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2012-2013北京市西城区(北区)八年级上学期期末数学试题及答案

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北京市西城区2011-2012学年度第一学期期末试卷八年级数学B卷及答案

北京市西城区2011-2012学年度第一学期期末试卷八年级数学B卷及答案

北京市西城区2011–2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（B 卷） 2012.1一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1．下列四个汽车标志图中，不是．．轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．计算33-的结果是（ ）．A ．9-B ．27-C ．271 D ．271- 3．下列说法中，正确的是（ ）．A ．16的算术平方根是4-B ．25的平方根是5C ．1的立方根是1±D ．27-的立方根是3- 4．下列各式中，正确的是（ ）．A ．2121+=++a b a b B ．21422-=--a a a C ． 22)1(111--=-+a a a a D ．a b a b --=--11 5．下列关于正比例函数5y x =-的说法中，正确的是（ ）．A ．当1x =时，5y =B ．它的图象是一条经过原点的直线C ．y 随x 的增大而增大D ．它的图象经过第一、三象限 6．如右图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E．若∠CBD : ∠DBA =3:1， 则∠A 为（ ）．A ．18°B ．20°C ．22.5°D ．30°7．已知点A （2，3-）关于x 轴对称的点的坐标为点B （2m ，m n +），则m n -的值为（ ）．A ． 5-B ． 1-C ． 1D ． 5 8．下列条件中，不能．．判定两个直角三角形全等的是（ ）． A ．两锐角对应相等 B ．斜边和一条直角边对应相等E D C BANMC ．两直角边对应相等D ．一个锐角和斜边对应相等 9．若一次函数y kx b =+不等式0≥+b kx 的解集为（ ）． A ．0≥x B ．1≥x C ．2≥x D ．2≤x10号为1，2，3别被标号为4，5，6，7，8，9）的记录，那么标号为100的微生物会出现在（ ）． A ．第3天 B ．第4天 C ．第5天 D ．第6天二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．在54，11-，∙7.0，π2，38这五个实数中，无理数是_________________．12．函数1+=x y 中，自变量x 的取值范围是______________．13．如右图，△ABC 为等边三角形，DC ∥AB ，AD ⊥CD 于D ．若△ABC 的周长为12 cm ，则CD =________ cm ．14．若将直线)0(≠=k kx y 的图象向下平移1个单位长度后经过点（1，5），则平移后直线的解析式为______________________．15．如右图，在△ABC 中，AC = BC ，D 是BC 边上一点，且AB =AD =DC ，则∠C =_________°．16．已知等腰三角形的周长为40，则它的底边长y 关于腰长x 的函数解析式为_____________________，自变量x 的取值范围是___________________． 17．如右图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C =90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D ，DE ⊥AB 于E ．若△ADE 的周长 为8cm ，则AB =_________ cm ．18．将如图1所示的长方形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 边上，折痕为AE （如图2）；再继续将纸片沿过点E 的直线折叠，使点A 落在EC 边上，折痕为EF （如图3），则在图3中，∠F AE =_______°，∠AFE =_______°．A BCD D D CABC DABCDA D CB图1 图2 图3三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分） 19．因式分解：（1）25)(10)(2++-+n m n m ； （2）22218ax ay -．解： 解：20．计算：322536-+-．解：21．先化简，再求值：21)21441(22++÷++++x x x x x x ，其中x =3． 解：22．解分式方程：2353114=-+--xx x ． 解：四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分）23．已知：如图，CB =DE ，∠B =∠E ，∠BAE =∠CAD ．求证：∠ACD =∠ADC ．证明：24．已知：如图1，长方形ABCD 中，AB =2，动点P 在长方形的边BC ，CD ，DA 上沿AD C B →→→的方向运动，且点P 与点B ，A 都不重合．图2是此运动过程中，△ABP 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数图象的一部分． 请结合以上信息回答下列问题：（1）长方形ABCD 中，边BC 的长为________；（2）若长方形ABCD 中，M 为CD 边的中点，当点P 运动到与点M 重合时，x =________，y =________；（3）当106<≤x 时，y 与x 之间的函数关系式是___________________； （4）利用第（3）问求得的结论，在图2中将相应的y 与x 的函数图象补充完整． 图125．已知：直线321+-=x y 与x （1）分别求出A ，B （2）过A 点作直线AP 与y 轴交于点P ，且使OP =2OB ， 求△ABP 的面积．解：（1）（2）五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分）E A B C D26．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°．点D 为△ABC 内一点，且DB =DC ，∠DCB =30°．点E 为BD 延长线上一点，且AE =AB ． （1）求∠ADE 的度数；（2）若点M 在DE 上，且DM=DA ，求证：ME=DC ． 解：（1）27．有甲、乙两个均装有进水管和出水管的容器，水管的所有阀门都处于关闭状态．初始时，同时打开甲、乙两容器的进水管，两容器都只进水； 到8分钟时，关闭甲容器的进水管，打开它的出水管，甲容器只出水； 到16分钟时，再次打开甲容器的进水管，此时甲容器既进水又出水； 到28分钟时，关闭甲容器的出水管，并同时关闭甲、乙两容器的进水管．已知两容器每分钟的进水量与出水量均为常数，图中折线O-A-B-C 和线段DE 分别表示两容器内的水量y (单位：升)与时间x (单位：分)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1) 甲容器的进水管每分钟进水______升，它的出水管每分钟出水______升； (2) 求乙容器内的水量y 与时间x 的函数关系式；(3) 求从初始时刻到最后一次．．．．两容器内的水量相等时所需的时间． 解：（2）28．已知：在△ABC 中，∠CAB =2α，且030α<<，AP 平分∠CAB ．B分（1）如图1，若21α=，∠ABC =32°，且AP 交BC 于点P ，试探究线段AB ，AC 与PB 之间的数量关系，并对你的结论加以证明；答：线段AB ，AC 与PB 之间的数量关系为：___________________________． 证明：（2）如图2，若∠ABC =60α-，点P 在△ABC 的内部，且使∠CBP =30°， 求∠APC 的度数（用含α的代数式表示）．解：北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）图1ABCP图2AC PB八年级数学（B 卷）参考答案及评分标准二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．11-，π2；（答对1个给1分） 12．x ≥1-； 13．2；14．16-=x y ； 15．36； 16．402+-=x y ，2010<<x ；（每空1分） 17．8； 18．45，67.5．（每空1分）三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分） 19．（1）解：25)(10)(2++-+n m n m=2)5(-+n m ． -----------------------------------------------------------------------2分（2）解：22218ax ay -=)9(222y x a - ------------------------------------------------------------------------4分 =)3)(3(2y x y x a -+． -------------------------------------------------------------6分20．解：322536-+-=32256-+- ----------------------------------------------------------------------1分=32256+-- ----------------------------------------------------------------------2分 =269-． --------------------------------------------------------------------------------3分21．解：21)21441(22++÷++++x x x x x x =21])2(1)2(1[2++÷+++x x x x x=21)2(222++÷++x x x x x ----------------------------------------------------------------------2分 =22(1)2(2)1x x x x x ++⋅++=222x x+． ---------------------------------------------------------------------------------4分当3=x 时，原式=22323+⨯=152． --------------------------------------------------5分22．解：方程两边同乘(3)x -，得 625114-=--x x ． ------------------------------2分 解得 5=x ． -----------------------------------------------------------------------------4分 检验：5=x 时30x -≠，5=x 是原分式方程的解． -------------------------5分四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分）23．证明：如图1．∵∠BAE =∠CAD ， ∴∠BAE -∠CAE =∠CAD -∠CAE ，即∠BAC =∠EAD ． ----------------------------------1分在△ABC 和△AED 中， ∠BAC =∠EAD ，∠B =∠E ，BC =ED ，∴△ABC ≌△AED ． ------------------------------------------------------------------4分 ∴AC =AD ． -----------------------------------------------------------------------------5分 ∴∠ACD =∠ADC ． -------------------------------------------------------------------6分24．解：（1）4； -------------------------------------------1分 （2）5，4；（每空1分） ---------------------3分 （3）10+-=x y ； -----------------------------4分 （4）如图2． --------------------------------------5分25．解：（1）令0=y ，则6=x ；∴点A 的坐标为A （6，0）； 令0=x ，则3=y ；∴点B 的坐标为B （0，3）． （2）如图3．∵OB =3，且OP =2OB ， ∴OP =6．∵点P 在y 轴上，∴点P 的坐标为（0，6）或（0，6-）．（两个坐标各1分） ------4分 若点P 的坐标为（0，6），E A B C D 图1则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)36(21⨯-⨯=9； --------------------------------5分 若点P 的坐标为（0，6-），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)63(21⨯+⨯=27． -------------------------------6分∴△ABP 的面积为9或27．五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分） 26．解：（1）如图4．∵△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°，∴∠ABC =∠ACB =2)30180(÷- =75°．∵DB =DC ，∠DCB =30°， ∴∠DBC =∠DCB =30°． ∴∠1=∠ABC －∠DBC =75°－30°=45°．∵AB =AC ，DB =DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ． ∴AD 平分∠BAC ．∴∠2=21∠BAC =3021⨯=15°． -----------------------------------------------2分 ∴∠ADE =∠1＋∠2 =45°＋15°=60°． -----------------------------------------3分证明：（2）证法一：连接AM ，取BE 的中点N ，连接AN ．（如图5）∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． -----------------4分∵△ABE 中，AB =AE ，N 为BE 的中点，∴BN =NE ，且AN ⊥BE ． ∴DN =NM ． -----------------------------------5分∴BN －DN =NE －NM ， 即 BD =ME ．∵DB =DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分证法二：连接AM ．（如图6）∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． ------------------4∴∠3=60°． ∵AE =AB ， ∴∠E =∠1=45°．∴∠4=∠3－∠E =60°－45°=15°． ∴∠2=∠4． 在△ABD 和△AEM 中，∠1 =∠E ， AB =AE ， ∠2 =∠4，∴△ABD ≌△AEM ． ------------------------------------------------------------5分 ∴BD =EM ． ∵DB = DC ，B B B∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．27．解：（1）5， 2.5 ；（每空1分） -----------------------------------------------------------2分（2）设线段DE 所在直线为(0)y kx b k =+≠．∵点（5，15），（10，20）在此直线上，则1552010.k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得110.k b =⎧⎨=⎩，∴10y x =+． ----------------------------------------------------------------------3分 ∴当0≤x ≤28时，10y x =+．（3）设线段BC 所在直线为(0)y mx n m =+≠．∵点（16, 20），（28, 50）在此直线上，则20165028.m n m n =+⎧⎨=+⎩， 解得5220.m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴5202y x =-． --------------------------------------------------------------------4分 ∴当16≤x ≤28时，5202y x =-．由（2）知线段DE 所在直线为10y x =+，则10520.2y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得2030.x y =⎧⎨=⎩， --------------------------------------------5分 ∴线段DE 与线段BC 的交点坐标为（20, 30）．答：从初始时刻到最后一次两容器内的水量相等时所需的时间为20分钟．----------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．28．解：（1） AB －AC = PB ； --------------------------------------------------------------------1分 证明：在AB 上截取AD ，使AD =AC ．（如图7）∵AP 平分∠CAB ，∴∠1=∠2．在△ACP 和△ADP 中，AC =AD ， ∠1 =∠2，AP =AP ，∴△ACP ≌△ADP ． ∴∠C =∠3．∵△ABC 中，∠CAB =α2=2×21°=42° ，∠ABC =32°， ∴∠C =180°－∠CAB －∠ABC =180°－42°－32° = 106°． ∴∠3 =106°． --------------------------------------------------------------2分 ∴∠4 =180°－∠3=180°－106°=74°，图712345P C B A∠5 =∠3－∠ABC =106°－32°=74°．∴∠4 =∠5．∴PB =DB ．∴AB －AC = AB －AD =DB =PB ． ---------------------------------------3分（2）方法一：延长AC 至M ，使AM =AB ，连接PM ，BM ．（如图8）∵AP 平分∠CAB ，∠CAB =α2， ∴∠1=∠2=α221⋅=α． 在△AMP 和△ABP 中， AM =AB ， ∠1 =∠2， AP =AP ，∴△AMP ≌△ABP ．∴PM =PB ，∠3 =∠4．∵∠ABC =60°－α，∠CBP =30°，∴∠4=(60°－α)－30° =30°－α．∴∠3 =∠4 =30°－α． -----------------------------------------------------------4分 ∵△AMB 中，AM =AB ，∴∠AMB =∠ABM =(180°－∠MAB )÷2 =(180°－α2)÷2 =90°－α．∴∠5=∠AMB －∠3= (90°－α)－(30°－α)=60°．∴△PMB 为等边三角形．∵∠6=∠ABM －∠ABC = (90°－α)－(60°－α)=30°，∴∠6=∠CBP ．∴BC 平分∠PBM ．∴BC 垂直平分PM ．∴CP =CM ．∴∠7 =∠3 = 30°－α．---------------------------------------------------------------5分 ∴∠ACP =∠7＋∠3=(30°－α)＋(30°－α)=60°－2α．∴△ACP 中，∠APC =180°－∠1－∠ACP=180°－α－(60°－2α)=120°＋α． ----------------------------------------------6分方法二：在AB 上截取AM ，使AM =AC ，连接PM ，延长AP 交BC 于N ，连接MN ．（如图9）∵AP 平分∠CAB ，∠CAB =α2， ∴∠1=∠2=α221⋅=α． 在△ACN 和△AMN 中， AC =AM ，∠1 =∠2，AN =AN ，∴△ACN ≌△AMN ．∴∠3 =∠4．∵∠ABC =60°－α，∴∠3=∠2＋∠NBA =α＋(60°－α) =60°．∴∠3 =∠4 =60°． 7654321MB C P A 图8 图9 N M 12346578A CP B∴∠5=180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°．∴∠4 =∠5．------------------------------------------------------------------------4分∴NM平分∠PNB．∵∠CBP=30°，∴∠6=∠3－∠NBP=60°－30°=30°．∴∠6=∠NBP．∴NP=NB．∴NM垂直平分PB．∴MP=MB．∴∠7 =∠8．∴∠6＋∠7 =∠NBP＋∠8，即∠NPM=∠NBM =60°－α．--------------------------------------------------5分∴∠APM=180°－∠NPM =180°－(60°－α)=120°＋α．在△ACP和△AMP中，AC =AM，∠1 =∠2，AP=AP，∴△ACP≌△AMP．∴∠APC=∠APM．∴∠APC=120°＋α．-------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．。

