2020南平市质检数学答案
福建省南平市2020-2021学年八年级上学期期末质量检测数学试卷(word版含答案)
南平市2020—2021学年第一学期八年级期末质量检测数 学 试 题（满分：150分；考试时间：120分钟）★友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效； ② 试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．计算1-3的结果是A ．-3B ．3C ．31 D ．31-2．下列图形中是轴对称图形的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．新型冠状病毒平均直径为0001.0毫米，将数据0001.0用科学记数法表示为 A ．3-10B ．4-10C ．4-1D ．3-14．五边形的内角和等于A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°5．要使分式xx-2的值为0，则分式中的字母x 应满足的条件是A ．0>xB ．2≠xC ．0≠xD ．2=x6．下面计算正确的是 A ．933x x x =⋅ B ．a a a 2234=÷C ．222632x x x =⋅D ．()1025x x =7．如图，在平分角的仪器中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，将点A 放在一个角的顶点，AB 和AD 分别与这个角的两边重合，能说明AC 就是这个角的平分线的数学依据是 A ．SSS B ．ASAC ．SASD ．AAS8. 下列分式从左到右变形错误的是A ．515=c c B ．abba 4343=C ．ab b a --=-11 D ．2244422+-=++-a a a a a9．如图，作ABC △边AB 的垂直平分线，交AB 于D 点，交BC 于E 点，连接AE ，若BC =8，AC =6，则AEC △的周长是 A ．10 B ．11C ．14D ．2210．设a ，b 是实数，定义“★”的一种运算：a ★b ＝ab +a +b ，则下列结论： ①a ★b ＝b ★a ②a ★b ＝（﹣a ）★（﹣b ） ③a ★（b +c ）＝a ★b +a ★c ④a ★（b ★c ）＝（a ★b ）★c 正确的有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个ADCE B第7题图E DCBA 第9题图第14题图二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）11．要使分式x1有意义，则 x 满足的条件是___________．12．分解因式：2233y x -=___________． 13．计算：ab b a 8242÷=___________．14．在Rt ABC △中，︒=∠90C ，点D 在线段BC 上，BD =AD ，DAC B ∠=∠，若DC =1，则BC =___________．15．若2022=+b a ，2=ab ，则b a -的值是___________． 16．在△ABC 中，AB =AC ，AE 为BC 边上的中线，CD 为AB 边上的高， CD ，AE 相交于点F ．若︒=∠45BAC ，BC =6，则△AFC 的面积是___________．三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）17．（本题满分8分）化简：()()()y x y x y x -+++2．18．（本题满分8分）一个等腰三角形的一边长是6cm ，周长是 20cm ，求其他两边的长．19．（本题满分8分）计算：22211y x xyy x -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ．FD EC AB 第16题图D ACB第21题图20．（本题满分8分）如图，在△ABC 和△DEF 中，BC ，EF 在同一条直线上，∠A ＝∠D ， AB ＝DE ，请添加一个条件： ，使得△ABC ≌△DEF ．请写出证明过程．（不添加辅助线）21．（本题满分8分）在Rt ABC △中，︒=∠90C ，︒=∠30B ．（1）求作线段BC 的垂直平分线DE ，与线段AB 相交于点D ，与线段BC 相交于点E（不写作法，保留作图痕迹）．（2）在你所作的图形中，连接CD ．求证：ACD △是等边三角形．22．（本题满分10分）在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在第一象限，点A ，点B 关于x 轴对称． （1）已知 A （2，3），求出点 B 的坐标；（2）已知A （n ，4），△AOB 的面积为221n ，求点B 的坐标．ACBFDBCAE第20题图23．（本题满分10分）新冠疫情期间戴口罩是有效减少人和人传播的一种方式．为了防控疫情的需要，我国自主研发高速口罩生产设备．某工厂现在一台机器日产口罩量比原来日产口罩量多100万片，现在生产30 000万片所用的时间与原来生产10 000万片的时间相同，求原来一台机器日产口罩多少万片?24．（本题满分12分）甲、乙两位同学同时从学校沿同一路线到离学校2千米的户外拓展中心参加活动.甲同学有一半路程以a （千米/时）的速度行走，另一半路程以b （千米/时）的速度行走；乙同学有一半时间以a （千米/时）的速度行走，另一半时间以b （千米/时）的速度行走，其中a ≠b .（1）设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的时间分别为甲t ，乙t ，用含a ，b 的式子分别表示甲t ，乙t ；（2）设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的平均速度分别为甲V ，乙V ，用含a ，b 的式子分别表示甲V ，乙V ；（3）请你判断哪位同学先到达户外拓展中心？请说明理由．25．（本题满分14分）如图1，在Rt ABC △中，︒=∠90ACB ，边CB 的垂直平分线与ABC △的外角BAD ∠的平分线相交于点E ，与CB ，AB 分别相交于点F ，G ． （1）求证：AG =EG ； （2）如图2，连接EB ，EC ．① 试探求BEC ∠和BAC ∠的数量关系，并说明理由； ② 求证：EB ⊥EA ．EF BCADGP第25题图2GEFBCAD第25题图1南平市2020-2021学年第一学期八年级期末质量检测数学试题参考答案及评分说明说明：（1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分150分． （2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．（3）若考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分． （4）评分只给整数分．选择题和填空题不给中间分．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．C ； 2．B ； 3．B ； 4．C ； 5．D ； 6．D ； 7．A ； 8．B ； 9．C ；10．B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．0≠x ； 12．))((3y x y x -+；13．3a ； 14．3； 15．4或-4； 16． 9．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）解：原式=)()2(2222y x y xy x -+++ ............................................................ 4分= 22222y x y xy x -+++ ................................................... 6分= xy x 222+ (8)分18.（8分）解：①若6cm 为腰长，则另一腰长为6cm ，底边长为20-6-6=8（cm ） (3)分②若6cm 为底边长，则腰长为72)620(=÷-（cm ） (7)分答：其他两边的长为6cm ，8cm 或7cm ，7cm . (8)分19．（8分）解：原式=))((2y x y x xyxy y x -+⋅+ .......................................................................... 6分=yx -2................................................................................................... 8分说明（化简得出xy y x +得3分， 化简得出))((2y x y x xy-+得3分） 20.添加一个条件为AC =DF 或DEF B ∠=∠或AB ∥DE 或F ACB ∠=∠或AC ∥DF ；方法一：添加一个条件为AC =DF ............................................................................... 3分证明∵在ABC △和DEF △中 ..................................................................................... 4分⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠==D A DE AB DF AC ,,................................................................................................................ 7分∴)SAS (DEF ABC ≌△△ . ....................................................................................... 8分方法二：添加一个条件为DEF B ∠=∠. ....................................................................... 3分证明∵在ABC △和DEF △中, ................................................................................... 4分⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,D A DE AB DEF B ............................................................................................................ 7分∴)ASA (DEF ABC ≌△△ . ...................................................................................... 8分方法三：添加一个条件为AB ∥DE , ............................................................................ 3分证明∵AB ∥DE ,∴DEF B ∠=∠. ............................................................................................................... 4分在ABC △和DEF △中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,D A DE AB DEF B ............................................................................................................ 7分∴)ASA (DEF ABC ≌△△ . ...................................................................................... 8分方法四：添加一个条件为F ACB ∠=∠, ....................................................................... 3分证明∵在ABC △和DEF △中, ................................................................................... 4分⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,D A DE AB F ACB ............................................................................................................ 7分∴)AAS (DEF ABC ≌△△. ...................................................................................... 8分方法五：添加一个条件为AC ∥DF , ........................................................................... 3分证明∵AC ∥DF ,∴F ACB ∠=∠. ............................................................................................................... 4分在ABC △和DEF △中,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,D A DE AB F ACB ............................................................................................................ 7分∴)AAS (DEF ABC ≌△△. . ...................................................................................... 8分21.（1）答：直线DE 为所求作直线，点D ,点E 为所求作点.说明：作出直线DE .......................................................................................................... 1分作出点D ,点E (2)分答 (3)分（2）证明:∵DE 是线段BC 的垂直平分线,∴DC =BD , (4)分∴︒=∠=∠30B DCB , (5)分∴︒=︒-︒=∠-∠=∠603090DCB BCA DCA , (6)分∵︒=∠90C ， ︒=∠30B ,∴︒=∠60A , (7)分∴︒=∠60CDA ,∴ACD △是等边三角形. (8)分ACBDE22.（10分）解：（1）B 的坐标(2，-3).. ................................................................................. 4分（2）∵A (n ，4)，点 A ，B 关于 x 轴对称,∴B 的坐标(n ，-4)，. .................................................................................................. 6分∴AB=8,. ....................................................................................................................... 7分∵△AOB 的面积为 221821n n =⨯，. ............................................................................ 8分∴8=n ，. ..................................................................................................................... 9分∴B 的坐标(8，-4). ··········································································· 10分23．（10分）解：设原来一台机器日产口罩x 万片，. ........................................................... 1分根据题意,得1003000000001+=x x ......................................................................... 4分解得50=x (8)分经检验：50=x 原分式方程的解. (9)分答：原来一台机器日产口罩50万片. ............................................................................. 10分24.解：（1）abba b a t +=+=11甲， ............................................................................................. 2分ba t +=4乙.. ........................................................................................................... 4分（2）ba abt v +==22甲甲， .................................................................................................. 6分 22ba t v +==乙乙. (8)GEFBC AD分 （3）ba ab b a t t ++=4--乙甲 =()()()()b a ab b a b a ab ab b a +-=+-+224，··························································· 10分 ∵b a ≠且0,0>>b a ，∴()()0,0-2>+>b a ab b a ， ···························································· 11分∴04-->++=ba ab b a t t 乙甲，∴乙甲t t >， ·················································································· 12分 ∴乙先到达户外拓展中心.25.（1）证明：∵BC EF ⊥于点F ，∴︒=∠90BFE ， ∵︒=∠90ACB ， ∴BFE ACB ∠=∠.∴EF ∥CD ，··················································································· 1分 ∴EAD GAE ∠=∠. ·········································································· 2分 ∵AE 平分BAD ∠，∴EAD BAE ∠=∠. ··········································································· 3分 ∴GEA BAE ∠=∠，∴AG =EG ； ···················································································· 4分 （2）①过点E 分别作EI ⊥AB 于点I ，EH ⊥AD 于点H ，则︒=∠=∠90EHC EIB . ···································································· 5分 ∵AE 平分BAD ∠，∴EH EI =. ···························· 6分 ∵EF 的垂直平分CB ，∴EC EB =. ······ 7分 ∴Rt EIB △≌Rt EHC △，H GE F BC A DPI∴ECH EBI ∠=∠. ··········································································· 8分 ∵APC EPB ∠=∠，∴()()APC ECH EPB EBI ∠+∠-︒=∠+∠-︒180180，∴BEC ∠=BAC ∠. ············································································ 9分 ②证明：∵EF ∥CD ，∴ECH FEC ∠=∠， ······················· 10分 ∵EH EI =，BC EF ⊥，∴FEB FEC ∠=∠， ······················· 11分 ∴ECH FEB ∠=∠， ∵ECH ABE ∠=∠，∴ABE FEB ∠=∠. ························ 12分 在ABE △中，︒=∠+∠+∠180BAE AEB ABE ， ∴︒=∠+∠+∠+∠180BAE GEA FEB ABE ， ∵GEA BAE ∠=∠，ABE FEB ∠=∠， ∴︒=∠+∠18022GEA FEB ， ∴︒=∠+∠90GEA FEB ， ∴︒=∠90AEB ，∴EB ⊥EA ．··············································································· 14分。
南平市2019—2020学年第二学期高二年级期末质量检测数学试题参考答案
所以
P(Y
2)
C42
2 5
2
3
2
5
216 625
………………………………… 12 分
22（本小题满分 12 分）
【答题分析】
（1） 函数 g x 的定义域为 0, ，且 g x a ln x x ， g x a 1 a x ，
x
x
……………………………………… 1 分
① 若 a 0 ， g x 0 在 0, 上成立，所以 g x 在 0, 上单调递减；…2 分
0
（2）当 a 0 时， f (a) 2a 1 7 a 3
………………… 5 分 …………………7 分
当 a 0 时， f (a) 2a 1 7 a 3
…………………9 分
所以 a 3．
…………………10 分
18．（本小题满分 12 分）
【答题分析】
高一期末数学参考答案 第 1 页（共 3 页）
南平市 2019-2020 学年第二学期高二期末质量检测
数学试题参考答案及评分说明
说明： 1、本解答给出解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查
内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得大于该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
即当 0
t
1时， lnt
2t
1
0
，从而 ln
x1
2
x1 x2
1
0
，
t 1
x2
x1 1
x2
2019~2020学年(上)南平市九年级质量检测(数学)_试题及答案高清扫描版
（3）设点 P 的纵坐标为 q，求 q 的取值范围．
y
O
x
第 25 题图
九年级数学试题 第 6 页（共 6 页）
南平市 2019-2020 学年第一学期九年级期末质量检测 数学试题参考答案及评分说明
y B
A
O
x
第 20 题图
21．（8 分）商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元. 为了迎接“春节”，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利，减少库存. 经市场调查发 现：如果每件童装降价 2 元，那么平均每天就可多售出 4 件. （1）如果平均每天销售这种童装上的盈利 1 200 元，那么每件童装应降价多少元？ （2）当盈利最多时，每件童装应降价多少元？
说明：
（1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分 150 分． （2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的 评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，
可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．
（2）解：a = 1, b = 3 ， c = −5，………………………………………………………1 分 = b2 − 4ab = 32 − 41 (−5) = 29 …………………………………………………2 分
x = − 3 29 …………………………………………………………………3 分 2
A
B
C
第24 题图
九年级数学试题 第 5 页（共 6 页）
2020-2021学年福建省南平市九年级(上)质检数学试卷(一) 解析版
