分形几何--现代数学选讲
分形几何学
整理课件
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分形几何图形
自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线 等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如Koch曲线、 weierstrass函数等。它们共同的特点是①处处连续但处处不可 微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节在里面；②具有自 相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似 的，不可区分的；③刻划它们的维数不是整数，而是分数。这是 因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用1维的直线来测量它， 其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维 数又不能等于2，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维 数必定在1和2之间。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把 研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的 世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图 形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则 提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法。
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普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维 的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是现实生活中象弯弯曲曲的 海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几何学的整数维描述或者说测量了。要描 述这一大类复杂无规的几何对象，就引入了分形理论，把维数视为分数维数。这 是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
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一、什么是分形几何学
通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相 似图形和结构的几何学。
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层 次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方 面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁 铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去， 每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次 结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
分形几何概述
三、分形几何的研究方法
1、以分数维数来描述分形；
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
在Euchlid几何学中我们知道维数的概念
点---0维；
线---1维；
面---2维；
分形几何与传统几何相比有什么特点：
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
例如：Mandelbrot集，简称M集，是人类有史以来最奇异最瑰丽的几何图形. 它由一个主要的心形图与一系列大小不一的圆盘芽苞突起连在一起构成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃烧的火焰，那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆棘，上面挂着鳞茎状下垂的微小颗粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累硕果．它的每一个细部都可以演绎出美丽的梦幻般仙境似的图案，因为只要把它的细部放大，展现在眼前的景象会更令人赏心悦目．而这种放大可以无限地进行下去，无论放大到哪一个层次，都会显示同样复杂的局部，这些局部与整体有某种相似的地方，但又不完全相同，仿佛里面酝藏着无穷的创造力，使你感到这座具有无穷层次结构的雄伟建筑的每一个角落都存在无限嵌套的迷宫和回廊，催生起你无穷的探究欲望.。
6、可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡、书签等等。
7、装点科技馆、少年宫、旅游景点等地点，美化公众环境。
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我们来看曼德勃罗的分析：
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何分形几何是一门源远流长的数学领域，在这门领域中，数学家们探索和研究的是自然界中复杂形态的几何特征。
分形几何既涵盖了传统几何学的内容，又涉及了现代数学中的许多新理论和方法，因此被誉为几何中的艺术家。
分形几何的起源可以追溯至20世纪初期，由法国数学家Julia和Mandelbrot提出，并在后来的研究中得到了进一步的发展。
分形几何研究的对象包括了自然界中的各种形态，例如云朵、山脉、树枝、海岸线等。
分形几何也被广泛应用于物理学、生物学、经济学等各个领域，成为了一门跨学科的研究领域。
分形几何中的艺术家们通过各种数学方法和工具，对自然界中的复杂形态进行了深入解析，揭示了其内在的几何规律和美学特征。
他们不仅仅是数学家和科学家，更是一群具有创造力和想象力的艺术家，通过数学的眼睛去发现和欣赏自然界的美。
分形几何中的艺术家们利用数学方法对复杂形态进行了建模和描述。
在分形几何的框架下，他们提出了许多数学模型，用以描述和模拟自然界中的各种形态。
这些模型不仅具有很高的几何复杂度，而且能够很好地反映自然界中的形态特征。
通过这些模型，人们可以更好地理解和解释自然界中的复杂形态，同时也可以为工程技术和艺术设计提供新的思路和方法。
分形几何中的艺术家们通过数学工具对自然界中的形态进行了艺术化的表达。
他们利用计算机技术和数学软件，将分形几何模型转化成各种艺术形式，如绘画、雕塑、建筑等。
这些艺术作品既展现了数学的美学特征，又富有自然界的奇妙和多样性。
通过这些作品，人们可以以崭新的视角去欣赏和理解自然界的美，从而深化对自然的敬畏和热爱。
分形几何中的艺术家们通过数学的眼睛去发现和创造自然界的美，展现了数学与艺术的奇妙结合。
他们不仅为我们揭示了自然界中的丰富和多样的形态，还为我们提供了一种全新的思维方式和艺术表达形式。
通过分形几何的艺术，人们可以更加深入地理解和欣赏自然界的美，也可以更好地认识和理解数学的魅力。
分形几何中的艺术家们不仅在几何学领域有着重要的贡献，更在艺术和文化领域有着深远的影响。
分形几何的数学基础