2012-2013学年北京市西城区(北区)八年级(下)期末数学试卷

2012-2013学年北京市西城区(北区)八年级(下)期末数学试卷

2012-2013 学年北京市西城区（北区）八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3 分）要使二次根式有意义，那么x 的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤22．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．1，，2 B．1，2， C．5，12，13 D．1，，3．（3 分）下列计算中，正确的是（）A． B．C． D．4．（3 分）如图，在▱ABCD 中，延长CD 至点E，延长AD 至点F，连接EF，如果∠B＝110°，那么∠E+∠F＝（）A．110°B．70°C．50°D．30°5．（3 分）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（）A．它的图象在第二、四象限B．点（﹣2，1）在它的图象上C．当x＞0 时，y 随x 的增大而减小D．当x＜0 时，y 随x 的增大而增大6．（3分）下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．同一底上两个角相等的四边形是等腰梯形7．（3 分）如图，每个小正方形的边长为1，△ABC 的三边a，b，c 的大小关系式（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（3 分）如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，DE∥CB，若CD＝4，△ADE 周长为18，那么梯形ABCD 的周长为（）A．22 B．26 C．38 D．309．（3 分）如图，菱形ABCD 的周长为16，若∠BAD＝60°，E 是AB 的中点，则点E 的坐标为（）A．（1，1）B．（，1）C．（1，）D．（，2）10．（3 分）用配方法将关于x 的方程x2+5x+n＝0 可以变形为（x+p）2＝9，那么用配方法也可以将关于x 的方程x2﹣5x+n＝﹣1 变形为下列形式（）A．（x﹣p+1）2＝10 B．（x﹣p）2＝8C．（x﹣p﹣1）2＝8 D．（x﹣p）2＝10二、细心填一填（本题共18 分，每小题3 分）11．（3 分）如果＝0，那么xy 的值为．12．（3 分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25 米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为．（无需确定x 的取值范围）13．（3 分）一组数据0，﹣1，6，1，﹣1，这组数据的平均数，方差是．14．（3 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，将△AOB 沿过点A 的直线折叠，使点B 落在x 轴负半轴上，记作点C，折痕与y 轴交点交于点D，则点C 的坐标为，点D 的坐标为．15．（3 分）如图，在菱形ABCD 中，AB＝13cm，BC 边上的高AH＝5cm，那么对角线AC 的长为cm．16．（3 分）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，A n，A n+1，若A1 的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过A1，A2，A3，…，A n，A n+1 分别作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1＝，S1+S2+S3+…+S n＝．三、解答题（本题共16 分，第17 题8 分，第18 题8 分）17．（8 分）计算：（1）；（2）．18．（8 分）解方程：（1）（2x﹣3）2＝25；（2）x2﹣5x+2＝0．四、解答题（本题共25 分，第19～21 题每小题6 分，第22 题7 分）19．（6 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y＝kx+b 的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，1）和点B（1，n）．（1）求反比例函数的解析式及一次函数解析式；（2）设一次函数y＝kx+b 的图象与x 轴交于点C，连接OA，求△AOC 的面积；（3）结合图象，直接写出不等式的解集．20．（6 分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，点E，点F 在BD 上，且BE ＝DF 连接AE 并延长，交BC 于点G，连接CF 并延长，交AD 于点H．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AC 平分∠HAG，求证：四边形AGCH 是菱形．21．（6 分）某学校通过初评决定最后从甲、乙、丙三个班中推荐一个班为区级先进班集体，下表是这三个班的五项素质考评得分表：五项成绩素质考评得分（单位：分）班级行为规范学习成绩校运动会艺术获奖劳动卫生甲班10 10 6 10 7乙班10 8 8 9 8丙班9 10 9 6 9根据统计表中的信息解答下列问题：（1）请你补全五项成绩考评分析表中的数据：五项成绩考评比较分析表（单位：分）班级平均数众数中位数甲班8.6 10乙班8.6 8丙班9 9（2）参照表中的数据，你推荐哪个班为区级先进班集体？并说明理由；（3）如果学校把行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生五项考评成绩按照按3：2：1：1：3 的比确定，学生处的李老师根据这个平均成绩，绘制了一幅不完整的条形统计图，请将这个统计图补充完整，依照这个成绩，应推荐哪个班为市级先进班集体？22．（7 分）已知：关于x 的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．五、解答题（本题共11 分，第23 题5 分，第24 题6 分）23．（5 分）阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD 是△ABC 的中线，点M 为BC 边上任意一点（不与点D 重合），过点M 作一直线，使其等分△ABC 的面积．他的做法是：如图1，连接AM，过点D 作DN∥AM 交AC 于点N，作直线MN，直线MN 即为所求直线．请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）如图2，在四边形ABCD 中，AE 平分ABCD 的面积，M 为CD 边上一点，过M 作一直线MN，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图2 中画出直线MN，并保留作图痕迹）；（2）如图3，求作过点A 的直线AE，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图3 中画出直线AE，并保留作图痕迹）．24．（6 分）已知：四边形ABCD 是正方形，点E 在CD 边上，点F 在AD 边上，且AF＝DE．（1）如图1，判断AE 与BF 有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图2，对角线AC 与BD 交于点O．BD，AC 分别与AE，BF 交于点G，点H．①求证：OG＝OH；②连接OP，若AP＝4，OP＝，求AB 的长．一、填空题（本题6 分）25．（6 分）（1）若x2+y2＝10，xy＝3，那么代数式x﹣y 的值为．（2）若x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，那么代数式x+y 的值为．二、解答题（本题共14 分，每小题7 分）26．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OBCD 的顶点B 在x 轴正半轴上，顶点D 在y 轴正半轴上．（1）如图1，反比例函数（x＞0）的图象与正比例函数的图象交于点A．BC 边经过点A，CD 边与反比例函数图象交于点E，四边形OACE 的面积为6．①直接写出点A 的坐标；②判断线段CE 与DE 的大小关系，并说明理由；（2）如图2，若反比例函数（x＞0）的图象与CD 交于点M，与BC 交于点N，CM＝nDM（n＞0），连接OM，ON，MN，设M 点的横坐标为t（t＞0）．求：（用含n 的式子表示）．27．（7 分）△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形，∠CDE＝∠AOB＝90°，DC＝DE＝1，OA＝OB＝a（a＞1）．（1）将△C DE 的顶点D 与点O 重合，连接AE，B C，取线段BC 的中点M，连接OM．①如图1，若CD，DE 分别与OA，OB 边重合，则线段OM 与AE 有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；②如图2，若CD 在△AOB 内部，请你在图2 中画出完整图形，判断OM 与AE 之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；③将△CDE 绕点O 任意转动，写出OM 的取值范围（用含a 式子表示）；（2）是否存在边长最大的△AOB，使△CDE 的三个顶点分别在△AOB 的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a 的值；如果不存在，请说明理由．2012-2013 学年北京市西城区（北区）八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3 分）要使二次根式有意义，那么x 的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2【分析】二次根式的性质：被开方数大于等于0．【解答】解：根据题意，得2x﹣4≥0，解得，x≥2．故选：C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数．2．（3 分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．1，，2 B．1，2， C．5，12，13 D．1，，【分析】将各选项中长度最长的线段长求出平方，剩下的两线段长求出平方和，若两个结果相等，利用勾股定理的逆定理得到这三条线段能组成直角三角形；反之不能组成直角三角形．【解答】解：A、∵12+（）2＝22，∴能组成直角三角形；B、∵12+22＝（）2，∴能组成直角三角形；C、∵52+122＝132，∴能组成直角三角形；D、∵12+（）2≠（）2，∴不能组成直角三角形．故选：D．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．3．（3 分）下列计算中，正确的是（）A． B．C． D．【分析】求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、＝3，故本选项错误；B、＝5，故本选项错误；C、＝＝，故本选项错误；D、＝×＝6，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了算术平方根的应用，主要考查学生的计算能力．4．（3 分）如图，在▱ABCD 中，延长CD 至点E，延长AD 至点F，连接EF，如果∠B＝110°，那么∠E+∠F＝（）A．110°B．70°C．50°D．30°【分析】在平行四边形ABCD 中，∠B＝110°，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠ADC 的度数，由对顶角相等与三角形内角和定理，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ADC＝∠B＝110°，∴∠EDF＝∠ADC＝110°，∴∠E+∠F＝180°﹣∠EDF＝70°．故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质，用到的知识点为：三角形的内角和为180°、平行四边形的对角相等、对顶角相等．5．（3 分）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（）A．它的图象在第二、四象限B．点（﹣2，1）在它的图象上C．当x＞0 时，y 随x 的增大而减小D．当x＜0 时，y 随x 的增大而增大【分析】根据反比例函数的性质，k＝2＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y 随x 的增大而减小．【解答】解：A、∵k＝2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故选项错误；B、把点（﹣2，1）代入反比例函数y＝得1＝﹣1 不成立，故选项错误；C、当x＞0 时，y 随x 的增大而减小，故选项正确．D、当x＜0 时，y 随x 的增大而减小，故选项错误．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）的性质：①当k＞0 时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0 时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0 时，在同一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k＜0 时，在同一个象限，y随x 的增大而增大．6．（3分）下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．同一底上两个角相等的四边形是等腰梯形【分析】根据正方形的判定方法对A 进行判断；根据菱形的判定方法对B 进行判断；根据矩形的判定方法对C 进行判断；根据等腰梯形的判定方法对D 进行判断．【解答】解：A、两条对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，所以A 错误；B、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以B 错误；C、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以C 正确；D、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，所以D 错误．故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．7．（3 分）如图，每个小正方形的边长为1，△ABC 的三边a，b，c 的大小关系式（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】通过小正方形网格，可以看出AB＝4，AC、BC 分别可以构造直角三角形，再利用勾股定理可分别求出AC、BC，然后比较三边的大小即可．【解答】解：∵AC＝＝5＝，BC＝＝，AB＝4＝，∴b＞a＞c，即c＜a＜b．故选：C．【点评】本题利用了勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．8．（3 分）如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，DE∥CB，若CD＝4，△ADE 周长为18，那么梯形ABCD 的周长为（）A．22 B．26 C．38 D．30【分析】要求梯形的周长，就要利用周长公式，然后根据△ADE 周长为18，求出梯形的各边长即可．【解答】解：梯形ABCD 的周长＝AB+AD+CD+CE+BE，∵DE∥CB，AB∥DC，∴四边形DCBE 为平行四边形，∴DC＝EB＝4，∴DE＝CE∵△ADE 周长为18，∴AD+AE+DE＝18，∴梯形ABCD 的周长＝AB+BC+DC+AD＝AE+DE+AD+DC+BE＝18+4+4＝26．故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质；解题时要熟练掌握梯形的性质及平行四边形的性质．9．（3 分）如图，菱形ABCD 的周长为16，若∠BAD＝60°，E 是AB 的中点，则点E 的坐标为（）A．（1，1）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【分析】首先求出AB 的长，进而得出EO 的长，再利用锐角三角函数关系求出E 点横纵坐标即可．【解答】解：过E 作EM⊥AC，EN⊥BD，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝CD＝BC＝AD，AC⊥DB，∠BAO＝∠BAD，∵∠BAD＝60°，∴∠BAO＝30°，∵AC⊥DB，∴∠BOA＝90°，∵E 是AB 的中点，∴EO＝EA＝EB＝AB，∵菱形ABCD 的周长为16，∴AB＝4，∴EO＝2，∵EO＝AE，∴∠EOA＝∠EAO＝30°，∴EM＝1，∵∠EOA＝30°，∠BOA＝90°，∴∠BOE＝60°，∴EN＝EO•sin60°＝，∴则点E 的坐标为：（，1）．故选：B．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系应用，根据已知得出EO 的长以及∠EOA＝∠EAO＝30°是解题关键．10．（3 分）用配方法将关于x 的方程x2+5x+n＝0 可以变形为（x+p）2＝9，那么用配方法也可以将关于x 的方程x2﹣5x+n＝﹣1 变形为下列形式（）A．（x﹣p+1）2＝10 B．（x﹣p）2＝8C．（x﹣p﹣1）2＝8 D．（x﹣p）2＝10【分析】把关于x 的方程x2+5x+n＝0 常数项n 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数5 的一半的平方可以求得n、p 的值，然后用同样的方法对关于x 的方程x2﹣5x+n＝﹣1 进行变形．【解答】解：把方程x2+5x+n＝0 的常数项移到等号的右边，得到x2+5x＝﹣n，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+5x+＝﹣n+配方得（x+）2＝﹣n+，所以，根据题意，得p＝，﹣n+＝9，则n＝﹣．所以，由方程x2﹣5x+n＝﹣1 得到x2﹣5x﹣＝﹣1把常数项移到等号的右边，得到x2﹣5x＝﹣1+，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣5x+＝﹣1++配方得（x﹣）2＝8．即（x﹣p）2＝8故选：B．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数．二、细心填一填（本题共18 分，每小题3 分）11．（3 分）如果＝0，那么xy 的值为﹣6 ．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y 的值，然后相乘即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，所以，xy＝3×（﹣2）＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0 时，这几个非负数都为0．12．（3 分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25 米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为y＝．（无需确定x 的取值范围）【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y＝，由于点（0.25，400）在此函数解析式上，故可先求得k 的值．【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，由于点（0.25，400）在此函数解析式上，∴k＝0.25×400＝100，∴y＝．故答案为：y＝．【点评】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．13．（3 分）一组数据0，﹣1，6，1，﹣1，这组数据的平均数 1 ，方差是．【分析】根据平均数的计算公式先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算．【解答】解：这组数据0，﹣1，6，1，﹣1 的平均数是：（0﹣1+6+1﹣1）÷5＝1；方差是[（0﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（6﹣1）2+（1﹣1）2+（﹣1﹣1）2]＝．故答案为：1，．【点评】此题考查了平均数和方差，一般地设n 个数据，x1，x2，…x n 的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．14．（3 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，将△AOB 沿过点A 的直线折叠，使点B 落在x 轴负半轴上，记作点C，折痕与y 轴交点交于点D，则点C 的坐标为（﹣1，0），点D 的坐标为（0，）．【分析】由折叠的性质得到三角形ABD 与三角形ACD 全等，利用全等三角形的对应边相等得到BD＝CD，AB＝AC，由一次函数解析式求出A 与B 坐标，确定出OA 与OB 的长，由BD+OD＝OB，OC+OA＝AC，在直角三角形COD 中，设CD＝x，表示出OD，利用勾股定理求出x 的值，即可确定出C 与D 坐标．【解答】解：由折叠的性质得：△ADB≌△ADC，∴AB＝AC，BD＝CD，对于直线y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝4，∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB 中，根据勾股定理得：AB＝5，∴OC＝AC﹣OA＝AB﹣OA＝5﹣4＝1，即C（﹣1，0）；在Rt△COD 中，设CD＝BD＝x，则OD＝3﹣x，根据勾股定理得：x2＝（3﹣x）2+1，解得：x＝，∴OD＝，即D（0，）．故答案为：（﹣1，0）；（0，）【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，利用了方程的思想，熟练运用勾股定理是解本题的关键．15．（3 分）如图，在菱形ABCD 中，AB＝13cm，BC 边上的高AH＝5cm，那么对角线AC 的长为cm．【分析】首先根据菱形的性质可得AB＝BC＝13cm，再利用勾股定理计算出BH 的长，进而得到HC 的长，然后再进一步利用勾股定理计算出AC 的长．【解答】解：如图：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝BC＝13cm，∵BC 边上的高AH＝5cm，∴BH＝＝12cm，∴CH＝13﹣12＝1（cm），∴AC＝＝cm，故答案为：．【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形的四条边都相等．16．（3 分）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，A n，A n+1，若A1 的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过A1，A2，A3，…，A n，A n+1 分别作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1＝ 6 ，S1+S2+S3+…+S n＝．【分析】由已知条件横坐标成等差数列，再根据点A1、A2、A3、…、A n、A n+1 在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出S n 的表达式，把n＝1 代入求得S1 的值．【解答】解：∵点A1、A2、A3、…、A n、A n+1 在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，又点A1 的横坐标为2，∴A1（2，6），A2（4，3），∴S1＝2×（6﹣3）＝6；由题图象知，A n（2n，），A n+1（2n+2，），∴S2＝2×（3﹣2）＝2，∴图中阴影部分的面积知：S n＝2×（﹣）＝，（n＝1，2，3，…）∵＝﹣，∴S1+S2+S3+…+S n＝12（++…+）＝12（1﹣+﹣+…+﹣）＝．故答案为：6，．【点评】此题是一道规律题，首先根据反比例函数的性质及图象，求出A n 的坐标的表达式，再由此求出S n 的表达式．三、解答题（本题共16 分，第17 题8 分，第18 题8 分）17．（8 分）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式＝2 +4﹣﹣2 ，然后合并同类二次根式；（2）先把分母利用平方差公式计算，然后约分即可．【解答】解：（1）原式＝2+4﹣﹣2＝+2；（2）原式＝＝2+．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（8 分）解方程：（1）（2x﹣3）2＝25；（2）x2﹣5x+2＝0．【分析】（1）开方后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac 的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）开方得：2x﹣3＝±5，解得：x1＝4，x2＝﹣1．（2）x2﹣5x+2＝0，b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝17，x＝x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．四、解答题（本题共25 分，第19～21 题每小题6 分，第22 题7 分）19．（6 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y＝kx+b 的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，1）和点B（1，n）．（1）求反比例函数的解析式及一次函数解析式；（2）设一次函数y＝kx+b 的图象与x 轴交于点C，连接OA，求△AOC 的面积；（3）结合图象，直接写出不等式的解集．【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数解析式中，确定出反比例函数的解析式，再把点B 的横坐标代入反比例函数解析式中得到点B 的坐标，最后把点A 和点B 的坐标分别代入一次函数解析式中即可确定出一次函数解析式；（2）利用一次函数解析式，令y＝0，得到点C 的坐标，求出OC 的长，再利用点A 纵坐标的绝对值即可求出三角形AOC 的面积；（3）结合图象，根据两函数的交点横坐标，将x 轴分为4 个范围，找出一次函数图象在反比例图象上方时x 的范围即可．【解答】解：（1）将A（﹣2，1）代入反比例解析式得：m＝﹣2，则反比例解析式为y＝﹣，将B（1，n）代入反比例解析式得：n＝﹣2，即（1，﹣2），将A 与B 坐标代入y＝kx+b 得：，解得：，则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；（2）对于y＝﹣x﹣1，令y＝0 求出x＝﹣1，即OC＝1，则S△AOC＝×1×1＝；（3）由图象得：﹣x﹣1＞﹣的解集为：x＜﹣2 或0＜x＜1．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．（6 分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，点E，点F 在BD 上，且BE＝DF 连接AE 并延长，交BC 于点G，连接CF 并延长，交AD 于点H．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AC 平分∠HAG，求证：四边形AGCH 是菱形．【分析】（1）先由四边形ABCD 是平行四边形，得出OA＝OC，OB＝OD，则OE＝OF，又∵∠AOE＝∠COF，利用SAS 即可证明△AOE≌△COF；（2）先证明四边形AGCH 是平行四边形，再证明CG＝AG，即可证明四边形AGCH 是菱形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，在△AOE 与△COF 中，，∴△AOE≌△COF（SAS）；（2）由（1）得△AOE≌△COF，∴∠OAE＝∠OCF，∴AE∥CF，∵AH∥CG，∴四边形AGCH 是平行四边形；∵AC 平分∠HAG，∴∠HAC＝∠GAC，∵AH∥CG，∴∠HAC＝∠GCA，∴∠GAC＝∠GCA，∴CG＝AG；∴▱AGCH 是菱形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，难度适中，利用SAS 证明△AOE≌△COF 是解题的关键．21．（6 分）某学校通过初评决定最后从甲、乙、丙三个班中推荐一个班为区级先进班集体，下表是这三个班的五项素质考评得分表：五项成绩素质考评得分（单位：分）班级行为规范学习成绩校运动会艺术获奖劳动卫生甲班10 10 6 10 7乙班10 8 8 9 8丙班9 10 9 6 9根据统计表中的信息解答下列问题：（1）请你补全五项成绩考评分析表中的数据：五项成绩考评比较分析表（单位：分）班级平均数众数中位数甲班8.6 10 10乙班8.6 8 8丙班 8.6 9 9（2）参照表中的数据，你推荐哪个班为区级先进班集体？并说明理由；甲班（3）如果学校把行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生五项考评成绩按照按3：2：1：1：3 的比确定，学生处的李老师根据这个平均成绩，绘制了一幅不完整的条形统计图，请将这个统计图补充完整，依照这个成绩，应推荐哪个班为市级先进班集体？【分析】（1）求出丙班的平均分；求出乙班的众数；求出甲班的中位数，填写表格即可；（2）观察表格，即可求解；（3）根据学校把行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生五项考评成绩按照按3：2：1：1：3 的比确定求出丙班的加权平均数，补全条形统计图，判断平均分高的班级即为市级先进班集体．【解答】解：（1）丙班的平均数为＝8.6（分）；甲班成绩为6，7，10，10，10，中位数为10（分）；乙班的众数为8 分，填表如下：五项成绩考评比较分析表（单位：分）中位数班级平均数众数甲班8.6 10 10乙班8.6 8 8丙班8.6 9 9（2）甲班，理由为：三个班的平均数相同，甲班的众数与中位数都高于乙班与丙班；故答案为：甲班；（3）根据题意得：丙班的平均分为9×+10×+9×+6×+9×＝8.9 （分），补全条形统计图，如图所示：∴依照这个成绩，应推荐丙班为市级先进班集体．【点评】此题考查了条形统计图，表格，中位数，众数，以及加权平均数，弄清题意是解本题的关键．22．（7 分）已知：关于x 的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．【分析】（1）先计算判别式得到△＝（m﹣3）2﹣4m•（﹣3）＝（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x1＝，x2＝﹣1，然后利用整除性即可得到m 的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，∴方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△＝（m﹣3）2﹣4m•（﹣3）＝（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x＝，∴x1＝，x2＝﹣1，∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m＝1 或3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．五、解答题（本题共11 分，第23 题5 分，第24 题6 分）23．（5 分）阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD 是△ABC 的中线，点M 为BC 边上任意一点（不与点D 重合），过点M 作一直线，使其等分△ABC 的面积．他的做法是：如图1，连接AM，过点D 作DN∥AM 交AC 于点N，作直线MN，直线MN 即为所求直线．请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）如图2，在四边形ABCD 中，AE 平分ABCD 的面积，M 为CD 边上一点，过M 作一直线MN，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图2 中画出直线MN，并保留作图痕迹）；（2）如图3，求作过点A 的直线AE，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图3 中画出直线AE，并保留作图痕迹）．【分析】（1）连接AM，过E 作EN∥AM，交AD 于N，再做直线MN 即可；（2）取对角线BD 的中点O，连接AO、CO，AC，过点O 作OE∥AC 交CD 于E，直线AE 就是所求直线．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了应用与设计作图以及平行线之间的距离和三角形的面积等知识，关键是正确理解题的意思．24．（6 分）已知：四边形ABCD 是正方形，点E 在CD 边上，点F 在AD 边上，且AF＝DE．（1）如图1，判断AE 与BF 有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图2，对角线AC 与BD 交于点O．BD，AC 分别与AE，BF 交于点G，点H．①求证：OG＝OH；②连接OP，若AP＝4，OP＝，求AB 的长．【分析】（1）根据正方形的性质可得AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABF 和△DAE 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠ABF，然后求出∠PAB+∠ABF＝90°，再求出∠APB＝90°，然后根据垂直的定义解答即可；（2）①根据正方形的对角线互相垂直平分可得∠AOB＝∠AOG＝90°，OA＝OB，对角线平分一组对角可得∠ABO＝∠DAO＝45°，然后求出∠OAG＝∠OBH，再利用“角边角”证明△OAG 和△OBH 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG＝OH；②过点O 作OM⊥AE 于M，作ON⊥BF 于N，根据全等三角形对应角相等可得∠OGA ＝∠OHB，再利用“角角边”证明△OGM 和△OHN 全等，根据全等三角形对应边相等可得OM＝ON，然后判断出四边形OMPN 是正方形，根据正方形的性质求出PM＝OM ＝1，再求出AM，然后利用勾股定理列式求出OA，再根据正方形的性质求出AB 即可．【解答】（1）解：AE⊥BF．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，在△ABF 和△DAE 中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠DAE＝∠ABF，∵∠DAE+∠PAB＝∠BAD＝90°，∴∠PAB+∠ABF＝90°，∴∠APB＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF；（2）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOB＝∠AOG＝90°，OA＝OB，∠ABO＝∠DAO＝45°，∵∠DAE＝∠ABF（已证），∴∠ABO﹣∠ABF＝∠DAO﹣∠DAE，即∠OAG＝∠OBH，在△OAG 和△OBH 中，，∴△OAG≌△OBH（ASA），∴OG＝OH；②解：如图2，过点O 作OM⊥AE 于M，作ON⊥BF 于N，∵△OAG≌△OBH（已证），∴∠OGA＝∠OHB，在△OGM 和△OHN 中，，∴△OGM≌△OHN（AAS），∴OM＝ON，∴四边形OMPN 是正方形，∵OP＝，∴PM＝OM＝×＝1，∵AP＝4，∴AM＝AP+PM＝4+1＝5，在Rt△AOM 中，OA＝＝＝，∴正方形ABCD 的边长AB＝OA＝×＝2 ．【点评】本题是四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，（2）②难度较大，作辅助线构造出全等三角形和以OP 为对角线的正方形是解题的关键，也是本题的难点．一、填空题（本题6 分）25．（6 分）（1）若x2+y2＝10，xy＝3，那么代数式x﹣y 的值为±2 ．（2）若x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，那么代数式x+y 的值为 6 或﹣7 ．【分析】（1）利用完全平方公式列出关系式，将已知等式代入计算，开方即可求出x﹣y 的值；（2）已知两等式左右两边相加，利用完全平方公式变形，即可求出x+y 的值．【解答】解：（1）∵x2+y2＝10，xy＝3，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝10﹣6＝4，则x﹣y＝±2；（2）∵x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，∴x2+xy+x+y2+xy+y＝42，即（x+y）2+（x+y）﹣42＝0，分解因式得：（x+y﹣6）（x+y+7）＝0，则x+y＝6 或﹣7．故答案为：（1）±2；（2）6 或﹣7【点评】此题考查了因式分级诶的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．二、解答题（本题共14 分，每小题7 分）26．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OBCD 的顶点B 在x 轴正半轴上，顶点D 在y 轴正半轴上．（1）如图1，反比例函数（x＞0）的图象与正比例函数的图象交于点A．BC 边经过点A，CD 边与反比例函数图象交于点E，四边形OACE 的面积为6．①直接写出点A 的坐标；。

北京市西城(北区)2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题

北京市西城(北区)2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学 2013.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在0到2π范围内，与角3π-终边相同的角是（ ）A. 3π B.23π C.43π D.53π 2.α是一个任意角，则α的终边与3α+π的终边（ ）A. 关于坐标原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称3. 已知向量(1,2)=-a ，(1,0)=b ，那么向量3-b a 的坐标是（ ）A.(4,2)-B.(4,2)--C.(4,2)D.(4,2)-4. 若向量(13)=，a 与向量(1,)λ=-b 共线，则λ的值为（ ）A.3-B.3C.13- D.135. 函数()f x 的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是π(0)2，，那么()f x 的解 析式可以是（ ） A.sin x B.cos x C.sin 1x +D.cos 1x +6. 已知向量(1,=a ，(=-b ，则a 与b 的夹角是（ ）A. 6πB.4π C.3π D.2π7. 为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos2y x =的图象（ ） A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度8. 函数212cos y x =- 的最小正周期是（ ）A.4π B.2π C.πD.2π9. 设角θ的终边经过点(3,4)-，则πcos()4θ+的值等于（ ）A.10B.10C.10D.10-10. 在矩形ABCD中，AB =，1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅ 的值为（ ） A ．3B ．2C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11.sin34π=______. 12. 若1cos , (0,)2αα=-∈π，则α=______.13. 已知向量(1,3)=-a ，(3,)x =-b ，且⊥a b ，则x =_____. 14.已知sin cos αα-=sin2α=______.15. 函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为______,最小值为______.16. 已知函数()sin f x x x =，对于ππ[]22-，上的任意12x x ，，有如下条件：①2212x x >；②12x x >；③12x x >，且1202x x +>． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_______．（写出所有满足条件的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知2απ<<π，4cos 5α=-. （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin2cos2αα+的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()sin 12xf x x =+.（Ⅰ）求()3f π的值； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.19.（本小题满分12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.（Ⅰ）当点P 是弧 AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值；（Ⅱ）求AP OP '⋅的最大值和最小值.AB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.1. 已知集合{11}P x x =-<<，{}M a =. 若M P ⊆，则a 的取值范围是________.2. lg2lg5+-=________. 3. 满足不等式122x>的x 的取值范围是_______.4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，则满足()0x f x >的x 的取值范围是________.5. 已知集合{1,2,,}U n = ，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件： ①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉； ③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是________；（写出一个即可） （2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为________.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）已知函数21()1f x x =-. （Ⅰ）证明函数()f x 为偶函数；（Ⅱ）用函数的单调性定义证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.7. （本小题满分10分）设函数(2)(4)2()(2)()2x x x f x x x a x -+≤⎧=⎨-->⎩. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）设函数()f x 在区间[4,6]-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式.8. （本小题满分10分）已知函数()log a g x x =，其中1a >.（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1x g a +>恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）设()m x 是定义在[,]s t 上的函数，在(,)s t 内任取1n -个数1221,,,,n n x x x x -- ，设12x x << 21n n x x --<<，令0,ns x t x==，如果存在一个常数0M >，使得11()()nii i m xm x M -=-≤∑恒成立，则称函数()m x 在区间[,]s t 上的具有性质P . 试判断函数()()f x g x =在区间21[,]a a上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由.（注：1102111()()()()()()()()nii n n i m x m xm x m x m x m x m x m x --=-=-+-++-∑ ）北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学参考答案及评分标准 2013.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D;2.A;3.D;4.A;5.B;6.C;7.B;8.C;9.C; 10.B. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 2; 12.32π; 13. 1-; 14. 1-; 15. 2,1-; 16. ①③.注：一题两空的试题每空2分；16题，选出一个正确的序号得2分，错选得0分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.解：（Ⅰ）因为4cos 5α=-,2απ<<π,所以3sin 5α=, …………………3分所以sin 3tan cos 4ααα==-. …………………5分 （Ⅱ）24sin22sin cos 25ααα==-， …………………8分27cos22cos 125αα=-=， …………………11分 所以24717sin 2cos2252525αα+=-+=-. …………………12分 18.解：（Ⅰ）由已知2()sin 1363f πππ=+ …………………2分1122==. …………………4分（Ⅱ）()cos )sin 1f x x x -+ …………………6分sin 1x x =+2sin()13x π=-+. …………………7分函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k πππ-π+∈Z ， …………………8分由 22232k x k ππππ-≤-≤π+，得2266k x k π5ππ-≤≤π+.所以()f x 的单调递增区间为[2,2]()66k k k π5ππ-π+∈Z . …………………9分（Ⅲ）()f x 在[,]33π7π上的图象如图所示. …………………12分19.解：（Ⅰ）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系.因为P 是弧AB 靠近点B 的三等分点， 连接OP ，则3BOP π∠=， …………………1分 点P 坐标为1(,)22a a . …………………2分 又点A 坐标是(,0)a -，点B 坐标是(,0)a ，所以3()22AP a a = ，(2,0)AB a =， …………………3分所以23AP AB a ⋅=. …………………4分 （Ⅱ）设POB θ∠=，[0,2)θπ∈，则(cos ,sin )P a a θθ，(cos ,sin )P a a θθ'-所以(cos ,sin )AP a a a θθ=+，(cos ,sin )OP a a θθ'=-. …………所以22222cos cos sin AP OP a a a θθθ'⋅=+- 22(2cos cos 1)a θθ=+- (222119)2(cos cos )2168a a θθ=++- 222192(cos )48a a θ=+-. …………当1cos 4θ=-时，AP OP '⋅ 有最小值298a -当cos 1θ=时，AP OP '⋅ 有最大值22a . …………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.{11}a a -<<; 2. 12; 3. {1}x x >-; 4. (2,0)(0,2)- ;5. {2}，或{1,4}，或{2,3}，或{1,3,4}；16. 注：一题两空的试题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6. 证明：（Ⅰ）由已知，函数()f x 的定义域为{0}D x x =∈≠R . …………………1分设x D ∈，则x D -∈，2211()11()()f x f x x x -=-=-=-. …………………3分 所以函数()f x 为偶函数. …………………4分（Ⅱ）设12x x ，是(0,)+∞上的两个任意实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，21222111()()1(1)y f x f x x x ∆=-=--- …………………6分 22212121222222121212()()11=x x x x x x x x x x x x --+=-=. …………………8分 因为120x x <<， 所以210x x +>，210x x ->，所以0y ∆>， …………………9分 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. …………………10分7.解：（Ⅰ）在区间[2,2]-上，()(2)(4)f x x x =-+.所以()f x 在区间[2,1]--上单调递增，在区间[1,2]-上单调递减， ……………1分 所以()f x 在区间[2,2]-上的最大值为(1)9f -=， …………………3分最小值为(2)0f =. …………………4分（Ⅱ）当2a ≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,6]-上单调递减，所以()f x 的最大值为9. …………………5分当28a <≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在2[2,]2a +单调递增，在2[,6]2a +上单调递减， 此时(1)9f -=，222()()922a a f +-=≤，所以()f x 的最大值为9. ……………7分 当810a <≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在2[2,]2a +单调递增，在2[,6]2a +上单调递减. 此时222()()(1)22a a f f +-=>-，所以()f x 的最大值为2(2)4a -.………………8分 当10a >时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在[2,6]单调递增，此时(6)4(6)(1)f a f =->-，所以()f x 的最大值为4(6)a -. …………………9分综上，298,(2)()810,44(6)10.a a g a a a a ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎩ …………………10分 8.解：（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1xg a+>恒成立，即[0,1]x ∈时，log (2)1xa a +>恒成立， …………………1分因为1a >，所以2xaa +>恒成立， …………………2分即2xa a -<在区间[0,1]上恒成立，所以21a -<，即3a <， …………………4分 所以13a <<. 即a 的取值范围是(1,3). …………………5分 （Ⅱ）由已知()f x =log a x ，可知()f x 在2[1,]a 上单调递增，在1[,1]a上单调递减，对于21(,)a a 内的任意一个取数方法201211n n x x x x x a a -=<<<<<= ，当存在某一个整数{1,2,3,,1}k n ∈- ，使得1k x =时，1011211()()[()()][()()][()()]nii k k i f x f xf x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑1211[()()][()()][()()]k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-21()(1)()(1)123f f f a f a=-+-=+=. …………………7分当对于任意的{0,1,2,3,,1}k n ∈-，1k x ≠时，则存在一个实数k 使得11k k x x +<<，此时1011211()()[()()][()()][()()]nii k k i f x f xf x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑1211()()[()()][()()]k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-011()()()()()()k k k n k f x f x f x f x f x f x ++=-+-+-……（*） 当1()()k k f x f x +>时，（*）式01()()2()3n k f x f x f x +=+-<， 当1()()k k f x f x +<时，（*）式0()()2()3n k f x f x f x =+-<， 当1()()k k f x f x +=时，（*）式01()()()()3n k k f x f x f x f x +=+--<.……………9分综上，对于21(,)a a 内的任意一个取数方法201211n n x x x x x a a-=<<<<<= ，均有11()()3nii i f x f x-=-≤∑.所以存在常数3M ≥，使11()()ni i i f x f x M -=-≤∑恒成立，所以函数()f x 在区间21[,]a a上具有性质P .此时M 的最小值为3. …………………10分。

