3.4 随机变量的独立性与条件分布

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概率论与数理统计(随机变量的相互独立性)

即X与Y独立．
3.4 随机变量的相互独立性
反之，若X与Y独立，由于f(x,y)，fX(x)，fY(y)都是连续函数，故对所有的x,y，有
f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
特别，令 x 1, y 2，可以得到
1
1
2 1 2 1 2 2 1 2
从而 0.
☺课堂练习
已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
111 1
pij
6
9 18
3

(1) 求与应满足的条件; (2) 若 X 与 Y 相互独立,求与的值.
解：将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
(2) P{ X1 X2 1} D f ( x1, x2 )dx1d x2
x2
1
x1 x2 1 D
O
1

1 0
1 x2 0
1 9
e ( x1 x2 )/ 3
d
x1
d
x2
1 9
1 ex2 / 3 (
0
1 0
x2
e

x1
/
3
d
x1
)dx2
x1

9
18
3.4 随机变量的相互独立性
【例3.17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布，定义随机变量
1 当X Y为偶数 Z 0 当X Y为奇数
求Z的分布律，(X，Z)的分布律，并问X与Z是否独立？
解：由X与Y的分布律
X
0

§3.4相互独立的随机变量

故有b 1
9
可以验证此时有
p ij p ip j i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
因此，取 a=2,b1时 X 与 Y 相互独立 .
99
7
例3 设X和Y相互独立，其边缘分布律如下表，试求(X,Y)的联合分布律和P(X+Y=1)及 P(X+Y≠0).
X -2 -1 0 1/2 pi. 1/4 1/3 1/12 1/3
Y
-1/2 1
3
p.j
1/2 1/4 1/4
8
解：因X和Y相互独立，
应有 p i j p i p j i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2 ,3
故(X,Y)的联合分布律为
Y
-1/2
1
3
X
-2
1/8
1/16
1/16
-1
1/6
1/12
1/12
0
1/24
1/48
1/48
1/2
1/6
1/12
1
由二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的定义可知，二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的充要条件是：对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.
2
若(X,Y)是连续型随机变量,则上述独立性的定义等价于：若对任意的 x, y, 有
1 x2y2
f(x,y)2e 2
x,y
P {X2Y21} f(x,y)dxdy x2y21

1
x2 y2
e 2 dxdy
2 x2 y2 1
17

3.4 随机变量的独立性

则称X与Y 相互独立 . 它表明,两个随机变量相互独立时,它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论：（1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in

P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )

i3 ,i4 ,in

P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )

3.4多维随机变量的独立性

P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) P (Y y j )
则称X和Y相互独立.
例1
Y 0 2/9 0 1/9 1/3 1 1/9 2/9 0 1/ 3 2 0 1/9 2/9 1/3
X
0 1 2
p
X i
pi
1/3 1/3 1/3
p j
例2
Y
若X,Y具有联合分布率
xe ( x y ) , x 0, y 0 f (x, y) f X ( x) fY ( y) f ( x, y ) 故X,Y 独立 0 , 其它
问X和Y是否独立？
解：f X ( x )
0

xe
( x y )
dy xe x , x>0
y
fY ( y) xe
3. 若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：对任意的 x, y, 有
f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
几乎处处成立，则称X,Y相互独立 .
这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.
例3
设(X,Y)的概率密度为
一切x, y, 均有
15 45 60
y

x
xy
x
=1/2
1 dy ]dx 1800
40
10
0
15
45
x
1 [60 30 2(10 30 30 30 / 2)] 1800
解二：P(| X-Y| 5) 1 dxdy 1800 | x y | 5
y
60
40

