《建筑力学》第4章 杆件的轴向拉伸与压缩
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建筑力学：轴向拉伸与压缩
三 卸载定律及冷作硬化
e P
d
e
b
f
即材料在卸载过程中 应力和应变是线形关系， 这就是卸载定律。
b
a c
s
材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
f h
o
d g
1、弹性范围内卸载、再加载
2、过弹性范围卸载、再加载
25
四 其 它 材 料 拉 伸 时 的 力 学 性 质
FN 2 A2
FN 1
FN 2 α
y
A
x
1 1 A2 F2 120 106 2 12.74 10 4 1.732 3 176.7 103 N 176.7kN
4、许可载荷
F Fi min 57.6kN 176.7kNmin 57.6kN
在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学性能一试件和实验条件64材料在拉伸和压缩时的力学性能20常温静载2421二低碳钢的拉伸22?abcef2屈服阶段bc失去抵抗变形的能力?屈服极限3强化阶段ce恢复抵抗变形的能力变形的能力强度极限?sp?e?s?b?23?o明显的四个阶段1弹性阶段obp?比例极限e?弹性极限?e??????tan?e?b4局部径缩阶段ef024两个塑性指标
脆性材料的容许应力
§2-6
bt
nb
p 0.2 n s bc n b
32
二 强度条件
max
FN A
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题 1、强度校核： 2、设计截面：
FN max A FN A
9
10
§6-2 杆件在轴向拉伸和压缩时的应力
轴向拉伸和压缩—轴向拉(压)杆的应力(建筑力学)
轴向拉伸与压缩
根据从杆件表面观察到的现象，从变形的可能性考虑， 可推断：
轴向拉杆在受力变形时，横截面只沿杆轴线平行移动。 由此可知：横截面上只有正应力σ。 假如把杆想象成是由许多纵向纤维组成的话，则任意两个 横截面之间所有纵向纤维的伸长量均相等，即两横截面间的变 形是均匀的，所以拉（压）杆在横截面上各点处的正应力σ都 相同。
500 500
0.72MPa
由结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为 0.72MPa，是压应力。
轴向拉伸与压缩
第三节 轴向拉（压）杆的应力
变形规律试验：
FP
FP
观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线都 伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行；所有 的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只是它们 之间的相对距离增大了。
1
FN1 A1
28.3103
202
90MPa(拉应力)
4
2
FN 2 A2
20103 152
89MPa(压应力)
FP
FN
轴向拉伸与压缩
拉（压）杆横截面上任一点 处正应力的计算公式为
FN
A
式中， A为拉（压）杆横截面的面积；FN为轴力。
当FN为拉力，则σ为拉应力，拉应力为正； 当FN为压力，则σ为压应力，压应力为负。
通过上述分析知：轴心拉杆横截面上只有一分布的，所以拉杆横 截面上正应力的计算公式为
各段横截面上应力为
AB段：
AB
FNAB A
15 103 2500
MPa
6MPa
（压应力）
BC段： BC
FNBC A
8 103 2500
MPa
3.2MPa
杆件轴向拉伸与压缩_图文
极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过大变形而 不能安全工作时的最小应力值，即材料丧失工作能力时的应力，以符号 σu表示，其值由实验确定。
许用应力：构件安全工作时的最大应力，即构件在工作时允许承受的
最大工作应力，以符号[σ]表示。计算公式为：
式中，n为安全系数，它是一个大于1的系数，一般来说，确定安全系数 时应考虑以下几个方面的因素。(1) 实际荷载与设计荷载的出入。(2) 材料 性质的不均匀性。(3) 计算结果的近似性。(4) 施工、制造和使用时的条件 影响。可见，确定安全系数的数值要涉及工程上的各个方面，不单纯是个 力学问题。通常，安全系数由国家制定的专门机构确定。
根据上述现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形之前横截面为平 面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，只是每个横截面沿 杆轴作相对平移。这就是平面假设。
ac
F
a' c'
F
b' d'
bd
11
建筑力学
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截 面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 (缩短)变形是均匀的。亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