北京市西城区2011-2012学年度第一学期期末试卷八年级数学A卷及答案

北京市西城区2011-2012学年度第一学期期末试卷八年级数学A卷及答案

北京市西城区2011–2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（A 卷） 2012.1一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1．下列四个汽车标志图中，不是．．轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．计算33-的结果是（ ）．A ．9-B ．27-C ．271 D ．271- 3．下列说法中，正确的是（ ）．A ．16的算术平方根是4-B ．25的平方根是5C ．1的立方根是1±D ．27-的立方根是3- 4．下列各式中，正确的是（ ）．A ．2121+=++a b a b B ．21422-=--a a a C ． 22)2(422--=-+a a a a D ．a b a b --=--11 5．下列关于正比例函数5y x =-的说法中，正确的是（ ）．A ．当1x =时，5y =B ．它的图象是一条经过原点的直线C ．y 随x 的增大而增大D ．它的图象经过第一、三象限 6．如右图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ． 若∠CBD : ∠DBA=3:1， 则∠A 为（ ）．A．18°B ．20°C ．22.5°D ．30°7．如下图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（b a >），将余下部分剪开后拼成一个梯形，根据两个图形阴影面积的关系，可以得到一个关于a ，b 的恒等式为（ ）．E D C BANM aA ．2222)(b ab a b a +-=-B ．2222)(b ab a b a ++=+ C ．))((22b a b a b a -+=- D ．)(2b a a ab a +=+ 8．下列条件中，不能．．判定两个直角三角形全等的是（ ）． A ．两锐角对应相等 B ．斜边和一条直角边对应相等 C ．两直角边对应相等 D ．一个锐角和斜边对应相等 9．若一次函数y kx b =+不等式0≥+b kx 的解集为（ ）． A ．0≥x B ．1≥x C ．2≥x D ．2≤x 10．在直线2121+=x y 上，且到坐标轴距离为A ．4个 B ．3个 C ．2个 二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．在54，11-，∙7.0，π2，38．12．函数1+=x y 中，自变量x 的取值范围是______________．13．如右图，△ABC 为等边三角形，DC ∥AB ，AD ⊥CD 于D ．若△ABC 的周长为12 cm ，则CD =________ cm ．14．点（1-，2）关于x 轴对称的点的坐标为___________________．15．如右图，在△ABC 中，AC = BC ，D 是BC 边上一点，且AB =AD =DC ，则∠C =_________°．16．若将直线)0(≠=k kx y 的图象向下平移1个单位长度后经过点（1，5），则平移后直线的解析式为______________________．17．如右图，在△ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠CBA交AC 于点D ．若AB =a ，CD =b ，则△ADB 的面 积为______________ ．18．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，拼搭第3个图案需18根小木棒，……，依此规律，拼搭第8个图案需__________根小木棒．ABCA D CBC DAB第1个 第2个 第3个 第4个 ……三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题各5分） 19．因式分解：（1）2225a b -； （2）2816ax ax a -+． 解： 解：20．计算：23259-+-．解：21．先化简，再求值：21)21441(22++÷++++x x x x x x ，其中x =3． 解：22．解分式方程：45251=+-++xx x ． 解：四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分） 23．已知：如图，CB =DE ，∠B =∠E ，∠BAE =∠CAD ．求证：∠ACD =∠ADC ．证明：E A B CD……24．已知：如图1，长方形ABCD 中，AB =2，动点P 在长方形的边BC ，CD ，DA 上沿AD C B →→→的方向运动，且点P 与点A ，B 都不重合．图2是此运动过程中，△ABP 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数图象的一部分． 请结合以上信息回答下列问题：（1）长方形ABCD 中，边BC 的长为________；（2）若长方形ABCD 中，M 为CD 边的中点，当点P 运动到与点M 重合时，x =________，y =________；（3）当106<≤x 时，y 与x 之间的函数关系式是___________________； （4）利用第（3）问求得的结论，在图2中将相应的y 与x 的函数图象补充完整． 图125．已知：直线321+-=x y 与x （1）分别求出A ，B （2）过A 点作直线AP 与y 轴交于点P ，且使OP =2OB ， 求△ABP 的面积．解：（1）（2）五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分）26．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°．点D为△ABC 内一点，且DB =DC ，∠DCB =30°，点E 为BD 延长线上一点，且AE =AB ． （1）求∠ADE 的度数；（2）若点M 在DE 上，且DM =DA ，求证：ME =DC ． CMBDAE27．有一个装有进水管和出水管的容器，水管的所有阀门都处于关闭状态．初始时，打开容器的进水管，只进水；到5分钟时，打开容器的出水管，此时既进水又出水； 到15分钟时，关闭容器的进水管，只出水； 到t 分钟时，容器内的水全部排空．已知此容器每分钟的进水量与出水量均为常数，容器内的水量y (单位：升)与时间x (单位：分)之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）此容器的进水管每分钟进水______升；（2）求515x ≤≤时，容器内的水量y 与时间x 的函数关系式； （3）此容器的出水管每分钟出水多少升？t 的值为多少？ 解：（2）28．已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠ADC =60°．问题1：如图1，若∠ACB =90°，AC =m AB ，BD =nDC ， 则m 的值为_________，n 的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB 为钝角，且AB >AC ，BD >DC ． （1）求证：AC AB DC BD -<-；（2）若点E 在AD 上，且DE =DB ，延长CE 交AB 于点F ，求∠BFC 的度数． 证明：（1） 图1ABCA BCEF北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（A 卷）参考答案及评分标准二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．11-，π2；（答对1个给1分） 12．x ≥1-； 13．2； 14．（1-，2-）； 15．36； 16．16-=x y ； 17．ab 21； 18．88．三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分） 19．（1）解：2225b a -=)5)(5(b a b a -+． -----------------------------------------------------------------2分（2）解：a ax ax 1682+-=)168(2+-x x a ---------------------------------------------------------------------4分 =2)4(-x a ． ---------------------------------------------------------------------------6分20．解：23259-+-=23253-+- ----------------------------------------------------------------------1分 =23253-+- -----------------------------------------------------------------------2分 =266-． --------------------------------------------------------------------------------3分21．解：21)21441(22++÷++++x x x x x x=21])2(1)2(1[2++÷+++x x x x x=21)2(222++÷++x x x x x ----------------------------------------------------------------------2分 =2(1)2x x ++⋅=222x x+． ---------------------------------------------------------------------------------4分当3=x 时，原式=22323+⨯=152． --------------------------------------------------5分22．解：方程两边同乘(5)x +，得 20421+=-+x x ． --------------------------------2分 解得 7-=x ． ---------------------------------------------------------------------------4分 检验：7-=x 时50x +≠，7-=x 是原分式方程的解． ---------------------5分四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分）23．证明：如图1．∵∠BAE =∠CAD ， ∴∠BAE -∠CAE =∠CAD -∠CAE ，即∠BAC =∠EAD ． -------------------------------------1分在△ABC 和△AED 中， ∠BAC =∠EAD ，∠B =∠E ，BC =ED ，∴△ABC ≌△AED ． ------------------------------------------------------------------4分 ∴AC =AD ． -----------------------------------------------------------------------------5分 ∴∠ACD =∠ADC ． -------------------------------------------------------------------6分24．解：（1）4； -------------------------------------------1分 （2）5，4；（每空1分） ---------------------3分 （3）10+-=x y ； -----------------------------4分 （4）如图2． --------------------------------------5分25．解：（1）令0=y ，则6=x ；∴点A 的坐标为A （6，0）； 令0=x ，则3=y ；∴点B 的坐标为B （0，3）． （2）如图3．∵OB =3，且OP =2OB ， ∴OP =6．∵点P 在y 轴上，∴点P 的坐标为（0，6）或（0，6-）．（两个坐标各1分） ------4分 若点P 的坐标为（0，6），E A B C D 图1则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)36(21⨯-⨯=9； --------------------------------5分 若点P 的坐标为（0，6-），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)63(21⨯+⨯=27． -------------------------------6分∴△ABP 的面积为9或27．五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分） 26．解：（1）如图4．∵△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°，∴∠ABC =∠ACB =2)30180(÷- =75°．∵DB =DC ，∠DCB =30°， ∴∠DBC =∠DCB =30°． ∴∠1=∠ABC －∠DBC =75°－30°=45°．∵AB =AC ，DB =DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ． ∴AD 平分∠BAC ．∴∠2=21∠BAC =3021⨯=15°． -----------------------------------------------2分 ∴∠ADE =∠1＋∠2 =45°＋15°=60°． -----------------------------------------3分证明：（2）证法一：取BE 的中点N ，连接AN ．（如图5）∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． -----------------4分∵△ABE 中，AB =AE ，N 为BE 的中点，∴BN =NE ，且AN ⊥BE ． ∴DN =NM ． -----------------------------------5分∴BN －DN =NE －NM ， 即 BD =ME ．∵DB =DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分证法二：如图6．∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． ------------------4∴∠3=60°． ∵AE =AB ， ∴∠E =∠1=45°．∴∠4=∠3－∠E =60°－45°=15°． ∴∠2=∠4． 在△ABD 和△AEM 中，∠1 =∠E ， AB =AE ， ∠2 =∠4，∴△ABD ≌△AEM ． ------------------------------------------------------------5分 ∴BD =EM ． B BB∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．27．解：（1） 8 ； ----------------------------------------------------------------------------------1分（2）设当5≤x ≤15时，函数解析式为(0)y kx b k =+≠．∵点（5，40），（15，60）在此线段上，则 4056015.k b k b =+⎧⎨=+⎩，-----------------------------------------------------------------2分解得 230.k b =⎧⎨=⎩，∴230y x =+． --------------------------------------------------------------------3分 ∴当5≤x ≤15时，230y x =+．（3）由（1）知容器的进水管每分钟进水8升，则它的出水管每分钟出水量为： 8(6040)(155)--÷-=（升）． ------------------------------------------4分15分钟后排空容器内的水所需时间为：60610÷=（分） -------------5分则 151025t =+=（分）． -----------------------------------------------------6分 答：此容器的出水管每分钟出水6升，t 的值为25．28．解：问题1：21，2 ；（每空1分） -------------------------------------------------------2分 问题2：（1）在AB 上截取AG ，使AG =AC ，连接GD ．（如图7） ∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2． 在△AGD 和△ACD 中， AG =AC ，∠1 =∠2， AD =AD ，∴△AGD ≌△ACD ．∴DG =DC ． -------------------------------------------------------------------------3分 ∵△BGD 中，BD －DG <BG ， ∴BD －DC <BG ．∵BG = AB －AG = AB －AC ，∴BD －DC <AB －AC ． ------------------------------------------------------------4分（2）∵由（1）知△AGD ≌△ACD ，∴GD =CD ，∠4 =∠3=60°． ∴∠5 =180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°． ∴∠5 =∠3．图7 7654321GF EDC B ADB =DE，∠5 =∠3，DG=DC，∴△BGD≌△ECD．--------------------------------------------------------------5分∴∠B =∠6．∵△BFC中，∠BFC=180°－∠B－∠7 =180°－∠6－∠7 =∠3，∴∠BFC=60°．---------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．。

2012-2013学年度北师大版八年级上册数学期末试卷及答案

2012-2013学年度北师大版八年级上册数学期末试卷及答案

0 起航教育八年级数学上期末试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1、12-的相反数是（B ）A 、12B 、12-C 、2D 、2-2、在平面直角坐标系中，点P （－2，3）关于x 轴的对称点的坐标是（ ）. A （2，3） B 、（2，－3） C 、（－2，－3） D 、（－3，2）3、若一组数据2，x ，3，4，8的平均数是4，则x 等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54、正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转90°后，B 点的坐标为（ D ） A 、（－2，2） B 、（4，1） C 、（3，1） D 、（4，0） 5．若运算程序为：输出的数比该数的平方小1．则输入 ( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．136、已知函数y=x-b ，当x ＝1或3时，对应的两个函数值相等，则实数b 的值是 ( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－27．如图，某电信公司提供了A B ，两种方案的移动通讯费用y （元）与通话时间x （元）之间的关系，则以下说法错误．．的是（ ）A ．若通话时间少于120分，则A 方案比B 方案便宜20元 B ．若通话时间超过200分，则B 方案比A 方案便宜12元C ．若通讯费用为60元，则B 方案比A 方案的通话时间多D ．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分8、已知等腰三角形的一个内角等于50º，则该三角形的一个底角的余角是 ( ) A ．25º B ．40º或30º C．25º或40º D ．50º9．下列说法：①对角线互相平分且相等的四边形是菱形； ②计算2的结果为1；③正六边形的中心角为60︒； ④函数y =的自变量x 的取值范围是x ≥3． 其中正确的个数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10.三军受命，我解放军各部奋力抗战在救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇,甲队先出发,从部队基地到该小镇只有唯一通道,且路程为24km .如图是他们行走的路程关于时间的函数图象,四位同学观察此函数图象得出有关信息,其中正确的个数是（ D ）A .1B .2C .3D .4二、填空题11、已知等腰梯形的中位线长6cm ，腰长5cm ，则它的周长是 （ ） cm ． 12．若等腰三角形的一个外角为70，则它的底角为 ． 13．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）(1)0f =，(2)1f =，(3)2f =，(4)3f =，…（2）122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，155f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，…利用以上规律计算：1(2008)2008f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．14、如图是某工程队在“村村通”工程中，修筑的公路长度y （米）与时间x （天）之间的关系图象.根据图象提供的信息，可知该公路的长度是（ ）米.15、等腰三角形的一个外角等于110度 ，则这个三角形的顶角应该为 （ ）度． 16、等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为___________． 17、已知点A （a ，2）、B （－3，b ），关于X 轴对称，求a ＋b=___________． 18、已知点（a ，3）在直线y=2x －1上，则a = （ ） .19、若x+3是4的平方根，则 x_______，若－8的立方根为y-1，则y=________. 20、16的平方根是________；25的算术平方根是________； 三、解答题 21、计算 (1)1698149278253-⨯-+ （2）已知()()213x x x y ---=-，求222x y xy +-的值.22、解方程组23、如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE ≌△BCF ； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.24请根据表中提供的信息解答下列问题：（1）该班学生考试成绩的众数是 ． （2）该班学生考试成绩的中位数是 ．25、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落 在点A '处；求证：B E BF '=；ABCDFA 'B 'E26．某物流公司的快递车和货车每天往返于A 、B 两地，快递车比货车多往返一趟．图11表示快递车距离A 地的路程y (单位：千米)与所用时间x (单位：时)的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B 地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A 地晚1小时．⑴请在图11中画出货车距离A 地的路程y (千米)与所用时间x (时)的函数图象； ⑵求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)；⑶求两车最后一次相遇时，距离A 地的路程和货车从A 地出发了几小时？16、计算 (1)1698149278253-⨯-+ ＝1343（2）已知()()213x x x y ---=-，求222x y xy +-的值.17、解方程组 23、(时)24． （1）88分 （2）86分 25．（1）证：由题意得B F BF '=，B FE BFE '∠=∠， 在矩形ABCD 中，AD BC ∥， B EF BFE '∴∠=∠， B FE B EF ''∴∠=∠． B F B E ''∴=． B E BF '∴=． 24、ABCDFA 'B 'E26、。

