2010年广州市二模数学试题(理科)

2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 为虚数单位，若复数()()11a a -++i 为实数，则实数a 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．不确定 2. 已知全集U =A B 中有m 个元素，()()U UA B 痧中有n 个元素．若A B I 非空， 则A B I 的元素个数为A．mn B ．m n +C ．m n -D ． n m - 3. 已知向量a ()sin ,cos x x =,向量b (=,则+a b 的最大值为 A. 13 D.9 4. 若,m n 是互不相同的空间直线,α是平面, 则下列命题中正确的是A. 若//,m n n α⊂,则//m αB. 若//,//m n n α,则//m αC. 若//,m n n α⊥,则m α⊥D. 若,m n n ⊥5. 在如图1所示的算法流程图, 若()()32,xf xg x x ==,则()2h 的值为(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←” 或“：= A. 9 B. 8 C. 6D. 46. 已知点(),P x y 的坐标满足10,30,2.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩O 为坐标原点, 则PO 的最小值为A.2 B. 2图1 7. 已知函数()sin f x x x =, 若12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()()12f x f x <, 则下列不等式中正确的是 A. 12x x > B. 12x x < C. 120x x +< D. 2212x x <图38. 一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车25米时交通灯由红变绿, 汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同), 汽车在时刻t 的速度为()v t t =米/秒, 那么, 此人 A. 可在7秒内追上汽车 B. 可在9秒内追上汽车C. 不能追上汽车, 但其间最近距离为14米D. 不能追上汽车, 但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．若函数()()()cos cos 02f x x x π⎛⎫=ω-ωω>⎪⎝⎭的最小正周期为π,则ω的值为 . 10. 已知椭圆C 的离心率e =, 且它的焦点与双曲线2224x y -=的焦点重合, 则椭圆C 的方 程为 .11．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是 . 12.图2是一个有n 层()2n ≥的六边形点阵.它的中心是一个点, 算作第一层, 第2层每边有2个点,第3层每边有3个点 ,…, 第n 层每边有n 个点, 则这个点阵的点数共有 个.13. 已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56 则该展开式中2x 的系数为 . 图2 （二）选做题（14~ 15题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的参数方程为1,42.x t y t =+⎧⎨=-⎩(参数t ∈R ), 圆C 的参数方程为2cos 2,2sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩(参数[]0,2θπ∈), 则直线l 被圆C 所截得的弦长为 . 15.(几何证明选讲选做题)如图3, 半径为5的圆O 的两条弦 AD 和BC 相 交于点P , ,OD BC P ⊥为AD 的中点, 6BC =, 则弦AD 的长度为 .DB CAEPBCA三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16. （本小题满分12分） 已知1tan 2,tan 42παβ⎛⎫+==⎪⎝⎭.(1) 求tan α的值; (2) 求()()sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++的值.17. （本小题满分12分）如图4, 在直角梯形ABCD 中, 90,30,1,ABC DAB CAB BC AD CD ︒︒∠=∠=∠===, 把△DAC 沿对角线AC 折起后如图5所示(点D 记为点P ), 点P 在平面ABC 上的正投影 E 落在线段AB 上, 连接PB .(1) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小; （2） 求二面角P AC B --的大小的余弦值.图4 图5 18.（本小题满分14分）一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率p 与运动员离飞碟的距离s (米)成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离s (米)与飞行时间t (秒)满足()()15104s t t =+≤≤, 每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中,则不再进行第二次射击).该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击, 命中的概率为45, 当第一次射击没有命中飞碟, 则在第一次射击后 0.5秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不计.(1) 在第一个飞碟的射击训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 求他第二次射击命中飞碟 的概率;(2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率;(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响), 求他至少命中两个飞碟的概率.19. （本小题满分14分） 已知抛物线C :22x py=()0p >的焦点为F ,A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D . (1) 求点D 的纵坐标；(2) 证明：A 、B 、F 三点共线； (3) 假设点D 的坐标为3,12⎛⎫-⎪⎝⎭，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆， 若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数()32f x x x ax b =-++(a,b ∈R )的一个极值点为1x =.