1.3 中国古代数学中的算法案例

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1.3算法案例-秦九韶算法教学设计

1.3算法案例(二)__秦九韶算法一、内容及其解析本节的教学内容是算法案例中的秦九韶算法，它是求一元多项式的值的一种方法.在初中，学生已经学习了多项式的有关知识，那里是把多项式看作代数式.因此在本段内容的教学之前，应当先向学生说明，这里是函数的观点考察多项式，因此，求自变量取某个实数时的函数值问题，即求多项式的值就是一个常规问题.二、教学目标及其解析目标定位知识与技能:了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质.过程与方法:模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用.情感态度与价值观目标:通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久.目标解析1 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元n 次多项式的值的方法.三、问题诊断分析在本节主要存在的问题是学生不能对秦九韶算法的先进性及其程序设计的理解，所以教师要强调当多项式的次数增大时，此种方法的先进性就体现出来了，所以教师要找到规律，让学生体会此种解法的先进性.四、教学支持条件分析的一般模式在本节课的教学中准备使用多媒体辅助教学.五、教学过程设计问题一什么事了解秦九韶算法？小问题1 怎样求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当x=5时的值呢？(设计意图：通过具体的例子引入秦九韶算法.)结论：第一种一共用了10次乘法运算，5次加法运算.而第二种一共用了5次乘法运算，5次加法运算.小问题2 用秦九韶算法求n 次多项式0111...)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--当0x x =（0x 是任意实数）时的值，需要多少次乘法运算，多少次加法运算？小问题 3 如何用秦九韶算法完成一般多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++的求值问题？要求多项式的值，我们可以把它改写成：11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++.首先计算最内层括号内一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，，10n n v v x a -=+.例题1 （课本第38页例2）(设计意图：从实例到一般，先总结实例进而引申到一般) 变式巩固用秦九韶算法求多项式1432)(2367+-+-=x x x x x f 当x=2时的函数值.小问题4 你是怎么理解秦九韶算法的？结论：秦九韶算法将求n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值.课堂小结(提问方式)秦九韶算法计算多项式的值及程序设计上述的整个过程只需n 次乘法运算和n 次加法运算；观察上述n 个一次式，可发出k v 的计算要用到1k v -的值，若令0n v a =，可得到下列递推公式：01,(1,2,,)n k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩. 这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.【程序框图】：六目标检测1、利用秦九韶算法求多项式1153723+-+x x x 在23=x 的值时，在运算中下列哪个值用不到（）A 、164B 、3767C 、86652D 、851692、利用秦九韶算法求多项式1352.75.38123)(23456-++-++=x x x x x x x f 在2=x 的值，写出详细步骤.七配餐作业A 组②秦九韶算法计算多项式f(x)=12+35x-8x 2+79x 3+6x 4+5x 5+3x 6，当x=-4时的值时，υ3的值为（）A ．-845B ．220C ．-57D ．34③用秦九韶算法，求当x=2时，f(x)=x 5-5x 4+x 3-1的函数值.B 组1．秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是（）A 、秦九韶算法与直接计算相比较，大大减少了乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单.B 、秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度.C 、秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度.D 、秦九韶算法避免对自变量x 单独做幂的计算，而是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度.2.用秦九韶算法和直接算法求当0x x =时()654323126016024019264f x x x x x x x =-+-+-+的值,做的乘法次数分别为( )A.6,20B.7,20C.7,21D.6,21C 组求15.033.016.041.083.0)(2345+++++=x x x x x x f 当x=5时的值.八、教学反思1、学生还是不会分析运算次数的问题，应该给学生详细讲解.2、学生在多项式 11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++按照秦九韶算法写成标准形式是容易出错，且速度很慢，应教会学生快速的写法及检验方法.3、应多给学生介绍一些有关秦九韶算法的背景知识，这样更能吸引学生的注意力和学习兴趣，另外介绍历史名人的大致成就，扩大学生的文化视野.。