2013年1海淀、西城区丰台、昌平初二期末数学试题及答案

2013年1海淀、西城区丰台、昌平初二期末数学试题及答案

海淀区八年级第一学期期末数学练习一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．2的平方根 A ．21BC． D．2．下列图形不是．．轴对称图形的是 A ．角 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．有一个内角为30 的直角三角形 3．在下列各式的计算中，正确的是A ．235+a a a =B ．22(1)22a a a a +=+C ．3225()ab a b=D ．22(2)(+2)2y x y x y x -=-4．已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则第三边的长是A ．7 B ．4 C ．3 D ．3或75．下列有序实数对表示的各点不在．．函数42y x =-的图象上的是 A ．16--（，） B ．（-2, 6） C ．（1, 2） D ．（3, 10）6．下列各式不能分解因式的是A ．224x x -B ．214x x ++C ．229x y +D ．21m -7．若分式 211x x --的值为0，则x 的值为A ．1B ．0C ．1-D ．1±8．已知整数m满足1m m <<+，则m 的值为 A ．4 B ． 5 C ．6D ．79．如图，把△A B C 沿E F 对折，叠合后的图形如图所示.若60A ∠=︒，195∠=︒，则∠2的度数为A ． 24°B ． 25°C ． 30°D ． 35°10．已知一次函数y kx b =+中x 取不同值时，y 对应的值列表如下：则不等式0kx b +>（其中k ，b ，m ，n 为常数）的解集为A ．1x >B ．2x >C ．1x <D ．无法确定 二、填空题（本题共18分，每小题3分）AABCB 'C 'EF1211．对于一次函数2y kx=-，如果y随x增大而增大，那么k需要满足的条件是.12．计算：111xx x-=--.13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°,线段AB的垂直平分线交AB 于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE为度.14.计算：222()ab ab÷-=（）.15.若关于x的二次三项式2x+kx b+因式分解为(1)(3)x x--，则k+b的值为__________. 16．如图，图中的方格均是边长为1的正方形，每一个正方形的顶点都称为格点. 图①~⑥⑥这些多边形的顶点都在格点上，且其内部没有格点，象这样的多边形我们称为“内空格点多边形”.（1）当内空格点多边形边上的格点数为10时，此多边形的面积为；（2）设内空格点多边形边上的格点数为L，面积为S，请写出用L表示S的关系式.三、解答题：（本题共19分，第18题4分，其余每小题5分）17.()03π--.解：18.如图, 在△A B C中，=A B A C，D是△A B C内一点，且B D D C=.求证：∠ABD =∠ACD.证明：19. 把多项式33312a b ab-分解因式.解：20. 已知12x=，2y=-，求代数式()22(2)(2)x y x y x y+--+的值.解：四、解答题（本题共20分，每小题5分）21.解方程：54 2332xx x+=--.①②③④⑤⑥AB CD解：22. 已知正比例函数的图象过点(12)-，. （1）求此正比例函数的解析式；（2）若一次函数图象是由（1）中的正比例函数的图象平移得到的，且经过点(12)，，求此一次函数的解析式. 解：23. 已知等腰三角形周长为12，其底边长为y ，腰长为x .（1）写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象解：24.如图，在A B C △中，A C B C =，90ACB ∠= ，D 为A B C △内一点，15BAD ∠= ，AD AC =，C E AD ⊥于E ，且5C E =.（1）求B C 的长；（2）求证：B D C D =. 解：（1）（2）证明：五、解答题（本题共13分，第25题6分，第26题7分）25. 我们知道，假分数可以化为带分数. 例如： 83=223+=223. 在分式中，对于只含有一ED CBA个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 例如：11x x -+，21xx -这样的分式就是假分式；31x + ，221x x + 这样的分式就是真分式 . 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）.例如：1(1)22=1111x x x x x -+-=-+++； 22111(1)1111111x x x )x x x x x x -++-+===++----（. （1）将分式12x x -+化为带分式；（2）若分式211x x -+的值为整数，求x 的整数值；（3）求函数2211x y x -=+图象上所有横纵坐标均为整数的点的坐标.解：（1）26．在△ABC 中，已知D 为直线BC 上一点，若,ABC x BAD y ∠=∠= .（1）当D 为边BC 上一点，并且CD=CA ，40x =，30y =时，则AB _____ AC （填“=”或“≠”）；（2）如果把（1）中的条件“CD=CA ”变为“CD=AB ”，且x ,y 的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；（3）若CD= CA =AB ，请写出y 与x 的关系式及x 的取值范围.（不写解答过程，直接写出结果）DCBA海 淀 区 八 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习数学试卷答案及评分参考 2013.1说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共30分，每小题3分）DCBA二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．k > 0 12．1- 13．60 14. b 2 15. 1- 16．4，112S L =-（第1空1分，第2空2分）三、解答题：（本题共19分，第18题4分，其余每小题5分）17. 解：原式421=-+ …………………………3分 3= …………………………5分 18. 证明：A B A C = ，A B C A C B ∴∠=∠.…………………………1分 B D C D = .12∴∠=∠ . …………………………2分 12A B C A C B ∴∠-∠=∠-∠.即A B D A C D ∠=∠.…………………………4分19.解：原式223(4)ab a b =- …………………………3分3(2)(2)ab a b a b =+- …………………………5分20. 解：原式222244(4)x xy y x y =++-- …………………………2分2222444x xy y x y =++-+248xy y =+…………………………3分当12x =，2y =-时，原式2148(2)2=⨯⨯-+⨯-（2）432=-+28=. …………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 21. 解：两边同乘以23x -得54(23)x x -=-…………………………1分5812x x -=-77x =1x = …………………………4分检验：1x =时，230x -≠，1x =是原分式方程的解.∴原方程的解是1x =. …………………………5分 22. 解：(1)设正比例函数解析式为(0)y ax a =≠，依题意有2a =-∴所求解析式为2y x =-. …………………………2分1AB CD2(2)设一次函数解析式为(0)y kx b k =+≠依题意有22k k b =-⎧⎨+=⎩，解得24k b =-⎧⎨=⎩. …………………………4分∴所求解析式为24y x =-+. …………………………5分23. 解：(1)依题意212y x +=，212y x ∴=-+. …………………………2分x ，y 是三角形的边，故有002x y x y >⎧⎪>⎨⎪>⎩，将212y x =-+代入，解不等式组得36x <<. …………………………3分 (2)…………………………5分24.解：（1）在△ABC 中， A C B C =,90A C B ∠=︒, 45B A C ∴∠=︒. 15B A D ∠=︒, 30C A D ∴∠=︒.C E AD ⊥,5CE =, 10A C ∴=.10B C ∴=. …………………………2分 （2）证明：过D 作D F B C ⊥于F .在△A D C 中，30C A D ∠=︒,AD AC =, 75A C D ∴∠=︒.90A C B ∠=︒,15F C D ∴∠=︒.在△AC E 中，30C A E ∠=︒,C E AD ⊥, 60A C E ∴∠=︒.15E C D A C D A C E ∴∠=∠-∠=︒.E C DF C D ∴∠=∠. …………………………3分D F DE ∴=.在Rt △D C E 与Rt △D C F 中，D C D C ,DE DF .=⎧⎨=⎩∴ Rt △D C E ≌Rt △D C F .5C F C E ∴==.10B C =，B F FC ∴=. …………………………4分D F B C ⊥,B DCD ∴=. …………………………5分五、解答题（本题共13分，第25题6分，第26题7分） 25. 解：（1）12331222x x x x x -(+)-==-+++； …………………………1分 （2）2121332111x x x x x -(+)-==-+++. …………………………2分当211x x -+为整数时，31x +也为整数.1x ∴+可取得的整数值为1±、3±.x ∴的可能整数值为0,-2，2，-4. …………………………3分（3）22212(1)112(1)111x x y x x x x --+===-++++. …………………………4分当x ，y 均为整数时，必有11x +=±.x ∴=0或-2. …………………………5分 相应的y 值分别为-1或-7.∴所求的坐标为(0,-1)或(-2,-7). …………………………6分26．（1）= …………………………1分 （2）成立. …………………………2分 解法一：=.,.=.=.B C B E B A A E C D A B B E C D B E D E C D D E B D C E =∴=∴-- 在上截取，连结即：40,70.B BAE BEA ∠=︒∴∠=∠=︒ED CA4030.=110=70.==110.=.=,=,=.A B D B B A D B D A A D E A D E B E A A E C A D A E A B D A C E A D A E B D A C E A B D C E A B D A C E ∆∠=︒∠=︒∴∠︒∠︒∴∠∠∠︒∴∆∆⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴∆∆在中，，，，在和中,≌.=.A B A C ∴ …………………………4分解法二：如图，作30,DAE DAB AE AB ∠=∠=︒=，A E 交BC 于点F .ABD AED ∆∆在和中，.AD AD D AB D AE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，， .A B D A E D ∴∆∆≌40,.AED B ADB ADE ∴∠=∠=︒∠=∠ ABD ∆在中，40,30.B BAD ∴∠=︒∠=︒110,70.ADE ADB ADC ∴∠=∠=︒∠=︒40.C D E A D E A D C ∴∠=∠-∠=︒40.C D E A E D ∴∠=∠=︒.F D F E ∴=,AB CD AB AE == ，.C D A E ∴=..CD FD AE FE FC FA ∴-=-=即：,.DFE CFA ACB AED ∠=∠∴∠=∠ B AC B ∴∠=∠..A B A C ∴= …………………………4分（3）解：(ⅰ)当D 在线段BC 上时，3902y x =-(060x <≤)（取等号时B 、D 重合）. ……………………5分(ⅱ)当D 在CB 的延长线上时，3902y x =-(6090x <<)（取等号时B 、D 重合）. ……………………6分FEDCBA(ⅲ)当D 在BC 的延长线上时，31802y x =-，(090x <<). …………………………7分北京市西城区（北区）2012–2013学年度第一学期期末试卷八年级数学 2013.1（时间100分钟，满分100分）一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．计算23-的结果是（ ）．A ．－9B ．－9C ．19D ．19-2．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．点P （－3，5）关于y 轴的对称点的坐标是（ ）．A ．（3，5）B ．（3，－5）C ．（5，－3）D ．（－3，－5）4．将正比例函数y =3x 的图象向下平移4个单位长度后，所得函数图象的解析式为（ ）．A ．34y x =+B ．34y x =-C ．3(4)y x =+D ． 3(4)y x =- 5．下列各式中，正确的是（ ）．A ．3355x xyy --=- B ．a b a b c c +-+-=C ．a ba bcc ---=- D ．a ab aa b -=--6．如图，三条公路把A 、B 、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）．A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处7）．A．1与2之间B．2与3之间C．3与4之间D．4与5之间8．一次函数y m x m=+（m为常数且m≠0），若y随x增大而增大，则它的图象经（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连结PC，若△ABC的面积为22cm，则△BPC的面积为（）．A．20.5cm B．21cmC．21.5cm D．22cm10．小华、小明两同学在同一条长为1100米的直路上进行跑步比赛，小华、小明跑步的平均速度分别为3米/秒和5米/秒，小明从起点出发，小华在小明前面200米处出发，两人同方向同时出发，当其中一人到达终点时，比赛停止．设小华与小明之间的距离y（单位：米），他们跑步的时间为x（单位：秒），则表示y与x之间的函数关系的图象是（）．A．B．C．D．二、填空题（本题共24分，第13题4分，第18题2分，其余各题每小题3分）11．在函数12yx=-中，自变量x的取值范围是__________．12．在0.14 ，117，，π这五个实数中，无理数的是．13．一次函数21y x=-的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连结BD．若AD＝12cm，则BC的长为cm．15．若29x=，38y=-，则x+y＝．16．某校组织学生到距离学校15千米的西山公园秋游，先遣车队与学生车队同时出发，先B C遣车队比学生车队提前半小时到达公园以便提前做好准备工作．已知先遣车队的速是学生队车速度的1.2倍，若设学生车队的速度为x 千米/时，则列出的方程是 ． 17． 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边上一点，且∠BAD =30°，若AD =DE ，∠EDC =33°，则∠DAE 的度数为 °18．如果满足条件“∠ABC =30°，AC =1， BC =k （k ＞0）”的△ABC 是唯一的，那么k 的取值范围是 ．三、解答题（本题共28分，第19、20题每小题5分，第21～23题每小题6分） 19．计算：1)++解：20．先化简，再求值：2112()3369m m m m m +÷-+-+，其中9m =．解： 21．解方程：3111x x x -=-+．23．如图，直线y kx b =+经过点A（0，5），B （1，4）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线24y x =-与直线AB 相交于点C,求点C 的坐标； （3）根据图象，写出关于x 的不等式2x －4≥kx +b 的解集． 解：（1） （2）（3）关于x 的不等式2x －4≥kx +b 的解集是 ．四、解答题（本题共12分，第24题5分，第25题7分） 24．阅读下列材料：木工张师傅在加工制作家具的时候，用下面的方法在木板上画直角：如图1，他首先在需要加工的位置画一条线段AB ，接着分别以点A 、点B 为圆心，以大于12A B 的适当长为半径画弧，两弧相交于点C ，再以C 为圆心，以同样长为半径画弧交AC 的延长线于点D （点D 需落在木板上），连接DB ．则∠ABD 就是直角．木工张师傅把上面的这种作直角的方法叫做“三弧法．解决下列问题： （1）利用图1就∠ABD 是直角作出合理解释(要求：先写出已知、求证，再进行证明)；（2）图2表示的一块残缺的圆形木板，请你用“三弧法”，在木板上．．．画出一个以EF 为一条直角边的直角三角形EFG （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 解：（1） 25．已知：一次函数132y x =+的图象与正比例函数y kx =的图象相交于点A （a ，1）．（1）求a 的值及正比例函数y kx =的解析式；（2）点P 在坐标轴上（不与点O 重合），若PA =OA ，直接写出P 点的坐标；（3）直线x m =与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积记为S ，求S 关于m 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．ACBD图1图2EF五、解答题（本题6分）26．在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线． （1）如图1，过C 作CE ∥AD 交BA 延长线于点E ，若F 为CE 的中点，连结AF ，求证：AF ⊥AD ；（2）如图2，M 为BC 的中点，过M 作MN ∥AD 交AC 于点N ，若AB =4， AC =7， 求NC 的长．（1） 证明：（2）解：图1 图2北京市西城区（北区）2012–2013学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题2013.1一、填空题（本题共6分）1．在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．已知一组正方形的四个顶点恰好落在两坐标轴上，请你观察每个正方形四条边上的整点的个数的变化规律．回答下列问题：（1）经过x轴上点（5，0）的正方形的四条边上的整点个数是；（2）经过x轴上点（n，0）（n为正整数）的正方形的四条边上的整点个数记为m，则m与n之间的函数关系是．二、解答题（本题共14分，第2题8分，第3题6分）2．在平面直角坐标系xOy中，直线6=+与x轴交于点A，与y轴交于点B．y x（1）求∠BAO的度数；（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点Q 在AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．求证：PF＝PQ ；（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若P 为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．图1 图23．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线， DE ⊥AB 于点E ．（1）如图1，连接EC ，求证：△EBC 是等边三角形；（2）点M 是线段CD 上的一点（不与点C ，D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作∠BMG =60°，MG 交DE 延长线于点G ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD ，DG 与AD 之间的数量关系； （3）如图3,点N 是线段AD 上的一点，以BN 为一边，在BN 的下方作∠BNG =60°，NG 交DE 延长线于点G ．试探究ND ，DG 与AD 数量之间的关系，并说明理由．（1）证明：（2）结论： ；（3）证明 ：图1图2图3北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第一学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准 2013.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共24分，第13题4分，第18题2分，其余各题每小题3分）三、解答题（本题共28分，第19，20题，每小题5分，第21～23题，每小题6分）19．解： 1)++＝24-+·······················································································3分＝2． ································································································5分20．解：2112()3369m m m m m +÷-+-+＝22(3)(3)(3)2m m m m m-⋅-+···············································································3分＝33m m -+． ···································································································4分当9m =时，原式＝931932-=+． ···································································5分21．解：方程两边同乘(1)(1)x x -+，得(1)3(1)(1)(1)x x x x x +--=-+．···································································2分化简，得331x x -+=-． (4)分 解得2x =． (5)分检验：当2x =时，(1)(1)0x x -+≠，∴2x=是原分式方程的解． ·········································································6分22．解：（1）∵AE ∥BF ，,,,AE BF A FBD AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ····································································5分∴EC =FD ． ························································································6分23．解：（1）∵直线y kx b =-+经过点A （5，0）、B （1，4），∴50,4.k b k b +=+=⎧⎨⎩ ······················································································1分 解方程得 1,5.kb=-=⎧⎨⎩ ···········································································2分∴直线AB 的解析式为 5.y x =-+ ·························································3分 （2）∵直线24y x =-与直线AB 相交于点C,∴解方程组5,2 4.yx y x =-+=-⎧⎨⎩得3,2.x y==⎧⎨⎩∴点C 的坐标为（3，2）． ···································································· 5分 （3）x ≥3． ································································································ 6分四、解答题（本题共12分，第24题5分，第25题7分）24．（1）已知：在△ABD 中， AC =BC =CD ．求证：90ABD ∠=︒．证明：∵AC=BC ，∴12∠=∠． ∵BC=CD ，∴34∠=∠． ························ 1分 在△ABD 中，1234180∠+∠+∠+∠=︒．∴1490∠+∠=︒．即90ABD ∠=︒． ········································· 3分（2）如图，△EFG 为所求作的三角形 ．······························································································································ 5分25．解：（1）∵一次函数132y x =+的图象与正比例函数y kx =的图象相交于点A （a ，1）， ∴1312a +=.解得4a =-．····················································································1分∴A （－4 ，1）． ∴41k -=． 解得 14k =-．∴正比例函数的解析式为14y x =-．·················································2分 （2）P 1（－8 ，0）或P 2（0 ，2）； ·························································4分阅卷说明：每个结果1分（3）依题意，得点B 的坐标为（m ，132m +），点C 的坐标为（m ，14m -）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． ········································5分 以下分两种情况： （ⅰ）当m <－4时，BC ＝11(3)42m m --+＝334m --．AH ＝4m --．则12ABC S BC AH ∆=⋅=13(3)(4)24m m ----=23368m m ++．（ⅱ）当m >－4时，BC ＝11(3)24m m++＝34AH ＝4m +．则12ABCS BC AH∆=⋅=13(3)(4)24m m ++=23368m m ++． 综上所述，ABC S ∆=2338m m +五、解答题（本题6分）26．证明：∵AD 为△ABC 的角平分线， ∴12∠=∠． （1）∵CE ∥AD ，∴1E ∠=∠，23∠=∠. ∴3E ∠=∠． ∴AC =AE ． 1分 ∵F 为EC 的中点， ∴AF ⊥BC ． ∴90AFE FAD ∠=∠=︒．∴AF ⊥AD ．2分（2）延长BA 与MN 延长线于点E ，过B 作BF ∥AC 交NM 延长线于点F . ·············· 3分 ∴3C ∠=∠，4F ∠=∠． ∵M 为BC 的中点∴BM ＝CM ．在△BFM 和△CNM 中，4,3,,F C B M C M ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFM ≌△CNM （AAS ）． ····················································································· 4分 ∴BF ＝CN ．∵MN ∥AD ，∴1E ∠=∠，245∠=∠=∠. ∴5E F ∠=∠=∠． ∴AE ＝AN ，BE ＝BF ．设CN =x ，则BF =x ， AE ＝AN ＝AC －CN ＝7－x ，BE ＝AB ＋AE ＝4＋7－x ． ∴4＋7－x ＝x ．解得 x ＝5.5． ∴CN ＝5.5． 6分北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题参考答案及评分标准 2013.1一、填空题（本题6分） 1．（1）20； ············································································································ 3分 （2）4mn=． ········································································································ 3分二、解答题（本题共14分，第2题8分，第3题6分） 2．解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．∴A （－6，0），B （0，6）． ∴OA =OB ． ·············································································································· 1分 ∴BAOABO∠=∠在△AOB 中，90AOB ∠=︒． ∴45BAO ABO ∠=∠=︒． ························································································ 2分 （2）在等腰直角三角形APD 中，90PDA ∠=︒，DA =DP ，145APD ∠=∠=︒．AMD CBNE F354412 B∴DP ⊥AD 于D ．由（1）可得45BAO ∠=︒． ∴1BAO ∠=∠． 又∵PG ⊥x 轴于G ， ∴PG = PD ． ············································································································ 3分 ∴90AGP PGF D ∠=∠=∠=︒．∴445BAO ∠=∠=︒．∴490APD DPG ∠+∠=∠=︒．即390G P Q ∠+∠=︒． 又∵PQ ⊥PF ， ∴290G PQ ∠+∠=︒．∴23∠=∠．········································· 4分在△PGF 和△PDQ 中，,,23,P G F D P G P D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△PGF ≌△PDQ (ASA)． ∴PF =PQ ． ················································································································5分 （3）答：OP ⊥DP ，OP ＝DP ．证明：延长DP 至H ，使得PH =PD ． ∵P 为BE 的中点， ∴PB =PE ．在△PBH 和△PED 中，,12,,P B P E P H P D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PBH ≌△PED （SAS ）． ∴BH =ED ． ··················································· 6分 ∴34∠=∠． ∴BH ∥ED ．在等腰直角三角形ADE 中， AD =ED ，45DAE DEA ∠=∠=︒． ∴AD =BH ，90DAE BAO DAO ∠+∠=∠=︒. ∴DE ∥x 轴，BH ∥x 轴， BH ⊥y 轴． ∴90DAOHBO ∠=∠=︒．由（1）可得 OA =OB ． 在△DAO 和△HBO 中，,,,AD BH D AO H BO O A O B =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAO ≌△HBO （SAS ）．x图1图2。

北京市西城区(北区)2012-2013学年八年级英语上学期期末考试试题 人教新目标版

北京市西城区(北区)2012-2013学年八年级英语上学期期末考试试题 人教新目标版

市西城区（北区）2012-2013学年八年级英语上学期期末考试试题人教新目标版市西城区（北区）2012——2013学年度第一学期期末试卷八年级英语知识运用四、单项选择（共15分，每小题1分）从下面各题所给的A、B、C、D四个选项中，选择可填入空白处的最佳选项。

16. The library is ____ the dining hall and the gym.A. betweenB. inC. onD. over17. Your best friend doesn’t give up when he has problems, _____ he?A. doesn’tB. doesC. isD. isn’t18. It’s very kind ____ you to lend me your bike.A. forB. withC. toD. of19. What ___ you ___ at three o’clock yesterday afternoon?A. were; doingB. have; doneC. do; doD. are; doing20. —You _____ e late tomorrow.—Don’t worry. I’ll be on time.A. mayB. c anC. mustn’tD. won’t21. The song Gangnam Style ______ funny. Many people like it.A. looksB. canC. tastesD. smells22. ______ our kindness, let’s smile at others.A. ShowB. soundsC. ShowedD. To show23. The tower is closed because of a safety ______.A. reasonB. symbolC. customD. interest24. —Can you hear the song _____?—Not really. It is not ______ enough here.A. clearly; quietlyB. clearly; quietC. clear; quietlyD. clear; quiet25. Why not take _____ to read? It is really a long boring journey.A. anything interestingB. interesting anythingC. something interestingD. interesting something26. It ______ when I woke up this morning.A. snowedB. has snowedC. was snowingD. is snowing27. —You look tired.—Yes, I ____ sleep last night.A. needn’tB. shouldn’tC. mustn’tD. couldn’t28. —I ______ Jack last night.—How is he? I ______ him for months.A. Saw; haven’t seenB. have seen; didn’t seeC. have seen; haven’t seenD. saw; didn’t see29. If you _____ your parents for too long, you will learn nothing about taking care of yourself.A. live onB. depend onC. get onD. hang on30. —Take a bus every day, and you can save a lot of money.— _____________, thanks.A. That’s all rightB. That’s a good ideaC. Sounds badD. Have fun五、完形填空（共10分，每小题1分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从短文后各题所给的A、B、C、D四个选项中，选择最佳选项。

北京市西城八年级(上)期末考试数学试卷及答案(含答案)

北京市西城八年级(上)期末考试数学试卷及答案(含答案)

八年级数学第一学期期末试卷试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列各式中，最简二次根式是（ ）．A ．5.0B ．12C ．2xD ． 12+x2．下列汽车标志中，不是．．轴对称图形的是（ ）．3．下列因式分解结果正确的是（ ）．A ．3221055(2)a a a a a +=+B ．249(43)(43)x x x -=+-C ．2221(1)a a a --=-D ．256(6)(1)x x x x --=-+ 4．下列各式中，正确的是（ ）． A ．212+=+a b a b B ． 22112236d cd cd cd++= C ．a b a b c c-++=- D ． 22)2(422--=-+a a a a5．如图，将三角形纸片ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合，折痕分别交BC ，AB 于点D ，E ．如果AC =5cm ，△ADC 的周长为17cm ，那么BC 的长为（ ）．A ．7cmB ．10cmC ．12cmD ．22cm6．某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，如果设原计划平均每天植树x 棵，那么下面所列方程中，正确的是（ ）. A ．x x 45050600=- B ．x x 45050600=+ C ．50450600+=x x D ．50450600-=x x 7．如果132x y x +=，那么x y的值为（ ）．A ．21 B ．32C ．31D ． 528．如图1，将长方形纸片先沿虚线AB 向右．．对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD 向下．．对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，那么打开后的展开图是（ ）．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．如果分式32x x -+的值为0，那么x 的值为_________． 10．如果12-x 在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是_________． 11．下列运算中，正确的是_______．（填写所有．．正确式子的序号） ①2612a a a ⋅=；②329()x x =；③33(2)8a a =；④22242(5)255a b a b ab -=--． 12．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么根据图中提供的信息可知1∠的度数为 ． 13．计算：1111x x --+= ．14．计算：432(68)(2)x x x -÷-= ．15．如图，∠AOB=60︒，OC 平分∠AOB ，如果射线OA 上的点E 满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC 的度数为 ．16．如图，动点P 从(0,3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于 1(3,0)P ．入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为（1）画出点P 从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径；（2）当点P 第2014次碰到长方形的边时，点P 的坐标为 ．三、解答题（本题共35分，第17、19题各10分，其余每题5分）17．（1）先化简，再求当2a =，1b =时，代数式(3)()(2)a b a b a a b +-+-的值． 解：（2）计算：1(83)642+⨯-． 解：18．已知：如图，AB= AC ，∠DAC=∠EAB ，∠B=∠C ．求证：BD = CE ． 证明：19．（1）因式分解：232448m m -+． 解：（2）计算：422222222a a b a ab b a ab b b a-+÷⋅-+．解：20．解分式方程：31122x x x +=--．解：21．尺规作图：已知：如图，线段a和h．求作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边上的高AD=h．（保留作图痕迹并写出相应的作法．）作法：四、解答题（本题6分）22．（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度．．．．．．．．．，．．=PQ=QR=RS （这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q三点共线（所以PQ⊥MN）．∠为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：下面以三等分ABC第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R ∠的BA边上；落在ABC第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．∠的三等分线是射线、．请完成第三步操作，图中ABC∠的主要证明过程：（2）在（1）的条件下补全三等分．．．ABC∵，BQ⊥PR，∴BP=BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠=∠．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT=PQ，∴∠=∠．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴ ∠ =∠ =∠ ．（3）在（1）的条件下探究： 13A B S A B C∠=∠是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在下图中 ABC ∠的外部．．画出13ABV ABC ∠=∠（无需写画法，保留画图痕迹即可）．解：五、解答题（本题共11分，第23题5分，第24题6分） 23．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(0,4)B ，点C 在第四象限，AC ⊥AB ， AC=AB ． （1）求点C 的坐标及∠COA 的度数；（2）若直线BC 与x 轴的交点为M ，点P 在经过点C 与 x 轴平行的直线上，直接写出BOM POM S S ∆∆+的值．解：（1）（2）BOM POM S S ∆∆+的值为 ．24．已知：如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90︒． （1）按要求作图：（保留作图痕迹） ①延长BC 到点D ，使CD=BC ； ②延长CA 到点E ，使AE=2CA ；③连接AD ，BE 并猜想线段 AD 与BE 的大小关系；考试结束后，请尝试自制一把“勾尺”实践一下！（2）证明（1）中你对线段AD 与BE 大小关系的猜想． 解：（1）AD 与BE 的大小关系是 ． （2）证明：八年级数学附加题试卷满分：20分一、阅读与思考（本题6分）我们规定：用[]x 表示实数x 的整数部分，如[]3.143=，82⎡⎤=⎣⎦，在此规定下解决下列问题：（1）填空：1236⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦= ；（2）求1234+49⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值．解：二、操作与探究（本题6分）取一张正方形纸片ABCD 进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把纸片分别对折，使对边分别重合，再展开， 记折痕MN ，PQ 的交点为O ；再次对折纸片使AB 与PQ 重合， 展开后得到折痕EF ，如图1；第二步：折叠纸片使点N 落在线段EF 上，同时使折痕 GH 经过点O ，记点N 在EF 上的对应点为N ，如图2．解决问题：（1）请在图2中画出（补全）纸片展平后的四边形CHGD 及相应MN ，PQ 的对应位置；（2）利用所画出的图形探究∠POG 的度数并证明你的结论．解：（1）补全图形． （2）∠POG = °． 证明：三、解答题（本题8分）已知：如图，∠MAN 为锐角，AD 平分∠MAN ，点B ，点C 分别在射线AM 和AN 上，AB =AC . （1）若点E 在线段CA 上，线段EC 的垂直平分线交直线AD 于点F ，直线BE 交直线 AD 于点G ，求证：∠EBF =∠CAG ；（2）若（1）中的点E 运动到线段CA 的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想 ∠EBF 与∠CAG 的数量关系并证明你的结论. （1）证明： （2）图2备用图1备用图2。

