2.4.2-平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-课程(人教A必修4)
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4
(2)建立如图所示的平面直角坐标系,
则点 C 的坐标为(3,2),D(0,2),E(1,0).
设 F(0,y),则������������=(1,-2),������������ ⊥ ������������,
∴-3-2y+4=0,得 y=12,
D.
-
7 2
,
3 2
或
3 2
,-
7 2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:设点 B(x,y),则������������=(x,y),������������=(x-5,y-2),
因为∠B=90°,所以 x(x-5)+y(y-2)=0,
①
又|������������|=|������������|,
所以 x2+y2=(x-5)2+(y-2)2.
答案:C
12345
2.在△ABC中,A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
解析:������������=(4,-2),������������=(1,2), 则������������ ·������������=4+(-2)×2=0.∴������������ ⊥ ������������. ∴∠ABC=90°,即△ABC 为直角三角形.
∵θ∈[0,π],∴θ=34π.
答案:(1)C (2)34π
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2).a⊥b⇔x1x2-y1y2=0.
()
(2)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 所成角为 θ,则 cos θ=|������������|·|������������| =
人教a版高一必修4_2.4.2_平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_作业_word版含解析
人教a 版高一必修4_2.4.2_平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_作业_word 版含解析[A.基础达标]1．已知向量a ＝(－1，x )，b ＝(1，x )，若2b －a 与a 垂直，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 解析：选C.由题意得，2b －a ＝2(1，x )－(－1，x )＝(3，x )，∵(2b －a )⊥a ，∴－1×3＋x 2＝0，即x 2＝3，∴|a |＝ (－1)2＋3＝2.2．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，点P 在x 轴上，且使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标为( ) A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0)解析：选C.设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，所以AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x＋10，当x ＝3时，AP →·BP →取最小值，故P (3,0)，故选C.3．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且满足：|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为( )A ．4 B.72C ．－4D ．－72解析：选C.在△ABC 中，∵|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，∴△ABC 为直角三角形，且BC ⊥BA ，以BA ，BC 为x ，y 轴建立坐标系，则B (0,0)，A (3，0)，C (0,1)，∴a ＝BC →＝(0,1)，b ＝CA →＝(3，－1)，c ＝AB →＝(－3，0)， ∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－1－3＋0＝－4.4．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，|CD →|＝52，故AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.5．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：选C.AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC →|·|BD→|＝12×5×25＝5. 6．已知a ＝(0,1)，b ＝(1,1)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是________． 解析：由(a ＋λb )⊥a ，得(a ＋λb )·a ＝0，即(λ，1＋λ)·(0,1)＝0，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1. 答案：－17．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：由于a 与b 的夹角为锐角，∴a·b ＞0，且a 与b 不共线同向．由a·b ＞0⇒－3λ＋10＞0，解得λ＜103.当向量a 与b 共线时，得5λ＝－6，得λ＝－65，因此λ的取值范围是λ＜103且λ≠－65.答案：{λ|λ＜103且λ≠－65}8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为________．解析：a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，而(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52.又∵a·c ＝x ＋2y ，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a |·|c |＝－525＝－12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.答案：120°9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)． (1)求a ＋b 与a －b 的夹角；(2)若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值． 解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)， ∴a ＋b ＝(－2,6)，a －b ＝(4，－2)，∴cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(－2，6)·(4，－2)40×20＝－2040×20＝－22.又∵〈a ＋b ，a －b 〉∈[0，π]，∴〈a ＋b ，a －b 〉＝3π4.(2)当a ⊥(a ＋λb )时，a ·(a ＋λb )＝0， ∴(1,2)·(1－3λ，2＋4λ)＝0，则1－3λ＋4＋8λ＝0，∴λ＝－1.10．