高一数学函数单调性的性质

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高一数学必修一第三讲《函数的单调性与奇偶性》

注意：
①函数的奇偶性是函数的整体性质；
②定义域内的任意一个 x，则－x 也一定是定义域内的一个自变量
（即定义域关于原点对称）。
★★★利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定 f(－x)与 f(x)的关系；
③作出相应结论：
若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；
f (a2 1) f (a 1) 0 的实数 a 的取值范围.
家长签字：
第五讲函数单调性与奇偶性的复习一、必备基础
1.单调函数：增函数，减函数，单调性，单调区间 2.奇偶函数定义：奇偶函数图象性质
3.最值：设函数 y f x 定义域为 I，如果存在实数满足：①对于任意的 x I ，都有 f x M 。②存在 x0 I 使得 f x0 M ，那么称函数 y f x 有最大值为 M。
2、画出反比例函数 y 1 的图象。 x
（1）这个函数的定义域是什么？（2）它在定义域上的单调性是怎样的？证明你的结论。
家长签字：
第3页共8页
一、偶函数
暑期预科:函数
第四讲奇偶性
勤动笔，多思考！各位，加油！！
画出函数 f (x) x 2 和函数 f (x) | x | 的图象，思考并讨论以下问题：
你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y f (x) 的最小值 (min imum value ）的定义吗？例 5、求函数 f (x) x 1 在区间 (0,2) 上的最小值。
x
第2页共8页
暑期预科:函数
勤动笔，多思考！各位，加油！！
例
6、已知函数
y
2（ x 1

高一数学函数单调性讲解

高中数学必修一函数——单调性考纲解读：了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。

能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。

利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。

掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。

知识要点：1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用一、单调性的定义（1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间（2）设函数)(x f y =的定义域为A如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。

二、函数单调性的证明重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（1）定义法求单调性函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；定义法判断单调性：如果用定义证明)(x f y =在某区间I 上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号（关键化成因式的乘积）；④下结论。

高一数学单调性知识点总结

高一数学单调性知识点总结在高中数学学习中，单调性是一个非常重要的概念。

单调性可以帮助我们理解函数的增减趋势以及函数图像的形状。

在本文中，我们将总结高一数学中与单调性相关的知识点，并探讨其应用。

一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减趋势。

具体来说，我们可以分为递增和递减两种情况进行讨论。

1. 函数的递增性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)<f(b)，那么我们称函数为递增函数。

简单来说，递增函数的函数值随着自变量的增大而增大。

通过求导可以帮助我们判断函数的递增性。

如果函数的导数大于零，则函数递增；如果导数小于零，则函数递减；如果导数等于零，则函数在该区间内的单调性不确定，需要进行进一步的分析。

2. 函数的递减性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)>f(b)，那么我们称函数为递减函数。

递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。

二、函数图像的单调性分析在图像上观察函数的单调性，可以通过以下几个方面来判断。

1. 函数图像在某个区间内递增或递减通过观察函数图像，在某个区间内如果图像整体上升，则该区间内函数递增；如果图像整体下降，则该区间内函数递减。

2. 函数图像在特定点的切线斜率通过求导函数，可以得到函数的导函数。

根据导函数的正负性，可以判断函数图像在特定点的切线斜率的正负。

如果导函数大于零，则函数图像在该点的切线斜率大于零，即函数递增；如果导函数小于零，则函数图像在该点的切线斜率小于零，即函数递减。

3. 函数图像的拐点与极值点在函数图像上，拐点和极值点可能对函数的单调性产生影响。

如果在拐点或极值点的左侧函数递增，在右侧函数递减，或者相反，那么拐点或极值点就是函数单调性发生改变的点。

三、应用举例单调性是数学中的一个重要概念，有许多实际应用。

1. 市场需求曲线在经济学中，市场需求曲线通常被认为是递减函数。

这意味着当商品价格上涨时，需求量下降；当价格下降时，需求量增加。

3.2.2函数的基本性质单调性与最大(小)值课件高一上学期数学人教A版

问题1：已知函数y=x2+2x-3 ,且x [-03，，-22],
求函数的最值．
y
解：因为由图易知:对称轴
x0= -1[0，2]
f(x)在区间[0，2]上
-10 1 2
x
单调递增。
所以：ymin= f(0)= -3 ymax= f(2)= 5
答：函数的最小值为-3，最大值为5
例三：二次函数在闭区间上的最值
y f (x)
2 O 6
11
x
例5已知函数 f (x) 2 (x [2, 6]),求函数f (x) x 1
的最大值和最小值.
y
2
0.5
02
6x
猜想证明运用(结论)
证明: 设任意 x1, x2 [2, 6], 且 x1 x2 , 则
22
f
(x1)
f
(x2 )
x1
1
x2
1
2[(x2 1) (x1 1)] 2(x2 x1) . (x1 1)(x2 1) (x1 1)(x2 1)
h(t) 4.9(t 14.7 )2 4 (4.9) 18 14.72
2 (4.9)
4 (4.9)
当 t 14.7 1.5 时,函数h(t)有最大值 2 (4.9)
h(t ) max
h(1.5)
4 (4.9) 18 14.72 4 (4.9)
2.9
于是, 烟花冲出后 1.5s 是它爆裂的最佳时刻这时距地面的高度约为 29 m.
例三：二次函数在闭区间上的最值
问题3:已知函数y=x2 +2x-3,且x[-2，2],
求函数的最值.
解：因为由图易知：对称轴
x0=-1 [-2，2] 所以 ymin= f(-1) = -4 ;

