优化方案(新课标)高考数学一轮复习第八章第1讲知能训练轻松闯关

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优化方案(新课标)高考数学一轮复习第1讲知能训练轻

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第1讲知能训练轻松闯关（选修4-1）1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，求BC 的长．解：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED⇒E 为AD 的中点，M 为BC 的中点．又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，∴BC ＝2MC ＝24 cm ．2．(2015·湖南岳阳模拟)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AE ·AB ＝AF ·AC ．证明：∵AD ⊥BC ，∴△ADB 为直角三角形．又∵DE ⊥AB ，由射影定理知，AD 2＝AE ·AB ．同理可得AD 2＝AF ·AC ， ∴AE ·AB ＝AF ·AC ．3．(2015·广东广州模拟)如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP ．证明：在正方形ABCD 中， ∵Q 是CD 的中点，∴AD QC＝2．∵BP PC ＝3，∴BC PC＝4．又∵BC ＝2DQ ，∴DQ PC＝2．在△ADQ 和△QCP 中，AD QC ＝DQCP，且∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP ．4．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，求S △CDE 的值．解：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ， ∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ， ∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED ．∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝3．5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 的延长线交AC 、CF 于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE ·PF ．证明：如图，连接PC ．易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP ． ∵CF ∥AB ， ∴∠F ＝∠ABP ．从而∠F ＝∠ACP ．又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE ∽△FPC ，∴CP FP ＝PEPC．∴PC 2＝PE ·PF ．又PC ＝PB ，∴PB 2＝PE ·PF ． 6．如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E ．求证：AE ·BF ＝2DE ·AF ．证明：取AC 的中点M ，连接DM 交CF 于点N ．在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ， ∴DN ＝12BF ．∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DE DN．又∵DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DEBF ，即AE ·BF ＝2DE ·AF ．)1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ．试证明：(1)AB ·AC ＝BC ·AD ；(2)AD 3＝BC ·CF ·BE ．证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD ．∴AB ·AC ＝BC ·AD ．(2)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得BD 2＝BE ·AB ，同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC ．又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ．又AB ·AC ＝BC ·AD ，即AD 3＝BC ·CF ·BE ．2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F ．(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAF ＝∠BCD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB ．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF ． ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S △DEF S △ABF ＝(DE AB)2．又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE ． ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14． ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8．∴S 四边形ABCD ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24．3．已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ．(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠1．又因为AD ＝AC ，所以∠2＝∠ACB ．所以△ABC ∽△FCD ．(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ．因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝(BC CD)2＝4．又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20．因为S △ABC＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4．因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BD BM ．因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12BC ＝5，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83．4．如图，在梯形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF ∥AD ，假设EF 做上下平行移动．(1)若AE EB ＝12，求证：3EF ＝BC ＋2AD ；(2)若AE EB ＝23，试判断EF 与BC ，AD 之间的关系，并说明理由；(3)请你探究一般结论，即若AE EB ＝mn，那么你可以得到什么结论？解：过点A 作AH ∥CD 分别交EF ，BC 于点G ，H (图略)．(1)证明：因为AE EB ＝12，所以AE AB ＝13，又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ＝13，即3EG ＝BH ．又EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝EF ，从而EF ＝13(BC －HC )＋AD ，所以EF ＝13BC ＋23AD ，即3EF ＝BC ＋2AD ．(2)EF 与BC ，AD 的关系式为5EF ＝2BC ＋3AD ，理由和(1)类似． (3)因为AE EB ＝m n ，所以AE AB ＝m n ＋m ．又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ，即EG ＝mm ＋nBH ．所以EF ＝EG＋GF ＝EG ＋AD ＝mm ＋n(BC －AD )＋AD ，所以EF ＝mm ＋n BC ＋nm ＋n ·AD ，即(m ＋n )EF ＝mBC ＋nAD ．。

【优化方案】(新课标)高考数学一轮复习第一章第1讲知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第一章第1讲知能训练轻松闯关1．(2015·河南省洛阳市统一考试)已知集合A ＝{1，2，4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9解析：选D ．集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共9个．2．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )A ．AB B ．B AC ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：选B ．由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，∴B A ，故选B ．3．(2014·高考江西卷)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－3，0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3，3)解析：选C ．由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}， ∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}．4．(2015·福建南安一中期末)全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x ≤1}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D ．阴影部分表示的集合是A ∩B ．依题意知，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |－1≤y ≤1}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}，故选D ．5．(2015·山东临沂期中)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D ．∵x 2－3x ＋2>0，∴x >2或x <1． ∴A ＝{x |x >2或x <1}，∵B ＝{x |x ≤a }， ∴∁U B ＝{x |x >a }．∵∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D ．6．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1．答案：(－∞，1]7．(2015·江西八校联考)已知R 是实数集，集合M ＝{x |3x<1}，N ＝{y |y ＝t －2t －3，t ≥3}，则N ∩∁R M ＝________．解析：解不等式3x<1，得x <0或x >3，所以∁R M ＝[0，3]．令t －3＝x ，x ≥0，则t ＝x 2＋3，所以y ＝x 2－2x ＋3≥2，即N ＝[2，＋∞)．所以N ∩∁R M ＝[2，3]．答案：[2，3]8．已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意； n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1； n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1； n ≤－2时，x ∉Z ．故A ＝{－2，2，1，－1}，又U ＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U A ＝{0}．答案：{0}9．已知集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a ，9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B ．解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝3或a ＝－3．当a ＝5时，A ＝{－4，9，25}，B ＝{0，－4，9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7，9}，B ＝{－8，4，9}，所以a ＝5或a ＝－3．(2)由(1)可知，当a ＝5时， A ∩B ＝{－4，9}，不合题意，当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}．所以a ＝－3．10．(2015·河北衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1＞5－a ，得a ＞3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝25－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．1．(2015·河南郑州模拟)已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|x2＋y 2＝1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ．法一：(解方程组)集合A ∩B 的元素个数即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2＋y 2＝1解的个数，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，有两组解，故选C ．法二：(数形结合)在同一坐标系下画出直线x ＋y －1＝0和圆x 2＋y 2＝1的图象，如图，直线与圆有两个交点．即A ∩B 的元素个数是2，故选C ．2．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1，3，4}为“权集”B ．{1，2，3，6}为“权集”C ．“权集”中可以有元素0D ．“权集”中一定有元素1解析：选B ．由于3×4与43均不属于数集{1，3，4}，故A 不正确；由于1×2，1×3，1×6，2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1，2，3，6}，故B 正确；由“权集”的定义可知a j a i需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C ，D 错误，选B ．3．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m (m －3)≤0，m ∈R }，若A ∩B ＝[2，4]，则实数m ＝________．解析：由题知A ＝[－2，4]，B ＝[m －3，m ]，因为A ∩B ＝[2，4]，故⎩⎪⎨⎪⎧m －3＝2m ≥4，则m ＝5．答案：54．某校田径队共30人，主要专练100 m ，200 m 与400 m ．其中练100 m 的有12人，练200 m 的有15人，只练400 m 的有8人．则参加100 m 的专练人数为________．解析：用Venn 图表示A 代表练100 m 的人员集合，B 代表练200 m 的人员集合，C 代表练400 m 的人员集合， U 代表田径队共30人的集合，设既练100 m 又练200 m 的人数为x ，则专练100 m 的人数为12－x ． ∴12－x ＋15＋8＝30，解得x ＝5．所以专练100 m 的人数为12－5＝7．答案：75．(2015·福建三明模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13．综上知m ≥0即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．6．(选做题)(2015·浙江金丽衢十二校第一次联考)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．判断下列四个集合是否为“垂直对点集”．①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y ＝1x ；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}；③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；④M ＝{(x ，y )|y ＝e x－2}．解：依题意，要使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，只需过原点任作一直线l 1与该函数的图象相交，再过原点作与l 1垂直的直线l 2也与该函数的图象相交即可．对于①，取l 1：y ＝x ，则l 2：y ＝－x 与函数y ＝1x图象没有交点，①中M 不是“垂直对点集”；③中取l 1：y ＝0，则l 2：x ＝0与函数y ＝log 2x 图象没有交点，③中M 不是“垂直对点集”；如图所示，作出②④中两个函数的图象知：过原点任作一直线l 1与该函数的图象相交，再过原点作与l 1垂直的直线l 2也与该函数的图象相交．故②④中的集合M 是“垂直对点集”．。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习第八章第8讲第3课时知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第八章第8讲第3课时知能训练轻松闯关1．(2015·东北三校联合模拟)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设P (x ，y )，则x 2＋（y －2）2＝(y ＋1)＋1⇒x 2＝8y ．所以E 的方程为x 2＝8y ．(2)证明：易知直线AB 的斜率存在，设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中，得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b ．OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16⇒b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0，4)． 2．(2015·河北省唐山市高三年级统考)已知抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)，直线y ＝kx ＋2与E 交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝2，其中O 为原点．(1)求抛物线E 的方程；(2)点C 坐标为(0，－2)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 21＋k 22－2k 2为定值．解：(1)将y ＝kx ＋2代入x 2＝2py ，得x 2－2pkx －4p ＝0，其中Δ＝4p 2k 2＋16p ＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－4p ．OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 212p ·x 222p＝－4p ＋4＝2．所以p ＝12，所以抛物线E 的方程为x 2＝y ．(2)证明：由(1)知，x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2．k 1＝y 1＋2x 1＝x 21＋2x 1＝x 21－x 1x 2x 1＝x 1－x 2，同理k 2＝x 2－x 1，所以k 21＋k 22－2k 2＝2(x 1－x 2)2－2(x 1＋x 2)2＝－8x 1x 2＝16．3．(2015·山西省四校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1，0)，右顶点为A ，且|AF |＝1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t ，0)，使得MP →·MQ →＝0．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，∴b ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m 3x 2＋4y 2＝12，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ∴Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2．设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ，y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m，即P (－4k m，3m)． ∵M (t ，0)，Q (4，4k ＋m )，∴MP →＝(－4k m －t ，3m)，MQ →＝(4－t ，4k ＋m )． ∴MP →·MQ →＝(－4k m －t )·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m(t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1t 2－4t ＋3＝0，即t ＝1． ∴存在点M (1，0)符合题意．。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习第2讲知能训练轻松闯关(选修44)

