2013届高三文科数学(人教A版)一轮复习课时作业(65)参数方程

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届高考数学(理)一轮复习讲义：14.2参数方程(人教A版)

届高考数学(理)一轮复习讲义：14.2参数方程(人教A版)1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变x＝f t数t的函数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．参数方程和普通方程的互化(1)参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f t ，方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参y＝g t 数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线、圆和圆锥曲线的参数方程x＝－1－t，1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分y＝2＋t别是( )．A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线xx解析∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝ρ，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．x＝－1－t，又∵ 相加得x＋y＝1，表示直线．y＝2＋t，答案Dx＝1－2t，2．若直线(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.y＝2＋3t x＝1－2t，解析参数方程所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直y＝2＋3t，3 4线4x＋ky＝1垂直可得－2 －k ＝－1，解得k＝－6.答案－6x＝5cos θ，3．二次曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是________．y＝3sin θ x2y2解析题中二次曲线的普通方程为2591左焦点为(－4,0)．答案(－4,0)x＝t＋1，4．(20XX年湖南)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t 为参数)与y＝1－2t x＝asin θ曲线C2：(θ为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a＝________. y＝3cos θx2y2解析曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2a＋9＝1，直x2y2 3线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为20 ，故曲线a9＝1也经过这个点，代33入解得a＝2 舍去－2.3答案2 x＝5cos θ，5．(20XX年广东)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和y＝sin θ5 x＝2，4(t∈R)，它们的交点坐标为________．y＝tx＝5cos θ，x22解析由(0≤θ＜π)得，5y＝1(0≤y≤1，－5x≤5)，y＝sin θ 5 x＝2，5由4(t∈R)得，x＝42，y＝t4∴5y4＋16y2－16＝0.解得：y2＝5或y2＝－4(舍去)．5 25 . 则x＝4y2＝1又θ≥0，得交点坐标为1，5 25答案1，5对应学生211考向一参数方程与普通方程的互化把下列参数方程化为普通方程：x＝3＋cos θ，(1) y＝2－sin θ；1x＝1＋2t，(2)3y＝5＋2t.cos θ＝x－3，解(1)由已知由三角恒等式cos2 θ＋sin2θ＝1,sin θ＝2－y，可知(x－3)2＋(y－2)2＝1.3(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋2中，3得y＝5＋2(2x－2)，即3x－y＋53＝0.参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．x＝cos α，【训练1】(20XX年陕西)参数方程(α为参数)化成普通方程为y＝1＋sin α________．x＝cos α，x＝cos α，①解析由得y＝1＋sin αy－1＝sin α，② ①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1. 答案x2＋(y－1)2＝1考向二直线与圆的参数方程的应用x＝2＋tcos α，x＝1＋cos θ，已知圆C：(θ为参数)和直线l：(其y＝sin θ y＝3＋tsin α中t为参数，α为直线l的倾斜角)．2π(1)当α＝3l距离的最小值；(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．2π解(1)当α＝3l的直角坐标方程为3x＋y－33＝0，圆C的圆心3坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d＝23，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为3－1.(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cos α＋3sin α)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有π3π 3 α＋α＋解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)－12≥0，则sin ≥，即sin6 46 2或22πsin α＋6π 33ππ2πππ≤－2又0≤α＜π，故只能sin α＋6 ≥2，3≤α＋63即6α≤2.故αππ的范围是62.如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．x＝1＋t，【训练2】已知直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方y＝4－2t x＝2cos θ＋2，程为(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．[来y＝2sin θ 源: ]x＝1＋t，解由消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，y＝4－2tx＝2c os θ＋2，由消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为y＝2sin θ(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝5 2522－5. 5考向三圆锥曲线的参数方程的应用x22求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆4y＝1所得的弦长．2x＝1－2，由条件可知直线的参数方程是2y＝1＋2|2×2＋0－6|55，2＋1所以所求弦长为2解(t为参数)，代入椭圆方程2 1－22 21＋t 2＝1，可得＋425即22＋2t＋1＝0.设方程的两实根分别为t1、t2，则由二次方程的根与系数2t＋t12 5，的关系可得2tt 125则直线截椭圆的弦长是|t1－t2|＝t1＋t2 －4t1t2＝242 62 2－－4×＝555普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．【训练3】(20XX年南京模拟)过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线1x＝t＋t 1y＝t－t(t为参数)相交于A、B两点，求线段AB的长．解3x＝－3＋2s，直线的参数方程为1y＝2(s为参数)，1x＝t＋t又曲线1y＝t－t(t为参数)可以化为x2－y2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s2－3s＋10＝0，设A、B对应的参数分别为s1，s2. ∴s1＋s2＝63，s1s2＝10. ∴|AB|＝|s1－s2|＝s1＋s2 －4s1s2＝217.(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)x＝－2－2t，1．(20XX年深圳模拟)直线(t为参数)上与点A(－2,3)2y＝3＋2t的点的坐标是________．解析由题意知(－2t)2＋(2t)2＝(2)2，所以t2＝2，t＝2，代入x＝－2－2t，(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．y＝3＋2t答案(－3,4)或(－1,2)x＝2＋cos θ，2．(20XX年东莞模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯y＝sin θ一的公共点，则实数k＝________.解析曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝3答案3 x＝cos α，3．直线3x＋4y－7＝0截曲线(α为参数)的弦长为________．y＝1＋sin α|0＋4－7|3解析曲线可化为x＋(y－1)＝1，圆心到直线的距离d＝＝，则弦9＋16522|2k|31 k＝. 31＋k长l＝r－d＝5. 8答案5 x＝1－2t，x＝s，4．已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，y＝2＋kt y＝1－2s则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.解析将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋yk24＋k－1＝0，由l1∥l22＝11 k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0 k＝－1. 答案 4 －1x＝3＋3cos θ，5．(20XX年湛江调研)参数方程(θ为参数)表示的图形上的点到直y＝－3＋3sin θ线y＝x的最短距离为________．x＝3＋3cos θ，解析参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝9，圆心y＝－3＋3sin θ|3－－3 |坐标为(3，－3)，半径r＝3，则圆心到直线y＝x的距离d＝32，2则圆上点到直线y＝x的最短距离为d－r＝2－3＝2－1)．答案3(2－1)6．(20XX年陕西)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极x＝3＋cos θ，坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρy＝sin θ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.。