课程名称（中文）：分形几何的数学基础课程名称（英文）：Mathematical foundation of Fractal geometry一）课程目的和任务：分形几何的概念是由B.Mandelbrot 1975年首先提出的，数十年来它已迅速发展成为一门新兴的数学分支，它的应用几乎涉及到自然科学的各个领域。
本课程为分形几何研究方向研究生的专业必修课程。
主要内容包括：抽象空间，拓扑空间及度量空间中的测度理论基础、分形的（Hausdorff，packing及box－counting）维数理论及其计算技巧、分形的局部结构、分形的射影及分形的乘积等。
其目的是使学生基本理解并掌握分形几何学基本概貌和基本研究方法及技巧，从而使他们能够阅读并理解本专业的文献资料。
二）预备知识：测度论，概率论三）教材及参考书目：教材：分形几何――数学基础及其应用肯尼思.法尔科内著东北大学出版社参考书目：1）Rogers C.A. Hausdorff measures, Cambridge University Press, Cambridge, 1970.2）文志英，分形几何的数学基础，上海科技教育出版社，上海，2000.3）周作领，瞿成勤，朱智伟，自相似集的结构---Hausdorff测度与上凸密度（第二版），科学出版社，2010。
四）讲授大纲（中英文）第一章数学基础1）集合论基础2）函数和极限3）测度和质量分布4）有关概率论的注记第二章豪斯道夫测度和维数1）豪斯道夫测度2）豪斯道夫维数3）豪斯道夫维数的计算――简单的例子4）豪斯道夫维数的等价定义5）维数的更精细定义第三章维数的其它定义1）计盒维数2）计盒维数的性质与问题3）修改的计盒维数4）填充测度与维数5）维数的一些其它定义第四章计算维数的技巧1）基本方法2）有限测度子集3）位势理论方法4）傅立叶变换法第五章分形的局部结构1）密度2）1－集的结构3）s－集的切线第六章分形的射影1）任意集的射影2）整数维s－集的射影3）任意整数维集的射影第七章分形的乘积1）乘积公式Chapter 1 Mathematical background1) Basic set theory2) Functions and limits3) Measure and mass distribution4) Notes on probability theoryChapter 2 Hausdorff measure and dimension1) Hausdorff measure2) Hausdorff dimension3) Calculation of Hausdorff dimension----simple examples4) Equivalent definitions of Hausdorff dimension5) Finer definitions of dimensionChapter 3 Alternative definitions of dimension1) Box-counting dimensions2) Properties and problems of box-counting dimension3) Modified box-counting dimension4) Packing measures and dimensions5) Some other definitions of dimensionChapter 4 Techniques for calculating dimensions1) Basic methods2) Subsets of finite measure3) Potential theoretic methods4) Fourier transform methodChapter 5 Local structure of fractals1) Densities2) Structure of 1-sets3) Tangents to s-setsChapter 6 Projections of fractals1) Projections of arbitrary sets2) Projections of s-sets of integral dimension3) Projections of arbitrary sets of integral dimension Chapter 7 Products of fractals1) Product formula五）教学总学时：4学时/周×19周= 76学时。
数学的分形几何
数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。
分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。
本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。
一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。
简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。
与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。
分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。
1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。
传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。
分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。
2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。
其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。
此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。
3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。
分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。
分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。
二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。
通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。
2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。
金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何1. 引言1.1 什么是分形几何分形几何是一种数学理论，包括了自相似性、不规则性和复杂性等特点，它能够描述自然界和人造物体中所存在的复杂形态。
分形几何可以将复杂的形状分解为简单的结构单元，从而更好地解释和描述复杂系统的特征。
分形几何的研究对象可以是自然界中的云雾、山脉、植物等，也可以是人类创造的艺术作品、城市景观等。
通过分形几何的研究，人们能够更深入地理解形态的形成规律和演化过程，为科学研究和艺术创作提供了新的视角。
分形几何的特点在于其不规则性和自相似性。
不规则性指的是形状的复杂度和不规则程度，而自相似性则是指在不同尺度上体现相似性。
分形几何的特点使得人们可以用简单的数学模型来描述复杂的自然现象，从而更好地理解事物的本质及其演变规律。
分形几何是一种独特的数学理论，它不仅在科学领域有着广泛的应用，还在艺术领域中扮演着重要的角色。