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第2讲知能训练轻松闯关（选修4-4）1．(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－82．所以AB ＝|t 1－t 2|＝82．2．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求|AB |的最小值．解：曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1，知C 1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2：ρ＝1的直角坐标方程是x 2＋y 2＝1，可知C 2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C 1和C 2上的两点A ，B 的最短距离．由圆的方程知，这两个圆相离，所以|AB |min ＝（3－0）2＋（4－0）2－1－1＝5－1－1＝3．3．(2015·东北三校联合模拟)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ．(1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．解：(1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x ＝4．(2)设Q (2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离d ＝|2sin θ＋2cos θ－4|3＝|2sin （θ＋π4）－4|3≥23＝233，当且仅当θ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即θ＝2k π＋π4(k ∈Z )时取等号．4．(2015·山西省忻州市第一次联考)在直角坐标平面内，直线l 过点P (1，1)，且倾斜角α＝π4．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ．(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求|PA |·|PB |的值．解：(1)∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，则x 2＋y 2－4y ＝0，即圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0． (2)由题意，得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t y ＝1＋22t (t 为参数)．将该方程代入圆C 方程x 2＋y 2－4y ＝0，得(1＋22t )2＋(1＋22t )2－4(1＋22t )＝0，即t 2＝2，∴t 1＝2，t 2＝－2．即|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2．5．(2015·石家庄第一次模拟)在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2cos αy ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为：ρ＝cos θ．(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值．解：(1)∵ρ＝cos θ， ∴x 2＋y 2＝x ，即(x －12)2＋y 2＝14．(2)设P (2cos α，2sin α)，易知C 2(12，0)，∴|PC 2|＝（2cos α－12）2＋（2sin α）2＝4cos 2α－2cos α＋14＋2sin 2α＝2cos 2α－2cos α＋94，当cos α＝12时，|PC 2|取得最小值，|PC 2|min ＝72，∴|PQ |min ＝7－12． 6．(2015·河北唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．(1)求C 的直角坐标方程；(2)直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，求|EA |＋|EB |的值．解：(1)在ρ＝2(cos θ＋sin θ)中，两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，则C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得t 2－t －1＝0，点E 对应的参数t ＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1，所以|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝5．1．(2015·新乡许昌平顶山第二次调研)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝32t (t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)． (1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1．联立方程⎩⎨⎧y ＝3（x －1）x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1的交点为A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|AB |＝1．(2)C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos θy ＝32sin θ(θ为参数)．故点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ．从而点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin （θ－π4）＋2，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64(2－1)．2．(2013·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos (θ－π4)＝22．(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0．解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为(4，π2)，(22，π4)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1．所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.3．(2015·贵州省六校联考)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2＝2ax (a >0)，x －y －2＝0． (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0．设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )，∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2，∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，∴a ＝1．4．(2015·吉林长春调研)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－3t2，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)点P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围．解：(1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ．又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0． (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t ，又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2，2]．。

【新人教B版】高中数学(文)《优化方案》总复习课件第8章第1课时

解析：①错，必须是两个相邻的侧面；②
正确；③错，反例，可以是斜四棱柱；④
正确，对角线两两相等，则此两对角线所
在的平行四边形为矩形．
答案：②④
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(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形
的四棱柱．
几何体的三视图
对于简单几何体的组合体的三视图，首先
要确定主视、左视、俯视的方向，其次要
注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们
的组成方式，特别应注意它们的交线的位
置．
例2 如图的三个图中，上面是一个长方体截
去一个角后所得多面体的直观图，它的主视图
和左视图在下面画出(单位：cm)．
真题透析
例年高考安徽卷)一个几何体的三视图 (2010
如图，该几何体的表面积为(
)
A．280 C．360 【解析】
B．292 D．372 由三视图可知该几何体是由下面一个
长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．
∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋
10×2×2＝232，上面长方体的表面积为 8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232 ＋152－2×6×2＝360.
互动探究
把本例中的几何体上、下颠倒后如
图，试画出它的三视图．
解：三视图：
几何体的直观图画几何体的直观图一般采用斜二测画法，步骤清晰易掌握，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握，在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查画法中角度和长度的变化．

高三数学一轮复习第八章第1课时知能演练轻松闯关新人教版

1．(2010·高考安徽卷)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：选A.与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为：x －2y ＋c ＝0，将点(1,0)代入x －2y ＋c ＝0，解得：c ＝－1，故直线方程为x －2y －1＝0.2．直线x ＋a 2y －a ＝0(a ＞0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．0解析：选A.方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a ＞0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号．3．直线l 经过点A (2,1)，B (1，m 2)两点(m ∈R)．则直线l 的倾斜角的取值范围为________．解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π4．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)且与经过点(－2,1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为________．解析：由于直线l 与经过点(－2,1)且斜率为－23的直线垂直，可知a －2≠－a －2，即a ≠0，∵k l ＝1－－1－a －2－a －2＝－1a ，∴－1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，得a ＝－23.答案：－23一、选择题1．(2012·洛阳调研)已知直线l 1：y ＝x ，若直线l 2⊥l 1，则直线l 2的倾斜角为( ) A.π4 B ．k π＋π4(k ∈Z) C.3π4 D ．k π＋3π4(k ∈Z) 解析：选C.根据l 2⊥l 1，且l 1的斜率为1，可得l 2的斜率为－1，因此直线l 2的倾斜角为34π.2．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0解析：选B.∵B (3,1)，C (1,3)，∴k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A ，所以其直线方程为x －y ＋2＝0. 3．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B.32 C ．3 D. －3解析：选A.过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y －13－1＝x －－10－－1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，即为所求．4．(2012·大同质检)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：选B.斜率k ＝－1a 2＋1，故k ∈[－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C.由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA >0，在y 轴上的截距－C B>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．二、填空题6．已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________．解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k ＝t an60°＝3，又因为直线在y 轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5. 答案：y ＝3x ＋57．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2＜0，解得－2＜a ＜1. 答案：(－2,1)8．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________．解析：AB 所在直线方程为x 3＋y4＝1，∴x 3·y 4≤14(x 3＋y 4)2＝14， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4时取等号．答案：3 三、解答题9．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x－y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.10．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴、y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得|(3k ＋4)(－4k－3)|＝6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 11．已知直线l 过点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于点A ，B (如图)．若线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程．解：∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上，故可设点B 的坐标为(a,8－2a )． ∵P (0,1)是线段AB 的中点，得点A 的坐标为(－a,2a －6)．又∵点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上，故将A (－a,2a －6)代入直线l 1的方程，得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4. ∴点B 的坐标是(4,0)．因此，过P (0,1)，B (4,0)的直线l 的方程为x 4＋y1＝1，即x ＋4y －4＝0.。