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——坐标系与参数方程第二课时参数方程

第二课时参数方程考试要求 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致. 3.常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.2.直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量.( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×解析 (4)当t ＝π3时，点M 的坐标为(2cos π3，4sin π3)，即M (1，23)，∴OM 的斜率k ＝2 3.2.(2019·北京卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t (t 为参数)，则点(1，0)到直线l 的距离是( ) A.15 B.25C.45D.65答案 D解析由题意可知直线l 的普通方程为4x －3y ＋2＝0，则点(1，0)到直线l 的距离d ＝|4×1－3×0＋2|42＋（－3）2＝65.故选D.3.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值是________. 答案 3解析直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)，则3－a ＝0，所以a ＝3.4.(2019·天津卷)设直线ax －y ＋2＝0和圆⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)相切，则实数a ＝________. 答案 34解析圆的参数方程消去θ，得 (x －2)2＋(y －1)2＝4. ∴圆心(2，1)，半径r ＝2. 又直线ax －y ＋2＝0与圆相切. ∴d ＝|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34.5.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为________. 答案 ±1515解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，得y ＝x tan α，设k ＝tan α，得直线的方程为y ＝kx ，由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，得(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2，0)，半径为1， ∴圆心到直线y ＝kx 的距离为 12－|AB |24＝12＝|2k |k 2＋1，得k ＝±1515.6.(易错题)设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0，2π))上任意一点，则yx 的最大值为________.答案 33解析由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝1，表示圆心为(－2，0)，半径为1的圆，yx 表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设yx ＝k ，则原问题转化为y ＝kx 和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d ≤r ，所以|－2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33，所以y x 的最大值为33.考点一参数方程与普通方程的互化1.下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 2B.⎩⎨⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t |D.⎩⎨⎧x ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，y ＝tan t答案 D解析对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ；对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ；对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，且要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ；对于D ，x ＝1－cos 2t1＋cos 2t ＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ＝y 2，符合y 2＝x .故选D.2.把下列参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数，θ∈[0，2π)). 解 (1)由已知得t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2). 即它的普通方程为3x －y ＋5－3＝0.(2)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以x 2＋y ＝1，即y ＝1－x 2. 又因为|sin θ|≤1，所以其普通方程为y ＝1－x 2(|x |≤1).3.(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为C (2，1)，半径为1. (1)写出⊙C 的一个参数方程；(2)过点F (4，1)作⊙C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.解 (1)由题意知⊙C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，则⊙C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数).(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y －1＝k (x －4)，即kx －y ＋1－4k ＝0，所以|2k －1＋1－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，则这两条切线方程分别为y ＝33x －433＋1，y ＝－33x ＋433＋1，故这两条切线的极坐标方程分别为 ρsin θ＝33ρcos θ－433＋1，ρsin θ＝－33ρcos θ＋433＋1.感悟提升 1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外，消参时要注意参数的范围.2.普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出. 考点二参数方程的应用例 1 (2022·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知点P (3，3)，曲线C 1和C 2相交于A ，B 两个不同的点，求||P A |－|PB ||的值.解(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝t －1t的参数t 消去得曲线C 1的普通方程为x 2－y 24＝1.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0，∴ρcos θ－3ρsin θ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得曲线C 2的直角坐标方程为x －3y ＝0. (2)由题意得点P (3，3)在曲线C 2上，曲线C 2的参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32t ′，y ＝3＋12t ′(t ′为参数)，将上述参数方程代入x 2－y 24＝1得11t ′2＋443t ′＋4×29＝0，① Δ>0，设t ′1，t ′2为方程①的两根，则t ′1＋t ′2＝－43，t ′1t ′2＝4×2911，∴(|P A |－|PB |)2＝(|P A |＋|PB |)2－4|P A ||PB |＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝6411，∴||P A |－|PB ||＝81111.感悟提升 1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.2.过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.训练1 (2022·晋中模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t ∈R ，t 为参数，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(1)求半圆C 的参数方程和直线l 的普通方程；(2)直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 在半圆C 上，且直线CD 的倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，△ABD 的面积为1＋3，求α的值. 解 (1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，将x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ代入，得半圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴y ＝ρsin θ＝2sin 2θ∈(1，2]，x ＝ρcos θ＝2sin θ·cos θ＝sin 2θ∈(－1，1)， ∴半圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1(1<y ≤2).由sin φ＝y －1∈(0，1]，cos φ＝x ∈(－1，1)知，可取φ∈(0，π)， ∴半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数，φ∈(0，π)).将直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝x tan α－2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)由题意可知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α，0，B (0，－2)，根据圆的参数方程中参数的几何意义，结合已知条件，可得φ＝2α，所以D (cos 2α，1＋sin 2α). 则点D 到直线AB 的距离d ＝|tan α·cos 2α－（1＋sin 2α）－2|1＋tan 2α＝|sin αcos 2α－cos αsin 2α－3cos α| ＝sin α＋3cos α，又|AB |＝（－2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α2＝2sin α.∴△ABD 的面积S ＝12·|AB |·d ＝1＋3tan α＝1＋3， ∴tan α＝ 3.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π3.考点三参数方程与极坐标方程的综合应用例2 (2020·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos k t ，y ＝sin kt (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0. (1)当k ＝1时，C 1是什么曲线？(2)当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标. 解 (1)当k ＝1时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝sin t ，消去参数t 得x 2＋y 2＝1，故曲线C 1是以坐标原点为圆心，1为半径的圆.(2)当k ＝4时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 4t ，y ＝sin 4t ，消去参数t 得C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝1.C 2的直角坐标方程为4x －16y ＋3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x －16y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14.感悟提升在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷地解决问题.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想.训练2 (2022·长春联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －2，y ＝t 2－2t (t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝2a sin θ. (1)当t 1＝1，t 2＝3时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；(2)当a ＝1时，若t 1＋t 2＝2＋3，直线MN 被曲线D 截得的弦长为3，求直线MN 的方程.解 (1)因为t 1＝1，t 2＝3，所以M (－1，－1)，N (1，3). 所以直线MN 的方程为y ＝2x ＋1. 因为ρ＝2a sin θ，所以ρ2＝2aρsin θ，又x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以曲线D 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点(0，a )，所以a ＝1.(2)由题意可知k MN ＝（t 21－2t 1）－（t 22－2t 2）（t 1－2）－（t 2－2）＝（t 1－t 2）（t 1＋t 2－2）t 1－t 2＝3，曲线D 的方程为x 2＋(y －1)2＝1，设直线MN 的方程为y ＝3x ＋m ，圆心D 到直线MN 的距离为d ，则d ＝|m －1|2，因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，所以m ＝0或m ＝2，所以直线MN 的方程为y ＝3x 或y ＝3x ＋2.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝t 2＋1(t 为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 解 (1)消去参数t ，得y ＝x ＋2，由于t 2≥0，所以普通方程为y ＝x ＋2(x ≥－1)，表示一条射线.(2)消去参数θ，得x 2＋y 2＝1，由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π2，π，所以x ∈[－1，0]，y ∈[0，1]，所以普通方程为x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤0，0≤y ≤1)，表示圆的四分之一.2.(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos θ.(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1，0)，点M 为C 上的动点，点P 满足AP→＝2AM →，写出点P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点.解 (1)根据ρ＝22cos θ，得ρ2＝22ρcos θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝22x ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝2.(2)设P (x ，y )，M (x ′，y ′)，则AP→＝(x －1，y )，AM →＝(x ′－1，y ′). 因为AP →＝2AM →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2（x ′－1），y ＝2y ′，即⎩⎨⎧x ′＝x －12＋1，y ′＝y 2. 因为点M 为C 上的动点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝2，即(x －3＋2)2＋y 2＝4.所以点P 的轨迹C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－2＋2cos α，y ＝2sin α(其中α为参数，α∈[0，2π)). 所以|CC 1|＝3－22，⊙C 1的半径r 1＝2，又⊙C 的半径r ＝2，所以|CC 1|＜r 1－r ，所以C 与C 1没有公共点.3.(2021·银川模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过定点P (3，0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2－12t(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知直线l 交曲线C 于M ，N 两点，且|PM |·|PN |＝103，求l 的参数方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，2y ＝t －1t ，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝t 2＋2＋1t 2－t 2＋2－1t 2＝4， ∴x 2－(2y )2＝4，即x 2－4y 2＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2cos 2θ－4ρ2sin 2θ＝4. 即曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ－4ρ2sin 2θ＝4.(2)设l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入x 2－4y 2＝4整理得(cos 2α－4sin 2α)t 2＋6t cos α＋5＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝5cos 2α－4sin 2α，则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5cos 2α－4sin 2α＝103.解得cos α＝±22， ∵0<α<π2，∴cos α＝22，∴α＝π4.故l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t(t 为参数). 4.(2022·合肥检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（t 14－t －14），y ＝2（t 14＋t －14）(t 为参数).在以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－22＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 2与曲线C 1交于点A ，B ，M (－2，2)，求1|MA |－1|MB |的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（t 14－t －14），y ＝2（t 14＋t －14）得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝t 14－t －14，12y ＝t 14＋t －14，两式平方相减得12y 2－2x 2＝4，即y 28－x 22＝1.又y ＝2(t 14＋t －14)≥22(t >0)， ∴曲线C 1的普通方程为y 28－x 22＝1(y ≥22).曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－22＝0，化简，得ρsin θ－ρcos θ－4＝0，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y －x －4＝0，∴曲线C 2的直角坐标方程为x －y ＋4＝0.(2)设曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝2＋22t ′(t ′为参数).代入曲线C 1的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t ′2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t ′2＝8，即3t ′2－202t ′＋40＝0.Δ＝320>0.设方程的两个实数根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2023，t 1t 2＝403，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|t 1|－1|t 2|＝||t 2|－|t 1|||t 1|·|t 2|＝|t 1－t 2||t 1|·|t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2|t 1|·|t 2|＝853403＝55，∴1|MA |－1|MB |＝55或－55.5.(2022·陕西部分学校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋sin φ－2cos φ，y ＝cos φ＋2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＋2＝0.(1)求曲线C 1的极坐标方程并判断C 1，C 2的位置关系；(2)设直线θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<α<π2，ρ∈R 分别与曲线C 1交于A ，B 两点，与曲线C 2交于P 点，若|AB |＝3|OA |，求|OP |的值.解 (1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝sin φ－2cos φ，①y ＝cos φ＋2sin φ，②①2＋②2得(x －3)2＋y 2＝5，即x 2＋y 2－6x ＋4＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ＋4＝0，ρcos θ＋2＝0得ρ2＋16＝0，此方程无解. 所以C 1，C 2相离.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ＋4＝0，θ＝α得ρ2－6ρcos α＋4＝0，因为直线θ＝α与曲线C 1有两个交点A ，B ，所以Δ＝36cos 2α－16>0，得cos α>23.设方程ρ2－6ρcos α＋4＝0的两根分别为ρ1，ρ2，则⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＋ρ2＝6cos α>0，③ρ1ρ2＝4，④因为|AB |＝3|OA |，所以|OB |＝4|OA |，即ρ2＝4ρ1，⑤由③④⑤解得ρ1＝1，ρ2＝4，cos α＝56，满足Δ>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos α＋2＝0，θ＝α得ρ＝－2cos α＝－125，所以|OP |＝|ρ|＝125.6.(2022·贵阳适应性测试)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(0<r <2，α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4cos 2θ(如图所示).(1)若r ＝2，求曲线C 1的极坐标方程，并求曲线C 1与C 2交点的直角坐标；(2)已知曲线C 2既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线C 1与C 2交于不同的四点A ，B ，C ，D ，求矩形ABCD 面积的最大值.解 (1)∵r ＝2，∴x 2＋y 2＝2，又x 2＋y 2＝ρ2，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝4cos 2θ，ρ＝2，cos 2θ＝12⇒cos θ＝±32，当cos θ＝32时，sin θ＝±12，当cos θ＝－32时，sin θ＝±12，分别代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，可得四个交点的直角坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22. (2)由(1)知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝r .由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝r ，ρ2＝4cos 2θ得cos 2θ＝r 24. ∵曲线C 2关于原点和坐标轴对称， ∴S 矩形ABCD ＝4|r cos θ||r sin θ| ＝4r 2|cos θsin θ|＝2r 2|sin 2θ| ＝2r 21－cos 22θ＝2r 21－r 416 ＝12r 216－r 4＝12r 4（16－r 4） ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫r 4＋16－r 422＝4. 当且仅当r 4＝16－r 4，即r 2＝22时等号成立. 故矩形ABCD 面积的最大值为4.。

高考数学一轮复习第2节参数方程教学案理(含解析)新人教A版选修4-4-新人教A版高三选修4-4

第二节参数方程[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)[常用结论]根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. (1)弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； (3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝gt中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．(教材改编)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．] 3．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线l 的斜率为________．－3 [将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.]4．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1) [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．]5．(教材改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则a ＝________.3 [直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则3－a ＝0，∴a ＝3.]参数方程与普通方程的互化(题组呈现)1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)．[解] (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1tt 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t，∴x ≠0.当t ≥1时，0＜x ≤1；当t ≤－1时，－1≤x ＜0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤1，0≤y ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜0，－1＜y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2， ∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0. ∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)．2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程． [解] 圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．[规律方法] 消去参数的方法1利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. 2利用三角恒等式消去参数.3根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数. 易错警示：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解.参数方程的应用(例题对讲)【例1】 (2019·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6，所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|PA |·|PB |＝ |t 1t 2|＝11.[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决.2.对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt t 为参数，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.已知△ABC 中，C ＝45°，边AB ，BC 的垂直平分线的交点为O ，且△ABC 外接圆的半径是1.(1)建立适当的坐标系，求△ABC 外接圆的参数方程； (2)若存在实数p ，q 使OC →＝pOA →＋qOB →，求p ＋q 的取值范围．[解] (1)因为线段AB ，BC 的垂直平分线的交点为O ，则O 为△ABC 的外心，且点C 在优弧AB 上，建立如图所示的平面直角坐标系．则易得△ABC 外接圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(2)由(1)知点C 的坐标可以表示为(cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，2π.由A (0,1)，B (1,0)，C (cos θ，sin θ)及OC →＝pOA →＋qOB →，得p ＝sin θ，q ＝cos θ. 于是p ＋q ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，9π4，所以p ＋q ∈[－2，1)．故p ＋q 的取值范围是[－2，1)．极坐标、参数方程的综合应用(例题对讲)【例2】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. [规律方法] 处理极坐标、参数方程综合问题的方法1涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y ＝1kx ＋2，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2cos 2θ－sin 2θ＝4，ρcos θ＋sin θ－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． [解] (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－42cos α＋sin α1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4＜α＜3π4.。