p t
s M
10
建筑力学
拉(压)杆横截面上的正应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
简单实验如下。用弹性材料做一截面杆(如下图)，在受拉力前，在截 面的外表皮上画ab和cd两个截面，在外力F的作用下，两个截面ab和cd的 周线分别平行移动到a`b`和c`d`。根据观察，周线仍为平面周线，并且截 面仍与杆件轴线正交。
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理， 6
许用应力：构件安全工作时的最大应力，即构件在工作时允许承受的
最大工作应力，以符号[σ]表示。计算公式为：
式中，n为安全系数，它是一个大于1的系数，一般来说，确定安全系数 时应考虑以下几个方面的因素。(1) 实际荷载与设计荷载的出入。(2) 材料 性质的不均匀性。(3) 计算结果的近似性。(4) 施工、制造和使用时的条件 影响。可见，确定安全系数的数值要涉及工程上的各个方面，不单纯是个 力学问题。通常，安全系数由国家制定的专门机构确定。
根据上述现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形之前横截面为平 面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，只是每个横截面沿 杆轴作相对平移。这就是平面假设。
ac
F
a' c'
F
b' d'
bd
11
建筑力学
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截 面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 (缩短)变形是均匀的。亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
p t
s M
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建筑力学
拉(压)杆横截面上的正应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
简单实验如下。用弹性材料做一截面杆(如下图)，在受拉力前，在截 面的外表皮上画ab和cd两个截面，在外力F的作用下，两个截面ab和cd的 周线分别平行移动到a`b`和c`d`。根据观察，周线仍为平面周线，并且截 面仍与杆件轴线正交。
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理， 6
建筑力学轴向拉伸与压缩
1. 截面法的基本步骤：
① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
计算结果对圣维南原理的证实
圣 文 南 原 理
计算结果对圣维南原理的证实
（6） 危险截面及最大工作应力： 如果等截面直杆受多个轴向外力的作用，由轴力图可以求 出最大轴力，从而求出最大正应力。
如果直杆横截面积变化，则最大轴力处的截面上不一定具 有最大正应力。
当正应力达到某一极限值时，杆件将在最大正应力处产生 破坏。因此，具有最大正应力的截面叫做危险截面。危险截面 上的正应力称为最大工作应力。
5. 要判断杆是否会因强度不足而破坏，还必须知道： ① 度量分布内力大小的分布内力集度－应力。 ② 材料承受荷载的能力。
大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，内力集度
的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内
力集度(应力)最大处开始。
（2）应力的表示： F1
截面 ?F
△A上的内力平均集度为:
求BC段内的轴力
R
40kN
55kN 25kN
A
B
C
D
2
20kN E
R
40kN
F N2
FN2 ? R ? 40 ? 0
FN2 ? R ? 40 ? 50(kN) ()?
15
轴力图 —例题 1
求CD段内的轴力
R
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
计算结果对圣维南原理的证实
圣 文 南 原 理
计算结果对圣维南原理的证实
（6） 危险截面及最大工作应力： 如果等截面直杆受多个轴向外力的作用，由轴力图可以求 出最大轴力，从而求出最大正应力。
如果直杆横截面积变化，则最大轴力处的截面上不一定具 有最大正应力。
当正应力达到某一极限值时，杆件将在最大正应力处产生 破坏。因此，具有最大正应力的截面叫做危险截面。危险截面 上的正应力称为最大工作应力。
5. 要判断杆是否会因强度不足而破坏，还必须知道： ① 度量分布内力大小的分布内力集度－应力。 ② 材料承受荷载的能力。
大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，内力集度
