【2014朝阳二模】北京市朝阳区2014届高三第二次综合练习(数学理)

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高考数学 2014-2015朝阳高三二模理答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学试卷答案（理工类）2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ACDD中, 因为cos14CAD?，所以sin14CAD?,由正弦定理得，sin sinAC CDADC CAD=行,即2sinsin14CD ADCACCAD´仔===Ð……………………………………6分（Ⅱ）在ACDD中, 由余弦定理得，22422cos120AC AD AD=+-⨯⨯o，整理得22240AD AD+-=，解得4AD=(舍负).过点D作DE AB⊥于E,则DE为梯形ABCD的高.因为AB P CD，120ADC?o，所以60BAD?o.在直角ADED中，sin60DE AD==o即梯形ABCD的高为……………………………………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可得：4分（Ⅱ）记事件M ：被抽取的,,A B C 三种答卷中分别再各任取1份，这3份答卷恰有1份得优，可知只能C 题答卷为优.依题意131()1355P M =⨯⨯=．………………………………………………8分（Ⅲ）由题意可知，B 题答卷得优的概率是13．显然被抽取的B 题的答卷中得优的份数X的可能取值为0,1,2,3,4,5，且X :1(5,)3B ．00551232(0)()()33243P X C ===；11451280(1)()()33243P X C ===； 22351280(2)()()33243P X C ===；33251240(3)()()33243P X C ===；44151210(4)()()33243P X C ===；5505121(5)()()33243P X C ===．随机变量X 的分布列为所以0123452432432432432432433EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………………………………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知得90FAB ∠=︒，所以FA AB ⊥，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF I 平面ABCD AB =，所以FA⊥平面ABCD ，由于BC ⊂平面ABCD ，所以FA BC ⊥．………………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知FA ⊥平面ABCD ，所以,FA AB FA AD ⊥⊥，由已知DA AB ⊥，所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为112AD DC AB ===，则(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1)B C D E ，所以(1,1,0),(0,1,1)BC BE =-=-u u u r u u u r，设平面BCE 的一个法向量为()x,y,z n =．所以0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n即0,0.x y y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)n =．设直线BD 和平面BCE 所成角为θ，因为(1,2,0)BD =-u u u r，所以sin cos ,BD BD BDθ⋅=〈〉===⋅u u u r u u u r u u u r n n n .所以直线BD 和平面BCE 9分 (Ⅲ)在A 为原点的空间直角坐标系A xyz -中，AD HC BENM(0,0,0)A ,(1,0,0)D ,(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，H 1(,1,0)2.设()01DM k k DF =<?，即DM k DF =uuu u r uuu r .(),0,DM k k =-uuu u r,则(1,0,)M k k -， 1(,1,)2MH k k =--uuu r ，(1,0,1)FD =-u u u r .若FD ^平面MNH ，则FD MH ^.即0FD MH ?uu u r uuu r. 102k k -+=,解得14k =. 则11(,1,)44MH =--uuu r,4MH =uuur .…………………………………………………14分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2a =，b =，1c =．故离心率为12，焦点坐标为(1,0),(1,0)-． ……………………………………4分（Ⅱ）由题意，直线AB 斜率存在.可设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11y kx m =+，22y kx m =+．由22,3412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 判别式2222=644(34)(412)k m k m D -+-=2248(43)0k m -+>. 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，因为直线MA 与直线MB 斜率之积为14，所以12121224y y x x ⋅=--，所以12124()()(2)(2)kx m kx m x x ++=--．化简得221212(41)(42)()440k x x km x x m -++++-=，所以22222412(8)(41)(42)4403434m km k km m k k---+++-=++，化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-.当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-．4m k =代入判别式大于零中，解得1122k -<<. 当2m k =-时，直线AB 方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意舍去．故直线AB 过定点(4,0)-．………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0a =时，2()e x f x x =，2()e (2)x f x x x '=+．由2e (2)0x x x +=，解得0x =，2x =-. 当(,2)x ∈-∞-时，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当(2,0)x ∈-时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当(0,)x ∈+∞时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(0,)+∞，单调减区间为(2,0)-．…………4分（Ⅱ）依题意即求使函数2()e ()xf x x a =-在()1,2上不为单调函数的a 的取值范围.2()e (2)x f x x x a '=+-.设2()2g x x x a =+-，则(1)3g a =-，(2)8g a =-.因为函数()g x 在()1,2上为增函数，当(1)30(2)80g a g a ì=-<ïïíï=->ïî，即当38a <<时，函数()g x 在()1,2上有且只有一个零点，设为0x .当0(1,)x x Î时，()0g x <，即()0f x ¢<，()f x 为减函数；当0(,2)x x Î时，()0g x >，即()0f x ¢>，()f x 为增函数，满足在()1,2上不为单调函数.当3a £时，(1)0g ³，(2)0g >，所以在()1,2上()g x 0>成立（因()g x 在()1,2上为增函数），所以在()1,2上()0f x '>成立，即()f x 在()1,2上为增函数，不合题意. 同理8a ³时，可判断()f x 在()1,2上为减函数，不合题意.综上38a <<. …………………………………………………………9分(Ⅲ) 2()e (2)x f x x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的极值点，即()f x ¢有两个不同的零点，即方程220x x a +-=的判别式440a ∆=+>，解得1a >-.由220x x a +-=，解得1211x x =-=- 此时122x x +=-，12x x a =-. 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1x 是函数()f x 的极大值点，2x 是函数()f x 的极小值点.所以1()f x 为极大值，2()f x 为极小值．所以12221212()()e ()e ()xxf x f x x a x a =-⨯-因为1a >-，所以224e4e a ---<．所以212()()4e f x f x -<．……………………………………………………………… 14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5；与2，4，1，3，5．…… 3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列5A ：2，4，1，3，5满足55=a ，把其各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为65||2a a -=，所得数列10A 显然满足12--=k k a a 或3，{}2,3,,10k ∈L ，即得H 数列10A ：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中10,5105==a a ．如此下去，即可得一个满足)403,,2,1(55Λ==k k a k 的H 数列2015A 为{}121222222121222221212122222=e [()]=e [()2]=e [(42]=4e .x x x x x x a x x a x x a x x x x a a a a a a ）++---++-+-+-++-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=--=+-=+=kn n k n n k n n k n n k n n a n 5,15,125,235,245,1，（其中)403,,3,2,1Λ=k （写出此通项也可以：2,541,531,522,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧-=-⎪⎪=+=-⎨-=-⎪=⎪⎩（其中)403,,3,2,1Λ=k ）…… 8分（Ⅲ）不妨设0d >．(1)若6d ≥，则20154031402140262413a b b d ==+≥+⨯=，与20152015≤a 矛盾．(2)若14d ≤≤．（i ）若1001≤b ，则1(1)10040241708k b b k d =+-≤+⨯=，403.,2,1⋅⋅⋅=k ．不妨设052015l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈. 于是000000555515(1)5||||||312.l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|2015|12l a -≤，可得2003005≥=l l a b ，与17080≤l b 矛盾．（ii ）若1011≥b ，则1011≥≥b b k ，403,,2,1⋅⋅⋅=k ．不妨设051l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈．于是000000555515(1)5||||||312l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|1|12l a -≤，可得13005≤=l l a b ，与1010≥l b 矛盾．因为d 为整数，所以综上可得5d =.由（Ⅱ）可知存在使55k k b a k ==（其中403,,2,1⋅⋅⋅=k ）的H 数列2015A ．把上述H 数列2015A 倒序排列，即有5d =-．所以5d =或5-. …… 13分。