【优化方案】(新课标)高考数学一轮复习第八章第3讲知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第八章第3讲知能训练轻松闯关1．经过点(1，0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝1B ．．(x －1)2＋(y －1)2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选B ．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1．2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“F ＝E ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．由题意可知，要求圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，0，而D 可以大于0．3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选D ．由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝5．4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析：选A ．由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a ，1)，又圆与直线4x－3y ＝0相切，可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1．5．(2015·温州模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ． 2解析：选C ．圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形PACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0，1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k2＝5，解得k ＝±2，又k ＞0，所以k ＝2．6．如果直线l 将圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大距离为________．解析：由题意，知直线l 过圆心C (2，－3)，当直线OC ⊥l 时，坐标原点到直线l 的距离最大，|OC |＝22＋（－3）2＝13．答案：137．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________．解析：设圆心坐标为M (x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9．答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝98．(2015·太原市模拟)已知点P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，点C 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，那么|PC |的最小值是________．解析：点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点P 的最小距离即为点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，而圆心C 的坐标是(1，1)，因此最小距离为|3×1＋4×1＋8|5＝3．答案：39．在平面直角坐标系xOy 中，求与x 轴相交于A (1，0)和B (5，0)两点且半径为5的圆的标准方程．解：法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5．因为点A ，B 在圆上，所以可得到方程组：⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（0－b ）2＝5，（5－a ）2＋（0－b ）2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝±1.所以圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5．法二：由于A ，B 两点在圆上，那么线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可以设圆心为C (3，b )．又AC ＝5，得（3－1）2＋b 2＝5．解得b ＝1或b ＝－1．因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5．10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0． (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上，得a ＋b －3＝0．①又∵直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210，∴(a ＋1)2＋b 2＝40．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3，6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．1．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D ．曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其为圆心为(－a ，2a )，半径为2的圆，要使圆C 的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a ，2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径，易知圆心到坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，得a >2．2．已知两点A (0，－3)、B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6B ．112C ．8D ．212解析：选B ．如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112．3．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________．解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4．答案：3π44．(创新题)已知直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆O ：x 2＋y 2＝1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形，点P (a ，b )是以点M (0，1)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最小值为________．解析：因为直线与圆O 相交所得△AOB 是直角三角形，可知∠AOB ＝90°，所以圆心O到直线的距离为12a 2＋b 2＝22，所以a 2＝1－12b 2≥0，即－2≤b ≤2．设圆M 的半径为r ，则r ＝|PM |＝a 2＋（b －1）2＝12b 2－2b ＋2＝22(2－b )，又－2≤b ≤2，所以2＋1≥|PM |≥2－1，所以圆M 的面积的最小值为(3－22)π．答案：(3－22)π5．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为23．(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ．由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3．故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1．(2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22．又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝3．由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝3．故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3．6．(选做题)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O ．(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8． ∵直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ， ∴O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8b a＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2．由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0， ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8． (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＋y 2＝16，（x ＋2）2＋（y －2）2＝8，解之得x ＝45或x ＝0(舍去)．∴存在点Q (45，125)，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长．。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习专题讲座二知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习专题讲座二知能训练轻松闯关1．(2015·吉林长春调研)对于非空实数集A ，记A *＝{y |∀x ∈A ，y ≥x }．设非空实数集合M ，P 满足：M ⊆P ，且若x >1，则x ∉P .现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M ，P ，必有P *⊆M *；②对于任意给定符合题设条件的集合M ，P ，必有M *∩P ≠∅；③对于任意给定符合题设条件的集合M ，P ，必有M ∩P *＝∅；④对于任意给定符合题设条件的集合M ，P ，必存在常数a ，使得对任意的b ∈M *，恒有a ＋b ∈P *，其中正确的命题是( )A ．①③B ．③④C ．①④D ．②③解析：选C.对于②，假设M ＝P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0<x <12，则M *＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≥12，则M *∩P ＝∅，因此②错误；对于③，假设M ＝P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤12，则12∈M ，又12∈P *，则M ∩P *≠∅，因此③也错误；而①和④都是正确的．2．(2015·贵州省六校联考)给出定义：若x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤m －12，m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做与实数x “亲密的整数”，记作{x }＝m ，在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：①函数y ＝f (x )在x ∈(0，1)上是增函数；②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k2(k ∈Z )对称；③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期为1；④当x ∈(0，2]时，函数g (x )＝f (x )－ln x 有两个零点．其中正确命题的序号是( )A ．②③④B ．①③C ．①②D ．②④解析：选A.由函数定义可知当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12时，f (x )＝|x －{x }|＝|x －0|；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32时，f (x )＝|x －{x }|＝|x －1|；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，52时，f (x )＝|x －{x }||x －2|；….可以作出函数的图象(如图)，根据函数的图象可以判断①错误，②③是正确的，④由函数的图象再作出函数y ＝ln x ，x ∈(0，2]的图象，可判断有两个交点，故④也正确．3．若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n －i ＋1(i 是正整数，且1≤i ≤n )，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b n }是项数为7的“对称数列”，且b 1，b 2，b 3，b 4成等差数列，b 1＝2，b 4＝11，则{b n }的项为________．解析：设数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，则b 4＝b 1＋3d ＝2＋3d ＝11，解得d ＝3，所以数列{b n }的项为2，5，8，11，8，5，2.答案：2，5，8，11，8，5，24．(2015·海淀区第二学期期中练习)已知向量序列：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…满足如下条件：|a 1|＝4|d |＝2，2a 1·d ＝－1且a n －a n －1＝d (n ＝2，3，4，…)．若a 1·a k ＝0，则k ＝________；|a 1|，|a 2|，|a 3|，…，|a n |，…中第________项最小．解析：因为a n －a n －1＝d ，所以a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，…，a n －a n －1＝d ，利用叠加法可得a n ＝a 1＋(n －1)d .因为a 1·a k ＝0，所以a 1·[a 1＋(k －1)d ]＝0，a 21＋(k －1)a 1·d ＝0，即4＋(k －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，k ＝9.又a 2n ＝a 21＋(n －1)2d 2＋2(n －1)a 1·d ＝（n －1）24－(n －1)＋4＝14(n －3)2＋3，所以当n ＝3时，a 2n 取最小值，即|a n |取最小值．答案：9 35．(2015·海淀区第二学期期中练习)在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横、纵坐标都是整数的点)A (n )：A 1，A 2，A 3，…，A n 与B (n )：B 1，B 2，B 3，…，B n ，其中n ≥3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段A i A i ＋1⊥B i B i ＋1，其中i ＝1，2，3，…，n －1，则称A (n )与B (n )互为正交点列．(1)求A (3)：A 1(0，2)，A 2(3，0)，A 3(5，2)的正交点列B (3)；(2)判断A (4)：A 1(0，0)，A 2(3，1)，A 3(6，0)，A 4(9，1)是否存在正交点列B (4)？并说明理由；(3)∀n ≥5，n ∈N ，是否都存在无正交点列的有序整点列A (n )？并证明你的结论．解：(1)设点列A 1(0，2)，A 2(3，0)，A 3(5，2)的正交点列是B 1，B 2，B 3，由正交点列的定义可知B 1(0，2)，B 3(5，2)，设B 2(x ，y )，由A 1A 2→＝(3，－2)，A 2A 3→＝(2，2)，B 1B 2→＝(x ，y －2)，B 2B 3→＝(5－x ，2－y )，由正交点列的定义可知A 1A 2→·B 1B 2→＝0，A 2A 3→·B 2B 3→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －2（y －2）＝02（5－x ）＋2（2－y ）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5，所以点列A 1(0，2)，A 2(3，0)，A 3(5，2)的正交点列是B 1(0，2)，B 2(2，5)，B 3(5，2)．(2)由题可得A 1A 2→＝(3，1)，A 2A 3→＝(3，－1)，A 3A 4→＝(3，1)，设点列B 1，B 2，B 3，B 4是点列A 1，A 2，A 3，A 4的正交点列，则可设B 1B 2→＝λ1(－1，3)，B 2B 3→＝λ2(1，3)，B 3B 4→＝λ3(－1，3)，λ1，λ2，λ3∈Z ，因为A 1与B 1，A 4与B 4相同，所以有－λ1＋λ2－λ3＝9，①3λ1＋3λ2＋3λ3＝1，②因为λ1，λ2，λ3∈Z ，方程②显然不成立，所以有序整点列A 1(0，0)，A 2(3，1)，A 3(6，0)，A 4(9，1)不存在正交点列．(3)∀n ≥5，n ∈N ，都存在整点列A (n )无正交点列．∀n ≥5，n ∈N ，设A i A i ＋1――→＝(a i ，b i )，其中a i ，b i 是一对互质整数，i ＝1，2，3，…，n－1，若有序整点列B 1，B 2，B 3，…，B n 是点列A 1，A 2，A 3，…，A n 的正交点列，则B i B i ＋1――→＝λi (－b i ，a i )，i ＝1，2，3，…，n －1，则有∑n －1i ＝1 （－λi b i ）=∑n －1i ＝1a i , （*） ∑n －1i ＝1 λi a i , = ∑n －1i ＝1b i (**) ①当n 为偶数时，取A 1(0，0)，a i ＝3，b i ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，i 为奇数－1，i 为偶数， i ＝1，2，3，…，n －1.由于B 1，B 2，B 3，…，B n 是整点列，所以有λi ∈Z ，i ＝1，2，3，…，n －1.等式(**)中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列A 1，A 2，A 3，…，A n 无正交点列；②当n 为奇数时，取A 1(0，0)，a 1＝3，b 1＝2，a i ＝3，b i ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，i 为奇数－1，i 为偶数，i ＝2，3，…，n －1，由于B 1，B 2，B 3，…，B n 是整点列，所以有λi ∈Z ，i ＝1，2，3，…，n －1. 等式(**)中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列A 1，A 2，A 3，…，A n 无正交点列．综上所述，∀n ≥5，n ∈N ，都存在无正交点列的有序整点列A (n ).。