通过分形几何的研究和应用，人们能够更好地理解世界的复杂性和多样性，从而为人类的进步和发展提供新的思路和方向。
1.2 分形几何的应用分形几何在应用领域有着广泛的用途，其独特的性质和特点使其在科学、工程、医学等领域发挥着重要作用。
分形几何在图像压缩和图像处理中有着重要的应用。
通过分形图像压缩技术，可以大大减少图像传输和存储时所需的数据量，从而提高图像的传输速度和保存效率。
分形图像处理技术还可以用于图像的放大和缩小，不会出现传统方法中所产生的模糊和失真现象。
在地理信息系统中，分形几何可以用来模拟地形特征，以实现更加逼真的地形图像。
分形几何在地震预测、金融市场分析、气象预测等领域也有着广泛的应用。
分形几何的应用领域十分广泛，不断地为各个领域带来新的发展和突破。
1.3 分形几何在艺术中的作用分形几何在艺术中的作用主要体现在其能够呈现出独特而美丽的几何形状和图案。
分形几何的特点使得它能够生成各种复杂、丰富并且具有自相似性的图像。
这种自相似性使得分形几何产生的图案看起来既具有整体性又具有细节性，给人以视觉上的愉悦和惊叹。
(修改)第七讲从海岸线长度谈起——分形几何
分形几何进入中学数学课程
▪ 1.分形几何进入中学数学课程的必要性 ▪ 1）分形几何的创立是数学发展历史上的又一次进
步 ▪ 2）分形理论是描述现实世界的有力工具 ▪ 3）分形几何是培养创新思维的极好材料 ▪ 4）有利于学生掌握数学思想方法，发展辩证思维，
提高审美情趣的思想方法。 ▪ 5）课程现代化的需要
数学文化：一般到特殊，特殊到一般， 归纳总结找规律的猜想， 证明规律的猜想得结论
▪ 雪花曲线的特点——自相似性。任何一个局 部放大后都与整体非常相似。（欧几里得中 的圆就没有这个性质）
邮票上的雪花曲线（保加利亚）有什 么奥秘？
雪花边 界线的 长度？ 面积？
隆冬雪花
你细瞧海岸 线，就有类 似的形状
B.B.Mandelbrot（蒙德尔布罗）在《科学》 杂志上发表文章 “英国的海岸线有多长？” 。 他发现这个差距源于海岸线形状的不规则性及用 来测量的尺子长短不一。
这看似极其简单，但Mandelbrot发现：
当测量单位变小时， 所得的长度是无限增大的。
但是，在欧几里得几何中， 当尺的长度趋于零的时候， 测量出的长度趋于圆周长！
“首先，它们处处无规则可言。其次 ，它们 在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远 处观察，还是从近处观察，分形看起来一个模样— —它是自相似的。
“整体中的小块，从远处看是不成形的 小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外 形大致和以前观察的整体形状相似。 ”
“自然界提供了许多分形实例。例如， 羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他 植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非 常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征 成长后就变成大尺度上的特征。”
蝴蝶效应
1963年，美国气象学家洛伦茨发现的“蝴蝶效应”便是其中 典型一例。洛伦茨在一个由三维一阶微分方程组描述的气象 预报模型中，发现该确定的数学模型产生的结果不是趋于稳 定平衡的，也不是趋于某种周期性变化，而是貌似随机的。 近似的初始条件并不能获得近似的结果，更甚者，两者的差 异随时间增大而越大。但这种现象并不是由于计算机的精度 或可靠性等原因造成的。之后，这种类似现象被大量发现， 引起众多学者的关注。1975年，美国数学家约克和华人学者 李天岩将“蝴蝶效应”之类的现象称之为“混沌”。对混沌 现象的研究加深了人们对非线性现象的理解，深化了对混沌 现象本质的认识。
深圳大学 新课程中的现代数学选讲课程教学大纲
应用：掌握构造分形的迭代法，会通过函数迭代生成分形；掌握相似维和容量维研究分形规模的方法，会计算一些分形的分数维。
第八讲优选法与实验设计初步
教学目的
通过教学，了解著名数学家华罗庚教授和由他倡导推广的优选法和统筹法，掌握“双法”解决实际问题的步骤和方法，理解“双法”和实验设计的思想。
主要内容
1.对称现象及其变换
2.变换群与置换群
3.抽象群与同构的概念
教学要求
识记：通过丰富的对称图形，使学生感受日常生活和现实世界中存在着大量对称现象，进而去思考什么是对称的共性、对称的本质？如何来说明一个图形是对称的？如何来描述对称的程度？
领会：通过分析图形的不同对称性和刚体运动，寻求刻画不同图形对称性的思想，形成图形对称变换的概念、对称变换合成的概念，并理解对称变换合成的封闭性、结合性，进而建立变换群的概念，并初步了解抽象群的概念以及同构的概念。
开卷，考查
(八)参考教材
张文俊等编，《新课程中的现代数学选讲》，内部出版。
(九)参考书目
有关新编中学教材
二、教学内容
第一讲推理与证明
教学目的
使学生掌握几种基本的逻辑推理方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
主要内容
1.判断推理概述
2.合情推理与演绎推理
3.直接证明与间接证明
4.数学归纳法
教学要求
识记：了解合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明基本方法的特点。
掌握：掌握几种数学证明的基本方法,包括直接证明的方法(如分析法、综合法)和间接证明的方法(如反证法)，弄清基本逻辑关系。
分形几何概述1
n
ln 4 1.26186 ln 3
英国海岸线的维数为D=1.25 (Mandelbrot)
Koch曲线：(㏑4)/ (㏑3)=1.2618 Cantor集： (㏑2)/ (㏑3)=0.6309 Sierpinski集： 垫片： (㏑3)/ (㏑2)=1.5850 地毯： (㏑8)/ (㏑3)=1.8927 海绵： (㏑20)/ (㏑3)=2.7268
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
Koch 曲线
Koch 曲线（续）
Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 同样的道理：长度无限、面积为零、而曲 线还有“界”。 另外，有一个特点：当取其中的一部分 展开，与整体有完全的自相似性，似乎是一 个什么东西的无数次的自我复制。
定义1 如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数DT，则 称该集合为分形集，简称分形。
由Mandelbrot在1982年提出，四年后， 他又提出了一个更是实用的定义： 定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形 体叫分形。
分形的概念
分形看作具有如下所列性质的集合F：
F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。 F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计 意义下的。 F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的扑维数。 F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。
分形几何概述
海岸线长度问题
二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著 作中讨论英国海岸线的长度。他发现，这个问题取决于测量 所使用的尺度。采用公里做单位，一些几米和几十米的曲折 会被忽略，如果采用米做单位，测得的长度会增加，但厘米 以下的量仍然无法反映，测量单位的缩小使测得的长度增加， 由于在自然尺度之间有许多个数量级，这种增加不会停止， 海岸线的长度会趋于无限长。也就是说，长度不是海岸线的 定量特征。