高三文科数学一轮复习课时作业(六十五) 参数方程

课时作业(六十五) 参数方程[对应学生用书P 309]1．(2020·河南洛阳期末)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝5cos α，y ＝2＋5sin α (α为参数).以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4ρcos θ－3.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点P (0，－1)，求|PM |·|AB |的值．解 (1)曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝5.由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0.(2)将两圆的方程x 2＋(y －2)2＝5与x 2＋y 2－4x ＋3＝0作差得直线AB 的方程为x －y －1＝0.点P (0，－1)在直线AB 上，设直线AB 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，代入x 2＋y 2－4x ＋3＝0化简得t 2－32 t ＋4＝0，所以t 1＋t 2＝32 ，t 1t 2＝4. 因为点M 对应的参数为t 1＋t 22 ＝322 ，所以|PM |·|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22 ·|t 1－t 2| ＝322×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝322×18－4×4 ＝3.2．(2020·安徽巢湖模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17 ，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0 或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425．从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425 . (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17＝|5sin （θ＋φ）－a －4|17 ，φ满足tan φ＝34 .当－a －4≤0，即a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917 .由题设得a ＋917＝17 ，所以a ＝8；当－a －4＞0，即a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117 ，由题设得－a ＋117 ＝17 ，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.3．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25 sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5 )，求|P A |＋|PB |. 解方法一 (1)由ρ＝25 sin θ，得x 2＋y 2－25 y ＝0，即x 2＋(y －5 )2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫3－22t 2 ＋⎝⎛⎭⎫22t 2 ＝5，即t 2－32 t ＋4＝0.由于Δ＝(32 )2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5 )，故由上式及t 的几何意义得 |P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝32 . 方法二 (1)同方法一．(2)因为圆C 的圆心为(0，5 )，半径r ＝5 ，直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋5 .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －5）2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2＋5 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1＋5．不妨设A (1，2＋5 )，B (2，1＋5 )，又点P 的坐标为(3，5 )，故|P A |＋|PB |＝8 ＋2 ＝32 .4．(2020·陕西宝鸡模拟)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ (θ为参数). (1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12 ，纵坐标压缩为原来的32 ，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的最小值．解 (1)l 的普通方程为y ＝3 (x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －1）x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1的交点坐标分别为(1，0)，⎝⎛⎭⎫12，－32 ，所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫0＋322＝1.(2)C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θy ＝32sin θ(θ为参数)，故点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫12cos θ，32sin θ ，从而点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2 ，由此当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 ＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64 (2 －1).5．(2021·江西萍乡模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3 (t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解 (1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ ，得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝t －3，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x －y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2 |t 1－t 2|＝2 ×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝2 ×82－4×7 ＝62 ，因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22 ，所以△AOB 的面积是12 |AB |·d ＝12×62 ×22 ＝12.6．(2021·江西南昌模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，a ＞0)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－42 . (1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a ＝23 时，求点P 到直线l 的距离的最小值； (2)若曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，求实数a 的取值范围．解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝－42 ，得到ρ(cos θ－sin θ)＝－8，因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以直线l 的普通方程为x －y ＋8＝0.设P (23 cos t ，2sin t )，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos t －2sin t ＋8|2 ＝|4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3－8|2＝22 |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3 －2|，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3 ＝1时，d min ＝22 ，所以点P 到直线l 的距离的最小值为22 .(2)设曲线C 上任意点P (a cos t ，2sin t )，由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，所以a cos t －2sin t ＋8＞0对任意t ∈R 恒成立． a 2＋4 sin (t －φ)＜8，其中cos φ＝2a 2＋4，sin φ＝aa 2＋4.从而a 2＋4 ＜8.由于a ＞0，解得0＜a ＜215 .即a ∈(0，215 ).。

高中数学一轮总复习文科基础复习题及解析(二)

高中数学一轮总复习文科基础复习题及解析第二部分选考部分第十二讲选考内容第一节选修4－4 坐标系与参数方程1．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一，(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.2．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解析：(1)直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)把直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)代入x 2＋y 2＝4得(1＋32t )2＋(1＋12t )2＝4，t 2＋(3＋1)t －2＝0， ∴t 1t 2＝－2，则点P 到A ，B 两点的距离之积为2.3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解析：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1 得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)因为M 点的直角坐标为(2,0)， N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2 α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ＋π4)＝－2得曲线D 的普通方程为x ＋y ＋2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0.解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．5．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α是参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝2 3. (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解析：(1)∵直线l 的极坐标方程为 ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝23， ∴ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝23， ∴32x －12y ＝2 3. 即直线l 的直角坐标方程为3x －y －43＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α 得x 24＋y 23＝1. 即曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (2cos α，3sin α)，则点P 到直线l 的距离 d ＝|23cos α－3sin α－43|2＝|15cos (α＋φ－43)|2，其中tan φ＝12.当cos(α＋φ)＝－1时，d max ＝15＋432，即点P 到直线l 的距离的最大值为15＋432. 6．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解析：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θ·sin π4)＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22.7．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1) 求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解析：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4，注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.8．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解析：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)⎝⎛⎭⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)⎝⎛⎭⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.(2)又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交．第二节选修4－5 不等式选讲1．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|.(1)若当g (x )≤5时，恒有f (x )≤6，求a 的最大值； (2)若当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解析：(1)g (x )≤5⇔|2x －1|≤－5⇔2x －1≤5⇔－2≤x ≤3；f (x )≤6⇔|2x －a |≤6－a ⇔a －6≤2x －a ≤6－a ⇔a －3≤x ≤3. 依题意有，a －3≤－2，a ≤1. 故a 的最大值为1.(2)f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋|2x －1|＋a ≥|2x －a －2x ＋1|＋a ＝|a －1|＋a ，当且仅当(2x －a )(2x －1)≤0时符号成立．解不等式|a －1|＋a ≥3，得a 的取值范围是[2，＋∞)．2．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f (x2)，则h (x )＝⎩⎨⎧1(x ≤－1)，－4x －3⎝⎛⎭⎫－1＜x ＜－12，－1(x ≥－12)所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.3．已知函数f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|.(1)若∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)＜m 成立，求m 的取值范围； (2)求使得不等式f (x )≤|4x －1|成立的x 的取值范围．解析：(1)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|(2x ＋2)－(2x －3)|＝5，∴∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)＜m 成立的m 的取值范围是(5，＋∞)． (2)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|2x ＋2＋2x －3|＝|4x －1|， ∴|2x ＋2|＋|2x －3|≥|4x －1|，当且仅当(2x ＋2)(2x －3)≥0时取等号， ∴x 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 4．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且t ≥0时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2t )．解析：(1)由|x －a |≤m ，得a －m ≤x ≤a ＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝－1，a ＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，f (x )＋t ≥f (x ＋2t )，即 |x －2＋2t |－|x －2|≤t .①当t ＝0时，不等式①恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2－2t ，2－2t －x －(2－x )≤t或⎩⎪⎨⎪⎧2－2t ≤x ＜2，x －2＋2t －(2－x )≤t 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2＋2t －(x －2)≤t ，解得x ＜2－2t 或2－2t ≤x ≤2－t 2或x ∈∅，即x ＝2－t 2.综上，当t ＝0时，原不等式的解集为R ；当t ＞0时，原不等式的解集为{x |x ≤2－t2}．5．已知a ，b ，c 为实数，且a ＋b ＋c ＝2m －2，a 2＋14b 2＋19c 2＝1－m .(1)求证：a 2＋b 24＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214； (2)求实数m 的取值范围．解析：(1)由柯西不等式得：⎣⎡⎦⎤a 2＋⎝⎛⎭⎫12b 2＋⎝⎛⎭⎫13c 2·(12＋22＋32)≥(a ＋b ＋c )2，即⎝⎛⎭⎫a 2＋14b 2＋19c 2·14≥(a ＋b ＋c )2，所以a 2＋14b 2＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214，当且仅当|a |＝14|b |＝19|c |时，取等号． (2)由已知得(a ＋b ＋c )2＝(2m －2)2，结合(1)的结论可得：14(1－m )≥(2m －2)2，即2m 2＋3m －5≤0，所以－52≤m≤1，又a2＋14b2＋19c2＝1－m≥0，所以m≤1，故m的取值范围为－52≤m≤1.6．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因为a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＋c＋d，②若a＋b＞c＋d则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．7．设f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.(1)求m；(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值．解析：(1)当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；当－1＜x＜1时，f(x)＝－1－3x＜2；当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4. 故当x ＝－1时，f (x )取得最大值m ＝2.(2)a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )，当且仅当a ＝b ＝c ＝22时，等号成立．此时，ab ＋bc 取得最大值1.8．已知函数f (x )＝|x －2|＋|x －4|的最小值为m ，实数a ，b ，c ，n ，p ，q 满足a 2＋b 2＋c 2＝n 2＋p 2＋q 2＝m .(1)求m 的值；(2)求证：n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.解析：(1)f (x )＝|x －2|＋|x －4|≥|(x －2)－(x －4)|＝2，当且仅当2≤x ≤4时，等号成立，故m ＝2.(2)因为[(n 2a )2＋(p 2b )2＋(q 2c )2]·(a 2＋b 2＋c 2)≥(n 2a ·a ＋p 2b ·b ＋q 2c ·c )2，即(n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c 2)×2≥(n 2＋p 2＋q 2)2＝4，所以n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.9．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )＜4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |＜|4＋ab |. 解析：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ＜－1，2，－1≤x ≤1.2x ，x ＞1，当x ＜－1时，由－2x ＜4，得－2＜x ＜－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2＜4，∴－1≤x ≤1；当x ＞1时，由2x ＜4，得1＜x ＜2. ∴M ＝(－2,2)．(2)证明：a ，b ∈M 即－2＜a ＜2，－2＜b ＜2.∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)＜0， ∴4(a ＋b )2＜(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |＜|4＋ab |.10．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1,1]，且|f (x )|的最大值为M . (1)试证明|1＋b |≤M ； (2)试证明M ≥12；(3)当M ＝12时，试求出f (x )的解析式．解析：(1)∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |，M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |，∴M ≥|1＋b |.(2)依题意，M ≥|f (－1)|，M ≥|f (0)|，M ≥|f (1)|，又|f (－1)|＝|1－a ＋b |，|f (1)|＝|1＋a ＋b |，|f (0)|＝|b |，∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋2|b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )－2b ＋(1＋a ＋b )|＝2.∴M ≥12.(3)当M ＝12时，|f (0)|＝|b |≤12，－12≤b ≤12.①同理－12≤1＋a ＋b ≤12.②－12≤1－a ＋b ≤12.③ ②＋③得－32≤b ≤－12.④由①④得b ＝－12，当b ＝－12时，分别代入②③得⎩⎨⎧－1≤a ≤0，0≤a ≤1⇒a ＝0，因此f (x )＝x 2－12. 11．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)若关于x 的不等式f (x )＜|1－2a |的解集不是空集，求实数a 的取值范围； (2)若关于t 的一元二次方程t 2＋26t ＋f (m )＝0有实根，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|1－2a |＞4， ∴a ＜－32或a ＞52，∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (2)Δ＝24－4(|2m ＋1|＋|2m －3|)≥0.即|2m ＋1|＋|2m －3|≤6，∴不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞32，(2m ＋1)＋(2m －3)≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤m ≤32，(2m ＋1)－(2m －3)≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，－(2m ＋1)－(2m －3)≤6.∴32＜m ≤2或－12≤m ≤32或－1≤m ＜－12， ∴实数m 的取值范围是[－1,2]．12．已知函数f (x )＝|3x ＋2|.(1)解不等式f (x )＜4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a ＞0)恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)不等式f (x )＜4－|x －1|.即|3x ＋2|＋|x －1|＜4.当x ＜－23时，即－3x －2－x ＋1＜4，解得－54＜x ＜－23：当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1＜4，解得－23≤x ≤12；当x ＞1时，即3x ＋1＋x －1＜4，无解．综上所述，x ∈⎝⎛⎭⎫－54，12.(2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n≥4，令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎨⎧2x ＋2＋a ，x ＜－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0＜a ≤103.。