(新课标)高考数学一轮复习第八章第2讲知能训练轻松闯关

（新课标）高考数学一轮复习第八章第2讲知能训练轻松闯关【优化方案】（新课标） 2016 高考数学一轮复习第八章第2讲知能训练轻松闯关1．若直线l：ax＋2y＋6＝0与直线 l ：x＋( a－2垂直，则实数 a＝()1) y＋a－ 1＝0122B ．－1A．3C． 2 D ．－1或2分析：选 A．由a×1＋ ( a－1) ×2＝ 0，2∴ a＝3．2．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l 2 过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3， 0) B ．( －3，0)C． (0 ，－ 3) D ．(0 ，3)分析：选 D．∵l1∥l2，且l1的斜率为 2，∴l2的斜率为 2．又 l 2过点(－1，1)，∴ l 2的方程为 y－1＝2( x＋1)，整理即得： y＝2x＋3，令 x＝0，得 y＝3，∴ P 点坐标为(0，3)．3．(2015 ·广州模拟 ) 直线x－ 2y＋1＝ 0 对于直线x＝1 对称的直线方程是 ()A．x＋2y－ 1＝ 0 B ．2x＋y－ 1＝ 0C． 2x＋y－ 3＝ 0 D ．x＋ 2y－ 3＝ 0分析：选 D．由题意得直线x－2y＋1＝0与直线 x＝1的交点坐标为(1，1)．又直线 x－2y＋1＝0上的点 ( －1， 0) 对于直线x＝ 1 的对称点为 (3 ， 0) ，所以由直线方y－0x－3程的两点式，得1－0＝1－3，即 x＋2y－3＝0．4．已知过点A( － 2，m) 和点B( m，4) 的直线为l1，直线 2x＋y－ 1＝0 为l2，直线x＋ny ＋1＝ 0 为l．若 l ∥ l ，l ⊥ l ，则实数 m＋ n 的值为()31223A．－ 10 B ．－2C． 0 D ．8分析：选 A．∵l1∥l2，4－m∴ k AB＝m＋2＝－2．解得 m＝－8．又∵ l 2⊥l 3，1∴－n× ( － 2) ＝－ 1，解得n＝－ 2，∴ m＋ n＝－10．5．若向量＝ (k＋2，1) 与向量b＝( －，1)共线，则直线y＝kx＋b必经过定点 ()a bA． (1 ，－ 2) B ．(1 ，2)C． ( －1， 2) D ．( －1，－ 2)分析：选 A．由于向量＝ (＋ 2，1) 与向量＝ ( －，1) 共线，则＋2＝－，即＝－2－ k ，于是直线方程化为 y ＝kx － k － 2，即 y ＋ 2＝ k ( x － 1) ，故直线必过定点 (1，－ 2)．6．(2015 ·昆明三中、玉溪一中统考 ) 已知 A 、 B 两点分别在两条相互垂直的直线 2x － y10＝0 和 x ＋ ay ＝ 0 上，且线段 AB 的中点为 P (0 ， a ) ，则线段 AB 的长为 ________．分析：依题意，＝ 2 ， (0，5) ，设 ( ， 2 )、 (－2 ， x － 2y ＝ 0(4 ，) ，故，则 a P A x x By y 2x ＋ y ＝ 10 A8) 、B (－4，2)，∴ | AB | ＝（4＋ 4） 2＋（ 8－ 2） 2＝10．答案： 107．已知直线 l 1与 l ： x ＋y － 1＝ 0 平行，且 l1与 l 2 的距离是2，则直线 l1的方程为2________．与 l ：x ＋ y － 1＝0l的方程为 x ＋ y ＋ b ＝ 0( b ≠－ 1) ．分析：由于 l1 平行，所以可设12又由于 l 1 与 l 2 的距离是2 ，所以| b ＋ 1| 2＝2，21 ＋ 1解得＝1或＝－3，bb即 l 1 的方程为 x ＋y ＋ 1＝ 0 或 x ＋ y － 3＝ 0．答案： x ＋ y ＋ 1＝ 0 或 x ＋y － 3＝ 08．设直线 l 经过点 ( － 1，1) ，则当点 (2 ，－ 1) 与直线 l 的距离最远时，直线l 的方AB程为 ________．分析：设点 (2 ，－ 1) 到直线 l 的距离为 d ，B当 d ＝| AB | 时获得最大值，此时直线 l垂直于直线 AB ， k l ＝－ 1 3＝，k AB 2 3∴直线 l 的方程为 y － 1＝2( x ＋ 1) ，即 3x － 2y ＋ 5＝0．答案： 3x － 2y ＋5＝ 09．已知两直线 l 1： ax － by ＋ 4＝ 0 和 l 2：( a － 1) x ＋ y ＋ b ＝ 0，求知足以下条件的 a ， b 的值．(1) l 1⊥ l 2，且直线 l 1 过点 ( － 3，－ 1) ； (2) l 1∥ l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解： (1) ∵ l 1⊥ l 2，∴ a ( a － 1) － b ＝ 0．又∵直线 l 1 过点 ( － 3，－ 1) ，∴－ 3a ＋ b ＋ 4＝0．故 a ＝2， b ＝ 2．(2) ∵直线 l 2 的斜率存在， l 1 ∥l 2，∴直线 l 1 的斜率存在． ∴ 1 ＝ 2，即 a＝ 1－．kkba又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴ l 1 ， l 2 在 y 轴上的截距互为相反数，即4＝ b ．b2故 a ＝2， b ＝－ 2 或 a ＝ 3， b ＝ 2．10．已知直线 l ： 3x － y ＋3＝ 0，求：(1) 点 P (4 ， 5) 对于直线 l 的对称点；(2) 直线 x － y －2＝ 0 对于直线 l 对称的直线方程．解：设 P ( x ， y ) 对于直线 l ： 3x －y ＋ 3＝ 0 的对称点为 P ′ ( x ′， y ′ ) ．y ′－ y∵ k PP ′· k l ＝－ 1，即 x ′－ x × 3＝－ 1．① 又 PP ′的中点在直线 3x － y ＋ 3＝0 上，x ′＋ x y ′＋ y∴3×－＋ 3＝0．②22x ′＝－ 4x ＋ 3y － 9③5由①②得．y ′＝3x ＋4y ＋ 3④5(1) 把 x ＝ 4， y ＝ 5 代入③④，得 x ′＝－ 2， y ′＝ 7， ∴P (4 ， 5) 对于直线 l 的对称点 P ′的坐标为 ( － 2， 7) ．－ 4x ＋3y － 9(2) 用③④分别代换x － y － 2＝ 0 中的 x ，y ，得对于直线 l 对称的直线方程为3x ＋ 4y ＋ 3－－2＝ 0，5化简得 7x ＋ y ＋22＝ 0．51．若动点 A ，B 分别在直线 l ： x ＋ y － 7＝ 0 和 l ：x ＋ y － 5＝ 0 上挪动，则 AB 的中点 M12到原点的距离的最小值为 ()A ． 3 2B ．2 2C ． 3 3D ．4 2分析：选 A ．依题意知，的中点的会合为与直线 l 1：＋ y －7＝0 和 l 2：＋ y －5＝ABMxx0 距离相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点 M 所在直线的方程为 l ： x ＋ y ＋ m ＝ 0，依据平行线间的距离公式得| m ＋ 7| ＝| m ＋ 5|＋ 7| ＝＋22 ? | m | m 5| ? m＝－ 6，即 l ：x ＋ y － 6＝ 0，依据点到直线的距离公式，得中点 M 到原点的距离的最小值为 |－6| ＝ 3 2．22．(2015 ·洛阳统考 ) 已知点 ( 0， 0) 是直线 l ：＋＋＝0 外一点，则方程＋ By＋C ＋ ( Ax 0＋ By 0＋ C ) ＝ 0 表示 (P xyAxBy CAx)A ．过点 P 且与 l 垂直的直线B ．过点 P 且与 l 平行的直线C ．可是点 P 且与 l 垂直的直线D ．可是点 P 且与 l 平行的直线上，所以 Ax ＋By ＋ C ≠0，所以分析：选 D ．由于点 P ( x ， y ) 不在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0直线＋＋＋(＋，清除 A 、 B ；又直线 0 00＋ 0＋ )＝0 不经过点＋＋＋(Ax By C Ax By C P Ax By C Ax By ＋C ) ＝ 0 与直线 l ： Ax ＋ By ＋C ＝ 0 平行，清除 C ，应选 D ．3．已知点 (1 ， 3) 对于直线 y ＝ kx ＋ b 对称的点是 ( －2， 1) ，则直线＝ kx ＋ b 在 x A B y轴上的截距是 ________．3－ 111＋ 2· k ＝－ 1分析：由题意得线段 AB 的中点 ( －2， 2) 在直线 y ＝ kx ＋ b 上，故1 ，2＝ k ·（－ 2）＋ b35 3 535 5解得 k ＝－ 2，b ＝4，所以直线方程为y ＝－ 2x ＋ 4．令 y ＝ 0，即－ 2x ＋ 4＝ 0，解得 x ＝ 6，故5 直线 y ＝ kx ＋ b 在 x 轴上的截距为 6．5答案： 64．已知平面上三条直线 x ＋ 2y － 1＝ 0，x ＋ 1＝ 0，x ＋ ky ＝ 0，假如这三条直线将平面划分为六部分，则实数 k 的全部取值为 ________．k ＝ 0 分析：若三条直线有两条平行，此外一条与这两条直线订交，则切合要求，此时或 2；若三条直线交于一点，也切合要求，此时 k ＝ 1，故实数 k 的全部取值为 0， 1， 2．答案： 0， 1， 2 ＋2＋ 1＝0 和直线 2： ( 2＋ 1) －＋ 3＝0( ， ∈R) ．5．已知直线l 1：l a ax a yx by b(1) 若 l 1∥ l 2，求 b 的取值范围；(2) 若 l 1⊥ l 2，求 | ab | 的最小值．解： (1) 由于 l 1∥ l 2，所以－ b － ( a 2＋ 1) a 2＝0，2 2 4 2 ＝－ ( 21 2 1 即 b ＝－ a ( a ＋ 1) ＝－ a － a a ＋ ) ＋，2 4 由于 a 2≥0，所以 b ≤ 0．又由于 a 2＋1≠3，所以 b ≠－ 6．故 b 的取值范围是 ( －∞，－ 6) ∪( － 6， 0] ． (2) 由于 l 1⊥ l 2，所以 ( a 2＋ 1) －a 2b ＝ 0，1 1明显 a ≠0，所以 ab ＝ a ＋ a ， | ab | ＝ | a ＋ a | ≥ 2，当且仅当 a ＝±1时等号成立，所以 | ab | 的最小值为 2．6．( 选做题 ) A ，B 两个工厂距一条河分别为 400 m 和 100 m ，A ，B 两工厂之间距离 500 m ，把小河看作一条直线，今在小河畔上建一座供水站，供 A ，B 两工厂用水，要使供水站到 A ， B 两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？解：如图，以小河所在直线为 x 轴，过点 A 的垂线为 y 轴，成立直角坐标系，则点 A (0 ， 400) ，点 B ( a ， 100) ．过点 B 作 BC ⊥ AO 于点 C ．在△ ABC 中， AB ＝ 500， AC ＝ 400－100＝ 300，由勾股定理得 BC ＝ 400， ∴ B (400 ， 100) ．点 A (0 ， 400) 对于 x 轴的对称点 A ′(0 ，－ 400) ，5由两点式得直线 A ′ B 的方程为 y ＝4x － 400．令 y ＝0，得 x ＝320，即点 P (320 ，0) ．故供水站 ( 点 P ) 在距 O 点 320 m 处时，到 A ， B 两厂铺设的水管长度之和最短．。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习第2讲知能训练轻松闯关(选修4-1)-人教版高三选修4-1数学