的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内
力集度(应力)最大处开始。
（2）应力的表示： F1
截面 ?F
△A上的内力平均集度为:
求BC段内的轴力
R
40kN
55kN 25kN
A
B
C
D
2
20kN E
R
40kN
F N2
FN2 ? R ? 40 ? 0
FN2 ? R ? 40 ? 50(kN) ()?
15
轴力图 —例题 1
求CD段内的轴力
R
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
建筑力学与结构之轴向拉伸与压缩培训
轴向压缩：物体沿轴向方向被 压缩
应变分析：通过测量应变来研 究物体的力学性能
弹性模量：衡量材 料抵抗形变的能力
轴向拉伸：材料沿 轴向受力，产生伸 长变形
轴向压缩：材料沿 轴向受力，产生缩 短变形
弹性模量与应力、 应变的关系：应力 与应变成正比，弹 性模量是比例系数
Part Three
拉伸试验机：用于测量材料的拉伸强度、弹性模量等参数 压缩试验机：用于测量材料的压缩强度、弹性模量等参数 应变测量装置：用于测量材料的应变值 温度测量装置：用于测量材料的温度变化 压力测量装置：用于测量材料的压力变化 数据采集系统：用于采集和处理实验数据
环保节能：注重 环保和节能，降 低生产成本和污 染
航空航天 领域：提 高飞机、 火箭等飞 行器的性 能和安全 性
汽车制造 领域：提 高汽车安 全性和舒 适性，降 低油耗和 排放
建筑领域： 提高建筑 物的抗震 性能和稳 定性
医疗领域： 提高医疗 器械的精 度和稳定 性，提高 手术成功 率和患者 康复速度
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汇报人：
01 02 03 04 05
06
Part One
轴向拉伸：物体 沿轴向方向受到 的拉力作用，使 物体产生伸长变 形
轴向压缩：物体 沿轴向方向受到 的压强作用，使 物体产生缩短变 形
轴向拉伸与压缩 的区别：拉伸使 物体伸长，压缩 使物体缩短
加强人才培养： 培养具有扎实 理论基础和丰 富实践经验的 专业人才，为 轴向拉伸与压 缩技术的发展 提供人才支持。
加强国际合作： 与国际同行开 展合作，共享 研究成果，共 同推动轴向拉 伸与压缩技术
的发展。
汇报人：
建筑力学4轴向拉伸和压缩
第 二 篇 材 料 力 学
21
4.3
轴向拉伸和压缩时的内力
取一等截面直杆，在其表面画两条垂直于杆轴的 横线ab和cd，并在两条横线间画两条平行于杆轴的纵 向线。然后在杆两端加上一对轴向拉力，使杆件产生 拉伸变形（图4.7）。
第 二 篇 材 料 力 学
22
4.3
轴向拉伸和压缩时的内力
第 二 篇 材 料 力 学
虎克定律
利用虎克定律时，需注意公式的适用范围：
（3） 在l长度内，N、E、A均为常量;否则，需分 段计算。
第 二 篇 材 料 力 学
由于Δl还与材料的性能有关，引入与材料有关的 比例常数E，则有
46
4.5
轴向拉伸和压缩时的变形
虎克定律
由于杆件只在两端受轴向荷载P，有N=P，则
第 二 篇 材 料 力 学
比例常数E称为弹性模量。各种材料的弹性模量 各不相同，工程中常用材料的弹性模量见表4.1。材料 弹性模量越大，则变形越小，所以E表示了材料抵抗 拉伸或压缩变形的能力，是材料的刚度指标。对杆件 来说，EA值越大，则杆件的绝对变形Δl越小，所以 EA称为杆件的抗拉（压）刚度。
图 4.3
7
4.2
轴向拉伸和压缩时的内力
4.2.1 轴力
图4.4(a)所示的杆件，受一对轴向拉力P的作用。 为了求出横截面m-m上的内力，可运用截面法。将杆 件沿m-m横截面截开，取左端为研究对象，弃去的右 端对左端的作用以内力代替（图4.4(b)）。
第 二 篇 材 料 力 学
8
4.2
轴向拉伸和压缩时的内力
第 二 篇 材 料 力 学
图 4.4
9
4.2
轴向拉伸和压缩时的内力
由于外力与轴线重合，所以内力也必在轴线上， 这种与杆件重合的内力称为轴力，用N来表示。由左 端的平衡方程
21
4.3
轴向拉伸和压缩时的内力
取一等截面直杆，在其表面画两条垂直于杆轴的 横线ab和cd，并在两条横线间画两条平行于杆轴的纵 向线。然后在杆两端加上一对轴向拉力，使杆件产生 拉伸变形（图4.7）。
第 二 篇 材 料 力 学
22
4.3
轴向拉伸和压缩时的内力
第 二 篇 材 料 力 学
虎克定律
利用虎克定律时，需注意公式的适用范围：
（3） 在l长度内，N、E、A均为常量;否则，需分 段计算。
第 二 篇 材 料 力 学
由于Δl还与材料的性能有关，引入与材料有关的 比例常数E，则有
46
4.5
轴向拉伸和压缩时的变形
虎克定律
由于杆件只在两端受轴向荷载P，有N=P，则
第 二 篇 材 料 力 学
比例常数E称为弹性模量。各种材料的弹性模量 各不相同，工程中常用材料的弹性模量见表4.1。材料 弹性模量越大，则变形越小，所以E表示了材料抵抗 拉伸或压缩变形的能力，是材料的刚度指标。对杆件 来说，EA值越大，则杆件的绝对变形Δl越小，所以 EA称为杆件的抗拉（压）刚度。
图 4.3
7
4.2
轴向拉伸和压缩时的内力
4.2.1 轴力
