二次函数中各项系数abc与图像的关系

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二次函数图像与abc符号关系课件

二次函数图像与abc符号关系课件
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像分析 • 二次函数的abc符号变化对图像的影响 • 实际应用举例 • 总结与思考
01
二次函数的基本概念
二次函数的一般形式
总结词
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$是常数，且$a neq 0$。
于负半轴。
对二次函数图像与abc符号关系的深入思考
a符号与开口大小的关系
虽然a决定了开口方向，但a的绝对值大小也会影响开口的大小。当|a|越大，开口越宽；当|a|越小，开口越窄。
b符号与对称性的关系
b的符号和大小决定了抛物线的对称性。当b=0时，抛物线关于y轴对称；当b≠0时，抛物线关于x=−b/2a对称。
详细描述
在二次函数的一般形式$f(x) = ax^2 + bx + c$中，$a, b, c$分别被称为二次项系数、一次项系数和常数项。它们的符号决定了函数的开口方向、顶点位置等性质。例如，当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$时，函数图像开口向下。
二次函数的开口方向与abc符号的关系
04
实际应用举例
利用二次函数解决实际问题
总结词
通过理解二次函数的图像和abc符号关系，可以解决一些实际问题。
详细描述
二次函数图像的开口方向、顶点位置和对称轴等特性，可以帮助我们解决一些实际问题，例如最值问题、面积问题等。
二次函数在数学建模中的应用
总结词
二次函数是数学建模中常用的函数之一，可以用来描述一些实际问题中的数量关系。
05
总结与思考

二次函数系数a、b、c与图像的关系

二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边；b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式∆=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，∣ 若y > 0，则a + b + c >0；∣ 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，∣ 若y > 0，则a - b + c >0；∣ 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。

反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴−b 2a ; 判别式b 2−4ac ; y =a +b +c ……等等）的符号二、经典例题讲解例1 已知二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则a 、b 、c 满足（） A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ． a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；例2（2015呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是： ∣2χγa =∣2χγb =∣2χγc =∣2χγd =，则a ， b ， c ， d 的大小关系是．A ．a > b > c > dB ．a > b > d > cC ．b > a > c > dD ．b > a > d > c例3已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤4a-2b+c ＜0，则正确的结论是（）A 、①②③④B 、②④⑤C 、②③④D 、①④⑤y xO x y O ① ② ④ ③练习1. （2015•重庆）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞02.（2015•文山州）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2- 4ac ＞0B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，b 2- 4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2- 4ac ＞0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2- 4ac ＞03.（2015•泸州）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＜0，②b 2- 4ac ＞0，③a-b+c=0，④a+b+c ＞0，其中正确结论的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、44.（2015•仙游县二模）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c ＜0； ②a ﹣b+c ＜0； ③b+2a ＜0； ④abc ＞0．\其中所有正确结论的序号是（）A ． ③④B ． ②③C ． ①④D ． ①②③y x O5.（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤6.（2015•黔南州）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）A、ac＜0B、x＞1时，y随x的增大而增大C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3能力提升1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；④b2- 4ac＞0；⑤a+b+c＞m（am+b）+c（m＞1的实数），其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.（2015•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2- 4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a-2b+c＜0；③2a-b＞0；④b2+8a＞4ac，正确的结论是。

二次函数系数a,b,c与图像的关系ppt课件

(6)b2-4ac; (7)4ac-b2; (8)2a+b; (9)2a-b y
-1
0
1
x
8
9.练习：填空
（1）函数y=ax2 +bx+c（a 0）的函数值恒为正的
条件为：
，恒为负的条件为：
。
（2）已知抛物线y=ax2 +bx+c的图象在x轴的下方，
则方程ax2 +bx+c 0的解的情况为
。
（3）二次函数y=ax2 +bx+c中，ac<0，则抛物线与x轴有交点。
9
11、二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示，
下列结论①c<0,②b>0③4a+2b+c>0,④(a+c)2 b2
其中正确的是
（填序号，并说明理由）
y
x=1
(a+c)2 b2 (a b c)(a b c)
1 2
其中正确的结论是（）（A）①② （B）②③ （C）②④ （D）③④
11
-1 o
1x
4
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所
示则下列关于a、b、c间的关系判断正
确的是（）
y
A）ab<0
O
x
B）bc<0
C）a+b+c>0
D）a－b+c<0
（图1）
5
例4(青海)二次函数 y ax2 bx c 图象如图2所示，
则点 A(b2 4ac， b ) 在第象限．

