2017届山东省菏泽市高三上学期联考理科数学试题及答案
2017-2018学年山东省菏泽市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年山东省菏泽市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{x|x2＞5x}，B＝{﹣1，3，7}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{7}C．{﹣1，3}D．{﹣1，7} 2．（5分）复数z的共轭复数，则z＝（）A．﹣5i B．5i C．1+5i D．1﹣5i3．（5分）某校连续12天对同学们的着装进行检查，着装不合格的人数用茎叶图表示，如图，则该组数据的中位数、众数、极差分别是（）A．24，33，27B．27，35，28C．27，35，27D．30，35，28 4．（5分）已知，，则tan（π+2α）＝（）A．B．C．D．5．（5分）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶，算法至今仍是多项式求值比较先进的算法．已知f（x）＝2018x2017+2017x2016+…+2x+1，下列程序框图设计的是求f （x0）的值，在“”中应填的执行语句是（）A．n＝i B．n＝i+1C．n＝2018﹣i D．n＝2017﹣i 6．（5分）将函数f（x）＝sin x﹣cos x+1的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）的图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．7．（5分）已知等边△AOB（O为坐标原点）的三个顶点在抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）上，且△AOB的面积为，则p＝（）A．B．3C．D．8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，b＞c，则＝（）A．B．2C．3D．9．（5分）函数，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2πD．3π11．（5分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，且△AB1C1为等边三角形，B1C1＝2AA1＝2，则直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，A是双曲线的左顶点，双曲线C的一条渐进线与直线交于点P，，且F1P⊥AM，则双曲线C的离心率为（）A．3B．C．2D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知的展开式中的常数项为8，则a＝．14．（5分）平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝4，，，则＝．15．（5分）已知实数x，y满足不等式组，若z＝2x+y的最小值为8，则x2+y2的取值范围是．16．（5分）若不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}，满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝3a n；（1）求{a n}的通项公式；（2）若，求{c n}的前2n项的和T2n18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是正方形，AC⊥侧面AA1B1B，AC＝AB，点E是B1C1的中点．（1）求证：C1A∥平面EBA1；（2）若EF⊥BC1，垂足为F，求二面角B﹣AF﹣A1的余弦值．19．（12分）2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：（1）估计该组数据的中位数、众数；（2）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210），μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P（50.5＜Z＜94）；（3）在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（ⅰ）得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次；（ⅱ）每次赠送的随机话费和对应概率如下：现有一位市民要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列和数学期望．附：，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954420．（12分）已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，且过点A（2，2），椭圆的离心率为，点B为抛物线C与椭圆D的一个公共点，且．（1）求椭圆D的方程；（2）过椭圆内一点P（0，t）的直线l的斜率为k，且与椭圆C交于M，N两点，设直线OM，ON（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数λ，使得k1+k2＝λk，求实数λ的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣m﹣xlnx﹣（m﹣1）x；（1）若m＝1，求证：f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）若g（x）＝f'（x），试讨论g（x）零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程，并指明曲线C的形状；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且|OA|＜|OB|，求[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（1）若不等式f（x）≤|a+1|恒成立，求a的取值范围；（2）求不等式|f（x）﹣|x+2||＞3的解集．2017-2018学年山东省菏泽市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．【解答】解：由集合A中的不等式变形得：x（x﹣5）＞0，解得：x＜0或x＞5即A＝{x|x＜0或x＞5}，B＝{﹣1，3，7}，则A∩B＝{﹣1，7}故选：D．2．【解答】解：∵＝2﹣2+i+4i＝5i，∴z＝﹣5i．故选：A．3．【解答】解：由茎叶图得：该组数据的中位数为：＝27，众数为：35，极差为：38﹣10＝28．故选：B．4．【解答】解：∵，＝cosα，∴sinα＝﹣＝﹣，tanα＝＝﹣2，∴tan（π+2α）＝tan2α＝＝＝．故选：A．5．【解答】解：由题意，n的值为多项式的系数，由2018，2017…直到1，由程序框图可知，输出框中“”处应该填入n＝2018﹣i．故选：C．6．【解答】解：将函数f（x）＝sin x﹣cos x+1＝sin（x﹣）+1的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝sin（x﹣）+1的图象；再向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）＝sin（x+﹣）+1＝sin（x﹣）+1的图象的图象的图象．令﹣＝kπ，求得x＝2kπ+，可得函数y＝g（x）的图象的对称中心为（2kπ+，1），k∈Z，故选：B．7．【解答】解：设A（x A，y A），B（x B，y B），∵|OA|＝|OB|，∴AB⊥x轴，且∠AOx＝30°．∴＝tan30°＝，又y A2＝2px A，∴y A＝2p，∴|AB|＝2y A＝4p．∴S△AOB＝×（4 p）2＝9 ，解得p＝．故选：C．8．【解答】解：根据题意，△ABC中，，则有a×﹣c﹣＝0，变形可得：a2﹣b2﹣c2﹣bc＝0，又由a2＝，则有2b2+2c2﹣5bc＝0，即可得：（）2﹣×（）+1＝0，解可得：＝2或＝，又由b＞c，则＝2；故选：B．9．【解答】解：函数，则f（﹣x）＝＝＝＝f（x）；∴f（x）是偶函数，排除B．当x从0→时，x3→，sin3x→＜1∴＞1，排除A．当x＞1时，显然x3＞sin3x，同样：＞1．排除D．∴f（x）是递增的趋势．故选：C．10．【解答】解：根据三视图知，该几何体是半圆柱、半圆锥与球体的组合体；如图所示，根据三视图中的数据，计算该几何体的体积为V＝π•12•2+×π•12•2+••13＝．故选：A．11．【解答】解：取B1C1的中点D，连结AD、BD，∵AA1⊥平面AB1C1，AA1∥BB1，∴BB1⊥平面AB1C1，∴BB1⊥AD，又∵△AB1C1是等边三角形，∴B1C1⊥AD，又B1C1∩BB1＝B1，∴AD⊥平面B1C1CB，∴∠ABD是AB与平面B1C1CB所成角，∵△AB1C1为等边三角形，B1C1＝2AA1＝2，∴AD＝，BD＝，∴tan．故直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为．故选：D．12．【解答】解：双曲线C的左顶点A（﹣a，0），F1（﹣c，0），∵，∴M为线段F1P的中点，且F1P⊥AM，可得|AP|＝|AF1|，OP为渐近线方程：y＝﹣x，P（﹣，y p），即为P（﹣，），即＝c﹣a，即有a2（c﹣a）2+a2b2＝c2（c﹣a）2，（c2﹣a2）（c﹣a）2＝a2b2，可得c﹣a＝a，即c＝2a，则e＝＝2，即双曲线的离心率为2，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：二项式的展开式的通项为．由2r﹣10＝﹣2，得r＝4，由2r﹣10＝0，得r＝5．∴的展开式中的常数项为，解得a＝3．故答案为：3．14．【解答】解：∵AB＝2AD＝4，，∴＝2×4×cos＝﹣4，＝16，＝4，又＝＝﹣﹣＝﹣﹣，＝＝﹣，∴＝（﹣﹣）•（﹣）＝﹣﹣+＝﹣3+2+4＝3．故答案为：3．15．【解答】解：实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，则由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最小，此时z最小，为2x+y＝8由，解得A（3，2），此时A在x＝k上，则k＝3．则x2+y2的几何意义是可行域内的点与原点连线距离的平方，由可行域可知A处取得最小值，C处取得最大值，t＝y﹣x经过可行域A，B时，分别取得最值，由：，解得C（4，4）可得x2+y2的取值范围：[13.32]；故答案为：[13，32]．16．【解答】解：不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，即有a＞在x＞0恒成立，设g（x）＝，由y＝lnx﹣x+1的导数为y′＝﹣1＝，x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，可得y＝lnx﹣x+1的最大值为0，即lnx≤x﹣1，则g（x）﹣＝，由y＝2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数为y′＝2（1+ln（x+1））﹣2（x+1）＝2[ln（x+1）﹣x]，由ln（x+1）＜x，即ln（x+1）﹣x＜0，（x＞0），可得g（x）﹣＜0，即g（x）＜，可得a≥，则a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）由2a n a n+1+3a n+1＝3a n，得，所以，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以，即．（2）设＝，所以，即，＝＝．18．【解答】解：（1）证明：如图，连结BA1，AB1交于O，连结OE，由AA1B1B是正方形，易得O为AB1的中点，从而OE为△C1AB1的中位线，所以EO∥AC1，因为EO⊂面EBA1，C1A⊄面EBA1，所以C1A∥平面EBA1．（2）由已知AC⊥底面AA1B1B，得A1C1⊥底面AA1B1B，得C1A1⊥AA1，C1A1⊥A1B1，又A1A⊥A1B1，故A1A，A1B1，A1C1两两垂直，如图，分别以A1A，A1B1，A1C1所在直线为x，y，z轴，A1为原点建立空间直角坐标系，设AA1＝2，则A1（0，0，0），A（2，0，0，），C1（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），则，，，设F（x0，y0，z0），，则由，得（x0，y0，z0﹣2）＝λ（2，2，﹣2），即得，于是F（2λ，2λ，2﹣2λ），所以，又EF⊥C1B，所以2λ×2+（2λ﹣1）×2+（1﹣2λ）×（﹣2）＝0，解得，所以，，，设平面A1AF的法向量是，则，即，令z＝1，得．又平面ABF的一个法向量为，则，即，令z1＝1，得，设二面角B﹣AF﹣A1的平面角为θ，则，由A1A⊥AB，面F A1B⊥面AA1B，可知θ为锐角，即二面角B﹣AF﹣A1的余弦值为．19．【解答】解：（1）由（0.0025+0.0050+0.0100+0.0150+a+0.0225+0.0250）×10＝1，得a ＝0.0200，设中位数为x，由（0.0025+0.0150+0.0200）×10+（x﹣60）×0.0250＝0.5000，解得x＝65，由频率分布直方图可知众数为65．（2）从这1000人问卷调查得到的平均值μ为μ＝35×0.025+45×0.15+55×0.20+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05＝0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75＝65因为由于得分Z服从正态分布N（65，210），所以P（50.5＜Z＜94）＝P（60﹣14.5＜Z＜60+14.5×2）＝．（3）设得分不低于μ分的概率为p，则，X的取值为10，20，30，40，P（X＝10）＝＝，，，，所以X的分布列为：所以．20．【解答】解：（1）由点A（2，2）在抛物线上，得22＝2p×2，解得p＝1．所以抛物线C的方程为x2＝2y，其焦点，设B（m，n），则由抛物线的定义可得，解得n＝1，代入抛物线方程可得m2＝2n＝2，解得，所以，椭圆C的离心率，所以，又点在椭圆上，所以，解得a＝2，，所以椭圆D的方程为．（2）设直线l的方程为y＝kx+t．由，消元可得（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，而＝，由k1+k2＝λk，得，因为此等式对任意的k都成立，所以，即．由题意得点P（0，t）在椭圆内，故0≤t2＜2，即，解得λ≥2．21．【解答】解：（1）m＝1时，f（x）＝e x﹣1﹣xlnx，f'（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣1，要证f（x）在（0，+∞）上单调递增，只要证：f'（x）≥0对x＞0恒成立，令i（x）＝e x﹣1﹣x，则i'（x）＝e x﹣1﹣1，当x＞1时，i'（x）＞0，当x＜1时，i'（x）＜0，故i（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以i（x）≥i（1）＝0，即e x﹣1≥x（当且仅当x＝1时等号成立），令j（x）＝x﹣1﹣lnx（x＞0），则，当0＜x＜1时，j'（x）＜0，当x＞1时，j'（x）＞0，故j（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以j（x）≥j（1）＝0，即x≥lnx+1（当且仅当x＝1时取等号），f'（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣1≥x﹣（lnx+1）≥0（当且仅当x＝1时等号成立）f（x）在（0，+∞）上单调递增．（2）由g（x）＝e x﹣m﹣lnx﹣m有，显然g'（x）是增函数，令g'（x 0）＝0，得，，，则x∈（0，x0]时，g'（x）≤0，x∈[x0，+∞）时，g'（x）≥0，∴g（x）在（0，x0]上是减函数，在[x0，+∞）上是增函数，∴g（x）有极小值，，①当m＝1时，x0＝1，g（x）极小值＝g（1）＝0，g（x）有一个零点1；②m＜1时，0＜x0＜1，g（x0）＞g（1）＝1﹣0﹣1＝0，g（x）没有零点；③当m＞1时，x0＞1，g（x0）＜1﹣0﹣1＝0，又，又对于函数y＝e x﹣x﹣1，y'＝e x﹣1≥0时x≥0，∴当x＞0时，y＞1﹣0﹣1＝0，即e x＞x+1，∴g（3m）＝e2m﹣ln3m﹣m＞2m+1﹣ln3m﹣m＝m+1﹣lnm﹣ln3，令t（m）＝m+1﹣lnm﹣ln3，则，∵m＞1，∴t'（m）＞0，∴t（m）＞t（1）＝2﹣ln3＞0，∴g（3m）＞0，又e﹣m＜1＜x0，3m＝3x0+3lnx0＞x0，∴g（x）有两个零点，综上，当m＜1时，g（x）没有零点；m＝1时，g（x）有一个零点；m＞1时，g（x）有两个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由消去参数t，得y＝2x，由，得ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．即曲线C是圆心为（1，1），半径r＝1的圆．（2）联立直线l与曲线C的方程，得，消去θ，得，设A、B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则，ρ1•ρ2＝1，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）因为f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，所以由f（x）≤|a+1|恒成立得|a+1|≥3，即a+1≥3或a+1≤﹣3，解得a≥2或a≤﹣4；（2）不等式||x﹣1|﹣2|x+2||＞3，等价于|x﹣1|﹣2|x+2|＞3或|x﹣1|﹣2|x+2|＜﹣3，设g（x）＝|x﹣1|﹣2|x+2|＝，画出g（x）的图象如图所示由图可知，不等式的解集为{x|x＜﹣8或x＞0}．。
【数学】2017-2018年山东省菏泽市高三(上)期中数学试卷与答案(理科)(b卷)