高一数学人必修件时函数的单调性

单调递减
对于函数$f(x)$，在区间$I$内，若对任意$x_1, x_2 in I$，当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) geq f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$上单调递减。
判定方法及性质
01
02
判定方法：通过求导或差分来判断函数的单调性。若函数在某区间内导数（或差分）大于0，则函数在该区间内单调递增；若导数（或差分）小于0，则函数在该区间内单调递减。
拓展延伸：其他类型函数单调性探讨
分段函数的单调性
复合函数的单调性
分段函数在不同区间内的单调性可能不同，需要分别讨论。
复合函数的单调性取决于内外函数的单调性，遵循“同增异减”的原则。
抽象函数的单调性
高次函数和三角函数的单调性
对于抽象函数，可以通过给定的性质或条件来判断其单调性。
典型例题分析与解答
例题2
求函数$y = cos(x^2 - 2x)$的单调递减区间。
分析
由于余弦函数在$[0, pi]$内单调递减，因此我们需要找到满足$0 leqslant x^2 - 2x leqslant pi$的$x$的取值范围。
解答
解不等式得$x^2 - 2x geqslant 0$和$x^2 - 2x leqslant pi$，解得$x leqslant 0$或$x geqslant 2$，且$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 leqslant 1 + pi$，所以函数$y = cos(x^2 - 2x)$的单调递减区间为$[ sqrt{1 + pi}, 0] cup [2, 1 + sqrt{1 + pi}]$。
02
余切函数$y = cot x$在区间 $[kpi, kpi + pi]$（$k in mathbf{Z}$）内单调递减。

高一数学已知单调性知识点

高一数学已知单调性知识点在高中数学课程中，单调性是一个重要的概念。

它在解决函数的最大值、最小值以及方程的根等问题时扮演着重要的角色。

在本文中，我们将介绍高一数学课程中已知的一些与单调性相关的知识点。

一、函数的单调性定义在讨论函数的单调性之前，我们首先需要了解函数的单调性是如何定义的。

对于一个定义在区间上的函数f(x)，如果满足对于任意的x₁和x₂(x₁<x₂)，都有f(x₁)≤f(x₂)或者f(x₁)≥f(x₂)，那么我们称函数f(x)在区间上是单调递增的或者单调递减的。

如果对于任意的x₁和x₂(x₁<x₂)，都有f(x₁)<f(x₂)或者f(x₁)>f(x₂)，则我们称函数f(x)在区间上是严格单调递增的或者严格单调递减的。

二、函数的单调性判定1. 导数法在高一数学中，我们学习了求函数的导数的方法。

利用导数，我们可以判断函数的单调性。

对于一个在开区间(a,b)上可导的函数f(x)，如果f'(x)>0，那么函数f(x)在区间(a,b)上是单调递增的；如果f'(x)<0，那么函数f(x)在区间(a,b)上是单调递减的。

2. 函数图像法除了利用导数，我们还可以通过观察函数的图像来判断其单调性。

当我们观察函数图像时，如果图像上的任意两点，连接这两点的线段都与x轴的正方向成锐角或者直角，那么函数在这一段区间上是单调递增的；如果连接这两点的线段都与x轴的正方向成锐角或者钝角，那么函数在这一段区间上是单调递减的。

三、单调性定理在高一数学中，我们学习了一些与函数的单调性相关的定理，其中最重要的是费马定理和罗尔定理。

1. 费马定理费马定理是关于函数极值的一个重要定理。

如果函数f(x)在[a,b]上是单调递增的，并且在(a,b)内可导，那么对于任意的[c,d]⊂(a,b)，函数f(x)在[c,d]的极值点唯一，且必然在端点处取得。

2. 罗尔定理罗尔定理是关于函数根的一个重要定理。

【高中数学考点精讲】考点一函数的单调性的判断

考点08 函数单调性与最值1、函数单调性的判断方法（1）定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。

（2）性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有①为增函数，②为增函数，③为减函数，④为减函数。

