀算法。

二、研究内容和技术路线1.研究内容（1）四面体网格评价指标分析，针对常见的四面体网格评价指标进行归纳总结，包括以下指标：嵌套性、形状、体积、纵横比等。

（2）四面体网格质量优化方法分析及分类，针对目前常见的四面体网格优化算法进行综述，包括以下优化方法：重心法、拉普拉斯法、分治法、分割法、尺度法等。

（3）基于角度的四面体网格修复算法，介绍基于角度的四面体网格修复算法原理及实现方法，对算法进行实验验证。

（4）基于边的四面体网格修复算法，介绍基于边的四面体网格修复算法原理及实现方法，对算法进行实验验证。

（5）基于邻点相似性的四面体网格修复算法，介绍基于邻点相似性的四面体网格修复算法原理及实现方法，对算法进行实验验证。

2.技术路线（1）网格数据预处理。

将手工造型网格进行数据加噪或者进行若干个变形操作，获取不规则的三维网格。

（2）四面体网格评价指标分析。

对不规则的三维网格进行数据处理，计算出嵌套性、形状、体积、纵横比等指标，以此为基础进行修复算法的优化和改进。

（3）四面体网格修复算法设计。

通过分析当前修复算法的优缺点，可以设计出基于角度、基于边、基于邻点相似性等不同类型的修复算法。

（4）修复算法实验验证，利用MATLAB或Python等编程工具，实现算法，对数据进行实验验证、统计学分析，验证算法的优劣性及适用性。

三维约束Delaunay四面体网格生成算法及实现

三维约束Delaunay 四面体网格生成算法及实现一、引言网格生成是工程科学与计算科学相交叉的一个重要研究领域，是有限元前置处理的关键技术。

从总体上讲，网格生成技术分为结构化网格和非结构化网格两大类，其中，非结构网格能适应复杂外形且自动性高，逐渐成为数值求解偏微分方程的有效方法之一，它在有限元分析、科学计算可视化、生物医学和机器人等学科领域具有重要的应用价值。

当前，典型的非结构四面体网格生成算法主要有八叉树法（Octree ）、前沿推进法（AFT）和Delauay法等。

较其它方法而言，Delauay 法具有成熟的理论基础和判断准则，更适用于三维实体的网格生成。

Delaunay 法最早由Delaunay 于1934 年提出，在此基础上，Chew、Ruppert 、Miller 和等学者在算法改良方面开展了大量研究。

目前，二维Delaunay 法的研究已趋成熟，但三维Delaunay 法在处理复杂实体的边界一致性问题仍是学者研究的热点。

本文在前人研究的基础上，采用约束Delaunay 四面体（Constrained Delaunay Tetrahedralization , CDT 法来处理指定区域的边界一致性问题，编制了基于CDT勺三维自适应四面体网格生成程序，并对工程实例进行了分析。

二、CDT定义及算法（一）CDT定义在三维区域的四面体网格生成中，四面体的外接球内部不包含任何网格顶点的四面体称为符合Delaunay 准则的四面体，如果一个点集的四面体生成中每个四面体都符合Delaunay 准则，则此四面体生成是点集的Delaunay 四面体生成。

在一定条件限定之下以Delaunay 准则为标准将空间分解成许多四面体称为约束Delaunay 四面体生成。

通常情况下，将约束Delaunay 三角（二维）/四面体（三维）生成的问题记为CDT。

（二）CDT存在性由于三维空间存在不能划分为四面体集合的多面体（如多面体），故给定一个用分段线性复合体（piecewise linear complexes , PLCs）描述的三维区域，的CDT可能不存在。