图4.4(a)所示的杆件，受一对轴向拉力P的作用。 为了求出横截面m-m上的内力，可运用截面法。将杆 件沿m-m横截面截开，取左端为研究对象，弃去的右 端对左端的作用以内力代替（图4.4(b)）。
第 二 篇 材 料 力 学
8
4.2
轴向拉伸和压缩时的内力
第 二 篇 材 料 力 学
图 4.4
9
4.2
轴向拉伸和压缩时的内力
由于外力与轴线重合，所以内力也必在轴线上， 这种与杆件重合的内力称为轴力，用N来表示。由左 端的平衡方程
工程力学 第4章 杆件的轴向拉伸与压缩
AB段: 取任一截面 m-m左段为研究对象，如图4.4(c)所示，由平衡 条件得
FN1 RA 2P
BD段:
取任一截面n-n的右段为研究对象，如图4.4(d)所示，由平 衡条件得
FN2 P
上式中的负号说明，FN2的方向与原假设方向相反。由轴力符号 规定可知， FN2为压力符号, 为负。
应用胡克定律时应注意：
（1） 杆的应力未超过某一极限。
（2） ε是沿应力ζ方向的线应变。
（3） 在长度l内，其FN、E、A均为常数。 E与μ都是表示材料弹性的常量，可由实验测得。几种常用 材料的E和μ值可参阅表4.1。
第4章 杆件的轴向拉伸与压缩
表4.1 几种常用材料的E、μ值
第4章 杆件的轴向拉伸与压缩 【例4.3】 求如图4.9(a)所示杆的总变形量。已知杆各段横截 面面积为ACD=200mm2，ABC=AAB=500mm2，E=200GPa。
引入比例系数E，则
FN l l EA
（4.3）
第4章 杆件的轴向拉伸与压缩 式（4.3）称为胡克定律。式中系数E称为弹性模量，单位为 GPa，其值随材料不同而异。 当FN、l和A的值一定时，E值愈 大，则Δl 愈小，说明 E的大小表示材料抵抗拉（压）弹性变形 的能力，是材料的刚度指标。FN 、l一定时，EA值愈大，Δl愈
(b)
图 4.4
第4章 杆件的轴向拉伸与压缩
解 （1） 求约束反力。
取阶梯杆为研究对象，并画出受力图（图4.4(b)），由 平衡方程得
∑Fx=0
即
3P-P-ＲA=0
RA=2P
（2） 分段。
以外力作用点为分段点，将杆分为AB与DB两段。
第4章 杆件的轴向拉伸与压缩
（3） 求AB与DB段各横截面的轴力。
FN1 RA 2P
BD段:
取任一截面n-n的右段为研究对象，如图4.4(d)所示，由平 衡条件得
FN2 P
上式中的负号说明，FN2的方向与原假设方向相反。由轴力符号 规定可知， FN2为压力符号, 为负。
应用胡克定律时应注意：
（1） 杆的应力未超过某一极限。
（2） ε是沿应力ζ方向的线应变。
（3） 在长度l内，其FN、E、A均为常数。 E与μ都是表示材料弹性的常量，可由实验测得。几种常用 材料的E和μ值可参阅表4.1。
第4章 杆件的轴向拉伸与压缩
表4.1 几种常用材料的E、μ值
第4章 杆件的轴向拉伸与压缩 【例4.3】 求如图4.9(a)所示杆的总变形量。已知杆各段横截 面面积为ACD=200mm2，ABC=AAB=500mm2，E=200GPa。
引入比例系数E，则
FN l l EA
（4.3）
第4章 杆件的轴向拉伸与压缩 式（4.3）称为胡克定律。式中系数E称为弹性模量，单位为 GPa，其值随材料不同而异。 当FN、l和A的值一定时，E值愈 大，则Δl 愈小，说明 E的大小表示材料抵抗拉（压）弹性变形 的能力，是材料的刚度指标。FN 、l一定时，EA值愈大，Δl愈
(b)
图 4.4
第4章 杆件的轴向拉伸与压缩
解 （1） 求约束反力。
取阶梯杆为研究对象，并画出受力图（图4.4(b)），由 平衡方程得
∑Fx=0
即
3P-P-ＲA=0
RA=2P
（2） 分段。
以外力作用点为分段点，将杆分为AB与DB两段。
第4章 杆件的轴向拉伸与压缩
（3） 求AB与DB段各横截面的轴力。
建筑力学(4章)
第4章 轴向拉伸、压缩杆的强度计算 章 轴向拉伸、
二、求内力的基本方法——截面法 求内力的基本方法——截面法 —— 内力的计算是分析构件强度、刚度、 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。 基础。求内力的一般方法是截面法。 截面法的基本步骤： 截面法的基本步骤： 截开：在所求内力的截面处， （1）截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一 分为二。 分为二。 代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用， （2）代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用， 用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 平衡：对留下的部分建立平衡方程， （3）平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知 外力来计算杆在截开面上的未知内力。 外力来计算杆在截开面上的未知内力。
第4章 轴向拉伸、压缩杆的强度计算 章 轴向拉伸、