（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。

由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数随着的增大而增大随着的增大而增大随着的增大而减小随着的增大而减小增函数增函数减函数减函数2、函数单调性的应用（1）比较大小．比大小常用的方法是①利用单调性比大小；②搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；③数形结合比大小。

注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。

（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．（3）利用函数单调性求参数的取值范围．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。

3.2.1函数的性质单调性说课课件高一上学期数学人教A版

……
只要x1 x2,就有f (x1) f (x2 )
六、教学过程
情境创设
思考: 这里对x1, x2有什么要求？只取 0，上的某些数是否可以？请举例说明
六、教学过程画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：
情境创设
当x≥0时,y随x的增大而增大
y
x
… 1 2 3 4…
f (x) = x2 … 1 4 9 16 …
学情分析教学目标教学重难点教学方法教学过程板书设计教学反思
四、教学重难点
重点：函数单调性定义的符号语言刻画。
难点：归纳函数单调性的定义及用定义证明函数的单调性。
学情分析教学目标教学重难点教学方法教学过程板书设计教学反思
五、教学方法
教师为主导
启发引导点拨
通过活动创设情境
y
y x 1
y x2 y
O
x
O
x
增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数的单调性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质. 一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单调性.
六、教学过程
概念剖析
六、教学过程
例题解析
例题探究---证明函数的单调性例1. 根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.
当x从1增到2, f (x)则从1增大到4;
O
x
当x从2增到3, f (x)则从4增大到9; 当x从3增到4, f (x)则从9增大到16;
……
思考: 你觉得更严格的表达应该是怎样的？
六、教学过程画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：

高一数学单调性反函数

黄冈中学高一数学函数的单调性反函数1、函数的单调性:（1）设函数y=f(x)的定义域是M ，区间D 是M 的一个子集，若对于当x 1＜x 2时，恒有f(x 1)＜f(x 2)成立，则称函数y=f(x)在区间D 上是单调递增函数．（2）设函数y=f(x)的定义域是M ，区间D 是M 的一个子集，若对于当x 1＜x 2时，恒有f(x 1)＞f(x 2)成立，则称函数y=f(x)在区间D 上是单调递减函数．（3）单调函数：单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数.若y=f(x)在区间D 上为单调函数，则称D 是这个函数的单调区间．2、单调函数的基本性质:（1）y=f(x)在区间I 上是单调递增（减）函数，c ，d 都是常数，则y=cf(x)+d 在I 上也是单调函数．若c ＞0，y=cf(x)+d 在I 上是单调递增（减）函数；若c ＜0，y=cf(x)+d 在I 是单调递减（增）函数．（2）若函数y=f （x ）与y=g （x ）在区间I 上同为单调递增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在I 上也是单调递增（减）函数．（3）u=g(x)在区间(a,b)上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a),g(b))(或(g(b), g(a)）)上为增（减）函数，则y=f(g(x))在（a ，b ）上为增函数．（4）u=g(x)在（a ，b ）上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a)，g(b))(或（g(b)，g(a)））上为减（增）函数，则y=f(g(x))在（a ，b ）上为减函数．3、一次函数，反比例函数和二次函数的单调性函数 y=ax＋b(a≠0)y=(a≠0) y=ax 2＋bx ＋c(a≠0) 单调区间 (－∞,＋∞)(－∞,0) (0,＋∞) (－∞,－] [－,＋∞) 单调性 a>0 增函数减函数减函数减函数增函数 a<0 减函数增函数增函数增函数减函数4、反函数的概念：（1）只有自变量x 与其对应的函数值y 是一一对应的函数才存在反函数，反函数的对应法则是原函数对应法则f 的逆对应，反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，即点（a，b）在y=f(x)的图象上，则点（b，a）必在y=f－1(x)图象上.（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．5、反函数的性质:（1）y =f－1(x)是y=f（x）的反函数，则y=f（x）也是y =f－1(x)的反函数，即y=f(x)和y =f－1(x)互为反函数．（2）函数y=f(x)存在反函数的充要条件是函数y=f(x)是定义域到值域的一一映射．（3）函数y=f(x)和反函数y =f－1(x)的定义域，值域互换，即函数y =f－1(x)函数y=f(x)定义域 A C值域 C A6、互为反函数的图象关系:函数y=f(x)的图象和它的反函数y =f－1(x)的图象关于直线y=x对称．7、反函数与原函数的其它性质和联系:1）反函数与原函数 f[f-1(x)]=x，f－1[f(x)]=x注：f－1 [f－1(x)]）并不是反函数的反函数，而是y=f－1(x)与自身形成的复合函数，谨防出现f－1 [f－1(x)]=f(x)的错误作法.（2）反函数与单调性:如果函数y=f(x)有单调性，则反函数y=f－1(x)也有与y=f(x)一致的单调性，即y=f(x)在[a，b]上为增函数，则y=f－1(x)在[f(a)，f(b)]上为增函数；y=f(x)在[a，b]上为减函数，则y=f－1(x)在[f(b)，f(a)]上为减函数．8、复合函数的单调性::复合函数y=f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即f(u)与g(x)若具有相同的单调性，则f[g(x)]必定是增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必定是减函数，讨论复合函数单调性的步骤是：（1）求出复合函数的定义域；（2）把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其定义域；（3）把中间变量的变化范围转化为自变量的变化范围；（4）根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.三、方法指导1、判定函数单调性的方法:（1）定义法：根据函数单调性的定义进行证明，其步骤如下：第一步：取值．即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.第二步：作差变形．即作差f(x1)-f(x2)，并通过因式分解，配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．第三步：定正负．确定差f(x1)-f(x2)的正负，当正负不确定时，可以进行分区间讨论．第四步：判断．根据定义作出结论．即“取值——作差变形——定正负——判断”这几个步骤．（2）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性．如一次函数，二次函数，反比例函数的单调性均可直接说出，注意了解以下一些结论，对于直接判断函数的单调性有好处：①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反．②当f(x)恒为正或恒为负时，函数的单调性相反．③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等．（3）图象法：根据函数的图象进行判断．例1、讨论函数（x>0）的单调性.例2已知f(x)=8+2x-x2， g(x)=f(2-x2)，试求g(x)的单调区间．例3、已知函数（－5≤x≤0），点P（－2，－4）在它的反函数的图象上.（1）求f(x)的反函数f－1（x）；（2）证明f－1（x）在其定义域上是减函数.例4、求函数的值域例5、已知函数y=kx＋b的图象过(1，2)点，它的反函数f-1(x)的图象过(4，0)点，求函数f(x)的解析式.例6、设f(x)的定义域为（0，＋∞），且对一切x、y>0，都有=f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的单调性并证明；（3）若f(6)=1，解不等式.。