方程20ax x b ++=的两个实根为,αβ()αβ<, 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的. (1) 求a 的值和b 的取值范围;(2) 若[]12,,x x αβ∈, 证明:()()121f x f x -≤.21. （本小题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =,且对任意n ∈N *都有1n n a b +=,121n n n na ba a +=-. (1) 求数列{}n a 和{}nb 的通项公式; (2) 证明:()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++ .2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．1 10. 22182x y += 11. 乙 12. 2331n n -+ 13. 18014．515. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1）解法1：∵tan 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， ∴tantan 421tantan 4+=-παπα. …2分 ∴1tan 21tan αα+=-.解得1tan 3α=. …4分解法2：∵tan 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， ∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦tan tan441tan tan44ππαππα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭…2分 21121-=+⨯13=. …4分DBCA（2）解:()()sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+-=+- …6分cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβ-=+()()sin cos βαβα-=- …8分()tan βα=- tan tan 1tan tan -=+βαβα…10分112311123-=+⨯17=. …12分17. （本小题满分12分）(本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 方法一:(1) 解:在图4中,∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ︒︒∠=∠=∠==∴tan 30BC AB ︒===, 121sin 302BC AC ︒===, 60DAC ︒∠=. ∵AD CD =,∴△DAC 为等边三角形. ∴2AD CD AC ===. …2分 在图5中,∵点E 为点P 在平面ABC 上的正投影,∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC , ∴PE ⊥BC .∵90CBA ︒∠=, 图4图 5FEPBCA∴BC AB ⊥.∵,PE AB E PE =⊂ 平面PAB , AB ⊂平面PAB , ∴BC ⊥平面PAB .（数学驿站 ） ∴CPB ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角. …4分 在Rt △CBP 中, 1,2BC PC DC ===, ∴1sin 2BC CPB PC ∠==. ∵090CPB ︒︒<∠<, ∴30CPB ︒∠=.∴直线PC 与平面PAB 所成的角为30︒. …6分 (2) 解:取AC 的中点F , 连接PF ,EF .∵ =PA PC , ∴ ⊥PF AC .∵PE ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC , ∴PE AC ⊥.∵,=⊂ PF PE P PF 平面PEF , PE ⊂平面PEF , ∴AC ⊥平面PEF . ∵⊂EF 平面PEF , ∴⊥EF AC .∴PFE ∠为二面角P AC B --的平面角. …8分 在R t △EFA 中,11302︒==∠=AF AC ,FAE , ∴=EF AF tan 30︒⋅===AE . 在R t △PFA 中,===PF 在R t △PEF中，1cos 3∠===EF PFE PF . ∴二面角P AC B --的大小的余弦值为13. …12分 方法二:DBCA图5CA解:在图4中,∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ︒︒∠=∠=∠==∴tan 30BC AB ︒===, 121sin 302BC AC ︒===, 60DAC ︒∠=. ∵AD CD =,∴△DAC 为等边三角形. ∴2AD CD AC ===. …2分 在图5中,∵点E 为点P 在平面ABC 上的射影,∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC , ∴PE ⊥BC .∵90CBA ︒∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.∵,PE AB E PE =⊂ 平面PAB , AB ⊂平面PAB ,∴BC ⊥平面PAB . …4连接EC ,在R t △PEA 和R t △PEC 中,2,PA PC PE PE ===, ∴R t △PEA ≅R t △PEC . ∴EA EC =.∴30ECA EAC ︒∠=∠=.∴60CEB ︒∠=.在R t △CBE中，tan 603BC EB ︒===.∴AE AB EB =-=. 在R t △PEA中，PE ==3. …6分以点E 为原点,EB 所在直线为x 轴,与BC 平行的直线为y 轴,EP 所在直线为z 轴,建立空 间直角坐标系E xyz -,则()0,0,0E,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,B ⎫⎪⎪⎝⎭,C ⎫⎪⎪⎝⎭, P ⎛ ⎝⎭. ∴()0,1,0BC =,EP ⎛= ⎝⎭,)AC =,PC =⎝⎭ . (1)∵cos ,BC PCBC PC BC PC ==12,∴,30BC PC ︒= .∴ 直线PC 与平面PAB 所成的角为30︒. …9分 (2) 设平面PAC 的法向量为n (),,x y z =,由0,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩ n AC n PC得0,0y y z +=+-=. 令1x =,得y =2=-z . ∴n 1,2⎛=- ⎝⎭为平面PAC 的一个法向量.∵EP ⎛= ⎝⎭ 为平面ABC 的一个法向量, ∴cos ,= n EPn EPn EP13=-.