【2014朝阳二模】北京市朝阳区2014届高三第二次综合练习文科数学 Word版含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2014．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于（A ）()U AB ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U AB ð （2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（A ） sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ） 2x y = （3）已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（A ）1,04⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=)用不等式组可表示为（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩（6）在区间ππ[-,]上随机取一个数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为（A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n nS a +的最小值为（A ）10 （B ）92 （C ）72 （D）12+ ( 8 )已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}22004x y +=，当0x ，0y 变化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是(A) 4π (B) 16π ( C) 32π （D ）36π第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.计算12i1i+=- . 10.已知两点()1,1A ，()1,2B -，若12BC BA =，则C 点坐标是 . 11.圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是．12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是；表面积是．13.设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m .22俯视图侧视图正视图（第12题图）14.在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是___；截得的平面图形中面积最大的值是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（满分13分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =π3A =.（Ⅰ）若b =C 的大小；（Ⅱ）若2c =，求边b 的长. 16. （本小题满分13分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；（Ⅲ）若2PA PD AD ==，AA求证：平面PAB ⊥平面PCD ．18.（本小题满分13分）已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()1,(1)f 处切线的方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，若()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使O A O B O A O B +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02f =，数列{}n a 满足：()na f n =，*n ∈N .（Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值;（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅲ）若311()()42n naa nb +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习15. （Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a b A B =，得=，解得sin 2B =. 由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=. ………6分（Ⅱ）依题意，222cos 2b c a A bc+-=，即2141224b b +-=.整理得2280b b --=，又0b >，所以4b =. ………13分另解：由于sin sin a cA C=2sin C =，解得1sin 2C =. 由于a c >,所以π6C =.由π3A =，得π2B =.由勾股定理222b c a =+，解得4b =. …13分 16. 解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人），参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）． ………5分（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A ．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ；参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B ．从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB共15种情况．事件A 包括,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =．………13分 17. 证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PAD ，APA ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． ………4分（Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥，所以CD ⊥面PAD ．又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ． …9分（Ⅲ）在△PAD 中，因为PA PD AD ==，所以PA PD ⊥．由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=CDPD D ，所以PA ⊥平面PCD ．又因为PA ⊂平面PAB ，所以面PAB ⊥平面PCD ． …14分18. （Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==,0x ≠.当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. ………………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.由于22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==.（1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数.（2）若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.………………….9分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1xa x⋅≥恒成立，即使e x x a ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()exxg x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数； 1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)eg x g ==.从而1e a ≥.另解：(1)当0a <时，()e 1a f a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1e a ≥. 综上所述，1ea ≥． .13分 19. （Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意1,21.c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩ 解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. ………………….4分（Ⅱ）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-，证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. 由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+,122843x x m -⋅=+. 依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=. 即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=, 整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+, 整理得2512m =-，矛盾．所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. ………………….14分 20. 解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-，在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =，…………2分（Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =，得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N . …………6分（Ⅲ）{}n b 存在最大项和最小项令2111()()22na n t -==，则22111()816256nb t t t =-=--，显然102t <≤，又因为N n *∈，所以当12t =，即1n =时，{}n b 的最大项为1316b =. 当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-. …………13分。

北京市朝阳2014届高三二模理科数学试卷(带解析)