一、应力的概念 受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力。 受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力。 应力 总应力： 总应力：
FR dFR p = lim = A → 0 A dA
FR
K A
是一个矢量，通常情况下，它既不与截面垂直， 总应力p是一个矢量，通常情况下，它既不与截面垂直， 也不与截面相切。 也不与截面相切。 为了研究问题时方便起见， 为了研究问题时方便起见，习惯上常将它分解为与截面 垂直的分量σ和与截面相切的分量τ。
FN2= 0
第4章 轴向拉伸、压缩杆的强度计算 章 轴向拉伸、
3 30kN A 3 FN 3 B 30kN B 2 20kN 2 C 20kN C 1 1 D 20kN D 于3-3截面处 将杆截开， 将杆截开，取 右段为分离体 ，设轴力为正 值。则 20kN
建筑力学 材料力学 轴向拉伸与压缩
L PL A
P
P
2、变内力拉压杆的弹性定律
L PL NL EA EA
NN（(xx)）
EA 称为杆的抗拉压刚度。
(dx) N(x)dx EA(x)
dx
x
LL(dx) L
N(x)dx EA(x)
内力在n段中分别为常量时 L n N i Li
精选ppt
i 1 E i Ai
31
3、单向应力状态下的弹性定律
XA A YA
TT
2) 钢索的应力和伸长分别为：
B
D
C P
T1.15519 015M 1 Pa
A 7.636
精选ppt
37
LTL 1.5 1 51.6m 1.3m 6 m EA7.3 6 6177
A
B 60C°60° D
1 C 2
B'
D'
A 800
B 60°60° D C
400 P400
3）变形图如左图 , C点的垂直位移为：
精选ppt
1、杆的纵向总变形：
LL1 L
3、平均线应变：
L L1 L
L
L
29
P
a´
b´
P
c´
d´
xdx
L1 4、x 点处的纵向线应变：
6、x 点处的横向线应变：
lim dx
x0 x
ac
ac
5、杆的横向变形：
a cacac
精选ppt
30
二、拉压杆的弹性定律
1、等内力拉压杆的弹性定律
2. 应力的表示：
① 平均应力：
P
M
pMБайду номын сангаас
ΔP ΔA
轴向拉伸和压缩—轴向拉(压)杆的变形(建筑力学)
FNl EA
轴向拉伸与压缩
例7-6 试求 例7-5中砖柱顶面位移。已知E=3GPa， lAB=3m， lBC=4m。
解 由于砖柱底端是固定端，所以 柱顶面位移等于全柱的总缩短变形。
AB段：
l AB
FNAB lAB EAAB
60 103 3103 3103 250 250 mm
0.96mm
长度的纵向变形，即纵向线应变，简称应变。
纵向线应变
l
l
线应变--每单位长 度的变形，无量纲。
△l以杆件伸长时为正，缩短时为负； 的正负号与△l
一致，因此，拉应变为正，压应变为负。
FP
a1
a
FP
l l1
杆的横向变形为
∆a =a1－a
杆在轴向拉伸时的横向变形为负值，压缩时为正值。
同理，将杆件的横向变形 除以杆的原截面边长，得杆件单
轴向拉伸与压缩
对于长度相同，轴力相同的杆件，分母EA越大，杆的纵向 变形⊿ l 就越小。
可见EA反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的 抗拉（压）刚度。
胡克定律的另一表达形式 或 E
E
在弹性范内，正应力与线应变成正比。
对于各段杆件截面面积不同或内力分段不同的拉压杆 ，在计算杆件变形量时，应分段计算，然后叠加，即：
轴向拉伸与压缩
三、胡克定律
实验表明：工程中使用的大部分材料都有一个弹性范围。
在弹性范围内， 杆的纵向变形量⊿ l 与杆所受的轴力FN ，杆的原长 l 成正比，而与杆的横截面积 A 成反比，用式
子表示为：
l Fl A
引进比例常数 E 后，得
l FN l EA
胡克定律
比例常数E称为材料的弹性模量，可由实验测出。
轴向拉伸与压缩
例7-6 试求 例7-5中砖柱顶面位移。已知E=3GPa， lAB=3m， lBC=4m。
解 由于砖柱底端是固定端，所以 柱顶面位移等于全柱的总缩短变形。
AB段：
l AB
FNAB lAB EAAB
60 103 3103 3103 250 250 mm
0.96mm
长度的纵向变形，即纵向线应变，简称应变。
纵向线应变
l
l
线应变--每单位长 度的变形，无量纲。
△l以杆件伸长时为正，缩短时为负； 的正负号与△l
一致，因此，拉应变为正，压应变为负。
FP
a1
a
FP
l l1
杆的横向变形为
∆a =a1－a
杆在轴向拉伸时的横向变形为负值，压缩时为正值。
同理，将杆件的横向变形 除以杆的原截面边长，得杆件单
轴向拉伸与压缩
对于长度相同，轴力相同的杆件，分母EA越大，杆的纵向 变形⊿ l 就越小。
可见EA反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的 抗拉（压）刚度。
胡克定律的另一表达形式 或 E
E
在弹性范内，正应力与线应变成正比。
对于各段杆件截面面积不同或内力分段不同的拉压杆 ，在计算杆件变形量时，应分段计算，然后叠加，即：
轴向拉伸与压缩
三、胡克定律
实验表明：工程中使用的大部分材料都有一个弹性范围。
