1990年希望杯第1届八年级第2试及答案

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历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案

“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。

-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。

-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。

-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。

-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。

-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。

-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。

-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。

希望杯第一届至第十届五年级试题与答案

10．三个武术队进行擂台赛，每队派 6 名选手，先由两队各出 1 名选手上擂台比武，负者下台，不再上台，胜者继续同其它队的一位选手比武，负者下台，和胜者不同队的双一位选手上台……继续下去。当有两个队的选手全部被击败时，余下的队即获胜。这时最少要进行_____场比武。
1 6
11．两种饮水器若干个，一种容量 12 升水，另一种容量 15 升水。153 升水恰好装满这些饮水器，其中 15 升容量的_____个。
14．小光前天登录到数理天地网站，他在首页看到"您是通过什么方式知道本网站的？" 调查，他查看了投票结果，发现投票总人数是 500 人，"杂志"项的投票率是 68%。当他昨天再次登录数理天地网站时，发现"杂志"项的投票率上升到 72%，则当时的投票总人数至少是_____ 。
的四位数是
。
8． a ， b ， c 都是质数，并且 a ＋ b ＝33， b ＋ c ＝44， c ＋ d ＝66，那么 d ＝
，
BA
9．如果A◆B＝ A B ，那么1◆2－2◆3－3◆4－…－2002◆2003－2003◆2004＝
。
10．用1－8这八个自然数中的四个组成四位数，从个位到千位的的数字依次增大，且任意两个数字的
1．计算
_______ 。
2．将 1、2、3、4、5、6 分别填在右图中的每个方格内，使折叠成的正方体中对面数字的和相等。
3．在纸上画 5 条直线，最多可有_______ 个交点。
4．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：
景区
千岛湖张家界庐山三亚丽江大理九寨沟鼓浪屿
气温(℃) 11/1
算英语，平均分是91分。小永三门功课的平均成绩是

第二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试(1991年)

第二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试一、选择题：1．如图29，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 为线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则:MN PQ 等于（）A ．1；B ．2；C ．3；D ．4；2．两个正数,m n 的比是(1)t t >若m n s +=，则,m n 中较小的数可以表示为（）A.ts ；B.s ts -；C.1ts s+；D.1s t +；3.0y > ）A.-B.；C.-D.4．())()(x b b x c ++是完全平方式，则,,a b c 的关系可以写成（）A ．a b c <<；B ．22()()0a b b c -+-=；C ．c a b <<；D ．a b c =≠；5．如图30，AC CD DA BC DE ====，则BAE ∠是BAC ∠的（）A ．4倍；B ．3倍；C ．2倍；D ．1倍；6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则,,AD BD CD 满足关系式（）A.222AD BD CD =+；B ．222AD BD CD >+；C ．2222AD BD CD =+；D ．2222AD BD CD >+； 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为（） A ．4；B ．3；C ．2；D ．1；8.能使分式33x y y x -的值为22,x y 的值是（）A.2212x y ==；B. 2222x y ==C. 2277x y =+=-D. 2212x y =+=9．在整数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ，则x y z u +++的值为（）A ．17；B ．15；C ．13；D ．11；10．两个质数,a b ，恰好是x 的整系数方程2210x x t -+=的两个根，则b a a b +等于（） A.2213；B.5821；C.240249；D.36538；二、填空题： 1.198919911991199119891989⨯-⨯=________； 2.分解因式:22223345a b c ab ac bc +++++=________；3.222():[():()]a ba bc ac b bc ca ab c ca ab bc +++++++++的平方根是________；4．边数为,,a b c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角，其和为180︒，那么111a b c++=________； 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解，则正整数a =_______；6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精________升；搅匀后，再倒出13升混合液，并加入等量的水，搅匀后,再倒出13升混合液，并加入等量的水，这时，所得混合液中还有________升酒精； 7．如图31，在四边形ABCD 中，5,8,24,26AB cm BC cm CD cm DA cm ====，且90ABC ∠=︒，则四边形ABCD 的面积是________；8．如图32，123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=________； 9.2243x x +++的最小值的整数部分是________；10．已知两数积1ab ≠，且222123456789030,3123456789020a a b b ++=++=，则a b=________；三、解答题：1.已知两个正数的立方和是最小的质数，求证：这两个数之和不大于2；2．一块四边形的地（如图33）(//,//EO FK OH KG )内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时，那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明；答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

希望杯第1-8届五年级数学试题及答案(WORD版)

第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第1试一、填空题1．计算＝_______ .2．将1、2、3、4、5、6分别填在图中的每个方格内，使折叠成的正方体中对面数字的和相等。

3．在纸上画5条直线，最多可有_______ 个交点.4．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表:其中，温差最小的景区是______ ,温差最大的景区是______ 。

5．，各表示一个两位数，若＋＝139，则＝_______ 。

6．三位数和它的反序数的差被99除,商等于_______ 与_______ 的差。

7．右图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰三角形，图2中,正方形有_______ 个，三角形有_______ 个。

8．一次智力测验，主持人亮出四块三角形的牌子:在第(4)块牌子中，？表示的数是_______ 。

9．正方形的一条对角线长13厘米，这个正方形的面积是平方厘米。

10．六位自然数1082□□能被12整除,末两位数有种情况。

11．右边的除法算式中，商数是。

12．比大，比小的分数有无穷多个，请写出三个：。

13．A、B、C、D、E五位同学进行乒乓球循环赛（即每2人赛一场),比赛进行了一段时间后，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场,D赛了1场，这时，E 赛了场.14．观察5*2＝5＋55＝60,7*4＝7＋77＋777＋7777＝8638,推知9*5的值是。

15．警察查找一辆肇事汽车的车牌号（四位数）,一位目击者对数字很敏感，他提供情况说：“第一位数字最小,最后两位数是最大的两位偶数，前两位数字的乘积的4倍刚好比后两位数少2”。

警察由此判断该车牌号可能是。

16．一个小方木块的六个面上分别写有数字2，3，5，6,7，9。

小光，小亮二人随意往桌上扔放这个木块。

规定:当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数,得1分。

当小亮扔时,如果朝上的一面写的是奇数，得1分。

每人扔100次，得分高的可能性最大。

17．从1,2，3，4，5，6，7，8，9。

小学四年级希望杯历年数学竞赛试题与答案1-14届(最新全套完整版)

第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。

2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。

3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。

4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。

5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。

6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。

7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。

8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。

9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。

这时四个组的书一样多。

这说明甲组原来有书本。

10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。

11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。

12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。

13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。

甲说：“我会开。

”乙说：“我不会开。

”丙说：“甲不会开。

”三人的话只有一句是真话。

会开车的是。

14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。

回校后，小明补给小光28元。

小明、小光各带了元，每本书价元。

第一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试(1990年)