北京市朝阳2014届高三二模理科数学试卷（带解析）1．已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则AB =( )（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】试题分析：3{230}[,).2A x x =∈-≥=+∞R 2{320}(1,2).B x x x =∈-+<=R 所以A B =322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭．考点：集合运算2．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是( )（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b>（C ）11a b< （D ）22a b < 【答案】C 【解析】试题分析：33log log ,a b a b <⇔<11()(),44a b a b >⇔<110b a a b ab -<⇔<，又0a b >>所以0b aab -<成立，22||||a b a b <⇔<，而0a b >>，所以||||a b <不成立．考点：不等式恒等变形3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是( )（A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6【答案】C 【解析】试题分析：因为输出的结果为2，所以2313,2(23)313a a +≤++>，即75,4a <≤又a 为正整数，所以a 的可能取值的集合是{}2,3,4,5考点：循环结构流程图4．已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=( )（A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：2,, 2.24312T T A T ππππω=-====，又sin(2)112πϕ⨯+=，π2ϕ<，所以π3ϕ=.考点：三角函数图像与性质 5．已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是( )（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧ 【答案】D 【解析】试题分析：因为1i 1i z i +==-，所以复数1ii z +=在复平面内所对应的点位于第四象限，命题p 为真命题，因为y x =与cos y x =在(0,)2π上有交点，所以0x ∃>，cos x x =，命题q 为真命题，p q ∧为真命题.考点：复合命题真假6．若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C）(1 （D）)+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线为y bx =，由题意得：圆心到渐近线的2222211,3,4,1 2.1c b b e e a +≥≤==≤<≤考点：双曲线渐近线若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是( )（A ）60万元（B ）80万元（C ）90万元（D ）100万元【答案】C 【解析】试题分析：设生产甲x 吨、乙y 吨.则312060,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，利润2z x y =+.可行域为一个四边形OABC 及其内部，其中(60,0),(30,30),(0,40)A B C ,当2z x y =+过点B 时取最大值，为90.考点：线性规划8．如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是( ) （A ）83π （B ）163π （C ）4π （D ）5πBA【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：当△PMN 沿正方形一边滚动时，点P 的轨迹为两个圆弧，其对应圆半径皆为1，圆心角为23π，因此点P 的轨迹长度是21624.33ππ⨯⨯=考点：动点轨迹9．已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____．【答案】【解析】试题分析：因为2221244122+=++⋅⨯⨯=a b a b a b =4+4+42，所以2+=a b考点：向量数量积10．5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）【答案】80- 【解析】试题分析：由15(2)r r r T C x +=-得：3x 项的系数为335(2)80.C -=-．考点：二项展开式定理求特定项11．如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____．【答案】3 【解析】试题分析：由切割线定理得：2AC BC CM ⋅=,连OM ，则在直角三角形ODM 中，因为OM=2OD,所以60DOM ∠=，因此CM = 3.AC BC ⋅=考点：切割线定理12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是；表面积是．【解析】2的正方形．因此体积为212233⨯=表面积为8个全等的边长为2的等边三角形面积之和，即282= 考点：三视图13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为．【答案】12n +,(3)2n n + 【解析】试题分析：因为24,n n S a =-所以1124(2)n n S a n --=-≥，两式相减得1122,2n n n n n a a a a a --=-=.因此{}n a 为等比数列，又11124,4S a a =-=，所以11422.n n n a -+=⋅=因此2log 1,n a n =+前n 项和为(21)(3)22n n n n +++=.考点：已知n S 求.n a14．若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下列函数①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()xf x x=； ④()sin f x x x =，其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为．【答案】②③【解析】试题分析：因为(1,)x ∈+∞时，1()(0,)1f x x =∈+∞-，所以函数①不是有界函数．因为(1,)x ∈+∞时，21|()|122x x f x x x =≤=+，所以函数②是有界函数．因为(1,)x ∈+∞时，2l n 1l n (),()x x f x f x x x-'==，()f x 在(1,)e 单调增，在(,)e +∞上单调减，所以函数10()()f x f e e<≤=，因此③是有界函数．因为(1,)x ∈+∞时，取2()2x k k z ππ=+∈，则()sin f x x x x ==→+∞，所以函数④不是有界函数．考点：函数值域15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3A 2π=，3b =，△ABC的面积为4．（Ⅰ）求边a 的长；（Ⅱ）求cos 2B 的值．【答案】（Ⅰ）7a =，（Ⅱ）71.98【解析】试题分析：（Ⅰ）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化. 由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 234ABC S c ∆2π=⨯⨯=．所以5c =．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos 493a 2π=+-⨯⨯⨯=，所以7a =．（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a bA B =，即3sin B=，所以sin 14B =，根据二倍角公式有271cos 212sin 98B B =-=．解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 234ABC S c ∆2π=⨯⨯=．所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=，所以7a =． 7分（Ⅱ）由sin sin a b A B =得，3sin B=，所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=． 13分考点：正余弦定理，二倍角公式16．某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．【答案】（Ⅰ）2.（Ⅱ）6.E ξ=【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图中小长方形面积为频率，而频数为总数与频率之积. 因此参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．概率估计为6020802.2002005P +===（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．由（Ⅰ）可知，概率为2.5因为 ξ~2(3)B ，，所以26355E ξ=⨯=．随机变量ξ的分布列为解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=；11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=；22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以26355E ξ=⨯=． 13分考点：频率分布直方图17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为A P ，BD 中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求证：EF ∥平面BC P ；（Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值；（Ⅲ）在棱C P 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．FABCDP E【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）5（Ⅲ）不存在. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行.本题条件含中点，故从中位线上找线线平行. E ，F 分别为A P ，BD 中点，在△PAC 中，E 是A P 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面BC P ，所以EF ∥平面BC P ．（Ⅱ）求二面角的大小，有两个思路，一是作出二面角的平面角，这要用到三垂线定理及其逆定理，利用侧面PAD ⊥底面ABCD ，可得底面ABCD 的垂线，再作DF 的垂线，就可得二面角的平面角，二是利用空间向量求出大小.首先建立空间坐标系. 取AD 中点O ．由侧面PAD ⊥底面ABCD 易得PO ⊥面ABCD ．以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．再利用两平面法向量的夹角与二面角的平面角的关系，求出结果，（Ⅲ）存在性问题，一般从假设存在出发，构造等量关系，将存在是否转化为方程是否有解.E P DCBAF证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分．又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是A P 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面BC P ，所以EF ∥平面BC P ． 4分（Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =，所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ，且面PAD 面=ABCD AD ，所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥．又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．因为2PA PD AD ===，所以OP =则(0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P，1(,0,22E ，(0,1,0)F ．于是(0,2,0)AB =，3(2DE =，(1,1,0)DF =．因为OP ⊥面ABCD，所以OP =是平面FAD 的一个法向量．设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n．由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A ． 10分（Ⅲ）假设在棱C P 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111G(,,)x y z ，则111FG =(,1,)x y z -．由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ．因为GF ⊥面EDF ，所以FG =λn ．于是，111,1,x y z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=．又因为点G 在棱C P 上，所以GC 与PC 共线．因为PC (1,2,=-，111CG (+1,2,)x y z =-，所以111212x y +--=．所以1112λλ+---= 故在棱C P 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． 14分考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角 18．已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）e a =，（Ⅱ）当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞，()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．（Ⅲ）22(,e ]-∞.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线斜率为在点(0,(0))f 处的导数值. 由已知得21()2e x f x a +'=-．所以(0)e f '=．(0)2e e f a '=-=，e a =（Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域(),-∞+∞，再导数值的符号确定单调区间. 当0a ≤时，()0f x '>,所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞．当0a >时,令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞；令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. “当(0,1]x ∈时，21()e 11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x +≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．” 易得函数()g x 在12x =处取得最小值，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞．（Ⅰ）由已知得21()2e x f x a +'=-．因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． 3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2e x f x a +'=-．（1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞．（2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞；令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． 8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ． “当(0,1]x ∈时，21()e11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．” 设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=．令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数；令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数．所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤．又因为a 32e <，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． 13分（Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时，可得11ln 0222a -≤．由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞，所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立．（3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<．由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值，且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122a aa -+≥，解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤．综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．考点：利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值 19．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22143x y +=，（Ⅱ）2(,[21,)7-∞+∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，关键利用待定系数法求出a,b. 由12c e a ==及1a c -=，解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．（Ⅱ）存在性问题，一般从假设存在出发,建立等量关系，有解就存在，否则不存在. 条件22OA OB OA OB +=-的实质是垂直关系，即0OA OB ⋅=.所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=,221212(1)()0k x x km x x m ++++=,由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．代入化简得，2271212m k =+．由222(8)4(34)(412)0k mk m ∆=-+->化简得2234k m +>．解得，234m >．由227121212m k =+≥，2127m ≥，所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞．（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． 4分（Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+．若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=， 222224128(1)03434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+．将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->，解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m ≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． 14分考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系20．已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ；（Ⅱ）求证：543T mT tT =--；（Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．【答案】（Ⅰ）1,T m =-22.T m t =-（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得：12x x m +=-，12x x t =．因为120nn r r n r T x x -==∑，所以11112120r r r T x x x x m-===+=-∑．222222212112212120()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑.对抽象的求和符号具体化处理,是解答本题的关键.（Ⅱ）555432234551211212121220,r rr T xx x x x x x x x x x x -===+++++∑而4322343212343121121212212112122()()()mT tT x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=+++++-+++5432234432234543223411212121212121212212121212()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++-+++5432234511212121225x x x x x x x x x x T =+++++=，（Ⅲ）用数学归纳法证明有关自然数的命题. （1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数，由（Ⅱ）问知11k k k T mT tT +-=--．即1n k =+时，结论也成立．解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．因为120nn r r n r T xx-==∑，所以11112120r r r T x x x x m-===+=-∑．222222212112212120()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． 3分（Ⅱ）由12kk r rk r T xx -==∑，得5454555121122142r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑．即55142T x T x =+，同理，44132T x T x =+．所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--． 8分（Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数．由12kk r rk r T xx -==∑，得1111121122k kk r rk r r k k r r T xx x x x x ++--++====+∑∑．即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T xT x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-．即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数．即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切n *∈N ，120nn r r r xx-=∑的值都是整数． 13分考点：数学归纳法证明。