分形几何学在自然界中的应用案例
分形几何学在自然界中的应用案例自然界是一个充满奇妙和复杂之处的地方，而分形几何学正是一种能够帮助我们理解和描述这种复杂性的工具。
分形几何学的概念最早由数学家Mandelbrot提出，它研究的是那些在各个尺度上都具有相似性的结构。
在自然界中，我们可以找到许多分形几何学的应用案例，本文将介绍其中的几个。
1. 雪花雪花是自然界中最常见的分形结构之一。
每个雪花都是由六个分支构成的，而每个分支又可以继续分成六个更小的分支，如此重复下去。
这种分形结构使得每片雪花都独一无二，而且在不同的尺度上都具有相似性。
分形几何学帮助我们理解了雪花的形成过程，并解释了为什么每片雪花都具有如此美丽和复杂的形状。
2. 山脉山脉也是一个典型的分形结构。
无论是在世界上最高的山峰还是在小的山丘上，我们都可以看到山脉具有相似的形状和结构。
从卫星图像上观察，我们可以看到山脉的分支结构在不同的尺度上重复出现。
这种分形结构使得山脉在地貌学中具有重要的意义，而分形几何学为我们解释了山脉的形成原理。
3. 植物植物的分形结构也是非常明显的。
从树木的分支到花朵的排列，我们都可以看到植物具有分形的特征。
树木的分支结构在不同的尺度上都具有相似性，而花朵的排列也呈现出分形的规律。
分形几何学帮助我们理解了植物的生长方式和形态的形成。
4. 海岸线海岸线也是一个典型的分形结构。
无论是从地图上观察还是从空中俯瞰，我们都可以看到海岸线具有许多分支和曲线。
而且在不同的尺度上观察，海岸线的形状也会发生变化。
分形几何学帮助我们理解了海岸线的形成原理，并解释了为什么海岸线的长度会随着测量尺度的不同而变化。
5. 雷电雷电的形状也具有分形的特征。
从云层中闪现的闪电呈现出分支状的形态，而且在不同的尺度上都具有相似性。
分形几何学帮助我们理解了雷电的形成过程，并解释了为什么闪电会呈现出分形的形状。
综上所述，分形几何学在自然界中有着广泛的应用。
通过分形几何学的研究，我们能够更好地理解和描述自然界中的复杂性和美丽。
分形几何
第3章 英国的海岸线有多长海岸线的长度问题，按传统科学方法来考虑是极其简单的．可是美籍法国数学家曼德尔布罗特1967年在国际权威的美国《科学》杂志上发表的论文《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》中，得出的答案却令人惊异：英国的海岸线长度是不确定的！它依赖于测量时所用的尺度．原来，海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，形成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不规则．测量其长度时如以公里为单位，则几米到几百米的弯曲就会被忽略不能计入在内，设此时得长度L 1；如改用米作单位，结果上面忽略了的弯曲都可计入，但仍有几厘米、几十厘米的弯曲被忽略, 此时得出的长度L 2＞L 1；同样的，用厘米作单位，所得长度L 3＞L 2＞L 1,…．采用的单位越小，计入的弯曲就越多，海岸线长度就越大（图19）．可以设想，用分子、原子量级的尺度为单位时，测得的长度将是一个天文数字．这虽然没有什么实际意义，但说明随测量单位变得无穷小，海岸线长度会变得无穷大，因而是不确定的．所以长度已不是海岸线的最好的定量特征，为了描述海岸线的特点，需要寻找另外的参量．图19海岸线长度问题，曼德尔布罗特最初是在英国科学家理查逊（L ．F ．richardson ）的一篇鲜为人知的文章中遇到的．这个问题引起他极大的兴趣，并进行了潜心的研究．他独具慧眼地发现了1961年理查逊得出的边界长度的经验公式 L (r)= Kr 1-a 中的a 就可以作为描述海岸线特征的这种参量，他称之为“量规维数”，这就是著名的分数维数之一．这一问题的研究，成为曼德尔布罗特思想的转折点，分形概念从这里萌芽生长，使他最终把一个世纪以来被传统数学视为“病态的”、“怪物类型”的数学对象，——康托尔三分集、科赫曲线等统一到一个崭新的几何体系中，让一门新的数学分支——分形几何学跻身于现代数学之林．例 A 、B 两国有一段共同的陆地边界线，并向B 国呈弧形弯曲（图20）. 横跨边界线有一战略高地原属两国所共有. 20世纪80年代，A 国对边界重新进行测量，测得的边界长度比原记载长度大，按新测长度这块高地完全落在A 国境内. 于是A 国向B国提出，要求将高地全部归属A 国，引起两国争端. 为维护该地区和平，联合国派员往A 、B 两国斡旋，请你为联合国特使设计一调解方案.方案：向两国指出，国境线是一种分形曲线，用传统测量方法无法得到确定的长度，随着测量单位的减小，测得的长度会增大. A 国新测得的长度比原记载长度大，正是她测量时采用了较原测量单位更小的码尺. 所以一方面可用分形几何理论向两国解释，另一方面还可同两国到边界进行测量演示. 习题三1.为什么长度已不是海岸线的特征量？2.为什么在测量海岸线长度时，随测量单位的减小，海岸线长度会越来越大？图20研究性课题：科赫雪花曲线的周长与面积1.台湾1995年联考试题：在如下的雪花曲线T 1，T 2,…，T n ，…中（图21），求第n 条雪花曲线的长度.为本课题研究的需要，增加一个问题：并求面积，且可设原三角形T 1的周长为L ，面积为S.（周长序列：L ，34L ，(34)2 L ，…，(34)ｎ－1L ，…. 面积序列：S ，（1+43×94） S ，（1+43×94+43×94×94）S ，…， {1+43[94+(94)2 + … + (94)n －1]}S ，….) 2.考察科赫雪花曲线的周长与面积的关系：⑴取L =3cm ，用CZ 1206型计算器计算n = 5，9，17时L n 和S n 的值.(L 5=9.48cm ，L 9=29.97cm ，L 17=299.32cm ；S 5=0.6827cm2,S 9=0.6924cm2,S 17=0.6928cm2.显然，随n 的无限增大，(34)n －1×3也无穷大， {1+43[94+(94)2+…+(94)n －1]} 43×12 =（1+43×94194-）①×43×12=0.6928(cm 2 ) ) （2）从以上计算得出的数值或数值变化的趋势你发现什么结论？（科赫雪花曲线周长趋于无穷大而面积为定值.）3.设正三角形与圆的周长分别为L 和C ，探索各自的面积S 与周长的关系并叙述出来.（S 正三角形=363L 2 ，S 圆 =241πC 2，它们的面积与周长是一种正比例关系，随周长的增大面积也增大.） 将2、3中的结论相比较，体会曼德尔布罗特为什么把科赫雪花曲线作为海岸线的数学模型.4.撰写研究小论文：课题：科赫雪花曲线的周长与面积.提纲：⑴问题的提出：科赫雪花曲线周长与面积的探求，发现它周长趋于无穷大而面积为定值.⑵问题的研究：寻求正三角形与圆的周长与面积关系的结论，将结论与⑴中结论比较，发现科赫雪花曲线与欧氏几何图形不同的性质.⑶研究结论的应用：谈谈对用科赫雪花曲线作为海岸线模型的认识.(说明：建议用小组合作的形式撰写. )① 等比数列求和公式S n =q q a n --1)1(1，当n 为无穷大，│q │＜1时S =q a -11图21。
《分形几何学》课件
分形风险管理：评 估和管理金融市场 的风险
分形投资策略：基 于分形理论的投资 策略，如分形交易 策略、分形投资组 合管理等
分形在物理学中的应用
分形几何学的未来 展望
分形几何学的发展趋势
应用领域：分形几何学在计算机图形学、图像处理、生物医学等领域的应用将越来越广泛
理论研究：分形几何学的理论研究将更加深入，包括分形维数的计算、分形几何的拓扑性质等
添加标题
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添加标题
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特点：具有自相似性，即无论放大 或缩小，其形状保持不变
