2.3 确定二次函数的表达式

一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
（来自《教材》）
知3－讲
例5 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0， 3)求这条抛物线的解析式. 解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3) 代入得3=a(0-4)2-1,解得a=
1 式为：y= (x-4)2-1. 4
知1－讲
(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特
别是当已知条件不是上述所列举的几种情形时，
应灵活地选用不同的方法来求解，以达到事半功 倍的效果．
2．易错警示：根据题目中的条件设出相应的函数表
达式．
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 已知二次函数y=ax² +c的图象经过点（2，3)和 （-1，-3)，求这个二次函数的表达式. 解：将点(2, 3)和(-1，-3)的坐标分别代入表达式y= ax2+c，Fra bibliotek（来自《点拨》）
知4－讲
总 结
此题主要考查了二次函数的图象的平移，顶点坐标 及交点式求二次函数的表达式，根据平移性质得出平移
后抛物线对应的函数表达式是解题关键．第(2)小题是一
个开放性题，平移方法不唯一，只需将原顶点平移成横、 纵坐标互为相反数即可．已知抛物线与x轴的交点坐标求 其表达式时，一般采用二次函数的交点式．
二次函数的值．
（来自《典中点》）
知2－练
3 已知二次函数的图象经过点(0, 2), (1，0)和(-2, 3)，求这个二次函数的表达式.
（来自《教材》）
知3－讲
知识点
3 用顶点式确定二次函数表达式
二次函数 y＝ax2＋bx＋c可化成：y＝a(x-h)2＋k ， 顶点是(h, k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另
第二章
二次函数
第 3节
确定二次函数
的表达式
1
课堂讲解
确定二次函数的表达式 用一般式（三点式）确定二次函数表达式
用顶点式确定二次函数表达式
2
课时流程
逐点 导讲练
用交点式确定二次函数的表达式
课堂 小结
作业 提升
一名学生推铅球时，铅球行进高度y (m )与水平距离
x ( m )之间的关系如图所示，其中(4, 3)为图象的顶点， 你能求出y与x之间的关系式吗？
a，h，k
a，b，c a，x1，x2
（来自《点拨》）
三个
知1－导
总 结
2.二次函数的表达式中有几个待定的字母，就需要有 几个条件去求解；反过来，要根据题目中给定的条 件数目去设相应的函数表达式并求解，这种方法叫
待定系数法．
（来自《点拨》）
知1－讲
1．用待定系数法求二次函数的表达式： (1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)． (2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可 设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． (3)若给出抛物线与x轴的交点或与x轴的交点距离，通 常可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 要点精析：(1)求二次函数表达式的几种方法之间是相 互联系的，而不是孤立的，不同的设法是根据不同 的已知条件来确定的．
（来自《点拨》）
知2－练
1 (2016· 临沂)二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函 数y的对应值如表：
x
y
…
…
－5 －4 －3 －2 －1 0 … 4 0 －2 －2 0 4 …
)
下列说法正确的是(
A．抛物线的开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是－2
5 D．抛物线的对称轴是直线x＝－ 2
用待定系数法求二次函数表达式选择类型的方法： 若已知图象上三个任意点的坐标，则利用一般式y＝
ax2＋bx＋c求；若已知图象的顶点坐标(或对称轴或函
数的最值)，则利用顶点式y＝a(x－h)2＋k求；若已知 图象与x轴的两个交点，则利用交点式y＝a(x－x1)(x－ x2)求．
1.必做: 完成教材P43-44T1-3
知1－讲
总 结
如果已知函数图象，函数图象的位置可决定函数
的形式，特别关注的是顶点的位置：若顶点在原点上，
则y＝ax2(a≠0)；若顶点在y轴上，则y＝ax2＋c(a≠0)； 若顶点在x轴上，则y＝a(x－h)2(a≠0)；若顶点不在坐 标轴上，则y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
（来自《点拨》）
知1－练
知1－导
知识点
1 确定二次函数的表达式
想一想
确定二次函数的表达式需要几个条件？与同 伴进行交流.
（来自《教材》）
知1－导
总 结
1. 形式 y＝ax2 含有的字母 a 需用条件 一个 两个
y＝ax2＋c
y＝a(x－h)2
a，c
a，h
y＝a(x－h)2＋k
y＝ax2＋bx＋c y＝a(x－x1)(x－x2)
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
(3)求a和k的值．
（来自《典中点》）
知4－讲
知识点
4 用交点式确定二次函数的表达式
例6〈宁波〉如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点 A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平 移后抛物线的顶点落在直线y＝
上，B点的坐标为(2，1)，此抛物线对应的函数表达式
1 2 x 为___________ ． 4 y
导引：由题意可得A点的坐标为(2，－1)．∵抛物线的顶点在 坐标原点，∴可设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2. 1 将点A(2，－1)的坐标代入，可得a＝－ ，∴抛物线 4 1 对应的函数表达式为y＝－ x2. 4 （来自《点拨》）
－x上，并写出平移后抛物线对
应的函数表达式． 导引：(1)利用交点式得出y＝a(x－1)(x－3)，进而求出a的值，
再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据“左加右减，上
加下减”得出抛物线对应的函数表达式，进而得出答案.
知4－讲
解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，
∴可设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x－3)． 把点(0，－3)的坐标代入得：3a＝－3，解得a＝－1，
即当温度为－1 ℃时，这种植物每天高度的增长量最大．
(3)－6＜x＜4.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
已知抛物线过三点，求其对应的函数表达式，可采 用一般式；而用一般式求待定系数要经历以下三步：
第一步：设一般式 y＝ax2＋bx＋c；
第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一 个三元一次方程组； 第三步：解方程组即可求出a，b，c的值．
（来自《教材》）
知2－讲
所以，所求二次函数表达式为 y=2x2-3x+5 .
3 31 x 4 8 , 3 所以，二次函数图象的对称轴为直线 x 4 3 31 顶点坐标为 ， . 4 8
因为y=2x2-3x+5=2
2
，
（来自《教材》）
知2－讲
例4〈武汉改编〉科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节， 科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一 天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表)： … －4 －2 0 2 4 4.5 … 温度x/℃ 植物每天高度 … 41 49 49 41 25 19.75 … 增长量y/mm
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函 数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种． (1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说 明不选择另一种函数的理由． (2)温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？ (3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量 的总和超过250 mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内 选择？请直接写出结果．
（来自《典中点》）
知2－练
2 (中考· 宁波)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图
象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的表达式； (2)设二次函数的图象与x轴的另一 个交点为D，求点D的坐标； (3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋
1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于
1 (1)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1，1)与(2, 3)
两点，求这个二次函数的表达式；
(2)请更换第(1)题中的部分已知条件，重新设计一个 求二次函数y=x2+bx+c表达式的题目，使所求得的 二次函数与第(1)题相同.
（来自《教材》）
知2－讲
知识点
2 用一般式(三点式)确定二次函数表达式
例3 已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2, 7)三点，
求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和
顶点坐标. 解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 将三点(-1,10),(1,4),(2, 7)的坐标分别代人表达式，得
10=a b c, a =2 , 4 a b c, 解这个方程组，得 b=- 3 , 7 4a 2b c. c =5.
故抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－1)(x－3)，
即y＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴顶点坐标为(2，1)．
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个 单位，得到的抛物线对应的函数表达式为y＝－x2，平移
后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．
（来自《点拨》）
知4－练
1 (中考· 宁波)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点