1.3 中国古代数学中的算法案例

张喜林制1.3 中国古代数学中的算法案例教材知识检索考点知识清单1．等值算法在我国古代也称为，它是用来求的方法． 2．割圆术是我国魏晋时期的数学家____在注《九章算术》中采用一____的算法计算圆周率π 的一种方法． 3．秦九韶算法是我国南宋数学家____提出的一种用于的方法．要点核心解读1．求两个正整数最大公约数的算法 (1)辗转相除法，①辗转相除法的理论基础．已知m ，n ，r 为正整数，若)0(n r r nq m <≤+=（即=r ),mod n m 则).,(),(r n n m =其中(m ，n)表示m 和n 的最大公约数．事实上，由r nq m +=知n 和r 的公约数都是m 和n 的公约数；由nq m r -=知m 和n 的公约数都是n,和r 的公约数，故m 和n 的公约数与n 和r 的公约数都相同，其最大公约数也相同.②辗转相除法的步骤．用辗转相除法求两个正整数的最大公约数，其算法可以用自然语言描述如下：第一步：给定两个正整数m ，n ；第二步：计算m 除以n,所得的余数r ；第三步：,,r n n m ==第四步：若,0=r 则m ，n 的最大公约数等于n ；否则，返回第二步.从其算法思想我们可以看出，辗转相除法的基本步骤是用较大的数（用a 表示）除以较小的数（用b 来表示），得到除式：).0(b r r nb a <≤+=由于这是一个反复执行的步骤，且执行的次数由余数r 是否等于0决定，所以我们可以把它看做一个循环体，用循环结构就可以来实现其算法．[例] 求两个正数a ，b （a>b ）的最大公约数． [解析] 算法：Sl 输入两个正整数a ，b （a>b ）；S2 如果,0),mod(=/=b a r 执行S3 ,否则转到S4；S3 把a÷b 的余数赋予r ，把b 赋予a ，把r 赋予b ，重新执行S2； S4 输出最大公约数b ．程序框图如图1-3 -1所示，根据框图程序如下：);(”“==a input a );(”“==b input b,1=r 01=/er whi);,mod(b a r = ;b a = ,r b = end);),2((%b io nt np 说明：),mod(b a r =的含义是r 为a 除以b 的余数．(2)更相减损之术（“等值算法”）．步骤：我们以求119和85这两个数的最大公约数加以说明：以两数中较大的数减去较小的数，即,3485119=-以差数34和较小的数85构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即,513485=- 再以差数51和34构成新的一对数，大数减去小数，这样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数，整个操作如下：),17,17()17,34()51,34()85,34()85,119(→→→→∴ 119与85的最大公约数为17．从其算法思想我们可以看出，更相减损之术的基本步骤是用较大的数（用a 表示）减去较小的数（用b 表示），得到式：r b a r <-=为差数）．由于这是一个反复执行的步骤，且执行的次数由差数与较小的数是否相等决定，所以我们可以把它看做一个循环体，用循环结构就可以实现其算法． (3)说明.辗转相除法的理论依据是：由nb a r r nb a -=→+=得a ，b 与b ，r 有相同的公约数；更相减损之术的理论依据是：由=-b a ,r b a r +=→得a ，b 与b ，r 有相同的公约数，从而，它们有相同的理论依据．辗转相除法与更相减损之术的区别与联系，联系：辗转相除法与更相减损之术都是求最大公约数的方法．区别：①计算上辗转相除法以除法为主，更相减损之术以减法为主．②在计算次数上，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数大小差别较大时，计算次数的区别较明显．③从结果输出的时候看，辗转相除法当余数为O 时输出除数，更相减损之术当差和减数相等时输出差． 2．割圆术(1)割圆术的过程与原理分析．我们先对单位圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形……的面积之间的关系进行分析，找出它们之间的递增规律如图1-3 -2所示，假设圆的半径为l ，面积为 s ，圆内接正n 边形面积为,n s 边长为,n x 边心距为⋅n h根据勾股定理，=n h .)2(12n x - 正2n 边形的面积为正n 边形的面积n s 再加上n 个等腰三角形(ADB)的面积和，即⋅-⋅+=)1(21.2n n n n h x n s S ①正2n 边形的边长为.)1()2(222n n n h x x -+=刘徽割圆术还注意到，如果在内接正n 边形的每一边上，作一高为CD 的矩形，就可得到⋅-+<<)(222n n n n s s s S S ②这样，我们就不仅可计算出圆周率的不足近似值，还可计算出圆周率的过剩近似值．从正六边形的面积开始计算，即,6=n 则正六边形的面积⋅⨯=4366s 用上面的公式①重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形……的面积．由于圆的半径为1，所以随着n 的增大，n S 2的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值．显然割圆术中公式①要重复计算，故可采用循环结构设计算法，用循环语句写出程序． (2)割圆术求圆周率近似值的程序举例，求π的不足近似值的程序如下：3．秦九韶算法对于任意一元n 次多项式，秦九韶算法的步骤是：首先将多项式改写为0111)(a x a x a x a x P n n n n ++++=--01211)(a x a x a x a n n n n ++++=--- 012312))((a x a x a x a x a n n n n ++++=--- ⋅+++++=--0121)))(((a x a x a x a x a n n n令,))(()1(1k n k n n n k a x a x a x a v ----++++= 则递推公式为：⎩⎨⎧+==--,,10kn k k n a x v v a v 其中n k ,,2,1 =所谓递推，就是在一系列数中已知第一个数，则其后的每一个数都可由前面的数求出．根据上面的递推公式，我们可由0v 依次求出所有的⋅.k v,101-+=n a x v v,212.-+=n a x v v ,323-+=n a x v v……,1k n k k a x v v --+=……⋅+=-01a x v v n n在上述公式中，k n k k a x v v --+=1是反复执行的，因此可用循环结构实现．程序框图如图1-3 -3所示程序：);(00”“==X input X);(”“==ninputn);(0”“==ainputa);1(1”“==ainputa……);(”“==aninputan;1=i,anv=ni ewhi<=.1);(*inaXvV-+=;1+=iiend);),2((%viontn p说明：对于一元n次多项式使用秦九韶算法仅需乘法n次，加法n次；而用直接求和法需乘法次数为2)1(+nn次，加法次数为n次．典例分类剖析考点1 求两个正整数的最大公约数[例1] (1)用“等值算法”（更相减损之术）求下列两数的最大公约数：①225，135；②98，280；③72，168；④153，119.(2)用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确．[答案],45()45,90()135,90)135,225()1(→→→<①∴),45最大公约数为45；），（），（），（），（②1414142814421456)14,70()14,84()84,98()98,182()280,98(→→→→→→→→∴ 最大公约数为14；),24,24()24,48()24,72()96,72()168,72(→→→→③∴最大公约数为24；,17)17,34()51,34()85,34()119,34()119,153(→<→→→→④∴),17最大公约数为17. ,024590,45190135,901135225)2(+⨯=+⨯=+⨯=①∴最大公约数为45； ∴+⨯=+⨯=+⨯=,061484,1418498,84298280②最大公约数为14； ∴+⨯=+⨯=,032472,24272168③最大公约数为24；∴+⨯=+⨯=+⨯=,021734,17334119,341119153④最大公约数为17.[点拨] 由本例可知，用辗转相除法求最大公约数步骤较少，而更相减损之术虽然有些步骤较多，但运算简单．[例2] 求324，243，270三个数的最大公约数．[答案] 欲求三个数的最大公约数，可先求两个数的最大公约数a ，然后求a 与第三个数的最大公约数b ，则b 为所求的三个数的最大公约数.,811243324+⨯= ,0381243+⨯=则324与243的最大公约数为.81=a 又,032781,27381270+⨯=+⨯=则324，243，270的最大公约数为27.[点拨] 该题解法可推广到求n 个数的最大公约数．1．(1)用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损之术检验所得结果； (2)用更相减损之术求161和253的最大公约数； (3)求375，85的最小公倍数，考点2秦九韶算法[例3] 已知一个一元五次多项式为++=4525)(x x x f ,8.07.16.25.323-+-x x x 用秦九韶算法求当5=x 时这个多项式的值．[答案] 可根据秦九韶算法原理，先将所给的多项式进行改写，然后由内向外逐次计算即可．8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f,8.0)7.1)6.2)5.3)25((((-+-++=x x x x x,27255=+⨯=l v ,5.815.352732=+⨯=v ,9.6896.255.1383=-⨯=v ,2.34517.159.6894=+⨯=v.2.172558.052.34515=-⨯=v所以，当5=x 时，多项式的值等于17255.2．[点拨] 利用秦九韶算法计算多项式的值，关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于下一次计算需用到上一次的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．[例4] 已知,1)(235++++=x x x x x f 求)3(f 的值．[答案]=+++++=)3(,1)1)1)1)0(((()(f x x x x x x f )13)13)03(((+⨯+⨯+<.28313)13=+⨯+⨯ 算法过程：+⨯==+⨯==+⨯==+⨯==+⨯=394941331,311310,10133,303154321v v v v v ，.2831+[点拨] 当多项式函数中间出现空项时，利用秦九韶算法求函数值，空项要补上系数为0的相应项，例如本题中的40x 这一项．当然当一个多项式函数空项很多时，用一般的计算方法可能更简单一些，如对于,52)(26+-=x x x f 要求)2(f 的值，就没有必要再利用秦九韶算法了，直接计算即可．2．(1)用秦九韶算法求多项式+=77)(x x f x x x x x x +++++2345623456当3=x 时的值．(2)用秦九韶算法求多项式12358)(467++++=x x x x x f 当2=x 时的值，优化分层测训学业水平测试1．当今世界上求多项式值的最先进的算法是( )A ．割圆术B ．更相减损之术C ．秦九韶算法D ．孙子剩余定理 2．有关辗转相除法下列说法正确的是( )．A ．它和更相减损之术一样，是求多项式值的一种方法B ．基本步骤是用较大的数m 除以较小的数n 得到除式,r nq m +=直至n r <为止C ．基本步骤是用较大的数m 除以较小的数n 得到除式=m )0(n r r qn <≤+反复进行，直到0=r 为止D ．以上说法皆错3．用等值算法求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．我国古代数学家求两个正整数最大公约数的算法，被称做，又称为____5．用秦九韶算法计算多项式+-+-=34561606012)(x x x x x f ,641922402+-x x 当2=x 时的值为6．求288与123的最大公约数．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π，这种算法称为( )． A ．弧田法 B ．逼近法 C ．割圆法 D ．割图法2．用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是( )π 的实际值． A ．大于等于 B ．小于等于 C ．等于 D ．小于3．用辗转相除法求480和288的最大公约数时，需要作除法的次数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．用秦九韶算法计算多项式+-+++=x x x x x x f 67852)(2345,11在求3=x 对应的值时，3v 的值为( )．256.-A 220.B 130.-C 130.D5．若int(x)是不超过x 的最大整数（如==)4int(,4)3.4int(),4则下列scilab 程序的目的是( )．A ．求x ，y 的最小公倍数B ．求x,y 的最大公约数C ．求x 被y 除的商D ．求y 除以x 的余数6．用秦九韶算法求65432356798312)(x x x x x x x f ++++-+=在4-=x 时1v 的值为( )．3.A 7.-B 34.-C 57.D7．已知n 次多项式⋅++++=--n n n n n a x a x a x a x P 1110)( 如果在一次算法中，计算),,4,3,2(0n k x k=的值需要k-l 次乘法，计算)(03x P 的值共需9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算)(010x P 的值共需要( )次运算．65.A 64.B 62.C 66.D8．用等值算法求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数是( )．2.A3.B4.C5.D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题后的相应位置） 9.420与882的最大公约数是．10.用秦九韶算法求多项式+-++=3266.38.135.02)(x x x x f ,2.56654x x x +-在3.1-=x 时，令 .,,,50160 a x v v a v +==,056a x v v +=则=2v11.用秦九韶算法计算,1)(23456++++++=x x x x x x x f 当=x 2时的值为12.求两个正整数的最大公约数的方法除等值算法外，还可以采用辗转相除法，也叫欧几里得算法，试用此法求出2054和210的最大公约数是____三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）13.用秦九韶算法求多项式1432)(2367+-+-=x x x x x f 当2=x 时的函数值．14.设计程序，求两个正整数m ，n 的最小公倍数．15.求下列三个数的最大公约数．77920958916.有甲、乙、丙三种溶液，分别为4200毫升，3220毫升和2520毫升，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个瓶子装入液体的体积相同．问：要使所有溶液都刚好装满小瓶中且所用瓶子最少，则小瓶的容积应为多少毫升？。