性质：具有无限长度，但面积却为 零，是一种典型的分形图形
分形几何学的应用 实例
分形在图像压缩中的应用
分形压缩算法：基于分形几何学的图像压缩算法 压缩效果：提高压缩比，降低图像质量损失 应用场景：适用于图像传输、存储和显示等领域 技术挑战：如何平衡压缩比和图像质量损失，提高压缩算法的效率和稳定性
发展：1977年，数学家哈肯提出分形几何学的基本理论
应用：分形几何学在物理学、生物学、经济学等领域得到广泛应用 现状：分形几何学已成为现代数学的一个重要分支，对科学研究和实际应 用具有重要意义
分形几何学的应用领域
分形几何学的基本 概念
自相似性
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
结构或模式
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
科赫曲线的生成过程： 将一条线段分为三等份， 去掉中间一段，然后将 剩下的两段分别替换为 两个新的科赫曲线
科赫曲线的应用：在计 算机图形学、动画制作 等领域有广泛应用
科赫曲线的性质：具有 自相似性、无限长度和 面积、分形维数等性质
皮亚诺曲线
定义：由意大利数学家皮亚诺提出 的一种分形图形
分形几何理论与应用
分形几何理论与应用分形几何理论是一种独特的数学理论，它研究的不是传统意义上的整数、有理数或代数等，而是那些细致、复杂、无规则的自相似结构。
这个理论的发展和应用可以追溯到上世纪60年代，由波兰数学家曼德博特和法国数学家朱利亚·帕西亚斯开创并推动。
分形几何理论的应用范围广泛，涉及到自然科学、工程技术、艺术设计等领域。
本文将介绍分形几何理论的基本概念、应用案例以及未来的发展趋势。
一、基本概念分形几何理论的核心概念是“分形”。
分形是一种具有自相似性质的几何形状或图形，即整体的某一部分与整体本身具有相似的结构。
分形可以是自然界中的云朵、树叶、山脉等，也可以是数学模型中的图形、曲线等。
分形具有以下基本特征：1. 自相似性：分形的一部分与整体具有相似的结构，无论进行何种放大或缩小，都能保持这种相似性。
2. 细节复杂性：分形结构的细节非常复杂，无法用简单的几何形状或方程进行描述。
3. 尺度无关性：分形的特征在不同尺度上都存在，并且不会随着放大或缩小而改变。
二、应用案例1. 自然科学领域：分形几何理论在自然科学领域的应用广泛。
例如，地理学家可以利用分形理论来研究地貌形态的分布规律，了解山脉、河流等地貌形状的演化过程。
生物学家可以利用分形模型来研究植物、动物体内的血管网络结构。
天文学家可以用分形几何理论解释银河系的分布规律等。
2. 工程技术领域：分形几何理论在工程技术领域的应用也非常广泛。
例如，在传输网络设计中，可以采用分形模型来提高网络的稳定性和可靠性。
在材料科学中，可以利用分形几何理论来研究材料的表面粗糙度和纹理结构，从而优化材料的性能。
在城市规划中，分形理论可以帮助设计人员更好地解决交通流量、建筑物布局等问题。
3. 艺术设计领域：分形几何理论对艺术设计也有很大的启发。
艺术家可以运用分形的特性创作出具有美感和复杂性的艺术作品。
分形图形的迭代、放大和变换等操作可以产生各种独特的视觉效果，被广泛用于绘画、雕塑和数字艺术等领域。
分形几何课件
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分形几何
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分形几何
❖ 分形的获取 1. 关于复数
由于承认“负数也能开平方”将会带来很多幽雅 和便利的结论，因此我们发明了虚数，用 i 来表 示 -1 的平方根（即虚数单位），并把实数扩展为 复数（即一切形如 a + b i 的数）。
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分形几何
❖ 正如实数可以用数轴上的点来表示一样，复数可 以用平面直角坐标系上的点来表示。令 x 轴表示 复数的实数部分，令 y 轴表示复数的虚数部分， 则 a + b i 就对应了平面上的点 (a, b) 。我们把这 个平面直角坐标系叫做“复平面”。
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❖ f(z) = |z2|
分形几何
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分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
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分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
❖ 可以看到，此时得到的点集已经非常接近之前给出的 z → z2 - 1 的 Julia 集了。
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分形几何
❖ 右图则是反推 12 次后的 结果，它基本上可以看作 是 z → z2 - 1 的 Julia 集了。
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分形几何
❖ 我们再来看一个无法构 成连通区域的 Julia 集的 例子。取 c = - 1 - 0.9 i ， 让我们来看看逆推的过 程。还是先画出半径为 2 的圆盘。
经典的分形算法 (1)
经典的分形算法小宇宙2012-08-11 17:46:33小宇宙被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。
它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。
它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。
1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。
1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。
这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。
1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。
1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。
1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。
1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。
以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。
分形几何学
分形几何学简介分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。
相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。
分形几何学的研究对象为非负实数维数，如0.63、1.58、2.72、log2/log3（参见康托尔集）。
因为它的研究对象普遍存在于自然界中，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”。
一个数学意义上分形的分解成就是基于一个不断运算的方程式，即为一种基于递回的反馈系统。
分形存有几种类型，可以分别依据整体表现出来的准确自相似性、半自相似性和统计数据自相似性去定义。
虽然分形就是一个数学结构，它们同样可以在自然界中被找出，这使它们被划归艺术作品的范畴。
