八年全等三角形综合应用二重要经典

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新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题全等三角形的判定的综合运用教学设计

新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题全等三角形的判定的综合运用教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题全等三角形的判定的综合运用，主要让学生掌握全等三角形的判定方法，并能灵活运用到实际问题中。

本节课的内容是学生在学习了三角形的基本概念、性质和三角形的全等条件后的进一步拓展，为学生以后学习几何证明和解决实际问题打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了三角形的基本概念、性质和三角形的全等条件，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识，对全等三角形的判定方法理解不深，需要通过本节课的学习，让学生在理解全等三角形的判定方法的基础上，提高解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握全等三角形的判定方法，并能灵活运用到实际问题中。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.教学重点：全等三角形的判定方法。

2.教学难点：如何将全等三角形的判定方法灵活运用到实际问题中。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究全等三角形的判定方法。

2.运用直观演示法，让学生通过观察、操作，加深对全等三角形判定方法的理解。

3.利用案例分析法，培养学生解决实际问题的能力。

4.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题，用于引导学生运用全等三角形的判定方法解决问题。

2.准备多媒体教学课件，用于辅助讲解和展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，让学生感受到全等三角形的判定在解决问题中的重要性，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现全等三角形的判定方法，引导学生观察、操作，让学生通过直观的方式理解全等三角形的判定方法。

3.操练（10分钟）让学生通过解决实际问题，运用全等三角形的判定方法，加深对全等三角形判定方法的理解。

(2021年整理)八上全等三角形证明方法归纳经典

八上全等三角形证明方法归纳经典编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八上全等三角形证明方法归纳经典）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八上全等三角形证明方法归纳经典的全部内容。

【第1部分全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

概念深入理解：(1)形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。

（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

(位置变化）2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC≌△A′B′C′"其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等,从而解决某些问题。

(1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。

（2）全等三角形的对应边上的高，中线,角平分线对应相等。

（3）全等三角形周长，面积相等。

4、寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找图3图1图2如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边.通常情况下，两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;（3)通过观察,想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

人版八年级数学[上册]第十二章《全等三角形的综合、角平分线》讲义(有答案解析)

第7讲全等三角形的综合、角平分线⑴平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAABOP角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．考点1、三角形全等综合1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（）A. SASB. ASAC. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ B ）A．PO B．PQ C．MO D．MQ（1）（2）3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有______；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, ∠B= ∠E,AF ⊥CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，AE=CF．求证：BF=DE．3、如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.2、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。

人教版八年级数学上册---《全等三角形的性质与判定的综合运用》课堂设计

人教版八年级数学上册---《全等三角形的性质与判定的综合运用》课堂设计第一课时同学们好，在前面的学习中，我们一起学习、探究了三角形全等的性质及判定的方法，今天，我们将综合运用三角形全等的知识解决一些几何问题.我们首先回顾全等三角形的判定方法. 问题判定两个三角形全等的方法有哪些？三边对应相等的两个三角形全等 .(简写成“边边边”或“SSS ”）.两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等.(简写成“边角边”或“SAS”）.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”）.AB C DE F两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS”）.或以上是一般三角形全等的判定方法，特殊的直角三角形，除了以上判定方法外，还有直角三角形全等特有的判定方法，即：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，(简写为“斜边、直角边”或“HL”).或问题要判定两个三角形全等，至少要几组条件？至少需要三组条件，并且三组条件中至少有一组边相等的关系.CBAFEDABCDEFABCDEF即∠AEB=∠CBD ，此时用的判定定理是AAS ，或∠EBA=∠BDC ,此时用的判定定理是ASA.通过以上分析，本题可以添加的条件有：EB=BD ，EA=BC ，∠AEB=∠CBD ，∠EBA=∠BDC.通过例题和练习，我们知道，要添加的条件使两个三角形全等，首先明确已知条件，根据判定定理确定要添加的条件，特别注意的是，添加方法可能不唯一.例如图3所示，已知AD=AB , 要使△ABC ≌△ADC ，现在已有的条件够不够用？需要添加几个条件？有几种添加的方法？分析：已知AD=AB ，仔细观察图形不难发现还有一个隐含条件：AC=AC ，知道两组边相等的关系之后，现在已有的条件不够用，至少需要添加一个条件，我们来看需要添加哪些条件可以判断两个三角形全等.⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠→∠=∠→=→90B D BAC DAC BC DC 找直角找两边夹角找第三边已知两边：通过以上分析，我们知道本题有三种添加条件的方法，DC =BC 或∠DAC =∠BAC 或∠D =∠B =90°.遇到这类题目我们应特别注意挖掘隐含条件. 练习如图4所示，AB=AC ，AD=AE 求证： BE=CD .图3 HL.SSS. SAS.图4分析：已知AB=AC ，AD=AE ，有公共角∠A ，并且公共角是两边的夹角.根据题干标图，由三角形全等判定定理SAS 可得△ABE ≌△ACD ，进而得出∠B=∠C. 解：在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AE AD A A CA BA ∴ △ABE ≌△ACD (SAS) . ∴ BE =CD .小结：证明三角形全等是证明两线段、两个角相等的重要方法，遇到此类问题时，需要明确具体证明哪两个三角形全等，特别注意的是公共角一定是对应角，公共边一定是对应边.例.如图5所示，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB=DE,AC=DF ， BE=CF,求证∠A =∠D ..分析：根据题干标图图5要证∠A =∠D ，需证△ABC ≌△DEF ，根据已知条件很容易证得 △ABC ≌△DEF.证明：∵BE=CF ，∴BE +EC =CF +EC . 即BC =EF .在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，EF BC DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）.∴∠A =∠D .例4.如图6所示，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC=∠DAE ，AD=AE .连接BD ，CE , ∠ABD=∠ACE .求证AB=AC .分析：根据题干标图要证AB=AC需证△BAD ≌△CAE∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD 又知AD=AE ，∠ABD=∠ACE .已知∠BAC=∠DAE ，图6..--CAE BAD DAC DAE DAC BAC DAE BAC ∠=∠∠∠=∠∠∴∠=∠即，在△BAD 和△CAE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，AE AD CAE BAD ACE ABD ∴ △BAD ≌△CAE (AAS) . ∴ AB=AC .证明三角形全等时需要准备边相等和角相等的条件，除了公共边、公共角相等，等量相加结果相等、等量相减结果相等也是求两条边、两个角相等经常用到的方法.通过以上例题和练习，你运用三角形全等知识解决问题的能力有没有提升呢？让我们通过一道练习验证一下吧！练习.如图7所示，B ,F ,C ,E 在一条直线上BF=CE ，AC=DF .(1) 在下列条件①∠B=∠E ；②∠ACB=∠DFE ；③AB=DE ；④AC ∥DF 中，只添加一个条件就可以证得△ABC ≌△DEF ,则所有正确条件的序号是 ______________________.(2) 根据已知及（1）中添加的一个条件证明∠A=∠D . 分析：（1）根据题干标图由BF=CE 得EF+FC=CE+FC ,即：BC=EF ，又知AC=DF ，如果添加①∠B=∠E图7此时，SSA 不能判定两个三角形全等；如果添加②∠ACB=∠DFE此时，SAS 能判定△ABC ≌△DEF ；如果添加③AB=DE此时，SSS 能判定△ABC ≌△DEF ；如果添加④AC ∥DF可得到∠ACB=∠DFE ，FEDCBAEDBAFC2.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC=DF，∠A＝∠D．求证：BE=CF．第二课时第三课时证明方法，这节课我们运用三角形全等知识解决实际问题.例1.如图1，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）.在图中，要测量工件内槽宽AB ，只要测量哪些量？为什么？分析：要测量工件内槽宽AB ，只需测量与AB 相等的量.可以把卡钳抽象为两个对顶的三角形,△AB O 和△CDO ，已知条件可转化为AO=CO ,BO=DO ，问题转化为求与AB 相等的线段.只需测量CD.∵点O 是AC 、BD 的中点， ∴OA =OC ,OB =OD . 在△AOB 和△COD 中，ODCBA图1⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，D O OB COD AOB OC A O ∴△AOB ≌△COD (SAS ). ∴CD =AB.∴要测量槽内宽AB ，只需测量CD .例2.如图2，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是拿( )去配.分析:要配一块完全一样的玻璃，可把三角形的玻璃抽象为一个三角形，问题转化为找与原三角形全等的三角形所需条件，① 玻璃只有一个角，满足不了三角形全等的条件；②中没有即没有完整的边也没有完整的角，满足不了三角形全等的条件；③中有两个角和一条边都与原来的三形相等，满足三角形全等的条件；综上，最合理的办法是拿第③块玻璃去配.例3.如图3，从C 地看A ，B 两地的视角，∠C 是锐角，从C 地到A ，B 两地的距离相等.A 地到路段BC 的距离AD 与B 地到路段AC 的距离BE 相等吗？为什么？分析：可把A 地到路段BC 的距离AD 与B 地到路段AC 的距离BE 是否相等的实际问题转化为线段AD 是否与BE 的相等的问题，所以只需证明△ABD 与△BAE 全等.A 地到路段BC 的距离AD 与B 地到路段AC 的距离BE 相等证明：∵AD⊥BC， BE⊥AC, ∴ ∠CDA= ∠CEB=90°. 在△ADC 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，BC AC C C BEC ADC E D CBA图2 图3∴△ADC ≌△BEC （AAS ）. ∴AD =BE .即A 地到路段BC 的距离AD 与B 地到路段AC 的距离BE 相等. 练习.如图4，两车从路段AB 的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C ，D 两地.C ，D 两地到路段AB 的距离相等吗？为什么？分析：实际问题可抽象为下图转化成数学问题，已知AC ∥BD ，AC =BD ，∠AEC =∠BFD =90°，问CE 与DF 是否相等.那么只需证△AEC 与△BFD 全等. C ，D 两地到路段AB 的距离相等. 证明：∵CE ⊥AB ,DF ⊥AB ， ∴∠AEC =∠BFD =90°. ∵AC ∥BD ， ∴∠A =∠D .在△AEC 与△BFD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，BD AC B A AEC BFD ∴△AEC ≌△BFD （AAS ）. ∴CE =DF.即C ，D 两地到路段AB 的距离相等.例4.如图5，AC 和BD 是两根旗杆，两根旗杆间相距12 m ，某人从点B 沿BA 走向A ，一定时间他到达点M ，此时他仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线夹角为90°，且CM =DM ，已知旗杆AC 的高为3 m ，该人的运动速度为1 m/s ，求这个人运动了多长时间？EF B D C A 图4分析：要帮小春解决的问题是证明∠A =∠C.我们知道三角形全等是证明两个角相等的重要方法，所以需证△ABO ≌△CDO. 已知AB =CD ，隐藏条件∠AOB=∠COD ,还缺少一个条件.再来看已知，AB =CD ，BC =AD ，如果连接AC ，SSS 可证明△ABC ≌△CDA ，可得∠B =∠D ，△ABO ≌△CDO 缺少的条件找到，问题得以解决.连接AC.在△ABC 和△CDA 中，⎪⎩⎪⎨⎧===,,,AC AC DA BC CD AB ∴△ABC ≌△CDA （SSS ）. ∴∠B =∠D.在△ABO 和△CDO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=CD,AB D,=B COD,=AOB ∠∠∠∠ ∴△AOB ≌△COD （AAS ）. ∴∠BAO =∠DCB. 即∠A =∠C.小明说还有更简单的办法，具体如下. 连接BD在△ABD 和△CDB 中，ACOBD1.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DEF的大小有什么关系？为什么？2.2.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？。

