浙教版九年级上数学)4.5 相似三角形的性质及其应用(2)同步导学练(含答案)

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2019—2020年最新浙教版九年级数学上册《相似三角形的性质及应用》同步练习1及答案.docx

4.5 相似三角形的性质及其应用(二)1．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(C)A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶162．已知△ABC的三边长分别为4，2，3，△ABC与△A′B′C′相似，△A′B′C′的周长为15，则△A′B′C′的最大边长为(C)A. 4B. 125C.203D. 63．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边长AB，BC，AC的中点，则△DEF与△ABC的面积之比为(A)A. 1∶4B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶ 2(第3题) (第4题)4．如图，D，E分别为△ABC的边长AB，AC上的中点，则△ADE与四边形BCED 的面积的比为(B)A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶15．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，且两个三角形的面积之差为28 ，则△ABC 的面积为__36__．6．如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，∠1＝∠B ，AE ＝EC ＝4，BC ＝10，AB ＝12，则△ADE 的周长为10．(第6题)7．如图，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB ＝12，△CEF的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，求S 1S 2的值．(第7题)【解】 ∵AD AB ＝12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC ＝5a.∵BF ⊥AC ，四边形ABCD 为矩形， ∴易得△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ， ∴BC 2＝CE ·AC ，AB 2＝AE ·AC ，∴a 2＝CE ·5a ，(2a)2＝AE ·5a ，∴CE ＝5a 5，AE ＝4 5a 5，∴CE AE ＝14.易得△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CE AE 2＝116.8．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB.若AECE ＝23，S △ABC ＝25，求S ▱BFED.(第8题)【解】 ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴△ADE ∽△ABC ，△CEF ∽△CAB.∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AE AC 2，S △CEF S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CE AC 2. ∵AECE ＝23，∴AE AC ＝25，CE AC ＝35. ∵S △ABC ＝25，∴S △ADE ＝4，S △CEF ＝9， ∴S ▱BFED ＝25－4－9＝12.9．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，DE ∥AC.若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为(D)(第9题)A. 13B. 14C. 19D. 116【解】 ∵S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3， ∴BE ∶EC ＝1∶3，∴BE ∶BC ＝1∶4. ∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ，△BDE ∽△BAC ，∴DE AC ＝BE BC ＝14，∴S △DOE ∶S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE AC 2＝116. 10．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半．若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′＝2－1．(第10题)【解】设BC 与A ′C ′交于点E. 易知AC ∥A ′C ′，∴△BEA ′∽△BCA ，∴S △BEA ′∶S △BCA ＝A ′B 2∶AB 2＝1∶2.∵AB ＝2，∴A ′B ＝1，∴AA ′＝AB －A ′B ＝2－1.11．如图，已知△ABC 是面积为3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB ＝2AD ，∠BAD ＝45°，AC 与DE 交于点F ，则△AEF 的面积等于3－34(结果保留根号).(第11题)【解】过点F 作FG ⊥AE 于点G.∵△ABC ∽△ADE ，∴S △ABC S △ADE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB AD 2＝4， ∴S △ADE ＝34，∴正三角形ADE 的边长为1.∵∠EAD ＝∠CAB ＝60°，∴∠EAF ＝∠BAD ＝45°，∴FG ＝AG.在Rt △EGF 中，设EG ＝x ，则易得FG ＝3x ，∴3x ＋x ＝1，∴x ＝3－12，∴FG ＝3－32.∴S △AEF ＝12AE ·FG ＝3－34.12．如图，已知A 是反比例函数y ＝6x 在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B ，以AB 为边向右作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在反比例函数y ＝kx 上运动，则k 的值是－3__6．(第12题)(第12题解)【解】 ∵反比例函数y ＝6x的图象关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA ＝OB. 连结OC ，如解图．∵△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∠BAC ＝60°.∴AC ＝2OA.∴OC ＝3OA.过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F. ∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ， ∴∠AEO ＝∠OFC ＝90°， ∴∠AOE ＝90°－∠FOC ＝∠OCF ， ∴△OFC ∽△AEO ，且相似比OCOA＝3，∴S △OFC S △AEO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫OC OA 2＝3. 设点A 的坐标为(a ，b)．∵点A 在双曲线y ＝6x 上，∴S △AEO ＝12ab ＝62，∴S △OFC ＝12FC ·OF ＝3 62.设点C 的坐标为(x ，y)．∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝－y.∴FC ·OF ＝x ·(－y)＝－xy ＝3 6.∵点C 在双曲线y ＝kx上，∴k ＝xy ＝－36.(第13题)13．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，并将△ABC 分成面积分别为S 1，S 2，S 3的三块．若S 1∶S 2∶S 3＝1∶4∶10，BC ＝15，求DE ，FG 的长．【解】 ∵DE ∥FG ∥BC ， ∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE BC 2，S △AFG S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG BC 2，即S 1S 1＋S 2＋S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE 152，S 1＋S 2S 1＋S 2＋S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG 152. 设S 1＝k ，则S 2＝4k ，S 3＝10k ，∴S 1S 1＋S 2＋S 3＝kk ＋4k ＋10k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE 152，S 1＋S 2S 1＋S 2＋S 3＝k ＋4k k ＋4k ＋10k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG 152， ∴DE ＝15，FG ＝53.14．已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的点P 处．(第14题)(1)如图①，已知折痕与边BC 相交于点O. ①求证：△OCP ∽△PDA.②若△OCP 与△PDA 的面积之比为1∶4，求边AB 的长． (2)若图①中的P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数．(3)如图②，在(1)的条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP.动点M 在线段AP 上(点M 不与点P ，A 重合)，动点N 在线段AB 的延长线上，且BN ＝PM ，连结MN 交PB 于点F ，过点M 作ME ⊥BP 于点E.试问：在点M ，N 移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF 的长度．【解】 (1)①∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，DC ＝AB ，∠DAB ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°. 由折叠的性质，得∠APO ＝∠B ＝∠C ＝90°， ∴∠POC ＝90°－∠CPO ＝∠APD. 又∵∠C ＝∠D ，∴△OCP ∽△PDA.②∵△OCP 与△PDA 的面积之比为1∶4，△OCP ∽△PDA ，∴OC PD ＝OP PA ＝CP DA ＝14＝12，∴PD ＝2OC ，PA ＝2OP ，DA ＝2CP. ∵AD ＝8，∴CP ＝4，BC ＝8. 设OP ＝x ，则OB ＝x ，OC ＝8－x.在Rt △PCO 中，∵∠C ＝90°，CP ＝4，OP ＝x ，OC ＝8－x ， ∴x 2＝(8－x)2＋42，解得x ＝5，∴AB ＝AP ＝2OP ＝10，∴边AB 的长为10. (2)∵P 是CD 边的中点，∴DP ＝12DC.∵DC ＝AB ，AB ＝AP ，∴DP ＝12AP.∵∠D ＝90°，∴∠DAP ＝30°. ∵∠DAB ＝90°，∠OAP ＝∠OAB ， ∴∠OAB ＝30°.(3)过点M 作MQ ∥AN 交PB 于点Q. ∵AP ＝AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB ＝∠ABP ，∠ABP ＝∠MQP ， ∴∠APB ＝∠MQP ，∴MP ＝MQ. ∵ME ⊥PQ ，∴PE ＝QE ＝12PQ.∵BN ＝MP ，MP ＝MQ ，∴BN ＝MQ.∵MQ ∥AN ，∴∠QMF ＝∠BNF.又∵∠QFM ＝∠BFN ，QM ＝BN ，∴△MFQ ≌△NFB(AAS)，∴QF ＝BF ，∴QF ＝12QB ， ∴EF ＝EQ ＋QF ＝12PQ ＋12QB ＝12PB. 由(1)中的结论，得CP ＝4，BC ＝8，∠C ＝90°，∴PB ＝82＋42＝4 5，∴EF ＝12PB ＝2 5，∴在(1)的条件下，在点M ，N 移动的过程中，线段EF 的长度不变，为2 5.。

浙教新版数学九年级上学期《4.5 相似三角形的性质及其应用》同步练习(有答案)

浙教新版数学九年级上学期?4.5 相似三角形的性质及其应用?同步练习一．选择题〔共12小题〕1．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持程度，并且边DE与点B在同一直线上，纸板的两条直角边DE=30cm，EF=15cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=7m，那么树高AB=〔〕m．A．3.5B．4C．4.5D．52．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目的点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如下图，假设测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，那么这条河的宽AB等于〔〕A．120m B．67.5m C．40mD．30m3．如图，一路灯B距地面高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H的方向行走至点G，假设AD=6m，DG=4m，那么小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是〔〕A．变长1m B．变长1.2m C．变长1.5m D．变长1.8m 4．如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m，当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B升高〔〕A．2m B．4 m C．4.5 m D．8 m5．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择适宜的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的程度间隔为2m，旗杆底部与平面镜的程度间隔为16m．假设小明的眼睛与地面间隔为1.5m，那么旗杆的高度为〔单位：m〕〔〕A．B．9C．12D．6．如下图，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的间隔为0.1米，胶片的高BC为0.038米，假设需要投影后的图象DE高1.9米，那么投影机光源离屏幕大约为〔〕A．6米B．5米C．4米D．3米7．如图，小明想利用阳光测量学校旗杆的高度．当他站在C 处时，此时他头部顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得小明的身高为1.7m，AC=2.0m，BC=8.0m，那么旗杆的高度是〔〕A．5.1m B．6.8m C．8.5m D．9.0m 8．一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm，现沿底边从下到上依次裁剪宽度均为3cm的矩形纸条〔如下图〕，那么裁得的纸条中恰为张正方形的纸条是〔〕A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张9．如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，那么这个正方形零件的边长为〔〕A．40mm B．45mm C．48mmD．60mm10．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，挪动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为〔〕A．5m B．7m C．7.5m D．21m 11．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB〔顶端A到程度地面BD的间隔〕，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE〔DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线〕，把一面镜子程度放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，那么凉亭的高度AB约为〔〕A．8.5米B．9米C．9.5米D．10米12．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为〔〕A．10m B．12m C．15m D．40m二．填空题〔共6小题〕13．如下图，D、E之间要挖建一条直线隧道，为计算隧道长度，工程人员在线段AD和AE上选择了测量点B，C，测得AD=100，AE=200，AB=40，AC=20，BC=30，那么通过计算可得DE长为．14．如图，物理课上张明做小孔成像试验，蜡烛与成像板之间的间隔为24cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，那么蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛cm的地方．15．如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．假如小河BD的宽度为12m，BE=3m，那么这棵树CD的高为m．16．?九章算术?是中国传统数学最重要的著作，在“勾股〞章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？〞用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步〔“步〞是古代的长度单位〕的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木〔即点D在直线AC上〕？请你计算KC的长为步．17．如图，小明在测量学校旗杆高度时，将3米长标杆插在离旗杆8米的地方，旗杆高度为6米，小明眼部以下距地面 1.5米，这时小明应站在离旗杆米处，可以看到标杆顶端与旗杆顶端重合．18．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=m．三．解答题〔共5小题〕19．如图，小明想用镜子测量一棵松树的高度，但树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的间隔，于是小明两次利用镜子，第一次他把镜子放在C点，人在F点正好在镜子中看见树尖A；第二次把镜子放在D点，人在H点正好在镜子中看到树尖A．小明的眼睛间隔地面的间隔EF=1.68米，量得CD=10米，CF=1.2米，DH=3.6米，利用这些数据你能求出这棵松树的高度吗？试试看．〔友谊提示：∠ACB=∠ECF，∠ADF=∠GDH〕20．图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于程度地面，其示意图如图2．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞渐渐撑开时，动点P由A向B挪动；当点P到达点B时，伞张得最开．伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米．﹙1﹚求AP长的取值范围；﹙2﹚在阳光垂直照射下，伞张得最开时，求伞下的阴影﹙假定为圆面﹚面积S ﹙结果保存π﹚．21．如图，如图用一根铁丝分成两段可以分别围成两个相似的五边形，它们的面积比是1：4，其中小五边形的边长为〔x2﹣4〕cm，大五边形的边长为〔x2+2x〕cm〔其中x＞0〕．求这这根铁丝的总长．22．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的间隔有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．〔1〕如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．〔2〕不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？〔3〕有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的间隔．〔写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示〕23．如图〔1〕是一种广场三联漫步机，其侧面示意图如图〔2〕所示，其中AB=AC=120cm，BC=80cm，AD=30cm，∠DAC=90°．求点D到地面的高度是多少？参考答案一．选择题1．D．2．A．3．A．4．B．5．C．6．B．7．C．8．C．9．C．10．B．11．A．12．C．二．填空题13．150．14．815．5.1．16．．17．12．18．100．三．解答题19．解：根据反射定律可以推出∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠GDH，∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，∴△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDH，设AB=x，BC=y解得：．答；这棵松树的高约为7米．20．解：〔1〕∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，∴AB=AC﹣BC=10分米．∴设AP=x，那么AP的取值范围是：0≤x≤10；〔2〕连接MN、EF，分别交AC于B、H．设AP=x分米，∵PM=PN=CM=CN，∴四边形PNCM是菱形．∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，PB=．在Rt△MBP中，PM=6分米，∴MB2=PM2﹣PB2=62﹣〔6﹣x〕2=6x﹣x2．∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，∴EH=HF，EF⊥AC．∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，∴△CMB∽△CEH．∴=〔〕2=∴EH2=9•MB2=9•〔6x﹣x2〕．∴S=π•EH2=9π〔6x﹣x2〕，即S=﹣πx2+54πx，∵x=﹣=12，0≤x≤10，π×100+54π×10=315π〔平方分米〕．∴x=10时，S最大=﹣21．解：∵相似五边形的面积比是1：4，∴它们的相似比为1：2，即〔x2﹣4〕：〔x2+2x〕=1：2，整理得x2﹣2x﹣8=0，解得x1=4，x2=﹣2〔舍去〕，当x=4时，x2﹣4=12，x2+2x=24，∴这根铁丝的总长=5×12+5×24=180〔cm〕．22．解：〔1〕设灯泡离地面的高度为xcm，∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，解得x=180．〔4分〕〔2〕设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，同理可得∴=，解得y=12cm；〔3分〕〔3〕记灯泡为点P，如图：∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得〔1分〕〔直接得出三角形相似或比例线段均不扣分〕设灯泡离地面间隔为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，∴=1﹣=1﹣x=〔1分〕．23．解：过A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DH⊥AF，垂足为H．∵AF⊥BC，垂足为F，∴BF=FC=BC=40cm．根据勾股定理，得AF===80〔cm〕，∵∠DHA=∠DAC=∠AFC=90°，∴∠DAH+∠FAC=90°，∠C+∠FAC=90°，∴∠DAH=∠C，∴△DAH∽△ACF，∴AH=10cm，∴HF=〔10+80〕cm．答：D到地面的高度为〔10+80〕cm．。