2017-2018学年山东省菏泽市高三（上）期中数学试卷（理科）（B卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，1） B．[0，1） C．（﹣∞，1）D．（0，+∞）3．（5分）已知cos（π﹣x）=，则cos2x=（）A．B．C．D．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）上为增函数的是（）A．y=e x B．y=x﹣2C．y=sinx D．y=ln|x|5．（5分）将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（）A．y=sin2x B．y=cos2x C． D．6．（5分）函数f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（5分）在△ABC中，“A＞B“是“tanA＞tanB的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）命题“∀n∈N，f（n）∈N且f（n）＞n”的否定形式是（）A．∀n∈N，f（n）∉N且f（n）≤n B．∀n∈N，f（n）∉N且f（n）＞nC．∃n0∈N，f（n0）∉N或f（n0）≤n0D．∃n0∈N，f（n0）∉N且f（n0）＞n0 9．（5分）若f（x）=，且f（f（e））=10，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣210．（5分）若函数f（x）=（）|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，则实数m的取值范围是（）A．m≥0或m＜﹣1 B．m＞0或m＜﹣1 C．m＞1或m≤0 D．m＞1或m＜0 11．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex 垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（，e）D．（e，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=x﹣sinx，则不等式f（x+1）+f（2﹣2x）＞0的解集是（）A．B．C．（﹣∞，3）D．（3，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知α是锐角，且cos（α+）=，则sin（﹣α）=．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=9x，则=．15．（5分）已知函数f′（x）是函数f（x）的导函数，f（1）=，对任意实数都有f（x）﹣f′（x）＞0，设F（x）=，则不等式F（x）的解集为．16．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则下列命题正确的是（填上你认为正确的所有命题的序号）①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）的图象关于点（，0）对称；③函数f（x）的图象关于直线x=对称；④函数f（x）在[，π]上单调递减．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x+（a﹣1）x0+1＜0，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC．（1）求角A的大小；（2）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．19．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．20．（12分）已知函数．（1）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x2+mx）e x（其中e为自然对数的底数）．（1）当m=﹣2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，求m的取值范围．22．（12分）在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）．（1）求y关于v的函数关系式；（2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．2017-2018学年山东省菏泽市高三（上）期中数学试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．故选：C．2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，1） B．[0，1） C．（﹣∞，1）D．（0，+∞）【解答】解：由题意得：，解得：0＜x＜1，故函数的定义域是（0，1），故选：A．3．（5分）已知cos（π﹣x）=，则cos2x=（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（π﹣x）=，则可得：cosx=﹣，cos2x=2cos2x﹣1=2×（﹣）2﹣1=．故选：D．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）上为增函数的是（）A．y=e x B．y=x﹣2C．y=sinx D．y=ln|x|【解答】解：函数y=e x在区间（0，1）上单调递增，但是非奇非偶函数，不满足题意；函数y=x﹣2|在区间（0，1）上单调递减，且是偶函数，不满足题意；函数y=sinx|在区间（0，1）上单调递增，但是奇函数，不满足题意；函数y=ln|x|在区间（0，1）上单调递增，且是偶函数，满足题意；故选：D．5．（5分）将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（）A．y=sin2x B．y=cos2x C． D．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式为y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）的图象，故选：C．6．（5分）函数f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选：B．7．（5分）在△ABC中，“A＞B“是“tanA＞tanB的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当A=，B=时，满足A＞B，但是tanA=﹣，tanB=，tanA＜tanB，所以△ABC中，“A＞B”推不出“tanA＞tanB”；当tanA＞tanB，取A=，B=，满足tanA＞tanB，推不出A＞B，∴“A＞B”是“tanA＞tanB”的既不充分也不必要条件，故选：D．8．（5分）命题“∀n∈N，f（n）∈N且f（n）＞n”的否定形式是（）A．∀n∈N，f（n）∉N且f（n）≤n B．∀n∈N，f（n）∉N且f（n）＞nC．∃n0∈N，f（n0）∉N或f（n0）≤n0D．∃n0∈N，f（n0）∉N且f（n0）＞n0【解答】解：由全称命题的否定为特称命题可知：命题“∀n∈N，f（n）∈N且f（n）＞n”的否定形式是∃n0∈N，f（n0）∉N或f （n0）≤n0，故选：C．9．（5分）若f（x）=，且f（f（e））=10，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2【解答】解：3t2dt=t3|=m3，f（e）=lne=1，∴f（f（e））=f（1）=2+m3=10，解得m=2，故选：A．10．（5分）若函数f（x）=（）|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，则实数m的取值范围是（）A．m≥0或m＜﹣1 B．m＞0或m＜﹣1 C．m＞1或m≤0 D．m＞1或m＜0【解答】解：∵y=（）|x﹣1|≤（）0=1，即y=（）|x﹣1|∈（0，1），∴函数f（x）=（）|x﹣1|+m的值域为：（m，m+1），若函数f（x）=（）|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，则m≥0，或m+1≤0，解得：m≥0或m＜﹣1，故选：A．11．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex 垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（，e）D．（e，+∞）【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）=e x﹣m，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则切线斜率k=e x﹣m，满足（e x﹣m）e=﹣1，即e x﹣m=﹣有解，即m=e x+有解，∵e x+＞，∴m＞，故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=x﹣sinx，则不等式f（x+1）+f（2﹣2x）＞0的解集是（）A．B．C．（﹣∞，3）D．（3，+∞）【解答】解：∵f（x）=x﹣sinx，∴f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，函数的导数f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，则函数f（x）是增函数，则不等式f（x+1）+f（2﹣2x）＞0等价为f（x+1）＞﹣f（2﹣2x）=f（2x﹣2），即x+1＞2x﹣2，解得x＜3，故不等式的解集为（﹣∞，3）．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知α是锐角，且cos（α+）=，则sin（﹣α）=．【解答】解：α是锐角，且cos（α+）=，则sin（﹣α）=sin[﹣（α+）]=cos （α+）=，故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=9x，则=﹣3．【解答】解：因为f（x）是周期为2的函数，所以f（x）=f（x+2）．因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，所以f（2）=f（0）=0．∵当0＜x＜1时，f（x）=9x，∴f（）=3，则==﹣f（）=﹣3，∴=﹣3．故答案为：﹣3．15．（5分）已知函数f′（x）是函数f（x）的导函数，f（1）=，对任意实数都有f（x）﹣f′（x）＞0，设F（x）=，则不等式F（x）的解集为（1，+∞）．【解答】解：根据题意，F（x）=，其导数F′（x）===，又由f（x）﹣f′（x）＞0，则有F′（x）==＜0，即函数在R上为减函数，又由f（1）=，则F（1）==，不等式F（x）⇔F（x）＜F（1），则有x＞1，则不等式的解集为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）16．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则下列命题正确的是①③④（填上你认为正确的所有命题的序号）①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）的图象关于点（，0）对称；③函数f（x）的图象关于直线x=对称；④函数f（x）在[，π]上单调递减．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），∴x+=2kπ+，k∈Z时，函数f（x）取得最大值2，①正确；x=时，f（）=2sin（+）=≠0，∴函数f（x）的图象不关于点（，0）对称，②错误；x=时，f（）=2sin（+）=2为最大值，∴函数f（x）的图象关于直线x=对称，③正确；x∈[，π]时，x+∈[，]，且＜，∴函数f（x）=2sin（x+）在[，π]上单调递减，④正确；综上，正确的命题序号是①③④．故答案为：①③④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x+（a﹣1）x0+1＜0，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：∵∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0．，∴命题p为真时，a≤1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵∃x0∈R，使得，∴△=（a﹣1）2﹣4＞0解得a＞3或a＜﹣1，∴命题q为真时，a＞3或a＜﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）若p∨q为真，p∧q为假，则命题p、q一真一假，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）当p真q假时，有得﹣1≤a≤1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当p假q真时，有得a＞3．故a的取值范围为﹣1≤a≤1或a＞3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC．（1）求角A的大小；（2）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．【解答】解：（1）（2b﹣c）cosA=acosC，∴2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，即2sinB•cosA=sin（A+C），∴2sinBcosA=sinB，∵0＜B＜π，∴sinB≠0．∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由余弦定理得：cosA===，解得c=，∴b=2．=bcsinA=×2××=．∴S△ABC19．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：，（1）函数的最小正周期T=．（2）∵，∴∴，即时，∴，即时，f（x）min=0．故得f（x）在区间上的最大值为，最小值为0．20．（12分）已知函数．（1）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得f′（x）=x﹣，若a=2时，有f′（1）=1﹣2=﹣1，f（1）=，∴在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1），化简得2x+2y﹣3=0；（2）由（1）知f′（x）=，因为a＞0且x＞0，令f′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，有f′（x）＜0，则（0，）是函数f（x）的单调递减区间，当x∈（，+∞）时，有f′（x）＞0，则（，+∞）是函数f（x）的单调递增区间，若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，只需，即，解得：e＜a＜；所以当e＜a＜时，f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点．21．（12分）已知函数f（x）=（x2+mx）e x（其中e为自然对数的底数）．（1）当m=﹣2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，求m的取值范围．【解答】解：（1）当m=﹣2时，f（x）=（x2﹣2x）e x，f′（x）=（x2﹣2）e x，令f′（x）≥0，解得：x≥或x≤﹣，∴f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）递增；（2）∵f′（x）=[x2+（m+2）x+m]e x，由题意得f′（x）≤0对于x∈[1，3]恒成立，∴x2+（m+2）x+m≤0，即m≤﹣=﹣（x+1）+，令g（x）=﹣（x+1）+，则g′（x）=﹣1﹣＜0恒成立，∴g（x）在区间[1，3]递减，g（x）min=g（3）=﹣，∴m的范围是（﹣∞，﹣]．22．（12分）在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y （升）． （1）求y 关于v 的函数关系式；（2）若c ≤v ≤15（c ＞0），求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少．【解答】解：（1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升），水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升），返回水面用时（单位时间），用氧量为（升）， ∴总用氧量（v ＞0）．（2），令y'=0得，在时，y'＜0，函数单调递减，在时，y'＞0，函数单调递增，∴当时，函数在上递减，在上递增，∴此时时用氧量最少．当时，[c ，15]上递增，此时v=c 时，总用氧量最少．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
山东省菏泽市2017届高三数学上学期第二次月考试卷 理(宏志部,含解析)
2016-2017学年山东省菏泽高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（宏志部）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合，集合B={y|y=2x，x＜0}，则A∩B=（）A．（﹣1，1] B．[﹣1，1] C．（0，1）D．[﹣1，+∞）2．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．3．函数f（x）=2|sinx•cosx|•是（）A．周期为的偶函数B．周期为π的非奇非偶函数C．周期为π的偶函数D．周期为的非奇非偶函数4．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m， n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．35．已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=6．已知数列2008，2009，1，﹣2008，﹣2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2013项之和S2013等于（）A．2 008 B．2 010 C．4018 D．17．已知f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围（）A．[4，8 ） B．（4，8）C．（1，8）D．（1，+∞）8．已知，点C在∠AOB外且．设实数m，n满足，则等于（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣9．已知方程在（0，+∞）有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）A． B．C． D．10．已知定义在R内的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[﹣1，3]时，f（x）=，则当t∈（，2]时，方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知函数f（x）=，则f（x）dx= ．12．若存在实数|a﹣2|≤2成立，则实数a的取值范围是．13．已知x，y满足，则的取值范围为．14．已知tan（α+）=，且，则= ．15．若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是．三．解答题（本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）16．设△ABC是边长为1的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC（如图所示）．（1）求的值；（2）Q为线段AP1上一点，若，求实数m的值；（3）P为边BC上一动点，当取最小值时，求cos∠PAB的值．17．（1）已知命题p：2x2﹣3x+1≤0和命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1≤0），若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．