离心泵内部四面体网格的优化算法

ｏｆｔｅｔｐｓｏｆｅｅｔｂｄｙｓａｄｅｅｎｓｗａｒｐｓｄｔｒｕｈｔｅｎｍｅｉａａｃｌｔｎ．Ｗｉｈｎｏｈｙｅｆｄｉｒｎａｌｈｐｅｌｍｅｔｓｐｏｏｅｈｏｇｈｕｒｃｌｃｌｕａｉｆｏｔｔｅｃｉｅｉｎ，ｔｅｔｐｓ，ｄｓｒｂｕｉｎｎａｓｓｏｈａｌｈｐｄｅｅｅｔｎｃｎｒｆｇｌｐｍｐｓｗｅｅｈｒｔｒｏｈｙｅｉｔｉｔｓａｄｃｕｅｆｔｅｂｄｙｓａｅｌｍｎｓｉｅｔｉａｕｏｕｒ
ｆｒｃｎｒｆａｕｐｏｅｔｉｕｇｌｐｍｓ
ＬｕＨｏｌｕＭｉｇｈｎｉｕｉ，Ｌｎｚｅ，Ｗｕｆｎｎ，ＴｎＭｉｇａ ’ ｉａｎｇｏ，ＤｏｇＬａｇ，ＲｎＹｎｎｉｎｅｕ
（．ｅｅｒｈＣｎｅｆＦｕｄＭａｈｎｒＥｇｅｒｇａｄＴｃｎｌｙＪａｇｕＵｉｒｉ，ｈｎｉｎ，Ｊｎｓ１０３ｈｎ；２Ｊａｇｕ１Ｒｓａｃｅｔｒｌｉｏｃｉｅｎｉｅｉｎｅｈｏｇ，ｉｓｎｅｓｙＺｅｊｇｉｇｕ２２１，Ｃｉａ．ｉｓｙｎｎｏｎｖｔａａｎＺｅｈａＰｍｐＣ．ｉ，ａｈｕＪｎｓ２５０，ｈｎ）ｈｎｕｕｏＬｄＴｉｏ，ｉｇｕ２５０Ｃｉａｚａ
明，优化后的网格质量趋近于０的整体质量也得到显著提高，同
该算法可以很好地应用在离心泵内部四面体网格的优化中．

一个高效可靠的三维AFT四面体网格生成算法

一个高效可靠的三维AFT四面体网格生成算法单菊林;关振群;宋超【期刊名称】《计算机学报》【年(卷),期】2007(30)11【摘要】针对三维推进波前算法(AFT-Advancing Front Technique)存在的效率与收敛性问题,文中提出了一整套改进方案,给出了基于拓扑连接的网格数据结构和基于Hash表的网格元素的插入、查找、删除算法,提高了整个算法的效率.通过在网格生成过程中动态维护前沿的尺寸信息,提高四面体单元的整体质量.在内核回退求解时通过引入前沿优先因子,改变前沿推进的路径,大大增加了回退求解的成功概率;对于极少数不能回退求解的内核采用基于线性规划的插点方法加以解决,这样就基本保证了整个算法的收敛.在网格生成以后,通过删除不必要的内部节点、合并相关四面体单元以及对所有内部节点进行基于角度的优化,从而进一步有效提高了网格质量.数值算例表明,文中提出的改进算法具有接近线性的时间复杂度,生成网格质量好.该算法已经得到工程应用.【总页数】9页(P1989-1997)【作者】单菊林;关振群;宋超【作者单位】大连理工大学工程力学系工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁,大连,116024;大连理工大学工程力学系工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁,大连,116024;大连理工大学工程力学系工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁,大连,116024【正文语种】中文【中图分类】TP391【相关文献】1.基于正四面体的八叉树法三维有限元网格生成 [J], 栾茹;白保东;谢德馨2.基于区域分解技术的并行四面体网格生成算法 [J], 徐权;崔涛;刘青凯;曹小林3.一个基于网格前沿技术的三维实体四面体有限元网格剖分算法 [J], 梅中义;范玉青4.面向JAUMIN的并行AFT四面体网格生成 [J], 郑澎;方维;徐权;冷珏琳;熊敏;于长华5.面向复杂几何模型的多级并行四面体网格生成算法 [J], 徐权;刘田田;冷珏琳;杨洋;郑澎因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