人教版初中数学八年级上册第12章全等三角形综合应用题解析

原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！GEAC FB A BD C 全等三角形综合应用经典题解析1、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C.2、如图，AP 平分∠EAF ，PC ⊥AE 于点C ，PB ⊥AF 于点B ，AP 交BC 于点H ．求证：AP·BC=2AB·PB.3、已知：如图，DC ∥AB ，且DC=AE ，E 为AB 的中点，(1)求证：△AED ≌△EBC ． (2)除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．4、如图，在△ABC 中，BG=CG ，∠ACG=∠ABG ，求证：AG ⊥BC ．5、如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BP ＝CP ，求证：AP ＝DP.6、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF.7、如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB. 求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN.8、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长.9、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠BAF=∠EAF.10、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C.AB CD AEC O B P C AD FA NEM BA BCPE H CF DABE ABC G原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！CA EB D F11、已知：AD 平分∠BAC ，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC.12、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.13、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上，求证：BC=AB+DC.14、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD+BD=BC.15、如图所示，AB ∥CD ，在AB 、CD 、BC 上各有一点E 、F 、P ，且BE ＝CF ，P 是BC的中点，试说明三点E 、F 、P 恰好在一条直线上.16、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC -AB=2BE.18、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．19、已知：如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证：AE ＝AF.20、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60º，AD+BC=AB=CD=2，求该四边形的面积.C AB D E B DC C B A DE DABCA FB E D C1 2 AB EC C F DP•A EB ••C原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！P DA CB21、如图，在四边形ABCD 中，AB=AC ，∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠BDC=30°，求∠DBC的度数.22、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC ＞AB ，求证：PC -PB ＜AC -AB.23、如图，P 是∠MAN 平分线上一点，PB ⊥AM 于点B ，点C 、D 分别在AM 、AN 上，∠ACP+∠ADP=180°，若AB=3cm ，求AC+AD 的长.24、如图在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE ，求证：MD=MN.25、如图，已知B 、C 、E 三点在同一条直线上，△ABC 与△DCE 都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F. 求证：(1)AE=BD ；(2)GF ∥BE.26、如图，△ABC 中，AB=AC ，点E 在AB 上，点F 在AC 延长线上，BE=CF ，连接EF ，交BC 于点D ，求证：DE=DF.27、如图，∠AOB=30°，OA=1，OB=3，点M 、N 分别为∠AOB 两边上的动点，求AN+NM+MB 的最小值.28、已知等边△ABC 内一点M ，AM=1，BM=3，CM=2，求∠AMC.29、如图，四边形ABCD 中AB ∥CD ，AB≠CD ，BD=AC ，求证：AD=BC.30、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE ．求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF ＝2CD ．A B D C AD ACMB AD BCEA M EAFA D EB CN A C MP B原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！M DC ENE A BM D CN31、在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=AC,直线MN 经过点C,且AD ⊥MN 于D,BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD+BE. (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由.32、求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高.33、如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，E 、F 分别是CA 、CB 边上的点且AE=2CE ，将BF=2CF ，△ECF 绕点C 逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN ，连接AM ，BN ．(1)求证：AM=BN ；(2)当MA ∥CN 时，若AC=3，求AM 的长．34、如图，在长方形ABCD 中，AB=5，BC=7，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向长方内部折叠，当点A 的对应点A1恰落在∠BCD 的平分线上时，求CA1的长.【提示：若a·b =0，则a =0或b =0】35、如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点 E ，与CD 相交于点F ，点H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G .(1)求证：BF=AC ； (2)求证：CE=0.5BF ；(3)CE 与BG 存在怎样的数量关系？试证明你的结论.36、如右图，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C′的位置上，(1)若AB=4，BC=8，求重合部分△EBD 的面积；(2)若CD=2，∠ADB=30°，求DE 的长．37、正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A ，将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF ，BF ，如图。

人教版八年级上册第十二章全等三角形知识点复习

A. ①④
B.①②
C.②③
D.③④
2．如图，ABD ≌ CDB ，且 AB 和 CD 是对应边，下面四个结论中不正确的是（）
A. ABD和CDB 的面积相等
A
D
B. ABD和CDB 的周长相等 C. A + ABD = C + CBD
B
C
D.DAD//BC 且 AD=BC
3．如图， ABC ≌ BAD ，A 和 B 以及 C 和 D 分别是对应点，如果
4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．
AB = DE 如图，在 ABC 和 DEF 中 BC = EF
AC =
【典型例题】
例1．如图， ABC ≌ ADC ，点 B 与点 D 是对应点， BAC = 26 ，且 B = 20 ， SABC = 1，求 CAD , D, ACD 的度数及 ACD 的面积．
数及 BC 的长．
E
F
A
BC
D
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11．如图，在 ABC与ABD 中，AC=BD，AD=BC，求证： ABC ≌ ABD
D A
C B
全等三角形（一）作业
1．如图， ABC ≌ CDA ，AC=7cm，AB=5cm.，则 AD 的长是（）
求证：（1） DE ⊥ AB ；（2）BD 平分 ABC （角平分线的相关证明及性质）
B
A E
D
C
【巩固练习】 1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的
形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形； ④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（）

八年级数学上册三角形的判定

八年级数学上册三角形的判定一、全等三角形的判定方法。

1. SSS（边边边）- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。

- 应用场景：当已知三角形三边的长度时，可直接利用SSS判定两个三角形全等。

例如，在建筑工程中，确定两个三角形结构是否完全相同，可以测量三边长度，若三边对应相等则全等。

2. SAS（边角边）- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A=∠D，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。

- 应用场景：当已知三角形的两边及其夹角时，用SAS判定全等。

比如在测量池塘两端距离时，可以构造这样的三角形关系，通过测量夹角和两边来确定全等关系，进而得出池塘两端的距离。

3. ASA（角边角）- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在△ABC和△DEF中，∠A =∠D，AB = DE，∠B=∠E，那么△ABC≌△DEF。

- 应用场景：当已知三角形的两角及其夹边时，运用ASA判定。

在地图测绘中，确定两个三角形区域相似性时，如果知道两角及其夹边的信息，可以判定全等。

4. AAS（角角边）- 内容：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在△ABC和△DEF中，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF，那么△ABC≌△DEF。