（2）已知p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根；q：关于x的不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．18．已知向量，函数．（1）若，求cos2x的值；（2）在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．19．市场上有一种新型的强力洗衣粉，特点是去污速度快，已知每投放a（1≤a≤4且a∈R）个单位的洗衣粉液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=af（x），其中f（x）=，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起有效去污的作用．（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟？（2）若先投放2个单位的洗衣液，6分钟后投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）20．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n为{b n}的前n项和，求T n．21．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．2016-2017学年山东省菏泽一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（宏志部）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合，集合B={y|y=2x，x＜0}，则A∩B=（）A．（﹣1，1] B．[﹣1，1] C．（0，1）D．[﹣1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：当x+1＞0时，A中不等式变形得：x+1≤2，即﹣1＜x≤1；当x+1＜0时，不等式无解，∴A={x|﹣1＜x≤1}，由B中y=2x，x＜0，得到0＜y＜1，即B={y|0＜y＜1}，则A∩B=（0，1）．故选：C．2．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D3．函数f（x）=2|sinx•cosx|•是（）A．周期为的偶函数B．周期为π的非奇非偶函数C．周期为π的偶函数D．周期为的非奇非偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断；同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用两角差的正弦公式，化简函数f（x）=2|sinx•cosx|•，求出函数周期，定义域，判断奇偶性，即可得到结果．【解答】解：∵函数f（x）=2|sinx•cosx|•=|sin2x|，所以f（x）=|sin2x|，x≠，k∈Z，∴定义域不关于原点对称，函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，周期为：π．故选：B．4．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m， n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．3【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式易得m=且n=时取到最小值，可得=，解方程可得．【解答】解：∵正实数m，n是满足m+n=1，∴=（）（m+n）=10++≥10+2=16，当且仅当=即m=且n=时取到最小值，∴曲线y=xα过点P（，），∴=，解得α=故选：B5．已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】定积分．【分析】利用f（x）dx=0求出φ值，然后找出使f（x）取得最值的x即可．【解答】解：因为f（x）dx=0，即且sin（x﹣φ）dx=0，所以﹣cos（x﹣φ）|=﹣cos（﹣φ）+cosφ=0，所以sin（φ﹣）=0，解得φ=+kπ，k∈Z；所以f（x）=sin（x﹣﹣kπ），所以函数f（x）的图象的对称轴是x﹣﹣kπ=k′π±，所以其中一条对称轴为x=；故选A．6．已知数列2008，2009，1，﹣2008，﹣2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2013项之和S2013等于（）A．2 008 B．2 010 C．4018 D．1【考点】数列的求和；数列的函数特性．【分析】设该数列为{a n}，由从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，得a n+1=a n+a n+2，从而有a n+2=a n+1+a n+3，两式相加后通过变形可推得数列周期，由周期性可求得答案．【解答】解：设该数列为{a n}，从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，即a n+1=a n+a n+2，则a n+2=a n+1+a n+3，两式相加，得a n+3+a n=0，即a n+3=﹣a n，∴a n+6=﹣a n+3=﹣（﹣a n）=a n，∴该数列的周期为6，∵a1+a2+a3+a4+a5+a6=2008+2009+1﹣2008﹣2009﹣1=0，∴S2013=335×（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2+a3=0+2008+2009+1=4018，故选C．7．已知f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围（）A．[4，8 ） B．（4，8）C．（1，8）D．（1，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得，由此求得a的范围．【解答】解：∵f（x）=是R上的增函数，∴，求得4≤a＜8，故选：A．8．已知，点C在∠AOB外且．设实数m，n满足，则等于（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的基本定理及其意义．【分析】把代入化简可得关于mn的式子，变形可得所求．【解答】解：由题意可得==m+n=m×1××cos+n×==0，变形可得=2，故选B9．已知方程在（0，+∞）有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）A． B．C． D．【考点】根的存在性及根的个数判断；两角和与差的正切函数．【分析】利用x的范围化简方程，通过方程的解转化为函数的图象的交点问题，利用相切求出β的正切值，通过两角和的正切函数求解即可．【解答】解：，要使方程在（0，+∞）有两个不同的解，则y=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有两个公共点，所以直线y=kx与y=|sinx|在内相切，且切于点（β，﹣sinβ），由，，故选C．10．已知定义在R内的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[﹣1，3]时，f（x）=，则当t∈（，2]时，方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】题意可转化为函数y=f（x）与直线y=x的图象的交点的个数，从而解得．【解答】解：∵7f（x）﹣2x=0，∴f（x）=x，作函数y=f（x）与直线y=x的图象如下，，结合图象可知，函数y=f（x）与直线y=x的图象有5个交点，故方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是5，故选C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知函数f（x）=，则f（x）dx= +．【考点】定积分．【分析】由f（x）dx=dx+（x+1）dx，根据定积分的计算和定积分的几何意义即可求出．【解答】解： f（x）dx=dx+（x+1）dx，由于dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，故dx=，（x+1）dx=（+x）|=﹣（﹣1）=，∴f（x）dx=dx+（x+1）dx=+，故答案为： +．12．若存在实数|a﹣2|≤2成立，则实数a的取值范围是[0，4] ．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由题意，﹣2≤a﹣2≤2，即可得出结论．【解答】解：由题意，﹣2≤a﹣2≤2，∴0≤a≤4，故答案为[0，4]．13．已知x，y满足，则的取值范围为[2，6] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，求出的范围，转化所求的表达式为二次函数的最值求解即可．【解答】解：x，y满足，的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由可行域可知1≤≤k OA，由，可得A（1，3），k OA=3．∈[1，3]．=+3=（）2+2.∈[0，2]，∈[2，6]．故答案为：[2，6]．14．已知tan（α+）=，且，则= ﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由两角和的正切公式求出tanα=﹣，再由定义，即可得到sinα=﹣，再运用二倍角公式和两角差的余弦公式，即可化简得到所求的值．【解答】解：∵tan（α+）=，∴=，∴tanα=﹣，又，可令α终边上一点为P（3，﹣1），OP=，则sinα=﹣，故==2sinα=﹣=﹣．故答案为：﹣．15．若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是．【考点】对数的运算性质．【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可【解答】解：解：由3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0得3x+2a（y﹣2ex）ln=0，即3+2a（﹣2e）ln=0，即设t=，则t＞0，则条件等价为3+2a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣为增函数，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴当t＞e时，g′（t）＞0，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=﹣有解，则﹣≥﹣e，即≤e，则a＜0或a≥，故实数a的取值范围是．故答案为：．三．解答题（本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）16．设△ABC是边长为1的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC（如图所示）．（1）求的值；（2）Q为线段AP1上一点，若，求实数m的值；（3）P为边BC上一动点，当取最小值时，求cos∠PAB的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）根据余弦定理和向量的数量积即可求出，（2）根据向量的加减的几何意义以及，向量的数量积，即可求出m的值，（3）要使当最小，则P必在线段P2C上，根据二次函数的性质即可求出．【解答】解：（1）原式=，在△ABP1中，由余弦定理，得，所以=；（2）易知，即，即，因为Q为线段AP1上一点，设，所以；（3）①当P在线段BP2上时（不含P2），此时＞0，②当P在线段P2C上时（不含P2），≤0，要使当最小，则P必在线段P2C上，设，由于AP2⊥BC，则=||2•（﹣||）=x（x﹣）=x2﹣x当时，即当P为P3时，最小，此时由余弦定理可求得17．（1）已知命题p：2x2﹣3x+1≤0和命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1≤0），若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．（2）已知p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根；q：关于x的不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）由¬p是¬q的必要不充分条件，所以¬q⇒¬p且¬p⇒¬q．于是所以p⇒q且q⇒p，进而可得实数a的取值范围．（2）由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假．进而可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）对于命题p：2x2﹣3x+1≤0，解得：对于命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1≤0），解得：a≤x≤a+1由¬p是¬q的必要不充分条件，所以¬q⇒¬p且¬p⇒¬q．于是所以p⇒q且q⇒p．所以．解得，即：所以实数a的取值范围是（2）解：p为真命题⇔﹣m＜0且△=m2﹣4＞0，⇒m＞2；q为真命题⇔△=[4（m﹣2）]2﹣4×4×1＜0⇒1＜m＜3．由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假．当p真，q假时，由m≤1或m≥3且m＞2，⇒m≥3；当p假，q真时，由1＜m＜3且m≤2，⇒1＜m≤2．综上，知实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．18．已知向量，函数．（1）若，求cos2x的值；（2）在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用三角恒等变换化简==，从而可得，从而解得；（2）化简可得，从而可得，从而解得．【解答】解：（1）==，∵，∴，，∴，∴==；（2）由得，，∴，∴，∴，故．19．市场上有一种新型的强力洗衣粉，特点是去污速度快，已知每投放a（1≤a≤4且a∈R）个单位的洗衣粉液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=af（x），其中f（x）=，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起有效去污的作用．（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟？（2）若先投放2个单位的洗衣液，6分钟后投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）【考点】分段函数的应用．【分析】（1）由题意知有效去污满足y≥4，则或，解得答案；（2），（6≤x1≤10），，（0≤x2≤4）分别求出最值，比较后可得答案．【解答】解：（1）由题意知有效去污满足y≥4，则或得0≤x≤8，所以有效去污时间可能达8分钟．（2），（6≤x1≤10），，（0≤x2≤4）令x1=6+x2，x2∈[0，4]，，（0≤x2≤4）∴，若令t=8+x2，t∈[8，12]，，又，所以a的最小值为1.6．20．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n为{b n}的前n项和，求T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）知：b n==，分组求和，利用“裂项求和”方法、“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）由已知S2=2a2﹣2①，S3=a4﹣2②，①﹣②得a3=a4﹣2a2，即q2﹣q﹣2=0，又∵q＞0∴q=2，∵S2=2a2﹣2，∴a1+a2=2a2﹣2．∴a1+a1q=2a1q﹣2，∴a1=2，∴．（2）由（1）知：b n==，∴T2k=b1+b2+b3+…+b2k=+[2×2﹣2+4×2﹣4+6×2﹣6+…+（2k）•2﹣2k]=+[2×2﹣2+4×2﹣4+6×2﹣6+…+（2k）•2﹣2k]．设A=[2×2﹣2+4×2﹣4+6×2﹣6+…+（2k）•2﹣2k]，则2﹣2A=2×2﹣4+4×2﹣6+6×2﹣8+…+（2k﹣2）•2﹣2k+（2k）•2﹣2k﹣2，两式相减得，整理得，∴．故．．∴T n=．21．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由函数，知（x＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．（Ⅱ）（x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出f（x）的单调区间．（Ⅲ）对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由此能求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．。
山东省菏泽市高三上学期期末数学试卷(理科)