∵二面角P AC B --的平面角为锐角, ∴二面角P AC B --的平面角的余弦值为13. …12分 18. （本小题满分14分）(本小题主要考查古典概型、二项分布等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意设(kp k s=为常数),由于()()15104s t t =+≤≤,∴ ()()04151kp t t =≤≤+. …2分当0.5t =时, 145p =, 则()45150.51k =⨯+,解得18k =.∴()()()1860415151p t t t ==≤≤++. …4分当1t =时, 263525p ==⨯. ∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为35. …6分 (2) 解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件A ，“该运动员第二次射击命中飞碟”为事 件B ，则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件：A AB +. …7分 ∵()()43,55P A P B ==， ∴()()()()P A AB P A P A P B +=+44323155525⎛⎫=+-⨯=⎪⎝⎭. ∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为2325. …10分 (3) 解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为ξ, 则23325B ,ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴至少命中两个飞碟的概率为()()23P P P ξξ==+= …12分 =C ()2231pp -+ C 333p 23232233252525⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=1534115625. …14分19. （本小题满分14分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:设点A 、B 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ， ∵ 1l 、2l 分别是抛物线C 在点A 、B 处的切线，∴直线1l 的斜率1'11x x x k yp===，直线2l 的斜率2'22x x x k y p===. ∵ 12l l ⊥,（数学驿站 ）∴ 121k k =-, 得212x x p =-. ① …2分 ∵A 、B 是抛物线C 上的点,∴ 221212,.22x x y y p p== ∴ 直线1l 的方程为()21112x x y x x p p -=-,直线2l 的方程为()22222x x y x x p p-=-. 由()()21112222,2,2x x y x x p p x x y x x p p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得12,2.2x x x p y +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点D 的纵坐标为2p-. …4分(2) 证法1：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴ 直线AF 的斜率为21221111122202AFx p p y x p p k x x px ---===-，直线BF 的斜率为22222222222202BFx p p y x p p k x x px ---===-.∵ 2222121222AF BFx p x p k k px px ---=- …6分()()22222112122x x p x x p px x ---=()()2121212122x x x x p x x px x -+-=()()221212122p x x p x x px x --+-=0=.∴AF BF k k =.∴A 、B 、F 三点共线. …8分 证法2：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴2221111,,222x p x p AF x x p p ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222222,,222x p x p BF x x p p ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵ 22122211211222222212222p x p x x x x x pp x p x x x x p----===----, …6分 ∴ //AF BF .∴A 、B 、F 三点共线. 证法3：设线段AB 的中点为E , 则E 抛物线C 的准线为:2pl y =-. 作11,AA l BB l ⊥⊥, 垂足分别为11,A B . ∵ 由(1)知点D 的坐标为12,22x x p +⎛⎫- ⎪⎝⎭∴DE l ⊥.∴DE 是直角梯形11AA B B 的中位线. ∴()1112DE AA BB =+. …6分 根据抛物线的定义得:11,AA AF BB BF ==, ∴()()111122DE AA BB AF BF =+=+. ∵AD DB ⊥,E 为线段AB 的中点,∴12DE AB =. ∴()1122AB AF BF =+,即AB AF BF =+.∴A 、B 、F 三点共线. …8分 (3)解: 不存在. 证明如下：假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M ， 依题意得,MA AD MB BD ⊥⊥，且MA MB =， 由12l l ⊥，得AD BD ⊥. ∴ 四边形MADB 是正方形.∴ AD BD =. …10分∵点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴12-=-p,得2p =. 把点D 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入直线1l , 得211131422x x x ⎛⎫--=⨯- ⎪⎝⎭ 解得14x =或11x =-, ∴点A 的坐标为()4,4或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭. 同理可求得点B 的坐标为()4,4或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由于A 、B 是抛物线C 上的不同两点，不妨令11,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,()4,4B .∴AD == BD ==…13分∴AD BD ≠, 这与AD BD =矛盾.∴经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆不存在. …14分 20. （本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:∵()32f x x x ax b =-++,∴()'232fx x x a =-+.