a
y
O x

二次函数的图像与字母a、b、c的关系

课次教学方案教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号确实定：〔1〕a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，那么a ＞0；否那么a ＜0．〔2〕b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．〔3〕c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，那么c ＞0；否那么c ＜0．〔4〕b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．〔5〕当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．〔6〕由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、根底练习1、抛物线y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕在平面直角坐标系中的位置如下图，那么以下结论中，正确的选项是〔 D 〕 A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出以下结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，那么正确的结论是〔 D 〕 A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤任课教师学科版本年段辅导类型上课时间学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号确实定方法课次教学目标掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。

教学策略教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。

3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为〔21，1〕，以下结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是〔 C 〕1\2\3 A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，对称轴为直线x=1，那么以下结论正确的选项是〔B 〕 A 、ac ＞0 B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ，b ，c 为常数，a ≠0〕的图象如下图，有以下结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是〔A4 〕 A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、〔如下图的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：〔1〕b 2-4ac ＞0；〔2〕c ＞1；〔3〕2a-b ＜0；〔4〕a+b+c ＜0．你认为其中错误的有〔D2〕 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，那么以下说法正确的选项是〔C 〕 A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，现有以下结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，那么其中结论正确的个数是〔B 〕1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、二次函数y=ax 2的图象开口向上，那么直线y=ax-1经过的象限是〔D 〕 A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下结论正确的选项是〔D 〕A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下判断不正确的选项是〔B 〕 A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么a ，b ，c 满足〔A 〕A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0 C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0 D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、二次函数y=2ax +bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，有以下4个结论，其中正确的结论是〔B 〕 A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、二次函数y=2ax +bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，那么以下结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0〔a ≠0〕有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有〔C 〕 A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如下图为二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象，在以下选项中错误的选项是〔C 〕 A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C 、a+b+c ＞0 D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，以下结论错误的选项是〔B 〕 A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下结论正确的选项是〔D 〕 A 、a ＞0 B 、c ＜0 C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，以下结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有〔 C 〕个．1/2/3 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4三、能力练习c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，那么a 、b 、c 满足〔〕 A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞02.二次函数c bx ax y ++=2(a≠0〕且a ＜0，a －b+c ＞0，那么一定有〔〕A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，那么点〔b ，c a〕在〔〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．假设二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么ac_____0〔“＜〞“＞〞或“=〞〕第4题图5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，那么以下关于a 、b 、c 间的关系判断正确的选项是〔〕 A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：例题．抛物线c bx ax y ++=2过三点〔－1，－1〕、〔0，－2〕、〔1，l 〕．〔1〕求抛物线所对应的二次函数的表达式；〔2〕写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；〔3〕这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？五、中考真题回忆：〔09佛山〕19．〔1〕请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；〔2〕在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象；〔3〕直接写出平移后的图象的解析式. 注：图中小正方形网格的边长为1.〔1〕画图〔略〕注：根本反映图形的特征〔如顶点、对称性、变化趋势、平滑〕给2分，满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分；〔2〕画图、写解析式〔略〕注：画图总分值2分，同〔1〕的标准；写解析式2分〔无过程不扣分〕．〔11·佛山〕21.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A 〔－1，－1〕、B 〔0，2〕、C 〔1，3〕；〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕画出二次函数的图像；【答案】解：〔1〕根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分〔2〕二次函数的图象如图………………8分给分要点：顶点、对称、光滑〔各1分〕〔12佛山〕xyO第19题图xyoABC1xyoABC122.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的局部数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③函数c bx ax y ++=2的图象的一局部〔如图〕． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：〔1〕方法一：由可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ，解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 〔三种选其一即可〕〔2〕1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点 4、交 y 轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像〔2021•佛山〕24．如图①，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 〔0，3〕，B 〔3，0〕，C 〔4，3〕．x -1 0 1 2 3 y343〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕求抛物线的顶点坐标和对称轴；〔3〕把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S〔图②中阴影局部〕．分析：〔1〕把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；〔2〕把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；〔3〕根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影局部的面积等于平行四边形的面积，列式进展计算即可得解．解：〔1〕∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A〔0，3〕，B〔3，0〕，C〔4，3〕，∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；〔2〕∵y=x2﹣4x+3=〔x﹣2〕2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为〔2，﹣1〕，对称轴为直线x=2；〔3〕如图，∵抛物线的顶点坐标为〔2，﹣1〕，∴PP′=1，阴影局部的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影局部的面积=2．点评：此题考察了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，〔3〕根据平移的性质，把阴影局部的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。