分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都存有应用领域。
由来客观自然界中许多事物，具备自相近的“层次”结构，在理想情况下，甚分形几何学分形几何学至具有无穷层次。
适当的放大或缩小事物的几何尺寸，整个结构并不改变。
不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。
客观事物都存有它自己的特征尺度，必须用恰当的尺度回去测量。
用尺子去测量万里长城，疑太短，而用以测量大肠杆菌，又疑太长。
除了的事物没特征尺度，就必须同时考量从小到大的许许多多尺度（或者叫做标度），这就是“并无标度性”的问题。
湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。
流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许多多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态。
要描述湍流现象就需要借助流体的的“无标度性”，而湍流中高漩涡区域，就需要用到分形几何学。
分形几何超级介绍
分数维
现在我们从测量的角度引入了维数概念， 将维数从整数扩大到分数。即： 如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的 ｋ个图形所组成，有：ｋ= λ^D D即维数 D = logｋ/logλ 其中：（ λ 为线度的放大倍数 ｋ为“体积”的放大倍数）
Sierpinski垫圈的分数维
• 如右下角的垫圈 ，它是由原图缩小1/2的相 似的3个图形组成。 • 故其维数为D=log3/log2
分维数的多种定义
• 分数维可用于定量描述分形集的复杂性。 • 分维数已有多种定义。 • 豪斯道夫维数是基于豪斯道夫测度而建立起来的 一种分形维数，它是分形几何的维数理论的基础； • 盒维数或称盒计数维数是一个具有广泛应用的维 数，计算一个分形的盒维数是相对简单的。 • 其他分维数有：柯尔莫哥诺夫熵、熵维数、容量 维数、对数维数和信息维数等。
•
自相似性
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特 征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似 的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构 与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分 与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下 自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域 放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。
分形几何
数理基础试验班 李道坚 范宇航
分形几何的起源
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗特 （B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可 追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续 但处处不可微的函数，集合论创始人康托构造了有许多奇 异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺构造 了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫设计出类似 雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾 斯基设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解 决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形 几何思想的源泉。1975年，他创立了分形几何学。在此 基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形 理论。
分形几何学.ppt
一、什么是分形几何学
通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的 自相似图形和结构的几何学。 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层 次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方 面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁 铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去， 每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次 结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。 又如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上 没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相 似关系；一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质； 动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛 的全部生长信息；还有高山的表面，无论怎样放大其局部，它都 如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何 揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
随机康托尔集都是随机分形，著名的随机分形还有布朗 （R.Brown）粒子运动的轨迹
（2）Sierpinski地毯： 三分康托尔集等数学怪物的出现，使相当一部分传统数学 家感到“直觉的危机”的同时，也引起了一些数学家的兴 趣.1915~1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三 分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基 “垫片”：设E0是边长为1的等边三角形区域，将它均分成四个 小等边三角形，去掉中间一个得E1，对E1的每个小等边三角形 进行相同的操作得E2，……，这样的操作不断继续下去直到无 穷，所得图形F称为谢尔宾斯基“垫片”（图）.它被用作超导 现象和非晶态物质的模型
⑴ 康托尔三分集 1883年，德国数学家康托尔(G.Cantor)构造了一个奇异集合： 取一条长度为1的直线段E0，将它三等分，去掉中间一段，剩下 两段记为E1，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段， 剩下更短的四段记为E2，……，将这样的操作一直继续下去， 直至无穷，得到一个离散的点集F（图），称为康托尔三分集. 在康托尔三分集的构造过程中，如果每一步都用掷骰子的方法 来决定去掉被分成的三段中的哪一段，或来选择子区间的长度， 就会得到很不规则的随机康托尔集（如图），它被当时在美国 IBM公司任职的曼德尔布罗特用作描述通讯线路中噪声分布的 数学模型，如今在现代非线性动力学的理论研究中有重要地位.