人教A版高中数学选修一轮复习随堂训练参数方程人教

第2讲参数方程随堂演练巩固1.(2011上海春招,10)若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为 . 【答案】 2【解析】由题意可知,O(0,0),F(-1,0),设P α,sin )α,则|OP|2+|PF|22=cos 2α+sin 2α+cos 21)α++sin 2α2=cos 2α+cos 32(α+=cos 22α+,所以当cos α=,|OP|2+|PF|2取得最小值2.2.直角坐标系x O y 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B 分别在曲线1C :3cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)和曲线2C :1ρ=上,则|AB|的最小值为 .【答案】 1 【解析】曲线1C :3cos sin x y θθ=+,⎧⎨=⎩(θ为参数)的直角坐标方程是(x -3)2y +21=,可知曲线1C 是以(3,0)为圆心,1为半径的圆,曲线2C :1ρ=的直角坐标方程是x 2y +21=, 可知2C 是以原点为圆心,1为半径的圆.题意就是求分别在两个圆1C 和2C 上的两点A,B 的最短距离, 由圆的方程知,这两个圆相离,所以|AB|min =d -12113r r -=--=-1-1=1.3.已知直线l 的参数方程 12x y t ⎧=-+,⎪⎨=-,⎪⎩ 求直线l 的倾斜角.【解】 ∵ 12x y t ⎧=-,⎪⎨=-,⎪⎩(t 为参数),∴21y x -==+. ∴直线l 的倾斜角150α=o .4.设11()Q x y ,是单位圆221x y +=上的一个动点,求动点221111()P x y x y -,的轨迹方程. 【解】由题意,可设Q(cos θ,sin )()P x y θ,,,则 11cos sin x y θθ=,⎧⎨=,⎩即 221111x x y y x y ⎧=-,⎨=.⎩∴ 22221111cos2cos sin 1cos sin sin22x x y y x y θθθθθθ⎧=-=-=,⎪⎨===.⎪⎩ 消去θ,得2241x y +=,即为动点P 的轨迹方程.课后作业夯基基础巩固1.在直角坐标系x O y 中,曲线1C 的参数方程为2cos x y αα=,⎧⎪⎨=⎪⎩ (α为参数),在极坐标系(与直角坐标系x O y 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线2C 的方程为(ρcos θ-sin )10θ+=,则1C 与2C 的交点个数为. 【答案】 2【解析】曲线1C 的参数方程可化为22143y x +=,曲线2C 的极坐标方程(ρcos θ-sin )10θ+=化为直角坐标方程为x -y +1=0.直线x -y +1=0过定点(0,1),位于椭圆1C 内,故1C 与2C 有2个交点. 2.若直线1l : 122x t y kt =-,⎧⎨=+⎩ (t 为参数)与直线2l : 12x s y s=,⎧⎨=-⎩ (s 为参数)垂直,则k = .【答案】 -1【解析】直线1l :kx +2y =k +4,直线2l :2x +y =1. ∵1l 与2l 垂直,∴2k +2=0.∴k =-1. 3.若直线2x 10(ky k +-=∈R )与曲线cos 1sin x y θθ=,⎧⎨=-+⎩ (θ为参数)相切,则k 值为 .【答案】 32【解析】把曲线的参数方程转化为普通方程为22(1)1x y ++=. 由题意得2220(1)112k k |⨯+-⋅-|=,+解得32k =.4.直线 23x t y t=+,⎧⎪⎨=⎪⎩ 被双曲线221x y -=截得的弦长为 .【答案】 210【解析】直线参数方程化为 22302t x y t ⎧=+,⎪⎨⎪=+,⎩代入双曲线221x y -=得2460t t --=. 设两交点对应的参数为12t t ,,则弦长d =|12t t -|21212()4210t t t t =+-=.5.已知圆C 的圆心是直线 1x t y t=,⎧⎨=+⎩(t 为参数)与x 轴的交点,且圆C 与直线x +y +3=0相切,求圆C 的方程.【解】直线1x t y t =,⎧⎨=+⎩(t 为参数)与x 轴的交点为(-1,0),故圆C 的圆心为(-1,0).又圆C 与直线x +y +3=0相切, ∴圆C 的半径10322r |-++|==.∴圆C 的方程为2(1)x ++22y =. 6.已知直线l 的斜率为k =-1,经过点0(2M ,-1),点0M 在直线l 上,求直线l 的参数方程.【解】 ∵直线l 的斜率k =-1,∴倾斜角34πα=.因此cos 2α=sin 2α=. ∴直线l 的参数方程是 2221x y ⎧=-,⎪⎨⎪=-⎩ (t 为参数).7.已知O 为坐标原点,点00()M x y ,在曲线C:1cos sin x y θθ=+,⎧⎨=⎩(θ为参数)上运动,点P(x ,y )是线段OM 的中点,求点P 的轨迹方程. 【解】 ∵ 1cos sin x y θθ-=,⎧⎨=,⎩∴22(1)x y -+=cos 2θ+sin 21θ=. ∴曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=.∵点00()M x y ,在曲线C 上运动,∴2200(1)1x y -+=.∵点P(x ,y ) 是线段OM 的中点,∴ 0022x x y y ⎧=,⎪⎨⎪=,⎩ 即 0022x x y y =,⎧⎨=.⎩ ∴22(21)(2)1x y -+=,即 2211()24x y -+=.∴点P 的轨迹方程为2211()24x y -+=.8.已知圆的方程为2y -6y sin 28x x θ+-cos 7θ+cos 280θ+=. (1)求圆心轨迹的参数方程C;(2)点P(x ,y )是(1)中曲线C 上的动点,求2x +y 的取值范围. 【解】 (1)将圆的方程整理得: (x -4cos 2)(3y θ+-sin 2)1θ=. 设圆心坐标为P(x ,y ),则 4cos y 3sin x θθ=,⎧⎨=,⎩ [0θ∈o ,360o ).(2)由(1)可知2x +y =8cos 3θ+sin θ=73()θϕ+,其中sin 873ϕ=cos 373ϕ=∴73273x y ≤+≤∴2x +y 的取值范围是[7373],. 9.已知P 为半圆C: cos y sin x θθ=,⎧⎨=⎩(θ为参数0θ,≤≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧AP 的长度均为3π.(1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标;(2)求直线AM 的参数方程.【解】 (1)由已知,点M 的极角为3π,且点M 的极径等于3π,故点M 的极坐标为()33ππ,.(2)点M的直角坐标为((10)6A π,,, 故直线AM 的参数方程为1(1)6x t y π⎧=+-,⎪⎨⎪=⎩(t 为参数).10.在直角坐标系x O y 中,曲线1C 的参数方程为 2cos 22sin x y αα=,⎧⎨=+⎩(α为参数).M 是1C 上的动点,P 点满足2OP OM P =,u u u r u u u u r点的轨迹为曲线2C .(1)求2C 的方程;(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A,与2C 的异于极点的交点为B,求|AB|.【解】 (1)设P(x ,y ),则由条件知()22y x M ,.由于M 点在1C 上,所以 2cos 222sin 2x y αα⎧=,⎪⎨⎪=+,⎩ 即 4cos 44sin x y αα=,⎧⎨=+.⎩从而2C 的参数方程为 4cos 44sin x y αα=,⎧⎨=+⎩ (α为参数).(2)曲线1C 的极坐标方程为4ρ=sin θ,曲线2C 的极坐标方程为ρ=8sin θ. 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14ρ=sin 3π,射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28ρ=sin 3π.所以|AB|=|21ρρ-|=. 拓展延伸11.在平面直角坐标系x O y 中,曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=,⎧⎨=⎩(ϕ为参数),曲线2C 的参数方程为 cos bsin x a y ϕϕ=,⎧⎨=⎩ (0a b ϕ>>,为参数).在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θα=与12C C ,各有一个交点.当0α=时,这两个交点间的距离为2,当α=2π时,这两个交点重合.(1)分别说明12C C ,是什么曲线,并求出a 与b 的值;(2)设当4πα=时,l 与12C C ,的交点分别为11A B ,,当4πα=-时,l 与12C C ,的交点分别为22A B ,,求四边形1221A A B B 的面积.【解】 1(1)C 是圆2C ,是椭圆.当0α=时,射线l 与12C C ,交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0), 因为这两点间的距离为2,所以a=3.当2πα=时,射线l 与12C C ,交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以b=1.12(2)C C ,的普通方程分别为221x y +=和29x +21y =. 当4πα=时,射线l 与1C 交点1A 的横坐标为22x =,与2C 交点1B 的横坐标为x ′31010=.当4πα=-时,射线l 与12C C ,的两个交点22A B ,分别与11A B ,关于x 轴对称,因此四边形1221A A B B 为梯形.故四边形1221A A B B 的面积为(22)()225x x x x ''+-=.。