二次函数系数a、b、c与图像的关系

二次函数系数a、b、c与图像的关系之马矢奏春创作创作时间：二零二一年六月三十日知识要点二次函数y=ax2+bx+c系数符号简直定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上, 则a＞0；否则a ＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴, 则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点, b2-4ac＞0；1个交点, b2-4ac=0；没有交点, b2-4ac＜0．（5）当x=1时, 可确定a+b+c的符号, 当x=-1时, 可确定a-b+c的符号．（6）由对称轴公式x=, 可确定2a+b的符号．一．选择题（共9小题）1．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图, 则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时, y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示, 给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中, 正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2014•襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图, 有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时,x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4 5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部份, 其对称轴为x=﹣1, 且过点（﹣3, 0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5, y1）, （2, y2）是抛物线上的两点, 则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④6．（2014•莆田质检）如图, 二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴, 对称轴在y轴的右侧, 则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3 7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部份, 图象过点A（﹣3, 0）, 对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2014•乐山市中区模拟）如图, 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1, 0）, 极点坐标为（1, n）, 与y轴的交点在（0, 2）、（0, 3）之间（包括端点）．有下列结论：①当x＞3时, y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1, 0）, （x1, 0）, 且1＜x1＜2, 下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个10、（2011•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示, 则下列结论中, 正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞011、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图, 其对称轴x=-1, 给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0, 则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤12、（2011•孝感）如图, 二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交, 其极点坐标为（ 12, 1）, 下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、4谜底一．选择题（共9小题）1．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图, 则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时, y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系, 然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理, 进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y轴交于原点,c=0, （故①正确）；该抛物线的对称轴是：,直线x=﹣1, （故②正确）；当x=1时, y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1,∴﹣b/2a=﹣1, b=2a,又∵c=0,∴y=3a, （故③毛病）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c,又∵x=﹣1时函数取得最小值,∴a﹣b+c＜am2+bm+c, 即a﹣b＜am2+bm,∵b=2a,∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．点本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛评：物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示, 给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a ＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号, 由抛物线与y轴的交点判断c的符号, 然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理, 进而对所得结论进行判断．解答：解：①当x=1时, y=a+b+c=0, 故①毛病；②当x=﹣1时, 图象与x轴交点负半轴明显年夜于﹣1, ∴y=a﹣b+c＜0,故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0,∵对称轴为0＜x=﹣＜1,∴2a+b＜0,故③正确；④对称轴为x=﹣＞0, a＜0∴a、b异号, 即b＞0,由图知抛物线与y轴交于正半轴, ∴c＞0∴abc＜0,故④毛病；∴正确结论的序号为②③．故选：B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号简直定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上, 则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴, 则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时, 可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时, 可以确定y=a﹣b+c的值．3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中, 正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系, 由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系, 然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理, 进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵图象开口向下, ∴a＜0；故本选项正确；②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴, ∴c＞0；故本选项正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点, ∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；④∵对称轴x=﹣＞0, ∴＜0；故本选项正确；综上所述, 正确的结论有4个．故选D．点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质, 解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号简直定, 做题时要注意数形结合思想的运用, 同学们加强训练即可掌握, 属于基础题．4．