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第2讲知能训练轻松闯关（选修4-1）1．如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点E ．(1)求证：E 是AB 的中点； (2)求线段BF 的长．解：(1)证明：由题意知，AB 与圆D 和圆O 相切，切点分别为A 和B ，由切割线定理有：EA 2＝EF ·EC ＝EB 2，∴EA ＝EB ，即E 为AB 的中点．(2)由BC 为圆O 的直径，易得BF ⊥CE ，∴S △BEC ＝12BF ·CE ＝12CB ·BE ，∴BF BE ＝CB CE ，∴BF ＝55a ． 2．(2015·某某市质量预测) 如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ．(1)证明：A 、E 、F 、M 四点共圆； (2)若MF ＝4BF ＝4，求线段BC 的长．解：(1)证明：如图，连接AM ，由AB 为直径可知∠AMB ＝90°，又CD ⊥AB ，所以∠AEF ＝∠AMB ＝90°，因此A 、E 、F 、M 四点共圆．(2)连接AC ，由A 、E 、F 、M 四点共圆，可知BF ·BM ＝BE ·BA ，在Rt △ABC 中，BC 2＝BE ·BA ，又由MF ＝4BF ＝4，知BF ＝1，BM ＝5，所以BC 2＝5，BC ＝5．3．(2015·某某省四校联考) 如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E ．(1)求证：AB AC ＝PA PC；(2)求AD ·AE 的值．解：(1)证明：∵PA 为圆O 的切线，∴∠PAB ＝∠ACP ，又∠P 为公共角， ∴△PAB ∽△PCA ，∴AB AC ＝PA PC．(2)∵PA 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线，∴PA 2＝PB ·PC ， ∴PC ＝20，BC ＝15，又∵∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225，又由(1)知AB AC ＝PA PC ＝12，∴AC ＝65， AB ＝35，连接EC (图略)，则∠CAE ＝∠EAB ， ∴△ACE ∽△ADB ，AB AE ＝ADAC，∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90．4．(2015·某某某某质量检测)如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C ，D 两点，交圆O 于E ，F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．(1)求证：B ，D ，H ，F 四点共圆；(2)若AC ＝2，AF ＝22，求△BDF 外接圆的半径．解：(1)证明：因为AB 为圆O 的一条直径，所以BF ⊥FH ．又DH ⊥BD ，故B ，D ，F ，H 四点在以BH 为直径的圆上．所以，B ，D ，F ，H 四点共圆．(2)由题意得AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得AF 2＝AC ·AD ，即(22)2＝2·AD ，AD ＝4，所以BD ＝12(AD －AC )＝1，BF ＝BD ＝1．又△AFB ∽△ADH ，则DH BF ＝AD AF，得DH ＝2．连接BH (图略)，由(1)可知BH 为△BDF 外接圆的直径．BH ＝BD 2＋DH 2＝3，故△BDF 的外接圆半径为32． 5．(2014·高考某某卷) 如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ．(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED ．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD ．由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ．又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PFA ．由于AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，于是∠BDA ＝90°，故AB 是直径． (2)连接BC ，DC ．由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°．在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ．于是∠DAB ＝∠CBA ．又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB ．由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB ．6．(2015·某某省某某市联考)如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD ．(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．解：(1)证明：如图，连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB ． ∵OC 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．(2)∵ED 是直径，∴∠ECD ＝90°，∴∠E ＋∠EDC ＝90°，又∠BCD ＋∠OCD ＝90°，∠OCD ＝∠EDC ，∴∠BCD ＝∠E ，又∠CBD ＝∠EBC ， ∴△BCD ∽△BEC ，∴BC BE ＝BD BC，BC 2＝BD ·BE ．∵tan ∠CED ＝CD EC ＝12，△BCD ∽△BEC ，∴BD BC ＝CD EC ＝12，设BD ＝x ，则BC ＝2x ，∵BC 2＝BD ·BE ，∴(2x )2＝x (x ＋6)，∴BD ＝2， ∴OA ＝OB ＝BD ＋OD ＝2＋3＝5．)1．(2015·某某市、某某市联考)如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M ．(1)求证：O 、B 、D 、E 四点共圆；(2)求证：2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB ．证明：(1)连接BE 、OE (图略)，则BE ⊥EC ．又D 是BC 的中点，所以DE ＝BD ，又OE ＝OB ，OD ＝OD ，所以△ODE ≌△ODB ．所以∠OED ＝∠OBD ＝90°，所以O 、B 、D 、E 四点共圆．(2)延长DO 交圆O 于点H (图略)．因为DE 2＝DM ·DH ＝DM ·(DO ＋OH )＝DM ·DO ＋DM ·OH ，所以DE 2＝DM ·(12AC )＋DM ·(12AB )，所以2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB ．2．(2015·某某省第一次统一检测)已知：如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，割线PCD 交⊙O 于C 、D 两点，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，CF 与AB 交于点E ．(1)求证：PA ·PB ＝PO ·PE ；(2)若DE ⊥CF ，∠P ＝15°，⊙O 的半径等于2，求弦CF 的长．解：(1)证明：连接OD ．∵AB 是⊙O 的直径，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，C 在⊙O 上， ∴∠DOA ＝∠DCF ， ∴∠POD ＝∠PCE ．又∵∠DPO＝∠EPC，∴△PDO∽△PEC，∴PDPE＝POPC，即PD·PC＝PO·PE．由割线定理得PA·PB＝PD·PC，∴PA·PB＝PO·PE．(2)由已知，直线AB是弦DF的垂直平分线，∴ED＝EF，∴∠DEH＝∠FEH．∵DE⊥CF，∴∠DEH＝∠FEH＝45°．由∠PEC＝∠FEH＝45°，∠P＝15°，得∠DCF＝60°．由∠DOA＝∠DCF，得∠DOA＝60°．在Rt△DHO中，OD＝2，DH＝OD sin∠DOH＝3，∴DE＝EF＝DHsin∠DEH＝6，CE＝DEtan∠DCE＝2，∴CF＝CE＋EF＝2＋6．3．(2015·某某市教学质量监测)如图，已知圆O1与圆O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O1的直径，过C作圆O2的切线，切点为D．(1)求证：C、P、B三点共线；(2)求证：CD＝CA．证明：(1)连接PC，PA，PB，BO2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°．连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α．由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α．又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C、P、B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB．在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA．4．如图，点A是以线段BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，连接AF 并延长与CB的延长线相交于点P．(1)求证：BF＝EF；(2)求证：PA是⊙O的切线．证明：(1)∵BE是⊙O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG＝CFCG，EFAG＝CFCG，∴BFDG＝EFAG，又∵G是AD的中点，∴DG＝AG．∴BF＝EF．(2)如图，连接AO，AB．∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．在Rt△BAE中，由(1)得知F是斜边BE的中点，∴AF＝FB＝EF．∴∠FBA＝∠FAB．又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°．∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠FAB＋∠BAO＝∠FAO＝90°，∴PA是⊙O的切线．。