北京市朝阳区2014届高三上学期期末考试数学理试题含答案

北京市旭日区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末一致考试数学试卷（理工类）2014.1（考试时间120 分钟满分150 分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1．函数f ( x)1x 的定义域为x1A．[0,)B．(1,)C．[0,1)(1,)D．[0,1)2．假如点P 2, y0在以点 F 为焦点的抛物线y24x 上，则PFA ．1B．2C．3D．43．命题p：x R, x2ax a20 ；命题q：x R ，sin x cos x 2 ，则以下命题中为真命题的是A ．p q B．p q开始C．( p) q D．( p) ( q)4．在△ABC中，A30 ，AB3，BC 1 ，i0则△ ABC 的面积等于a a0A ．3B．3i i1 24C． 3 或3D． 3 或3a 2 a1224是a<2013?5．履行以下图的程序框图，输出结果是4．若 a01,2,3，则 a0全部可能的取值为否．． 1输出 iA1,2,3BC．2D．1,2结束6．已知正方形的四个极点分别为O (0,0) ， A(1,0) ， B(1,1)，C (0,1) ，点 D , E 分别在线段 OC , AB 上运动，且 OD BE ，设 AD 与 OE 交于点 G ，则点 G 的轨迹方程是A ．y x(1x) (0x1)B．x y(1y) (0 y1)C．y x2(0 x 1)D．y 1 x2(0 x 1)7．已知平面向量 a ，b的夹角为120，且 a b 1 ，则 | a b |的最小值为A ．6B．3C．2D． 18．已知数列a n知足 a n n k n (n N ,0 k 1) 下边说法正确的选项是①当k 1时，数列 a n为递减数列；2②当1k1时，数列a n不必定有最大项；21③当 0k a为递减数列；时，数列2n④当k为正整数时，数列a n必有两项相等的最大项 .1kA. ①②B. ②④C. ③④D. ②③第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分 . 把答案填在答题卡上．9．某校为认识高一学生寒假时期的阅读状况，频次 /组距抽查并统计了100 名同学的某一周阅读时间，绘制了频次散布直方图（以下图），那么这1000.150.14名学生中阅读时间在 [4,8) 小时内的人数为0.12_____．0.050.042468 10 12小时10．在各项均为正数的等比数列a n中，若 log 2 a2 log2 a81，则 a3 a7．11．直线y kx与圆( x 2)2y 24订交于O,A两点，若OA =2 3 ，则实数k的值是 _____．12．一个三棱锥的三视图以下图，则该三棱锥的体积是；表面积是．2 633正视图俯视图x y 3, 13．实数x, y知足y 若 y k( x 2)2x0,恒成立，则实数k 的最大值是．14．全部真约数（除自己以外的正约数）的和等于它自己的正整数叫做完整数．2 33侧视图如： 6=123；28=124714 ；496=1248163162124248 ．已经证明：若2n1是质数，则2n1(2n1) 是完整数，n N .请写出一个四位完整数；又6 23 ，所以 6 的全部正约数之和可表示为(1 2)(13)；28227 ，所以 28的全部正约数之和可表示为(1222) (1 7)；按此规律，496 的全部正约数之和可表示为．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分 . 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（此题满分13 分）已知函数 f (x)cos2 x sin x 1 ．（Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小值；（Ⅱ）若 f ( )5的值．，求 cos 21616．（此题满分13 分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在同样测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）以下表：第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你以为选派谁参赛更好？说明原因（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行剖析，设抽到的两个成绩中，90 分以上的个数为 X ，求随机变量X 的散布列和希望 EX ．17．（此题满分 14 分）如图，在三棱锥P- ABC 中， PA平面 ABC，AB AC.（Ⅰ）求证： AC PB ；（Ⅱ）设 O, D 分别为 AC, AP 的中点，点 G 为△ OAB 内一点，且知足 OG 1OB），（OA3P求证： DG ∥面 PBC ；（Ⅲ）若 AB = AC = 2， PA= 4，D 求二面角 A PB C 的余弦值．C OAGB18．（此题满分13 分）已知函数 f (x) (x a)ln x ， a R ．（Ⅰ）当 a 0 时，求函数 f ( x) 的极小值；（Ⅱ）若函数 f ( x) 在 (0,) 上为增函数，求 a 的取值范围．19.已知椭圆C两焦点坐标分别为F1(3,0) , F21 ( 3,0) ，且经过点P( 3, )．2（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）已知点A(0, 1) ，直线 l 与椭圆 C 交于两点 M , N ．若△ AMN 是以 A 为直角极点的等腰直角三角形，试求直线l 的方程．20．（此题满分 13 分）已知 a, b, c 是正数，a1lg a ， a2 lg b ， a3 lg c ．（Ⅰ）若 a,b,c 成等差数列，比较a1 a2与 a2 a3的大小；（Ⅱ）若 a1a2a2 a3a3a1，则a,b,c三个数中，哪个数最大，请说明原因；（Ⅲ）若 a t ，b t2， c t 3（ t N），且a1，a2，a3的整数部分分别是 m, m21, 2m2 1, 求全部 t 的值．北京市旭日区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末一致考试数学答案（理工类）2014.1一、号 1 2 3 4 5 6 7 8答案CCBDBAAC二、填空91 1112114号 03答542 3 18 236 32 (1 2 222324) (1 31)8128案33三、解答15．解：（Ⅰ）因f (x)cos 2 xsin x 1sin 2 xsin x(sin x 1 )2 1 ，2 4又 sin x1,1 ，所以当 sin x 1f ( x) 的最小1 6 分，函数.⋯⋯2 4（Ⅱ）由（Ⅰ）得(sin1 )2 1 5 ，24 16所以 (sin1 )2 9 ．2 16于是 sin51（舍）或 sin．44又 cos21 2sin21 2(1)27 ．4816．解：（Ⅰ）茎叶如右所示，由可知，乙的平大于甲的均匀成，且乙的方差小于甲的方差，所以参更好．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）随机量 X 的全部可能取 0,1,2 ．P( XC 41C 41 16 ，0)25C 51C 51P( X 2C 418，1)25C 51C 51⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分均成甲乙派乙585656 78 8 2 75295P( X11，2)25C51C51随机量 X 的散布列是：X012P 1681 252525EX01618212．⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分252525517．明：（Ⅰ）因PA平面 ABC ， AC平面 ABC ，所以 PA AC ．又因 AB AC ，且 PA AB= A，所以 AC平面 PAB ．又因 PB平面 PAB ，所以 AC PB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ）解法 1: 因PA平面ABC，所以PA AB ， PA AC ．