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点M (x ，y )为直线OP 上的一动点．(1)用只含y 的代数式表示OM →的坐标；(2)求MA →·MB →的最小值，并写出此时OM →的坐标．解：(1)设OM →＝(x ，y )，因为点M 在直线OP 上，所以向量OM →与OP →共线． 又OP →＝(2,1)，则x －2y ＝0，即x ＝2y ，所以OM →＝(2y ，y )．(2)因为MA →＝OA →－OM →＝(1－2y,7－y )，MB →＝OB →－OM →＝(5－2y,1－y )，所以MA →·MB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y ) ＝5y 2－20y ＋12 ＝5(y －2)2－8，所以当y ＝2时，MA →·MB →取最小值－8，此时OM →＝(4,2)．[B.能力提升]1．已知a ＝(5,4)，b ＝(3,2)，则与2a －3b 平行的单位向量为( )A ．(55，255) B ．(55，255)或(－55，－255)C ．(55，－255)或(－55，255)D ．(－55，－255)解析：选B.可知2a －3b ＝(1,2)，设所求的向量的坐标为(x ，y )，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝55，y ＝255或⎩⎨⎧x ＝－55，y ＝－255，故选B.2．如图是函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象，则OB →·BA →等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.令tan(π4x －π2)＝1，结合图象可得x ＝3，即B (3,1)．令tan(π4x －π2)＝0，结合图象可得x ＝2，即A (2,0)，从而OB →＝(3,1)，BA →＝(－1，－1)，OB →·BA →＝－4，故选B.3．若a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．解析：因为a ∥b ，所以x ＝4，所以b ＝(4，－2)，所以a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． 因为(a ＋b )⊥(b －c )， 所以(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，所以y ＝－4，故向量MN →＝(－8,8)，|MN →|＝8 2. 答案：8 24．已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________.解析：由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0，2)，P (23，43)或P (43，23)，所以可得CP →＝(23，43)或CP →＝(43，23)，CA →＝(2,0)，CB →＝(0,2)， 所以CA →＋CB →＝(2,0)＋(0,2)＝(2,2)，所以CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝(23，43)·(2,2)＝4或CP →·(CB →＋CA →)＝(43，23)·(2,2)＝4.答案：45．已知向量a ＝(2,0)，b ＝(1,4)． (1)求|a ＋b |的值；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围． 解：(1)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴a ＋b ＝(3,4)， 则|a ＋b |＝5.(2)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，所以8(2k＋1)＝16，则k ＝12.(3)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎪⎨⎪⎧4(2k ＋1)＋32＞0k ≠12，解得k ＞－92或k ≠12.6．(选做题)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解：设D 点坐标为(x ，y )， 则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)．∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0， 即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0， 即2x ＋y －3＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝5， 即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示p模p夹角 课件(人教A版必修4)
∴|a+b|= x 2 x 2 2 2 x 12 2,
当x=-1时，|a+b|取最小值，为2.
2.(1)∵a= AB =(2,1)-(-2,4)=(4,-3),
∴|a|=
42 3 5.
2x-1)，则|a+b|的最小值为(
(A) 2 1 (B)2 2 (C) 2
)
(D)2
2.(2012²天津高 一检 测 ) 若向量 a 的始点为 A(-2,4), 终点为
B(2,1).求： (1)向量a的模; (2)与a平行的单位向量的坐标; (3)与a垂直的单位向量的坐标.
【解析】1.选C.∵a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1), ∴a+b=(2x-1,3-x)+(1-x,2x-1)=(x,x+2),
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示﹑模﹑夹角
1.理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关
的问题.
1.本课的重点是平面向量的数量积的坐标表示及运算.
2.本课的难点是利用向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂 直有关的问题.
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
1.已知向量a＝(－2,1)，b＝(－3,0)，则a在b方向上的投影为
(
(A)- 5 (B) 5 (C)-2 (D)2
)
2.若a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)²(a-b)=__________. 3.已知向量a与b共线,b=(1,2),a²b=10,求a的坐标.
【解析】1.选D.设a与b的夹角为θ,a在b方向上的投影是
高一数学人教A版必修4第二章2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模和夹角课件(共45张PPT)
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
解析：已知向量 a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30 ＝0，则 a 与 b 垂直，选 A.