- 应用场景：当已知三角形的两个角和其中一个角的对边时，可使用AAS判定全等。

在光学中，光线反射形成的三角形关系，有时可以利用AAS来确定全等关系。

5. HL（斜边、直角边）（只适用于直角三角形）- 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

- 示例：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C =∠F = 90°，AB = DE，AC = DF，那么Rt△ABC≌Rt△DEF。

八年级数学全等三角形代几综合(二)

全等三角形代几综合《二》（硚口区八上期末第16题）1、如图，在平面直角坐标系中，OC 是等边△OAB 的角平分线，点D 与点C 关于y 轴对称，DA 交OB 于E ．若已知A(8，0)，则OE 的长度为___________。

2（广雅二中训五）2、如图，D 为等腰Rt △ABC 斜边AB 的中点，P 为BC 上的动点，以DP 为直角边在其左侧作等腰Rt △DPE ，∠DPE ＝90°．若AB ＝32，当P 从B 运动到C 点的过程中，E 点经过的路径长为____________。

32思考如下两个图形的辅助线方法以及相关结论1、如图，分别以△ABC 的两边AB 、AC 为斜边构造等腰R t △ABD 和等腰R t △ACE ，取BC 的中点F ，连接DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 是等腰直角三角形。

连DC 交OB 于F2、如图等腰R t△ABC和等腰R t△ADE都以点A为顶角顶点，BE、CD是经典线段，若点G平分CD，则AG⊥BE且AG＝12 BE。

知识点全等三角形代几综合【知识梳理】三角形与全等三角形性质判定三角形稳定性三边关系：中线：角度计算：①②③全等三角形边：角：大小：.(1)A(0，2)，B(－2，0) (2)AH+FD=AD，在AD上取K使AH=AK，设∠HFO=α，∴∠OAF=45－α，∵HF∥CD，∴∠CDO=∠ADC=α∴∠FAD=45－α ∴△AHF≌△AKF，∴∠AFK=45°∴∠KFD=90－α，∠FKD=90－α，∴FD=DK ∴AH+FD=AD(3)∠DAO=60°，30°或150° 12分（写对一个给1分，不管另外对错）(1) ∵2a 2＋b 2＋c 2－2ab －8a －2c ＋17＝0∴(a －b )2＋(a －4)2＋(c －1)2＝0∴a ＝b ＝4，c ＝1∴OA ＝OB ∵∠AOB ＝90°∴△AOB 为等腰直角三角形∵∠ODA ＝∠OCB 可证：△ODA ≌△OCB （AAS ） ∴OD ＝OC ＝1∴D (0，1)（2）设AD 、BC 交于点G ∵△ODA ≌△OCB ∴∠OBC ＝∠OAD ∴∠CBA ＝∠DAB∴GA ＝GB 又OA ＝OB ∴OG 为线段AB 的垂直平分线∴∠OGC ＝∠OGD ＝45°∵OE ⊥BC ∴∠AOE ＋∠BOC ＝90°∵∠OBG ＋∠BOC ＝90°∴∠AOE ＝∠OBG 可证：△OBG ≌△AOE （ASA ）∴AE ＝OG ，OE ＝BG ∵∠EOA ＝∠OBC ＝∠OAD ，EF ⊥AD ∴∠OCB ＝∠ANE ∴∠FCN ＝∠FNC ∴FN ＝FC 可证：△OCG ≌△ANE （AAS ）∴CG ＝NE ∴EF ＝FG ∴BF ＝BG ＋FG ＝OE ＋EF（3）延长GE 至H ，且使EG ＝EH ，连接OH 、BH 、BE 则△OHG 为等腰直角三角形由共顶点等腰三角形旋转模型，得OBH ≌OAG （SAS ）∴∠OBH ＝∠OAG ＝135°∵∠OBA ＝45°∴∠HBG ＝90°接下来就是用倍长BE 而来证明“斜边中线”的结论，得BE ＝EG ＝EO ∵EF ⊥OB ∴OF ＝BF（黄陂区12月24题）3、如图，直线AB 交x 轴于点)0,(a A ，交y 轴于点),0(b B ，且b a 、满足a b ++2(5)a -=0，（1）点A 的坐标为；点B 的坐标为；（2）如图1，若点C 的坐标为(－3,－2),且AC BE ⊥于点E ，OC OD ⊥交BE 延长线于D ，试求点D 的坐标；（3）如图2，N M 、分别为OB OA 、边上的点，ON OM =，AN OP ⊥交AB 于点P ，过点P 作BM PG ⊥，交AN 的延长线于点G ，请写出线段OP AG 、与PG 之间的数量关系，并证明你的结论。