又因 AB AC ，所以成立如所示的空直角坐系 A xyz ．AC = 2a ， AB = b ， PA = 2c ，A(0,0,0) ， B(0, b,0) ， C (2 a,0,0) ，P(0,0,2 c), D (0,0, c) ， O( a,0,0) ．1又因 OG（OA OB），3a b所以 G( , ,0)．z PD于是 DG( a,b, c) ，x 33BC (2 a,b,0) ， PB(0, b, 2c) ．平面 PBC 的一个法向量n BC0,n( x0, y0 , z0 ) ，有C O AGB即n PB0．2ax0by00,by02cz00.y不如 z0 1 ，有y02c, x0c，所以 n b a因 n DG (c,2c,1)(a,b,c)c aa b33a3所以 n DG ．又因DG平面 PBC ，(c,2c,1) ．a b2c b 1 ( c) 0 ，b3所以 DG ∥平面 PBC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分P解法 2：取 AB 中点 E ， OE ， OE1(OA OB) .122D由已知 OG（OA OB ）可得 OG OE ,33点 G 在OE 上.AG 并延交 CB 于F ， PF .O因 O, E 分 AC , AB 的中点，CAG所以 OE ∥BC ,即G AF 的中点.E又因 D 段 PA 的中点，F所以 DG ∥PF .又 DG平面 PBC , PF平面 PBC ,B所以 DG ∥平面 PBC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面PBC 的一个法向量 n( c ,2c,1)(2, 2,1) ．a b又因 AC 面 PAB ，所以面 PAB 的一个法向量是 AC(2,0,0) ．又 cos n , ACn AC 4 2 ，n AC 3 23由可知，二面角 A PBC 角，所以二面角 A PBC 的余弦2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分318．解：（Ⅰ）定域 (0,) ．当 a0 ， f (x) xln x ， f ( x)ln x 1 ．令 f (x)0 ，得 x1．(0, 1) ， fe当 x( x) 0 ， f ( x) 减函数；e当 x( 1, ) ， f ( x)0 ， f ( x) 增函数 .e所以函数f (x) 的极小是 f ( 1)1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分ee（Ⅱ）由已知得f ( x)ln x xa x ．因函数 f ( x) 在 (0,) 是增函数，所以f (x) 0 ， x(0, ) 恒成立．由 f( x) 0 得 ln x a0 ，即 x ln xx a x(0,) 恒成立．xxg( x) x ln x x ，要使“ x ln xxa x (0,) 恒成立”，只需 ag( x)min ．因 g ( x)ln x 2 ，令 g ( x) 0得 x12．12 ) ， g ( x)e当 x(0,0 ， g( x) 减函数；e当 x(12 ,) ， g ( x) 0 ， g ( x) 增函数 .e11所以 g (x) 在 0,上的最小是g()2 2．ee故函数 f ( x) 在 (0,) 是增函数，数 a 的取范是( ,12 ]⋯⋯13 分e19．解：（Ⅰ）准方程x 2 y 2 1( ab 0) ．依意a2b 22aPF 1PF 212 1 1 4，所以 a 2 ．44又 c3 ，所以 b 2 a 2 c 2 1 ．于是 C 的准方程x 2y 2 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分4（Ⅱ）依意，然直l 斜率存在 . 直 l 的方程 y kxm ，x 2 y 21(4k 21)x 28kmx 4m 24 0 ．由 4得y kx m因64k 2 m 2 4(4k 2 1)(4m 2 4) 0 ,得 4k 2 m 2 1 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ①x 1 x 28km4k 21M ( x 1 , y 1), N ( x 2 , y 2 ) ，段 MN 中点 Q(x 0 , y 0 ) ，4m24x 1 x 24k21于是 x 04km , y 0kx 0mm ．4k 2 14k 2 1因 AM AN ，段 MN 中点 Q ，所以 AQ MN ．（ 1）当 x0 ，即 k0且 m 0 ，y 01k1，整理得 3m 4k21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯②x0因 AM AN，AM(x1, y11), AN( x2 , y21) ，所以AM AN x1 x2( y11)( y2 1) (1 k2 )x1x2k( m 1)( x1x2 ) m22m 1(1k24m24k(m1)(8km)22m 1 0，)214k2m4k1整理得 5m22m30 ，解得 m3或 m1．当 m1，由②不合意舍去.5由①②知，m 35．， k55（ 2）当x00，（ⅰ）若 k0 ，直 l 的方程 y m ，代入方程中得x 2 1 m2.M (21m2 , m) ， N (2 1 m2 , m) ,依意，若△AMN 等腰直角三角形，AQ QN.即2 1m21m ，解得 m1或 m3. m1不合意舍去，35即此直 l 的方程y.5（ⅱ）若k0 且 m0 ，即直 l 原点.依的称性有Q (0, 0), 依意不可以有AQ MN ,即此不足△AMN 等腰直角三角形.上，直 l的方程y 35x 5 y30或5x 5 y30.⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分或5a3 ) =lgalgblgac20．解：（Ⅰ）由已知得(a1a2 )( a2．a cb c b2因 a,b,c 成等差数列，所以b2，(a1a2 ) ( a2a3 ) lg4ac，(a c) 2因 a2c22ac ，所以(a c)24ac，即4ac1，(a c) 2(a1a2 )( a2a3 ) 0 ，即 a1a2a2a3，当且当a b c 等号成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）解法 1：令m a a ， n a a ， p a a ，122331依意， m n p 且 m n p0 ，所以 m0p ．故 a1a20 ，即lg a lg b ；且a1a30 ，即lg a lg c．所以 a b 且a c ．故 a, b, c 三个数中，a最大．解法 2：依意lg algblgc，即ab c ．b c a b c a因 a0, b0, c0 ，所以 ac b2， a2bc ， ab c2．于是，abc b3， a3abc ， abc c3，所以 a3b3， a3c3．因 y x3在R上增函数，所以a b 且a c ．故 a,b,c 三个数中，a最大．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（Ⅲ）依意，lg t ，lg t2，lg t3的整数部分分是m, m21, 2m21，m lg t m 1，所以 2m2lg t2m2．又 lg t 22lg t ， lg t2的整数部分是2m或 2m 1 ．当 m2 1 2m ， m 1；当 m2 1 2m 1 ， m 0,2 ．（ 1）当m0 ， lg t ，lg t2，lg t3的整数部分分是 0,1,1 ，1 ，1 lg t2lg t 31212所以 0 lg t 2 ，1 2 ．所以lg t，解得 102t 10 3．2312又因 10 23,4 ， 1034,5，所以此 t 4 ．（ 2）当m1，同理可得 1lg t 2 ，2lg t 2 3 ， 3lg t3 4 ．444所以 1lg t t10 3．又10321,22，此 t 10,11,12,...20,21 ．，解得 103（ 3）当m 2，同理可得 2 lg t3，5 lg t2 6 ， 9lg t 310 ，同足条件的 t 不存在．上所述 t4,10,11,12,...20,21 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分。