【优化方案】2021-2021学年高中数学第8章8.2.2知能演练轻松闯关湘教版选修2-3(1)

【优化方案】2021-2021学年高中数学第8章知能演练轻松闯关湘教版选修2-3 1.下列正确的选项是( )A ．P (A |B )＝P (B |A )B ．P (A ∩B |A )＝P (B )＝P (B |A )D ．P (A |B )＝n （AB ）n （B ）答案：D2.已知P (B |A )＝12，P (AB )＝38，则P (A )＝( ) 解析：选C.由P (AB )＝P (A )P (B |A )可得P (A )＝34. 3.(2021·大足质检)把一枚硬币任意掷两次，假设设事件A ＝{第一次显现正面}，事件B ＝{第二次显现正面}，则P (B |A )＝( )解析：选B.事件A 发生有2种结果：(正正)、(正反)，事件B 发生时有(正正)一种结果，∴P (B |A )＝12. 4.(2021·渝北检测)某人一周晚上值班2次，在已知他周日必然值班的条件下，那么他在周六晚上值班的概率为________．解析：设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝16.答案：16 一、选择题 1.(2020·高考辽宁卷)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )解析：选(A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝14. 2.袋中有大小相同的3个红球，5个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次掏出白球的前提下，第二次取得红球的概率是( )解析：选D.设事件A 为“第一次取白球”，事件B 为“第二次取红球”，则P (A )＝C 15C 178×7＝58，P (AB )＝C 15C 138×7＝1556，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝37. 3.抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A ＝{2，3，5}，B ＝{1，2，4，5，6}，则P (A |B )等于( )解析：选A.∵A ∩B ＝{2，5}，∴n (AB )＝2.又∵n (B )＝5，故P (A |B )＝n （AB ）n （B ）＝25. 4.(2021·南川质检)盒中有10只灯泡，其中有3只是坏的，现从中任取4只，那么“最多有2只是好的”的概率是( )解析：选B.设掏出的4只灯泡中坏的灯泡个数为X ，则X ～H (4，3，10)．“恰有1只是坏的”的概率为P (X ＝1)＝C 13C 37C 410＝12，“4只满是好的(坏的个数为0)”的概率为P (X ＝0)＝C 03C 47C 410＝16，那么“最多有2只是好的(即至少有2只是坏的)”的概率为P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－16－12＝13. 5.抛掷两枚骰子，那么在已知它们点数不同的情形下，至少有一枚显现6点的概率是( )解析：选A.设“至少有一枚显现6点”为事件A ，“两枚骰子的点数不同”为事件B . 则n (B )＝6×5＝30，n (AB )＝10，因此P (A |B )＝n （AB ）n （B ）＝13. 6.某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行实验，已知这批水稻种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，那么这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )A ．B ．C ．D ．解析：选D.设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件B |A ，“这粒水稻种子能成长为幼苗”为事件AB ，且P (A )＝，P (B |A )＝，由条件概率计算公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝×＝.即这粒种子能成长为幼苗的概率为.二、填空题7.抛掷一枚骰子，观看显现的点数，假设已知显现的点数不超过3，那么显现的点数是奇数的概率为________．解析：设事件A 表示“点数不超过3”，事件B 表示“点数为奇数”，则n (A )＝3，n (AB )＝2，因此P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝23. 答案：238.袋中有7只白球，3只红球，白球中有4只木球，3只塑料球，红球中有2只木球，1只塑料球，现从袋中任取1球，假设每一个球被取到的可能性相同，假设已知取到的球是白球，那么它是木球的概率是________．解析：设A 表示“取到的球是白球”； B 表示“取到的球是木球”．那么n (A )＝7，n (AB )＝4，因此P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝47. 答案：47位同窗参加百米短跑初赛，赛场共有6条跑道，已知甲同窗排在第一跑道，那么乙同窗排在第二跑道的概率是________．解析：甲同窗排在第一跑道后，还剩5个跑道，那么乙排在第二跑道的概率为15. 答案：15三、解答题10.某班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人．此刻要在班内任选一名共青团员当团员代表，求那个代表恰好在第一小组的概率．解：设在班内任选一名学生，该学生是共青团员为事件A，在班内任选一名学生，该学生恰好在第一小组为事件B ，那么所求概率为P (B |A )．∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝4401540＝415. 因此所求概率为415. 11. (2021·奉节调研)在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，假设考生至少能答对其中的4道即可通过；假设至少能答对其中5道就取得优秀．已知某考生能答对其中10道题，而且明白他在这次考试中已经通过，求他取得优秀成绩的概率．解：设事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，另2道答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中取得优秀”，则A 、B 、C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B .由古典概型的概率公式及互斥事件的加法公式可知 P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12180C 620. ∵P (AD )＝P (A ∩D )＝P (A )，P (BD )＝P (B ∩D )＝P (B )．∴P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P（A）P（D）＋P（B）P（D）＝C610 C62012180 C620＋C510C110C620 12180C620＝1358.因此他取得优秀成绩的概率是13 58 .12.(创新题)一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回，假设已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率．解：令A i ＝{第i 只是好的，i ＝1，2}．法一：n (A 1)＝C 16C 19，n (A 1A 2)＝C 16C 15，故P (A 2|A 1)＝n （A 1A 2）n （A 1）＝C 16C 15C 16C 19＝59. 法二：因事件A 1已发生(已知)，故咱们只研究事件A 2发生即可，在A 1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，因此P (A 2|A 1)＝C 15C 19＝59.。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习专题讲座四知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习专题讲座四知能训练轻松闯关1．设x 、y 为实数，集合A ＝{(x ，y )|y 2－x －1＝0}，B ＝{(x ，y )|16x 2＋8x －2y ＋5＝0}，C ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋b }，问是否存在自然数k ，b 使(A ∪B )∩C ＝∅？解：因为抛物线y 2－x －1＝0和16x 2＋8x －2y ＋5＝0在y 轴上的截距分别为±1，52，所以取b ＝2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2y 2＝x ＋1无实数解，得1－32<k <1＋32，从而k ＝1，此时方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2y ＝8x 2＋4x ＋52无实数解．故存在k ＝1，b ＝2满足(A ∪B )∩C ＝∅．2． (2015·江西南昌模拟)如图，多面体ABC A 1B 1C 1中，三角形ABC 是边长为4的正三角形，AA 1∥BB 1∥CC 1，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝BB 1＝2CC 1＝4．(1)若O 是AB 的中点，求证：OC 1⊥A 1B 1；(2)在线段AB 1上是否存在一点D ，使得CD ∥平面A 1B 1C 1？若存在，确定点D 的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：取线段A 1B 1的中点E ，连接OE ，C 1E ，CO ，已知等边三角形ABC 的边长为4，AA 1＝BB 1＝2CC 1＝4，AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥BB 1∥CC 1，∴四边形AA 1B 1B 是正方形，OE ⊥AB ，CO ⊥AB ．∵CO ∩OE ＝O ，∴AB ⊥平面EOCC 1．又A 1B 1∥AB ，OC 1⊂平面EOCC 1，∴OC 1⊥A 1B 1．(2)设OE ∩AB 1＝D ，连接CD ，则点D 是AB 1的中点，∴ED ∥AA 1，ED ＝12AA 1，又∵CC 1∥AA 1，CC 1＝12AA 1， ∴四边形CC 1ED 是平行四边形，∴CD ∥C 1E ，∴CD ∥平面A 1B 1C 1，即存在点D ，使得CD ∥平面A 1B 1C 1，且点D 是AB 1的中点．3．(2015·江苏盐城期中考试)设数列{a n }的各项均为正实数，b n ＝log 2a n ，若数列{b n }满足b 2＝0，b n ＋1＝b n ＋log 2p ，其中p 为正常数，且p ≠1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若p ＝2，设数列{c n }对任意的n ∈N *，都有c 1b n ＋c 2b n －1＋c 3b n －2＋…＋c n b 1＝－2n 成立，问数列{c n }是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．