山东省菏泽市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·临泽期末) 已知非空集合，全集，集合 ,集合则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·新乡期末) 复数z= 的共轭复数是（）A . 1﹣iB . ﹣1+iC . 2+iD . 2﹣i3. （2分）(2017·长宁模拟) 给出下列命题：①存在实数α使．②直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．③y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．④若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④4. （2分）已知向量= (－3 ,2 ) ,=(x,－4) ,若，则x=（）A . 4B . 5C . 6D . 75. （2分）(2017·枣庄模拟) 如图是某班甲、乙两位同学在5次阶段性检测中的数学成绩（百分制）的茎叶图，甲、乙两位同学得分的中位数分别为x1 ， x2 ，得分的方差分别为y1 ， y2 ，则下列结论正确的是（）A . x1＜x2 ， y1＜y2B . x1＜x2 ， y1＞y2C . x1＞x2 ， y1＞y2D . x1＞x2 ， y1＜y26. （2分）如果数列是等差数列，则（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·焦作模拟) 函数f（x）=|x|+ （其中a∈R）的图象不可能是（）A .B .C .D .8. （2分）对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为0.5和0.7，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是（）A . 0.35B . 0.42C . 0.85D . 0.159. （2分）(2017·内江模拟) 已知实数x，y满足，记z=ax﹣y（其中a＞0）的最小值为f （a），若f（a）≥﹣，则实数a的最小值为（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分）某几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为（）A . 8-B . 8-C . 8-D . 8-11. （2分） (2016高二上·会宁期中) 已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1 ， a3 ， a2成等差数列，则公比q的值为（）A . ﹣2B .C .D . 112. （2分）设f（x）=ex（sinx﹣cosx），其中0≤x≤2011π，则 f（x）的极大值点个数是（）A . 25B . 1005C . 26D . 28二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·福建模拟) 已知平面向量、满足| |=2，| |=1，与的夹角为120°，且（+λ ）⊥（2 ﹣），则实数λ的值为________．14. （1分）(2017·成都模拟) 二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是a，若m，n满足，则u=m﹣2n的取值范围是________．15. （1分） (2018高一下·鹤岗期末) 已知球面上有四点满足两两垂直，，则该球的表面积是________.16. （1分）(2017·新课标Ⅲ卷文) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= ，c=3，则A=________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分）(2017·太原模拟) 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．18. （10分） (2016高一下·台州期末) 已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，a1+a2=b4 ，b1+b2=a2 ．（1）求{an}与{bn}的通项公式；（2）记数列{an+bn}的前n项和为Tn，求Tn．19. （5分）如图，ABCD是平行四边形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，BD=PD=2EA=4，AD=3，AB=5．F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（1）求证：DB⊥GH；（2）求平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值．20. （5分）(2017·合肥模拟) 某市举行的英文拼字大赛中，要求每人参赛队选取2名选手比赛，有两种比赛方案，方案一：现场拼词，正确得2分，不正确不得分；方案二：听录音拼词，正确得3分，不正确不得分，比赛项目设个人赛：每位选手可自行选择方案，拼词一次，累计得分高者胜．团体赛：2名选手只能选择同一方案，每人拼词一次，两人得分累计得分高者胜．现有来自某参赛队的甲、乙两名选手，他们在“现场拼词”正确的概率均为，在“听录音拼词”正确的概率为p0（0＜p0＜1）．（Ⅰ）在个人赛上，甲选择了方案一，乙选择了方案二，结果发现他们的累计得分不超过3分的概率为，求p0 ．（Ⅱ）在团体赛上，甲、乙两人选择何种方案，累计得分的数学期望较大？21. （15分） (2015高三上·连云期末) 已知函数f（x）=ex[ x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]，其中a∈R，e 为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值；（2）关于x的不等式f（x）＜﹣ ex在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范围；（3）讨论函数f（x）极值点的个数．22. （5分） (2018高三上·重庆期末) 在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数），点，分别在直线和曲线上运动，的最小值为。
【全国市级联考】2017届山东省菏泽市高三上学期期末考试数学(理)试卷(带解析)
绝密★启用前【全国市级联考】2017届山东省菏泽市高三上学期期末考试数学（理）试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：63分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若函数的图象上存在两个点关于原点对称，则称点对为的“友情点对”，点对与可看作同一个“友情点对”，若函数恰好由两个“友情点对”，则实数的值为（ ）A ．B ．2C ．1D ．02、设实数满足约束条件，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．0D ．13、某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知圆方程，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5、设都是正数，则三个数（ ）A ．都大于4B ．都小于4C ．至少有一个大于4D ．至少有一个不小于46、已知是两个不同平面，直线，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、的值为（ ）A ．B ．C ．D ．18、若，则复数在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9、若集合，集合，则等于（ ）A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、已知为原点，双曲线上有一点，过作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为，平行四边形的面积为1，则双曲线的离心率为__________．12、若函数能够在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，且在区间上为增函数，则正整数的值为__________．13、执行如图的程序框图，则输出的__________．14、等差数列的前n项和为，且，则公差15、已知向量，，若，则实数__________．三、解答题（题型注释）16、已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.17、已知椭圆:的离心率为，且与轴的正半轴的交点为，抛物线的顶点在原点且焦点为椭圆的左焦点.（1）求椭圆与抛物线的标准方程；（2）过的两条相互垂直直线与抛物线有四个交点，求这四个点围成四边形的面积的最小值.18、对于数列，，为数列是前项和，且，，.（1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前项和.19、如图，在三棱柱中，底面，，是棱上一点.（1）求证：； （2）若，求二面角的大小.20、在锐角中，是角的对边，.（1）求角的度数； （2）若，且的面积是，求.21、已知定义在上的偶函数，当时，. （1）求的解析式；（2）若，求实数的值.参考答案1、B2、A3、C4、C5、D6、A7、D8、D9、C10、A11、12、713、414、215、216、（1）答案见解析；(2)证明过程见解析.17、（1）椭圆的标准方程为,抛物线的标准方程为;（2）四边形的面积最小值为96.18、（1）,;（2）.19、（1）证明过程见解析；（2）二面角的大小为.20、（1）；（2）.21、（1）;(2) .【解析】1、首先注意到没有对称点.当时，，则，即有两个实数根，即有两个实数根.画出的图像如下图所示，由图可知时有两个解.点睛：本题主要考查对新定义的理解，考查函数的对称性，考查三次方函数图像的画法.根据友情点对的定义，函数在轴右方的图像关于原点对称之后与轴左方的图像有交点，由于题意说明有两个交点，故先求得关于原点对称函数的表达式，然后利用分离常数法来求解.对于三次方函数的图像，是利用导数求其单调区间来画.2、依题意，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数中，令，目标函数化为，当时取得最小值为.点睛：本题主要考查线性规划，考查化归与转化的数学思想方法，考查二次函数最值的求解方法.首先根据题意画出可行域，这是一个三角形.目标函数是一个二次型，利用通分的逆运算进行化简，发现需要求出的取值范围，也就变成常见的求斜率的取值范围的题目，根据图像得到斜率的取值范围后利用配方法可得到目标函数的最值.3、依题意，画出直观图如下图所示.底面积先补形为长方形，如下图所示.故底面积为.面积最小的面为，面积为，故面积比为.4、设.由于，所以，联立直线和圆的方程，消去得，，代入式得.5、依题意，令，则三个数为，排除选项.故选.6、依题意，两平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行，反之若直线和平面平行，两个平面可能相交，个为充分不必要条件.7、依题意，原式.8、依题意，，故对应点在第四象限.9、依题意，，故.点睛：本题主要考查集合交集和补集的概念，考查一元二次不等式的解法.集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是定义域还是值域，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.10、由平方得，选A.11、依题意，渐近线方程为，设，过平行于的方程是，与的交点是，，点到的距离是，根据平行四边形面积有，结合，解得，故.点睛：本题主要考查双曲线的方程与性质，考查双曲线的渐近线，考查平行四边形面积公式与点到直线距离公式.由于题目是计算平行四边形的面积，根据平行四边形的面积公式，要计算和点到直线的距离，设出上曲线上任一点的坐标后，求出平行直线的方程后联立方程求得焦点的坐标，利用点到直线的距离即可求出的值.12、依题意，，即，由于函数在区间是增函数，即，故.13、依题意，，否，，否，是，输出.14、略15、依题意，.16、试题分析：（1）先求得定义域为，求导通分后研究导函数的分子，利用判别式对分子根的个数和分布进行分类讨论，由此求得函数的单调区间；（2）由（1）知时有两个极值点，且，由此利用差比较法，计算的最小值为，即可得证.试题解析：（1）函数的定义域为.，记，判别式.①当即时，恒成立，，所以在区间上单调递增.②当或时，方程有两个不同的实数根，记，，显然（ⅰ）若，图象的对称轴，.两根在区间上，可知当时函数单调递增，，所以，所以在区间上递增.（ⅱ）若，则图象的对称轴，.，所以，当时，，所以，所以在上单调递减.当或时，，所以，所以在上单调递增.综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且.，∴又，.记，，则，所以在时单调递增，，所以，所以.点睛：本题主要考查导数与单调性的知识，考查利用导数来证明不等式的方法，还考查了分类讨论的数学思想和化归与转化的数学思想方法.求导之前要先求定义域.求导通分后往往只需要研究导函数的分子.本题利用分子的判别式进行分类讨论.第一问要证明不等式，采用的是差比较法，做差后利用导数求得右边函数的最小值大于零即可得证.17、试题分析：（1）依题意有，解得，所以椭圆方程为.对于抛物线，；（2）设两条直线的方程分别为和，分别联立两条直线的方程和抛物线的方程，利用弦长公式求得长方形的两条边长，求出面积的表达式，利用换元法求的最小值为.试题解析：（1）设半焦距为，由题意得，∴，∴椭圆的标准方程为.设抛物线的标准方程为，则，∴，∴抛物线的标准方程为.（2）由题意易得两条直线的斜率存在且不为0，设其中一条直线的斜率为，直线方程为，则另一条直线的方程为，联立得，，设直线与抛物线的交点为，则，同理设直线与抛物线的交点为，则，∴四边形的面积，令，则（当且仅当时等号成立），.∴当两直线的斜率分别为和时，四边形的面积最小，最小值为96.点睛：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程和基本性质，考查圆锥曲线的弦长公式和最值的求法.第一问利用题目所给的两个条件，待定两个系数，要注意隐藏条件.第二问四边形是一个矩形，所以只需求出两条边长，利用弦长公式可求得两个边长.求最值的方法主要是基本不等、换元法和导数法等等. 18、试题分析：（1）将化简得到，利用累加法可求得；将配成等比数列，由此求得.（2）化简，这是一个等差数列乘以一个等比数列，利用错位相减法求得前项和.试题解析：（1）因为，所以，所以，所以数列的通项公式为，由，可得，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以数列的通项公式为．（2）由（1）可得，所以①，②，②①得，所以．19、试题分析：（1）利用勾股定理可证明，显然，所以平面，所以；（2）以分别为轴建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量求的二面角的大小为.试题解析：（1）∵三棱柱中，平面，∴.∵，∴，即.又，∴平面，∵平面，∴.（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系.因为，所以，. 设平面的一个法向量，则，即，令，则，即，又平面的一个法向量，∴，由图可知二面角为锐角，∴二面角的大小为.20、试题分析：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，化简得；（2）利用三角形面积公式有.利用余弦定理有，联立上述两个方程，求得.试题解析：（1）在中，，那么由，可得，得，则在锐角中，.（2）由（1）知，且，得，由余弦定理得，那么，则，可得.21、试题分析：（1）令，，根据奇偶性有，由此求得函数的解析式；（2）分别令，解得.试题解析：（1）设，则，∴，又为偶函数，∴，∴，故.（2）当时，；当时，.故.。
(精品)2017年高考山东理科数学试题及答案(解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2017年山东，理1，5分】设函数24x y的定义域为A ，函数)1ln(x y 的定义域为B ，则A B （）（A ）1,2（B ）(1,2（C ）2,1（D ）2,1)【答案】D 【解析】由240x得22x，由10x得1x ，={|22}{|1}{|21}AB x x x xx x ，故选D ．（2）【2017年山东，理2，5分】已知R a ，i 是虚数单位，若3i z a ，4z z ，则a（）（A ）1或1（B ）7或7（C ）3（D ）3【答案】A 【解析】由3i,4zaz z得234a，所以1a，故选A ．（3）【2017年山东，理3，5分】已知命题p ：0x，ln(1)0x；命题q ：若ab ，则22a b ，下列命题为真命题的是（）（A ）p q （B ）pq （C ）pq（D ）pq【答案】B 【解析】由0x时11,ln(1)x x 有意义，知p 是真命题，由222221,21;12,(1)(2)可知q 是假命题，即p ，q 均是真命题，故选B ．（4）【2017年山东，理4，5分】已知x 、y 满足约束条件303503xy xyx ，则2z x y 的最大值是（）（A ）0 （B ）2（C ）5（D ）6【答案】C【解析】由30+503xy 3x y x画出可行域及直线20x y 如图所示，平移20x y 发现，当其经过直线350x y 与3x 的交点(3,4)时，2z xy 最大为3245z ，故选C ．（5）【2017年山东，理5，5分】为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y bx a ，已知101225i i x ，1011600ii y ，4b ，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）（A ）160 （B ）163（C ）166（D ）170【答案】C 【解析】22.5,160,160422.570,42470166xy a y ，故选C ．（6）【2017年山东，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（）（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0 【答案】D 【解析】第一次227,27,3,37,1x b a ；第二次229,29,3,39,0x b a ，故选D ．（7）【2017年山东，理7，5分】若0a b ，且1ab ，则下列不等式成立的是（）（A ）21log ()2ab a ab b（B ）21log ()2aba b ab（C ）21log ()2ab a a b b （D ）21log ()2ab a b ab【答案】B 【解析】221,01,1,log ()log 21,2abab a b ab12112log ()a ba ab aa b b b ，故选B ．（8）【2017年山东，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）（A ）518（B ）49（C ）59（D ）79【答案】C 【解析】125425989C C，故选C ．（9）【2017年山东，理9，5分】在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ABC 为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C ，则下列等式成立的是（）（A ）2a b （B ）2ba（C ）2A B（D ）2B A【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B CA C A C 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2BC A CBAba ，故选A ．（10）【2017年山东，理10，5分】已知当0,1x时，函数2(1)y mx 的图象与y x m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（）（A ）0,123,（B ）0,13,（C ）0,223,（D ）0,23,【答案】B 【解析】当01m 时，11m，2(1)ymx 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m ，y xm 单调递增，且[,1]y x m m m ，此时有且仅有一个交点；当1m时，101m，2(1)ymx 在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m ，故选B ．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2017年山东，理11，5分】已知(13)nx 的展开式中含有2x 的系数是54，则n．【答案】 4 【解析】1C3C3rrrrrr nnxx ，令2r得：22C354n，解得4n．（12）【2017年山东，理12，5分】已知1e 、2e 是互相垂直的单位向量，若123e e 与12e e 的夹角为60，则实数的值是．【答案】33【解析】2212121121223333e e e e e e e e e e ，2121233e e e e 2211223232e e e e ，222221212112221e e e e e e e e ，22321cos601，解得：33．（13）【2017年山东，理13，5分】由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．【答案】22【解析】该几何体的体积为21V112211242．（14）【2017年山东，理14，5分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y ab（0a ，0b ）的右支与焦点为F 的抛物线22x py （0p ）交于A 、B 两点，若4AF BF OF ＋＝，则该双曲线的渐近线方程为．【答案】22yx【解析】||||=4222ABABp p p AF BF y y y y p ，因为22222222221202xya ypb ya bab x py，所以2222ABpb y y p a ba渐近线方程为22yx ．（15）【2017年山东，理15，5分】若函数()xe f x （ 2.71828e 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质。