第一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试一、选择题：1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5:3的两部分，那么这个三角形的底边长是（）A ．7.5；B ．12；C ．4；D ．12或4；2.已知2(1989)P -，那么P 的值是（）A ．1987；B ．1988；C ．1989；D ．1990；3．若,,,,,a b c x y z M ax by cz N az by cx P ay bz cx Q az bx cy >>>>=++=++=++=++，则（）A ．M P N >>且M Q N >>；B ．N P M >>且N Q M >>；C ．P M Q >>且P N Q >>；D ．Q M P >>且Q N P >>；4．凸四边形ABCD 中，90,:2:1,:DAB BCD CDA ABC AD CB ∠=∠=︒∠∠==BDA ∠=（）A ．30︒；B ．45︒；C ．60︒；D ．不能确定；5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割（）A ．是不存在的；B ．恰有一种；C ．有有限多种，但不只是一种；D ．有无穷多种；二、填空题：1．ABC ∆中，90,CAB B C ∠-∠=︒∠的平分线与AB 交于,L C ∠的外角平分线与BA 的延长线交于N ，已知3CL =，则CN =________；2.2(2)0ab -=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++⋅⋅⋅+++++的值是________； 3.已知,,a b c 满足0,8a b c abc ++==，则C 的取值范围是________；4.ABC ∆中，30,B AB BC ∠=︒==ABC ∆中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是________；5.设,,a b c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题：1．从自然数1,2,3,,354⋅⋅⋅中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177，2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和''''A B C D ，且正方形''''A B C D 的顶点'A 在正方形ABCD 的中心．当正方形''''A B C D 绕'A 转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值，这个结论对吗？证明你的判断；3．用1,9,9,0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列1234n n n n <<<⋅⋅⋅，试求：12n n ⋅之值；答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k ×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积SA＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴SA＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．。

(2020年编辑)希望杯数学竞赛第一届至十历届四年级全部试题与答案打

教育精品资料目录1.第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (2)2. 第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (5)3. 第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (7)4. 第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (10)5. 第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (13)6. 第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (16)7. 第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (18)8. 第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (21)9. 第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (23)10. 第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (26)11. 第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (28)12. 第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (30)13. 第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (32)14. 第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (36)15. 第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (39)16. 第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (41)17. 第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (44)18. 第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (46)19. 第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (48)20. 第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (50)21.第一届---第八届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案 (53)第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。

2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。

3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。

4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。

八年级数学第2届“希望杯”第1试试题

山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第2届“希望杯”第 1试试题一、选择题 : （每题 1分，共 15分）1．如图 1，已知 AB=8， AP=5，OB=6，则 OP 的长是 []A ．2;B ．3;C ．4;D ．52．方程 x 2-5x+6=0 的两个根是 []A O P B(1)A ．1，6 ;B ．2，3;C ．2，3;D ．1，63．已知△ ABC 是等腰三角形，则 [ ]A ． AB=AC;B ． AB=BC;C ． AB=AC 或 AB=BC;D ． AB=AC 或 AB=BC 或 AC=BC5(1 3) 24 34.a=, b, c4 , 则 a,b,c 的大小关系是 [ ]( 5)21 3 3 14A ． a ＞ b ＞ cB ． a=b=cC ． a=c ＞ b D． a=b ＞ c5. 若 a ≠ b, 则(b-a) a b 等于 [ ]A. 3 (ab)3 ; B. 3(a b)3 ; C.3(a b)3 ; D.3(ba)36．已知 x ，y 都是正整数，那么三边是 x ， y 和 10的三角形有 []A ． 3个B ． 4个;C ． 5个D ．无数多个7．两条直线订交所成的各角中，[ ]A ．必有一个钝角 ;B ．必有一个锐角 ;C ．必有一个不是钝角 ;D ．必有两个锐角 8．已知两个角的和构成的角与这两个角的差构成的角互补，则这两个角[ ]A ．一个是锐角另一个是钝角 ;B ．都是钝角 ;C ．都是直角 ;D ．必有一个角是直角 9．方程 x 2+|x|+1=0 有 []个实数根．A ．4;B ．2;C ．1;D ．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去 -2 ，仍得原数，这个两位数是 [ ]A ． 26;B ． 28;C ． 36;D ． 3811．若 11个连续奇数的和是 1991，把这些数按大小次序摆列起来，第六个数是[ ]A ． 179;B ． 181;C ． 183;D ． 18512. 假如2 x3x 1, 那么 3 (x 2)3(x 3)2 等于 []A ． 2x+5B ． 2x-5; C．1 D．113．方程 2x 5+x 4-20x 3-10x 2+2x+1=0有一个实数根是 [ ]A. 53; B. 5 2; C. 3 2; D. 5 314．当 a ＜ -1 时，方程 (a 3+1)x 2 +(a 2+1)x-(a+1)=0 的根的状况是 []A ．两负根 ;B ．一正根、一负根且负根的绝对值大C ．一正根、一负根且负根的绝对值小;D ．没有实数根15．甲乙二人，从 M 地同时出发去 N 地．甲用一半时间以每小时 a 公里的速度行走，另一半时间以每小时 b 公里的速度行走；乙以每小时 a 公里的速度行走一半行程，另一半路程以每小时 b 公里的速度行走．若 a ≠ b 时，则 [ ]抵达 N 地．A ．二人同时 ;B ．甲先;C ．乙先 ;D ．若 a ＞ b 时，甲先抵达，若a ＜b 时，乙先二、填空题 : （每题 1分，共 1 5分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于 ______度．2. 有理化分母 :57=______________.573. 方程 x 1 x 0 的解是 x=________.4．分解因式： x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程 x 2+(k 2-9)x+k+2=0 的两个实数根互为相反数，则k 的值是 ______．6．假如 2x 2-3x-1 与a(x-1) 2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不一样形式 , 那么ab=__.c7．方程 x 2-y 2=1991有 ______个整数解．8．当 m______时，方程 (m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图 2，在直角△ ABC 中， AD 均分∠ A ，且 BD ∶DC=2∶ 1，则∠ B 等于 ______度．D ECAAFBEGC BB DC A DF(2)(3) (4)10．如图 3，在圆上有 7个点， A ， B ， C ， D ， E ，F ，和 G ，连接每两个点的线段共可作出 __条． 11． D ， E 分别是等边△ ABC 两边 AB ， AC 上的点，且 AD=CE ，BE 与 CD 交于 F ，则∠ BFC 等于 __度．12．如图 4，△ ABC 中， AB=AC=9，∠ BAC=120°， AD 是△ ABC 的中线， AE 是△ ABD 的角均分线， DF ∥ AB 交 AE 延伸线于 F ，则 DF 的长为 ______．13．在△ ABC 中， AB=5， AC=9，则 BC 边上的中线 AD 的长的取值范围是 ______ ．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为 45°，则这个三角形的面积是 ______．15．已知方程 x 2+px+q=0有两个不相等的整数根， p ， q 是自然数，且是质数，这个方程的根是 ______．答案与提示一、提示：1．∵ OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3 ．∴ (B) ． 2．∵以 2，3代入方程，合适．故 (B) ．3．∵有两条相等的三角形是等腰三角形．∴(D) ．4．∵ a=1，b=- 1， c=1．∴ (C) ．6．∵ x=y ＞5的任何正整数，都能够和 10作三角形的三条．∴(D) ． 7．两直订交所成角能够是直角，故而 (A) ， (D) 均不可以建立．∴(C) ．8．两个角 α, β.( α +β )+( α - β )=180 ° ,即α =9 0°．故 (D) ．9．∵不 x 何数， x 2+|x| +1 是大于零的．∴(D) ．即 7a=2b+2，可 a 只好偶数， b+1是 7的倍数．故取 (A) ． 11． 11个奇数： 2n+1， 2n+3，2n+5，⋯， 2n+21． (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+ ⋯+(2n+21)=1991 ．即 11(2n+11)=1991 ．解得 n=85．∴第六个数是 2× 85+11=181．故 (B) ．∴ (A) ． 13．原方程可化(2x 5-20x 3+2x)+(x 4-10x 2+1)=0 ．即 (2x+1)(x4-10x 2+1)=0 ．即 x 4-10x 2+1=0．故取 (C) ．14 ．a＜ -1 时，a3+1＜ 0，a2+1＞ 0， a+1＜0．而若方程的两根为x1， x2，则有15．设 M， N两地距离为 S，甲需时间 t 1，乙需时间 t 2，则有∴ t 1＜ t 2，即甲先．此外：设 a=1， b=2，则甲走 6小时，共走了 9公里，这时乙走的时间为(B) ．从这个计算中，能够看到，a，b的值交换，不影响结果．故取二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180 ° - α )-(90 ° - α )=90 °．4． x 3+2x 2y+2xy 3+y 3=(x 3+y 3)+(2x 2y+2xy 2)=(x+y)(x2-xy+y 2)+2xy(x+y)=(x+y)(x 2+xy+y 2)5．二根 x ， -x ， x +(-x 1)=-(k 2-9) ．1 1 1即 k 2-9=0 ．即 k= ± 3．又，要有数根，必有△≥ 0．即 (k2-9) 2-4(k+2) ＞ 0．然k=3 不合适上边的不等式，∴k=-3 ．6．由 2x 2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c 是恒等式，故由 x=1代入，得 c=-2 ；x 2 的系数相等，有 a=2，再以 x=0代入，得 -1=a-b+c ．即 b=1．7． x 2-y 2=1991， (x-y)(y+x)=11× 181能够是9． BD ∶ DC=2∶ 1，故有 AB ∶ AC=2∶ 1，直角三角形斜与直角之比2∶ 1，有∠ B=30°．10．从 A 出可 6条，从 B 出可 5条，（因 BA 就是 AB ），从 C 出可 4条，⋯，从F 出可一条．共 1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出均可6条，共有 42条．但每条都重复一次，11．如 28．∠F=∠ 1+∠A+∠ 2．又：△ ADC≌△CEB．∴ ∠ 1=∠3．∴∠ F=∠3+∠ A+∠2=∠ B+∠ A=120°．12．△ ABC是等腰三角形， D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠ BAD=60°，∠ ADB=90°．又： AE是分角线，故∠ DAE=∠EAB=30°．又： DF∥ AB，∴∠ F=∠ BAE=30°．在△ ADF中，∠ DAF=∠ F=30°．∴ AD=DF．而在△ ADB中， AB=9，∠ B=30°．13．∵ 4＜ BC＜ 14．∴当 BC为4时， BD=CD=2，AD＜ 7．当 BC=14时， BC=CD=7，有 AD＞ 2．∴ 2＜ AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是 90°，高就是腰，其长为 10cm．15．设两根为 x1， x2．则x1+x2=-p ①x1x2=q②由题设及①，②可知， x1，x2均为负整数． q为质数，若 q为奇数，则 x1，x2均为奇数．从而 p为偶数，而偶质数只有 2，两个负整数之和为 -2 ，且不相等，这是不行能的．若q为偶数（只好是 2），两个负整数之积为 2，且不相等，只好是 -1 和 -2 ．∴方程的根是 -1 和 -2 ．。