答案：A
高一数学 人教A 版必修4 第二章2 . 4.2 平面向量数量积 的坐标 表示、 模和夹 角课件 （共4 5 张PPT ）
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3 已知向量 a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若 λa－2b 与 a 垂 直，则实数 λ 等于___－__1___．
解法一：λa－2b＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)，由 于(λa－2b)⊥a⇔(λa－2b)·a＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0，∴λ＝ －1.
温馨提示
1通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与 方程、函数等知识的联系.
2向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一 种是坐标式，两者互相补充.
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2．设向量 a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b 和 a 垂直，
那么 λ＝( )
A．2B．1 C．－2D．－1答案：D
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2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件(人教版必修4)
• 【题后总结】求两向量数量积的关键是求出它们的坐标，求解过程熟 练运用了方程的思想，加减消元法求出a，b.
• 1．已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，求a·b的值．
2a＋b＝－4，3， 解：由 a－2b＝3，4， a＝－1，2， 解得 b＝－2，－1.
(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角， 所以 cos θ＜0 且 cos θ≠－1， 所以 a· b＜0 且 a 与 b 不反向.9 分 1 由 a· b＜0 得 1＋2λ＜0，故 λ＜－ ， 2 由 a 与 b 共线得 λ＝2，故 a 与 b 不可能反向． 1 所以 λ 的取值范围为(－∞，－2).12 分
∴a· b＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0.
• a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
已知在△ABC 中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－ → 1)，AD 为 BC 边上的高，求|AD|与点 D 的坐标．
→ → 【思路点拨】AD 为 BC 边上的高，隐含着BD、 BC共线， → → AD⊥BC.
• 2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角
• 1．理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算．(重点) • 2．能够用两个向量的坐标来判断向量的垂直关系．(难点) • 3．增强用向量法与坐标法来处理向量问题的能力．(易混点)
• 一、两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 • 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积 的和，即a·b＝ x x ＋y y
1 的取值范围为－2，2∪(2，＋∞)．
• 【题后总结】对于两向量夹角为钝角(或锐角)求参数范围的题型．可 先根据夹角余弦值的符号列不等式求出参数范围，再排除夹角为 180°(或0°)的情况．
数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件(新人教A版必修4)
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为（0 180 ），
则 cos
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， （ (0 180 )则 cos
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
(1) a a a 或 a
2
a a；
(1)向量的模 设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a
2 2 2 2 2
x y ；
（2）两点间的距离公式 则 AB （x1 x2 ) y1 y2 ) （
=(x1,y1), b =(x2,y2),则
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2、向量的模和两点间的距离公式
设两个非零向量
a
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是 垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 , b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值.
【原创】人教A版必修4：第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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向量的夹角和垂直问题
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[典例] (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝
5，若(c－b)·a＝125，则a与c的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量c满足(c＋a)
∥b，c⊥(a＋b)，求c的坐标．
∴―A→B ·―B→C ＋―B→C ·―C→A ＋―C→A ·―A→B ＝0－16－9＝－25.
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[法三 转化法] ∵|―A→B |＝3，|―B→C |＝4，|―C→A |＝5， ∴AB⊥BC，∴―A→B ·―B→C ＝0， ∴―A→B ·―B→C ＋―B→C ·―C→A ＋―C→A ·―A→B ＝―C→A ·(―A→B ＋―B→C ) ＝―C→A ·―A→C ＝－|―C→A |2＝－25.
∴|a＋b|＝ 65.
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求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算： 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的 数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
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[法二 坐标法]
结束
如图，建立平面直角坐标系，
则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．
∴―A→B ＝(－3,0)，―B→C ＝(0,4)，
―C→A ＝(3，－4)．
高中数学人教A版必修4课件：2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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3.做一做:(1)设 a=(-2,3),则|a|= ; (2)若 a=(4,-3),b=(-8,-6),则 a,b 夹角的余弦值等 于 ; (3)已知 A(2,6),B(4,7),则|������������|= .
解析:(1)|a|= (-2)2 + 32 = 13. (2)设 a,b 的夹角为 θ,则 cos θ=|������||������| =
������· ������
用坐标表示即可.