山东省菏泽市2017--2018学年高三第一学期期末九校联考理数试题
2017～2018学年度高三第一学期期末考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合1{|33}3x A x R =∈≤≤，{||1|1}B x Z x =∈->，则()Z A C B 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.已知a R ∈，复数()(1)a i i z i-+=，若z 的虚部为1，则a =（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-13.已知cos 5cos(2)sin 3θπθθ=-，||2πθ<，则sin 2θ=（ ） A ．625 B ．1225 C ．1825D ． 24254.若抛物线228x y =上一点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ）A ．72 B ．73 C. 74D ．7 5.《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝石和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的,x y 分别为（ ）A ．90，86B ．98，78 C.94，82 D ．102，746.设,x y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则43z x y =-的最大值为（ ）A ．3B ．9 C.12 D ．157.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增.若实数a 满足21(3)(3)a f f -≥-，则a 的最大值是（ ）A ．1B ．12 C. 14 D ．348.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（ ）A ．甲、乙两人打靶的平均环数相等B ．甲的环数的中位数比乙的大 C. 甲的环数的众数比乙的大 D ．甲打靶的成绩比乙的更稳定9.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)22A ππωϕ>>-<<的部分图像如图所示，则当[,]122x ππ∈时，()f x 的值域是（ ）A ．33[,]22-B ．3[,1]2- C. 13[,]2-D ．1[,1]2- 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．6B ．4 C.223 D ．20311.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于,M N 两点，若212||||MF F F =，且112||||MF NF =，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2B ．32 C. 53 D ．5412.已知函数41()x f x e -=，1()ln(2)2g x x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．1ln 24-B ．1ln 24+ C. 2ln 213- D ．12ln 23+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量(6,2)a =-，(1,)b m =-，且a b ⊥，则1|3|2a b -= ． 14.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，高为2，则异面直线1BC 与1DB 的夹角的余弦值是 ．15.两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有 种． 16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22coscos 212A BC +-=，3sin 2sin B A =，1a b -=，则c = ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a =，*121()n n a a n n N +-=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n b a n=+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学生的人数，求X 的分布列和数学期望.19.如图，四边形ABCD 是矩形，33AB =3BC =，2DE EC =，PE ⊥平面ABCD ，6PE =（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为M ，若直线1MF 的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N ，2F MN ∆的周长为42 （1）求椭圆的标准方程；（2）过点1F 的直线l （直线l 斜率不为1）与椭圆交于,P Q 两点，点P 在点Q 的上方，若1123F NQ F MP S S ∆∆=，求直线l 的斜率.21.已知函数()(ln )()f x x x ax a R =-∈. （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值；（2）设2()(1)g x ax a x a =--+，若对任意的(1,)x ∈+∞，都有()()0f x g x +>，求整数a 的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0ϕπ≤<），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，当ϕ变化时，求||AB 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()||2f x x a a =++.（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()4f x k k ≥--恒成立，求实数k 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CBDAB 6-10:CDCDA 11、12：CB二、填空题13.10 14.3015. 14 16. 7三、解答题17.解：（1）因为121(2)n n a a n n --=-≥， 又112()()n n n n n a a a a a ---=-+-211()a a a ++-+，所以2(21)(23)31(2)n a n n n n =-+-+++=≥.因为11a =也满足2n a n =，所以2n a n =.（2）因为21111n b n n n n ==-++， 所以11111(1)()()22334n S =-+-+-11()1n n ++-+， 所以1111n nS n n =-=++. 18.解：（1）由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有21045C =种， 这两名学生来自同一小组的取法共有22234210C C C ++=，所以102459P ==. （2）由（1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.X 的可能取值为0，1，2，22251(0)10C P X C ===，1132253(1)5C C P X C ===，23253(2)10C P X C ===.∴X 的分布列为：1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：设BE 交AC 于F ，因为四边形ABCD 是矩形，33,3,2ABBC DE EC ===， 所以3CE =，CE BC BC AB =.又2ABC BCD π∠=∠=， 所以ABC BCE ∆∆∽，BEC ACB ∠=∠. 因为2BEC ACE ACB ACE π∠+∠=∠+∠=，所以AC BE ⊥.又PE ⊥平面ABCD ，所以AC PE ⊥，而PE BE E =，所以AC ⊥平面PBE ，又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBE . （2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得(3,3,0)A -，3,0)B ，3,0)C ，6)P ， (0,33,0)AB =，(3,3,6)BP =--，(3,0,0)CB =.设平面APB 的法向量1111(,,)n x y z =，则11113303360x z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取111601x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，即16(,0,1)n =. 设平面BPC 的法向量2222(,,)n x y z =，2222303360x x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取22221x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩2(0,2,1)n =. 设平面APB 与平面PBC 所成的二面角为θ，则12|cos ||cos ,|n n θ==12125||||5n n n n ⋅==， 由图可知二面角A PB C --为钝角，所以cos 5θ=.20.解：（1）因为2F MN ∆的周长为4a =，即a =有直线1MF 的斜率为1，得1bc=， 因为222a b c =+，所以1b =，1c =.所以椭圆的标准方程为2212x y +=. （2）由题可得直线1MF 方程为1y x =+，联立22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得41(,)33N --，所以11||1||3NF MF =.因为1123F NQ F MP S S ∆∆=，即1111||||sin 2NF QF QF N ⋅∠=11121(||||sin )32MF PF PF M ⋅∠， 所以11||2||QF PF =.当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为1x my =-，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由点P 在点Q 的上方，则212y y =-.联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my +--=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 消去2y 得1221222122m y m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以222281(2)2m m m =++，得227m =，7m =±， 又由画图可知7m =不符合题意，所以7m =-.故直线l 的斜率为1142m =-. 21.解：（1）当0a =时，()ln f x x x =，定义域为(0,)+∞.'()ln 1f x x =+，令'()0f x =，可得1x e=.列表：所以，函数()f x 的最小值为11()f e e=-.（2）由题意()()0f x g x +>对任意的(1,)x ∈+∞恒成立， 可得ln (1)0x x a x a --+>对任意的(1,)x ∈+∞恒成立. 即ln 1x x xa x +<-对任意的(1,)x ∈+∞恒成立.(*)记ln ()1x x xx x ϕ+=-，得22ln '()(1)x x x x ϕ--=-， 设()2ln t x x x =--，11'()10x t x x x-=-=>，则()t x 在(1,)+∞是单调增函数， 又(3)1ln30t =-<，(4)2ln 40t =->，且()t x 在[3,4]上的图像是不间断的， 所以，存在唯一的实数0(3,4)x ∈，使得0()0t x =，当01x x <<时，()0,'()0t x x ϕ<<，()x ϕ在0(1,)x 上递减； 当0x x >时，()0,'()0t x x ϕ>>，()x ϕ在0(,)x +∞上递增. 所以当0x x =时，()x ϕ有极小值，即为最小值00000ln ()1x x x x x ϕ+=-，又000()2ln 0t x x x =--=，故00ln 2x x =-，所以000000ln ()1x x x x x x ϕ+==-，由(*)知，0a x <，又0(3,4),x a Z ∈∈， 所以整数a 的最大值为3.22.解：（1）由cos 2sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得sin cos 2cos 0x y ϕϕϕ-+=，所以直线l 的普通方程为sin cos 2cos 0x y ϕϕϕ-+=.由2cos 8sin ρθθ=，得2(cos )8sin ρθρθ=，把cos x ρϕ=，sin y ρϕ=代入上式，得28x y =，所以曲线C 的直角坐标方程为28x y =.（2）将直线l 的参数方程代入28x y =，得22cos 8sin 160t t ϕϕ--=， 设A B 、两点对应的参数分别为12,t t ， 则1228sin cos t t ϕϕ+=，12216cos t t ϕ=-，所以12||||AB t t =-==28cos ϕ=. 当0ϕ=时，||AB 的最小值为8.23.解：（1）因为||21x a a ++≤，所以||12x a a +≤-，所以2112a x a a -≤+≤-，所以113a x a -≤≤-.因为不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，所以12134a a -=-⎧⎨-=⎩，解得1a =-. （2）由（1）得()|1|2f x x =--.不等式2()4f x k k ≥--恒成立，只需2min ()4f x k k ≥--，所以224k k -≥--，即220k k --≤， 所以k 的取值范围是[1,2]-.。
2017年山东省菏泽市普通高校招生模拟考试(理科)数学试卷(含答案)
2017年普通高校招生模拟考试（理科）数学试卷一、选择题（本大题共有8题，满分48分）1.若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =（ ）（A ） 1+2i（B ）1-2i（C ）12i -+ （D ）12i --2.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→l im .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （B ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a 3.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=4.已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5.函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（ ）（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π 6.已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–947.函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（ ）（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π 8.已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–949.已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ）（A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）210.若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ） （A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3二、填空题（28分）9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是. 三、解答题（74分）15.将边长为1的正方形11AAOO （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧。
2017年山东省菏泽市高三理科一模数学试卷