八年级秋季班第2讲：全等三角形的综合 -教师版

本节课通过推理和专题训练，学会运用全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大．全等三角形综合主要是通过全等得出结论，进而求出相应的边和角之间的关系．对于稍复杂的会通过添加平行线，倍长中线或截长补短等方法，解决综合问题．全等三角形的综合内容分析知识结构模块一：全等三角形判定的综合知识精讲【例1】已知：AE ＝ED ，BD ＝AB ，试说明：CA ＝CD ．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】在△ABE 与△DBE 中，AE ED AB BD BE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABE DBE SSS ∴∆≅∆，AEB DEB ∴∠=∠， AEC DEC ∴∠=∠．在△ACE 与△DCE 中，AE ED AEC DEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEC DEC SAS ∴∆≅， CA CD ∴=（全等三角形的对应边相等）．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．【例2】如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，试说明：AE ＝DE ．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】在△ABC 和△DCB 中，AB DCAC DB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DCB （S.S.S ）， ∴∠ABC=∠DCB ．在△ABE 和△DCE 中，AB DC ABC DCB BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCE （S.A.S ）， ∴AE=DE （全等三角形的对应边相等）．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．例题解析ABECDABCDE【例3】已知：AB ∥CD ，OE ＝OF ，试说明：AB ＝CD ．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】//AB CD ，A D B C ∴∠=∠∠=∠，．(..)A D B CA D AOE DOF AOE DOF OE OF AOE DOF A A S AO DO ∴∠=∠∠=∠∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=，在和中，，(..)AO DO AOB DOC A DB C AOB DOC A A S =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆在和中， AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．【例4】如图：A 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作BE ⊥AC 、DF ⊥AC ，且AB =CD ，AB ∥CD ．试说明：BD 平分EF ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AB ∥CD ，∴∠A=∠C ．在△AGB 和△CGD 中，A CAGB CGD AB CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴ΔAGB ≌ΔCGD(AAS)， ∴BG=DG ．∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， ∴∠BEG=∠DFG=90°．在△BGE 和△DGF 中，BGE DGF BEG DGF BG DG ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴ΔBGE ≌ΔDGF (A .A .S )， ∴GE=GF ，即BD 平分EF ．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．ABCDEFOABCDEFG【例5】如图，已知AD =AE ，AB =AC ．试说明：BF =FC ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】ABE ACD ∆∆在和中，AD AEA A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ACD SAS ∴∆≅∆， B C ∴∠=∠． BD AB AD CE AC AE BD CE =-=-∴=，，．BDF CEF ∆∆在和中，DFB EFCB CBD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)BDF CEF A A S ∴∆≅∆ ， .BF CF ∴= 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．【例6】如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ．试说明：BD ＝CG ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】90AC BC ACB =∠=︒，，45CAH CBD ∴∠=∠=︒．CH AB CH AH ACG CAH CBD ⊥∴=∴∠=∠=∠，，．90CH AB BF CD CHD CFB ⊥⊥∴∠=∠=︒，，． CDH BDF HCD DBF ∠=∠∴∠=∠，．ACE ACG HCD CBF CBD DBF ∠=∠+∠∠=∠+∠，，ACE CBF ∴∠=∠． ACE CBF 在和中，ACE CBFAEC CFB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACE CBF AAS CAG BCD ∴∴∠=∠≌（），． CAG BCD AGC CDB ACG CBD AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩在和中，，AGC CDB ASA BD CG ∴∴=≌（），．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．ABCD EFGHABCDEF【例7】如图1，△ABD 和△AEC 中，AB =AD =BD ，AE =EC =AC ，连接BE 、CD ．（1）请判断：线段BE 与CD 的大小关系是___________；（2）观察图2，当△ABD 和△AEC 分别绕点A 旋转时，BE 、CD 之间的大小关系是否会改变；（3）观察图3和图4，若四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，猜想类似的结论是______，在图4中证明你的猜想；（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明），如图5，BB 1与EE 1的关系是_________；它们分别在哪两个全等三角形________________；请在图6中标出较小的正六边形AB 1C 1D 1E 1F 1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点，能构造出两个全等三角形?【难度】★★★【答案】（1）BE CD =；（2）不变；（3）AE CG =，证明见解析；（4）11BB EE =，11ABB AEE ∆∆和，连接FF 1，可证11ABB AFF ∆≅∆．【解析】（3）如图4，ABCD DEFG 四边形与四边形都是正方形，90AD CD DE DG ADC GDE ∴==∠=∠=︒，，， CDG ADE ∴∠=∠．在△ADE 和△CDG 中，AD CDADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE CDG SAS ∴∆∆≌， AE CG ∴=．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．ABCD E图1 ABC DE 图2 A B CD E FG ABC D EFG图4图3A BCD E B 1E 1ABCDEF 图6图5【例8】已知△ABC 中，AB =AC =6cm ，BC =4cm ，B C ∠=∠，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以1cm /s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使 △BPD 与△CQP 全等?（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）①全等，理由如下： 1111.t BP CQ cm =∴==⨯=秒，63.AB cm D AB BD cm =∴=，点为的中点，4413PC BC BP BC cm PC cm ==∴==又﹣，， ﹣， PC BD ∴=．在△BPD 和△CQP 中，BD CPB C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)BPD CPQ S A S ∴∆≅∆．②P Q V V BP CQ ≠∴≠，． BPD CPQ B C ∆∆∠=∠又和全等，． 23BP CP cm BD CQ cm ∴====，．2s =1.5/Q P Q t V cm s ∴=∴点与点运动的时间，；（2）x P Q 设经过秒后点与点第一次相遇，1.526x x =+⨯由题意得：，解得：24x =．此时点P 的运动路程为24厘米．因为66416ABCC=++=，所以P Q AC 点、点在边上相遇．即24P Q AC 经过秒点与点第一次在边上相遇．【总结】本题综合性加强，主要考查了动点与全等三角形判定定理和性质定理的结合，解题时注意分析动点的运动轨迹．ABCDP Q1、倍长中线法；2、添加平行线构造全等三角形；3、截长补短构造全等的三角形；4、图形的运动构造全等三角形．【例9】已知三角形的两边分别为5和7，求第三边上的中线长x 的取值范围．【难度】★★ 【答案】16x <<．【解析】57AB AC ==如图所示，，．AD E AD DE =延长至，使∵AD 是BC 边上中线， ∴BD =CD ．在△BDE 与△CDA 中，AD DE EDB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(..)BDE CDA S A S ∆∆≌， ∴7BE AC ==．在ABE ∆中，∵BE AB AE AB BE -+＜＜， ∴7575AD -<<+，∴16x <<．【总结】本题主要考查了中线倍长辅助线及三角形三边关系的综合应用．模块二：添加辅助线构造全等三角形知识精讲例题解析【例10】在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AE ＝EF ，试说明：BF ＝AC ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AD G DG AD BG =延长至，使，连接．∵AD 是BC 边上中线， ∴BD =CD ．在△BDG 与△CDA 中，AD DGGDB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(..)BDG CDA S A S ∆∆≌， ∴BG AC G CAD =∠=∠，．AE EF CAD EFA =∴∠=∠，． EFA DFB ∠=∠， DFB G ∴∠=∠，BF BG BF AC ∴=∴=，．【总结】本题中一方面主要考查了辅助线的添加，另一方面考查了等腰三角形的性质的运用，教师可选择性讲解．【例11】如图所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AC =BF ．试说明：AE =EF ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AD M MD FD MC =延长至点，使，连接．∵AD 是BC 边上中线， ∴BD =CD ． BD CDBDF CDM BDF CDM DF DM =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，..BDF CDM S A S MC BF M BFD ∴∆∆∴=∠=∠≌（）, ，． AC BF AC MC M EAF =∴=∴∠=∠，，． .BFD AFE EAF AFE AE EF ∠=∠∴∠=∠∴=，，【总结】本题中一方面主要考查了辅助线的添加，另一方面考查了等腰三角形的性质的运用，教师可选择性讲解．ABCDEF【例12】已知：如图所示，△ABC 中，D 为BC 上一点，AB =AC ， ED =DF ，试说明：BE =CF ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】//E EM AC BC M 过点作交于点，则BME ACB ∠=∠．AB AC ABC ACB =∴∠=∠，，ABC BME BE EM ∴∠=∠∴=，．//EM AC EMD FCD ∴∠=∠，．在△EMD 与△FCD 中，EMD FCDED DF EDM FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(..)EDM FDC A A S EM CF BE CF ∴∆≅∆∴=∴=，，．【总结】本题主要考查了平行线的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．【例13】 △ABC 中，AB =AC ，E 为AC 延长线交于一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC于G ．试说明：GD =GE ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】//D DF AC BC F 过点作交于，DFG ECG FDG E DFB ACB ∠=∠∠=∠∠=∠则，，． AB AC B ACB B DFB BD DF =∴∠=∠∴∠=∠∴=，，，．BD CE DF CE =∴=，．在△DGF 与△EGC 中，DGF EGCDF EG GDF E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()..DFG ECG A SA GD GE ∴∆≅∆∴=，．【总结】本题主要考查了平行线的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．【例14】己知，△ABC 中，AB =AC ，CD ⊥AB ，垂足为D ，P 是射线BC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 垂足分别为E 、F ，试说明PE 、PF 与CD 的关系．【难度】★★【答案】当点P 在线段BC 上时，PE PF CD +=；当点P 在B C 的延长线上时，PE PF CD -=．【解析】（1）当点P 在线段BC 上时，连接AP ，PE AB PF AC CD AB ⊥⊥⊥，，，111222ABP ACP ABC S AB PE S AC PF S AB CD ∆∆∆∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，，．ABP ACP ABC S S S ∆∆∆+=，111222AB PE AC PF AB CD ∴⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅． AB AC =， PE PF CD ∴+=；（2）当点P 在BC 的延长线上时，连接AP ， PE AB PF AC CD AB ⊥⊥⊥，，，111222ABP ACP ABC S AB PE S AC PF S AB CD ∆∆∆∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，，．ABP ACP ABC S S S ∆∆∆-=，111222AB PE AC PF AB CD ∴⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅． AB AC =， PE PF CD ∴-=．【总结】本题主要考查了利用三角形的面积关系说明线段间的关系．FE D CA BPFEDC A B P【例15】已知，如图在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，BC >AB ，∠A +∠C =180°．试说明：AD =CD ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】D DE BA BA E ⊥过点作交的延长线于， D DF BC F ⊥过点作，垂足为，则90E BFD DFC ∠=∠=∠=︒．BD ABC DAE DBF ∠∴∠=∠平分，．E BFDBED BFD ABD FBD BD BD ∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中, ， ..ABD EBD A AS ∴∆≅∆（）， DE DF ∴＝． 180180BAD C BAD EAD ∠+∠=︒∠+∠=︒，， EAD C ∴∠=∠． ..E DFC AED CFD EAD CDE DFAED CFD A A S AD CD∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=在和中，（），【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合运用，注意辅助线的添加．【例16】已知，如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 是AC 的中点，AF ⊥BD于E ，交BC 于F ，连结DF ．试说明：∠ADB =∠CDF ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】 A AN BC BC N BD M ⊥过点作交于点，交于点，90 BAC AE BD ABD FAC ∠=︒⊥∴∠=∠，，．45ABC AB AC C BAM DAM ∆∴=∠=∠=∠=︒是等腰直角三角形，，．在△BAM 与△ACF 中，ABD FACAB ACBAM C ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩， (..)BAM CAF A S A AM CF ∴∆≅∆∴=，． D AC AD CD ∴=为中点，．在△AMD 与△CFD 中，MAD C AD C D M F C A ∠=∠==⎧⎪⎨⎪⎩，(..)AMD CFD S A S ADB CDF ∴∆≅∆∴∠=∠，．【总结】本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．