2012-2013学年北京市西城区(北区)八年级上学期期末练习数学试卷(含答案)

2012-2013学年北京市西城区(北区)八年级上学期期末练习数学试卷(含答案)

北京市西城区（北区）2012–2013学年度第一学期期末试卷八年级数学 2013.1（时间100分钟，满分100分）一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．计算23-的结果是（ ）．A ．－9B ．－9C ．19 D ．19- 2．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．点P （－3，5）关于y 轴的对称点的坐标是（ ）． A ．（3，5） B ．（3，－5） C ．（5，－3） D ．（－3，－5）4．将正比例函数y =3x 的图象向下平移4个单位长度后，所得函数图象的解析式为（ ）． A ．34y x =+ B ．34y x =-C ．3(4)y x =+D ． 3(4)y x =- 5．下列各式中，正确的是（ ）．A ．3355x x y y --=- B ．a b a b c c +-+-=C ． a b a bc c ---=- D ． a ab aa b -=--6．如图，三条公路把A 、B 、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）． A ．在AC 、BC 两边高线的交点处 B ．在AC 、BC 两边中线的交点处C ．在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处D ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处 7 ）．A ．1与2之间B ．2与3之间AC ．3与4之间D ．4与5之间8．一次函数y mx m =+（m 为常数且m ≠0），若y 随x 增大而增大，则它的图象经（ ）． A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 9．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，在BC 上截取BD ＝BA ，作∠ABC 的平分线与AD 相交于点P ，连结PC ，若△ABC 的面积为22cm ，则△BPC 的面积为（ ）．A ．20.5cmB ． 21cmC ．21.5cmD ． 22cm 10．小华、小明两同学在同一条长为1100米的直路上进行跑步比赛，小华、小明跑步的平均速度分别为3米/秒和5米/秒，小明从起点出发，小华在小明前面200米处出发，两人同方向同时出发，当其中一人到达终点时，比赛停止．设小华与小明之间的距离y （单位：米），他们跑步的时间为x （单位：秒），则表示y 与x 之间的函数关系的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ． 二、填空题（本题共24分，第13题4分，第18题2分，其余各题每小题3分）11．在函数12y x =-中，自变量x 的取值范围是__________． 12．在0.14，117，，π这五个实数中，无理数的是 ．13．一次函数21y x =-的图象与x 轴的交点坐标为 ，与y 轴的交点坐标为 ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =15°，AB 的垂直平分线与 AC 交于点D ，与AB 交于点E ，连结BD ．若AD ＝12cm ，则BC 的长为 cm ． 15．若29x =，38y =-，则x +y ＝ ．16．某校组织学生到距离学校15千米的西山公园秋游，先遣车队与学生车队同时出发，先遣车队比学生车队提前半小时到达公园以便提前做好准备工作．已知先遣车队的速是学生队车速度的1.2倍，若设学生车队的速度为x 千米/时，则列出的方程是 ． 17． 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边上一点，且∠BAD =30°，若AD =DE ，∠EDC =33°，则∠DAE 的度数为 ° 18．如果满足条件“∠ABC =30°，AC =1， BC =k （k ＞0）”的△ABCB是唯一的，那么k 的取值范围是 ． 三、解答题（本题共28分，第19、20题每小题5分，第21～23题每小题6分） 19．计算：1)+解：20．先化简，再求值：2112()3369mm m m m +÷-+-+，其中9m =． 解： 21．解方程：3111x x x -=-+．23．如图，直线y kx b =+经过点A （0，5），B （1，4）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线24y x =-与直线AB 相交于点C,求点C 的坐标； （3）根据图象，写出关于x 的不等式2x －4≥kx +b 的解集． 解：（1）（2）（3）关于x 的不等式2x －4≥kx +b 的解集是 ．四、解答题（本题共12分，第24题5分，第25题7分） 24．阅读下列材料：木工张师傅在加工制作家具的时候，用下面的方法在木板上画直角：如图1，他首先在需要加工的位置画一条线段AB ，接着分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 的适当长为半径画弧，两弧相交于点C ，再以C 为圆心，以同样长为半径画弧交AC 的延长线于点D （点D 需落在木板上），连接DB ．则∠ABD 就是直角．木工张师傅把上面的这种作直角的方法叫做“三弧法．解决下列问题： （1）利用图1就∠ABD 是直角作出合理解释(要求：先写出已知、求证，再进行证明)；（2）图2表示的一块残缺的圆形木板，请你用“三弧法”，在木板上．．．画出一个以EF 为一条直角边的直角三角形EFG （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 解：（1） 25．已知：一次函数132y x =+的图象与正比例函数y kx =的图象相交于点 A （a ，1）．（1）求a 的值及正比例函数y kx =的解析式；（2）点P 在坐标轴上（不与点O 重合），若P A =OA ，直接写出P 点的坐标；（3）直线x m =与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积记为S ，求S 关于m 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．A CB D图1 图2 EF五、解答题（本题6分）26．在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线． （1）如图1，过C 作CE ∥AD 交BA 延长线于点E ，若F 为CE 的中点，连结AF ，求证：AF ⊥AD ；（2）如图2，M 为BC 的中点，过M 作MN ∥AD 交AC 于点N ，若AB =4， AC =7， 求NC 的长．（1） 证明：（2）解：图1图2北京市西城区（北区）2012–2013学年度第一学期期末试卷 八年级数学附加题 2013.1一、填空题（本题共6分）1．在平面直角坐标系xOy 中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．已知一组正方形的四个顶点恰好落在两坐标轴上，请你观察每个正方形四条边上的整点的个数的变化规律．回答下列问题：（1）经过x 轴上点（5，0）的正方形的四条边上的整点个数是 ； （2）经过x 轴上点（n ，0）（n 为正整数）的正方形的四条边上的整点个数记为m ，则m 与n 之间的函数关系是 ．二、解答题（本题共14分，第2题8分，第3题6分） 2．在平面直角坐标系xOy 中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求∠BAO 的度数；（2）如图1，P 为线段AB 上一点，在AP 上方以AP 为斜边作等腰直角三角形APD ．点Q在AD 上，连结PQ ，过作射线PF ⊥PQ 交x 轴于点F ，作PG ⊥x 轴于点G ． 求证：PF ＝PQ ；（3）如图2，E 为线段AB 上一点，在AE 上方以AE 为斜边作等腰直角三角形AED ．若P为线段EB 的中点，连接PD 、PO ，猜想线段PD 、PO 有怎样的关系？并说明理由．图1 图23．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线， DE ⊥AB 于点E ．（1）如图1，连接EC ，求证：△EBC 是等边三角形； （2）点M 是线段CD 上的一点（不与点C ，D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作∠BMG =60°，MG 交DE 延长线于点G ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD ，DG 与AD 之间的数量关系；（3）如图3,点N 是线段AD 上的一点，以BN 为一边，在BN 的下方作∠BNG =60°，NG 交DE 延长线于点G ．试探究ND ，DG 与AD 数量之间的关系，并说明理由．（1）证明：（2）结论： ；（3）证明 ：图1 图2图3北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第一学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准 2013.1二、填空题（本题共24分，第13题4分，第18题2分，其余各题每小题3分）19．解： 1)++＝24 ····························································································· 3分＝2．········································································································ 5分20．解： 2112()3369mm m m m +÷-+-+ ＝22(3)(3)(3)2m m m m m-⋅-+ ···················································································· 3分＝33m m -+． ··········································································································· 4分 当9m =时，原式＝931932-=+． ········································································ 5分 21．解：方程两边同乘(1)(1)x x -+，得(1)3(1)(1)(1)x x x x x +--=-+． ········································································ 2分化简，得331x x -+=-． ··················································································· 4分 解得 2x =． ······································································································ 5分 检验：当2x =时，(1)(1)0x x -+≠，∴2x =是原分式方程的解． ·············································································· 6分22．解：（1）∵AE ∥BF ，∴∠A =∠FBD ． ··························································································· 1分,,,AE BF A FBD AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ··········································································5分 ∴EC =FD ． ································································································6分23．解：（1）∵直线y kx b =-+经过点A （5，0）、B （1，4），∴50,4.k b k b +=+=⎧⎨⎩······························································································1分解方程得1,5.k b =-=⎧⎨⎩ ·················································································2分 ∴直线AB 的解析式为 5.y x =-+·······························································3分 （2）∵直线24y x =-与直线AB 相交于点C,∴解方程组5,2 4.y x y x =-+=-⎧⎨⎩得3,2.x y ==⎧⎨⎩∴点C 的坐标为（3，2）． ·········································································· 5分 （3）x ≥3． ········································································································ 6分四、解答题（本题共12分，第24题5分，第25题7分） 24．（1）已知：在△ABD 中， AC =BC =CD ．求证：90ABD ∠=︒． 证明：∵AC=BC ， ∴12∠=∠． ∵BC=CD ， ∴34∠=∠． ··························· 1分 在△ABD 中， 1234180∠+∠+∠+∠=︒．∴1490∠+∠=︒． 即90ABD ∠=︒． ·············································· 3分（2）如图，△EFG 为所求作的三角形 ．········································································································································· 5分25．解：（1）∵一次函数132y x =+的图象与正比例函数y kx =的图象相交于点 A （a ，1）， ∴1312a +=.解得4a =-． ·························································································· 1分∴A （－4 ，1）． ∴41k -=．解得 14k =-．∴正比例函数的解析式为14y x =-． ····················································· 2分（2）P 1（－8 ，0）或P 2（0 ，2）； ······························································ 4分阅卷说明：每个结果1分（3）依题意，得点B 的坐标为（m ，132m +），点C 的坐标为（m ，14m -）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． ··········································· 5分以下分两种情况： （ⅰ）当m <－4时，BC ＝11(3)42m m --+＝334m --．AH ＝4m --． 则12ABCS BC AH ∆=⋅ =13(3)(4)24m m ---- =23368m m ++． （ⅱ）当m >－4时，BC ＝11(3)24m m ++＝34AH ＝4m +．则12ABCS BC AH ∆=⋅ =13(3)(4)24m m ++=23368m m ++． 综上所述，ABC S ∆=2338m m +五、解答题（本题6分）26．证明：∵AD 为△ABC 的角平分线，∴12∠=∠． （1）∵CE ∥AD ，∴1E ∠=∠，23∠=∠. ∴3E ∠=∠． ∴AC =AE ． ···································· 1分 ∵F 为EC 的中点， ∴AF ⊥BC ． ∴90AFE FAD ∠=∠=︒．∴AF ⊥AD ． ··································· 2分（2）延长BA 与MN 延长线于点E ，过B 作BF ∥AC 交NM 延长线于点F . ················ 3分 ∴3C ∠=∠，4F ∠=∠．∵M 为BC 的中点∴BM ＝CM ． 在△BFM 和△CNM 中，4,3,,F C BM CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFM ≌△CNM （AAS ）． ············································································· 4分 ∴BF ＝CN ． ∵MN ∥AD ，∴1E ∠=∠，245∠=∠=∠. ∴5E F ∠=∠=∠． ∴AE ＝AN ，BE ＝BF ．设CN =x ，则BF =x ， AE ＝AN ＝AC －CN ＝7－x ，BE ＝AB ＋AE ＝4＋7－x ． ∴4＋7－x ＝x ． 解得 x ＝5.5． ∴CN ＝5.5． ···································································································· 6分北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题参考答案及评分标准 2013.1一、填空题（本题6分） 1．（1）20； ······················································································································ 3分 （2）4m n =． ············································································································· 3分 二、解答题（本题共14分，第2题8分，第3题6分） 2．解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．∴A （－6，0），B （0，6）．∴OA =OB ． ··································································································· 1分 ∴BAO ABO ∠=∠在△AOB 中，90AOB ∠=︒． ∴45BAO ABO ∠=∠=︒． ··········································································· 2分 （2）在等腰直角三角形APD 中，90PD A ∠=︒，DA =DP ，145APD ∠=∠=︒．A MDCBNE F354 412∴DP ⊥AD 于D ．由（1）可得45BAO ∠=︒． ∴1BAO ∠=∠． 又∵PG ⊥x 轴于G ， ∴PG = PD ． ······························································································· 3分 ∴90AG P PG F D ∠=∠=∠=︒． ∴445BAO ∠=∠=︒．∴490APD DPG ∠+∠=∠=︒． 即390GPQ ∠+∠=︒． 又∵PQ ⊥PF ，∴290GPQ ∠+∠=︒． ∴23∠=∠． ······················ 4分 在△PGF 和△PDQ 中， ,,23,PGF D PG PD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△PGF ≌△PDQ (ASA)． ∴PF =PQ ． ·································································································· 5分 （3）答：OP ⊥DP ，OP ＝DP ．证明：延长DP 至H ，使得PH =PD ． ∵P 为BE 的中点， ∴PB =PE ． 在△PBH 和△PED 中，,12,,PB PE PH PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PBH ≌△PED （SAS ）． ∴BH =ED ． ································· 6分∴34∠=∠．∴BH ∥ED ．在等腰直角三角形ADE 中， AD =ED ，45DAE DEA ∠=∠=︒． ∴AD =BH ，90DAE BAO DAO ∠+∠=∠=︒. ∴DE ∥x 轴，BH ∥x 轴， BH ⊥y 轴． ∴90DAO HBO ∠=∠=︒． 由（1）可得 OA =OB ． 在△DAO 和△HBO 中，,,,AD BH DAO HBO OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAO ≌△HBO （SAS ）．x图1图2∴OD =OH ，∠5=∠6． ············································································· 7分 ∵590AOB DOB ∠=∠+∠=︒, ∴690D O H D O B ∠=∠+∠=︒. ∴在等腰直角三角形△DOH 中， ∵DP =HP ， ∴OP ⊥DP ，1745DOH ∠=∠=︒. ∴7ODP ∠=∠． ∴OP =PD ． ····································································································· 8分3．（1）证明：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°， ∴60ABC ∠=︒, BC =12AB ．∵BD 平分∠ABC ，∴130DBA A ∠=∠=∠=︒.∴DA =DB ． ∵DE ⊥AB 于点E ．∴AE =BE =12AB ．∴BC =BE . ······························································································· 1分 ∴△BCE 是等边三角形. ········································································· 2分（2）结论：AD = DG ＋DM ．········································································································································ 3分 （3）结论：AD = DG －DN ．理由如下：延长BD 至H ，使得DH ＝DN . ········································································· 4分 由（1）得DA =DB ，30A ∠=︒． ∵DE ⊥AB 于点E ． ∴2360∠=∠=︒．∴4560∠=∠=︒． ∴△NDH 是等边三角形． ∴NH =ND ，660H ∠=∠=︒． ∴2H ∠=∠． ∵60BNG ∠=︒, ∴767BNG ∠+∠=∠+∠.即D NG H NB ∠=∠. 在△DNG 和△HNB 中，A D GC B ME图2A图1图3G。

2023-2024学年北京市西城区八年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市西城区八年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等.下列火纹图案中，可以看成处轴对称图形的是( )A. B.C. D.2.下列运算中，正确的是( )A. B. C. D.3.在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴的对称点坐标是( )A. B. C. D.4.下列各式从左到右变形一定正确的是( )A. B. C. D.5.如图，在中，，，BD是的角平分线.若点D到BC的距离为3，则AC的长为( )A. 12B.C. 9D. 66.如果，那么代数式的值为( )A. B. C. 6 D. 137.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，且，则点C的横坐标为( )A. B. C. D.8.如图，在中，，，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点.当四边形DEMN的周长最小时，的大小是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.计算：______；______.10.若分式有意义，则x的取值范围是______.11.计算：______.12.如图，为等腰三角形，，，连接BD，只需添加一个条件即可证明≌，这个条件可以是______写出一个即可13.如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______用含a，b的式子表示14.甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲3h清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书.如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要xh，则根据题意可列方程为______.15.在正三角形纸片ABC上按如图方式画一个正五边形DEFGH，其中点F，G在边BC上，点E，H分别在边AB，AC上，则的大小是______16.如图，动点C与线段AB构成，其边长满足，，点D在的平分线上，且，则a的取值范围是______，的面积的最大值为______.三、解答题：本题共10小题，共84分。

北京市西城区(北区)2012-2013学年度第二学期期末试卷八年级数学(无答案)

北京市西城区(北区)2012-2013学年度第二学期期末试卷八年级数学(无答案)

北京市西城区（北区）2012-2013学年度第二学期期末试卷八年级数学2013.7（时间100分钟，满分100分）一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1x的取值范围是（）A．2x≥B．2x>C．2x≠D．12x≥2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能．．构成直角三角形的是（）A．12 B．1，2C．5，12，13 D．13．下列计算中，正确的是（）A3=-B7=C122D64．如图，在ABCD中，延长CD至点E，延长AD至点F，连结EF，如果110B∠=︒，那么E F∠+∠等于（）A．110︒B．70︒C．50︒D．30︒5．下列关于反比例函数2yx=的说法中，正确的是（）A．它的图象在第二、四象限B．点()21-，在它的图象上C．当0x>时，y随x的增大而减小D．当0x<时，y随x的增大而增大6．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．同一底上两个角相等的四边形是等腰梯形FE D CBA7．如图，每个小正方形的边长为1，ABC △的三个顶点A ，B ，C 在格点上，那么三边a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．如图，在梯形ABCD 中，DC AB ∥，DE CB ∥，交AB 于点E ，如果4CD =，ADE △周长为18，那么梯形ABCD 的周长为（ ）A ．22B ．26C ．28D ．30 9．如图，菱形ABCD 的周长为16，如果60BAD ∠=︒，E 是AB 的中点，那么点E 的坐标为（ ）A ．()11， B．)1C．(1 D．()210．用配方法将关于x 的方程250x x n ++=可以变形为()29x p +=，那么用配方法也可以将关于x 的方程251x x n -+=-变形为下列形式（ ）A ．()210x p -= B ．()2110x p -+= C ．()28x p -=D ．()218x p --=二、填空题（本题共18分，每小题3分）110，那么xy 的值为 ．12．近视眼镜的度数y （单位：度）与镜片焦距x （单位：米）成反比例，如果400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．13．一组数据0，1-，6，1，1-，这组数据的平均数是 ，方差是 ．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将AO B △沿过点A 的直线折叠，使点B 落在x 轴负半轴上，记作点C ，折痕与y 轴交于点D ，则点C 的坐标为 ，点D 的坐标为 ．c b aCB A E DC BA15．在菱形A B C D 中，13c m AB =，BC 边上的高5cm AH =，那么对角线AC 的长为 cm ．16．在反比例函数()120y x x=>的图象上，有一系列点1A ，2A ，3A ，…，n A ，1n A +，若1A 的横坐标为2，且以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过1A ，2A ，3A ，…，1n A +分别作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为1S ，2S ，3S ，…，n S ，则1S = ，123n S S S S ++++=… ．三、解答题（本题共16分，第17题8分，第18题8分）17．计算：（1；（2118．解方程：（1）()223250x --=； （2）2520x x -+=．四、解答题（本题共25分，第19～21题每小题6分，第22题7分）19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点()21A -，和点()1B n ，． （1）求反比例函数的解析式及一次函数的解析式；（2）设一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点C ，连接OA ，求AOC △的面积； （3）结合图象，直接写出不等式mkx b x+>的解集．20．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，点F 在BD 上，且BE DF =，连接AE 并延长，交BC 于点G ，连接CF 并延长，交AD 于点H ．（1）求证：AOE COF △≌△；（2）若AC 平分HAG ∠，求证：四边形AGCH 是菱形．OH GFEDC BA21．某学校通过初评决定最后从甲、乙、丙三个班中推荐一个班为区级先进班集体，下表是这三个班的五项素质考评得分表（满分10分）：五项素质考评得分表（单位：分）根据统计表中的信息解答下列问题：（1）请你补全五项成绩考评分析表中的数据：（2）参照上表中的数据，你推荐哪个班为区级先进班集体？并说明理由； （3）如果学校把行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生五项考评成绩按照3:2:1:1:3的比确定，学生处的李老师根据这个平均成绩，绘制了一幅不完整的条形统计图，请将这个统计图补充完整，依照这个成绩，应推荐哪个班为区级先进班集体？五项素质考评平均成绩统计图22．已知：关于x 的方程()()23300mx m x m +--=≠． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．五、解答题（本题共11分，第23题5分，第24题6分）23．阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD 是ABC △的中线，点M 为BC 边上任意一点（不与点D 重合），过点M 作一直线，使其等分ABC △的面积．图1NM D CBA他的做法是：如图1，连结AM ，过点D 作DN AM ∥交AC 于点N ，作直线MN ，直线MN 即为所求直线．请你参考小明的做法，解决下列问题： （1）如图2，在四边形ABCD 中，AE 平分ABCD 的面积，M 为CD 边上一点，过M 作一直线MN ，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图2中画出直线MN ，并保留作图痕迹）；（2）如图3，求作过点A 的直线AE ，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图3中画出直线AE ，并保留作图痕迹）． 图2ME DCBA图3DCA24．已知：四边形ABCD 是正方形，点E 在CD 边上，点F 在AD 边上，且AF DE =．（1）如图1，AE 与BF 有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图2，对角线AC 与BD 交于点O ．BD ，AC 分别与AE ，BF 交于点G ，点H ．图1PFED CBA图2POHGFEDCBA①求证：OG OH =；②连接OP ，若4AP =，OP AB 的长．北京市西城区（北区）2012-2013学年度第二学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准 2013.7一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．6-；12．100y x=； 13．1，6.8； 14．()10-，，403⎛⎫ ⎪⎝⎭，；1516．6，121n n +． 阅卷说明：第13，14，16题第1空1分，第2空2分； 第15题答出一个结果，得2分．三、解答题（本题共16分，第17题8分，第18题8分）17．（1=…………3分=4分（21(4273=-…………3分2=．…………4分18．（1）解：因式分解，得()()2352350x x ---+=．…………1分 于是得2350x --=或2350x -+=．……2分 解得14x =，21x =-．…………4分（2）解：1a =，5b =-，2c =．()2245412170b ac ∆=-=--⨯⨯=>．…………1分 方程有两个不等的实数根x …………2分()521--==⨯．即1x =2x ．…………4分四、解答题（本题共25分，第19～21题每小题6分，第22题7分）19．解：（1）反比例函数my x=的图象经过点()21A -，， ∴12m=-，解得2m =-． ∴反比例函数的解析式为2y x =-．…………1分∵点()1B n ，在反比例函数2y x=-的图象上．∴21n =-，解得2n =-．∴()12B -，．∵一次函数y kx b =+的图象经过点()21A -，，()12B -，， ∴212k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为1y x =--．…………2分（2）一次函数1y x =--的图象与x 轴交于点()10C -，，…………3分 ∴1OC =．∴11111222AOC A S OC y =⋅=⨯⨯=△．…………4分（3）2x <-或01x <<．…………6分 阅卷说明：两个答案各1分．20．证明：（1）如图．54321A BCDEF G H O在ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ， ∴AO CO =，BO DO =．…………1分 ∵BE DF =，∴BO BE DO DF -=-． 即EO FO =．…………2分 在AOE △和COF △中， 12EO FO AO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOE COF △≌△．…………3分 （2）由（1）AOE COF △≌△． ∴34∠=∠．∴AG CH ∥．…………4分在ABCD 中，AD BC ∥，即AH GC ∥． ∴四边形AGCH 是平行四边形．…………5分 ∵AC 平分HAC ∠， ∴45∠=∠． ∴35∠=∠． ∴HA HC =．∴四边形AGCH 是菱形．…………6分…………3分（2）答：以众数为标准，推荐甲班为区级先进班集体．…………4分阅卷说明：回答以中位数为标准，推荐甲班为区级先进班集体，同样得分．（3）3921096398.932113⨯+⨯+++⨯=++++（分）如图．…………5分推荐丙班为区级先进班集体．…………6分22．（1）证明：∵0m ≠， ∴此方程为一元二次方程．()()2343m m ∆=--⨯⨯-…………1分 269m m =++()23m =+．…………2分∵()230m +≥，即0∆≥，∴方程总有两个实数根．…………3分 （2）解：由求根公式，得x ，()()332m m x m--±+=解得13x m=，21x =-．…………5分 ∵m 为正整数，且方程的两根均为整数， ∴1m =或3．…………7分五、解答题（本题共11分，第23题5分，第24题6分）23．解：（1）如图．…………3分ABCEM（2）如图．…………5分MEACD24．（1）答：∴AE BF ⊥．…………1分 证明：如图．21A BFP∵四边形ABCD 是正方形，∴90ADE BAF ∠=∠=︒，AD BA =．在ADE △和BAF △中，DE AFADE BAF AD BA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴ADE BAF △≌△．∴12∠=∠．∵190EAB ∠+∠=︒．∴290EAB ∠+∠=︒．∴90ABP ∠=︒．即AE BF ⊥．…………2分（2）①证明：如图．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，OD OA OB OC ===．∴90GOA HOB ∠=∠=︒，45DAO ABO ∠=∠=︒．由（1）12∠=∠．∴12DAO ABO ∠-∠=∠-∠．即34∠=∠．…………3分在AOG △和BOH △中，34GOA HOBOA OB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴GOA HOB △≌△．∴OG OH =．…………4分②解：如图．在BH 上截取4BP AP '==．…………5分由（2）得34∠=∠，OA OB =．∴OPA P OB '△≌△．∴OP OP '=POA P OB '∠=∠．、∵90HOB ∠=︒∴90HOB POP '∠=∠=︒．在Rt POP '△中，222PP OP OP ''=+∴2PP '==．∴246PB PP P B ''=+=+=.由（1）AE BF ⊥，∴在Rt APB △中，222AB AP PB =+∴22252AB AP PB =+=．∵0AB >，∴AB 6分北京市西城区（北区）2012-2013学年度第二学期期末试卷八年级数学附加题一、填空题（本题6分）1．（1）若2210x y +=，3xy =，那么代数式x y -的值为 ．（2）若214x xy x ++=，228y xy y ++=，那么代数式x y -的值为 ．二、解答题（本题共14分，每小题7分）2．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OBCD 的顶点B 在x 轴正半轴上，顶点D 在y 轴正半轴上．（1）如图，反比例函数()60y x x =>的图象与正比例函数23y x =的图象交于点A ，BC 边经过点A 、CD 边与反比例函数图象交于点E ．四边形OACE 的面积为6，①直接写出点A 的坐标；②判断线段CE 与DE 的大小关系，并说明理由；（2）如图，若反比例函数()0k y x x=>的图象与CD 交于点M ，与BC 交于点N ，()0CM nDM n =>，连接OM ，ON ，MN ，设M 点的横坐标为()0t t >，求：CMN OMNS S △△（用含n 的式子表示）． 解：（1）①点A 的坐标为： ；②3．CDE △和AOB △是两个等腰直角三角形，90CDE AOB ∠=∠=︒，1DC DE ==，()1OA OB a a =-≥．（1）将CDE △的顶点D 与点O 重合，连接AE ，BC ，取线段BC 的中点M ，连接OM ， ①如图1，若CD 、DE 分别与OA ，OB 边重合，则线段CM 与AE 有怎样的数量关系？请直接写出你的结果．②如图2，若CD 在AOB △内部，请你在图2中画出完整图形，判断CM 与AE 之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；③将CDE △绕点O 任意转动，写出OM 的取值范围（用含a 的式子表示）；图1MO (D )CB A图2(D )O E CB A（2）是否存在边长最大的AOB △，使C D E △的三个顶点分别在AOB △的三条边上（都不与顶点重合），如果存在，请你画出此时的图形，并求边长a 的值；如果不存在，请说明理由．O HGF E D CBAA BCD E F GHO。