高考文科数学一轮复习分层练习选修-参数方程

[基础题组练]1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为直线的倾斜角)． (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小．解：(1)当α＝π2时，直线l 的普通方程为x ＝－1；当α≠π2时，直线l 的普通方程为y ＝(x ＋1)tan α.由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2＝2x ，即为曲线C 的直角坐标方程．(2)把x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋y 2＝2x ，整理得t 2－4t cos α＋3＝0. 由Δ＝16cos 2α－12＝0，得cos 2α＝34，所以cos α＝32或cos α＝－32，故直线l 的倾斜角α为π6或5π6.2．以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝10，曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α，(α为参数)．(1)判断两曲线C 和C ′的位置关系；(2)若直线l 与曲线C 和C ′均相切，求直线l 的极坐标方程．解：(1)由ρ＝10得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝100，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α得曲线C ′的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25. 曲线C 表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆；曲线C ′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C 和圆C ′的位置关系是内切．(2)由(1)建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，（x －3）2＋（y ＋4）2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－8，可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为34，所以直线l 的直角坐标方程为y ＋8＝34(x －6)，即3x －4y －50＝0，所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.3．(2020·成都市第二次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos β，y ＝2sin β(β为参数，β∈[0，π])．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 恰有一个公共点P ，求点P 的极坐标．解：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos βy ＝2sin β，得(x －4)2＋y 2＝4.因为β∈[0，π]，所以曲线C 的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4(y ≥0)．因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，所以直线l 的倾斜角为α，且过原点O (极点)．所以直线l 的极坐标方程为θ＝α，ρ∈R . (2)由(1)可知，曲线C 为半圆弧．若直线l 与曲线C 恰有一个公共点P ，则直线l 与半圆弧相切．设P (ρ，θ)(ρ>0)．由题意，得sin θ＝24＝12，故θ＝π6.而ρ2＋22＝42，所以ρ＝2 3. 所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. 4．(2020·陕西铜川模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |. 解：(1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，①将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t 代入x 22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝5541.5．(2020·河南省六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t (t为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 的交点为A ，B ，Q 是曲线C 上的动点，求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t 消去t 得x ＋y －5＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0.由ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.(2)由(1)知，曲线C 是以(2，2)为圆心，22为半径的圆，直线l 过点P (3，2)，可知点P 在圆内．将直线l 的参数方程化为⎩⎨⎧x ＝7－22t y ＝－2＋22t ，代入圆的直角坐标方程，得t 2－92t ＋33＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝92，t 1t 2＝33，所以|AB |＝|t 2－t 1|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝30. 又圆心(2，2)到直线l 的距离d ＝|2＋2－5|2＝22，所以△ABQ 面积的最大值为12×30×⎝⎛⎭⎫22＋22＝5152. 6．(2020·吉林第三次调研测试)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，求1|P A |＋1|PB |的值．解：(1)曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t ，(t 为参数)，两式相加消去t 可得普通方程为x ＋y －2＝0.由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，可得曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)把曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)代入y 2＝4x ，得t 2＋62t －6＝0，设t 1，t 2是A ，B 对应的参数，则t 1＋t 1＝－62，t 1·t 2＝－6，所以1|P A |＋1|PB |＝|P A |＋|PB ||P A |·|PB |＝|t 1－t 2||t 1·t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1·t 2|t 1·t 2|＝966＝263.[综合题组练]1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数且t >0，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos β，y ＝1＋sin β⎝⎛⎭⎫β为参数，且β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为ρ＝1＋cos θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，曲线C 4的极坐标方程为ρcos θ＝1. (1)求C 3与C 4的交点到极点的距离；(2)设C 1与C 2交于P 点，C 1与C 3交于Q 点，当α在⎝⎛⎭⎫0，π2上变化时，求|OP |＋|OQ |的最大值．解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1＋cos θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，ρcos θ＝1得ρ2－ρ－1＝0，解得ρ＝1＋52，即交点到极点的距离为1＋52.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，ρ>0，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，联立C 1，C 2的极坐标方程得ρ＝2sin α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，即|OP |＝2sin α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，曲线C 1与曲线C 3的极坐标方程联立得ρ＝1＋cos α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，即|OQ |＝1＋cos α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以|OP |＋|OQ |＝1＋2sin α＋cos α＝1＋5sin(α＋φ)，其中φ的终边经过点(2，1)，当α＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，|OP |＋|OQ |取得最大值，为1＋ 5.2．(2020·原创冲刺卷二)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＋y ＝4，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝2cos αy ＝3sin α(α为参数)．在同一平面直角坐标系中，曲线C 2上的点经过坐标变换⎩⎨⎧x ′＝12x ＋1，y ′＝33y ，得到曲线C 3，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线C 1的极坐标方程和曲线C 3的极坐标方程；(2)若射线l ：θ＝α(ρ>0)分别交C 1与C 3于A ，B 两点，求|OB ||OA |的取值范围．解：(1)由C 1：x ＋y ＝4，得直线C 1的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝4，由曲线C 2的参数方程得其普通方程为x 24＋y 23＝1，由⎩⎨⎧x ′＝12x ＋1，y ′＝33y可得⎩⎨⎧x ＝2（x ′－1），y ＝3y ′，将其代入x 24＋y 23＝1，可得(x ′－1)2＋y ′2＝1，所以曲线C 3的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则－π4<α<π2，由题可得ρ1＝4cos α＋sin α，ρ2＝2cos α，所以|OB ||OA |＝ρ2ρ1＝14×2cos α(cos α＋sin α)＝14(cos 2α＋sin 2α＋1)＝14⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋1，因为－π4<α<π2，所以－22<cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4≤1，所以0<14⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋1≤14(2＋1)．所以|OB ||OA |的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，14（2＋1）.。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(65)参数方程