2020-2021学年福建省南平市九年级（上）质检数学试卷（一）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．方程x2﹣1＝2x化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（）A．﹣1、﹣2B．﹣2、﹣1C．2、﹣1D．﹣1、22．方程x（x﹣1）＝x的解是（）A．x＝0B．x＝2C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝2 3．已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（）A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝7D．（x﹣2）2＝7 4．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3 6．对于y＝﹣x2下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴为直线x＝0C．顶点为（0，0）D．y随x增大而减小7．若x＝0是一元二次方程x2+x+b2﹣4＝0的一个根，则b的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．48．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞29．二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）A．27B．9C．﹣7D．﹣1610．已知二次函数y＝﹣3x2+2x+1的图象经过点A（a，y1），B（b，y2），C（c，y3），其中a，b，c均大于0．记点A，B，C到该二次函数的对称轴的距离分别为d A，d B，d C．若d A＜＜d B＜d C，则下列结论正确的是（）A．当a≤x≤b时，y随着x的增大而增大B．当a≤x≤c时，y随着x的增大而增大C．当b≤x≤c时，y随着x的增大而减小D．当a≤x≤c时，y随着x的增大而减小二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是．12．一元二次方程x2﹣9＝0的解是．13．如果二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝．14．已知m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，求m2+m的值为．15．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是m．16．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则＝．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解方程：x2+2x﹣2＝0．18．（8分）已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）．（1）求a的值；（2）若点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．19．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个相等的实数根．（1）求m的值；（2）求此方程的根．20．（8分）抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B右边），且AB＝4，求点A、B的坐标．21．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．22．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元．（1）用含x的代数式填空：①该商品可多售出件；②该商品每件盈利元；③该商品每天可销售件．（2）当x为何值时，商场日盈利可达到2100元？23．（10分）某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：月份（x）1月2月3月4月5月6月销售量（p） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台（1）求p关于x的函数关系式；（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值．24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．25．（14分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m 经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．2020-2021学年福建省南平市九年级（上）质检数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．方程x2﹣1＝2x化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（）A．﹣1、﹣2B．﹣2、﹣1C．2、﹣1D．﹣1、2【分析】首先把方程化为一般式，然后再确定一次项系数、常数项．【解答】解：x2﹣1＝2x，x2﹣2x﹣1＝0，一次项系数为﹣2、常数项为﹣1，故选：B．2．方程x（x﹣1）＝x的解是（）A．x＝0B．x＝2C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝2【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x﹣1）＝x，x（x﹣1）﹣x＝0，x（x﹣1﹣1）＝0，x＝0，x﹣1﹣1＝0，x1＝0，x2＝2．故选：D．3．已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（）A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝7D．（x﹣2）2＝7【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果，即可做出判断．【解答】解：方程移项得：x2+4x＝3，配方得：x2+4x+4＝7，即（x+2）2＝7，故选：C．4．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】把a＝1，b＝﹣4，c＝5代入△＝b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝5，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，所以原方程没有实数根．故选：D．5．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3【分析】先求出y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．故选：C．6．对于y＝﹣x2下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴为直线x＝0C．顶点为（0，0）D．y随x增大而减小【分析】利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的选项．【解答】解：y＝﹣x2中a＝﹣1＜0，开口向下，A正确，不符合题意；对称轴为直线x＝0，B正确，不符合题意；顶点为（0，0），C正确，不符合题意；当x＞0时y随着x的增大而增大，D错误，符合题意，故选：D．7．若x＝0是一元二次方程x2+x+b2﹣4＝0的一个根，则b的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．4【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入x2+x+b2﹣4＝0得b2﹣4＝0，然后解关于b的方程即可．【解答】解：把x＝0代入x2+x+b2﹣4＝0得b2﹣42＝0，解得b＝±2，∵b﹣1≥0，∴b≥1，∴b＝2．故选：A．8．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞2【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；所以2＞y1＞y2．故选：A．9．二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）A．27B．9C．﹣7D．﹣16【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x＝3，则根据抛物线的对称性得到x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，然后根据题意判断抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），最后把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m可求得m的值．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，∴x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，∵当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m得4+12+m＝0，解得m＝﹣16．故选：D．10．已知二次函数y＝﹣3x2+2x+1的图象经过点A（a，y1），B（b，y2），C（c，y3），其中a，b，c均大于0．记点A，B，C到该二次函数的对称轴的距离分别为d A，d B，d C．若d A＜＜d B＜d C，则下列结论正确的是（）A．当a≤x≤b时，y随着x的增大而增大B．当a≤x≤c时，y随着x的增大而增大C．当b≤x≤c时，y随着x的增大而减小D．当a≤x≤c时，y随着x的增大而减小【分析】先利用配方法得到抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线开口向下，根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+2x+1的对称轴为直线x＝﹣＝，抛物线开口向下，∵a，b，c均大于0．d A＜＜d B＜d C，∴当b≤x≤c时，y随着x的增大而减小．故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．【解答】解：y＝﹣（x+2）2﹣3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．12．一元二次方程x2﹣9＝0的解是x1＝3，x2＝﹣3．【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．【解答】解：∵x2﹣9＝0，∴x2＝9，解得：x1＝3，x2＝﹣3．故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．13．如果二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝17．【分析】由二次函数的顶点在x轴上结合二次函数的性质，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，∴＝＝0，即4m﹣68＝0，∴m＝17．故答案为：17．14．已知m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，求m2+m的值为．【分析】把方程的解代入方程，两边同时除以6，可以求出代数式的值．【解答】解：把m代入方程有：2m2+3m﹣1＝02m2+3m＝1两边同时除以6有：m2+m＝．故答案是：．15．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是10m．【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．【解答】解：令函数式y＝﹣（x﹣4）2+3中，y＝0，0＝﹣（x﹣4）2+3，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即铅球推出的距离是10m．故答案为：10．16．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则＝3﹣．【分析】设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB 的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．【解答】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2＝a，解得x＝，∴点B（，a），＝a，则x＝，∴点C（，a），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1＝（）2＝3a，∴点D的坐标为（，3a），∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，∴＝3a，∴x＝3，∴点E的坐标为（3，3a），∴DE＝3﹣，＝＝3﹣．故答案为：3﹣．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解方程：x2+2x﹣2＝0．【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】解：原方程化为：x2+2x＝2，x2+2x+1＝3（x+1）2＝3，x+1＝±x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．18．（8分）已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）．（1）求a的值；（2）若点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．【分析】（1）把点A（﹣2，﹣8）代入y＝ax2求得a即可；（2）再把点P（m，﹣6）代入抛物线解析式中即可得出m的值，从而得出点P坐标．【解答】解：（1）把点A（﹣2，﹣8）代入y＝ax2，得4a＝﹣8，∴a＝﹣2；（2）把点P（m，﹣6）代入y＝﹣2x2中，得﹣2m2＝﹣6，∴m＝±，∴P（，﹣6）．19．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个相等的实数根．（1）求m的值；（2）求此方程的根．【分析】（1）由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出△＝8m﹣4＝0，解之即可得出结论；（2）将m的值代入原方程，利用配方法解方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）2＝8m﹣4＝0，解得：m＝．（2）将m＝代入原方程得x2﹣x+＝（x﹣）2＝0，解得：x1＝x2＝．20．（8分）抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B右边），且AB＝4，求点A、B的坐标．【分析】首先求出抛物线的对称轴，进而得出A，B点坐标．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c，∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1，∵A在B右边，且AB＝4，∴B（﹣3，0），A（1，0）．21．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．【分析】（1）配方后求出顶点坐标即可；（2）求出A、B的坐标，根据坐标求出AB、CD，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1，所以顶点C的坐标是（2，﹣1），当x＜2时，y随x的增大而减少；当x＞2时，y随x的增大而增大；（2）解方程x2﹣4x+3＝0得：x1＝3，x2＝1，即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0），过C作CD⊥AB于D，∵AB＝2，CD＝1，∴S△ABC＝AB×CD＝×2×1＝1．22．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元．（1）用含x的代数式填空：①该商品可多售出2x件；②该商品每件盈利（50﹣x）元；③该商品每天可销售（30+2x）件．（2）当x为何值时，商场日盈利可达到2100元？【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；（2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），列出方程求解即可．【解答】解：（1）①商场日销售量增加2x件；②每件商品盈利（50﹣x）元；③该商品每天可销售（30+2x）件．故答案为：2x、（50﹣x）、（30+2x）；（2）根据题意可得（30+2x）（50﹣x）＝2100，解得：x＝15或x＝20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x＝20，答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．23．（10分）某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：月份（x）1月2月3月4月5月6月销售量（p） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台（1）求p关于x的函数关系式；（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）利用销量×售价＝销售金额，进而利用二次函数最值求法求出即可；（3）分别表示出1，2月份的销量以及售价，进而利用今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，得出等式求出即可．【解答】解：（1）设p＝kx+b，把p＝3.9，x＝1；p＝4.0，x＝2分别代入p＝kx+b中，得：，解得：，∴p＝0.1x+3.8；（2）设该品牌手机在去年第x个月的销售金额为w万元，w＝（﹣50x+2600）（0.1x+3.8）＝﹣5x2+70x+9880＝﹣5（x﹣7）2+10125，当x＝7时，w最大＝10125，答：该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10125万元；（3）当x＝12时，y＝2000，p＝5，1月份的售价为：2000（1﹣m%）元，则2月份的售价为：0.8×2000（1﹣m%）元；1月份的销量为：5×（1﹣1.5m%）万台，则2月份的销量为：[5×（1﹣1.5m%）+1.5]万台；∴0.8×2000（1﹣m%）×[5×（1﹣1.5m%）+1.5]＝6400，解得：m1%＝（舍去），m2%＝，∴m＝20，答：m的值为20．24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．【分析】（1）先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；（2）先求出点M，点N坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴交于点B，∴点B（0，c），∵OA＝OB＝c，∴点A（c，0），∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0（舍去），∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点G的坐标为（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标为（6，﹣21），∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，∴﹣21≤y Q≤4或﹣21≤y Q≤﹣5．25．（14分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m 经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y ＝x+m上；（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B 点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；（3）设平移后的抛物线为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），根据题意得出+q ＝+1，由抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q＝﹣﹣1＝﹣（p﹣1）2+，从而得出q的最大值．【解答】解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：∵直线y＝x+m经过点A（1，2），∴2＝1+m，解得m＝1，∴直线为y＝x+1，把x＝2代入y＝x+1得y＝3，∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；（2）∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点且B、C两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A、C两点，把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，解得a＝﹣1，b＝2；（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），∵顶点仍在直线y＝x+1上，∴+q＝+1，∴q＝﹣++1，∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．。
福建省南平市2020届高三毕业班第三次综合质量检测数学(理)试题
…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………福建省南平市2020届高三毕业班第三次综合质量检测数学（理）试题题号 一 二 三 总分 得分评卷人 得分一、选择题 本大题共12道小题。
1.函数()32ln x x f x x-=的图象大致为（ ）A. B.C. D.答案及解析：1.A 【分析】先求出函数的定义域，再判断奇偶性，然后由函数图像的变化趋势可得答案 【详解】解：函数的定义域为{}0x x ≠ ，因为3322()ln ln ()()()x xx x f x f x x x-----===- ，○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………所以()f x 为偶函数，所以排除C,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x xf x x x x -==-， 当x →+∞时，()f x →+∞ ，所以排除B 故选：A 【点睛】此题考查了由函数关系式识别函数图像，利用了函数的奇偶性和函数值的变化趋势进行了辨别，属于基础题. 2.某中学注重培育学生劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.为了让学生更深刻理解劳动创造价值，丰富职业体验，现组织学生到工厂参加社会实践活动.学生在活动过程中观察到一个生产所需零件的几何体三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：cm 2）是（ ）A. 4πB.174π C. 14π D. 15π答案及解析：2.A 【分析】观察三视图知该几何体是由一个圆柱和一个半球拼接而成，分别计算圆柱的侧面积，半球的表面积和一个圆的面积即可.【详解】通过三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半球拼接而成, 其中圆柱的底面半径为12，高为1；半球的半径为1 ∴该几何体的表面积为221121+1+41=422ππππ⨯⨯⨯⨯⨯（2cm ）故选：A【点睛】本题主要考查空间几何体的表面积计算，属于基础题. 3.函数()()3211232f x x a x x =-++（0a >）在()e,+∞内有极值，那么下列结论正确的是（ ） A. 当10,e 2e a ⎛⎫∈+-⎪⎝⎭时，1e 1e a a --> B. 当1e e 2,e 2a ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<C. 当e ,e 2a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1e 1e a a --> D. 当1e,e e a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<答案及解析：3.B 【分析】求出导数，根据题意分类讨论利用二次函数的图象与性质列出不等式求解a 的取值范围，考查不等式1e 1ea a--< ，令()()11ln h a a e a =--- ，利用导数研究函数()h a 的单调性，由120h e e ⎛⎫+-<⎪⎝⎭及()0h e =可得当12,a e e e ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，()0h a <成立，即1e 1e a a --< ，即可得出正确选项.【详解】令()()()221g x f x x a x '==-++ （0a >），()2=240a ∆+->若()f x 在()e,+∞ 内仅有1个极值点，即()g x 在(e,)+∞内有1个零点，则()()20210a g e e a e >⎧⎨=-++<⎩，解得12a e e >+-； 若()f x 在()e,+∞ 内有2个极值点，即()g x 在 (e,)+∞内有2个零点，则()()2021022a g e e a e a e ⎧⎪>⎪=-++>⎨⎪+⎪>⎩ ，无解.所以当12,a e e ⎛⎫∈+-+∞ ⎪⎝⎭ 时，函数()()3211232f x x a x x =-++ （0a >）在()e,+∞ 内有极值. 现考查不等式1e 1e a a --< ，两边同时取对数可得：()11ln a e a -<- ，即()11ln 0a e a ---< ， 令()()11ln h a a e a =--- ，12,a e e ⎛⎫∈+-+∞ ⎪⎝⎭， ()11e h a a-'=-，令()0h a '>，解得1a e >- ， 所以函数()h a 在12,1e e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增， 又因为()()11111231ln 221ln 10h e e e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+-=+---+-<+---=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()11ln 0h e e e e =---= ，所以当12,a e e e ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭ 时，()0h a <成立，即1e 1e a a --< ， 所以当1e e 2,e 2a ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，1e 1e a a --< . 故选：B 【点睛】本题考查导数在研究函数的性质中的应用、利用导数研究函数的零点及单调性、证明不等式，属于较难题. 4.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件答案及解析：4.A 分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4ab +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 5.若{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论：①T π=②对称轴方程为212k x π+=，k Z ∈ ③值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 其中正确的是（ ） A. ①②B. ②③C. ①③④D. ②③④答案及解析：5.D 【分析】根据()()(){}min ,h x f x g x =定义求出函数()h x 的解析式，然后画出()h x 的图象，结合图像即可判断()h x 的结论.【详解】解:()()(){}sin cos ,cos 0,min ,sin cos ,cos 0,x x x h x f x g x x x x +≤⎧==⎨->⎩3,22,422,22,422x k x k x k x k ππππππππππ⎛⎫++≤≤+ ⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--<<+ ⎪⎪⎝⎭⎩()k Z ∈. 因为()(),f x g x 都是周期为2π的函数，所以()h x 的周期为2π，①错误； 如下图所示（一个周期内图象）：○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………()h x 的对称轴方程为：2122k x k πππ+=+=，k Z ∈，②正确； 由图直接得知③正确； 当32,(,)35,,()44442x x x f x ππππππ⎛⎛⎫++∈ ⎪⎫∈=⎝⎭⎪⎝⎭，()f x ∴在区间35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，④正确. 故选：D.【点睛】本题考查分段三角函数图象和性质，关键是做出图象，属于中档题. 