高一数学函数的单调性

1．3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性Q 情景引入ing jing yin ru德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线．如下图：这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了．这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”．通过这条曲线能说明什么数学问题呢？X 新知导学in zhi dao xue1．增函数和减函数知识点拨] (1)函数f (x )在区间D 上是增函数，x 1，x 2∈D ，则x 1<x 2⇔f (x 1)<f (x 2)．(2)函数f (x )在区间D 上是减函数，x 1，x 2∈D ，则x 1<x 2⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调性(1)定义：如果函数y ＝f (x )在区间D 上是__增函数__或__减函数__，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的__单调区间__.(2)图象特征：函数y ＝f (x )在区间D 上具有单调性，则函数y ＝f (x )在区间D 上的图象是上升的或下降的．[归纳总结] 基本初等函数的单调区间如下表所示：Y 预习自测u xi zi ce1．函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是减函数，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1＜x 2，则有( B ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＞f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．以上都有可能[解析] 因为函数y ＝f (x )在(a ，b )上是减函数，且x 1<x 2，所以f (x 1)>f (x 2)，故选B ． 2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( B ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2[解析] 分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B ．3．若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有 f (a )－f (b )a －b>0成立，则必有( A )A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )是先增后减D ．函数f (x )是先减后增[解析] 由单调性的定义可知，对任意两个不相等的实数a 、b ，总有f (a )－f (b )a －b >0成立，则f (x )在R 上是增函数，故选A ．4．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为__f (a 2－a ＋1)≤f (34)__.[解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，又∵f (x )在区间(0，＋∞)上为减函数， ∴f (a 2－a ＋1)≤f (34)．5．判断并证明函数f (x )＝－1x ＋1在(0，＋∞)上的单调性．[解析] 函数f (x )＝－1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝(－1x 1＋1)－(－1x 2＋1)＝－1x 1＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2.由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨利用图象求函数的单调区间典例1 如图为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．[思路分析] (1)函数f (x )在D 上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？ (2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？[解析] 函数的单调增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．『规律方法』函数单调区间的求法及表示方法(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．(3)区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．〔跟踪练习1〕据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．[解析] 由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间为[－1,0)，(0,1]．命题方向2 ⇨用定义证明函数的单调性典例2 利用函数单调性的定义证明f (x )＝1－x 在(－1,1)上单调递减．[思路分析] 利用减函数的定义来证明，其关键是对f (x 1)－f (x 2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式．[解析] 设－1<x 1<x 2<1，∴f (x 1)－f (x 2)＝1－x 1－1－x 2 ＝(1－x 1－1－x 2)(1－x 1＋1－x 2)1－x 1＋1－x 2＝x 2－x 11－x 1＋1－x 2.∵x 1<x 2，所以x 2－x 1>0.又1－x 1＋1－x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，故函数f (x )＝1－x 在(－1,1)上单调递减．『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：2．用定义证明函数单调性时，作差f (x 1)－f (x 2)后，若f (x )为多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f (x )是分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f (x )解析式是根式，则先“分子有理化”再分解因式．〔跟踪练习2〕(1)用函数单调性定义证明函数f (x )＝2x 2＋4x 在(－∞，－1]上是单调减函数； (2)用函数单调性定义证明，函数y ＝2xx ＋1在(－1，＋∞)上为增函数．[证明] (1)设x 1<x 2≤－1，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 21＋4x 1)－(2x 22＋4x 2)＝2(x 21－x 22)＋4(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)．∵x 1<x 2≤－1， ∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－1]上是减函数．(2)设x 1>x 2>－1，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， y 1－y 2＝2x 1x 1＋1－2x 2x 2＋1＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，∴y 1>y 2，∴函数y ＝2xx ＋1在(－1，＋∞)上为增函数．命题方向3 ⇨单调性的应用典例3 已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，且f (3a －7)>f (11＋8a )，求实数a 的取值范围．