课时作业 (六十五 ) [第 65讲参数方程 ][ 时间： 35 分钟分值： 80 分]基础热身1．参数方程x ＝ sint ＋ 1，(t 为参数 )的一般方程为 ________．y ＝ 2sint －12．在直角坐标系中，曲线 C 1 的参数方程为x ＝cos θ，y ＝ sin θ θ∈ [0， π]，以 x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 2 在极坐标系中的方程为ρ＝ b与 C 2 有两个不.若曲线 C 1sin θ－cos θ同的交点，则实数b 的取值范围是 ________．3 3．已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ＝ 2sin θ，设直线 l x ＝－ 5t ＋ 2，的参数方程是4(ty ＝ 5t为参数 )．设直线 l 与 x 轴的交点是M ，而 N 为曲线 C 上一动点，则 |MN |的最大值是 ________．x ＝ tsin40 －°5，(t 为参数 )的倾斜角为 ________． 4．直线y ＝－ tcos40 °＋ 2能力提高5．设直线 l 1 的参数方程为x ＝ 1＋ t ，(t 为参数 )，直线 l 2 的方程为 y ＝ 3x ＋4，则 l 1 与y ＝ 1＋ 3tl 2 的距离为 ________．21x ＝ t ＋2，6．曲线的参数方程是t(t 是参数， t ≠ 0)，它的一般方程是 ________．1y ＝ t ＋ tπ7．设极点与原点重合，极轴与 x 轴正半轴重合．已知曲线 C 1 的极坐标方程是： ρcos θ＋3 x ＝ 2＋2cos θ，＝m ，曲线 C 2 参数方程为： (θ为参数 )，若两曲线有公共点，则实数m 的y ＝ 2sin θ取值范围是 ________．x ＝－ 1＋ tcos α，8．直线 (t 为参数 )与圆 ρ＝ 2cos θ 相切，则此直线的倾斜角α＝y ＝ tsin α________.x ＝ 2cos θ，9．已知 a ， b ， c 成等差数列，则直线ax － by ＋c ＝ 0 被曲线(θ为参数 )y ＝2＋ 3sin θ截得线段的长度的最大值为 ________．10．已知曲线 x ＝ 1＋ cos θ，A(－1，－ 1)的(参数 θ∈ [0,2π))，则该曲线上的点与定点y ＝ sin θ距离的最小值是 ________．xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为x ＝ 2cos α，11．在直角坐标系(α为参数 )．在极坐y ＝ 3sin α标系 (与直角坐标系 xOy 取同样的长度单位，且以原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴 )中，曲线 C 2 的方程为 ρ(cos θ－ sin θ)＋ 1＝ 0，则 C 1 与 C 2 的交点个数为 ________．x＝－ 4＋ cost，( t 为参数 )，C2：x＝ 8cosθ，12． (13 分)已知曲线 C1：(θ为参数 )．y＝ 3＋ sint y＝ 3sinθ(1)化 C1， C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；π(2)若 C1上的点P 对应的参数为t＝，Q 为 C2上的动点，求PQ 中点 M 到直线 C3：2x＝ 3＋ 2t，(t 为参数 )距离的最小值．y＝－ 2＋t难点打破13． (12 分 ) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x－y＋ 4＝ 0，曲线 C 的参数方程x＝3cosα，为( α为参数 )．y＝ sinα(1)已知在极坐标系正半轴为极轴 )中，点(与直角坐标系P 的极坐标为xOy 取同样的长度单位，且以原点O 为极点，以π4，2 ，判断点P 与直线 l 的地点关系；x 轴(2)设点Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．课时作业 (六十五 )【基础热身】1． y ＝2x － 3(0≤ x ≤ 2) [分析 ] 消去参数 sint ，得 y ＝ 2x － 3.由于 sint ∈ [－ 1,1] ，所以 x∈ [0,2] ，所以一般方程为 y ＝ 2x － 3(0≤ x ≤2) ． 2． 1≤b< 2 [分析 ] 曲线 C 1 为半圆 x 2＋ y 2＝ 1(0≤ y ≤ 1)，曲线 C 2 的直角坐标方程为 x － y ＋ b ＝ 0.联合图形知，当直线与半圆相切时，|b|＝1，即 b ＝ 2(b ＝－ 2舍去 )，2当直线经过点 (－ 1,0)时，直线与半圆有两个交点，此时 b ＝ 1.故当 1≤ b< 2时，曲线 C 1与 C 2 有两个不一样的交点．3. 5＋1[分析 ] 曲线 C 的直角坐标方程为： x 2＋ y 2－ 2y ＝0，直线的一般方程为 y ＝－43(x － 2)，令 y ＝ 0 得 x ＝ 2，即 M 点的坐标为 (2,0)．又曲线 C 为圆，圆 C 的圆心坐标为(0,1)，半径 r ＝ 1，则 |MC |＝ 5，|MN |≤ |MC|＋ r ＝ 5＋1.4．130° [分析 ]x ＝ tsin40 －°5， (t 为参数 ) 化为一般方程，得y － 2＝－将参数方程y ＝－ tcos40 °＋ 2x ＋ 5cos40 °sin50 °(x °＋ 5)＋ 2，即 y ＝ tan130 (x °＋ 5)＋ 2，所，即 y － 2＝－(x ＋ 5)，所以 y ＝－ tan50sin40 ° cos50 ° 以直线的倾斜角为 130°.【能力提高】3 10 [分析 ] 由题知直线 l 1 的一般方程为 3x － y － 2＝ 0，故 l 1 与 l 2 的距离为 |4＋ 2| 5. 5＝10 3 105 .221 2 2 1 21216．y ＝ x ＋ 2(x ≥2)[ 分析 ] 由于 y＝ t ＋＝ t＋ 2＋ 2＝ x ＋2，而 x ＝ t ＋ 2≥ 2t ·2 ＝tttt2.7．[ － 1,3] [ 分析 ] 将两曲线方程化为直角坐标方程，得C 1 ：x － 3y － 2m ＝ 0，C 2：(x－2) 2＋ y 2＝4.|2－ 2m|由于两曲线有公共点，所以 ≤ 2，即－ 1≤ m ≤ 3，故 m ∈ [－ 1,3]．π 5π直线与圆的一般方程分别是228. 或[分析 ] y ＝ tan α·(x ＋ 1)，(x － 1) ＋ y ＝ 1，由直线与6 6圆相切，得 |2tan α|21.由于 α∈ [0， π)，则 α＝ π 5π＝ 1，所以 tan α＝或 6.1＋ tan 2α 36 9． 4 [分析 ] 由于 a ， b ， c 成等差数列，所以 a －2b ＋ c ＝ 0，即直线 ax － by ＋ c ＝ 0 恒x ＝2cos θ， 22 过定点 P(1,2)，曲线＝ 1，所以点 P(1,2) 是椭圆的一般方程是椭圆 x＋ y － 2 y ＝2＋ 3sin θ4 3x ＝ 2cos θ，( θ为参数 )截得线段的长度的最的一个焦点，所以直线 ax － by ＋ c ＝ 0 被曲线y ＝ 2＋ 3sin θ大值为 4.10. 5－1 [分析] 将x ＝ 1＋cos θ，化为一般方程为 (x － 1)2＋ y2＝ 1，它表示圆，圆心y ＝ sin θ为 C(1,0)，半径为 r ＝ 1，所以 |CA|＝－1－ 1 2＋－1 2 ＝ 5，那么圆上的点与定点 A(－ 1，－1) 的距离的最小值是 |CA|－ r ＝ 5－ 1.x ＝ 2cos α， 2 211． 2 [分析 ] 曲线 C 1 的参数方程为化为一般方程： x ＋ y ＝ 1 ①， y ＝ 3sin α， 4 3曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ(cos θ－ sin θ)＋ 1＝0，化为一般方程： x － y ＋ 1＝ 0 ② . 联立①，②得 7x 2＋ 8x － 8＝ 0，此时＝ 82－ 4×7× (－ 8)>0.故 C 1 与 C 2 的交点个数为 2.22 ＝ 1，C 2： x 2 y 2 12． [解答 ] (1) C 1： (x ＋ 4) ＋ (y － 3) ＋＝1.C 1 为圆心是 (－ 4,3)，半径是 1 的圆； 64 9C 2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆．π ，又 Q(8cos θ， 3sin θ)，故 M －2＋ 4cos θ，2＋ 3(2)当 t ＝2时， P( －4,4)2sin θ.513C 3 为直线 x － 2y － 7＝0，M 到 C 3 的距离 d ＝ 5 |4cos θ－ 3sin θ－ 13|＝ 5 cos θ＋ α－ 5 其4 3中 cos α＝， sin α＝ .5 5进而 d 的最小值为 85 5 .【难点打破】13． [解答 ] (1) 把极坐标系下的点 Pπ化为直角坐标，4， 2得 P(0,4)．由于点 P 的直角坐标 (0,4)知足直线 l 的方程 x － y ＋ 4＝0，所以点 P 在直线 l 上．(2)由于点 Q 在曲线 C 上，故可设点 Q 的坐标为 ( 3cos α， sin α)，进而点 Q 到直线 l 的距离为πd ＝ | 3cos α－ sin α＋4|＝2cos α＋ 6 ＋ 42 2 π＝ 2cos α＋ 6 ＋ 2 2.由此得，当cosπ＝－ 1 时， d 获得最小值，且最小值为α＋ 62.。

高考数学(人教A版)一轮复习课件：选修4-4-2参数方程

2 2 2 3 2 3 2 2 | AB | ( ) ( ) 2 5. 2 2 2 2
2.(2015·湖北高考改编)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ-3cosθ)=0,曲线C的参数方程为 (t为参数),l与C相交于A,B两点,求|AB|的长.
1 xt , t y t 1 t
y2 4
解得t1=0,t2=
16 ,得|AB|=|t , 由直线参数方程的意义 1-t2|= 7
16 . 7
【规律方法】直线的参数方程在交点问题中的应用已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为α,点M(x,y)为l上任意一点,则直线l的参数方程为数). (t为参
x x 0 tcos, y y0 tsin
2.直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义且几何意义为:|t|是直线上任一点M(x,y) 到M0(x0,y0)的距离.
考点一直线的参数方程与应用【典例1】(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为 (t为参数),椭圆C的
1 x 1 t，参数方程为 (θ为参数),设直线l与椭圆 C相交 2 于A,B两点,求线段AB的长. y 3 t 2 x cos， y 2sin
3
(1)写出☉C的直角坐标方程. (2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求点P的直角坐标.
【解题提示】(1)利用直角坐标与极坐标的关系进行代换即得. (2)直角坐标与极坐标进行坐标代换后,利用两点间的距离公式可求解.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 【解析】(1)由ρ=2 从而有x2+y2=2

届高考数学文一轮复习参数方程人教A版

类型三
直线的参数方程
解题准备:利用直线的参数方程可使有些问题得到简捷的解决,特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义,宜用参数方程的标准形式,而对于某些比较简单的直线问题比如直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程.
共 38 页
22
【典例3】已知直线l经过点A(1,2),倾斜角为 .
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14
类型一
参数方程的概念
解题准备:参数方程与普通方程都是曲线的表示形式,都可以用来解决曲线的问题,用参数方程处理数学问题,关键在于恰当地选择参数.
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15
【典例1】已知参数方程xy22csoins,
[0,2).判断点A(1, 3)和B2,1是否
在方程的曲线上.
[分析] 利用参数方程判断时,θ须看有无解,也可利用普通方程来判断.
b
sin
④
③
2
④
2得
(x a)2 t2
(y b)2 t2
1,
即 x a 2 y b 2 t2,它表示一个圆 .
当 t 0时 ,表示点 a, b .
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20
[反思感悟] 把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个是参数,并且要注意x及y的取值范围.
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21
(1)求直线l的参数方程;
3
(2)求直线l和圆x2+y2=9的两个交点到点A的距离之积.
[分析] 根据直线参数方程中参数t的几何意义,运用一元二次方程根与系数的关系求解.
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23
[解
]
1 直
线
l的
参
数

人教A版高中数学选修第一轮复习强化训练参数方程新人教

21.1参数方程【考纲要求】1、了解参数方程，了解参数的意义.2、能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.3、了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.4、了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.【基础知识】1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数（包括整体消元）（2）三角法：利用三角恒等式消去参数。

请注意：化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。

2、常见曲线的参数方程：（1）圆22200()()x x y y r -+-=的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）；（2）椭圆12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）；（3）双曲线12222=-b y a x 的参数方程 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）；（4）抛物线22y px =参数方程222x pt y pt⎧=⎨=⎩ (t 为参数）；（5）过定点),(00y x P 、倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）。