三维空间最优点优化算法

三维空间最优点优化算法三维空间最优点优化算法是一种在三维空间中寻找最优解的算法。

在许多实际问题中，我们需要在三维空间中找到最优点，以满足特定的约束条件或达到最大或最小的目标。

最优点优化算法可以帮助我们有效地解决这些问题。

最优点优化算法有很多种，其中一种常用的算法是梯度下降法。

梯度下降法是一种迭代的优化算法，它通过不断调整参数的值，使目标函数的值逐渐趋近于最优解。

在三维空间中，我们可以通过计算目标函数在当前点的梯度来确定下一步的移动方向，并更新参数的值。

通过不断迭代，最终可以找到目标函数的最优点。

除了梯度下降法，还有其他一些常用的最优点优化算法，如牛顿法、拟牛顿法等。

这些算法在三维空间中的应用也非常广泛。

它们通过不同的方式来寻找最优点，具有不同的优缺点。

选择合适的算法取决于具体的问题和需求。

在实际应用中，我们经常需要在三维空间中找到最优点。

例如，在机器学习中，我们需要通过调整模型的参数来最小化损失函数，从而得到更好的模型。

在计算机图形学中，我们需要找到合适的点来生成逼真的图像。

在物理学和工程领域，我们需要在三维空间中找到最优的设计方案或最优的路径。

最优点优化算法的效率和准确性对于解决实际问题非常重要。

因此，对于不同的问题，我们需要选择适合的算法，并根据具体情况进行调优。

同时，为了提高算法的性能，我们还可以采用一些优化技巧，如加速技术和启发式算法等。

三维空间最优点优化算法是一种在三维空间中寻找最优解的算法。

通过选择合适的算法和优化技巧，我们可以有效地解决许多实际问题，并得到满足特定约束条件或达到最大或最小目标的最优点。

最优点优化算法在各个领域具有广泛的应用前景，为解决实际问题提供了有效的工具和方法。

改进的三维ODT四面体网格质量优化算法

改进的三维ODT四面体网格质量优化算法1. 引言1.1 背景介绍1.2 研究意义和目的1.3 国内外研究现状1.4 本文主要内容和贡献2. 相关理论知识和算法2.1 四面体网格概述2.2 三维ODT方法简介2.3 基础的质量优化算法2.4 瓶颈问题和改进思路3. 改进的三维ODT质量优化算法设计3.1 优化方法的基本思路3.2 改进后的算法原理分析3.3 算法细节设计3.4 算法流程介绍4. 仿真实验及结果分析4.1 仿真实验介绍4.2 对比实验设计4.3 结果分析和比较4.4 实验数据可视化和解释5. 结论和展望5.1 主要研究成果回顾5.2 存在的不足和改进方向5.3 未来研究展望6. 参考文献第一章节为“引言”，对本文的研究背景、意义、目的、国内外研究现状和本文主要内容和贡献做出概述和介绍。