6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足1543a a a +=，324S =，则下列结论正确的是（ ） A. S n 有最大值32B. S n 有最小值10C. S n 有最大值1214D. S n 有最大值30答案及解析：6.D 【分析】由已知条件求出等差数列{}n a 的首项和公差，从而得到等差数列{}n a 的前n 项和n S 的解析式，结合二次函数的性质即可得到答案.. 【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题意得：()11124333324a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩ ，解得1102a d =⎧⎨=-⎩ .所以()()21102112n n n S n n n -=⨯+⨯-=-+ .因为n *∈N ，所以当5n =或6时，n S 取最大值，最大值为30. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最值，考查学生的计算能力，属于基础题. 7.“一世”又叫“一代”.东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继曰世”.而当代中国学者测算“一代”平均为25年.另根据国际一家研究机构的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有26年，约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代甚至更久远（为了研究方便，超过四代的可忽略不计）.根据该研究机构的研究报告，可以估计该机构所认为的“一代”大约为（ ） A. 23年B. 22年C. 21年D. 20年答案及解析：7.B 【分析】设“一代”为x 年，根据约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代，列出频率分布表，然后根据平均寿命其实只有26年，利用平均数的求法求解.【详解】设“一代”为x 年，由题意得：企业寿命的频率分布表为：又因为全球家族企业的平均寿命其实只有26年，所以家族企业的平均寿命为：0.540.50.28 1.50.14 2.50.04 3.526x x x x ⨯+⨯+⨯+⨯=， 解得22x ≈， 故选：B【点睛】本题主要考查频率分布表的应用以及平均数的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c .若双曲线上存在点P 满足12a PF c PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. (1,1+B. (1,1C. (1,1+D. (1,1+答案及解析：8.A 【分析】根据双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，则222||a PF c a=-，又2||PF c a ≥-，即可得到不等式，即可解得；【详解】解：因为12a PF c PF = 所以12||||cPF PF a=； 1ac<，21PF PF ∴<， P ∴在双曲线右支上，又由双曲线的定义，得12||||2PF PF a -=， ∴222c PF PF a a -=，即222||a PF c a=-， 由双曲线的几何性质，知2||PF c a ≥-，∴22a c a c a≥--， 即2220c ac a --≤； 2210e e ∴--≤，解得11e +≤≤；又1e >，∴双曲线离心率的范围是(1⎤⎦．故选：A ．【点睛】本题考查了求双曲线的离心率的范围的问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的灵活运用问题，属于中档题． 9.已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 79B.89C. 79-D. 89-答案及解析：9.C 【分析】 根据1sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，利用诱导公式将cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭转化为cos 23πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再利用二倍角的余弦公式求解.， 【详解】因为1sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以cos 2cos 233ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=---⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2cos 22sin 133ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2172139⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10.集合{}22,A x x R =-≤≤∈，集合{}23,B y y x x A ==-∈，则A ∩B =（ ）A. {}32x x -≤≤B. {}21x x -≤≤C. {}22x x -≤≤D. {}31x x -≤≤答案及解析：10.B 【分析】因为{}22,A x x R =-≤≤∈，{}23,B y y x x A ==-∈，可得[]23,2,2y x x =-∈-，结合二次函数图象和交集定义，即可求得答案. 【详解】{}22,A x x R =-≤≤∈，{}23,B y y x x A ==-∈可得[]23,2,2y x x =-∈-根据二次函数图象特征可得：31y -≤≤∴ []3,1B =- ∴ [][][]2,23,12,1A B --=-=故{}21A B x x ⋂=-≤≤ 故选：B.【点睛】本题考查了集合交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 11.已知平面α，β，直线m ，n 满足m α⊂，n β⊂，则下列结论正确的是（ ） A. 若αβ⊥，则m n ⊥ B. 若//αβ，则//m n C. 若m β⊥，则αβ⊥D. 若//m β，则//αβ答案及解析：11.C 【分析】根据直线、平面之间的位置关系及面面垂直的判定定理逐项判断. 【详解】已知m α⊂，n β⊂，若αβ⊥，则m n ，可能相交、平行或异面，A 错误；若//αβ，则m n ，可能平行或异面，B 错误；若m β⊥，根据面面垂直的判定定理知αβ⊥，C 正确； 若//m β，则平面αβ，可能相交或平行，D 错误. 故选：C【点睛】本题考查直线、平面之间的位置关系、空间中的平行与垂直关系，属于基础题. 12.将含有甲、乙、丙的6名医护人员平均分成两组到A 、B 两家医院参加“防疫救护”工作，则甲、乙至少有一人在A 医院且甲、丙不在同一家医院参加“防疫救护”工作的概率为（ ）A. 320B.340C.920D.940答案及解析：12.C 【分析】先计算含有甲、乙、丙的6名医护人员平均分成两组到A 、B 两家医院参加 “防疫救护”工作的基本事件总数，再计算甲、乙至少有一人在A 医院且甲、丙不在同一家医院参加 “ 防疫救护”工作包含的基本事件数，最后由古典概率公式计算即可. 【详解】解：设含有甲、乙、丙的6名医护人员的另外三人分别为,,C D E ， 6名医护人员平均分成两组到医院参加“防疫救护”工作有 3620C = 种不同分配方案.甲、乙至少有一人在A 医院且甲、丙不在同一家医院参加“防疫救护” 工作包含的基本事件有：A 医院有甲CD ，甲CE ，甲DE ，乙丙C ，乙丙D ，乙丙 E ，甲乙C ，甲乙D ，甲乙E ，共有9 种不同分配方法.根据古典概率公式得：甲、乙至少有一人在A 医院且 甲、丙不在同一家医院参加“防疫救护”工作的概率为920. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概率的计算，属于基础题. 一、填空题 本大题共4道小题。
2020届福建省漳州市南平市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届福建省漳州市南平市高三第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|{|lg }A x y B y y x ====，则A B =U （ ）A ．[1,)-+∞B ．[0,)+∞C ．(0,)+∞D ．R【答案】D【解析】首先根据偶次根式的条件与对数函数的值域分别求得集合,A B ，再求并集，得到结果. 【详解】{|1}A x x =≥-，B R =，所以A B R =U ， 故选：D ． 【点睛】该题考查函数的定义域，对数函数的值域以及集合的并集，考查基本分析求解能力，属于基础题目.2．已知复数z 的共轭复数为z ，且满足232z z i +=+，则||z =（ ）A B C ．3D ．5【答案】B【解析】设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，代入232z z i +=+中求出,a b 的值，再根据复数模公式求得结果. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 又因为232z z i +=+，即332a bi i +=+，所以1,2a b ==，所以|z |= 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的概念和运算，复数的模，共轭复数，属于基础题目.3．执行如图所示的程序框图，若输入的3n =，则输出的S =（ ）A ．1B ．5C ．14D ．30【答案】C【解析】按流程图逐一执行即可得解 【详解】执行程序框图，可得0,0i S ==， 满足3i <，执行循环体，21,11i S ===； 满足3i <，执行循环体，22,125i S ==+=； 满足3i <，执行循环体，23,5314i S ==+=； 不满足3i <，退出循环体，输出S 的值为14， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了流程图知识，考查读图能力及计算能力，属于基础题. 4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若334a =，3214S =，则{}n a 的公比为（ ）A ．13-或12B ．13或12- C ．3-或2D ．3或2-【答案】A【解析】利用已知可得：2134a q =及()212114a q q ++=，联立方程组，解方程组即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 则23134a a q ==，()2312114S a q q =++=， 所以两式相除，得22117q q q =++，即2610q q --=， 解得12q =或13q =-， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查了方程思想及计算能力，属于基础题.5．4(12)x -的展开式中2x 的系数为（ ） A ．6 B ．24 C ．32 D ．48【答案】B【解析】利用二项展开式的通项可得14(2),0,1,2,3,4r rr T C x r +=-=，令2r =可求得结果. 【详解】因为4(12)x -的第1r +项展开式14(2),0,1,2,3,4r r r T C x r +=-=，令2r =，则含2x 项系数为224(2)24C -=，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式通项的应用，项的系数，属于简单题目.6．我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一，书中记载了他计算圆周率所用的方法．先作一个半径为1的单位圆，然后做其内接正六边形，在此基础上做出内接正62(1,2,)nn ⨯=L 边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周，从而得到圆周率，这种方法称为“刘徽割圆术”．现设单位圆O 的内接正n 边形的一边为AC ，点B 为劣弧»AC 的中点，则BC 是内接正2n 边形的一边，现记n AC S =，2n AB S =，则（ ）A ．2n S =B ．2n S =C ．2n S =D ．2n S =【答案】A【解析】方法一，可以设AOB θ∠=，则在AOB V 中，由余弦定理得2222cos n S θ=-，设AC 与OB 相交于点D ，则OD AD ⊥，利用三角函数的定义可得cos OD OA θ==，代入上式化简求得结果；方法二，设AC 与OB 相交于点D ，可以得到OD AD ⊥，且12n AD S =，所以OD =11BD OD =-=-2n S ==. 【详解】法一：设AOB θ∠=，则在AOB V 中，由余弦定理得2222cos n S θ=-，设AC 与OB 相交于点D ，则OD AD ⊥，所cos OD OA θ==，所以2222nS =-= 故选：A.法二：设AC 与OB 相交于点D ，则OD AD ⊥，因为12n AD S =，所以OD =所以11BD OD =-=，所以2n S == 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数学文化的知识，在解题的过程中，注意对圆中特殊三角形的应用，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，还有余弦定理的应用，属于简单题目. 7．已知正三棱柱的底面边长为2，,A B 分别为该正三棱柱内切球和外接球上的动点，则,A B 两点间的距离最大值为（ ） A2 B1-C1D2【答案】C【解析】根据正棱柱的外接球和内切球的球心在正棱柱上下底面中心连线的中点，求得其外接球和内切球的半径，再结合同心球上两动点间的最大距离为量半径和，从而求得结果. 【详解】因为正三棱柱的外接球和内切球的球心都是正三棱柱上下底面中心连线的中点，结合正三棱柱的底面边长为2，易求得三棱柱外接球半径R ==， 内切球半径1212r =⨯=， 所以,A B两点间的距离最大值为1R r +=+，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关几何体的问题，涉及到的知识点有正棱柱的外接球和内切球的球心位置的确定以及其半径的求解，两球上动点间距离的最值，属于简单题目. 8．若1451314,log 12,log 9a b c ===，则（ ） A ．b a c << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】B【解析】直接利用对数函数和指数函数的单调性求解. 【详解】1434 1.52a ==<=，又32512<，即32512<，所以53log 122b <=，所以a b <， 又55131log 12log 252log 9b c =<===，所以a b c <<， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关指数幂与对数值的比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C的左、右支分别交于P 、Q 两点，若12PQ F P =u u u r u u u r ，120FQ F Q ⋅=u u u r u u u u r，则C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．2y x =±【答案】D【解析】设1PF t =，根据已知条件及双曲线的定义可知||2PQ t =，222,32PF t a QF t a =+=-，根据12FQ F Q ⊥，利用勾股定理可得34t a =，在直角三角形12F QF 中，由勾股定理得2229(32)4t t a c +-=，进一步整理得到2b a =，进而求得渐近线方程. 【详解】 设1PF t =，由已知条件及双曲线的定义得||2PQ t =，222,32PF t a QF t a =+=-，因为12FQ F Q ⊥， 所以在直角三角形2PQF 中，由勾股定理得2224(32)(2)t t a t a +-=+，解得34t a =．又在直角三角形12F QF 中，由勾股定理得2229(32)4t t a c +-=，所以225c a =，又222c a b =+，所以2b a =， 所以双曲线的渐近线方程为2by x x a=±=±， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的渐近线方程的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的定义，勾股定理解直角三角形，双曲线的渐近线方程，属于简单题目.10．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(2)cos cos ,b c A a C b -==若边BC 的中线等于3，则ABC ∆的面积为（ ）A ．BC ．D ．2【答案】C【解析】由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知条件可得2sin cos sin B A B =，由sin 0B ≠，求得1cos 2A =，可求得3A π=，取BC 的中点D ，延长AD 至点E ，使得D 是AE 中点，连接,EB EC ，则四边形ABEC 是平行四边形，在三角形ACE 中，由余弦定理可求得c =，之后利用面积公式求得结果. 【详解】因为(2)cos cos b c A a C -=，所以(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=， 所以2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+， 所以2sin cos sin()B A A C =+， 所以2sin cos sin B A B =， 因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =， 因为(0,)A π∈，所以3A π=．取BC 的中点D ，延长AD 至点E ，使得D 是AE 中点， 连接,EB EC ，则四边形ABEC 是平行四边形， 在三角形ACE 中，180120ACE A ∠=︒-∠=︒，AC =6AE =，CE AB c ==，由余弦定理得21236c ++=，解得c =，所以三角形ABC 的面积为2122⋅⋅= 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有应用正弦定理和余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题目.11．已知函数()sin[cos ]cos[sin ]f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论：①()f x 的一个周期是2π； ②()f x 是非奇非偶函数；③()f x 在(0,)π单调递减； ④()f x ． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．②④C ．①③D ．①②【答案】A【解析】根据函数周期的定义判断①正确，利用特值判断函数是非奇非偶函数，得到②正确，根据取整函数的定义，可以判断在(0,)π上函数值是确定的一个值，得到③错误，利用(0)f >④正确，从而得到结果.【详解】 因为(2)sin[cos(2)]cos[sin(2)]sin[cos ]cos[sin ]()f x x x x x f x πππ+=+++=+=，所以()f x 的一个周期是2π，①正确；又(0)sin[cos0]cos[sin 0]sin1cos0sin1112f =+=+=+>+>④正确； 又sin cos cos sin sin cos sin 0cos(1)cos1444f πππ⎡⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+=+-=⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，sin cos cos sin sin cos sin 0cos0144422f πππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 是非奇非偶函数，所以②正确； 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin 1x <<，0cos 1x <<，所以[sin ][cos ]0x x ==，所以()sin[cos ]cos[sin ]sin0cos01f x x x =+=+=，所以③错误；综上所以正确的结论的序号是①②④，故选：A ． 【点睛】该题考查三角函数相关性质的辨析，涉及到的知识点有取整函数，奇偶性、单调性、周期性的综合应用，属于较难题目.12．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，准线与y 轴相交于点P ，过F 的直线与C 交于A 、B 两点，若||2||PA PB =，则||AB =（ ）A ．5B ．92CD．2【答案】B【解析】首先设出直线AB 的方程为1y kx =+，与抛物线方程联立，整理得到2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理得124x x =-，①124x x k +=，②，根据||2||PA PB =，列出等量关系求得218x =，222x =，根据焦点弦长公式，可得2212129||2242x x AB y y +=++=+=，得到结果，也可以根据0PA PB k k +=，得到FP 是角APB 的平分线，进而求得结果. 【详解】设直线AB 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x =-，①124x x k +=，②21616k ∆=+，解法一：因为||2||PA PB =，则()()22221122141x y x y ⎡⎤++=++⎣⎦，即()()22221122242x kx x kx ⎡⎤++=++⎣⎦③，将①②代入③得22221212112224244x x x x x x x x ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++=++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即2222222121222111641414144x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()()222222111141164164416x x x x x++++=，所以4164x =，即218x =，则222x =，所以2212129||2242x x AB y y +=++=+=，故选：B. 解法二：因为()()21121212121212221122220PA PB x kx x kx y y x xk k k k k x x x x x x +++++++=+==+=-=．所以FP 是角APB 的平分线，因为||2||PA PB =，||2||AF FB =，所以122x x =-④，由①④得22128,2x x ==，所以2212129||2242x x AB y y +=++=+=，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，抛物线焦点弦长公式，属于简单题目.二、填空题13．若函数21,0()241,0xx f x x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+≥⎩，则((2))f f =_______． 【答案】8【解析】直接利用分段函数的表达式，逐步求解函数值即可. 【详解】因为(2)4813f =-+=-，所以31((2))(3)82f f f -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．【点睛】该题考查的是有关分段函数求值问题，在解题的过程中，注意逐层求解，属于基础题目. 14．若||(1,1),||1a b a b +===r r r r，则a r 与b r的夹角为_________． 【答案】4π【解析】根据平面向量的夹角公式，求出夹角的余弦值，再计算夹角的大小. 【详解】因为||a b +=r r 2225a a b b +⋅+=r r r r ，又()1,1,||1a b ==r r，所以2,15a b +<>+=r r，即cos 2a b <⋅>=r r，所以cos ,4a b π<>=r r ，故答案为：4π. 【点睛】该题考查的是有关向量夹角的问题，涉及到的知识点有向量的平方和向量模的平方是相等的，向量交集余弦公式，属于简单题目.15．在一个袋中放入四种不同颜色的球，每种颜色的球各两个，这些球除颜色外完全相同．现玩一种游戏：游戏参与者从袋中一次性随机抽取4个球，若抽出的4个球恰含两种颜色，获得2元奖金；若抽出的4个球恰含四种颜色，获得1元奖金；其他情况游戏参与者交费1元．设某人参加一次这种游戏所获得奖金为X ，则()E X =________． 【答案】27-【解析】首先根据题意，判断出X 的可取值有2,1,1-，并利用概率公式求得对应的概率，最后利用离散型随机变量的期望公式求得结果. 【详解】由已知2X =，1，1-， 又()22242486(2)70C CP X C ===， ()441424816(1)70C C P X C ===，()22114224848(1)70C C C P X C =-==，所以12164827070707EX =+-=-， 故答案为：27-.【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的期望的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，离散型随机变量的期望公式，属于简单题目. 16．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有()111ln 0kxk e x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围为_________． 【答案】1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】首先将不等式转化为()1(1)ln kxkx e x x +>+，再利用对数的运算法则转化为()1ln (1)ln kxkx ee x x +>+，构造函数()(1)lnf x x x =+，应用导数研究函数的单调性得到其在(0,)+∞单调递增，不等式可以转化为()()kxf ef x >，所以kxex >，所以ln xk x >，根据ln ()x h x x =在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，得到max 1()h x e=，从而求得k 的取值范围. 【详解】因为()1(1)ln kxkx e x x +>+， 所以()1ln (1)ln kxkxe e x x +>+①， 令()(1)lnf x x x =+，则1()1ln f x x x'=++， 所以22111()x f x x x x-''=-+=， 当01x <<时，()0f x ''<，当1x >时，()0f x ''>， 所以()f x '在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， 所以()(1)2f x f ''>=， 所以()f x 在(0,)+∞单调递增， 因为①式可化为()()kxf ef x >，所以kx e x >，所以ln xk x>， 令ln ()xh x x=，所以可求得()h x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减， 所以max 1()h x e=，所以1k e >，故答案为：1(,)e+∞. 【点睛】该题考查的是有关应用导数解决不等式成立时参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有构造新函数，利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，恒成立问题向最值靠拢，属于较难题目.