F__学习_陈世民理论力学简明教程(第二版)答案_第五张_刚体力学

第五张 刚体力学
平动中见彼此， 转动中见分高低． 运动美会让你感 受到创造的乐趣． 走过这遭， 也许会有曾经沧海难为水 的感叹． 别忘了， 坐标变换将为你迷津救渡， 同时亦会 略显身手． 【要点分析与总结】
１刚体的运动 （１ ）刚体内的任一点的速度、加速度（Ａ 为基点）
υ = υA +ω × r′ a = aA + d( ω × r′ )+ ω × ω × r ′ ( ) dt
& =L x i + Lx Ω × i & =L x i + Ω × Lx
（２ ）欧拉方程（活动坐标系随刚体自旋）
dL d ∗L = + Ω ×L = M dt dt
写成分量形式：
& −( J x Ω Jy − Jz ) Ω yΩ z = M x x & Jz − Jx ) Ω zΩ x = M y J y Ω y − ( & Jx − J y ) Ω xΩ y = M z J z Ω z − (
另外，也可用 Ｓ 来判断， （其实更简单） 。
& 规则进动时： ϕ >0
［ 解题演示］
１ ． 一长为 l 的棒 Ａ Ｂ ，靠在半径为 r 的半圆形柱面上，如图所示。 今Ａ 点以恒定速度 υ0 沿水平线运动。试求： （ １ ） Ｂ 点的速度 υB ； （ ２ ） 画出棒的瞬时转动中心的位置． 解：如右图所示建立坐标系 xoy ，依图知：
−J xy J yy −J zy
− J xz ω x −J yz ω y J zz ω z
J xx = ( y2 + z2 ) dm ∫ 转动惯量 z 2 + x2 ) dm ( J yy = ∫ x2 + y2 ) dm ( J zz = ∫ J xx = xydm ∫ 惯量积 J yy = ∫ yzdm zxdm J zz = ∫
且
′ L = rc × mυc + Lc
＊ el 方向（以 l 为轴）的转动惯量：
α J = el gg J el = ( α , ,γ) J γ
= J xxα 2 + J yy
2
+ J zzγ 2 − 2 J yz γ − 2 J zxγα − 2 J xyα
（ α , , γ 分别为 el 与 x, y, z 轴夹角的余弦） ＊惯量主轴 惯量主轴可以是对称轴或对称面的法线 若Ｘ 轴为惯量主轴，则含 Ｘ 的惯量积为 ０ ，即： J xy = J xz = 0 若 x, y, z 轴均为惯量主轴，则： L = J xx i + J yy j + J zz k 〈析〉 建立的坐标轴轴应尽可能的是惯量主轴， 这样会降低解题繁度。
& υC = υ0 i ,υ A = υC +θ (−k ) × (−rj )
& 得： θ =
υ0 r
& 故： υB = υC +θ (−k ) × (r cos θ i + r sin θ j )
= υ0 (1 + sin θ )i −υ0 cosθ j
& aB = aC + ω × rBC + ω × (ω × rBC )
= ω ( R + r sin α j )
得： ω ′= −
ω R sin α i r
则： υ A = υO′ + ω ′ × (−r sin α i + r cos α k )
υM = υN + ω × rMN = −υ2 i + ω k × 2rj = −(υ2 + 2ω r )i = υ1i
得： ω = −
(υ1 +υ2 ) 2r
1 2rυ1 r (υ2 −υ1 ) (ω ×υ1 ) = rj + (− )j = j 2 ω υ1 + υ2 υ1 + υ2 2rυ1 (υ +υ )υ j) = − 1 2 1 j υ1 +υ2 2r
（１ ） rS = rM +
（２ ） aM = aS + ω × rMS + ω × (ω × rMS ) = ω k × (ω k ×
４ ． 高为 h ，顶角为 2α 的圆锥，在一平面上无滑动的滚动。已知圆 锥轴线以恒定角速度 Ω 绕过顶点的铅直顽固不化转动。求（１ ）圆 锥的角速度； （２ ）锥体底面上最高点的速度； （３ ）圆锥的角加速
ω = ω (− sin α i + cos α k )
设 O′球的转动速度为： ω ′= ω i 则有： υO′ = υC + (ω ′ + ω ) × rk = −(ω − ω sin α )rk 又有： υO′ = υO + ω (− sin α i + cos α k ) × ( R + r )k