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高一数学必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例1.1.1算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2. 算法的特点:(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.1.1.2程序框图1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。

一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。

（二）构成程序框的图形符号及其作用学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下： 1、使用标准的图形符号。

2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。

3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。

判断框具有超过一个退出点的唯一符号。

4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。

5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

18-19 第1章 1.3 中国古代数学中的算法案例

1.3中国古代数学中的算法案例学习目标：1.了解割圆术中无限逼近的数学思想．(重点)2.理解更相减损之术的含义，了解其执行过程．(重点)3.掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质．(重点)4.利用秦九韶算法计算多项式的值．(难点)[自主预习·探新知]一、更相减损之术(等值算法)1．更相减损之术(等值算法)：用两数中较大的数减去较小的数，再用差数和较小数构成新的一对数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数．2．用“等值算法”求最大公约数的程序：二、割圆术用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法是计算圆周率的近似值．三、秦九韶算法1．把一元n次多项式P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写为P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.令v k＝(…(a n x＋a n－1)x＋…＋a n－(k－1))x＋a n－k，则递推公式为：⎩⎨⎧ v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ，其中k ＝1,2，…，n . 2．计算P (x 0)的方法：先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，直到最外层的一个括号，然后加上常数项．[基础自测]1．思考辨析(1)用更相减损术可以求两个正整数的最大公约数．(√)(2)使用秦九韶算法计算高次多项式的值比常规逐项计算省时的原因是减少了运算次数．(√)(3)秦九韶算法的实质是把高次式的和转化为一次式的积．(√)2．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是( )A ．准确值B ．近似值C ．循环小数D ．有理数[答案] B3．用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 3－3x 2＋2x －11当x ＝x 0时的值时，应把f (x )变形为( )A ．x 3－(3x ＋2)x －11B ．(x －3)x 2＋(2x －11)C ．(x －1)(x －2)x －11D ．((x －3)x ＋2)x －11D [f (x )＝x 3－3x 2＋2x －11＝(x 2－3x ＋2)x －11＝((x －3)x ＋2)x －11.]4．用“等值算法”可求得98与280的最大公约数为________．14 [(98,280)→(98,182)→(98,84)→(14,84)→(14,70)→(14,56)→(14,42)→(14,28)→(14,14)，∴最大公约数为14.][合作探究·攻重难]求最大公约数用“等值算法”(更相减损之术)求78和36的最大公约数．[思路探究]按等值算法的步骤执行即可．[解]操作如下：(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6)，所以最大公约数为6.用“等值算法”(更相减损之术)求98与63的最大公约数．[解]操作如下：(98,63)→(35,63)→(28,35)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7)，所以98与63的最大公约数为7.秦九韶算法的应用[探究问题]1．怎样计算多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1当x＝5时的值呢？统计所做的计算的种类及计算次数分别是什么？[提示]f(5)＝55＋54＋53＋52＋5＋1＝3 906.根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算．2．我们把多项式变形为f(x)＝x2(1＋x(1＋x(1＋x)))＋x＋1，再统计一下计算当x ＝5时的计算的种类及计算次数分别是什么？[提示]从里往外计算仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果．3．怎样利用秦九韶算法把求n次多项式f(x)的值转化为求n个一次多项式的值？[提示]f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋a n－2x n－2＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋a n－2x n－3＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝……＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…，v n＝v nx＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．－1用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．[思路探究]改写多项式，确定v0，再依次计算v i，i＝1,2,3,4,5,6,7，最后求得f(3)．[解]根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，由内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：由v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＝21 324，故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.[当堂达标·固双基]1．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为()A．5,4B．5,5C．4,4D．4,5D[n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.]2．用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是() A．2 B．3 C．4 D．5C[∵(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)，∴需做4次减法．]3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为()A．－57 B．220 C．－845 D．3 392B[v0＝3，v1＝v0x＋5，v2＝v1x＋6，v3＝v2x＋79，v4＝v3x－8，∴v4＝220.] 4．用更相减损之术求36,24的最大公约数是________．12[36－24＝12,24－12＝12，因此36,24的最大公约数是12.]5．用更相减损之术求80和36的最大公约数．[解](80,36)→(44,36)→(8,36)→(8,28)→(8,20)→(8,12)→(8,4)→(4,4)，所以80与36的最大公约数为4.。