2014北京各区高考数学二模试题及答案解析

2014北京各区高考数学二模
试题及答案解析
2014年北京市各县区的高考二模对于测验高三考生的复习成果和接下来的高考志愿填报具有非常重要的参考价值。

本人特将一模试题进行整理汇总，以下是2014年北京各城区高考二模试题及答案汇总，供考生
参考！
北京市西城区2014年高三二模试卷
数学（理科） 2014.5
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项．
1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，
则实数a 的取值范围是（）（A ）(,2]-∞-
（B ）[2,)-+∞
（C ）(,2]-∞
（D ）[2,)+∞
2．在复平面内，复数2
=(12i)z +对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限
（D ）第四象限
3．直线2y x =为双曲线22
22 1(0,0)x y C a b a b
-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（）
（A （B （C
（D。

2014年北京市朝阳区高三二模数学(理)试题和答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b > （C ）11a b< （D ）22a b <（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（A ）{}1,2,3,4,5（B ）{}1,2,3,4,5,6（C ）{}2,3,4,5（D ）{}2,3,4,5,6（4）已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ= （A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3（5）已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧（6）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞（C）（D）)+∞（7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如上表所示.若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨,电不超过60千度,则可获得的最大纯利润和是（A ）60万元（B ）80万元（C ）90万元（D ）100万元（8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是（A ）83π （B ）163π（C ）4π （D ）5π 第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____．（10）5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____．（12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是；表面积是．（13）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为．（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下列函数①1()1f x x =-；②2()1x f x x =+；③ln ()xf x x =； 22俯视图侧视图正视图（第12题图）④()sinf x x x=，其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A2π=，3b=，△ABC的面积．（Ⅰ）求边a的长；（Ⅱ）求cos2B的值．（16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，2PA PD AD===．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角E DF A--的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数21()e1xf x ax+=-+，a∈R．（Ⅰ）若曲线()y f x=在点(0,(0))f处的切线与直线e10x y++=垂直，求a的值；（Ⅱ）求函数()f x的单调区间；（Ⅲ）设32ea<,当[0,1]x∈时，都有()f x≥1成立，求实数a的取值范围．（19）（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于,A B两点的直线l：()y kx m k=+∈R，使得22OA OB OA OB+=-成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知1x，2x是函数2()f x x mx t=++的两个零点，其中常数m，t∈Z，设12()nn r rnrT x x n-*==∈∑N．（Ⅰ）用m，t表示1T，2T；（Ⅱ）求证：543T mT tT=--；（Ⅲ）求证：对任意的,nn T*∈∈N Z．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014.515．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin2ABCS bc A∆=得，13sin23ABCS c∆2π=⨯⨯=．所以5c=．由2222cosa b c bc A=+-得，22235235cos493a2π=+-⨯⨯⨯=，所以7a=．……………7分（Ⅱ）由sin sina bA B=3sin B=，所以sin14B=．所以271cos212sin98B B=-=．…………13分FABCDPE服务时间/小时16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +===…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以0031123323272354(0)()();(1)()()5512555125P C P C ξξ==⋅===⋅=； 221330332336238(2)()();(3)()()5512555125P C P C ξξ==⋅===⋅=．随机变量ξ的分布列如右表。