小学四年级希望杯数学竞赛第一届至十一届全部试题与答案

第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。

2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。

3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。

4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。

5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。

6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。

7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。

8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。

这时四个组的书一样多。

这说明甲组原来有书本。

10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。

11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。

12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。

13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。

甲说：“我会开。

”乙说：“我不会开。

”丙说：“甲不会开。

”三人的话只有一句是真话。

会开车的是。

14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。

回校后，小明补给小光28元。

小明、小光各带了元，每本书价元。

历届“希望杯”(初二)第二试试题

第十二届“希望杯”（初二）第二试试题一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。

1．化简代数式322322++-的结果是（） A. 3 B. 12+C. 22+D. 222．已知多项式ax bx cx d 32+++除以x -1时，所得的余数是1，除以x -2时所得的余数是3，那么多项式ax bx cx d 32+++除以()()x x --12时，所得的余式是（）A ．21x - B. 21x + C. x +1 D. x -1 3．已知a <1且||a b a ba -+=，那么（）A. ab <0B. ab >0C. ab ≤0D. a b +<0 4．若||||a c <，b a c b a =+<22，||||，S a b cS b c a12=-=-||||，，S a c b3=-||，则S S S 123、、的大小关系是（）A. S S S 123<<B. S S S 123>>C. S S S 132<<D. S S S 132>>5．若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形6. 若∆ABC 的三边长是a 、b 、c ，且满足a b c b c 44422=+-，b c a a c 44422=+-，c a b a b 44422=+-，则∆ABC 是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形7. 平面内有n 条直线（n ≥2），这n 条直线两两相交，最多可以得到a 个交点，最少可以得到b 个交点，则a b +的值是（） A. n n ()-1 B. n n 21-+ C.n n 22- D.n n 222-+8．In fig. 1, let ∆ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and∠=BFC 120, then the magnitude relation between Ad and CE is （）A. AD CE >B. AD CE <C. AD CE =D. indefinite（英汉词典：equilateral 等边的；intersection 交点；magnitude 大小，量；indefinite 不确定的）9. 已知两个不同的质数p ，q 满足下列关系：p p m q q m 222001020010-+=-+=，，m 是适当的整数，那么p q 22+的数值是（）A. 4004006B. 3996005C. 3996003D. 400400410．小张上周工作a 小时，每小时的工资为b 元，本周他的工作时间比上周减少10％，而每小时的工资数额增加10％，则他本周的工资总额与上周的工资总额相比（）A. 增加1%B. 减少1%C. 增加1.5%D. 减少1.5% 二、填空题：（每小题6分，共60分） 11. 化简：2532306243+--+的结果是_________。

小学四年级希望杯数学竞赛第一届至十一届全部试题与答案

小学四年级希望杯数学竞赛第一届至十一届全部试题与答案第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。

2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋＝2002÷3．观察1，2，3，6，12，23，44，某，164的规律，可知某＝4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。

5．如果规定ab＝13某a－b÷8，那么1724的最后结果是6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。

8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。

这时四个组的书一样多。

这说明甲组原来有书本。

10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。

11．在a＝20032003某2002和b＝20022003某2003中，较大的数是，它比较小的数大12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。