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I ZHU YU XI
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2.填空:
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2 2 2 2 提示:由于 a2=a· a=(x1i+y1j)· (x1i+y1j)=������1 + ������1 ,从而|a|= ������1 + ������1 , 2 2 同理|b|= ������2 + ������2 .将两向量夹角公式 cos θ=|������||������|中的 a· b 以及|a|,|b|
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探究一
数量积的坐标运算
高中数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角作业教案新人教A版必修4
课题 2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标知识与技能理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，过程与方法能根据向量的坐标计算向量的模，情感态度价值观并推导平面内两点间的距离公式重点能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直难点能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算．教学设计教学内容教学环节与活动设计1．平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.即两个向量的数量积等于．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.3．平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝__________.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝_________________________.4．向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝_______＝________________.探究点一平面向量数量积的坐标表示问题已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b?探究点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式问题1若a＝(x，y)，试用x，y表示|a|.教学内容教学环节与活动设计探究点三 平面向量夹角的坐标表示设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos θ＝a ·b|a ||b |＝ .特别地，若a ⊥b ，则有 ； 反之，若 ，则a ⊥b .例如，(1)若a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则a 与b 的夹角为_____．(2)已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是_____三角形． 【典型例题】例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10.(1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b ·c )及(a ·b )c .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a ·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵b ·c ＝1×2－2×1＝0， a ·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b ·c )＝0a ＝0，(a ·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．解 设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a ·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，所以a ·b <0且a 与b 不反向．由a ·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，教学设计教学内容教学环节与活动设计所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．例3已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，1)，AD为BC边上的高，求|AD→|与点D的坐标．解设D点坐标为(x，y)，则AD→＝(x－2，y＋1)，BC→＝(－6，－3)，BD→＝(x－3，y－2)，∵D在直线BC上，即BD→与BC→共线，∴存在实数λ，使BD→＝λBC→，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x－3＝－6λy－2＝－3λ.∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.又∵AD⊥BC，∴AD→·BC→＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1y＝1，∴|AD→|＝－2＋22＝5，教学小结向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．课后反思精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1 课件(人教A版必修4)
(3)向量垂直的坐标表示：由向量数量积的定义，a·b＝
|a||b|·cosθ＝x1x2＋y1y2，所以 a⊥b⇔a·b＝0(|a|·|b|≠0)⇔x1x2＋ y1y2＝0 .
已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构
成的集合是( )
A．{2,3}
B．{－1,6}
C．{2}
数量积；对于∠ACB的大小，则可以通过模长获得．
[解析] 由题，A→B＝(3，－1)，A→C＝(－1，－3)， ∴A→B·A→C＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0. ∴A→B⊥A→C. 而|A→B|＝ 10，|A→C|＝ 10， ∴∠ACB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形．
第二章
平面向量
第二章
2．4 平面向量的数量积
第二章
2．4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°， 则m·n＝________.
[答案] －12 2
2．已知|a|＝ 2，|b|＝ 2，a与b的夹角为45°，若λb－a与 a垂直，则λ＝________.
D．{6}
[答案] C
[解析] 考查向量垂直的坐标表示，a＝(x－5,3)，b＝(2，x)， ∵a⊥b，∴a·b＝2(x－5)＋3x＝0，解之得x＝2，则由x的值构 成的集合是{2}．
3．向量夹角的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，由数量积的
定义
a·b
a·b＝|a||b|cosθ，得cosθ＝ |a||b| ，
[答案] 2
3．若i，j是平面直角坐标系xOy中的正交基底，且|i|＝|j| ＝1，a＝3i＋4j，b＝7i＋j，则a·b＝________，|a|＝ ________，|b|＝________，向量a与b的夹角θ为________．
人教A高中数学必修4第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
4 当且仅当 t＝ 时取等号． 5 7 5 4 即|a＋tb|的最小值为 ，此时 t＝ . 5 5
[答案]
(1)2 5
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向量模的问题的解题策略 (1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2 将向量模的运算转化为向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
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01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
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[自主梳理] 一、两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ. 数量积 两个向量的数量积等于相应坐标乘积 的 和，即 a· b＝x1x2＋y1y2
解析：因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)， 3×－ 3＋1×1 1 所以 cos θ＝ 2 2 2 2＝－2， 3 ＋1 － 3 ＋1 又 0° ≤θ≤180° ，所以 θ＝120° .