中国古代算法案例

(1)把一元n次多项式P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改
写为 P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，
第一章 1.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 人教B版 ·数学 ·必修3
v3＝v2×0.3＋0＝0.06，
v4＝v3×0.3－0.15＝－0.132， v5＝v4×0.3－0.04＝－0.079 6，所以当x＝0.3时，多项式的值为－0.079 6. [点评] (1)用秦九韶算法求多项式的值，首先要将多项式
第一章
1.3
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用秦九韶算法求多项式的值用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x
－0.04当x＝0.3时的值．
[解析] 将f(x)写为： f(x)＝x5＋0×x4＋0.11x3＋0×x2－0.15x－0.04. 由秦九韶算法的递推公式，得 v0＝1， v1＝v0×0.3＋0＝0.3， v2＝v1×0.3＋0.11＝0.2，
构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下一对相等的数，这个数就是最大公约数．去，直到产生_____________ (2)辗转相除法（欧几里得算法）就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数
∴319、337、116的最大公约数是29.
第一章 1.3

中国古代数学中的算法案例

1.3中国古代数学中的算法案例【入门向导】秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信率1 500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营．当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀声震天．汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗．韩信骑马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌．他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名．韩信马上向将士们宣布：我军有1 073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”“神机妙算”．于是士气大振，一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团，交战不久，楚军大败而逃．这就是历史上有名的“韩信点兵”，这类问题的有解条件和解题方法被称为“中国剩余定理”，是一个典型的算法案例．1．用等值算法求两个正整数的最大公约数“等值算法”在我国古代也称为“更相减损之术”．有人称其为“约分术”，是一种对分数约分的算法；也可以用来求最大公约数．对于给定的两个不相等的正整数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差和较小的数作比较，并以较大数减去较小数，继续这个操作，直到所得的两数相等为止，则这个数就是所求的最大公约数．例1用“等值算法”求84与294的最大公约数．分析根据等值算法算理计算如下：294－84＝210；210－84＝126；126－84＝42；84－42＝42；42－42＝0.解(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)．故84与294的最大公约数是42.2．割圆术所谓“割圆术”，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上的各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种方法．割圆术的步骤：第一，从半径为1的圆内接正六边形开始，计算它的面积S6.第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形……的面积，到一定的边数(设为2m)为止，得到一列递增的数S6，S12，S24，…，S2m.第三，在第二步中各正n边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积(S2n－S n)与相应的正n边形的面积S2n相加，得S2n＋(S2n－S n)，这样又得到一列递增数：S12＋(S12－S6)，S24＋(S24－S12)，S48＋(S48－S24)，…，S2m＋(S2m－S m)．第四，圆面积S满足不等式S2m<S<S2m＋(S2m－S m)．估计S的近似值，即圆周率的近似值．3．秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法(1)秦九韶算法把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，把求f(x)＝a n x n ＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值转化为求递推公式：⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1,2，…，n )中v n 的值，所以我们可以将这个递推关系通过循环结构编写程序在计算机上实现．(2)运算次数减少，只需至多n 次乘法和n 次加法运算，而直接求和所用乘法的次数为n (n ＋1)2，加法的次数为n 次，从而大大提高了运算效率．计算机做一次乘法运算需要的时间是做加法运算的几倍到十几倍，衡量一个算法“优”“劣”的标准之一就是运算效率，减少乘法运算的次数也就加快了计算速度．所以说，秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法．例2 用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 5＋0.11x 3－0.15x －0.04，当x ＝0.3时f (x )的值．分析本题中有些项不存在，如x 4，x 2要补上，x 4写为0×x 4，x 2写为0×x 2.解将f (x )写为：f (x )＝((((x ＋0)x ＋0.11)x ＋0)x －0.15)x －0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值．v 0＝1；v 1＝1×0.3＋0＝0.3；v 2＝v 1×0.3＋0.11＝0.2；v 3＝v 2×0.3＋0＝0.06；v 4＝v 3×0.3－0.15＝－0.132；v 5＝v 4×0.3－0.04＝－0.079 6.所以，当x ＝0.3时，多项式的值为－0.079 6.点评当多项式中有几项不存在时，可将这几项看作0×x n .1．秦九韶算法计算多项式的值，要对多项式进行正确改写例1 f (x )＝3x 4＋2x 2＋4x ＋2，求f (－2)的值．错解 f (x )＝((3x 2＋2)x ＋4)x ＋2v 1＝3×(－2)2＋2＝14v 2＝14×(－2)＋4＝－24v 3＝－24×(－2)＋2＝50∴f (－2)＝50. 错解辨析错解中v 1中含有x 的二次式，不符合“秦九韶算法”.正解 f (x )＝3x 4＋0·x 3＋2x 2＋4x ＋2＝(((3x ＋0)x ＋2)x ＋4)x ＋2v 0＝3v 1＝3×(－2)＋0＝－6v 2＝－6×(－2)＋2＝14v 3＝14×(－2)＋4＝－24v 4＝－24×(－2)＋2＝50∴f (－2)＝50.2．利用秦九韶算法，当多项式中出现空项时要用0·x n 补齐例2 用秦九韶算法，求当x ＝2时，f (x )＝x 5－5x 4＋x 3－1的函数值．错解利用秦九韶算法递推公式，有v 0＝1；v 1＝1×2－5＝－3；v 2＝(－3)×2＋1＝－5；v 3＝(－5)×2－1＝－11.所以f (2)＝－11.正解利用公式有v0＝1；v1＝1×2－5＝－3；v2＝(－3)×2＋1＝－5；v3＝(－5)×2＋0＝－10；v4＝(－10)×2＋0＝－20；v5＝(－20)×2－1＝－41.所以f(2)＝－41.课本在算法案例中所介绍的等值算法(即更相减损之术)与辗转相除法(即欧几里得算法)都是求两个正整数的最大公约数的方法，它们既有相同之处，也有不同之处．更相减损之术的具体算法是：用两数中较大的数减去较小的数，用所得的差与较小的数构成新的一对数，对这一对数再用较大的数减去较小的数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是所求的最大公约数．辗转相除法的具体算法是：用两数中较大的数除以较小的数，若余数等于零，则除数为最大公约数；否则把前面的除数作为被除数，余数作为除数，继续运算，直到余数为零，此时除数即为最大公约数．例如：我们用上述两种方法来求68与48的最大公约数．等值算法操作如下：(68,48)→(20,48)→(20,28)→(20,8)→(12,8)→(4,8)→(4,4)．所以4是68与48的最大公约数．辗转相除法操作如下：(68,48)→(20,48)→(20,8)→(4,8)．所以4是68与48的最大公约数．通过比较不难看出，两种方法相同之处是：都在逐步降低两个数的差；不同之处是：更相减损之术要做到产生一对相等的数为止，辗转相除法做到余数等于零即可．如此看来，辗转相除法要比等值算法的操作程序快捷一些．例1现有长度为240 cm和560 cm两种规格的钢筋若干，要焊接一批同规格的正方体模型，问怎样设计才能保证正方体体积最大且不浪费材料？分析剪裁的长度应能被240和560同时整除，本题即为求240和560的最大公约数．解(560,240)→(320,240)→(80,240)→(80,160)→(80,80)，即240和560的最大公约数为80.故将正方体的棱长设计为80 cm时，体积最大且不浪费材料．例2有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？解每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大公约数．(147,343)→(147,196)→(147,49)→(98,49)→(49,49)∴147和343的最大公约数为49.同理可求得49与133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7克.1．(泰安模拟)用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别为()A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5答案 A2．(烟台模拟)三个数390,455,546的最大公约数是()A．65 B．91 C．26 D．13答案 D。

