湖北省孝感高二数学上学期期末考试试题理

孝感高中2016—2017学年度高二上学期期末考试数学（理）试题考试时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 A.70家 B.50家 C.20家 D.10家 2．由1，2，3这三个数字组成的没有重复数字的三位自然数共有 A ．6个 B ．8个C ．12个D ．15个3．设点()3,1,2M 是直角坐标系xyz O -中一点，则点M 关于x 轴对称的点的坐标为 A ．()3,1,2-- B ．()3,1,2-- C ．()3,1,2-- D ．()3,1,2---4．某射击运动员进行打靶练习，已知打十枪每发的靶数为9,10,7,8,10,10,6,8,9,7，设其平均数为a ,中位数为b ，众数为c ,则有A .a >b >c B.c >a >b C. c >b >a D. b >c >a 5．下列说法正确的是A ．“a b >”是“22a b >”的必要条件B ．自然数的平方大于0C ．“若a b ，都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为真D ．存在一个钝角三角形，它的三边长均为整数 6．执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为A ．-3B ．13 C ．12- D ．2 7．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量U 与V 相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则A.210r r <<B. 210r r <<C. 210r r <<D.21r r = 8．将一颗骰子连续抛掷2次，则向上的点数之和为8的概率为A ．91 B.365 C ．183 D ．721 9.某奶茶店的日销售收入y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：℃）之间的关系如下：x -2 -1 0 1 2 y5?221通过上面的五组数据得到了x 与y 之间的线性回归方程：8.2+-=∧x y ；但现在丢失了一个数据,该数据应为A.3B.4C.5D.2 10．若P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1,则事件A 与B 的关系是A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.以上答案都不对11. 把10名登山运动员，平均分为两组先后登山，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的安排方法有A.30种B.60种C. 120种D.240种12. 椭圆2221y x b+=（1b <）的左焦点为F ，A 为上顶点，B 为长轴上任意一点，且B 在原点O 的右侧，若△FAB 的外接圆圆心为P(m,n),且m+n >0,椭圆离心率的范围为A ．2(0,)2B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ． 2(,1)2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 二进制数1101100（2）化为十进制数是 . 14.6)1(xx -展开式的常数项为 .15. 在矩形ABCD 中，AD=1，3，将△ABD 折起到△PBD 的位置，使得面PBD ⊥面BCD ，若P 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的体积为 .16. 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系.诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 那么，5位的回文数总共有_________个.41.5三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明或演算步骤。

17.（本小题满分10分）已知:p ()2228200,:2100x x q x x a a --<-+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面1.5m ，水面宽4m 。

水下降0.5m 后，水面宽多少？19. （本小题满分12分）某重点高中拟把学校打造成新型示范高中，为此制定了学生“七不准”，“一日三省十问”等新的规章制度．新规章制度实施一段时间后，学校就新规章制度随机抽取部分学生进行问卷调查，调查卷共有10个问题，每个问题10分，调查结束后，按分数分成5组： [50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并作出频率分布直方图与样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）． （Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从分数在70分以下的学生中随机抽取3名学生进行座谈会，求所抽取的3名学生中恰有1人得分在[50,60)内的概率．20. （本小题满分12分）已知关于x 的一元二次函数()241f x ax bx =-+．（Ⅰ）设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率；（Ⅱ）设点(),a b 是区域8000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()[1,)y f x =+∞在区间上是增函数的概率．21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥，且3PC =．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值.22. （本小题满分12分）已知点P 是椭圆C 上任意一点，点P 到直线1l :2x =-的距离为1d ，到点(1,0)F -的距离为2d ，且2122d d =，直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且180OFA OFB ∠+∠=︒.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；（Ⅲ）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.高二上学期期末考试理科数学参考答案一、选择题CAACD DBBBD CA二、填空题13. 108 14. -20 15. 43π 16. 900 三、解答题17. 解：2:8200210p x x x --<⇔-<<，22:21011q x x a a x a -+-≤⇔-≤≤+， ……4分由题意知：,p q q p ⇒≠，∴{}{}|210|11x x x a x a -<<⊄-≤≤+， ……6分故有121100a a a -≤-⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得9a ≥， ……10分因此，所求实数a 的取值范围是[)9,+∞． ……12分 18.解：如图建立坐标系，设抛物线的方程为：22py x =， 带点(2,1.5)得抛物线方程为：283x y =. ……6分 下降0.5后得点43(,2)3，∴水面宽为833m 。