[思路分析] 根据函数的单调性定义可知，由两个自变量的大小可以得到相应的函数值的大小，反之，由两个函数值的大小也可以得到相应自变量的大小．[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的增函数，且f (3a －7)>f (11＋8a )， ∴3a －7>11＋8a ， ∴a <－185， ∴实数a 的取值范围是(－∞，－185)．『规律方法』利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f ”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．〔跟踪练习3〕已知函数g (x )是定义在R 上为增函数，且g (t )>g (1－2t )，求实数t 的取值范围． [解析] ∵g (x )在R 上为增函数，且g (t )>g (1－2t )， ∴t >1－2t ，∴t >13，即所求t 的取值范围为(13，＋∞)．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi对单调区间和在区间上单调两个概念理解错误典例4 若函数f (x )＝x 2＋2ax ＋4的单调递减区间是(－∞，2]，则实数a 的取值范围是__－2__.[错解] 函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝－a ，由于函数在区间(－∞，2]上单调递减，因此－a ≥2，即a ≤－2.[错因分析] 错解中把单调区间误认为是在区间上单调．[正解] 因为函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2]，且函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝－a ，所以有－a ＝2，即a ＝－2.[警示] 若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子区间上也是单调的，因此f (x )在区间A 上单调增(或减)和f (x )的单调增(或减)区间为A 不等价．X 学科核心素养ue ke he xin su yang抽象函数单调性的判断与证明所谓抽象函数，一般是指没有给出具体解析式的函数，研究抽象函数的单调性，主要是考查对函数单调性的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采用定义法．典例5 设f (x )是定义在R 上的函数，对m ，n ∈R ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )(f (m )≠0，f (n )≠0)，且当x >0时，0<f (x )<1.求证：(1)f (0)＝1； (2)x ∈R 时，恒有f (x )>0； (3)f (x )在R 上是减函数．[思路分析] (1)可通过赋值求f (0)；(2)可通过f (0)＝f [x ＋(－x )]＝f (x )·f (－x )证明f (x )>0；(3)利用定义可证明函数的单调性．[解析] (1)根据题意，令m ＝0，可得f (0＋n )＝f (0)·f (n )， ∵f (n )≠0，∴f (0)＝1.(2)由题意知x >0时，0<f (x )<1；当x ＝0时，f (0)＝1>0；当x <0时，－x >0，∴0<f (－x )<1.∵f [x ＋(－x )]＝f (x )·f (－x )， ∴f (x )·f (－x )＝1， ∴f (x )＝1f (－x )>0. 故x ∈R 时，恒有f (x )>0.(3)设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]－f (x 1)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]．由(2)知f (x 1)>0，又x 2－x 1>0，∴0<f (x 2－x 1)<1，故f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x )在R 上是减函数．『规律方法』一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f (x ＋y )”型[即给出f (x ＋y )所具有的性质，如本例]，二是“f (xy )”型．对于f (x ＋y )型的函数，只需构造f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]，再利用题设条件将它用f (x 1)与f (x 2－x 1)表示出来，然后利用题设条件确定f (x 2－x 1)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f (x 2)与f (x 1)的大小关系；对f (xy )型的函数，则只需构造f (x 2)＝f (x 1·x 2x 1)即可．K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，其增区间是( C )A ．[0,1]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4][解析] 结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]． 2．已知f (x )＝(3a －1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( B ) A ．(－∞，13)B ．(13，＋∞)C ．(－∞，13]D ．[13，＋∞)[解析] f (x )＝(3a －1)x ＋b 为增函数，应满足3a －1＞0，即a ＞13，故选B ．3．(2019·山东潍坊市高一期中测试)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，若a ∈R ，则( D )A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )[解析] ∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴f (a 2＋1)<f (a )．4．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是__(－∞，1)和(1，＋∞)__.[解析]由图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．5．求证：函数f(x)＝1x2在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数．[证明]对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝(x2－x1)(x2＋x1)x21x22.因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，x21x22＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以函数f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1)x21x22.因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x2＋x1＞0，x21x22＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．A级基础巩固一、选择题1．下列命题正确的是(D)A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数C．若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为减函数D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)<f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1<x2[解析]A错误，x1，x2只是区间(a，b)上的两个值，不具有任意性；B错误，无穷并不代表所有、任意；C错误，例如函数y＝1x－1在(－∞，1)和(1，＋∞)上分别递减，但不能说y＝1x－1在(－∞，1)∪(1，＋∞)上递减；D正确，符合单调性定义．