2017年山东省菏泽市高三理科一模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 若集合，集合，则等于A. B. C. D.2. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设的内角，，所对的边分别为，，，若，，则的面积为A. B. C. D.4. 在一次化学测试中，高一某班名学生成绩的平均分为分，方差为，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是A. B. C. D.5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.6. “”是“不等式对恒成立”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知，，，且，则等于A. B. C. D.8. 已知实数，满足约束条件若的最小值为，则正数的值为A. B. C. D.9. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，直线与双曲线在第一象限的交点为，过的直线与双曲线过二、四象限的渐近线平行，且与直线交于点，若与的面积的比值为，则双曲线的离心率为A. B. C. D.10. 已知，函数为偶函数，则的值是A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）11. ；；；；照此规律，当时， ______．12. 执行如图的程序框图，若输入的值为，则输出的值为______．13. 已知的常数项为，则函数在区间上的值域为______．14. 已知，则曲线在点切线的斜率的最小值为______．15. 已知抛物线的焦点为，以抛物线上的点为圆心的圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则______．三、解答题（共6小题；共78分）16. 已知向量，．（1）若，且，求的值；（2）若函数的图象关于直线对称，求函数在上的值域．17. 如图，在多面体中，四边形和都是直角梯形，，，，平面，，，是的中点．（1）求证： 平面；（2）求二面角的余弦值．18. 在数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．19. 中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：时间），分别从这两个班中随机抽取名同学进步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过小时，则称为“过度熬夜”．（1）请根据样本数据，分别估计甲，乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（2）从甲班的样本数据中有放回地抽取个数据，求恰有个数据为“过度熬夜”的概率；（3）从甲班、乙班的样本中各随机抽取名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为，写出的分布列和数学期望．20. 已知函数，，．（1）若，且存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围；（2）若对任意恒成立，求的取值范围．21. 已知焦距为的椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于，两点（在的左边），在轴上的射影为，且四边形是平行四边形．（1）求椭圆的方程；（2）斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点，．（i）若直线过原点且与坐标轴不重合，是直线上一点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的值；（ii）若是椭圆的左顶点，是直线上一点，且，点是轴上异于点的点，且以为直径的圆恒过直线和的交点，求证：点是定点．答案第一部分1. D2. D3. B4. A5. C6. A7. B8. D9. A 10. B第二部分11.12.13.14.15.第三部分16. （1）当时，，．因为，所以．又，所以，．所以．（2），其中．因为函数的图象关于直线对称，所以或．所以，或．所以．所以或．所以或．因为，所以．所以，所以在上的值域为或．17. （1）取中点，连接，，，，，平面，，，是的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以 平面．（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，则，，，，，，，，，设平面的法向量，则取，得，设平面的法向量，则取，得，设二面角的平面角为，则，所以二面角的余弦值为．18. （1）因为，即，又，所以是以为首项，以为公差的等差数列．所以，所以．（2）．所以，所以所以得：所以．19. （1）甲班样本数据的平均值为，由此估计甲班学生每周平均熬夜时间小时．乙班样本数据的平均值为，由此估计乙班学生每周平均熬夜时间为小时．（2）因为从甲班的个样本数据中随机抽取个的数据为“过度熬夜”的概率是，所以从甲班的样本数据中，有放回地抽取个的数据，恰有个数据为“过度熬夜”的概率为：．（3）的可能取值为，，，，，，，，，，所以的分布列为：．20. （1），，所以当时，，当时，，所以的减区间为，增区间为．的定义域为，且．因为，所以，则在定义域上为减函数，要使存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，则，即．所以的取值范围是．（2）．要使对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则．若，则，在上为减函数，而，不合题意；若，则当时，，当时，，所以，得；若，则，在恒成立，在上为增函数，．综上，的取值范围是．21. （1）由题意可得，即，直线代入椭圆方程可得，解得，可得，由四边形是平行四边形，可得，解得，，可得椭圆的方程为．（2）（i）由直线代入椭圆方程，可得，解得，可设，由是以为直角顶点的等腰直角三角形，可设，到直线的距离为，即有，，即为，由，代入第二式，化简整理可得，解得或；（ii）由，可得直线的方程为，代入椭圆方程可得，，可得，解得，，即，设，，由题意可得，，以为直径的圆恒过直线和的交点，可得，即有，即为，解得．故点是定点，即为原点．。
2017年山东省高考理科数学试题(有答案和解释)
2017年山东省高考理科数学试题（有答案和解释）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（东卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的（1）设函数的定义域A，函数的定义域为B,则（A）（1,2）（B）（）（-2,1）（D）[-2,1)【答案】D【解析】由得，由得，故，选D（2）已知,i是虚数单位，若，则a=（A）1或-1 （B）（）- （D）【答案】A【解析】由得，所以，故选A（3）已知命题p: ；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是（A）（B）（）（D）【答案】B（4）已知x,满足，则z=x+2的最大值是（A）0 （B）2 （）（D）6【答案】【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，当其经过直线与的交点时，最大为，选（）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（A）（B）（）（D）【答案】【解析】,选（6）执行学科#网两次右图所示的程序框图，若第一次输入的的值为，第二次输入的的值为，则第一次、第二次输出的的值分别为（A）0，0 （B）1，1 （）0，1 （D）1，0【答案】D【解析】第一次；第二次，选D（7）若，且，则下列不等式成立的是（A）（B）（）（D）【答案】B【解析】，所以选B（8）从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A）（B）（）（D）【答案】【解析】,选（9）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A）（B）（）（D）【答案】A【解析】所以，选A（10）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（A）（B）（）（D）【答案】B二、填空题：本大题共小题，每小题分，共2分（11）已知的展开式中含有项的系数是，则【答案】【解析】，令得：，解得．（12）已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是【答案】【解析】，，，，解得：．(13)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为【答案】【解析】该几何体的体积为．（14）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为【答案】（1）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质下列函数中所有具有性质的函数的序号为①②③④【答案】①④【解析】①在上单调递增，故具有性质；②在上单调递减，故不具有性质；③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；④，令，则，在上单调递增，故具有性质．三、解答题：本大题共6小题，共7分。
山东省菏泽市2017届高三数学上学期期末学分认定考试试题(B卷)
菏泽市2016—2017学年度第一学期期末学分认定考试高三数学试题(B)注意事项:1。
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分.考试用时120分钟。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.3。
第Ⅱ卷必须用0。
5毫米黑色签字笔作答,写在答题卡各题目指定区域内相应的位置。
4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I卷(共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合A=｛x|log2x＜1｝，B=｛x|x2+x﹣2＜0｝，则A∪B（）A．（﹣∞，2） B．（0，1） C．（﹣2，2） D．（﹣∞，1）2．已知p:α为第二象限角,q：sinα＞cosα，则p是q成立的（）A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．充分不必要条件3．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（)A． B． C．D．4．已知m,n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α,n⊥α，则m∥n5．已知向量=,=，则向量在方向上的投影为（）A．﹣3 B． C．D．36．将函数y=2sin(2x+）的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为（)A ．y=2sin （2x+)B ．y=2sin （2x+)C ．y=2sin （2x ﹣）D ．y=2sin （2x ﹣)7．在等差数列{a n } 中，a 1+3a 8+a 15=60，则2a 9﹣a 10的值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．138．函数y=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f(x+2)=﹣，且在(0,1）上f （x)=3x ，则f(log 354）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣10．已知函数f （x ）=x 3ax 2+bx+c 在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，满足x 1 ∈（﹣1，0），x 2∈（0，1）,则的取值范围是（ )A ．（0，3）B ．［0，3］C ．（1，3）D ．［1，3]第Ⅱ卷（共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知向量=（1，x ），=（x ﹣1，2），若，则x= ．12．设正项数列{a n ｝是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3=7a 3,则公比q= ．13．（理做）1221(1)x x dx --⎰= ．(文做）已知函数234x x x '+-f(x)=ln -f (1)，则f (1)'= ．14．函数y=log a （x+3）﹣1（a ＞0,a ≠1）的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny+1=0上,其中mn ＞0，则+的最小值为 ．15．函数f （x ）=，若方程f （x)=mx ﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题:本答题共6小题，共75分。
2017-2018学年山东省菏泽市九校联考高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年山东省菏泽市九校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合，B＝{x∈Z||x﹣1|＞1}，则A∩（∁Z B）中元素的个数为（）A．0B．1C．2D．32．（5分）已知a∈R，复数，若z的虚部为1，则a＝（）A．2B．﹣2C．1D．﹣13．（5分）已知，，则sin2θ＝（）A．B．C．D．4．（5分）若抛物线x2＝28y上一点（x0，y0）到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0＝（）A．B．C．D．75．（5分）《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重长两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为（）A．90，86B．94，82C．98，78D．102，746．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝4x﹣3y的最大值为（）A．3B．9C．12D．157．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增．若实数a满足，则a的最大值是（）A．1B．C．D．8．（5分）甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）A．甲、乙两人打靶的平均环数相等B．甲的环数的中位数比乙的大C．甲的环数的众数比乙的大D．甲打靶的成绩比乙的更稳定9．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则当x∈[]时，f（x）的值域是（）A．[]B．[]C．[﹣]D．[﹣] 10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6B．4C．D．11．（5分）设双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦分别是F1，F2，过F1的直线交双曲线C的左支于M，N两点若|MF2|＝|F1F2|，且2|MF1|＝|NF1|，则双曲线C的离心率是（）A．2B．C．D．12．（5分）已知函数，若f（m）＝g（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知向量，，且，则＝．14．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，则异面直线BC1与DB1的夹角的余弦值是．15．（5分）两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有种．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，3sin B＝2sin A，a﹣b＝1，则c＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X表示抽得甲组学生的人数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝3，＝2，PE⊥平面ABCD，PE＝．（1）证明：平面P AC⊥平面PBE；（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（1）当a＝0时，求函数f（x）的最小值；（2）设g（x）＝ax2﹣（a﹣1）x+a，若对任意的x∈（1，+∞），都有f（x）+g（x）＞0，求整数a的最大值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+a|+2a．（1）若不等式f（x）≤1的解集为{x|﹣2≤x≤4}，求a的值；（2）在（1）的条件下，若不等式f（x）≥k2﹣k﹣4恒成立，求k的取值范围．2017-2018学年山东省菏泽市九校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x∈Z|x＜0，或x＞2}，∁Z B＝{0，1}；∴A∩（∁Z B）＝{0，1}；∴A∩（∁Z B）的元素个数为2．故选：C．2．【解答】解：数＝＝（1﹣a）﹣（a+1）i，∵z的虚部为1，∴﹣（a+1）＝1，∴a＝﹣2，故选：B．3．【解答】解：∵已知，即＝cosθ，∴sinθ＝．又，∴cosθ＝＝，则sin2θ＝2sinθcosθ＝2••＝，故选：D．4．【解答】解：拋物线x2＝28y上一点（x0，y0），到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，可得y0+＝3y0，所以y0＝＝＝．故选：A．5．【解答】解：模拟程序的运行，可得：x＝86，y＝90，s＝+，不满足条件s＝27，x＝90，y＝86，s＝，不满足条件s＝27，x＝94，y＝82，s＝，不满足条件s＝27，x＝98，y＝78，s＝＝27，满足条件s＝27，退出循环，输出x的值为98，y的值为78．故选：C．6．【解答】解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（3，0），B（1，2），C（﹣1，0）设z＝F（x，y）＝4x﹣3y，将直线l：z＝4x﹣3y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（3，0）＝12．故选：C．7．【解答】解：f（x）是R上的偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增；∴f（32a﹣1）＝f（﹣32a﹣1）；∴由得；∴；∴；∴；解得；∴a的最大值为．故选：D．8．【解答】解：甲的平均数为×（8+6+8+6+9+8）＝，乙的平均数为×（4+6+8+7+10+10）＝，二人平均数相等，A正确；甲的中位数是8，乙的中位数是8，两人中位数相等，B正确；甲的众数是8，乙的众数是10，甲的众数比乙小，C错误；甲的数据与乙比较更集中些，更稳定些，D正确．故选：C．9．【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象，可得＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝，∴φ＝﹣．再根据图象过（0，﹣），可得A sin（﹣）＝﹣，∴A＝1，故函数f（x）＝sin（2x﹣）．当x∈[]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，即f（x）∈[﹣，1]，故选：D．10．【解答】解：三视图对应的直观图如图，是正方体的一部分，正方体的棱长为2，所以几何体的体积为：＝6．故选：A．11．【解答】解：如图所示，取F1M的中点P，则|MF2|＝|F1F2|＝2c，|MP|＝c﹣a，|F1P|＝c﹣a；又|NF1|＝2|MF1|，则|NF1|＝4（c﹣a），|NF2|＝4c﹣2a；在Rt△NPF2中，|NP|2+＝，在Rt△MPF2中，|MP|2+＝，得（4c﹣2a）2﹣[5（c﹣a）]2＝（2c）2﹣（c﹣a）2，化简得3c2﹣8ac+5a2＝0，即（c﹣a）（3c﹣5a）＝0，解得c＝a或3c＝5a；又e＞1，∴离心率e＝＝．故选：D．12．