13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。

甲说：“我会开。

”乙说：“我不会开。

”丙说：“甲不会开。

”三人的话只有一句是真话。

会开车的是14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。

回校后，小明补给小光28元。

小明、小光各带了元，每本书价元。

第希望杯初二第2试试题及答案

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第 2 试一、选择题（每题 4 分，共 40 分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后边圆括号内．1．计算21259，得数是（）A．9 位数B．10 位数C． 11 位数D．12 位数2．若xy 1 ，则代数式9xy18的值（）239x y18A．等于7B．等于5C．等于5或不存在D．等于7或不存在57753( x a) 2 ≥ 2(1 2x a)3． The integer solutions of the inequalities about x ：x b b x are 1，2，332then the number of integer pairs（a，b）is（）A． 32B．35C． 40D．48（英汉字典： integer整数）4．已知三角形三个内角的度数之比为x : y : z ，且 x y z ，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D ．等腰三角形5．如图 1 ，三个凸六边形的六个内角都是120 ，六条边的长分别为 a ，b ，c ，d ，e， f ，则以下等式中建立的是（）bacf de图1A．a b c d e f B．a c e b d fB ． a b d eC ． a c b d6．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为 a ，最长的中线的长为 m ，最长的高线的长为 h ，则（）A ． a m hB ． a h mC ． m a hD ． h m a7．某次足球竞赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，某球队参赛 15场，积 33 分，若不考虑竞赛次序，则该队胜、平、负的状况可能有（）A ．15 种B ．11 种C ．5 种D ．3 种8．若 xy0 ，x y0 ，11与 x y 成反比，则 x y2与 x 2 y 2 （）x yA ．成正比B ．成反比C ．既不可正比，也不可反比D ．关系不确立9．如图 2，已知函数 y2 k ，点 A 在正 y 轴上，过点 A 作 BC ∥ x 轴，交两个函( x 0) ，y(x 0)xx数的图象于点 B 和 C ，若 AB : AC 1:3 ，则 k 的值是（）yCABO x图2A ． 6B ．3C ． 3D ． 610 ．10 个人围成一圈做游戏，游戏的规则是：每一个人内心都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人，而后每一个人将与他相邻的两个人告诉他的数的均匀数报出来，若报出来的数如图 3所示，则报出来的数是3 的人内心想的数是（）A ．2B ． 2C ．4D ． 4110 29384756图 3二、填空题（每题4 分，共 40 分）11 ．若 x 2 2 7 x 2 0 ，则 x 4 24x 2．12 ．如图 4 ，已知点 A( a ，b) ， O 是原点， OAOA 1 ，OA OA 1 ，则点 A 1 的坐标是．yA （ a ，b ）A 1O x图 413 ．已知 ab0 ，而且 a b 0 ，则ab1 1 b 22____________．（填“ ”、“ ”、“≥ ”或“ ≤ ”）aab14 ．若 a 2b 2a 2 b2 0 ，则代数式 a a b b a b的值是．15 ．将代数式 x 3 2a 1 x 2 a 2 2a 1 x a 2 1 分解因式，得16 ． A 、B 、C 三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时辰， A 在前， 10 分钟后， C 追上 B ；又过了 5 分钟， C 追上 A ．则再过．C 在后， B 在 A 、C 正中间，分钟， B 追上 A ．17 ．边长是整数，周长等于 20 的等腰三角形有种，此中面积最大的三角形底边的长是．18 ．如图 5 ，在 △ ABC 中， AC BD ，图中的数听说明 ABC ．A30°B40° CD 图519 ．如图 6，直线 y31 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、B ，以线段 AB 为直角边在第一象限内作x3等腰直角 △ ABC ， BAC90 ．在第二象限内有一点P a ， 1，且 △ABP 的面积与 △ ABC 的面积2相等，则 △ ABC 的面积是； a ___________________yCBPO Ax 图 620 ．Given the area of△ ABC is S 1 ，and the length of its three sides are311，9 3，101313respectively ． And the perimeter of △ABCis 18 ，its area is S 2 ．Then the relationship between S 1 and S 2 isS 1S 2 ．（ fill in the blank with“ ”，“= ”or “ ”）（英汉字典： area 面积； length长度； perimeter 周长）三、解答题每题都要写出计算过程．21 ．（此题满分 10 分）解方程：2 x34 4 x 3 ．42 x 334 x【分析】令2x 3a ，4xb ，43则a1 b 1 ，ab 整理得ab 10 ，aab所以 a b 或 ab1，即3x 34 x ， ①4 3或2 x3 4 x 1 ，②43由①得x7 ，10由②得 x0 或 x52经查验，知7 ，0，5都是原方程的解．10222．（此题满分15分）如图7，等腰直角△ABC 的斜边 AB 上有两点 M、N ，且知足MN 2BN 2AM 2，将△ABC绕着 C 点顺时针旋转90 后，点M、N的对应点分别为T、S ．⑴请画出旋转后的图形，并证明△MCN△MCS⑵求MCN 的度数．BBNN MC AM SC A r图 7【分析】⑴将△ ABC 绕着C点顺时针旋转90，如图．依据旋转前后的对应关系，可知BN AS ，CN CS ， NBC SAC45所以MAS MAC SAC90．由色股定理，得MS 2AM 2AS2AM 2BN 2MN2，所以M N．M S又因为CN CS ，CM 是公共边，所以△MCN △MCS ．⑵因为 CN 顺时针旋转 90后获得 CS ，所以NCS90，上边已证得△MCN △MCS ，故MCN MCS 145．NCS223 ．（此题满分 15 分）已知长方形的边长都是整数，将边长为 2 的正方形纸片放入长方形，要求正方形的边与长方形的边平行或重合，且随意两个正方形重叠部分的面积为0，放入的正方形越多越好．⑴假如长方形的长是4，宽是 3 ，那么最多能够放入多少个边长为 2 的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？⑵假如长方形的长是 n(n ≥ 4) ，宽是 n 2 ，那么最多能够放入多少个边长为2 的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？⑶关于随意知足条件的长方形，使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55% 求长方形边长的全部可能值．（已知0.55 0.74 ）【分析】 ⑴ 最多能够放入 2 个正方形，长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是2 22 2 ．4 366.7%3⑵当 n 是偶数时， n 2 也是偶数，最多能够放入1 个正方形，长方形被覆盖的面n( n 2)4 积占整个长方形面积的百分比是 100% ．当 n 是奇数时， n2 也是奇数，最多能够放入1 3) 个正方形，长方形被覆盖的(n 1)(n4面积占整个长方形面积的百分比是 n 1 n 3n n2100% ．⑶设长方形的宽与长分别是x ，y ．若 x ，y 都是偶数，则长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的100% ，不切合题意．若 x ，y 中一个是偶数 2a ，一个是奇数 2b 1 （ a ，b 是正整数），则4ab 4ab2b0.55 ．xy2a (2b 1) 2b 1解得 b 0.61．没有知足此结果的正整数b ，这类状况也不切合题意．所以， x ，y 都是奇数．x 2a 1 ，令 y 2b 1 ， a ≤ b ，a ，b 是正整数，则有4ab0.55 ．2a 1 2ba4ab4a4a2因为2a2a 1 2b a11，12a12a 12a22ba22a所以0. 55．2a 12a得0. 7 ，4a 1.，42a 1因为 a 是正整数，所以 a 1代入①式，得4b0. 55， 3 ( 2b1)解得 b 2.4 ，因为 b 是正整数，所以 b 1 或 2故有x 3 ，y3或 5．即长方形长为 5，宽为 3，或长与宽都是 3．第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛参照答案及评分标准初二第 2 试一、选择题（每题4 分．）题号1 21 3 4 5 6 7 8 9 10答案BDBCCADADB二、填空题（每题 4 分，第 17 、19 题，每空 2 分．）题号111213141516 17 1819 20答案 -4b ，a≥1x 1 x a 1 x a 115 4；6402；3421. 21259 23 109 8 109 ，∴得数是 10 位数．2.∵xy 1 ，∴ y 3 x 32 329x 33 189 x y 18 x21x42 7 x22将其代入代数式，得315x 30 5 x 29 x y 189x3 18x2当 x2 时，原式7；当 x 2 时，原式的值不存在．53x 3a 2 ≥ 4 x 2 2ax ≥ 1a113.原不等式7 b2 x 2b 3b 3x1 7a ≤ xx 5b5于是 01a ≤ 1 ， 31b≤ 4所以 a 有 7个不一样的取值， b 有 5 个不一样的取值，75于是整数对 a , b 共有7535个．4.∵x y z ，∴x y z 2 z ，即1802z，∴z90，三角形为钝角三角形．5.如图，补三个等边三角形，则 a b c c d e a f e ，于是a b d e．a b ca cdfee6.利用直角三角形中斜边大于直角边易得结论a m h ．7.设该球队胜、平、负的场数分别为x 、y、 15 x y ，则 3x y33 ．x ≥ 0y ≥ 0 x ，于是 0 ≤ y ≤ 6 ，又y能整除 3 ，于是 y 0 , 3 , 6 ．y ≤ 153x y 33对应的 x 11 , 10 , 9 ，共3种状况．8.∵11与 x y 成反比，∴x y11m ，此中 m 为非零常数．x y x y于是yx m 2 ，所以y为定值．x y x2y2而 x y22y y1， x2y2x2 1 ，联合y为定值xxx x x所以 x y2与x2y2成正比．9. B 与 C 的纵坐标相等，即k2，∴k2AC6AC AB AB10.假定报出来的数是 3 的人内心想的数是 x ，则报出来的 12345678910数4 x x8 x 4 x12 x内心想的数于是 4x 12x20 ，解得 x2 ．11. x 4 24x 22 7 x 224 2 7 x 228 x 28 7 x4 48 7x 4828x 2 56 7x 5222 8 2 x7 25 6x 752．412. 过 A 、 A 1 作 x 轴的垂线，利用弦图简单获得A 1 b , a ．aba 2ba 211a b13.a bba b∵b 2a 2b 2aba 2，ab11ba2222而a2b2 ≥ 2 a 2 b 22bab a∴ab a b ≥1 1a b ，即ab1 1 ．b 2a 2a bb 2 a 2 ≥ a b14. ∵a 2 b 2a 2 b 2a 2b21 ， b 1110 ，∴a于是 a a b b a b 12 10 1 ．15.x 3 2 a 1 x 2 a 2 2 a 1 x2a 1x 3 2ax 2 a 2 1 x x 2 2ax a 2 1x 1 x 22axa1 a 1x 1 x a 1 x a116. 设当 B 在 A 、C 正中间是 ABBC1，则 C 相对 B 的速度为1，C 相对 A 的速度为 2 ，1015所以 B 相对 A 的速度为1，故 B 追上 A 需要时间为 30 分钟．30于是再过 15 分钟， B 追上 A ．17. 设等腰三角形的腰长为x ，则底边长为 20 2x ，于是 0 20 2xxx ，有 5 x 10 ，∴x 的可能取值有 6 , 7 , 8 , 9，共 4 种．其面积为10 1022 x10 ，∴当 x7 时三角形面积最大，此时底边长为6 ．x18. 在 BC 上取一点 E ，使得 CE CA ，简单证明 △ AEB ≌△ ADC ，于是 ABC 40 ．19. ∵ A 3 , 0 ，B 0,1，∴ AB 2于是 S △ ABC 12AB22∵S△ ABP1 1 1 a1 3 11 3 a 12 ，解得 a3 4 ．2 2222220. △ ABC 的面积不小于三边长分别为 3 , 9 , 10 的三角形面积，于是S △ABC ≥ 11 11 3 11 9 11 10262 ；而 △A B C 的面积不大于周长为 18 的正三角形面积，于是3 2S 2 ≤18243 ．49 33∴S 1 S 2 ．。