概率论第三章第3,4节条件分布,独立性

1,2,
P X m， Y n q n2 p2 , n 2,3,; m 1,2,n 1
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第三章随机变量及其分布
§3条件分布
例3 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0 p 1),
1 f ( x, y) , x y x, f ( y | x ) 当0 x 1, Y | X 2x f X ( x) 其它。 0,
1 P{ X , Y 0} 1 2 ( 3) P{ X | Y 0} 2 P{Y 0} y
1 1 (1 ) 2 3 2 2 1 4 1 1 2
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第三章随机变量及其分布
§3条件分布
P{ X x , y Y y } FX |Y ( x | y ) lim 0 P{ y Y y }
F ( x , y ) lim [F ( x, y ) F ( x, y )]/ 2 y 0 d lim [ F ( y ) F ( y )] / 2 Y Y FY ( y ) 0 dy y x x f ( u, v )dudv f ( u, y )du y . fY ( y) fY ( y)
n 2
2
第三章随机变量及其分布
§3条件分布
在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布律为
当m=1,2,3,… 时，
P{Y n | X m}
P{ X m ,Y n} P{ X m }
p 2 q n 2 n m 1 pq , m 1 pq

概率论与数理统计3-4

1 当 0 x y , 0 y 20 200 f ( x, y ) 0 其他
20
O
20
x
图 3-12
求（1）给定 Y＝y 条件下, X 的条件概率密度；（2）给定 Y＝10 条件下, X≤5 的概率；（3）如果 Y＝20 件呢?
解: （1）
fY ( y )
f X |Y ( x | y ) f ( x, y ) fY ( y ) ；
同理，当 fX (x) >0 时，
fY |X ( y | x ) f ( x, y ) f X ( x) .
第3章连续型随机变量
3.4.1 连续性随机变量的条件分布密度与独立性
定义 3.8 设(X，是连续性随机变量，f ( x , y ) ，f X ( x ) ， Y)
f X ( z y ) f Y ( y ) dy ,
卷积公式
f X ( x ) f Y ( z x ) dx .
第3章连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
例 3.16 设 X 和 Y 独立, 有共同的概率密度
1 当 0 x 1 f ( x) 0 其他
z
2
1
f ( x , y ) dxdy . D＝{ (x, y): z y f ( x , y ) dx dy .
z f ( u y , y ) du dy
x+y ≤z }，

+
+

第3章连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
1 / f ( x, y ) 0 当x y 1

3.2条件分布与随机变量的独立性

3e3 ydy e3
1
19
例5 甲乙两人约定中午12:30分在某地会面. 如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布, 乙独立地到达, 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布, 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率, 又甲先到的概率是多少?
解由 X 与Y 独立性知
0
0, x 0
x0
ex , x 0
0, x 0
18
当 x 0时，有
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
xe x(1
ex 0
y)
y
y 0
0
xexy y 0
0 y0
(2)当 X 3时，有
P(Y 1 X 3)
1 fY|X ( y | 3)dy
的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.
X
Y y1 y2 y3 P{ X xi } pi .
x1
1/ 8
x2
1/ 8
P{ y yj } p j 1/ 6
1
解由于 P{ X x1,Y y1} P{Y y1} P{X x2 ,Y y1} 1/ 6 1/ 8 1/ 24,
1 p• j
i 1
pij
p• j p• j
1
同样， P{Y y j | X xi }也具有这两点性质。
9
例2 设 X与Y的联合概率分布如右表.
求Y 0 时, X 的条件概率 X Y -1 0 2 分布以及 X 0 时, Y 的条件 0 0.1 0.2 0
概率分布;
1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若

3.4随机变量的独立性与条件分布

fY
( y)
2π
1
16
2
e
1[ 2
(
x
1 12
)2
(
y
2
2 2
)2
]
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又
f (x, y)
1
e
1 2 (1
2
)
(
x1 12
)2
2
(
x1 1
)
(
y
2
2
)
(
y
2
2 2
)2
2π1 2 1 2
故当ρ=0时，fX (x) fY ( y) f (x, y) 即X 和Y相互独立。
Px X x
2020年4月7日星期二
8
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lim 0
y
x x
f
(x,
y)dx
dy
x
x f X (x)dx
y
f (x, y)dy
fX (x)
y f (x, y) dy
f X (x)
称
f (x, y) fX (x)
为条件{X=x}的条件下Y的条件概率密度。记为:
反之，当X 和Y相互独立时，对所有的x和y，有
fX (x) fY ( y) f (x, y)
特别地，令 x 1, y 2
得到
1
1 从而ρ=0。
2π1 2 1 2 2π1 2
2020年4月7日星期二
7
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连续型随机变量的条件分布
定义:对任意给定的正数，若 Px X x 0 ，
且对任意实数 y ，极限