解：(1)因为b n ＋1＝b n ＋log 2p ，所以b n ＋1－b n ＝log 2p ，所以数列{b n }是以log 2p 为公差的等差数列，又b 2＝0，所以b n ＝b 2＋(n －2)(log 2p )＝log 2p n －2，故由b n ＝log 2a n ，得a n ＝2b n ＝2log 2p n －2＝p n －2．(2)因为p ＝2，由(1)得b n ＝n －2，所以c 1(n －2)＋c 2(n －3)＋c 3(n －4)＋…＋c n (－1)＝－2n ，①则c 1(n －1)＋c 2(n －2)＋c 3(n －3)＋…＋c n ＋1(－1)＝－2(n ＋1)，②由②－①，得c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n －c n ＋1＝－2，③所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＋c n ＋1－c n ＋2＝－2，④再由④－③，得2c n ＋1＝c n ＋2，即c n ＋2c n ＋1＝2(n ∈N *)，所以当n ≥2时，数列{c n }为等比数列，又由①式，可得c 1＝2，c 2＝4，则c 2c 1＝2，所以数列{c n }一定是等比数列，且c n ＝2n ． 4．(2015·贵阳市适应性考试) 如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上某定点M ，若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意|OB |＝83，据对称性知∠BOy ＝30°．设点B (x ，y )，则x ＝83×sin 30°＝43，y ＝83×cos 30°＝12，所以B (43，12)在抛物线上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2，抛物线E 的方程为x 2＝4y ．(2)设点P (x 0，y 0)(x 0≠0)，因为y ＝14x 2，y ′＝12x ，直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0y ＝－1，所以Q (x 20－42x 0，－1)．设满足条件的定点M 存在，坐标为M (0，y 1)，所以MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝(x 20－42x 0，－1－y 1)，又因为MP →·MQ →＝0，所以x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，又y 0＝14x 20(x 0≠0)，联立解得y 1＝1，故以PQ 为直径的圆过y 轴上的定点M (0，1)．。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习专题讲座一知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习专题讲座一知能训练轻松闯关1．(2014·高考浙江卷改编)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a >0)，若f (x )在[－1，1]上的最小值记为g (a )．求g (a )．解：因为a >0，－1≤x ≤1，所以(1)当0<a <1时，若x ∈[－1，a ]，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ，f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1，a )上是减函数；若x ∈[a ，1]，则f (x )＝x 3＋3x －3a ，f ′(x )＝3x 2＋3>0，故f (x )在(a ，1)上是增函数．所以g (a )＝f (a )＝a 3.(2)当a ≥1时，有x ≤a ，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ，f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1，1)上是减函数，所以g (a )＝f (1)＝－2＋3a .综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1. 2．某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大？(2)现在该集团准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该集团由这两项共同产生的收益最大．解：(1)设投入广告费t (百万元)后由此增加的收益为f (t )(百万元)，则f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)．所以当t ＝2时，f (t )max ＝4，即当集团投入两百万元广告费时，才能使集团由广告费而产生的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的费用为(3－x )(百万元)，则由此两项所增加的收益为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)．对g (x )求导，得g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝－x 2＋4＝0，得x ＝2或x ＝－2(舍去)．当0≤x ＜2时，g ′(x )＞0，即g (x )在[0，2)上单调递增；当2＜x ≤3时，g ′(x )＜0，即g (x )在(2，3]上单调递减．∴当x ＝2时，g (x )max ＝g (2)＝253. 故在三百万元资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样集团由此所增加的收益最大，最大收益为253百万元． 3．(2015·贵州省六校联盟第一次联考)已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，则切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.(2)g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x －2x ＝－2（x ＋1）（x －1）x， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，∴当g ′(x )＝0时，x ＝1.当1e <x <1时，g ′(x )>0；当1<x <e 时，g ′(x )<0. 故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g (e)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是g (e)． g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m －1>0g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e 2， ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2. 4．(2015·河南省洛阳市统考)已知函数f (x )＝1－x ax＋ln x ＋1. (1)若函数f (x )在[1，2]上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝1，k ∈R 且k <1e ，设F (x )＝f (x )＋(k －1)·ln x －1，求函数F (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值．解：(1)由题设可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －1ax 2. 显然a ≠0.∵函数f (x )在[1，2]上单调递减，∴当x ∈[1，2]时，不等式f ′(x )＝ax －1ax 2≤0恒成立，即1a≥x 恒成立． ∴1a ≥2，∴0<a ≤12， ∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. (2)a ＝1，k ∈R ，f (x )＝1－x x＋ln x ＋1，F (x )＝f (x )＋(k －1)ln x －1＝1－x x ＋k ln x ， F ′(x )＝－x －（1－x ）x 2＋k x ＝kx －1x 2. ①若k ＝0，则F ′(x )＝－1x 2，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上，恒有F ′(x )<0，∴F (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减，∴F (x )min ＝F (e)＝1－e e ，F (x )max ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －1.②若k ≠0，F ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2.(ⅰ)若k <0，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上，恒有k ⎝⎛⎭⎪⎫x －1k x 2<0，∴F (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减，∴F (x )min ＝F (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1， F (x )max ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1.(ⅱ)若k >0，k <1e ，则1k >e ，x －1k <0，∴k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2<0，∴F (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减，∴F (x )min ＝F (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1， F (x )max ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1.综上，当k ＝0时，F (x )min ＝F (e)＝1－e e ，F (x )max ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －1；当k ≠0，且k <1e 时，F (x )min ＝F (e)＝1e ＋k －1，F (x )max ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1.。