……12分 19. 解：（1）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯，0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=.……6分（2）由题意可知，分数在[60,70)内的学生有5人，分数在[50,60)内的学生有2人，∴ 所抽取的3名学生中恰有1人得分在[50,60)内的概率12253747C C P C ==. ……12分 20. 解：（1）∵函数2()41f x ax bx =-+的图象的对称轴为2,b x a = 要使2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上为增函数，xy当且仅当a >0且21,2b b a a≤≤即，若a =1则b =－1；若a =2则b =－1，1；若a =3则b =－1，1； ∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为51153=． ……6分（2）由（1）知当且仅当2b a ≤且a >0时，函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分． 由80168(,),332a b ab +-=⎧⎪⎨=⎪⎩得交点坐标为 ∴所求事件的概率为18812313882P ⨯⨯==⨯⨯． ……12分 21. 解：（1）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥. 因为CD PD ⊥，AD PD D =I ，所以 CD ⊥平面PAD ． 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 CD PA ⊥． 同理，BC PA ⊥．因为 BC CD C =I ， 所以 PA ⊥平面ABCD ． ……5分 （Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ．因为AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥． 因为3PC =，2AC =，所以1PA =．分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系，由题意可得：(0,1,0)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，(0,0,1)P ． ……6分所以(0,1,0)DC =u u u r ，(1,0,1)DP =-u u u r ，(1,1,0)BD =-u u u r ，(0,1,1)BP =-u u u r．设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r，，n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =，得1z =.所以(1,0,1)=n ． ……8分 同理可求：平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m ． ……10分所以1016cos ,323⋅++<>===⨯n m n m |n ||m |． 所以二面角B PD C --的余弦值为63． ……12分 22．解：（1）设(,)P x y ，则12d x =+，()2221d x y =++ ，∴()22211222x y d d x ++==+，化简，得2212x y +=， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=. ……4分 （2）(0,1)A ，(1,0)F -∴1010(1)AF k -==--，又∵180OFA OFB ∠+∠=︒，∴1BF k =-，:1(1)1BF y x x =-+=--.代入2212x y +=解，得0,1,x y =⎧⎨=-⎩（舍）4,31,3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 11134203ABk -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴1:12AB y x =+.即直线l 的方程为112y x =+.……8分（3）解法一：∵180OFA OFB ∠+∠=︒，∴0AF BF k k +=. ……9分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 方程为y kx b =+.代直线AB 方程y kx b =+入2212x y +=，得22212102k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭.∴122212kbx x k +=-+，2122112b x x k -=+，∴121212121111AF BF y y kx b kx b k k x x x x +++=+=+++++()()()()()()12211211011kx b x kx b x x x +++++==++∴()()()()()()1221121211=22kx b x kx b x kx x k b x x b +++++++++()222122201122b kb k k b b k k -=⨯-+⨯+=++，∴20b k -=，∴直线AB 方程为()2y k x =+，直线l 总经过定点()2,0M -. ……12分 法二：由于180OFA OFB ∠+∠=︒，所以B 关于x 轴的对称点1B 在直线AF 上.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，'22(,)B x y -，直线AF 方程为(1)y k x =+.代入2212x y +=，得 222212102k x k x k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭.∴2122212k x x k +=-+，2122112k x x k -=+， ∴1212AB y y k x x -=-，()121112:y y AB y y x x x x --=--，令0y =，得122112111212x x x y x y x x y y y y y --=-=--.又∵()111y k x =+，()221y k x -=+，∴()()()()211221121212121212112112x k x x k x x y x y x x x x x y y k x k x x x ⨯++⨯+-++===-+++++ 222222122112222212k k k k k k -⨯-++==--+. ∴直线l 总经过定点()2,0M -. ……12分。