鄂州市2011届高三摸底考试(数学理)

2010—1011学年2011届高三摸底考试数 学（理工农医类）注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、考号填写清楚，并贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“x 2≠y 2”是“x ≠y 且x ≠－y ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a ＝6，b ＝8，A ＝30°，则满足条件的三角形有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个3．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是31，乙解决这个问题的概率是41，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 A ．127B ．121C ．1211D ．214．已知a ＞0，设maa nnn =+∞→1lim ，则m 取值范围的集合是A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,21,0B ．{}1,0C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,0D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,215．已知三条不重合的直线m ，n ，l ．两个不重合的平面α，β．给出下列命题： ①若,,//α⊂n n m 则α//m ． ②若,,βα⊥⊥m l 且m l //，则βα//．③若,//,//,,ββααn m n m ⊂⊂则βα//．④若,,,,m n n m ⊥⊂=⋂⊥ββαβα则α⊥n ．其中真命题的个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个6．设,6sin 236cos 21︒-︒=a ︒+︒=13tan 113tan 22b ，250cos 1︒-=c 则有A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b7．在Rt △ABC 中，4=C A ，2=C B ，M 为斜边AB 的中点，则MC AB ∙＝A ．10B ．5C ．1D ．68．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站在两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法总数共有 A ．60B ．48C ．42D ．369．路灯距离地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度从路灯在地面上的射影点O 沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为A ．237m/sB ．227m/sC ．247m/sD ．207m/s10．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，在x 轴上F 的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与椭圆在x 轴上方部分交于M 、N 两点，则||||||FM FN FA +的值为A BC D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