【例17】如图，BC ∥AD ，EA 、EB 分别平分∠DAB 、∠CBA ，CD 过点E ，试说明：AB ＝AD +BC ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AB AF AD EF =在上截取，连接．EA DAB DAE FAE ∠∴∠=∠平分，． AF ADFAE DAE DAE FAE AE AE =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)FAE DAE S A S AD AF D AFE ∴∆≅∆∴=∠=∠，，．//180BC AD D C ︒∴∠+∠=，，180AFE BFE C BFE ︒∠+∠=∴∠=∠，．EB CBA FBE CBE ∠∴∠=∠平分，． C BFE FBE CBE FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)FBE CBE A A S BC BF AB AD BC ∴∆≅∆∴=∴=+，，．【总结】本题主要考查截长补短辅助线的运用．【例18】如图，在ABC ∆中，AB AC =，108BAC ∠=，BD 平分ABC ∠．试说明:BC AB CD =+．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AB CE CD =在上截取，连接DE ．108AB AC BAC ︒=∠=，， (180)236C ABC BAC ︒︒∴∠=∠=-∠÷=．(180)272CED CDE C ︒︒∴∠=∠=-∠÷=， 108BED BAD ︒∴∠==∠．BD ABC ABD EBD ∠∴∠=∠平分，．ABD EBDBDA BDE BAD BED BD BD ∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，， (..)BDA BDE A A S AB BE ∴∆≅∆∴=，．BC BE CE BC AB CD =+∴=+，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质定理及三角形内角和定理的应用．ABCD【例19】如图，已知ABC ∆中，AD 是BAC ∠的角平分线，2B C ∠=∠．试说明：AB BD AC +=．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AC E AE AB DE 在边上取点，使＝，连接．AD BAC BAD CAD ∠∴∠∠平分，＝．在△AMD 与△CFD 中，AB AEBAD EAD AD AD =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩(..)ABD AED S A S DE BD AED B ∴∆∆∴=∠=∠≌，，． 22B C AED C ∠=∠∴∠=∠，．AED C CDE C CDE ∠=∠+∠∴∠=∠，，DE CE CE BD ∴=∴=，． AC AE CE AC AB BD =+∴=+，．【总结】本题主要考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．【例20】在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，若AB >AD ，DC =BC ．试说明：180B D ︒∠+∠=．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AB AF AD FC =在上截取，连接．AC DAB DAC FAC ∠∴∠=∠平分，． (..)AD AFADC AFC DAC FACAC ACADC AFC S A S D AFC CD CF =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴∠=∠=在与中，，， DC BC FC BC CFB B =∴=∴∠=∠，，，180B D AFC CFB ∴∠+∠=∠+∠=︒．【总结】本题主要考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．FABCD【例21】如图，在△ABC 中，AB =AC ，延长AB 到D ，使BD =AB ，取AB 的中点E ，连接CD 和CE ，试说明：CD =2CE ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】延长CE 到H ，使EH =CE ，连接BH ． ∵E 是AB 的中点， ∴AE = BE ．在△AEC 与△BEH 中， AE BEAEC BEH CE EH =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴AEC BEH ≅， ∴A EBH BH AC AB BD ∠=∠===，．∵AB =AC ， ∴13∠=∠．∵13CBD A CBH ABH ∠=∠+∠∠=∠+∠，， ∴CBD CBH ∠=∠．在△CBD 与△CBH 中， BD BHCBD CBH CB CB =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴CBD CBH ≅， ∴2CD CE =．【总结】本题主要考查了中线倍长辅助线与全等三角形的判定的综合运用．【例22】已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，试说明：AB +BE =AC ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】E EF AC F ⊥过点作于点，则90AFE CFE ∠=∠=︒．9045ABCD B ACB ∴∠=︒∠=︒四边形是正方形，，，180904545FEC ACB ︒︒︒︒∴∠=--==∠， EF FC ∴=．AE BAC BAE FAE ∠∴∠=∠是的平分线，．BABE AFE BAE FAE AE AE AFE ∠⎧⎪∆∆∠∠=∠=⎨⎪=⎩在和中，(..)ABE AFE A A S ∴∆≅∆， AB AF BE EF FC ∴===，．AF FC AC AB BE AC +=∴+=，．【总结】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．231ABCDEFH【例23】如图：在△ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD ⊥BC ，延长AB 到E ，使BD =BE ，延长ED 到F ，交AC 于F ，说明AF =DF =CF 的理由．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】BD BE =，E BDE ∴∠=∠， 2ABC E BDE BDE ∴∠=∠+∠=∠． 2ABC C BDE C ∠=∠∴∠=∠，．BDE FDC C FDC DF CF ∠=∠∴∠=∠∴=，，．9090AD BC ADF FDC DAF C ︒︒⊥∴∠+∠=∠+∠=，，，ADF DAF AF DF AF DF CF ∴∠=∠∴=∴==，，．【总结】本题综合性较强，主要考查了等腰三角形的性质运用，教师可选择性讲解．【例24】已知AD 为△ABC 的角平分线，AB ＞AC ，试说明：AB －AC ＞BD －DC ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AB AE AC DE =在上截取，连接．DAE D A A BC C D A ∴∠=∠∆为的角平分线，． AE ACADE ADC DAE DAC AD AD =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，，(..)ADE ADC S A S DE DC ∴∆∆∴=≌，．BDE BE BD DE BE BD DC ∆>-∴>-，在中，，AB AC BD DC ∴->-．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的综合应用．ABCDEF【例25】已知，如图1正方形ABCD 中，E 是BC 中点，EF ⊥AE 交∠DCE 外角的平分线于F ．（1）试说明：AE =EF ．（2）如图2，如当E 是BC 上任意一点，而其它条件不变时，AE =EF 是否仍然成立，试加以分析说明．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）AB H EH 取的中点，连接．90ABCD AB BC B BCD ︒∴=∠=∠=是正方形，，， 90EAH AEB ︒∴∠+∠=．90AE EF FEC AEB EAH FEC ︒⊥∴∠+∠=∴∠=∠，，．H AB E BC AH BH BE BC ∴===为中点，为中点，， 45BHE ︒∴∠=， 18045135AHE ︒︒︒∴∠=-=．45CF DCG FCD ∠∴∠=︒为的角平分线，， 135ECF AHE ECF ︒∴∠=∴∠=∠，． AHE ECFAHE ECF AH EC EAH FEC ∠=∠⎧⎪∆∆=⎨⎪∠=∠⎩在和中，(..)AHE ECF A S A AE EF ∴∆≅∆∴=，；（2）成立．90ABCD AB BC B BCD ︒∴=∠=∠=是正方形，，， 90EAH AEB ︒∴∠+∠=． 90AE EF FEC AEB EAH FEC ︒⊥∴∠+∠=∴∠=∠，，．4518045135AH EC BH BE BHE AHE ︒︒︒︒=∴=∴∠=∴∠=-=，，，．45CF DCG FCD ∠∴∠=︒为的角平分线，， 135ECF AHE ECF ︒∴∠=∴∠=∠，． AHE ECFAHE ECF AH EC EAH FEC ∠=∠⎧⎪∆∆=⎨⎪∠=∠⎩在和中，(..)AHE ECF A S A AE EF ∴∆≅∆∴=，．【总结】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．ABCDE FGA BCDE FG图1图2HH【例26】如图，点D 、E 三等分△ABC 的BC 边．试说明：AB +AC ＞AD +AE ．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】AD F DF AD BF =延长至，使，连接，AE G EG AE CG =延长至，使，连接．D E BC BD DE EC ∴==、三等分，． DF ADBDF EDA BDF EDA BD DE =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，..BDF EDA S AS ∴∆≅∆（）， BF AE ∴=． 2ABF AB BF AF AB AE AD ∆+>∴+>在中，，． 2AC AD AE +>同理可证：．22AB AE AC AD AD AE ∴+++>+，即 AB AC AD AE +>+．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的应用，注意辅助线的添加．【例27】已知：如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD =CE ．试说明：AB +AC ＞AD +AE ．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】BC M AM N MN AM =取中点，连并延长至，使， BN DN ND AB P 连、，延长交于．BD CE DM EM =∴=，．在△AEM 与△NDM 中，AM MN AME NMD EM DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()..DMN EMA S A S ∴∆∆≌， DN AE ∴=．BN CA =同理可证：．BN BP PN DP PA AD +>+>，， BN BP DP PA PN AD ∴+++>+． BN AB DN AD AB AC AD AE ∴+>+∴+>+，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的应用．ABCDE M NP【例28】如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是CB 延长线的一点，且∠D =60°，E 是AD上一点，DE =DB ．试说明：AE =BE +BC ．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】DC F CF BD AF =延长到，使，连接．AB AC ABC ACB ABD ACF =∴∠=∠∴∠=∠，，．在△ABD 与△ACF 中，AB ACABD ACF BD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD ACF SAS AD AF ∴∴=≌，．60ADB ADF AD DF ︒∠=∴∆∴=，是等边三角形，．AD AE DE DF DB BC CF =+=++，，AE DE DB BC CF ∴+=++．60DE DB ADB DEB ︒=∠=∴∆，，也是等边三角形， DE BE DB CF AE BE BC ∴===∴=+，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质的综合运用，综合性较强，注意对学生进行适当的引导．【习题1】如图△ABC 和△DBC 中，∠ABP =∠DBP ，∠ACP=∠DCP ，P 是BC 上任意一点，试说明：P A =PD ．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】ABC DBC ∆∆在和中，ABP DBPBC BC ACP DCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(..)ABC DBC S A S AB BD ∴∆≅∆∴=，．ABP DBP ABP DBP BP BP AB BD ∠=∠⎧⎪∆∆=⎨⎪=⎩在和中，(..)ABP DBP S A S PA PD ∴∆≅∆∴=，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用．随堂检测ABCDPABCDE F【习题2】已知，△ABC 中，AB =5，AC =3，则中线AD 的取值范围是_________．【难度】★【答案】14AD <<．【解析】AD E DE AD EC =延长至点，使，连接． 2AD x AE x ==设，则．在△ABD 与△ECD 中，BD CDADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(..)5ABD ECD S A S CE AB ∴∆≅∆∴==，． 322814AC x x =∴<<∴<<，，．即14AD <<．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的应用．【习题3】从正方形ABCD 的顶点A 作∠EAF =45°，交DC 于F ，BC 于E ，试说明：DF +BE =EF ．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】CD G DG BE AG =延长到，使，连接．ABCD 四边形为正方形，90AB AD B ADC ADG ︒∴=∠=∠=∠=，，ADG B ∴∠=∠．(..)B AB AD ABE ADG B ADGABE ADG S A S AE AG BA E E DA D G G=⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪⎩∴∆≅∆∴=∠=∠=在和中，，， 45EAF ︒∠=，904545GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF ︒︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=-=，即EAF GAF ∠=∠．(..)AE AG AEF AGF EAF GAFAF AFAEF AGF S A S EF GF=⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=在和中，， GF DG DF BE DF BE DF EF =+=+∴+=，．【总结】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质的运用，利用旋转作辅助线构造全等是解题的关键．ABCD EFGG【习题4】已知，E 是AB 中点，AF =BD ，BD =5，AC =7，求DC 的长．【难度】★★ 【答案】2．【解析】FE G EF GE BG =延长至，使，连接．E AB AE BE ∴=是中点，．AE BEAFE BGE AEF BEG FE GE =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)AFE BGE S A S ∴∆≅∆，GB AF G AFG DFC ∴=∠=∠=∠，． AF BD GB BD =∴=，，D G AFG DFC CD CF ∴∠=∠=∠=∠∴=，． 752AC AF DC CF AC AF ==∴==-=，，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形性质的综合运用，教师在讲解时注意针对性的引导．【习题5】如图，△ABC 中，AB <AC ，AD 是中线，试说明：∠DAC <∠DAB ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AD E AD DE BE =延长到点，使，连接．AD BD CD ∴=为中线，．BD CDBDE CDA BDE CDA DE AD =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)BDE CDA S A S BE AC DAC E ∴∆≅∆∴=∠=∠，，． AB AC AB BE <∴<，， E DAB DAC DAB ∴∠<∠∴∠<∠，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形边角关系的综合应用，注意添加适当的辅助线将问题进行转化．ABCD E【习题6】 △ABC 中，AB >AC ，AD 是∠BAC 的平分线，P 是AD 上任意一点，试说明：AB -AC >PB -PC ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AB E AE AC PE =在上取一点，使，连接，则AB AE AB AC BE -=-=．AD BAC EAP CAP ∠∴∠=∠平分，． AEP ACP ∆∆在和中，AE ACEAP CAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(S.A.S)AEP ACP PE PC ∴∆≅∆∴=，．BPE ∆在中，BE PB PE AB AC PB PC >-∴->-，．【总结】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的综合应用．