【典型例题】例1 已知圆M ：⎩⎨⎧ x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)的圆心F 是抛物线E ：⎩⎨⎧x ＝2pt2y ＝2pt 的焦点，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求AF ·FB 的取值范围.【解析方法代码108001169】解析：曲线M ：⎩⎨⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，所以F (1,0)．抛物线E ：⎩⎨⎧x ＝2pt2y ＝2pt的普通方程是y 2＝2px ，所以p2＝1， p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设过焦点F 的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos θy ＝t sin θ(t 为参数)，代入y 2＝4x ，得t 2sin 2θ－4t cos θ－4＝0.所以AF ·FB ＝|t 1t 2|＝4sin 2θ.因为0<sin 2θ≤1，所以AF ·FB 的取值范围是[4，＋∞)．例2 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ是参数)相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解析：(1)直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝1＋12t (t 是参数)．(2)∵点A ，B 都在直线l 上，∴可设点A ，B 对应的参数分别为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 1，1＋12t 1，B ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2，1＋12t 2，将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，整理得t 2＋(3＋1)t －2＝0.①∵t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2， ∴|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.21.1参数方程强化训练【基础精练】1.将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为____________．2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2(t 为参数)表示的曲线是________．3．若直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt(t 为参数)与直线l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)垂直，则k ＝________.4．若直线2x ＋ky －1＝0(k ∈R)与曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)相切，则k值为________．5．已知曲线⎩⎨⎧x ＝2pt2y ＝2pt(t 为参数，p 为常数，p >0)上的两点M 、N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1＋t 2＝0，则|MN |＝______.6．直线⎩⎨⎧x ＝2＋t y ＝3t被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长为________．7．求直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋ty ＝－5＋3t和直线x －y －23＝0的交点P 的坐标，及点P 与Q (1，－5)的距离．8．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．9．已知直线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．10．已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，点F 1、F 2为其左、右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数，t ∈R)．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程；(2)求点F 1、F 2到直线l 的距离之和．【拓展提高】1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＝1.(1)求曲线C 的普通方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长.2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝t (t 为参数)，椭圆C 的方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈R)．试在椭圆C 上求一点P ，使得P 到直线l 的距离最小．【基础精练参考答案】5. 4p |t 1|【解析】：曲线表示抛物线y 2＝2px ，线段MN 垂直于抛物线的对称轴，所以|MN |＝2p |t 1－t 2|＝4p |t 1|.6. 210【解析】：直线参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t 2y ＝0＋32t ，代入双曲线x 2－y 2＝1得t 2－4t －6＝0.设两交点对应的参数为t 1，t 2，则弦长d ＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2 ＝210.7. 43【解析】：将⎩⎨⎧x ＝1＋ty ＝－5＋3t化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝－5＋32t ，代入x －y －23＝0得t ＝43，∴P (1＋23，1)．由参数t 的几何意义得|PQ |＝|t |＝4 3.8. 217【解析】：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝t －1t的普通方程为x 2－y 2＝4.过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33x ＋3，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3，x 2－y 2＝4消去y 得，23x 2－2x －7＝0，∴x 1x 2＝－212，x 1＋x 2＝3， ∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝217.9.【解析】： (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3x －1，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．10.【解析】： (1)直线l 的普通方程为y ＝x －2；曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴点F 1到直线l 的距离d 1＝|－1－0－2|2＝322，点F 2到直线l 的距离d 2＝|1－0－2|2＝22，∴d 1＋d 2＝2 2.【拓展提高参考答案】2.【解析】：方法一：直线l 的普通方程为x ＋2y －4＝0，设P (2cos θ，sin θ)，点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d 有最小值．此时sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin π4＝22， cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin π4＝22，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22.从而椭圆C 上到直线l 的距离最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22. 方法二：设与直线l 平行的直线l ′的方程为x ＋2y ＝m .当l ′与椭圆C 只有一个公共点且l ′与l 距离最小时，l ′与椭圆C 的公共点即为所求的点P .椭圆的普通方程为x 24＋y 2＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＋2y ＝m消去x ，得8y 2－4my ＋m 2－4＝0.因为l ′与椭圆C 只有一个公共点，所以Δ＝16m 2－32(m 2－4)＝0，解得m ＝22或m ＝－2 2.l ′与l 的距离为d ＝|m －4|5，所以当m ＝22时，d 最小，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22.。

广东高考导与练文科数学一轮复习课时训练13.2参数方程(含答案详析)

第2节参数方程课时训练练题感提知能【选题明细表】A组填空题1. (2013年高考广东卷)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为.解析:由ρ=2cos θ知ρ2=2ρcos θ,因此曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,故曲线C的参数方程为(φ为参数).答案:(φ为参数)2.(2013年高考陕西卷)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是.解析:由消去参数t得x=,即y2=4x,则焦点坐标为(1,0).答案:(1,0)3.(2013陕西师大附中高三第四次模拟)直线l1:(t为参数)与圆C2:(θ为参数)的位置关系是.解析:直线l1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0,圆C2的普通方程为x2+y2=1,圆心到直线的距离为d=<1,因此直线l1与圆C2相交.答案:相交4.(2013湛江市高考测试(二))在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(α∈[0,2π),α为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴,则曲线C的极坐标方程是.解析:曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2=4x,化为极坐标方程为ρ2=4ρcos θ,即ρ=4cos θ.答案:ρ=4cos θ5.(2012年高考北京卷)直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为.解析:由已知得直线的普通方程为x+y-1=0,曲线的普通方程为x2+y2=9,表示以原点为圆心,半径为3的圆,而直线x+y-1=0过点(1,0),且点(1,0)显然在圆x2+y2=9内,∴直线与曲线一定有2个交点.答案:26.(2013广州六校高三第四次联考)曲线(θ为参数)上一点P到点A(-2,0),B(2,0)的距离之和为.解析:曲线表示椭圆,且标准方程为+=1,可知点A(-2,0),B(2,0)为椭圆的焦点,故+=2a=8.答案:87.(2013华南师大附中高三综合测试)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆的方程是ρ=4cos θ,则它的圆心到直线l:(t为参数)的距离等于.解析:圆在直角坐标系中的方程为(x-2)2+y2=4,直线l化为普通方程为x+y=1,∴d==.答案:8.(2013深圳市期末检测)已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ,直线l的参数方程为(t为参数),则直线l与曲线C相交所得弦长为.解析:曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6y,即x2+(y-3)2=9,圆心C(0,3),半径r=3.直线l的普通方程为x-2y+1=0.所以点C到l的距离d==.故所求弦长为2=2=4.答案:49.(2013韶关市高三调研)在直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(α为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴)中,圆C2的极坐标方程为ρ=4sin θ,则C1与C2的位置关系是.(在“相交、相离、内切、外切、内含”中选择一个你认为正确的填上).解析:圆C1的普通方程为x2+(y-1)2=1,圆C2的直角坐标方程为x2+y2=4y,即为x2+(y-2)2=4,所以圆心距为1,等于半径之差,故圆C1与C2的位置关系是内切.答案:内切10.(2013肇庆一模)已知直线l1:(t为参数)与直线l2:2x-4y=5相交于点B,又点A(1,2)则|AB|= .解析:将l1的参数方程代入l2方程中得2(1+3t)-4(2-4t)=5,即t=.于是B(,0),所以|AB|==.答案:11.(2013湖南十二校联考)设极点与坐标原点重合,极轴与x轴正半轴重合,已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ-)=a,a∈R.圆C的参数方程是(θ为参数),若圆C关于直线l对称,则a= .解析:圆C的圆心坐标为(2,2),其极坐标为(4,),由题意知点(4,)在直线l上,于是4sin(-)=a,即a=-2.答案:-212.若直线l的极坐标方程为ρcos=3,圆C:(θ为参数)上的点到直线l的距离为d,则d的最大值为.解析:∵ρcos(θ-)=3,∴ρcos θ+ρsin θ=6,∴直线l的直角坐标方程为x+y=6.由圆C的参数方程知圆C的圆心为C(0,0),半径r=1.圆心C(0,0)到直线l的距离为=3.+1.∴d答案:3+1B组13.(2012年高考天津卷)已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p= .解析:∵y=2pt,∴y2=4p2t2.又∵t2=,∴y2=4p2×=2px(p>0).∵|EF|=|MF|,|MF|=|ME|,∴△EMF是等边三角形,过点F作FA⊥ME交ME于A,则A为ME的中点,且x A=.∴x M+x E=2x A(其中,x A、x M、x E分别为点A、M、E的横坐标),∴3+=2×,∴p=2.答案:214.(2013年高考湖北卷)在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(ϕ为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ+)=m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为.解析:将椭圆C的参数方程(ϕ为参数,a>b>0)化为普通方程为+=1(a>b>0).又直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=m(m为非零常数),即ρ(sin θ·+cos θ·)=m,则该直线的直角坐标方程为y+x-m=0.圆的极坐标方程为ρ=b,其直角坐标方程为x2+y2=b2.∵直线与圆O相切,∴=b,|m|= b.又∵直线l经过椭圆C的焦点,∴|m|=c.∴c=b,c2=2b2.∵a2=b2+c2=3b2,∴e2==.∴e=.答案:。