三、解答题17．已知数列{}n a 满足()()()()*1123111,0,1111,N n n n a a a a a a a n ++=≠++++=∈L ． （1）证明数列11n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}12n n a a ++的前n 项和n T ． 【答案】（1）详见解析；（2）*4,N 21n nT n n =∈+. 【解析】（1）类比着题中条件()()()()123111111n n a a a a a ++++++=L ，可以写出()()()()123221111n n a a a a a ++++++=L ，两式相除得到2211n n n a a a ++++=，两边同时除以2n a +，得到21111n n a a +++=，即21111n n a a ++-=-，利用等差数列的定义，得到数列11n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）结合（1）可求得*12,N 21n a n n +-=∈-，所以122211221212121n n a a n n n n ++--⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭，即利用裂项相消法求和即可得结果. 【详解】（1）证明：因为()()()()123111111n n a a a a a ++++++=L ， 所以()()()()123221111n n a a a a a ++++++=L ，又*n ∈N ，0n a ≠，所以2211n n n a a a ++++=， 所以21111nn a a +++=，即21111n n a a ++-=-， 因为()()11221,11a a a a =++=， 所以()2221a a +=，解得22a =-，所以2112a =-， 所以数列11n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12-为首项，以1-为公差的等差数列．（2）结合（1）知，11121(1)(1)22n n n a +-=-+-⨯-=-， 所以*12,N 21n a n n +-=∈-， 所以122211221212121n n a a n n n n ++--⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭， 所以111111121335572121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L12121n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭*4,N 21nn n =∈+． 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据条件证明一个数列是等差数列，等差数列的通项公式，裂项相消法求和，属于简单题目.18．如图，三棱台111ABC A B C -中，11AA AB CC ==，190AAC ABC ∠=∠=︒．（1）证明：1AC A B ⊥；（2）若12,6,30AB A B ACB ==∠=︒，求二面角1A CC B --的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）13【解析】（1）过1A 作1A O AC ⊥交AC 于点O ，连接BO ，易证得1AAC ABC △≌△，进而得到1AAO ABO △≌△，得到190AOB AOA ∠=∠=︒，即BO AC ⊥，由线面垂直的判定定理得到AC ⊥平面1A OB ，进而得到1AC A B ⊥；（2）根据题意，进一步得到1A O BO ⊥，建立如图空间直角坐标系，分别求得平面1BCC的一个法向量1n =u r 和平面1ACC 的一个法向量2(1,0,0)n =u u r，利用公式求得12cos ,n n <>u u r u u r的值，进而得到二面角1A CC B --的余弦值.【详解】（1）过1A 作1A O AC ⊥交AC 于点O ，连接BO ，因为11,90AA AB AAC ABC =∠=∠=︒，所以1AAC ABC △≌△，所以1A AO BAO ∠=∠，所以1AAO ABO △≌△， 所以190AOB AOA ∠=∠=︒，即BO AC ⊥，因为1BO AO O ⋂=，所以AC ⊥平面1A OB ， 又因为1A B ⊂平面1A OB ，所以1AC A B ⊥． （2）因为90,2,30ABC AB ACB ∠=︒=∠=︒，所以4,AC BC ==BO =，所以1AO ，因为1A B = 所以22211AO BO A B +=，所以1A O BO ⊥． 如图，以O 为原点，以1,,OB OC OA u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，易知3OC =，所以1(0,3,0),B C C ，所以1(3,3,0),(0,13)BC CC =-=-u u u r u u u u r，设1(,,)n x y z =u r是平面1BCC 的一个法向量，则1110,0,n BC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v 即330,30,x y y z -=-+=⎪⎩ 取13,1)n =u r，易知平面1ACC 的一个法向量2(1,0,0)n =u u r，则121212313cos ,13n n n n n n ⋅==u r u u ru r u u r u u r u r ， 因为二面角1A CC B --为锐角， 所以二面角1A CC B --313【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线线垂直，利用空间向量求二面角的余弦值，属于简单题目.19．在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 是x 轴上关于原点O 对称的两定点，点H 满足121224HF HF F F +==，点H 的轨迹为曲线E ． （1）求E 的方程；（2）过2F 的直线与E 交于点,P Q ，线段PQ 的中点为G ，PQ 的中垂线分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，问2OMN GMF △≌△是否成立？若成立，求出直线PQ 的方程；若不成立，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）2OMN GMF △≌△不成立，理由详见解析. 【解析】（1）根据椭圆的定义，可以判断出点H 的轨迹是焦点为1F 、2F ，长轴长为4的椭圆，确定出2,1a c ==，进而求得23b =，得到椭圆的方程；（2）该题可以从三个角度去分析，一是设直线方程为(1),0y k x k =-≠，根据题意列出等式，无解，从而确定不成立；二是设直线方程为1x my =+，根据三角形全等去分析，推出矛盾，不成立，三是利用点差法确定出直线的斜率，写出点斜式方程，列式，推出矛盾，从而不成立，得到结果. 【详解】（1）因为121242HF HF F F +=>=，所以点H 的轨迹是焦点为1F 、2F ，长轴长为4的椭圆，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，所以2,1a c ==，所以2223b a c =-=，所以E 的方程为22143x y +=．（2）解法一：直线PQ 的斜率必存在且不为0，设PQ 方程为(1),0y k x k =-≠，由22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()22224384120kx k x k +-+-=，()()()22228443412k k k ∆=--+- ()214410k =+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则2122843k x x k +=+， 故点G 的横坐标为21224243x x k k +=+，所以22243,4343k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 设(),0M M x ，因为MG PQ ⊥，所以2223431443MG PQMkk k k k kx k -+⋅=⨯=--+，解得2243 Mkxk=+，所以22,043kMk⎛⎫⎪+⎝⎭，要使2Rt OMN Rt GMF△≌△，只需||||OM GM=，即2222222224343434343k k k kk k k k⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭，整理得42890k k+=，因为0k≠，所以此方程无实根，所以2OMN GMF△≌△不成立．解法二：直线PQ的斜率必存在且不为0，设PQ方程为1x my=+，由221,1,43x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x整理得()2234690m y my++-=，()223636340m m∆=++>，设()()1122,,,P x y Q x y，则122634my ym+=-+，故点G的纵坐标为1223234Gy y mym+==-+，所以2243,3434mGm m⎛⎫-⎪++⎝⎭，因为直线MG的斜率为m-，所以直线MG的方程为22343434my m xm m⎛⎫+=--⎪++⎝⎭，即234my mxm=-++．令0x=，则234mym=+，所以点N的纵坐标为234Nmym=+，即2||34mONm=+，所以||G y ON >，因为2G GF y >，所以2||GF ON >，要使得2OMN GMF △≌△，则必须2||GF ON =， 因为上式不成立，所以2OMN GMF △≌△不成立． 解法三：设()()()112200,,,,,P x y Q x y G x y ，因为,P Q 在曲线E 上，且000,0x y ≠≠所以222222111,431,43x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减并整理得1222121134y y x x x x y y -+=-⋅-+， 所以直线PQ 的斜率为1201203344x x xk y y y +=-⋅=-⋅+， 所以MG 的方程为()000043y y y x x x -=-， 令0x =，得03y y =-，所以点N 的纵坐标03N y y =-， 所以00||||||3y ON y =<， 又因为20GF y >，所以2||GF ON >，要使得2OMN GMF △≌△，则必须2||GF ON =， 因为上式不成立，所以2OMN GMF △≌△不成立． 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有应用椭圆的定义求轨迹方程，探索类问题的解法，在解题的过程中，注意条件的等价转化，属于较难题目.20．某同学使用某品牌暖水瓶，其内胆规格如图所示．若水瓶内胆壁厚不计，且内胆如图分为①②③④四个部分，它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体．若其中圆台部分的体积为352cm π，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出3103cm π．记盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为V ，（1）求V ；（2）该同学发现：该品牌暖水瓶盛不同体积的热水时，保温效果不同．为了研究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积，做以下实验：把盛有最大盛水量V 的水的暖水瓶倒出不同体积的水，并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温，发现水温y （单位：℃）与时刻t 满足线性回归方程y ct d =+，通过计算得到下表： 倒出体积3xcm306090120拟合结果1y c t d =+2y c t d =+3y c t d =+4y c t d =+5y c t d =+倒出体积3xcm150180210…450拟合结果 6y c t d =+ 7y c t d =+ 8y c t d =+…16y c t d =+注：表中倒出体积x （单位：3cm ）是指从最大盛水量中倒出的那部分水的体积．其中：1c 2c 3c 4c6c 7c1.4-1.3- 1.2- 1- 1.1- 0.9- 0.8-令||,,30(1),1,2,,16i i i w c w c x i i ===-=⋅⋅⋅．对于数据(),(1,2,,7)i i x w i =⋅⋅⋅，可求得回归直线为1:L w x βα=+，对于数据(),(8,9,,16)i i x w i =L ，可求得回归直线为2:0.00090.7L w x =+．（ⅰ）指出||c 的实际意义，并求出回归直线1L 的方程（参考数据：90.00322800≈）； （ⅱ）若1L 与2L 的交点横坐标即为最佳倒出体积，请问保温瓶约盛多少体积水时（盛水体积保留整数，且π取3.14）保温效果最佳？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v L ，其回归直线v u βα=+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii n i i u u vv v u u u βαβ==--==-⋅-∑∑． 【答案】（1）3640cm π；（2）（ⅰ）||c 的实际意义为倒出3xcm 体积水时，暖水瓶内水的降温速率；回归直线1L 的方程为0.0032 1.388w x =-+；（ⅱ）31842cm . 【解析】（1）根据题意，分析可得该暖水瓶的内胆是由一个半球和一个大圆柱以及一个小圆柱组合而成，分别利用球的体积公式和柱体的体积公式求得相应几何体的体积，之后作和求得暖水瓶的最大盛水量，得到结果；（2）（ⅰ）根据题意，可得||c 的实际意义为倒出3xcm 体积水时，暖水瓶内水的降温速率；利用公式求得回归直线1L 的方程为0.0032 1.388w x =-+；（ⅱ）联立方程组0.0032 1.388,0.00090.7,w x w x =-+⎧⎨=+⎩得167.8x ≈，即为最佳倒出体积约为3167.8cm ，根据条件，求得结果.【详解】（1）依题意得，半球的半径为5r cm =， 体积为3114250125233V cm ππ=⨯⨯=， 大圆柱体积322520500V cm ππ=⨯=， 小圆柱体积33428V cm ππ=⨯=，所以盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为32501050085264033cm ππππππ+++-=． （2）（ⅰ）||c 的实际意义为倒出3xcm 体积水时，暖水瓶内水的降温速率；||c 越小，降温速率越小，保温效果越好；||c 越大，降温速率越大，保温效果越差．因为30(1),1,2,,7i x i i =-=L ，对于回归直线1:L w x βα=+， 因为12712790, 1.177x x x w w w x w ++++++====L L ，()()()7721181,25200i i i i i x x w w x x ==--=--=∑∑，所以()()()121819ˆ0.0032252002800nii i ni i xx w w x x β==--==-=-≈--∑∑，ˆˆ 1.10.003290 1.388w x αβ=-⋅=+⨯=， 所以回归直线1L 的方程为0.0032 1.388w x =-+． （ⅱ）联立0.0032 1.388,0.00090.7,w x w x =-+⎧⎨=+⎩得167.8x ≈，所以保温瓶最佳倒出体积约为3167.8cm ，保温瓶盛水体积约为32640167.8640 3.14167.81841.81842cm cm π≈-≈⨯-=， 所以保温瓶盛水体积约为31842cm 时保温效果最佳． 【点睛】该题考查的是有关利用回归分析解决实际问题的思想和方法，在解题的过程中，涉及到的知识点有组合体的体积的求法，球体和柱体的体积公式，回归直线的方程，属于中档题目.21．已知函数(),()ln x f x e g x x a x ==+． （1）讨论()g x 的单调性；（2）若1a =，直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =都相切，切点分别为()11,P x y ，()22,Q x y ，求证：2211x e >-． 【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）首先写出函数()g x 定义域为(0,)+∞，求得()x ag x x+'=，对a 的范围进行讨论，从而确定出()x ag x x+'=的符号，确定出函数()g x 的单调性； （2）可以从两个角度去分析，方法一是根据导数的几何意义，写出直线l 的方程为()111x y y e x x -=-，即()1111x x y e x x e =+-，也可以写成2211ln 1y x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据两条直线是同一条直线，得到1211xe x =+，且()1121ln 1xx e x -=-，对式子进行整理可以得到22212ln 11x x x x x -=++，构造函数ln ()11x x xh x x -=++，利用导数研究该函数的单调性及最值，从而可以证得结果；方法二是根据两条切线的斜率想的得到121ln 1x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进一步可以得到()2222211ln 1ln 210x x x x x ⎛⎫+++--= ⎪⎝⎭，构造函数1()(1)ln 1ln 21h x x x x x x ⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭，利用导数研究该函数的单调性及最值得到结果. 【详解】（1）()g x 定义域为(0,)+∞， 因为()1a x a g x x x+'=+=， 若0a …，则()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞单调递增， 若0a <，则当(0,)x a ∈-时，()0g x '<，当(,)x a ∈-+∞时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,)a -单调递减，在(,)a -+∞单调递增． （2）证法一：证明：对于曲线()y f x =，()11(),x xl f x e k f x e ''===，直线l 的方程为()111xy y e x x -=-，即1111x x xy e e x x e -=-，即()1111x xy e x x e =+-①．对于曲线()y g x =，因为1a =，所以1()ln ,()1g x x x g x x'=+=+ 所以()2211l k g x x '==+， 直线l 的方程为()22211y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 即22221ln 11y x x x x x ⎛⎫--=+-- ⎪⎝⎭，即2211ln 1y x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭②． 因为①与②表示同一条直线，所以1211x e x =+③， 且()1121ln 1xx e x -=-④，④÷③，得22212ln 11x x x x x --=+，所以22212ln 11x x x x x -=++．令ln ()11x x xh x x -=++，22211ln (1)(ln )ln ()()(1)(1)(1)x x x x x x x x g x x h x x x x ⎡⎤⎛⎫-+⋅+-- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦'==-=-+++， 由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递增又1111ln 10g e e e e⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭(1)1ln110g =+=>∴1(1)0g g e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭()g x 有唯一零点01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且当()00,x x ∈时，()0<g x ，()0h x '>， 当()0,x x ∈+∞时，()0>g x ，()0h x '<， 所以()h x 在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减， 所以()()0001200ln 11x x x x h x h x x -==++„，又()00g x =，即00ln x x =-，所以()20010001121x x x h x x x +=+=+<+„， 所以12211x e e x +=<，所以2211e x <-，又20x >，所以2211x e >-． 证法二：证明：因为()xf x e '=，所以直线l 的斜率为()11xk f x e '==，因为1a =，所以()ln g x x x =+，所以1()1g x x'=+， 所以直线l 的斜率为()2211k g x x '==+，所以1211x e x =+，所以121ln 1x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又因为122222122211ln ln 1ln 1x x x e x x x k x x x x +----==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以22222211ln 111ln 1x x x x x x +--=+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()2222211ln 1ln 210x x x x x ⎛⎫+++--= ⎪⎝⎭，令1()(1)ln 1ln 21h x x x x x x ⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭， 所以1()ln(1)1h x x x'=+--，所以()h x '在(0,)+∞单调递增， 又因为()22212ln 101h e e e ⎛⎫'=---<⎪-⎝⎭，()3311201h e e '-=->-， 所以存在3021,11x e e ⎛⎫∈-⎪-⎝⎭，使得()00h x '=， 且当()00,x x ∈时，()0h x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>， 所以()h x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增， 因为0211x e >-，所以()h x 在210,1e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭递减， 所以当2101x e <-„时，()222ln 11()1011e h x h e e -⎛⎫=-> ⎪--⎝⎭…， 所以()h x 在210,1e ⎛⎤⎥-⎝⎦内无零点，因为2x 是()h x 的零点且20x >，所以2211x e >-． 【点睛】该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数的几何意义研究函数图象的切线，利用导数研究函数的最值和零点问题，属于难题.22．已知曲线C 的参数方程为2,cos tan ,x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），直线l 过点(1,2)P 且倾斜角为6π. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程； （2）设l 与C 的两个交点为,A B ，求||||PA PB +.【答案】（1）2214x y -=，1,2122x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）；（2）32-【解析】（1）整理得2cos x θ=及2sin y xθ=，结合22sin cos 1θθ+=可得曲线C 的普通方程为：2214x y -=，再直接利用直线的参数方程形式求得直线的参数方程.（2）联立曲线C 的普通方程与直线l的参数方程整理可得：(232760t t +-+=，结合直线l 参数方程的参数的几何意义可得：12PA PB t t +=+，问题得解. 【详解】 （1）由2cos x θ=得：2cos x θ=，由y tan θ=得：sin cos y θθ=所以2sin cos yy xθθ==， 代入22sin cos 1θθ+=整理可得：2214x y -=所以曲线C 的普通方程为2214x y -=…①直线l的参数方程为1,2122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）…②（2）②代入①，得(232760t t +-+=，所以((216847625630∆=-⨯=⨯>，设,A B 对应的参数分别为12,t t，则(121232,760,t t t t ⎧+=--⎪⎨=>⎪⎩所以121232PA PB t t t t +=+=+=-【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义的应用及计算能力，属于中档题.23．已知函数()|2||22|f x x x =+--的最大值为m . （1）求m 的值；（2）已知正实数,a b满足224a b +=是否存在,a b ，使得24m a b+=. 【答案】（1）3m =；（2）不存在【解析】（1）将()222f x x x =+--转化成分段函数()4,2,3,21,4, 1.x x f x x x x x --⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩„…，利用函数的单调性即可得解.（212，再对24a b +利用基本不等式证得：243a b+>，问题得解. 【详解】（1）因为()4,2,3,21,4, 1.x x f x x x x x --⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩„…所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以当1x =时，()f x 取最大值为3，即3m =. （2）由已知有2244a b ab =+…， 因为0,0a b >>，所以0ab >12，所以243a b +=>厖， 所以不存在实数,a b ，使得243a b+=.解法二：（1）因为()221211f x x x x x x =+--=+----()()2103x x +---=„，且()13f =，所以()f x 的最大值为3，即3m =.（2）由已知有2244a b ab =+…，因为0,0a b >>，所以0ab >12，① 假设存在实数,a b ，使得243a b+=，则243a b =+= (1)32>…，②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故不存在实数,a b ，使得243a b+=. 【点睛】本题主要考查了求含两个绝对值的函数最值及分类思想，还考查了利用基本不等式推理论证及分析能力，属于中档题.。
福建省南平市2020-2021学年高一上学期期末质量检测数学试题及答案