概率论教学课件第三章3.4随机变量的独立性

12 3 4 12 12
1 .
24
Y X
0
1
X0 1
P 21
33
01 2
11 1 3 4 12
11 1 6 8 24
Y 0 13
P 131
288
容易知道：当 1， 1 时,X与Y是相互独立的.
8
24
例3.9 设(X ,Y )的联合分布列为： XY 0 1 2
且X与Y相互独立，求和的值. 0
4
1
.
8 24
容易知道：当 1， 1 时,X与Y是相互独立的.
8
24
例3.10 设二维随机变量(X,Y )的联合概率密度为
4xy 0 x 1, 0 y 1
f (x, y)
0
,
其他
问X与Y是否相互独立？
解关于X, Y 的边缘概率密度分别为
fX
(x)
1 4 xyd y
0
2x,
一、随机变量的独立性设 X, Y是两个随机变量，若 x, y R,
事件 {X x}和{Y y}相互独立，
即: P (X x, Y y) P(X x) P(Y y) ，
则称 X与Y 相互独立 .
两事件A, B相互独立的定义：
. 若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A, B相互独立
2
R2 y2
R2
0,
其他
0,
， R y R, 其他
10
例3.11 设二维随机变量(X,Y)服从圆:
y
R
G (x, y) | x2 y2 R2
上的均匀分布，判断X与Y是否相互独立. R
Rx
R
解关于X与Y 的边缘概率密度分别为

3.2 条件分布与随机变量的独立性

的“独立性”？
二、随机变量的独立性
则称随机变量 X 和 Y 相互独立。若随机变量 X 和 Y 相互独立，则联合分布可由边缘分布唯一确定。
二、随机变量的独立性
定理1：随机变量 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 所生成的任何事件与 Y 所生成的任何事件相互独立，即对任意实数集 A 和 B，有
解：
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
解：
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
几乎处处成立，则称 X, Y 相互独立。注: 这里“几乎处处成立”的含义是: 在平面上除去面积为零的集合外, 处处成立。
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
例：甲乙两人约定中午12时30分在某地会面，如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布，乙独立地到达 , 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布，试求：先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率，又甲先到的概率是多少?
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
解 : （ 1）
y y y 0 e dx ye , = 0,
y0 其它
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
解 : （ 2）
（3）
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
解 : （ 3）
因此
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
作业:
解：设 X 为甲到达时刻, Y 为乙到达时刻, 以12时为起点, 以分为单位, 依题意,
即有由 X 与 Y 的独立性知
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
例：甲乙两人约定中午12时30分在某地会面，如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布，乙独立地到达 , 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布，试求：先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率，又甲先到的概率是多少?

高等数学3.4 随机变量的独立性与条件分布

2 3/15 3/15
0 1
(2) 由( X , Y ) 的联合分布律知 X 的边缘分布为 X P 0 1/15 1 10/15
由条件分布定义可知
P Y = 0 X = 0 = P Y = 1 X = 0 = P Y = 2 X = 0 =
P X = 0 , Y = 0 P X = 0 P X = 0 , Y = 1 P X = 0 P X = 0 , Y = 2 P X = 0
Y P
1 1/2
2 1/9 +α
3 1/18 +β
若X 与 Y 相互独立, 则有 1 = P X = 1, Y = 2 = P X= 1 9 1 1 = ( + ) 3 9 1 = P X = 1, Y= 3 = P X =1 18 1 1 = ( + ) 3 18
Y P = 2
dt
=
同理
x R
fY ( y ) =
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0 , 则对于任意实数 x 与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数 x与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
1 2
2
2 2 ( x ) ( x ) 2 2 1 1 + 2 2 1 1
y 2 ( x 1 ) x 1 1 = 2 2 1 2 1 2(1 ) 2
2
所以( X , Y )关于X的边缘密度为