(必修三)13中国古代数学中的算法案例(一)(人教B版)

(必修三)13中国古代数学中的算法案例(一)(人教B版) 1.3中国古代数学中的算法案例(一)1.求两个正整数最大公约数的算法辗转相除法求两个数的最大公约数，其基本步骤是带余除法m=nq+r(0≤r<n),反复执行，直到余数r=0为止.求任意两个数的最大公约数的算法是第一步：输入两个正整数a,b(a>b);第二步：求出a÷b的余数r;第三步：令a=b,b=r,若r≠0,重复第二步；第四步：输出最大公约数a.举例说明.m=90,n=36,m=2n+18,r=18.令m=36,n=18.又有36=18某2,即m=2n,此时r=0.令m=18,n=0.故最大公约数为18.开始算理：记为a;a=b某t+c;若c≠0,记a=b,b=c,返回第2步进行循环；若c=0,输出b.输入a,b先找到a,b中较大的，=aModbcc=amodbb=ca=bc≠0N输出b结束Ya=input(“a=”);b=input(“b=”);c=mod(a,b);whilec<>0a=b;b=c;c=mod(a,b);endb更相减损术例如，求78和36的最大公约数：以两数中较大的数减去较小的数，即78-36=42;以差数42和较小的数36构成新的一对数；对这一对数再用大数减去小数，即42-36=6,再以差数6和较小的数36构成新的一对数；对这一对数再用大数减去小数，即36-6=30,再构成新的一对数；继续这一过程,直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数.操作如下：(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6).理论依据：由a-b=r→a=b+r,得(a,b)与(b,r)有相同的公约数.算法如下：S1输入两个正数a,b(a>b);S2如果a≠b,则执行S3,否则转到S5;S3将a-b的值赋予r;S4若b>r,则把b赋予a,把r赋予b,否则把r赋予a,重新执行S2;S5输出最大公约数开始输入a,ba=a-bYa≠bN输出bYa>bb=b-aN结束程序：a=input(“a=”);b=input(“b=”);whilea<>bifa>=ba=a-b;eleb=b-a;endendprint(%io(2),b,“两数的最大公约数例2:用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确。

分点突破式导学案2：1.3中国古代数学中的算法案例

1.3 中国古代数学中的算法案例第一课时§1．3．1 辗转相除法与更相减损术学习设计学法指导1．学习要求：通过阅读中国古代数学中的算法案例——辗转相除法与更相减损术，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

=+⇒=-得m，n与n，r 2．方法技巧：辗转相除法的理论依据是：由m nq r r m nq-=⇒=+，得a，b与b，r有有相同的公约数；更相减损术的理论依据是：由a b r a b r相同的公约数，所以，它们有相同的理论依据，只不过一个用除法，另一个用减法表达罢了.3．误区警示：辗转相除法与更相减损术都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显，辗转相除法比较适合于求两个比较大的数的公约数.感受理解1．两个整数372和684的最大公约数是（）A．36 B. 12 C. 186 D. 5892．两个整数324和135的最大公约数是（）A. 81 B. 54 C. 27 D. 93．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．下列对辗转相除法的说法错误的是（）A．辗转相除法也叫欧几里得算法，但比欧几里得算法早B．辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数C．在对两个数求最大公约数时，除辗转相除法还有更相减损术D．在用辗转相除法时，需要用到循环语句编写课后练习5．用更相减损术求80与36的最大公约数是__________.6. 用辗转相除法求459与357的最大公约数是________.7．分别利用辗转相除法和更相减损术求3869与6497的最大公约数。

8．根据上题中的方法，试编写一程序求两正整数,m n的最大公约数。

答案1．B．2．C．3．B．4．A．5．4。

6．51。

7．利用辗转相除法：6497386912628, 3869262811241, 262812412146, 1241146873,14673 2.7338696497=⨯+=⨯+=⨯+=⨯+=⨯即为与的最大公约数。

新人教B版高中数学(必修3)1.3《中国古代数学中的算法案例》word学案

中国古代算法案例（1）介绍中国古代算法的案例－韩信点兵－孙子问题；（2）用三种方法熟练的表示一个算法（3）让学生感受算法的意义和价值．教学重点、难点:不定方程解法的算法．教学过程一、问题情境(韩信点兵-孙子问题)：韩信是秦末汉初的著名军事家。