2018-2019学年浙教版九年级上数学4.5相似三角形的性质及其应用同步导学练

2018-2019 学年浙教版九年级上数学 4.5 相似三角形的性质及其应用同步导学练4.5相像三角形的性质及其应用（3）依据实质问题抽象出相像三角形模型，而后利用相像三角形的性质（线段成比率、面积关系等）进行几何计算，方程思想是计算过程中常用的思想方法．1.以下图，比率规是一种绘图工具，它由长度相等的两脚 A 和 BD 交错组成，利用它能够把线段按必定的比率伸长或缩短 . 假如把比率规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使A=3， B=3D），而后张开两脚，使A，B 两个尖端分别在线段 a 的两个端点上 . 若 D=1.8 ，则 AB 的长为(B).（第 1 题）（第2题）（第3题）（第4题）2.以下图，小明在打网球时希望球恰巧能打过网，而且落在离网 4 的地点上，则球拍击球的高度h 为 (B).3.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学名著《九算术》中的“井深几何”问题，它的题意能够由图获取，则井深为 (B).2016 崭新精选资料 - 崭新公函范文 -全程指导写作–独家原创1 / 8尺尺.6.25尺尺4.以下图，某商场在一楼至二楼之间装有电梯，天花板与地面平行 . 张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为 2.2 ）乘电梯恰巧安全经过，依据图中数据，计算得出两层楼之间的高度约为 (A).5.以下图，一张斜边长为 10 的红色直角三角形纸片，一张斜边长为 6 的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是(D).A.602B.502 .402 D.302（第 5题）（第6题）（第7题）6.以下图，小明用长为 3 的竹竿 D 做丈量工具，丈量学校旗杆 AB的高度，挪动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB=12，则旗杆AB的高为 9 ．7.以下图，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上.已知胶片与屏幕平行，点 A 为光，与胶片 B 的距离为0.1 ，胶片的高 B 为 0.038 ，若投影后的图象DE高 1.9 ，则投影机光离屏幕大概为 5 .（第 8题）8. 以下图，小明用自制的直角三角形纸板DEF丈量树AB 的高度，他调整自己的地点，使斜边DF 保持水平，而且2016 崭新精选资料 - 崭新公函范文 -全程指导写作–独家原创2 / 8B 在同一条直线上. 已知纸板的两条直角边DE=40，边 DE与点EF=20，测得边 DF离地面的高度A=1.5 ，D=10，则 AB= 6.5．9.以下图，矩形 ABD 为台球桌面， AD=260，AB=130，球当前在 E 点地点， AE=60.假如小丁对准 B 边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球恰巧弹到点D 地点 .（1）求证：△ BEF∽△ DF.（2）求 F的长.（第 9题）【答案】(1) 由已知得∠ EFB=∠ DF.∵四边形 ABD是矩形，∴∠ EBF=∠ FD=90°，∴△ BEF∽△ DF.(2) ∵四边形 ABD是矩形，AD=260，AB=130,∴ B=AD=260，D=AB=130.又 AE=60，∴ BE=70.由 (1) 知△ BEF∽△ DF,∴=，即 =，解得 F=169. ∴F 的长是 169.10.以下图，在水平桌面上的两个“ E”，当点 P1，P2，在同一条直线上时，在点处用①号“ E”测得的视力与用②号“ E”测得的视力同样．（1）图中 b1， b2， l1 ， l2 知足如何的关系式？（2）若b1=3.2 ， b2=2，①号“ E”的测试距离l1=8 ，要使测得的视力同样，则②号“ E”的测试距离l2 应为多少？（第 10 题）【答案】 (1) =.2016 崭新精选资料 - 崭新公函范文 -全程指导写作–独家原创3 / 8(2) ∵ =,b1=3.2() ，b2=2() ， l1=8() ，∴ =. ∴ l2=5(). ∴②号“E”的测试距离是l2 为5.11.以下图，正方形 ABD 是一块绿化带，此中四边形EFB，四边形 GHN都是正方形的花园 ( 图中暗影部分). 已知自由翱翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花园上的概率为().（第11 题）（第12 题）（第13 题）12. 以下图，两根竖直的电线杆AB 长为6，D 长为3，AD交B 于点E，则点 E 到地面的距离EF 的长是(A).13. 以下图，有一所占地正方形的学校，北门（点A）和西门（点B）各开在北面、西面围墙的正中间. 在北门的正北方30 处（点）有一棵大榕树. 假如一名学生从西门出，朝正西方走 750（点 D），恰巧能看到学校北面的大榕树，那么这所学校占地90000 2 ．（第 14 题）14.以下图，在 Rt△ AB 中，∠ =90°， B=1， A=4，把边长分别为 x1 ，x2，x3，， xn 的 n（n≥1）个正方形挨次放入△ AB 中，则第n 个正方形的边长xn= （） n （用含n 的式子表示）．15. 以下图为一个常有铁夹的侧面表示图，A， B 表示铁夹的两个面，点是轴，D⊥ A 于点 D，已知 DA=15，D=24，2016 崭新精选资料 - 崭新公函范文 -全程指导写作–独家原创4 / 8.精选文档 .D=10，铁夹的侧面是轴对称图形，恳求出A， B 两点间的距离．（第 15 题）（第15题答图）【答案】如答图所示，作出表示图，连接 AB，连接并延伸交 AB于点 E.∵夹子的侧面是轴对称图形， E 所在的直线是对称轴，∴E⊥ AB，AE=BE.∵∠ D=∠ AE，∠ D=∠ AE=90°，∴△ D∽△AE.∴ =. ∵ ==26() ，∴ =. ∴AE=15.∴AB=2AE=30（） .16.有一张锐角三角形卡纸余料AB，它的边 B=120，高AD=80，为使卡纸余料获取充足利用，现把它裁剪成一个邻边之比为 2∶ 5 的矩形纸片 EFGH和正方形纸片 PNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在 B 上，正方形纸片的一边在矩形纸片的较长边 EH 上，其他极点分别在 AB，A 上，详细裁剪方式以下图 .（1）求矩形纸片较长边 EH的长 .（2）裁剪正方形纸片刻，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着节余余料△ AEH中与边 EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两头点向边EH 所作的垂线剪两刀，请你经过计算，判断小聪的剪法能否正确.（第 16 题）【答案】 (1) 设 EF=2x，则 EH=5x.∵矩形对边EH∥B，∴△A EH∽△ AB.∴，解得 x=15. ∴ EH=5x=15×5=75() ，∴矩形2016 崭新精选资料 - 崭新公函范文 -全程指导写作–独家原创5 / 8.精选文档 .纸片较长边EH的长为 75.(2)小聪的剪法不正确 . 原因以下：设正方形PNQ的边长为a(). ∵AR=AD-RD=80-2×15=50() ，∴Ak=（50-a ）(). 由题意知△ APQ∽△ AEH，∴，解得 a=30. 与边 EH 平行的中位线长为× 75=37.5().∵37.5 ≠30，∴小聪的剪法不正确.17. 【兰州】以下图，小明为了丈量一凉亭的高度AB （顶端 A 到水平川面BD的距离），在凉亭的旁边搁置一个与凉亭台阶 B 等高的台阶DE（ DE=B=0.5， A，B，三点共线），把一面镜子水平搁置在平台上的点G处，测得 G=15，而后沿E 处，这时恰幸亏镜子里看到凉亭的顶端A，直线G退后到点(A).测得EG=3，小明身高 1.6 ，则凉亭的高度AB约为（第17 题）A.8.5B.9 .9.5 D.1018.【陕西】晚餐后，小聪和小军在社区广场漫步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞 . 小聪思虑片晌，提议用广场照明灯下的影长及地砖长丈量小军的身高. 于是，两人在灯下沿直线NQ 挪动，以下图，当小聪正好站在广场的点 A（距点 N 5 块地砖长）时，其影长 AD恰巧为 1 块地砖长；当小军正好站在广场的点B（距点 N 9 块地砖长）时，其影长 BF 恰巧为 2 块地砖长 . 已知广场所面由边长为 0.8 的正方形地砖铺成，小聪的身高 A 为 1.6 ， N⊥NQ， A⊥NQ， BE2016 崭新精选资料 - 崭新公函范文 -全程指导写作–独家原创6 / 8.精选文档 .⊥NQ.请你依据以上信息，求出小军身高BE 的长 . （结果精确到 0.01 ）（第 18 题）【答案】由题意得∠ AD=∠ND=90°，∠ DA=∠ DN，∴△AD∽△ ND.∴，解得 N=9.6. 同理可得△ EFB∽△ FN. ∴，解得EB≈ 1.75. ∴小军身高约为 1.75.19.以下图，在 Rt △AB中，∠=90°，A=4，B=3. 动点，N 从点同时出发，均以 1/s 的速度分别沿 A， B 向终点 A， B 挪动，同时动点P 从点B 出发，以2/s 的速度沿BA向终点A 挪动，连接 P，PN，设挪动时间为 t（单位： s，0＜ t ＜2.5 ）．（1）当 t 为什么值时，以点 A，P，为极点的三角形与△AB相像？（2）能否存在某一时辰 t ，使四边形 APN的面积 S 有最小值？若存在，求 S 的最小值；若不存在，请说明原因．（第 19 题）【答案】∵∠ =90°， A=4() ，B=3(), ∴ AB==5().(1)以点 A，P，为极点的三角形与△ AB相像，分两种情况：①当△ AP∽△ AB时，，解得 t=32.②当△ AP∽△ AB时，，解得 t=0 （不合题意，舍去） .综上所述，当 t=s 时，以点 A，P，为极点的三角形与△AB相像 .2016 崭新精选资料 - 崭新公函范文 -全程指导写作–独家原创7 / 82018-2019学年浙教版九年级上数学4.5相似三角形的性质及其应用同步导学练.精选文档 .(2)存在某一时辰 t ，使四边形 APN的面积 S 有最小值 .原因以下：假定存在某一时辰t ，使四边形APN的面积 S 有最小值 .如答图所示，过点P 作 PH⊥ B 于点 H，则 PH∥ A，（第 19 题答图）∴.∴S=S△AB-S△ BPN=.∵＞ 0，∴ S 有最小值 . 当 t= 时，S 最小值 =. ∴当 t=s 时，四边形 APN的面积 S 有最小值，其最小值是 2.2016 崭新精选资料 - 崭新公函范文 -全程指导写作–独家原创8 / 811 / 11。

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4．5 相似三角形的性质及其应用1．两个相似三角形的对应高线之比为1∶2，那么它们的对应中线之比为(A ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ．1∶82．已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 对应角平分线之比为(B ) A ．2∶1 B ．1∶2 C ．1∶4 D ．4∶1(第3题)3．如图，已知点D 是△ABC 的重心，则下列结论不正确的是(B ) A ．AD ＝2DE B ．AE ＝2DE C ．BE ＝CE D ．AE ＝3DE4．如果两个相似三角形的对应角平分线之比是2∶3，那么它们的对应高线之比是2∶3． 5. 已知两个相似三角形的相似比是1∶4，那么它们的对应高线之比是__1∶4__．6. 若两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为70°和60°，则另一个三角形的最大内角和最小内角分别是70°，50°．7. 若一个三角形三边之比为3∶5∶7，一个与之相似的三角形最长边的长为21 cm ，则其余两边长的和为24cm.8．如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向终点A 匀速运动，速度为1 cm/s ；同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向终点C 匀速运动，速度为2 cm/s.连结PQ ，设点P ，Q 运动的时间为t (s)(0＜t ＜2)，当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似时，求t 的值．(第8题)【解】在Rt △ACB 中， ∵AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.由题意，得BP ＝t ，AQ ＝2t ，∴AP ＝5－t . ∵∠A ＝∠A ，∴分两种情况： ①若△APQ ∽△ABC, 则AQ AC ＝AP AB ，即2t 4＝5－t 5，解得t ＝107.②若△AQP ∽△ABC ，则AQ AB ＝AP AC ，即2t 5＝5－t 4，解得t ＝2513.∴当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似时，t 的值为107或2513.9．已知△ABC 与△DEF 相似，且∠A ＝∠E ，AB ＝4，BC ＝5，AC ＝6，EF ＝12，则DF ＝10或15．【解】 ∵∠A ＝∠E ，AB ＝4，BC ＝5，AC ＝6，EF ＝12，△ABC 与△DEF 相似， ∴EF AB ＝DF CB 或BC DF ＝AC EF，即124＝DF 5或5DF ＝612，解得DF ＝15或10.(第10题)10．如图，点G 是等边△ABC 的重心，过点G 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点D ，E ，点M 在BC 边上．如果以点B ，D ，M 为顶点的三角形与以点C ，E ，M 为顶点的三角形相似(但不全等)，那么S △BDM ∶S △CEM＝7＋3 52或7－3 52．【解】 ∵点G 是等边△ABC 的重心，DE ∥BC ， ∴AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，BD AB ＝CE AC ＝13， ∴BD ＝13AB ，CE ＝13AC ，∴BD ＝CE .当△BDM ∽△CME 时，则有BD CM ＝BMCE.设BD ＝a ，CM ＝x ，则CE ＝a ，BC ＝3a ，BM ＝3a －x .∴a x ＝3a －x a ，解得x ＝3±52a . 当CM ＝3－52a 时，BM ＝3＋52a ，∴S △BDM ∶S △CEM ＝BM ∶CM ＝7＋3 52.当CM ＝3＋52a 时，BM ＝3－52a ，∴S △BDM ∶S △CEM ＝BM ∶CM ＝7－3 52.当△BDM ∽△CEM 时，则有BD CE ＝BM CM ＝DMEM＝1，此时△BDM ≌△CEM ，与题意不符．综上所述，S △BDM ∶S △CEM ＝7＋3 52或7－3 52.11．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，点G 是△ABC 的重心，AB ＝8.(1)求线段GC 的长；(2)过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．,(第11题))【解】 (1)延长CG 交AB 于点D. ∵点G 是△ABC 的重心， ∴CD 为AB 边上的中线，CG ＝23CD.又∵∠C ＝90°，∴CD ＝12AB ＝4，∴CG ＝23CD ＝83.(2)∵MN ∥AB ， ∴△CMN ∽△CAB ， ∴MN AB ＝MC AC . 同理，可证△CMG ∽△CAD ， ∴MC AC ＝CG CD ， ∴MN AB ＝CG CD ＝23， ∴MN ＝23AB ＝163.(第12题)12．已知△ABC(如图所示)． (1)在图中作出△ABC 的重心O ；(2)设BC ，AC ，AB 边的中点分别为M ，N ，G ，度量OM 和OA ，ON 与OB ，OG 与OC ，根据度量的结果，猜想三角形的重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之间有何关系，并证明．【解】 (1)用尺规作图作出△ABC 三边的中线AM ，BN ，CG ，设它们的交点为O ，则O 为△ABC 的重心(作图略)．(2)通过度量发现：OA ＝2OM ，OB ＝2ON ，OC ＝2OG.猜想：三角形的重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍．(第12题解)证明：如解图所示，分别取OB ，OC 的中点K ，H ，连结KH ，HN ，NG ，GK ，如解图． ∵G ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴GN 平行且等于12BC ，同理，KH 平行且等于12BC ，∴GN 平行且等于KH.∴四边形KHNG 是平行四边形， ∴OK ＝ON. ∵BK ＝OK ， ∴OB ＝2ON.同理，OA ＝2OM ，OC ＝2OG.13．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：(1)若O 是△ABC 的重心(如图①)，连结AO 并延长交BC 于点D ，求证：AO AD ＝23；(2)若AD 是△ABC 的一条中线(如图②)，O 是AD 上一点，且满足AO AD ＝23，那么O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；(3)若O 是△ABC 的重心，过点O 的一条直线分别与AB ，AC 交于点G ，H(均不与△ABC 的顶点重合)(如图③)，S 四边形BCHG ，S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，求S 四边形BCHGS △AGH的最大值．(第13题)(第13题解①)【解】 (1)连结CO 并延长，交AB 于点E ，如解图①. ∵点O 是△ABC 的重心，∴CE 是AB 边上的中线，点E 是AB 的中点． ∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AC ，且DE ＝12AC.∴△AOC ∽△DOE ， ∴AO DO ＝ACDE＝2，∴AO ＝2DO.(第13题解②)∵AD ＝AO ＋DO ＝3DO ， ∴AO AD ＝23. (2)点O 是△ABC 的重心．证明如下：过点C 作△ABC 的中线CE 交AB 于点E ，交AD 于点Q ，则点Q 为△ABC 的重心，如解图②. 由(1)知AQ AD ＝23，又∵AO AD ＝23，∴点Q 与点O 重合， ∴点O 是△ABC 的重心．(第13题解③)(3)连结DG ，如解图③. 设S △GOD ＝S.由(1)知AO AD ＝23，即OA ＝2OD ，∴S △AOG ＝2S ，S △AGD ＝S △GOD ＋S △AGO ＝3S. 不妨设AG ＝1，BG ＝x. ∵S △BGD S △AGD ＝x1，S △AGD ＝3S ， ∴S △BGD ＝3xS.∴S △ABD ＝S △AGD ＋S △BGD ＝3S ＋3xS ＝(3x ＋3)S ， ∴S △ABC ＝2S △ABD ＝(6x ＋6)S.设OH ＝k ·OG ，由S △AGO ＝2S ，得S △AOH ＝2kS ， ∴S △AGH ＝S △AGO ＋S △AOH ＝(2k ＋2)S.∴S 四边形BCHG ＝S △ABC －S △AGH ＝(6x ＋6)S －(2k ＋2)S ＝(6x －2k ＋4)S. ∴S 四边形BCHG S △AGH ＝（6x －2k ＋4）S （2k ＋2）S ＝3x －k ＋2k ＋1.① 过点O 作OF ∥BC 交AC 于点F ，过点G 作GE ∥BC 交AC 于点E ，如解图③，则OF ∥GE. ∵OF ∥BC ，∴OF CD ＝AO AD ＝23， ∴OF ＝23CD ＝13BC.∵GE ∥BC ， ∴GE BC ＝AG AB ＝1x ＋1， ∴GE ＝BCx ＋1；∴OF GE ＝13BC BC x ＋1＝x ＋13. ∵OF ∥GE ， ∴OH GH ＝OF GE ＝x ＋13， ∴OH OG ＝OH GH －OH ＝x ＋12－x， ∴k ＝x ＋12－x.将k ＝x ＋12－x代入①式，得S 四边形BCHG S △AGH ＝3x －k ＋2k ＋1＝3x －x ＋12－x ＋2x ＋12－x＋1＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54， ∴当x ＝12(即BG ＝12AG)时，S 四边形BCHG S △AGH 有最大值，最大值为54.初中数学试卷。

浙教版九年级数学上册同步练习(PDF)版)：4.5 相似三角形的性质及其应用

3 4
．
12. 同一时刻阳光下，哥哥的身高是 1.68m，在地面上的影子长是 2.1m，同一时刻测得弟弟的影子 m．为， �� ， ��ʹ��ʹ 分别是它们的对应角平分线， �� = 6cm ，则
14. 如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距 8m ，与旗杆相距 22m ，旗杆的高度为 m．
A. ��1
B. ��2
C. ��3
D. ��4
9. 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为 1m 的竹竿的影长是 0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为 1.2m，又测得地面的影长为 2.6m，请你帮她算一下，树高是
A. 3
4
B.
24 5
C. 3 或
4
24 5
D. 3 或 )
2
12 5
4. 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长 �� 为 15 米（如图所示），然后在 �� 处竖立一根高 2 米的标杆，测得标杆的影长 �� 为 3 米，则楼高为 (
A. 10 米
A. 2 影长度 ( )
1
B. 3
1
C. 8
1
D. 9
1
7. 如图，路灯距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从点 �� 处沿 �� 所在的直线行走 14m 到点 �� 时，人

2018-2019学年浙教版九年级上数学4.5相似三角形的性质及其应用(3)同步导学练(含答案)

4.5 相似三角形的性质及其应用（3）根据实际问题抽象出相似三角形模型，然后利用相似三角形的性质（线段成比例、面积关系等）进行几何计算，方程思想是计算过程中常用的思想方法．1.如图所示，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上.若CD=1.8cm，则AB的长为(B).A.7.2cmB.5.4cmC.3.6cmD.0.6cm（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）2.如图所示，小明在打网球时希望球恰好能打过网，而且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为(B).A.1.6mB.1.5mC.2.4mD.1.2m3.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学名著《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为(B).A.1.25尺B.57.5尺C.6.25尺D.56.5尺4.如图所示，某超市在一楼至二楼之间装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为2.2m）乘电梯刚好安全通过，根据图中数据，计算得出两层楼之间的高度约为(A).A.5.5mB.6.2mC.11mD.2.2m5.如图所示，一张斜边长为10cm的红色直角三角形纸片，一张斜边长为6cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是(D).A.60cm2B.50cm2C.40cm2D.30cm2（第5题）（第6题）（第7题）6.如图所示，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为9 m．7.如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上.已知胶片与屏幕平行，点A为光源，与胶片BC的距离为0.1m，胶片的高BC为0.038m，若投影后的图象DE高1.9m，则投影机光源离屏幕大约为 5 m.（第8题）8.如图所示，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度，他调整自己的位置，使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一条直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm ，EF=20cm ，测得边DF 离地面的高度AC=1.5m ，CD=10m ，则AB= 6.5 m ．9.如图所示，矩形ABCD 为台球桌面，AD=260cm ，AB=130cm ，球目前在E 点位置，AE=60cm.如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D 位置.（1）求证：△BEF ∽△CDF.（2）求CF 的长.（第9题）【答案】(1)由已知得∠EFB=∠DFC.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF ∽△CDF.(2)∵四边形ABCD 是矩形，AD=260cm ，AB=130cm,∴BC=AD=260cm ，CD=AB=130cm. 又AE=60cm ，∴BE=70cm.由(1)知△BEF ∽△CDF,∴CD BE =CF BF ，即13070=CFCF 260 ，解得CF=169.∴CF 的长是169cm.10.如图所示，在水平桌面上的两个“E ”，当点P 1，P 2，O 在同一条直线上时，在点O 处用①号“E ”测得的视力与用②号“E ”测得的视力相同．（1）图中b 1，b 2，l 1，l 2满足怎样的关系式？（2）若b 1=3.2cm ，b 2=2cm ，①号“E ”的测试距离l 1=8m ，要使测得的视力相同，则②号“E ”的测试距离l 2应为多少？（第10题）【答案】(1) 21b b =21l l . (2)∵21b b =21l l ,b 1=3.2(cm)，b 2=2(cm)，l 1=8(m)，∴22.3=28l .∴l 2=5(m).∴②号“E ”的测试距离是l 2为5m.11.如图所示，正方形ABCD 是一块绿化带，其中四边形EOFB ，四边形GHMN 都是正方形的花圃(图中阴影部分).已知自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为(C).（第11题）（第12题）（第13题）12.如图所示，两根竖直的电线杆AB 长为6，CD 长为3，AD 交BC 于点E ，则点E 到地面的距离EF 的长是(A ).A.2B.2.2C.2.4D.2.513.如图所示，有一所占地正方形的学校，北门（点A ）和西门（点B ）各开在北面、西面围墙的正中间.在北门的正北方30m 处（点C ）有一棵大榕树.如果一名学生从西门出来，朝正西方走750m （点D ），恰好能看到学校北面的大榕树，那么这所学校占地 90000 m 2．（第14题）14.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=4，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn 的n （n ≥1）个正方形依次放入△ABC 中，则第n 个正方形的边长xn= （54）n （用含n 的式子表示）．15.如图所示为一个常见铁夹的侧面示意图，OA ，OB 表示铁夹的两个面，点C 是轴，CD ⊥OA 于点D ，已知DA=15mm ，DO=24mm ，DC=10mm ，铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A ，B 两点间的距离．（第15题）（第15题答图）【答案】如答图所示，作出示意图，连结AB ，连结OC 并延长交AB 于点E.∵夹子的侧面是轴对称图形，OE 所在的直线是对称轴，∴OE ⊥AB ，AE=BE.∵∠COD=∠AOE ，∠CDO=∠AEO=90°，∴△OCD ∽△OAE.∴OA OC =AE CD .∵OC=22DC OD +=26(mm)，∴152426+=AE10.∴AE=15mm.∴AB=2AE=30（mm ）. 16.有一张锐角三角形卡纸余料ABC ，它的边BC=120cm ，高AD=80cm ，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2∶5的矩形纸片EFGH 和正方形纸片PMNQ ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC 上，正方形纸片的一边在矩形纸片的较长边EH 上，其余顶点分别在AB ，AC 上，具体裁剪方式如图所示.（1）求矩形纸片较长边EH 的长.（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余余料△AEH 中与边EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确.（第16题）【答案】(1)设EF=2x ，则EH=5x.∵矩形对边EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC.∴，解得x=15.∴EH=5x=15×5=75(cm)，∴矩形纸片较长边EH 的长为75cm.(2)小聪的剪法不正确.理由如下：设正方形PMNQ 的边长为a(cm).∵AR=AD-RD=80-2×15=50(cm)，∴AK=（50-a ）(m).由题意知△APQ ∽△AEH ，∴，解得a=30.与边EH 平行的中位线长为21×75=37.5(cm).∵37.5≠30，∴小聪的剪法不正确.17.【兰州】如图所示，小明为了测量一凉亭的高度AB （顶端A 到水平地面BD 的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE （DE=BC=0.5m ，A ，B ，C 三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得CG=15m ，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得EG=3m ，小明身高1.6m ，则凉亭的高度AB 约为(A ).（第17题）A.8.5mB.9mC.9.5mD.10m18.【陕西】晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞.小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是，两人在灯下沿直线NQ 移动，如图所示，当小聪正好站在广场的点A （距点N 5块地砖长）时，其影长AD 恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的点B （距点N 9块地砖长）时，其影长BF 恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8m 的正方形地砖铺成，小聪的身高AC 为1.6m ，MN ⊥NQ ，AC ⊥NQ ，BE ⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE 的长.（结果精确到0.01m ）（第18题）【答案】由题意得∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=∠MDN ，∴△CAD ∽△MND.∴，解得MN=9.6.同理可得△EFB ∽△MFN.∴，解得EB ≈1.75.∴小军身高约为1.75m.19.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm.动点M ，N 从点C 同时出发，均以1cm/s 的速度分别沿CA ，CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BA 向终点A 移动，连结PM ，PN ，设移动时间为t （单位：s ，0＜t ＜2.5）．（1）当t 为何值时，以点A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．（第19题）【答案】∵∠C=90°，AC=4(cm)，BC=3(cm),∴AB=22BC AC =5(cm).(1)以点A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①当△AMP ∽△ABC 时，，解得t=32. ②当△APM ∽△ABC 时，，解得t=0（不合题意，舍去）. 综上所述，当t=23s 时，以点A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似. (2)存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值.理由如下：假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值.如答图所示，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，则PH ∥AC ，（第19题答图）∴. ∴S=S △ABC -S △BPN =. ∵54＞0，∴S 有最小值.当t=23时，S 最小值=521.∴当t=23s 时，四边形APNC 的面积S 有最小值，其最小值是521cm 2.。

浙教版数学九年级上册4.5 相似三角形的性质及其应用(二).docx

4.5 相似三角形的性质及其应用(二)1．△ABC 与△DEF 的相似比为1∶4，则△ABC 与△DEF 的周长比为(C ) A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶162．已知△ABC 的三边长分别为4，2，3，△ABC 与△A ′B ′C ′相似，△A ′B ′C ′的周长为15，则△A ′B ′C ′的最大边长为(C )A. 4B. 125C. 203D. 63．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边长AB ，BC ，AC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积之比为(A )A. 1∶4B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶ 2(第3题) (第4题)4．如图，D ，E 分别为△ABC 的边长AB ，AC 上的中点，则△ADE 与四边形BCED 的面积的比为(B ) A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶15．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，且两个三角形的面积之差为28 ，则△ABC 的面积为__36__．6．如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，∠1＝∠B ，AE ＝EC ＝4，BC ＝10，AB ＝12，则△ADE 的周长为10．(第6题)7．如图，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB ＝12，△CEF 的面积为S 1，△AEB的面积为S 2，求S 1S 2的值．(第7题)【解】 ∵AD AB ＝12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC ＝5a . ∵BF ⊥AC ，四边形ABCD 为矩形， ∴易得△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ， ∴BC 2＝CE ·AC ，AB 2＝AE ·AC ， ∴a 2＝CE ·5a ，(2a )2＝AE ·5a ， ∴CE ＝5a 5，AE ＝4 5a 5，∴CE AE ＝14. 易得△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CE AE 2＝116.8．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，DE ∥BC ，EF ∥A B.若AE CE ＝23，S △ABC ＝25，求S ▱BFE D.(第8题)【解】 ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴△ADE ∽△ABC ，△CEF ∽△CA B.∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2，S △CEF S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CE AC 2. ∵AE CE ＝23，∴AE AC ＝25，CE AC ＝35. ∵S △ABC ＝25，∴S △ADE ＝4，S △CEF ＝9， ∴S ▱BFED ＝25－4－9＝12.9．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，DE ∥A C.若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3，则S △DOE ∶S △AOC的值为(D )(第9题)A. 13B. 14C. 19D. 116【解】 ∵S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3， ∴BE ∶EC ＝1∶3，∴BE ∶BC ＝1∶4. ∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ，△BDE ∽△BAC ，∴DE AC ＝BE BC ＝14，∴S △DOE ∶S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AC 2＝116. 10．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半．若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′＝2－1．(第10题)【解】设BC 与A ′C ′交于点E . 易知AC ∥A ′C ′，∴△BEA ′∽△BCA ， ∴S △BEA ′∶S △BCA ＝A ′B 2∶AB 2＝1∶2. ∵AB ＝2，∴A ′B ＝1， ∴AA ′＝AB －A ′B ＝2－1.11．如图，已知△ABC 是面积为3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB ＝2AD ，∠BAD ＝45°，AC与DE 交于点F ，则△AEF 的面积等于3－34(结果保留根号).(第11题)【解】过点F 作FG ⊥AE 于点G .∵△ABC ∽△ADE ，∴S △ABC S △ADE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB AD 2＝4，∴S △ADE ＝34，∴正三角形ADE 的边长为1. ∵∠EAD ＝∠CAB ＝60°，∴∠EAF ＝∠BAD ＝45°，∴FG ＝AG .在Rt △EGF 中，设EG ＝x ，则易得FG ＝3x ， ∴3x ＋x ＝1，∴x ＝3－12，∴FG ＝3－32. ∴S △AEF ＝12AE ·FG ＝3－34.12．如图，已知A 是反比例函数y ＝6x在第一象限分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边向右作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在反比例函数y ＝kx上运动，则k 的值是－3__6．(第12题)(第12题解)【解】 ∵反比例函数y ＝6x的图象关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA ＝O B. 连结OC ，如解图．∵△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ， ∴OC ⊥AB ，∠BAC ＝60°. ∴AC ＝2O A.∴OC ＝3O A.过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F . ∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ， ∴∠AEO ＝∠OFC ＝90°， ∴∠AOE ＝90°－∠FOC ＝∠OCF ， ∴△OFC ∽△AEO ，且相似比OCOA＝3， ∴S △OFC S △AEO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OC OA 2＝3. 设点A 的坐标为(a ，b )． ∵点A 在双曲线y ＝6x 上，∴S △AEO ＝12ab ＝62，∴S △OFC ＝12FC ·OF ＝3 62. 设点C 的坐标为(x ，y )．∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝－y . ∴FC ·OF ＝x ·(－y )＝－xy ＝3 6. ∵点C 在双曲线y ＝k x上，∴k ＝xy ＝－3 6.(第13题)13．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，并将△ABC 分成面积分别为S 1，S 2，S 3的三块．若S 1∶S 2∶S 3＝1∶4∶10，BC ＝15，求DE ，FG 的长．【解】 ∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴S△ADES△ABC＝⎝⎛⎭⎪⎫DEBC2，S△AFGS△ABC＝⎝⎛⎭⎪⎫FGBC2，即S1S1＋S2＋S3＝⎝⎛⎭⎪⎫DE152，S1＋S2S1＋S2＋S3＝⎝⎛⎭⎪⎫FG152.设S1＝k，则S2＝4k，S3＝10k，∴S1S1＋S2＋S3＝kk＋4k＋10k＝⎝⎛⎭⎪⎫DE152，S1＋S2S1＋S2＋S3＝k＋4kk＋4k＋10k＝⎝⎛⎭⎪⎫FG152，∴DE＝15，FG＝5 3.14．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处．(第14题)(1)如图①，已知折痕与边BC相交于点O.①求证：△OCP∽△PD A.②若△OCP与△PDA的面积之比为1∶4，求边AB的长．(2)若图①中的P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数．(3)如图②，在(1)的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP.动点M在线段AP上(点M不与点P，A重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连结MN交PB于点F，过点M作ME⊥BP于点E.试问：在点M，N移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长度．【解】(1)①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠的性质，得∠APO＝∠B＝∠C＝90°，∴∠POC＝90°－∠CPO＝∠AP D.又∵∠C＝∠D，∴△OCP∽△PD A.②∵△OCP与△PDA的面积之比为1∶4，△OCP∽△PDA，∴OC PD ＝OP PA ＝CP DA ＝14＝12， ∴PD ＝2OC ，PA ＝2OP ，DA ＝2CP . ∵AD ＝8，∴CP ＝4，BC ＝8. 设OP ＝x ，则OB ＝x ，OC ＝8－x .在Rt △PCO 中，∵∠C ＝90°，CP ＝4，OP ＝x ，OC ＝8－x ， ∴x 2＝(8－x )2＋42，解得x ＝5， ∴AB ＝AP ＝2OP ＝10，∴边AB 的长为10. (2)∵P 是CD 边的中点，∴DP ＝12D C.∵DC ＝AB ，AB ＝AP ，∴DP ＝12AP .∵∠D ＝90°，∴∠DAP ＝30°. ∵∠DAB ＝90°，∠OAP ＝∠OAB ， ∴∠OAB ＝30°.(3)过点M 作MQ ∥AN 交PB 于点Q . ∵AP ＝AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB ＝∠ABP ，∠ABP ＝∠MQP ， ∴∠APB ＝∠MQP ，∴MP ＝MQ . ∵ME ⊥PQ ，∴PE ＝QE ＝12PQ .∵BN ＝MP ，MP ＝MQ ，∴BN ＝MQ . ∵MQ ∥AN ，∴∠QMF ＝∠BNF . 又∵∠QFM ＝∠BFN ，QM ＝BN ， ∴△MFQ ≌△NFB (AAS )， ∴QF ＝BF ，∴QF ＝12QB ，∴EF ＝EQ ＋QF ＝12PQ ＋12QB ＝12P B.由(1)中的结论，得CP ＝4，BC ＝8，∠C ＝90°，∴PB ＝82＋42＝4 5，∴EF ＝12PB ＝2 5，∴在(1)的条件下，在点M ，N 移动的过程中，线段EF 的长度不变，为2 5.初中数学试卷。

浙教版九年级数学上册：4.5 相似三角形的性质及应用同步练习(含答案)

4.5 相似三角形的性质及其应用一．填空题1．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是．2．（2019•南关区一模）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为米．3．（2019•曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD 足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为．4．（2019春•广陵区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝．5．（2019春•滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于．二．选择题（共10小题）6．（2019春•海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．47．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm8．（2019•新乐市二模）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（）A．1.2 里B．1.5 里C．1.05 里D．1.02 里9．（2018春•南票区期末）如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：110．（2018秋•秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个11．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：12．（2018秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．13．（2018秋•南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，8514．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm215．（2018秋•襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝18米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．12米D．24米三．解答题16．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求的值．17．（2018秋•梁溪区校级期中）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是．18．（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．19．（2018秋•昌图县期末）如图，路灯（点P）距地面6m，身高1.5m的学生小明从路灯的底部点O处，沿射线OH走到距路灯底部9m的点B处，此时小明的身影为BN，接着小明走到点N处，此时的身影为AM．求学生小明的身影长度变长了多少米．（小明如图中BD、AC所示）20．（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．参考答案一．填空题1．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是1：2．【思路点拨】根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求证△DEF∽△ABC，然后利用相似三角形周长比等于相似比，可得出答案．【答案】解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝AC+BC+AB，∵△DEF∽△ABC，∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是：1：2．故答案为：1：2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用了相似三角形周长比等于相似比．2．（2019•南关区一模）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为15米．【思路点拨】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【答案】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴＝，即＝，∴AB＝15（米）．故答案为：15．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．3．（2019•曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD 足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．【思路点拨】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得＝，将已知数据代入即可得．【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°，又∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，则＝，∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，∴＝，解得：CD＝0.4，∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．故答案为：0.4．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．4．（2019春•广陵区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝9cm．【思路点拨】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB，∴，∴，解得：BD＝9cm，故答案为：9cm．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．5．（2019春•滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于11．【思路点拨】利用三角形面积公式得到AF：FE＝3：2，再根据平行四边形的性质得到AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，则可判断△AFD∽△EFB，利用相似的性质可计算出S△AFD＝9，所以S△ABD＝S△CBD＝15，然后用△BCD的面积减去△BEF的面积得到四边形CDFE的面积．【答案】解：∵△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，即S△ABF：S△BEF＝6：4＝3：2，∴AF：FE＝3：2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，∴△AFD∽△EFB，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AFD＝×4＝9，∴S△ABD＝S△CBD＝6+9＝15，∴四边形CDFE的面积＝15﹣4＝11．故答案为11．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．二．选择题6．（2019春•海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【答案】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．7．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm【思路点拨】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【答案】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（2019•新乐市二模）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（）A．1.2 里B．1.5 里C．1.05 里D．1.02 里【思路点拨】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．【答案】解：如图所示：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴＝．∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴＝，解得：FH＝1.05里．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形．9．（2018春•南票区期末）如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：1【思路点拨】根据题意，易得△BO3E∽△DO3F和△BO1E∽△DO1A，利用相似的性质得出DF：BE的值，再求出BE：AD的值，进而求出AF：DF．【答案】解：根题意，在平行四边形ABCD中，易得△BO3E∽△DO3F∴BE：FD＝3：1∵△BO1E∽△DO1A∴BE：AD＝1：3∴AD：DF＝9：1∴AF：DF＝（AD﹣FD）：DF＝（9﹣1）：1＝8：1故选：C．【点睛】考查了平行四边形的性质，对边相等．利用相似三角形三边成比例列式，求解即可．10．（2018秋•秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据三角形的重心的概念和性质得到AE，CD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的性质定理判断即可．【答案】解：∵点G是△ABC的重心，∴AE，CD是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DGE∽△BGC，∴＝，①正确；＝，②正确；△EDG∽△CBG，③正确；＝（）2＝，④正确，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．11．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：【思路点拨】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【答案】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．12．（2018秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．【答案】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．13．（2018秋•南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，85【思路点拨】根据两个相似三角形的对应边的长，可求出它们的相似比，也就求出了它们的周长比，再根据它们的周长差为40，即可求出两三角形的周长．【答案】解：∵两相似三角形的一组对应边为15和23，∴两相似三角形的周长比为15：23，设较小的三角形的周长为15a，则较大三角形的周长为23a，依题意，有：23a﹣15a＝40，a＝5，∴15a＝75，23a＝115，因此这两个三角形的周长分别为75，115．故选：A．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比．14．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【思路点拨】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【答案】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．（2018秋•襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝18米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．12米D．24米【思路点拨】因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．【答案】解：由题意知：∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴＝，∴CD＝＝12（米）．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问．三．解答题16．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求的值．【思路点拨】（1）由GE∥BC，可得出∠GEF＝∠DBF，再结合对顶角相等即可得出△FGE∽△FDB；（2）根据三角形中位线定理以及中线的定义得出GE＝BD、AG＝DG，再利用相似三角形的性质得出DF＝DG，进而即可得出＝．【答案】（1）证明：∵GE∥BC，∴∠GEF＝∠DBF．又∵∠GFE＝∠DFB，∴△FGE∽△FDB；（2）∵AD、BE是中线，EG∥BC，∴GE为△ADC的中位线，BD＝DC，∴GE＝DC＝BD，AG＝DG．∵△FGE∽△FDB，∴＝＝，∴DF＝DG，∴＝＝．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中线的定义以及中位线定理，解题的关键是：（1）由GE（2）根据相似三角形的性质结合中位线定理得出DF＝DG、∥BC利用相似三角形的判定定理证出△EGF∽△BDF；AG＝DG．17．（2018秋•梁溪区校级期中）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是2或6．【思路点拨】（1）先作CD中垂线得出CD的中点，再以中点为圆心，CD为半径作圆，与AB的交点即为所求；（2）证△APD∽△BPC得＝，即＝，解之可得．【答案】解：（1）如图所示，点P1和点P2即为所求．（2）∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°．∴∠ADP+∠APD＝90°，由（1）知，∠CPD＝90°，∴∠APD+∠BPC＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，∴△APD∽△BPC，∴＝，即＝，解得：AP＝2或AP＝6．故答案为：2或6．【点睛】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点．18．（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．【思路点拨】（1）根据PC＝PD＝CD，以及CD2＝AC•DB，可得，又∠ACP＝∠PDB，则△ACP∽△PDB；（2）根据（1）的结论求出∠APC+∠BPD度数，最后加上∠CPD度数即可．【答案】（本小题8分）解：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵CD2＝AC•DB，由PC＝PD＝CD可得：PC•PD＝AC•DB，即，∴△ACP∽△PDB；（2）∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠DBP＝60°，∴∠APC+∠BPD＝60°．∴∠APB＝∠CPD+∠APC+∠BPD＝120°．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．19．（2018秋•昌图县期末）如图，路灯（点P）距地面6m，身高1.5m的学生小明从路灯的底部点O处，沿射线OH走到距路灯底部9m的点B处，此时小明的身影为BN，接着小明走到点N处，此时的身影为AM．求学生小明的身影长度变长了多少米．（小明如图中BD、AC所示）【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．【答案】解：由题意知，∠PON＝∠DBN＝90°，△PON∽△DBN∴又∵OB＝9∴BN＝3，OA＝12由题意知，∠POM＝∠CAM＝90°，△POM∽△CAM∴又∵OA＝12∴AM＝4，OM＝16∴身影长BN＝3，AM＝4，AM﹣BN＝4﹣3＝1∴小明的身影长度变长了1米．【点睛】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的性质解答．20．（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．【思路点拨】（1）证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到＝，从而得到y与x的关系式；（2）计算矩形的面积S＝xy＝﹣x2+120x，则S＝﹣（x﹣40）2+2400，根据二次函数的性质得到当x＝40时，S有最大值2400，由于y＝60，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【答案】解：（1）易得四边形EGDK为矩形，则KD＝EG＝x，∴AK＝AD﹣DK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝﹣x+120（0＜x＜80）；（2）这个同学的说法错误．理由如下：S＝xy＝﹣x2+120x＝﹣（x﹣40）2+2400，当x＝40时，S有最大值2400，此时y＝﹣×40+120＝60，即矩形EGHF的长为60mm，宽为40mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400mm2，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长．也考查了二次函数的性质和矩形的性质．。

4.5 相似三角形的性质及其应用九年级上册数学浙教版

5.能运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.
知识点1 相似三角形对应线段的性质重难点
1.根据相似三角形的定义可知，我们可得到相似三角形的两个基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形对应线段的性质:相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，即相似三角形对应线段的比等于相似比.
测量数据
观测者的眼睛与地面的距离 ,标杆的高度 ,观测者与标杆之间的距离 ,观测者与旗杆之间的距离 .
注意：观测者的眼睛（点）、标杆的顶端（点）和旗杆的顶端（点）必须要“三点共线”,标杆与地面要垂直,同时旗杆底部必须可到达
典例4 如图,小华在水平地面上放置了一小块平面镜来测量铁塔的高度,已知当镜子与铁塔底部的距离、镜子与小华的距离时,小华刚好从镜子中看到铁塔的顶端 .若小华的眼睛距离地面的高度 ,试估计铁塔的高度.
图形
推理
结论
周长之比
.
周长之比等于相似比.
面积之比
.
面积之比等于相似比的平方.
典例3 （2023·丽水期末）已知，且与的周长比为，则与的面积比为__.
[解析] ，且周长比为，与的相似比为，与的面积比为 .
解题通法相似三角形性质的应用技巧相似三角形的相似比、各对应线段的比、周长比及面积比之间是可以互相转化的,即相似比对应高线的比对离等于____ .转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________ .
[解析] 如图，过点作，的平行线，交于点，过点作水平线交于点，过点作，垂足为，连结并延长至点，使得 .
由题意可知，点是的中点. ， , 点是
的中点. ，， .

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《4-5相似三角形的性质及应用》解答题专题训练(附答案)

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《4.5相似三角形的性质及应用》解答题专题训练（附答案）1．如图，BE为△ABC的高，请用尺规作图法在BC边上求作一点F，使得△ACF∽△BCE．（保留作图痕迹，不写作法）2．如图，在△ABC中，请用尺规作图法，在AB边上找一点D，使△ACD∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）3．如图，在△ABC中，AB＝AC，在BC边上利用尺规求作一点P使得△APB∽△BAC（不必写作法，保留作图痕迹）．4．如图，∠ACB＝∠CDB＝90°，在线段CD上求作一点P，使△APC∽△CDB．（不写作法，保留作图痕迹）5．如图，△ABC中，P是线段AB上一点，尺规作图：在BC边上找一点D，使以P、D、B为顶点的三角形与△ABC相似（保留作图痕迹，不写作法）6．如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DP A∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）7．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）8．如图，已知锐角△ABC，点D是AB边上的一定点，请用尺规在AC边上求作一点E，使△ADE与△ABC相似．（作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法．）9．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．10．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．11．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看一到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．12．如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一棵盛开的桃花的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即DE的长度，小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且BC＝2.7米，CD＝11.5米，∠CDE＝120°，已知小华的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出DE的长度．（结果保留根号）13．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）14．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E 与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．15．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM 方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．16．周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE．测得GE＝5米，EN＝12.3米，NN′＝6.2米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？（结果精确到0.01米）17．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）18．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．19．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？20．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．21．在一次数学测验活动中，小明到操场测量旗杆AB的高度．他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）．如示意图，当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔、旗杆的顶端M、A共线，同时，眼睛C与它们的底端N、B也恰好共线．此时，测得DB＝50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.65m，铅笔MN的长为0.16m，请你帮助小明计算出旗杆AB的高度（结果精确到0.1m）．参考答案1．解：如图，△ACF即为所求．2．解：如图，△ACD即为所求．3．解：如图所示：△APB∽△BAC，点P即为所求．4．解：如图所示，点P即为所求．5．解：如图所示：6．解：如图所示，点P即为所求：∵DP⊥AM，∴∠APD＝∠ABM＝90°，∵∠BAM+∠P AD＝90°，∠P AD+∠ADP＝90°，∴∠BAM＝∠ADP，∴△DP A∽△ABM．7．解：如图，AD为所作．8．解：如图，点E即为所求作的点．9．解：设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴．同理，△EMF∽△AMB，∴．∵EF＝CD，∴，即．解得x＝6.6，∵，∴．解得AB＝9.6．答：大树AB的高度为9.6米．10．解：延长OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE＝90°，∵OD＝1m，OE＝1m，∴∠DEB＝45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，设AB＝EB＝xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴＝，∴＝，解得：x＝4．经检验：x＝4是原方程的解．答：围墙AB的高度是4m．11．解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，∵AH∥DK，∴∠CDK＝∠A，而∠CKD＝∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴＝，即＝，∴CK＝．答：出南门步恰好看一到位于A处的树木．12．解：过E作EF⊥BC，∵∠CDE＝120°，∴∠EDF＝60°，设EF为x，DF＝x，∵∠B＝∠EFC＝90°，∵∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EFC，∴，即，解得：x＝9+2，∴DE＝（米），答：DE的长度为（6+4）米．13．解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，∵AB∥CD，DG⊥AB，AB⊥AC，∴四边形ACDG是矩形，∴EH＝AG＝CD＝1.2，DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30，∵EF∥AB，∴，由题意，知FH＝EF﹣EH＝1.7﹣1.2＝0.5，∴，解得，BG＝18.75，∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0．∴楼高AB约为20.0米．14．解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∴＝，∴AB＝17（m），经检验：AB＝17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米．15．解：由题意可得：∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF，故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，则＝，＝，即＝，＝，解得：AB＝99，答：“望月阁”的高AB的长度为99m．16．解：延长MM′交DE于H，如图，则HM＝EN＝12.3米，CD＝GE＝5米，MM′＝NN′＝6.2米，∵CD∥HM，∴∠ADC＝∠DMH，∴Rt△ACD∽Rt△DHM，∴＝＝，∵AB∥MM′，∴△ABD∽△MM′D，∴＝＝，即＝，解得AB≈2.52（米）．答：遮阳篷的宽AB是2.52米．17．解：由题意得：∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，∴△CAD∽△MND，∴，∴，∴MN＝9.6（米），又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△MFN，∴，∴∴EB≈1.75（米），∴小军身高约为1.75米．18．解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则＝，∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，∴＝，解得：AC＝10，故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m），答：旗杆的高度为11.5m．19．解：由题意得，∠BAD＝∠BCE，∵∠ABD＝∠CBE＝90°，∴△BAD∽△BCE，∴＝，∴＝，解得BD＝13.6．答：河宽BD是13.6米．20．方法一：解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA∴MA∥CD∥BN∴EC＝CD＝x∴△ABN∽△ACD，∴即解得：x＝6.125≈6.1．经检验，x＝6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米．方法二：解：连接MN，并延长交CD于点F，设DF＝xm，则MN∥AB，AB＝MN＝1.25m，MF＝AC，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA∴∠EMA＝∠MDF＝45°∴DF＝MF＝AC＝xm，DC＝DF+AM＝x+1.75m，∵MF∥AC∴＝＝，即＝，解得：x＝4.375m，∴DC＝4.375+1.75＝6.125m≈6.1m，∴路灯高CD约为6.1米．21．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，交MN于点E．则CF＝DB＝50，CE＝0.65，（2分）∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB．∴＝，（5分）∴AB＝＝≈12.3．∴旗杆AB的高度约为12.3米．（8分）。

2019秋浙教版数学九年级上册同步测试试题：4.5 相似三角形的性质及其应用

4．5 相似三角形的性质及其应用第1课时相似三角形的性质知识点1.相似三角形对应线段的比1．[2018·虹口区一模]如果两个相似三角形对应边之比是1∶3，那么它们的对应中线之比是(A)A．1∶3 B．1∶4C．1∶6 D．1∶92．[2018·余姚模拟]若两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶1，则对应角的平分线之比为(C)A．9∶1 B．6∶1C．3∶1 D.3∶13．[2017秋·微山期末]若△ABC∽△DEF，相似比为2∶3，则这两个三角形对应角平分线的比为(A)A．2∶3 B．3∶2C．4∶9 D．9∶44．[2018·和平区模拟]已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF对应中线的比为__3∶4__．5．如图1，小华做物理实验，蜡烛的火焰透过小孔在成像板上形成一个倒立的像，经过测量蜡烛的火焰是2 cm，它的像是4 cm.如果蜡烛距离小圆孔10 cm，那么蜡烛与成像板之间的距离是__30__cm__．图1【解析】∵AB∥CD，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴△AOB∽△COD，设蜡烛与成像板之间的距离是x cm，∴10x－10＝ABCD＝24，解得x＝30 cm.6．[2018秋·南安期中]求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．(要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程)解：画出图形如答图．已知：△ABC∽△A′B′C′，A′B′AB ＝B′C′BC＝A′C′AC＝k，D是AB的中点，D′是A′B′的中点，求证：C′D′CD＝k.第6题答图证明：∵D是AB的中点，D′是A′B′的中点，∴AD＝12AB，A′D′＝12A′B′，∴A ′D ′AD ＝12A ′B ′12AB＝A ′B ′AB ，∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴A ′B ′AB ＝A ′C ′AC ，∠A ′＝∠A ，∴A ′D ′AD ＝A ′C ′AC ，∴△ACD ∽△A ′C ′D ′，∴C ′D ′CD ＝A ′C ′AC ＝k .知识点2.三角形的重心7．如图2所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，BC 与AC 上的两条中线AF 与BE 交于点G ，连结CG ，求CG 的长．图2 第7题答图解：如答图，延长CG 交AB 于点H ， ∵AF ，BE 是△ABC 的中线，∴点G 是△ABC 的重心，∴CH 也是△ABC 的中线．又∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，∴CH ＝12AB ＝3.∵点G 是△ABC 的重心，∴CG ＝2GH ，∴CG ＝23CH ＝23×3＝2.易错点：实际问题中混淆三角形的重心分每一条中线的比．8．[2018秋·浦东新区期中]如图3，△ABC 的两条中线AD ，CE 交于点G ，连结BG 并延长，交边AC 于点F ，那么下列结论不正确的是( B )图3A．AF＝FC B．BF＝2GFC．AG＝2GD D．EG＝13CE【解析】∵△ABC的两条中线AD，CE交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴BF也是△ABC的中线，∴AF＝FC，故A正确；∵点G是△ABC的重心，∴BG＝2GF，∴BF＝3GF，故B不正确；∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2GD，故C正确；∵点G是△ABC的重心，∴CG＝2EG，∴CE＝3EG，∴EG＝13CE，故D 正确．故选B.第2课时相似三角形的周长比、面积比知识点1.相似三角形的对应高线的比1．[2018秋·浦东新区月考]已知两个相似三角形的一组对应高线分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为(A)A．90 B．180C．270 D．3 600【解析】∵两个相似三角形的一组对应高的长分别为15和5，∴两三角形的相似比为3∶1，∴其面积比为32∶12＝9∶1，设两相似三角形的面积分别为9x和x，根据题意列方程得9x－x＝80，解得x＝10，则较大三角形的面积为90. 2．如图1，AD，BE是△ABC的两条高线，A′D′，B′E′是△A′B′C′的两条高线，若△ABD∽△A′B′D′，∠C＝∠C′，求证：ADA′D′＝BEB′E′.图1证明：∵△ABD∽△A′B′D′，∴∠ABC＝∠A′B′C′，∵∠C＝∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′，∵AD，A′D′是△ABC，△A′B′C′的对应高，BE，B′E′是△ABC，△A′B′C′的另一对对应高，∴ADA′D′＝BE B′E′.知识点2.相似三角形的周长比、面积比3．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(C)A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶164. 如果两个相似三角形的相似比是2∶3，那么它们对应的角平分线的比是__2∶3__，对应高线的比是__2∶3__，对应中线的比等于__2∶3__，周长的比等于__2∶3__，面积比等于__4∶9__．5．若两个相似三角形的面积比为4∶9，则这两个相似三角形的周长比是__2∶3__．6．如果两个相似三角形的一组对应边分别为3和5，且较小三角形的周长为15，则较大三角形的周长为__25__．【解析】设较大的三角形的周长是x.根据题意得15∶x ＝3∶5.解得x ＝25.7．已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝10，△ABC ∽△DEF ，且△DEF 的周长为33，求△DEF 的各边长．解：∵AB ＝5，BC ＝7，AC ＝10，∴△ABC 的周长＝5＋7＋10＝22，∵△ABC ∽△DEF ，∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝2233＝23，即5DE ＝7EF ＝10DF ＝23，解得DE ＝152，EF ＝212，DF ＝15.易错点：实际问题中未能活用“相似三角形对应高的比等于相似比”．8．如图2，△ABC 是一块锐角三角形材料，边BC ＝60 mm ，高AD ＝30 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，这个正方形零件的边长是多少？图2解：设正方形的边长为x mm ，则AM ＝AD －x ＝30－x ，∵四边形EFGH 是正方形，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∴EH BC ＝AM AD ，即x 60＝30－x 30，解得x ＝20 mm ，∴这个正方形零件的边长是20 mm.第3课时相似三角形的性质的应用知识点1.利用相似测高度1．在某一时刻，测得一根高为1.2 m 的木棍的影长为2 m ，同时测得一根旗杆的影长为25 m ，那么这根旗杆的高度为( A )A ．15 mB.1253 m C ．60 m D ．24 m2．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5 m 的大视力表制作一个测试距离为3 m 的小视力表．如图1，如果大视力表中“E”的高度是3.5 cm ，那么小视力表中相应“E”的高度是( D )图1A ．3 cmB ．2.5 cmC ．2.3 cmD ．2.1 cm【解析】由题意得CD∥AB，∴CDAB＝DEBE，∵AB＝3.5 cm，BE＝5 m，DE＝3 m，∴CD3.5＝35，∴CD＝2.1 cm.3．如图2，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4 m的位置上，则球拍击球的高度h为__1.5__m__．图24．如图3，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1 km，AN＝1.8 km，AB＝54 m，BC＝45 m，AC＝30 m，求M，N两点之间的直线距离．图3解：连结MN，答图略，∵ACAM＝301 000＝3100，ABAN＝541 800＝3100，∴ACAM＝ABAN，∵∠BAC ＝∠NAM ，∴△BAC ∽△NAM ，∴BC MN ＝3100，∴45MN ＝3100，∴MN ＝1 500(m)．答：M ，N 两点之间的直线距离为1 500 m.知识点2.利用镜子反射测物高5．如图4是小莹设计用激光笔来测量某古城墙高度的示意图．在点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD .且测得AB ＝1.4 m ，BP ＝2.1 m ，PD ＝12 m ．那么该古城墙CD 的高度是( B )图4A ．6 mB ．8 mC ．10 mD ．12 m【解析】 ∵∠APB ＝∠CPD ，∠ABP ＝∠CDP ，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB CD ＝BP PD ，即1.4CD ＝2.112，解得CD ＝8 m.易错点：影子落到斜坡上，未能把斜坡上的影子转化到地上．6．数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1 m 的竹竿的影长是0.8 m ，但当她准备测量树高时，发现树的影子2019秋浙教版数学九年级上册同步测试试题：4．5 相似三角形的性质及其应用 11 / 11 不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图5)，他先测得留在墙壁上的影高为1.2 m ，又测得地面上的影长为2.6 m ，请你帮她算一下，树高是( C )A ．3.25 mB ．4.25 mC ．4.45 mD ．4.75 m图5 第6题答图【解析】如答图，设BD 是BC 在地面上的影子，树高为x ，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得BC BD ＝10.8，而BC ＝1.2，∴BD ＝0.96，∴树在地面上的实际影子长是0.96＋2.6＝3.56，则x 3.56＝10.8，解得x ＝4.45，即树高是4.45 m.。

浙教版九年级上册数学第四章 4.5 相似三角形的性质及其应用第2课时相似三角形的周长比、面积比随堂练习

第2课时相似三角形的周长比、面积比1．[2019·重庆B 卷]已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比是( A )A. 1∶4B. 4∶1C. 1∶2D. 2∶1【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S △ABC ∶S △DEF ＝1∶4.2．[2019·重庆A 卷]若△ABC ∽△DEF ，相似比为3∶2，则对应高线的比为( A )A ．3∶2B ．3∶5C ．9∶4D ．4∶9【解析】因为△ABC ∽△DEF ，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高线之比等于相似比”，故选A.3．如图4－5－10，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( D )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABC C.AD AE ＝AB AC D ．S △ABC ＝3S △ADE【解析】 ∵在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ，∴BC ＝2DE ，故A 正确；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故B 正确；∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，即AD AE ＝AB AC，故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∶BC ＝1∶2，∴S △ABC ＝4S △ADE ，故D 错误．图4－5－10 图4－5－114．[2019·湘西]如图4－5－11，在△ABC 中，DE ∥BC ，DB ＝2AD ，△ADE 的面积为1，则四边形DBCE 的面积为( D )A ．3B ．5C ．6D ．8【解析】由DE ∥BC ，DB ＝2AD ，得△ADE ∽△ABC ，AD AB ＝13.∵S △ADE ＝1，S △ADE S △ABC ＝19，∴S △ABC ＝9. ∴S 四边形DBCE ＝S ABC －S △ADE ＝8.故选D.5．[2019·连云港]如图4－5－12，已知，△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( D )A.BC DF ＝12B.∠A 的度数∠D 的度数＝12C.△ABC 的面积△DEF 的面积＝12D.△ABC 的周长△DEF 的周长＝12图4－5－12 图4－5－136．[2019·莘县一模]如图4－5－13，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，则DE ∶EC ＝( A )A ．2∶3B ．2∶5C ．3∶5D ．3∶2【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠DEF ，∠AFB ＝∠DFE ，∴△DEF ∽△BAF .∵S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，∴DE AB ＝25，∵AB ＝CD ，∴DE ∶EC ＝2∶3.7．一副三角板叠放如图4－5－14，则△AOB 与△DOC 的面积之比为__1∶3__．图4－5－148．已知△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，△ABC 的周长是12 cm ，面积是30 cm 2.(1)求△DEF 的周长；(2)求△DEF 的面积．解：(1)∵△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，∴△DEF 的周长为12×23＝8(cm)；(2)∵△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，∴△DEF 的面积为30×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1313(cm 2)． 9．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35 cm 和14 cm.(1)已知它们的周长相差60 cm ，求这两个三角形的周长；(2)已知它们的面积相差588 cm 2，求这两个三角形的面积．解：(1)∵两个相似三角形的对应边长分别是35 cm 和14 cm ，∴这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的周长比为5∶2.设较大的三角形的周长为5x cm ，较小的三角形的周长为2x cm.∵它们的周长相差60 cm ，∴5x －2x ＝60，∴x ＝20，∴5x ＝5×20＝100，2x ＝2×20＝40，∴较大的三角形的周长为100 cm ，较小的三角形的周长为40 cm ；(2)∵这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的面积比为25∶4.设较大的三角形的面积为25x cm 2，较小的三角形的面积为4x cm 2. ∵它们的面积相差588 cm 2，∴(25－4)x ＝588，解得x ＝28，∴25x ＝25×28＝700，4x ＝4×28＝112，∴较大的三角形的面积为700 cm 2，较小的三角形的面积为112 cm 2.10．如图4－5－15，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( C )A ．1∶ 3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4图4－5－15 图4－5－1611．[2019·咸宁]如图4－5－16，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连结DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB ；④S △ODE S △ADE ＝13. 其中正确的个数有( C )A. 1个B. 2个 C ．3个 D. 4个【解析】 ①∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，即DE BC ＝12，故①正确；②∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB ，∴S △DOE S △COB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，故②错误； ③∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC ，∵△DOE ∽△COB ，∴OE OB ＝DE CB ，∴AD AB ＝OE OB ，故③正确；④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O ，∴O 是△ABC 的重心，根据重心性质，得BO ＝2OE ，△ABC 的高线长＝3△BOC 的高线长， ∵△ABC 与△BOC 同底(BC )，∴S △ABC ＝3S △BOC ，由②和③，得S △ODE ＝14S △COB ，S △ADE ＝14S △ABC ，∴S △ODE S △ADE ＝13.故④正确．综上所述，①③④正确．故选C.12．如图4－5－17，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为(C)A．5 B．6 C．7 D．12图4－5－17 第12题答图【解析】如答图，可知△DEF∽△HMN，∴EF MN ＝DFHN，即3x－4＝x－34，解得x＝7(x＝0舍去)．故选C.13．[2019·河北区校级模拟]如图4－5－18，AD＝DF＝FB，DE∥FG∥BC，则S Ⅰ∶SⅡ∶SⅢ＝__1∶3∶5__．图4－5－18【解析】∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∵AD＝DF＝FB，∴AD∶AF∶AB＝1∶2∶3，∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC＝1∶4∶9，∴SⅠ∶SⅡ∶SⅢ＝1∶3∶5.14．如图4－5－19，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB 的平分线CF交AD于点F.E是AB的中点，连结EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．图4－5－19解：(1)证明：∵DC＝AC，∴△ACD 为等腰三角形．又∵CF 平分∠ACD ，∴F 为AD 的中点．又∵E 为AB 的中点，∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF ∥BC ；(2)由(1)得EF ∥BC ，且EF BD ＝12，∴△AEF ∽△ABD ，∴S △AEF ∶S △ABD ＝1∶4，∴S 四边形BDFE ∶S △ABD ＝3∶4.又∵S △ABD ＝6，∴S 四边形BDFE ＝92.15．如图4－5－20，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB ＝30°.(1)利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于E ，交⊙O 于D ，连结CD (保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．图4－5－20 第15题答图解：(1)如答图所示；(2)如答图，连结OD ，设⊙O 半径为r ，在△ABE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CDE ，∠AEB ＝∠DEC ，∴△ABE ∽△DCE .∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，∴AB ＝12AC ＝r .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，又∵∠ABD ＝∠ACD ，∠ACD ＝∠ODC ＝45°，∴∠DOC ＝90°.∵在Rt △ODC 中，DC ＝OD 2＋OC 2＝2r ，∴S △ABE S △CDE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 2＝12. 16．[2019·梅州改编] 如图4－5－21，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5 cm ，∠A ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以2 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以 3 cm/s 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t (s)(0≤t ≤5)，连结MN .图4－5－21(1)若BM ＝BN ，求t 的值；(2)若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值与△MBN 和△ABC 的周长比；(3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？请求出最小值．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5 cm ，∠A ＝60°，∴AB ＝10 cm ，BC ＝5 3 cm.由题意，得BM ＝2t (cm)，CN ＝3t (cm)，BN ＝(53－3t )cm ，由BM ＝BN ，得2t ＝53－3t ，解得t ＝532＋3＝103－15； (2)①当△MBN ∽△ABC 时，∴MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝53－3t 53，解得t ＝52， ∴MB AB ＝12，∴△MBN 和△ABC 的周长比为12；②当△NBM ∽△ABC 时，NB AB ＝BM BC ，即53－3t 10＝2t 53，解得t ＝157， ∴BM BC ＝237， ∴△MBN 和△ABC 的周长比为237.综上所述，当t ＝52 s 或t ＝157 s 时，△MBN 与△ABC 相似，对应的△MBN 和△ABC 的周长比为12或237；(3)如答图，过点M 作MD ⊥BC 于点D ，可得MD ＝t cm.第16题答图设四边形ACNM 的面积为y cm 2，∴y ＝S △ABC －S △BMN ＝12AC ·BC －12BN ·MD＝12×5×53－12×(53－3t )t＝32t 2－532t ＋2532＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋758 3. ∴根据二次函数的性质可知，当t ＝52时，y 的值最小．∴当t ＝52 s 时，四边形ACNM 的面积最小，最小为758 3 cm 2.。

九年级数学上册第4章相似三角形4.5相似三角形的性质及其应用练习(B本,)(新版)浙教版【含解析】

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浙教版九年级数学上学期《4.5 相似三角形的性质及其应用》同步练习

4.5 相似三角形的性质及其应用一．选择题1．如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a 等于（）A．B．C．1D．22．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm，面积为1cm2，甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是（）A．①B．②C．一样大D．无法判断3．如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（）A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m5．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m7．如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB＝BC，横梁EF∥AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD＝4m，横梁AC＝12m，则支架DF长为（）A．2B．2C．D．28．如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3m，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（）A．2.2m B．2m C．1.8m D．1.6m9．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN 折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（）A．2B．3C．D．10．《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（）A．360步B．270步C．180步D．90步二．填空题11．如图，△ABC为一块铁板余料，BC＝10cm，高AD＝10cm，要用这块余料裁出一个矩形PQMN，使矩形的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为cm2．12．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小红在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小红又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小红的眼睛离地面高度EF＝1.5m，量得CE＝2m，EC1＝8m，C1E1＝4m，则电线杆AB的高度为m．13．如图，正方形EFGH内接于△ABC，设BC＝（表示一个两位数），EF＝c，三角形中高线AD＝d，已知a，b，c，d恰好是从小到大的四个连续正整数，则△ABC的面积为．14．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是．三．解答题15．20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看一到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．17．大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.28米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.92米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．18．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC 上．（1）当矩形的边PN＝PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．19．西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，玄奘为保存由天竺经丝绸之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔，最初五层，后加盖至九层，是西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．20．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边长BC＝120cm，高AP＝90cm，现在要把它加工成长方形零件DFHE，且满足FH＝2DF，F、H在BC上，D、E分别在AB、AC上，求短边DF的长．21．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝30cm，高AD＝20cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，当EF为多少cm 时，矩形EGHF的面积最大，最大值为多少？22．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC＝200mm，高AD＝150mm，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）设PN＝x，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数表达式，并指出x的取值范围．（2）当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？23．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8cm，底边BC长10cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上，AH交DG于M．（1）求证：AM•BC＝AH•DG；（2）加工成的矩形零件DEFG的面积能否等于25cm2？若能，求出宽DE的长度；否则，请说明理由．24．如图，一个油漆桶高75cm，桶内还有剩余的油漆，一根木棒长1m，小明将木棒从桶盖小口斜插入桶内，一端触到桶底边缘时，量得木棒露在桶外的部分长10cm．抽出小棒，又量得木棒上沾了油漆的部分长36cm，请计算桶内油漆的高度．参考答案一．选择题1．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∴∠DAC＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CAB，∴＝，∴CA2＝CD•CB，∵CA＝a，BD＝a，CD＝1，∴CB＝1+a，∴a2＝1•（1+a），∴a2﹣a﹣1＝0，∴a＝或（舍弃），故选：A．2．解：由AC长为1cm，△ABC的面积为1cm2，可得BC＝2cm，如图①，设加工桌面的边长为xcm，∵DE∥CB，∴＝，即＝，解得：x＝（cm）；如图②，设加工桌面的边长为ycm，过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，∵AC＝1cm，BC＝2cm，∴AB＝＝，∵△ABC的面积为1cm2，∴CM＝cm，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，解得：y＝cm，∵x2＝＝，y2＝，∴x2＞y2，即S1＞S2，故选：A．3．解：第1个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝，所以这两个三角形相似；第2个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；第3个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝＝，所以这两个三角形相似；第4个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；故选：D．4．解：由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，故＝，即＝，解得：BC＝3，则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴＝，解得：AG＝1.2（m），故选：A．5．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，∴BP＝＝＝．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝．设DE＝x，则有：＝，解得x＝，故选：D．6．解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴，解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，故选：A．7．解：∵AB＝BC，BD⊥EF，∴AD＝DC＝6m，∴AB＝＝＝2（m），∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝，∵点E为AB的中点，∴F是BC的中点，∴FD是△ABC的中位线，∴DF＝AB＝（m）．故选：C．8．解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD＝∠AFB＝∠CBE，△CDF∽△CEB，∵∠ABF＝∠CEB＝90°，∠AFB＝∠CBE，∴△CBE∽△AFB，∴＝＝，∵BC＝2.6m，BE＝1m，∴EC＝2.4（m），即＝＝，解得：FB＝，AF＝，∵△CDF∽△CEB，∴＝，即＝解得：DF＝，故AD＝AF+DF＝+＝2.2（m），答：此时点A离地面的距离为2.2m．故选：A．9．解：∵MN＝MP，∴∠MNP＝∠MPN，∴∠CPN＝∠ONM，由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，∴∠CPN＝∠CNM，又∵∠C＝∠C，∴△CPN∽△CNM，＝，即CN2＝CP×CM，∴62＝CP×（CP+5），解得CP＝4，又∵＝，∴＝，∴PN＝，故选：D．10．解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴＝，即＝，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．故选：A．二．填空题11．解：设QM＝xcm，则PN＝xcm，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴＝，即＝，则AE＝x，故DE＝10﹣x，则矩形PQMN面积为：x（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，∴矩形PQMN面积的最大值为25cm2．故答案为：25．12．解：∵DC⊥AE，D1C1⊥AE，BA⊥AE，∴DC∥D1C1∥BA，∴△F1D1N∽△F1BG．∴＝．∵DC∥BA，∴△FDM∽△FBG．∴＝．∵D1N＝DM，∴＝，即＝．∴GM＝10m．∵＝，∴＝．∴BG＝9m．∴AB＝BG+GA＝10.5（m）．答：电线杆AB的高度为10.5m．故答案是：10.5．13．解：a、b、c、d为连续四个整数故可设为a，a+1，a+2，a+3，∵BC＝，∴BC＝11a+1，∵四边形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，解关于a的方程，得a1＝1，a2＝5，经检验1和5是原分式方程的解，∴S△ABC＝BC×AD＝24，或S△ABC＝BC×AD＝224，故答案为：24或224．14．解：由题意得：CD∥AB，∴＝，∵AB＝3.5cm，BE＝5m，DE＝3m，∴，∴CD＝2.1cm，故答案为：2.1cm．三．解答题15．解：设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为xm，21.6km/h＝21.6×＝6m/s，∵AB∥PQ，∴△CAB∽△CPQ，∴，∴＝，∴x＝30，∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30m．16．解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，∵AH∥DK，∴∠CDK＝∠A，而∠CKD＝∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴＝，即＝，∴CK＝．答：出南门步恰好看一到位于A处的树木．17．解：根据题意得，△EDC∽△EBA，∴，∵DC＝HG，∴，∴，∴CA＝40（米），∵，∴＝，∴AF＝61.92米，∴＝，∴AB＝64.5米，答：古塔的高度AB为64.5米．18．解：（1）设矩形零件PQMN的边PN＝a，PQ＝x，则AE＝80﹣a．∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC．∴＝．因此，，解得a＝120﹣x．∴120﹣x＝x，解得：x＝48所以长方形PQMN的面积S＝xa＝x（120﹣x）＝﹣x2+120x＝﹣×482+120×48＝2304mm2所以矩形零件PQMN的面积为2304mm2．（2）由S＝﹣x2+120x，当x＝﹣＝40时，a＝60．S最大值＝40×60＝2400（mm2）．所以这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2．19．解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴＝，＝，∵DC＝HG，∴＝，∴＝，∴CA＝106（米），∵＝，∴＝，∴AB＝55（米），答：大雁塔的高度AB为55米．20．解：设DF＝xcm，则DE＝2xcm，AD＝（90﹣x）cm，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴x＝36，∴DF的长为36cm．21．解：设EG＝xcm，∵四边形EFHG是矩形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴，解得EF＝（20﹣x）．∴S矩形EFHG＝EG•EF＝（20﹣x）•x．即S＝﹣x2+30x．∴当x＝﹣＝﹣＝10时，矩形EGHF的面积最大，此时EF＝（20﹣x）＝15cm，最大面积为＝＝75cm2．22．解：（1）∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，∵QM＝PN＝x，MN＝ED＝y，AE＝150﹣y，∴，∴y＝150﹣x∴S＝xy＝﹣x2+150x；150﹣x＞0，解得：x＜200，则0＜x＜200；（2）设矩形的面积为S，则S＝﹣x2+150x＝﹣（x﹣100）2+7500．故当x＝100时，此时矩形的面积最大，最大面积为7500mm2．23．（1）证明：∵四边形DEFG为矩形，∴DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∴AM•BC＝AH•DG；（2）解：加工成的矩形零件DEFG的面积不能等于25cm2，理由如下：当加工成的矩形零件DEFG的面积等于25cm2时，设宽DE的长度为xcm，则AM＝（8﹣x）cm，DG＝cm．∵高线AH长8cm，底边BC长10cm，AM•BC＝AH•DG，∴（8﹣x）×10＝8×，整理得x2﹣8x+20＝0，∵△＝64﹣4×20＝﹣16＜0，∴x无实数根，故加工成的矩形零件DEFG的面积不能等于25cm2．24．解：∵AC⊥BC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：CE＝30∴桶内油漆的高度为30cm．。

浙教版数学九年级上册4.5 相似三角形的性质及其应用(2).docx

4．5 相似三角形的性质及其应用(2)1．已知两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的面积比是(A)A．4∶9 B．2∶3 C．3∶2 D．9∶42. 已知△ABC∽△DEF，对应边AB∶DE＝1∶2，则△ABC和△DEF的周长比为(A)A. 1∶2B. 1∶4C. 2∶1D. 4∶13．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD.如果S△ODC∶S△BDC＝1∶3，那么S△ODC∶S△ABC等于(B)A．1∶5 B．1∶6 C．1∶7 D．1∶9,(第3题)) ,(第4题))4．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分的四边形EOFB，GHMN是正方形的花圃．一只自由飞翔的小鸟随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为(C)A.1732B.12C.1736D.17385．用3倍的放大镜照一个面积为1的三角形，放大后的三角形面积是__9__．(第6题)6. 如图，圆桌正上方的灯泡(看做一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)．已知桌面的直径为1.2 m，桌面距地面1 m，若灯泡距离地面3 m，则地上阴影部分的面积为0.81πm2.7．两个相似三角形的一组对应边长分别为15 cm和27 cm，它们的周长之差为36cm，则较小三角形的周长是__45__cm.(第8题)8．如图，在▱ABCD中，E是BC中点，F是BE的中点，AE与DF交于点H，则S△EFH∶S△ADH的值是__116__．(第9题) 9．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2BD.(1)若△ADE的周长为6，求△ABC的周长；(2)若S 梯形BCED ＝20，求S △ADE . 【解】 (1)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. 又∵AD ＝2BD ，∴AD AB ＝23，∴△ADE 与△ABC 的相似比为2∶3. ∵△ADE 的周长为6， ∴△ABC 的周长为9.(2)∵S △ADE S △ABC ＝S △ADE S △ADE ＋S 梯形BCED ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，∴S △ADE S △ADE ＋20＝49，∴S △ADE ＝16.(第10题)10. 如图，在一次台球比赛中，小红将球从A 处射出，经球台挡板CD 反射，恰好落入球袋B.若球台板长CD ＝2.4 m ，宽BD ＝1.5 m ，AC ＝0.3 m ，则点E 距点C 多远？【解】 ∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠C ＝∠D ＝90°.根据物理中的反射规律，知∠BED ＝∠AEC ， ∴△BDE ∽△ACE ，∴EC DE ＝AC BD. 代入数据，得CE 2.4－CE ＝0.31.5，解得CE ＝0.4.∴点E 距点C 有0.4 m 远．11．如图，要在一个△ABC 的花坛中种植花草，工作人员沿与AB 平行的方向画一条直线，将原花坛分割出一个三角形的地块(△CDE )，测出△CDE 的面积为10 m 2，CE ＝4 m ，BE ＝6 m ．请你根据测得的数据计算出花坛△ABC 的面积．(第11题)【解】 ∵DE ∥AB ， ∴△CDE ∽△CAB ， ∴S △CDE S △CAB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CE CB 2. ∵S △CDE ＝10，CE ＝4，EB ＝6，∴CB ＝10， ∴10S △CAB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4102＝425， ∴S △CAB ＝1252(m 2)．答：花坛△ABC 的面积是1252m 2.(第12题)12．如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，分别交AC ，AB 于点E ，F.设△CDE ，△BDF ，四边形DEAF 的面积分别为S 1，S 2，S 3，求证：S 3＝2 S 1S 2.【解】设S △ABC 的面积为S. ∵DE ∥AB ，∴△EDC ∽△ABC ，∴S 1S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CE CA 2，∴S 1S ＝CE CA. 同理，S 2S ＝DFAC. ∵DF ∥AC ，DE ∥AB ，∴四边形DEAF 为平行四边形， ∴DF ＝AE ，∴S 2S ＝AE AC， ∴S 1＋S 2S＝CE CA ＋AE CA ＝CE ＋AECA ＝1， ∴S 1＋S 2＝S ，∴(S 1＋S 2)2＝S ，∴S －(S 1＋S 2)＝2 S 1S 2，即S 3＝2 S 1S 2.(第13题)13．如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，点E 是AB 的中点，连结EF.(1)求证：EF ∥BC ；(2)若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积．【解】 (1)∵DC ＝AC ，CF 是∠ACB 的平分线， ∴AF ＝DF.又∵AE ＝BE ，∴EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ∥BC.(2)∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABD.∵EF ＝12BD ，∴S △AEF S △ABD ＝14.∵S 四边形BDFE ＝6，∴S △AEF 6＋S △AEF ＝14，∴S △AEF ＝2，∴S △ABD ＝8.(第14题)14. 如图，在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，OD ∥AB 交BC 于点D ，OE ∥AC 交BC 于点E.求证：BC 2＝DE(AB ＋BC ＋AC)．【解】 ∵OD ∥AB ，∴∠ODE ＝∠ABC ，∠ABO ＝∠BOD.又∵∠ABO ＝∠DBO ，∴∠DBO ＝∠BOD.∴BD ＝OD. 同理，OE ＝CE.∵OE ∥AC ，∴∠OED ＝∠ACB.∴△ODE ∽△ABC ，∴OD ＋DE ＋OE AB ＋BC ＋AC ＝DEBC .∴BD ＋DE ＋CE AB ＋BC ＋AC ＝DE BC ，即BC AB ＋BC ＋CA ＝DEBC，∴BC 2＝DE(AB ＋BC ＋AC)．初中数学试卷。