随机变量的独立性及联合分布的定义及计算方法

随机变量的独立性及联合分布的定义及计算方法随机变量是统计学中一个重要的概念，指的是随机试验中可能取到的数值。

对于多个随机变量之间的关系，独立性和联合分布是常用的概念和方法。

本文将依次介绍随机变量独立性的定义和判定方法、随机变量的联合分布的定义和常见计算方法。

一、随机变量的独立性随机变量的独立性是指在给定条件下，多个随机变量之间不存在相关性，即一个随机变量的取值不会对其他随机变量的取值产生影响。

常用的判定方法包括：1. 互不影响如果两个随机变量之间互不影响，则这两个变量是独立的。

例如，投掷两个骰子，其中一个骰子的点数不会影响另一个骰子的点数，因此两个骰子的点数是独立的随机变量。

2. 相互独立如果多个随机变量之间的任意两个变量都是独立的，则这些随机变量是相互独立的。

例如，投掷三个骰子，每个骰子的点数都是独立的随机变量，因此三个骰子的点数是相互独立的随机变量。

3. 独立性定义下的概率乘法公式对于两个独立的随机变量X和Y，它们同时取到某个值的概率等于它们各自取到这个值的概率的乘积。

即P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)。

该公式也适用于多个独立的随机变量。

二、随机变量的联合分布多个随机变量的联合分布是指这些随机变量取值组合所对应的概率分布函数。

常用的计算方法包括：1. 联合分布函数对于两个随机变量X和Y，它们的联合分布函数定义为F(x,y)=P(X<=x,Y<=y)。

该函数可以用来计算任意两个随机变量的联合分布。

对于多个随机变量，联合分布函数的定义相应地拓展。

2. 联合概率密度函数对于连续型随机变量，它们的联合概率密度函数可以通过对应的联合分布函数求导得到。

即f(x,y)=∂^2 F(x,y)/∂x∂y。

该函数可以用来计算任意两个连续型随机变量的联合分布。

对于多个连续型随机变量，联合概率密度函数的定义相应地拓展。

3. 边缘分布和条件分布对于联合分布中的任意一个随机变量，我们都可以将它的概率分布函数单独计算出来，称为边缘分布。

条件分布及其独立性

分析
设(X Y)是连续型随机向量分布函数和密度函数分别为 F(x y)和f(x y) 我们希望考虑在Yy的条件下X的条件分布
由于{Yy}是一个零概率事件
P{X x|Y y} P{X x,Y y} P{Y y}
(328)
的分子、分母均为0 因而直接根据条件概率定义来考虑X的
(320)
对给定的x和y 如果事件{Xx}与事件{Yy}独立则有
此时
F(x y) P{Xx Yy}P{Xx}P{Yy} FX(x)FY(y)
F(x|Yy)FX(x)
(321)
一、条件分布与独立性的一般概念
条件分布函数对每个给定的实数x 我们记条件概率P{Xx|A}为F(x|A)
条件分布函数对每个给定的实数x 我们记条件概率P{Xx|A}为F(x|A)
并称F(x|A)(x)为在A发生的条件下X的条件分布函数设A{Yy} 且P{Yy}0 则有
F(x|Y y) P{X x,Y y} F(x,y) P{Y y} FY (y)
(1) pi|j 0 (2) pi| j 1 i
二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性
条件概率分布
设(X Y)是二维离散型随机向量其概率分布为
P{Xxi Yyj}pij i j1 2 则由条件概率公式当P{Yyj}0时有
P{X

xi |Yຫໍສະໝຸດ 1 x2 , π 0,
| x|1, 其他.
于是对一切x(|x|1) 有
fY|X (y| x)
f (x, y) fX (x)

2
1, 1 x2 0,
| y| 1 x2, 其他.
例38(2) 设(X Y)是在D{(x y)|x2y21}上服从均匀分布的随机向量求fX|Y (x|y)