高考数学一轮总复习课时跟踪检测(六十五) 参数方程文新人教A版-新人教A版高三全册数学试题

课时跟踪检测(六十五) 参数方程1．(2016·某某实验中学)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其直线l 的距离相等，求点P 的坐标．解：(1)椭圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝2cos θ－12＋3sin θ2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离 d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，335.2．(2015·某某高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sinθ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32 ＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，点P 的直角坐标为(3,0)．3．(2016·某某五校联考)倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值X 围．解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得： (8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2| ＝641＋7sin 2α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1289，64.4．(2016·某某模拟)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪2(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求|PA |·|PB |的值．解：(1)ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，所以x 2＋y 2－4x －4y ＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝8；直线l 的普通方程为3x －y ＋23－3＝0. (2)把直线l 的参数方程代入到圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＝0中，得t 2－(4＋53)t ＋33＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝33.点P (－2，－3)显然在直线l 上，由直线标准参数方程下t 的几何意义知 |PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝33，所以|PA |·|PB |＝33.5．(2016·某某模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C的半径为4.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程． (2)试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝－5＋t sin π3(t 为参数)，即⎩⎪2由题知C 点的直角坐标为(0,4)，圆C 的半径为4， ∴圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝16，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得，圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(2)由题意得，直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0，圆心C 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32>4，∴直线l 与圆C 相离．6．(2016·某某模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的极坐标； (2)曲线C 1与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M ，N 两点，求线段MN的长度．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A ，B 两点的极坐标为：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎪⎫4，7π6.(2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，即t 1＋t 2＝－23，t 1·t 2＝－14，所以|MN |＝－232－4×－14＝217.7．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|(其中α为锐角，且tan α＝43)，当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.8．(2016·某某模拟)极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ得，ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x . (2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)，将直线l 的方程代入y 2＝8x ，得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)，整理得sin 2α·t 2－8cos α·t －16＝0. 由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2α＝64＞0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α＜0，故1|AF |＋1|BF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2 ＝t 1＋t 22－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8cosαsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12.。

高考数学(人教版文)一轮复习课时作业65选修4-4 坐标系与参数方程1 Word版含答案

解析：(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，
曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，直线l的极坐标方程为ρ＝，
根据ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
则C1的直角坐标方程为x2＋2y2＝2，直线l的直角坐标方程为x＋ y＝4。
(2)设Q( cosθ，sinθ)，则点Q到直线l的距离为
化为标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆C的半径r＝。
2．(2016·天水模拟)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，直线l的极坐标方程为ρ＝。
(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；
(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值。
4．(2016·玉山模拟)在极坐标系xOy中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2。
(1)求曲线C2的极坐标方程；
(2)求曲线C2上的点到直线ρcos ＝距离的最大值。
解析：(1)设P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)，由|OP|·|OM|＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝。
d＝＝ ≥ ，
当且仅当θ＋＝2kπ＋，即θ＝2kπ＋ (k∈Z)时取等号。
∴Q点到直线l距离的最小值为。
3．(2016·泰州二模)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合。若直线的极坐标方程为ρsin ＝3 。
(1)把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程；
(2)已知P为椭圆C：＋＝1上一点，求P到直线的距离的最大值。
解析：(1)把直线的极坐标方程为ρsin ＝3 展开得ρ ＝3 ，化为ρsinθ－ρcosθ＝6，得到直角坐标方程x－y＋6＝0。

高三数学一轮复习课时作业7：第2课时参数方程

第2课时参数方程1.求直线⎩⎨⎧x ＝1－12t ，y ＝32t(t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所截得的弦长.2.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，求切线的倾斜角.3.已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程.4.(2015·湖北)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，求|AB |的长.5.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin(θ＋π4)＝22，求曲线C 1与曲线C 2的交点个数.6.(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.7.(2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.8.(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .9.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段|AB |的长.10.(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.答案精析1．解直线方程可化为3x ＋y －3＝0，曲线方程可化为x 2＋y 23＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋3，x 2＋y23＝1，得x 2－x ＝0， ∴x ＝0或x ＝1.可得交点为A (0，3)，B (1,0)． ∴|AB |＝1＋3＝2.∴所截得的弦长为2.2．解直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b 2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，∴b ＝±3a ，而直线的倾斜角的正切值为tan α＝b a ，∴tan α＝±3，因此切线的倾斜角为π3或2π3.3．解 ∵直线l 的直角坐标方程为 x －y ＋2＝0.∴原点到直线的距离r ＝22＝1. ∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.4．解直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y 2－x 2＝4解得⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－322或⎩⎨⎧x ＝22，y ＝322.所以A ⎝⎛⎭⎫－22，－322，B ⎝⎛⎭⎫22，322. 所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫－22－222＋⎝⎛⎭⎫－322－3222 ＝2 5.5．解曲线C 1，C 2化为普通方程和直角坐标方程分别为x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，消去y 得x 2＋2x －8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线C 1与曲线C 2的交点个数为2.6．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153. 7．解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝ ⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32 ＝t 2＋12，故当t ＝0时，PC 取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．8．解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1. a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.9．解直线l 的方程化为普通方程为 3x －y －3＝0，椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－17，y 2＝－837，∴A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－17，－837.故|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋172＋⎝⎛⎭⎫0＋8372＝167. 10．解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.。

高三数学一轮复习第2课时参数方程课件文新人教A选修44.ppt

数方程为x＝ 3＋21t，
y＝2＋
3 2t
(t 为参数)，曲线 C 的参
数方程为xy＝＝44scionsθθ， (θ 为参数)． (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程； (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求线段 AB
的长．
解析： (1)x2＋y2＝16.
(2)将x＝ 3＋21t
x＝3＋2t， y＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．
解析： (1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：6x42 ＋y92＝1. C1 为圆心是(－4,3)，半径为 1 的圆．
C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半
轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆．
(2)当 t＝π2时，P(－4,4)、Q(8cos θ，3sin θ)，
值 tM＝t1＋2 t2(由此可求|M2M|及中点坐标)．
已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝π6， (1)写出直线 l 的参数方程； (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A，B，求
点 P 到 A，B 两点的距离之积．
解析： (1)直线的参数方程为
x＝
1＋tcos
π， 6
以下两种情况：
x＝acosφ
椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的参数方程是__y_＝__b_s_in__φ_，
其中 φ 是参数．
x＝bcos φ
椭圆xb22＋ay22＝1(a>b>0)的参数方程是__y_＝__a_s_in__φ_，
其中 φ 是参数．
参数方程化为普通方程
1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程．常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等． 2．往往需要对参数方程进行变形，为消参创造条件．

高考总数学(文)一轮总复习课件：选修4-4 第二节参数方程

2．(2013·广西四校联考)极坐标方程ρ＝cos x＝－1－t，
θ和参数方程 y＝2＋3t (t为参数)所表示的图形分别是________．
【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ， ∴x2＋y2＝x，即x2－x＋y2＝0表示圆， ∵xy＝＝2－＋13－t，t，消t后，得3x＋y＋1＝0，表示直线．
线段OP的中点，由代入法求曲线C2的参数方程；
(2)由于点A、B在射线θ＝
π 3
上，分别求点A、B的
极径，进而确定|AB|的大小．
【尝试解答】 (1)由 O→P ＝2 O→M 知，点M是线段 OP的中点．
设点P(x，y)，则M(x2，y2)， ∵点M在曲线C1：xy＝＝22＋cos2sαin ，α，上，
方程判断曲线类型．
【尝试解答】
由xy＝＝ba＋＋ttcsions
θ， θ. ②
①
(1)当t为非零常数时，
原方程组为xy－－tt ba＝＝csions
θ， θ. ④
③
③2＋④2得（x－t2 a）2＋（y－t2 b）2＝1，
即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．
(2)当t＝0时，表示点(a，b)．
【思路点拨】将直线的参数方程化为普通方程，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．
π 【尝试解答】当t＝ 2 时，P(－4，4)；且Q(8cos θ，3sin θ)，
故M(－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．
C3为直线x－2y－7＝0，
M到C3的距离d＝
5 5 |4cos
3．直线、圆、椭圆的参数方程
轨迹直线
圆椭圆
普通方程 y－y0＝tan α(x－

2013届高考数学一轮复习课时检测第二节参数方程理

选修4-4 第二节参数方程1．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.2．在椭圆x 29＋y 24＝1上求一点M ，使点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离最小，并求出最小距离．解：因为椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，所以可设点M 的坐标为(3cos φ，2sin φ)．由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为d ＝|3cos φ＋4sin φ－10|5＝|5cos φ·35＋sin φ·45－10|5＝15|5cos(φ－φ0)－10|，其中φ0满足cos φ0＝35，sin φ0＝45.由三角函数的性质知，当φ－φ0＝0时，d 取最小值 5. 此时，3cos φ＝3cos φ0＝95，2sin φ＝2sin φ0＝85.因此，当点M 位于(95，85)时，点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离取最小值 5.3．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线 l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求|MN |的最大值．解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. (2)将直线l 的参数方程化为普通方程，得y ＝－43(x －2)，令y ＝0得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，且圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1，则|MC |＝ 5.所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1. 即|MN |的最大值为5＋1.4．已知圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的圆心F是抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt的焦点，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求AF ·FB 的取值范围．解：圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，所以F (1,0)．抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt的普通方程是y 2＝2px ，所以p2＝1，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . 设过焦点F 的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θy ＝t sin θ，(t 为参数)，代入y 2＝4x ，得t 2sin 2θ－4t cos θ－4＝0.所以AF ·FB ＝|t 1t 2|＝4sin 2θ.因为0<sin 2θ≤1，所以AF ·FB 的取值范围是[4，＋∞)．5．(2012·厦门模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求直线l 的直角坐标方程；(2)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．解：(1)ρcos(θ－π4)＝22化简ρcos θ＋ρsin θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4； (2)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)，得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin α＋φ－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25.当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋102. 6．(2012·福建高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解： (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋2 2.由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.7．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)法一：将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. (2)法二：因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎨⎧x 2＋y －52＝5，y ＝－x ＋3＋ 5.得x 2－3x ＋2＝0.解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋ 5.或 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)，故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2. 8．已知椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝5sin φ.(φ为参数)上相邻两个顶点为A 、C ，又B 、D 为椭圆上两个动点，且分别在直线AC 的两侧，求四边形ABCD 面积的最大值．解：设相邻两个顶点A (4,0)、C (0,5)、AC 所在直线方程为5x ＋4y －20＝0.又设B (4cos α，5sin α)，D (4cos β，5sin β)，其中α∈(0，π2)，β∈(π2，2π)．点B 到AC 距离d 1＝2041|cos α＋sin α－1|＝2041|2sin(α＋π4)－1|≤2041(2－1)(当α＝π4时取等号)．点D 到AC 的距离d 2＝2041|2sin(β＋π4)－1|≤2041(2＋1)(当α＝54π时取等号)．∴所求S 四边形ABCD 的最大值为12AC ·[2041(2－1)＋2041(2＋1)]＝20 2。