【习题7】如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG =CF ，试说明：∠BAD=∠CAD ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】GE M EM GE CM =延长到点，使，连接．E BC BE CE ∴=是中点，．BE CEBEG CEM BEG CEM GE EM =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)BEG CEM S A S BG CM BGE M ∴∆≅∆∴=∠=∠，，． BG CF CM CF M F BGE F =∴=∴∠=∠∴∠=∠，，，//EF AD BGE BAD F CAD ∴∠=∠∠=∠，，，BAD CAD ∴∠=∠．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的性质的综合运用．MABCD E F G ABCDP E【习题8】已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE ．试说明：BE +DF =AE ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】CB G BG DF AG =延长到，使，连接．ABCD 四边形为正方形，//90AB AD AB CD D ABC ︒∴=∠=∠=，，． //AB CD AFD BAF EAF BAE ∴∠=∠=∠+∠，．9018090ABC ABG ABC D ︒︒︒∠=∴∠=-∠==∠，． AB ADABG ADG ABG D BG DF =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)ABG ADF S A S G AFD BAG DAF EAF ∴∆≅∆∴∠=∠∠=∠=∠，，．G AFD EAF BAE BAG BAE EAG ∴∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠．GE AE ∴=，BE DF BE GB GE AE ∴+=+==．【总结】本题主要考查了在正方形背景下的辅助线的添加及全等三角形的综合运用．【习题9】如图所示，△ABC 是边长为1的正三角形，∠ BDC = 120°，BD =CD ，以D 为顶点作一个60°的∠MDN ，点M 、N 分别在AB ，AC 上，求△AMN 的周长．【难度】★★★ 【答案】2【解析】AC E CE BM DE =延长到点，使，连接． 60ABC ABC ACB ︒∆∴∠=∠=为正三角形，．12030BDC BD BC DBC DCB ︒︒∠==∴∠=∠=，，， 9090MBD ACD ECD MBD ︒︒∴∠=∠=∴∠==∠，． BM CEMBD ECD MBD ECD BD BC =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)MBD ECD S A S BDM EDC MD DE ∴∆≅∆∴∠=∠=，，．6060MDN BDM NDC ︒︒∠=∴∠+∠=，，60EDC NDC EDN MDN ︒∴∠+∠==∠=∠． MD DEMDN EDN MDN EDN DN DN =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，，(..)MDN EDN S A S MN EN ∴∆≅∆∴=，．AM MN AN AM EN AN AM NC CE AN ∴++=++=+++ AM BM NC AN AB AC =+++=+，112ABC AM MN AN ∆∴++=+=边长为1，．ABCDEFGABCDMNE【习题10】如图，已知梯形ABCD 中，AB =CD =10厘米，BC =8厘米，∠B =∠C ，点E为AB 的中点．点P 在线段BC 上由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．（1）若点P 与Q 都以2厘米/秒的速度运动，经过1．5秒后，△BPE 与△CQP 是否全等?请说明理由；（2）若点P 的速度为3厘米/秒，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△PBE 与 △CQP 全等? 【难度】★★★【答案】（1）全等；（2）3/cm s 或15/4cm s ．【解析】（1） 1.533BP CQ ==经过秒后，，，则BP CQ =．105AB E AB BE =∴=，为中点，． 85BC CP BE CP =∴=∴=，，．BE CPBPE CQP B C BP CQ =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，，(..)BPE CQP S A S ∴∆≅∆；（2）BPE CQP ∆≅∆当时，由（1）可知5BE =，5CP ∴=． 83BC BP CQ =∴==，．3/13/P cm s s Q cm s ∴∴点速度为，运动时间为，点速度为． 45BPE CPQ BP CP CQ ∆≅∆===当时，同理可得：，，4153//34P cm s s Q cm s ∴∴点速度为，运动时间为，点速度为．综上点Q 的运动速度为3/cm s 或15/4cm s ．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论，综合性较强．A BCDE PQ【作业1】已知：如图，OD ⊥AD ，OH ⊥AE ，DE 交GH 于O ．若∠1=∠2，试说明：OG =OE ．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】OD AD OH AE ⊥⊥，，90ADO GDO AHO EHO ∴∠=∠=∠=∠=． 12ADO AHOAOD AOH AO AO ∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)AOD AOH A A S OD OH ∴∆≅∆∴=，．DOG HOE DOG HOE OD OH GDO EHO ∠=∠⎧⎪∆∆=⎨⎪∠=∠⎩在和中，(..)DOG HOE S A S OG OE ∴∆≅∆∆∴=，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合运用．【作业2】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．试说明：AD < (AB +AC )．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】延长AD 到点E ，使AD DE =，连接BE ，AD 为BC 边上的中线， BD CD ∴=．BD CDBDE CDA BDE CDA AD DE =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)BDE CDA S A S BE AC ∴∆≅∆∴=，．ABE ∆在中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>，1()2AD AB AC ∴<+．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形三边关系的综合运用．课后作业AGODEH1 2ABCDE【作业3】已知：AB //ED ，∠EAB =∠BDE ，AF =CD ，EF =BC ，试说明：∠F =∠C ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】EB 连接//AB ED ABE DEB ∴∠=∠，．EAB BDEABE DEB ABE DEB BE EB ∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)ABE DEB A A S AE DB ∴∆≅∆∴=，．AF CD AEF DBC EF BC AE DB =⎧⎪∆∆=⎨⎪=⎩在和中，(..)AEF DBC S S S F C ∴∆≅∆∴∠=∠，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的综合运用．【作业4】 △ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，试说明：∠C =2∠B ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AB AE AC DE =在上截取，连接．AD CAB CAD EAD ∠∴∠=∠是的平分线，． AC AECAD EAD CAD EAD AD AD =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)CAD EAD S A S CD DE C AED ∴∆≅∆∴=∠=∠，，．AB AC CD AB AE BE DE BE EDB B =+=+∴=∴∠=∠，，，． 22AED EDB B B C B ∠=∠+∠=∠∴∠=∠，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及角平分线的性质的综合运用．ABCDE【作业5】已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE =∠CDE ．试说明：AB =CD ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AE F AE EF CF =延长到点，使，连接．E BC BE CE ∴=是的中点，． AE EFABE FCE AEF FEC BE CE =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)ABE FCE S A S AB FC BAE F ∴∆≅∆∴=∠=∠，，，BAE CDE F CDE FC CD AB CD ∠=∠∴∠=∠∴=∴=，，，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的综合运用．【作业6】如图所示，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE =CD ，EF =AC ．试说明：EF ∥AB ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AD G AD DG EG =延长到点，使，连接ADC GDE ∆∆在和中， AD DGADC GDE CD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(..)ADC GDE S A S CAD G AC EG ∴∆≅∆∴∠=∠=，，．EF AC EF EG EFD G CAD EFD =∴=∴∠=∠∴∠=∠，，，．AD BAC BAD CAD BAD EFD ∠∴∠=∠∴∠=∠平分，，，//EF AB ∴【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及平行线的判定定理的综合运用，注意辅助线的添加．A BCDE FABCD EF G【作业7】在直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE 垂直于BD ，试说明BD =2CE ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】BA CE F 延、交于点901809090.45.22.567.5.9067.522.5.BAC FAC BAC AB AC ABC ACB BD ABC ABD DBC ADB CE BD BEC BCE ACE ABD ACE ︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒∠=∴∠=-==∠=∴∠=∠=∠∴∠=∠=∴∠=⊥∴∠=∴∠=∴∠=∴∠=∠，，平分，，，，，，ABD ACF ∆∆在和中，BAC FAC AB ACABD ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)ABD ACF S A S ∴∆≅∆， 67.5BD CF ADB F ︒∴=∠=∠=，，F BCE ∴∠=∠．F BCEFBE CBE ABD DBC BE BE ∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，，(..)FBE CBE A A S ∴∆≅∆．22EF CE CF CE BD CE ∴=∴=∴=，，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的综合运用．ABCDE F【作业8】已知：点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O ．（1）试说明：AN =BM ；（2）求∠AOB 的度数；（3）若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，试说明：PQ ∥AB ．【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）120︒；（3）见解析．【解析】（1）,ACM CBN ∆∆是等边三角形，60.(..).AC MC CB CN MCA NCB ACN MCN MCA MCB NCB MCA ACN MCB AC MCACN MCB ACN MCBCN CB MCB ACN S A S AN BM ︒∴==∠=∠=∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠=⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=，，，，，在和中，，（2）MCB ACN ∆≅∆，OBA CNA CBM CNA ∴∠=∠∴∠=∠，． 60180120.NOB AOB NOB OAB OBA OAB CNA NCB AOB NOB ︒︒︒∠∆∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=∴∠=-∠=是的外角，，（3）PQ 连接18060. (S.A.S)6.0//.MCQ ACM BCN MCQ ACP CAP CMQ AC MC MCQ ACP CAN CMB CAP CMQ MCB AC CP CQ CPQ CPQ CPQ ACM N CMB CA PQ AB N ︒︒︒∆≅∆∴∠∠=-∠-∠=∴∠=∠∆∆=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆∴=∴∆∴∠=∴∠=∠∠=∴在和中，，为等边三角形，，，，，，【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质的综合运用，解题时注意观察角度间的关系．ABC PQOM N【作业9】五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，试说明：AD 平分∠CDE ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】DE F EF BC AF AC =延长至点，使，连接、．180180ABC AED ABC AED AEF ︒︒∠+∠=∴∠=-∠=∠，．在△ABC 与△AEF 中，AB AEABC AEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， () ABC AEF SAS AC AF ∴∆≅∆∴=，．在△ADC 与△ADF 中，AC AF CD FD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(..)ADC ADF S S S ADE ADC ∴∆≅∆∴∠=∠，，AD CDE ∴∠平分．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合运用，注意辅助线的添加．【作业10】如图点M 是△ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外），其中AB =AD =BD ，作∠DMN =60°，射线MN 与∠DBA 外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系? 【难度】★★★ 【答案】DM MN =．【解析】AD AF AM FM =在上截取，联接．AB AD BD ABD ==∴∆，为等边三角形， 60A ABD AFM ︒∴∠=∠=∴∆，是等边三角形，()60120606060,11806060.2AFM AMF DFM FDM FMD DMN DMF BMN FDM BMN BN DBE DBN ︒︒︒︒︒︒︒︒∴∠=∠=∴∠=∴∠+∠=∠=∴∠+∠=∴∠=∠∠∴∠=-=，，，，，为的角平分线，120MBN MBD NBD MBN DFM ︒∠=∠+∠=∴∠=∠，． AD AB AF AM DF BM ==∴=，，．在△DFM 与△MBN 中，FDM BMNDFM MBN DF BM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)DFM MBN A S A DM MN ∴∆≅∆∴=，．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等是解题的关键．ABNDEMABC DE F F【作业11】已知，如图1所示，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点B 、A 、D 在一条直线上，连接BE 、CD ，M 、N 分别为BE 、 CD 的中点．（1）试说明：①BE =CD ；②AN =AM ；（2）在图1的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立．【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）成立．【解析】BAC DAE ∠=∠①， BAE CAD ∴∠=∠．在△ABE 与△ACD 中， AB ACBAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(..)ABE ACD S A S ∴∆≅∆，BE CD ∴=； ABE ACD ∆≅∆②，ABE ACD BE CD ∴∠=∠=，．M N BE CD 、分别是、的中点，BM CN ∴=．在△ACN 与△ABM 中，AB AC ABM ACN BM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(..)ABM ACN S A S ∴∆≅∆，AM AN ∴=．（2）成立，证明过程如（1）．【总结】本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定和性质的综合运用，综合性较强．AB CD EN M 图1ABCDEM N 图2。