将答案填写在答题卡相应横线上。

11．设0＜θ＜π，θθsin cos 331i i i+=++，则θ的值为__________．12．已知函数)2(',)2('2)(3f n x f x x f =+-=，则二项式nx x )2(+展开式中常数项是第__________项．13．某校在一次月考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩),90(~2a N ξ(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的53，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有__________人．14．若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为{}n x m x <<)0(n m <<，则不等式02>+-a bx cx 的解集为__________．15．定义双曲正弦函数2x x e e shx --=，双曲余弦函数2xx e e chx -+=，双曲正切函数chx shx thx =，由()x x c os si n ='，()x x sin cos -='，()x x 2cos 1tan ='可类比得出双曲正弦，双曲余弦，双曲正切函数之间的关系式(写出你认为正确的三个结论即可) ①__________；②__________；③__________．三、解答题：本大题共6小题，共计75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）若方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正实数根，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）某电信服务点有连成一排的7座电话亭，此时全都空着，现有2位陌生人各随机选择不同的电话亭打电话．⑴求这2人选择的电话亭相隔数ξ的分布列和期望；⑵若电信管理员预言这2人之间至少相隔2座电话亭，求管理员预言为真的概率．18．（本小题满分12分）某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）．经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x 公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x 3＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．⑴试将y 表示成关于x 的函数；⑵需要修建多少个增压站才能使y 最小？19．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率22=e ，左、右焦点分别为F 1、F 2，定点P (2，3)，点F 2在线段PF 1的中垂线上． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M 与F 2N 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．20．（本小题满分13分）已知函数)()1ln()1()(R a x x x a x f ∈--=，e 为自然对数的底数．⑴求)(x f 在区间[]e e --1,12上的最值；⑵若*∈≥N n n ,2，试比较)!11()!311)(!211(n +++与e 的大小，并证明你的结论．21．（本小题满分14分）若数列{a n }的前n 项和S n 是(1＋x )n 二项展开式中各项系数的和(n ＝1，2，3，……)． ⑴求{a n }的通项公式；⑵若数列{b n }满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ，且n b a c nn n ⋅=，求数列{c n }的通项及其前n 项和T n ． ⑶求证：212++<⋅n n n T T T ．鄂州市2011届高三摸底考试参考答案数学（理科）一、选择题：二、填空题：11．6π12．9 13．200 14．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-m x n x 11 15．①chx shx =)'( ②shx chx=)'( ③x ch thx 21)'(=三、解答题：16．解：当a ＝0时，12x =．适合题意． ................................................................. (3分)当a ≠0时，①若方程有一正一负根，则121x x a ⋅=-<，∴a ＞0 ................. (6分) ②若方程有两个正根，则1212440012000100010a a x x a a a a x x a ⎧⎪+≥∆≥≥-⎧⎧⎪⎪⎪⎪+>⇒->⇒<⇒-≤<⎨⎨⎨⎪⎪⎪<⋅>⎩⎩⎪->⎪⎩ (11分)综上得：实数a 的取值范围是[－1，＋∞) ........................................................ (12分) 17．解：⑴依题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5； ............................... (2分)2166)0(27===C P ξ，2155)1(27===C P ξ，2144)2(27===C P ξ， 2133)3(27===C P ξ，2122)4(27===C P ξ，2111)5(27===C P ξ ........ (4分) 期望3215214213212211210=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ................ (8分) ⑵管理员预言为真的概率为21102152161)2(=--=≥ξP .......................... (12分)18．解：⑴设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝120，即1120-=x k ． ................ (2分)所以y ＝432k ＋(k ＋1)(x 3＋x )＝)(120)1120(4323x x x x ++-⨯＝x 51840＋120x 2－312．因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ≤120． ........................ (6分)故y 与x 的函数关系是)1200(312120518402≤<-+=x x x y ． ⑵设)1200(31212051840)(2≤<-+=x x x x f ，则)216(24024051840)('322-=+-=x x x x x f ． ............................................ (9分)由0)('>x f ，得x 3＞216，又0＜x ≤120，则6＜x ≤120．所以)('x f 在区间(6，120]内为增函数，在区间[0，6)内为减函数． 所以当x ＝6时，)(x f 取最小值，此时19161201120=-=-=x k ．故需要修建19个增压站才能使y 最小． ................................................. (12分)19．解：⑴由椭圆C 的离心率22=e 得22=a c ，其中22b a c -=，椭圆C 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -又点F 2在线段PF 1的中垂线上 ∴221PF F F =，∴222)2()3()2(c c -+=解得c ＝1，a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆的方程为1222=+y x ． ............................................................... (4分)⑵由题意，知直线MN 存在斜率，设其方程为y ＝kx ＋m由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x ,1222消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则124221+-=+k kmx x ，12222221+-=k m x x 且1112-+=x m kx k M F ，1222-+=x mkx k N F ........................................................ (8分)由已知α＋β＝π，得022=+NF M F k k ，即0112211=-++-+x mkx x m kx化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0 .............................................. (10分) ∴0212)(412222222=-+--+-⋅m k k m km k m k 整理得m ＝－2k ．∴直线MN 的方程为y ＝k (x －2)因此直线MN 过定点，该定点的坐标为(2，0) ...................................... (12分)20．解：⑴[])1ln()(2x x x ax f -+-='，设)0)(1ln()(≤-+=x x x x h ， ................... (2分) 则)0(01)(≤≥-='x x xx h ，即h (x )在(－∞，0]上递增，故)0(0)0()(≤=≤x h x h即对[]e e x --∈1,12，有0)(<x h .......................................................... (4分) ①当a ＞0，有)(,0)(x f x f >'在[]e e --1,12上递增故22min 12)1()(e ae e f x f -=-=，e ae e f x f -=-=1)1()(max②当a ＜0，有)(,0)(x f x f >'在[]e e --1,12上递减，故e ae e f x f -=-=1)1()(min ，222max 12)1()(e ae e f x f -=-= ③当a ＝0，有,0)(=x f 0)()(max min ==x f x f .................................... (7分) ⑵若*∈≥N n n ,2，猜想：e n <+++)!11)...(!311)(!211( ............................. (9分)证明如下：据⑴知当x ≤0时恒有h (x )≤0，即ln (1－x )≤－x故⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++)!1(1ln )!31(1ln )!21(1ln )!11)...(!311)(!211(ln n n()111111312121111321211!1!31!21<-=--++-+-=-++⨯+⨯≤+++<n n n n n n故en <+++)!11)...(!311)(!211( ................................................................... (13分) 21．解：⑴由题意S n ＝2n ，S n －1＝2n －1(n ≥2)， ........................................................ (2分)两式相减得a n ＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2)． ................................................ (3分)当n ＝1时，21－1＝1≠S 1＝a 1＝2，∴⎩⎨⎧≥==-)2(2)1(21n n a n n ． .................. (4分) ⑵∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，… b n －b n －1＝2n －3．以上各式相加得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝2)321)(1(-+-n n ＝(n －1)2．∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n . ...................................................................... (6分)∴⎩⎨⎧≥⨯-=-=-2,2)2(1,21n n n c n n ． ................................................................ (7分) ∴T n ＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n －2)×2n －1，∴2T n ＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n －2)×2n ．∴－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1－(n －2)×2n ＝nn n 2)2(21)21(21⨯-----＝2n －2－(n －2)×2n ＝－2－(n －3)×2n ．∴T n ＝2＋(n －3)×2n ．当n ＝1时T 1＝－2也适合上式． ...................... (9分)⑶证：212212]2)2(2[]2)1(2[]2)2(2[++++⨯-+-⨯-+⋅⨯-+=-⋅n n n n n n n n n T T T ＝222)1()3(2)3(22)1(2++⨯-⋅-+⨯-⨯+⨯-⨯n n n n n n n－221322222)3(2]2)2(2)2(44[+++++-⨯-+=⨯-+⨯-⨯+n n n n n n n n＝]2)1[(211++-+⋅n n n ． .......................................................................... (11分)∵2n ＋1＞0，∴需证明n ＋1＜2n ＋1，用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，1＋1＜21＋1成立．②假设n ＝k 时，命题成立即k ＋1＜2k ＋1，那么，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)＋1＜2k ＋1＋1＜2k ＋1＋2k ＋1＝2·2k ＋1＝2(k＋1)＋1成立．由①、②可得，对于n ∈N *都有n ＋1＜2n ＋1成立．∴2n ＋1·[(n ＋1)－2n ＋1]＜0．∴T n ·T n ＋2＜21+n T ． ................................ (14分)注：也可用二项式定理证明。