（2014•襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图, 有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时, x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点, 可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时, y=1﹣b+c＞0；当x=3时, y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时, 二次函数值小于一次函数值, 可得x2+bx+c＜x, 继而可求得谜底．解答：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点,∴b2﹣4ac＜0；故①正确；当x=﹣1时, y=1﹣b+c＞0,故②毛病；∵当x=3时, y=9+3b+c=3,∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时, 二次函数值小于一次函数值, ∴x2+bx+c＜x,∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选C．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中, 注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部份, 其对称轴为x=﹣1, 且过点（﹣3, 0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5, y1）, （2, y2）是抛物线上的两点, 则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线开口方向获得a＞0, 根据抛物线的对称轴得b=2a＞0, 则2a﹣b=0, 则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方获得c＜0, 则abc＜0, 于是可对①进行判断；由于x=﹣2时, y＜0, 则获得4a﹣2b+c＜0, 则可对③进行判断；通过点（﹣5, y1）和点（2, y2）离对称轴的远近对④进行判断．解解：∵抛物线开口向上,答：∴a＞0,∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1,∴b=2a＞0, 则2a﹣b=0, 所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c＜0,∴abc＜0, 所以①正确；∵x=2时, y＞0,∴4a+2b+c＞0, 所以③毛病；∵点（﹣5, y1）离对称轴要比点（2, y2）离对称轴要远, ∴y1＞y2, 所以④正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）, 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和年夜小, 当a＞0时, 抛物线向上开口；当a＜0时, 抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0）, 对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0）, 对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0, c）．抛物线与x轴交点个数：△=b2﹣4ac ＞0时, 抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时, 抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时, 抛物线与x轴没有交点．6．（2014•莆田质检）如图, 二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴, 对称轴在y轴的右侧, 则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由于二次函数的对称轴在y轴右侧, 根据对称轴的公式即可获得关于m的不等式, 由图象交y轴于负半轴也可获得关于m的不等式, 再求两个不等式的公共部份即可得解．解答：解：∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴, ∴m﹣3＜0,解得m＜3,∵对称轴在y轴的右侧,∴x=,解得m＞2,∴2＜m＜3．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的性质, 解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题．7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部份, 图象过点A（﹣3, 0）, 对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系, 由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系, 然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理, 进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线的开口方向向下,∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac＞0, 即b2＞4ac, ①正确；由图象可知：对称轴x==﹣1,∴2a=b, 2a+b=4a,∵a≠0,∴2a+b≠0, ②毛病；∵图象过点A（﹣3, 0）,∴9a﹣3b+c=0, 2a=b,所以9a﹣6a+c=0, c=﹣3a, ③正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上, ∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0,∴a+b+c=0, ④正确．故选C．点评：考查了二次函数图象与系数的关系, 解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．8．（2014•乐山市中区模拟）如图, 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1, 0）, 极点坐标为（1, n）, 与y轴的交点在（0, 2）、（0, 3）之间（包括端点）．有下列结论：①当x＞3时, y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1, 一个交点A（﹣1, 0）, 获得另一个交点坐标, 利用图象即可对选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号, 由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a, 将其代入（3a+b）, 并判定其符号；③根据两根之积=﹣3, 获得a=, 然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a 的取值范围；④把极点坐标代入函数解析式获得n=a+b+c=c, 利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1, 0）, 对称轴直线是x=1, ∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3, 0）,∴根据图示知, 当x＞3时, y＜0．故①正确；②根据图示知, 抛物线开口方向向下, 则a＜0．∵对称轴x==1,∴b=﹣2a,∴3a+b=3a﹣2a=a＜0, 即3a+b＜0．故②毛病；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1, 0）, （3, 0）, ∴﹣1×3=﹣3,=﹣3, 则a=．∵抛物线与y轴的交点在（0, 2）、（0, 3）之间（包括端点）, ∴2≤c≤3,∴﹣1≤≤, 即﹣1≤a≤．故③正确；④根据题意知, a=, =1,∴b=﹣2a=,∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3,≤≤4, ≤n≤4．故④正确．综上所述, 正确的说法有①③④．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1, 0）, （x1, 0）, 且1＜x1＜2, 下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系, 由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系, 然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理, 进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1, 0）, （x1, 0）, 且1＜x1＜2, ∴对称轴在y轴的右侧,即：﹣＞0,∵a＞0∴b＜0, 故①正确；②显然函数图象与y轴交于负半轴,∴c＜0正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1, 0）,∴a﹣b+c=0,即a+c=b,∵b＜0,∴a+c＜0正确；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1, 0）, 且a＞0,∴当x=﹣2时, y=4a﹣2b+c＞0,故④正确,故选D．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系, 会利用对称轴的范围求2a与b的关系, 以及二次函数与方程之间的转换, 根的判别式的熟练运用．。