福建省南平市2020-2021学年高一上学期期末质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设集合{}|10A x x =-<≤，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则A B ⋃=（ ）A ．1(,0)2-B ．1(,0]2-C ．[1,)-+∞D ．(1,)-+∞2．若sin()0πα->，tan(π)0α+<，则角α的终边在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数()()14123(1)x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则52f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．12- B ．32C ．92D ．524．函数()lg 4f x x x =+-的零点为0x ，0(,1)x k k ∈+()k ∈Z ，则k 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．函数2()log cos f x x x =+的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．6．若sin θθ=，则πcos()6θ+=（ ）A．BC ．23D ．23-7．将函数π()sin(2)3f x x =+的图象向左平移(0)m m >个单位后得到的图象关于y 轴对称，则正数m 的最小值是（ ） A ．π12 B ．π3C ．5π12D ．5π68．定义在R 上的偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，当[0,2]x ∈时，()21x f x =-．若方程()log (2)a f x x =+(0a >且1)a ≠根的个数大于3，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0]1,B ．[1,)+∞C．)∞+ D ．[2,)+∞二、多选题9．下列不等式成立的是（ ） A ．0.20.2log 0.3log 0.4< B ．0.332log 2> C ．3log e ln 3>D ．23log 5log 5>10．已知函数()2cos(2)()2f x x πϕϕ=+<且π()212f =，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭B ．函数()f x 的一条对称轴方程为π3x =C ．当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为1D ．要得到函数()f x 的图象，只需将()2cos2g x x =的图象向右平移π6个单位11．已知0a >，0b >，2a b +=，下列说法中正确的是（ ） A ．224a b +≤ B．312a b+≥C ．lg lg 0a b +≤D ．222a b +≤12．当121x x <<时，不等式122112e e 0x x x x x x ->-成立．若e e a b >>，则（ ） A ．1b e e be -> B ．e ln a b ab < C ．e ln b a b a < D ．e e e aa b b +>三、填空题13．命题“(,0)x ∀∈-∞，34x x <”的否定是______．14．函数223()(1)m m f x m m x +-=--是幂函数，且当(0,)x ∈+∞时，()f x 是减函数，则实数m =_______．15．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为6cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0=t 时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离(cm)d 表示成(s)t 的函数，则d =_______，其中[0,60]t ∈．16．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[?,?]a b D ⊆，使()f x 在 [?,?]a b 上的值域是[?,?]22a b，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数3()log (3)x f x t =+为 “倍缩函数”，则实数t 的取值范围是_______．四、解答题17．已知函数()cos 2cos 2f x x x x =+． (1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)若关于x 的方程()0f x m -=有解，求m 的取值范围．18．已知π02αβ<<<， ，12cos()13αβ-=，请在①3tan ,4α=①5sin 26cos αα=，①1tan23=α中任选一个条件，补充在横线上． (1)求πsin()3α-的值；(2)求cos β的值 ．19．已知函数2()(24)8f x ax a x =+--．(1)若不等式()0f x <的解集为2{|4}3x x -<<，求a 的值；(2)当0a <时，求关于x 的不等式()0f x >的解集．20．已知定义在R 上的奇函数()22x x f x a -=⋅-. (1)求实数a 的值；(2)解关于x 的不等式331(log (21))(log )0f x f x++>．21．在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆．(1)根据以上数据，试从x y a b =⋅（0a >，0b >且1b ≠），log b y a x =⋅，（0a >，0b >且1b ≠），()0y ax b a =+>三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），设从2019年底起经过x 年后新能源汽车保有量为y 辆，求出新能源汽车保有量y 关于x 的函数关系式；(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计到2024年底传统能源汽车保有量将下降10%．试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈） 22．已知函数()32ln f x x =-，()ln g x x =．(1)若2[1,e ]x ∈，求函数()(()1)()=+⋅h x f x g x 的值域；(2)己知*n N ∈，且对任意的1[e ,e ]n n x +∈，不等式2()()f x f kg x ⋅≥恒成立，求k 的取值范围．参考答案：1．D 【解析】 【分析】直接由集合的并集运算即可. 【详解】由{}|10A x x =-<≤，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，得A B ⋃={}|1x x >-.故选：D 2．B 【解析】 【分析】应用诱导公式可得sin 0α>，tan 0α<，进而判断角α的终边所在象限. 【详解】由题设，sin 0α>，tan 0α<， 所以角α的终边在第二象限. 故选：B 3．B 【解析】 【分析】由分段函数解析式及指数运算求函数值即可. 【详解】由题设，551()3222f =-+=，所以5113()22222f f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B. 4．C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解.()lg 4f x x x =+-是()0,∞+上的增函数， 又()()3lg3104lg40f f =-<=>，，∴函数()lg 4f x x x =+-的零点0x 所在区间为()3,4，又()0,1,x k k k Z ∈+∈，3k ∴=.故选：C. 5．C 【解析】 【分析】由奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，结合对数、余弦函数的性质判断x 趋向于0时()f x 的变化趋势，应用排除法即可得正确答案. 【详解】由22()log cos()log cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=且定义域为{|0}x x ≠， 所以()f x 为偶函数，排除B 、D.又2log ||y x =在x 趋向于0时y 趋向负无穷，cos y x =在x 趋向于0时y 趋向1， 所以()f x 在x 趋向于0时函数值趋向负无穷，排除A. 故选：C 6．A 【解析】 【分析】应用辅助角公式将条件化为sin()3πθ-=πcos()6θ+.【详解】由题设，sin 2sin()33πθθθ=-=，则sin()3πθ-=又cos()sin[()]sin()6263ππππθθθ+=-+=--=. 故选：A 7．A【分析】图象关于y 轴对称，则其为偶函数，根据三角函数的奇偶性即可求解. 【详解】将()sin 23f x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋的图象向左平移()0m m ＞个单位后得到()sin 2sin 2233y x m x m ππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭＝＋＋＝＋＋，此时图象关于y 轴对称，则232m k k Z πππ∈＋＝＋，，则212k m ππ＝＋， 0m ∴＞，当0k ＝时，m 取得最小值12π， 故选：A. 8．D 【解析】 【分析】由题设，可得()f x 的解析式且为周期为4的函数，再将问题转化为()f x 与log (2)a y x =+交点个数大于3个，讨论参数a 判断交点个数，进而画出()f x 和log (2)a y x =+的图象，应用数形结合法有6|3x y =≤符合题设，即可求范围. 【详解】由题设，()()(4)f x f x f x -==-，即()(4)f x f x =+， 所以()f x 是周期为4的函数，若[2,0)x ∈-，则(0,2]x -∈，故()()21x f x f x -=-=-，所以21,20()21,02x x x f x x -⎧--≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩，要使()log (2)a f x x =+(0a >且1)a ≠根的个数大于3，即()f x 与log (2)a y x =+交点个数大于3个，又log (2)a y x =+恒过(1,0)-，当01a <<时，在(2,1)--上0y >，在(1,)-+∞上0y <且y 在(2,)-+∞上递减，此时()f x 与y 只有一个交点， 所以1a >.综上，()f x 、log (2)a y x =+的图象如下所示，要使交点个数大于3个，则6|log 83log 23x a a y ===≤，可得2a ≥. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据已知条件分析出()f x 的周期性，并求出[2,2]-上的解析式，将问题转化为两个函数的交点个数问题，结合对数函数的性质分析a 的范围，最后根据交点个数情况，应用数形结合进一步缩小参数的范围. 9．BD 【解析】 【分析】利用指对数函数的性质判断各选项中指对数的大小关系. 【详解】A ：0.2log y x =在定义域上递减，故0.20.2log 0.3log 0.4>，错误；B ：由0.3033221log 3log 2>==>，故正确；C ：由33log e log 31ln e ln 3<==<，故错误；D ：由2233log 5log 42log 9log 5>==>，故正确. 故选：BD 10．AC 【解析】 【分析】先由已知条件求出ϕ的值，从而可得函数解析式，然后逐个分析判断即可 【详解】因为()2cos(2)()2f x x πϕϕ=+<且π()212f =， 所以2cos 26πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得cos 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,6k k Z πϕπ+=∈，得2,6k k Z πϕπ=-∈，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()2cos(2)6f x x π=-，对于AB ，因为()2cos(2)2cos 03362f ππππ=⨯-==，所以函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以A 正确，B 错误， 对于C ，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，(2),663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以min ()2cos 13f x π==，所以C 正确，对于D ，因为()2cos 22cos 2612f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以要得到函数()f x 的图象，只需将()2cos2g x x =的图象向右平移π12个单位，所以D 错误， 故选：AC 11．BC 【解析】 【分析】A 由基本不等式及指数的运算性质判断；B 应用基本不等式“1”的代换判断；C 由对数的运算性质及基本不等式判断；D 由基本不等式判断即可. 【详解】A：224a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立，错误；B ：3113113()()2()2222b a a b a b a b a b +=++=++≥332a b ==时等号成立，正确；C ：2()lg lg lg lg 04a b a b ab ++=≤=，当且仅当1a b ==时等号成立，正确；D ：222()22a b a b ++≥=，当且仅当1a b ==时等号成立，错误；故选：BC 12．ABD 【解析】【分析】根据题意得()xe h x x=在(1,)+∞上单调递增，再结合函数的单调性逐一分析选项即可得到答案. 【详解】当121x x <<时，120x x ∴-<122112e e 0x x x x x x ->-1221e e 0x x x x ∴<-1212e e x x x x <∴ 设()xe h x x=()h x ∴在(1,)+∞上单调递增.对于选项A ：11()()b b b e e e e e e be e e b b h e b h e--⇒>⇒>⇒>>.e b >，根据函数()h x 的单调性可得选项A 正确；对于选项B ：ln e e e ln ()(ln )ln ln a a bab e b ab h a h b a b a b<⇒<⇒<⇒<，e ln >a b b a >⇒，根据函数()h x 的单调性可得选项B 正确；对于选项C ：取9,2b a ==，满足e e a b >>，但是e ln b a b a >，故选项C 错误； 对于选项C ：e ab >，得ab e a e e b e>，即e e e a a b b +>，故D 正确.故选：ABD.13．(,0),34x x x ∃∞∈-≥. 【解析】 【分析】全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可知原命题的否定. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，所以原命题的否定：(,0),34x xx ∃∞∈-≥.故答案为：(,0),34x x x ∃∞∈-≥.14．-1【解析】【分析】根据幂函数的定义，令m 2﹣m ﹣1=1，求出m 的值，再判断m 是否满足幂函数当x①（0，+∞）时为减函数即可．【详解】解：①幂函数()()2231m m f x m m x +-=--，①m 2﹣m ﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x①（0，+∞）时，f （x ）为减函数，①当m=2时，m 2+m ﹣3=3，幂函数为y=x 3，不满足题意；当m=﹣1时，m 2+m ﹣3=0，幂函数为y=x ﹣3，满足题意；综上，m=﹣1，故答案为﹣1【点睛】本题考查了幂函数的定义与图像性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m 值． 15．12sin60t π 【解析】【分析】设函数解析式为()sin d A t ωϕ=+，由题意将0=t 、30t =代入求出参数值，即可得解析式.【详解】设()sin d A t ωϕ=+，由题意知：12A =，当0=t 时，12sin 0d ϕ==，则k ϕπ=，Z k ∈，令0k =得0ϕ=；当30t =时，12sin(30)12d ω==，则6015k ππω=+，Z k ∈，令0k =得60πω=， 所以12sin 60td π=.故答案为：12sin60t π.16．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t 的取值范围.【详解】因为函数()3()log 3x f x t =+为“倍缩函数”，即满足存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 由复合函数单调性可知函数()f x 在[,]a b 上是增函数所以()()()()min max f a f x f b f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则()()33log 32log 32a b a t b t ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即223333a a b b t t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 所以方程2330xx t -+=有两个不等的实根，且两根都大于0. 令203x X =>，则23x X =，所以方程变为：20X X t -+=.则()21400t t ⎧-->⎪⎨>⎪⎩，解得104t << 所以实数t 的取值范围是10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭17．(1)2,,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2)[]4,4-.【解析】【分析】（1）由二倍角正余弦公式、辅助角公式可得()4sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质，应用整体法求单调减区间.（2）由正弦型函数的性质求值域，结合题设方程有解，即可确定参数范围.(1)()cos 2cos 2f x x x x =+22cos 2x x =+4sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以函数的单调递减区间是2,,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (2) ①1sin 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ①44sin 246x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，又()0f x m -=有解， 所以m 的取值范围[]4,4-18． (2)33cos 65β=. 【解析】【分析】 （1）根据所选的条件求得3sin 5α=，4cos 5α=，再由差角正弦公式求πsin()3α-的值； （2）由题设可得02παβ-<-<，进而可得5sin()13αβ-=-，结合()βααβ=--及差角余弦公式，即可求值.(1) 由π02αβ<<<，则： 若选①，由3tan 4α=，02πα<<，得3sin 5α=，4cos 5α=， 若选①，由5sin 26cos αα=得：10sin cos 6cos ααα=，所以34sin ,cos 55αα， 若选①，由1tan 23=α得，3tan 4α=，3sin 5α=，4cos 5α=，所以sin sin cos cos sin 333πππααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭(2)①02παβ<<<， ①02παβ-<-<，又12cos()13αβ-=，①5sin()13αβ-=- ①cos cos[()]βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-412353351351365⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭. 19．(1)3；(2)见解析.【解析】【分析】(1)根据二次不等式解集与二次函数图像的关系即可求出a 的取值；(2)根据二次函数图像的性质即可分类讨论解不等式.(1)不等式()0f x <即2(24)80ax a x +--<，可化为(2)(4)0ax x +-<因为()0f x <的解集是2{4}3x x -<<∣， 所以0a >且223a -=- 解得3a =；(2) 不等式()0f x >即2(24)80ax a x +-->，因为0a <，所以不等式可化为2(4)0x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭ 当24a <-时，即102a -<<，原不等式的解集24,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 当24a =-时，即12a =-，原不等式的解集为∅ 当24a >-时即12a <-原不等式的解集2,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上所述， 当102a -<<时，原不等式的解24,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当12a =-时，原不等式的解集为∅； 当12a <-时，原不等式的解集2,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 20．(1)1；(2)()0,+∞.【解析】【分析】（1）由奇函数的性质有(0)0f =，可求出a 的值，注意验证()f x 是否为奇函数. （2）根据函数的奇偶性、单调性可得33log (21)log x x +>，再结合对数函数的性质求解集.(1)因为()22x x f x a -=⋅-是定义在R 上的奇函数，所以(0)10f a =-=，解得1a =， 经检验()22x x f x -=-是奇函数，即()22x x f x -=-(2)由()331log (21)log 0f x f x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，得()()33log (21)log f x f x +>--，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()33log (21)log f x f x +>，易知()22x x f x -=-在R 上递增，所以33log (21)log x x +>，则210021x x x x +>⎧⎪>⎨⎪+>⎩，解得0x >，所以原不等式的解集为()0,+∞21．(1)应选择的函数模型是x y a b =⋅（0a >，0b >且1b ≠），函数关系式为315002x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭； (2)2028年底.【解析】【分析】（1）根据题中的数据可得出所选的函数模型，然后将对应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，即可得出函数解析式；（2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r ，根据题意求出r 的值，可得出设从2019年底起经过x 年后的传统能源汽车保有量y 关于x 的函数关系式，根据题意得出关于x 的不等式，解之即可.(1)解：根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是x y a b =⋅（0a >，0b >且1b ≠），由题意得0115002250a b a b ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得150032a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以315002x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭. (2)解：设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r ，依题意得，()()550000150000110%r -=-，解得1510.9r -=，设从2019年底起经过x 年后的传统能源汽车保有量为y 辆，则有()15500001500000.9xx y r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设从2019年底起经过x 年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有1531500500000.92xx ⎛⎫⎛⎫⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得15331000.92x x ⎛⎫⎛⎫⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()lg3lg3lg 222lg315x x +->+-， 解得2lg38.0913lg3lg 255x ->≈+-， 故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车. 22．(1)[0,2]；(2)当1n =时，3k ≤-；当2n ≥且n *∈N 时，9415k n n≤+-. 【解析】【分析】（1）由题设，令,]ln [02t x ∈=则2()2(1)2y h x t ==--+，即可求值域.（2）令ln t x =，将问题转化为9415k t t≤+-在[,1]t n n ∈+上恒成立，再应用对勾函数的性质，讨论1n =、2n ≥，n *∈N 分别求出k 的取值范围．(1)因为2()(()1)()(42ln )ln 2(ln )4ln h x f x g x x x x x =+=-=-+，设ln t x =，则22242(1)2y t t t =-+=--+，因为2[1,e ]x ∈，所以ln [0,2]x ∈，即[0,2]t ∈．当1t =时，max 2y =，当0=t 或2t =时，min 0y =，所以()(()1)()h x f x g x =+的值域为[0,2].(2)因为1[e ,e ]n n x +∈，所以ln [,1]x n n ∈+，又()2()f x f kg x ≥可化成(34ln )(3ln )ln x x k x --≥，因为N n *∈，所以ln 0x >， 所以24(ln )15ln 994ln 15ln ln x x k x x x-+≤=+-， 令ln t x =，则9415k t t≤+-，[,1]t n n ∈+， 依题意，[,1]t n n ∈+时，9415k t t≤+-恒成立， 设9415u t t=+-，[,1]t n n ∈+， 当1n =时，当且仅当3[1,2]2t =∈，min 3u =-，故3k ≤-； 当2n ≥，n *∈N 时，9415u t t=+-在[,1]n n +上单调递增， 当t n =时，min 9415u n n =+-，故9415k n n≤+-， 综上所述：当1n =时，3k ≤-；当2n ≥且n *∈N 时，9415k n n ≤+-. 【点睛】关键点点睛：应用换元法及参变分离，将问题转化为二次函数求值域，及由不等式恒成立、对勾函数的最值求参数范围.。
最新2020年福建省漳州市南平市高三第二次教学质量检测数学(文)试题(含答案)
其中括号内的第一个数表示第 x 位的取值，第二个数表示第
所以取出的两个数字相同的概率为
82
P
，
36 9
故选： D.
y 位的取值，
点评：
本题主要考查了古典概型概率计算公式，属于基础题
.
10．已知 sin 6
A． 1
答案： A
cos 6
B． 0
，则 sin 2 （ ）
1
C．
2
D． 1
整理 sin 6
解：
PF1 ________.