在弹性范围内， 杆的纵向变形量⊿ l 与杆所受的轴力FN ，杆的原长 l 成正比，而与杆的横截面积 A 成反比，用式
子表示为：
l Fl A
引进比例常数 E 后，得
l FN l EA
胡克定律
比例常数E称为材料的弹性模量，可由实验测出。
建筑力学第四章
图 4-13
工程中常见的梁,其横截面往往有一根对称轴(见图4-14)。对称轴与梁轴 线所组成的平面,称为纵向对称平面(见图4-15)。
外力偶都位于纵向对称平面内,梁变形后,轴线将在此纵向对称平面内弯 曲。这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲,称为平面弯曲。 平面弯曲是一种最简单,也是最常见的弯曲变形,本节将主要讨论等截面 直梁的平面弯曲问题。
【例4-2】 杆件受力如图4-6a所示,已知F1=20kN,F2=30kN,F3=10 kN,试画出杆的轴力图。
图 4-6
*4.2 圆轴扭转时的内力
4.2.1 扭转的概念
在垂直于杆件轴线的两个平面内,作用一对大小相等、转向相反 的力偶时,杆件就会产生扭转变形。扭转变形是杆件的基本变形 之一,它的特点是各横截面绕杆轴线发生相对转动。杆件任意两 横截面之间相对转过的角度φ称为扭转角(如图4-7所示)。
工程中受扭的杆件很多,例如汽车转向盘的操纵杆(如图4-8a所示)、拧螺 钉的螺钉旋具(如图4-8b所示)、建筑工地上的卷扬机轴。房屋的雨篷梁 、现浇框架的边梁、平面曲梁或折梁、吊车梁也有扭转变形。
工程中将受扭的圆截面杆称为圆轴。
4.2.2 圆轴扭转时的内力——扭矩
1.扭矩
在对圆轴进行强度计算之前先要计算出圆轴横截面上的内力——扭矩 如。图4-9a所示圆轴,在垂直于轴线的两个平面内,受一对外力偶矩Me作用, 现求任意截面m-m的内力。
图 4-3
作用线与杆轴线相重合的内力,称为轴力,用符号FN表示。当杆件 受拉时,轴力为拉力,其方向背离截面;当杆件受压时,轴力为压力, 其方向指向截面。通常规定:拉力为正,压力为负。轴力的单位为 牛顿(N)或千牛顿(kN)。
【例4-1】3作用下处于 平衡。已知F1=6kN,F2=5kN,F3=1kN,求杆件AB和BC段的轴力。
工程中常见的梁,其横截面往往有一根对称轴(见图4-14)。对称轴与梁轴 线所组成的平面,称为纵向对称平面(见图4-15)。
外力偶都位于纵向对称平面内,梁变形后,轴线将在此纵向对称平面内弯 曲。这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲,称为平面弯曲。 平面弯曲是一种最简单,也是最常见的弯曲变形,本节将主要讨论等截面 直梁的平面弯曲问题。
【例4-2】 杆件受力如图4-6a所示,已知F1=20kN,F2=30kN,F3=10 kN,试画出杆的轴力图。
图 4-6
*4.2 圆轴扭转时的内力
4.2.1 扭转的概念
在垂直于杆件轴线的两个平面内,作用一对大小相等、转向相反 的力偶时,杆件就会产生扭转变形。扭转变形是杆件的基本变形 之一,它的特点是各横截面绕杆轴线发生相对转动。杆件任意两 横截面之间相对转过的角度φ称为扭转角(如图4-7所示)。
工程中受扭的杆件很多,例如汽车转向盘的操纵杆(如图4-8a所示)、拧螺 钉的螺钉旋具(如图4-8b所示)、建筑工地上的卷扬机轴。房屋的雨篷梁 、现浇框架的边梁、平面曲梁或折梁、吊车梁也有扭转变形。
工程中将受扭的圆截面杆称为圆轴。
4.2.2 圆轴扭转时的内力——扭矩
1.扭矩
在对圆轴进行强度计算之前先要计算出圆轴横截面上的内力——扭矩 如。图4-9a所示圆轴,在垂直于轴线的两个平面内,受一对外力偶矩Me作用, 现求任意截面m-m的内力。
图 4-3
作用线与杆轴线相重合的内力,称为轴力,用符号FN表示。当杆件 受拉时,轴力为拉力,其方向背离截面;当杆件受压时,轴力为压力, 其方向指向截面。通常规定:拉力为正,压力为负。轴力的单位为 牛顿(N)或千牛顿(kN)。
【例4-1】3作用下处于 平衡。已知F1=6kN,F2=5kN,F3=1kN,求杆件AB和BC段的轴力。
建筑力学与结构 第4章 物体平衡时的内力
4.物体平衡时的内力
构件的基本变形 1.杆件的几何特性 在工程中，通常把纵向尺寸远大于横向尺寸的构件称为杆件。杆件有两个常用到的 元素：横截面和轴线。横截面指沿垂直杆长度方向的截面。轴线是指各横截面的形 心的连线。两者具有相互垂直的关系。杆件按截面和轴线的形状不同又可分为等截 面杆、变截面杆及直杆，曲杆与折杆等。如图4.1所示。
4.物体平衡时的内力
[例4.1] 一直杆受拉(压)如图4.7所示， 试求横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并 绘制出轴力图。
5.练习作图题
1.一直杆受拉(压)如图所示，试求横截面的轴力，并绘制出轴力图。
5.练习作图题
2.一直杆受拉(压)如图所示，试求横截面的轴力，并绘制出轴力图。
5.练习作图题
4.4.2 梁的內力——剪力和弯矩 梁截面上的内力必是的一个平行于横截面的内力FQ，称为剪力和一个作用面与 横截面垂直的内力偶M，称为弯矩。
4.物体平衡时的内力
剪力和弯矩的正负号规定如下。