答案：120°
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探究一 [典例 1]
平面向量数量积的坐标运算
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2．若 a＝(4，－2)，b＝(k，－1)，且 a⊥b，则 k＝________.
1 解析：a· b＝(4，－2)· (k，－1)＝4k＋2，因为 a⊥b，所以 4k＋2＝0，k＝－ . 2 1 答案：－ 2 3．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角 θ＝________.
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16 16 C. D．－ 65 65 解析：b＝(2a＋b)－2a＝(3,18)－(8,6)＝(－5,12)，
cos θ＝ a· b 16 ＝ . |a||b| 65
答案：C
[研一题]
[例 3] 已知△ABC 中，A(2，－1)， B(3,2)，C(－3，－1)，BC 边上的高为 AD， 如图，求 D 点及 AD 的坐标．
x＝－ 3＋1， 2 或 3－1 y＝－ ， 2
3＋1 3－1 3＋ 1 3－1 所以 c＝( ， )或 c＝(－ ，－ )． 2 2 2 2
法二：由于 a· b＝ 3×1＋(－1)× 3＝0，且|a|＝|b|＝2， 从而以 a，b 为邻边的平行四边形是正方形，且由于 a· c＝ b· c， 所以 c 与 a， b 的夹角相等， 从而 c 与正方形的对角线共线． 此 外，由于 |c|＝ 2，即其长度为正方形对角线长度 ( 2|b|＝ 2 2) 的一半， 3＋ 1 3－ 1 1 故 c＝ (a＋b)＝( ， )或 2 2 2 3＋1 3－ 1 1 c＝－ (a＋b)＝(－ ，－ )． 2 2 2
b－a＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，
∴2a· (b－a)＝(2,6)· (1,2) ＝2×1＋6×2＝14.
(2)∵a＋2b＝(1,3)＋2(2,5) ＝(1,3)＋(4,10)＝(5,13)， ∴(a＋2b)· c＝(5,13)· (2,1) ＝5×2＋13×1＝23.
法二：(1)2a· (b－a) ＝2a· b－2a2 ＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9) ＝14.
②
[悟一法]
利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂
直条件代数化．因此判定方法更加简捷、运算更直接，体现
了向量问题代数化的思想．
[通一类] 3．设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)， 求m的值． 解：法一：∵a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)，
又(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)· (a－b)＝0，
即(m＋2，m－4)· (m，－m－2)＝0. ∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0.∴m＝－2. 法二：∵(a＋b)⊥(a－b)， ∴(a＋b)· (a－b)＝0，a2＝b2，
则m2＋2m＋10＝2＋m2－2m，解得m＝－2.
已知向量 a＝( 3，－1)和 b＝(1， 3)，若 a· c＝b· c，试求 模为 2的向量 c 的坐标．
[悟一法] 1．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应
注意与函数、方程等知识的联系．
2．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另 一种是坐标式，两者相互补充．
[通一类] 1．若向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且a· b＝5，求向量b.