北京市朝阳区年高三二模数学理科答案

中国威望高考信息资源门户北京市旭日区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014． 5一、（分40 分）号12345678答案B C C D D A C B二、填空（分30 分）号91011121314答案238038 28 32n 1n(n3)2②③3三、解答（分80 分）15．（本小分13 分）解：（Ⅰ）由 S ABC 1bc sin A 得， S ABC1 3 csin15 3．2234因此 c 5 ．由 a2b2c22bc cos A 得， a23252 2 3 5 cos49 ，3因此 a7．⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分（Ⅱ）由得，，因此 sin B3 3 ．14因此 cos2B 12sin 2 B71．⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分9816．（本小分13 分）解：（Ⅰ）依据意，参加社区服在段小的学生人数（人），参加社区服在段小的学生人数（人）．因此抽取的 200 位学生中，参加社区服许多于90 小的学生人数80人．因此从全市高中学生中随意取一人，其参加社区服许多于90 小的概率估P60 2080 2 .⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2002005（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中随意取 1 人，其参加社区服许多于90中国威望高考信息资源门户小的概率2.5由已知得，随机量的可能取0,1,2,3 ．因此 P(0) C 30 ( 2)0 ( 3)327 ；5 5125P(1) C 31(2)1 ( 3)254 ；5 5125P(2) C 32( 2)2(3)136 ；5 5 125 P(3) C 33(2)3( 3)8 ．55125随机量的散布列0 1 2 327 54 36 8 P125125 1251252 2 6 ⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分因 ~ B(3， ) ，因此 E3 ．55517．（本小分14 分）明：（Ⅰ）如， AC ．P因底面 ABCD 是正方形，因此 AC 与 BD 相互均分．又因 F 是 BD 中点，DEC因此F 是AC 中点．FA在△ PAC 中，E 是 PA 中点， F 是 AC 中点，B因此EF ∥PC ．又因 EF 平面 PBC ， PC平面 PBC ，因此 EF ∥平面 PBC ．⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）取 AD 中点 O ．在△ PAD 中，因 PAPD ，因此 PO AD ．因面 PAD 底面 ABCD ，且面 PAD面 ABCD =AD ，z因此 PO面 ABCD ．PEDCOFyABx中国威望高考信息资源门户因 OF平面 ABCD因此 PO OF ．又因 F 是 AC 中点，因此 OFAD ．如，以 O 原点， OA, OF , OP 分 x, y , z 成立空直角坐系．因 P APD AD 2，因此OP 3，O (0,，，B(1,2,0) ，0, 0) A(1,0,0)C ( 1,2,0) ，D ( 1,0,0) ， P(0,0,3) ， E(1 ,0,3) ， F (0,1,0) ．22于是 AB(0,2,0) ， DE( 3 3(1,1,0) ．,0, 2 )，DF2因 OP 面 ABCD ，因此 OP (0,0, 3) 是平面 FAD 的一个法向量．平面 EFD 的一个法向量是n = (x 0 , y 0 , z 0 ) ．n DF0,x 0 y 00,y 0x 0 ,即因因此3 xn DE0,3z 0,z 03x 0 .2 02令 x 0 1 n = (1, 1, 3) ．因此 cos OP, nOP n315 ．OP n3 55由可知，二面角E-DF-A 角，因此二面角E-DF-A的余弦15．⋯10 分5（Ⅲ）假在棱PC 上存在一点 G ，使 GF面 EDF．G( x 1 , y 1, z 1 ) ，FG = ( x 1 , y 11, z 1) ．由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是 n = (1, 1, 3) ．因 GF 面 EDF ，因此 FG = n ．于是， x 1, y 1 1 , z 1 3 ，即 x 1, y 11, z 13 ．又因点 G 在棱 PC 上，因此 GC 与 PC 共．因 PC( 1,2,3)，CG(x 1 +1, y 1 2, z 1) ，中国威望高考信息资源门户因此 x 1 1= y 12 = z 1 ．12 3因此1=1 =3 ，无解．123故在棱 PC 上不存在一点 G ，使 GF面 EDF成立．⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分18．（本小分13 分）（Ⅰ）由已知得f ( x)2e 2 x 1a ．因曲在点的切与直x ey 1 0 垂直，因此 f (0) e ．因此 f (0) 2ea e ．因此 ae ．⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（Ⅱ）函数的定域是， f ( x) 2e 2x 1a ．（ 1）当 a 0 ，成立，因此的增区．（ 2）当 a0 ，令，得 x1 ln a 1 ，因此的增区是( 1ln a1 , ) ；2 2 22 2 2令，得 x1 a 1 ( 1 a 12 ln2 ，因此的减区是, ln 2 ) ．22 2 上所述，当 a0 ，的增区；当 a0 ，的增区是( 1 ln a1 , ) ，2 22的减区是1 a 1(, 2 ln 2 2 ) ．⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分（Ⅲ）当，f (0) e 1 1 成立，．“当， f (x)e 2 x 1ax 1 1 恒成立”等价于“当，ae 2 x 1x 恒成立．”g (x)e 2 x 1，只需“当，a g(x)min 成立．” xg ( x) (2 x 1)e 2 x 1x2．令 g ( x)0 得， x 1且 x 0 ，又因，因此函数在上减函数；2中国威望高考信息资源门户令 g ( x) 0 得， x1，又因，因此函数在( 1,1] 上增函数．22因此函数在获得最小，且g ( 1) 2e 2 ．2因此 a 2e 2．又因 a2e 3 ，因此数的取范(, 2e 2 ] ．⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分（Ⅲ）另解：（ 1）当 a0 ，由（Ⅱ）可知，在 [0,1] 上增，因此 f ( x)f (0) e 1 ．因此当 a0 ，有 f ( x) 1 成立．（2）当 0a 2e ，可得 1 ln a1 0 ．2 22由（Ⅱ）可知当a0 ，的增区是 ( 1ln a1 ,) ，2 2 2因此在 [0,1]上增，又f (x)f (0)e1，因此有成立．（ 3）当 2ea2e 3 ，可得0 1 ln a1 1．22 2由（Ⅱ）可知，函数在[0, 1 ln a1 ) 上减函数，在(1ln a 1,1] 增函数，2 2 2 2 2 2因此函数在 x1 ln a 1 取最小，222ln aalna a1 aa ln a 1 ．且 f ( 1 ln a 1) e 22 2 22 222 2当，要使成立，只需a a ln a 1 1，22 解得 a2e 2 ．因此 2ea 2e 2 ．上所述，数的取范( , 2e 2 ] ．19．（本小分 14 分）（Ⅰ） C 的方程x 2y 2 1 a b 0 ，半焦距 c .a 2b 2c1，由右焦点到右点的距离1，得 ac 1 ．依意 e2a解得 c 1， a 2 ．因此 b 2a 2 c 23 ．中国威望高考信息资源门户因此 C 的准方程是x 2y 2 1．⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分43（Ⅱ）解：存在直l ，使得 OA 2OBOA 2OB 成立 .原因以下：ykx m,由 x 2y 2 得 (3 4k 2 )x 28kmx4m 2 12 0 ．43 1,(8km)2 4(3 4k 2 )(4m 2 12)0 ，化得 3 4k 2 m 2 ．A( x 1, y 1), B(x 2 , y 2 ) ，8km 2x 1 x 22 ， x 1x 24m 12 ．3 4k3 4k 2若 OA2OBOA2OB 成立，22即 OA 2OB OA 2OB ，等价于 OA OB0 ．因此 x 1 x 2 y 1 y 2 0．x 1 x 2 (kx 1 m)(kx 2m) 0 ，(1 k 2 ) x 1 x 2km( x 1x 2 ) m 2 0 ，(1 k 2 ) 4m 2 12 km 8kmm 2 0 ,3 4k 2 3 4k 2化得， 7m 2 12 12k 2 ．将 k27 m 2 1代入 3 4k2m 2中， 34( 7m 2 1) m 2 ，12 312解得， m 2．4又由 7m 212 12k 2 12 ， m 2 12 ，进而 m 2 12， m 2 7 221 或 m 21 ．7 77因此数 m 的取范是 (, 221][221, ) ． ⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分7720．（本小分 13 分）解：（Ⅰ）由， x 1x 2 t ．中国威望高考信息资源门户nx n r x r因 T，因此．n12r02x12r x2r x12x22(x1 x2 )2x1 x2 m2 T2x1x2t．⋯⋯⋯⋯ 3 分r0kx1k r x2r，得（Ⅱ）由 T kr054T5x15 r x2r x1x14 r x2r x25x1T4x25．r0r0即 T5 x1T4x25，同理， T4x1T3x24．因此 x T x x T x5．241232因此T5xT (x T x1x2T3 ) ( x1x2 )T4x1 x2T3mT4tT3814 2 4．⋯⋯⋯⋯⋯分（Ⅲ）用数学法明．（ 1）当n1,2，由（Ⅰ）知T k是整数，成立．（ 2）假当n k1, n k （ k 2 ）成立，即T k1,T k都是整数．k k1k由 T k x1k r x2r，得 T k 1x1k 1 r x2r x1x1k r x2r x2k 1．r0r0r 0即 T k 1x1T k x2k 1．因此 T k xT1 k 1x2k， x2T k x1x2T k 1 x2k 1．因此 T k 1x1T k( x2T k x1x2T k 1 ) (x1x2 )T k x1x2T k 1．即 T k1mT k tT k 1．由 T k 1, T k都是整数，且，，因此也是整数．即 n k 1 ，也成立．由（ 1）（2）可知，于全部，的都是整数．⋯⋯⋯13分中国威望高考信息资源门户更多试题下载：（在文字上按住ctrl即可查察试题）高考模拟试题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】点击此链接还可查察更多高考有关试题【下载】。