（1）当截面上的剪力FQ使研究对象有顺时针转向趋势时为正，反之为负； （2）当截面上的弯矩M使研究对象产生向下凸的变形时（即上部受压下部 受拉）为正，反之为负。
认真严谨、使命担当
唐山、汶川灾后， 社会主义优越性
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4.物体平衡时的内力
2.轴力图 应用截面法可求得杆上所有横截面上的轴力。 如果以与杆件轴线平行的横坐标x表示杆的横截 面位置，以纵坐标表示相应的轴力值，且轴力的 正负值画在横坐标轴的不同侧，那么如此绘制出 的轴力与横截面位置关系图，称为轴力图。
建筑力学材料力学轴向拉伸与压缩
2. 应力的表示：
① 平均应力：
P
M
pM
ΔP ΔA
A
② 全应力（总应力）：
lim ΔP dP
p
ΔA0 ΔA dA
③ 全应力分解为： a.垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
p
ΔN
lim
Δ A0
Δ
A
dN dA
M
b.位于截面内的应力称为“剪应力”(Shearing Stress)。
例如： 截面法求N。
P
A
P
截开：
P
A P
简图
代替：
P
N
x
A
平衡： X 0 N P 0 P N
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
3. 轴力的正负规定: N
N 与外法线同向，为正轴力(拉力)
N N>0
N与外法线反向，为负轴力(压力) N
N N<0
三、轴力图—— N (x) 的图象表示
取一受轴向拉伸的等直杆，今研究与横截面成 角的斜截
面n-n，如图 a)上的应力情况。运用截面法，假想地将杆沿n-n 截面切开，并研究左段的平衡，如图b)所示，则得到此斜截面
n-n上的内力为 F 。
仿照求解横截面上正应力分布规律的过程，同样可以得到
斜截面上各点处的全应力 p 相等的结论，于是有
p
F A
e s --屈服段: s ---屈服极限 塑性材料的失效应力:s 。
滑移线：
(三)、低碳钢拉伸的强化阶段 (ｓｂ 段) １、ｂ---强度极限
２、卸载定律： ３、冷作硬化：
(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (b f 段)
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A a F D a
1 1
B a C
Nab
B a Rcy C R
Nab=60KN（拉）
2. 计算AB杆正应力
N ab 60 103 N 2 ab ＝ 150 N / mm A 400mm 2
【例题10】图示中段开槽的杆件，两段受轴向荷载 F作用，试计 算截面1-1和截面2-2上的正应力。 已知：F＝14KN，b＝20mm，b0＝10mm，t＝4mm。
【解】 1. 受力图：用1-1截面 截开杆件取右段分析， 右段受力图如右图所 示。 2.方程 ∑FX＝0 3. 结果 N1＝4KN（拉）
4KN
A
1
B
4KN
N1
1 1
B
4KN
1
N1－4KN＝0
新内容：截取段受力图
【例题2】计算图示杆件1-1、2-2、3-3截面的内力。
A 3
8KN
B
2
C 6KN
1
D 4KN
1. 分段计算轴力 （1）受力图(截取后的受力图)
（2）方程 （3） 结果 2. 绘轴力图
【解】 1.分段计算轴力（过程略） (1) 计算1-1截面轴力
A
3
12KN
B
2
C 6KN
1
D 4KN
3
2
N1
2
1 1
D 4KN
N1=4KN
（2）计算2-2截面轴力 N2=10KN
3
12KN
(a)
1
C 6KN
C 6KN
N3=40KN 2. 绘轴力图
60
＋ －
N3
3 E 40KN 3
( c)
40
＋
20 轴力图（单位：KN）
第三节
应力
一、应力的概念 二、 拉（压）杆横截面上的正应力
21/62
一、应力的概念
10KN 10KN
A1=10mm2
10KN 10KN
A2=20mm2 轴力相同截面不同
思考： 哪个杆件容易被拉断？为何？
（2）方程 （3） 结果 2. 绘轴力图
【解】 1.分段计算轴力（过程略） (1) 计算1-1截面轴力 N1=4KN
1 A 4KN 1 1 B 5KN
2 C 4KN 2
3 D 3KN 3
N1
B 5KN 1
C 4KN
D 3KN (a)
（2）计算2-2截面轴力
N2=－1KN （3） 计算3-3截面轴力 N3=3KN
1
【解】
A 60KN 1 1
B
C 80KN
2 D 60KN 2
3 E 40KN 3
1.分段计算轴力（过程略） N1 (1) 计算1-1截面轴力
B
C 80KN D 60KN E 40KN
(a)
N1=60KN
（2）计算2-2截面轴力 N2=－20KN
1
N2
2 D 60KN 2 E 40KN
(b)
（3） 计算3-3截面轴力
3
2
1
解题步骤(3步):
1. 受力图(截取后的受力图) 2. 方程 3. 结果
【解】 1.计算1-1截面轴力
A
3
8KN
B
2
C 6KN
1
D 4KN
3
2