解：法一：设 b＝(x，y)，则由|b|＝1 可得 x2＋y2＝1. 由 a· b＝5，a＝(4，－3)，可得 4x－3y＝5. 4 3 4 3 联立①②，解得 x＝ ，y＝－ ，故 b＝( ，－ )． 5 5 5 5 法二：由于 a＝(4，－3)，∴|a|＝5，设 a 与 b 的夹角为 θ， a· b 则 cos θ＝ ＝1，∴θ＝0° ，从而 a，b 同向且共线， |a||b| a 1 4 3 又|b|＝1，∴b＝ ＝ (4，－3)＝( ，－ ). |a| 5 5 5 ① ②
[解]
法一：设 c＝(x，y)，
则 a· c＝( 3，－1)· (x，y)＝ 3x－y， b· c＝(1， 3)· (x，y)＝x＋ 3y， 由
3x－y＝x＋ a· c＝b· c 且|c|＝2，得 2 2 x ＋y ＝2，
3y，
x＝ 3＋1， 2 解之得 3－1 y＝ ， 2
[悟一法]
利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤为： (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积． (2)利用|a|＝ x2＋y2求两向量的模． (3)代入夹角公式求 cos θ，并根据 θ 的范围确定 θ 的值．
[通一类]
2．已知 a，b 为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则 a，b 的夹角 θ 的余弦值等于 8 A. 65 8 B．－ 65 ( )
2.4
读教材·填要点
课前预习·巧设计
第 二 章 平 面 向 量
平 面 向 量 的 数 量 积
2.4.2 平面向 量数量 积的坐 标表示 、模、 夹角
小问题·大思维
考点一
名师课堂·一点通
考点二 考点三 解题高手
NO.1课堂强化
创新演练·大冲关
NO.2课下检测
[读教材·填要点]
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
(2)(a＋2b)· c
＝a· c＋2b· c ＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1) ＝23.
本例条件中“c＝(2,1)”若变为“c＝(2，k)”，且“(a－ c)⊥b”，求k.
解：∵a＝(1,3)，c＝(2，k)， ∴a－c＝(－1,3－k)， 又(a－c)⊥b，∴－1×2＋(3－k)×5＝0， 13 ∴k＝ . 5
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积
两个向量 垂直 两个向量的数量积等于它们 即a· b＝
对应坐标的乘积 的和，
x1x2＋y1y2 x⇔ a⊥ b 1x2＋y1y2＝0
2．三个重要公式
[小问题·大思维] 1．已知向量a＝(x，y)，与向量a共线的单位向量a0的坐
[点评]
解决向量数量积的坐标运算的问题，关键是
熟练掌握数量积的坐标运算公式，同时要熟练运用方程思 想，如本题解法一体现了这一方法；解法二是巧妙地利用
了几何意义，数形结合，可简化运算．
提示： 向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos θ(θ 为向 a· b 量 a 与 b 的夹角)，而 cos θ＝ ， |a||b| a· b x1x2＋y1y2 ∴|a|cos θ＝ ＝ 2 2 . |b| x2＋y2
[研一题] [例1] 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求： (1)2a· (b－a)； (2)(a＋2b)· c. [自主解答] 法一：(1)∵2a＝2(1,3)＝(2,6)，
[自主解答] 设 D(x，y)， ∴ AD ＝(x－2，y＋1)，
BC ＝0， 又 BC ＝(－6，－3)， AD ·
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即 2x＋y＝3.
①
又 BD 与 BC 为共线向量， BD ＝(x－3，y－2)，
BC ＝(－6，－3)，
∴－3(x－3)＋6(y－2)＝0，即 x－2y＝－1. 联立①②，解得 x＝1，y＝1. ∴D(1,1)， AD ＝(－1,2)．
[研一题]
[2)、B(－5,15)． (1)求| OA |，| AB |； (2)求∠OAB. [自主解答] (1)由 OA ＝(16,12)，
AB ＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，得
| OA |＝ 162＋122＝20， | AB |＝ －212＋32＝15 2.
标是什么？
a 1 提示：∵a0＝± ＝± 2 2(x，y)， |a| x ＋y x y ∴a0＝(－ 2 2，－ 2 2) x ＋y x ＋y x y 或 a0＝( 2 2， 2 2)． x ＋y x ＋y
2．向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a在向量b方向
上的投影怎样用a，b的坐标表示？
AO · AB (2)cos∠OAB＝cos〈 AO ， AB 〉＝ . | AO || AB |
其中 AO · AB ＝－ OA · AB ＝－(16,12)· (－21,3) ＝－[16× (－21)＋12× 3]＝300. 300 2 故 cos∠OAB＝ ＝ . 20×15 2 2 ∴∠OAB＝45° .