二次函数中各项系数abc与图像的关系

二次函数中各项系数a ;b ;c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+ca≠0中的a ;b ;c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大;抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号;说明02<-ab ;则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号;说明−b 2b >0;则对称轴在y 轴的右边；特别的;b = 0;对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点0;cc > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的;c = 0;抛物线过原点．4 a;b;c 共同决定判别式?=b 2−4bb 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4bb >0 与x 轴两个交点b 2−4bb =0 与x 轴一个交点b 2−4bb <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时;y=a + b + c ；x= -1时;y=a - b + c ．当x = 1时;① 若y > 0;则a + b + c >0；② 若y < 时0;则a + b + c < 0当x = -1时;① 若y > 0;则a - b + c >0；② 若y < 0;则a - b + c < 0．扩：x=2; y=4a + 2b + c ；x= -2; y=4a -2b + c ； x=3; y=9a +3 b + c ；x= -3; y=9a -3b + c ..一．选择题共8小题1．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象大致如图所示;则下列关系式中成立的是A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b+2a ＞02．如果二次函数y=ax 2+bx+ca ≠0的图象如图所示;那么下列不等式成立的是A ．a ＞0B ．b ＜0C ．ac ＜0D ．bc ＜0．3．已知二次函数y=ax 2+bx+ca ≠0的图象如图所示;有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y=ax 2+bx+ca ≠0的图象如图所示;对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a+b=0；⑤a ﹣b+c ＜0;其中正确的个数是A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第3题图第4题图第5题图第6题图5．二次函数y=ax 2+bx+ca ≠0的图象如图;给出下列四个结论：：①a ＜0；②b ＞0；③b 2﹣4ac＞0；④a+b+c ＜0；其中结论正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示;抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为﹣1;3;以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b+c ＜0；③2c ﹣b=3；④a+3=c;其中正确的个数A ．1B ．2C ．3D ．47．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分;图象过点A ﹣3;0;对称轴为直线x=﹣1;下列给出四个结论中;正确结论的个数是个①c ＞0；②若点B ﹣;y 1、C ﹣;y 2为函数图象上的两点;则y 1＜y 2；③2a ﹣b=0； ④＜0；⑤4a ﹣2b+c ＞0．A ．2B ．3C ．4D ．58．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示;以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a+b ＞0；④当x ＜时;y 随x 的增大而减小；⑤a+b+c ＞0．其中正确的有A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二．填空题共4小题9．如图;抛物线y=ax 2+bx+ca ≠0的对称轴为直线x=1;与x 轴的一个交点坐标为﹣1;0;其部分图象如图所示;下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1;x 2=3；③3a+c ＞0；④当y ＞0时;x 的取值范围是﹣1≤x ＜3；⑤当x ＜0时;y 随x 增大而增大；其中结论正确有．10．一抛物线和抛物线y=﹣2x 2的形状、开口方向完全相同;顶点坐标是﹣1;3;则该抛物线的解析式为．11．抛物线y=ax 2+12x ﹣19顶点横坐标是3;则a= ．12．将二次函数y=x 2+6x+5化为y=ax ﹣h 2+k 的形式为．三．解答题共7小题13．已知：抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点B ﹣1;0和点C2;3．1求此抛物线的表达式；2如果此抛物线沿y 轴平移一次后过点﹣2;1;试确定这次平移的方向和距离．14．函数y=m+2是关于x 的二次函数;求：1满足条件的m 值；2m 为何值时;抛物线有最低点求出这个最低点．这时;当x 为何值时;y 随x的增大而增大3m 为何值时;函数有最大值最大值是多少这时;当x 为何值时;y 随x 的增大而减小．15．已知二次函数的图象经过0;0﹣1;﹣1;1;9三点．1求这个函数的解析式；2求这个函数图象的顶点坐标．16．已知抛物线的顶点坐标是1;﹣4;且经过点0;﹣3;求与该抛物线相应的二次函数表达式．17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．1将y=x2﹣4x+5化成y=a x﹣h2+k的形式；2指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；3当x取何值时;y随x的增大而增大18．如图;二次函数的图象的顶点坐标为1;;现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O;一个锐角顶点A在此二次函数的图象上;而另一个锐角顶点B在第二象限;且点A的坐标为2;1．1求该二次函数的表达式；2判断点B是否在此二次函数的图象上;并说明理由．19．已知二次函数y=ax﹣h2;当x=4时有最大值;且此函数的图象经过点1;﹣3．1求此二次函数的解析式；2当x为何值时;y随x的增大而增大。