【解答】解：不妨设f（m）＝g（n）＝t，∴e4m﹣1＝+ln（2n）＝t，（t＞0）∴4m﹣1＝lnt，即m＝（1+lnt），n＝，故n﹣m＝﹣（1+lnt），（t＞0）令h（t）＝﹣（1+lnt），（t＞0），∴h′（t）＝﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）＝0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t＝时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）＝﹣（1+ln）＝，即n﹣m的最小值为；故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．【解答】解：∵向量，，且，∴•＝（6，﹣2）•（﹣1，m）＝﹣6﹣2m＝0，∴m＝﹣3，即＝（﹣1，﹣3），∴﹣3＝（6，8），则＝＝10，故答案为：10．14．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，1，0），C1（0，1，2），D（0，0，0），B1（1，1，2），＝（﹣1，0，2），＝（1，1，2），设异面直线BC1与DB1的夹角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线BC1与DB1的夹角的余弦值为．故答案为：．15．【解答】解：根据题意，分2类进行分析：1、将4本书分为2组，一组2本，另一组2本，有＝6种分组方法；2、将4本不同的书，分2组一组3本，另一组1本，有＝8种情况，则不同的分法有6+8＝14种；故答案为：14．16．【解答】解：∵2cos2﹣cos2C＝1，可得cos（A+B）﹣cos2C＝0，∴cos2C+cos C＝0，可得：2cos2C+cos C﹣1＝0，∴cos C＝或﹣1（舍去），∵3sin B＝2sin A，可得：3b＝2a，又∵a﹣b＝1，∴解得：b＝2，a＝3，∴由余弦定理可得：c＝＝＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：（1）因为a n﹣a n﹣1＝2n﹣1（n≥2），又a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，所以．因为a1＝1也满足，所以．（2）因为，所以，所以．18．【解答】解：（1）由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有种，这两名学生来自同一小组的取法共有，所以这两名学生来自同一个小组的概率．（2）由（1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2．X的可能取值为0，1，2，，，．∴X的分布列为：．19．【解答】（1）证明：连接BE交AC于F，∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝1，＝2，∴CE＝，则，∵∠ABC＝∠BCD＝，∴△ABC∽△BCE，则∠BEC＝∠ACB，∵∠BEC+∠ACE＝∠ACB+∠ACE＝，∴AC⊥BE，∵PE⊥平面ABCD，∴AC⊥PE，∵PE∩BE＝E，∴AC⊥平面PBE，∵AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBE；（2）解：取PB中点G，连接FG，AG，CG，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥DC，∵PE＝，∴PC＝3＝BC，得CG⊥PB，∵CG∩AC＝C，∴PB⊥平面ACG，则AG⊥PB，∴∠AGC是二面角A﹣PB﹣C的平面角，∵AB∥CD，AB＝CD，DE＝2EC，∴，∵CE＝，AC＝6，∴CF＝，AF＝，∵BC⊥CD，BC⊥PE，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥PC，∴PB＝，则CG＝，∵FG⊥AC，∴FG＝FC＝，在Rt△AFG和Rt△CFG中，求得tan∠AGF＝3，tan∠CGF＝1．∴tan∠AGC＝tan（∠AGF+∠CGF）＝．∴cos∠AGC＝．∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．20．【解答】解：（1）根据题意，因为△F1MN的周长为，所以，即，由直线MF1的斜率1，得，因为a2＝b2+c2，所以b＝1，c＝1，所以椭圆的标准方程为．（2）由题意可得直线MF1方程为y＝x+1，联立得，解得N（﹣，﹣），所以，因为，即，所以|QF1|＝2|PF1|，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故设直线l的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P在点Q的上方，且|y2|＝|2y1|，则有y2＝﹣2y1，联立，所以（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，所以，消去y2得，所以，得，又由画图可知不符合题意，所以，故直线l的斜率为．21．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝xlnx，定义域为（0，+∞）．f'（x）＝lnx+1，令f'（x）＝0，可得．列表：，所以，函数f（x）的最小值为．（2）由题意f（x）+g（x）＞0对任意的x∈（1，+∞）恒成立，可得xlnx﹣（a﹣1）x+a＞0对任意的x∈（1，+∞）恒成立．即对任意的x∈（1，+∞）恒成立．（*）记，得，设t（x）＝x﹣2﹣lnx，，则t（x）在（1，+∞）是单调增函数，又t（3）＝1﹣ln3＜0，t（4）＝2﹣ln4＞0，且t（x）在[3，4]上的图象是不间断的，所以，存在唯一的实数x0∈（3，4），使得t（x0）＝0，当1＜x＜x0时，t（x）＜0，φ'（x）＜0，φ（x）在（1，x0）上递减；当x＞x0时，t（x）＞0，φ'（x）＞0，φ（x）在（x0，+∞）上递增．所以当x＝x0时，φ（x）有极小值，即为最小值，又t（x0）＝x0﹣2﹣lnx0＝0，故lnx0＝x0﹣2，所以，由（*）知，a＜x0，又x0∈（3，4），a∈Z，所以整数a的最大值为3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由，消去t得x sinφ﹣y cosφ+2cosφ＝0，所以直线l的普通方程为x sinφ﹣y cosφ+2cosφ＝0．由ρcos2θ＝8sinθ，得（ρcosθ）2＝8ρsinθ，把x＝ρcosφ，y＝ρsinφ代入上式，得x2＝8y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＝8y．（2）将直线l的参数方程代入x2＝8y，得t2cos2φ﹣8t sinφ﹣16＝0，设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，所以|AB|＝|t1﹣t2|＝＝．当φ＝0时，|AB|的最小值为8．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）因为|x+a|+2a≤1，所以|x+a|≤1﹣2a，所以2a﹣1≤x+a≤1﹣2a，所以a﹣1≤x≤1﹣3a．因为不等式f（x）≤1的解集为{x|﹣2≤x≤4}，所以，解得a＝﹣1．（2）由（1）得f（x）＝|x﹣1|﹣2．要使不等式f（x）≥k2﹣k﹣4恒成立，只需，所以﹣2≥k2﹣k﹣4，即k2﹣k﹣2≤0．所以k的取值范围是[﹣1，2]．。
山东省菏泽一中2017届高三上学期期中数学试卷理科 含
2016-2017学年山东省菏泽一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={﹣1，0，1，2}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{1，2}D．{﹣1，2}2．设命题p：∃x＜0，x2≥1，则¬p为（）A．∀x≥0，x2＜1 B．∀x＜0，x2＜1 C．∃x≥0，x2＜1 D．∃x＜0，x2＜13．要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位4．函数的定义域为（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，2]C．[0，2]D．[0，2）5．若变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．16．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里7．函数的图象大致是（）A．B．C．D ．8．函数f （x ）的图象关于y 轴对称，且对任意x ∈R 都有f （x +3）=﹣f （x ），若当x ∈（，）时，f （x ）=（）x ，则fA ．﹣B ．C ．﹣4D ．49．如图，在▱ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且=，=，连接AC ，MN 交于P 点，若=λ，则λ的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数f （x ）=（kx +4）lnx ﹣x （x ＞1），若f （x ）＞0的解集为（s ，t ），且（s ，t ）中只有一个整数，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（﹣2，﹣）B ．（﹣2，﹣]C ．（﹣，﹣1]D ．（﹣，﹣1）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11．定积分的值为 ．12．不等式|x ﹣2|﹣|2x ﹣1|＞0的解集为 ．13．已知cos （α﹣）=，α∈（0，），则= ．14．一艘海警船从港口A 出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟到达B 处，这时候接到从C 处发出的一求救信号，已知C 在B 的北偏东65°，港口A 的东偏南20°处，那么B ，C 两点的距离是 海里．15．设函数f （x ）=，若函数g （x ）=[f （x ）]2+bf （x ）+c有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．设函数f（x）=sinωx•cosωx﹣（ω＞0）的图象上相邻最高点与最低点距离为．（1）求ω的值；（2）若函数y=f（x+φ）（0＜φ＜）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x﹣φ）在区间[0，2π]上的单调减区间．17．已知在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，向量与向量共线．（1）求角C的值；（2）若，求的最小值．18．已知m∈R，设p：对∀x∈[﹣1，1]，x2﹣2x﹣4m2+8m﹣2≥0恒成立；q：∃x∈[1，2]，成立．如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求m 的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点P（a n，S n）（其中n≥1且n∈N*）在直线4x﹣3y﹣1=0上，数列是首项为﹣1，公差为﹣2的等差数列．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．20．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）．（1）求y关于v的函数关系式；（2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．21．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x＞0且x≠1，f（x）﹣．（i）求实数t的最大值；（ii）证明不等式：lnn＜（n∈N*且n≥2）．2016-2017学年山东省菏泽一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={﹣1，0，1，2}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{1，2}D．{﹣1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中的不等式解得：﹣1＜x＜2，即N=（﹣1，2），∵M={﹣1，0，1，2}，∴M∩N={0，1}．故选：A2．设命题p：∃x＜0，x2≥1，则¬p为（）A．∀x≥0，x2＜1 B．∀x＜0，x2＜1 C．∃x≥0，x2＜1 D．∃x＜0，x2＜1【考点】命题的否定．【分析】根据含有量词的命题的否定进行判断即可．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，∴¬p：∀x∈R，都有x2＜1．故选：B．3．要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得函数y=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象，故选C．4．函数的定义域为（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，2]C．[0，2]D．[0，2）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的对数式大于等于0，分式的分母不等于0，列出不等式组，求解即可得答案．【解答】解：由，解得0≤x＜2．∴函数的定义域为：[0，2）．故选：D．5．若变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【考点】简单线性规划．【分析】画出平面区域，利用目标函数等于直线在y轴的截距得到最最优解位置，求得z的最小值．【解答】解：变量x，y满足的平面区域如图：目标函数z=2x+y变形为y=﹣2x+z，当此直线经过图中A时z最小，由得到A（﹣1，﹣1），所以z=2×（﹣1）﹣1=﹣3；故选：A．6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：C．7．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】求出函数的零点个数，图象所过象限及极限值，利用排除法，可得答案．【解答】解：令函数=0，则x=0，或x=，即函数有两个零点，故排除B；当0＜x＜时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由=0，可排除D，故选：A8．函数f（x）的图象关于y轴对称，且对任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），若当x∈（，）时，f（x）=（）x，则fA．﹣ B．C．﹣4 D．4【考点】函数的值．【分析】推导出f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），当x∈（，）时，f（x）=（）x，从而f=f（﹣1）=﹣f（2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）的图象关于y轴对称，且对任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），∵当x∈（，）时，f（x）=（）x，∴f=f（﹣1）=﹣f（2）=﹣（）2=﹣．故选：A．9．如图，在▱ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且=，=，连接AC，MN交于P点，若=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】=，=，∴=λ=λ（=，三点M，N，P共线．，即可求得λ．【解答】解：∵=，=，∴=λ=λ（=，∵三点M，N，P共线．∴，则λ=．故选：D．10．函数f（x）=（kx+4）lnx﹣x（x＞1），若f（x）＞0的解集为（s，t），且（s，t）中只有一个整数，则实数k的取值范围为（）A．（﹣2，﹣）B．（﹣2，﹣]C．（﹣，﹣1]D．（﹣，﹣1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令f（x）＞0，得到kx+4＞，令g（x）=，集合函数图象求出k 的范围即可．【解答】解：令f（x）＞0，得：kx+4＞，令g（x）=，则g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜e，故g（x）在（1，e）递增，在（e，+∞）递减，画出函数草图，如图示：，结合图象，解得：﹣2＜k≤﹣，故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．定积分的值为e+1．【考点】定积分．【分析】找出被积函数的原函数，代入积分上限和下限计算即可．【解答】解：原式==e+1；故答案为：e+1．12．不等式|x﹣2|﹣|2x﹣1|＞0的解集为（﹣1，1）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围求出各个区间上的x的范围，取并集即可．【解答】解：x≥2时，x﹣2﹣2x+1＞0，解得：x＜﹣1，不合题意，＜x＜2时，2﹣x﹣2x+1＞0，解得：x＜1，x≤时，2﹣x+2x﹣1＞0，解得：x＞﹣1，故不等式的解集是（﹣1，1）；故答案为：（﹣1，1）．13．已知cos（α﹣）=，α∈（0，），则=﹣．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式和二倍角公式进行化简求值．【解答】解：∵α∈（0，），∴α﹣∈（﹣，0），∵cos（α﹣）=，∴sin（α﹣）=﹣=，==﹣=﹣2sin（）=﹣．故答案是：﹣．14．一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东65°，港口A的东偏南20°处，那么B，C两点的距离是10海里．【考点】解三角形的实际应用．【分析】根据题意画出图象确定∠BAC、∠ABC的值，进而可得到∠ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值【解答】解：如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=20，从而∠ACB=45°．在△ABC中，由正弦定理可得BC=×sin30°=10．故答案为：；15．设函数f（x）=，若函数g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2+x2x3+x1x3=3﹣a4．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设f（x）=t，根据f（x）的函数图象得出方程f（x）=t的根的个数，从而得出f（x）=1，故而可求出f（x）=1的三个解，得出答案．【解答】解：不妨设a＞1（或0＜a＜1），作出f（x）的函数图象如图所示：设f（x）=t，由图象可知：当t=1时，方程f（x）=t有3解，当t≠1时，方程f（x）=t有2解，∵函数g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点，∴关于t的方程t2+bt+c=0有且只有一解t=1，∴f（x）=1，∴x1，x2，x3是f（x）=1的三个解，不妨设x1＜x2＜x3，则x2=1，令log a|x﹣1|﹣1=1得x=1±a2，∴x1=1﹣a2，x3=1+a2．