2．如图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上不单调[解析] 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接． 3．函数y ＝－x 2的单调减区间为( C ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[解析] 根据二次函数y ＝－x 2的图象可知函数y ＝－x 2的单调递减区间为(0，＋∞)． 4．(2019·河北沧州市高一期中测试)在区间(－∞，0)上为增函数的是( C ) A ．y ＝－2x ＋2 B ．y ＝1xC ．y ＝－|x |＋1D ．y ＝－x 2－2x[解析] 函数y ＝－2x ＋2是减函数，y ＝1x 在(－∞，0)上是减函数，y ＝－x 2－2x ＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1]上是增函数，在(－1,0)上是减函数，只有函数y ＝－|x |＋1在(－∞，0)上是增函数，故选C ．5．定义在R 上的函数，对任意的x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( A )A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2)[解析] 对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A ．6．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[解析] 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C ．二、填空题7．函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是__[－1，＋∞)__.[解析] ∵函数f (x )＝1x ＋1的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又∵函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，∴(a ，＋∞)⊆(－1，＋∞)，∴a ≥－1. 8．函数f (x )＝－2x 2＋4x －3的单调递增区间为__(－∞，1]__.[解析] f (x )＝－2x 2＋4x －3的图象是开口向下，对称轴为x ＝1的抛物线，∴其单调递增区间为(－∞，1]．三、解答题9．求证函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．[证明] 任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2.因为2<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数．B 级素养提升一、选择题1．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (2x )>f (1)的实数x 的取值范围是( D ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(12，＋∞)D ．(－∞，12)[解析] ∵f (x )在R 上为减函数且f (2x )>f (1)． ∴2x <1，∴x <12.2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( D )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定[解析] ∵x 1，x 2不在同一单调区间内，∴大小关系无法确定．3．已知函数y ＝ax 和y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( A )A ．减函数且f (0)＜0B ．增函数且f (0)＜0C ．减函数且f (0)＞0D ．增函数且f (0)＞0[解析] ∵y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)都是减函数，∴a ＜0，b ＜0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a ＜0，故选A ．4．下列有关函数单调性的说法，不正确的是( C )A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数[解析] 若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )的增减性不确定．例如f (x )＝x ＋2为R 上的增函数，当g (x )＝－12x 时，则f (x )＋g (x )＝12x ＋2为增函数；当g (x )＝－3x ，则f (x )＋g (x )＝－2x ＋2在R 上为减函数，∴选C ．二、填空题5．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为__[0，32]__. [解析] y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x (x ＞0)x 2－3x (x ≤0).作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，32]．6．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是__(－∞，40]∪[64，＋∞)__.[解析] 对称轴为x ＝k 8，则k 8≤5或k 8≥8，得k ≤40或k ≥64. 三、解答题7．用函数单调性的定义判断函数f (x )＝ax ＋1x ＋2(a <12)在(－2，＋∞)上的单调性． [解析] 证明： f (x )在(－2，＋∞)上是减函数．∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)－2a ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2，任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝(a ＋1－2a x 1＋2)－(a ＋1－2a x 2＋2)＝1－2a x 1＋2－1－2a x 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵－2<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0，∵a <12，∴1－2a >0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(－2，＋∞)上是减函数．8．已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1－1<2a －1<1，解得0<a <1.① 又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a >2a －1，即a <23.② 由①②可知，0<a <23. 即所求a 的取值范围是(0，23)． 9．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.(1)求f (2)的值；(2)解不等式f (m －2)≥3.[解析] (1)f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1，又f (4)＝5，∴f (2)＝3.(2)由(1)知f (2)＝3，∴原不等式可化为f (m －2)≥f (2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤2m －2＞0，∴2＜m ≤4. ∴不等式的解集为{m |2<m ≤4}．。