二次函数图像与系数的关系

二次函数的图象与各项系数之间的关系技巧讲解1. 二次项系数a ：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．二次函数2y ax bx c =++中，a 为二次项系数，显然0a ≠．① 当0a >时，抛物线开口向上；② 当0a <时，抛物线开口向下； ③a 的值越大，函数图象越靠近y 轴，开口越小，反之a 的值越小，函数图象越远离y 轴，开口越大；一次函数图象有类似特点。

2. 一次项系数b :①在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．②ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，①当0b >时，02b a-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； ②当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； ③当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即①当0b >时，02b a->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； ②当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； ③当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 3. 常数项c :c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．4．特殊形式（1）当x=1时，可以求出a+b+c 的值；若x=1时，y>0，则a+b+c>0; 若x=1时，y<0，则a+b+c<0; 若x=1时，y=0，则a+b+c=0;（2）当x=-1时，可以求出a-b+c 的值；若x=-1时，y>0，则a-b+c>0; 若x=-1时，y<0，则a-b+c<0; 若x=-1时，y=0，则a-b+c=0;（3）根的别式b 2-4ac ，可以用来判断抛物线与x 轴的交点个数，当b 2-4ac>0时，方程2y ax bx c =++=0有两个根，也就是说y=0时，函数在x 轴上可以找到2个对应的自变量值，即断抛物线与x 轴有2个交点；同理b 2-4ac=0，二次函数图象与x 轴有一个交点；b 2-4ac <0时，抛物线与x 轴没有交点。

二次函数图像与系数的关系

二次函数图像与abc的关系课件

详细描述
总结词
总结词
二次函数的顶点坐标为$(-frac{b}{2a}, f(-frac{b}{2a}))$。
详细描述
二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，其横坐标为$-frac{b}{2a}$，纵坐标为$f(-frac{b}{2a})$。顶点的位置和高度由系数$a$、$b$和$c$共同决定。
02
详细描述
04
CHAPTER
c的取值对图像的影响
开口向下，顶点在x轴上方
总结词
当c的值大于0时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线，顶点在x轴上方。这是因为当c为正时，抛物线的顶点y坐标为c，而抛物线的对称轴为x=0。
详细描述
总结词：水平线段
详细描述：当c的值为0时，二次函数退化为线性函数，图像成为一条水平线段。这是因为当c=0时，二次函数变为一次函数，其图像是一条直线。
总结词
二次函数的一般形式是描述函数图像的基础，其中$a$决定了抛物线的开口大小和方向，$b$和$c$决定了抛物线的位置。
详细描述
二次函数的开口方向由系数$a$决定。当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
系数$a$的正负决定了抛物线的开口方向，这是理解二次函数性质的重要一环。
THANKS
感谢您的观看。
总结词
开口向下，对称轴为y轴，顶点在y轴上
详细描述
当b的值为负数时，二次函数的图像开口向下。此时，对称轴仍为y轴，即x=0，顶点同样位于y轴上，即(0,c-b^2/4a)。在x轴上的交点可以通过求解方程f(x)=0得到，可能有一个或两个实根，取决于判别式D的值。
对称轴为y轴，顶点在原点
总结词
当b的值为零时，二次函数的图像关于y轴对称。此时，对称轴为y轴，即x=0，顶点位于原点，即(0,0)。在x轴上的交点可以通过求解方程f(x)=0得到，可能有一个或两个实根，取决于判别式D的值。

二次函数a、b、c与图像的关系

二二次函数系数 a、b、c 与图像的关系
一一、首首先就 y=ax +bx+c（a≠0）中的 a，b，c 对图像的作用用归纳如下：
1 a 的作用用：决定开口口方方向：a > 0 开口口向上；a < 0 开口口向下；
决定张口口的大大小小：∣ a∣ 越大大，抛物线的张口口越小小．
2 b 的作用用：b 和 a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．
3.（2015•泸州）已知二二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的图象如图所示，有下
列列结论：①abc＜0，②b2- 4ac＞0，③a-b+c=0，④a+b+c＞0，其中正确结论的个数是（）
A、1 B、2
C、3 D、4
4.（2015•仙游县二二模）已知二二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：y ①② NhomakorabeaO
x
③④ 例例 3 已知二二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴 x=-1，给出下列列结果 ①b2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+ c＞0；⑤4a-2b+c＜0，则正确的结论是（） A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤
2
练习
1. （2015•重庆）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）在平面面直⻆角坐标系中的
4 a,b,c 共同决定判别式的符号进而而决定图象与 x 轴的交点与 x 轴两个交点与 x 轴一一个交点与 x 轴没有交点
5 几几种特殊情况：x=1 时，y=a + b + c ； x= -1 时，y=a - b + c ．