据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数。

韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行。

在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2333人。

众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的。

同学们，你知道吗？背景说明:1．类似的问题最早出现在我国的《算经十书》之一的《孙子算经》中原文是：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？答曰：「二十三」”2．孙子算经的作者及确切的年代均不可考，不过根据考证，确切的年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位；3．该问题的完整的表述，后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。

在中国还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止。

所得结果就是某数的最小正整数值。

用上面的歌诀来算《孙子算经》中的问题，便得到算式：2×70+3×21+2×15=233，233－105×2=23，即所求物品最少是23件。

2017-2018学年高中数学第一章算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例课件新人教B版必修3

题型一
题型二
题型三
【变式训练3】求f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8当x=5时的
函数值.
解:由于f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8
=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8,
则v0=5,v1=5×5+2=27,v2=27×5+3.5=138.5, v3=138.5×5-2.6=689.9, v4=689.9×5+1.7=3 451.2, v5=3 451.2×5-0.8=17 255.2.
5利用秦九韶算法求当x=23时,多项式7x3+3x2-5x+11的值. ①S1 x=23;
S2 y=7x3+3x2-5x+11; S3 输出y. ②S1 x=23;
(288,123)→(42,123)→(42,39)→(3,39). 想一想这种算法的道理.试着编写程序在计算机上实现. 剖析:辗转相除法求正整数a,b(a>b)的最大公约数的步骤是:计算
出a÷b的余数r,若r=0,则b为a,b的最大公约数;若r≠0,则把前面的除
数b作为新的被除数,把余数r作为新的除数,继续运算,直到余数为零,此时的除数即为a,b的最大公约数.
剖析:相同点:①都是求最大公约数的方法.②更相减损之术的理
论依据为:由m-n=r,得m=n+r,可以看出,m,n与n,r有相同的公约数; 辗转相除法的理论依据是:由m=nq+r可以看出,m,n和n,r有相同的公约数,即二者的“算理”相似.
不同点:①更相减损之术进行的是减法运算,辗转相除法进行的是除法运算,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少.②结果上,

人教b版数学必修三：1.3《中国古代数学中的》导学案(含答案)

§1.3中国古代数学中的算法案例自主学习学习目标通过三种算法案例：更相减损术、秦九韶算法、割圆术，进一步体会算法的思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平．自学导引1．求两个正整数最大公约数的算法(1)更相减损之术(等值算法)用两个数中较大的数减去较小的数，再用____和____________构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生____________，这个数就是最大公约数．(2)用“等值算法”求最大公约数的程序2．割圆术割圆术就是用________________________________的算法来计算圆周率π的一种方法．3．秦九韶算法把n次多项式P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写为P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0令v k＝________________________________，则递推公式为其中k＝1,2，…，n.对点讲练知识点一更相减损术例1用更相减损术求下列两数的最大公约数．(1)261,319；(2)1 734,816.点评通过上例可以发现用更相减损术求最大公约数，运算简单，程序易编．变式迁移1用更相减损术求63和98的最大公约数．知识点二秦九韶算法例2已知多项式f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x－1，试求当x＝3时的值．点评利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算，由于下一次的计算用到上一次计算的结果，只有细心，认真，保证中间的结果正确才能保证计算准确．变式迁移2用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．1．更相减损术求两个数的最大公约数时，一定要弄清每一次减法中的被减数、减数，同时要掌握减法应在何种情况下停止运算，得出结果．2．秦九韶算法的特点是通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n 次多项式，只需做n 次乘法和n 次加法即可．3．割圆术以直代曲、无限趋近，主要利用了“内外去留”的思想.课时作业一、选择题1．自然数8 251和6 105的最大公约数为( )A ．37B ．23C ．47D ．1112．五次多项式f (x )＝4x 5＋3x 4＋2x 3－x 2－x －12，用秦九韶算法求f (－2)等于( ) A ．－1972 B.1972 C.1832 D ．－18323．下列哪组的最大公约数与1 855,1 120的公约数不同( )A ．1 120,735B ．385,350C ．385,735D ．1 855,3254．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ＋3在x ＝2时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A ．6,6B ．5,6C ．5,5D ．6,55．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是( )A ．准确值B ．近似值C ．循环小数D ．有理数二、填空题6．228与1 995的最大公约数是________．7．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6，x ＝－4时，v 3的值为________．8．已知多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k 0 (k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1 (k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．三、解答题9．求2 007与180的最大公约数．10．用秦九韶算法求多项式f (x )＝2x 4－2x 2－5x ＋10在x ＝10的值．§1.3 中国古代数学中的算法案例自学导引1．(1)差较小的数一对相等的数 (2)while a ＝a －b b ＝b －a end2．正多边形面积逐渐逼近圆面积3．(…(a n x ＋a n －1)x ＋…＋a n －(k －1))x ＋a n －k v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k对点讲练例1 解 (1)(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)， ∴319与261的最大公约数是29.(2)因为两数皆为偶数，首先除以2得到867,408，再求867与408的最大公约数． (867,408)→(459,408)→(51,408)→(51,357)→(51,306)→(51,255)→(51,204)→(51,153)→(51,102)→(51,51)，∴1 734与816的最大公约数是51×2＝102.变式迁移1 解由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减． (63,98)→(63,35)→(28,35)→(28,7)→(21,7)→(14,7)→(7,7)，所以98和63的最大公约数是7.例2 解根据秦九韶算法多项式可改写为f (x )＝((((2x －5)x －4)x ＋3)x －6)x －1，按照由内向外的顺序，依次计算为：v 0＝2，v 1＝2×3－5＝1，v 2＝1×3－4＝－1，v 3＝(－1)×3＋3＝0，v 4＝0×3－6＝－6，v 5＝(－6)×3－1＝－19.故当x ＝3时，多项式的值为－19.变式迁移2 解 f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ，所以v 0＝7；v 1＝7×3＋6＝27；v 2＝27×3＋5＝86；v 3＝86×3＋4＝262；v 4＝262×3＋3＝789；v 5＝789×3＋2＝2 369；v 6＝2 369×3＋1＝7 108；v 7＝7 108×3＝21 324，故x ＝3时，多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值为21 324.课时作业1．A [利用更相减损术可得它们的最大公约数为37.]2．A [∵f (x )＝((((4x ＋3)x ＋2)x －1)x －1)x －12， ∴f (－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－12＝－1972] 3．D [∵(1 855,1 120)→(735,1 120)→(735,385)→(350,385)→(350,35)，∴1 855与1 120的公约数是35，由以上计算过程可知选D.]4．C5．B6．57 7．－578.12n(n＋3)2n9．解 2 007－180＝1 827 1 827－180＝1 6471 647－180＝1 467 1 467－180＝1 2871 287－180＝1 107 1 107－180＝927927－180＝747 747－180＝567567－180＝387 387－180＝207207－180＝27 180－27＝153153－27＝126 126－27＝9999－27＝72 72－27＝4545－27＝18 27－18＝918－9＝9所以2 007与180的最大公约数为9.10．解把多项式改写成以下形式：f(x)＝2x4＋0·x3－2x2－5x＋10＝(((2x＋0)x－2)x－5)x＋10.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式在x＝10的值．a4＝2v0＝a4＝2a3＝0 v1＝v0x＋a3＝20a2＝－2 v2＝v1x＋a2＝198a1＝－5 v3＝v2x＋a1＝1 975a0＝10 v4＝v3x＋a0＝19 760故f(10)＝19 760.。