高一数学函数单调性的性质

2
（1）求证：f ( x)是R上的增函数；
（2）若f (4) 5，解不等式f (3m m 2) 3
；
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来到集市上，我摆上新鲜的蔬菜。三三两两的人开始光顾我的菜摊儿，渐渐地人越来越多，他们观赏起每一样新鲜的蔬菜来。有的人拿起圆圆的大菜椒看来看去，也有的人拿起长长的辣椒脸上露出疑惑不解的神态。村里的马老爷子却拿起又嫩又鲜的蒜薹好奇地问：“苏林，这蒜薹是哪儿来的？这样的季节怎么会有这种又鲜又嫩的蔬菜？” 说起马老爷子，他是我们这一带最早的中学教师，教过一级又一级的山里孩子，我也跟他上过三年高中，深知他的为人。俗话说秀才不出门全知天下事，马老爷子见多识广，为人正直，大家都很尊敬他。我看着马大伯，所有人的眼光却投向了我，期待我的回答。 “马大伯，你是中学教师，想必你一定知道冷库的储存与保鲜作用„„” 马老爷子立即打断了我的话，发自肺腑的感叹，“只在书上看过，实物还是第一次见，真没想到冷库的保鲜效果如此得好，简直就像刚刚从地里打出来似的。” 马老爷子抽出一根蒜薹，用手折断放到嘴里慢慢地嚼了嚼，“好！味道不错，称上二斤!” 在马老爷子的带头下，人们开始各自称起他们需要的菜来，我顿时忙得不亦乐乎。妻子知道我是个门外汉，掌起称来远远不及她灵活，所以她让我去收钱，自己一个人应付起所有的顾客来。从谈菜价到称称，无论是对待年轻的还是上了岁数的，她总是面带微笑百问不厌，她的耐心使我感到她很伟大，她的胸怀很宽广„„ 这时，来了两个中年人，把摩托车停在菜摊儿前，他们急急火火地拿上了青椒、辣椒、芫荽和蒜薹等蔬菜，顺便打了个欠条递给我，骑上摩托车笑着对我说：“掌柜的，明天进货时要进些新鲜的南方菜我到集上去找你。” 还没等我回过神儿来，他们便驱车而去。 “摊上这样的大客户，你们要发大财了„„”突然有人叫了起来。我看看妻子，又看了看手中的欠条。 “把欠条收好，这人我认识，他是镇政府食堂的小杨，负责后勤工作„„这钱以后我跟他要„„”妻子跟他很熟，以前他经常买妻子的蘑菇。

高一数学函数单调性知识点

高一数学函数单调性知识点随着高中数学课程的深入，函数的概念成为重中之重。

而在函数中，单调性的概念也是非常重要的一个知识点。

掌握函数的单调性不仅可以帮助我们更好地理解和应用函数，还可以在解题过程中起到一定的指导作用。

下面，我们就来了解一下高一数学中关于函数单调性的知识点。

一、函数单调性的定义在介绍函数单调性之前，我们先来回顾一下函数的定义。

函数是两个集合之间的一种对应关系，通常用字母表示，比如f(x)。

数学上，我们把自变量的每个值称为定义域中的一个元素，而函数值称为值域中的一个元素。

函数的单调性指的是函数值的增减趋势。

如果一个函数在定义域上是递增的，那么我们称其为递增函数；如果一个函数在定义域上是递减的，那么我们称其为递减函数。

如果一个函数既不递增也不递减，我们称其为非单调函数。

二、函数单调性的判断方法1. 利用导数的符号判断函数的单调性高中数学中，我们常常通过求函数的导数来判断函数的单调性。

函数的导数是函数在某一点的变化率，可以帮助我们推断函数在该点的单调性。

具体的判断方法如下：- 若导数大于零，则函数递增；- 若导数小于零，则函数递减；- 若导数等于零，则函数在该点不增不减，可能是极值点。

通过这种方法，我们可以将函数图像分成若干个区间，在每个区间内判断函数的单调性。

2. 利用函数的一阶导数和二阶导数判断函数的单调性有些函数的导数难以求解，此时我们可以通过一阶导数和二阶导数的符号来判断函数的单调性。

具体的判断方法如下：- 若一阶导数大于零，而二阶导数小于零，则函数递减；- 若一阶导数大于零，而二阶导数大于零，则函数递增；- 若一阶导数小于零，而二阶导数小于零，则函数递增；- 若一阶导数小于零，而二阶导数大于零，则函数递减；通过这种方法，我们可以更加准确地判断函数的单调性。

