函数学生版

函数1、回顾初中有关函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的 函数. （1）变量：因变量，自变量在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

（2）一次函数：①若两个变量y ,x 间的关系式可以表示成y kx b =+（b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数。

②当b =0时，称y 是x 的正比例函数。

（3）一次函数的图象及性质①把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数y =k x 的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当k <0， b <O ，则经2、3、4象限；当k <0，b >0时，则经1、2、4象限；当k >0， b <0时，则经1、3、4象限；当k >0， b >0时，则经1、2、3象限。

④当k >0时，y 的值随x 值的增大而增大，当k <0时，y 的值随x 值的增大而减少。

（4）二次函数：①一般式：2224()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0a ≠)，对称轴是,2b x a=- 顶点是24,)24b ac b a a-（－；②顶点式：2()y a x m k =++(0a ≠)，对称轴是,x m =-顶点是(),m k -；③交点式：12()()y a x x x x =--(0a ≠)，其中（1,0x ），（2,0x ）是抛物线与x 轴的交点（5）二次函数的性质①函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。

②0a >时，在对称轴 （2b x a =-）左侧，y 值随x 值的增大而减少；在对称轴（2b x a=-）右侧；y 的值随x 值的增大而增大。

当2bx a=-时，y 取得最小值244ac b a -③0a <时，在对称轴 （2b x a =-）左侧，y 值随x 值的增大而增大；在对称轴（2bx a=-）右侧；y 的值随x 值的增大而减少。

当2bx a=-时，y 取得最大值244ac b a -函数的概念1、在加油站为汽车加油，油价为每升4.16元，启动加油机开关后表示加油量和金额的两个窗口的数字不停地跳动直到加油量为12升时停下.问金额y 元与加油量x 升之间的关系式是什么？ 2.阅读课文2930P P -并回答以下问题：（1）①你从例子中了解了哪些信息？②自变量的取值范围分别是多少？③每个例子里中的自变量和因变量之间的关系？ ④因变量的取值范围是多少？⑤如果把自变量的取值集合记为集合A ，因变量的取值集合记为集合B ，集合A 与集合B 之间的元素有什么样的关系？共性特征是什么？（2）函数的定义： （3）下列对应法则是否是在给定集合上的一个函数？ ①R ，g ：自变量的倒数； ②R +，h ：自变量的平方根；③R ，s ：自变量t 的平方减；（4）下面一组函数，是否为相同的函数？ ①()2,f x x x R =∈②()2,s t t t R =∈③()3x g x x=（5）两个变量之间是否具有函数关系的判断标准是什么？啥叫函数的三要素（或说二要素）？3、什么是函数的定义域？什么是函数的值域？（1）求函数()f x =的定义域？（2）求函数()21,1f x x R x =∈+，在0,1,2x =处的函数值和值域？4、区间的概念①已知集合{}{}13,2A x x B x x =≤<=≥，将下列集合写成区间形式,,,,,U U A B C A C B A B A B②求下列函数的定义域（能用区间表示的必须用区间表示）（1）|x |x 1)x (f -=；（2）x111)x (f +=；（3）1x x 4)x (f 2--=（4）10x 6x )x (f 2+-=；（5）13x x 1)x (f -++-=5、一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论6、课堂练习 （1）判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？①f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ②f ( x ) = x ； g ( x ) =2x③f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2④f ( x ) = | x | ；g ( x ) =2x（2）若函数()2f x x =，()g x =①()()()()1,1,1,2f g f g g f --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ②()()()1,,f x f g x g f x -⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解析式（3）若函数()21f x x -=，求()f x变式：①若()48xf x x -=-，求函数()f x 的表达式②若22111f x x x x x x⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的表达式映射与函数1、 阅读课文34页，了解例4、例5、例6，然后回答下列问题（1）每个例子都反映的是两个集合之间的对应关系，三个例子中的对应关系有什么共同特征？（2）下面三个例子是否具有上面总结的特征？对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 函数的概念．2、映射的概念、象与原象、一一映射（1）下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？①A={ P | P 是平面直角体系中的点}，B={（x ，y ）| x ∈R ，y ∈R}，对应关系f ：平面直角体系中的点与它的坐标对应；②A={三角形}，B={x | x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆； ③A={x | x 是新华中学的班级}，B={x | x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生． 变式：将（3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f ： B →A 是从集合B 到集合A 的映射吗？（2）关于映射，下列说法错误的是 （ ） ①集合A 中的每个元素在B 集合中都存在元素与之对应；②“在B 集合中存在唯一元素和A 集合中元素对应”即A 中的元素不能对应B 集合中一个以上的元素； ③集合A 中可以有两个或两个以上的元素对应B 集合中的一个元素； ④集合B 中不可以有元素不被A 集合中的元素所对应；（3）判断下列对应是否为A 集合到B 集合的映射和一一映射？ ①xx f A x R B R A →∈==:,,,；②1:,,,-→∈==+x x f A x N B N A ；③{}{}22:,,,0,,22+-=→∈∈≥=∈≥=x x y x f A x Z y y y B Z x x x A ；④[][]()b a x a b y x f A x b a B A -+-=→∈==2:,,,,2,1（4）设集合A=｛a,b,c ｝, B=｛x,y,z ｝,从集合A 到集合B 的对应方式如下图所示，其中，哪几个对应关系是从集合A 到集合B 的映射？A① ② ③ A A④ ⑤ （5）、设A=｛a 、b ｝,B=｛c 、d ｝①用图示法表示集合A 到集合B 的所有不同映射；②集合A 到集合B 的所有不同映射中，一一映射有几个? ③若B=｛c 、d 、e ｝,则A 到B 可建立多少个不同映射；（6）.设f:A→B 是A 到B 的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y ∈R },f:(x,y)→(x -y,x+y),求: (1)A 中元素(-1,2)在B 中对应的元素;(2)在A 中什么元素与B 中元素(-1,2)对应？（7）设f,g 都是由A 到A 的映射,其对应法则如下表(从上到下):表2 映射g 的对应法则则与f ［g(1)］相同的是( )A.g ［f(1)］B.g ［f(2)］C.g ［f(3)］D.g ［f(4)］二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质1.函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 2.函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？ 结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 3.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关元？此时每天的销售利润是多少？例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值． 练习1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（）（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝．（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x＝时，函数取最值y＝；当x时，y随着x的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6 x－x2．4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．二次函数的三种表示方式1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．例3已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．练习1．选择题:（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法确定（2）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2) 2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a (a ≠0) ．（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．函数的表示方法1、列表法新中国成立后共进行了五次人口普查，各次普查得到的人口数据如下表所示，这张表清楚地表示了年份与当年普查总人口（单位：亿）的函数关系，从这张表，我们可从年份查出当年普查的人口总数问：（1）求此函数的定义域和值域（2）什么叫列表法？能否举几个例子？（3）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次王 伟98 87 91 92 88 95 张 城90 76 88 75 86 80 赵 磊68 65 73 72 75 82 班平均分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．2、图像法（1）画出下列函数的图像 ①1y x =-+；②2y x=；③22y x x =-+ （2）什么叫函数的图像？图像法对于函数()()y f x x A =∈定义域内的每一个x 值，都有唯一的y 值与它对应，把这两个对应的数构成的有序实数对(),x y 作为点P 的坐标，即(),P x y ，则所有这些点的集合F 叫做函数()y f x =的图像，即()(){},,F P x y y f x x A ==∈用“图形”表示函数的方法叫图像法. 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据(3) 下图中，可表示函数()x f y =的图像只能是（ ）(4)③2243,(03)y x x x =--≤< ④y =.3、解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。