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，它的一般表达式为：y = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c分别代表了二次函数的系数。

本文将对二次函数与这三个系数之间的关系进行总结和探讨。

1. 系数a的影响：系数a决定了二次函数的开口方向和形状。

当a > 0时，二次函数的抛物线开口向上，形状较为窄长；当a < 0时，抛物线开口向下，形状较为宽扁。

此外，a的绝对值越大，抛物线的开口越窄，形状越尖锐。

2. 系数b的影响：系数b决定了二次函数的对称轴和平移。

对称轴的表达式为x = -b/2a，也可以理解为抛物线的中轴线。

当b > 0时，抛物线向右平移；当b < 0时，抛物线向左平移。

同时，b的绝对值越大，抛物线在水平方向上的平移距离越远。

3. 系数c的影响：系数c决定了二次函数与y轴的交点或抛物线的纵坐标平移。

当c > 0时，抛物线在y轴上方与y轴相交；当c < 0时，抛物线在y轴下方与y轴相交。

c的绝对值越大，抛物线与y轴的交点越远。

4. 二次函数与顶点的关系：二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))求得，其中f(x)为二次函数的表达式。

顶点是抛物线的最高点或最低点，也是抛物线的对称中心。

通过观察可知，系数b的值决定了顶点在平面坐标系中的横坐标位置，系数c的值决定了顶点在纵坐标上的位置。

总而言之，二次函数的系数a、b和c分别决定了抛物线的形状、平移和顶点位置。

在解题和分析二次函数的过程中，我们可以通过观察这些系数的取值来推断抛物线的性质及与坐标轴的关系。

以上是对二次函数与系数a、b、c之间关系的简要总结。

了解和理解这些关系可以帮助我们更好地掌握二次函数的性质和特点，为解决相关问题提供有力的数学工具。

希望本文能为读者对二次函数的理解提供一定的帮助。

二次函数系数abc与图像的关系

确的是（）
•y
A）ab<0
•O
•x
B）bc<0
C）a+b+c>0
D）a－b+c<0
•（图1）
例4(青海二次函数，
则点
图象如图2所示
在第象限．
•y
•O •x
•图2
例6．已知那么抛物线
，的顶点在（）
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
•7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，判断下列各式的符号：
•(1)a_•_>_0; b_•_>_0; c_•_<_0; • △ _•_>_0 •(2)a_•_>_0; b_•_<_0; c_•_=_0; • △ __•>_0
•(3)a_•_>_0; b_•_<_0; c_•_>_0; • △ _•_<_0
•(1) •y
•(2) •y
•O •x
•O
•x
•(3) •y
二次函数系数abc与图像的关系
1.a的作用： •决定开口方向和开口大小 •2.a与b的作用：•左同右异（对称轴的位置） •3.c的作用： •与y轴交点的位置。
•4.
的作用：•与x轴交点的个数。
•5.几个特殊点：•顶点，与x轴交点，与y轴交点， •（1，a+b+c),(-1,a-b+c)
•1、判断下列各图中的a、b、c及△的符号
•(4) •y •O •x
•(4)a_•_<_0; b_•_>_0; c_•_<_0; •O
•x
• △ _•_=_0

二次函数图像与系数a,b,c

二次函数图像与系数c b a ,,的关系知识点总结：（1）由抛物线的开口方向判断a 的正负；（2）由对称轴x=a b 2->0（或<0）确定b 的正负（口诀：左同右异）；（3）抛物线与y 轴的交点确定c 的正负；（4）由对称轴x=a b 2->1（或<1）可确定2a+b 的正负；由对称轴x=a b 2-＞-1（或＜-1）可确定2a-b 的正负（或取值）；（5）令x=1观察图像可得a+b+c 的正负（或取值），令x= -1可得a-b+c 的正负（或取值）；同理可推得4a+2b+c 、4a-2b+c 、9a+6b+c 、9a-6b+c 等代数式的正负（或取值）（6） b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0，反之亦然。