希望杯数学八年级竞赛真题及答案(1-23届)

1、第一届希望杯初二第1试试题2、第一届希望杯初二第2试试题3、第二届希望杯初二第1试试题4、第二届希望杯初二第2试试题5、第三届希望杯初二第1试试题6、第三届希望杯初二第2试试题7、第四届希望杯初二第1试试题8、第四届希望杯初二第2试试题9、第五届希望杯初二第1试试题10、第五届希望杯初二第2试试题11、第六届希望杯初二第1试试题12、第六届希望杯初二第2试试题13、第七届希望杯初二第1试试题14、第七届希望杯初二第2试试题15、第八届希望杯初二第1试试题16、第八届希望杯初二第2试试题17、第九届希望杯初二第1试试题18、第九届希望杯初二第2试试题19、第十届希望杯初二第1试试题20、第十届希望杯初二第2试试题21、第十一届希望杯初二第1试试题22、第十一届希望杯初二第2试试题23、第十二届希望杯初二第1试试题24、第十二届希望杯初二第2试试题25、第十三届希望杯初二第1试试题26、第十三届希望杯初二第2试试题27、第十四届希望杯初二第1试试题28、第十四届希望杯初二第2试试题28、第十五届希望杯初二第1试试题30、第十五届希望杯初二第2试试题31、第十六届希望杯初二第1试试题32、第十六届希望杯初二第2试试题33、第十七届希望杯初二第1试试题34、第十七届希望杯初二第2试试题35、第十八届希望杯初二第1试试题36、第十八届希望杯初二第2试试题37、第十九届希望杯初二第1试试题38、第十九届希望杯初二第2试试题39、第二十届希望杯初二第1试试题40、第二十届希望杯初二第2试试题41、第二十一届希望杯初二第1试试题42、第二十一届希望杯初二第2试试题43、第二十二届希望杯初二第1试试题44、第二十二届希望杯初二第2试试题45、第二十三届希望杯初二第1试试题46、第二十三届希望杯初二第2试试题希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

历届(1-23)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案(最新整理WORD版)