2013-2014学年北京市西城区八年级(上)期末数学试卷-含详细解析

2013-2014学年北京市西城区八年级(上)期末数学试卷-含详细解析

2013-2014学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列各式中，最简二次根式是( )A. B. C. D.2.如图所示的汽车标志中，不是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.下列因式分解结果正确的是()A. B.C. D.4.下列各式中，正确的是( )A. B.C. D.5.如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点D，E．6果AC=3cm，△ADC的周长为57cm，那么BC的长为( )A. 7cmB. 10cmC. 12cmD. 22cm6.某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，如果设原计划平均每天植树x棵，那么下面所列方程中，正确的是()A. B. C. D.7.如果，那么的值为()A. B. C. D.8.如图，将长方形纸片先沿虚线AB向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，那么打开后的展开图是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）9.如果分式的值为0，那么x的值为10.如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是．11.下列运算中，正确的是(填写所有正确式子的序号)①a2•a6=a12；② (x3)2=x9；③ (2a)3=8a3；④ (5a-b2)2=25a2-b4-5ab2．12.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么根据图中提供的信息可知∠1的度数为．13.化简：= ．14.计算：(6x4-8x3)÷(-2x2)= ．15.如图，∠AOB=64°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）16.解分式方程：．四、解答题（本大题共11小题，共70.0分）17.如图，动点P从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1(3，0)．(1)画出点P从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径；(2)当点P第2014次碰到长方形的边时，点P的坐标为18.(1)先化简，再求当a=2，b=1时，代数式(a+3b)(a-b)+a(a-2b)的值．(2)计算：．19.已知：如图，AB=AC，∠DAC=∠EAB，∠B=∠C．求证：BD =CE．20.21.尺规作图：已知：如图，线段a和h．求作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边上的高AD=h．(保留作图痕迹并写出相应的作法．)作法：22.(1)阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度=PQ=QR=RS，(这个条件很重要哦！)勾尺的一边MN满足M，N，Q 三点共线(所以PQ⊥MN)．下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．23.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-2，0)，B(0，4)，点C在第四象限，AC⊥AB，AC=AB．(1)求点C的坐标及∠COA的度数；(2)若直线BC与x轴的交点为M，点P在经过点C与x轴平行的直线上，直接写出S△POM+S△BOM的值．24.已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°．(1)按要求作图：(保留作图痕迹)①延长BC到点D，使CD=BC；②延长CA到点E，使AE=2CA；③连接AD，BE并猜想线段AD与BE的大小关系；(2)证明(1)中你对线段AD与BE大小关系的猜想．25.我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，如[3.14]=3，，在此规定下解决下列问题：(1)填空：=；(2)求的值．26.取一张正方形纸片ABCD进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把纸片分别对折，使对边分别重合，再展开，记折痕MN，PQ的交点为O；再次对折纸片使AB与PQ重合，展开后得到折痕EF，如图1；第二步：折叠纸片使点N落在线段EF上，同时使折痕GH经过点O，记点N在EF 上的对应点为N′，如图2．解决问题：(1)请在图2中画出(补全)纸片展平后的四边形CHGD及相应MN，PQ的对应位置；(2)利用所画出的图形探究∠POG的度数并证明你的结论．27.已知：如图，∠MAN为锐角，AD平分∠MAN，点B，点C分别在射线AM和AN上，AB=AC．(1)若点E在线段CA上，线段EC的垂直平分线交直线AD于点F，直线BE交直线AD于点G，求证：∠EBF=∠CAG；(2)若(1)中的点E运动到线段CA的延长线上，(1)中的其它条件不变，猜想∠EBF与∠CAG的数量关系并证明你的结论．答案和解析1.【答案】D【解析】试题分析：根据最简二次根式的定义解答．A、==，故不是最简二次根式，此选项错误；B、=2，故不是最简二次根式，此选项错误；C、=|x|，故不是最简二次根式，此选项错误；D、二次根式中被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式．故选：D．2.【答案】A【解析】试题分析：根据轴对称的定义，结合选项图形进行判断即可．A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；C、轴对称图形，不合题意，故本选项错误；D、轴对称图形，不合题意，故本选项错误；故选；A．3.【答案】D【解析】试题分析：分别根据提取公因式法以及公式法、十字相乘法分解因式得出即可．A、10a3+5a2=5a2(2a+1)，故此选项错误；B、4x2-9=(2x+3)(2x-3)，故此选项错误；C、a2-2a-1，无法因式分解，故此选项错误；D、x2-5x-6=(x-6)(x+1)，此选项正确．故选：D．4.【答案】D【解析】试题分析：根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．A 分母中的a没除以b，故A错误；B 异分母分式不能直接相加，故B错误；C 分式的分子分母没同乘或除以同一个不为零整式，故C错误；D 分式的分子分母都乘以(a-2)，故D正确；故选：D．5.【答案】C【解析】试题分析：利用翻折变换的性质得出AD=BD，进而利用AD+CD=BC得出即可．6.【答案】B【解析】试题分析：设原计划平均每天植树棵x棵，根据“现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同”这一等量关系列出分式方程求解即可．设原计划平均每天植树棵x棵，现在每天植树(x+50)棵，依题意得，=．故选：C．7.【答案】A【解析】试题分析：根据比例的性质得出x=2y，再代入约分即可．∵=，∴3x=2x+2y，∴x=2y，∴=；故选A．8.【答案】D【解析】试题分析：严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可仔细观察图形特点，利用对称性与排除法求解．∵第三个图形是三角形，∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A，∵再展开可知两个短边正对着，∴选择答案D，排除B与C．故选D．9.【答案】3【解析】试题分析：根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案．x-3=0，且x+2≠0，x=3，故答案为：3．10.【答案】x≥【解析】试题分析：根据二次根式有意义的条件可得2x-1≥0，再解不等式即可．由题意得：2x-1≥0，解得：x≥，故答案为：x≥．11.【答案】③【解析】试题分析：先根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方，积的乘方，完全平方根公式分别求出每个式子的值，再判断即可．∵a2•a6=a8，∴①错误；∵(x3)2=x6，∴②错误；∵(2a)3=8a3，∴③正确；∵(5a-b2)2=25a2+b4-10ab2，∴④错误；故答案为：③．12.【答案】70°【解析】试题分析：根据三角形内角和定理计算出∠2的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得∠1=∠2=70°．根据三角形内角和可得∠2=180°-50°-60°=70°，因为两个全等三角形，所以∠1=∠2=70°，故答案为：70°．13.【答案】【解析】试题分析：首先通分，然后根据同分母的分式加减运算法则求解即可求得答案．注意运算结果需化为最简．=-===．故答案为：．14.【答案】-3x2+4x【解析】试题分析：根据多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，把所得的商相加，可得答案．解；原式=6x4÷(-2x2)-8x3÷(-2x2)=-3x2+4x，故答案为：-3x2+4x．15.【答案】124°或75°或34°【解析】试题分析：求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE=CE，OC=OE，OC=CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．16.【答案】【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)如图，经过6次反弹后动点回到出发点(0，3)，∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，∴点P的坐标为(5，0)．故答案为(5，0)．【解析】试题分析：(1)根据反射角与入射角的定义作出图形；(2)由图可知，每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．18.【答案】解：（1）原式=a 2 +2ab-3b 2 +(a 2 -2ab)=a 2 +2ab-3b 2 +a 2 -2ab=2a 2 -3b 2当a=2,b=1时，原式=2×2 2 -3=5 (2)原式=+-=4+．【解析】试题分析：(1)首先利用多项式的乘法法则以及单项式的乘法法则计算乘法，然后去括号、合并同类项即可化简，最后代入数值计算即可；(2)首先计算二次根式的乘法，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可求解．19.【答案】证明：∵∠DAC=∠EAB，∴∠DAC+∠BAC=∠EAB+∠BAC．∴∠EAC=∠DAB．在△EAC和△DAB中，，∴△DAB≌△EAC(ASA)，∴BD=CE．【解析】试题分析：要证BD=CE，可利用判定两个三角形全等的方法“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”证△DAB≌△EAC，然后由全等三角形对应边相等得出．20.【答案】【解析】试题分析：(1)先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；(2)把分式的分子分母分解因式，并把除法转化为乘法，然后根据分式的乘法运算进行计算即可得解．21.【答案】解：如图所示：【解析】试题分析：作出线段BC=a，再做出BC的垂直平分线，垂足为D，再在垂直平分线上截取DA=h，并画出△ABC即可．22.【答案】解：(1)∠ABC的三等分线是射线是BP、BQ；(2)∵PQ=QR，BQ⊥PR，∴BP=BR．(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等)∴∠ABQ=∠PBQ．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT=PQ，∴∠PBQ=∠PBC．(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)∴∠ABQ=∠PBQ=∠PBC．故答案为：(1)BP，BQ；(2)PQ=QR，ABQ，PBQ，PBQ，ABQ，PBQ，PBC；(3)在(1)的条件下探究：∠ABS= ∠ABS不成立，在∠ABC外部所画∠ABV= ∠ABC如图．【解析】试题分析：(1)根据图形可知BP、BQ是角的三等分线；(2)根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上结合图形填空即可；(3)根据阅读材料进行判断并作出图形．23.【答案】解：(1)作CD⊥x轴于点D，∴∠CDA=90°．∵∠AOB=90°，∴∠AOB=∠CDA．∴∠DAC+∠DCA=90°．∵AC⊥AB，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠ACD．在△AOB和△CDA中∴△AOB≌△CDA(AAS)，∴AO=CD，OB=DA．∵A(-2，0)，B(0，4)，∴OA=2，OB=4，∴CD=2，DA=4，∴OD=2，∴OD=CD．∵点C在第四象限，∴C(2，-2)．∵∠CDO=90°，∴∠COD=45°．∴∠COA=180°-45°=135°．(2)∵PC∥x轴，∴点P到x轴的距离相等，∴S△POM=S△COM．∴S△POM+S△BOM=S△COM+S△BOM=S△BOC．∴S△POM+S△BOM=S△BOC==4．故答案为：4．【解析】试题分析：24.【答案】解：(1)由题意，得作图如下：(2)延长AC到点F，使CF=AF，连接BF，在△ACD和△FCB中∴△ACD≌△FCB(SAS)∴AD=FB．∵CF=AF，∴AF=5AC．∵AE=5CA，∴AF=AE，∵∠BAC=90°，∴AB⊥EF，∴AB是EF的垂直平分线，∴BE=BF，∴AD=BE．【解析】试题分析：(1)根据基本作图，作一条线段等于已知线段的作图方法就可以作出图形；(2)延长AC到点F，使CF=AF，连接BF，证明△ACD≌△FCB，就有AD=FB，进而得出AE=AF，就可以得出BE=BF，从而结论AD=BE．25.【答案】解：(1)∵=1；；∴当[ ]≤[]＜[ ]时，[ ]=1；当[ ]≤[＜[ ]时，[ ]=2∴=1+1+1+2+2+2=9．(2)=1+1+1+2+2+2+2+ (7)=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7=210．【解析】试题分析：根据[x]表示实数x的整数部分，判断求出[]的整数部分，再相加计算即可．26.【答案】解：(1)如图2所示：(2)如图2所示：设边长为a，可得到OM=ON=OP=OQ=，设N对应点为N'，过N'作N'R⊥PQ于R，则N'R=，所以N 'R=ON'，∠N'OP=30°；则∠N'OM=60°，∠NON'=120°，又由于∠N'OG=∠NOG，所以∠N'OG=60°，于是可得∠POG=30°．【解析】试题分析:(1)利用翻折变换的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)设N对应点为N'，过N'作N'R⊥PQ于R，则N'R=，进而得出，∠N'OP=30°，再求出∠N'OG=∠NOG，即可得出答案．27.【答案】解：(1)如图1，连接EF、CF，∵EC的垂直平分线交直线AD，∴EF=CF，∴∠FEC=∠FCE．∵AD平分∠MAN，∴∠BAF=∠CAF．在△AFB和△AFC中∴△AFB≌△AFC(SAS)，∴∠ABF=∠ACF，∴∠ABF=∠FCE．∵∠FEC+∠FEA=180°，∴∠ABF+∠AEF=180°，∴A、B、F、E四点共圆，∴∠EBF=∠CAG；(2)∠EBF+∠CAG=180°理由：如图2，连接EF、CF，∵EC的垂直平分线交直线AD，∴EF=CF，∴∠FEC=∠FCE．∵AD平分∠MAN，∴∠BAF=∠CAF．在△AFB和△AFC中∴△AFB≌△AFC(SAS)，∴∠ABF=∠ACF，∴∠ABF=∠FCE．∴∠ABF=∠FCE∴A、B、F、E四点共圆，∴∠EBF=∠FAC．∵∠FAC+∠CAG=180°，∴∠EBF+∠CAG=180°．【解析】试题分析：(1)如图1，连接EF、CF，由中垂线的性质就可以得出EF=CF．就有∠FEC=∠FCE，由△AFB≌△AFC就可以得出∠ABF=∠ACF，由∠FEC+∠FEA=180°就可以得出∠ABF+∠AEF=180°，得出A、B、F、E四点共圆，近而得出∠EBF=∠CAG；(2)如图2，连接EF、CF，由中垂线的性质就可以得出EF=CF．就有∠FEC=∠FCE，由△AFB≌△AFC就可以得出∠ABF=∠ACF，就有∠AEF=∠ABF，近而得出A、B、F、E四点共圆，就有∠EBF=∠FAC；从而得出∠EBF+∠CAG=180°．。

北京市西城区第一学期期末试卷八年级数学A卷及答案

北京市西城区第一学期期末试卷八年级数学A卷及答案

北京市西城区2011–2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（A 卷） 2012.1（时间100分钟，满分100分）题号 一 二 三 四 五 总分 得分一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1．下列四个汽车标志图中，不是．．轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．计算33-的结果是（ ）．A ．9-B ．27-C ．271 D ．271- 3．下列说法中，正确的是（ ）．A ．16的算术平方根是4-B ．25的平方根是5C ．1的立方根是1±D ．27-的立方根是3- 4．下列各式中，正确的是（ ）．A ．2121+=++a b a b B ．21422-=--a a a C ． 22)2(422--=-+a a a a D ．a b a b --=--11 5．下列关于正比例函数5y x =-的说法中，正确的是（ ）．A ．当1x =时，5y =B ．它的图象是一条经过原点的直线C ．y 随x 的增大而增大D ．它的图象经过第一、三象限 6．如右图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ． 若∠CBD : ∠DBA =3:1， 则∠A 为（ ）．A ．18°B ．20°C ．22.5°D ．30°7．如下图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（b a >），将余下部分剪开后拼成一个梯形，根据两个图形阴影面积的关系，可以得到一个关于a ，b 的恒等式为（ ）．E D C BANM aab bA ．2222)(b ab a b a +-=-B ．2222)(b ab a b a ++=+ C ．))((22b a b a b a -+=- D ．)(2b a a ab a +=+ 8．下列条件中，不能．．判定两个直角三角形全等的是（ ）． A ．两锐角对应相等 B ．斜边和一条直角边对应相等 C ．两直角边对应相等 D ．一个锐角和斜边对应相等 9．若一次函数y kx b =+不等式0≥+b kx 的解集为（ ）． A ．0≥x B ．1≥x C ．2≥x D ．2≤x 10．在直线2121+=x y 上，且到坐标轴距离为A ．4个 B ．3个 C ．2个 二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．在54，11-，•7.0，π2，38．12．函数1+=x y 中，自变量x 的取值范围是______________．13．如右图，△ABC 为等边三角形，DC ∥AB ，AD ⊥CD 于D ．若△ABC 的周长为12 cm ，则CD =________ cm ．14．点（1-，2）关于x 轴对称的点的坐标为___________________．15．如右图，在△ABC 中，AC = BC ，D 是BC 边上一点，且AB =AD =DC ，则∠C =_________°．16．若将直线)0(≠=k kx y 的图象向下平移1个单位长度后经过点（1，5），则平移后直线的解析式为______________________．17．如右图，在△ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠CBA交AC 于点D ．若AB =a ，CD =b ，则△ADB 的面 积为______________ ．18．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，拼搭第3个图案需18根小木棒，……，依此规律，拼搭第8个图案需__________根小木棒．ABCA D CBC DAB第1个 第2个 第3个 第4个 ……三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题各5分） 19．因式分解：（1）2225a b -； （2）2816ax ax a -+． 解： 解：20．计算：23259-+-．解：21．先化简，再求值：21)21441(22++÷++++x x x x x x ，其中x =3． 解：22．解分式方程：45251=+-++xx x ． 解：四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分） 23．已知：如图，CB =DE ，∠B =∠E ，∠BAE =∠CAD ．求证：∠ACD =∠ADC ．证明：E A B CD……24．已知：如图1，长方形ABCD 中，AB =2，动点P 在长方形的边BC ，CD ，DA 上沿AD C B →→→的方向运动，且点P 与点A ，B 都不重合．图2是此运动过程中，△ABP 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数图象的一部分． 请结合以上信息回答下列问题：（1）长方形ABCD 中，边BC 的长为________；（2）若长方形ABCD 中，M 为CD 边的中点，当点P 运动到与点M 重合时，x =________，y =________；（3）当106<≤x 时，y 与x 之间的函数关系式是___________________； （4）利用第（3）问求得的结论，在图2中将相应的y 与x 的函数图象补充完整． 图125．已知：直线321+-=x y 与x （1）分别求出A ，B （2）过A 点作直线AP 与y 轴交于点P ，且使OP =2OB ， 求△ABP 的面积．解：（1）（2）五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分）26．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°．点D为△ABC 内一点，且DB =DC ，∠DCB =30°，点E 为BD 延长线上一点，且AE =AB ． （1）求∠ADE 的度数；（2）若点M 在DE 上，且DM =DA ，求证：ME =DC ． CMBDAE27．有一个装有进水管和出水管的容器，水管的所有阀门都处于关闭状态．初始时，打开容器的进水管，只进水；到5分钟时，打开容器的出水管，此时既进水又出水； 到15分钟时，关闭容器的进水管，只出水； 到t 分钟时，容器内的水全部排空．已知此容器每分钟的进水量与出水量均为常数，容器内的水量y (单位：升)与时间x (单位：分)之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）此容器的进水管每分钟进水______升；（2）求515x ≤≤时，容器内的水量y 与时间x 的函数关系式； （3）此容器的出水管每分钟出水多少升？t 的值为多少？ 解：（2）28．已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠ADC =60°．问题1：如图1，若∠ACB =90°，AC =m AB ，BD =nDC ， 则m 的值为_________，n 的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB 为钝角，且AB >AC ，BD >DC ． （1）求证：AC AB DC BD -<-；（2）若点E 在AD 上，且DE =DB ，延长CE 交AB 于点F ，求∠BFC 的度数． 证明：（1） 图1ABDCA BCDEF北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（A 卷）参考答案及评分标准一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．11-，π2；（答对1个给1分） 12．x ≥1-； 13．2； 14．（1-，2-）； 15．36； 16．16-=x y ； 17．ab 21； 18．88．三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分） 19．（1）解：2225b a -=)5)(5(b a b a -+． -----------------------------------------------------------------2分（2）解：a ax ax 1682+-=)168(2+-x x a ---------------------------------------------------------------------4分 =2)4(-x a ． ---------------------------------------------------------------------------6分20．解：23259-+-=23253-+- ----------------------------------------------------------------------1分 =23253-+- -----------------------------------------------------------------------2分 =266-． --------------------------------------------------------------------------------3分21．解：21)21441(22++÷++++x x xx x x =21])2(1)2(1[2++÷+++x x x x x =21)2(222++÷++x x x x x ----------------------------------------------------------------------2分=22(1)2(2)1x x x x x ++⋅++ =222x x+． ---------------------------------------------------------------------------------4分 当3=x 时，原式=22323+⨯=152． --------------------------------------------------5分22．解：方程两边同乘(5)x +，得 20421+=-+x x ． --------------------------------2分 解得 7-=x ． ---------------------------------------------------------------------------4分 检验：7-=x 时50x +≠，7-=x 是原分式方程的解． ---------------------5分四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分）23．证明：如图1．∵∠BAE =∠CAD ， ∴∠BAE -∠CAE =∠CAD -∠CAE ，即∠BAC =∠EAD ． -------------------------------------1分在△ABC 和△AED 中， ∠BAC =∠EAD ，∠B =∠E ，BC =ED ，∴△ABC ≌△AED ． ------------------------------------------------------------------4分 ∴AC =AD ． -----------------------------------------------------------------------------5分 ∴∠ACD =∠ADC ． -------------------------------------------------------------------6分24．解：（1）4； -------------------------------------------1分 （2）5，4；（每空1分） ---------------------3分 （3）10+-=x y ； -----------------------------4分 （4）如图2． --------------------------------------5分25．解：（1）令0=y ，则6=x ；∴点A 的坐标为A （6，0）； 令0=x ，则3=y ；∴点B 的坐标为B （0，3）． （2）如图3．∵OB =3，且OP =2OB ， ∴OP =6．E A C D 图1∴点P 的坐标为（0，6）或（0，6-）．（两个坐标各1分） ------4分 若点P 的坐标为（0，6），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)36(21⨯-⨯=9； --------------------------------5分 若点P 的坐标为（0，6-），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)63(21⨯+⨯=27． -------------------------------6分∴△ABP 的面积为9或27．五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分） 26．解：（1）如图4．∵△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°，∴∠ABC =∠ACB =2)30180(÷-=75°．∵DB =DC ，∠DCB =30°， ∴∠DBC =∠DCB =30°． ∴∠1=∠ABC －∠DBC =75°－30°=45°．∵AB =AC ，DB =DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ． ∴AD 平分∠BAC ．∴∠2=21∠BAC =3021⨯=15°． -----------------------------------------------2分 ∴∠ADE =∠1＋∠2 =45°＋15°=60°． -----------------------------------------3分证明：（2）证法一：取BE 的中点N ，连接AN ．（如图5）∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． -----------------4分∵△ABE 中，AB =AE ，N 为BE 的中点，∴BN =NE ，且AN ⊥BE ． ∴DN =NM ． -----------------------------------5分∴BN －DN =NE －NM ， 即 BD =ME ．∵DB =DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分证法二：如图6．∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． ------------------4∴∠3=60°． ∵AE =AB ， ∴∠E =∠1=45°．∴∠4=∠3－∠E =60°－45°=15°． ∴∠2=∠4． 在△ABD 和△AEM 中，∠1 =∠E ， AB =AE ， ∠2 =∠4，B BB∵DB = DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．27．解：（1） 8 ； ----------------------------------------------------------------------------------1分（2）设当5≤x ≤15时，函数解析式为(0)y kx b k =+≠．∵点（5，40），（15，60）在此线段上， 则 4056015.k b k b =+⎧⎨=+⎩，-----------------------------------------------------------------2分解得 230.k b =⎧⎨=⎩，∴230y x =+． --------------------------------------------------------------------3分 ∴当5≤x ≤15时，230y x =+．（3）由（1）知容器的进水管每分钟进水8升，则它的出水管每分钟出水量为： 8(6040)(155)6--÷-=（升）． ------------------------------------------4分 15分钟后排空容器内的水所需时间为：60610÷=（分） -------------5分则 151025t =+=（分）． -----------------------------------------------------6分 答：此容器的出水管每分钟出水6升，t 的值为25．28．解：问题1：21，2 ；（每空1分） -------------------------------------------------------2分 问题2：（1）在AB 上截取AG ，使AG =AC ，连接GD ．（如图7） ∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2． 在△AGD 和△ACD 中， AG =AC ，∠1 =∠2， AD =AD ，∴△AGD ≌△ACD ．∴DG =DC ． -------------------------------------------------------------------------3分 ∵△BGD 中，BD －DG <BG ， ∴BD －DC <BG ．∵BG = AB －AG = AB －AC ，∴BD －DC <AB －AC ． ------------------------------------------------------------4分（2）∵由（1）知△AGD ≌△ACD ，∴GD =CD ，∠4 =∠3=60°． 图7 7654321GF EDC B A在△BGD和△ECD中，DB =DE，∠5 =∠3，DG=DC，∴△BGD≌△ECD．--------------------------------------------------------------5分∴∠B =∠6．∵△BFC中，∠BFC=180°－∠B－∠7 =180°－∠6－∠7 =∠3，∴∠BFC=60°．---------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．。