随机变量的独立性,条件分布

随机变量的独立性,条件分布
一、随机变量的相互独立性二、离散型随机变量的条件分布三、连续型随机变量的条件分布四、小结
一、随机变量的相互独立性
随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.两随机变量独立的定义是：
1.定义2.6 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
P(X x,Y y) P(X x)P(Y y)
pX (x), pY ( y)分别是X 和Y 的边缘密度 .
证:
(, x](, y]
因为X与Y独立, 所以P(X x,Y y) P(X x)P(Y y)
即F(x, y)
x
y
du p(u, v)dv
x
pX (u)du
y
pY (v)dv
p(x, y) 2F (x, y) xy
p(x, y)
1
e 1 2(1 ρ
2
)
(
x
μ1 σ12
)
2
2
ρ
(
x
μ1 )( y σ1 σ2
μ2
)
(
y
μ2
σ
2 2
)
2
2σ1σ2 1 ρ2
pX
(x) pY
( y)
1 2πσ1
e
1 2
(
x μ1 σ12
)2
(
y
μ2
σ
2 2
)2
2
0
0
显然有 p(x, y) pX (x) pY ( y) 故X与Y相互独立.
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
定理若 (X,Y)是连续型r.v ,则上述独立性的定义等价于：

3.4 二维随机变量的独立性

对离散性和连续性随机变量，也可利用其分布律与概率密度来判定独立性.
(1) 若(X,Y)是离散型随机变量，则 X与Y相互独立的充要条件是：对(X,Y)的所有可能
取值 ( xi , yj ) ,有
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi } P{Y y j }
(2) 若(X,Y)是连续型随机变量，则 X与Y相互独立的充要条件是：
3.4 二维随机变量的独立性
回顾：事件A与B独立性 P(AB)=P(A)P(B)
定义3.4.1 设二维随机变量(X,Y),若对任意的x, y 有
P{X x,Y y} P{X x} P{Y y},
即
F ( x, y) FX ( x) FY ( y),
则称随机变量X与Y是相互独立的.
解一
P{|X-Y|≤5}= P{-5≤X-Y≤5}
1 45 x5
[
dy]dx
15 x5 1800
1 6
1 45 60
P{X<Y}= [
dy]dx
15 x 1800
1 2
解二 P{|X-Y|≤5}
1

dxdy
|XY|5 1800
被积函数为常数， 1
直接求面积

作业习题册： 3.3节：P24: 3； 3.4节：P25: 2,3,6
，15
30

x

45，
fY ( y)

1 ，0 60

y

60
0，其它
0，其它
由于X与Y相互独立，故
f ( x, y) 18100，15 x 45, 0 y 60, 0，其它

随机变量的独立性

在区域 G 中 f x, y fX x fY y
故 X ,Y不相互独立.
例5、
V U
0
1
0 1/3 1/3 2/3
1 0 1/3
1/3
1/3 2/3
U、V不相互独立。
例4 .设（X，Y）服从N（μ1，σ12；μ2，σ22；ρ ），
求边缘密度。
f (x, y)
1
exp{ 1 (( x 1 )2 2 x 1 y 2 ( y 2 )2 )}
有 P{X = xi，Y= yj}= P{X= xi}·P{Y= yi}
(X,Y)的联合分布律可用下列形式的联合分布表表示：
Y X
y1
x1
p11
x2
p21
：
：
y2 … yj
p12 … p 1j
p22 … p 2j
：
：
yj+1 … p 1j+1 … p 2j+1 …
：
xi
pi1
pi2 … pij
pij+1 …
例题1 (167 NO1)
设随机变量
X i～
1 1/4
0 1/2
1
1/4
且满足P{X1 X 2 0} 1, 则P{X1＝X2 }＝（
）
i 1, 2
（A）0；（B）1/4 (C) 1/2 (D) 1
例题 2 (P167 2)设两个随机变量X,Y 独立同分布， P{X＝－1}＝P{Y＝－1）}=1/2 ， P(X=1)=P(Y=1)=1/2,则下列各式中成立的是（）
依次类推可得
Y X
1
2
3
1 1/6 1/9 1/18
2 2/6 2/9 2/18