“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题............................................. 003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题............................................. 010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题............................................. 016-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题............................................. 022-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题............................................. 029-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题............................................. 034-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题............................................. 043-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题............................................. 050-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题............................................. 057-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 .......................................... 063-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题 ........................................... 070-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题........................................... 077-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题........................................... 086-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题............................................. 91-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题............................................. 99-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题........................................... 106-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题........................................... 114-12918.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题........................................... 123-13819.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题........................................... 130-14720.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题........................................... 148-15121.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题....................................... 143-16122.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题....................................... 150-16923.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题....................................... 154-17424.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 158-17825.希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题....................................... 164-18426.希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 168-18927.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题....................................... 175-19628.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题....................................... 179-20029.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题 (183)30.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题 (184)31.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第一试试题....................................... 213-21832.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第二试试题 (184)33.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第一试试题....................................... 228-23334.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第二试试题....................................... 234-23835.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第一试试题....................................... 242-246 26.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第二试试题....................................... 248-25137.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第一试试题....................................... 252-25638.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第二试试题....................................... 257-26239.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第一试试题....................................... 263-26620.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第二试试题....................................... 267-27121.希望杯第二十一届（2010年）初中一年级第一试试题 ................................... 274-27622.希望杯第二十二届（2011年）初中一年级第二试试题 ................................... 285-28823.希望杯第二十三届（2012年）初中一年级第二试试题 ................................... 288-301希望杯第一届（1990年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( )A ．a ，b 都是0．B ．a ，b 之一是0．C ．a ，b 互为相反数．D ．a ，b 互为倒数．2．下面的说法中正确的是 ( )A ．单项式与单项式的和是单项式．B ．单项式与单项式的和是多项式．C ．多项式与多项式的和是多项式．D ．整式与整式的和是整式．3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数． B ．没有最小的正有理数．C ．没有最大的负整数．D ．没有最大的非负数．4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么( ) A ．a ，b 同号． B ．a ，b 异号．C ．a ＞0． D ．b ＞0．5．大于－π并且不是自然数的整数有( ) A ．2个． B ．3个．C ．4个． D ．无数个．6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身．这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A ．0个．B ．1个．C ．2个．D ．3个．7．a 代表有理数，那么，a 和－a 的大小关系是 ( )A ．a 大于－a ．B ．a 小于－a ．C ．a 大于－a 或a 小于－a ．D ．a 不一定大于－a ．8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A ．乘以同一个数．B ．乘以同一个整式．C ．加上同一个代数式．D ．都加上1．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )A ．一样多．B ．多了．C ．少了．D ．多少都可能．10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( )A ．增多．B ．减少．C ．不变．D ．增多、减少都有可能．二、填空题（每题1分，共10分）1. 21115160.01253(87.5)(2)4571615⨯-⨯-÷⨯+--= ______． 2．198919902－198919892=______．3.2481632(21)(21)(21)(21)(21)21+++++-=________. 4. 关于x 的方程12148x x +--=的解是_________. 5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______．6.当x=-24125时,代数式(3x 3－5x 2+6x －1)－(x 3－2x 2+x －2)+(－2x 3+3x 2+1)的值是____． 7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式272711()(0.16)()73724a b b a a b --++-+的值是______. 8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克．9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的13.如果工作4天后,工作效率提高了15,那么完成这批零件的一半，一共需要______天．10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．答案与提示一、选择题1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A提示：1．令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此2．x2，2x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A．两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B．两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D．3．1是最小的自然数，A正确．可以找到正所以C“没有最大的负整数”的说法不正确．写出扩大自然数列，0，1，2，3，…，n，…，易知无最大非负数，D正确．所以不正确的说法应选C．5．在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C．6．由12=1，13=1可知甲、乙两种说法是正确的．由(－1)3=－1，可知丁也是正确的说法．而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”的说法不正确．即丙不正确．在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不正确．所以选B．7．令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D．8．对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数．所以排除A．我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x －2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B．若在方程x－2=0两边加上同一个代数式去了原方程x=2的根．所以应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D．9．设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a；第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C．10．设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为设河水速度增大后为v，(v＞v0)则往返一次所用时间为由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v所以(a+v0)(a+v)＞(a－v0)(a－v)∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用时间将增多，选A．二、填空题提示：2．198919902－198919892=(19891990+19891989)×(19891990－19891989)=(19891990+19891989)×1=39783979．3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28－1)(28+1)(216+1)=(216－1)(216+1)=232－1．2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=45．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)=－2500．6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+27．注意到：当a=－0.2，b=0.04时，a2－b=(－0.2)2－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0．8．食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000（克）．10．在4时整，时针与分针针夹角为120°即希望杯第一届（1990年）初中一年级第2试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是( )A．a%．B．(1+a)%． C.1100aa+D.100aa+2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时( )A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．3.已知数x=100,则( )A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则111,,ab b a c-的大小关系是( )A.111ab b a c<<-; B.1b a-<1ab<1c; C.1c<1b a-<1ab; D.1c<1ab<1b a-.5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有( )A．2组．B．6组．C．12组．D．16组．二、填空题（每题1分，共5分）1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m 的数值是______．3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y 的二元一次三项式的乘积．5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=13S1=13S2,求S．3.求方程11156x y z++=的正整数解.答案与提示一、选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．D提示：1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是前年比去年少这个产值差占去年的应选D．2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是①乙杯中减少的蓝墨水的数量是②∵①=②∴选C．∴x－25=(10n+2+5)2可知应当选C．4．由所给出的数轴表示（如图3）：可以看出∴①＜②＜③，∴选C．5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5∵x，y是整数，∴2x+3y，x+y也是整数．由下面的表可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．二、填空题提示：1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m≠0)得a·0+bm-c·0·m=0，∴bm=0．∵m≠0，∴b=0．∴等式改为x*y=ax-cxy．∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．∴题设的等式即x*y=5x-xy．在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．3．∵打开所有关闭着的20个房间，∴最多要试开4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15中划波浪线的三项应当这样分解：3x -52x +3现在要考虑y，只须先改写作然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2．另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方(3b)2=9b2(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．三、解答题1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．甲、乙分手后，乙继续前行的路程是这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．2．由题设可得即2S-5S3=8……②∴x，y，z都＞1，因此，当1＜x≤y≤z时，解(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四组．由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．希望杯第二届（1991年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．数1是( )A．最小整数．B．最小正数．C．最小自然数．D．最小有理数．2．若a＞b，则( )A.11a b; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|．D．a2＞b2．3．a为有理数，则一定成立的关系式是( )A．7a＞a．B．7+a＞a．C．7+a＞7．D．|a|≥7．4．图中表示阴影部分面积的代数式是( )A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( )A．(-13579)+0.2468; B.(-13579)+12468;C.(-13579)×12468; D.(-13579)÷124686．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是( ) A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132．D．5.3692．7.如果四个数的和的14是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( )A．16． B．15． C．14． D．13．8.下列分数中,大于-13且小于-14的是( )A.-1120; B.-413; C.-316; D.-617.9.方程甲:34(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( )A.甲方程的两边都加上了同一个整式x．B.甲方程的两边都乘以43x;C. 甲方程的两边都乘以43; D. 甲方程的两边都乘以34.10．如图: ，数轴上标出了有理数a，b，c的位置,其中O是原点,则111,,a b c的大小关系是( ) A.111a b c>>; B.1b >1c >1a ; C. 1b >1a >1c ; D. 1c >1a >1b .11.方程522.2 3.7x =的根是( ) A ．27． B ．28． C ．29． D ．30． 12.当x=12,y=-2时,代数式42x y xy -的值是( )A ．-6．B ．-2．C ．2．D ．6．13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )A ．225．B ．0.15．C ．0.0001．D ．1．14.不等式124816x x x xx ++++>的解集是( ) A ．x ＜16． B ．x ＞16．C ．x ＜1． D.x>-116. 15．浓度为p%的盐水m 公斤与浓度为q%的盐水n 公斤混合后的溶液浓度是 ( ) A.%2p q +; B.()%mp nq +; C.()%mp nq p q ++;D.()%mp nq m n++.二、填空题（每题1分，共15分）1．计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______． 2．计算：-32÷6×16=_______. 3．计算：(63)36162-⨯=__________.4．求值：(-1991)-|3-|-31||=______． 5．计算:1111112612203042-----=_________. 6．n 为正整数，1990n -1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则n 的最小值等于______．7. 计算：19191919199191919191⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______.8. 计算：15[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.9.在(-2)5,(-3)5,512⎛⎫-⎪⎝⎭,513⎛⎫-⎪⎝⎭中,最大的那个数是________.10．不超过(-1.7)2的最大整数是______．11.解方程21101211,_____. 3124x x xx-++-=-=12.求值:355355113113355113⎛⎫---⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________.13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______．14.一个数的相反数的负倒数是119,则这个数是_______.15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之和都相等,则ab cd efa b c d e f+++++++=____.答案与提示一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D提示：1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C．有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B．4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