第三章 分形和多重分形资料讲解
第三章分形和多重分形第三章 分形和多重分形分形和多重分形的概念正在越来越多地被应用到科学的各个领域中，它们在本质上描述了对象的复杂性和自相似性。
分形和多重分形是不依赖于尺度的自相似的一个自然结果。
单一的分形维数不能完全刻画信号的特征，已有例子表明许多视觉差别很大的图象却具有十分相似的分维。
实际上通过计算分形维数无法区分单一分形集和多重分形集。
为了获得对一个分形更详细的描述，需增加能刻画不同分形子集的参数，因此要引入多重分形理论。
在直观上可将多重分形形象地看作是由大量维数不同的单一分形交错叠加而成的。
从几何测度性质的角度，可将多重分形描述为一类具有如下性质的测度μ（或质量分布）：对于足够小的正数r ，成立幂律特性αr x B u r ∝))((，并且不同的集对应于不同的a （其中)(x B r 表示某度量空间内以x 为中心，半径为r 的球），在此意义上，多重分形又称为多重分形测度，它揭示了一类形态的复杂性和某种奇异性。
表征多重分形的主要方法是使用多重分形谱)(a f 或广义维数q D 。
多重分形谱)(a f 在对多重分形进行精确的数学刻画的同时，通过)(a f 相对a 的曲线为多重分形提供了自然而形象的直观描述，其中a 确定了奇异性的强度，而)(a f 则描述了分布的稠密程度。
§3.1 分形的基本理论3.1.1 分形理论的基本概念㈠ 分形分形几何学是由Mandelbrot[4]首先提出并发展为系统理论，Mandelbrot 在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测出不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的。
在研究中，他将测量长度与放大比例（尺度）分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线性关系可用一个定量参数-称分形维数来描述。
由此, Mandelbrot 进一步发展了分形几何理论，可以产生许多分形集图形和曲线，如Mandelbrot 集、Cantor 集、Koch 曲线、Sierpinski 地毯等，还可描述复杂对象的几何特性。
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分形概念的提出
Fractal（分形）一词的由来 据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏 天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的 拉丁文字典时，突然想到的。本意是不规则的、破碎 的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传 统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几 何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉， 粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流， 纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们 的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说， 这些对象都是分形。
与它的自相似维数相同。
8.简单应用实例
8.3 Hausdorff维数
x y ( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ...... ( xn yn )2 一、点集的 覆盖
8.简单应用实例
二、集F的S维Hausdorff测度
Hausdorff测度是对长度、面积、体积概念的推广。 长度、面积、体积具有比例性质：当比例放大 倍时，线段的 2 3 长度放大 倍，平面面积放大 倍，空间物体的体积放大倍， s 而对于 维Hausdorff测度的放大倍数为 s
分形概念的提出
分形的研究可以上溯到很久以前。大约 100年前分形的思想已经开始出现在数学领域。 但是，就象其它的一些革命性的思想一样，分 形的研究受到了主流学术的谴责，被人们认为 只是研究一些数学中的怪异现象。那个时候著 名的数学家 Charles Hermite 把分形称为“怪 物”，这代表了绝大多数人的观点。
1967年曼德布罗特在《科学》上发表了一篇题 为《英国的海岸线有多长》的论文，震惊学术界！因 为他最后得出的结论是：无论你做得多么认真细致， 你都不可能得到准确答案，因为根本就不会有准确的 答案。英国的海岸线长度是不确定的！它依赖于测量 时所用的尺度．
海岸线由于海水长年的 冲涮和陆地自身的运动， 形成了大大小小的海湾 和海岬，弯弯曲曲极不 规则．
分形概念的提出
分形的概念是由美籍数学家曼德布罗特(人们把他 称为“分形之父”) (B.B.Mandelbrot)首先提出的。 1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题 为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。 1973年，曼德布罗特在法兰西学院讲课时，首次 提出了分维和分形几何的设想。
分形（Fractal）一词，是曼德布罗特造出来的， 其意具有不规则、支离破碎等含义。
分形图
分形图
分形图
分形图
分形图
分形风景
分形树
以上分形图的说明
计算机通过数值计算，生成的同时具有审 美情趣和科学内涵的图形 。她们与现实世界相 符合，从浩瀚广阔的宇宙空间到极精致的细节， 是完全可以用数学结构来描述的。
特点： 1、既抽象又具体。 2、具有丰富的层次。 3、能内在地表达各种对称性。 4、既具有形象美，又具有科学美 。
7.几篇文章
武生智,马崇武,苗天德.沙粒级配和沙丘分布的分形
分析.中国沙漠,1999,19(3):247-250
朱晓华,杨秀春.水旱灾害时间序列的分形研究
方法.安徽农业科学,2000,28(1):35-36 程先富,史学正.分形几何在土壤学中的应用及 其展望.土壤,2003,35(6):461~464 赵文智,刘志民,程国栋.土地沙质荒漠化过程 的土壤分形特征.土壤学报,2002,39(6):877881
图形不规则
图形的结构层次无限 局部往往具有整体的信息 图形复杂，其背后的规则经常是 简单的
3.哲学启示
分形理论作为一种方法论和认识论，其启示是多 方面的: (1)、分形整体与局部形态的相似，启发人们通 过认识部分来认识整体，从有限中认识无限。 (2)、分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、 复杂与简单之间的新形态、新秩序。 (3)、分形从一个特定的层面揭示了世界普遍联 系和统一的图景。
8.简单应用实例
8.2 盒维数 一、盒维数的定义
适用于不具有严格自相似的图形
8.简单应用实例
8.2 盒维数
1 k 例如，对于Cantor三分集，用长度为 ( ) 的线段 3