答案： 6
利用 OM 为 △ PF1F2 的中位线可得： OM 1 ，即可求得 PF2 2 ，结合椭圆定义列
y2 b2 1(a 0,b 0) 虚轴的一个端点，半径为
a b ，若圆 M 截直线 l : y kx 所得的弦长的最小值为 2 3b ，则 C 的离心率为 （ ）
A． 10 3
B． 10 9
C． 2
D． 2
答案： C
由弦 AB 的长最小可得： OA
3b ， OM b ，即可求得： MA 2b ，结合
9
（ 9， 1） （ 9， 4） （ 9， 1） （ 9，5） （ 9， 9） （ 9，2）
2
（ 2， 1） （ 2， 4） （ 2， 1） （ 2，5） （ 2， 9） （ 2，2）
取出的两个数字相同的基本事件共有 8 个：
1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , 6,6 , 1,3 , 3,1 ，
1
4
1
5
9
2
1
（ 1， 1） （ 1， 4） （ 1， 1） （ 1，5） （ 1， 9） （ 1，2）
4
南平市2020—2021学年第一学期九年级期末质量检测数学试卷与答案
南平市2020—2021学年第一学期九年级期末质量检测数 学 试 题（考试时间：120分钟；满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡．．．的相应位置填涂） 1.下列关于防范疫情的宣传标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A ．戴口罩讲卫生B ．有症状早就医C ．勤洗手勤通风D ．少出门少聚集2.关于x 的一元二次方程21x =的根是 A ．1x =B ．1211x x ==-，C ．1x =-D ．121x x ==3.在一个不透明的袋子中装有5个小球，小球除颜色外完全相同，其中黑球2个，红球3个，从中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红色的概率是A. 32B. 23C.25D.354.下列函数中，y 随x 的增大而增大的是A ．2y x =-+B ．1y x=C ．2y x =-D ．2y x =5.已知圆上的三点A ，B ，C 和圆内的一点O ，根据∠A 与∠O 的大小，下列四个选项中能判断点O 一定不是该圆圆心的是A. B ． C ． D ．6. 为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类.已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x ，则下面所列方程正确的是 A. ()2601+285x =B ．()2601285x -=C ．()()2601+601+285x x +=D ．()()260+601+601+285x x +=7. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6cm ，BC =8cm ，若以点C 为圆心，r 为半径的⊙C 与直线AB 相切，则r 的值为 A. 2.4B. 3C. 4.8D. 58. 已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为A ．4B ．3C ．2D ．19. 判断关于x 的方程kx 2-(k +1)x +1=0(k 是常数，k ＜1）的根的情况A ．存在一个k ，使得方程只有一个实数根B ．无实数根C ．一定有两个不相等的实数根D ．一定有两个相等的实数根 10. 四边形ABCD 中，△ACD 是边长为6的等边三角形，△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，则对角线BD 的长的取值范围是 A ．33+33BD <≤ B ．36BD << C ．63+33BD <≤D ．333BD <≤二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置）11.点P （-4，6）与Q （2m ，-6）关于原点对称，则m ＝ ． 12.圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 ． （结果保留π）13.抛物线()2213y x =-+的顶点坐标是 ．14.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且AE ＝CD ＝6，则⊙O 的半径为______． 15.在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法正确的是______． ① 不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同； ② 当抛掷的次数n 很大时，正面向上的次数一定为2n； ③ 多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定； ④ 连续抛掷5次硬币都是正面向上，第6次抛掷出现正面向上的概率小于12. 16.设函数1y x=与1y x =+的图象的交点坐标为（m ，n ），则（m +1)(n +1)的值为_______．三、解答题（本大题共9小题，共86分．在答题卡的相应位置作答）17．（本题满分8分，每小题4分）解方程：（1）20x x -=； （2）230x x +-=.第14题图18.（本题满分8分）如图，在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别 为（3,3），（4,0），（0,2）， 将△ABC 绕着点C 顺时针旋转90°得 △A 1B 1C ,其中点A 的对应点为点A 1. （1）请画出旋转后的△A 1B 1C ； （2）求出在旋转过程中点A 所走过的路程.（结果保留π）19. （本题满分8分）某校开展科技节展览活动，设置了编号为1至6号的六个展区，小佳计划随机参观两个展区，且每个展区被选中的机会均等，求4号展区被选中的概率.20. （本题满分8分）如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为直径，D 为AC 上一点且OD ∥BC ， 求证：△ADC 为等腰三角形．21．（本题满分8分）某服装商店计划销售一种男士衬衫，已知销售x 件这种男士衬衫的成本每件m （元），售价每件n （元），且m ，n 与x 的关系分别为 7051+-=x m ，12056+-=x n .（x 为正整数）（1）若该商店某日销售这种男士衬衫的利润为600元，求当日销售量； （2）求可获得的最大日利润.DOABC第20题图 第18题图22．（本题满分10分）在扇形AOC 中，60AOC ∠=，点B 在AC 上，且2AB BC =，点E 在半径OB 上，以OE ， OA 为邻边作平行四边形OAFE ，当点C ，B ，F 共线时， （1）求∠CF A 的度数； （2）求证：CF =OC .23．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中 ,△ABC 的顶点A (4，2)，C （4，0），B (3，0)，反比例函数ky x= (k ＞0)的图象过AC 的中点D. （1）求反比例函数表达式；（2）已知点B 关于点E (2，2)的对称点F ，试判断点F 是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 24．（本题满分12分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，△DEC 是△ABC 绕点C 逆时针旋转90°所得，其中点A ，点B 的对应点分别是点D ，点E ，延长AB 交DE 于F ，连接FC. （1）若∠A =30°，AC=FB 的长； （2）求证：FC 平分∠EF A ； （3）求证：EF +FBFC .25.（本题满分14分）抛物线C 1：22y x ax a =-+的顶点A 在某一条抛物线C 2上，将抛物线C 1向右平移b (b >0)个单位后，所得抛物线顶点B 仍在抛物线2C 上.第22题图FC ABED 第24题图（1）求点A 的坐标(用含a 的代数式表示)； （2）求a 与b 的关系式；（3）抛物线C 2的顶点为F ，其对称轴与x 轴的交点为D ，点E 是抛物线C 2上不同于顶点的任意一点，直线ED 交抛物线C 2于另一点M ，直线EF 交直线l :12y =于点N ， 求证：直线MN 与x 轴互相垂直.南平市2020—2021学年第一学期九年级期末质量检测数学试题参考答案及评分说明一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．B ； 2．B ； 3．D ； 4．C ； 5．D ； 6．D ； 7．C ； 8．D ； 9．A ； 10．C ． 9题的关键是方程有可能是一元一次方程.10题提示：如图，由圆的性质可知，点B 在半圆AC 上. ∴当BD 过圆心时，BD 的长最大.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．2； 12．π30； 13． （1,3）； 14．415； 15．①③； 16．5252-+或． 16题简答：联立11y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，化为一元二次方程为：210x x +-=.因为（m +1)(n +1)=1mn m n ++-，点（m ，n ）在函数1y x=上， 所以1mn =.而x m =是方程210x x +-=的根，所以110m m +-=，可得11m m -=-， 从而计算15m m+=±，即5m n +=±，所以（m +1)(n +1)=125mn m n ++-=±.设计意图：让学生理解两个函数图象的交点，加深对完全平方公式的理解，学生也可以直接求出m ,n.三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（1）解：0)1(=-x x , ························································································ 2分01=x ，12=x .············································································· 4分（2）解：因为a =1,b =1，c =-3 ， ······································································ 1分 13)3(141422=-⨯⨯-=-=∆ab b . ······················································· 2分 2131±-=x ， ············································································· 3分 2131213121--=+-=x x ， . ··························································· 4分18. （1）解：正确画出图形. ···························3分 如图，△A 1B 1C 就是所要画的图形. ··················4分（2）点A 所走过的路径是以点C 为圆心CA 为半径的弧， 101322=+=CA ，. ······························6分 所以ππ2101801090=⋅=l . ···························7分答：点A 所走过的路径长为π210. ·················8分 19. 解：1234561（2,1）（3,1）（4,1）（5,1）（6,1）2（1,2）（3,2）（4,2）（5,2）（6,2）3（1,3）（2,3）（4,3）（5,3）（6,3）4（1,4）（2,4）（3,4）（5,4）（6,4）5（1,5）（2,5）（3,5）（4,5）（6,5）6（1,6）（2,6）（3,6）（4,6）（5,6）用枚举法、树状图或列表列出所有等可能情况均可 ···································· 6分 共有30个等可能情况，其中含4号展区的有10个 ···································· 7分所以P （4号展区）= 3010=31·························································· 8分20. 解：记AC 与OD 的交点为点E .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90° . ·······························2分 ∵OD ∥BC ， ∴∠AEO =∠ACB =90° ， ······················4分∴半径OD ⊥弦AC ， ·························5分∴AD CD =， ··································6分∴AD =CD ， ················································· 7分 ∴△ADC 是等腰三角形. ··················· 8分21．解：（1） 根据题意，列方程得：6007051()12056(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-x x x ）， ······· 2分 解得：x 1=30，x 2=20 . ··························································· .3分 答：每日销售量应30件或20件时，日利润为600元. ················ 4分 （2） 设日盈利为y 元， ································································ 5分D O BCE根据题意，得625)25(5022+--=+-=x x x y ， ····························· 6分 因为y 是x 的二次函数，且a =-1,所以当x =25时，y 有最大值是625 . ································· 7分 答：可获得的最大日利润为625元. ································ 8分22. (1) 解：∵2AB BC = ，且∠AOC =60°，∴∠BOC=20°，∠AOB=40°. ···················1分 ∵OB =OC ，∴∠OBC=∠OCB=80°. ···························2分 ∵平行四边形OAFE 中，OA ∥EF ，∴∠BEF=∠AOB=40°， ··························3分 ∴∠BFE =∠OBC -∠BEF=80°-40°=40°. ···4分 ∵平行四边形OAFE 中，∠AFE=∠AOB=40°， ∴∠AFB=80°. ······································5分(2)连接AC ，···················································· 6分 ∵∠AOC =60°，OA =OC ，∴△COA 是等边三角形， ······························· 7分 ∴AC =OC ,∠OCA =60°，∴∠ACF =∠OCB -∠OCA =80°-60°=20°， ∴∠BOC =∠ACF ． ································8分 又∵∠OBC =∠CF A ，∴△BOC ≌△FCA ， ·····························9分 ∴OB =CF ，∴CF =OC. ·········································· 10分 注：此处的关键是圆周角与圆心角的关系.23．解：（1）根据题意得D （4,1）， ································································· 1分因为反比例函数ky x=(k ＞0)的图象过点D ， 所以k =4， ························································································ 4分则反比例函数表达式为y =x4. ································································· 5分 （2）因为点B 关于点E 对称点F 为（1,4）， ··········································· 7分 所以当x =1时，y =14=4， ····································································· 9分 则F 为（1,4）在反比例函数的图象上. ··············································· 10分 24．解：（1）如图1由旋转性质得，△ACB ≌△DCE ，∴∠A =∠D =30°， AC =DC =32， ········· 1分CBFOAE第22题图FBD∴Rt △ABC 中BC =2，AB =4， ···················2分 ∴BD =232-. ∵∠ACB =90°， ∴∠ABC=60°，∴∠DBF = ∠ABC=60° ， ····················· 3分 ∴∠BFD =90°，∴ FB =1323221-=-）（ . ··················· 4分（2）如图2过点C 作CM ⊥AB ，CN ⊥DE 垂足分别为M ，N ，∴∠AMC =∠DNC =90°. ··························5分 又∵AC =DC ，∠A =∠D ， ····························· 6分 ∴△ACM ≌△DCN ，∴CM =CN ， ········································7分 ∴FC 平分∠EF A . ············································· 8分 注：此处的关键是对角平分线的理解.（3）如图3过点B 作BH ⊥CF ，过点E 作EG ⊥FC ，垂足分别为点H ，G ，∴∠BHC =∠EGC =∠BHF =∠EGF =90°. 由（2）得∠EFC =∠BFC =45°， ∴BH =FH =22FB ，FG =EG =22EF . ············9分 ∵∠BCH+∠ECG=90°，∠CEG+ ∠ECG=90°， ∴∠BCH ＝∠CEG. ································ 10分 ∵EC ＝BC ，∴△EGC ≌△CHB ， ···························· 11分 ∴EG =CH ，BH =CG . ∵FG+CG =FC ， ∴22EF+22FB =FC ， 即EF+FB =2FC. ································· 12分 注：此处的关键是对“2与45°的关系”的理解. 25．解：（1）因为2222=()y x ax a x a a a =-+--+，所以顶点A 的坐标为（a ,-a 2+a ）. ·················································· 3分第24题图1第24题图2第24题图3（2）顶点A （a ,-a 2+a ）在抛物线C 2上，令 x =a ，则抛物线C 2的解析式为：x x y +-=2. ········································· 5分 因为将抛物线C 1向右平移b (b >0)个单位后，所以所得抛物线顶点B 的坐标为（a+b ,-a 2+a ）. ································ 6分 因为点B 仍在抛物线2C 上，所以)()(22b a b a a a +++-=+-整理得022=-+b ab b ， ····························· 8分 即012=-+）（a b b .又因为b ＞0，所以012=-+a b . ···························································· 9分 （3）因为抛物线C 2：x x y +-=2①的顶点为F （21，41）， 抛物线C 2的对称轴与x 轴的交点D （21，0）. 又由点E 是抛物线C 2上不同于顶点F 的任意一点， 设点E 的坐标为（m ，-m 2+m ）其中m ≠21. 把D （21，0），E （m ，-m 2+m ）代入y=kx+b ，得 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+m m b mk b k 2021 ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=12212222m m m b m m m k ， 所以直线ED 解析式为12212222--+--=m mm x m m m y . ② ··················· 11分 联立①②，整理得()0)121(=----m m x m x . 注：关键是点E 已知，即有一个根是x 1=m ，此处是一个难点.建议：教师在讲评时要把思路的前因后果给学生讲明白. 解得x 1=m ，x 2=121--m m . ····························································· 12分 因为点E 与点M 不重合，所以点M 的横坐标为x =121--m m . 由E （m ，-m 2+m ），F （21，41）得直线EF 解析式为2)21(m x m y EF +-=.又知直线EF ：2)21(F mx m y E +-= 与直线l ：12y =的交点为N ， 点N 横坐标为x =121--m m . ····························································· 13分 因为点M 的横坐标与点N 横坐标相同，注：求证：直线MN与x轴互相垂直，只要点M的横坐标与点N横坐标相同即可，所以要正确理解解题过程的需求.所以直线MN与x轴互相垂直. ···························································· 14分。
福建省南平市2020年第六次质量检测数学试题
福建省南平市2020年第六次质量检测数学试题一、选择题1．从用来密铺平面的各正多边形中各取一个内角，这些内角的和若是360度，则它（）能密铺。
A．一定B．不一定C．一定不能D．以上答案都不对2．下列结论中错误的是（）A．一个数不是正数就是负数B．正数都大于0C．0.1是一个正数D．自然数一定是非负数3．15.9－（5.9＋6）＝（）A．4 B．13.7 C．0.44 D．264．表示12比x的3倍少8的式子是（）A．3x＋8＝12 B．3x－8＝12 C．12－3x＝85．如果用a表示自然数，那么偶数可以表示为（）。
A．a+2 B．2a C．a-1 D．2a-16．下面的图形中，（）不是轴对称图形。
A．B．C．7．下面对圆锥和圆柱的描述正确的是（）①圆锥的体积是：122×3.14×8×②从上往下看，圆锥和圆柱的样子都是圆形，而且圆的大小一样．③圆柱的侧面积是：6×8×3.14×2．④从正面看圆柱是等腰三角形，圆锥是长方形．A．①②B．②③C．③④D．④①8．下列图中，每个大正方形都是由四个边长为1的小正方形组成，其中阴影面积不等于2的图形是（）。
A．B．C．D．9．某件商品进价1000元，出售时标价为1500元，后由于清仓处理，需打折出售，但要保证利润率为10%。
设这件商品打x折，则正确列出的方程是（）。
A．1500×＋1000＝1000×10%B．1500x－1000＝1000×10%C．1500×x%－1000=1000×10%D．1500×－1000＝1000×10%10．鸡兔同笼，有5个头、14条腿，那么( )。