高中数学《秦九韶算法与排序》教案2 北师大版必修3

〔教案〕1.3算法案例――－秦九韶算法
教学目标：
（1）在学习中国古代数学中的算法案例的同时，进一步体会算法的特点。

（2）体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

教学重点和难点
（1）重点：理解秦九韶算法的思想。

（2）难点：用循环结构表示算法的步骤。

教学基本流程
（1）设计算法，求具体多项式的值
（2）改进算法，提高运算效率
（3）介绍秦九韶算法，求一般多项式的值
（4）用循环结构表示秦九韶算法的关键步骤
（5）对秦九韶算法和算法本身的特点进行小结
教学情景设计
一、新课引入
在数学的发展史上，从公元前2、3世纪公元14世纪，中国的数学虽有过高潮，也有过低落，但一直走在世界的前列，是世界数学的中心。

中国古代数学对世界数学发展有着不可磨灭的贡献。

秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。

今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。

1.3 等值算法、割圆术、秦九韶案例

1.3 中国古代数学中的算法案例【学习目标】通过学习中国古代数学中的算法案例，进一步体会“算法”概念，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感。

【知识网络】【学路导引】学习重点：等值算法、割圆术、秦九韶算法的原理和优越性学习难点：将等值算法、割圆术、秦九韶算法转化为程序语言学法指导：通过模仿、操作、探索，将三种算法转变为程序语言，进一步理解几种基本算法语句，熟悉算法的三种基本结构，多动手，多动脑，多上机。

【范例精析】例1：求两个正整数的最大公约数。

精析：利用while循环语句和if-else条件语句编写。

解：a=input("please give zhe first number")b=input("please give zhe second number")while a<>bif a>=ba=a-b;elseb=b-a;endendprint(%io(2),a,b)点评：求两个正整数的最大公约数有等值法和辗转相除法两种方法，但是等值算法更优越。

例2：任给一个数，精确到小数点后第n位。

精析：利用取整函数floorx=input("x=")n=input("qing shu ru jing que dao xiao shu dian hou de wei shu");a=x*10^n;x=floor(a+0.5);x=x/(10^n)点评:取整函数floor是取不超过实数本身的最大整数。

例3：（1）、写出求圆周率不足近似值的程序。

（2）、写出求圆周率的过剩近似值的程序。

精析：根据祖冲之的割圆术编写。

解：(1)m=input("m=")n=6;x=1;s=6*sqrt(3)/4;for i=1:mh=sqrt(1-(x/2)^2);s=s+n*x*(1-h)/2;n=2*n;x=sqrt((x/2)^2+(1-h)^2);endprint(%io(2),n,s)(2)m=input("m=")n=6;x=1;s=6*sqrt(3)/4;for i=1:mh=sqrt(1-(x/2)^2);t=s;s=s+n*x*(1-h)/2;n=2*n;x=sqrt((x/2)^2+(1-h)^2);end$=2*s-t;print(%io(2),n,$)点评：我国古代的算法，非常适合编写成现在的计算机程序。

秦九韶算法

i ≥0 否输出v
结束
是
输入ai
练习
练习3、下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果s表示（ C ）
开始
A.a0+a1+a2+a3
B.a3+a2x0+a1x02+a0x03的值 C.a0+a1x0+a2x02+a3x03的值 D.以上答案都不是
输入a0a1a2a3x0 k=3 s=a3 k>0 k=k-1
S1 输入多项式的最高次数n, 最高次数项an和x的值; S2 令v=an，i=n-1； S3 输入i次项的系数ai； S4 v =vx+ai，i=i-1； S5 判断i≥0是否成立. 若是，则返回第三步，不是，输出多项式的值.
算法演示开始输入n,x,an v=an i=n-1 i=i-1 v=vx+ai
f(x)=1+2· x· +5· x2+3· x３+2· x4 x+6· x x· x· x· 逐项求和法
1+2+2+2=9次乘法运算，5次加法运算。
1+2+3+4+5=15次乘法运算，5次加法运算。
思考
计算多项式f(x)=2x5＋3x4＋5x3＋6x2＋2x＋1 当x = 2的值。
是否有更简单的算法,来解决此多项式的求值问题
由内向外逐层计算多项式的值：
v0=an v1=v0x+an-1； v2=v1x+an-2； v3=v2x+an-3；
……..
则递推公式为：
v0 an vk vk 1x ank k=1,2,…,n

古代数学中的算法案例

古代数学中的算法案例古代数学是人类发展历史中的重要组成部分，古代数学家们在没有现代计算设备的情况下，通过发展各种算法来解决实际问题。

以下是几个古代数学中的算法案例。

一、埃及乘法算法埃及乘法算法起源于古埃及时期，被用于解决大数字的乘法问题。

这个算法的基本思想是将一个数字分解为2的幂的和，然后将每个分解项相乘，最后将乘积相加得到结果。

例如，计算15乘以23，首先将15分解为2的幂的和，即15=1+2+4+8，然后将23与每个分解项相乘，得到23、46、92和184、最后将这些乘积相加，得到345，即15乘以23的结果。

二、中国割补算法中国割补算法是中国古代数学中的一种乘法算法，用于计算两个数的乘积。

这个算法的核心思想是通过不断削减和补充相乘数的位数，最终得到乘积。

以计算13乘以21为例，首先将13和21写成两列：```1321--23```然后将第一列的数字逐次除以2，直到最后为0，同时将第二列的数字逐次乘以2、每次除以2时，如果结果为奇数，则将第二列当前行的数字加到最后的乘积上，如果结果为偶数，则不加。