希望杯第届初二第试试题及参考答案

第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛初二第2试2006年4月16日上午8：30至lO：30 得分___________一、选择题(每小题4分，共40分．)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内．1．下列四组根式中，是同类二次根式的一组是( )2．要使代数式有意义，那么实数x的取值范围是( )3．以线段a=13，b=13，c=10，d=6为边作梯形，其中a，c为梯形的两底，这样的梯形( )(A)能作一个． (B)能作两个． (C)能作无数个． (D)一个也不能作．(英汉词典：Fig．figure的缩写，图；quadrilateral四边形；diagonal对角线；value数值；variable变量；to depend on取决于；position位置)(A)是完全平方数，还是奇数． (B)是完全平方数，还是偶数．(C)不是完全平方数，但是奇数． (D)不是完全平方数，但是偶数．6．将任意一张凸四边形的纸片对折，使它的两个不相邻的顶点重合，然后剪去纸片的不重合部分，展开纸片，再一次对折，使另外的两个顶点重合，再剪去不重合的部分后展开，此时纸片的形状是( )(A)正方形． (B)长方形． (C)菱形． (D)等腰梯形．7．若a,b,c都是大于l的自然数，且c a=252b,则n的最小值是( )(A)42． (B)24． (C)21 (D)15(英汉词典：two-placed number两位数；number数，个数；to satisfy满足；complete square完全平方(数)；total总的，总数)9．下表是某电台本星期的流行歌曲排行榜，其中歌曲J 是新上榜的歌曲，箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次的变化情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，不标注的则表明名次没有变化，已知每首歌的名次变化都不超过两位，则上星期排在第1，5，7名的歌曲分别是( )(A)D ，E ，H ． (B)C ，F ，I ． (C)C ，E ，I ． (D)C ，F ，H ． 10．设n(n ≥2)个正整数1a ，2a ，…，n a ，任意改变它们的顺序后，记作1b ，2b ，…，n b ，若P=(1a -1b )(2a -2b )(33b a -)…(n a 一n b )，则( )(A)P 一定是奇数． (B)P 一定是偶数．(C)当n 是奇数时，P 是偶数． (D)当”是偶数时，P 是奇数．二、填空题(每小题4分，共40分．)11．消防云梯的长度是34米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼16米远的地方，则云梯能达到大楼的高度是______米．15．从凸n 边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形，若m 等于这个凸n 边形对角线条数的94，那么此n 边形的内角和为_____．16．某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体中聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适，那么人从感染第一个病毒后，经过_______分钟，就会感到不适．(1米=109纳米)19．如图2，等腰△ABC 中，AB=AC ，P 点在BC 边上的高AD 上，且21=PD AP ， BP 的延长线交AC 于E ，若ABC S ∆=10，则ABE S ∆=______，DEC S ∆=_______.20．一个圆周上依次放有1，2，3，…，20共20个号码牌，随意选定一个号码牌(如8)，从它开始，先把它拿掉，然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8，10，12，…)，并一直循环下去，直到剩余两个号码牌时停止，则最后剩余的两个号码的差的绝对值是______或_______．三、解答题(本大题共3小题，共40分．) 要求：写出推算过程． 21．(本小题满分10分)如图3，正方形ABCD 的边长为a ，点E 、F 、G 、H 分别在正方形的四条边上，已知EF ∥GH ．EF=GH ．(1)若AE=AH=a 31，求四边形EFGH 的周长和面积；(2)求四边形EFGH 的周长的最小值．22．(本小题满分15分)已知A 港在B 港的上游，小船于凌晨3:00从A 港出发开往B 港，到达后立即返回，来回穿梭于A 、B 港之间，若小船在静水中的速度为16千米／小时，水流速度为4千米／小时，在当晚23：OO 时，有人看见小船在距离A 港80千米处行驶．求A 、B 两个港口之间的距离.23．(本小题满分15分)在2,3两个数之间，第一次写上5132=+，第二次在2，5之间和5，3之间分别写上27252=+和4235=+,如下所示：第k 次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的k1. (1)请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和；(2)经过k 次操作后所有数的和记为k S ，第k+1次操作后所有数的和记为1+k S ，写出1+k S 与k S 之间的关系式； (3)求6S 的值.第十七届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初中二年级第2试一．选择题(每小题4分)二．填空题(每小题4分)三、解答题21．(1)如图1，连结HF ．由题知四边形EFGH 是平行四边形，所以又所以所以(3分)所以△AHE 和△DHG 都是等腰直角三角形，故∠EHG=090，四边形EFGH 是矩形．易求得所以四边形EFGH 的周长为2a 2，面积为294a ．(5分)(2)如图2，作点H 关于AB 边的对称点H '，连结H F '，交AB 于E '，连结 E 'H ．显然，点E 选在E '处时．EH+EF 的值最小，最小值等于H F '.(7分)仿(1)可知当AE≠AH 时，亦有(8分)所以因此，四边形EFGH周长的最小值为2a2．(10分)22．设A、B两个港口之间的距离为L，显然(1分)(1)若小船在23：00时正顺流而下，则小船由A港到达下游80千米处需用即19：00时小船在A港，那么在3：00到19：00的时间段内，小船顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同，而所用的时间与速度成反比，设小船顺流行驶用了t小时，则逆流行驶用了(16一t)小时，所以解得 t=6 (5分)即顺流行驶了由于所以A、B两个港口之间的距离是120千米．(7分)(2)若小船在23：00时正逆流而上，则小船到达A港需再用即小船在内顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同，而所用的时间与速度成反比，设小船顺流行驶用了t 小时，则逆流行驶用了小时，所以解得(12分)即顺流行驶了由于所以A、B两个港口之间的距离可能是100千米或200千米． (14分)（15综上所述，A、B两港口之间的距离可能是100千米或120千米或200千米．分)23．(1)第3次操作后所得到的9个数为它们的和为255(4分) (2)由题设知0S =5，则(10分)(3)因为所以(15分)。