去覆盖。显然，对于 Ek 需要 2k 个这样的线段才能覆盖，
ln 2 ln 2k ln 2 lim 存在，从而三分Cantor集的盒维数为 ln 3 自相似维数
一般来说，如果在d维空间中考虑一个d维的 几何对象把每个方向的尺寸都放大L倍，就会得到 一个d维体积为原来的Ld倍的几何体。
令N=Ld , 两边取对数，便得到维数的定义 ln N D0 ln L
这个定义一般适用于具有自相似性质的分形集合，常 称为自相似维数。
8.简单应用实例
分形几何
柴成武
2009.1.15
Koch雪花
Koch曲线
分形图
Menger海绵
传统几何面临的困境
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研 究对象想象成一个个规则的形体——点、直线、圆、 椭圆、锥形„„。我们人类生活的世界是一个极其 复杂的世界，与欧几里得几何图形相比，拥有完全 不同层次的复杂性——雪花、蜿蜒曲折的海岸线、 坑坑洼洼的地面、变幻莫测的股市变化、复杂的生 命现象„„，分形几何则提供了一种描述这种不规 则复杂现象中的秩序和结构的新方法。山川、云朵、 小麦须根系、菜花、树木、树冠等等都是典型的分 形。
8.1自相似性维数 我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边
长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线 度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的 图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、 2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3， 正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果 某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组 成，有：a^D=b, D=logb/loga 的关系成立，则指 数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分 数。
1.分形几何
什么是自相似呢？ 例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，
在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状 上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下 叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中 的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高 山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平;一 块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割 下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场;…。这种自 相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不 变。这些例子在我们的身边到处可见。 分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的 几何学。
分形的特点由分形维数(又称分数维或分维)
来描述，分形维数是局部与整体在形态、功 能、信息、时间与空间结构等方面相似性的 量度。维数是几何学和空间理论的基本概念, 根据常识,点是0维的,直线是1维的,平面是2维 的,而普通空间是3维的，但用来描述分形特 点的维数常常不是整数维,而是分数维。在土 壤学中比较常见的分维有3种，即容量维数、 信息维数和关联维数。
8.简单应用实例
三、集F的Hausdorff维数
6.分形理论在本学科中的应用
作为探索不规则结构和形态的工具，分形几何学被广泛应用
于土壤学和生态学研究中，用分形法研究土壤机械组成，已 经成为土壤机械组成分析方法发展的趋势，在沙漠学中也有 较多应用。分形理论认为：沙粒粒径分布具有分形特征，其 分维值的大小差异体现了沙物质分布的区域差异性；风沙地 貌是一种典型的分形几何实体，沙丘分布具有分形特征，其 分维值体现了风沙地貌的自相似性规律；风沙流结构不但是 分形，而且是多重分形，其分维值与风速有着极大的关系； 荒漠-绿洲景观镶嵌结构具有分形特征，各景观要素的分维 值大小代表着该要素镶嵌结构的复杂性和稳定性程度；荒漠 化过程具有多重分形特征，如果用降水和风速为标度度量荒 漠化过程，可给出荒漠化复杂程度的描述。
4.分形的特征
分形结构有2个明显的特征：第1个特征是自
相似性,即重复放大分形的细部(分形元)又可看 到本身相似结构的再度出现,并且这种出现过 程具有随机性,只有大小的区别,而没有形状的 不同,亦即标度不变性；第2个特征是缺乏平滑 性,分形总是凹凹凸凸,弯弯曲曲,到处都不连续, 亦不可微分。
5.分形理论的表达
为什么要研究分形？
首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形， 是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的 需要，分形提供了新的概念和方法。
其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的发展 过程中，许多传统的科学难题，由于分形的引入而取 得显著进展。 分形理论是非线性科学的一个主要分支, 与混沌 (chaos)和孤立子(soliton)一起成为非线性科学的三 大前沿理论 。分形作为一种新的概念和方法，正在许 多领域开展应用探索。80年代初国外开始的“分形 热”经久不息。美国著名物理学家惠勒说过：今后谁 不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。
2.分形几何与欧几里得几何的区别
欧几里得几何
经典的（2000多年的历史）
分形几何
现代数学怪物（30多年的历史）
基于特征长度与比例
适合于人工制品 用公式描述
无特征长度与比例
实用于大自然现象 用（递归或迭代）算法描述
图形规则
图形的结构层次有限 局部一般不具有整体的信息 图形越复杂，背后的规则也越 复杂
分形之父曼德布罗特
曼德布罗特与北京大学非线性科学中心主任赵凯华教授
1.分形几何
什么是分形几何？ 通俗一点说就是研究无限复杂但具 有一定意义下的自相似图形和结构的几何 学。1986年曼德布罗特给出分形定义为： “组成部分与整体以某种方式相似的形叫 做分形”。这个定义突出了它自相似的性 质,反映了自然界中一大类事物的共同属 性：局部与整体在形态、功能、信息、时 间与空间结构等方面至少具有统计意义上 的相似性。