最后将所有加上的数字相加，得到乘积。

在这个例子中，结果为273三、印度乘法算法印度乘法算法是古印度数学中的一种乘法算法，用于计算两个数的乘积。

这个算法的基本思想是将一个数字分解为2的幂的和，然后将每个分解项与另一个数字相乘，最后将乘积相加得到结果。

以计算23乘以16为例，首先将23表示为2的幂的和，即23=1+2+4+16、然后将每个分解项与16相乘，得到16、32、64和256、最后将这些乘积相加，得到368，即23乘以16的结果。

四、巴比伦平方根算法巴比伦平方根算法是古巴比伦数学中的一种算法，用于求一个数字的平方根。

这个算法的基本思想是通过迭代逼近的方式，不断改进平方根的近似值。

例如，求解数字10的平方根。

首先假设一个初始近似值，例如2、然后通过将这个近似值与10除以这个近似值的平均值相加，得到新的近似值。

课时作业14：1.3 中国古代数学中的算法案例

1.3 中国古代数学中的算法案例[A 基础达标]1．我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率π，其算法的特点为( )A ．运算速率快B ．能计算出π的精确值C ．“内外夹逼”D ．无限次地分割2．用“等值算法”可求得204与85的最大公约数是( )A ．15B ．17C ．51D ．853．使用秦九韶算法求p (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0在x ＝x 0时的值时，做加法与乘法的次数分别为( )A ．n ，nB ．n ，n （n ＋1）2C ．n ，2n ＋1D ．2n ＋1，n （n ＋1）2 4．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ＋7在x ＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为( )A ．10B ．9C ．12D ．85．m 是一个正整数，对于两个正整数a ，b ，如果a －b 是m 的倍数，则称a ，b 对模m 同余，用符号a ≡b (Mod m )表示，则下列各式中不正确的为( )A ．12≡7(Mod 5)B ．21≡10(Mod 3)C ．34≡20(Mod 2)D ．47≡7(Mod 40)6．用更相减损之术求156与91的最大公约数时，需要做减法运算的次数是__________．7．用秦九韶算法求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6当x ＝－4时的值时，其中v 1的值为________．8．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x ＋1当x ＝－2时值的算法： ①第一步，x ＝－2.第二步，f (x )＝7x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x ＋1.第三步，输出f(x)．②第一步，x＝－2.第二步，f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.第三步，输出f(x)．③需要计算5次乘法，5次加法．④需要计算9次乘法，5次加法．以上说法中正确的是________(填序号)．9．求324，243，135的最大公约数．10．已知n次多项式P n(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0(a k≠0，k＝0，1，…，n)，x0为任意实数．(1)在平常的算法中，计算x k0(k＝2，3，…，n)的值需要进行k－1次运算，计算P3(x0)＝a3x3＋a2x2＋a1x＋a0的值共需要进行9次运算(6次乘法、3次加法)，那么计算P n(x0)的值需要进行多少次运算？(2)若用秦九韶算法计算P n(x0)的值，则需要进行多少次运算？[B能力提升]11．若int(x)是不超过x的最大整数(如int(4.3)＝4，int(4)＝4)，则下列程序的目的是()x ＝input(“x ＝”)；y ＝input(“y ＝”)；m ＝x ；n ＝y ；while m/n ＜＞int(m/n)c ＝m －int(m/n)*n ；m ＝n ；n ＝c ；enddisp(n)A ．求x ，y 的最小公倍数B ．求x ，y 的最大公约数C ．求x 被y 整除的商D ．求y 除以x 的余数12．已知多项式p (x )＝3x 5＋9x 4＋x 3＋kx 2＋4x ＋11，当x ＝3时值为1 616，则k ＝________．13．用秦九韶算法求当x ＝2时，f (x )＝14x 6－3x 4＋2x 3－x 2＋5x －1的值．14．(选做题)求π的近似值可以用以下公式：π26＝112＋122＋…＋1n 2，当n 越大时，越接近π的真实值．写出当n ＝1 000 时，求π的近似值的程序并画出相应的程序框图．【参考答案】[A 基础达标]1．【解析】选C.割圆术用正多边形面积代替圆面积的方法是内外夹逼，能得到π的不足和过剩近似值，其分割次数是有限的．2．【解析】选B.由更相减损之术得，204－85＝119，119－85＝34，85－34＝51，51－34＝17，34－17＝17，故204与85的最大公约数为17.3．【解析】选A.由秦九韶算法可知，做加法与乘法的次数都为n 次，故选A.4．【解析】选C.f (x )＝(((((6x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ＋7，所以加法6次，乘法6次，所以6＋6＝12(次)，故选C.5．【解析】选B.逐一验证，对于A ，12－7＝5是5的倍数；对于B ，21－10＝11不是3的倍数；对于C ，34－20＝14是2的倍数；对于D ，47－7＝40是40的倍数，故选B.6．【解析】用更相减损术求156与91的最大公约数的过程如下：156－91＝65，91－65＝26，65－26＝39，39－26＝13，26－13＝13.故13是最大公约数，共进行了5次减法运算．【答案】57．【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝3，v 1＝3×（－4）＋5＝－7. 【答案】－78．【解析】由秦九韶算法可知②③正确．【答案】②③9．解：(324，243)→(81，243)→(81，162)→(81，81)，故81是324与243的最大公约数．又(135，81)→(54，81)→(54，27)→(27，27)，故27是81与135的最大公约数．所以324，243，135的最大公约数为27.10．解：(1)加法运算次数为n ，乘法运算次数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以共需n ＋n （n ＋1）2＝n （n ＋3）2(次)． (2)加法运算次数为n 次，乘法也为n 次，共需2n 次．[B 能力提升]11．【解析】选B.由程序的功能知选项B 正确．12．【解析】由秦九韶算法，得p (x )＝((((3x ＋9)x ＋1)x ＋k )x ＋4)x ＋11.则当x ＝3时，p (3)＝(((((9＋9)×3＋1)×3)＋k )×3＋4)×3＋11 ＝(495＋3k ＋4)×3＋11＝9k ＋1 508＝1 616，所以k ＝12.【答案】1213．解：因为f (x )＝(((((14x ＋0)x －3)x ＋2)x －1)x ＋5)x －1，所以v 0＝14；v 1＝14×2＋0＝12；v 2＝12×2－3＝－2； v 3＝－2×2＋2＝－2；v 4＝－2×2－1＝－5；v 5＝－5×2＋5＝－5；v 6＝－5×2－1＝－11.所以当x ＝2时，f (x )＝－11.14．解：程序如下：i ＝1；S ＝0；while i ＜＝1000T ＝1/(i^2)；S ＝S ＋T ；i ＝i ＋1；endM ＝6*S ；P ＝sqrt(M)；print(%io(2)，P)；程序框图如图所示：。

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18-19 第1章 1.3 中国古代数学中的算法案例

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