(1) 受力图：用1-1截面 截开杆件取右段分析， 右段受力图如（a）图。 （2）方程 ∑FX＝0 N1－4KN＝0 （3）结果 N1＝4KN （拉） 2.计算2-2截面轴力（见后面） 3.计算3-3截面轴力（见后面）
第四节 拉（压）杆的强度条件及其应用
拉压杆强度条件：
max
Fmax A
Fmax 最大轴力（N）
max 最大正应力（ N/mm 2）
已知Fmax、A，求σmax
已知Fmax、σmax ，求A 强度校核
截面设计
确定许可荷载
33/62
已知σmax 、 A ，求Fmax
1 A B 3F 1
2 C 3F 2 b
3 D 2F 3 c
【解】 1.分段计算轴力（过程略） (1) 计算1-1截面轴力 N1
a
1 B 3F 1 C 3F D 2F
N1=－2F
（2）计算2-2截面轴力 N2 =F
(a)
N2
2 C 3F 2
3 D 2F
D 2F
(b)
（3） 计算3-3截面轴力
N3=－2F 2. 绘轴力图
1.5m A
2m
1
① α ②
1
B P
b、方程 ∑FX＝0
∑FY＝0 c、结果
N1＋N2cosα＝0 P＋N2sinα＝0
C
N1
N1＝0.75P（拉力）；N2＝－1.25P （压力） 2、计算各杆许可荷载
α
N2
B
N 0.75 P 2 1 1 ＝ [ ] 160 N / mm 1 A1 3.14 7 2 mm 2 N2 1.25 P 2 2 ＝ [ ] 5 N / mm 2 A 2 1002 mm 2
A a F D a B a C
解题步骤(2大步):
1. 计算AB杆轴力 （1）受力图
（2）方程
（3） 结果
2. 计算AB杆正应力
【解】
1.计算AB杆轴力
(1) 受力图:用1-1截面截开AB杆， 取下段分析，受力图如右图。 (2) 方程 ∑MC＝0 (3) 结果 Nab ×a－ F×2a＝0
F D a
Fp A
－－－微面积△A上的平均应力（N/mm2）
P＝ lim
－－－△A→0时，为点应力（N/mm2）
A 0
注意： 单位：1 N/mm2 =1MPa=106Pa
二、 拉（压）杆横截面上的正应力
垂直于截面的应力称 为“ 正应力”
切应力
与截面相切的应力 称为“ 切应力”
点正应力: lim
3、判断结构许可荷载
N1
1 1
D 4KN
(a)
1
【解】 2.计算2-2截面轴力
A
3
8KN
B
2
C 6KN
1
D 4KN
(1) 受力图：用2-2 截面截开杆件取右段 分析，右段受力图如 （b）图。 （2）方程
∑FX＝0 （3）结果 N2＝10KN（拉）
3
N2
2 2
1
C 6KN
D 4KN
(b)
2
N2 －6KN －4KN＝0
【解】 3.计算3-3截面轴力
N2 N3
B
D 4KN
D 4KN
(b)
（3） 计算3-3截面轴力
N3=－2KN 2. 绘轴力图
2
(c)
3
10
＋
4
＋
－
2
轴力图（单位：KN）
【例题4】绘制图4-5a所示直杆的轴力图
1 A 4KN 1 B 5KN 2 2 C 4KN 3 3 D 3KN
解题步骤(2大步):
1. 分段计算轴力 （1）受力图(截取后的受力图)
A
3
8KN
B
2
C 6KN
1
D 4KN
(1) 受力图：用3-3 截面截开杆件取右段 分析，右段受力图如 右（c）图。
（2）方程 ∑FX＝0
N3
3 3
8KN
B
2
C 6KN
1
D 4KN
(c)
3
N3 ＋8KN－6KN －4KN＝0
（3）结果 N3＝2KN（拉）
轴力的正负号规则：拉为正、压为负 1 1
F
FN
14KN
14KN
F
F
A
B
1 t 1 2
C
D
( a)
F
b
N1
1-1 2-2
b0
14KN
A
1
2
14KN
(b)
F
N2
B
2
A
N1 N1 14 10 3 N 1 ＝ 175N / mm 2 (MPa ) A1 b t 20mm 4mm
N2 N2 14 103 N 350N / mm 2 (MPa ) (2) 2-2截面: 2 ＝ A 2 (b b 0 ) t ( 20 10)mm 4mm
解题步骤(2大步):
A
C
杆轴力 （1）受力图(截取后的受力图)
（2）方程
（3） 结果
2. 计算各杆正应力 注意：结构中杆件轴力计算方法。
A
【解】
1.计算各杆轴力
(1) 受力图:用1-1截面截开杆件取右段分析， C 右段受力图如右图。 (2) 方程 ∑FX＝0 ∑FY＝0 (3) 结果 2. 计算各杆正应力 N1 28.3 10 3 N 2 ＝ 90 N / mm ①杆: 1 A1 10 2 mm 2
P
工程实例
桁架的支杆 (12章3节)
三角架
计算简图
计算简图
3/62
第二节
任务：
轴力和应力
一、轴力 二、轴力图 三、应力
4/62
一、轴力（截面法）
轴力是内力的一种，计算杆件内力的方法常用截面法 【例题1】计算图示杆件１－１截面的内力。
4KN A 1 B 4KN
1
解题步骤(3步):
1. 受力图(截取后的受力图) 2. 方程 3. 结果
－
N3
(C)
3
F
＋
－
2F 轴力图
2F
【例题6】试求图示拉杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力，并 作出轴力图。
1 A 60KN 1 B C 80KN 2 D 60KN 2 3 3 E 40KN