江西省南昌市八一中学高一数学文理分科考试试题

2015—2016学年度第二学期南昌市八一中学高一文理分科考试高一数学第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1.已知全集{}{},|0,|1U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≤C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|01x x << 2.函数()221log f x x x =-+的零点所在区间是（ ） A ．11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,23. 若程序框图如右图所示，则该程序运行后输出k 的值是（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ． 54. 若等比数列{}n a 的前n 项和r S n n +=2，则=r （ ）A. 2B. 1C. 0D.1-5.设向量m 和n 的夹角为θ，且()()2,2,24,4m n m =-=-，则cos θ的值为（ ）A ．55 B ．55- C ．15D ．0 6．已知函数)sin()(ϕω+=x x f (其中,0>ω2πϕ<)图象相邻对称轴的距离为2π，一个对称中心为)0,6(π-，为了得到x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移12π个单位7.若101a b c >><<，，则 ( )A ．c c a b <B ．c cab ba < C ．log log b a a c b c < D ．log log a b c c <8．一个数学兴趣小组有女同学2名，男同学3名，现从这个数学兴趣小组中任选2名同学参加数学竞赛，则参加数学竞赛的2名同学中，女同学人数不少于男同学人数的概率为( )A.310B.25C.35D.710（第3题图）9．甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东060的方向，两船相距a 海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，甲船为了尽快追上乙船，应取北偏东θ方向前进，则=θ（ ）A. 015B. 030C. 045D. 06010．如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（ ）A.25B.710C.45D.91011.若,(0,)2παβ∈，3cos()22βα-=,1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+的值等于 （ ）A.32-B.12- C.12 D.3212.设函数()()21ln 11f x x x=+-+．则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。

共20分）13．若函数2(2)f x -的定义域是[1-，1]，则函数(32)f x +的定义域为________14．函数x x x x y cos sin cos sin ++⋅=取得最大值时，x 的集合为15．ABC ∆中，60,3,2,A AB AC D ===是AC 边的中点，点E 在AB 边上，且12AE EB =，BD 与CE 交于点M ，N 是BC 的中点，则________AM AN =16. 若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________三、解答题：(共6小题，70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）已知函数()()21,41f x x g x x =+=+的定义域都是集合A ，函数()f x 和()g x 的值域分别是S 和T .（1）若[]1,2A =，求ST ；（2）若[]0,A m =，且S T =，求实数m 的值；18．（本小题满分12分)设函数()22cos 23sin cos f x x x x m ωωω=++（其中0,m R ω>∈），且函数()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6π，并过点()0,2. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若()0115f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值.19．（本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2, 5, 13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．20．（本小题满分12分）在ABC ∆中,内角A 、B 、C 对应的边长分别为a 、b 、c , 已知21sin cos 2sin a b Ba Bbc C-=-．（1）求角A ；（2）若3a =,求b c +的取值范围．21．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，101=a ，1091+=+n n S a .⑴求证：数列}{lg n a 是等差数列. ⑵设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21(5)4n T m m >- 对所有的*∈N n 都成立的最大正整数m 的值.22. （本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的函数,若对于任意[],1,1x y ∈-,都有()()()f x y f x f y +=+，且x ＞0时,有()f x ＞0 ⑴判断函数的奇偶性；⑵判断函数f x ()在[]-11，上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；⑶设(1)1f =,若()f x ＜221m am -+ ,对所有[]1,1x ∈-,[]1,1a ∈-恒成立,求实数m 的取值范围.南昌市八一中学2018届分班考数学试卷参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCDDADCDBCBA13．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--134， 14. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,42ππ 15．135 16．9 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．解：（1）解：[]1,2A =时，[][]2,5,5,9S T == {}5ST ∴=…………………………………………5 分（2）[]0,A m =时，[]21,1,1,41S m T m ⎡⎤=+=+⎣⎦S T =， 2141m m +=+，且0m >，解得，4m =………………………….10分 （注：0m =没有舍去，扣除1分）18．解：（1）()1cos 23sin 22sin 216f x x x m x m πωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭∵ ()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π, ∴ 2ω⋅6π+6π=2π，解得 ω＝1 又∵ ()f x 的图象过点（0，2），∴()02f = ，即 2sin 6π+1m +=2， 解得 0m =, ∴()f x =2sin (2x+6π)1+……………………………………6分. (2)由()0115f x =，得2sin(20x +6π)+1=511，即sin(20x +6π)=53,∵4π≤0x ≤2π，∴32π≤20x +6π≤67π， ∴cos(20x +6π)=－)62(sin 102π+-x ＝－54，cos20x =cos[(20x +6π)－6π]＝23 ⋅cos(20x +6π)+21 sin(20x +6π)＝23×（－54）+21×53343- ………………………………………12分.19．解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.………6分.(2)数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52， S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列． ………………………12分.20．（2）由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C===,∴2sin b B =,2sin c C = ∴()2sin 2sin 2sin 2sin b c B C B A B +=+=++ .........................................7分2sin 2sin cos 2cos sin B A B A B =++312sin 2cos 2sin 22B B B =+⨯+⨯π3sin 3cos 23sin 6B B B ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭； ..........................................................9分∵2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴ππ5π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, .....................................................10分 π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦． .....................................................11分所以(3,23b c ⎤+∈⎦.....................................................12分21且nn n q a a 1011==-，n a n =∴lg . 1)1(lg lg 1=-+=-∴+n n a a n n ，即}{lg n a 是首项为1，公差为1等差数列. ……………. (6分)⑵由⑴知，))1(1321211(3+++⋅+⋅=n n T n=133)1113121211(3+-=+-++-+-n n n .……………………. (9分) 23≥∴n T ，依题意有)5(41232m m ->，解得61<<-m ，…………… (11分)故所求最大正整数m 的值为5 …………………. (12分)22.（1）奇，证明略； （2）单调增，证明略； （3）(,2)(2,)m ∈-∞-+∞∪ （1）令x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）∴f（0）=0令y=-x ，则f （x-x ）=f （0）=f （x ）+f （-x ），∴f（-x ）=-f （x ） ∴f（x ）是奇函数． .......................3分 （2）函数f （x ）在[-1，1]上是增函数．设x 1，x 2∈[-1，1]且x 1＜x 则x 2-x 1＞0 ∴f（x 1）-f （x 2）=-f （x 2-x 1） 又∵x＞0，f （x ）＞0∴f（x 2-x 1）＞0∴f（x 1）-f （x 2）=-f （x 2-x 1）＜0即f （x 1）＜f （x 2）故由函数单调性定义可知，函数f （x ）在[-1，1]上是增函数．（7分）（3）设f （1）=1，若f （x ）＜221m am -+，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立． 则必须221m am -+＞1，∀a∈[-1，1]恒成立； 即22>-am m ，∀a∈[-1，1]恒成立令22)(m ma a g +-=必须g(-1)＞0g(1)＞0即解得:22-<>m m 或故实数m 的取值范围为(,2)(2,)m ∈-∞-+∞∪ …………………. (12分)。