A．鸡2只兔3只B．鸡3只兔2只C．鸡1只兔4只D．鸡4只兔1只二、填空题11．小军走一段路，原来用5分钟，现在用4分钟，速度比原来提高（______）%。
2020年福建省南平市第六次质量检测数学试题
2020年福建省南平市第六次质量检测数学试题一、选择题1．如图的三角形ABC中，AD：DC=2：3，AE=EB．甲乙两个图形面积的比是（）A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．以上答案都不对2．在比例3：4=9：12中，若第一个比的后项加上8，要使比例仍然成立，则第二个比的后项应加上（）A．8 B．12 C．24 D．363．在以下绿色食品、回收、节水三个标志中，是轴对称图形的是（）。
A．B．C．4．用长12cm,宽9cm的长方形纸拼成正方形，最少要用这种长方形纸（）张。
A．8 B．6 C．24 D．125．如图所示是一个正方体展开图，和这个展开图对应的正方体是（）A．B．C．D．6．长方形ABCD的长是8厘米，宽3厘米，将这个长方形(如下图)沿EF对折，阴影部分的周长是多少厘米？（）A．6 B．11 C．16 D．227．右表是华诚电影院的影片告示，贝贝一家三人去这家电影院看了一场《爱丽丝梦游仙境2：镜中奇遇记》。
买票共节省了27元。
贝贝一家看电影场次是（）A．上午场B．下午场C．晚场8．对于a×=b×=c×，a、b、c中最大的数是（a、b、c均不为0）（）A．b B．a C．C9．一个长方体的底面积是0.8m2，倒入水后，水面高为5cm，倒入了（）L水。
A．4 B．40 C．40010．将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成6段需要（）分钟。
A．10 B．12 C．14 D．16二、填空题11．一个等腰三角形的顶角是80°．这个三角形的一个底角是（_____）°。
12．1.25与的最简单的整数比是______，它们的比值是_____．13．在一块长125.6厘米，宽90厘米的长方形铁皮中剪下直径是30厘米的小圆片，最多可以剪______个圆片．14．一个容积是100立方厘米的水杯（即这个水杯装满水时，水的体积是100立方厘米），内有一部分水，盛盛向杯中放入了一个小正方体，水溢出了20立方厘米。
南平市2020-2021学年第一学期九年级期末质量检测数学试卷 (含答案)
南平市2020-2021学年第一学期九年级期末质量检测数 学 试 题（满分：150分；考试时间：120分钟）准考证号 姓名 座位号★友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效； ② 试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡．．．的相应位置填涂） 1.下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是A. B. C. D.2. 将抛物线2y x =先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线的解析式是 A. 2(2)1y x =+- B. 2(2)1y x =++ C. 2(2)1y x =-- D. 2(2)1y x =-+ 3. 下列事件是必然事件的是A ．乘坐公共汽车恰好有空座B ．同位角相等C ．打开手机就有未接电话D ．三角形内角和等于180°4. 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠BOC ＝60°，则∠BAC 的度数是 A ．15° B ．30° C ．45° D ．20°5. 下列命题错误的是A ．经过三个点一定可以作圆B ．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心C ．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 6. 己知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为 A ． 3 C. 23COBA第4题图第7题图7. 如图，PA ，PB 切⊙O 于点A ，B ，PA =10，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于C ，D 两点，则△PCD 的周长是 A ．10B ．18C ．20D ．228. 如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80 cm ，宽为50 cm 的挂图，设边框的宽为x cm ，如果风景画的面积是2800 cm 2，下列方程符合题意的是A ． 2800)80)(50(=++x xB ． 2800)280)(250(=++x xC ．2800)80)(50(=--x xD ．2800)280)(250(=--x x 9. 如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB ′C ′D ′的位置， 若旋转角为20°，则∠1为A ．110°B ．120°C ．150°D ．160°10. 已知二次函数()()2+--=q x p x y ，若m ，n 是关于x 的方程()()02=+--q x p x 的两个根，则实数m ，n ，p ，q 的大小关系可能是 A ．m ＜p ＜q ＜n B ．m ＜p ＜n ＜q C ．p ＜m ＜n ＜q D ．p ＜m ＜q ＜n二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡．．．的相应位置）11. 已知x ＝1是方程x 2－a ＝0的解，则a ＝ ． 12. 从实数-1，-2，1中随机选取两个数，积为负数的概率是______． 13. 如图，△DEC 与△ABC 关于点C 成中心对称，AB ＝3，AC ＝1， ∠D ＝90°，则AE 的长是 ． 14. 已知一个扇形的圆心角为100°，半径为4，则此扇形的弧长是 ．15. 如图，□ABCD 的对角线AC 在y 轴上，原点O 为AC 的中第9题图第13题图A B C D E点，点D 在第一象限内，AD ∥x 轴，当双曲线xy 4=经过 点D 时，则□ABCD 面积为 ．16．如图，△ABO 为等边三角形，OA ＝4，动点C 在以点O 为圆心，OA 为半径的⊙O 上，点D 为BC 中点，连接AD ， 则线段AD 长的最小值为 ．三、解答题（本大题共9小题，共86分．在答题卡．．．的相应位置作答） 17．解方程：（每小题4分，共8分）（1）92=x ； （2）0532=-+x x .18．（8分）已知关于x 的一元二次方程0)12(22=++++k k x k x ． 求证：无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根.19．（8分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只. 某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：（1）请估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近_________（结果精确到0.1）； （2）试估算口袋中黑球有_________只，白球有_________只；第16题图（3）在（2）的结论下，请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是白球的概率.20．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABO的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（2，2），B（1，3），把△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到△A1B1O．（1）画出△A1B1O，直接写出点A1，B1的坐标；（2）求在旋转过程中，△ABO所扫过的面积．第20题图21．（8分）商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“春节”，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利，减少库存. 经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出4件.（1）如果平均每天销售这种童装上的盈利1 200元，那么每件童装应降价多少元？ （2）当盈利最多时，每件童装应降价多少元？22．（10分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上， ，经过点C 与⊙O 相切的直线CE 交BA 的延长线于点D ，连接BC ，过点D 作DF ∥BC .求证：DF 是⊙O 的切线.23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴上，∠OAB ＝30°，B （2，0），OC ⊥AB 于点C ，点C 在反比例函数xky =（0≠k ）的图象上． （1）求该反比例函数解析式； （2）若点D 为反比例函数xky =（0≠k ）在第一象限的图象上一点，且∠DOC ＝30°， 求点D 的坐标．AC = 2 BC 1第22题图24．（12分）如图，AC ，BD 为四边形ABCD 的对角线，∠ABC ＝90°，∠ABD ＋∠ADB ＝∠ACB ， ∠ADC ＝∠BCD . （1）求证：AD ⊥AC ；（2）探求∠BAC 与∠ACD 之间的数量关系，并说明理由 .第23题图DACB第24题图25．（14分）抛物线1C ：3222++-+-=m m mx x y 的顶点为A ，抛物线2C ：()142--++-=m m x y 的顶点为B ，其中2-≠m ，抛物线1C 与2C 相交于点P .（1）当m ＝-3时，在所给的平面直角坐标系中画出1C ，2C 的图象； （2）已知点C (-2，1)，求证：点A ，B ，C 三点共线； （3）设点P 的纵坐标为q ，求q 的取值范围．数学试题参考答案及评分说明说明：（1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分150分． （2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分． （3）若考生的解法-与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分． （4）评分只给整数分．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．D ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．A ； 6．B ； 7．C ； 8．D ； 9．A ； 10．C ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．1； 12．32； 13． 13 ； 14．π920； 15．8； 16．232-． 第16题讲评说明：取OB 的中点E ，在△OBC 中，DE 是△OBC 的中位线，第25题图∴122DE OC ==， 即点D 是在以E 为圆心，2为半径的圆上，∴求AD 的最小值就是求点A 与⊙E 上的点的距离的最小值， 如图2，当D 在线段AE 上时，AD取最小值2.三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（1）解：9±=x ………………………………………………………………………2分31=x ，32-=x ……………………………………………………………………4分（2）解：1=a ,3=b ，5-=c ，………………………………………………………1分 29)5(143422=-⨯⨯-=-=∆ab b …………………………………………………2分2293±-=x …………………………………………………………………3分 2293,229321--=+-=x x …………………………………………………4分 18．解： k k c k b a +=+==2,12,1 …………………………………………………1分()()k k k +-+=∆∴22412 ……………………………………………………4分()()k k k k 4414422+-++=…………………………………………… …6分 =1＞0 ……………………………………………………………7分 ∴无论k 取何值时，方程总有两个不相等实数根………………………………8分 19．解：（1）请估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近 0.6 ；………1分 （2）试估算口袋中黑球有_2_只，白球有_3_只；………………………3分图1图2（3）画出树状图 …………………………………………………………6分共有20个等可能结果，其中摸到两个白球的有6个结果 …………………………7分 ∴P （摸出两个白球）=0.3…………………………………………………………… 8分列出表格 …………………………………………………………6分共有20个等可能结果，其中摸到两个白球的有6个结果 .................. 7分 ∴P （摸出两个白球）=0.3 ................................................ 8分 20. （1）解：()()1,3,2,211--B A ......................................... 2分 ∴如图，△A 1B 1O 就是所要画的图形. ··················· 4分 （2）△ABO 所扫过的面积是扇形B 1OB 面积与△AOB 面积之和，即图中的阴影面积.()ππ253603190221=+=OB B S 扇形…………….…….6分 22222121=⨯⨯=⋅=∆OA AB S AOB (7)分2251+=+=∆πAOB OB B S S S 扇形阴影答：△ABO 所扫过的面积是⎪⎭⎫⎝⎛+225π黑球白球白球 白球 黑球 白球白球 白球 黑球 黑球白球白球 黑球 白球黑球白球 黑球 白球黑球白球 白球 白球 白球 黑球 黑球第20题图21．解：（1）设每件童装应降价x 元 ........................................ 1分根据题意，列方程得：()1200402420=-⎪⎭⎫⎝⎛+x x ............. 2分 解得：x 1=10，x 2=20 .. (3)答：每件童装应降价10元或20元 .............................. 4分（2） 设盈利为y 元，每件童装应降价t 元 ......................... 5分根据题意，得：()()()1250152402202+--=-+=t t t y ......... 6分∵y 是t 的二次函数∴当t =15时，y 有最大值是1250 …………7分 答：要想盈利最多，每件童装应降价15元 …………..8分22. 解：连接OC ，过点O 作OG ⊥DF ，垂足为G ，∵ ，∴ ，∴∠AOC=13∠AOB=60°，……………………2分 ∵ ， ∴∠ABC=21∠AOC=30°，……………………3分 ∵CE 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥CE ， ∴∠DCO=90°， ··························· 4分 ∴在△DOC 中，∠CDO =90°-60°=30°， ················ 5分 ∵DF ∥CB ，∴∠ABC=∠BDG=30°， ········· 6分 ∴∠CDO=∠GDO ，∵OC ⊥CE ，OG ⊥DF ， ∴OC =OG ， ··············· 8分 ∴DF 是⊙O 的切线． ·········· 10分 23．解：（1）过C 作CE ⊥x 轴垂足为E ，…………1分∵∠OAB ＝30°，∴∠ABO =60°，∵OC ⊥AB ，∴在Rt △OBC 中，∠COB =30°，∴BC =12OB =1， ………………………2分∴OC =3分 BD第22题答题图AC = 1 2 BC AC = 3 ACB 1 AC = AC第23题答题图（1）DACB 第24题图1 在Rt △OCE 中，∠COB =30°，∴CE =12OC =2，∴2322=-=CEOC OE ，………………………4分∴C 3,22⎛ ⎝⎭，∴4332323=⨯=k ， ………………5分 ∴反比例函数解析式为xy 433=． ………………6分 （2） 过D 作DF ⊥x 轴垂足为F ， ………………7分由（1）得∠COB =30°，∴∠DOB =∠COB+∠DOC ＝60°， ∴在Rt △DOF 中，∠ODF =30°， ∴OF =12OD ，设OF=a ，则OD=2a ， ∴a OF DO DF 322=-=，∴()a a D 3, ， …………………………………………8分 ∵点D 为反比例函数xy 433=在第一象限的图象上一点， ∴aa 4333=， 解得：231=a ，232-=a （不合题意，舍去) ，………………………9分 ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,23D ． …………………………………………10分 24．解：（1）如图1，∵在△ABC 中，∠ABC =90°，∴∠ACB +∠BAC =90°， ……………………1分 在△ABD 中，∠ABD ＋∠ADB ＋∠BAD=180°， ……………………2分∵∠ABD ＋∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ACB ＋∠BAD=180°， ……………………4分 第23题答题图图（2）即∠ACB ＋∠BAC ＋∠CAD =180°，∴∠CAD =90°． ……………………5分（2）解法一： 答：∠BAC ＝2∠ACD ； ………………………………6分如图2（1），过点C 作CE ⊥BC 垂足为C ，过点D 作DF ⊥CE 垂足为F ， …………7分∴∠ABC +∠BCF=90°+ 90°=180°， ∴AB ∥CE ， ∴∠BAC =∠ACF ， ……………………8分∵DF ⊥CE ，BC ⊥CE ，∴DF ∥BC ，∴∠BCD =∠CDF ， ……………………9分 ∵∠ADC ＝∠BCD ， ∴∠ADC ＝∠CDF ， ……………………10分 又∵∠DAC =∠DFC =90°，CD=CD ，∴△DAC ≌△DFC ， ……………………11分 ∴∠ACD =∠DCF ，∴∠BAC ＝2∠ACD ． ……………………12分 解法二：答：∠BAC ＝2∠ACD ； ……………………………………………………………6分 如图2（2），延长CB ，DA 交于点E ，过点E 作EF ⊥DC ，垂足为F . ……………7分 ∵∠ADC ＝∠BCD ，∴ED =EC ，∵EF ⊥DC ，∴∠DEF ＝∠CEF ， 即∠DEC ＝2∠DEF ， ……………………8分∵∠DAC =∠ABE =90°，∴∠EAB +∠BAC =∠EAB +∠AEB =90°， ∴∠BAC =∠AEB ＝2∠DEF ， ……………………10分在△DEF 与△DAC 中，∠DFE =∠DAC =90°，∠EDF =∠CDA ，∴∠DEF =∠ACD ， ……………………11分 ∴∠BAC =2∠ACD ． ……………………12分 解法三： 答：∠BAC ＝2∠ACD ； ………………………………6分如图2（3）∵∠ABC =90°， ∴∠BAC =90°-∠ACB=90°-（∠BCD -∠ACD ）， ……………………8分 B 第24题图2（1） F E第24题图2（2）B第24题图2（3）∵∠DAC =90°， ∴∠ADC =90°-∠ACD ， ∵∠ADC ＝∠BCD ，∴∠BCD =90°-∠ACD ， ……………………10分 ∴∠BAC =90°-（90°-∠ACD -∠ACD ）=2∠ACD ． ……………………12分25．解：（1）当m =-3时， 抛物线1C ：962---=x x y抛物线2C ：()212++-=x y答：1C ，2C 函数图像如图所示.给分说明：函数图象对一个给3分，共6分. （2）∵()32++--=m m x y ，()142--++-=m m x y∴() , 3A m m +，()1,4----m m B ……………………7分 设直线AB 解析式为y kx b =+，将() , 3A m m +，()1,4----m m B 代入y kx b =+得：()⎩⎨⎧+--=--+=+b m k m b km m 413 ①-②得，()k m m 4242+=+()()k m m 2222+=+∵2-≠m ，∴1=k ，①②把1=k 代入①得，3=b ， ∴13k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 解析式为3y x =+ ， ……………………9分 当2x =-时，1y =，∴C (-2，1)在直线AB 上，即点A ，B ，C 三点共线．……………………10分（3）()()⎩⎨⎧--++-=++--=14322m m x y m m x y ……………………11分 ③-④得，()()042422=++--++m m x m x()()0424242=++++m m x()()04252=++m x∵2-≠m ，∴25-=x ， 把25-=x 代入③得，41342---=m m y ， ……………………12分 点P 的坐标为（25-，41342---m m ）因此，()432413422++-=---=m m m q ……………………13分∵2-≠m∴43<q ……………………14分③④。
福建省南平市2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)参考答案
1 南平市2019-2020学年高中毕业班第一次综合质量检测理科数学试题答案及评分参考说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．（1）A （2）C （3）D （4）D （5）C （6）C（7）B （8） B （9）A （10）B （11）B （12）A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．（13）1(0,)e（14） 20 （15）2n （16）)+∞三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）解：（1）由已知及余弦定理可得：sin 2cos 2sin cos C ab C ab C C ⋅==，···················2分∴sin 2C = ∵ABC △为锐角三角形，∴3C π=···················5分 （2）由正弦定理，可得34a b =，·················6分∵1sin =24ABC S ab C ab ==△，∴12ab =， ·················8分 解得4,3a b ==，·················9分 由余弦定理得2222cos 1691213c a b ab C =+-=+-=，c ∴=ABC △的周长为7+.·················12分。
福建省南平市2020-2021学年高二下学期期末质量检测数学试题(含答案)
−
2 x2
在
恒成立，则 k e
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13． lg 2 − lg( 1) + eln2 的值为____________. 5
14．数据 x1, x2 , x3, …， xn 的方差为 Sx2 ，数据 y1, y2, y3, …， yn 的方差为 Sy2 ，且
6
福建省南平市 2020—2021 学年第二学期高二期末质量检测
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试
题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分
随机抽取 10 位，其中患支气管炎的 6 位，没患支气管炎的 4 位，…………8 分
C． 36 种
D． 24 种