2012-2013西城区初二上学期期末数学试题答案

2012-2013西城区初二上学期期末数学试题答案

北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第一学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准2013.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共28分，第19，20题，每小题5分，第21～23题，每小题6分）19．解： 1)-++＝24+·······················································································3分＝2． ································································································5分20．解：2112()3369m m m m m +÷-+-+＝22(3)(3)(3)2m m m m m-⋅-+···············································································3分＝33m m -+． ···································································································4分当9m =时，原式＝931932-=+． ···································································5分21．解：方程两边同乘(1)(1)x x -+，得(1)3(1)(1)(1)x x x x x +--=-+．···································································2分化简，得331x x -+=-． (4)分 解得2x =． (5)分检验：当2x =时，(1)(1)0x x -+≠，∴2x=是原分式方程的解． ········································································6分22．解：（1）∵AE ∥BF ，∴∠A =∠FBD ． ················································································· 1分∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ·································································5分 ∴EC =FD ． ························································································6分23．解：（1）∵直线y kx b =-+经过点A （5，0）、B （1，4），∴50,4.k b k b +=+=⎧⎨⎩······················································································1分解方程得 1,5.k b=-=⎧⎨⎩ ···········································································2分∴直线AB 的解析式为 5.y x =-+·························································3分 （2）∵直线24y x =-与直线AB 相交于点C ,∴解方程组5,2 4.yx y x =-+=-⎧⎨⎩得3,2.x y==⎧⎨⎩∴点C 的坐标为（3，2）． ··································································· 5分 （3）x ≥3． ······························································································ 6分四、解答题（本题共12分，第24题5分，第25题7分） 24．（1）已知：在△ABD 中， AC =BC =CD ．求证：90ABD ∠=︒．证明：∵AC=BC ，∴12∠=∠． ∵BC=CD ， ∴34∠=∠．························ 1分 在△ABD 中，1234180∠+∠+∠+∠=︒．∴1490∠+∠=︒．即90ABD ∠=︒． ········································· 3分（2）如图，△EFG 为所求作的三角形 ．······························································································································ 5分25．解：（1）∵一次函数132y x =+的图象与正比例函数y kx =的图象相交于点A （a ，1）， ∴1312a +=.解得4a =-．····················································································1分∴A （－4 ，1）． ∴41k -=． 解得 14k =-．∴正比例函数的解析式为14y x =-． ················································2分 （2）P 1（－8 ，0）或P 2（0 ，2）； ·························································4分阅卷说明：每个结果1分（3）依题意，得点B 的坐标为（m ，132m +），点C 的坐标为（m ，14m-）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． ·······································5分以下分两种情况： （ⅰ）当m <－4时，BC ＝11(3)42m m --+＝334m --．AH ＝4m --．则12ABC S BC AH ∆=⋅=13(3)(4)24m m ----=23368m m ++．（ⅱ）当m >－4时，BC ＝11(3)24m m++＝34AH ＝4m +．则12ABCS BC AH∆=⋅=13(3)(4)24m m ++=23368m m ++． 综上所述，ABC S ∆=2338m m +五、解答题（本题6分）26．证明：∵AD 为△ABC 的角平分线，∴12∠=∠．（1）∵CE ∥AD ，∴1E ∠=∠，23∠=∠.∴3E ∠=∠． ∴AC =AE ． ·································1分 ∵F 为EC 的中点， ∴AF ⊥BC ． ∴90AFE FAD∠=∠=︒．∴AF ⊥AD ． ·······························2分（2）延长BA 与MN 延长线于点E ，过B 作BF ∥AC 交NM 延长线于点F . ······ 3分∴3C ∠=∠，4F ∠=∠． ∵M 为BC 的中点 ∴BM ＝CM ．在△BFM 和△CNM 中，4,3,,F C B M C M ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFM ≌△CNM （AAS ）． ···································································· 4分 ∴BF ＝CN ．∵MN ∥AD ，∴1E ∠=∠，245∠=∠=∠. ∴5E F ∠=∠=∠． ∴AE ＝AN ，BE ＝BF ．设CN =x ，则BF =x ， AE ＝AN ＝AC －CN ＝7－x ，BE ＝AB ＋AE ＝4＋7－x ． ∴4＋7－x ＝x ． 解得 x ＝5.5．∴CN ＝5.5． ··························································································· 6分北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题参考答案及评分标准 2013.1一、填空题（本题6分）1．（1）20； ············································································································ 3分 （2）4m n =．····································································································· 3分 二、解答题（本题共14分，第2题8分，第3题6分） 2．解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．∴A （－6，0），B （0，6）．∴OA =OB ． ·························································································· 1分 ∴BAO ABO ∠=∠ 在△AOB 中，90AOB ∠=︒．∴45BAOABO ∠=∠=︒． ···································································· 2分（2）在等腰直角三角形APD 中，90PDA ∠=︒，DA =DP ，145APD∠=∠=︒．∴DP ⊥AD 于D ．AMDCBNEF35 41 2由（1）可得45BAO ∠=︒．∴1BAO ∠=∠．又∵PG ⊥x 轴于G ， ∴PG = PD ． ······················································································· 3分 ∴90AGPPGF D ∠=∠=∠=︒．∴445BAO ∠=∠=︒． ∴490APD DPG ∠+∠=∠=︒．即390G P Q ∠+∠=︒． 又∵PQ ⊥PF ， ∴290G PQ ∠+∠=︒．∴23∠=∠． ··················· 4分 在△PGF 和△PDQ 中，,,23,P G F D P G P D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△PGF ≌△PDQ (ASA)． ∴PF =PQ ．···························································································5分 （3）答：OP ⊥DP ，OP ＝DP ．证明：延长DP 至H ，使得PH =PD ．∵P 为BE 的中点， ∴PB =PE ．在△PBH 和△PED 中，,12,,P B P E P H P D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PBH ≌△PED （SAS ）．∴BH =ED ． ····························· 6分 ∴34∠=∠． ∴BH ∥ED ．在等腰直角三角形ADE 中， AD =ED ，45DAE DEA ∠=∠=︒．∴AD =BH ，90DAE BAO DAO ∠+∠=∠=︒.∴DE ∥x 轴，BH ∥x 轴， BH ⊥y 轴．∴90DAO HBO ∠=∠=︒． 由（1）可得 OA =OB ． 在△DAO 和△HBO 中，x图2,,,AD BH D AO H BO O A O B =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAO ≌△HBO （SAS ）．∴OD =OH ，∠5=∠6． ···································································· 7分 ∵590AOB DOB ∠=∠+∠=︒, ∴690DOH DOB ∠=∠+∠=︒. ∴在等腰直角三角形△DOH 中， ∵DP =HP ， ∴OP ⊥DP ，12745DOH ∠=∠=︒.∴7ODP∠=∠．∴OP =PD ． ······················································································ 8分3．（1）证明：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，∴60ABC∠=︒, BC =12AB ．∵BD 平分∠ABC ，∴130DBA A ∠=∠=∠=︒.∴DA =DB ．∵DE ⊥AB 于点E ． ∴AE =BE =12AB ．∴BC =BE . ······················································································ 1分 ∴△BCE 是等边三角形. ································································ 2分（2）结论：AD = DG ＋DM ．······························································································································3分 （3）结论：AD = DG －DN ．理由如下：延长BD 至H ，使得DH ＝DN . ···································································4分 由（1）得DA =DB ，30A∠=︒．ADGC BME图2B 图1∵DE ⊥AB 于点E ． ∴2360∠=∠=︒． ∴4560∠=∠=︒．∴△NDH 是等边三角形． ∴NH =ND ，660H∠=∠=︒．∴2H ∠=∠． ∵60BNG ∠=︒, ∴767BNG ∠+∠=∠+∠.即DNG HNB ∠=∠.在△DNG 和△HNB 中，,,2,D N H N D N G H N B H ⎧=⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△DNG ≌△HNB （ASA ）． ∴DG =HB .∵HB =HD ＋DB =ND ＋AD , ∴DG = ND ＋AD .∴AD = DG －ND . ························································································· 6分图3G。

北京市西城区2011-2012学年度第一学期期末试卷八年级数学A卷及答案

北京市西城区2011-2012学年度第一学期期末试卷八年级数学A卷及答案

北京市西城区2011–2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（A卷）2012.1（时间100分钟，满分100分）题号一二三四五总分得分一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）1．下列四个汽车标志图中，不是．．轴对称图形的是（）．A．B．C．D．2．计算33-的结果是（）．A．9-B．27-C．271D．271-3．下列说法中，正确的是（）．A．16的算术平方根是4-B．25的平方根是5C．1的立方根是1±D．27-的立方根是3-4．下列各式中，正确的是（）．A．2121+=++ababB．21422-=--aaaC．22)2(422--=-+aaaaD．abab--=--115．下列关于正比例函数5y x=-的说法中，正确的是（）．A．当1x=时，5y=B．它的图象是一条经过原点的直线C．y随x的增大而增大D．它的图象经过第一、三象限6．如右图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD : ∠DBA =3:1，则∠A为（）．A．18°B．20°C．22.5°D．30°7．如下图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（ba>），将余下部分剪开后拼成一个梯形，根据两个图形阴影面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（）．EDCBANMbbaab baaA ．2222)(b ab a b a +-=- B ．2222)(b ab a b a ++=+ C ．))((22b a b a b a -+=- D ．)(2b a a ab a +=+ 8．下列条件中，不能．．判定两个直角三角形全等的是（ ）． A ．两锐角对应相等 B ．斜边和一条直角边对应相等 C ．两直角边对应相等 D ．一个锐角和斜边对应相等 9．若一次函数y kx b =+不等式0≥+b kx 的解集为（ ）． A ．0≥x B ．1≥x C ．2≥x D ．2≤x 10．在直线2121+=x y 上，且到坐标轴距离为A ．4个 B ．3个 C ．2个 二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．在54，11-，•7.0，π2，38．12．函数1+=x y 中，自变量x 的取值范围是______________．13．如右图，△ABC 为等边三角形，DC ∥AB ，AD ⊥CD 于D ．若△ABC 的周长为12 cm ，则CD =________ cm ．14．点（1-，2）关于x 轴对称的点的坐标为___________________．15．如右图，在△ABC 中，AC = BC ，D 是BC 边上一点，且AB =AD =DC ，则∠C =_________°．16．若将直线)0(≠=k kx y 的图象向下平移1个单位长度后经过点（1，5），则平移后直线的解析式为______________________．17．如右图，在△ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠CBA交AC 于点D ．若AB =a ，CD =b ，则△ADB 的面 积为______________ ．18．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，拼搭第3个图案需18根小木棒，……，依此规律，拼搭第8个图案需__________根小木棒．ABCA D CBC DAB第1个 第2个 第3个 第4个 ……三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题各5分） 19．因式分解：（1）2225a b -； （2）2816ax ax a -+． 解： 解：20．计算：23259-+-．解：21．先化简，再求值：21)21441(22++÷++++x x x x x x ，其中x =3． 解：22．解分式方程：45251=+-++xx x ． 解：四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分） 23．已知：如图，CB =DE ，∠B =∠E ，∠BAE =∠CAD ．求证：∠ACD =∠ADC ．证明：EA BCD……24．已知：如图1，长方形ABCD 中，AB =2，动点P 在长方形的边BC ，CD ，DA 上沿AD C B →→→的方向运动，且点P 与点A ，B 都不重合．图2是此运动过程中，△ABP 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数图象的一部分． 请结合以上信息回答下列问题：（1）长方形ABCD 中，边BC 的长为________；（2）若长方形ABCD 中，M 为CD 边的中点，当点P 运动到与点M 重合时，x =________，y =________；（3）当106<≤x 时，y 与x 之间的函数关系式是___________________； （4）利用第（3）问求得的结论，在图2中将相应的y 与x 的函数图象补充完整． 图125．已知：直线321+-=x y 与x （1）分别求出A ，B （2）过A 点作直线AP 与y 轴交于点P ，且使OP =2OB ， 求△ABP 的面积．解：（1）（2）五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分）26．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°．点D为△ABC 内一点，且DB =DC ，∠DCB =30°，点E 为BD 延长线上一点，且AE =AB ． （1）求∠ADE 的度数；（2）若点M 在DE 上，且DM =DA ，求证：ME =DC ．CMBDAE27．有一个装有进水管和出水管的容器，水管的所有阀门都处于关闭状态．初始时，打开容器的进水管，只进水；到5分钟时，打开容器的出水管，此时既进水又出水； 到15分钟时，关闭容器的进水管，只出水； 到t 分钟时，容器内的水全部排空．已知此容器每分钟的进水量与出水量均为常数，容器内的水量y (单位：升)与时间x (单位：分)之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）此容器的进水管每分钟进水______升；（2）求515x ≤≤时，容器内的水量y 与时间x 的函数关系式； （3）此容器的出水管每分钟出水多少升？t 的值为多少？ 解：（2）28．已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠ADC =60°．问题1：如图1，若∠ACB =90°，AC =m AB ，BD =nDC ， 则m 的值为_________，n 的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB 为钝角，且AB >AC ，BD >DC ． （1）求证：AC AB DC BD -<-；（2）若点E 在AD 上，且DE =DB ，延长CE 交AB 于点F ，求∠BFC 的度数． 证明：（1）图1ABDC图2A BCDEF北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（A 卷）参考答案及评分标准一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．11-，π2；（答对1个给1分） 12．x ≥1-； 13．2； 14．（1-，2-）； 15．36； 16．16-=x y ； 17．ab 21； 18．88．三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分） 19．（1）解：2225b a -=)5)(5(b a b a -+． -----------------------------------------------------------------2分（2）解：a ax ax 1682+-=)168(2+-x x a ---------------------------------------------------------------------4分 =2)4(-x a ． ---------------------------------------------------------------------------6分20．解：23259-+-=23253-+- ----------------------------------------------------------------------1分 =23253-+- -----------------------------------------------------------------------2分 =266-． --------------------------------------------------------------------------------3分21．解：21)21441(22++÷++++x x x x x x =21])2(1)2(1[2++÷+++x x x x x=21)2(222++÷++x x x x x ----------------------------------------------------------------------2分=22(1)2(2)1x x x x x ++⋅++ =222x x+． ---------------------------------------------------------------------------------4分 当3=x 时，原式=22323+⨯=152． --------------------------------------------------5分22．解：方程两边同乘(5)x +，得 20421+=-+x x ． --------------------------------2分 解得 7-=x ． ---------------------------------------------------------------------------4分 检验：7-=x 时50x +≠，7-=x 是原分式方程的解． ---------------------5分四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分）23．证明：如图1．∵∠BAE =∠CAD ， ∴∠BAE -∠CAE =∠CAD -∠CAE ，即∠BAC =∠EAD ． -------------------------------------1分在△ABC 和△AED 中， ∠BAC =∠EAD ，∠B =∠E ，BC =ED ，∴△ABC ≌△AED ． ------------------------------------------------------------------4分 ∴AC =AD ． -----------------------------------------------------------------------------5分 ∴∠ACD =∠ADC ． -------------------------------------------------------------------6分24．解：（1）4； -------------------------------------------1分 （2）5，4；（每空1分） ---------------------3分 （3）10+-=x y ； -----------------------------4分 （4）如图2． --------------------------------------5分25．解：（1）令0=y ，则6=x ；∴点A 的坐标为A （6，0）； 令0=x ，则3=y ；∴点B 的坐标为B （0，3）． （2）如图3．∵OB =3，且OP =2OB ， ∴OP =6．E A C D 图1∵点P 在y 轴上，∴点P 的坐标为（0，6）或（0，6-）．（两个坐标各1分） ------4分 若点P 的坐标为（0，6），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)36(21⨯-⨯=9； --------------------------------5分 若点P 的坐标为（0，6-），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)63(21⨯+⨯=27． -------------------------------6分∴△ABP 的面积为9或27．五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分） 26．解：（1）如图4．∵△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°，∴∠ABC =∠ACB =2)30180(÷-οο=75°．∵DB =DC ，∠DCB =30°， ∴∠DBC =∠DCB =30°． ∴∠1=∠ABC －∠DBC =75°－30°=45°．∵AB =AC ，DB =DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ． ∴AD 平分∠BAC ．∴∠2=21∠BAC =ο3021⨯=15°． -----------------------------------------------2分 ∴∠ADE =∠1＋∠2 =45°＋15°=60°． -----------------------------------------3分证明：（2）证法一：取BE 的中点N ，连接AN ．（如图5）∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． -----------------4分∵△ABE 中，AB =AE ，N 为BE 的中点，∴BN =NE ，且AN ⊥BE ． ∴DN =NM ． -----------------------------------5分∴BN －DN =NE －NM ， 即 BD =ME ．∵DB =DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分证法二：如图6．∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． ------------------4∴∠3=60°． ∵AE =AB ， ∴∠E =∠1=45°．∴∠4=∠3－∠E =60°－45°=15°． ∴∠2=∠4． 在△ABD 和△AEM 中，∠1 =∠E ， AB =AE ，B BB∠2 =∠4，∴△ABD ≌△AEM ． ------------------------------------------------------------5分 ∴BD =EM ． ∵DB = DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分 阅卷说明：其他正确解法相应给分．27．解：（1） 8 ； ----------------------------------------------------------------------------------1分（2）设当5≤x ≤15时，函数解析式为(0)y kx b k =+≠．∵点（5，40），（15，60）在此线段上， 则 4056015.k b k b =+⎧⎨=+⎩，-----------------------------------------------------------------2分解得 230.k b =⎧⎨=⎩，∴230y x =+． --------------------------------------------------------------------3分 ∴当5≤x ≤15时，230y x =+．（3）由（1）知容器的进水管每分钟进水8升，则它的出水管每分钟出水量为： 8(6040)(155)6--÷-=（升）． ------------------------------------------4分 15分钟后排空容器内的水所需时间为：60610÷=（分） -------------5分则 151025t =+=（分）． -----------------------------------------------------6分 答：此容器的出水管每分钟出水6升，t 的值为25．28．解：问题1：21，2 ；（每空1分） -------------------------------------------------------2分 问题2：（1）在AB 上截取AG ，使AG =AC ，连接GD ．（如图7） ∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2． 在△AGD 和△ACD 中， AG =AC ，∠1 =∠2， AD =AD ，∴△AGD ≌△ACD ．∴DG =DC ． -------------------------------------------------------------------------3分 ∵△BGD 中，BD －DG <BG ， ∴BD －DC <BG ．∵BG = AB －AG = AB －AC ，∴BD －DC <AB －AC ． ------------------------------------------------------------4分图7 7654321GF EDC B A（2）∵由（1）知△AGD≌△ACD，∴GD=CD，∠4 =∠3=60°．∴∠5 =180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°．∴∠5 =∠3．在△BGD和△ECD中，DB =DE，∠5 =∠3，DG=DC，∴△BGD≌△ECD．--------------------------------------------------------------5分∴∠B =∠6．∵△BFC中，∠BFC=180°－∠B－∠7 =180°－∠6－∠7 =∠3，∴∠BFC=60°．---------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．。