八年级数学第十一章全等三角形综合复习人教新课标版

初二数学第十一章全等三角形综合复习人教新课标版一、学习目标：1. 复习全等形与全等三角形的概念、全等三角形的判定定理，以及角平分线的作图方法和角平分线的性质等知识，建立知识系统；2. 使学生总结寻找全等三角形及其全等条件的方法、归纳常见辅助线的作法，使学生掌握分析问题的方法，提升解题能力。

二、重点、难点：重点：将所学知识科学地组织起来，将其纳入已有的知识结构中。

难点：提升分析问题、解决问题的能力。

三、考点分析：全等三角形是初中几何的重要内容，也是数学中最基础的知识，是研究平面几何的重要工具。

近几年的中考数学试题中，经常将全等与其他知识结合在一起，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力，形式多种多样，为全等这一传统的话题增添了新颖的味道。

1. 全等三角形的概念及性质；2. 三角形全等的判定；3. 角平分线的性质及判定。

知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSS HL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：ACF BDE ∆≅∆。

思路分析：从结论ACF BDE ∆≅∆入手，全等条件只有AC BD =；由A E B F =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。

还缺少一个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。

由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明ACE BDF ∆≅∆，从而得到A B ∠=∠。

苏科版数学八年级上册数学期末几何专题复习——三角形综合(全等与勾股定理)(二)