瞬心 Ｓ 满足： rS = rA +
=
1 (ω ×υ A ) ω2
r 1 & i + 2 (θ k ×υ0 i ) & sin θ θ r r cos θ = i+ j sin θ sin 2 θ
如上图所示． ２ ． 一轮的半径为 r ，竖直放置于水平面上作无滑动地滚动，轮心
以恒定速度υ0 前进。求轮缘上任一点（该点处的轮辐与水平线成θ 角）的速度和加速度。 解：如右图所示建立坐标系 xoy ，则：
４刚体的定轴转动：
& ω = ω ez = ϕ ez
& L = Jg ω = − J zx ω i − J yz ω j + J zz ω k
T=
1 Jω 2 2
d 2 rc e 质心定理： m 2 = F () dt
e 角动量定理： = M ()
dL dt
〈析〉须注意外力与外力矩包括轴对物体作用 ５刚体的平面平行运动 T = mυc 2 + J ω 2
&= d ( r )i = r cosθ θ & r i = υ0 i A dt sin θ sin 2 θ
& 得： θ = υ0 sin 2 θ r cos θ
& υB = υ A + θ k × rBA
υ0 sin 2 θ k × (−l cos θ i + l sin θ j ) r cos θ l sin 3 θ l sin 2 θ = υ0 (1 − )i −υ0 j r cos θ r = υ0 i +
即
& ω x = θ & sin θ ω y = ϕ & cos θ +ψ& ω z = ϕ
由ห้องสมุดไป่ตู้对称； J x = J y = J ∗ 代入
dL d ∗L = + Ω ×L dt dt = M = lk × ( −mgeζ ) = mgl sin θ i
& & & J xω x − J xω yϕ cos θ + J zω zϕ sin θ = mgl sin θ & & & 可得： J ∗ω y + J xω xϕ cos θ − J zω zθ = 0 & J zω z = 0
2 （ ３ ）动能： T = mυc 2 + ∑ miυi′ = mυc 2 + ω g Jc g ω i
1 2
1 2
1 2
1 2
1 Jω 2 2 1 1 ＊平面平行运动： T = mυc 2 + J cω 2 2 2
＊定轴转动时：
T=
３ 刚体的动力学方程 与质点动力学方程相同。 〈析〉求角动量 L 时，须注意：
h h sin 2α k + ( cos 2α − h cos α ) j cos α cos α
= 2h sin α k − h tan α sin α j
则： υ A = υB + ω × rBA
= 0 + (−Ω cot α ) j × (2h sin α k − h tan α sin α j ) = −2Ω h cos α i
值得注意的是：有转动时 r ′与 ω × r′的微分，引入了 ω × r′与
ω ×( ω × r′ 项。 )
２刚体的动量，角动量，动能 （１ ）动量： P = mυc
（２ ）角动量： 式中：
L =∑
Lx J xx ri × miυi = Ly = J g ω = − J yx − J L zx z
& = 0 可导出 Ω = ε = const 可以解释地球的纬 〈析〉M = 0 时，J z Ω z z
度变迁。
（３ ）对称重陀螺的定点运动（活动坐标系不随刚体自旋） 三个角速度： 自旋： 进动： 章动：
ψ& k & ϕ eζ
& θ i
& & & 总角速度： ω = θ i +ϕ eζ +ψ k & & & =θ i +ϕ sin θ j + ( ϕ cos θ +ψ& k )
度。 解：如右图所示建立坐标系 oxyz ，并取定 OABC 点。 （１ ） υ A = υO + Ω k × (h cos α j + h sin α k )
= 0 − Ω h cos α i = υB + ω j × h sin α k = 0 + ω h sin α i
得： ω = −Ω cot α j （２ ） rBC =
质心定理： 机械能守恒：
d 2 rc & & m 2 = mr c = F dt