2019-2020学年八年级数学第1届“希望杯”第2试试题.docx

2019-2020 学年八年级数学第 1届“希望杯”第 2试试题一、选择题 : （每题 1分，共 5分）1.等腰三角形周长是 24cm，一腰中线将周长分成 5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是 [ ]A．7.5B． 12. C ． 4.D． 12或42. 已知 P= 19881989199019911( 1989) 2，那么P的值是[ ]A． 1987B． 1988. C． 1989D． 19903．a＞b＞ c，x＞y＞ z，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy，则 []A． M＞ P＞ N且 M＞ Q＞N. B ．N＞ P＞ M且 N＞ Q＞ MC． P＞ M＞ Q且 P＞ N＞Q. D ．Q＞ M＞ P且 Q＞ N＞ P∠ CDA∶∠ ABC=2∶ 1,AD∶CB=1∶3 , 则∠ BDA=[] 4．凸四边形 ABCD中，∠ DAB=∠ BCD=90,A． 30°B． 45°. C ． 60° .D．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割 []A．是不存在的 . B ．恰有一种 . C．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种二、填空题 : （每题 1分，共 5分）1．△ ABC中，∠∠ B=90°，∠ C的平分线与 AB交于 L，∠ C的外角平分线与BA的延长线交于 N．已知 CL=3，则 CN=______．2．若 a 1(ab2)20 ,那么111的值是 _____.ab(a1)(b1)(a1990)( b1990)3．已知 a， b， c满足 a+b+c=0， abc=8 ，则 c的取值范围是 ______．4． ABC中 ,∠ B=300,AB=5 ,BC=3 , 三个两两互相外切的圆全在△ABC中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．a b c ab ac bc abc 5．设 a,b,c 是非零整数 , 那么b c ab ac bc abc 的值等于a _________.三、解答 : （每 5分，共 15分）1．从自然数 1， 2，3⋯， 354中任取 178个数，：其中必有两个数，它的差是177．2．平面上有两个相等的正方形ABCD和A＇ B＇ C＇ D＇，且正方形 A＇ B＇ C＇ D＇的点 A＇在正方形 ABCD的中心．当正方形 A＇ B＇C＇D＇ A＇，两个正方形的重合部分的面必然是一个定．个？明你的判断．3．用 1， 9， 9，0四个数成的所有可能的四位数中，每一个的四位数与自然数 n之和被 7除余数都不 1，将所有足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜ n2＜ n3＜n4⋯⋯，求： n1· n2之．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B) 或 (D) ．又：底为 4时，腰长是 10．符合题意．故选(C) ．=19882+3× 1988+1-1989 2=(1988+1) 2+1988-1989 2=19883．只需选 a=1，b=0，c=-1 ，x=1，y=0，z=-1 代入，由于这时 M=2，N=-2，P=-1 ，Q=-1．从而选 (A) ．4．由图 6可知：当∠ BDA=60°时，∠ CDB5．如图 7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选 (D) ．二、填空题提示：1．如图8：∠ NLC=∠ B+∠1=∠ CAB-90° +∠ 1=∠ CAB-∠3 =∠ N．∴ NC=LC=3．5．当 a， b， c均正，7．当 a， b， c不均正，-1 ．三、解答177个：(1 ，178) ， (2 ，179) ，(3 ，180) ，⋯，1．法一把 1到 354的自然数分成(177 ， 354) ．的中，任一内的两个数之差177．从 1~354中任取 178个数，即是从 177个中取出 178个数，因而至少有两个数出自同一个．也即至少有两个数之差是 177．从而明了任取的 178个数中，必有两个数，它的差是177．法二从 1到 354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1， 2，⋯， 176 177种之一．因而 178个数中，至少有两个数a， b的余数相同，也即至少有两个数a， b之差是177的倍数，即×177．又因 1~ 354中，任两数之差小于2× 177=354．所以两个不相等的数a，b之差必177．即．∴从自然数 1，2，3，⋯， 354中任取 178个数，其中必有两个数，它的差是177．2．如图 9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连 A＇B， A＇ C，由 A＇为正方形 ABCD的中心，知∠A＇ BE=∠ A＇ CF=45°．又，当 A＇ B＇与 A＇ B重合时，必有 A＇ D＇与 A＇ C重合，故知∠ EA＇ B=∠FA＇ C．在△ A＇ FC和△ A＇ EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990 ，1909， 1099， 9091， 9109，9910 ， 9901， 9 019， 9190．其中1990=7 ×284+2，1909=7 ×272+5．1099=7× 157,9091=7 × 1298+5,9109=7 × 1301+2,9910=7× 1415+5， 9901=7× 1414+3，9019=7× 1288+3， 9190=7× 1312+6．即它们被 7除的余数分别为 2， 5，0， 5， 2，5， 3， 3，6．即余数只有 0，2， 3， 5，6五种．它们加 1， 2， 3都可能有余 1的情形出现．如0+1≡ 1， 6+2≡ 1， 5+3≡ (mod7) ．而加 4之后成为： 4， 6 ，7， 9， 10，没有一个被 7除余 1，所以 4是最小的 n．又：加 5， 6有： 5+3≡ 1，6+2≡ 1．(mod7) 而加 7之后成为 7，9，10，12， 13．没有一个被 7除余 1．所以 7是次小的 n．即n 1=4， n2=7∴n 1× n2=4× 7=28．。

第二十届希望杯全国数学邀请赛初二第2试参考答案及评分标准(WORD版)

第二十届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初二第2试（每小题4分）（每小题4分，含两个空的小题，每空2分）三、解答题21.设所求的最简分数是n m ，()1,=n m ，n m <<0，15<n ，则 nn m n m 52552-=-，因为52≠n m ，且m ，n 是正整数，所以 125≥-n m .（1）当125=-n m 时，有125=-n m （当52>n m 时），或125-=-n m （当52<n m 时），所以 512+=n m 或512-=n m . 由m 是整数，知2n +1或2n -1（n <15）是5的倍数.（5分）要使nn m 5152=-最小，则n 应最大. 由2n +1或2n -1（n <15）是5的倍数，知n 最大取13，对应的m=5，此时65152=-n m .（8分）（2）当125>-n m 时，因为n <15，m ，n 是正整数，所以nnm n m 52552-=-≥6513511452>=⨯. 综上可知，52-n m 的最小值是651，此时对应的m =5，n =13，故135是最接近52，但分母小于15的最简分数. （10分）22.（1）依题意，函数y =3-x +3的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当y =0时，x =1；当x =0时，y =3，所以点A 的坐标是（1，0），点B 的坐标是（0，3）于是 AB =22OB OA +=2. 在Rt △ABC 中，∠ABC =30º，AB =2.设AC =x ，则BC =2x ，由勾股定理，得222)2(2x x =+，得342=x ，332=x .所以 AC =332， S △ABC =21AB ·AC =332. （5分）（2）点P 在第二象限内，且P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,m ，则m<0，S 四边形AOPB = S △AOB +S △BOP =21×1×3+21×3×（-m ）=()m -123. 又S △APB = S 四边形AOPB - S △AOP =()23121123⨯⨯--m =()m 2143-，由△APB 与△ABC 的面积相等，得()3322143=-m ，解得 65-=m . （10分）（3）这样的点存在，一共有6个，分别是：以AB 为底边的等腰三角形有两个，这时，Q 点的坐标是（-1，0）或（0，33）；以AB 为一条腰的等腰三角形有四个，这时，Q 点的坐标是（0，23+），（0，23-），（0，3-），（3，0）. （15分）23.点A 和点B 之间的距离是5，所以它们之间的连线是直角三角形的斜边，设点C 的坐标是（a ，b ），则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-.163942222b a b a ， ① 或者()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-.931642222b a b a ，② （5分）对于①，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+.169691682222b b a a b a ，两式相减，得 01468=--b a ，因此 )74(31-=a b ，将它代入①的第二个式子，得0)2825)(4(91=--a a ，解得 4=a ，或2528=a ，对应的b 的值是3或2521-，所以点C 的坐标是（4，3）或⎪⎭⎫ ⎝⎛-25212528，. 对应的k 的值是12或625588-. （10分）对于②，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+.996161682222b b a a b a ，两式相减，得 068=-b a ，因此 a b 34=，将它代入②的第一个式子，得0)7225(91=-a a ，解得 =a 0，或2572=a ，对应的b 的值是0或2596.因为原点不可能在反比例函数的图象上，所以点C 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛25962572，，对应的k 的值是6256912. 综上所述，k 的值是12或625588-或6256912. （15分）。