例题讲解：例 1.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论：① abc >0；② a -b +c <0；③a +b +c <0；④ b +2a <0；。

其中所有正确结论的序号有______变式练习1-1：已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0，②b 2-4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4变式练习1-2：（2013•烟台）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=-1，且过点（-3，0）．下列说法：①abc ＜0；②2a-b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（-5，y 1），（2,25y ）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（）A 、①②B 、②③C 、①②④D 、②③④变式练习1-3：（2012湖南衡阳市，12，3）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a bc＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的是_________。

二次函数图像与abc的关系

3
等于0
抛物线会转移到y轴的位置。
二次函数图像与参数c的关系
大于0
二次函数图像上下平移c个单位。
小于0
二次函数图像下移c个单位。
等于0
不会影响抛物线的位置。
二次函数图像与顶点坐标的关系
向上移动
当抛物线向上移动时，顶点的y 坐标会增加。
向下移动
当抛物线向下移动时，顶点的y 坐标会的x坐标会随之变化。
二次函数图像与弦长的关系
纵坐标高度差
弦长
0
2|a|
2|a|
2
4|a|
2√2
6|a|
4
二次函数图像与参数a的关系
大于1
二次函数图像会变得更加扁宽，而且始终开口向上。
在0和1之间
二次函数图像会变得更加窄高，而且始终开口向上。
小于0
二次函数图像始终开口向下，而且会变得更加窄高。
二次函数图像与参数b的关系
1
大于0
参数b控制了抛物线的位置，而且抛物线上下振动的程度。
2
小于0
虽然抛物线的开口方向不变，但会上下反转。
二次函数图像与abc的关系
二次函数图像是数学中的重要概念。了解它的形状和性质对于学习和掌握二次函数至关重要。
二次函数图像的形状和位置
形状
二次函数图像可以是开口向上的抛物线或开口向下的抛物线。
位置
二次函数图像可以沿着x轴或y轴移动。
宽度
二次函数图像可以被拉宽或压缩。
二次函数图像的平移和伸缩
平移
当二次函数图像沿x轴移动a个单位，则f(x)=a(xh)^2+k，其中(a≠0)。这将导致整个图像移动到左或右方。当二次函数图像沿y轴移动k个单位，则f(x)=a(x-h)^2+k，其中(a≠0)。这将导致整个图像移动到上或下方。

二次函数abc的关系

二次函数abc的关系二次函数是一种形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a,b,c$是常数且$a\neq 0$。

二次函数在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、经济学、统计学等领域中都有着重要的作用。

下面我们来详细地讲解二次函数中$a,b,c$三个常数之间的关系。

首先，我们来看二次函数的图像。

二次函数的图像一般为一个开口向上或向下的抛物线，其开口方向由$a$的正负号决定。

当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。

接着，我们来分别讨论$a,b,c$三个常数对二次函数图像的影响。

1. $a$对图像的影响由于$a$决定了抛物线开口方向，因此它对图像有着重要的影响。

当$a>0$时，随着$x$增大，$f(x)$也会增大；当$a<0$时，随着$x$增大，$f(x)$会减小。

此外，在绝对值相等的情况下，越小的$a$使得抛物线越扁平；越大的$a$则使得抛物线越尖锐。

2. $b$对图像的影响$b$对图像的影响主要体现在抛物线的位置上。

当$b>0$时，抛物线向右移动；当$b<0$时，抛物线向左移动。

此外，在绝对值相等的情况下，越小的$b$使得抛物线移动得越远；越大的$b$则使得抛物线移动得越近。

3. $c$对图像的影响$c$对图像的影响主要体现在抛物线与$x$轴交点上。

当$c>0$时，抛物线与$x$轴交点在原点上方；当$c<0$时，抛物线与$x$轴交点在原点下方。

此外，在绝对值相等的情况下，越小的$c$使得抛物线与$x$轴交点越高；越大的$c$则使得抛物线与$x$轴交点越低。

综上所述，二次函数中$a,b,c$三个常数之间有着密切的关系。

它们分别决定了二次函数图像的开口方向、位置和与$x$轴交点高度等特征。

因此，在使用二次函数进行问题求解时，我们需要仔细分析其$a,b,c$三个常数之间的关系，并根据具体问题选择合适的数值进行计算。