∵()32f x x x ax b =-++的一个极值点为1x =,∴()'2131210f a =⨯-⨯+=.∴ 1a =-. …2分 ∴()()()'2321311fx x x x x =--=+-,当13x <-时, ()'0f x >;当113x -<<时, ()'0f x <;当1x >时, ()'0f x >; ∴函数()f x 在1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递增, 在1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,在[)1,+∞上单调递增.∵方程20ax x b ++=的两个实根为,αβ, 即20x x b --=的两根为,αβ()αβ<,∴11,22αβ+==. ∴1,b αβαβ+==-,αβ-=…4分 ∵ 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的,∴区间[],αβ只能是区间1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,[)1,+∞之一的子区间.由于1,αβ+=αβ<,故[]1,,13αβ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦. 若0α<,则1αβ+<,与1αβ+=矛盾. ∴[][],0,1αβ⊆.∴方程20x x b --=的两根,αβ都在区间[]0,1上. …6分令()2g x x x b =--, ()g x 的对称轴为[]10,12x =∈, 则()()00,10,140.g b g b b =-≥⎧⎪=-≥⎨⎪∆=+>⎩解得104b -<≤.∴实数b 的取值范围为1,04⎛⎤-⎥⎝⎦. …8分 说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.∵11,22αβ=≤=≥且函数()f x 在区间[],αβ上是单调的,∴ []1,,13αβ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦.由1,31,140.b αβ⎧≥-⎪⎪≤⎨⎪∆=+>⎪⎩即11,231,140.b ⎧-≥-⎪≤⎪+>⎪⎪⎪⎩…6分解得104b -<≤. ∴实数b 的取值范围为1,04⎛⎤-⎥⎝⎦. …8分 (2)证明:由(1)可知函数()f x 在区间[],αβ上单调递减,∴函数()f x 在区间[],αβ上的最大值为()f α, 最小值为()f β. ∵[]12,,x x αβ∈,∴()()()()12f x f x f f αβ-≤- ()()3232b b αααβββ=--+---+ ()()()3322αβαβαβ=-----()()()21αβαβαβαβ⎡⎤=-+--+-⎣⎦()1b =-()1b =-. …10分令t =则()2114b t =-()1b -()3154t t =-. 设()()3154h t t t =-, 则()()'21534h t t =-.∵104b -<≤,∴01t <≤.∴()()'21534h t t =-0>. ∴函数()()3154h t t t =-在(]0,1上单调递增. …12分∴()()11h t h ≤=.∴ ()()121f x f x -≤. …14分 21. （本小题满分14分）(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:∵对任意n ∈N *都有1n n a b +=,121n n n na ba a +=-, ∴12211111n n n n n n na b a a a a a +-===--+. ∴1111n na a +=+,即1111n n a a +-=. …2分 ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ,公差为1的等差数列. ∵11a b =, 且111a b +=, ∴11a b =12=. ∴()1211nn n a =+-=+. …4分 ∴ 11n a n =+, 11n n n b a n =-=+. …6分 (2)证明: ∵11n a n =+, 1n nb n =+, ∴1n n a b n =.∴所证不等式()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++ , 即()1111111ln 11234123n n n++++<+<+++++ . ① 先证右边不等式: ()111ln 1123n n +<++++ .令()()ln 1f x x x =+-, 则()'1111x f x x x=-=-++. 当0x >时, ()'0fx <,所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递减.∴当0x >时,()()00f x f <=, 即()ln 1x x +<. …8分分别取1111,,,,23x n= . 得()111111ln 11ln 1ln 1ln 112323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 即()111111ln 1111112323n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 也即341111ln 212323n n n+⎛⎫⨯⨯⨯⨯<++++ ⎪⎝⎭ . 即()111ln 1123n n +<++++ . …10分 ② 再证左边不等式: ()1111ln 12341n n ++++<++ .令()()ln 11x f x x x =+-+, 则()()()'2211111x f x x x x =-=+++. 当0x >时, ()'0fx >,所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增.∴当0x >时,()()00f x f >=, 即()ln 11xx x+>+. …12分 分别取1111,,,,23x n= . 得()111111ln 11ln 1ln 1ln 123231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++>+++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 即()111ln 1111123n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111231n >++++ . 也即341111ln 223231n n n +⎛⎫⨯⨯⨯⨯>+++ ⎪+⎝⎭ . 即()111ln 1231n n+>++++ . ∴()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++ . …14分。