在本文中，我们将介绍一种改进的三维ODT四面体网格质量优化算法。

本文的主要目的是针对四面体网格存在的质量劣化问题，基于三维ODT方法设计一种高效、自适应的质量优化算法，以提高四面体网格的质量。

在三维无结构网格中，四面体网格是广泛应用的一类，因其拓扑性质、性能受力均匀等特点，在模拟各种工业、物理、生物过程中具有重要应用价值。

然而，四面体网格的质量缺陷多、不均匀的特征，限制了其在实际应用中的进一步应用。

因此，开发高效的质量优化算法，增强四面体网格的质量，具有重要的理论和实用意义。

目前国内外关于四面体网格质量优化算法的研究，主要集中在基于数学优化方法、逆距离加权法和三角网格上的辅助四面体加密等方法。

综合这些方法的优缺点，进一步提高四面体网格质量的一种有效方法是采用三维ODT方法进行质量优化。

本文提出的改进算法，基于三维ODT方法，对四面体网格的质量进行有效提升。

具体而言，我们通过对三维ODT方法的改进，增强算法的自适应能力和优化速度，并在此基础上导出一套适用于四面体网格的优化算法。

算法包括以下两个基本过程：（1）优化网格点的分布；（2）通过对网格的局部细化和缩减，实现网格的自适应优化。

基于四面体网格的高阶模型变形技术研究

基于四面体网格的高阶模型变形技术研究四面体网格是计算机图形学、计算机辅助设计等领域中常用的工具，是将三维物体划分为若干个四面体单元后建立的一种表示模型。

而高阶模型变形技术则指对于这些四面体单元进行形变，使得模型在保证形状不变的同时得到更高的自然度和真实感。

下面我们将介绍基于四面体网格的高阶模型变形技术的研究进展和应用前景。

一、基于手工调整形变的技术最早的四面体网格变形技术是基于手工调整的。

用户需要手动选择四面体单元，并通过简单的拉伸、移动等操作来达到所需要的形变效果。

这种方法存在明显的不足之处：首先是手工调整过程繁琐，耗时长。

其次，用户需要具备一定的建模能力和经验，否则可能无法获得理想的形变效果。

二、基于物理引擎模拟的技术为了避免手工调整的不足，研究者开始将物理引擎引入四面体网格变形中。

物理模型使用质点系统来模拟弹簧和质量，通过人为有效控制刚度、阻尼等参数来实现形变效果。

这种方法的优点是无需用户手动控制单元的移动或拉伸，只需要设定一些参数，即可实现较为复杂的形变。

但是，这种方法需要大量散点数据的支持，多用于动态建模，对于静态模型的处理效率较低。

三、基于模型解析理论的技术基于模型解析理论的四面体网格变形技术主要是利用曲面或者高阶多项式对形变进行描述，通过求解所设定的模型方程来计算四面体单元的形变变形。

但是，这种方法实现较为复杂，需要较高的数学水平和计算能力，也存在收敛速度等问题。

四、基于深度学习的技术近年来，随着深度学习在计算机图形学中的应用不断增加，研究者们开始将深度学习引入到四面体网格变形中。

基于深度学习的四面体网格变形技术可以根据原始数据自动学习出该模型的空间语义信息，并通过生成式模型的方式完成高阶模型变形。

这种方法基于数据驱动，不需要手动调整参数，可以处理复杂的形状变形，而且收敛速度快，效果优秀。

综上所述，基于四面体网格的高阶模型变形技术在计算机图形学、计算机辅助设计、虚拟现实等领域均有广泛的应用前景。

