第17章 大学物理

x A cos ( t ) 2π 1 已知：A =12 cm , T = 2 s ， πs T x 0.12 cost
解： 设简谐振动表达式为 初始条件： t = 0 时， x0 = 0.06 m , v0 > 0
0.06 =0.12 cos
y

v2 A sin ( t 2 ) 0 sin t 0 t 2 2π 3
π 2π ( t 1 ) ( t 2 ) ( ) π 3 3
例3 质量为m的比重计，放在密度为 的液体中。 已知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后， 在竖直方向的振动为简谐振动，并计算周期。
：振动的“初相位 ”。
dx π v A sin( t ) vm cos( t ) dt 2
vm A
称为速度幅。 速度相位比位移相位超前/2。
dv 2 a A cos( t ) am cos( t π ) dt
振幅： A
x0
2
v0
2 2
0
x0 0.04 m
v0 arctan 0 x0
得
x 0.04cos (6.0t )
x A cos( t )

x t arccos A
A 2 1 π 5π t arccos arccos (或 ) A 2 3 3 A π 按题意 : x A x , t 2 3 π v A sin t 0.04 6.0 (sin ) 3
dv π 2 2 a t 0.5 0.12π cos( π t ) t 0.5 0.103 m s dt t 0.5 3
设在某一时刻 t1， x = - 0.06 m 代入振动方程：
0.06 0.12 cos (π t1 π 3 )
1 cos ( π t1 π 3 ) 2
2 2
A1 sin 1 A2 sin 2 arctan A1 cos 1 A2 cos 2
(1) 若 : 2 1 2kπ
k 0,1,2,
k 0,1,2,
则:
(2)
A
2 A12 A2 2 A1 A2 A1 A2
若 : 2 1 (2k 1)π
-A/2
o
A/2
A
x1 A cos ( t 1 )
A 2 A cos ( t 1 )
t 1 π 3
v1 A sin ( t 1 ) 0
sin ( t 1 ) 0
t 1 π 3
-A
-A/2
o
A/2
A
A 2 A cos( t 2 ) t 2 2π 3
0.208 m s
1
简谐运动的能量
v
O x x
1 2 1 振子动能： Ek mv m 2 A2 sin 2 ( t ) 2 2
1 2 1 2 振子势能： Ep kx kA cos 2 ( t ) 2 2
m k
2
x A cos ( t )
x A cos( t )
结论：
A
P
t 0

0
M
x
投影点M的运动 为简谐振动。
• 旋转矢量的模A：振幅
• 旋转矢量A的角速度： 角频率 • 旋转矢量A与 x 轴的 夹角( t+ )： 相位 • t = 0 时， A与x 轴 的夹角 ：初相位。 • 旋转矢量A旋转一周， M点完成一次全振动。
π 3
1 π cos 2 3
v0 A sin 0
sin 0
π 3
π 3
x

振动方程：x 0.12 cos( π t
π ) 3
dx π 1 v t 0.5 0.12π sin( π t ) t 0.5 0.189 m s dt t 0.5 3
xn (t ) a cos t ( N 1)
合振动为： a cos t a cos(t ) a cos(t 2 ) x
a cos t ( N 1)
A cos(t )
n A 2 R sin 2
n 1 coM cop 2
a 2 R sin

2
M
sin(n 2) Aa sin( 2) 1 coM ( n ) 2 1 cop ( ) 2
R
c n

a
A

a a

o
ap
a
x
三、同方向、不同频率的简谐振动的合成
x1 (t ) A cos( 1t ) x2 (t ) A cos( 2t ) 合成振动表达式：x(t ) A cos( 1t ) A cos( 2t )
π 2π π t1 3 3
4π 或 3
π 2π π t1 3 3
t1 1s
y
π 3π π t2 3 2
11 t2 s 6
4π 3
2π 3
11 5 t t2 t1 1 s 6 6
x
例2 两质点做同方向、同频率的简谐振动，振幅相 等。当质点1在 x1= A/2 处，且向左运动时，另一个质 点2在 x 2= -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的相 位差。 解： -A
am A 称为加速度幅。
2
加速度与位移反相位。
比较：
a 2 A cost
x A cost
a x
2
即
d x 2 x 2 dt
2
结论：做简谐运动的质点，其加速度与位移恒成正比， 而方向相反。
简谐运动的旋转矢量表示法
旋转矢量A在 x 轴上 的投影点 M 的运动规律： y
2
令

k m
d x 2 x 2 dt
2
简谐运动表达式：
x A cost
简谐运动：
物体的运动遵从余弦（或正弦）规律。 简谐运动的三项基本特征：
x A cost
F kx 2 d x 2 x 2 dt
简谐运动的速度：
dx π v A sin( t ) 位时间内完成全振动的次数。 周期 T：完成一次全振动所经历的时间。
弹簧振子的频率:
1 k 2π m
2π
m 2π 弹簧振子的周期: T k
结论：弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性 质（k 和 m）有关，而与其他因素无关。
由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周 期称为固有频率和固有周期。 （ t + ) ：振动的“相位 ”。
1 2 E p kx 2
A
E E
Ek
Ep
O
Ek E Ep
A
x
例5 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和 势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能 和势能各占总能量的一半？ 解：
1 2 E Ep Ek kA 2
当x A 2 时：
1 2 1 A 1 Ep kx k E 2 2 2 4
简谐运动的加速度：
dv a 2 A cos( t ) am cos( t π ) dt
A A
2
O
x, v, a
a
x
v
O
T
A
t
描述简谐运动的物理量
x A cost
A ：振幅 （最大位移，x =±A ）
：角频率 （圆频率）
2π 2π T
利用：
cos cos 2 cos

2
cos

2
1 2 ,
2 1 1 2 x(t ) 2 A cos t cos t 2 2
1 Ek m 2 A2 sin 2 t 2
1 2 Ep kA cos 2 t 2
O
x
t
E
Ep
m 2 k
谐振系统的总机械能：
O
Ek
t
E Ek E p
1 2 1 1 2 2 E kA m A mvm 2 2 2 2
结论：
（1） 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间 变化，但任一时刻总机械能保持不变。 （2） 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频 率的两倍。 （3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方 成正比。（适合于任何谐振系统） 弹性势能
2
3 Ek E Ep E 4
1 2 1 1 2 kx0 kA 2 2 2
1 x0 A 0.707 A 2
简谐运动的合成和分解
简谐运动的合成
1. 两个同方向、同频率的简谐运动的合成 某一质点在直线上同时参与两个独立的同频 率的简谐运动，其振动表达式分别表示为：
x1 A1 cos( t 1 )
2
d2 x π d 2 g x 2 dt 4m
O
d 2
π g 2π 4 π m T d g m
x
x
例4 一轻弹簧一端固定，另一端连一定质量的物体。 整个振动系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉 长到 x0 = 0.04 m 处释放，试求：（1） 简谐振动方程； （2）物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速 度。 解：x0 0.04m , v0 0 , 6.0 rad s 1
则: