第3章 Z变换
离散时间信号z变换
3.2.4 Z变换旳性质和定理
1.线性
假如 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx 则有： Z[ y(n)] Y (z), Ry z Ry
Z[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z), max(Rx , Ry ) z min(Rx , Ry )
*即满足均匀性与叠加性； *收敛域为两者重叠部分。
z b
z b
z a z a , z b; zb zb zb
Y (z) X (z)H (z) z z a z za zb zb
X (z)的极点与H (z)的零点相消，Y (z)
的收敛域扩大，为 z b .
y(n) x(n) h(n) Z 1[Y ( z)] bnu(n)
12.帕塞瓦定理(parseval)
6. 翻褶序列
假如 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
1
1
1
Z[x(n)] X ( ) ;
z
z
Rx
Rx
证明： Z[x(n)] x(n)zn x(n)zn
n
n
x(n)(z1)n
n
X
(
1 z
)
，Rx
z 1
Rx ，
即 1 z 1
Rx
Rx
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，则x(0) lim X (z)。 z
0.5z 1)
(z
z2 2)(z
0.5)
X (z)
z
A1 A2
z (z 2)(z 0.5) z 2 z 0.5
A1
[( z 2)
X (z) z ]z2
4 3
X (z)
1
A2 [( z 0.5)
第3章-离散时间序列与Z变换1
3.1 离散时间信号--序列 序列 经典序列 序列旳运算 序列旳周期性
一、序列
1. 离散时间信号与数字信号
时间为离散变量旳信号称作离散时间信号； 而时间和幅值都离散化旳信号称作为数字信号。
x(n)
x(0)
x(-1) x(1)
x(-2)
x(2)
n -2 -1 0 1 2
3.斜变序列n u(n)
Z[n u(n)]=z1 +2z2 + +nzn +
可利用u(n)旳z变换
zn n=0
=
1 1z1
等式两边分别对z1求导，得
n(z1)n1 n=0
=
1 (1z1)2
= z2 (z 1)2
等式两边各乘z1 ，得到
n(z1)n =
z
n=0
(z 1)2
|z| >1
|z| >1
②旳收敛域 RX <|z|
0
n
RX < RX+ ①、 ②旳公共收敛域 RX < |z|< RX+
RX > RX+双边序列z变换不存在
例已知x(n) =c|n|， c为实数，求X(z) 。
cn 解：x(n)= c|n| =
cn
n<0 n0
1
X(z) = c|n| zn = cnzn + cnzn =X1(z) +X2(z)
n=
n=1
n=0
=1
lim
n
1(a1z)n 1a1z
|a1z| <1
=1
1 1a1z
=
z za
|a| > |z|
Z变换及其收敛域
z
1
)
n
1 1 e
sT
z
1
F (z)
1 2 j
j 1
ds
j
F (s) e
sT
z
ds 1
j 2 j
1
j
zF ( s ) z e
sT
(z e
sT
)
29
这个积分可用留数来计算，即
F (z)
i
z F (s) Re s , si z e sT
2、若x(n)是单边序列，其单边Z变换为：
右移
（二）位移性质
7
)z( X
z ) n ( u ) m n ( x Z
（二）位移性质
例 4.3-2 求周期序列 x(n)的Z变换
解：若周期序列x(n) 的周期为N，即
x(n ) x(n N )
n 0
令x1(n)表示x(n）的第一个周期，因为x1(n)是有 限长序列，所以其Z变换为
N 1
X 1( z)
x1 ( n ) z
n
z 0
8
n0
（二）位移性质
周期序列x(n)用x1(n)表示，为
x ( n ) x1 ( n ) x1 ( n N ) x1 ( n 2 N )
x(n)的Z变换为
X ( z) X 1( z) 1 z
X 1( z) z z
0 S平面平行于虚轴的直线
z e
0T
Z平面的圆，半径为 e
0T
22
S平面与Z平面的映射关系
j
j Im z
数字信号处理第三章
FS：~x (t)
X (k0 )e jk0t
k
（周期为T0
，Ω0
2
T0
）
对上式进行抽样，得：
（抽样间隔为T，s
2π ） T
~x(nT )
X~(k0 )e jk0nT
n
反 : x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
s s / 2
---
时域抽样间隔为T ,
频域的周期为 s
2
T
注：DTFT反变换原式为 x(n) 1 X (e j )e jnd
2
根据关系
T 将变量换为
，并利用s
2
T
即得
x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
jnk0T
s k0
又 0T
2
T0
T
0
2
s
2
N
这里 T Ω0 1 ，因此 T0 Ωs N
j 2 k
N 1
j 2 nk
X (e N ) x(nT)e N
n0
1 N 1
j 2 k
j 2 nk
x(nT)
X (e N )e N
N k0
x(nT ) 视作 n 的函数， x(nT ) x(n)
0 -0.5
-1 0
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
§ 3-3 周期序列的离散傅里叶级数 Discrete Fourier Series （DFS）
z变换信号流 -回复
z变换信号流-回复什么是z变换信号流？在数字信号处理中，z变换（Z-transform）是一种将离散时间信号转换为连续频域表示的数学工具。
z变换可以看作是拉普拉斯变换在离散时间中的对应物。
与傅里叶变换不同，z变换允许对非周期序列进行分析。
信号流是一个由离散时间的信号序列组成的流，其中每个时间点都有一个对应的采样值。
z变换信号流是在离散时间下对信号流进行z变换的过程。
通过对信号流进行z变换，我们可以在频域中对信号进行分析和处理。
下面，我将一步一步回答关于z变换信号流的问题，以帮助您更好地理解这个概念。
第一步：理解z变换的定义和基本概念在进行z变换之前，我们需要了解一些关于z变换的基本概念。
z变换将离散时间序列映射到连续复平面上的函数。
它的定义如下：X(z) = Σ[x(n) * z^(-n)]其中，x(n)是离散时间信号的序列，X(z)是z变换后的函数，n是时间索引。
这个公式表示了在离散时间序列x(n)的所有时刻n上对z的幂乘法之和。
第二步：了解z域和频域之间的关系在进行z变换时，我们将信号从时间域转换为z域。
z域是一个复平面，其中z从原点出发沿着虚轴旋转。
z的位置和幅度表示了信号的频率和幅度。
根据z变换的定义，我们可以将z域中的运算转换为频域中的运算。
第三步：计算信号流的z变换对于一个信号流，我们可以通过将其每个时间点的采样值带入到z变换的定义中，来计算其z变换。
即对于信号流x(n)，计算其z变换X(z)的过程如下：1. 对于每个时间点n，将该点的采样值x(n)与z的幂乘法相乘。
2. 对所有时间点n上的乘积求和，得到z变换X(z)。
例如，对于信号流x(n) = {1, 2, 3, 4, 5}，它的z变换可以计算如下：X(z) = 1*z^(-0) + 2*z^(-1) + 3*z^(-2) + 4*z^(-3) + 5*z^(-4)第四步：应用z变换信号流z变换信号流具有广泛的应用，特别是在数字信号处理中。
信号分析与处理第3章离散时间信号的分析_1-44
X (z) x(n)zn x(n)(re j )n [x(n)r n ]e j n
x
x
x
只有当 x(n)rn 符合绝对可和的收敛条件，即
x(n)r n
x=
时，x(n) 的 z 变换才有意义。对序列 x(n) ，其 z 变换 X (z)收
敛的所有 z 的集合称为 X (z)的收敛域，简记为 ROC
X (z) x(n)zn x(0) x(1)z1 x(2)z2 x0
上式是序列 x(n) 的单边 z 变换。
n<0 时样点均为零的序列称为因果序列，对因果序 列，其双边 z 变换与单边 z 变换相同。
单边 z 变换定义式表明，序列的单边 z 变换是复变 量 z 的负幂级数，该级数的系数即是序列 x(n) 本身。
1、 周期单位冲激串的傅里叶变换
周期单位冲激串，如图（a）所示。该函数在研
究信号的采样问题中经常用到，称为狄拉克梳状函数
或理想采样函数，用数学公式表示为
p(t) (t nT ) n
在 2.3 节中已得到，其傅里叶级数为 p(t) 1 ejkt
T k
上式表明，周期单位冲激串的傅里叶级数中，只包 含位于 0，0 ，20 ，…，k0 ，…处的频率分量， 每个频率分量的大小相等且都等于 1 。
两者进行相乘，如图(c) 所示，相乘结果 xS (t) x(t) p(t) 称为 x(t) 的采样信号（sampled signal），如 图（d）所示。xS (t) 中各分量的冲激强度构成的序列为 x(t) 的样本 x(n) 。
设采样间隔为TS ，采样角频率S
2
f
2 TS
。由采
样过程，有
xS (t) x(t) p(t)
为书写方便，对序列 x(n) 取 z 变换和对 X (z)取逆 z 变换常常记为
第三章 Z变换
n
x[n] re
j n
可见，x[n]的z变换：指数序列r-n乘以x[n]后的傅立叶变换。 当︱z︱=1，即 r = 1时，z变换就是傅立叶变换。 z变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换是z变换的特例；
z平面： z 1 称为单位圆 傅立叶变换是z平面单位圆上的z变换 傅立叶变换的周期性解释
1 x [ n ] u[n] 通过比较可直接得到其反变换： 2
n
特点：简单求解
3.3.2 部分分式展开法 对于任意有理函数形式的X(z) -------- 主要方法 通常的X(z)表示形式： （z-1多项式之比）
或： M个零点（分子z的M次多项式） N个极点（分母z的N次多项式） z =0 的多重极点或零点 相同的有限值零点和极点数（包括z = 0，不包括z = ∞）
n
jn x [ n ] e
ejωz，傅立叶变换X (ejω)z变换X(z) 将复变量z表示成极坐标形式：z = rejω z变换可以写成：
X ( z ) X ( re ) 或 X ( re )
j n n -jn x [ n ] r e j
为方便部分分式展开，可将X(z)表示为：
ck -------- M个非零零点； dk -------- N个非零极点； 若M ＜ N，且极点都是一阶的，则可以进行部分分式展开：
式中系数Ak求法：
例子：
1 1 极点：z ， z 2 4
（一阶）
零点：z =0 （二阶） 右边序列 部分分式展开：
z变换的收敛域： （region of convergence, ROC） 对给定的序列x[n]， 所有满足下列不等式的z值
n
MATLAB 第3章 Z变换
第三章 Z变换
例3-2 x(n)=anu(n), 求其z变换及收敛域。
解 这是一个因果序列，其z变换为
X ( z) a z
n 0
n n
1 z (az ) 1 1 az za n 0
1 n
|z|>|a|
这是一个无穷项的等比级数求和，只有在 |az-1|<1 即 |z|>|a|处收敛如图3-4所示。
1. 设zk是X(z)zn-1的单（一阶）极点，则有
Re s[ X ( z) z ]z zk [( z zk ) X ( z) z ]z zk (3-1)
2. 如果zk是X(z)zn-1的多重极点，如N阶极点，则有
n1
n1
Re s[ X ( z ) z
n 1
]z zk
1 k n 1 [( z z ) X ( z ) z ] z zk k N 1 ( N 1)! dz
1 z 由于 ， 故在z=a处有一极点(用“×” 1 1 az za
表示)，收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。
数字信号处理
第三章 Z变换
收敛域上函数必须是解析 的，因此收敛域内不允许有极 点存在。所以，注意：右边序 列的z变换如果有N个有限极点 z1, z2 ,zN 存 在 ， 那 么 收 敛 域一定在模值最大的有限极点 所在圆以外，也即
X ( z)
n
x ( n) z
n
x ( n) z
n 0
n
n
n x ( n ) z
1
|z|>Rx-
|z|<Rx+
Rx-<|z|<Rx+
(完整)拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换
傅立叶变换,拉普拉斯变换，Z变换的意义【傅里叶变换】在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合.在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加,从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。
傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号,那么给定一组周期值（或频率值）,我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。
这都是一个信号的不同表示形式。
它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。
幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位(频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。
第3章离散时间序列及其Z变换
n
f1 (n)
2 1 0 1 2
2 1 3
n
f 2 (n) 3 2 1
f1 (k ) 2 1 0 1 2 3 2 1
k
f 2 (k ) 3 2 1 0 1 2
0
1
2
n
f 2 (− k ) 3 2 1
k
-2 -1
0
k
1、置换 、
2、反褶 反褶
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
-3
-2 -1
0
1
2
3
4
n
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 1、单位抽样（脉冲）序列 δ (n) 、单位抽样（脉冲）
1 δ ( n) = 0
n=0 n≠0
1 δ (n − k ) = 0
n=k n≠k
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 2、单位阶跃序列u(n ) 、 ∞ n≥0 1 u( n) = , 也可表示为： u( n) = ∑ δ ( n − m ) 也可表示为： n<0 m=0 0 n≥ k 1 u( n − k ) = n<k 0
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 3、矩形序列 、
RN (n )
0 ≤ n ≤ N −1 1 RN ( n) = (其他 n） 0 RN ( n) = u( n) − u( n − N ) 或
信号处理及其应用：第3章 离散时间序列及其z变换
1 , 0 ,
n0 n0
Z[ (n)] (n)zn zn 1 z1 z2
2）右边序列 n<n1时，x（n）=0，是有始无终序列
17
x(n) {x(n) 0
n1 n n n1
X (z) x(n)zn
nn1
收敛域为以Rn为半径的圆外域
若n1≥0，即Rn<|z|≤∞;当n1=0，因果序列 若n1<0, 收敛域不包括z=∞，即Rn<|z|<∞。
18
3）左边序列
n>n2时，x（n）=0，是无始有终序列
n
11
X (z) Z [x(n)] x(n)z n
n
若换考，虑xa（Xt(）z) 是 Z因[x果(n)信] 号 ，x(n采)z用n 单边拉氏变
2）直接定义
n0
双边z变换 X (z) Z [x(n)] x(n)zn
单边z变换
n
X (z) Z [x(n)] x(n)zn
n0
z变换完成了离散信号由时域到z域的映射，z
|a|>1，序列发散；|a|<1，序列收敛。 a>0，序列值均为正；a<0，序列值正负 摆动。
4
5
5）斜变序列
r(n) n (n)
斜变序列与单位阶跃序列
n
r(n) (m 1) m0
(m 1) r(m) r(m 1)
6
6）正弦（余弦）序列
xn sin nw0
xn cos nw0
-π≤ω0≤π 或0≤ω0≤2π 3.1.3 序列的运算 1）相加及累加
z(n) x(n) y(n)
8
n
y(n) x(m) m
2）相乘与数乘
z(n) x(n) y(n)
3差分方程Z变换
第3章线性离散时间系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析3.1.1 差分方程3.1.2 差分方程的解A递推解B古典解C Z变换求解3.2 Z变换3.2.1 Z变换的定义3.2.2 Z变换的性质3.2.3 Z反变换A长除法B留数法C部分分式法3.3 离散时间系统的Z域分析3.3.1 零输入响应3.3.2 零状态响应3.3.3 完全响应3.4 Z传递函数及其求法3.4.1 Z传递函数的定义3.4.2 离散系统的运算3.4.3 由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化A对G(s)的讨论B对离散化方法的评价C 留数法D直接代换法E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法G部分分式法3.4.4 离散化方法小结3.5 线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系3.5.2 稳定判据3.6 线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法第3章 线性离散系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析3.1.1 差分方程在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u (k )与输出响应序列y (k )之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式1101101-1()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),...,(-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k y y y y y n y m n--+++-++++==+++-++++≥===≤有始性:初始条件:时间因果律: (2.1)或写成∑∑==-+--+=+m i nj j i j n k y a i m k u b n k y 01)()()(上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当00,b m n ≠=）以及此前若干个输入和输出值有关。
信号的拉普拉斯变换和z变换
⎰∞∞--=t e t f s F st b d )()(⎰∞--=0def d e )()(t t f s F st)(d e )(j 21)(j j deft s s F t f st επσσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞+∞-第三章信号的拉普拉斯变换和z 变换一、拉普拉斯变换的定义1.双边拉普拉斯变换只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
※象函数相同，但收敛域不同。
双边拉氏变换必须标出收敛域。
2.单边拉氏变换3.常见函数的拉普拉斯变换及其⎰∞+∞-=j j d e )(j21)(σσπs s F t f st b Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。
从0-开始收敛域二、拉普拉斯变换性质线性性质尺度变换证明：[]⎰∞--=de)()(tatfatf L st，则令atτ=时移特性与尺度变换相结合复频移（s域平移）特性时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)证明：()()()())(deedessFfttsft ftt f ststst+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='--∞-∞---∞-⎰⎰推广：()()[])0()0()()0(d)(d22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡fsfsFsffsF sttfL∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1)(1)0()(d)(d nrrrnnnfssFsttfL若f1(t)←→F1(s)Re[s]>σ1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>σ2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(σ1,σ2)若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0，且有实数a>0，则f(at)←→)(1asFa若f(t)<----->F(s),Re[s]>σ0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)ε(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>σ0若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,且有复常数s a=σa+jΩa,则f(t)e s a t←→F(s-s a),Re[s]>σ0+σas-→2：?)(sin ←→t t t ε=三、拉普拉斯逆变换三种方法：（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合∴......,,321为不同的实数根，n p p p p nn p s K p s K p s K s F -++-+-= 2211)(ip s i i s F p s K =-=)()()(e ]1[1t p s L t p i i ε=--若象函数F(s)是s 的有理分式，可写为1110111.......)(a s a s a s b s b s b s b s F n n n m m m m ++++++++=----若m ≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
差分方程Z变换
第3章线性离散时间系统的描述及分析差分方程及其时域分析3.1.1 差分方程3.1.2 差分方程的解A递推解B古典解C Z变换求解Z变换3.2.1 Z变换的定义3.2.2 Z变换的性质3.2.3 Z反变换A长除法B留数法C部分分式法离散时间系统的Z域分析3.3.1 零输入响应3.3.2 零状态响应3.3.3 完全响应Z传递函数及其求法3.4.1 Z传递函数的定义3.4.2 离散系统的运算3.4.3 由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化A对G(s)的讨论B对离散化方法的评价C 留数法D直接代换法E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法G部分分式法3.4.4 离散化方法小结线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系3.5.2 稳定判据线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法第3章 线性离散系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析3.1.1 差分方程在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u (k )与输出响应序列y (k )之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式1101101-1()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),...,(-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k y y y y y n y m n--+++-++++==+++-++++≥===≤K K 有始性:初始条件:时间因果律:或写成∑∑==-+--+=+m i nj j i j n k y a i m k u b n k y 01)()()(上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当00,b m n ≠=）以及此前若干个输入和输出值有关。
推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。
数字信号处理第三章习题解答
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
低通滤波 z变换 -回复
低通滤波z变换-回复低通滤波是数字信号处理中常用的滤波器类型之一，它被广泛应用于音频处理、图像处理和通信系统等领域。
在数字信号处理中，低通滤波可以帮助我们去除信号中高频部分，以保留信号中的低频成分。
为了更好地理解低通滤波器的原理和实现，我们需要先了解一些基础概念，比如连续时间信号和离散时间信号、时域和频域、z变换等。
在本篇文章中，我将逐步回答以下问题：1. 什么是连续时间信号和离散时间信号？连续时间信号是在连续时间区域内定义的信号，可以通过连续的时间变量来描述。
离散时间信号是在离散时间区域内定义的信号，仅在特定的时间点存在。
2. 什么是时域和频域？时域是指信号在时间上的变化，通常用时间函数表示。
频域是指信号在频率上的变化，通常用频率函数表示。
时域和频域是描述信号特性的两个重要视角。
3. 什么是z变换？z变换是将离散时间信号从时域转换到频域的一种数学工具。
它将离散时间信号表示为复数变量z的函数，类似于连续时间信号的拉普拉斯变换。
通过z变换，我们可以在频域中对离散时间信号进行分析和处理。
4. 低通滤波器的设计原理是什么？低通滤波器的设计目标是去除信号中高频成分，保留信号中的低频成分。
具体而言，滤波器需要对不同频率的信号进行幅度响应调整，使得低频信号通过滤波器时能够保持较大幅度，而高频信号则被削弱。
5. 低通滤波器的传递函数是如何表示的？低通滤波器的传递函数通常以H(z)的形式表示，其中z是复数变量。
H(z)描述了滤波器对信号的响应情况，包括幅度和相位。
6. 如何通过z变换来设计低通滤波器？通过z变换，我们可以将低通滤波器的传递函数表示为有理函数的形式，即H(z) = N(z)/D(z)，其中N(z)和D(z)分别是多项式函数。
通过调整多项式的系数，我们可以设计不同特性的低通滤波器，如阶数、截止频率等。
7. 低通滤波器的常见实现方法有哪些？低通滤波器的实现方法多种多样，常见的方法包括无限脉冲响应（IIR）滤波器和有限脉冲响应（FIR）滤波器。
拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换
傅立叶变换，拉普拉斯变换，Z变换的意义在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。
傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。
这都是一个信号的不同表示形式。
它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。
幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。
也就是说，用无数的正弦波采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。
第三章 Z变换(数字信号处理)
(3.7)
如果zk是N阶极点， 则根据留数定理
N 1 1 d n 1 N n 1 (3.8) R e s [( X z ) z , z ] [ ( z z ) X ( z ) z ] k k z z N 1 k ( N 1 ) ! d z
例 3.6 已知X(z)=(1-az-1)-1， |z|>a， 求其Z反变换x(n)。
此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
对比序列的傅里叶变换定义， 很容易得到FT和ZT 之间的关系， 用下式表示：
Xe (j ) Xz ( )z j e
(3.4)
式中z=e
jω表示在z平面上r=1的圆，
该圆称为单位圆。
(3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。 如果已知序列的Z变换， 可用(3.4)式， 很方便的求出
序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。
例 3.1 x(n)=u(n)， 求其Z变换。 解：
n Xz ( ) unz ( ) z n n n 0
X(z)存在的条件是|z-1|<1， 因此收敛域为|z|>1，
1 X(z) 1 z1
|z|>1
由x(z)表达式表明， 极点是z=1， 单位圆上的Z变
n n n n 1
n 2
0
n 2
n
第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=∞点 不收敛）。 第一项根据前式的论述，当
Z R
时收敛
因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域
例 3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。
n X (z) au ( n 1 )z a zn n n n n n n a z n 1 1
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N
a
z a
例题3-5
的z值来决定。 ROC由满足 |a|<和z0。 ROC除坐标原点外包括整个平面。 设N=10，a为实数且位于0和1之间，这时的零极 点见图3-10所示。即 Zk=aej(2 k/N)，k=0，1，2，3，…，N1 k=0时的零点，抵消了z=a的极点。
e
1
2a
z
2
11
an
1 (e 1 2 (e
a
cos 0 ) z
1
cos 0 ) z
e
2a
z
2
z e
a
几种序列的Z变换
12 rⁿsinn0u(n)
( r sin 0 ) z 1 2 ( r cos 0 ) z
1 1
|z|>|r|
2 2
r z
N
| az
1
|
n
n0
例题3-5
图3-10 aⁿRN(n) 的Z变换收敛域 (z0)和相应的 零极点分布（注： N=10，0<a<1）
表3-1 几种序列的Z变换
1 2 3 4 序列 δ(n) u(n) 变换 1
z z 1 z za 1 1 z 1 1 az
1
收敛域 全部Z
1
例题3-5
求有限长序列x(n)=aⁿRN(n)的Z变换及其ROC。 解：x(n)=aⁿRN(n)的Z变换为
X ( z ) Z [ x ( n )] z
n
a R N (n) z
1
n
n
N 1
( az z
1
)
n
1 ( az
)
N
n0
1 az
N
1
1
X (z)
n
x(n) z
n
（3-1）
Z[x(n)]＝X(z) 称为Z变换算子。
(3-2)
3.1 Z 变换
Z变换算子就是将序列x(n)转换为函数X(z)，
x(n) X ( z )
根据式(3-1)，只有当幂级数收敛时，X(z)才有
z
意义。
3.1 Z 变换
任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所
第三章
Z变换
Chapter 3 The Z-Transform
§ 3.1 z 变换 § 3.2 z 反变换 § 3.3 z 变换的性质
本章的主要内容 1、掌握z变换及其收敛域
2、会运用任意方法求z反变换
3、理解z变换的主要性质
第三章作业 习题3-1
（1）（2）（4）
习题3-2 （1） 采用长除法、围线积分法与部分分式法 求取 习题3-4
sin z 1 2z
1
1
sin( 0 )
2
|z|>1
cos 0 z
z
2 2
(z a)
1 (1 az
1
|z|>|a|
)
2
几种序列的Z变换
16 17
( n 1)( n 2 ) 2! ( n 1)( n 2 ) ...( n m ) m! a u (n)
3.1.4 左边序列的Z变换
图3-3 左边序列及其收敛域(n2>0 ，z=0除外)
3.1.5 双边序列的Z变换
当n为任意(正、负、零)值时，x(n)都有非零的 值，即为双边序列，可将其看成一个右边序列和 一个左边序列之和，即
X (z)
n
x(n) z
n
n
1
n
Z [ ( n )] ( n ) z
n
1 ；
ROC ： 0 | z |
故收敛域应是整个闭平面，即 ROC：0|z| 。 如图3-5。
例题3-1
图3-5 δ(n)的Z 变换收 敛域
例题3-2
求左边指数序列x(n)＝b ⁿu(n1)的Z变换X(z) 及其ROC。 解：左边序列的Z变换X(z)为
例题3-4
X ( z) x(n )z
n n
( b z
n n
1
n
) a z
n n0
n
1 1 bz
1
1 1 az
1
z zb
z z a
z(2 z a b) ( z a )( z b )
ROC: |a| < |z|< |b| 见图3-8。若令a = 1/3， b=1/2，则
n0
x(n) z
n
（3-6）
有限长序列的Z变换的收敛域为“有限Z平面”， 而 z的负幂级数存在一个收敛半径Rx，级数在以坐 标原点为中心，以Rx为半径的圆之外区域内任 何一点均绝对收敛。
3.1.2 右边序列的Z变换
Rx是收敛域的最小半径，X(z)的收敛域为ROC： Rx <|z|< ，如图3-2“灰色”所示。
x(n) z
n
n0
x(n ) z
n
（3-9）
3.1.5 双边序列的Z变换
双边序列的Z变换收敛域
ROC：Rx<|z|<Rx+， 这是一个简单的环状区域，如图3-4所示。
3.1.5 双边序列的Z变换
图3-4 双边序列及其收敛域
例题3-1
求序列x(n)＝(n)的Z变换X(z)及其ROC。 解：这是n1＝n2=0时的有限长序列，且
X (z) z ( z 1 / 12 ) ( z 1 / 3 )( z 1 / 2 )
例题3-4
ROC是环形域 1/3<|z|< 1/2， 如图3-9所示。 其中“○”表示 零点。
图3-8 aⁿu(n)bⁿu(n1)的收敛域
例题3-4
图3-9 a = 1/3，b=1/2时的双边序列与X(z)的收 敛域和相应的零极点分布
为什么要进行Z变换？
1、傅立叶变换并不是对所有信号序列都能 收敛
2、同拉氏变换在连续时间系统中的作用一 样，Z变换能把描述离散时间系统的差分 方程转化为简单的代数方程，极大地简化 了求解过程。
§ 3.1 Z 变换
Section 3.1 The Z-Transform
一个序列x(n)的Z变换定义为
X (z)
1 1 z
1
；
ROC ： | z | 1
例题3-3
图3-7 x(n)=aⁿu(n) 的收敛域
例题3-4
求x(n)=aⁿu(n) bⁿu(n1)的Z变换X(z)及其ROC。
解：这是一个双边序列，
b n， n 1 x(n) n a ， n 0
1 2
13 rⁿcosn0u(n)
1 ( r cos 0 ) z 1 2 ( r cos 0 ) z
1
|z|>|r|
2
r z
14 sin(n0+θ)u(n)
15 (n+1)aⁿu(n)
z sin z sin( 0 )
2
z
2
2 z cos 0 1
1
|z|>1 |z|>1
z e
a
z 2 z cos 0 1
2
1 z 1 2z
1
cos 0
2
cos 0 z
e e
an
cos n 0 u( n) cos n 0 u( n)
(e 1 2(e
a
a
sin 0 ) z
1
1
cos 0 ) z
a
另外，零、极点也可能出现在 z =0 或 z =。
3.1.1有限长序列的Z变换
有限长序列，是指在有限区间n1nn2内，序
列具有非零的有限值，在此区间外，序列值都为 零。 n2 n X ( z ) x(n) z （3-5）
n n1
若X(z)的每一项是有界的，级数就收敛，即 |x(n)z−n|< ，n1nn2，若x(n)是有界的， 即要求|z −n|< ，n1nn2。
X ( z ) Z [ x ( n )]
a u (n) z
n n
n
a z
n n0
n
( az )
n0
1 n
这也是一个无穷项的等比级数求和，为了使X(z) 收敛，必须要求|az1|<1，由此得到X(z)闭合
例题3-3
（接上）表达式
X (z)
( az
z
1
(1 az )
1 1 e
jn 0
1
jn 0
z ze
jn 0
8 9 10
sinn0u(n) cosn0u(n)
z sin 0 z 2 z cos 0 1
z z cos 0
2
z 1 2z
sin 0
2
1
cos 0 z
X (z) 1 1 1 b z
1
b z 1 b z
1
1
z zb
1 1 bz
1
例题3-2
图3-6 x(n) ＝b ⁿu(n1) 的收敛域
例题3-3
求右边指数序列x(n)=a ⁿu(n)的Z变换X(z)及其 ROC。 解：x(n)实际上为因果序列， Z变换X(z)为