八年级上册数学期末几何专题复习——三角形综合（全等与勾股定理）（二）1．如图，已知△ABC中，AB＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？2．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE＝CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE＝CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE＝CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB ＝α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．3．如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE 交AC于点F，过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H．（1）求证：AG＝AD；（2）求证：DF＝EF；＝2，求△DGF的面积．（3）若CF＝CE，S△ADG4．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A，B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F．（1）点D在边AB上时，试探究线段BD，AB和AF的数量关系，并证明你的结论；（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出正确结论．5．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C 重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝128°时，∠EDC＝，∠AED＝；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．7．如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB＝CD，③CE＝BF．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果⊗、⊗，那么⊗”）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．8．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．9．已知四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN 绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），易证AE+CF＝EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．10．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．参考答案1．解：（1）全等，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1＝1厘米，∵AB＝6cm，点D为AB的中点，∴BD＝3cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，∴PC＝4﹣1＝3cm，∴PC＝BD．∵∠B＝∠C，∴△BPD≌△CPQ；（2）∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，∴点P，点Q运动的时间为：t＝2秒，∴v Q＝1.5cm/s；2．解：（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝CB，∠A＝∠BCD＝60°，∵AE＝CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE＝∠CBD，∴∠BFE＝∠CBD+∠BCF＝∠ACE+∠BCF＝∠BCA＝60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝CB，∠A＝∠BCD＝60°，∴∠CAE＝∠BCD＝′120°∵AE＝CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE＝∠CBD＝∠DCF，∴∠BFE＝∠D+∠DCF＝∠D+∠CBD＝∠BCA＝60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC＝OA，∴∠EAC＝∠DCB＝180°﹣α，∵AC＝BC，AE＝CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E＝∠D，∴∠BFE＝∠D+∠DCF＝∠E+∠ECA＝∠OAC＝α．3．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵DG⊥AC，∴∠AGD＝90°，∠ADG＝30°，∴AG＝AD；（2）解：∵DH∥BC，∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∴DH＝AD，∵AD＝CE，∴DH＝CE，在△DHF和△ECF中，，∴△DHF≌△ECF（AAS），∴DF＝EF；（3）∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，AD＝DH，∴AG＝GH，∵△DHF≌△ECF，∴HF＝CF，∵CF＝CE，DH＝CE，∴HF＝AH，∴GF＝3AG，∵△DGF和△ADG等高，∴S△DGF ＝3S△ADG＝6．4．解：（1）AB＝FA+BD．证明：如图1，∵BE⊥CD即∠BEC＝90°，∠BAC＝90°，∴∠F+∠FBA＝90°，∠F+∠FCE＝90°．∴∠FBA＝∠FCE．∵∠FAB＝180°﹣∠DAC＝90°，∴∠FAB＝∠DAC．在△FAB和△DAC中，．∴△FAB≌△DAC（ASA）．∴FA＝DA．∴AB＝AD+BD＝FA+BD．（2）（1）中的结论不成立．点D在AB的延长线上时，AB＝AF﹣BD；点D在AB的反向延长线上时，AB＝BD﹣AF．理由如下：①当点D在AB的延长线上时，如图2．同理可得：FA＝DA．则AB＝AD﹣BD＝AF﹣BD．②点D在AB的反向延长线上时，如图3．同理可得：FA＝DA．则AB＝BD﹣AD＝BD﹣AF．5．（1）证明：∵点D是AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠CBD＝45°，∴∠CAE＝∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF＝90°，又∵∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACE＝∠CBG，在△AEC和△CGB中，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE＝CG，（2）解：BE＝CM．证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH＝90°，∠BEC+∠MCH＝90°，∴∠CMA＝∠BEC，又∵∠ACM＝∠CBE＝45°，在△BCE和△CAM中，，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE＝CM．6．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝36°，∵∠ADE＝36°，∠BDA＝128°，∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝16°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝16°+36°＝52°，故答案为：16°；52°；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由：∵AB＝2，DC＝2，∴AB＝DC，∵∠C＝36°，∴∠DEC+∠EDC＝144°，∵∠ADE＝36°，∴∠ADB+∠EDC＝144°，∴∠ADB＝∠DEC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形，①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝72°，∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝72°+36°＝108°；②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝36°，∴∠DAE＝108°，此时，点D与点B重合，不合题意；③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝36°，∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝36°+36°＝72°；综上所述，当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形．7．解：（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；（2）若选择如果①②，那么③，证明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵AB＝CD，∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝DB，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴CE＝BF；若选择如果①③，那么②，证明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴AC＝DB，∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝CD．8．证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．又∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．9．解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，AE＝CF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF；∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AE＝BE，CF＝BF；∵∠MBN＝60°，BE＝BF，∴△BEF为等边三角形；∴AE+CF＝BE+BF＝BE＝EF；图2成立，图3不成立．证明图2．延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，在△BAE和△BCK中，则△BAE≌△BCK，∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，∴∠FBC+∠ABE＝60°，∴∠FBC+∠KBC＝60°，∴∠KBF＝∠FBE＝60°，在△KBF和△EBF中，∴△KBF≌△EBF，∴KF＝EF，∴KC+CF＝EF，即AE+CF＝EF．图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE﹣CF＝EF．10．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE＝AF，∵AC＝20，CF＝BE＝4，∴AE＝AF＝20﹣4＝16，∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12．。

人教版八年级数学上册第十二章 12.2.2 全等三角形综合备课综合(解析版)

12.2.2 全等三角形综合【教学重难点】1.重点：全等三角形的构造。

2.难点：如何根据已知条件添加适当的辅助线。

【基础知识梳理】一：找全等三角形的方法1.可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；2.可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；3.可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；4.若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

二：三角形中常见辅助线的作法1.中线倍长得全等；2.载长补短得全等；3.作平行得全等；4.作垂直得全等；5.作角平分线上的点两边的距离得全等，或截取等长线段得全等；6.连等腰三角形顶点和底边中点得高线和角平分线；7.补全定理图形或基本图形，运用定理或基本结论解题。

【经典例题讲解】一：中线倍长：遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长；思维模式是全等变换中的“旋转”，可转移元素或将分散的条件聚集拢来。

例1.已知：如图AD是△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD解析：1对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边。

2中线倍长可起到把分散元素转移集中的作用。

答案：证明：延长AD至E使得DE=AD，连接EC，则AE=2AD∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD在△ABD和△CED中BD=CE∠ADB=∠EDCAD=ED，∴△ABD≌△CED，∴AB=EC，在△ACE中，根据三角形的三边关系有AC+EC＞AE 而AB=EC，AE=2ADEDBA∴AB+AC ＞2AD例2.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE=CD ，EF=AC ，求证：EF ∥AB.解析：DE=DC ，相等线段可构造八字形全等，集中要素证平行答案：证明：延长AD,使DN=AD ，连接EN 在△ACD 和△NED 中 DE=DC ∠ADC=∠NDE AD=ND∴△ACD ≌△NED ∴DN=AC,∠DNE=∠CAD ∵EF=AC ∴EF=EN ∴∠DNE=∠EFD ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ∴∠BAD=∠EFD ∴EF ∥AB【例3】如图甲，操作：把正方形CGEF 的对∠线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M ．（1）探究线段MD 、MF 的位置及数量关系，直接写出答案即可；（2）将正方形CGEF 绕点C 逆时针旋转45°（如图乙），令CG=2BC 其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；（3）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD ，EA B CDFMF的位置及数量关系，并加以证明．解析：1证明两线段即垂直又相等经常利用倍长中线法构造全等三角形。

2024年人教版八年级上册数学第十二章全等三角形全章热门考点整合应用

C. 20°
D. 10°
(第1题)
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全章热门考点整合应用
2. 如图，△ ABC ≌△ DEB ，点 D 在 AB 上， BC 与 DE 交于
点 F ， AD ＝ AC .
(第2题)
(1)若 AD ＝5，则 DE 的长为 10 Nhomakorabea；
⁠
(2)若 S△ ACB ＝2，则 S△ DBE 的值为
∴∠ ADB ＝∠ BDE .
又∵∠ ADB ＋∠ BDE ＝180°，
∴∠ ADB ＝90°，
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全章热门考点整合应用
∴∠ ABD ＋∠ BAD ＝180°－∠ ADB ＝90°，
∴∠ BAC ＝∠ BAD ＋∠ CAE ＝∠ BAD ＋∠ ABD ＝
90°.
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BD ＝5，∴ DE ＝ AE － AD ＝2.
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全章热门考点整合应用
(2)若 BD ∥ CE ，求∠ BAC 的度数.
【解】 ∵ BD ∥ CE ，∴∠ BDE ＝
∠ CEA . ∵△ ABD ≌△ CAE ，
∴∠ ADB ＝∠ CEA ，∠ ABD ＝
∠ CAE ，
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(第5题)
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人教版数学八年级上第十一章全等三角形综合复习及答案

初二数学第十一章全等三角形综合复习第十一章全等三角形复习（一）全等三角形1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

2、全等三角形有哪些性质（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

（2）全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（三）学习全等三角形应注意以下几个问题：（1) 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2 表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角” （5）截长补短法证三角形全等。

【切记】：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：ACF BDE ∆≅∆。

例 2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。

求证：21C ∠=∠+∠。

例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。

八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)

八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)
汇报人：XX
目录
• 题目一：基本的全等三角形证明 • 题目二：利用角平分线性质证明 • 题目三：通过边边边条件证明 • 题目四：结合中线性质进行证明 • 题目五：综合应用多种性质证明 • 总结与拓展
01
题目一：基本的全等三角形证明
题目描述
• 已知三角形$ABC$和三角形$DEF$，其中$AB = DE$，$AC = DF$，$\angle BAC = \angle EDF$。求证：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。
由第二步可知，△BDE∽△CFD。
详细解答
4. 第四步，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以BD/CF=DE/DF。
5. 第五步，因为BD=AD（已知），所以AD/CF=DE/DF。又因为AE/EC=DE/EF（已知），所以AD/CF=AE/EC。
6. 第六步，交叉相乘得AD*EC=AE*CF，即AE/AD=EC/CF。又因为∠A=∠ACF（对顶角相等），所以△ADE∽△ACF。
第三步，根据相似三角形的性质，有 AB/AC = BD/DC。
综上，我们证明了 AB/AC = BD/DC。
03
题目三：通过边边边条件证明
题目描述
已知
△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF。
求证
△ABC ≌ △DEF。
题目描述
【分析】
本题主要考察全等三角形的判定方法——边边边条件。根据已知条件，我们可以直接应用边边边定理来证明两个三角形全等。
题目描述
01
【解答】
02
证明
03
04
∵ 在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF（已