一个高效可靠的三维AFT四面体网格生成算法

ｆｏｔｄＴｈｔｉｅｅｉｈｅｄｔｔｕｃｕｅｉｉｅｈｃｅｅｅｔｎｓｏｏｉｒｎｔｍｅｈｏ．ｅｄｅａｌｄｄｓｇｎｏｆｔａａｓｒｔｒｓｇｖｎｗｉｈｒｐｒｓｎｉｇａｍｅｈｔｐ — ｏｏｅｔｏｇｙｃｎｎｃｉｎ．Ｔｈｅｏｒｔｓｓｃｓｉｓｒ，ｑｕｒｎｄｄｅｅｅｌａａｓｒｍｐｌｍｅｔｄｐｅａｏｒｕｈａｎｅｔｅｙａｌｔｉａｄｔｂａｅａｅｉｋｅｅｎｅｂｙｕｉａｈａｌｓｎｇｈｓｔｂｅｗｈｉｈｃｅｅａｅｈｅｗｈｅａｇｉｈｍ．Ｉｔａｆｐｒｐｒｎｇｃｒｎｄｃａｃｌｒｔｓｔｏｌｌｏｒｔｎｓｅｄｏｅａｉａｂａｋｇｏｕｍｅｈｆｓｐａｉｇｃｔｏ，ｔｓｉｏｍａｉｓｅｔｍａｅｔｔｅｉｉｆｅｃａｅｔｅｃｓｏｒｍｅｈｓｃｎｏｎｒｌｈｉｎｆｒｔｏｎｉｓｉｔｄａｈｅｂｇｎｎｎｇｏａｈｌｙｒａａｈｎｏｅｆｏｍｈｅａｅｆｃｎｅｔｎｒａｌｓｏｎｔｅｆｏｔａｓｒｓｃｆｅｔｅｃｉａｔｒＡｄｒｔｒａｏｏｎｃｉｇｔｉｎｇｅｈｒｎｎｄａｕｅ－ｐｅｉｉｄｓｒｔｈｎｇｆｃｏ．ＣｅｌＳｅｒｈｅｓｐｒｐｒｄｔｏｒｃｈｅｍｅｈｓｃｎｎｏｍａｉｎｄｔｅｆｒｇｅｌａｃｒｉｅａｅｏｃｒｅｔｔｓｐａｉｇｉｆｒｔｏｎａｏｐｒｏｍｏｍｅｒｃｓａｃｔｉｅｒｈｅｆｃｅｔｙ．Ｄｕｉｏｌｎｇｂａｋｔｅａｖｎｃｎａｈｉｈｎｄｂｙｃａｇｉｇｐｅｅｅｔａａｔｒｏｆｉｉｎｌｒｎｇｒｌｉｃｈｄａｉｇｐｔｓｃａｇｅｈｎｎｒｆｒｎｉｌｆｃｏｆｆｏ，ａｅｕｌｈｉｅｆｒｌｎｃｓｄｃｅｓｄｓｇｎｆｃｎｔｙｒｎｔｓａｒｓｔｔｅｔｍｓｏｏｌｉｇｂａｋｉｅｒａｅｉｉｉａｌ．Ｎｏｎｓｒｉｇｂｓｄｏｎｌ — ｄｅｉｅｔｎａｅｉｎｅａｒｇｒｍｍｉｅｈｎｑｕａａｔｅｈｏｎｅｇｅｅｏｈｅａｇｏｉｈｍ．Ａｔｔｅｅｄｏｆｔｅｈｒｐｏａｎｇｔｃｉｕｅｇｒｎｅｓｔｅｃｖｒｎｃｆｔｌｒｔｈｎｈｅｍｓｇｅｒｔｏｎｐｒｃｓｎｅａｉｏｅｓ，ｕｎｗａｔｄｎｏｅｎｅｄｅｒｍｏｖｎｎｎｅｂａｅｍｏｔｎｒｍｐｏｙｄｔｎｎｃｉｇａｄａｇｌ— ｓｄｓｏｈｉｇａｅｅｌｅｏｅｈａｅｔｅｕｌｉｇｍｅｈｑａｉｙｈｅｒｓｔｎｓｕｌｔ．Ｔｈｅｅｍｐｅｅｎｓｒｔｈａｇｕａｉｙｔｔａｅｒｌｅｈｅａｅｘａｌｓｄｍｏｔａｅｔｔｈｉｈｑｌｅｒｈｄａｓｓｃｎｂｔｍｇｅｅａｅｔｎａｒａｏｎｂｌｉｉｔｎｒｔｄｗｉｈｉｅｓａｅｔｍｅｌｍｉ．

改进的三维ODT四面体网格质量优化算法

三维限定Delaunay四面体网格划分的算法

改进的三维ODT四面体网格质量优化算法

四面体网格优化算法的研究及其应用的开题报告

改进的三维ODT+单元质量优化方法

基于Netgen的四面体网格剖分算法及其应用

改进的基于欧氏距离测度网格模型体素化算法_吴晓军

基于四面体控制网格的模型变形算法 (1)

改进的三维ODT四面体网格质量优化算法

四面体网格修匀算法研究的开题报告

三维约束Delaunay四面体网格生成算法及实现

离心泵内部四面体网格的优化算法

一个高效可靠的三维AFT四面体网格生成算法

三维空间 最优点 优化算法

改进的三维ODT四面体网格质量优化算法

基于四面体网格的高阶模型变形技术研究

一个高效可靠的三维AFT四面体网格生成算法

三维空间最优点优化算法