2021年高考数学一轮复习第八章第1讲知能训练轻松闯关

2021年高考数学一轮复习第八章第1讲知能训练轻松闯关1．(xx·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A ．π6B ．π3 C ．2π3D ．5π6解析：选D ．由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6． 2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．3x －y ＋1＝0 B ．3x －y －3＝0 C ．3x ＋y －3＝0 D ．3x ＋y ＋3＝0解析：选D ．由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－3．又直线过点(－1，0)，所以方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0．3．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a表示的直线是( )解析：选C ．∵x ＜0时，a x＞1，∴0＜a ＜1．则直线y ＝ax ＋1a的斜率0＜a ＜1，在y 轴上的截距1a＞1．故选C ．4．(xx·湖南长沙模拟)过点(1，3)作直线l ，若经过点(a ，0)和(0，b)，且a∈N *，b ∈N *，则可作出的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．由题意得1a ＋3b＝1⇒(a －1)(b －3)＝3．又a ∈N *，b ∈N *，故有两个解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4. 5．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C ．令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．6．已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________．解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝3．又因为直线在y 轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5．答案：y ＝3x ＋57．(xx·贵州贵阳模拟)直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k．令－3<1－2k <3，解得k <－1或k >12．答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a ＝________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝(a －12)2＋154，当a ＝12时，面积最小．答案：129．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3，4)；(2)斜率为16．解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3，3k＋4，由已知，得(3k ＋4)(4k＋3)＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83．故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0．(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1．∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．10．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 的斜率为1；(2)直线l 在x 轴上的截距为－3．解：(1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，于是直线l 的方程可化为y＝－1m x ＋2m －6m．由题意得－1m＝1，解得m ＝－1．(2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6．由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32．法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6．由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32．1．(xx·福建泉州模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3解析：选C ．法一：因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0，欲求m 2＋n 2的最小值可先求（m －0）2＋（n －0）2的最小值．而（m －0）2＋（n －0）2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离的最小值为2． ∴m 2＋n 2的最小值为4．法二：由题意知点(m ，n )为直线上到原点最近的点，直线与两坐标轴交于A (52，0)，B (0，103)，在Rt △OAB 中，OA ＝52，OB ＝103，斜边AB ＝（52）2＋（103）2＝256，斜边上的高h 即为所求m 2＋n 2的算术平方根，∴S △OAB ＝12·OA ·OB ＝12AB ·h ，∴h ＝OA ·OB AB ＝52×103256＝2，∴m 2＋n 2的最小值为h 2＝4．2．已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上有一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．解析：依题意得AB 的方程为x 3＋y 4＝1．当x ＞0，y ＞0时，1＝x 3＋y 4≥2xy 12＝xy3，即xy ≤3(当且仅当x ＝32，y ＝2时取等号)，故xy 的最大值为3．答案：33．(xx·江苏苏州调研)经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2，1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________．解析：如图所示，为使l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB ＞0，k PA ＜0，故k ＜0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k ＞0时，α为锐角．又k PA ＝－2－（－1）1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1．又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k ＜0时，3π4≤α＜π．故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π．答案：[－1，1] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π4．求曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围．解：记曲线上点P 处的切线的倾斜角是θ，∵y ′＝3x 2－1≥－1，∴tan θ≥－1，∴θ为钝角时，应有θ∈[3π4，π)；θ为锐角时， tan θ≥－1显然成立．综上，θ的取值范围是[0，π2)∪[3π4，π)．5．已知直线l 过点P (0，1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于点A ，B (如图)．若线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程．解：∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上，故可设点B 的坐标为(a ，8－2a )． ∵点P (0，1)是线段AB 的中点，得点A 的坐标为(－a ，2a －6)．又∵点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上，故将A (－a ，2a －6)代入直线l 1的方程，得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4． ∴点B 的坐标是(4，0)．因此，过P (0，1)，B (4，0)的直线l 的方程为x 4＋y1＝1，即x ＋4y －4＝0．33113 8159 腙28371 6ED3 滓39895 9BD7 鯗 %39811 9B83 鮃31496 7B08 笈26223 666F 景37216 9160 酠wp .|。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习第1讲知能训练轻松闯关(选修4-5)-人教版高三选修4-5数学

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第1讲知能训练轻松闯关（选修4-5）1．求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集．解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－x －3＋x －2≥3 或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，解得1≤x <2或x ≥2，故原不等式的解集为{x |x ≥1}．2．在实数X 围内，解不等式||x －2|－1|≤1．解：依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4．故x 的取值X 围是[0，4]．3．(2015·某某省某某市联考)已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]．(1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1．解：(1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3．(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1．4．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值X 围．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2．所以f (x )≥2．(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |．当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212．当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3．综上，a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212． 5．(2015·某某市模拟)设不等式|x －2|＋|3－x |<a (a ∈N *)的解集为A ，且2∈A ，32∉A ． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解：(1)由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ≤2，所以1<a ≤2，因为a ∈N *，所以a ＝2．(2)因为|x ＋2|＋|x －2|≥|(x ＋2)－(x －2)|＝4，所以f (x )的最小值是4．6．(2015·某某某某某某调研)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |．若a >1，∀x ∈R ，f (x )＋|x －1|≥1，某某数a 的取值X 围．解：令F (x )＝f (x )＋|x －1|，则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2＋a ，x <1x －2＋a ，1≤x <a ，3x －2－a ，x ≥a所以当x ＝1时，F (x )有最小值F (1)＝a －1，只需a －1≥1，解得a ≥2，所以实数a 的取值X 围为[2，＋∞)．1．(2015·某某五校协作体联考)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ．(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，某某数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数t ，使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2≤m －f (－t )成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ，∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3，∴a －3＝－2，∴a ＝1．(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2≤m －f (－t )，∴|t －1|＋|2t ＋1|＋2≤m ，令y ＝|t －1|＋|2t ＋1|＋2，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3t ＋2，t ≤－12，t ＋4，－12<t <1，3t ＋2，t ≥1.∴y min ＝72，∴m ≥72． 2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3．(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈[－a 2，12)时，f (x )≤g (x )，求a 的取值X 围．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x－3<0．设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y <0，所以原不等式的解集是{x |0<x <2}． (2)当x ∈[－a 2，12)时，f (x )＝1＋a ，不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈[－a 2，12)都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43．从而a 的取值X 围是(－1，43]． 3．(2015·某某省统考)已知a 、b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|．(1)若f (x )>2，某某数x 的取值X 围；(2)若|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a 、b 都成立，某某数x 的取值X 围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤11，1<x ≤2.2x －3，x >2由f (x )>2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤13－2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x >22x －3>2，解得x <12或x >52． ∴所某某数x 的取值X 围为(－∞，12)∪(52，＋∞)． (2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又∵|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2， ∴f (x )≤2．∵f (x )>2的解集为{x |x <12或x >52}， ∴f (x )≤2的解集为{x |12≤x ≤52}， ∴所某某数x 的取值X 围为[12，52]． 4．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a <3)的最小值为2．(1)解关于x 的方程f (x )＝a ；(2)若存在x ∈R ，使f (x )－mx ≤1成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|x －4－(x －a )|＝|a －4|(当(x －4)(x －a )≤0时取等号)，知|a －4|＝2，解得a ＝6(舍去)或a ＝2．方程f (x )＝a 即|x －4|＋|x －2|＝2，由绝对值的几何意义可知2≤x ≤4．(2)不等式f (x )－mx ≤1即f (x )≤mx ＋1，由题意知y ＝f (x )的图象至少有一部分不在直线y ＝mx ＋1的上方，作出对应的图象观察可知，m ∈(－∞，－2)∪[14，＋∞)．。

优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第1讲知能训练轻松闯关(选修4_4)

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第1讲知能训练轻松闯关（选修4-4）1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝3y ′， ∴4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1．∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．(2015·江苏扬州质检)求经过极点O (0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，9π4三点的圆的极坐标方程．解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3，3)，半径为32，圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝62cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4． 3．(2014·高考重庆卷改编)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，求直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ．解：参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t 化为普通方程为y ＝x ＋1．由ρsin 2θ－4cos θ＝0，得ρ2sin2θ－4ρcos θ＝0，其对应的直角坐标方程为y 2－4x ＝0，即y2＝4x ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝4x 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故直线和抛物线的交点坐标为(1，2)，故交点的极径为12＋22＝5． 4．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换得到点B ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，12，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得到的直线l ′的方程．解：(1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)即为所求．(2)设B (x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′.由于点B ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，∴B (－1，1)即为所求．(3)由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入直线l ：y ＝6x ，得到经过伸缩变换后的方程y ′＝x ′，因此直线l ′的方程为y＝x ．5．(2015·福建泉州质检)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0．(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1．化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22． 6．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．证明：建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cos θ(p >0)．PQ 是抛物线的弦，若点P 的极角为θ，则点Q 的极角为π＋θ，因此有|FP |＝p1－cos θ，|FQ |＝p 1－cos （π＋θ）＝p1＋cos θ．所以1|FP |＋1|FQ |＝1－cos θp ＋1＋cos θp＝2p(常数)．原命题得证．1．(2015·唐山市统一考试)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2．(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22．又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0．所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0．(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)． 3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1，从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2．θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)．θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2．(2)由(1)得点M 的直角坐标为(2，0)，点N 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233．所以点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．4．(2015·太原市模拟试题)在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，且曲线C 1上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π4与曲线C 2交于点D (2，π4)．(1)求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；(2)若A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)是曲线C 1上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)将M (2，3)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a cos π33＝b sin π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2，∴曲线C 1的普通方程为x 216＋y 24＝1，设圆C 2的半径为R ，则圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ，将点D (2，π4)代入得2＝2R ·22，解得R ＝1，∴圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)代入得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，∴1ρ21＋1ρ22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ16＋sin 2θ4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ16＋cos 2θ4＝516．。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习第八章第1讲知能训练轻松闯关

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