北京市西城区第一学期期末试卷八年级数学A卷及答案

北京市西城区第一学期期末试卷八年级数学A卷及答案

北京市西城区2011–2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（A 卷） 2012.1 （时间100分钟，满分100分）一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）1．下列四个汽车标志图中，不是．．轴对称图形的是（ ）． A ． B ． C ． D ．2．计算33-的结果是（ ）．A ．9-B ．27-C ．271 D ．271- 3．下列说法中，正确的是（ ）．A ．16的算术平方根是4-B ．25的平方根是5C ．1的立方根是1±D ．27-的立方根是3- 4．下列各式中，正确的是（ ）．A ．2121+=++a b a b B ．21422-=--a a a C ． 22)2(422--=-+a a a a D ．a b a b --=--11 5．下列关于正比例函数5y x =-的说法中，正确的是（ ）．A ．当1x =时，5y =B ．它的图象是一条经过原点的直线C ．y 随x 的增大而增大D ．它的图象经过第一、三象限 6．如右图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ． 若∠CBD : ∠DBA =3:1， 则∠A 为（ ）．A ．18°B ．20°C ．22.5°D ．30°7．如下图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（b a >），将余下部分剪开后拼成A ．2222)(b ab a b a +-=-B ．2222)(b ab a b a ++=+E D CBANMC ．))((22b a b a b a -+=-D ．)(2b a a ab a +=+ 8．下列条件中，不能．．判定两个直角三角形全等的是（ ）． A ．两锐角对应相等 B ．斜边和一条直角边对应相等 C ．两直角边对应相等 D ．一个锐角和斜边对应相等 9．若一次函数y kx b =+不等式0≥+b kx 的解集为（ ）． A ．0≥x B ．1≥x C ．2≥x D ．2≤x 10．在直线2121+=x y A ．4个 B ．3个 C ．2二、细心填一填（本题共16分，每小题211．在54，11-，∙7.0，π2，38．12．函数1+=x y 中，自变量x 的取值范围是______________． 13．如右图，△ABC 为等边三角形，DC ∥AB ，AD ⊥CD 于D ．若△ABC 的周长为12 cm ，则CD =________ cm ．14．点（1-，2）关于x 轴对称的点的坐标为___________________． 15．如右图，在△ABC 中，AC = BC ，D 是BC 边上一点， 且AB=AD=DC ，则∠C=_________°．16．若将直线)0(≠=k kx y 的图象向下平移1个单位长度后经过点（1，5），则平移后直线的解析式为17．如右图，在△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠CBA交AC 于点D ．若AB=a ，CD=b ，则△ADB 的面 积为______________ ．18．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭 第1个 第2个 第3个 第4个 ……三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题各5分） 19．因式分解：（1）2225a b -； （2）2816ax ax a -+． 解： 解：AB C AD C BC DAB20．计算：23259-+-．解：21．先化简，再求值：21)21441(22++÷++++x x x x x x ，其中x =3． 解： 22．解分式方程：45251=+-++xx x ． 解：四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分） 23．已知：如图，CB=DE ，∠B=∠E ，∠BAE=∠CAD ．求证：∠ACD=∠ADC ． 证明：24．已知：如图1，长方形ABCD 中，AB=2，动点P 在长方形的边BC ，CD ，DA 上沿A D C B →→→的请结合以上信息回答下列问题：（1）长方形ABCD 中，边BC 的长为________；（2）若长方形ABCD 中，M 为CD 边的中点，当点P 运动到与点M 重合时，x =________，y =______（3）当106<≤x 时，y 与x 之间的函数关系式是___________________； （425321+-x 与x （1，B （2）过A 点作直线AP 与y 求△ABP 的面积．解：（1）（2）五、仔细想一想（本题共1826．已知：如图，在△ABC 中，D 为△ABC 内一点，且DB=DC 为BD 延长线上一点，且EABCD E（1）求∠ADE 的度数；（2）若点M 在DE 上，且DM=DA ，求证：ME=DC ．27．有一个装有进水管和出水管的容器，水管的所有阀门都处于关闭状态．初始时，打开容器的进水管，只进水；到5分钟时，打开容器的出水管，此时既进水又出水； 到15分钟时，关闭容器的进水管，只出水； 到t 分钟时，容器内的水全部排空．已知此容器每分钟的进水量与出水量均为常数，容器内的水量y (单位：升)与时间x (单位：（1）此容器的进水管每分钟进水______升；（2）求515x ≤≤时，容器内的水量y 与时间x 的函数关系式； （3）此容器的出水管每分钟出水多少升？t 的值为多少？ 解：（2）28．已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC问题1：如图1，若∠ACB=90°，AC=m 则m 的值为_________，n 的值为问题2：如图2，若∠ACB 为钝角，且（1）求证：AC AB DC BD -<-；（2）若点E 在AD 上，且DE=DB ，延长 11．11-，π2；（答对1个给1分） 12．x ≥1-； 13．2； 14．（1-，2-）；15．36； 16．16-=x y ； 17．ab 21； 18．88．三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分） 19．（1）解：2225b a -=)5)(5(b a b a -+． -----------------------------------------------------------（2）解：a ax ax 1682+-=)168(2+-x x a --------------------------------------------------------------=2)4(-x a ． -----------------------------------------------------------------20．解：23259-+-=23253-+- ---------------------------------------------------------------=23253-+- ---------------------------------------------------------------=266-． --------------------------------------------------------------------21．解：21)21441(22++÷++++x x x x x x =21])2(1)2(1[2++÷+++x x x x x =21)2(222++÷++x x x x x ---------------------------------------------------------------=22(1)2(2)1x x x x x ++⋅++=222x x+． ---------------------------------------------------------------------当3=x 时，原式=22323+⨯=152． -------------------------------------------------22．解：方程两边同乘(5)x +，得 20421+=-+x x ． --------------------------------2分解得 7-=x ． ----------------------------------------------------------------- 检验：7-=x 时50x +≠，7-=x 是原分式方程的解． ---------------------5分 四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分）23．证明：如图1．∵∠BAE=∠CAD ，∴∠BAE -∠CAE =∠CAD -∠CAE ，EACD图1即∠BAC=∠EAD ． -------------------------------------1分 在△ABC 和△AED 中， ∠BAC=∠EAD ， ∠B=∠E ， BC=ED ，∴△ABC ≌△AED ． -----------------------------------------------------------∴AC=AD ． ------------------------------------------------------------------∴∠ACD=∠ADC ． ------------------------------------------------------------24．解：（1）4；（2）5，4；（每空1分）（3）10+-=x y ； （4）如图2．25．解：（1）令0=y ，则6=x ；∴点A 的坐标为A （6，0）；分令0=x ，则3=y ；∴点B 的坐标为B （0，3）．分（2）如图3．∵OB=3，且OP=2OB ， ∴OP=6．∵点P 在y 轴上，∴点P 的坐标为（0，6）或（0，6-）．（两个坐标各1分） ------4分 若点P 的坐标为（0，6），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)36(21⨯-⨯=9； --------------------------------5分 若点P 的坐标为（0，6-），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)63(21⨯+⨯=27． -------------------------------6分 ∴△ABP 的面积为9或27．五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分） 26．解：（1）如图4．∵△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=30°， ∴∠ABC=∠ACB=2)30180(÷- =75°． ∵DB=DC ，∠DCB=30°， ∴∠DBC=∠DCB=30°．∴∠1=∠ABC －∠DBC=75°－30°=45°． -------------------------------------∵AB=AC ，DB=DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ． ∴AD 平分∠BAC ． ∴∠2=21∠BAC= 3021⨯=15°． ----------------------------------------------∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°． --------------------------------------证明：（2）证法一：取BE 的中点N ，连接AN ．（如图5）∵△ADM 中，DM=DA ，∠ADE=60°，∴△ADM 为等边三角形．∵△ABE 中，AB=AE ，N 为BE 的中点， ∴BN=NE ，且AN ⊥BE ．∴DN=NM ．∴BN －DN =NE －NM ， 即 BD=ME ． ∵DB=DC ，∴ME = DC ． ------------------------------------------------------------证法二：如图6．∵△ADM 中，DM=DA ，∠ADE =60°，∴△ADM 为等边三角形．∴∠3=60°． ∵AE=AB ， ∴∠E=∠1=45°．∴∠4=∠3－∠E=60°－45°=15°． ∴∠2=∠4． 在△ABD 和△AEM 中，∠1 =∠E ， AB=AE ， ∠2 =∠4，∴△ABD ≌△AEM ． -------------------------------------------------------∴BD =EM ． ∵DB = DC ，∴ME = DC ． ------------------------------------------------------------阅卷说明：其他正确解法相应给分．27．解：（1） 8 ； --------------------------------------------------------------------（2）设当5≤x ≤15时，函数解析式为(0)y kx b k =+≠．∵点（5，40），（15，60）在此线段上，则 4056015.k b k b =+⎧⎨=+⎩，-----------------------------------------------------------解得 230.k b =⎧⎨=⎩，∴230y x =+． -------------------------------------------------------------∴当5≤x ≤15时，230y x =+．（3）由（1）知容器的进水管每分钟进水8升，则它的出水管每分钟出水量为：8(6040)(155)6--÷-=（升）． ------------------------------------------4分 15分钟后排空容器内的水所需时间为：60610÷=（分） -------------5分则 151025t =+=（分）． ---------------------------------------------------答：此容器的出水管每分钟出水6升，t 的值为25．28．解：问题1：21，2 ；（每空1分） --------------------------------------------------- 问题2：（1）在AB 上截取AG ，使AG=AC ，连接GD ．（如图7）∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2． 在△AGD 和△ACD 中，图77654321GFEDCBAAG =AC，∠1 =∠2，AD=AD，∴△AGD≌△ACD．∴DG=DC． ----------------------------------------------------------------∵△BGD中，BD－DG<BG，∴BD－DC<BG．∵BG= AB－AG= AB－AC，∴BD－DC<AB－AC． --------------------------------------------------------（2）∵由（1）知△AGD≌△ACD，∴GD=CD，∠4 =∠3=60°．∴∠5 =180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°．∴∠5 =∠3．在△BGD和△ECD中，DB =DE，∠5 =∠3，DG=DC，∴△BGD≌△ECD． ---------------------------------------------------------∴∠B =∠6．∵△BFC中，∠BFC=180°－∠B－∠7 =180°－∠6－∠7 =∠3，∴∠BFC=60°． -----------------------------------------------------------阅卷说明：其他正确解法相应给分．。

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北京市西城区2012–2013学年度第一学期期末试卷八年级数学2013.1 一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．计算23-的结果是（）．A．－9 B．－9 C．19D．19-2．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）．A．B．C．D．3．点P（－3，5）关于y轴的对称点的坐标是（）．A．（3，5）B．（3，－5）C．（5，－3）D．（－3，－5）4．将正比例函数y=3x的图象向下平移4个单位长度后，所得函数图象的解析式为（）．A．34y x=+B．34y x=-C．3(4)y x=+D．3(4)y x=-5．下列各式中，正确的是（）．A．3355x xy y--=-B．a b a bc c+-+-=C．a b a bc c---=-D．a ab a a b-=--6．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）．A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处7．估计14的值在（）．A．1与2之间B．2与3之间C．3与4之间D．4与5之间8．一次函数y mx m=+（m为常数且m≠0），若y随x增大而增大，则它的图象经（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限C9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连结PC，若△ABC的面积为22cm，则△BPC的面积为（）．A．20.5cm B．21cmC．21.5cm D．22cm10．小华、小明两同学在同一条长为1100米的直路上进行跑步比赛，小华、小明跑步的平均速度分别为3米/秒和5米/秒，小明从起点出发，小华在小明前面200米处出发，两人同方向同时出发，当其中一人到达终点时，比赛停止．设小华与小明之间的距离y（单位：米），他们跑步的时间为x（单位：秒），则表示y与x之间的函数关系的图象是（）．A．B．C．D．二、填空题（本题共24分，第13题4分，第18题2分，其余各题每小题3分）11．在函数12yx=-中，自变量x的取值范围是__________．12．在0.14，117，，π这五个实数中，无理数的是．13．一次函数21y x=-的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连结BD．若AD＝12cm，则BC的长为cm．15．若29x=，38y=-，则x+y＝．16．某校组织学生到距离学校15千米的西山公园秋游，先遣车队与学生车队同时出发，先遣车队比学生车队提前半小时到达公园以便提前做好准备工作．已知先遣车队的速是学生队车速度的1.2倍，若设学生车队的速度为x千米/时，则列出的方程是．17．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，且∠BAD=30°，若AD=DE，∠EDC=33°，则∠DAE 的度数为°．C18．如果满足条件“∠ABC =30°，AC =1， BC =k （k ＞0）”的△ABC 是唯一的，那么k 的取值范围是 ．三、解答题（本题共28分，第19、20题每小题5分，第21～23题每小题6分）19．计算：1)++解：20．先化简，再求值：2112()3369m m m m m +÷-+-+，其中9m =． 解：21．解方程：3111x x x -=-+． 解：22．已知：如图， A 、B 、C 、D 四点在同一直线上， AB =CD ，AE ∥BF 且AE =BF ．C B D23．如图，直线y kx b=+经过点A（0，5），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线24y x=-与直线AB相交于点C,求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式2x－4≥kx+b的解集．解：（1）（2）（3）关于x的不等式2x－4≥kx+b的解集是．四、解答题（本题共12分，第24题5分，第25题7分）24．阅读下列材料：木工张师傅在加工制作家具的时候，用下面的方法在木板上画直角：如图1，他首先在需要加工的位置画一条线段AB，接着分别以点A、点B为圆心，以大于12AB 的适当长为半径画弧，两弧相交于点C，再以C为圆心，以同样长为半径画弧交AC的延长线于点D（点D需落在木板上），连接DB．则∠ABD就是直角．木工张师傅把上面的这种作直角的方法叫做“三弧法．ACBD图1 图2EF解决下列问题：（1）利用图1就∠ABD是直角作出合理解释(要求：先写出已知、求证，再进行证明)；（2）图2表示的一块残缺的圆形木板，请你用“三弧法”，在木板上．．．画出一个以EF为一条直角边的直角三角形EFG（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．解：（1）25．已知：一次函数132y x=+的图象与正比例函数y kx=的图象相交于点A（a，1）．（1）求a的值及正比例函数y kx=的解析式；（2）点P在坐标轴上（不与点O重合），若P A=OA，直接写出P点的坐标；（3）直线x m=与一次函数的图象交于点B，与正比例函数图象交于点C，若△ABC的面积记为S，求S关于m的函数关系式（写出自变量的取值范围）．解：（1）（2）（3）五、解答题（本题6分）26．在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线．（1）如图1，过C 作CE ∥AD 交BA 延长线于点E ，若F 为CE 的中点，连结AF ，求证：AF ⊥AD ；（2）如图2，M 为BC 的中点，过M 作MN ∥AD 交AC 于点N ，若AB =4， AC =7，求NC 的长．（1） 证明：（2）解：图1图2北京市西城区（北区）2012–2013学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题2013.1一、填空题（本题共6分）1．在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．已知一组正方形的四个顶点恰好落在两坐标轴上，请你观察每个正方形四条边上的整点的个数的变化规律．回答下列问题：（1）经过x轴上点（5，0）的正方形的四条边上的整点个数是；（2）经过x轴上点（n，0）（n为正整数）的正方形的四条边上的整点个数记为m，则m与n之间的函数关系是．二、解答题（本题共14分，第2题8分，第3题6分）2．在平面直角坐标系xOy中，直线6=+与x轴交于点A，与y轴交于点B．y x（1）求∠BAO的度数；（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点Q在AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．求证：PF＝PQ ；（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．图1 图2（1）解：（2）证明：（3）3．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线， DE ⊥AB 于点E ．（1）如图1，连接EC ，求证：△EBC 是等边三角形；（2）点M 是线段CD 上的一点（不与点C ，D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作∠BMG =60°，MG 交DE 延长线于点G ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD ，DG 与AD 之间的数量关系；（3）如图3,点N 是线段AD 上的一点，以BN 为一边，在BN 的下方作∠BNG =60°，NG 交DE 延长线于点G ．试探究ND ，DG 与AD 数量之间的关系，并说明理由．（1）证明：（2）结论： ；（3）证明 ：图1 图2 图3北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第一学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准 2013.1三、解答题（本题共28分，第19，20题，每小题5分，第21～23题，每小题6分）19．解： 1)++＝24 ·······························································3分＝2． ······································································5分20．解： 2112()3369m m m m m +÷-+-+ ＝22(3)(3)(3)2m m m m m -⋅-+ ·························································3分＝33m m -+． ········································································4分 当9m =时，原式＝931932-=+． ···············································5分 21．解：方程两边同乘(1)(1)x x -+，得(1)3(1)(1)(1)x x x x x +--=-+． ················································2分 化简，得331x x -+=-． ························································4分解得 2x =． ······································································5分检验：当2x =时，(1)(1)0x x -+≠，∴2x =是原分式方程的解． ··················································6分在△AEC 和△BFD 中，,,,AE BF A FBD AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ··········································· 5分 ∴EC =FD ． ······························································· 6分23．解：（1）∵直线y kx b =-+经过点A （5，0）、B （1，4），∴50,4.k b k b +=+=⎧⎨⎩ ······························································· 1分解方程得 1,5.k b =-=⎧⎨⎩ ····················································· 2分∴直线AB 的解析式为 5.y x =-+ ···································· 3分 （2）∵直线24y x =-与直线AB 相交于点C ,∴解方程组5,2 4.y x y x =-+=-⎧⎨⎩得3,2.x y ==⎧⎨⎩ ∴点C 的坐标为（3，2）． ··········································· 5分 （3）x ≥3． ··································································· 6分四、解答题（本题共12分，第24题5分，第25题7分） 24．（1）已知：在△ABD 中， AC =BC =CD ．求证：90ABD ∠=︒． 证明：∵AC=BC ， ∴12∠=∠． ∵BC=CD ， ∴34∠=∠． ············· 1分 在△ABD 中， 1234180∠+∠+∠+∠=︒．∴1490∠+∠=︒． 即90ABD ∠=︒． ··························· 3分（2）如图，△EFG 为所求作的三角形 ．······························································································ 5分25．解：（1）∵一次函数132y x =+的图象与正比例函数y kx =的图象相交于点A （a ，1），∴1312a +=. 解得4a =-． ··························································· 1分 ∴A （－4 ，1）． ∴41k -=． 解得 14k =-．∴正比例函数的解析式为14y x =-． ····························· 2分 （2）P 1（－8 ，0）或P 2（0 ，2）； ··································· 4分 阅卷说明：每个结果1分 （3）依题意，得点B 的坐标为（m ，132m +），点C 的坐标为（m ，14m -）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． ···················· 5分以下分两种情况： （ⅰ）当m <－4时，BC ＝11(3)42m m --+＝334m --．AH ＝4m --． 则12ABCS BC AH ∆=⋅=13(3)(4)24m m ---- =23368m m ++． （ⅱ）当m >－4时，BC ＝11(3)24m m ++AH ＝4m +．则12ABCS BC AH ∆=⋅=13(3)(24m m +=23368m m ++综上所述，ABC S ∆=238m +五、解答题（本题6分）26．证明：∵AD 为△ABC 的角平分线，∴12∠=∠．（1）∵CE ∥AD ，∴1E ∠=∠，23∠=∠.∴3E ∠=∠．∴AC =AE ． ··················· 1分∵F 为EC 的中点， ∴AF ⊥BC ．∴90AFE FAD ∠=∠=︒．∴AF ⊥AD ．2分（2）延长BA 与MN 延长线于点E ，过B 作BF ∥AC 交NM 延长线于点F . 3分∴3C ∠=∠，4F ∠=∠．∵M 为BC 的中点 ∴BM ＝CM ．在△BFM 和△CNM 中，4,3,,F C BM CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFM ≌△CNM （AAS ）．·············································4分 ∴BF ＝CN ． ∵MN ∥AD ，∴1E ∠=∠，245∠=∠=∠. ∴5E F ∠=∠=∠．∴AE ＝AN ，BE ＝BF ．设CN =x ，则BF =x ， AE ＝AN ＝AC －CN ＝7－x ，BE ＝AB ＋AE ＝4＋7－x ． ∴4＋7－x ＝x ． 解得 x ＝5.5． ∴CN ＝5.5． ·································································6分北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题参考答案及评分标准 2013.1一、填空题（本题6分）1．（1）20； ················································································ 3分 （2）4m n =． ·········································································· 3分 二、解答题（本题共14分，第2题8分，第3题6分） 2．解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．∴A （－6，0），B （0，6）．∴OA =OB ． ································································ 1分 ∴BAO ABO ∠=∠在△AOB 中，90AOB ∠=︒． ∴45BAO ABO ∠=∠=︒． ················································ 2分 （2）在等腰直角三角形APD 中，90PDA ∠=︒，DA =DP ，145APD ∠=∠=︒．A MDCBNE F35 412∴1BAO ∠=∠．又∵PG ⊥x 轴于G ， ∴PG = PD ． ····························································· 3分 ∴90AGP PGF D ∠=∠=∠=︒． ∴445BAO ∠=∠=︒．∴490APD DPG ∠+∠=∠=︒． 即390GPQ ∠+∠=︒． 又∵PQ ⊥PF ， ∴290GPQ ∠+∠=︒． ∴23∠=∠． ··········· 4分 在△PGF 和△PDQ 中，,,23,PGF D PG PD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△PGF ≌△PDQ (ASA)． ∴PF =PQ ． ································································5分 （3）答：OP ⊥DP ，OP ＝DP ．证明：延长DP 至H ，使得PH =PD ． ∵P 为BE 的中点， ∴PB =PE ． 在△PBH 和△PED 中，,12,,PB PE PH PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PBH ≌△PED （SAS ）． ∴BH =ED ． ················· 6分∴34∠=∠．∴BH ∥ED ．在等腰直角三角形ADE 中， AD =ED ，45DAE DEA ∠=∠=︒．∴AD =BH ，90DAE BAO DAO ∠+∠=∠=︒. ∴DE ∥x 轴，BH ∥x 轴， BH ⊥y 轴． ∴90DAO HBO ∠=∠=︒． 由（1）可得 OA =OB ． 在△DAO 和△HBO 中，,,,AD BH DAO HBO OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAO ≌△HBO （SAS ）． ∴OD =OH ，∠5=∠6． ············································ 7分 ∵590AOB DOB ∠=∠+∠=︒, ∴690DOH DOB ∠=∠+∠=︒.∴在等腰直角三角形△DOH 中，x图1图2∴OP ⊥DP ，12745DOH ∠=∠=︒.∴7ODP ∠=∠． ∴OP =PD ． ································································· 8分 3．（1）证明：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =∴60ABC ∠=︒, BC =12AB ． ∵BD 平分∠ABC ，∴130DBA A ∠=∠=∠=︒.∴DA =DB．∵DE ⊥AB 于点E ． ∴AE =BE =12AB ．∴BC =BE . ···························································· 1分 ∴△BCE 是等边三角形. ········································· 2分（2）结论：AD = DG ＋DM ．······························································································ 3分 （3）结论：AD = DG －DN ．理由如下：延长BD 至H ，使得DH ＝DN . ··········································· 4分 由（1）得DA =DB ，30A ∠=︒． ∵DE ⊥AB 于点E ． ∴2360∠=∠=︒．∴4560∠=∠=︒． ∴△NDH 是等边三角形． ∴NH =ND ，660H ∠=∠=︒． ∴2H ∠=∠．∵60BNG ∠=︒, ∴767BNG ∠+∠=∠+∠. 即DNG HNB ∠=∠.在△DNG 和△HNB 中，,,2,DN HN DNG HNB H ⎧=⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△DNG ≌△HNB （ASA ）． ∴DG =HB .∵HB =HD ＋DB =ND ＋AD , ∴DG = ND ＋AD . ∴AD = DG －ND . ······························································· 6分 A D GC B ME图2A图1图3G。

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