随机变量的独立性和条件概率分布

随机变量的独立性和条件概率分布是概率论中的重要概念，在很多领域都有广泛的应用。

独立性的概念是指两个或多个事件之间的关系，而条件概率分布则是指随机变量在给定一些条件下的概率分布。

首先来看独立性。

在数学上，独立性通常指的是两个随机变量之间的关系。

如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们可以分别考虑，而且它们之间的任何影响都不会相互影响。

具体来说，如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们的联合概率分布可以拆分成它们各自的概率分布的乘积。

即，P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)。

举个例子，假设我们有两个骰子，我们把它们连续掷两次。

我们可以定义随机变量X为第一次掷出的点数，随机变量Y为第二次掷出的点数。

如果我们假设这两个骰子是六面的，并且它们是公平的，那么每个点数出现的概率都是1/6。

因此，我们可以计算出X和Y的概率分布，分别为P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6和P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=1/6。

现在，假设我们想知道掷出的两个点数是相等的这个事件的概率。

我们可以用独立性来计算。

因为X和Y是独立的，所以P(X=x, Y=y) =P(X=x) * P(Y=y)，因此，P(X=Y) = ΣP(X=x, Y=x) = ΣP(X=x) *P(Y=x) = 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 +...+1/6 * 1/6 = 1/6。

接下来看条件概率分布。

条件概率分布是指，在给定一些条件下，随机变量的概率分布。

具体来说，如果我们知道了一些关于随机变量的信息，那么我们可以通过条件概率分布来计算在这些信息下随机变量的取值的概率。

条件概率分布通常用P(X|Y)表示，表示给定Y的条件下，X的概率分布。

它可以通过原始的概率分布计算得到。

具体来说，如果我们知道了Y的取值，那么我们可以将联合概率分布进行归一化，得到在Y取值的条件下，X取值的概率分布。

《概率学》3.4二维随机变量的条件分布

第4节多维随机变量的条件分布
第三章多维随机变量及其分布
例2 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布,求
fY X ( y x).
当 – r < x < r 时，
fY X ( y
x)
f (x, y) fX (x)
2
1 ,
r2 x2
0,
r2 x2 y 其他
r2 x2
f
(x,
y)
1 / 0,
x,
0 x 1,0 y x;
其他.
1 5
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第4节多维随机变量的条件分布
第三章多维随机变量及其分布
练习对于随机向量(X,Y)已知
fY
X (y
x)
2y
1
x
2
,
0,
x y 1
4x(1 x2 ),
fX (x)
其他
0,
求Y在X=0和X在Y=1条件下的条件概率分布.
X
Y
1
2
3 P(X=xi)
0
0.1
0.2
0.3 0.6
1
0.1
0.2
0.1 0.4
解再计算 (X, Y)关于Y的边缘概率分布
由公式
P{Y xi
X
yj}
pi j p j
i 1, 2,
得在Y=1条件下X的条件概率分布为：
X|Y=1 0
1
pi| j
1
2
求P{X+Y≥1}，
P{Y<0.5},
P Y
2 3
X
1 2
0 x 1 其他

概率与数理统计3.4 相互独立的随机变量

26
12
23
1
则有 P{X 0,Y 1} 1 6 P{X 0}P{Y 1},
P{X 0,Y 2} 1 6 P{X 0}P{Y 2},
P{X 1,Y 1} 2 6 P{X 1}P{Y 1},
P{X 1,Y 2} 2 6 P{X 1}P{Y 2},
xe y
d
y,
xex , x 0,
0, x 0.
x0 x 0.

fY ( y)
f (x, y)d x

y 0
xe y d x,
y0
0,
y 0.
12 y2e y , y 0,
0,
y 0.
由于在 0 x y 上, f ( x, y) f X ( x) fY ( y), 故 X 与Y 不独立.
第四节相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性二、二维随机变量的推广三、小结
一、相互独立的随机变量
1.定义
设F ( x, y)及FX ( x), FY ( y)分别是二维随机变量( X ,Y )的分布函数及边缘分布函数. 若对于所有
x, y有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y},
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x, y),边缘概率密度分别为f X ( x), fY ( y),则有
X 和 Y 相互独立 f ( x, y) fX ( x) fY ( y).
(3)X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
例1 对于随机变量 X和Y，由
exp