北京市朝阳区2014年高三第二次综合练习-含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习理科综合试卷2014．5 本试卷共16页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

以下数据可供解题时参考：可能用到的相对原子质量：第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

13．下列四种现象中与光的干涉有关的是 A ．雨后空中出现彩虹 B ．肥皂泡的表面呈现彩色C ．一束白光通过三棱镜后形成彩色光带D ．一束白光通过很窄的单缝后在光屏上形成彩色光带14．图为氢原子的能级示意图。

现有大量的氢原子处于n =4的激发态，当这些氢原子向低能级跃迁时 A ．能发出3种不同频率的光 B ．能发出4种不同频率的光 C ．能发出5种不同频率的光 D ．能发出6种不同频率的光15．如图所示，一理想变压器原、副线圈的匝数比n 1:n 2=4:1，电阻R =55Ω。

原线圈两端接一正弦式交变电流，其电压的有效值为220V 。

则原线圈中电流的大小为 A ．0.25A B ．1.0A C ．4.0A D ．16A16．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为π8sin 2x t (cm)，则A ．质点的振幅为16cmB ．质点的振动周期为2sC ．在0~1s 内，质点的速度逐渐减小D ．在1~2s 内，质点的动能逐渐减小 17．如图1所示，矩形线圈位于一变化的匀强磁场内，磁场方向垂直线圈所在的平面（纸面）向里，磁感应强度B 随时间t 的变化规律如图2所示。

用I 表示线圈中的感应电流，取顺时针方向的电流为正。

则图3中的I -t 图像正确的是18．2013年12月2日1时30分，嫦娥三号探测器由长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察。

嫦娥三号的部分飞行轨道示意图如图所示。

假设嫦娥三号在圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力。

2014朝阳二模教师版

2
故选D．
6. 若双曲线x2 −
y2
=
1(b
>
0) 的一条渐近线与圆x2
+
(y
−
2 2)
=
1 至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（
）．
2
b
A. (1, 2]
B. [2, +∞)
C. (1, √3]
D. [√3, +∞)
答案 A
解析
/30 由题意得a2 = 1 双曲线的一条渐近线方程为y = bx ，圆心坐标为(0, 2) ，半径r = 1 ，因为渐近线与圆至多有一
= 49
，
3
所以a = 7 ．
（2）求cos 2B的值．
答案
71
cos 2B =
．
98
解析
由
a
b
=
7
3
得， =
3 √3
，所以sin B =
．
sin A
sin B
√3
sin B
14
2
所以． 2
71
cos 2B = 1 − 2sin B =
98
30 16. 某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200学生参加社区服务的 /12/ 数据，按时间段[75, ， 80) [80, ， 85) [85, ， 90) [90, ， 95) [95, 100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所 2017 示．
) =π=
, ⇒ ω = 2
3
12
ω
π
π
π
又f ( ) = 0 ⇒
⋅ 2 + φ = π + 2kπ ⇒ φ =

2014年北京市朝阳区二模试题数学【理科】试题及答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则AB =（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b>（C ）11a b< （D ）22a b <（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6（4）已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=（A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3（5）已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧（6）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C）（D)+∞ （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（A ）60万元（B ）80万元（C ）90万元（D ）100万元（8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是（A ）83π （B ）163π（C ）4π （D ）5π第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____．（10）5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延BA长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____．（12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是；表面积是．（13）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为．（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函数．下列函数 ①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()x f x x=； ④()sin f x x x =，其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3A 2π=，3b =，△ABC的面积为4．（Ⅰ）求边a 的长；（Ⅱ）求cos 2B 的值．A （第11题图）22俯视图侧视图正视图（第12题图）（16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ；（Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．服务时间/小时FABCDP E（19）（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ；（Ⅱ）求证：543T mT tT =--；（Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5二、填空题（满分30分）三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 23ABC S c ∆2π=⨯⨯=．所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=，所以7a =． ……………7分（Ⅱ）由sin sin a bA B=3sin B =，所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=． ……………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=； 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=；22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以355E ξ=⨯=． ……………13分 17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分．又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ． ……………4分（Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =，所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ，且面PAD面=ABCD AD ，E P DCBAF所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥．又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．因为2PA PD AD ===，所以OP =，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P ，1(,0,)22E ，(0,1,0)F ．于是(0,2,0)AB =，3(2DE =，(1,1,0)DF =．因为OP ⊥面ABCD，所以OP =是平面FAD 的一个法向量．设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A …10分（Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，则111=(,1,)FG x y z -．由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ．因为GF⊥面EDF ，所以=FG λn ．于是，111,1,xy z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=．又因为点G 在棱PC 上，所以GC 与PC 共线．因为(1,2,PC =-，111(+1,2,)CG x y z =-，所以111212x y +--==．所以1112λλ+---==，无解．故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得21()2e x f x a +'=-．因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． ……………3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2e x f x a +'=-．（1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞．（2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞；令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． ……………8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ． “当(0,1]x ∈时，21()e 11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=．令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数；令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数．所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤．又因为a 32e <，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． ……………13分（Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时，可得11ln 0222a -≤．由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞，所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立．（3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<．由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值，且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122a aa -+≥，解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤．综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． ……………4分（Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=． 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+．若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=． 1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m km k km m k k -+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+．将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->，解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． ……………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．因为120n n r r n r T xx -==∑，所以11112120r r r T x x x x m -===+=-∑． 222222************()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． …………3分（Ⅱ）由120k k r r k r T x x -==∑，得 545455512112214200r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑．即55142T xT x =+，同理，44132T xT x =+．所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--．……………8分（Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数．由120k k r r k r T xx -==∑，得111112112200k kk r r k r r k k r r T x x x x x x ++--++====+∑∑．即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T xT x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-．即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数．即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切n *∈N ，120n n r r r x x -=∑的值都是整数． ………13分。