三、函数单调性的应用1. 函数单调性在最值问题中的应用函数的单调性在求最值问题中经常被用到。

当我们需要求函数在某个区间上的最大值或最小值时，可以通过函数的单调性来限定最值的位置。

高一函数的性质知识点

高一函数的性质知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高一数学函数单调性的性质

只见这个这件怪物儿，一边狂舞，一边发出“吱吱”的异声……！猛然间月光妹妹高速地使了一套盘坐狂跳揍鸭蛋的怪异把戏，，只见她妙丽的透射着隐隐天香的玉白色腕花
中，萧洒地涌出五簇耍舞着⊙金丝芙蓉扇＠的城堡煤筋马状的弹头，随着月光妹妹的晃动，城堡煤筋马状的弹头像肥肠一样在双腿上华丽地组织出飘飘光罩……紧接着月光妹
，求不等式
例2数，求实数的取值范围.
例3 已知定义在R上的函数满足：对任
意 R，都有
，且当
时，
，试确定函数的单调性.
作业: P39 习题1.3A组：1，2，4.
1.3.1 单调性与最大（小）值第二课时函数单调性的性质
问题提出
1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什么？ 2. 增函数、减函数的图象分别有何特征？
3. 增函数、减函数有那些基本性质？
f (x)
知识探究（一）
对于函数 f (x)定义域内某个区间D上的任意两
个自变量的值 x1, x2 ,若当 x1 x2时，都有
知识探究（二）
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数 f (x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数 f ( x)的单调区间，此时也说函数 f (x) 在这一区间上是单调函数. 思考1：函数 f ( x) kx b 是单调函数吗？
思考2：函数 f ( x) | x | 在R上具有单调性吗？其单调区间如何？
(1)f (x1) f (x2 ) ,则称函数 f (x) 在区间D上是增函数；
(2)f (x1) f (x2 ) ,则称函数 f (x) 在区间D上是减函数.
思考1：对于函数 f (x)f(定x) 义域内某个区间D上的任意
两个自变量的值 x1, x2 (x1 x2 )，若 f (x1) f (x2) 0 ，

高一数学函数单调性的性质

知识探究（一）
思考2：若函数f (x)在区间D上为增
函数a， 0 为常数，则函数a f (x)
afx)在区间D上
都是增函数，则函数 f (x) g(x)、 f (x) g(x)在区间D上的单调性
能否确定？
问题提出
思考：函数 f (x) kx b 是单调函数吗
若 f (x1) f (x2 ) 0 ，
x1 x2
则函数 f (x)在区间D上的单调性如何？
若 f (x1) f (x2 ) 0 呢？
x1 x2
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；
走，心中有一份心安理得的坦然。。一种令人怅然以致走入恐惧的想像，像雾霭一般不可避免地缓缓升起，模糊了我们的来路和去处，令人不得不断然打住思绪。我们的生命，端坐于概率垒就的金字塔的顶端。面对大自然的鬼斧神功，我们还有权利和资格说我不重要吗？你的身体是跟随你终身的好朋友，在它那里，居住着你自己的灵魂。如果它粉碎了，你所有的理想都成飘萍。身体是会报复每一个不爱惜不尊重它的人的。如果你浑浑噩噩地摧残它，它就会冷峻地给你一点颜色看。一旦它衰微了，你将丧失聪慧的智力和充沛的体力，难以自强自立于世。。很多东西，不是因为它的价值高或是身世奇特我们才珍视它，是因为它其中蕴含了我们太多的心意和太久的眷恋。如果一个人把自己的血液和骨髓捐献出来帮助别人，那么这个人的一生就超越了自我，被放大成人类最美丽的故事，成为一种充满勇敢和友爱的慈悲。。我们有幸成为这颗星球上最高等智慧的人类当中的一员，我觉得有一种使命感，就是要把自己的生命充分利用起来。这些是什么人告诉我的？如果一定要说是谁告诉我的，那我想是严酷的自然告诉我的，对生命的一份短暂的珍贵。沙尘暴里也有鱼的种子 ?很多人衣橱里的婚纱还熠熠生辉,婚姻已被蠹出千疮百孔。到底哪

08.高一寒假数学讲义：函数的单调性(定义法、图象法、性质法)(应用)【讲师版】

高一寒假数学讲义“函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用）”学生姓名授课日期教师姓名授课时长这一部分知识一般是综合题中最基本的组成部分，先有正确的判断才会有后面一系列顺利的解题，所以相当重要。

函数的单调性1．函数的单调性我们把自变量在定义域中逐渐增加时，函数值逐渐增加(或减小)的性质叫做函数的单调性．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，则函数)(x f 在这个区间上是增函数。

这个区间叫做函数)(x f 的单调增区间．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f > 则函数)(x f 在这个区间上是减函数，这个区间叫做函数)(x f 的单调减区间．2．常见函数单调性的判断有关单调函数，我们还可以证明以下一些重要结论：(1)若函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )+g (x )在A 内是增(减)函数．(2)若两个正值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内也是增(减)函数．(3)若两个负值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内是减(增)函数．3．复合函数单调性的判断设有函数y =f (u ),及u =g (x ),则我们称形如y =f [g(x)]的函数是复合函数，例如32)(2-+=x x x f 以看作是由u y =和322-+=x x u 复合而成的复合函数，像这样的函数有很多，其中u =g (x )又称之为内层函数，y =f (u ),称之为外层函数．有关复合函数的单调性，我们很容易证明以下结论(证明留给读者自己完成)(见下表)。

高一数学函数单调性的性质

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高一数学 函数单调性讲解

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