1
7．函数
f
(x)
=
2x 2x
+1 的图象大致为（ −1
）
8．函数 f (x) 满足 f (−x) = f (x) ，当
x1, x2 (0,+) 有
f (x1) − f (x2 ) x1 − x2
0 ，且对任意的
x 1,3，不等式 f (2ax +1) f (2) 恒成立．则实 a 的取值范围是（ ）
中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．CD 10．BD 11．ABC
12．A B D
三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 20 分．第 16 题第一空答
2020-2021学年福建省南平市七年级上学期质检数学试卷（含解析）
2020-2021学年福建省南平市七年级第一学期质检数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）﹣2的相反数是（ ）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．（4分）如果零上15℃记作+15℃，那么零下5℃应记作（ ）A．﹣5℃ B．﹣20℃ C．+5℃ D．+20℃3．（4分）在﹣2，+3.5，0，，﹣0.7，11中，负分数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（4分）下列说法正确的是（ ）A．零是整数 B．零有倒数C．零是最小的数 D．零没有相反数5．（4分）用算式表示“比﹣3℃低6℃的温度”正确的是（ ）A．﹣3+6＝3 B．﹣3﹣6＝﹣9 C．﹣3+6＝﹣9 D．﹣3﹣6＝﹣3 6．（4分）下列各组数中，相等的一组是（ ）A．﹣2和﹣（﹣2） B．﹣|﹣2|和﹣（﹣2） C．2和|﹣2| D．﹣2和|﹣2|7．（4分）算式可以化为（ ）A．﹣3×4﹣ B．﹣3×4+3 C．﹣3×4+ D．﹣3×3﹣3 8．（4分）如图，有理数m，n在数轴上对应的点分别为M，N，则m﹣n的结果可能是（ ）A．﹣1 B．1 C．2 D．39．（4分）计算（﹣2）100+（﹣2）101所得的结果是（ ）A．2100 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣210010．（4分）如果a+b＞0，且ab＜0，那么下列结论正确的是（ ）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a，b异号且正数的绝对值较小D．a，b异号且负数的绝对值较小二、填空题（共6小题）11．（4分）计算：﹣5×（﹣3）＝ ．12．（4分）比较大小：﹣ ﹣．13．（4分）黄山主峰一天早晨气温为﹣1℃，中午上升了8℃，夜间又下降了10℃，那么这天夜间黄山主峰的气温是 ．14．（4分）据世界卫生组织2020年6月26日通报，全球新冠肺炎确诊人数达到941万人，数据941万用科学记数法表示为 ．15．（4分）在数轴上与表示数﹣1的点的距离为3个单位长度的点所表示的数是 ． 16．（4分）某公路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，为节约用电，现计划全部更换为新型节能灯，且相邻两盏灯的距离变为54米，则需更换新型节能灯 盏．三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）在数轴上表示下列各数，并用“＜”号连接：﹣4，3，0，﹣．18．（10分）计算：（1）﹣5+6﹣7+8．（2）（﹣）﹣（﹣3）+（+2）﹣（+5）．19．（10分）计算：（1）10﹣1÷（﹣）÷；（2）﹣12﹣6×（﹣）2+（﹣5）×（﹣3）．20．（12分）计算：（1）（﹣﹣+）÷；（2）25×﹣（﹣25）×+25×（﹣）．21．（10分）已知数a在数轴上表示的点在原点左侧，距离原点3个单位长度，数b在数轴上表示的点在原点右侧，距离原点4个单位长度，c和d互为倒数，m和n互为相反数，y是最大的负整数，求（y+b）﹣m（a﹣cd）+nb．22．（10分）某班6名同学的身高（单位：cm）情况如下表：同学 A B C D E F身高 165 166 171﹣1 +2 ﹣3 +3 身高与班级平均身高的差值（1）完成表中空白的部分；（2）他们的最高身高与最矮身高相差多少？（3）他们6人的平均身高是多少？23．（13分）出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，﹣5，+6请回答：小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，出车的出发地多远？（2）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？（3）若小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午是盈利还是亏损了？盈利（或亏损）多少钱？24．（13分）如图，数轴上两点A、B所表示的数分别﹣2、10，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，点N从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．（1）填空：点A和点B间的距离为 ；（2）若点M和点N同时出发，求点M和点N相遇时的位置所表示的数；（3）若点N比点M迟3秒钟出发，则点M出发几秒时，点M和点N刚好相距6个单位长度？此时数轴上是否存在一点C，使它到点B、点M和点N这三点的距离之和最小？若存在，请直接写出点C所表示的数和这个最小值；若不存在，试说明理由．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）﹣2的相反数是（ ）A．2 B．﹣2 C． D．﹣解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．故选：A．2．（4分）如果零上15℃记作+15℃，那么零下5℃应记作（ ）A．﹣5℃ B．﹣20℃ C．+5℃ D．+20℃解：∵零上15℃记作+15℃，∴零下5℃可记作﹣5℃．故选：A．3．（4分）在﹣2，+3.5，0，，﹣0.7，11中，负分数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：负分数是﹣，﹣0.7，共2个．故选：B．4．（4分）下列说法正确的是（ ）A．零是整数 B．零有倒数C．零是最小的数 D．零没有相反数解：0是整数，因此选项A符合题意；0乘以任何数都得0，不可能等于1，所以0没有倒数，因此选项B不符合题意；负数小于0，所以0不是最小的数，因此选项C不符合题意；0的相反数是0，因此选项D不符合题意；故选：A．5．（4分）用算式表示“比﹣3℃低6℃的温度”正确的是（ ）A．﹣3+6＝3 B．﹣3﹣6＝﹣9 C．﹣3+6＝﹣9 D．﹣3﹣6＝﹣3 解：温度在0度以上为正，在0度以下为负数，故比﹣3℃低6℃的温度用算式可以表示为﹣3﹣6＝﹣9，故选B．6．（4分）下列各组数中，相等的一组是（ ）A．﹣2和﹣（﹣2） B．﹣|﹣2|和﹣（﹣2） C．2和|﹣2| D．﹣2和|﹣2|解：因为﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣2|＝2，所以选项A、B、D中的两个数均不相等，只有选项C中的两个数相等．故选：C．7．（4分）算式可以化为（ ）A．﹣3×4﹣ B．﹣3×4+3 C．﹣3×4+ D．﹣3×3﹣3解：∵﹣3＝﹣3﹣，∴算式可以化为﹣3×4﹣．故选：A．8．（4分）如图，有理数m，n在数轴上对应的点分别为M，N，则m﹣n的结果可能是（ ）A．﹣1 B．1 C．2 D．3解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，∴﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，1＜m﹣n＜3∴m﹣n的结果可能是2．故选：C．9．（4分）计算（﹣2）100+（﹣2）101所得的结果是（ ）A．2100 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣2100解：（﹣2）100+（﹣2）101＝2100﹣2×2100＝2100×（1﹣2）＝﹣2100，故选：D．10．（4分）如果a+b＞0，且ab＜0，那么下列结论正确的是（ ）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a，b异号且正数的绝对值较小D．a，b异号且负数的绝对值较小解：如果a+b＞0，且ab＜0，那么a，b异号且负数的绝对值较小，故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算：﹣5×（﹣3）＝ 15 ．解：原式＝15，故答案为：1512．（4分）比较大小：﹣ ＜ ﹣．解：根据两个负数，绝对值大的反而小的规律得出：﹣＜﹣．13．（4分）黄山主峰一天早晨气温为﹣1℃，中午上升了8℃，夜间又下降了10℃，那么这天夜间黄山主峰的气温是 ﹣3℃ ．解：∵一天早晨的气温为﹣1℃，中午上升了8℃，夜间又下降了10℃，∴﹣1+8﹣10＝﹣3℃，∴黄山主峰这天夜间的气温是﹣3℃．故答案为：﹣3℃．14．（4分）据世界卫生组织2020年6月26日通报，全球新冠肺炎确诊人数达到941万人，数据941万用科学记数法表示为 9.41×106 ．解：941万＝941 0000＝9.41×106，故答案为：9.41×106．（4分）在数轴上与表示数﹣1的点的距离为3个单位长度的点所表示的数是 ﹣4或2 ． 15．解：因为点与﹣1的距离为3，所以这两个点对应的数分别是﹣1﹣3和﹣1+3，即为﹣4或2．故答案为﹣4或2．16．（4分）某公路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，为节约用电，现计划全部更换为新型节能灯，且相邻两盏灯的距离变为54米，则需更换新型节能灯 71盏．解：设需更换的新型节能灯有x盏，则 54（x﹣1）＝36×（106﹣1），54x＝3834，x＝71，则需更换的新型节能灯有71盏．故答案为：71．三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）在数轴上表示下列各数，并用“＜”号连接： ﹣4，3，0，﹣．解：如图，所以，﹣4＜＜0＜．18．（10分）计算：（1）﹣5+6﹣7+8．（2）（﹣）﹣（﹣3）+（+2）﹣（+5）．解：（1）原式＝﹣5﹣7+6+8＝﹣12+14＝2；（2）原式＝﹣+3+2﹣5＝﹣﹣5+3+2＝﹣6+6＝0．19．（10分）计算：（1）10﹣1÷（﹣）÷；（2）﹣12﹣6×（﹣）2+（﹣5）×（﹣3）．解：（1）10﹣1÷（﹣）÷＝10﹣1÷（﹣）÷＝10+72＝82；（2）﹣12﹣6×（﹣）2+（﹣5）×（﹣3）＝﹣1﹣6×+15＝﹣1﹣+15＝．20．（12分）计算：（1）（﹣﹣+）÷；（2）25×﹣（﹣25）×+25×（﹣）．解：（1）（﹣﹣+）÷＝（﹣﹣+）×36＝﹣×36﹣×36+×36＝﹣27﹣20+21＝﹣26；（2）25×﹣（﹣25）×+25×（﹣）＝25×（+﹣）＝25×1＝25．21．（10分）已知数a在数轴上表示的点在原点左侧，距离原点3个单位长度，数b在数轴上表示的点在原点右侧，距离原点4个单位长度，c和d互为倒数，m和n互为相反数，y是最大的负整数，求（y+b）﹣m（a﹣cd）+nb．解：由题意知，a＝﹣3，b＝4，∵c和d互为倒数，∴＝1，∵m与n互为相反数，∴m+n＝0，∵y为最大的负整数，∴y＝﹣1，∴（y+b）﹣m（a﹣cd）+nb＝（﹣1+4）﹣m（﹣3﹣1）﹣4n＝3+4（m+n）＝3+0＝3．22．（10分）某班6名同学的身高（单位：cm）情况如下表：同学 A B C D E F身高 165 168 166 163 169 171 身高与班级平均身高的差值﹣1 +2 0 ﹣3 +3 +5（1）完成表中空白的部分；（2）他们的最高身高与最矮身高相差多少？（3）他们6人的平均身高是多少？解：（1）补全表格如下：同学 A B C D E F身高 165 168 166 163 169 171 身高与班级平均身高的差值 ﹣1 +2 0 ﹣3 +3 +5 （2）最高身高与最矮身高的差为：171﹣163＝8cm；（3）他们6人的平均身高是（165+168+163+169+171）＝167cm．故答案为：168 0 163 169，+5．23．（13分）出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“”，向北记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，﹣5，+6请回答：（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？（2）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？（3）若小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午是盈利还是亏损了？盈利（或亏损）多少钱？解：（1）﹣2+5﹣1+10﹣3﹣2﹣5+6＝8（千米），答：小王在下午出车的出发地的南方，距下午出车的出发地8千米；（2）10+[10+（5﹣3）×2]+10+[10+（10﹣3）×2]+10+10+[10+（5﹣3）×2]+[10+（6﹣3）×2＝80+28＝108（元），答：小王这天下午收到乘客所给车费共多108元；（3）（|﹣2|+5+|﹣1|+10+|﹣3|+|﹣2|+|﹣5|+6）×0.3×6＝34×0.3×6＝61.2（元），108﹣61.2＝46.8（元）答：小王这天下午是盈利，盈利46.8元．24．（13分）如图，数轴上两点A、B所表示的数分别﹣2、10，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，点N从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．（1）填空：点A和点B间的距离为 12 ；（2）若点M和点N同时出发，求点M和点N相遇时的位置所表示的数；（3）若点N比点M迟3秒钟出发，则点M出发几秒时，点M和点N刚好相距6个单位长度？此时数轴上是否存在一点C，使它到点B、点M和点N这三点的距离之和最小？若存在，请直接写出点C所表示的数和这个最小值；若不存在，试说明理由．解：（1）点A和点B间的距离为：10﹣（﹣2）＝12．故答案是：12；（2）设经过t秒点M和点N相遇，依题意，得t+2t＝12，解得t＝4，∴点M和点N相遇时的位置所表示的数为2；（3）设点M出发x秒时，点M和点N刚好相距6个单位长度，则点N所用的时间为（x ﹣3）秒．①点M和点N相遇前，依题意有：x+6+2（x﹣3）＝12，解得x＝4．此时，点C即为点N（如图1所示），所表示的数为8和这个最小值8；②点M和点N相遇后，依题意有：x+2（x﹣3）＝12+6，解得x＝8．此时，点C即为点M所表示的数为6和这个最小值10．综上所述，当点M出发4秒或8秒时，点M和点N刚好相距6个单位长度．此时数轴上存在一点C，使它到点B、点M和点N这三点的距离之和最小．相遇前（x＝4），点C即为点N，所表示的数为8和这个最小值8；相遇后（x＝8），点C即为点M，所表示的数为6和这个最小值10．。
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2020年南平市初中毕业班适应性考试
数学试题参考答案及评分说明
说明：
（1） 解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分150分． （2） 对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断
本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．
（3） 若考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分． （4） 评分只给整数分．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．A ； 2．C ； 3．B ； 4．A ； 5．B ； 6．C ； 7．D ； 8．A ； 9．D ； 10．B ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．
16
； 12．2
(1)a x -； 13．2x =； 14．如：2+-=x y (答案不唯一，只要满足0k <且2b =即可)； 15．6； 16．()
3,3-． 三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．解：原式321=+-…………………………………6分 4=…………………………………8分 18．解：由①得2x >…………………………………3分
由②得1322-≥+x x …………………………………5分 ∴3x ≤…………………………………6分
∴原不等式组的解集为23x <≤…………………………………8分
19．解：原式)9(222a a a ---=………………………6分
2292a a a +--=…………………………………7分 92-=a …………………………………8分
20．解：（1）400 ，补全图形…………………………………（各2分）4分 （2）75.6 ………………………6分 （3）72529.02500=⨯（人）
答：估计去九曲溪的游客约有725人.…………………………8分 21．证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠C ………………………3分
又∵AE =DF , ∠A=∠D ，∴△ABE ≌△DCF …………………………………6分 ∴AB =CD …………………………………8分
22．（1）证明：连接OA 、OD ，过O 作OE ⊥AC 垂足为E ， ∵AB 与⊙O 相切于点D ，
∴OD ⊥AB …………………………………2分
∵AB =AC ，O 为BC 的中点，
∴AO 是∠BAC 的平分线…………………4分 又OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，
∴OD =OE …………………………………5分 ∵OD 是⊙O 的半径，
∴AC 是⊙O 的切线……………………6分 （2）解：∵⊙O 的半径为1，∴OD =1 在Rt △BOD 中，tan ∠B =OD
BD
…………………………………8分 ∴54.133tan 1
tan ≈︒
=∠=
B OD BD …………………………………10分
23．解：（1）10………………………………2分
（2）∵B （12，18），∴2161812=⨯=k …………………………6分
（3）由x y 216
=
，当18=x 时，1218
216==y 答：当18=x h 时，大棚内的温度约为12℃…………………………………10分
24.（1）依题意，得-3)4
1(2=-⨯m , 得23
=m ……………………………………2分 把A （-2，0）代入n x x y ++-=23
412中，得4=n ………………………………4分
∴抛物线的解析式为42
3
412++-=x x y ……………………………………5分
（2）易得)08(，
B ，)40(，
C 设直线BC ：b kx y +=
⎩⎨⎧=+=084b k b ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-
=4
21b k
∴直线BC ：42
1
+-=x y …………6分设点P （p ，421
+-p ），
F （p ，423
412++-p p ）
∴p p p FP 421423412⎪⎭
⎫
⎝⎛+--++-=
CBF CDB CDBF S S S ∆∆+=∴四边形…………………………8分
OB FP OC DB ⋅+⋅=
21
21 108824121452122++-=⨯⎪⎭⎫
⎝⎛+-⨯+⨯⨯=p p p p …………………………9分 在Rt △BCO 中，5422=+=BO CO BC 过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，∴PG ∥OB
方法一：∴△PCG ∽△BCO ……………………………10分 ∴
OB PG BC PC =，∴8
545p
t =，∴t p 2=……………………………11分
∴101642
++-=t t S CDBF 四边形……………………………………12分
方法二：∴∠CPG=∠CBO ， ∴cos ∠CPG=cos ∠CBO 5
48
==
BC OB ………………………10分 ∴GP =CP ·cos ∠CPG ，∴t t p 25
485=⋅
=………………………11分
∴101642
++-=t t S CDBF 四边形……………………………………12分
25.（1）证明：∵CD 为AB 边上的中线，∴DB =DA ……………2分 ∵
DC DE
DB DF =，∴DF DE DA DC
=………………………………3分 又∵∠FDE =∠ADC ，∴△DFE ∽△DAC ．……………………4分 （2）解：点H 为AC 的中点． …………………………………5分
理由如下：∵△DFE ∽△DAC ，∴∠DFE =∠DAC ，∴EF ∥AC ，………………6分 ∴△DGF ∽△DHA ，△DEG ∽△DCH ，∴DG FG DH AH =，DG EG
DH HC
=， ∴
EG FG
HC AH
= ……………………………………………………………………7分 ∵点G 是EF 的中点，∴EG =FG ，∴HC =AH ，即点H 为AC 的中点．…………8分 （3）解：①当点M 在线段BC 上时（不与B ，C 重合）， ∠BMD +∠A BD '=180°………………9分
方法一：∵BD =AD ，HC =AH ，∴DH ∥BC ，∴∠BMD=∠HDH '………………10分 ∵将△ADH 绕点D 旋转至△H D A ''， ∴∠HDH '=∠ADA '．
∵∠BDA '+∠ADA '=180°，
∴∠BMD +∠BDA '=180°………………11分 方法二：∵BD =AD ，HC =AH ，
∴DH ∥BC ，∴∠ADH=∠ABC ，…………10分 ∵△ADH ≌△H D A ''，
∴∠A D H ''=∠ADH ，∴∠A D H ''=∠ABC ， ∵∠ABC +∠DB H '+∠BMD =180°， ∴∠A D H ''+∠DB H '+∠BMD =180°
∴∠BMD +∠BDA '=180°．……………………………11分
方法三：∵BD =AD ，HC =AH ，∴DH ∥BC ，∴∠ADH=∠ABC ，…………10分 ∵△ADH ≌△H D A ''，∴∠A D H ''=∠ADH ，∴∠A D H ''=∠ABC ， ∵∠DKM =∠BKD ，∴△ DKM ∽△BKD ，∴∠BDA '=∠DMK
∵∠DMK +∠BMD =180°，∴∠BMD +∠BDA '=180°．………………11分 ②当点M 在CB 的延长线上时，∠BMD =∠A BD '…………12分 方法一：∵BD =AD ，HC =AH ，∴DH ∥BC ∴∠BMD=∠NDH ………13分 ∵将△ADH 绕点D 旋转至△H D A ''， ∴∠HDH '=∠ADA ' ∵∠BDA '+∠ADA '=180°，
∠NDH +∠HDH '=180°，∴∠NDH =∠BDA '， ∴∠BMD =∠BDA '．…………………14分
方法二：∵BD =AD ，HC =AH ，∴DH ∥BC ，∴∠ADH=∠ABC ………13分 ∵△ADH ≌△H D A ''，∴∠A D H ''=∠ADH
∴∠A D H ''=∠ABC ，∵∠DKC =∠A D H ''+∠BMD ，∠DKC =∠BDA '+∠ABC ， ∴∠BDA '=∠BMD ．……………………14分
方法三：∵BD =AD ，HC =AH ，∴DH ∥BC ，∴∠ADH=∠ABC ………13分 ∵△ADH ≌△H D A ''，∴∠A D H ''=∠ADH ，∴∠A D H ''=∠ABC ，
∵∠DKM =∠BKD ，∴△ DKM ∽△BKD ，∴∠BDA '=∠BMD ．……………14分
M
B
C
D
E F
G
H H '
A '
K M
A
B C
D
E
F G H H '
A '
N
K。