∴x1x2+x2x3+x1x3=1+a2+1﹣a2+1﹣a4=3﹣a4．故答案为：3﹣a4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．设函数f（x）=sinωx•cosωx﹣（ω＞0）的图象上相邻最高点与最低点距离为．（1）求ω的值；（2）若函数y=f（x+φ）（0＜φ＜）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x﹣φ）在区间[0，2π]上的单调减区间．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx﹣），设T为f（x）的最小值周期，由题意得，结合f（x）max=1，可求T的值，利用周期公式可求ω的值．（2）由题意可求f（x+φ）=sin（x+φ﹣）是奇函数，则sin（φ﹣）=0，结合0＜φ＜，可求φ，进而可求函数g（x）的解析式，利用余弦函数的图象和性质可求其单调递减区间，结合范围x∈[0，2π]，即可得解．【解答】解：（1）∵=，设T为f（x）的最小值周期，由f（x）图象上相邻最高点与最低点的距离为，得，∵f（x）max=1，∴，整理可得T=2π，又∵ω＞0，T==2π，∴ω=．（2）由（1）可得f（x）=sin（x﹣），∴f（x+φ）=sin（x+φ﹣），∵y=f（x+φ）是奇函数，则sin（φ﹣）=0，又∵0＜φ＜，∴φ=，∴g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣），令，则，∴单调递减区间是，又∵x∈[0，2π]，∴当k=0时，递减区间为；当k=1时，递减区间为，∴函数g（x）在[0，2π]上的单调递减区间是，．17．已知在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，向量与向量共线．（1）求角C的值；（2）若，求的最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，正弦定理、余弦定理，求得cosC的值，可得C的值．（2）利用两个向量的数量积的定义求得||||的值，利用以及基本不等式，求得的最小值．【解答】解：（1）向量与向量共线．∴（a﹣b）•sin（A+C）=（a﹣c）（sinA+sinC），由正弦定理可得（a﹣b）•b=（a ﹣c）（a+c），∴c2=a2+b2﹣ab，∴，∵0＜C＜π，∴．（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，（当且仅当时，取“=”），∴的最小值为．18．已知m∈R，设p：对∀x∈[﹣1，1]，x2﹣2x﹣4m2+8m﹣2≥0恒成立；q：∃x∈[1，2]，成立．如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求m 的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．【分析】如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q一真一假，进而可得m的取值范围．【解答】解：若p为真：对∀x∈[﹣1，1]，4m2﹣8m≤x2﹣2x﹣2恒成立，设f（x）=x2﹣2x﹣2，配方得f（x）=（x﹣1）2﹣3，∴f（x）在[﹣1，1]上的最小值为﹣3，∴4m2﹣8m≤﹣3，解得，∴p为真时，；若q为真：∃x∈[1，2]，x2﹣mx+1＞2成立，∴成立，设，易知g（x）在[1，2]上是增函数，∴g（x）的最大值为，∴，∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q一真一假，当p真q假时，，∴，当p假q真时，，∴，综上所述，m的取值范围为或．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点P（a n，S n）（其中n≥1且n∈N*）在直线4x﹣3y﹣1=0上，数列是首项为﹣1，公差为﹣2的等差数列．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用点在直线上，得到递推关系式，判断数列是等比数列，然后求出通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项法求和即可．【解答】（1）解：由点P（a n，S n）在直线4x﹣3y﹣1=0上，∴4a n﹣3S n﹣1=0即3S n=4a n﹣1，又3S n﹣1=4a n﹣1﹣1（n≥2），两式相减得a n=4a n ，﹣1∴，∴{a n}是以4为公比的等比数列，又a1=1，∴，∵是以为首项，以﹣2为公差的等差数列，∴，∴．（2）由（1）知，，∴，∴，以上两式相减得，==+，∴T n=．20．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）．（1）求y关于v的函数关系式；（2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；（2）利用基本不等式可得，时取等号，再结合c≤v≤15（c＞0），即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少．【解答】解：（1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升），水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升），返回水面用时（单位时间），用氧量为（升），∴总用氧量（v＞0）．（2），令y'=0得，在时，y'＜0，函数单调递减，在时，y'＞0，函数单调递增，∴当时，函数在上递减，在上递增，∴此时时用氧量最少．当时，[c，15]上递增，此时v=c时，总用氧量最少．21．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x＞0且x≠1，f（x）﹣．（i）求实数t的最大值；（ii）证明不等式：lnn＜（n∈N*且n≥2）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）（i）分类讨论，利用函数的单调性，即可求实数t的最大值；（ii）当x＞1时整理得，令，则，即可证明不等式．【解答】解：（1）由题意x∈（0，+∞）且，∴，又，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即x﹣2y﹣1=0．（2）（i）由题意知，设，则=，设，则，当t≥0时，∵x＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，∴x∈（0，1）时，h（x）＜0，又，∴g（x）＜0不符合题意．当t＜0时，设ϕ（x）=tx2+2x+t，①若△=4﹣4t2≤0即t≤1时，ϕ（x）≤0恒成立，即h'（x）≤0在（0，+∞）恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，又h（1）=0，∴x∈（0，1）时，h（x）＞0，，g（x）＞0，x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，，g（x）＞0，符合题意．②若△=4﹣4t2＞0即﹣1＜t＜0时，ϕ（x）的对称轴，∴ϕ（x）在上单调递增，∴时，ϕ（x）＞ϕ（1）=2+2t＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在上单调递增，∴h （x ）＞h （1）=0，而，∴g （x ）＜0，不符合题意．综上所述t ≤﹣1，∴t 的最大值为﹣1．（ii ）由（i ）知t=﹣1时，，当x ＞1时整理得，令，则，∴，∴，∴，即．2017年4月2日。
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2017学年度第一学期期中考试 高三理科数学试题（A ）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分。
考试用时120分钟。
第I 卷（选择题 共5分）一、选择题(本大题共10题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合M ={0,1,2,3}，N =2{|30}x xx -<，则M N =（ ）A ．{0}B ．{|0}x x <C ．{|03}x x <<D ． {1,2} 2．已知函数32(0)()tan (0)2x x f x x x π⎧<⎪=⎨-≤<⎪⎩，则(())4f f π= ( )A ．1B ．－2C ．2D ．1-3．要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 4．由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )A ．103 B ．4 C．163D ．65．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC △的面积，若2221cos cos sin ,()4a Bb Ac C S b c a +==+-，则B ∠=（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒6．若a ，b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7． 已知函数()()1ln 1f x y f x x x ==--，则的图象大致为（ ）8． 已知锐角βα,满足sin αβ==，,则βα+= （ ）A ．4π B ．34π C ． 4π或34πD ．2π9．如果实数y x ,满足不等式组302301x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，目标函数z kx y =-的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．定义域为R 的函数()y f x =,若对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“H 函数”，现给出如下函数： ①31y xx =-++②32(sin cos )y x x x =--③1+=x e y ④ln ,0()0,0x x f x x ⎧≠=⎨=⎩ 其中为“H 函数”的有（ ）A ．①②B ．③④C ． ②③D ． ①②③二、填空题（大题共5题，每小题5，共25分，把答案填写在答题卡中横线上）11． 已知复数1242,z i z k i =+=+,且12z z ⋅是实数，则实数k ＝ 12． 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ=__________13． 若两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a=-=+，则向量a b + 与b a -的夹角为____14．已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x R ∈，都有 1(1)()f x f x +=；②函数(1)y f x =+的图象关于y 轴对称；③对于任意的12,[0,1]x x∈，且 12x x <，都有12()()f x f x >。
则3(),(2),(3)2f f f 从小到大排列是________15．下列4个命题：①“如果0x y +=，则x 、y 互为相反数”的逆命题 ②“如果260xx +-≥，则2x >”的否命题③在△ABC 中，“30A >”是“1sin 2A >”的充分不必要条件④“函数)tan()(ϕ+=x x f 为奇函数”的充要条件是“)(Z k k ∈=πϕ”其中真命题的序号是_________三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分） 已知p ：函数2()24f x x mx =-+在[)2,+∞上单调递增；q ：关于x 的不等式24(2)40mxm x +-+>的解集为R ．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求m 的取值范围．17．（本小题满分12分） 函数)0(3sin 32cos 6)(2>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形。
（1）求ω的值及函数()f x 的值域；（2）若0()f x =，且0102(,)33x∈-，求0(1)f x +的值。
18．（本小题满分12分）在三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a b c 、、且222b c bc a +=+（1）求∠A； （2）若a =22b c +的取值范围19．（本小题满分12分）已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入2．7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且2210.8,01030()1081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）20．（本小题满分13分）1()2ln f x x x=+（1）求()f x 的单调区间和极值 （2）若[1,)x ∀∈+∞及[1,2]t ∈不等式2()22f x tmt ≥-+恒成立，求实数m 的范围21．（本小题满分14分）设3x =是函数()()()23,x f x xax b e x R -=++∈的一个极值点．（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（2）设()2250,4xa g x ae ⎛⎫>=+⎪⎝⎭，若存在．．[]12,0,4ξξ∈，使得()()12254f g ξξ-<成立，求实数a 的取值范围．2017学年度第一学期期中考试 高三理科数学试题（A ）参考答案1-5:DBCCC 6-10:DAABC11．2 12．35- 13．60 14．3(3)()(2)2f f f << 15．①②16．解：若命题p 为真，因为函数的对称轴为x m =，则2m ≤若命题q 为真，当0m =时原不等式为840x -+>，显然不成立当0m ≠时，则有21416(2)160m m m m >⎧⇒<<⎨∆=--<⎩由题意知，命题p 、q 一真一假故214m m m ≤⎧⎨≤≥⎩或或214m m >⎧⎨<<⎩解得1m ≤或24m << 17．（1）由已知可得：2()6cos3(0)2xf x x ωωω=->)3x x πωω=+又由于正三角形ABC 的高为23，则BC=4所以，函数2()42884f x T ππωω=⨯===的周期，即，得 所以，函数]32,32[)(-的值域为x f 。
（2）因为0()f x =（Ⅰ）有0()sin()43x f x ππ=+= 04sin()435xππ+=即 由x 00102()(,)334322x ππππ∈-+∈-（，），得所以，03cos()435x ππ+=即故=+)1(0x f 03sin()443x πππ++=03sin[()]434x πππ++03[sin()cos cos()sin 434434433(55x x ππππππ=+++==18．解（1）由余弦定理有2221cos 22b c a A bc +-==0A π<< ，3A π∴=（2）a =222b c bc a +=+，223b c bc ∴+=+2202b c bc +<≤，226b c ∴+≤，（当且仅当b c ==2239b c ∴<+≤方法二、由正弦定理2sin sin sin sin3b c aB C A ====2sin ,2sin b B c C==2224sin sin 34sin sin()32sin cos 33b c B C B B B B B π∴+=+=++=++2cos242sin(2)46B B B π-+=-+因为203B π<<，所以72666B πππ-<-< 所以1sin(2)126B π-<-≤即2239bc ∴<+≤19．解（1）由题意38.110,01030() 2.710100098 2.7,103x x x W xR x x x x x ⎧--<≤⎪⎪=--=⎨⎪-->⎪⎩（2）①当010x <≤时，28.109,10x W x '=-+=⇒=或9(x =-舍）009,0910W x W x ''>⇒<<<⇒<≤所以W 在(0,9)上单调递增，在(9,10]上单调递减 故当9x =时W 取到最大值38.6②当10x >时100098( 2.7)98383W x x=-+≤-当且仅当1000 2.73x x=即1009x =时取等号综上，当年产量为9万件时利润最大为38.6万元 20．解：（1）2221211()02x f x x xx x -'=-==⇒=列表如下：所以，()f x 单调递减区间为1(0,)2，单调递增区间为1(,)2+∞，极小值是2ln2-，无极大值.（2）由（1）可知()f x 在(1,)+∞上单调递增 所以2min 22()(1)1tmt f x f -+≤==即2210tmt -+≤对[1,2]t ∀∈恒成立所以12104410m m -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得54m ≥ 21． (本题满分14分) 解：（Ⅰ）∵()()23x f x x ax b e -=++∴()()()()''32321x x fx x a e x ax b e --=++++-()232xx a x b a e -⎡⎤=-+-+-⎣⎦ 由题意得：()'30f =，即()23320a b a +-+-=，23b a =--∴()()2323x f x xax a e -=+--且()()()'331x f x x x a e -=--++令()'0f x =得13x=，21xa =--∵3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点∴12x x ≠，即4a ≠-故a 与b 的关系式()23,4b a a =--≠-（1）当4a <-时，213x a =-->，由()'0f x >得单增区间为：()3,1a --；由()'0f x <得单减区间为：(),3-∞、()1,a --+∞；（2）当4a >-时，213x a =--<，由()'0f x >得单增区间为：()1,3a --；由()'0f x <得单减区间为：(),1a -∞--、()3,+∞； （2）由（1）知：当0a >时，210xa =--<，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,4上单调递减，()()(){}()3minmin 0,423f x f f a e ==-+，()()max 36f x f a ==+()f x ∴在[0,4]上的值域为3[2(3),6]a e a -++易知，225()()4xg x ae =+在[0,4]上是增函数 ()g x ∴在[0,4]上的值域为2242525[,()]44a a e ++ 由于22251()6)()042aa a +-+=-≥（ 又 要存在存在．．[]12,0,4ξξ∈，使得()()12254f g ξξ-<成立， ∴必须且只须202525()(6)44a a a >⎧⎪⎨+-+<⎪⎩，解得03a << 所以，实数a 的取值范围为03a <<.。